Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Estado de México. Materia: Control Computarizado Reporte Observador Luenberger Profe. Doc. Oskar Vivero Osornio
Nombre Saúl P. Hernández López
Fecha de entrega: 5 de Julio del 2011.
Matrícula A00802798
Introducción: El observador estima el estado del sistema a partir de la dinámica de su entrada y su salida.
Es decir que no todas las variables de estado están disponibles para retroalimentación. Entonces, hay que estimar las variables de estado disponibles. La estimación de variables de estado no medibles se suele denominar observación. A un dispositivo (o a un programa de computadora), que estima u observa las variables de estado, se le denomina observador de estado o simplemente observador. Si el observador de estado estima todas las variables de estado del sistema, independientemente de si algunas variables de estado se encuentran disponibles para medición directa, se denomina observador de estado de orden completo. Hay ocasiones en que esto no es necesario ya que solo se requiere observar las variables de estado no medibles, pero no las que son medibles en forma directa. El observador de estado, que sólo estima las variables de estado de orden mínimo se denomina observador de estado de orden mínimo o simplemente observador de orden mínimo. El observador de Luenberger Consideremos un sistema modelado en variables de estado representado por las ecuaciones: x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = C x(t), x(0) = x0 ≠ 0 en el que x(t) ∈ Rn , el par (u(t), y(t)) es escalar y las matrices (A, B, C ) son perfectamente conocidas. El estimador de estados está compuesto por una reproducción del sistema más un término adicional de corrección. La arquitectura del observador es: ξ˙(t) = Aξ(t) + Bu(t) + L(y(t) − C ξ(t)) El observador reproduce la entrada y la salida del sistema y además corrige la ecuación dinámica con un término que es proporcional al error entre la salida del sistema real (y(t)) y la salida estimada (C ξ(t)). Definiremos el error entre los estados reales del sistema y los estimados como: e(t) = x(t) −ξ(t). Entonces, la dinámica del error (e˙(t)) será: e˙(t) = x˙ (t) − ξ˙(t) = A(x(t)−ξ(t)) − LC (x(t) − ξ(t)) = (A − LC ) e(t) y, entonces, ξ(t) → x(t) si los autovalores de la matriz A − LC son todos estables , i.e., están en el semiplano izquierdo. Ello porque la solución de la ecuación x˙ (t) = (A − LC )e(t) es: e(t) = e(A−LC )t e0 = e(A−LC )t (x(0) − ξ(0)) = e(A−LC )t x0 De modo que, si los autovalores de A sin importar su condición inicial. Lo que quiere decir que, el observador de Luenberger, bajo la suposición de conocimiento perfecto del sistema, a medida que pasa el tiempo, mejora asintóticamente la estimación de los estados.
Remarcamos que, tal como estructurado el observador propuesto, el problema de diseño de un estimador de estados se reduce a la determinación de una ganancia del observador L tal que los autovalores de la matriz A sentido, el problema de diseño de un observador es equivalente a aquel de localización de polos por realimentación de estados y, por ejemplo, podemos usar los mismos comandos de MATLABr, a saber, place o acker, para calcular L. En este caso AT juega el papel de A y C T juega el papel de B. La K obtenida de esta manera es la transpuesta de L, (L = K T ). Para la ubicación de los polos del observador solo debemos tomar en cuenta que ´estos deben estar más a la izquierda en el Semiplano Izquierdo que los polos del sistema con realimentación de estados, esto es, que la dinámica del observador debe ser más rápida que la del sistema que debe observar si queremos tener un estimado de los estados adecuado. En esta sección se presentan dos ejemplos A y B, donde el primero es un sistema que necesita que una sola variable de estado sea estimada para poder realizar realimentación de estados, ya que sus salidas dependen linealmente de las otras dos variables respectivamente. En el segundo ejemplo se presenta un sistema similar pero con una sola salida, implicando entonces que se deben estimar dos variables de estado. Ambos ejemplos están resueltos por los métodos de Luenberger. Ejemplo A: Sea:
De donde se observa que la variable X3 no es directamente mensurable. Entonces debemos construir un observador reducido de primer orden (n p = 1). Los auto valores del sistema son
En consecuencia elegimos para el observador el autovalor –5, o sea F0=- 5. T = [T1 I]
T1 [(n p)xp], T1 = [t1
t2 ] TA F0T = G0C
si tomamos que g2
= 0 ⇒ que excitamos al observador solo con y1 = x1
6 + 5t1 = g1 t1 11 + 5t 2 t2 6+5=0
T = [6
1 1]
= 0 ⇒ t2
= 1; t1 = 6; g1 = 24
F0 = 5 G0 = [24 0]
El diagrama en bloques de la solución es:
Ejemplo B: Sea el sistema:
Entonces según vemos el observador será de segundo orden y habrá que estimar las variables X2 Y X3
Como: X1 = x1 = Y X2= x2 X3 La ecuación: TA F0T = G0C
Siendo este el sistema de ecuaciones a resolver para hallar la solución del observador. Si elegimos para el observador los autovalores λ1=-4 λ2=-5 la ecuación característica nos
Quedando:
Reemplazando en el sistema de ecuaciones:
Nos quedan
El sistema del observador finalmente es:
Conclusiones: Cuando trabajamos con el método de Luenberger, lo que estamos haciendo es hallar la matriz de transformación lineal de X a W, W = TX de tal forma que podamos hacer
Y obtengamos el observador reducido. Estos pasos quedan escondidos cuando utilizamos directamente las fórmulas finales como receta para la construcción del observador. .
