DINÁMICA M1005 SEMESTRE ENERO 2016 – MAYO 2016
MIR DAVID VILCHIS BERNAL Notas del curso
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CONTENIDO Tema 1. Cinemática plana de cuerpos rígidos !
1.1 Introducción a la cinemática de cuerpos rígidos, aplicada a mecanismos.
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1.2 Diagramas de cuerpo libre.
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1.3 Traslación y rotación de un cuerpo rígido.
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1.4 Movimiento general plano de un cuerpo rígido.
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1.5 Método vectorial de velocidades relativas referidas a un eje fijo.
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1.6 Método de centros instantáneos de velocidad cero.
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1.7 Métodos de análisis de aceleración.
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1.8 Método vectorial de aceleraciones relativas referidas a ejes fijos.
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1.1 Introducción a la cinemática de cuerpos rígidos, aplicada a mecanismos. !
La mecánica es una rama de las ciencias físicas que se ocupa del estado de reposo o movimiento de cuerpos sometidos a la acción de fuerzas.
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La ingeniería mecánica se divide en dos areas de estudio; estática y dinámica. Recordemos que la estática se ocupa del equilibrio de un cuerpo que esta en reposo o que se mueve con velocidad constante. En este curso estudiarémos la DINÁMICA, la cual se ocupa del movimiento acelerado de un cuerpo.
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La materia de dinámica se estudiará en dos partes: cinemática, la cual trata solo los aspectos geometricos del movimiento, y la cinética, que analiza las fuerzas que provocan el movimiento. Cinemática de Cuerpos Rígidos: Estudia las relaciones entre el tiempo, posición, velocidad, y aceleración entre 3 las partículas que forman un cuerpo rígido.
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1.1 Introducción a la cinemática de cuerpos rígidos, aplicada a mecanismos. Clasificación de movimientos:
Traslación Rectilinea
Traslación Curvilinea
4 !
Rotacion alrededor de un eje fijo
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Movimiento plano general
Traslación
• Considere un cuerpo rígido en traslación: - Movimiento que ocurre si cada segmento de línea sobre el cuerpo permanece paralelo a su dirección original durante el movimiento. - Todas las partículas que forman el cuerpo se mueven en líneas paralelas. • Posición. Para cualquier par de partículas en el cuerpo, r = r + r !
B
!
!
A
B A
• Velocidad. Diferenciando con respecto al ! ! ! ! tiempo, " " " " = r r = r + r B
! v B
A
=
B A
A
! v A
Todas las partículas tienen la misma velocidad. • Aceleración. Diferenciando ! ! con! respecto ! a el tiempo otra vez, "r " B = "r " A + "r " B A = "r " A ! a B
=
! a A
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Todas las partículas tienen la misma aceleración.5
Rotación alrededor de un eje fijo. - Movimiento angular Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, cualquier punto P localizado en él se desplaza a lo largo de una trayectoria circular. Sin embargo un punto no pude tener movimiento angular. Solamente las lineas o cuerpos experimentan el movimiento angular. Posición angular. La posición angular r esta definida por el ángulo !,
medido desde una referencia fija hasta r. Desplazamiento angular. Es el cambio de la posición angular el cual
puede medirse como una diferencial d !, medida en grados, radianes o revoluciones, donde 1 rev = 2 " rad)
Velocidad angular ( ). Es el cambio con respecto al tiempo de la
posición angular. Como d ! ocurre durante un instante de tiempo entonces, d " Eq. 1 !
dt,
=
dt
Aceleración angular ( ). Mide el cambio con respecto al tiempo de la
velocidad angular. La magnitud de este vector es !
2
d " =
d # =
dt
2
dt
Eq. 2-3
Rotación alrededor de un eje fijo. - Movimiento angular Al despejar dt e igualar en las ecuaciones anteriores obtenemos una relación diferencial entre la aceleración angular, la velocidad angular y el desplazamiento angular, es decir, ! d"
=
# d#
Eq. 4
Aceleración angular constante. Si la aceleración angular del cuerpo
es constante, $ = $c, entonces cuando se integran las ecuaciones 1,2 y 4, se obtiene un conjunto de fórmulas que relacionan la velocidad angular, la posicion angular y el tiempo. ! = ! + " t 0
! = ! 0 2
!
+ " t + 0
2 + 0
= !
Eq. 5
c
1
2
# c t
Eq. 6
2" (# ! # 0 )
Eq. 7
2
c
En este caso, !0 and #0 son los valores iniciales de la posición angular y la velocidad angular del cuerpo respectivamente.
Rotación alrededor de un eje fijo. - Movimiento de un punto P Posición y desplazamiento. La posición de P está definida por el vector de posición r, el cual se extiende desde O hasta P . Si el
cuerpo gira d! entonces P se desplazará ds=rd !.
Velocidad. La magnitud de la velocidad de P se calcula al dividir ds=rd ! entre dt de
modo que v
=
! r
Eq. 8
Se observa que la dirección de v es tangente a la trayectoria circular
Rotación alrededor de un eje fijo. - Movimiento de un punto P Tanto la magnitud como la dirección de v también pueden tenerse en cuenta si se utiliza el producto vectorial de # y rP. En este caso, la dirección rP es de cualquier punto sobre el eje de rotación al punto P, tenemos: v
=
! ! r
P
Eq. 9
El orden de los vectores en esta formulación es importante puesto que el producto vectorial no es conmutativo.
Rotación alrededor de un eje fijo. - Movimiento de un punto P Aceleración . La aceleración de P puede expresarse en
funcion de sus componentes normal y tangencial. Como at=dv/dt y an=v2/r, v= r y $=d /dt, tenemos
at = $r an = #2r
Eq. 11 Eq. 12
El componente tangencial de la aceleración representa el cambio con respecto al tiempo de la magnitud de velocidad. Si la rapidez de P se incrementa, entonces a t actúa en la misma dirección que v, si se reduce, At actúa en la dirección opuesta de v, y si permanece constante, at es cero. El componente normal de la aceleración representa el cambio con respecto al tiempo de la dirección de la velocidad. La dirección de an siempre es hacia O.
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Rotación alrededor de un eje fijo. - Movimiento de un punto P Al igual que la velocidad, la aceleración del punto P puede expresarse en función del producto vectorial. Si consideramos la ecuación 9, tenemos a=
dv dt
d ! =
dt
!
rP
+ ! !
drP dt
Si se recuerda que $= d#/dt y se utiliza la ecuación 9 (dr P /dt= v = # x dr P ), se obtiene
a= $ x r P + # x (# x r P)
Eq. 13
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Rotación alrededor de un eje fijo. - Movimiento de un punto P Por consiguiente, la ecuación 13 puede identificarse por sus dos componentes como a = $ x r – #2r = at + an
Eq. 14
Puesto que at y an son perpendiculares entre si, la magnitud de la aceleración puede determinarse con el teorema de Pitágoras, es decir
a=
2
2
an + at
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Ejemplo 1 (16.2) 16.2 Justo después de que se enciende el ventilador, el motor imprime a las aspas una aceleración angular $ = 20 e-0.6t rad/s2, donde t esta en segundos. Determinar la rapidez de la punta P de una de las aspas cuando t=3s. ¿cuántas revoluciones ha realizado el aspa en 3 s? Cuando t=0 la aspa está en reposo.
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Ejemplo 1 (16.2) - Solución 1) Dado que la aceleración angular esta dada como una función de tiempo $ = 20 e-0.6t rad/s2, la velocidad angular puede ser encontrada mediante la integración.
Posteriormente utilizando la formula de la velocidad de un punto 14
Ejemplo 1 (16.2) - Solución 2) Integrando ahora la función de velocidad desplazamiento angular del aspa.
obtenenemos el
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Ejemplo 2 (F16.6) 16.6 Durante un breve tiempo, el motor hace girar el engrane A con una aceleración angular constante de A=4.5 rad/s2, a partir del punto de reposo. Determine la velocidad del cilindro y la distancia que recorre en 3 segundos. La cuerda se enrolla en la polea D, la cual esta sólidamente unida al engrane B.
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Ejemplo 2 (F16.6)- Solución Análisis: 1) La aceleración angular del engrane B (y polea D) estan relacionados con $ . 2) La aceleración del cilindro C se puede determinar mediante las ecuaciones de un de punto en un cuerpo rotatorio alrededor de un eje dado que (a t)D es la misma que a c 3) La velocidad y la distancia del cilindro C entonces pueden ser encontradas usando las ecuaciones de aceleración constante. %
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Ejemplo 2 (F16.6)- Solución 1) Los engranes A y B tienen la misma velocidad así como el componente tangencial de aceleración en el punto donde tienen contacto, entonces
at = $ArA = $BrB
&
(4.5)(75) = $B(225)
= 1.5 rad/s2
& $B
Dado que el engrane B y la polea D giran juntos, $D = $B = 1.5 rad/s2 2) Asumiendo que la cuerda no es elástica y no se desliza en la polea, la velocidad y aceleración del cilindro C serán los mismos que la velocidad y el componente de aceleración tangencial en la polea D:
aC = (at)D = $D rD = (1.5)(0.125) = 0.1875 m/s2
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Ejemplo 2 (F16.6)- Solución 3)
Desde que $A es constante, entonces $D y $C serán constantes. Por lo tanto las ecuaciones de movimiento rectilineo con aceleración constante pueden usadas para determinar la velocidad y desplazamiento del cilindro C cuando t = 3 s (s0= v0 = 0):
vc = v0 + $C t = 0 + 0.1875 (3) = 0.563 m/s sc = s0 + v0 t + (0.5) $C t2 = 0 + 0 + (0.5) 0.1875 (3)2 = 0.844 m
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TAREA 1 !
Identificar 4 objetos cotidianos que contengan mecanismos que describan los movimientos planos y realizar el diagrama de cuerpo libre. Debe incluir por lo menos uno de los 4 diferentes tipos de movimiento.
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Tomar una fotografía de cada objeto y dibujar a un lado o sobre la misma imagen los elementos cinemáticos que actúan.
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