NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL:
DEFINICION: Sea DEFINICION: una transformación línea. La imagen de T, escrito Im T, es el conjunto de las imágenes de los puntos de E en F.
El núcleo de T, escrito como
, es el conjunto de elementos de E que se aplican en
Teorema: Teorema: Sea una aplicación o transformación lineal. Entonces la imagen de T es un sub espacio de F y el núcleo de T es un sub espacio de E. Ejemplo:: Ejemplo
Sea T: , la aplicación proyección en el plano xy: T(x,y,z)=(x;y;0). Claramente la imagen de T es el plano xy imT=
podemos observar que el nucleo de T es el eje z ker T=
Ejemplo 2:
Hallar el núcleo e imagen o recorrido de la Transformación Lineal
0 1 0 1 0 1
, definida por
Debemos hallar todos los vectores sea el vector 0
tal que
Podemos observar que nos encontramos ante los siguientes sistemas de ecuaciones:
Formamos una matriz aumentada:
Multipliquemos entonces 2da fila por 2 y sumémoslo a la 1ra fila
Observar que a cada columna corresponde a las incógnitas Ahora formemos ecuaciones con
en función de
Sea
./ ./ ./ ./ ./ ./ 0 1 ./ ./
La solución del sistema
para cualquier escalar
El núcleo de T el subespacio unidimensional (una dimensión R) en
generado
La imagen o recorrido de la transformación lineal es:
La imagen de T es el espacio columna de la matriz formada por los vectores:
Como las dos primeras columnas de la matriz A son independientes,
REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL Cualquier Transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por medio de una matriz. TEOREMA:
( ) , , , , , , ++ , , + + Sea
una transformación lineal. Entonces existe una matriz única
; tal que:
, para todo
REPRESENTACIÓN MATRICIAL CANÓNICA:
Sea una transformación lineal y sea base canónica para . La matriz con como vector columna es la representación matricial canónica de T; la notación lo utilizaremos para denotar un determinado número finito de vectores: vectores. Si es la representación matricial canónica de una transformación lineal entonces la matriz canónica es: para todo vector columna.
,
Ejemplo:
Hallar la representación matricial canónica
para la transformación lineal:
; Transformación que parte de un espacio tetradimensional (4 dimensiones) y llega otro espacio de tres dimensional, definida por:
La base para formar la matriz es la canónica
; donde
Escribimos los vectores como vector columna,; siendo la matriz canónica de la Transformación T; es la matriz de orden ; cuyas columnas son:
En
En
En
En
, , ++ , , ++
Luego la matriz transformada es:
REPRESENTACIONES MATRICIAL
RESPECTO A LAS BASES
Sean las bases ordenadas
Sean una transformación lineal y sean B y B’ bases ordenadas por respectivamente. Sea la matriz de cuyo j-esimo vector columna es vector ordenado columna respecto a la base B’.
() Esta Matriz
es la representación matricial de T respecto a las bases B y B’
Tenemos para cada
de
; donde
B’
y
; son vectores coordenados columna para x respecto a B y
( ⁄ - )
Para determinar la representación matricial de B’:
a. b.
respecto a las bases ordenadas B y
Forma la matriz partida = Usamos la reducción de Gauss-Jordan para obtener la matriz partida donde I es la matriz identidad de orden y es la representación matricial deseada.
Ejemplo:
( ) ( ) Sea
la Transformación lineal se define de la siguiente manera:
Hallar la representación matricial
, respecto a las bases ordenadas B y B’ donde :
Para formar la matriz partida, hallamos primero los Para
Apliquemos la Trasformación lineal definida
en la base B
Debemos hallar el vector coordenado de uno, respecto a la base ordenada, formando luego la matriz partida, con los vectores B’ en forma de columna.
( ⁄ )
Utilizando la reducción de Gauss Jordan, tenemos:
La 1ra fila multiplicamos por -1 y sumada a la 2da fila Y La 1ra fila multiplicamos por -2 y sumada a la 3ra fila
* * * * * *
Desarrollando esta operación, tenemos:
Sumamos la 2da fila con la 3ra fila
Operando:
Multipliquemos la 3ra fila por
Desarrollando
Multipliquemos la 2da fila por -1 y sumamos con la 1ra fila
[ ]
…(puntos suspensivos)
MATRIZ DE CAMBIO DE BASE El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’.
⁄ - ⁄-
TEOREMA: Sean bases ordenadas de un espacio vectorial V. La matriz C de cambio de base respecto a las base B, B’ , que satisfacen la ecuación:
Se halla la matriz cambio de base reduciendo la matriz aumentada:
, los elementos de B’, se convierten a matriz identidad, y los elementos de B as{i convertidos forman la matriz C de cambio de base. Esta matriz C es invertible y su inversa es la matriz cambio de base respecto a B’, B.
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES PROPIOS DIAGONALIZACIÓN DE UNA MATRIZ DEFINICION DE VALOR PROPIO:
Sea una matriz de orden , matriz cuadrada. Supongamos que c es un vector distinto de cero en un número (puede ser cero), tal que:
es un múltiplo escalar de x. Entonces x se llama un vector propio de propio de A
y
es un valor
Los valores propios y los vectores propios solo están definidos para matrices cuadradas. El valor propio es un número y el valor propio es un vector. Ejemplo:
0 1 01 0 101010101
Suponemos que la matriz
, entonces
es un vector propio que
correspondiente al valor propio 3 y que cumple la siguiente igualdad:
A los valores propios se le denominan también eigenvalores, donde “eigen” es una palabra
alemán y significa propio.
01
0 101010101 También
es un vector propio correspondiente al valor propio
, ya que:
Supongamos que deseamos encontrar todos los valores propios de una matriz cuadrada de orden . Sabemos que:
A esta ecuación la multiplicamos por la matriz identidad del mismo orden lados encontraremos un polinomio en
por la propiedad simétrica de la igualada, tenemos.
=0
es un valor propio de la matriz A<---->
tiene una solución no trivial
es singular (determinante igual a cero)<---->det
; en ambos
