Nuno M. M. Maia Introducao a Mecanica Analitica

FIGURA

4.7

Trata-se de um sistema com 3 graus de liberdade, supondo que não são possíveis movimentos no plano horizontal. Podem escolher-se para coordenadas generalizadas z, ()e
A energia cinética é T

1

2

1

·2

1

·2

= -mi + -J e + -J
2

2

A fim de se escrever a energia potencial elástica, convém definir coordenadas auxiliares (de ligação), junto a cada uma das molas, zi, z 2 , z 3 e z 4 :

É necessário relacionar as coordenadas de ligação z1, z2, z3 e z, q2 e q3 :;;:;
=

=()

81

z4

com as coordenadas que tem sido usada,

D

PR NCÍPI

DF;;

AM

N

1\

E

lJ

i=l,2,3,

ES D

LAGR

NGE

cada um apenas com uma

o, o, o, o, Para se relacionar z1, z2, z3 e z4 com z, () e , deslocado no sentido de z e rodado de () e



sen () ;::::; Admitam-se deslocamentos de pequena tal que se possa por exemplo, a extremidade de coordenada z 1 sobe z, desce aB devido à rotação segundo () e desce devido à rotação segundo efy. Raciocinando analogamente para as outras extremidades, obtêm-se as equações de constrangimento seguintes: tg() ~ ().

z1 z2 z3 Z4

= z - aB = z + aB - a
FIGURA

(4.80)

4.8

Estas equações são do tipo das equações isto é, representam ligações holónomas (em particular, esclerónomas). Substituindo-as na expressão da energia potencial, obtém-se:

V=

~k 2

1 2

= -4k

- aB -

+ (z + aB -

+ (z - aB + aefy) 2 + (z + aB +

(z 2 + a 2 (J2 +

Note-se que neste exemplo a atribuição das forças generalizadas não-conservativas associadas a cada grau de liberdade não é directa, uma vez que está aplicada numa

E

extremidade

UA

L

Para determinar as

ter-se-á que utilizar a 4

i=l

=0 =0 =0

= (0,0, e, de acordo com

e

resulta:

donde

Alternativamente, pode desde logo escrever-se que o trabalho virtual das -conservativas é dado por

não-

OWnc = e, tendo em conta (4.80),

ôWnc = O trabalho virtual escrito em termos das por

(ôz + aoB + ao
(4.83)

e coordenadas

oz+

a

obtêm-se as

(4.84)

e

tal como em

DO PRINCÍPIO DE H

LT

EQUAÇ

N

ESDEL

GRANGE

que neste caso se reduzem a d

dt

av

+-=

obtêm-se finalmente as equações de

k

= 1,2,3

do sistema: mz+4kz =

+ +

EXEMPLO

4.2.4

Considere-se o sistema da figura 4.9. A barra é e suposta sem massa e ao desta desliza (sem atrito) uma corrediça de massa m, ligada à articulação através de uma mola de rigidez k. O sistema tem, pois, 2 graus de liberdade, que podem ser expressos pelas coordenadas q1 e q2· Pretende-se determinar as equações de equilíbrio dinâmico, pelas equações de Lagrange.

:FIGURA

4.9

A energia cinética é dada por

em que o primeiro termo representa a energia cinética de translação, e o segundo termo, a energia cinética de rotação. A energia potencial será:

Note-se que neste exemplo existe uma dependência explícita da energia cinética em relação à coordenada q1 . As equações de Lagrange são d dt

- ar + av

= o,

i

=

1, 2

E

U

GE

ÕES DE LAG

Calculemos cada um dos termos:·

ar DiJ.1

d dt

==> -

=

=

8T 8q1

av

8q1

8T

=

- mgcosq2 d

==> dt

=

+

As equações de equilíbrio são, portanto: mq1 - mq1q~

+ kq1

- mgcosq2 =O

+ 2mq11]2 + mgsenq2

=O

(4.85) (4.86)

Note-se que o segundo termo de (4.86) é uma força de Coriolis, já que existe um movimento de translação (da massa m) em relação a um movimento de rotação (de transporte) da barra. É de salientar a forma como todas as componentes das forças de inércia surgem naturalmente a partir da energia cinética, sem ser necessário contabilizar todas as componentes das acelerações em jogo.

Cabe aqui resolver o problema pela mecânica vectorial, para que se possa compreender como neste exemplo a resolução se torna consideravelmente mais complicada. A fi.m de calcularmos as forças de inércia, é necessário calcular a aceleração absoluta da massa m, no referencial de inércia. Como m tem movimento relativamente à chamemos P ao ponto pertencente a m, e S ao mesmo ponto (coincidente com P na posição ilustrada na figura mas pertencente à barra.

Da mecânica vectorial, quando temos movimentos em referenciais não-inerciais (não-galilianos), sabemos que a aceleração absoluta de P, aP, será

em que as é a aceleração absoluta de ap;s é a de P em relação a Se ac é a aceleração de Coriolis. Convém, aqui, decompor as acelerações segundo as

85

DO

RINC

O

EH

MILTON

SE

U

ES DE I,AGRANGE

10

Como ac

X

a sua

ap, =as,+ ap;s, + ac apn =as,,+

O valor absoluto da aceleração as, é . Como a massa desliza segundo a direcção n, ap;s, = O. A velocidade relativa , donde o valor de ac é igual a Portanto, o valor da componente tangencial do ponto P é ap,

=

(4.87)

O valor absoluto da aceleração centrípeta as,, é -q~q 1 e o da aceleração relativa ap;s,, é ii1. Portanto,

(4.88)

(4.87) e (4.88) pela massa m e trocando os sinais, temos as forças de inércia respectivas:

Se a estas forças adicionarmos segundo a direcção normal a força da mola -kq1 e a componente do peso mg cos q2 e segundo a direcção "ª"'ft'.'=""'"'" a componente do peso -mg sen q2 , obtemos as equações e em que todas as intervêm, devido à existência de uma Hgação reónoma.

86

cinética

E

DAÇÕES

E

AG

ANGE

EXEMPLO 4.'.~L5

Considere-se o sistema na a um disco rotativo de inércia J e com velocidade através de molas e amortecedores.

em que uma massa m está constante de módulo

11= J FIGURA

l

Pretende-se conhecer as equações de equilíbrio dinâmico em vibração livre, isto é, sem forças externas aplicadas à massa m. Supõe-se, sim, que aquela é deslocada inicialmente para uma determinada posição não-coincidente com o centro do disco e largada de seguida, estando o disco em movimento. A massa m tem duas possibilidades de se movimentar, segundo x e y. Existe também o movimento global de rotação, mas de facto não conta como grau de liberdade, pois é conhecido à partida. O sistema tem, pois, dois graus de liberdade. O sistema de eixos xy é fixo e o sistema q1 q2 é móvel, solidário com o disco. Escolhendo como graus de liberdade as coordenadas generalizadas q1 e q2 , e imaginando a massa m deslocada ligeiramente da sua posição inicial segundo os sentidos positivos de q1 e q2 , não seráporventura-muito difícil chegarmos à conclusão de que a energia cinética do sistema é dada por

+ ~1n2

1

T=-m 2

2

(4.89)

No entanto, admitindo que este resultado não é evidente e que convém explicar como se chega de uma forma geral (mais ainda, para casos mais vv,,u~nn,ª""''v" vamos deduzir da energia cinética l

N

2

3

T= 2'

+

mi i=l j=l

87

D

PRINCÍP O DE HAMH"TON ÀS EQU AÇ

S DE LAGRANGE

= m, m2 =

e, como o vector de de t, então n = 2. Donde:

r, é

1

T=

2

da massa m,

2

3

2

vv'"""'v

+

mi

i=l j=l

É

relacionar os dois sistemas de eixos. É sabido que essa ,...,,,,u·,,..,, é feita através de um """'"',.111u- de pura, expresso por uma matriz caso 2 x tal que:

{

:~

cos (}

}= [

senB cos ()

- senB

donde:

Para a massa m e inércia

temos, respectivamente: X11 =X {

Substituindo (4.91), e como

X12

=Y

X13

=Ü

{

X21

=

X22

=Ü

X23

= ()

Ü

e= fU, os termos não nulos são dados por X12

= =

X23

= Ot

X11 {

qi qi

cos ru sen fU

Desenvolvendo (4.90), obtém-se:

T=~

2

88

-

sen Ot + q2 cos Ot q2

(4.92)

EQUAÇÕES DE LAGRANGE

De

temos:

= cosfU

=

senfU -

at

cosflt

-·- = senfU

-8 = cosfU q2

cosfU -

senüt

=0

=Ü

Substituindo em

-senflt

-=!J

8t

obtém-se o resultado expresso em 1

T=-m 2

Devido à configuração do sistema, convém expressar a potencial elástica ciada às molas) em relação ao referencial , que é solidário com o disco, mas faz um ângulo de 45° com o referencial q1 q2 . Assim, no referencial , temos simplesmente:

V=

1

1

2' (2k2)

+ "2

A relação entre os dois referenciais é

} = [ cos45º

{

-sen45º

sen45º cos45º

donde:

+ Em refação à função dissipação de Rayleigh, podemos utilizar de imediato o referencial q1 q2, uma vez que os amortecedores estão segundo esses eixos:

1

+-2 as equações

Sabidas T, V e d

dt d

dt

89

DO PRINCÍPIO D

AM

ON

SE

UA

S DE LAGRANGE

Calculemos os vários termos: ===} -

d

=m

dt

+

+

+

e, para a segunda

8T 8q2 ôT

1

(2

d dt

+

+

=m

)) ===} -

1

-=-m

2

Substituindo em

obtém-se:

+

- ki) q2 + 2c1 q1 = O

+

q2

+ 2c2iJ2 = O

Na forma matricial, temos:

[ ; ~ J { ~: } + [ 2 ~n -2;;n J { ~: } + [ -~n 2 + [

=

ki

ki

~ ki

] {

+

+

~~

}

+[ o

+

+

o ]{

o J { :: }

~~

}= {

~

}

(4.95 )

=0

em que e C são as matrizes de massa, e Ki é uma matriz de almente encontramos, G é a matriz gi:roscópica co1Tetmo1ndenl;e às forças centrifugas devidas ao movimento de e K 2 costumam agrupar-se numa única matriz de dinâmica. Do de vista da

90

EQU A

ÕF;s DE L

R

N

E

mas formalmente não tem uma natureza ea uma natureza conservativa.

-2mn o

+

J{

~~

}

]{

:~

}+[ o

+

+

o]{~~}={~}

=0

Se quiséssemos identiflcar as várias parcelas constituintes da energia cinética, e a mas uma simples análise podíamos utilizar as suas expressões (equações do desenvolvimento de (4.89) permite-nos imediatamente reconhecer aquelas obtém-se: Assim, desenvolvendo

T=~

+

+

2

donde

Estas expressões, bem como as da energia potencial e da potência dissipada podem ser escritas na forma matricial:

To=

1

2 { q1 =~{

2

V=

1

2 { q1 F=

q2 }

[ ~ ~]{:~} l[2~n

41

42

=

!2 {

41

}

[

q2

!2 { eh

42 }

-2m0

o

[~

+

k2 -

. } [ 2c1 q2 o

1

+2

]{

q1 } q2

=

1,TG q -q 2

~] {iJ.241

]{ o ]{42

- ki

+

1

+2

q1 q2

ili

91

} = -q 1,Tc·q

2

DO PRINCÍPI

DE HAMILTON ÁS E

UAÇÕES DE LAGRANGE

Podemos utilizar esta forma matricial nas tituir T por + + T2 em

:!:_(8(T0 +

dt

8q

Na

Comecemos por subs-

de

+T2))_8(To+T1+T2)+8V 8q 8q

é sempre nulo e, neste

4.2.4 este termo não era

~~,,u,1n~,

+

=O

também é nulo

) +-+-=0 av

:!:_ (â(T1 +T4))- 8(To + dt âq 8q

8q

Como To depende apenas de q, podemos juntá-lo a que designamos por potencial dinâmico:

:!:_ (8(T1 +T2 ) ) - _ dt âq âq

8q

definindo o escalar V* =V -

+ 8V* +_=O âq âq

(4.97)

calculemos cada um dos termos de (4.97):

Tendo em conta

Substituindo em (4.97), obtém-se: -lG.q+ M"" q- ( - 1

2

2

=0

+

ou, finalmente,

Mq+Gq+ com K*

exem-

Donde se obtém:

+

= K - 0 2 M. 92

=0

EQU

E L

ÇÕE

querer identificar os vários 4.2.1:

G

de

NGE

tal como

de inércia em

de inércia de

=

= Forças de inércia relativas:

F = -~dt (8T2) 8T2 8q + 8q R

=

-~ (~ (~c{Mq)) + ~ dt 8q 2 8q d

dt

=-Mq

Forças de inércia complementares:

8 +-. 8q

8 +8q

(1

-qTGT·) q

2

(l

-q·TG q )

2

DO PRINC PIO DE HAMLLTON ÀS EQU

4.2.2

ÇÕES

E L

GR

NG

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

um sistema tem um certo número de co:ns1;ra,nJQ;m1er1tc•s, d.ig:'trrtos m, vimos que as ser substituídas iniciais em termos das variáveis que descrevem a do chegando directamente e sem dificuldades às de Lagrange apenas em das n coordenadas generalizadas. Isto acontece desde que os dependentes do ou No c:Hca1au ~•wn~·n.,_,,~ são anolónomos Neste caso, o método dos de Lagrange permite dar uma resposta ao SaHente-se que este processo é geral, quer se trate de ligações holónomas quer anolónomas. Para estas recordam-se as equações de constrangimento, que apenas podem ser escritas em relação a transformações elementares ( cf. equação 3N

=

I:

=0,

+

i=l,2, ... ,m

k=l

em que 'Yik = ,x2, ... X3N,t) e ai= ai mentas virtuais, temos:

,x2, ... X3N,t).

Em termos de desloca-

3N

=

I:

"fikÔXk

= Ü,

= 1, 2, ... , m

i

(4.98)

k=l

Supõe-se à partida o sistema completamente livre, sem quaisquer constrangimentos, com os seus-por exemplo-3N graus de liberdade e adiciona-se-lhe a energia necessária para que aquele se mova de acordo com os constrangimentos existentes. Tendo o sistema 3N graus de liberdade, as 3N coordenadas x confundem-se neste caso com as coordenadas generalizadas q, pelo que se pode escrever as equações (4.22) e como: 3N

=

I:

+ aidt =O,

i=l,2,. .. ,m

(4.99)

k=l

3N

=

I:

=Ü,

i

=

1,2, ... ,m

k=l

Suponhamos, sem de que as ligações não têm atrito. Se tiverem, as respectivas forças entram naturalmente no membro das equações de Lagrange, visto serem não-conservativas. Em consequência, quando se consideram deslocamentos as forças associadas aos constrangimentos não produzirão trabalho.

94

EQUAÇ

ESD

,_,,,,,,~;1wcucctu essas zern será nulo:

L

por

GRANGE

o trabalho virtual total que elas

3N

=Ü k=l

em que os deslocamentos virtuais Consideremos em seguida m factores (i = 1,2, ... ,

UH.UU,,,,.,v~

de

3N

= O,

i

= 1, 2, ... , m

k=l

Adicionando as m equações (4.102), obtém-se: m

3N

L:L:

=0

i=l k=l

Subtraindo

103) de (4.101), obtém-se: (4.104)

Note-se que os 3N valores óqk não são todos independentes, dado que estão relacionaafirmar-se de imediato que os dos pelas m equações (4.100). Não é, portanto, coeficientes de óqk, em (4.104), são to 'os nulos. Por outro lado, os m multiplicadores Ài foram considerados independentes ( ·bitrários). Imaginemos, sem perda de generalidade, que dos 3N valores oqk são os " primeiros que não são independentes. Então, poderá escrever-se: 3

+

(4.105) k=m

Como os m multiplicadores Ài são arbitrário. podemos escolhê-los de tal forma que cada parcela do primeiro somatório nula, isto m

= 1,2, ... i=l

95

,m

DO PRINCÍPIO DE H

LTON ÀS EQU

, os

ES DE LA

Ç

são

RANGE

que cada

se

m

k

= m + 1, m + 2, ...

, 3N

i=l

De

e

condui-se que afinal é verdade que m

k= 1,2, ... ,3N i=l

embora este resultado não fosse

de

a

Em condusão, verificamos que as forças generalizadas associadas aos constrangimentos ~.w ~···~~ ou podem ser dadas pelas equações e, portanto, ser indulÍdas· na expressão das equações de Lagrange (equação ..

...

k

= 1,2, ...

k

=

,n

(4.109)

ou

= Qk,

1, 2, ... , n

em que neste caso os n graus de liberdade serão todos os 3N iniciais. Note-se que temos n equações, mas n + m incógnitas, nomeadamente n incógnitas q e m incógnitas À. São, pois, necessárias mais m equações, que são as equações de ligação: n

"/ikdqk

+ aidt =O,

i = 1, 2, ... , m

k=l

que também se podem escrever alternativamente como: n

+ai= O,

i

= 1, 2, ... , m

k=l

No caso das ligações serem holónomas, os coeficientes "lik e equações de constrangimento, isto é, sendo estas do tipo

ai

são derivadas parciais das ,qn,t) =0,

,q2, ...

n

=

(4.113) k=l

96

E

com

"fik

=

UAÇÕ

SDELAGR

NGE

Nestas

de

passam a ser:

ar av a:;:: --+-+--

d

dt

k;

=

8qk

Neste caso, as generalizadas OC!Jl<.,WCL, este ser incluído na º'"'""""'"' aumentado, ou modificado, V':

= 1, 2, ...

,n

ser derivadas de um

m

=Vi=l

e as equações de Lagrange tomam o seguinte aspecto, formalmente idêntico ao das equações (4.52): k

= 1, 2, ...

,n

(4.116)

Os próximos exemplos permitem esclarecer a aplicação e a utilidade do método agora exposto, nomeadamente porque evidenciam que os multiplicadores de Lagrange significam fisicamente reacções nos apoios, pelo que este engenhoso processo é vantajoso não só quando o sistema tem ligações anolónomas, mas também quando se pretendem calcular simultaneamente as forças de reacção. EXEMPLO

4.2.6

Retomemos o exemplo 4.2.2 e resolvamo-lo pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos supor à partida que não existem as restrições de as duas massas se deslocarem segundo a horizontal, como mostra a figura 4.12.

FIGURA

4.12

graus de liberdade. Porém, O sistema é, pois, considerado à partida como tendo como existem dois constrangimentos, o sistema terá efectivamente dois graus de liberdade, q1 e q2 . Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, teremos que adicionar ao

97

DO

RINC

O DE HAMILTON As

vWv•f''A~ associada aos co1Te/';po,naen1;e ao rei:1re1;;entacto neste caso bastante u'"'"V"·~u.

{

q3

Õ

QUA

DE 1:,AGRANGE

·an,g1111e1ritc1s para que este tenha ils de

= qo = const.

~

q4 = qo = const.

{ li = q3 = q4 -

o cu.mj_;u1·1,acm:m

qo = O qo =O

É fácil reconhecer que estes são holónomos em nomos). não seria necessário utilizar o método dos de Lagrange. No entanto, este sempre ser utilizado e vamos aµ;,,1..,ac-1v demonstrar a sua utilização. Recordemos a ..,...,,"""'""v 3N

+

=O,

i

=

1, 2, ... , m

k=l

Neste caso, como temos 4 graus de liberdade à temos efectivamente:

e as ligações são esclerónomas,

4

=o,

i

=

1, 2

k=l

Desenvolvendo, dfi

= /'11 dq1 + 1'12dq2 + ')'13dq3 + = /'21 dq1 + /'22dq2 + ')'23dq3 +

ou, na forma matricial,

{ em que, como

dfi /'11 dh } = [ /'21

/'12

/'13

/'14

/'22

/'23

/'24

dq1 dq2 dq3

]{

é uma diferencial exacta, /'ik = a f;/ aqk.

Concretizando: ~1=0

~2=0

~3=1

/'w=O

~1=0

')'~=0

~3=0

~4=1

A energia cinética será

98

}

EQUA

ÕESDELAGR

A

V=l

2

A

é

Calculemos os vários termos de 8T . d =m1q1 ==? 841 dt

ar

-8q1 =o

av

= k1q1

+

8:F âiJ1

obtém-se:

Substituindo em

m1ih + k1q1 + {

-k2 +m1g+ +m2g+

99

NGE

D

PRINCÍPIO DE HA

Tendo em conta

QUAÇ

ILTON

que

=O e ij4 =O,

11

ESDELAGRANGE

+

+

tiplici:tdo,res de das massas, e as equações no exemplo 4.2.4. Uma vez que as ligações são holónomas, em alternativa definir o oote11ci,aJ aumentado (equação e aplicar as equações 1 2

EXEMPLO

4.2. 'f

Suponha-se o sistema representado na figura 4.13, constituído por dois discos de massa m (considerada concentrada no que rolam sem escorregar no plano xy. As coordenadas x e y dão a posição do centro de massas e o ângulo a a orientação do eixo. Inicialmente, o centro de massas encontra-se na origem do referencial, com velocidade linear v 0 segundo x. Temos, ainda, as seguintes condições iniciais: a(O) =O e a(O) = w. Pede-se para determinar as equações de movimento e a trajectória do centro de massas. z

y

X

FIGURA

100

18

E

UAÇÕ

DE "L

NC;E

G

que o centro ao do dx

da

em cada s. Existem

= cosads = senads

donde: senadx - cosa

=O

xsen a - y cos a = que

O

..-·~v~·~ anolónoma existente. Em termos de coordenadas

a x, y e a. A total do sistema, colocada no centro de massas, e à inércia das massas em '"''""'º"'"' ao mesmo centro:

T=~

2

= m (±2 + A energia potencial é constante, uma vez que o centro de massas mantém a sua cota vertical. Como aquela se define a menos de uma constante, podemos tomá-la como nula. Comparando a equação de constrangimento (4.119) com 1'11 =sena /'l2

=-

/'13

=o

cosa

Temos ainda: 8T 8i: 8T

= 2mi:

8y 8T

ªª

obtém-se: 2mx - À sena= O +À sena= O

=Ü

101

vemos que

D

P

INCÍPI

Primitivando

DE HAMIJ~T

N À.

EQU

ÇÕES DE LA

R

NGE

obtém-se: ã

= const. =

+ c2

c 1 ===}a=

a =wt Ó=W

substituindo em

vem

e

x

..

= - À senüJt

..

À = --coswt

y

2m

2m

.

À

x = - - - coswt + c1

2mw

.

y

(4.124)

À 2mw

= - - - senwt + c2 obtém-se o

(x(O) = vo e

Aplicando as condições iniciais nas equações seguinte resultado:

Substituindo em (4.124), .

À

x = --(1- coswt) + vo 2mw .

y

= ---senwt 2mw

Falta considerar a equação de constrangimento. Substituindo

( _>._(1- cos 2mw

(4.125)

À

À

em

senwt + - - senwtcoswt =O

+

2mw

donde À=

vem:

E

Substituindo em

UA

ÕES

E

AG

NGE

obtém-se:

x = vocoswt y = vo senwt

Primitivando e tendo em conta que

=0,

Vo w Vo y = -(1 - coswt) w

x

= -senwt

Eliminando o tempo entre estas duas equações, obtemos a trajectória:

Como facilmente se reconhece, trata-se da equação de uma circunferência com centro em x =O e y = V0 /w e raio r = v0 /w. O multiplicador de Lagrange representa, neste caso, a força centrfpeta associada ao movimento.

4.3

PROBLEMAS

4.1 Determine a equação de equilíbrio dinâmico do sistema apresentado na figura 3.9, usando as equações de Lagrange.

4.2 Determine a equação de equilíbrio dinâmico do sistema apresentado na usando as equações de Lagrange.

4.3 Determine a equação de equilíbrio dinâmico do sistema apresentado na usando as de Lagrange.

103

PR

BL

MAS

4.4 Determine as ra

na

4.5 Determine as equações ra usando as

na

4.6 Determine as equações de ra usando as v~~~vv•~v as oscilações são de pequena

m

FIGURA

4.14

4. 7 Determine as equações de dinâmico do sistema apresentado na figura 4.15, usando as equações de Lagrange. Despreze a massa da barra. Admita que as oscilações são de pequena amplitude.

:F'IGURA

4.15

4.8 Determine as equações de equilíbrio dinâmico do sistema na figura usando as equações de Lagrange. Admita que as oscilações são de pequena amplitude.

104

E

DAÇÕES

E

FIGURA

GRANGE

4.16

4.9 Determine as de equilíbrio dinâmico do sistema apresentado na figura usando as equações de Lagrange. Admita que as oscilações são de pequena amplitude.

FIGURA

4.17

4.10 Determine as equações de equilíbrio dinâmico do sistema apresentado na figura 4.18, usando as equações de Lagrange. Admita que as oscilações são de pequena amplitude.

FIGURA

4.11 Determine as equações de equilíbrio dinâmico do sistema ra usando as de Lagrange. Admita que as u'"·ua.1.,u1~" amplitude e despreze a massa da barra.

105

PROBLEMAS

x1(t)1

1 x2(t)

m

I, i/3

R/3

i/3 FIGURA

.1

4.19

4.12 Determine as dinâmico do sistema apresentado na usando as Admita que as oscilações são de pequena ~ 1 "t"r"õ e despreze a massa da barra.

FIGURA

4.20

4.13 Determine as equações de equilíbrio dinâmico do sistema apresentado na figura 4.21, usando as equações de Lagrange e considerando que: a) o disco pode escorregar; o disco não c) Resolva a alínea

escorregar. pelos multiplicadores de Lagrange.

Admita que as oscilações são de pequena de equilíbrio dinâmico do sistema apresentado na figu4.14 Determine as ra usando as equações de Lagrange. Admita que as oscilações são de pequena amplitude e despreze a massa da barra.

106

EQUAÇÕE

DELAGRANGE

k

FIGURA

4.21

FIGURA

4.22

4.15 Determine a equação de equílíbrio dinâmico do sistema apresentado na figura é conhecido e usando as equações de Lagrange. O deslocamento imposto desprezam-se as massas das vigas-coluna.

x(t)

"

f---

k2

e

~

m _!<:i

_!<:i

2

2

!----<>

y(t)

FIGURA

107

4.23

l

PR

4.16 Determine as ra movimento da roda à velocidade

BLEMAS

n

dinâmico do sistema O deslocamento rpm é conhecido.

2m

FIGPR;\

4.24

108

E

UAÇÕES

DE

HA

llTON

E

5.1

UAÇ

ES DE H

MILTON

INTRODUÇÃO

As equações de Lagrange são diferenciais de haver conveniência em lidar com equações diferenciais de ordem. Isso acontece foram as forças que actuam um sistema são funções ~~"''"~ª"'~~·~ do obtidas experimentalmente e só se conhecem resultados em intervalos de tempo discre~~· .. ,-"~• "<.,""'"''"'v não-linear. Nessas circunstâncias, as diferenciais são resolvidas por integração numérica, usando técnicas especiais, como por exemplo os métodos de Runge-Kutta, Newmark, etc. O de cálculo e os problemas de integração numérica são reduzidos se as equações diferenciais forem apenas de primeira ordem. Através da da HamHtoniana do sistema, as N equações diferenciais de segunda ordem de Lagrange são transformadas em 2N equações de primeira ordem de Hamilton.

5.2

HAMILTONIANA DE UM SISTEMA

A Hamiltoniana de um sistema é definida como:

âL

n

H

a--iJk -L

= k=l

(5.1)

Qk

Definindo

8L Pk

=

8qk,

k=l,2, ... n

(5.2)

-L

(5.3)

obtém-se: n

H= k=l

Como a Lagrangiana é uma diferença de energias, as suas dimensões são também as de uma energia, pelo que Pk tem unidades de quantidade de movimento (ou momentum) e por isso se designa Pk por momentum generalizado (não aplicamos aqui o termo momento linear, uma vez que as velocidades generaHzadas podem ser angulares, o que poderia dar origem a alguma confusão). Lembrando que L exacta:

=

d'H=

q, t), podemos escrever a diferencial de

+

111

que é uma diferencial

HAMI

ONIAN A DE UM S!STE

o

eo

A

termos do somatório anterior cancelam-se

at Como dn é uma diferencial os coeficientes de e dt deverão ser derivadas em a Pk, qk e t. Portanto, pode escrever-se: de dn

=

+

+

isto é, 81{

k

IJL

= 1,2, ... n

k=l,2, ... n

8L 8t

81{

(5.9)

8t

Derivando (5.2) em relação ao tempo,

= d ( BL) , k = 1, 2, ... n

(5.10)

8qk

Não havendo forças exteriores aplicadas ao sistema, as equações (4.49) aplicam-se: :!:__ ( BL) -

dt

8qk

BL =O, âqk

k

= 1, 2, ... n

e, de (5.10), obtém-se:

8L 8qk'

Substituindo em

k

= 1, 2, .. . n

resulta: k

112

= 1, 2, ... n

(5.11)

EQUAÇ

5.3

ESDEH

II. T

N

EQUAÇÕES DE HAMILTON

efectuadas na

k=l,2, ... n

Se houver

são

8L

d

dt

k

=

= 1, 2, .. . n

e de (5.10) tem-se:

8L

=-+ ôqk

k=l,2, ... n

Nessas condições, as equações de Hamilton são: 81í { . Pk

=-

81í 8qk

k

= 1, 2, .. . n

(5.15)

+

Num caso mais geral em que forças de dissipação viscosa e m constrangimentos não-holónomos, vimos que as equações de Lagrange são (ver equação

k= 1,2, ... ,n ou k

=

1, 2, ... ,n

(5.16)

As equações de Hamilton serão, neste caso mais geral, dadas por:

{

k= 1,2, ... ,n

m

+:L

+

i=l

1 Também

designadas por equações canónicas de Hamilton.

113

(5.

EQU

EXEMPLO

ÇÕES

EH

l\IHI,TON

5.3.1

Um muito ~..•• ,_,._,~ serve para elucidar a ~,.,"~·~v~'~ das equações de Hamilton. Pretende-se calcular a resposta em estacionário do sistema de um grau de liberdade na lhe é ,,,.P'"'-'"''-'ª·

f(t)

FIGURA

= Feiwt

5.1

A Lagrnngiana é L

1 mq·2 - 1 kq 2 =2 2

e a função dissipação de Rayleigh é dada por ,.,...

l

·2

.r = 2cq

O momentum generalizado é (equação (5.2)):

8L

P- 8q -

=}

.

p

q= m

(5.18)

A Hamiltoniana é (equação (5.3)):

1í. = mq2 -

(5.19)

Substituindo (5.18), 1 1

2

1

1í. = --p + -kq 2m

Aplicando as equações (5.1

2

2

vem

. 81í. p q=-=8p

m

que é, naturalmente, o resultado encontrado em (5.18), e

p=

e m

+

--p+

114

Ç

EQU

S DE H

1

+

lVHI,TON

=Ü

+

e

diferenciais de

[~ ~ ]{! }

+[

Sendo f(t) =

{

Feiwt,

o

~

ordem em p e q. Na forma

o

-1/m ] { ; } = {

}

vem

}={

~

} eiwt

~

=} {

;

}

={

=} {

;

}

= iw {

} eiwt

~

}

eiwt =

iw { ; }

Substituindo em (5.20), obtém-se:

donde:

=}

+ (c/m+

J(t)

q=------

k -w 2 m +iwc

e, q=

F k-w 2 m

+ iwc e

iwt

Esta representa a """'""",." em estado estacionário do sistema em causa, como é bem conhecida.

115

OUTRAS PROPRI

5.4

D

ES

A HAMILTONI

NA

OUTRAS PROPRIEDADES DA HAMILTON!

NA

5.4.1

Outro

a considerar é a da HamHtoniana no do tempo,

8L ôt

8t Se dividirmos

por

Já vimos

temos:

dt No caso de um sistema conservativo e com ligações holónomas, as equações de Hamilton são dadas pelas equações pelo que, substitui.ndo estas em se chega à conclusão de que

ô'H ôt

dt

(5.23)

Se não houver dependência explldta do tempo, ô1i/8t e, portanto, a HamHtoniana conserva-se:

dt = O =? 1i = const. 5.4.2

HAMILTONIANA EXPLICITAMENTE EM TERMOS DE

TE V

Como vi.mos, no caso mais geral, a energia cinética é dada por (ver equação

(5.25) em que

t)

= T1 q, t) T2 = T2(q, q, t) e

1

E

UAÇ

ES DE HAM LTON

temos:

+

+

donde:

+

1í=

De

+

, obtém-se:

+

+

donde: (5.32)

e, de acordo com (4.60), n

2:::

(5.33)

k=l

Substituindo em (5.30), vem

Se não houver dependência caso 1í = const. Logo,

~""'"~'"~

1í

do tempo,

= T +V

= const.

=O e T

~

Como

nesse

=E

do a Hamiltoniana do sistema conserva-se e coincide com a energia total do sistema. No te-se que é o caso retratado no <:::Ae111µ1u 5.3.1 5.19).

117

PR

5.5

BLEMAS

PROBLEMAS

5.1 Deduza as equações de Hamilton para o ma

do

na 5.3 Deduza as

2.15.

de Hamilton para o sistema rer>rese11ta.ao na figura 2.15.

5.4 Deduza as equações de Hamilton para o sistema representado na figura que ponto de suspensão descreve um movimento circular representa um pêndulo com velocidade constante.

FIGURA

5.2

5.5 Deduza as equações de Hamilton para o sistema representado na figura 4.3. 5.6 Deduza as equações de Hamilton para o sistema representado na figura 5.3. Admita oscilações de pequena amplitude.

FIGURA

5.3

5.7 Deduza as equações de Hamilton para o sistema representado na

4.12.

5.8 Deduza as equações de Hamilton para o sistema representado na figura 5.4. Admita oscilações de pequena amplitude. 5.9 Deduza as equações de Hamilton para o sistema representado na

118

4.14.

EQU

ÇÕES DE

AMILTON

r-!

m1

ki

f

e

m2

~

FIGURA

5

5.10 Deduza as equações de Hamilton para o sistema representado na figura 4.15. 5.11 Deduza as equações de Hamilton para o sistema representado na

4.19.

5.12 Deduza as equações de Hamilton para o sistema representado na figura 4.20. 5.13 Deduza as equações de Hamilton para o sistema da figura 5.5, que representa um pêndulo esférico. A massa m, deslocando-se numa superfície esférica, tem dois graus de liberdade (uma "longitude" e uma "latitude"). z y X

FIGURA

119

5.5

PRINCÍPIO DE HA ILTON E EQUAÇÕES DE LAGRANGE NA ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUOS

R

6.1

NCÍPI DE HAMILTON E EQ AÇÕES DE L GH.ANGE NA N LISE DE SISTEMAS C NTÍNUOS

INTRODUÇÃO

Cabe neste descrever a dinâmico para sistemas contínuos, isto é, para sistemas em que as de massa, rigidez e amortecimento se distribuem de forma contínua. Na verdade, este é sempre o caso em a sua complexidade leva a que na maioria das situações atribuindo-lhes um número finito de graus de liberdade. se proceda à sua Ainda por vezes, há elementos estruturais que podem ser estudados como sistemas contínuos, com um número infinito de graus de liberdade. Juntamente àqueles "'",.,"'"'" sempre coexistir, elementos estruturais discretos. No presente capítulo deduzir-se-ão primeiramente as partir do princiípio de Hamilton e, posteriormente, a

tl.2

das

de equilíbrio dinâmico a de Lagrange.

FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DINÂMICO USANDO O PRINCÍPIO DE HAMILTON

Não tendo sido feita qualquer restrição ao princípio de Hamilton em relação ao número de graus de liberdade, não há motivo para que aquele não possa ser aplicado a sistemas contínuos, desde que devidamente adaptado. Recorde-se o princípio de Hamilton generalizado para sistemas discretos (equação (3.53)):

(t2) = O,

i

= 1, ... N

Suponhamos que pretendemos estudar o equilíbrio dinâmico de uma víga em flexão (usando a teoria de Bernoulli-Euler, para não complicar a explicação), de área transversal A= A(x), segundo momento de área I = I(x), módulo de Young E e massa espedfica p, sujeita a uma carga transversal distribuída ao longo do seu comprimento e variável no tempo f = f(x, t), como mostra a figura 6.1. Neste caso, a expressão (3.53) passa a ser +ôWnc)dt=O,

ôw(x,

=Ôw

=Ü

para

Ü

:5

X

:5

f,

uma vez que o deslocamento transversal w é uma de x e de t. É definir a Lagrangiana e o trabalho das forças não-conservativas. Para uma viga Bernoulli-Euler,

123

FORMULAÇÃO DAS EQUAÇ ES DE EQU LÍBRI DIN U NDO O P INCÍ IODE HAMILTON

z w(x, t)

MICO

t) p

t)

w=

X

6.1

FIGURA

as energias cinética e potencial são, respectivamente:

T

(ª8~ ) e EI (ª2 ~ )2 âx 2

= 21 Jo(·

V=~

{ 2 }0

dx = dx

21 Joff. pAw2dx

= ~ { e Elw 112 dx

(6.3)

2 }0

A Lagrangiana será

e o trabalho da força exterior

f =

t) será (6.5)

As primeiras variações de (6.4) e (6.5) serão

ôL= ôWnc=

Substituindo (6.6) e

(pAwów - Eiw 11 ôw11 ) dx fówdx

em (6.1), obtém;se: ,

(pAwôw-

+

)

dxdt =O,

=0

124

paraO::::;x::;f

PRINCÍPIO DE HAMILT N

ANÁLIS

N E E

D

U

ÇÕES DE

ISTEMAS

A fim de se obter em todos os termos o deslocamento virtual os dois primeiros termos. Para o temos:

dxdt =

AGRANGE

ONTÍNUOS

é preciso

por

dtdx dx

Devido à condição

=

pAwôwdxdt = -

Ü

em

Ü ::::; X ::::;

f, resulta:

pAwôw dt dx = -

pAwôwdxdt

Para o segundo termo de (6.8), temos:

Elw"ôw"dxdt =

:x (E/w 11 )8w1dx} dt

Integrando novamente por partes o segundo termo de

t 0

Substituindo (6.10) e

(6.11)

obtém-se:

fe 8 2

+ Jo

}

Bx 2 (E!w")ôw dx dt

(6.12)

em (6.8),

pAwôw dx dt

a2 ( li) âx 2 Elw ow +

dt

dxdt =O, ów (x, ti)

125

= ów

=O

para O $ x ::::; f

(6.13)

F

RMUL

ÇÃ.

DAS EQU ÇÕES DE EQUILÍ RI USANDO O PR NCÍPIO DE AM LT

DIN N

MICO

ou

+

} dt

ów

=o,

= Ü para Ü $

=Ów

X

:5 f

Como os deslocamentos e as rotações virtuais-tanto no domínio como na fronteirasão arbitrários, a única de que a equação (6.14) seja nula é que cada um dos termos seja nulo, o que origina as seguintes eguações:

+ ::2 (Eiw Eiw 11 (0,

!

11

) -

f

=O

(6.15)

t) =O

(Eiw 11 (0,

ów(O, t) =O

Eiw 11 (C,t)ów 1(f,t) =O

(6.16)

a (Eiw"(f, t))ów(C, t) =O ax A equação (6.15) é a bem conhecida equação de equilíbrio dinâmico de vigas (Bernoulli-Euler), sem carregamento longitudinal. As equações (6.16) representam condições de fronteira. Neste caso, estão englobadas as condições de fronteira "clássicas", isto é, encastramento, extremidade livre e apoio simples. Cada uma das equações (6.16) permite duas hipóteses: ou um ou outro termo serem nulos. Por exemplo, para uma viga encastrada em x = O e livre em x = f, temos, em x = O, EI w 11 (O, t) # O (que é o momento de encastramento) e ów'(O, t) =O (rotação e, ainda, 8/8x(Eiw 11 (0, i O (esforço transverso) e ów(O, t) = O (deslocamento nulo). Em x = f, Elw"(f, t) = O (não há momento flector) e t) i O (rotação) e, 8/8x(Elw 11 (C, = O (não há esforço transverso) e t) f O (deslocamento). No caso de existirem outras condições de fronteira, tais corno molas de translação e/ou rotação e massas inércias, ter-se-ão que contabilizar as suas energias potencial e ainda, outras cinética, respectivamente, na expressão da Lagrangiana. Podem exteriores aplicadas, por exemplo que nesse caso teriam que ser contabilizadas no termo da energia das forças não-conservativas.

126

PRINCÍPI DE HA ILTON E EQUA ÕES DE L GR NA AN LISE DE IS TEM S CONTÍNUOS

6.3

NGE

FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DINÂMICO USANDO AS EQUAÇÕES DE LAGRANGE

sistemas contínuos a ,~,·~~·~~ à ~puv·~~~~ evitando-se ter que se às a estudar. Vamos supor um caso mais geral, para vigas Bernoulli-Euler, do que o da secção '"ª""L'v' em que temos um sistema contínuo com cargas transversais e longitudinais e, nas duas fronteiras, molas e massas (figura Este caso mais deduzido em princípio para vigas, incluirá também cordas, barras 1 e bastando para isso ignorar a energia de flexão, ou seja, o termo de derivada de quarta ordem e adaptando as correspondentes variáveis e coordenadas. Não se deduzem os casos ainda mais gerais para vigas Timoshenko para não sobrecarregar a explicação, mas o processo é inteiramente análogo, desde que se adicionem as energias associadas à inércia de rotação e ao esforço de corte. z w(x, t)

f

= f(x, t)

mo w = w(x,t)

ko X

Definam-se primeiramente as energias cinética e potencial do sistema da figura 6.2:

T =

~mow(O,

V=

2kow(O,

1

Pw 12 dx

1 Utiliza-se

(6.18)

normalmente a expressão barra para designar um elemento estrutural que apenas está sujeito a esforços de tracção e compressão.

127

FORMUL

ÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DINÂMICO USAND AS EQUAÇÕES DE L GRANGE

ou, de forma

T= To+

+

Tdx

+

+

fi dx

L=Lo+

+

Ldx

V= A

emqueT= cinética e energia

1

A

eV= 2Eiw 11

2

+

po~en1crn•L

A Lagrangiana é, portanto, (6.21)

em que

Lo=To-Vo Le =Te - Ve

L= T- V

(6.22)

(densidade da Lagrangiana).

FacHmente se verifica que

Lo= Lo (w(O, t), w(O, t))

(6.23)

Lc = Lf(w(f,t),w(e,t))

(6.24)

L = L(w,w 1 ,w11 )

(6.25)

A fim de se deduzirem as equações de Lagrange a partir do princípio de Hamilton, vamos ter de cakular ôL Tendo em consideração as expressões (6.21) e (6.23)-(6.25):

8Lo ôL = aw(O, t) ôw(O, t)

8Lo

8Le

;: ( 11

+ 8w(f, t) uw

Substituindo

.

8L1.

+ aw(O, t) ôw(O, t) + aw(f, t) ôw(f, t) ff-,

)

t

+

(ªt,. + al , , + 8w uw

8w 10 w

de Hamilton (equação

na expressão do

128

dx

e tendo em

PRINCÍPIO E HAMILTON E EQU ÇÕES DE GR.AN NA ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUO

atenção que o trabalho das

exteriores é

obtém-se:

dx+ ôw(x,

E

= ôw

dt = Ü

para

=o,

Ü~ X ~

f

Os termos de que não são em ôw terão que ser integrados por para se obter tudo em termos de ôw. Vejamos separadamente cada um dos termos que não têm ôw: 8Lo , . (O 8w(O, t) uw '

=

l

8Lo Jt 2 8w(O, t) ôw(O, t) t1

[t 2 8 ( 8L0 ) = - }t ôt 8w(O, t)

8 ( 8Lo ) 8t 8w(O, t)

t)dt

t)dt

1

De forma inteiramente análoga se conclui que

a ( 8w(f, 8Le ) t)

8t

ôw(i, t)dt

(6.29)

Analisemos os restantes termos:

(6.30}

[t. aL Jo ôw 1 Ôw 1 dxdt

al

--ôw11 dxdt

8w 11

= =

=

129

FORMU

.AÇÃO DAS E UAÇÕES DE EQUILÍBRIO DINÂMIC US NDO AS EQUAÇÕES DE LAGRANGE

Substituindo

em

, obtém-se:

ówdx

dt

=o

dt

~o

ou, reagrupando os termos,

[-! (;:) -! (:,) 8Lo

â (

8Le

8 (

l

+!

j ::,

8Lo

dx ów

)

+ 8w(O, t) ôw(O, t) - ât 8w(O, t) ôw(O, t)

+ 8w(C, t) ôw(C, t) - ât

+

8Le ) 8w(C, t) ôw(f, t)

[:!,s{1 [;;,ow'J:- [:x (~}{}

(6.34)

Tal como anteriormente, devido à arbitrariedade dos deslocamentos e velocidades virtuais, a expressão (6.34) implica que (6.35) no domínio O< x < C; para x =O:

8L0 a [ âw(O, t) - 8t

(

âLo ) ai 1 âw(O, t) - 8w 1 (O,t)

+

(

a

t)

8x

e

âw"

t)

I

(0,t)

130

=o

=o

PRIN

para

X=

ÍPIO HAMILT N EQUAÇ ES DE LAGR NA ANÁLISE DE S STEMAS CONTÍNUOS

N

E

f:

a at

al

) (t.J

+~ 1

8w 1

(l,t)

t)

=o

e

8w 11

t)

I

=o

(f,t)

corresponde à equação de equilí'brio dinâmico no domi'.ni.o e as equações às condições de fronteira. Em qualquer das equações ou existe um deslocamento rotação) imposto ou o coeficiente é nulo. Poder-se-iam, ainda, ter induído molas de torção e inércias na formulação, o que faria com que Lo e também funções de W 1 e de w1 , aparecendo mais termos nas equações Prescindiu-se desse caso, para não complicar demasiado a dedução. EXEMPLO

6.3.1

Determinar a equação de equilíbrio dinâmico e correspondentes condições de fronteira da viga ilustrada na figura de comprimento e, secção uniforme A, módulo de Young E, segundo momento de área I e massa especffi.ca p, sujeita a uma carga horizontal constante Pesem carga transversal f, em vibração transversal. z t)

me

A,EI,p

-~ p X

FIGURA

A energia cinética da

e,

é

a densidade de energia cinética é:

131

6.3

FORMULAÇÃO D.AS E UAÇÕES DE E UILÍBR O DINÂMIC USANDO AS EQUAÇÕES DE LAGRANGE

A

V=~

1

+-2

2

Portanto, a densidade da

As energias correspondentes aos elementos das fronteiras são:

To =0

V0 =0 Logo,

Lo= To - Vo =O,

1 mew(f,t) . 2 1 kew (f,t )2 - lfe = 2 - 2

Le =

Calculem-se os vários termos termos de (6.35):

. fJ =p A w°*at

at

= -Pw' :=:;.

at

= -EI "

w

(ªi.,) aw

.. =p A w

!.__ ( al) 8x

8w 1

= -Pw"

at ) °* 8xa22 ( 8w

= -EI

11

f =0 Substituindo em (6.35), obtém-se:

pAw + Elw 1 v - Pw 11 =O

132

w

iv

PR NCÍPIO DE IIA II,TON E E DAÇÕES DE LAGRANGE NA ANÁLISE DE SI TE AS C NTÍNUOS

Condições de fronteira: Em x = O, sabemos que t) #O, pelo que, de

oe

t) = O. Em x se terá que verificar:

t) e

+

f,

t) "f. O e

)L. )~ º

l(t,•)

e

at

=0 (f,t)

8Le Bw(f, t) = -kew(C, t)

8Le

.

8w(C, t) = mew(f, t)

8 (

=}

8t

8Lt )

8w(f, t)

..

= mew(C, t)

al 8w'

(f,t)

;;,

al 1 awn

~ -Elw" ~

(

! (;;,))l(t,t) ~

-Elul"(l, t)

= -Elw "( f., t )

(l!,t)

Portanto, (6.40) e (6.41) dão origem a: -m1.w(f, t) -

t) - Pw'(f., t) + Elw 111 (f, t) =O Eiw 11 (f, t) =O

Como Elw 11 (C, t) e t) são, respectivamente, o momento flector e o esforço transverso na extremidade direita da viga, significa que o momento tiector é nulo há momento aplicado na fronteira x = f) e o esforço transverso as forças de inércia, da mola e a componente da força axial:

t) = mgw(f., t)

+

133

t) + Pw 1 (f

FORMULAÇÃO D US N

EXEMPLO

S EQUAÇÕES DE E UII,ÍBRIO DINÂMICO O AS QUAÇÕES DE LAGRANGE

6.3.2

dinâmico de uma corda de comprimento C, massa a uma de sem carga transversal 6.4.

Determinar a por unidade de

]FIGURA

6.4

A energia cinética da corda é:

T= ~ {e 2 Ío e, portanto, a densidade de energia cinética é:

T A

1 ,2

= -pw 2

A energia potencial é:

V=~

2

donde a densidade de energia potencial é:

V= !Pw12 2

Portanto, a densidade da Lagrangi.ana é: A

A

A

L=T-V=

1

134

PRINC

I EH l'vfLLTON E E NA AN LISE DE ISTE

AÇÕES DE J, GRANGE AS CONT NUOS

=Ü

Vo =

1

2kw(O,

Logo,

Calculem-se os vários termos de (6.35):

al . a(ªL) .

aw

=pw=> 8t

at

,

8w

=pw

a ( 8w )

8w' = -Pw => âx

1

=

at fJw" =O

f =0 Substituindo em (6.35), obtém-se:

pw-Pw 11

=o

Condições de fronteira: Como a equação é apenas de segunda ordem em x, apenas são necessárias duas condições de fronteira em relação ao deslocamento (equações (6.36) e Como 8w(O, t) =/=O e 8w(.€, t) =/=O, os seus coefkientes terão que ser nulos:

8Le 8w(.€, t)

=Ü

135

FORMULAÇÃO DAS EQUAÇ ES DE EQ ILÍBRIO D NÂMICO USANDO AS EQU ÇÕE DE LAGR NGE

Calculemos cada um dos termos de

e

8Lo

t)

8w(O, t) ---=0

8w(O, t)

=

8w(l!, t)

8Le

-kw(l!, t)

=O

aw(l!, t)

= -Pw'(l!, t)

:;, 1 (R,t)

Portanto, (6.42) e

dão origem a -kw(O, t)

+

t)

=o

-kw(f, t) - Pw'(e, t) =O

donde a componente vertical da força P tem que equilibrar a força da mofa em cada extremidade: Pw'(O, t)

= kw(O, t)

Pw'(f,t) = -kw(C,t)

(6.44)

Note-se que, à partida, numa formulação vectorial do problema, poderia não ser evidente a troca de sinal verificada em (6.44).

136

PRINCÍPIO DE HAMILTON E EQUAÇÕES DE LAGRANGE NA NÁLI E DE SISTEMAS CONTÍNU S

llL4

PROBLEMAS

6.1 Determinar a de dinâmico e corrE:spon.d!ent<3S C
FIGURA

6.5

6.2 Resolva o problema anterior, usando as equações de Lagrange.

6.3 Determinar a equação de equfübrio dinâmico e correspondentes condições de fronteira de uma corda (figura 6.6) de comprimento C, massa por unidade de comprimento p, sujeita a uma força de tracção P, sem carga transversal, pelo de Hamilton. A extremidade esquerda é fixa e a direita é deslizante, mas sem atrito. z w(x, t)

FIGURA

6.6

6.4 Resolva o problema anterior, usando as equações de Lagrange. 6.5 Um determinado campo magnético provoca uma deformada estática longitudinal numa barra fixa-livre e homogénea de secção constante (figura 6.7). Admitindo a cessação instantânea do efeito do campo magnético, a barra vibrará longitudinalmente. Determine a equação de equilíbrio dinâmico e correspondentes condições de fronteira, pelo de Hamilton.

FIGURA

137

6.7

PR

BLEMAS

6.6 Resolva o 6. 7 Determinar a equação de equl.liíbrio dinâmico e correspondentes '-'V'·"""'u'º"' teira da ilustrada na de !!, secção uniforme de Young E, segundo momento de área I e massa específica p, Hamilton.

E,I,A,p

xj F'IGUHA

6.8

6.8 Resolva o problema anterior, usando as equações de Lagrange. 6.9 Determinar a equação de equilíbrio dinâmico e correspondentes condições de fronteira da viga encastrada-apoiada ilustrada na figura 6.9, de comprimento!!, secção uniforme A, módulo de Young E, segundo momento de área I e massa específica p. O apoio direito tem uma mola cuja constante de torção é kt e está sujeita a uma força transversal. Utilize o princípio de Hamilton. z w(x, t) J(x, t)

FIGURA

6.9

6.10 Resolva o problema anterior, usando as equações de Lagrange. 6.11 UtiHzando as equações de Lagrange, determinar a equação de equilíbrio dinâmico e correspondentes condições de fronteira da viga uniforme encastrada-livre ilustrada na figura 6.10. A viga está sujeita a uma transversal t) e roda com velocidade angular constante n.

138

PRINCÍPIO D HA LTON E EQUAÇ ES E LAGRANGE N ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUOS

Note que a induz uma força de devida à centrífuga que, numa secção à, distância x, tem a ver com a massa existente entre x e a extremidade da viga. z

t)

X

FIGURA

139

10

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,_,.11.nns..,,..,,,,

ÍNDICE 18 discretização, 34

aceleração absoluta, 85

86 85 >.HO:>L./'UJJ,);'Yi
4

8

""~""'"""·""'· 3, 4 Arquimedes, 4, 7, 9 Belanger, 7 Bernoulli, Daniel, 10 Bernoulli, Jacques, 6 Bernoulli, Jean, 6, 7, 10 cákulo variacional, 10, 11, 48 condições de fronteira, 131, 133, 135 constante universal de gravitação, 25 constrangimentos, 40, 42, 61 anolónornos, 94, 96 holónomos, 94, 96 coordenadas generalizadas, 11, 61, 62, 66 de ligação, 63 Copérnico, 4, 8 Coriolis, 6, 7 curva braquistócrona, 6, 10 D'Alembert, 7, 9, 10 densidade de energia cinética, 128, 131, 134 potencial, 132, 134 da Lagrangiana, 128, 132, 134 Descartes, 7 deslocamentos generalizados, 70 virtuais, 40, 42, 70 diferencial 71, 111 exacta, não-exacta, 16, 28

cinética, 75 cruzada, 76 mútua, 76 relativa, 76 de transporte, 76 potencial, 22-25, 30, 70 elástica, 26, 27, 32 gravítica, 24 total, 31 equações canónicas de Hamilton, 113 de constrangimento, 63, 65 de equilíbrio dinâmico, 32 de Hamilton, 11, 113 de Lagrange, 11, 47, 55, 68, 72, 123, 127, 128 equilíbrio dinâmico, 10, 31, 32, 47, 123, 127 esforço transverso, 126, 133 estacionariedade, 41 Euclides, 4 Euler, 7, 9-11 Fermat, 9 força aplicada, 39, 40 conservativa, 17, de CorioHs, 85 de dissipação viscosa, 113 externa, 44 generalizada não-conservativa, 71 do tipo viscoso, 73 gravitacional, 25

25, 31

ÍND CE

8 matriz 31, 32

de massa, 90 de rigidez, 90 mecânica 85 método dos multipHcadores de Lagran97 ge, momento ftector, 126, 133 linear, 15 momentum, 111 generalizado, 111 multiplicadores de Lagrange, 11, 94, 95, 100, 103

viva, 7 89,

de estado, 16, 17 potencial, 30 Galileu, 4, 5, 7, 9 graus de liberdade, 33, 61 HaHey, 8, 9 Hamilton, 7, 9-11 Hamiltoniana, 111, 114, 116 Hooke, 6, 8 Huygens, 6-8

Newton, 5-9, 11 número de graus de liberdade, 61 Pfaffiano, 16-18, 21 Pitágoras, 4, 8 potência dissipada, 31, 73 viva, 7 primeira variação, 48 princípio da acção e reacção, 15, 16 da conservação da energia, 30, 31 de D'Alembert, 10, 11, 44 generalizado dos trabalhos virtuais de D'Alembert, 11 de Hamilton, 11, 47, 48, 52, 68, 123, 128 generalizado, 54, 71, 123 de inércia de Galileu, 15 do momentum, 15 da quantidade de movimento, 43

impulsão, 7 Kõnig, 6 Kepler, 4, 8, 9 Lagrange, 7, 9-11 Lagrangiana, 48, 49, 54, 72, 111, 123, 124, 128 Laplace, 10 lei da gravitação universal, 8, 25 de inércia, 5, 6 de GalHeu, 5 Leibnitz, 6, 7, 9 L'Hôpl.tal, 6 ligações anolónomas, 67 esderónomas, 64, 65

144

NDICE

da sobreposição, 15, 16 do trabalho e

referencial de 5, 15 não-inercia!, 85 Riemann, 4 segunda lei de Newton, 16, 43 sistema conservativo, 31, 41, 79 contínuo, 34, 123 esclerónomo, 76 Tales, 4 trabalho, 7, 16, 22, 27 elementar, 17, 25 das forças não-conservativas, 123 de restituição, 23 virtual, 40 das forças de inércia, 46 das forças não-conservativas, 70, 83 das forças reais, 46 trajectória virtual, 48, 49 variação, 39, 49 velocidades generalizadas, 70 viga BernouUi-Euler, 123, 127 Timoshenko, 127 Wren, 8

145