TEORÍA DE COLAS
AUTORA: ING. GILMA TABLADA MARTINEZ.
FEBRERO-2012
Teoría de Colas
4.2. Modelo con una fila y servidores múltiples. Modelo M/M/s. Supóngase que las llegadas son Poisson, los clientes los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola línea ilimitada que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido, varios servidores. Las ecuaciones para las características características de operación se vuelven un poco más complicadas.
Cálculo de los parámetros del sistema: s = número de servidores.
λ = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo). tiempo). µ = tasa promedio de servicio por cada servidor (llegadas por unidad de tiempo).
() ∑ () ( ) () { ()
Aquí debemos el número promedio de servidores ocupados. A este parámetro lo
vamos a denotar Ś.
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Ejercicio Ejercicio 7. 1.
Pruebe que:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ∑ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ( ) ( )
2. Pruebe que para
Nota:
Para 2 servidores (
este modelo se reduce al modelo M/M/1.
) se pueden simplificar las ecuaciones ecuaciones de
y
Ejemplo 16: Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un Ing. Gilma Tablada Martínez
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equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de 2 minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario u suario es 5, ¿cuántas copiadoras se deben instalar? Se usa prueba y error para resolver este tipo de problemas, no se encuentra una solución general como se hizo para el modelo de un servidor. Se tratará primero con dos copiadoras, después con tres, y así hasta que se satisfaga el criterio del tiempo de espera. ¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es 5 por estudiante y la copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta 2 estudiantes por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para insertar la moneda, cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto. Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, o lo que es lo mismo, 1 por minuto. Se comenzará con 2 copiadoras, ya que 1 no sería suficiente.
Datos: λ = 1 por minuto. µ = 0.6 por minuto. s=2 T = 1 minuto
( ) * ++ [ ]]
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[ ]] ( ) ( )
Esto excede el criterio del máximo de 2 minutos de espera para el estudiante promedio. Se tratarán 3 copiadoras. El número promedio de copiadoras ocupadas es:
En promedio se mantendrán ocupadas 2 copiadoras por minuto. Ejercicio Ejercicio 7: 1. La gerencia de una terminal de carga está preocupada por la cantidad de tiempo que los camiones de la compañía permanecen ociosos, en espera de ser descargados. La terminal funciona con 4 plataformas de descarga, cada una de ellas con una cuadrilla de 2 empleados, y cada cuadrilla cuesta $30.00 por hora. El costo estimado de un camión ocioso es de $50.00 por hora. Los camiones llegan a un Ing. Gilma Tablada Martínez
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ritmo promedio de 3 camiones por hora, siguiendo una distribución Poisson. En promedio, una cuadrilla es capaz de descargar un semirremolque en 1 hora y los tiempos de servicio son exponenciales. ¿Cuál es el costo por hora de la operación de este sistema? 2. En una biblioteca, la demanda de libros se viene produciendo según una distribución Poisson con una media de 400 libros diarios, los cuales son devueltos como promedio al cuarto día. La biblioteca tiene 2 servicios, uno de entrega de libros, que demora en promedio 5 minutos porque requiere de ciertas actividades, como revisión de fichas, control de salidas, etc.; el otro se encarga de la recogida de los libros y tarda un promedio de 3 minutos. En el servicio de entrega trabajan 5 personas y en el de recogida trabajan 3 personas. - Teniendo en cuenta que el horario de la biblioteca es de 10 horas diarias, ¿cuántas personas habrá como promedio en la biblioteca esperando por ser atendidos? - Para disminuir este número, ¿sería necesario pasar a un empleado de un servicio a otro? 3. Un cinematógrafo tiene una tienda en concesión con 3 empleados que atienden a los clientes por riguroso orden de llegada. El tiempo de servicio por cliente está distribuido exponencialmente, con un promedio de 2 minutos por cliente. Los clientes de la concesión esperan en un amplio vestíbulo, formando una fila, y sus llegadas tienen una distribución de Poisson, con un promedio de 27 clientes cada 20 minutos. Durante 10 minutos se exhiben cortos, antes del inicio de cada función. Si el tiempo promedio que pasan en el área de la concesión es mayor de 10 minutos, los clientes se sienten insatisfechos. insatisfechos. - ¿Cuál es la utilización promedio del servicio de los empleados de la concesión? - ¿Cuál es el tiempo promedio que pasan los clientes en el área de la concesión? ¿Están insatisfechos o no los clientes? 4. Una peluquería es atendida por 2 estilistas, cada una de las cuales es capaz de atender a 5 clientes por hora, en promedio. Cada media hora llegan al salón 4 clientes, en promedio. Ambas distribuciones son exponenciales. - Si todos los clientes que llegan tuvieran que esperar en una misma fila hasta que la próxima estilista disponible los atendiera, ¿cuánto tiempo tendrán que esperar en la fila, en promedio, antes de ser atendidos? - Supongamos que el 50% de los clientes que llegan desearan ser atendidos exclusivamente por la estilista 1 y el otro 50% exigiera ser atendidos por la estilista 2. ¿Cuánto tiempo tendrían que esperar los clientes en la fila, en promedio, antes de ser atendidos por la estilista 1?, ¿y por la estilista 2? - ¿Existe diferencias en las respuestas de las preguntas anteriores? ¿Por qué? Explique su respuesta. 5.
Una cantera ha contratado los servicios de una excavadora para recoger la
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grava y cargarla en camiones. El tiempo medio que tarda la excavadora en cargar un camión es de 10 minutos. La cantera dispone de una flota de 4 camiones, cada uno de los cuales tarda una media de 15 minutos en transportar la grava y volver a la cantera. Tanto los tiempos de viaje como los tiempos de carga se supone distribuidos exponencialmente. exponencialmente. El costo de la excavadora es de $20.00 por hora de servicio. Por otro lado se estima que un camión pasa en la cantera representa un costo de $12.00, ya que en ese tiempo no está efectuando servicio de transporte. - ¿Cuál es el porcentaje de tiempo que la excavadora está desocupada? - ¿Cuál es el número medio de camiones que están fuera de la cantera? - ¿Cuál es el tiempo medio que un camión pasa en la cantera? - La empresa explotadora de la cantera cree que podría minimizar costos si alquila los servicios de otra excavadora que entraría en servicio en caso de que hubiese 3 camiones o más en la cantera. La tasa de servicio de esta segunda excavadora sería igual al de la primera pero su costo sería de $25.00 por hora de servicio. ¿Sería aconsejable contratar la segunda excavadora? 6. Los trabajadores de una fábrica tienen que llevar su trabajo al departamento de control de calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de producción. Hay un gran número de empleados y las llegadas son aproximadamente cada 3 minutos. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribución exponencial con media de 4 minutos. Calcular el número medio de trabajadores en el control de calidad si hay: a. Dos inspectores. b. Tres inspectores. 7. Las ventanillas de un banco realizan las transacciones en un tiempo medio de 3 minutos. Los clientes llegan con una tasa media de 19 por hora. Se suponen tiempos exponenciales, para las llegadas y los servicios. El banco dispone de 5 ventanillas ventanillas para atender a los clientes aunque no están siempre todas en servicio. A los empleados se les paga $8.00 la hora y tiene un costo adicional de $0.80 por cada cajero que incorpora. Si los clientes se encuentran con mucha cola al llegar al banco, se marchan ocasionándole ocasionándole una pérdida estimada de $0.15. ¿Cuántas ventanillas ventanillas debía tener el banco abiertas? Para facilitar el análisis complete complete la siguiente tabla:
Costo total
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