En este tercer apartado se pretende analizar y diseñar el control mediante realimentación de estados y observador-predictor u observador de estados en lazo cerrado. Dentro de este apartado se mostrarán los conocimientos teóricos necesarios para la implementación de cualquiera de los métodos que se van a usar. Por otra parte se simulará los algoritmos diseñados previamente a su ejecución en la planta. inalmente se usará en el control de la planta de las !lec"as donde pretendemos que la segunda !lec"a siga a la primera !lec"a #re!erencia$. %e "arán distintas pruebas para sintonizar de la mejor manera el control y se e&plicará de !orma detallada cualquier cambio o ajuste que se realice.
3.1 Marco teórico
'n observador de estados u observador de (uenberger es un estimador de estado) es decir) un algoritmo que permite estimar el estado interno oculto #no medible$ de un sistema dinámico lineal a partir de las mediciones de la entrada y la salida de dic"o sistema (a idea en la cual se basa este observador es en generar un sistema modelado lo mas similar posible al original) al cual s* se le pueda medir el estado interno directamente. Para modelar el sistema nos basamos en la identi!icación ya realizada y e&plicada en el apartado anterior de este documento. %i el sistema original y el modelado son sometidos a la misma entrada) se puede esperar que) a medida que pase el tiempo) se comiencen a comportar del mismo modo debido a que sus estados internos tienden a parecerse cada vez siempre y cuando cumplan unos requisitos de estabilidad y observabilidad que serán detallados posteriormente. De este modo) el estado interno del sistema modelado se puede usar como una apro&imación del estado interno del sistema original. E&isten dos maneras de realizar un observador. (a primera se basa en "allar el modelo del proceso que queremos controlar y "allar en él la estimación de los estados pertinentes para su control.
%in embargo) en la práctica esta "ipótesis no se veri!ica y es necesario observar los estados en bucle cerrado) comparando la salida estimada con la real y utilizando el error para ajustar la estimación.
Por tanto de aqu* se desprende que la segunda opción en cuanto a la observación de estados se re!iere) se trata del observador en bucle cerrado. Por ello es necesario para concretar correctamente la teor*a del observador de bucle) realizar una e&plicación preliminar de la realimentación de estados) necesario para el !uncionamiento de nuestro predictor.
3.1.1 Realimentación de estados
El objetivo de la realimentación de estado es) partiendo del comportamiento del sistema original) modi!icarlo para que cumpla ciertas especi!icaciones. - Para ajustar el régimen transitorio) +ealimentación de estados. En algunos casos) las variables de estado no son medibles directamente y es donde surge el concepto de ,bservador de estados. - Para ajustar el régimen permanente) e&isten dos !ormas donde el integrador se destaca como la más notable aunque también e&iste la posibilidad mediante una ganancia proporcional.
Dado un sistema lineal e invariante
%i realimentamos el sistema de !orma que pasemos de un sistema en variables de estado de lazo abierto) a otro de lazo cerrado las ecuaciones se modi!ican de la siguiente manera
l realimentar) "a cambiado la matriz del sistema) siendo la nueva matriz
/0 1 -234.
%e pueden cambiar las propiedades del sistema eligiendo adecuadamente la matriz r deseada y despejando la matriz de realimentación 4 necesaria para ello. %in embargo) no siempre será posible modi!icar el sistema a voluntad. 5 %i el sistema tiene una parte no controlable) no se podrá modi!icar como se desee. De igual modo) si no es observable) no se puede controlar puesto que no se puede acceder al estado para realimentarlo. El primer paso consistir*a en la e&tracción de la parte controlable y observable) puesto que será la 6nica con la que se pueda trabajar. En lo sucesivo de nuestra e&plicación teórica) se asumirá que trabajamos con sistemas controlables y observables.
Partiendo de una !unción de trans!erencia cualquiera
'na de las posibles representaciones en el espacio de estados es la de variables de !ase.
7ariables de !ase
%i el sistema está en variables de !ase
l realimentar) el sistema en bucle cerrado queda
8omo se puede observar) las matrices 2 y D no cambian. (a nueva matriz quedará
Es decir) el nuevo polinomio caracter*stico del sistema es
(a dinámica del sistema depende de este polinomio) por lo tanto) gracias a la realimentación del estado podemos modi!icar la dinámica del sistema. %i al realimentar) deseamos que el polinomio caracter*stico del sistema en bucle cerrado sea
Este es el polinomio caracter*stico deseado. partir de las especi!icaciones deseadas para la respuesta transitoria del sistema) calcularemos la posición que deben tener los polos del sistema realimentado) y ello nos llevará al polinomio deseado. Especi!icaciones del transitorio
•
9iempo de respuesta Es el tiempo que la respuesta tarda en alcanzar por :; vez el valor !inal
•
%obre oscilación Es la di!erencia entre el valor má&. de la respuesta y el valor !inal. Esta di!erencia se suele e&presar en tanto por cien. El má&imo se alcanza en el instante tp #tiempo de pico$.
8omparando el polinomio obtenido al realimentar con el deseado) podremos calcular el valor de los coe!icientes de la matriz de realimentación
8alculando adecuadamente los coe!icientes de la matriz de realimentación) conseguimos modi!icar el polinomio caracter*stico del sistema #posición de los polos$ y) por tanto) podemos modi!icar la dinámica del sistema para que cumpla unas ciertas especi!icaciones. (os coe!icientes del numerador de la !unción de trans!erencia siguen siendo los mismos que ten*a el sistema sin realimentar. (a realimentación del estado no modi!ica la posición de los ceros del sistema. o %i se modi!ica la posición de los polos y no se modi!ica la posición de los ceros) cambia la ganancia estática del sistema) lo cual desajustará el régimen permanente. Para ajustar el régimen permanente debemos incluir un integrador o bien calcular la ganancia proporcional necesaria para ajustarlo.
%istema cualquiera #c0ermann$ %i partimos de una representación cualquiera del estado del sistema a controlar) será necesario realizar una trans!ormación a variables de !ase para poder calcular adecuadamente los coe!icientes de la matriz de realimentación. %i el sistema no está en variables de !ase tendremos que realizar un cambio de variable para pasarlo a variables de !ase y calcular los valores 4. Después des"acemos los cambios. 8uando el sistema está en variables de !ase) en n6mero de ecuaciones es igual al n6mero de incógnitas # e igual al orden
