UNIVERZITET U BIHAĆU TEHNIČKI FAKULTET lektro otehnika hni ka Odsjek: E lektr nfor mati ka Smjer: I nfor
SEMINARSKI RAD IZ PREDMETA OBRADA DIGITALNIH SIGNALA Tema: Obrada signala u blokovima i obrada uzorak po uzorak
Predmetni nastavnik:
red. prof. dr. Budimir Mijović
Predmetni asistent: mr. Amel Toroman, dipl. ing. el.
Akademska godina: 2017/2018.
Student: Amira Midžić Broj indeksa: 985
Popis slika Slika 2.1 Diskretni sistem ................................................................................................................. 5
Slika 2.2: Teorema o dužini konvolucijske sume ............................................................................ 7 Slika 2.3: Konvolucijska tablica................................................... .................................................. 10 Slika 2.4: Izgled danog primjera u komadnom prozoru MATLAB-a ............................................ 11
1
Sadržaj 1.
Uvod .................................................. ........................................................................................ 3
2.
Obrada signala u blokovima ................................................. .................................................... 4
3.
2.1
Konvolucijska sumacija ................................................. .................................................... 5
2.2
Direktni oblik konvolucije ................................................................................................. 6
2.3
Matrični oblik ........................................................ ............................................................ 9
2.4
Konvolucijska tablica ...................................................................................................... 10
2.5
Konvolucija u MATLAB-u ............................................................................................. 11
Obrada signala uzorak po uzorak ................................................... ......................................... 12 3.1
Obrada signala uzorak po uzorak – direktni oblik ........................................................... 12
4.
Zaključak ................................................................................................................................. 13
5.
Literatura ................................................................................................................................. 14
2
1. Uvod Ovaj seminarski rad objašnjava na koji način se vrši obrada signala. Obrada signala bavi se predstavljanjem, transformacijom i manipulacijom signala, odnosno njihovih sastavnih dijelova -
informacija. Iz nekog signala može se izdvojiti jedna ili više komponenti po želji. Signali mogu biti obrađeni u blokovima – odvojeni na blokove određene dužine, ili uzorak po uzorak, odnosno, u realnom vremenu, jedan po jedan signal. Oba načina obrade signala bazirana
su na korištenju konvolucijske sumacije pobude – ulaznog signala, te sistema koji je obično predstavljen funkcijom ili jednačinom. Obrada signala u blokovima i obrada signala uzorak po uzorak imaju svoje prednosti i mane, te svoju primjenu.
Seminarski rad prati pripadajuća pr ezentacija.
3
2. Obrada signala u blokovima Kod obrade signala u blokovima, svi podaci se skupljaju i obrađuju u blokovima. Neke
tipične primjene su kod sljedećih: -
FIR filtri signala konačnog trajanja konvolucijom
-
brza konvolucija dugih signala koji se razdijele na kratke segmente
-
izračuni u spektru Fourierove transformacije
-
analiza i sinteza zvuka
-
obrada slike
Što se tiče obrade signala kod FIR filtera (filtera s konačnim impulsnim odzivom – eng. Finite Impulse Response) konačnog trajanja konvolucijom, primjenljiva je kod svakog oblika konvolucije, odnosno kod: -
direktnog oblika konvolucije
-
konvolucijske tablice
-
matričnog oblika
-
drugih oblika.
Konvolucija je proces preklapanja dva signala. Konvolucijom se dobija pun vektor ili matrica
veličine izvornog signala Svaki od oblika konvolucije ima svoje prednosti i mane. Direktni oblik vodi do realizacija
filtera preko blok dijagrama i odgovarajućih obrada signala uzorak po uzorak. Konvolucijska tablica je dobra za brze ručne izračune. Matrični oblik vektorski prikazuje operaciju filtriranja i ima široku primjenu u obradi slike.
4
2.1
Konvolucijska sumacija
Diskretni sistem moguće je opisati pomoću konvolucijske sumacije. Analogni ulazni signal se
uzorkuje i skupi se određen konačni broj uzoraka koji se označi sa . Trajanje procesa uzorkovanja označava se sa:
= gdje je T vremenski interval uzorkovanja, povezan s brzinom uzorkovanja formulom:
= 1
Broj uzoraka L može se predstaviti formulom:
= u(n)
0
1
L-2 L-1
2
n
T L Slika 2.1 Diskretni sistem
Odabrani uzorci mogu se posmatrati kao blok:
= [,,...,− ]
koji se dalje može
obrađivati digitalnim filtrom. Formula koja opisuje jednačinu filtriranja LTI sistema (eng. Linear time invariant – vremenski nepromjenjivi linearni sistemi) je:
y (n)
u ( m) h( n m) m
5
2.2
Direktni oblik konvolucije
Posmatra se kauzalni FIR filtar M-tog reda čiji je inpulsni odziv
ℎ(), = 0,1,..., . On se
može predstaviti sljedećim blokom:
ℎ = [ℎ,ℎ,....,ℎ ] Njegova dužina je:
= 1 Koraci za određivanje direktnog oblika konvolucije ovakvog filtra su: 1. korak: odrediti dužinu konvolucijskog signala (teorema o dužini konvolucije)
2. korak: odrediti kako se kreće - područje vrijednosti za svaki
3. korak: uvrstiti vrijednosti u formulu
Formula koja definira direktni oblik konvolucije ovakvog filtra je sljedeća:
( ) = za
= 0,1,... 1
min(,)
∑
max(,−+)
ℎ()()
Teorema o dužini konvolucijske sume
Iz formule se vidi da indeks od h(m) mora biti u intervalu mora biti u intervalu
0 ≤ ≤ – 1.
0 ≤ ≤ , a indeks od x(n-m)
Kad se doda m i lijevoj i desnoj strani dobije se:
≤≤1 Kad se to proširi sa prvom nejednakosti dobije se:
0≤ ≤ ≤1≤ 1 Iz toga slijedi:
0≤ ≤1 Dalje se zaključuje:
= Odnosno:
= 1 Dužina konvolucijske sume jednaka je zbiru dužina ulaznog signala i impulsnog odziva i jedinice.
6
Slika 2.2: Teorem a o dužini konvolucijske sum e
Područje vrijednosti
određuje se iz formule: 0≤≤1
Kad se promijeni predznak dobije se:
( 1) ≤ ≤ 0 Kad se na obje strane doda n dobije se:
1≤ ≤ Iz toga slijedi da m mora zadovoljiti nejednakosti:
0≤≤ 1≤ ≤ Primjer 2.1. Ako se uzme FIR filtra reda 3, ulazni signal od 5 uzoraka, odrediti izlazni blok. Izlazni blok je dužine 5+3 (indeksi od 0 do 7)
ℎ = [ℎ,ℎ,ℎ,ℎ3] = [,,,3 ,4] = [,,,3,4,5,6,] On se računa sljedećom formulom:
min(,3)
() = ∑ ℎ()() max(,−4)
=0,1,2,….,7 7
Dobije se sljedeći oblik: y 0 = h 0 u0 y 1 = h 0 u1 + h 1u 0 y 2 = h 0 u2 + h 1u 1 + h 2 u 0 y 3 = h 0 u3 + h 1u 2 + h 2 u 1 + h 3u 0 y 4 = h 0 u4 + h 1u 3 + h 2u 2 + h 3u 1 y 5 =
h 1u 4 + h 2u 3 + h 3u 2
y 6 =
h 2u 4 + h 3u 3
y 7 =
h 3u 4
8
2.3
Matrični oblik
Matrični oblik izraza za konvolucijsku sumaciju predstavlja se formulom:
= -
H je matrica sastavljena iz koeficijenata impulsnog odziva filtra
-
ulazni vektor je dužine L (dužina od h)
-
izlazni vektor je dužine L+M
-
s obzirom na dimenzije ulaznog i izlaznog vektora, matrica H mora imati dimenzije dimenzija
-
()
stupci u H su replike bloka impulsnog odziva h
To izgleda ovako:
y y y y y y y y y
0
1
2
3
4
5
6
7
h h h h 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
h0
0
0
0
2
h1
h0
0
0
3
h2
h1
h0
0
h3
h2
h1
h0
0
h3
h2
h1
0
0
h3
h2
0
0
0
h3
u u u u u
0
1
2
3
4
H u
Koliko ima ulaznih uzoraka, toliko ima stupaca.
9
2.4
Konvolucijska tablica
Svaki uzorak yn je suma svih mogućih produkata hi i u j za koje vrijedi
= . Ovo
direktno vodi do stvaranja konvolucijske tablice koja izgleda ovako:
Slika 2.3: Konvolucijska tablica
ℎ za taj red. Nakon toga tablica se „savija“ po svojim dodatnim linijama. U -oblasti, uslov = predstavlja -tu dodatnu ravnu liniju. Svi signali po dijagonalnoj liniji se sabiraju da se dobije U n-tom redu tablice množi se x uzoraka odgovarajućeg uzorka pobude
izlazni signal.
10
2.5
Konvolucija u MATLAB-u
U programskom paketu i jeziku MATLAB (eng. matrix laboratory), naredba za konvoluciju je conv(). Primjer upotrebe te naredbe je:
subplot(221) stem(nx1,x1); title('Signal x1'); subplot(222) stem(nx2,x2); title('Signal x2'); subplot(2,2,[3,4]) stem(ny,y); title('Konvolucija signala x1 i x2') x1= [4 3 -6 8 -4]; x2= [1 1 -1 2 -4]; nx1=(0:length(x1)-1); nx2=(0:length(x2)-1); ny=0:length(x1)+length(x2)-1-1; y=conv(x1,x2);
Slika 2.4: Izgled danog primjera u komadnom prozoru MATLAB-a
11
3. Obrada signala uzorak po uzorak Osim po blokovima, signali se mogu obrađivati uzorak po uzorak. Tad se svi podaci obrađuju jedan po jedan. Svaki ulazni signal obradi algoritam za digitalnu obradu (DSP algoritam – eng. Digital Signal Processing ) i transformira ga na izlaz
Ovakav način obrade signala našao je upotrebu u sljedećim oblastima: -
real-time aplikacije
-
obrada efekata na digitalnom zvuku
-
digitalni kontrolni sistemi
-
adaptivna obrada signala
3.1
Obrada signala uzorak po uzorak – direktni oblik
Realizacija ovog oblika obrade signala slijedi direktno iz konvolucijske sumacije za
< ∞, = ∞ () = ∑ℎ[][]
U ovom slučau uvode se varijable stanja w0(n), w1(n), w2(n), ..., wM(n) Uvrštavanjem u formulu dobije se: w 0 (n) = u(n) w 1( n) = u(n -1 ) = w 0 (n -1 ) w 2( n) = u(n -2 ) = w 1 (n -1 ) w 3( n) = u(n -3 ) = w 2 (n -1 ) ... w M (n) = u(n -M ) = w M -1 ( n -1 )
Novi zapis konvolucije izgleda ovako:
() = ∑ℎ()()
Prednosti ovakvog načina traženja konvolucijske sume su sljedeće:
-
svi članovi sumacije odnose se na isti
-
svi su dostupni za obradu u jednom koraku .
w0(n) predstavlja trenutni ulazni uzorak, a wi(n), i = 1, ..., M su trenutni iznosi elemenata za kašnjenje. 12
4.
Zaključak
Postoje dva načina obrade signala. Prvi način obrade signala je u blokovima. Signali se uzorkuju i razvrstaju u blokove određene dužine. Na taj način se brže i lakše na njih primijeni formula za konvolucijsku sumu i vrši se njihova obrada, Drugi način obrade signala je uzorak po uzorak – jedan po jedan signal. Ovaj način je tehnički teže izvodiv, ali ima veliku primjenu u sistemima u realnom vremenu.
13
5. Literatura 1. dos.zesoi.fer.hr/predavanja.html,
Digitalna
obrada
signala,
predavanja,
Fakultet
elektrotehnike i računarstva, Zagreb 2. Sophocles J. Orfanidis: Introduction to Signal Processing (poglavlje 4: FIR Filtering and Convolution)
14
