Notas do Curso de SLC-533 - Topologia Prof. Wagner Vieira Leite Nunes
S˜ao Carlos 2.o semestre de 2008
2
Sum´ ario 1 Introdu¸ c˜ ao
5
2 Espa¸ cos M´ etricos 2.1 Defini¸c˜oes b´asicas e exemplos de espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . 2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos m´etricos . . . 2.3 Subconjuntos limitados de um espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . 2.4 Distˆancia de um ponto a um subconjunto em um espa¸co m´etrico 2.5 Distˆancia entre dois subconjuntos de um espa¸co m´etrico . . . . . 2.6 Isometrias entre espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
7 7 30 41 47 53 54
3 Fun¸ co ˜es Cont´ınuas Definidas em Espa¸ cos M´ etricos 59 3.1 Defini¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua em espa¸cos m´etricos e exemplos . . . . . . . . . . . 59 3.2 Propriedades elementares de fun¸c˜ oes cont´ınuas entre espa¸cos m´etricos . . . . . . 70 3.3 Homeomorfismos entre espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4 M´etricas equivalentes em um espa¸co m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5 Transforma¸c˜oes lineares e multilineares definidas em espa¸cos vetoriais normados . 102 4 Bibliografia
115
3
4
´ SUMARIO
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ ao Este trabalho poder´a servir como notas de aula para cursos cujas ementas tratam de espa¸cos m´etricos. Ser˜ao exibidos todos os conceitos relacionados com o conte´ udo acima, bem como propriedades e aplica¸c˜oes dos mesmos. As referˆencias ao final das notas poder˜ao servir como material importante para o conte´ udo aqui desenvolvido.
5
6
˜ CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ AO
Cap´ıtulo 2
Espa¸cos M´ etricos 4.08.2008 - 1.a e 2.a
2.1
Defini¸co ˜es b´ asicas e exemplos de espa¸cos m´ etricos
Come¸caremos com a: Defini¸ c˜ ao 2.1.1 Seja M um conjunto n˜ ao vazio. Diremos que uma aplica¸c˜ ao d:M ×M →R ´e uma m´ etrica (ou distˆ ancia) em M se as seguintes condi¸c˜ oes est˜ ao satisfeitas: (d1) d(x, x) = 0; (d2) se x, y ∈ M e x 6= y ent˜ ao d(x, y) > 0; (d3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ M ; (d4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todo x, y, z ∈ M . Observa¸ c˜ ao 2.1.1 1. (d1) e (d2) implicam que d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ M e que d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y. 2. (d3) nos diz que d(x, y) ´e um fun¸ca ˜o sim´etrica nas vari´ aveis x e y. 3. (d4) ´e conhecida como desigualdade triangular. Este nome se deve ao fato que, na geometria euclideana, o comprimento de um lado de um triˆ angulo ´e sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados do triˆ angulo. 7
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
8
y
x
d(x, z) < d(x, y) + d(y, z)
z
Com isto temos a: Defini¸ c˜ ao 2.1.2 Se d ´e uma m´etrica em M ent˜ ao o par (M, d) ser´ a denominado espa¸ co m´ etrico. Observa¸ c˜ ao 2.1.2 Quando n˜ ao houver possibilidade de confus˜ ao nos referiremos ao espa¸co m´etrico M (ao inv´es de (M, d)) deixando subentendido a m´etrica d a ser considerada. Nota¸ c˜ ao 2.1.1 Se (M, d) ´e um espa¸co m´etrico, os elementos de M ser˜ ao ditos pontos de M . A seguir daremos alguns exemplos de espa¸cos m´etricos. Exemplo 2.1.1 Seja M um conjunto n˜ ao vazio. Consideremos a aplica¸c˜ ao d : M × M → R dada por ( 0, se x = y d(x, y) = 1, se x 6= y
.
Afirmamos que d ´e uma m´etrica em M . Mostremos que (d1) ocorre: Da defini¸c˜ ao de d temos que d(x, x) = 0, mostrando que (d1) se verifica. Mostremos que (d2) ocorre: Se x 6= y, da defini¸c˜ ao de d temos que d(x, y) = 1 > 0, mostrando que (d2) se verifica. Mostremos que (d3) ocorre: Se x = y, da defini¸c˜ ao de d temos que d(x, y) = 0 e d(y, x) = 0, isto ´e, d(x, y) = d(y, x). Se x 6= y, da defini¸c˜ ao de d temos que d(x, y) = 1 e d(y, x) = 1, isto ´e, d(x, y) = d(y, x), mostrando que (d2) se verifica. Mostremos que (d4) ocorre: Se x = z ent˜ ao temos que d(x, z) = 0 ≤ d(x, y) + d(y, z) independente de y ∈ M (pois d(x, y), d(y, z) ≥ 0). Se x 6= z ent˜ ao temos que d(x, z) = 1 ≤ d(x, y) + d(y, z)
(∗)
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
9
independente de y ∈ M (pois se y = z teremos d(x, y) = 0 mas como y = x 6= z segue que d(y, z) = 1 assim (*) ocorrer´ a; de modo semelhante se y = z). Portanto vale (d4), ou seja, d ´e uma m´etrica em M . Observa¸ c˜ ao 2.1.3 A m´etrica acima ´e denominada m´ etrica zero-um. Exemplo 2.1.2 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico e S ⊆ M n˜ ao vazio. . Ent˜ ao tomando-se a restri¸c˜ ao de d sobre S, isto ´e, d|S : S × S → R dada por d|S (x, y) = d(x, y) para x, y ∈ S ent˜ ao segue que d|S ´e uma m´etrica em S. A veririfica¸c˜ ao que (d1)-(d4) valem para d|S ´e imediata (pois se (d1)-(d4) valem em M continuar˜ ao valendo em S). Observa¸ c˜ ao 2.1.4 No caso acima S ser´ a dito subespa¸ co (m´ etrico) de M e a m´etrica d|S ser´ a dita m´ etrica induzida pela m´ etrica d de M . Exemplo 2.1.3 Seja M = R e d : R × R → R dada por . d(x, y) = |x − y| para x, y ∈ R. Afirmamos que d ´e uma m´etrica em M . Mostremos que (d1) ocorre: De fato, d(x, x) = |x − x| = |0| Mostremos que (d2) ocorre:
[propriedade do m´ odulo]
Se x 6= y ent˜ ao d(x, y) = |x − y| Mostremos que (d3) ocorre:
=
[x−y6=0]
>
De fato, d(y, x) = |y − x| = | − (x − y)| Mostremos que (d4) ocorre:
0.
0. [propriedade do m´ odulo]
=
|x − y| = d(x, y)
De fato, d(x, y) = |x − y| = |x + (−z + z) − y| = |(x − z) + (z − y)| |x − z| + |z − y| = d(x, z) + d(z, y). Portanto vale (d4), ou seja, d ´e uma m´etrica em M .
[propriedade do m´ odulo]
≤
Observa¸ c˜ ao 2.1.5 No caso acima diremos que a m´etrica d ´e a m´ etrica usual de R. Podemos generalizar o exemplo acima, a saber: Exemplo 2.1.4 Seja M = Rn . Podemos considerar as seguintes aplica¸c˜ oes d, d0 , d00 : Rn × Rn → R,
j = 1, 2, 3 :
#1 " n 2 X . p 2 (xi − yi ) . 1. d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 = i=1 n
X . 2. d0 (x, y) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | = |xi − yi |. i=1
. 3. d00 (x, y) = max{|x1 − y1 |, · · · , |xn − yn |} = max |xi − yi |, 1≤i≤n
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
10
onde x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn . As aplica¸c˜ oes d, d0 , d00 s˜ ao m´etricas em Rn . Mostremos que aplica¸c˜ ao d satisfaz as condi¸co ˜es (d1)-(d4): (d1) Temos que d(x, x) =
" n X
#1
2
(xi − xi )
2
=
" n X
i=1
#1 2
0
2
= 0.
i=1
(d2) Se x 6= y ent˜ ao para algum i0 ∈ {1, · · · , n} temos que xi0 6= yi0 assim " n #1 2 X 1 d(x, y) = (xi − yi )2 ≥ [(xi0 − yi0 )2 ] 2 > 0. i=1
(d3) Se x, y ∈ Rn temos que " n #1 " n #1 " n #1 2 2 2 X X X 2 2 2 2 d(x, y) = (xi − yi ) = [−(yi − xi )] = (−1) (yi − xi ) i=1
=
" n X
i=1
#1
i=1
2
(yi − xi )2
= d(y, x)
i=1
(d4) Ser´ a verificada no exemplo (2.1.14). Logo d ´e um m´etrica em Rn . Mostremos que aplica¸c˜ ao d0 satisfaz as condi¸c˜ oes (d1)-(d4): (d1) Temos que 0
d (x, x) =
n X
|xi − xi | =
n X
i=1
0 = 0.
i=1
(d2) Se x 6= y ent˜ ao para algum i0 ∈ {1, · · · , n} temos que xi0 6= yi0 assim d0 (x, y) =
n X
|xi − xi | ≥ |xi0 − yi0 | > 0.
i=1
(d3) Se x, y ∈ Rn temos que d0 (x, y) =
n X
|xi − yi | =
i=1 n X
n X
| − (−xi + yi )| =
i=1
n X
|(−1)yi − xi | =
i=1
n X
| − 1||xi − xi |
i=1
|yi − xi | = d0 (y, x).
i=1
(d4) Sejam x, y, z ∈ Rn ent˜ ao 0
d (x, y) =
n X
|xi − yi | =
i=1 [|a+b|≤|a|+|b|]
≤
n X
|xi + (−zi + zi ) − yi )| =
i=1 n X i=1
|xi − zi | + |zi − yi | =
n X
|(xi − zi ) + (zi − yi )|
i=1 n X i=1
|xi − zi | +
n X i=1
|zi − yi | = d0 (x, z) + d0 (z, y).
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
11
Logo d0 ´e um m´etrica em Rn . Mostremos que aplica¸c˜ ao d00 satisfaz as condi¸c˜ oes (d1)-(d4): (d1) Temos que d00 (x, x) = max |xi − xi | = max 0 = 0. 1≤i≤n
1≤i≤n
(d2) Se x 6= y ent˜ ao para algum i0 ∈ {1, · · · , n} temos que xi0 6= yi0 assim d00 (x, y) = max |xi − xi | ≥ |xi0 − yi0 | > 0. 1≤i≤n
(d3) Se x, y ∈ Rn temos que d00 (x, y) = max |xi − yi | = max | − (−xi + yi )| = max |(−1)yi − xi | = max [| − 1||xi − xi |] 1≤i≤n
1≤i≤n 00
1≤i≤n
1≤i≤n
= max |yi − xi | = d (y, x). 1≤i≤n
(d4) Sejam x, y, z ∈ Rn ent˜ ao d00 (x, y) = max |xi − yi | = max |xi + (−zi + zi ) − yi )| = max |(xi − zi ) + (zi − yi )| 1≤i≤n
1≤i≤n
[|a+b|≤|a|+|b|]
≤
1≤i≤n
max [|xi − zi | + |zi − yi |]
1≤i≤n
[max{A+B}≤max A+max B]
≤
max |xi − zi | + max |zi − yi | = d00 (x, z) + d00 (z, y).
1≤i≤n
1≤i≤n
Logo d00 ´e um m´etrica em Rn . Observa¸ c˜ ao 2.1.6 1. A m´etrica d acima definida ser´ a denominada m´ etrica euclideana. Ela prov´em da f´ ormula da distˆ ancia entre dois pontos (em coordenadas cartesianas) que ´e uma conseq¨ uˆencia do Teorema de Pit´ agoras (pois o quadrado do comprimento da hipotenusa ´e igual ao quadrado da distˆ ancia entre os pontos que correspondem aos v´ertices da hipotenusa; logo devem ser igual a soma dos quadrados dos catetos, que correspondem a somar o quadrado das distˆ ancias das proje¸c˜ oes ortogonais nos respectivos eixos cartesianos; veja 2 figura abaixo para o caso R ). d(p, q) =
p
(q1 − p1 )2 + (q2 − p2 )2
6 q
q2
p2
p
p1
q1
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
12
Devido a este fato a m´etrica d ser´ a dita m´ etrica usual de Rn . 2. Se n = 2 a m´etrica d ´e a que d´ a a distˆ ancia entre os pontos p e q do plano (ou seja, o comprimento do segmento de reta que une os pontos p e q, vide figura abaixo). q
d(p, q)
p
A m´etrica d0 nos d´ a a distˆ ancia entre dois pontos do plano utilizando-se dos catetos de um triˆ angulo retˆ angulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo). q
6
r
p
¾
Y
M ?
-
d0 (p, q) = d(p, r) + d(r, q)
A m´etrica d00 nos d´ a a distˆ ancia entre dois pontos do plano utilizando-se o comprimento do maior cateto de um triˆ angulo retˆ angulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo). q
r
p
¾
Y
-
d00 (p, q) = max{d(p, r), d(r, q)}
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
13
Geometricamente, temos a seguinte configura¸c˜ ao para as trˆes distˆ ancias acima: q
6 d(p, q)
M ? ¾
-
p
d00 (p, q)
d0 (p, q)
9 -
¾
3. Se n = 2 temos o plano R2 cujos elementos ser˜ ao representados por (x, y) ou (u, v), onde x, y, u, v ∈ R. 4. Em algumas situa¸c˜ oes identificamos R2 com C, o conjunto dos n´ umeros complexos por . meio da correspondˆencia (x, y) 7→ x + iy, onde i2 = −1. 5. Se n = 3 temos o espa¸co R2 cujos elementos ser˜ ao representados por (x, y, z) ou (u, v, w), onde x, y, z, u, v, w ∈ R. Com isto temos a Proposi¸ c˜ ao 2.1.1 Consideremos d, d0 , d00 as m´etricas definidas no exemplo (2.1.4). Ent˜ ao, para todo x, y, ∈ Rn temos d00 (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d0 (x, y) ≤ n d00 (x, y). Demonstra¸ c˜ ao: Afirmamos que para todo a, b ≥ 0 temos que: √ √ √ a + b ≤ a + b (∗). De fato, pois √ √ √ √ √ √ √ √ [ a + b]2 = [ a]2 + 2 a b + [ b]2 = a + 2 a b + b ≥ a + b. √ √ √ Portanto a + b ≤ a + b como afirmamos. Observemos que para todo x, y, ∈ Rn temos 1 2 √ n X p [|a|= a2 ] 00 2 2 d (x, y) = max |xi − yi | = max (xi − yi ) ≤ = d(x, y), (xj − yj ) 1≤i≤n
1≤i≤n
1 2 n n q X (∗) X 2 d(x, y) = (xj − yj ) ≤ (xj − yj )2 j=1
d0 (x, y) =
n X j=1
|xj − yj | ≤
√ [ a2 =|a|]
=
j=1 n X j=1
n X
|xj − yj | = d0 (x, y) e
j=1
max {|xj − yj |} = max {|xj − yj |}
1≤j≤n 00
max {|xj − yj |}.n = n.d (x, y)
1≤j≤n
j=1
1≤j≤n
n X
1
j=1
(2.1)
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
14 completando a demonstra¸c˜ao.
¤ Temos a seguinte defini¸c˜ao: Defini¸ c˜ ao 2.1.3 Seja X um conjunto n˜ ao vazio. Diremos que uma fun¸ca ˜o f : X → R ´e limitada se existir k = kf > 0 tal que |f (x)| ≤ k, para todo x ∈ X. Denotaremos por B(X; R) o conjunto formado por todas as fun¸c˜ oes, f : X → R que s˜ ao limitadas, isto ´e, . B(X; R) = {f : X → R : f ´e limitada}. 11.08.2008 - 3.a e 4.a Precisaremos de um conceito e algunes resultados relacionados ao mesmo para o pr´oximo exemplo. Defini¸ c˜ ao 2.1.4 Seja A ⊆ R, A 6= ∅. Diremos que o conjunto A ´e limitado superiormente em R se existir l ∈ R tal que a ≤ l,
para todo
a ∈ A.
Neste caso diremos que l ´e um limitante superior do conjunto A. De modo semelhante, diremos que o conjunto A ´e limitado inferiormente em R se existir m ∈ R tal que m ≤ a, para todo a ∈ A. Neste caso diremos que m ´e um limitante inferior do conjunto A. Alguns exemplos Exemplo 2.1.5 1. Se A = (−∞, π) ent˜ ao A ´e limitado superiormente em R (por exemplo, l = 4 ´e um limitante superior do conjunto A) e n˜ ao ´e limitado inferiormente em R. 2. Se A = (e, ∞) ent˜ ao A ´e limitado inferiormente em R (por exemplo, m = 3 ´e um limitante inferior do conjunto A) e n˜ ao ´e limitado superiormente em R. 3. Se A = N ent˜ ao A n˜ ao ´e limitado superiormente ou inferiormente em R. 1 4. Se A = { : n ∈ N} ent˜ ao A ´e limitado superiormentee inferiormente em R (por exemolo, n l = 1 ´e um limitante superior do conjunto A e m = −1 ´e um limitante inferior do conjunto A). Defini¸ c˜ ao 2.1.5 Seja A ⊆ R limitado superiormente em R. Diremos que s0 ∈ R ´e o supremo do conjunto A, denotado por sup A, se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: (s1) s0 ´e um limitante superior do conjunto A; (s2) s0 ´e o menor n´ umero real satisfazendo a propriedade (s1) (isto ´e, qualquer n´ umero real menor que ele n˜ ao ser´ a limitante superior do conjunto A).
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
15
De modo temos a: Defini¸ c˜ ao 2.1.6 Seja A ⊆ R limitado inferiormente em R. Diremos que s1 ∈ R ´e o ´ınfimo do conjunto A, denotado por inf A se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: (i1) s1 ´e um limitante inferior do conjunto A; (i2) s1 ´e o maior n´ umero real satisfazendo a propriedade (i1) (isto ´e, qualquer n´ umero real maior que ele n˜ ao ser´ a limitante superior do conjunto A). A seguir daremos um resultado muito u ´til para a caracteriza¸c˜ ao do supremo e do ´ınfimo de um subconjunto limitado de R, a saber: Teorema 2.1.1 Seja A ⊆ R limitado superiormente em R. s0 = sup A se, e somente se, (s1’) s0 ´e um limitante superior do conjunto A; (s2’) dado ε > 0 existe a ∈ A tal que s0 − ε < a ≤ s0 . a∈A
? s0 − ε
s0 = sup A
Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos que s0 = sup A. Ent˜ao s0 ´e limitante superior de A, logo vale (s1’) (pois (s1) ´e igual e (s1’)). Por outro lado, dado 0 < ε temos que . s = s0 − ε < s0 , logo s n˜ao poder´a ser limitante superior (pois s0 ´e o menor limitante superior e s < s0 ). Assim deve existir a ∈ A tal que s0 − ε < a ≤ s0 , ou seja, vale (s2’). Por outro lado se (s1’) e (s2’) ocorrem ent˜ ao (s1) da defini¸c˜ ao de supremo ocorrer´a (pois (s1’)=(s1)). Precisamos mostrar que (s2) da defini¸c˜ ao de supremo ocorrer´a. Para isto seja s ∈ R tal que s < s0 . Mostraremos que s n˜ao poder´a ser limitante superior de A e assim s0 ser´a o menor limitante superior de A, isto ´e, s0 = sup A. . Consideremos ε = s0 − s > 0. De (s2’) segue que existe a ∈ A tal que s0 − ε < a ≤ s0 ,
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
16 ou seja
s = s0 − (s0 − s) = s0 − ε < a para algum a ∈ A, ou ainda, s < a, para algum a ∈ A. Logo s n˜ao ´e limitante superior de A mostrando (s2) e completando a demonstra¸c˜ ao. ¤ De modo an´alogo temos o Teorema 2.1.2 Seja A ⊆ R limitado inferiormente em R. s1 = inf A se, e somente se, (i1’) s1 ´e um limitante inferior do conjunto A; (i2’) dado ε > 0 existe a ∈ A tal que s1 ≤ a < s1 + ε. a∈A
? s = inf A
s+ε
Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos que s1 = inf A. Ent˜ao s1 ´e limitante inferior de A, logo vale (i1’) (pois (i1) ´e igual e (i1’)). Por outro lado, dado 0 < ε temos que . s = s1 + ε > s1 , logo s n˜ao poder´a ser limitante inferior (pois s1 ´e o maior limitante superior e s > s1 ). Assim deve existir a ∈ A tal que s1 ≤ a < s1 + ε, ou seja, vale (i2’). Por outro lado se (i1’) e (i2’) ocorrem ent˜ ao (i1) da defini¸c˜ ao de supremo ocorrer´a (pois (i1’)=(i1)). Precisamos mostrar que (i2) da defini¸c˜ ao de ´ınfimo ocorrer´a. Para isto seja s ∈ R tal que s > s1 . Mostraremos que s n˜ao poder´a ser limitante inferior de A e assim s1 ser´a o maior limitante superior de A, isto ´e, s1 = inf A. . Consideremos ε = s − s1 > 0. De (i2’) segue que existe a ∈ A tal que s1 ≤ a < s1 + ε, ou seja, a < s1 + ε = s1 + (s − s1 ) = s para algum a ∈ A, ou ainda, s > a, para algum a ∈ A. Logo s n˜ao ´e limitante inferior de A mostrando (i2) e completando a demonstra¸c˜ ao. ¤ Deixaremos para o leitor provar que as seguintes propriedades para o supremo e o ´ınfimo de subsconjuntos limitados de R ocorrem:
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
17
Exemplo 2.1.6 Seja A, B ⊆ R limitado (isto ´e, limitado superiormente e inferiormente) e α ∈ R. Exerc´ıcio 1.1.1: +0.5 cada item, exceto 1. Ent˜ ao 1. inf A ≤ sup A. 2. Se A ⊆ B ent˜ ao sup A ≤ sup B, inf A ≥ inf B. . 3. Definamos A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. Ent˜ ao A + B ´e um subconjunto limitado de R e sup(A + B) = sup A + sup B, inf(A + B) = inf A + inf B. . 4. Se α > 0 definamos αA = {α a ∈ A}. Ent˜ ao αA ´e limitado em R e sup(αA) = α sup A, inf(αA) = α inf A. 5. Se α < 0 ent˜ ao sup(αA) = α inf A, inf(αA) = α sup A. . 6. Em particular, se −A = {−a : a ∈ A} ent˜ ao sup(−A) = − inf A, inf(−A) = − sup A. . 7. Se A, B ⊆ [0, ∞) e s˜ ao limitados definamos A.B = {a.b : a ∈ A, b ∈ B}. Enta˜ o A.B ´e limitado em R e sup(A.B) = sup A. sup B, inf(A.B) = inf A. inf B. Deixaremos para o leitor provar que as seguintes propriedades para o supremo e o ´ınfimo de fun¸c˜oes limitadas tomando valores em R ocorrem: Exemplo 2.1.7 Se f, g ∈ B(X; R) e α ∈ R temos que
+0.5 cada item
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
18
1. f + g ∈ B(X; R) (isto ´e, f + g ´e uma fun¸c˜ ao limitada em X), αf ∈ B(X; R) (isto ´e, αf ´e uma fun¸c˜ ao limitada em X) e sup (f + g)(x) ≤ sup f (x) + sup g(x) x∈X
x∈X
x∈X
inf (f + g)(x) ≥ inf f (x) + inf g(x).
x∈X
x∈X
x∈X
Se α > 0 ent˜ ao sup (αf )(x) = α sup f (x) x∈X
x∈X
inf (αf )(x) = α inf f (x).
x∈X
x∈X
Se α < 0 ent˜ ao sup (αf )(x) = α inf f (x) x∈X
x∈X
inf (αf )(x) = α sup f (x).
x∈X
x∈X
2. Se f, g : X → [0, ∞) e s˜ ao limitadas ent˜ ao sup (f.g)(x) ≤ sup f (x). sup g(x) x∈X
x∈X
x∈X
inf (f.g)(x) ≥ inf f (x). inf g(x).
x∈X
x∈X
x∈X
Observa¸ c˜ ao 2.1.7 1. Observemos que utilizamos as seguintes nota¸co ˜es no teorema acima . sup f (x) = sup{f (X)} x∈X
. inf f (x) = inf{f (X)} . sup (f + g)(x) = sup{(f + g)(X)} x∈X
x∈X
. inf (f + g)(x) = inf{(f + g)(X)} . sup (αf )(x) = sup{(αf )(X)}
x∈X
x∈X
. inf (αf )(x) = inf{(αf )(X)}.
x∈X
2. Nos itens 1. e 2. do teorema acima ser´ au ´til mostrarmos primeiramente que se f, g : X → R ent˜ ao (f + g)(X) ⊆ f (X) + g(X) (f.g)(X) ⊆ f (X).g(X). 3. Diremos que um conjunto E, n˜ ao vazio, munido de duas opera¸c˜ oes: +:E×E →E .:R×E →E ´e um espa¸ co vetorial sobre R se tem as seguintes propriedades:
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
19
(A1) ”+” ´e comutativa, isto ´e, x + y = y + x, para todo x, y ∈ E; (A2) ”+” ´e associativa , isto ´e, (x + y) + z = x + (y + z), para todo x, y, z ∈ E; (A3) ”+” tem elemento neutro, isto ´e, Existe um elemento, indicado por 0, em E tal que x + 0 = x, para todo x ∈ E; (A4) ”+” admite elemento oposto, isto ´e, Dado x ∈ E existe um elemento, indicado por −x em E, denominado oposto de x, tal que x + (−x) = 0; (M1) Vale a ssociativa da multiplica¸c˜ ao de n´ umeros reais e ”.”, isto e´, (αβ).x = α.(β.x), para todo x ∈ E e α, β ∈ R; (M2) O n´ umero real 1 ´e elemento neutro ”.”, isto ´e, 1.x = x, para todo x ∈ E; (D1) Vale a distributiva da ”.” por ”+”, isto ´e, α.(x + y) = α.x + α.y, para todo x, y ∈ E e α ∈ R; (D2) Vale a distributiva de adi¸c˜ ao de n´ umeros reais por ”.”, isto ´e, (α + β).x = α.x + β.x, para todo x ∈ E e α, β ∈ R. Na situa¸c˜ ao acima denotaremos o espa¸co vetorial pela terna (E, +, .) ou, quando n˜ ao houver possibilidade de confus˜ ao, por E simplesmente. Exemplo 2.1.8 Na situa¸c˜ ao acima temos que B(X; R) tornar-se-´ a um espa¸co vetorial sobre R com as opera¸c˜ oes usuais de adi¸ca ˜o de fun¸c˜ oes e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por fun¸c˜ ao (isto ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor). Definimos d : B(X; R) × B(X; R) → R por
. d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|, x∈X
onde f, g ∈ B(X; R). Afirmamos que d ´e uma m´etrica em B(X; R). De fato: 1. Se f ∈ B(X; R) ent˜ ao d(f, f ) = sup |f (x) − f (x)| = 0, x∈X
mostrando que vale (d1);
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
20
2. Se f, g ∈ B(X; R) e f 6= g ent˜ ao existe x0 ∈ X tal que f (x0 ) 6= g(x0 ). Assim d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| ≥ |f (x0 ) − g(x0 )| > 0, x∈X
mostrando que vale (d2); 3. Se f, g ∈ B(X; R) ent˜ ao d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| = sup | − [g(x) − f (x)]| = sup |g(x) − f (x)| = d(g, f ), x∈X
x∈X
x∈X
mostrando que vale (d3); 4. Se f, g, h ∈ B(X; R) ent˜ ao para cada x ∈ X temos que |f (x) − g(x)| = |[f (x) − h(x)] + [h(x) − g(x)]|
[|a+b|≤|a|+|b|]
≤
|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|.
Logo d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)|} ≤ sup {|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|}. x∈X
(∗)
x∈X
Sabemos que se A e B s˜ ao limitados superiormente em R ent˜ ao A + B ´e limitado superiormente em R e sup[A + B] ≤ sup A + sup B. Aplicando isto ao lado direito de (*) obteremos d(f, g) ≤ sup {|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|} ≤ sup {|f (x) − h(x)|} + sup {|h(x) − g(x)|} x∈X
x∈X
x∈X
= d(f, h) + d(h, g), mostrande que (d4) ´e verdadeira. completando a prova que d ´e uma m´etrica em B(X; R). Observa¸ c˜ ao 2.1.8 1. A m´etrica definida no exemplo acima ´e denominada m´ etrica da convergˆ encia uniforme ou m´ etrica do sup. . 2. Para ilustrar, se X = [0, 1], f, g : [0, 1] → R s˜ ao dadas por f (x) = x
e
g(x) = x2 ,
x ∈ [0, 1]
ent˜ ao, geometricamente, d(f, g) ser´ a o comprimento da maior corda vertical unindo os pontos dos gr´ aficos das fun¸c˜ oes f e g (vide figura abaixo).
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
21
y 1
6 2 d(f, g) = |f ( 1 ) − g( 1 )| = 1 − 1 = 1 2 2 2 2 4
6 +
f
g
? -
1 2
x
1
3. Vale observar que se X = {1, 2, · · · , n} ent˜ ao toda fun¸c˜ ao f ∈ B(X; R) ser´ a limitada (pois |f (x)| ≤ max |f (i)|, x ∈ X). 1≤i≤n
. Logo podenos identificar f com a n-upla (x1 , x2 , · · · , xn ) onde xi = f (i), 1 ≤ i ≤ n. Portanto B(X; R) pode ser identificado com Rn . Neste caso a m´etrica d em B(X; R) definida no exemplo acima induzir´ a a m´etrica d00 em n R , pois d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| = max |f (i) − g(i)| = max |xi − yi | = d00 (x, y), 1≤i≤n
x∈X
1≤i≤n
onde xi = f (i), yi = g(i), i = 1, · · · , n. Conclus˜ ao, temos a seguinte identifica¸c˜ ao: (B(X; R), d) = (Rn , d00 ). Para o pr´oximo exemplo precisaremos da: Defini¸ c˜ ao 2.1.7 Seja E um espa¸co vetorial sobre R. Diremos que uma fun¸c˜ ao k.k :→ R ´e uma norma em E se as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao verificadas: (n1) Se x ∈ E ´e tal que x 6= ~0 ent˜ ao kxk 6= 0; (n2) Se λ ∈ R e x ∈ E ent˜ ao kλ xk = |λ| kxk; (n3) Se x, y ∈ E ent˜ ao kx + yk ≤ kxk + kyk. Observa¸ c˜ ao 2.1.9 1. Observemos para todo x ∈ E temos que (n2) k~0k = k0.xk = |0|kxk = 0
e
(n2)
k − xk = k(−1).xk = | − 1|kxk = kxk
2. Se x ∈ E temos (n3)
(∗)
0 = kx + (−x)k ≤ kxk + k − xk = kxk + kxk = 2kxk. Logo kxk ≥ 0, para todo x ∈ E.
(∗).
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
22
3. Segue de (n1) e do item 2. acima segue que se x ∈ E, x 6= ~0 ent˜ ao kxk > 0. Com isto temos a Defini¸ c˜ ao 2.1.8 Um espa¸ co vetorial normal ´e um par (E, k.k) onde E ´e um espa¸co vetorial sobre R e k.k ´e uma norma definida em E. A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos vetoriais normados. Exemplo 2.1.9 Consideremos em Rn as seguintes fun¸c˜ oes k.k, k.k0 , k.k00 : Rn → R dadas por v u n n X X . u . 0 . 2 t kxk = xi , kxk = |xi |, kxk00 = max |xi |, i=1
1≤i≤n
i=1
onde x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn . Mostremos que as fun¸c˜ oes k.k, k.k0 , k.k00 acima definidas s˜ ao normas em Rn . De fato, k.k satisfaz: (n1) Para x ∈ Rn , x 6= ~0 temos que xi0 6= 0 para algum i0 ∈ {1, · · · , n} assim v u n uX [x2i0 0] kxk = t x2i > 0, i=1
em particular, kxk 6= 0. (n2) Para x ∈ Rn e λ ∈ R temos v v v u n u n u n uX uX u X 2 2 2 2 t t t kλ xk = (λ xi ) = λ xi = λ x2i i=1
v u n √ uX 2 = λ t x2 i
i=1
i=1
v u n √ uX 2 [ λ =|λ|] = |λ|t x2i = |λ|kxk.
i=1
i=1
(n3) Ser´ a verificada no exemplo (2.1.14), mostrando que k.k ´e uma norma em Rn . De modo semelhante temos que k.k0 satisfaz: (n1) Para x ∈ Rn , x 6= ~0 temos que xi0 6= 0 para algum i0 ∈ {1, · · · , n} assim 0
kxk =
n X
[x2i 0] 0
|xi | > 0,
i=1
em particular, kxk0 6= 0. (n2) Para x ∈ Rn e λ ∈ R temos 0
kλ xk =
n X i=1
|λ xi | =
n X i=1
|λ||xi | = |λ|
n X i=1
|xi | = |λ| kxk0 .
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
23
(n3) Para x, y ∈ Rn temos kx + yk =
n X
|xi + yi |
[|xi +yi |≤|xi |+|yi |]
≤
n X [|xi | + |yi |] = kxk00 + kyk0 ,
i=1
i=1
mostrando que k.k0 ´e uma norma em Rn . Finalmente k.k00 satisfaz: (n1) Para x ∈ Rn , x 6= ~0 temos que xi0 6= 0 para algum i0 ∈ {1, · · · , n} assim kxk00 = max |xi |
[x2i >0] 0
>
i=1,··· ,n
0,
em particular, kxk00 6= 0. (n2) Para x ∈ Rn e λ ∈ R temos kλ xk00 = max |λ xi | = max [|λ||xi |] = |λ| max |xi | = |λ| kxk00 . i=1,··· ,n
i=1,··· ,n
i=1,··· ,n
(n3) Para x, y ∈ Rn temos kx + yk00 = max |xi + yi | i=1,··· ,n 00
[|xi +yi |≤|xi |+|yi |]
≤
max [|xi | + |yi |] ≤ max |xi | + max |yi |
i=1,··· ,n
i=1,··· ,n
i=1,··· ,n
00
= kxk + kyk . mostrando que k.k00 ´e uma norma em Rn . 18.08.2008 - 5.a e 6.a Outro exemplo importante ´e Exemplo 2.1.10 No exemplo (2.1.8) acima podemos considerar a fun¸c˜ ao k.k : B(X; R) → R dada por . kf k = sup |f (x)|, f ∈ B(X; R). x∈X
Mostremos que k.k satisfaz (n1)-(n3): (n1) Se f ∈ B(X; R) e f 6= 0 (ou seja, n˜ ao ´e a fun¸c˜ ao identicamente nula) ent˜ ao existe x0 ∈ X tal que f (x0 ) 6= 0, assim kf k = sup |f (x)| ≥ |f (x0 )| > 0, x∈X
em particular, kf k 6= 0. (n2) Se f ∈ B(X; R) e λ ∈ R temos kλf k = sup |λf (x)| = sup [|λ||f (x)|] x∈X
x∈X
[Exemplo (2.1.7) item 2.]
=
|λ| sup |f (x)| = |λkf k. x∈X
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
24 (n3) Se f, g ∈ B(X; R) temos kf + gk = sup |(f + g)(x)| = sup |f (x) + g(x)| x∈X
[|f (x)+g(x)|≤|f (x)|+|g(x)|]
≤
x∈X
[Exemplo (2.1.7) item 1.]
≤
sup [|f (x)| + |g(x)|] x∈X
sup |f (x)| + sup |g(x)| = kf k + kgk, x∈X
x∈X
mostrando que k.k ´e uma norma em B(X; R). Tal norma ser´ a denomiada de norma da convergˆ encia uniforme (ou do sup) em B(X; R). Podemos agora obter uma cole¸c˜ao de exemplos de espa¸cos m´etricos, a saber: Exemplo 2.1.11 Seja (E, k.k) um espa¸co vetorial normado. Consideremos a fun¸c˜ oes d:E×E →R dada por
. d(x, y) = kx − yk,
x, y, ∈ E.
Afirmamos que d ´e um m´etrica em E. De fato: 1. [Observa¸ca ˜o (2.1.9) item 1.] d(x, x) = kx − xk = k~0k = 0,
ou seja, vale (d1); 2. Se x 6= y temos que x − y 6= ~0, logo d(x, y) = kx − yk
[observa¸ca ˜o (2.1.9) item 3.]
>
0,
ou seja, vale (d2); 3. Se x, y ∈ E temos que d(x, y) = kx − yk
[observa¸ca ˜o (2.1.9) item 1.]
=
k − (x − y)k = ky − xk = d(y, x),
ou seja, vale (d3); 4. Se x, y, z ∈ E temos que (n4)
d(x, z) = kx − zk = k(x − y) + (y − z)| ≤ kx − yk + ky − z| = d(x, y) + d(y, z), ou seja, vale (d4). Portanto d ´e um m´etrica em E e assim (E, d) ´e um espa¸co m´etrico. Observa¸ c˜ ao 2.1.10
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
25
1. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial normado ´e um espa¸co m´etrico. Neste caso diremos que a m´etrica d prov´ em da norma k.k. Por exemplo, as m´etricas d, d0 , d00 de Rn prov´em das normas k.k, k.k0 , k.k00 , respectivamente. De modo semelhante temos que a m´etrica d(f, g) = kf − gk definida em B(X; R) (onde a norma k.k ´e a do exemplo (2.1.7)) ´e proveniente da norma da convergˆencia uniforme. 2. Pergunta-se: Seja E ´e um espa¸co vetorial sobre R e d ´e um m´etrica em E. Existir´ a uma norma em E de modo que a m´etrica dada d prov´em dess norma? ou seja, uma m´etrica qualquer definida E prov´em de alguma norma definida em E? Infelizmente isto ´e falso. Na verdade na lista de exerc´ıcio pede-se para mostrar que num espa¸co vetorial uma m´etrica prov´em de uma norma se, e somente se, valem as seguintes identidades d(x + a, y + a) = d(x, y) d(λx, λy) = |λ|d(x, y), para todo x, y, a ∈ E e λ ∈ R. 3. Observemos tamb´em que se (E, k.k) ´e um espa¸co vetorial normado ent˜ ao para todo x ∈ E ~ ~ temos d(x, 0) = kx − 0k = kxk, isto ´e, a norma do vetor x ∈ E ´e a distˆ ancia do ponto x∈E ` a origem 0 ∈ E. Para considerar uma outra classe de exemplos precisaremos da Defini¸ c˜ ao 2.1.9 Seja E um espa¸co vetorial sobre R. Diremos que a fun¸c˜ ao < ., . >: E × E → R ´e um produto interno (ou escalar) em E se satisfas as seguintes condi¸co ˜es: (p1) Para x, x0 , y ∈ E temos < x + x0 , y >=< x, y > + < x0 , y >; (p2) Para x, y ∈ E e λ ∈ R temos < λx, y >= λ < x, y >; (p3) Para x, y ∈ E temos < x, y >=< y, x >; (p4) Para x ∈ E, x 6= ~0 temos < x, x >> 0.
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
26
Neste caso diremos que (E, < ., . >) ´e um espa¸ co com produto interno (ou escalar). Observa¸ c˜ ao 2.1.11 1. Se (E, < ., . >) ´e um espa¸co com produto interno ent˜ ao para x, y, y 0 ∈ E e λ ∈ R temos que (p3)
(p1)
(p3)
< x, y + y 0 > = < y + y 0 , x > = < y, x > + < y 0 , x > = < x, y > + < x, y 0 > e
(p3)
(p2)
(p3)
< x, λy 0 > = < λy, x > = λ < y, x > = λ < x, y >,
(∗)
ou seja, < ., . > ´e linear em cada uma das suas entradas (denominada bilinear). 2. De (p4) temos que se x ∈ E e < x, x >= 0 ent˜ ao x = ~0. Logo temos que < x.x >≥ 0 para todo x ∈ E e < x, x >= 0 se, e somente se, x = ~0. ´ 3. No curso de Algebra Linear dir´ıamos que a fun¸c˜ ao < ., . > ´e bilinear, sim´etrica e positiva definida. A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos com produto interno: Exemplo 2.1.12 Seja E = Rn e definamos < ., . >: Rn × Rn → R por
n
X . < x, y >= x1 y1 + · · · + xn yn = xi yi , i=1
Rn .
onde x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que a fun¸c˜ ao < ., . > definida acima satisfaz as condi¸c˜ oes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, < ., . > ´e um produto interno em Rn . ´ Observa¸ c˜ ao 2.1.12 O caso n = 3 foi tratado na disciplina de Algebra Linear no R3 . Outro exemplo importante ´e: Exemplo 2.1.13 Seja C([a, b]; R) = {f : [a, b] → R; f cont´ınua em [a, b]}. Pode-se mostrar que C([a, b]; R) munido das opera¸c˜ oes usuais de adi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por fun¸c˜ ao ´e um espa¸co vetorial. Para isto basta mostrar que C([a, b]; R) ´e um subsepa¸co vetorial de B([a, b]; R) (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor; lembremos que se f ´e cont´ınua em [a, b] ent˜ ao f ser´ a limitada). Considere a seguinte fun¸c˜ ao < ., . >: C([a, b]; R) × C([a, b]; R) → R dada por: . < f, g >=
Z
b
f (x)g(x) dx, a
se f, g ∈ C([a, b]; R). Ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que < ., . > definida acima satisfaz as condi¸c˜ oes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, ´e um produto interno em C([a, b]; R) . Exerc´ıcio 1.1.2: + 0.5
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
27
Com isto temos uma cole¸c˜ao de espa¸cos vetoriais normados (e protanto, de espa¸cos m´etricos), a saber: Exemplo 2.1.14 Seja (E, < ., . >) um espa¸co vetorial com produto interno. Considere a fun¸c˜ ao k.k : E → R dada por
. √ kxk = < x, x >,
(∗)
para x ∈ E. Afirmamos que k.k ´e uma norma em E. De fato, temos que : 1. Se x ∈ E e x 6= ~0 ent˜ ao kxk =
(p4), 0 √ < x, x > 6= 0,
isto ´e, vale (n1); 2. Se x ∈ E e λ ∈ R ent˜ ao √ √ p [ (p1) e a observa¸c˜ ao (2.1.11) (*)] p kλxk = < λx, λx > = λ2 < x, x > = λ2 < x, x > = |λ|kxk, isto ´e, vale (n2); 3. Nesta situa¸c˜ ao temos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, a saber: se (E, < ., . >) espa¸co vetorial com produto interno ent˜ ao para todo x, y ∈ E temos que | < x, y > | ≤ kxk kyk. De fato: Se x = ~0 valer´ a a igualdade, logo vale a desiguladade. Se x 6= ~0 podemos definir . < x, y > . λ= e z = y − λx kxk2 . Observemos que < z, x > =< y − λx, x >=< y, x > −λ < x, x >=< y, x > −
< x, y > < x, x > < x, x >
=< x, y > − < x, y >= 0, (isto ´e, os vetores em quest˜ ao s˜ ao ortogonais). Logo kyk2 =< y, y >=< z + λx, z + λx >=< z, z > +λ < z, x > +λ < x, z > +λ2 < x, x > [==0]
=
kyk2 + λ2 kxk2
[kyk2 ≥0]
≥
λ2 kxk2 .
Logo λ2 kxk2 ≤ kyk2 ,
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
28 ou seja,
·
< x, y > kxk2
¸2
kxk2 ≤ kyk2 ,
isto ´e, < x, y >2 ≤ kxk2 kyk2 implicando a desigualdade acima, como quer´ıamos demonstrar. 4. Utilizando a Deisgualdade de Cauchy-Schwarz temos que kx + yk2 =< x + y, x + y >=< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y > = kxk2 + 2 < x, y > +kyk2 ≤ kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 , inplicando que kx + yk ≤ kxk + kyk, ou seja , vale (n3). Com isto temos que k.k ´e uma norma em E. Observa¸ c˜ ao 2.1.13 1. No caso acima diremos que a norma (*) definida acima ´e uma norma que prov´ em do produto interno de E. 2. Logo o exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial com produto interno pode tornar-se um espa¸co vetorial normado (com a norma que prov´em do produto interno dado). 3. Pergunta-se: Seja E um espa¸co vetorial. Toda norma de E prov´em de um produto interno? A resposta ´e negativa, isto ´e, existem espa¸cos vetoriais que possuem normas que n˜ ao prov´em de um produto interno. No exerc´ıcio 5 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor ´e convidado a mostrar que em B(X; R) a norma da convergˆencia uniforme n˜ ao prov´em de um produto interno. Um outro exemplo pode ser obtido utlizando-se o item abaixo. 4. Como exerc´ıcio para o leitor temos o:
Exerc´ıcio 1.1.3: +0.5
Seja (E, k.k) um espa¸co vetorial normado. A norma k.k prov´em de um produto interno se, e somente se, temos que kx + yk2 + kx − yk2 = 2[kxk2 + kyk2 ], que ´e conhecida como lei do paralelogramo. 5. Logo a norma k.k0 em R2 n˜ ao prov´em de um produto interno pois tomando-se x = (1, 0) e y = (0, 1) temos que estes vetores n˜ ao satisfazem a lei do paralelogramo (verifique!). 6. Como conseq¨ uˆencia do que vimos acima todo espa¸co vetorial com produto interno ´e um espa¸co m´etrico (basta tomar a m´etrica que prov´em da norma que ´e proveniente do produto interno). Para concluir a se¸c˜ao temos o:
˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS
29
Exemplo 2.1.15 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) dois espa¸cos m´etricos. Em M × N podemos considerar as seguinte fun¸c˜ oes d, d0 , d00 : [M × N ] × [M × N ] → R dadas por: . p d(z, z 0 ) = [dM (x, x0 )]2 + [dN (y, y 0 )]2 ; . d0 (z, z 0 ) = dM (x, x0 ) + dN (y, y 0 ); . d00 (z, z 0 ) = max{dM (x, x0 ), dN (y, y 0 )}, onde z = (x, y), z 0 = (x0 , y 0 ) ∈ M × N . Ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que d, d0 , d00 s˜ ao metricas em M × N . Observa¸ c˜ ao 2.1.14 1. Podemos generalizar o exemplo acima para um produto finito de espa¸cos m´etricos. Mais precisamente, se (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), · · · , (Mn , dn ) s˜ ao n-espa¸cos m´etricos ent˜ ao podemos definir as seguintes m´etricas (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) no produto cartesiano M1 × M2 × · · · × Mn : v u n p uX . 2 2 d(x, y) = [d1 (x1 , y1 )] + · · · + [dn (xn , yn )] = t [di (xi , yi )]2 ; i=1
. d0 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn ) =
n X
di (xi , yi );
i=1
. d00 (x, y) = max{d1 (x1 , y1 ), · · · , dn (xn , yn )} = max {di (xi , yi )}, 1≤i≤n
onde x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ M1 × M2 × · · · × Mn . . 2. A m´etrica d definida acima ser´ a dita m´ etrica produto em M = M1 × M2 × · · · × Mn . . A m´etrica d0 definida acima ser´ a dita m´ etrica da soma em M = M1 × M2 × · · · × Mn . . A m´etrica d00 definida acima ser´ a dita m´ etrica do m´ aximo em M = M1 ×M2 ×· · ·×Mn . 3. De modo an´ alogo ao feito na proposi¸ca ˜o (2.1.1) pode-se mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que para todo x, y, ∈ M1 × M2 × · · · × Mn temos d00 (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d0 (x, y) ≤ n d00 (x, y). 4. Quando M1 = M2 = · · · = Mn = R reobteremos o espa¸co euclideano Rn como produto cartesiano de n c´ opias do esp¸cao m´etrico R. 25.08.2008 - 7.a e 8.a
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
30
2.2
Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos m´ etricos
Come¸caremos introduzindo a: Defini¸ c˜ ao 2.2.1 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico, a ∈ M e r > 0. Definimos a bola aberta de centro em a e raio r, denotada por B(a; r) como sendo o seguinte subconjunto de M : . B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}. Definimos a bola fechada de centro em a e raio r, denotada por B[a; r] como sendo o seguinte subconjunto de M : . B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}. Definimos a esfera de centro em a e raio r, denotada por S(a; r) como sendo o seguinte subconjunto de M : . S(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) = r}. Observa¸ c˜ ao 2.2.1 1. A bola aberta de centro em a e raio r ´e o conjunto dos pontos de M cuja a distˆ ancia ao ponto a ´e menor do que r. A bola fechada de centro em a e raio r ´e o conjunto dos pontos de M cuja a distˆ ancia ao ponto a ´e menor ou igual do que r. A esfera aberta de centro em a e raio r ´e o conjunto dos pontos de M cuja a distˆ ancia ao ponto a ´e igual r. ´ f´ 2. E acil ver que B[a; r] = B(a; r) ∪ S(a; r), onde a reuni˜ ao ´e disjunta, isto ´e, B(a; r) ∩ S(a; r) = ∅. 3. Se M = E ´e um espa¸co vetorial e a m´etrica d prov´em de uma norma k.k (isto ´e, d(~x, ~y ) = k~x − ~y k, ~x, ~y ∈ E) ent˜ ao segue que . B(~a; r) = {~x ∈ E : k~x − ~ak < r}, . B[~a; r] = {~x ∈ E : k~x − ~ak ≤ r}, . S(~a; r) = {~x ∈ E : k~x − ~ak = r}. Temos o seguinte resultado: Proposi¸ c˜ ao 2.2.1 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico, X ⊆ M um subsepa¸co (m´etrico) de M , a ∈ X e r > 0. Denotemos por BX (a; r) a bola aberta de centro em a e raio r em X. Ent˜ ao BX (a; r) = B(a; r) ∩ X, onde B(a; r) ´e a bola aberta de centro em a e raio r em M . Reciprocamente, dada a bola aberta de centro em a e raio r em M ent˜ ao B(a; r) ∩ X ´e a bola aberta de centro em a e raio r em X, ou seja, B(a; r) ∩ X = BX (a; r).
´ 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
31
Demonstra¸ c˜ ao: Observemos que BX (a; r) = {x ∈ X : dX (x, a) < r} = {y ∈ M : d(y, a) < r} ∩ X = B(a : r) ∩ X, completando deste modo a demonstra¸c˜ao do resultado. ¤ De modo semelhante podemos provar a: Proposi¸ c˜ ao 2.2.2 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico, X ⊆ M um subsepa¸co (m´etrico) de M , a ∈ X e r > 0. Denotemos por BX [a; r] e SX (a; r) a bola fechada e esfera de centro em a e raio r em X, respectivamente. Ent˜ ao BX [a; r] = B[a; r] ∩ X, SX [a; r] = S(a; r) ∩ X onde B[a; r], S(a; r) s˜ ao a bola fechada e a esfera de centro em a e raio r em M , respectivamente. Reciprocamente, dada a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em M ent˜ ao B[a; r] ∩ X, ou S(a; r) ∩ X ´e a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em X, respectivamente ou seja, B[a; r] ∩ X = BX [a; r],
S(a; r) ∩ X = SX [a; r].
Demonstra¸ c˜ ao: A demonstra¸c˜ao ser´a deixada como exerc´ıcio para o leitor. ¤ Para ilustrar temos os seguintes exemplos: Exemplo 2.2.1 Consideremos R2 com a m´etrica usual e X = S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. Seja ~a ∈ S 1 e r > 0. Da proposi¸c˜ ao (2.2.1) segue que BS 1 (~a; r) ser´ a um arco (sem os extremos) da circunferˆencia 1 S cujo ponto m´edio ser´ a ~a (vide figura abaixo). y ~
6
BS 1 (~ a; r)
6
S1
-
? ~ a
r
BR2 (~ a : r)
9
-
~ x
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
32
De modo semelhante, da proposi¸c˜ ao (2.2.2) segue que BS 1 [~a; r], SS 1 (~a; r) s˜ ao o arco (com os extremos) da circunferˆencia S 1 cujo ponto m´edio ser´ a o ~a e os pontos extremos do mesmo arco, respectivamente (vide figura abaixo). y ~
BS 1 [~ a; r]
6 *
-
S1
?
6 r
SS 1 (~ a; r)
BR2 [~ a : r]
9
~ a
z -
~ x
Exemplo 2.2.2 Sejam M 6= ∅ munido da m´etrica zero-um, a ∈ X e r > 0. Ent˜ ao Se r > 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[d(x,a)≤1
=
[d(x,a)≤1
=
M, M;
[r<1]
Se r < 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a}, [r<1]
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a}; [r<1]
Se r = 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {a}, [r=1]
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = M, Como conseq¨ uˆencia temos que S(a, r) = B[a; r] \ B(a; r) = ∅,
se
r 6= 1,
S(a; 1) = B[a; 1] \ B(a; 1) = M − {a}.
Exemplo 2.2.3 Sejam R com a m´etrica usual, a ∈ R e r > 0. Ent˜ ao: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {x ∈ M : |x − a| < r} = (a − r, a + r), ou seja, um intervalo aberto, B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = {x ∈ M : |x − a| ≤ r} = [a − r, a + r], ou seja, um intervalo fechado; S(a, r) = B[a; r] \ B(a; r) = {a − r, a + r}, ou seja, os extremos do intervalo. Geometricamente temos:
´ 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
33
Bola aberta de centro em a e raio r
a−r
a
a+r
Bola fechada de centro em a e raio r
a−r
a
a+r
Esfera de centro em a e raio r a
-
a−r
a+r
Exemplo 2.2.4 Consideremos em R2 as m´etricas d, d0 , d00 definidas no exemplo (2.1.4). Sejam ~a = (a1 , a2 ) ∈ R2 e r > 0. Ent˜ ao: p B(~a; r) = {(x, y) ∈ R2 : d[(x, y), (a1 , a2 )] < r} = {(x, y) ∈ R2 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 < r} = {(x, y) ∈ R2 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 < r2 }, isto ´e, a regi˜ ao interior de um c´ırculo de centro no ponto a e raio r (veja figura abaixo).
3 r
~ a = (a1 , a2 )
B 0 (~a; r) = {(x, y) ∈ R2 : d0 [(x, y), (a1 , a2 )] < r} = {(x, y) ∈ R2 : |x − a1 | + |y − a2 | < r} isto ´e, a regi˜ ao interior do losango de centro em a e cujas diagonais s˜ ao paralelas aos eixos coordenados (veja figura abaixo). Observemos que x − a1 + y − a2 = r, se x − a1 ≥ 0 e y − a2 ≥ 0 −(x − a ) + y − a = r, se x − a < 0 e y − a > 0 1 2 1 2 |x−a1 |+|y−a2 | = r se, e somente se, −(x − a1 ) − (y − a2 ) = r, se x − a1 < 0 e y − a2 < 0 x − a − (y − a ) = r, se x − a > 0 e y − a < 0 1 2 1 2 que s˜ ao as quatro retas que determinam losango abaixo.
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
34 6
(a1 , a2 + r)
¾
-
−x + a1 + y − a2 = r
~ a = (a1 , a2 )
(a1 − r, a2 )
-
−x + a1 − y + a2 = r
x − a1 + y − a2 = r
(a1 + r, a2 )
¾
x − a1 − y + a2 = r
(a1 , a2 − r)
-
B 00 (~a; r) = {(x, y) ∈ R2 : d00 [(x, y), (a1 , a2 )] < r} = {(x, y) ∈ R2 : max{|x − a1 |, |y − a2 |} < r} = {(x, y) ∈ R2 : |x − a1 | < r e |y − a2 | < r} = (a1 − r, a1 + r) × (a2 − r, a2 + r) isto ´e, a regi˜ ao interior do quadrado [a1 − r, a1 + r] × [a2 − r, a2 + r]) (veja figura abaixo). 6 a2 + r
~ a = (a1 , a2 )
a2
a2 − r
a1 − r
a1
a1 + r
Observa¸ c˜ ao 2.2.2 Geometricamente, o exemplo (2.2.4) ilustra que uma bola (aberta ou fechada) pode n˜ ao corresponder ao que pensamos (por exemplo, uma bola ser um quadrado!). Exemplo 2.2.5 Seja (B([a, b]; R)), d) onde d ´e a m´etrica do sup (veja exemplo (2.1.8)). Sejam f ∈ B([a, b]; R)) e r > 0. Observemos que g ∈ B(f ; r) se, e somente se, r > d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| x∈[a,b]
que implicar´ a |f (x) − g(x)| < r
´ 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
35
para todo x ∈ [a, b], ou ainda, f (x) − r < g(x) < f (x) + r para cada x ∈ [a, b]. Geometricamente podemos interpretar isso da seguinte forma: encontremos a representa¸c˜ ao gr´ afica do gr´ afico de f , isto ´e, . G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ [a, b]}. Encontremos a faixa de amplitude 2r em torno do gr´ afico de f , isto ´e, o conjunto . F2r (f ) = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, f (x) − r < y < f (x) + r}. Geometricamente temos: F2r (f )
6 r G(f ) r
6 f (x) ? 6
®
?
x
Deste modo, se g ∈ B(f ; r) ent˜ ao o gr´ afico de g estar´ a contido na faixa de amplitude 2r em torno do gr´ afico de f , isto ´e, G(g) ⊆ F2r (f ). Geometricamente temos 6 r G(g) r
G(f )
6 ?f (x) 6 ?
x
Observa¸ c˜ ao 2.2.3 No exemplo acima, pode ocorrer de G(g) ⊆ F2r (f ) e(d(f, g) = r. x, 0 ≤ x < 1 Para ver isto basta considerar f (x) = 0 para todo x ∈ [0, 1] e g(x) = 0, x = 1 Neste caso d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| = 1, 0≤x≤1
logo g 6∈ B(f ; 1) mas G(g) est´ a contido em F2 (f ) (veja figura abaixo).
.
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
36 6
G(g)
)
F2r (f )
-
G(f )
Exemplo 2.2.6 Seja
. M = {~z = (x, y) ∈ R2 : k~zk ≤ 1}
subespa¸co (m´etrico) de R2 munido da m´etrica usual. Logo se r > 1 temos que BM (~0; r) = BM [~0; r] = M e assim
SM (~0; r) = ∅.
. Exemplo 2.2.7 Sejam (M1 , d1 ), · · · (Mn , dn ) espa¸cos m´etricos e M = M1 × · · · Mn munido da m´etrica do m´ aximo (isto ´e, d00 da observa¸c˜ ao (2.1.14) itens 1. e 2.). Sejam a = (a1 , · · · , an ) ∈ M e r > 0. Ent˜ ao B(a; r) = {x ∈ M : d00 (x, a) < r} = {(x1 , · · · , xn ) ∈ M1 × · · · × Mn : max di (xi , ai ) < r} 1≤i≤n
= {(x1 , · · · , xn ) ∈ M1 × · · · × Mn : di (xi , ai ) < r, para todo i = i, · · · , n} = {x1 ∈ M1 : d1 (x1 , a1 ) < r} × · · · × {xn ∈ Mn : dn (xn , an ) < r} = BM1 (a1 ; r) × · · · × BMn (an ; r) De modo semelhante (exerc´ıcio para o leitor) temos B[a; r] = BM1 [a1 ; r] × · · · × BMn [an ; r] Logo acabamos de mostrar que a bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano com a m´etrica do m´ aximo ´e o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores do produto cartesiano. Observa¸ c˜ ao 2.2.4
´ 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
37
1. Se no exemplo acima mudarmos a m´etrica do m´ aximo pela m´etrica produto ou pela m´etrica da soma a afirma¸c˜ ao ser´ a falsa, isto ´e, uma bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano pode n˜ ao ser o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores do produto cartesiano. Como exerc´ıcio para o leitor deixaremos que o mesmo encontre um contra-exemplo em R2 . 2. Se considerarmos R3 como sendo o produto cartesiano de R2 × R onde R2 e R est˜ ao munidos das correspondentes m´etricas euclieanas e tormarmos em R3 = R2 × R a m´etrica . d[(x, t), (x0 , t0 )] = max{dR2 (x, x0 ), dR (t, t0 )}, onde (x, t), (x0 , t0 ) ∈ R2 × R ent˜ ao uma bola aberta, B(~a; r) (ou fechadas) em R3 munido ao cilindros retos com base circular (contida no plano z = ar ), com da m´etrica d acima ser˜ centro em ~a e raio r)e altura 2r. 6
6 B(~ 0; r) r r r
? 6
1
-
= ?
A verifica¸c˜ ao deste fato ser´ a deixada como exerc´ıcio para o leitor. 1.09.2008 - 9.a e 10.a Temos a Defini¸ c˜ ao 2.2.2 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico. Diremos que um ponto a ∈ M ´e um ponto isolado de M se existir uma bola aberta de M que contenha somente o ponto a, isto ´e, existe r > 0 tal que B(a; r) = {a}. Observa¸ c˜ ao 2.2.5 1. Um ponto a ∈ M ´e ponto isolado em M se existe r > 0 tal que n˜ ao existem pontos, ancia menor que r do pr´ oprio ponto. diferentes do ponto a, a uma distˆ 2. Um ponto a ∈ M n˜ ao ´e ponto isolado de M se toda bola aberta centrada em a cont´em, pelo menos, um ponto de M diferente do ponto a, isto ´e, para todo r > 0 temos [B(a; r) ∩ M ] \ {a} 6= ∅. Consideremos os
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
38
Exemplo 2.2.8 Seja Z o conjunto formado por todos os n´ umeros reais inteiros munido da m´etrica usual induzida de R. Afirmamos que todo ponto de Z ´e ponto isolado de Z. De fato, se n ∈ Z e 0 < r ≤ 1 ent˜ ao B(n; r) ∩ Z = {n} [0
(pois B(n; r) = {x ∈ Z : |x−n| < r ≤ 1} = {n}), pois B(n; r) = (n−r, n+r) ⊆ (n−1, n+1), ou seja, n˜ ao existe um natural, diferente de n, no intervalo (n − 1, n + 1) (veja figura abaixo), mostrando que todo n ∈ Z ´e ponto isolado de Z. n−1
n
n+1
1 1 1 . Exemplo 2.2.9 Seja P = {0, 1, , , · · · , , · · · } munido da m´etrica usual induzida de R. 2 3 n Observemos que o ponto 0 ∈ P n˜ ao ´e um ponto isolado de P . 1 De fato, dado r > 0 existe n0 ∈ N tal que n0 > . r Logo 1 1 1 d( , 0) = | − 0| = < r, n0 n0 n0 isto ´e, 1 ∈ [B(0; r) ∩ P ] \ {0}, n0 ou seja, 0 n˜ ao ´e ponto isolado de P . Por outro lado, qualquer outro ponto de P ´e isolado. 1 1 ∈ P ent˜ (veja figura ao o ponto mais pr´ oximo dele em P ´e o ponto De fato, se n n+1 abaixo),
0
cuja distˆ ancia a
1 n+1
1 n
1 n−1
1
1 ´e n 1 1 1 1 (n + 1) − n 1 d( , )=| − |=| |= . n n+1 n n+1 n(n + 1) n(n + 1)
Logo se tomarmos 0
1 1 d(x, ) < r < n n(n + 1)
deveremos ter x =
mostrando que
1 n(n + 1)
1 , ou seja, n
1 1 [B( ; r) ∩ P ] \ { } = ∅, n n
1 ´e ponto isolado de P , para todo n ∈ N. n
´ 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
39
1 1 1 . Observa¸ c˜ ao 2.2.6 Se P = {1, , , · · · , , · · · } munido da m´etrica usual induzida de R ent˜ ao, 2 3 n segue do exemplo acima, que todo ponto de P ´e um ponto isolado de P . Exemplo 2.2.10 Seja E um espa¸co vetorial normado com E 6= {~0}. Afirmamos que nenhum ponto de E ´e ponto isolado de E. De fato, dado ~a ∈ E, para todo r > 0, mostremos que B(~a; r) \ {~a} 6= ∅. Para mostrar isso, consideremos ~y ∈ E, ~y 6= ~0. Logo o vetor . r ~z = ~y 2k~y k ´e diferente do vetor ~0 e k~zk = k
r r r ~y k = k~y k = , 2k~y k 2k~y k 2
logo 0 < k~zk < r. . Seja ~x = ~a + ~z. Ent˜ ao ~x 6= ~a (pois ~z 6= ~0) e k~x − ~ak = k~zk < r, ou seja, ~x ∈ B(~a; r) e ~x 6= ~a, mostrando que ~x ∈ B(~a; r) \ {~a}, isto ´e, B(~a; r) \ {~a} 6= ∅. Portanto todo ponto de E n˜ ao ´e ponto isoldado de E. Geometricamente temos:
. r y ~ x=~ a + 2k~ ~ yk
> ~ a
r
~
y ~
*
Temos a Defini¸ c˜ ao 2.2.3 Diremos que um espa¸co m´etrico (M, d) ´e discreto se todo ponto de M ´e um ponto isolado de M . Exemplo 2.2.11 O exemplo (2.2.8) mostra que Z com a m´etrica usual induzida de R ´e um espa¸co m´etrico discreto.
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
40
1 1 1 Exemplo 2.2.12 A observa¸c˜ ao (2.2.6) mostra que P = {1, , , · · · , , · · · } com a m´etrica 2 3 n usual induzida de R ´e um espa¸co m´etrico discreto. Exemplo 2.2.13 Seja M um conjunto n˜ ao vazio e d a m´etrica zero-um em M . Ent˜ ao (M, d) ´e um espa¸co m´etrico discreto, pois se a ∈ M ent˜ ao para 0 < r ≤ 1 temos, do exemplo (2.2.2), que B(a; r) = {a}, ou seja todo ponto de M ´e ponto isolado de M , portanto M ´e um espa¸co m´etrico discreto. Defini¸ c˜ ao 2.2.4 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico. Diremos que um subconjunto X ⊆ M ´e discreto se X como subsepa¸co (m´etrico) de M for um espa¸co m´etrico discreto. Observa¸ c˜ ao 2.2.7 Na situa¸c˜ ao acima, X ´e discreto se, e somente se, para cada x ∈ X existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ X = {x}. Exemplo 2.2.14 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico e X um subconjunto finito de M . Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que X ´e um subconjunto discreto de M . Para finalizar a se¸c˜ao temos a: Proposi¸ c˜ ao 2.2.3 Sejam (M, d) espa¸co m´etrico, a, b ∈ M com a 6= b. Consideremos r, s > 0 tais que r + s ≤ d(a, b). Ent˜ ao as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) s˜ ao disjuntas (veja figura abaixo), isto ´e, B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅.
a r
¾
-
¾
b s
d(a, b) > r + s
Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B(a; r) ∩ B(b; s). Logo d(a, x) < r e d(b, x) < s. Portanto d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) < r + s ≤ d(a, b), ou seja, d(a, b) < d(a, b), o que ´e um absurdo. Logo B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅ como quer´ıamos mostrar. ¤ De modo semelhante temos a:
´ 2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAC ¸ OS METRICOS
41
Proposi¸ c˜ ao 2.2.4 Na situa¸ca ˜o da proposi¸c˜ ao acima, se r + s < d(a, b) ent˜ ao as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] s˜ ao disjuntas , isto ´e, B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅. Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B[a; r] ∩ B[b; s]. Logo d(a, x) ≤ r e d(b, x) ≤ s. Portanto d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ r + s < d(a, b), ou seja, d(a, b) < d(a, b), o que ´e um absurdo. Logo B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅ como quer´ıamos mostrar. ¤
2.3
Subconjuntos limitados de um espa¸cos m´ etricos
Iniciaremos com a Defini¸ c˜ ao 2.3.1 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico. Diremos que um subconjunto X ⊆ M , n˜ ao vazio, ´e limitado em M se existir c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X. . Observa¸ c˜ ao 2.3.1 Se X ⊆ M ´e limitado me M ent˜ ao podemos considerar o conjunto D = {a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ X} ⊆ R. Como X ´e limitado em M segue que D ´e n˜ ao vazio e limitado superiormente (ou seja, existe c ∈ R tal que c ∈ D). Como todo subconjunto limitado superiormente em R admite supremo segue que existe 0 ≤ sup D < ∞. Logo podemos introduzir a Defini¸ c˜ ao 2.3.2 Na situa¸c˜ ao acima, sup D ser´ a denominado diˆ ametro de X e indicado por diam(X), ou seja, diam(X) = sup{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ X}. Observa¸ c˜ ao 2.3.2 1. Se X ⊆ M n˜ ao for limitado em M escreveremos diam(X) = ∞. Isto significa que para todo c > 0 existem xc , yc ∈ X tal que d(xc , yc ) > c. 2. Se X ⊆ M for limitado ent˜ ao d(x, y) ≤ diam(X),
para todo x, y, ∈ X.
´ f´ acil mostrar que (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que se X ⊆ M for limitado 3. E em M e Y ⊆ X ent˜ ao Y ⊆ M ´e limitado em M e diam(Y ) ≤ diam(X).
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
42 Consideremos alguns exemplos
Exemplo 2.3.1 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico. Ent˜ ao toda bola aberta (ou fechada; ou esfera) ´e subconjunto limitado de M e seu diˆ ametro ´e menor ou igual ao dobro do seu raio. De fato, seja a ∈ M e r > 0. Se x, y ∈ B(a; r) ent˜ ao d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r mostrando que B(a; r) ´e um subconjunto limitado de M . Al´em disso segue que 2r ´e um limitante superior do conjunto {a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ B(a; r)}. Portanto diam[B(a; r)] ≤ 2r, como afirmamos acima. Vale o an´ alogo para a bola fechada B[a; r] e para a esfera S(a; r) (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor). Observa¸ c˜ ao 2.3.3 Em geral, n˜ ao podemos garantir que o diˆ ametro da bola aberta (ou fechada, ou esfera) seja igual ao dobro do seu raio, como mostra o seguinte exemplo: Consideremos Z com a m´etrica usual induzida de R, r = 1 e n ∈ Z. Como vimos no exemplo (2.2.8) temos que B(n; 1) = {n} cujo diˆ ametro ´e zero (que ´e menor que 2). Quando vale a igualdade? O exemplo a seguir responde esta quest˜ ao: Exemplo 2.3.2 Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E 6= {~0}. Afirmamos que toda bola aberta (ou fechada, ou esfera) tem diˆ ametro igual ao dobro do raio da mesma. De fato, sejam ~a ∈ E e r > 0. Sabemos que B(~a; r) ´e um subconjunto limitado de E e que diam[B(~a; r)] ≤ 2r. Mostremos que se s < 2r ent˜ ao s n˜ ao poder´ a ser pode ser diˆ ametro de B(~a; r), ou seja, existem ~x1 , ~y1 ∈ B(~a; r) tal que d(x1 , y1 ) > s. Consideremos ~y ∈ E tal que ~y 6= ~0 e seja t ∈ R tal que s < 2t < 2r. Observemos que o vetor
. t x= y∈E kyk
tem a seguinte propriedade: kxk = k
t kyk yk = t = t, kyk kyk
ou seja kxk = t < r. Afirmamos que os vetores . . x1 = a + x, x2 = a − x ∈ B(a; r).
´ 2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAC ¸ OS METRICOS
43
De fato, d(a + x, a) = k(a + x) − ak = kxk = t < r e, de modo semelhante temos d(a − x, a) = k(a − x) − ak = k − xk = kxk = t < r. Al´em disso d(a + x, a − x) = k(a + x) − (a − x)k = k2xk = 2kxk = 2t > s, ou seja, d(x1 , y1 ) > s, logo s < 2r n˜ ao pode ser o diˆ ametro da bola aberta B(a; r). Geometricamente temos K y ~ ~ x1 = ~ a + t k~ yk
r
µ
~ a
ª
y ~ y ~1 = ~ a − t k~ yk
µ
y ~
De modo an´ alogo (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) podemos mostrar que diam[B[a; r]] = 2r
e
diam[S(a; r)] = 2r.
Observa¸ c˜ ao 2.3.4 1. Dado um espa¸co m´etrico qualquer (mesmo sendo n˜ ao limitado) podemos considerar subespa¸cos (m´etricos) do mesmo que sejam limitados. Basta considerarmos os subconjunto limitados do mesmo e colocar a m´etrica induzida do espa¸co m´etrico dado neste subconjunto. 2. Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E 6= {~0}. Ent˜ ao E n˜ ao ´e limitado. De fato, dado x ∈ E, x 6= ~0, para cada c > 0 podemos considerar o vetor de E definido por . 2c xc = x. kxk Observemos que kxc k = k
2c kxk xk = 2c = 2c > c, kxk kxk
logo d(xc , 0) = kxc − 0k = kxc k > c, mostrando que E n˜ ao ´e limitado.
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
44 3. Seja (M, d) um espa¸co m´etrico.
Vale observar que um subconjunto X ⊆ M ´e limitado em M se, e somente se, X est´ a contido em alguma bola aberta de M , isto ´e, existe a ∈ M e r > 0 tal que X ⊆ B(a; r). De fato, se existe a ∈ M e r > 0 tal que X ⊆ B(a; r) ent˜ ao para todo x, y ∈ X temos que d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r, ou seja X ´e limitado (e seu diˆ amentro ´e menor ou igual a 2r). Reciprocamente, se X ´e limitado em M ent˜ ao existe c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X. Consideremos x0 ∈ X. Temos que d(x, x0 ) ≤ c para todo x ∈ X, assim se X ⊆ B(x0 ; r), ou seja X est´ a contido em uma bola aberta de M , como quer´ıamos mostrar. Temos a Proposi¸ c˜ ao 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co m´etrico e X, Y ⊆ M limitados em M . Ent˜ ao X ∪ Y e X ∩ Y s˜ ao subconjuntos limitados em M . Demonstra¸ c˜ ao: Observemos que X ∩ Y ⊆ X e como X ´e limitado em M segue, da Observa¸c˜ ao (??) item 3., que X ∩ Y tamb´em ser´a limitado em M . Se X = ∅ ou Y = ∅ segue que X ∪ Y = Y ou X ∪ Y = X, respectivamente, implicando que X ∪ Y ´e limitado. Logo podemos supor, sem perda de generalidade, que X, Y 6= ∅. Como X, Y s˜ao limitados em M existem c, d > 0 e a, b ∈ M tais que d(x, a) ≤ c e
d(y, b) ≤ d
para todo x ∈ X e y ∈ Y . Podemos supor, sem perdade de generalidade, que c ≥ d, assim d(x, a) ≤ c e
d(y, b) ≤ c
para todo x ∈ X e y ∈ Y . . Considere k = 2c + d(a, b) > 0. Logo se x ∈ X e y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ c + d(a, b) + c = k. Portanto se x, y ∈ X ∪ Y temos que: Se x, y ∈ X temos que d(x, y) ≤ c < k Se x, y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ c < k Se x ∈ X e y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ k, ou seja, d(x, y) ≤ k para todo x, y ∈ X ∪ Y , mostrando que X ∪ Y ´e limitado em M . ¤ Como conseq¨ uˆencia temos o:
´ 2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAC ¸ OS METRICOS
45
Corol´ ario 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co m´etrico e X1 , X2 , · · · , Xn ⊆ M limitados em M . Ent˜ ao X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn e X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn s˜ ao subconjuntos limitados em M . Demonstra¸ c˜ ao: Utiliza-se indu¸c˜ao matem´atica e a proposi¸c˜ ao acima (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor). ¤ Como outra conseq¨ uˆencia temos o Corol´ ario 2.3.2 Seja (M, d) espa¸co m´etrico. Todo subconjunto finito de M ´e limitado. Demonstra¸ c˜ ao: Basta observar que se X ´e um subconjunto finito de M ele ser´a uma reuni˜ao finita dos conjuntos formados por cada um dos seus pontos e como o conjunto formado por um ponto ´e limitado segue, do corol´ario acima, que X ser´ a limitado em M . ¤ Nota¸ c˜ ao 2.3.1 Dada uma fun¸c˜ ao f : X → Y denoteremos seu conjunto imagem por f (X), isto ´e, . f (X) = {f (x) : x ∈ X} ⊆ Y. Podemos agora introduzir a Defini¸ c˜ ao 2.3.3 Sejam (M, d) espa¸co m´etrico e X um subconjunto n˜ ao vazio. Diremos que uma fun¸ca ˜o f : X → M ´e limitada se seu conjunto imagem, f (X), for um subconjunto limitado de M . Vejamos alguns exemplos 1 , x ∈ R. 1 + x2 Observemos que |f (x)| ≤ 1, para todo x ∈ R, logo f ´e uma fun¸c˜ ao limitada (neste caso temos f (R) = (0, 1]). A figura abaixo nos d´ a o gr´ afico de f .
. Exemplo 2.3.3 Seja R com a m´etrica usual e f : R → R dada por f (x) =
6
1
G(f )
-
. Exemplo 2.3.4 Na situa¸c˜ ao acima se considerarmos g : R → R dada por g(x) = x2 para x ∈ R temos que g(R) = [0, ∞) logo n˜ ao ser´ a um subconjunto limitado de R, mostrando que a fun¸c˜ ao g na˜ o ser´ a limitada. A figura abaixo nos d´ a o gr´ afico de g.
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
46 6
G(g)
-
Exemplo 2.3.5 Se a m´etrica d em Rn prov´em de uma norma de Rn ent˜ ao d n˜ ao ´e uma fun¸c˜ ao limitada. De fato, da observa¸c˜ ao (2.3.4) item 2. temos que Rn n˜ ao ´e limitado, logo d(Rn × Rn ) = [0, ∞) ⊆ R n˜ ao poder´ a ser um subconjunto limitado de R, logo a fun¸c˜ ao d n˜ ao ser´ a uma fun¸c˜ ao limitada. Podemos agora generalizar o exemplo (2.1.8) por meio do Exemplo 2.3.6 Sejam X um conjunto n˜ ao vazio e (M, dM ) um espa¸co m´etrico. Indiquermos por B(X; M ) o conjunto de todas as fun¸c˜ oes limitadas definidas em X e tomando valores em M , isto ´e, . B(X; M ) = {f : X → M : f ´e limitada }. Dadas f, g ∈ B(X; M ) temos que o conjunto {dM (f (x), g(x)) : x ∈ X} ´e limitado em R. De fato, como f e g s˜ ao limitadas segue que f (X) e g(X) s˜ ao subconjuntos limitados em M . Logo da proposi¸c˜ ao (2.3.1) segue que f (X)∪g(X) ´e um subconjunto limitado em M , ou seja, {dM (f (x), g(x)) : x ∈ X} ´e limitado em R, portanto admite supremo. Logo, dadas f, g ∈ B(X; M ), podemos definir . d(f, g) = sup {dM (f (x), g(x))}. x∈X
Pode-se mostrar (exerc´ıcio para o leitor) que d ´e uma m´etrica em B(X; M ) que ´e denominada m´ etrica da convergˆ encia uniforme ou m´ etrica do sup. Observa¸ c˜ ao 2.3.5 1. Na situa¸c˜ ao acima podemos considerar o conjunto F(X; M ) formado por todas as fun¸c˜ oes definidas em X com valores em M . Neste caso a m´etrica do sup n˜ ao tem sentido em F(X; M ) pois existem fun¸c˜ oes f, g : X → M tais que o conjunto {dM (f (x), g(x)) : x ∈ X} n˜ ao ´e limitado em R (logo n˜ ao poderemos considerar o supremo desse conjunto). Nesta situa¸c˜ ao podemos decompor F(X; M ) como uma reuni˜ ao de espa¸cos m´etricos nos quais podemos introduzir a m´etrica do sup. Para mais detalhes ver [1] pag. 15.
ˆ ´ 2.4. DISTANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAC ¸ O METRICO47 2. Seja (E, k.k) ´e um espa¸co vetorial normado. Pode-se mostrar (exerc´ıcio para o leitor) que se f, g ∈ B(X; E) e λ ∈ R ent˜ ao (f + g) ∈ B(X; E) e λf ∈ B(X; E), ou seja B(X; E) tornar-se-´ a um espa¸co vetorial . Neste caso a m´etrica da convergˆencia uniforme em B(X; E) prov´em da seguinte norma de B(X; E): . kf k = sup kf (x)kE , f ∈ B(X; E). x∈X
De fato, pois d(f, g) = sup{dE (f (x), g(x)) : x ∈ X} = sup kf (x) − g(x))k. x∈X
1.09.2008 - 10.a Aula de Exerc´ıcios 15.09.2008 - 11.a
2.4
Distˆ ancia de um ponto a um subconjunto em um espa¸co m´ etrico
Observa¸ c˜ ao 2.4.1 Como motiva¸c˜ ao consideremos o seguinte caso: Em um plano consideremos X uma reta e a um ponto que n˜ ao pertence ` a reta X. Consideremos x0 ∈ X o p´e da perpendicular ` a reta X que cont´em o ponto a (vide figura abaixo). X a
x0
Seja x ∈ X tal que x 6= x0 . Ent˜ ao aplicando o Teorema de Pit´ agoras ao triˆ angulo retˆ angulo ∆ax0 x (veja figura abaixo) obtemos [d(a, x)]2 = [d(a, x0 )]2 + [d(x0 , x)]2 . X a x
x0
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
48 Em particular temos que
d(a, x) ≥ d(a, x0 ) para todo x ∈ X, ou seja, x0 ´e o ponto mais pr´ oximo do ponto a que pertence ` a reta X. Deste modo podemos escrever d(a, x0 ) = inf {d(a, x)}. x∈X
Podemos generalizar este fato, para isto observemos que Se (M, dM ) um espa¸co m´etrico, X ⊆ M n˜ ao vazio e a ∈ M ent˜ ao o conjunto {dM (x, a) : x ∈ X} ⊆ R ´e limitado inferiormente por 0 (pois dM (a, x) ≥ 0). Logo admite ´ınfimo, assim temos a: Defini¸ c˜ ao 2.4.1 Sejam (M, dM ) um espa¸co m´etrico, X ⊆ M n˜ ao vazio e a ∈ M . Definimos a distˆ ancia do ponto a ao conjunto X, indicada por d(a, X), como sendo d(a, X) = inf{dM (a, x) : x ∈ X}. Observa¸ c˜ ao 2.4.2 1. Das propriedades de ´ınfimo temos: (a) d(a, X) ≤ d(a, x) para todo x ∈ X (isto ´e, d(a, X) ´e um limitante inferior do conjunto {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ R); (b) Se d(a, X) < c ent˜ ao existe x ∈ X tal que d(a, x) < c (isto ´e, d(a, X) ´e o maior dos limitantes inferiores). 2. Observemos que se a ∈ X ent˜ ao d(a, X) = 0. De fato, se a ∈ X ent˜ ao 0 = d(a, a) ∈ {d(a, x) : x ∈ X}. 3. Al´em disso, se X ⊆ Y ent˜ ao d(a, Y ) ≤ d(a, X). Lembremos que se A ⊆ B ent˜ ao inf B ≤ inf A (*). Logo, se X ⊆ Y ent˜ ao {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ {d(y, a) : y ∈ Y }. Assim de (*) temos que d(a, Y ) = inf{d(y, a) : y ∈ Y } ≤ inf{d(x, a) : x ∈ X} = d(a, X). 4. Se d(a, X) = 0 isto n˜ ao implica, necessariamente, que a ∈ X como vereremos em exemplos a seguir. O que podemos afirmar ´e que: d(a, X) = 0 se, e somente se, dado ε > 0 existe x ∈ X tal que d(a, x) < ε. 5. Vale observar que, em geral, n˜ ao podemos substituir o ´ınfimo na defini¸ca ˜o acima pelo m´ınimo, isto ´e, pode n˜ ao existir um ponto em x0 ∈ X de tal modo que d(a, X) = d(a, x0 ), como veremos em exemplos a seguir. A seguir consideraremos alguns exemplos.
ˆ ´ 2.4. DISTANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAC ¸ O METRICO49 Exemplo 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico, a ∈ M e X = {x1 , x2 , · · · , xn } um subconjunto finito de M . Ent˜ ao [conjunto finito] d(a, X) = inf {d(a, xi )} = min {d(a, xi )}. 1≤i≤n
1≤i≤n
x5 x6 x4 x7 x3
a x2
x1 x8
Exemplo 2.4.2 Seja R2 como a m´etrica usual e S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} a circunferˆencia de centro na origem e raio 1. Ent˜ ao se z = (x, y) ∈ S 1 e 0 = (0, 0) temos que p p d(0, z) = (x − 0)2 + (y − 0)2 = x2 + y 2 = 1, ou seja, d(0, S 1 ) = 1 (veja figura abaixo). y
6 S1
R
z = (x, y)
d(0, z) = 1 0 = (0, 0)
-
x
Observa¸ c˜ ao 2.4.3 No exemplo acima para qualquer ponto z ∈ S 1 temos que d(0, S 1 ) = d(0, z). Exemplo 2.4.3 Seja R munido da m´etrica usual e X = (a, b). Ent˜ ao temos que d(a, X) = d(b, X) = 0. Podemos porvar isto diretamente ou utilizar o seguinte resultado geral:
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
50
Proposi¸ c˜ ao 2.4.1 Sejam E um espa¸co vetorial normado, ~a ∈ E e r > 0. Ent˜ ao dado ~b ∈ E, d(~b, B(~a; r)) = 0 se, e somente se, ~b ∈ B[~a; r]. Demonstra¸ c˜ ao: (⇐=) Suponhamos que ~b ∈ B[~a; r], ou seja, k~b − ~ak ≤ r. Se tivermos k~b − ~ak < r seguir´a que ~b ∈ B(~a; r), logo d(~b, B(~a; r)) = 0. Afirma¸c˜ao: se k~b − ~ak = r > 0 ent˜ao dado ε > 0 afirmamos que existe ~x ∈ B(~a; r) tal que ~ d(b, ~x) < ε. De fato, definamos . 1 ~u = (~b − ~a) ∈ E. r Segue que 1 1 1 k~uk = k (~b − ~a)k = k~b − ~ak = r = 1. r r r Escolhamos t ∈ (r − ε, r), assim 0 < r − t < ε. Consideremos . ~x = ~a + t.~u ∈ E. Temos que d(~x, ~a) = k~x − ~ak = k(~a + t.~u) − ak = |t|k~uk
[k~ uk=1]
=
t < r,
ou seja, x ∈ B(~a; r). Al´em disso, temos d(~x, ~b) = k~b − ~xk = k~b − (~a + t.~u)k = k(~b − ~a) − t.~uk [~b−~a=r.~ u]
=
kr.~u − t.~uk = |r − t|k~uk
[k~ uk=1]
=
r − t < ε,
logo concluimos a prova da afirma¸c˜ao acima (veja figura abaixo). ε
] > o
r
¸
~ b
~ a ~ x=~ a + t~ u
Logo dado ε > 0 existe ~x ∈ B(~a; r) tal que 0 ≤ d(~b, ~x) < ε, ou seja, 0 ≤ d(~b, B(~a; r)) ≤ d(~b, ~x) < ε, isto ´e, (=⇒)
d(~b, B(~a; r)) = inf{d(~b, ~x) : ~x ∈ B(~a; r)} = 0.
ˆ ´ 2.4. DISTANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAC ¸ O METRICO51 Reciprocamente, suponhamos que d(~b, B(~a; r)) = 0. Seja p~ ∈ E tal que p~ 6∈ B[~a; r]. Afirmamos que d(~ p, B(~a; r)) > 0. De fato, como p~ 6∈ B[~a; r] temos que k~ p − ~ak > r,
logo k~ p − ~ak = r + c
para algum c > 0. p
x
I
r
a
Se ~x ∈ B(~a; r) temos que k~x − ~ak < r e como k~ p − ~ak ≤ k~ p − ~xk + k~x − ~ak segue que d(~ p, ~x) = k~ p − ~xk ≥ k~ p − ~ak − k~x − ~ak = (r + c) − k~x − ~ak ou seja, c ´e um limitante inferior do subconjunto {d(~ p, ~x) : ~x ∈ B(~a; r)} ⊆ R. Como d(~ p, B(~a; r)) ´e o ´ınfimo do conjunto acima segue que d(~ p, B(~a; r)) ≥ c > 0, concluindo a prova da afirma¸c˜ao (veja figura abaixo). 6 c
6 r
~ a
p ~
[k~ x−~ak
>
(r + c) − r = c > 0,
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
52
Como d(~b, B(~a; r)) = 0, da afirma¸c˜ao, segue que ~b ∈ B[~a; r], como quer´ıamos demonstrar. ¤ Observa¸ c˜ ao 2.4.4 Em particular a afirma¸c˜ ao acima nos diz que podemos ter b ∈ E com d(b, X) = 0 e b 6∈ X, como afirmamos anteriormente. Temos a: Proposi¸ c˜ ao 2.4.2 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico, a, b ∈ M e X ⊆ M n˜ ao vazio. Ent˜ ao |d(a, X) − d(b, X)| ≤ d(a, b). A figura abaixo ilustra o resultado a
d(a, X)
d(a, b)
X
d(b, X) b
Demonstra¸ c˜ ao: A desigualdade acima ´e equivalente a −d(a, b) ≤ d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b). Observemos que para todo x ∈ X temos que d(a, X) ≤ d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x), ou seja, d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, x), ou ainda, o n´ umero real d(a, X) − d(a, b) ´e um limitante inferior do subconjunto {d(b, x) : x ∈ X} ⊆ R. Da defini¸c˜ao de ´ınfimo segue d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, X),
isto ´e, d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b). (∗)
Observemos que para todo x ∈ X temos que d(b, X) ≤ d(b, x) ≤ d(b, a) + d(a, x),
ˆ ´ 2.5. DISTANCIA ENTRE DOIS SUBCONJUNTOS DE UM ESPAC ¸ O METRICO
53
ou seja, d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, x) ou ainda, o n´ umero real d(b, X) − d(a, b) ´e um limitante inferior do subconjunto {d(a, x) : x ∈ X} ⊆ R. Da defini¸c˜ ao de ´ınfimo segue d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, X),
isto ´e, d(a, X) − d(b, Y ) ≥ −d(a, b). (∗∗)
De (*) e (**) segue a desiguladade e a conclus˜ao da prova. ¤ Como conseq¨ uˆencia temos o Corol´ ario 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico e a, b, x ∈ M . Ent˜ ao |d(a, x) − d(a, y)| ≤ d(a, b). Demonstra¸ c˜ ao: . Basta considerar X = {x} na proposi¸c˜ ao acima e verificar que d(a, {x}) = d(a, x). ¤
2.5
Distˆ ancia entre dois subconjuntos de um espa¸co m´ etrico
Temos a Defini¸ c˜ ao 2.5.1 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico e X, Y ⊆ M n˜ ao vazios. Definimos a distˆ ancia entre os conjuntos X e Y , indicada por d(X, Y ), como sendo . d(X, Y ) = inf{d(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }. Consideremos o Exemplo 2.5.1 Consideremos R com a m´etrica usual, X = (−∞, 0) e Y = (0, ∞). Ent˜ ao dado ε > 0 existem x ∈ X e y ∈ Y tal que d(x, y) < ε, ou seja d(X, Y ) = 0. Observemos que X ∩ Y = ∅ e mesmo assim d(X, Y ) = 0. Observa¸ c˜ ao 2.5.1 Se (M, d) ´e um espa¸co m´etrico e X, Y ⊆ M n˜ ao vazios ent˜ ao: 1. Se X ∩ Y 6= ∅ ent˜ ao d(X, Y ) = 0; 2. Observemos que d(X, X) = 0 e d(X, Y ) = d(Y, X).
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
54
2.6
Isometrias entre espa¸cos m´ etricos
Come¸caremos pela Defini¸ c˜ ao 2.6.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos. Diremos que uma fun¸c˜ ao f : M → N ´e um imers˜ ao isom´ etrica de M em N se dN (f (x), f (y)) = dM (x, y),
x, y ∈ M.
No caso acima diremos que a fun¸c˜ ao f preserva as distˆ ancias e M e N . Observa¸ c˜ ao 2.6.1 Na situa¸c˜ ao acima se f : M → N ´e uma imers˜ ao isom´etrica temos que f ´e injetora De fato, se f (x) = f (y) ent˜ ao dM (x, y) = dN (f (x), f (y)) = 0, logo x = y, mostrando que f ´e injetora. Com isto temos a: Defini¸ c˜ ao 2.6.2 Um imers˜ ao isom´etrica que uma fun¸c˜ ao ´e sobrejetora ser´ a denominada isometria de M em N . Observa¸ c˜ ao 2.6.2 1. Na situa¸c˜ ao acima f : M → N ´e ums isometria se, e somente se, f preserva as distˆ ancia de M e N e for sobrejetora. 2. Em particular se f : M → N ´e isometria ent˜ ao f ´e bijetora, logo admite fun¸c˜ ao inversa −1 f : N → M e esta tamb´em ´e uma isometria pois se w, z ∈ N temos que existe x, y ∈ M tal que z = f (x) e w = f (y) assim dM (f −1 (z), f −1 (w)) = dM (f −1 (f (x)), f −1 (f (y))) = dM (x, y) [f ´ e isometria]
=
dN (f (x), f (y)) = dN (z, w),
mostrando que f −1 preserva as distˆ ancias de N e M . 3. Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos m´etricos e f : M → N , g : N → P imers˜ oes isom´etricas de M em N e de N em P , respectivamente. Ent˜ ao (g ◦ f ) : M → P ´e uma imers˜ ao isom´etrica de M em P . De fato, se x, y ∈ M temos que dP ((g ◦ f )(x), (g ◦ f )(y)) = dP (g(f (x)), g(f (y))) [g preserva distˆ ancias]
=
dN (f (x), f (y))
[f preserva distˆ ancias]
=
dM (x, y),
mostrando que g ◦ f preserva as distˆ ancias de M e P . 4. Como conseq¨ uˆencia temos que composta de isometrias tamb´em ser´ a uma isometria. 5. Toda imers˜ ao isom´etrica f : M → N define uma isometria de M sobre f (M ) (pois neste caso f : M → f (M ) ser´ a sobrejetora e continuar´ a a preservar as distˆ ancias de M e N ).
´ 2.6. ISOMETRIAS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS
55 15.09.2008 - 12.a
Com isto temos a: Defini¸ c˜ ao 2.6.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos. Diremos que M e N s˜ ao isom´ etricos se existir uma isometria de M em N e neste caso escreveremos M ∼ N . Observa¸ c˜ ao 2.6.3 Observemos que 1. M ∼ M (basta considerar a identidade de M em M ); 2. se M ∼ N ent˜ ao N ∼ M (pois, como vimos na observa¸c˜ ao (2.6.2) item 2., a inversa de uma isometria ´e uma isometria; 3. se M ∼ N e N ∼ P ent˜ ao M ∼ P (pois, como vimos na observa¸c˜ ao (2.6.2) item 3., a composta de isometrias ´e uma isometria. 4. Os trˆes itens acima nos dizem que ∼ ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia no conjunto formado por todos os espa¸cos m´etricos (isto ´e, ∼ satisfaz as propriedades: reflexiva, sim´etrica e transitiva). 5. Se existir uma imer˜ ao isom´etrica f : M → N ent˜ ao temos que M ∼ f (M ) (pois a fun¸c˜ ao f : M → f (M ) ser´ a sobrejetora e preservar´ a as distˆ ancias de M e f (M )). Observa¸ c˜ ao 2.6.4 Sejam X um subconjunto n˜ ao vazio, (M, dM ) um espa¸co m´etrico e f : X → M uma fun¸c˜ ao injetora. Nosso objetivo ´e introduzir uma m´etrica em X de tal modo que a fun¸c˜ ao f torne-se uma imers˜ ao isom´etrica de X e M . Para isto definamos dX : X × X → R por . dX (x, y) = dM (f (x), f (y)),
x, y ∈ X.
´ f´ E acil verificar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que dX ´e uma m´etrica em X (precisamos usar do fato que f ´e injetora!) e deste modo a fun¸c˜ ao f tornar-se-´ a uma imers˜ ao isom´etrica de (X, dX ) em (M, dM ). Podemos mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que a m´etrica dX em X ´e a u ´nica m´etrica que torna f uma imers˜ ao isom´etrica de X em M . Com isto temos a: Defini¸ c˜ ao 2.6.4 Na situa¸c˜ ao acima diremos que a m´etrica dX ´e a m´ etrica induzida por f em X. Observa¸ c˜ ao 2.6.5 Um caso particular da situa¸ca ˜o acima ´e a que X ⊆ M , n˜ ao vazio onde (M, dM ) ´e um espa¸co m´etrico. Neste caso se considerarmos a aplica¸ c˜ ao inclus˜ ao i:X→M
dada por
. i(x) = x, x ∈ X,
temos que a fun¸c˜ ao i ´e injetora. Logo podemos considerar em X a m´etrica induzida pela fun¸ca ˜o i que ser´ a coincidir´ a com a m´etrica induzida de M em X (pois dX (x, y) = dM (i(x), i(y)) = dM (x, y), para todo x, y ∈ X).
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
56 A seguir consideraremos alguns exemplos.
Exemplo 2.6.1 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn . Sejam ~a, ~u ∈ Rn tal que k~uk = 1. Consideremos a fun¸c˜ ao f : R → Rn dada por . f (t) = ~a + t ~u,
t ∈ R.
Afirmamos que f ´e um imers˜ ao is´ om´etrica de R em Rn . De fato, se t, s ∈ R temos que dRn (f (t), f (s)) = kf (t) − f (s)k = k(~a + t ~u) − (~a + s ~u)k = k(t − s) ~uk = |t − s|k~uk
[k~ uk=1]
=
|t − s| = dR (t, s),
mostrando que a fun¸ca ˜o f preserva as distˆ ancias de R e Rn . Observa¸ c˜ ao 2.6.6 Observemos que f (R) ´e a reta que passa pelo ponto ~a ∈ Rn e tem a dire¸c˜ ao do vetor unit´ ario ~u ∈ Rn . Em particular, f n˜ ao ´e uma isometria de R em Rn (pois n˜ ao ´e sobrejetora). Exemplo 2.6.2 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn e ~a ∈ Rn . Afirmamos que a fun¸c˜ ao f : Rn → Rn dada por . f (~x) = ~x + ~a,
~x ∈ Rn ,
´e uma isometria em Rn . De fato, se ~x, ~y ∈ Rn ent˜ ao d(f (~x), f (~y )) = kf (~x) − f (~y )k = k(~x + ~a) − (~y + ~a)k = k~x − ~y k = d(~x, ~y ), mostrando que f preserva a distˆ ancia em Rn . . n n Al´em disso f (R ) = R pois se ~y ∈ Rn se tomarmos ~x = ~y − ~a segue que f (~x) = ~x + ~a = (~y − ~a) + ~a = ~y , ou seja, f ´e sobrejetora, ou seja, f ´e uma isometria. Com isto temos a Defini¸ c˜ ao 2.6.5 A fun¸c˜ ao f acima definida ser´ a denominada transla¸ c˜ ao pelo vetor ~a. Exemplo 2.6.3 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn . Afirmamos que a fun¸c˜ ao f : Rn → Rn dada por . f (~x) = −~x,
~x ∈ Rn ,
´e uma isometria em Rn . De fato, se ~x, ~y ∈ Rn ent˜ ao d(f (~x), f (~y )) = kf (~x) − f (~y )k = k(−~x) − (−~y )k = k − ~x + ~y k = k~x − ~y k = d(~x, ~y ), mostrando que f preserva a distˆ ancia em Rn . . Al´em disso f (Rn ) = Rn pois se ~y ∈ Rn se tomarmos ~x = −~y segue que f (~x) = ~x = −(−~y ) = ~y , ou seja, f ´e sobrejetora, isto ´e, f ´e uma isometria.
´ 2.6. ISOMETRIAS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS
57
Com isto temos a Defini¸ c˜ ao 2.6.6 A fun¸c˜ ao f acima definida ser´ a denominada reflex˜ ao em torno da origem n de R . Observa¸ c˜ ao 2.6.7 1. Observemos que na situa¸ca ˜o acima, dados ~a, ~b ∈ Rn existe uma isometria f : Rn → Rn tal . que f (~b) = ~a (basta considerar a transla¸c˜ ao f (~x) = ~x + (~a − ~b)). 2. Podemos substituir o Rn por um espa¸co vetorial normado qualquer que os exemplos acima continuar˜ ao v´ alidos neste novo contexto. Exemplo 2.6.4 Consideremos C o conjunto forma do pelo n´ umeros complexos munido da m´etrica umero complexo (isto ´e, se z = a + bi ent˜ ao p induzida pelo valor absoluto de um n´ kzk x2 + y 2 ). . Sejam u ∈ C tal que kuk = 1 e a fun¸c˜ ao f : C → C dada por f (z) = u.z, para z ∈ C (onde . ´e a multiplica¸ca ˜o de n´ umeros complexos). Afirmamos que f ´e uma isometria. De fato, f ´e imers˜ ao isom´etrica em C, pois d(f (z1 ), f (z2 )) = kf (z1 ) − f (z2 )k = ku.z1 − u.z2 k = ku.(z1 − z2 )k = kukkz1 − z2 k
[kuk=1]
=
kz1 − z2 k = d(z1 , z2 ),
mostrando que f preserva a distˆ ancia em C. Al´em disso, se w ∈ C consideremos . w z= ∈ C. u Logo
w = w, u mostrando que f ´e sobrejetora, portanto uma isometria. f (z) = u.z = u.
Observa¸ c˜ ao 2.6.8 A aplica¸c˜ ao f do exemplo acima ´e uma rota¸ca ˜o (no sentido hor´ ario) de um π b ˆ angulo θ = se u = i e θ = arctg( ) se u = a + bi (veja figura abaixo). 2 a 6
C
f (z) z θ
-
´ CAP´ITULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS
58 Finalizaremos esta se¸c˜ao com a
Proposi¸ c˜ ao 2.6.1 Seja (M, dM ) um espa¸co m´etrico limitado. Ent˜ ao existe uma imers˜ ao isom´etrica ϕ : M → B(M ; R) onde em B(M ; R) consideraremos a m´etrica induzida pela norma da convergˆencia uniforme. Demonstra¸ c˜ ao: Definamos ϕ : M → B(M ; R) por
. ϕ(x) = dx ,
onde dx : M → R ´e dada por
. dx (y) = dM (x, y)
(ou seja, a distˆancia ao ponto x). Como M ´e limitado segue que dx ∈ B(M ; R), ou seja ϕ est´ a bem definida. Mostremos que ϕ preserva as ditˆancias de M e B(M ; R). Observemos que se x, x0 , y ∈ M ent˜ao |dx (y) − dx0 (y)| = |d(x, y) − d(x0 , y)|
[corol´ ario (2.4.1)]
≤
dM (x, x0 ),
assim kdx − dx0 k = sup |dx (y) − dx0 (y)|≤dM (x, x0 ). y∈M
Por outro lado, se tomarmos y =
x0
temos que [y=x0 ]
kdx (y) − dx0 (y)k = |dM (x, y) − dM (x0 , y)| = |dM (x, x0 ) − dM (x0 , x0 )| = dM (x, x0 ). Logo kdx − dx0 k = sup |dx (y) − dx0 (y)|≥dM (x, x0 ), y∈M
portanto kdx − dx0 k = dM (x, x0 ), ou seja ϕ preserva as distˆancias de M e de B(M ; R). ¤ Observa¸ c˜ ao 2.6.9 1. Pode-se provar um resultado an´ alogo ao exibido acima retirando-se a hip´ otese de M ser limitado. Uma demonstra¸ca ˜o para esse fato pode ser encontrada em [1] pag.20. 2. O resultado acima garante que todo esp¸cao m´etrico pode ser imerso isometricamente em um espa¸co vetorial normado. Aula de Exerc´ıcios
Cap´ıtulo 3
Fun¸co ˜es Cont´ınuas Definidas em Espa¸cos M´ etricos 22.09.2008 - 13.a Aula de Exerc´ıcios 22.09.2008 - 14.a Aula de Exerc´ıcios 29.09.2008 - 15.a 1.a Prova 29.09.2008 - 16.a
3.1
Defini¸c˜ ao de fun¸c˜ ao cont´ınua em espa¸cos m´ etricos e exemplos
Temos a: Defini¸ c˜ ao 3.1.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos m´etricos e a ∈ M . Diremos que uma fun¸ca ˜o f : M → N ´e cont´ınua no ponto a se dado ε > 0 existir δ = δ(ε, a) > 0 tal que dM (x, a) < δ
implicar
dN (f (x), f (a)) < ε.
Geometricamente temos: N M f (B(a; δ))
¼ a
=
f
-
f (a) ε
δ
~
Diremos que f : M → N ´e cont´ınua em M se ela for cont´ınua em cada um dos pontos de M. 59
60
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
Observa¸ c˜ ao 3.1.1 1. Na situa¸c˜ ao acima, f ´e cont´ınua no ponto a se, e somente se, se dado ε > 0 existir δ = δ(ε, a) > 0 tal que f (B(a; δ)) ⊆ B(f (a); ε), ou seja, dada uma bola aberta de centro em f (a) e raio ε > 0 em N , existe uma bola aberta de centro em a e raio δ > 0 em M , tal que a imagem pela fun¸c˜ ao f desta segunda bola est´ a contida na primeira bola. 2. Se M ⊆ R e N = R munido da m´etrica usual ent˜ ao f ser´ a cont´ınua em a ∈ M se, e somente se, dado ε > 0 existir δ = δ(ε, a) > 0 tal que se x∈R
e
a−δ
ent˜ ao f (a) − ε < f (x) < f (a) + ε, ou seja, f ((a − δ, a + δ)) ⊆ (f (a) − ε, f (a) + ε). Geometricamente temos: 6
6 f (a) + ε
a+δ
a
f
f (a)
a−δ
f (a) − ε
A seguir exibiremos alguns exemplos. Anste por´em temos a: Defini¸ c˜ ao 3.1.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e uma fun¸c˜ ao f : M → N que tem a seguinte propriedade: existe c > 0 tal que dN (f (x), f (y)) ≤ c dM ((x, y),
x, y ∈ M.
Neste caso diremos que a fun¸c˜ ao f ´e lipschitziana em M . Exemplo 3.1.1 Se f : M → N ´e lipschitiziana em M ent˜ ao f ´e cont´ınua em M . De fato, como f ´e lipschitiziana em M existe c > 0 tal que dN (f (x), f (y)) ≤ cdM ((x, y),
x, y ∈ M.
˜ DE FUNC ˜ CONT´INUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 61 . ε Logo ε > 0 seja δ = > 0. c Ent˜ ao se a ∈ M e dM (x, a) < δ temos que ε dN (f (x), f (a)) ≤ cdM (x, a) < cδ ≤ c = ε, c mostrando que a fun¸c˜ ao f ´e cont´ınua no ponto a ∈ M . Como a ∈ M ´e arbitr´ ario segue que a fun¸c˜ ao f ´e cont´ınua em M . Exemplo 3.1.2 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R. Afirmamos que a aplica¸c˜ ao fλ : E → E dada por
. fλ (x) = λ.x,
x ∈ E,
´e lipschitiziana em E. De fato, dE (fλ (x), fλ (y)) = kfλ (x), fλ (y)kE = kλ.x − λ.ykE = kλ(x − y)kE = |λ|kx − ykE = |λ|dE (x, y), mostrando que a afirma¸c˜ ao ´e verdadeira. Em particular, f ser´ a cont´ınua em E. Observa¸ c˜ ao 3.1.2 1. Se f1 , · · · , fn : E → E, onde E ´e um espa¸co vetorial normado, s˜ ao lipschitzianas ent˜ ao dados a1 , · · · , an ∈ R temos que . f = a1 f1 + · · · an fn tamb´em ser´ a lipschitziana. De fato, como para cada i ∈ {1, · · · , n} a fun¸c˜ ao fi ´e lipschitziana em Ei ent˜ ao existe ci > 0 tal que dE (fi (x), fi (y) ≤ ci dE (x, y), x, y ∈ M. (∗) Definamos
. c = |a1 |c1 + · · · + |an |cn
. Ent˜ ao se x, y ∈ M temos que dE (f (x), f (y) = kf (x) − f (y)kE = k[a1 f1 + · · · + an fn ](x) − [a1 f1 + · · · + an fn ](y)kE = k[a1 [f1 (x) − f1 (y)] + · · · + an [fn (x) − fn (y)]](x)kE ≤ ka1 [f1 (x) − f1 (y)]kE + · · · + kan [fn (x) − fn (y)](x)kE = |a1 |kf1 (x) − f1 (y)kE + · · · + |an |kfn (x) − fn (y)(x)kE = |a1 |dE (f1 (x), f1 (y)) + · · · + |an |dM (fn (x), fn (y)) (∗)
≤ |a1 |c1 dE (x, y) + · · · + |an |cn dE (x, y)
= [|a1 |c1 + · · · + |an |cn ]dE (x, y) = c dE (x, y). Conclus˜ ao: combina¸c˜ ao linear de fun¸c˜ oes lipschitzianas ´e uma fun¸c˜ ao lipschitziana. Em particular f ser´ a cont´ınua em M .
62
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS 2. Seja R munido da m´etrica usual. Ent˜ ao f : R → R ´e lipschitiziana em M se, e somente se existe c > 0 tal que |f (x) − f (y)| dR (f (x), f (y)) = ≤ c, |x − y| dR (x, y)
x, y ∈ R, x 6= y.
3. Observemos se f : I → R ´e diferenci´ avel em I, um intervalo de R e |f 0 (x)| ≤ c para todo x ∈ I ent˜ ao a fun¸c˜ ao f ´e lipschitziana em I. De fato, dados x, y ∈ I do Teorema do Valor segue que existe x ¯ ∈ [x, y] ( ou [y, x]) tal que f (x) − f (y) = f 0 (¯ x). x−y Logo |f (x) − f (y)| = |f 0 (¯ x)| ≤ c, |x − y| ou seja, a fun¸c˜ ao f ´e lipschitziana em I, com afiramamos acima. Conclus˜ ao: toda fun¸c˜ ao real, de vari´ avel real, diferenci´ avel em um intervalo da reta e tal que sua derivada ´e limitada neste intervalo ´e uma fun¸c˜ ao lipschitiziana no intervalo em quest˜ ao Em particular, ser´ a uma fun¸c˜ ao cont´ınua nesse intervalo. 29.10.2008 - 16.a - 1.a Prova 6.10.2008 - 17.a Uma situa¸c˜ao mais geral ´e dada pela Defini¸ c˜ ao 3.1.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N . Diremos que a fun¸c˜ ao f ´e localmente lipschitziana em M se para cada a ∈ M existe ra > 0 tal que a restri¸c˜ ao da fun¸c˜ ao f a bola aberta B(a; ra ) (,isto ´e, f|B(a;ra ) ) ´e uma fun¸c˜ ao lischitziana B(a; ra ), ou seja, existe c = c(B(a; rr )) > 0 satisfazendo dN (f (x), f (y)) ≤ cdM ((x, y),
x, y ∈ B(a; r).
Com isto temos o Exemplo 3.1.3 Se f : M → N ´e localmente lipschitziana em M ent˜ ao f ´e cont´ınua em M . De fato, dado a ∈ M seja ra > 0 tal que restri¸c˜ ao da fun¸c˜ ao f a bola aberta B(a; ra ) seja lipschitziana. ε . Dado ε > 0 seja δ = min{ , r} > 0. c Logo se, dM (x, a) < δ ≤ r logo ε dN (f (x), f (a)) ≤ cdM (x, a) < cδ ≤ c = ε, c mostrando que a fun¸ca ˜o f ´e cont´ınua no ponto a ∈ M . Como a ∈ M ´e arbitr´ ario segue que a fun¸c˜ ao f ´e cont´ınua em M .
˜ DE FUNC ˜ CONT´INUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 63 Observa¸ c˜ ao 3.1.3 Se f, · · · , fn :→ E, onde E ´e um espa¸co vetorial normado, s˜ ao localmente . lipschitzianas em E ent˜ ao dados a1 , · · · , an ∈ R temos que f = a1 f1 + · · · an fn tamb´em ser´ a localmente lipschitziana. De fato, dado ~a ∈ E, como para cada j = 1, · · · , n a fun¸c˜ ao fj ´e localmente lipschitizianaem E, existe ra,j > 0 tal que teremos dN (f (x), f (y)) ≤ cj dM (x, y), Seja
. C = |a1 |c1 + · · · + |an |cn
e
se
x, y ∈ B(a; ra,j ).
(∗)
. ra = min{raj : j = 1, · · · , n} > 0.
Logo se x, y ∈ B(a; ra ), como B(a; ra ) ⊆ B(a; raj ) para todo j = 1, · · · , n (**)(pois ra ≤ raj para todo j = 1, · · · , n) temos que dE (f (x), f (y)) = kf (x) − f (y)kE = k(a1 f1 (x) + · · · an fn (x)) − (a1 f1 (y) + · · · + an fn (y))kE = ka1 (f1 (x) − f1 (y)) + · · · an (fn (x) − fn (y))kE ≤ |a1 |kf1 (x) − f1 (y)k + · · · |an |kfn (x) − fn (y))kE = |a1 |dM (f1 (x), f1 (y)) + · · · |an |dM (fn (x) − fn (y))) [(∗) e (∗∗)
≤
|a1 |c1 dM (x, y) + · · · |an |cn dM (x, y) = [|a1 |c1 + · · · |an |cn ]dM (x, y) = CdM (x, y)
mostrando que f ´e localmente lipschitiziana em E. Conclus˜ ao: combina¸c˜ ao linear de fun¸c˜ oes localmente lipschitzianas ´e uma fun¸c˜ ao localmente lipschitziana em E. Em particular f ser´ a cont´ınua em M . . Exemplo 3.1.4 Seja f : R → R dada por f (x) = xn , x ∈ R e n ∈ N. Afirmamos que f ´e localmente lispchitziana em R (em particular, cont´ınua em R). De fato, se |x|, |y| ≤ a temos que dR (f (x), f (y)) = |f (x) − f (y)| = |xn − y n | = |(x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · xy n−1 + y n−1 )| ≤ |x − y|[|x|n−1 + |x|n−2 |y| + · · · |x||y|n−2 + |y|n−1 ] ≤ |x − y|[|a|n−1 + |a|n−2 |a| + · · · |a||a|n−2 + |a|n−1 ] | {z } n−parcelas n−1
= na
|x − y| = na
n−1
dR (x, y),
ou seja, f ´e localmente lischitziana em R. Em particular, a fun¸c˜ ao f ser´ a cont´ınua em R. Observa¸ c˜ ao 3.1.4 Do exemplo acima e da observa¸c˜ ao (3.1.3) segue que toda fun¸c˜ ao polinomial p:R→R dada por
. p(x) = a0 + a1 x + · · · , an xn ,
x∈R
onde a1 , · · · , an ∈ R s˜ ao fixadas, ´e uma fun¸c˜ ao localmente lispchitziana em R. Em partitular, a fun¸c˜ ao p ser´ a cont´ınua em R.
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
64
. Exemplo 3.1.5 Seja f : R∗ = R \ {0} → R dada por . 1 f (x) = , x ∈ R∗ . x . Para cada a > 0 temos que f ´e lipschitiziana em Rk , onde Rk = {x ∈ R |x| ≥ k}. De fato, se x, y ∈ Ra ent˜ ao |x|, |y| ≥ a logo, [|x|,|y|≥a>0] 1 1 1 y−x 1 1 dR (f (x), f (y)) = |f (x)−f (y)| = | − | = | |= |x−y| ≤ |x−y| = 2 dR (x, y), x y x.y |x|.|y| a2 a
. 1 mostrando que f ´e lipschitziana em Ra (basta tomar a constante de Lipschitz como sendo c = 2 ) a para cada a > 0. Em particular, a aplica¸c˜ ao f : R∗ → R ´e cont´ınua em Ra para todo a > 0, isto ´e, f ´e ∗ cont´ınua em R . Exemplo 3.1.6 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial normado, R com a m´etrica usual e λ ∈ R. Afirmamos que a aplica¸c˜ ao m:R×E →E dada por
. m(λ, ~x) = λ.~x,
λ ∈ R, ~x ∈ E,
´e localmente lipschitiziana em R × E onde no produto cartesiano R × E considerarmos a norma da soma (isto ´e, k(λ, ~x)kR×E = |λ| + k~xkE , (λ, ~x) ∈ R × E) e assim podemos tomar a m´etrica dR×E [(λ, ~x), (β, ~y )] = |λ − β| + k~x − ~y kE , se (λ, ~x), (β, ~y ) ∈ R × E). De fato, dado (λ0 , ~x0 ) ∈ R × E, fixado r > 0, se (λ, ~x), (β, ~y ) ∈ B((λ0 , ~x0 ); r) ⊆ R × E temos que |λ − λ0 |, |β − β0 | < r
e
k~x − ~x0 kE , k~y − ~x0 kE < r.
Logo dE (m(λ, ~x), m(β, ~y )) = km(λ, ~x) − m(β, ~y )kE = kλ.~x − β.ykE = kλ.x − λ.y + λy − β.~y kE = kλ.(~x − ~y ) + (λ − β).~y kE ≤ kλ(~x − ~y )kE + k(λ − β)~y kE = |λ|k~x − ~y kE + |λ − β|k~y kE [|λ|≤|λ−λ0 |+|λ0 |≤r+|λ0 |]
≤
[r + |λ0 |]k~x − ~y kE + |λ − β|k~y kE
[k~ y kE ≤k~ y −~ x0 kE +k~ x0 kE ≤r+k~ x0 kE ]
≤
[r + |λ0 |]k~x − ~y kE + [r + k~x0 kE ]|λ − β|
≤ max{r + |λ0 |, r + k~x0 kE }[k~x − ~y kE + |λ − β|] . [c=max{r+|λ0 |,r+k~ x0 kE }] = c[|λ − β| + k~x − ~y kE ] = c dR×E [(λ, ~x), (β, ~y )] mostrando que a afirma¸ca ˜o ´e verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao m : R × E → E ser´ a cont´ınua em R × E (munido da m´etrica acima).
˜ DE FUNC ˜ CONT´INUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 65 Exerc´ıcio 3.1.1 Em particular, vale o mesmo para multiplica¸c˜ ao de n´ umeros reais ou multiplica¸c˜ ao de n´ umeros reais por vetores de Rn . Uma outra classe de fun¸c˜oes importantes ´e dada pela Defini¸ c˜ ao 3.1.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N . Diremos que a fun¸c˜ ao f ´e uma contra¸ c˜ ao fraca se dN (f (x), f (y)) ≤ dM ((x, y),
x, y ∈ M.
e uma subclasse desta ´e dada pela Defini¸ c˜ ao 3.1.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N . Diremos que a fun¸c˜ ao f ´e uma contra¸ c˜ ao (forte) se existir c ∈ (0, 1) tal que dN (f (x), f (y)) ≤ c dM ((x, y),
x, y ∈ M.
Observa¸ c˜ ao 3.1.5 Toda contra¸c˜ ao fraca ou forte ´e uma aplica¸c˜ ao lipschitiziana e portanto cont´ınua em todo o espa¸co m´etrico. Seguir daremos alguns exemplos de contra¸c˜ oes fracas. Exemplo 3.1.7 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e k ∈ N fixo. Se f : M → N ´e dada por . f (x) = k,
para todo
x∈M
ent˜ ao f ´e uma contra¸c˜ ao forte, pois dN (f (x), f (y)) = dN (k, k) = 0 ≤
1 dM (x, y), 2
x, y ∈ M,
. 1 (no caso escolhemos c = < 1). 2 Em particular, a aplica¸c˜ ao f : M → N ´e cont´ınua em M . Exemplo 3.1.8 Sejam (M, dM ) espa¸co m´etrico e X ⊆ M subespa¸co m´etrico de M . . A aplica¸ c˜ ao de inclus˜ ao, i : X → M dada por i(x) = x, x ∈ X ´e uma contra¸c˜ ao fraca pois dM (i(x), i(y)) = dX (x, y),
x, y ∈ X.
Em particular, a aplica¸c˜ ao i : X → M ´e cont´ınua em X. Em geral temos o Exemplo 3.1.9 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos. Se f : M → N ´e uma imers˜ ao isom´etrica ent˜ ao f ´e uma contra¸c˜ ao fraca pois dN (f (x), f (y)) = dM (x, y),
x, y ∈ M.
Em particular, a aplica¸c˜ ao f : M → N ser´ a cont´ınua em M .
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
66
Observa¸ c˜ ao 3.1.6 Como caso particular do exemplo acima temos que toda isometria ´e uma contra¸c˜ ao fraca, logo cont´ınua em todo o espa¸co m´etrico. Exemplo 3.1.10 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos. Independente de uma das trˆes m´etricas que escolhamos para M × N (ver exemplo (2.1.15) e observa¸c˜ ao (2.1.14) item 3.), para cada a ∈ M e b ∈ N se considerarmos as aplica¸c˜ oes
dadas por
ib : M → M × N
e
ja : N → M × N
. ib (x) = (x, b)
e
. ja (y) = (a, y),
ent˜ ao ib e ja s˜ ao uma contra¸c˜ oes fracas. De fato, pois (∗)
dM ×N (ib (x1 ), ib (x2 )) = dM ×N [(x1 , b), (x2 , b)] ≤ dM (x1 , x2 ), (∗∗)
dM ×N (ja (y1 ), ib (y2 )) = dM ×N [(a, y1 ), (a, y2 )] ≤ dN (y1 , y2 ),
x1 , x2 ∈ M, y1 , y2 ∈ N
mostrando a afirma¸c˜ ao acima. Vale observar que as desigualdades (*) e (**) s˜ ao v´ alidas, independentementes, de qual das trˆes m´etricas que considerarmos no produto cartesiano (verifique!). Em particular, as aplica¸c˜ oes ib : M → M × N e ja : N → M × N s˜ ao cont´ınuas em M e N , respectivamente. Exemplo 3.1.11 Sejam (M, dM ) espa¸co m´etrico e X ⊆ M n˜ ao vazio. Definamos dX : M → R por . dX (y) = d(y, X), y ∈ M. Afirmamos que dX ´e uma contra¸c˜ ao fraca. De fato, se y1 , y2 ∈ M temos que dR (dX (y1 ), dX (y2 )) = |dX (y1 ) − dX (y2 )| = |d(y1 , X) − d(y2 , X)|
[proposi¸c˜ ao (2.4.2)]
≤
dM (y1 , y2 ),
mostrando que a afirma¸ca ˜o ´e verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao dx : M → R ´e cont´ınua em M . Observa¸ c˜ ao 3.1.7 Do exemplo acima segue que para cada x ∈ M temos que a aplica¸c˜ ao . dx : M → R dada por dx (y) = dM (x, y), y ∈ M, ´e uma contra¸c˜ ao fraca. . Para ver isto basta considerar X = {x} ⊆ M . Em particular, a aplica¸c˜ ao dx : M → R ser´ a cont´ınua em M . Exemplo 3.1.12 Seja (E, k.k) um espa¸co vetorial normado. A aplica¸c˜ ao k.k : E → R ´e uma contra¸c˜ ao fraca. De fato, se ~x, ~y ∈ E temos que dR (k~xk, k~y k) = |k~xk − k~y k| = |dE (~x, 0) − dE (~y , 0)| ≤ |dE (~x, ~y )| = k~x − ~y k = dE (~x, ~y ), mostrando que a afirma¸ca ˜o ´e verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao k.k : E → R ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua em E.
˜ DE FUNC ˜ CONT´INUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 67 Exemplo 3.1.13 Seja (M1 , d1 ), · · · (Mn , dn ) espa¸cos m´etricos. Pra cada i = 1, · · · n a aplica¸c˜ ao pi : M1 × · · · × Mn → Mi ,
dada por
. pi (x) = xi ,
onde x = (x1 , · · · , xn ) ∈ M1 × · · · × Mn (conhecida como i-´ esima proje¸ c˜ ao) ´e uma contra¸c˜ ao . fraca onde podemos considerar no produto cartesiano M = M1 × · · · × Mn qualquer uma das trˆes m´etricas da observa¸c˜ ao (2.1.14). De fato, se xi , yi ∈ Mi temos que dM1 (pi (x), pi (y)) = dMi (xi , yi ) ≤ dM (x, y), onde x = (x1 , · · · , xi−1 , xi , xi+1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yi−1 , yi , yi+1 , · · · , yn ) ∈ M , mostrando que a afirma¸c˜ ao ´e verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao pi : M1 × · · · × Mn → Mi ´e cont´ınua em M1 × · · · × Mn para cada i = 1, · · · , n. Exemplo 3.1.14 Seja (M, dM ) espa¸co m´etrico. Ent˜ ao a aplica¸c˜ ao dM : M × M → R ´e uma contra¸c˜ ao fraca se em M ×M considerarmos a m´etrica da soma ou do m´ aximo em M ×M (veja exemplo (2.1.15)). De fato, se (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ M × M ent˜ ao dR (dM (x, y), dM (x0 , y 0 )) = |dM (x, y) − dM (x0 , y 0 )| = |dM (x, y) − dM (x0 , y) + dM (x0 , y) − dM (x0 , y 0 )| ≤ |dM (x, y) − dM (x0 , y)| + |dM (x0 , y) − dM (x0 , y 0 )| ≤ dM (x, x0 ) + dM (y, y 0 ) ≤ dM ×M [(x, y), (x0 , y 0 )], mostrando que a afirma¸c˜ ao ´e verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao dM : M × M → R ser´ a cont´ınua em M × M . Exemplo 3.1.15 Seja (E, k.kE ) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R. Afirmamos que a aplica¸c˜ ao s:E×E →E dada por
. s(x, y) = x + y,
x, y ∈ E,
. ´e uma contra¸c˜ ao fraca onde em E×E estamos considerando a norma da soma (isto ´e, k(x, y)kE×E = kxkE + kykE e sua respectiva m´etrica associada). De fato, dE (s(x, y), s(x0 , y 0 )) = ks(x, y) − s(x0 , y 0 )kE = k(x + y) − (x0 + y 0 )kE = k(x − x0 ) + (y − y 0 )kE ≤ kx − x0 k + ky − y 0 kE = k(x, y) − (x0 , y 0 )kE×E = dE×E ((x, y), (x0 , y 0 )). mostrando que a afirma¸c˜ ao ´e verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao s : E × E → E ser´ a cont´ınua em E × E. Exerc´ıcio 3.1.2 Em particular, vale o mesmo para soma n´ umeros reais ou soma de vetores em n R e B(X; M ) munido da m´etrica do sup.
68
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
Observa¸ c˜ ao 3.1.8 1. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos m´etricos e a ∈ M um ponto isolado de M . Afirmamos que f : M → N ´e cont´ınua em a ∈ M . De fato, como a ∈ M ´e um ponto isolado de M , existe δ0 > 0 tal que B(a; δ0 ) ∩ M = {a}. Dado ε > 0 seja 0 < δ ≤ δ0 . Se dM (x, a) < δ ≤ δ0 temos que x = a logo dN (f (x), f (a)) = dN (f (a), f (a)) = 0 < ε, mostrando que a afirma¸c˜ ao ´e verdadeira. 2. Como conseq¨ uˆencia da observa¸c˜ ao acima temos que se (M, dM ) for um espa¸co discreto (isto ´e, todo ponto dele ´e ponto isolado) ent˜ ao toda fun¸c˜ ao f : M → N ´e cont´ınua em M . Em particular, a m´etrica de M ´e a m´etrica zer-um ent˜ ao vale o mesmo. 3. Por outro lado se (N, dN ) for um espa¸co discreto temos que: f : M → N cont´ınua em M se, e somente se, para cada a ∈ M a fun¸ca ˜o f ´e constante em alguma bola aberta de centro em a. De fato, se a ∈ M ent˜ ao dado 0 < ε ≤ 1 temos que B(f (a); ε) = {f (a)} assim para todo δ > 0 se x ∈ B(a; δ) para que f (x) ∈ B(f (a), ε) = {f (a)} deveremos ter f (x) = f (a) na bola aberta B(a; δ), como afirmamos acima. Em particular, a m´etrica de N ´e a m´etrica zer-um ent˜ ao vale o mesmo. Temos a Defini¸ c˜ ao 3.1.6 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e a ∈ M . Diremos que uma fun¸c˜ ao f : M → N ´e descont´ınua no ponto a se ela n˜ ao for cont´ınua no ponto a. Observa¸ c˜ ao 3.1.9 1. Na situa¸c˜ ao acima f ´e descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe ε > 0 tal que para todo δ > 0 existe xδ ∈ M tal que dM (xδ , a) < δ
mas
dN (f (xδ ), f (a)) ≥ ε.
2. Um formula¸c˜ ao equivalente seria: f ´e descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe ε > 0 tal que para todo n ∈ N existe xn ∈ M tal que dM (xn , a) <
1 n
mas
dN (f (xn ), f (a)) ≥ ε.
Isto poderia ser dito da seguinte forma: existe uma seq¨ uˆencia (xn )n∈N em M que ´e convergente para a em M tal que a seq¨ uˆencia (f (xn ))n∈N em N n˜ ao ´e convergente em N . Vale observar que ainda n˜ ao introduzimos a no¸c˜ ao de convergˆencia de seq¨ uˆencias. Na verdade isto ser´ a tratado num c´ ap´ıtulo mais adiante.
˜ DE FUNC ˜ CONT´INUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 69 ( 1, se x ∈ Q n˜ ao ´e cont´ınua em Exemplo 3.1.16 A fun¸ca ˜o f : R → R dada por f (x) = 0, se x ∈ I nenhum ponto de R. 1 De fato, sejam a ∈ Q e ε = > 0. 2 Dado δ > 0 consideremos x ∈ I tal que |x − a| < δ, isto ´e, d(x, a) < δ (veja figura abaixo). x∈I
? a−δ
-
a∈Q
a+δ
Como f (x) = 0 e f (a) = 1 segue que dR (f (x), f (a)) = |f (x) − f (a)| = |0 − 1| = 1 ≥
1 = ε, 2
mostrando que f n˜ ao ´e cont´ınua em nenhum a ∈ Q. 1 Por outro lado, sejam a ∈ I e ε = > 0. 2 Dado δ > 0 consideremos x ∈ Q tal que |x − a| < δ, isto ´e, d(x, a) < δ (veja figura abaixo). x∈Q
? a−δ
a∈I
a+δ
Como f (x) = 1 e f (a) = 0 segue que dR (f (x), f (a)) = |f (x) − f (a)| = |1 − 0| = 1 ≥
1 = ε, 2
mostrando que f n˜ ao ´e cont´ınua em nenhum a ∈ I. Portanto f n˜ ao ´e cont´ınua em nenhum ponto de R. Observa¸ c˜ ao 3.1.10 Observemos que no exemplo acima temos que f|Q e f|I s˜ ao cont´ınuas (na verdade a primeira ´e constante e igual a 0 e a segunda ´e constante e igual a 1). Para f : M → N e X ⊆ M n˜ ao vazio, o exemplo acima nos mostra a diferen¸ca entre: 1. f|X : X → N cont´ınua em X; 2. f : M → N cont´ınua em todos os pontos de M . Podemos sempre afirmar que na situa¸c˜ ao acima (b) implicar´ a sempre em (a). Mas, em geral, (a) pode n˜ ao implicar em (b), como mostra o exemplo acima. 13.10.2008 - 19.a
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
70
3.2
Propriedades elementares de fun¸c˜ oes cont´ınuas entre espa¸cos m´ etricos
Come¸caremos pela Proposi¸ c˜ ao 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos m´etricos e a ∈ M . Se f : M → N ´e cont´ınua em a e g : N → P ´e cont´ınua em f (a) ent˜ ao g ◦ f : M → P ´e cont´ınua em a. Demonstra¸ c˜ ao: Dado ε > 0, como g ´e cont´ınua no ponto f (a), existe λ > 0 tal que se y ∈ N e dN (y, f (a)) < λ
ent˜ ao dP (g(y), g(f (a))) < ε. (∗)
Mas f ´e cont´ınua em a, logo dado λ > 0 (obtido acima), existe δ > 0 tal que se x ∈ M e dM (x, a) < δ
ent˜ ao dN (f (x), f (a)) < λ.
Logo, se f (x) ∈ N , de (*) temos dP (g(f (x)), g(f (a))) < λ, mostrando que g ◦ f ´e cont´ınua em a, como quer´ıamos mostrar. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.2.1 1. O resultado acima nos diz que a composta de duas fun¸c˜ oes cont´ınuas ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua. 2. Temos a seguinte caracteriza¸c˜ ao geom´etrica para a demonstra¸ca ˜o do resultado acima: g(B(f (a); λ)) f (B(a; δ))
? f
a δ
^
-
g
f (a)
W
-
g(f (a)) ε
λ
U
^
Como conseq¨ uˆencia temos Corol´ ario 3.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos. Se f : M → N ´e cont´ınua em a ∈ X ⊆ M ent˜ ao f|X : X → N ´e cont´ınua em a. Demonstra¸ c˜ ao: Sabemos que a aplica¸c˜ao inclus˜ao, i : X → M ´e cont´ınua em X (ver exemplo (3.1.8)). Observemos que f|X = f ◦ i. Como f ´e cont´ınua em a segue, da proposi¸c˜ ao acima, que f|X = f ◦ i ser´ a cont´ınua no ponto a, completando a demosntra¸c˜ao do corol´ario. ¤
˜ ´ 3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNC ¸ OES CONT´INUAS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS71 Observa¸ c˜ ao 3.2.2 O corol´ ario acima nos diz que a restri¸c˜ ao de uma fun¸c˜ ao cont´ınua a um subconjunto do seu dom´ınio ser´ a uma fun¸c˜ ao cont´ınua nesse subconjunto. Antes de prosseguir temos a Observa¸ c˜ ao 3.2.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos m´etricos, f : M ×N → P onde em M × N consideramos uma das trˆes m´etricas usuais (da raiz quadrada, da soma ou do m´ aximo). Logo f ser´ a cont´ınua em (a, b) ∈ M × N se dado ε > 0 existe δ > 0 tal que dM ×N ((x, y), (a, b)) < δ
implicar
dP (f (x, y), f (a, b)) < ε.
Neste caso ´e comum dizermos que f ´e cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b). Temos tamb´em a: Defini¸ c˜ ao 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos m´etricos, f : M × N → P e (a, b) ∈ M × N. Diremos que f ´e cont´ınua em rela¸ c˜ ao a 1.a vari´ avel no ponto (a, b) se a aplica¸c˜ ao fb : M → P dada por
. fb (x) = f (x, b),
x ∈ M,
for cont´ınua no ponto a. Diremos que f ´e cont´ınua em rela¸ c˜ ao a 2.a vari´ avel no ponto (a, b) se a aplica¸c˜ ao fa : N → P dada por
. f a (y) = f (a, y),
y ∈ N,
for cont´ınua no ponto b. Diremos que f ´e cont´ınua separadamente no ponto (a, b) se ela for cont´ınua em rela¸c˜ ao a cada uma das vari´ aveis no ponto (a, b). Observa¸ c˜ ao 3.2.4 1. Na situa¸c˜ ao acima se f ´e cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b) ent˜ ao temos que f a = f ◦ ja
e
fb = f ◦ ib ,
ib : M → M × N
e
ja : N → M × N
onde s˜ ao as aplica¸co ˜es de M , e de N , em M × N dadas pelo exemplo (3.1.10), respectivamente. Assim, como ib e ja s˜ ao cont´ınuas em M e N , respectivamente, segue que que f a e fb s˜ ao cont´ınuas nos pontos a e b, respectivamente. Portanto f ser´ a cont´ınua separadamente no ponto (a, b).
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
72
2. N˜ ao vale, em geral, a rec´ıproca do resultado acima, isto ´e, existem fun¸c˜ oes f : M ×N → P que s˜ ao cont´ınuas separadamente no ponto (a, b) mas n˜ ao s˜ ao cont´ınuas (conjuntamente) no ponto (a, b). Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo: Seja f :R×R→R dada por . f (x) =
x2
xy , + y2 0 ,
se
(x, y) 6= (0, 0)
se
(x, y) = (0, 0)
.
No ponto (0, 0) temos que f ´e cont´ınua separamente (pois f (x, 0) = 0 e f (0, y) = 0 para todo x, y, ∈ R que s˜ ao cont´ınuas em R). Mas f n˜ ao ´e cont´ınua (conjuntamente) no ponto (0, 0) pois se tomarmos a restri¸c˜ ao da fun¸c˜ ao f ` a reta y = ax, com a 6= 0 (que torna-se um espa¸co m´etrico com a m´etrica induzida pela m´etrica de R2 ) ent˜ ao teremos f (x, ax) =
x2
ax2 a = 6= 0 + a2 x2 1 + a2
se
x 6= 0
e se x = 0 teremos que f (0, a.0) = (0, 0), mostrando que f ´e descont´ınua no ponto (0, 0). Para o pr´oximo resultado precisaremos da Defini¸ c˜ ao 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1 , d1 ), (N2 , d2 ) espa¸cos m´etricos, f : M → N1 × N2 dada por
. f (x) = (f1 (x), f2 (x)),
x∈M
onde fj : M → Nj , j = 1, 2 s˜ ao ditas fun¸ c˜ oes coordenadas da fun¸ c˜ ao f . Neste caso escreveremos f = (f1 , f2 ). Com isto temos a Proposi¸ c˜ ao 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1 , d1 ), (N2 , d2 ), N1 ×N2 espa¸cos m´etricos, onde no u ´ltimo . consideramos uma das trˆes m´etricas usuais, f : M → N1 × N2 dada por f (x) = (f1 (x), f2 (x)), x ∈ M onde fj : M → Nj , j = 1, 2 e a ∈ M . Ent˜ ao f ´e cont´ınua no ponto a se, e somente se, f1 e f2 s˜ ao cont´ınuas no ponto a. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos que f ´e cont´ınua no ponto a. Temos que f1 = p1 ◦ f e
f2 = p2 ◦ f,
onde pj : N1 × N2 → Nj , j = 1, 2 s˜ao as proje¸c˜ oes em N1 e N2 definidas no exemplo (3.1.13), respectivamente. Como p1 , p2 s˜ao cont´ınuas em N1 e N2 , respectivamente, segue que f1 e f2 s˜ao cont´ınuas em a ∈ M. Reciprocamente,
˜ ´ 3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNC ¸ OES CONT´INUAS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS73 (i) Consideremos em N1 × N2 a m´etrica do m´aximo. Se f1 e f2 s˜ao cont´ınuas em a ∈ M ent˜ ao dado ε > 0 segue que existem δ1 , δ2 > 0 tal que se dM (x, a) < δi implicar´ a dNi (fi (x), fi (a)) < ε, i = 1, 2. (∗) . Seja δ = min{δ1 , δ2 } > 0. Assim, se dM (x, a) < δ logo dM (x, a) < δ1 e dM (x, a) < δ2 e de (*) teremos dN1 ×N2 (f (x), f (a)) = max{d1 (f1 (x), f1 (a)), d2 (f2 (x), f2 (a))} < ε, mostrando que f ´e cont´ınua no ponto a. (ii) Se considerarmos em N1 × N2 a m´etrica da raiz quadrada temos que dado ε > 0 existem δ1 , δ2 > 0 tal que se ε dM (x, a) < δi implicar´a dNi (fi (x), fi (a)) < √ , i = 1, 2. (∗) 2 . tomando-se δ = min{δ1 , δ2 } > 0. Assim, se dM (x, a) < δ logo dM (x, a) < δ1 e dM (x, a) < δ2 e de (*) teremos r p ε ε dN1 ×N2 (f (x), f (a)) = [d1 (f1 (x), f1 (a))]2 + [d2 (f2 (x), f2 (a))]2 < [ √ ]2 + [ √ ]2 2 2 r 2 2 √ ε ε + = ε2 = ε, = 2 2 mostrando que f ´e cont´ınua no ponto a. (iii) Se considerarmos em N1 × N2 a m´etrica da soma temos que dado ε > 0 existem δ1 , δ2 > 0 tal que se ε dM (x, a) < δi implicar´ a dNi (fi (x), fi (a)) < , i = 1, 2. (∗) 2 . tomando-se δ = min{δ1 , δ2 } > 0. Assim, se dM (x, a) < δ logo dM (x, a) < δ1 e dM (x, a) < δ2 e de (*) teremos dN1 ×N2 (f (x), f (a)) = d1 (f1 (x), f1 (a)) + d2 (f2 (x), f2 (a)) <
ε ε + = ε, 2 2
mostrando que f ´e cont´ınua no ponto a. Completamos assim a demonstra¸c˜ao. ¤ Como conseq¨ uˆencia temos o Corol´ ario 3.2.2 Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), (N1 , d1 ), (N2 , d2 ) espa¸cos m´etricos e f1 : M1 → N1 , f2 : M2 → N2 duas fun¸c˜ oes. Se f1 e f2 s˜ ao cont´ınuas em M1 e M2 , respectivamente ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f1 × f2 : M1 × M2 → N1 × N2 . (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 ser´ a cont´ınua em M1 × M2 .
74
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
Demonstra¸ c˜ ao: Temos que as coordenadas de f1 × f2 s˜ao (f1 × f2 )1 = f1 ◦ p1
e (f1 × f2 )2 = f2 ◦ p2 ,
onde pi : M1 ×M2 → Mi , i = 1, 2, s˜ao as proje¸c˜ oes de M1 ×M2 em Mi , i = 1, 2 que s˜ao cont´ınuas em M1 × M2 ( ver exemplo (3.1.13) ). Como f1 e f2 s˜ao cont´ınuas em M1 e M2 , respectivamente, da proposi¸c˜ ao (3.2.1) segue que (f1 × f2 )1 e (f1 × f2 )2 s˜ao cont´ınuas M1 × M2 e assim a proposi¸c˜ ao (3.2.2) implicar´a que f1 × f2 s˜ao cont´ınuas em M1 × M2 concluindo a demonstra¸c˜ ao do resultado. ¤ Como conseq¨ uˆencia dos resultados acima temos a Proposi¸ c˜ ao 3.2.3 Sejam (M, dM ) espa¸co m´etrico, (E, k.kE ) espa¸co vetorial normado, R com a m´etrica usual, f, g : M → E, α, β : M → R cont´ınuas, com β(x) 6= 0 para x ∈ M . α Ent˜ ao as fun¸c˜ oes f + g, α.f : M → E s˜ ao cont´ınuas em M e : M → R ´e cont´ınua em M , β onde α . . . α(x) (f + g)(x) = f (x) + g(x), (α.f )(x) = α.f (x), ( )(x) = , β β(x) para x ∈ M . Demonstra¸ c˜ ao: Vimos anteriormente (exemplos (3.1.5), (3.1.15) e (3.1.6)) que as fun¸c˜ oes r : R \ {0} → R,
s:E×E →E
e m:E→E
dadas por
. 1 . . r(x) = , s(x + y) = x + y, m(λ, x) = λ.x, x onde x, y ∈ E e λ ∈ R, s˜ao cont´ınuas nos seus respectivos dom´ınios. Com isto temos: (f,g) s M −→ E×E −→ E , x −→ (f (x), g(x)) −→ f (x) + g(x) logo f + g ´e cont´ınua em M ; M x
(α,f )
m
−→ R×E −→ E , −→ (α(x), f (x)) −→ α(x).f (x)
logo α.f ´e cont´ınua em M e M x
(α,β)
−→ −→
R × R \ {0} (α(x), β(x))
(id,r)
−→ −→
m
R×R −→ R 1 1 , (α(x), β(x) ) −→ α(x). β(x)
α ´e cont´ınua em M (onde id : R → R ´e a aplica¸c˜ ao identidade, isto ´e id(x) = x, x ∈ R), β completando a demonstra¸c˜ao do resultado. ¤ Como conseq¨ uˆencia imediata temos o
logo
´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS
75
Corol´ ario 3.2.3 Sejam (M, dM ) espa¸co m´etrico, R com a m´etrica usual, f, g : M → R cont´ınuas em M . f Ent˜ ao as fun¸co ˜es f +g, f.g : M → R s˜ ao cont´ınuas em M e : M \{x ∈ M : g(x) 6= 0} → R g ´e cont´ınua no seu dom´ınio. 13.10.2008 - 20.a
3.3
Homeomorfismos entre espa¸cos m´ etricos
Observa¸ c˜ ao 3.3.1 O objetivo desta se¸c˜ ao ´e estudar fun¸co ˜es bijetoras e cont´ınuas que admitam fun¸ca ˜o inversa cont´ınua. ´ Ao contr´ ario do que ocorre em Algebra Linear (onde a inversa de uma transforma¸ca ˜o linear ´e, ´ necessariamente, uma transforma¸c˜ ao linear) e da Algebra (onde a inversa de um homomorfismo ´e, necessariamente, um homomorfismo) na Topologia existem fun¸c˜ oes cont´ınuas e bijetoras cujas fun¸co ˜es inversas n˜ ao s˜ ao cont´ınuas, como mostra o exemplo a seguir: Exemplo 3.3.1 Consideremos (M, d) onde M = R e dM ´e a m´etrica zero-um e R com a m´etrica usual. . Tomemos a aplica¸ca ˜o identidade i : M → R, dada por i(x) = x, x ∈ M . Observemos que neste caso aplica¸c˜ ao i ´e bijetora e cont´ınua (veja observa¸c˜ ao (3.1.8 item 2.) Afirmamos que a fun¸ca ˜o inversa associada a i, que ´e a aplica¸c˜ ao i−1 : R → M dada por . −1 i (y) = y, y ∈ R, n˜ ao ´e cont´ınua em qualquer ponto de R pois a m´etrica em M ´e a m´etrica zero-um (ver oberva¸c˜ ao (3.1.8) item 3.). A seguir exibiremos um outro exemplo menos artificial . Exemplo 3.3.2 Sejam M = [−1, 0] ∪ (1, ∞) e N = [0, ∞) ambos com a m´etrica usual induzida de R. Consideremos f : M → N dada por f (x) = x2 ,
x ∈ M.
Temos que f ´e uma aplica¸ca ˜o bijetora e cont´ınua em M (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸c˜ ao deste fatos - veja gr´ afico de f na figua abaixo). N
6
f (x)
1
−1
1
x M
76
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS A fun¸c˜ ao inversa associada a f ser´ a f −1 : N → M dada por ( √ − y, 0 ≤ y ≤ 1 . f −1 (y) = √ y, y > 1
cujo gr´ afico ´e dado pela figura abaixo. 6
M
f −1 (y)
1
-
1
y
N
−1
Observemos que f −1 n˜ ao ´e cont´ınua em y = 1. 1 De fato, dado ε = > 0, para todo δ > 0 seja z ∈ (1, 1 + δ). 2 Logo z ∈ B(1; δ) mas dR (f −1 (z), f −1 (1)) = |f −1 (z) − f −1 (1)|
[f −1 (1)=−1]
=
|f −1 (z) + 1| = f −1 (z) + 1 >
mostrando que f −1 (z) 6∈ B(f −1 (1); ε). Portanto f −1 n˜ ao ser´ a cont´ınua no ponto y = −1. M
6
? 1
¾ -
1
? −1
O pr´oximo exemplos ´e o mais interessante.
N
1 = ε, 2
´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS
77
. Exemplo 3.3.3 Sejam M = [0, 2π) com a m´etrica induzida pela m´etrica usual de R, S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} com a m´etrica induzida pela m´etrica usual de R2 e f : M → S1 dada por f (t) = (cos(t), sen(t)),
t ∈ M.
Observemos que f ´e cont´ınua em M (pois suas componentes s˜ ao cont´ınuas em M ) e bijetora (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸c˜ ao deste fato). Logo existe a fun¸c˜ ao inversa f −1 : S 1 → M . −1 Afirmamos que f n˜ ao ´e cont´ınua em (1, 0) = f (0). De fato, consideremos as seq¨ uˆencias (Pn )n∈N e (Qn )n∈N sobre S 1 de modo que Pn → (1, 0) e est´ a contida no semi-plano superior y > 0 e Qn → (1, 0) e est´ a contida no semi-plano inferior y < 0. 6 6 2π
6
f −1 (Qn )
f
Pn
f −1 (Pn ) 0
?
¾
? (1, 0)
f
−1
Assim f −1 (Pn ) → 0 e f −1 (Qn ) → 2π, mostrando que n˜ ao existe
-
6 Qn
lim
(x,y)→(1,0)
f −1 (x, y).
Em particular f −1 n˜ ao ´e cont´ınua em (1, 0). Quando a fun¸c˜ao inversa for cont´ınua temos a seguinte defini¸c˜ ao Defini¸ c˜ ao 3.3.1 Sejam (M, dM ) e N (, dN ) espa¸cos m´etricos. Diremos que uma fun¸c˜ ao f : M → N ´e um homemorfismo de M em N se a fun¸c˜ ao f for cont´ınua, for bijetora (logo admite fun¸c˜ ao inversa) e a fun¸c˜ ao inversa for cont´ınua em N . Neste caso diremos que o espa¸co m´etrico M ´e homeomorfo ao espa¸co m´etrico N e escreveremos M ∼ N . A seguir temos a Proposi¸ c˜ ao 3.3.1 Sejam (M, dM ), N (, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N uma isometria. Ent˜ ao f ´e um homeomorfismo de M em N . Demonstra¸ c˜ ao: Se a fun¸c˜ao f ´e uma isometria ent˜ao, como vimos na observa¸c˜ ao (2.6.2) item 2., sua fun¸c˜ ao inversa tamb´em ser´a uma isometria, ou seja, f e sua fun¸c˜ ao inversa, f −1 , ser˜ao cont´ınuas, logo a fun¸c˜ao f ser´a um homeomorfismo. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.3.2
78
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS 1. Temos que M ∼ M pois a aplica¸ca ˜o identidade i : M → M ´e sempre um homeomorfismo de M em M (isto ´e, ∼ ´e reflexiva); 2. Observemos que se f : M → N ´e um homeomorfismo (de M em N ) ent˜ ao f −1 : N → M tamb´em ser´ a um homeomorfismo (de N em M ). Logo se M ∼ N ent˜ ao N ∼ M (isto ´e, ∼ ´e sim´etrica); 3. Se (M, dM ), N (, dN ) e (P, dP ) s˜ ao espa¸cos m´etricos e f : M → N , g : N → P s˜ ao homeomorfismos ent˜ ao, da proposi¸c˜ ao (3.2.1) segue que (g ◦ f ) : M → P tamb´em ser´ a um homeomorfismo (de M em P ) (isto ´e, ∼ ´e transitiva). Logo se M ∼ N e N ∼ P ent˜ ao N ∼ P ; 4. Dos iten 1., 2. e 3. segue que ∼ ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia no conjunto formado por todos os espa¸cos m´etricos. 5. Diremos que uma certa propriedade P de um espa¸co m´etrico M ´e uma propriedade topol´ ogica se todo espa¸co m´etrico homeomorfo a M tem a propriedade P, ou seja propriedades topol´ ogicas s˜ ao aquelas preservadas por homeomorfismos. 6. Diremos que uma certa propriedade Q de um espa¸co m´etrico M ´e uma propriedade m´ etrica se todo espa¸co m´etrico isom´etrico a M tem a propriedade Q, ou seja, propriedades m´etricas s˜ ao aquelas preservadas por isometrias. 7. A proposi¸c˜ ao (3.3.1) garante que toda propriedade topol´ ogica ´e uma propriedade m´etrica (pois se uma propriedade P ´e preservada por homeomorfismo ent˜ ao tamb´em ser´ a preserva por isometrias, pois toda isometria ´e um homeorofismo). Mas, em geral, n˜ ao vale a rec´ıproca, isto ´e, existem propriedades m´etricas que n˜ ao s˜ ao propriedades topol´ ogicas. Ou seja, existem propriedades Q que s˜ ao preservada por isometrias e n˜ ao s˜ ao preservas por homeomorfismos. Veremos isto na observa¸c˜ ao (3.3.3) item 4. 20.10.2008 - 21.a Temos os seguinte resultados:
Proposi¸ c˜ ao 3.3.2 Sejam (M, dM ) um espa¸co m´etrico e (N, dN ) um espa¸co m´etrico discreto e f : M → N um homeomorfismo de M e N . Ent˜ ao M ´e um espa¸co m´etrico discreto. Demonstra¸ c˜ ao: Seja a ∈ M . Mostremos que a ´e um ponto isolado de M , isto ´e, existe δ > 0 tal que BM (a; δ) = {a}. Para isto, como N ´e discreto e f (a) ∈ N , existe ε > 0 tal que BN (f (a); ε) = {f (a)}.
´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS
79
Como f ´e cont´ınua, existe δ > 0 tal que f (BM (a; δ)) ⊆ BN (f (a); ε) = {f (a)}. Mas f ´e injetora, logo segue que BM (a; δ) s´o poder´a ter um u ´nico ponto, caso contr´ ario, se existisse x 6= a tal que x ∈ B(a; δ) ent˜ao f (x) ∈ B(f (a); ε) = {f (a)}, ou seja, f (x) = f (a), o que ´e um absurdo, pois f ´e injetora. Assim BM (a; δ) = {a}, ou seja, a ´e um ponto isolado de M , mostrando que M ´e discreto, como quer´ıamos demonstrar. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.3.3 1. Na verdade provamos um caso mais geral, a saber: se f : M → N ´e cont´ınua, injetora e para algum a ∈ M temos f (a) um ponto isolado de N ent˜ ao a ser´ a um ponto isolado de M. 2. Em particular, a proposi¸c˜ ao acima garante que ser discreto (ou n˜ ao ser discreto) ´e uma propriedade topol´ ogica (isto ´e, ´e preservada por homeomorfismos). 3. Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos discretos. M e N s˜ ao homeomorfos se, e somente se, M e N tem a mesma cardinalidade (isto ´e, existe uma aplica¸ca ˜o bijetora de M em N ). De fato, se M ∼ N ent˜ ao, em particular, existe uma aplica¸ca ˜o bijetora de M em N , logo M e N tem a mesma cardinalidade Por outro lado, lembremos que toda aplica¸c˜ ao definida num espa¸co m´etrico discreto ´e cont´ınua (ver observa¸c˜ ao (3.1.8) item 2.). Logo toda aplica¸c˜ ao bijetora entre espa¸cos m´etricos discretos ser´ a um homeomorfismo (pois ela e sua inversa est˜ ao definidas em espa¸cos m´etricos discretos, logo s˜ ao cont´ınuas). Em particular, se M e N s˜ ao discretos e tˆem a mesma cardinalidade, segue que existe uma aplica¸c˜ ao bijetora de M em N que, pelo que observamos acima, ser´ a um homemorofismo de M em N e portanto M ∼ N . 4. Afirmamos que ser limitado ´e uma propriedade m´etrica mas n˜ ao ´e uma propriedade topol´ ogica, como mostra o seguinte exemplo: . 1 Sejam N e P = { : n ∈ N} ambos com a m´etrica induzida pela m´etrica usual de R. n Temos que N e P s˜ ao homeomorfos, pois eles tˆem a mesma cardinalidade (observemos que . 1 ao bijetora de N em P ). f : N → P dada por f (n) = , n ∈ N ´e uma aplica¸c˜ n Observemos que N n˜ ao ´e limitado mas P ´e limitado. Um outro resultado interessante ´e dado pela
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
80
Proposi¸ c˜ ao 3.3.3 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial sobre R normado, ~a ∈ E e λ ∈ R, λ 6= 0. Ent˜ ao a transla¸ c˜ ao t~a : E → E e a homotetia mλ : E → E definidas por . t~a (~x) = ~x + ~a,
. mλ (~x) = λ.~x,
~x ∈ E,
s˜ ao homeomorfismos de E. Demonstra¸ c˜ ao: De fato, da proposi¸c˜ao (3.2.3) segue que t~a e mλ s˜ ao cont´ınuas em E. Al´em disso, elas admitem fun¸c˜oes inversas t~a−1 : E → E
e
m−1 λ :E →E
definidas por . t~a−1 (y) = ~y − ~a,
. 1 m−1 y ) = .~x, λ (~ λ
~y ∈ E.
A verifica¸c˜ao destes fatos ser˜ao deixadas como exerc´ıcio para o leitor. −1 Observemos que t~−1 ao cont´ınuas em E, logo s˜ao homeomorfismos a : E → E e mλ : E → E s˜ de E. ¤ Como conseq¨ uˆecia temos o Corol´ ario 3.3.1 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial sobre R normado, ~a, ~b ∈ E e r, s > 0. Ent˜ ao as bolas abertas B(~a; r) e B(~b; s) s˜ ao homeomorfas (munidas da m´etrica induzida de E). Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos a aplica¸c˜ao ϕ : B(~a; r) → E dada por . ϕ(~x) = (t~b ◦ m rs ◦ t−~a )(~x), Veja figura abaixo:
~x ∈ B(~a; r).
´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS
81
] ] s
o
r
r t−~ a ~ a
ms r
-
~ 0
~ 0
tb ϕ = t~ ◦ m s ◦ t−~ a b r
?
} s
s
~ b
Observemos que ϕ(~a) = (t~b ◦ m rs ◦ t−~a )(~a) = (t~b ◦ m rs )(t−~a (~a)) = (t~b ◦ m rs )(~a − ~a) = (t~b ◦ m rs )(~0) s = t~b (m rs (~0)) = t~b ( .0) = t~b (~0) = ~0 + ~b = ~b. r Se ~x ∈ B(~a; r) e dE (ϕ(~x), ϕ(~a)) = kϕ(~x) − ϕ(~a)kE = k(t~b ◦ m rs ◦ t−~a )(~x) − ~bkE = k(t~b ◦ m rs )(t−~a (~x)) − ~bkE = k(t~b ◦ m rs )(~x − ~a) − ~bkE = kt~b (m rs (~x − ~a)) − ~bkE s s s s = kt~b ( (~x − ~a)) − ~bkE = k[ (~x − ~a) + ~b] − ~bk = k (~x − ~a)k = k~x − ~ak r r r r [~ x∈B(~a;r)] s < .r = s, r ou seja, ϕ(~x) ∈ B(ϕ(~a); s)
[ϕ(~a)=~b]
=
B(~b; s), mostrando que ϕ : B(~a; r) → B(~b; s).
Da proposi¸c˜ao (3.3.3) segue que ϕ ´e um homeomorfismo (pois ´e uma composta de homeomorfismos), mostrando que as bolas abertas B(~a; r) e B(~b; s) s˜ao homeomorfas.
82
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS ¤ De modo semelhante pode-se mostrar o
Corol´ ario 3.3.2 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial sobre R normado, ~a, ~b ∈ E e r, s > 0. Ent˜ ao as bolas fechadas B[~a; r] e B[~b; s] s˜ ao homeomorfas (munidas da m´etrica indizuda de E). Al´em disso e as esferas S(~a; r), S(~b; s) tamb´em s˜ ao homeomorfas. Demonstra¸ c˜ ao: Ser´a deixada como exerc´ıcio para o leitor. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.3.4 1. Sabemos que o diˆ ametro de um conjunto ´e invariante m´etrico (isto ´e, ´e preservado por isometrias) mas n˜ ao ´e um invariante topol´ ogico (isto ´e, n˜ ao ´e preservado por homeomorfismo) como afirmam os corol´ arios acima (no caso de espa¸cos vetoriais normados). 2. Observemos que em um espa¸co m´etrico arbitr´ ario duas bolas abertas (ou fechadas) podem n˜ ao ser homeomorfas, como mostra o seguinte exemplo: Consideremos (M, dM ) um espa¸co m´etrico que possua um ponto a que seja ponto isolado de M e um ponto b que n˜ ao seja ponto isolado de M . Logo existe ε > 0 tal que B(a; ε) = {a}, portanto essa bola aberta n˜ ao ser´ a homeomorfa a uma bola aberta de centro em b, pois, para todo s > 0 temos que B(b; s) ´e um conjunto infinito (pois b n˜ ao ´e ponto isolado de M ; na verdade, n˜ ao poder´ a existir uma aplica¸ca ˜o bijetora de B(a; ε) = {a} no conjunto B(b; s))). Portanto as bolas B(a; ε) e B(b; s) n˜ ao s˜ ao homeomorfas em M . Temos a Defini¸ c˜ ao 3.3.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos. Diremos que uma fun¸c˜ ao f : M → N ´e uma imers˜ ao topol´ ogica se f : M → f (M ) for um homeomorfismo. Observa¸ c˜ ao 3.3.5 1. Toda imers˜ ao isom´etrica f : M → N ser´ a uma imers˜ ao topol´ ogica (pois se f ´e imers˜ ao isom´etrica ent˜ ao dN (f (x), f (y)) = dM (x, y) para todo x, y ∈ M , mostrando que f : M → f (M ) ´e bijetora, cont´ınua em M com fun¸c˜ ao inversa, f −1 : f (M ) → M , cont´ınua em f (M )).
´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS
83
2. N˜ ao vale a rec´ıproca do item 1., ou seja, nem toda imers˜ ao topol´ ogica ´e uma imers˜ ao isom´etrica, como mostra o seguinte exemplo: Consideremos R e R2 com as m´etricas usuais e f : R → R2 dada por . f (t) = (t, t2 ),
t ∈ R.
Observemos que f ´e cont´ınua em R, bijetora sobre f (R) e sua inversa ser´ a f −1 : f (R) → R dada por
. f (t, t2 ) = t,
(t, t2 ) ∈ f (R)
que corresponde a restri¸c˜ ao da proje¸c˜ ao p1 : R2 → R (que ´e cont´ınua) a f (R), logo f : R → f (R) ´e um homeomorfismo, mostrando que f : R → R2 ´e uma imers˜ ao topol´ ogica. Observemos que f : R → R2 n˜ ao ´e uma imers˜ ao isom´etrica, pois , se t, s ∈ R e t 6= s temos que df (M ) (f (t), f (s)) ´e o comprimento do arco de par´ abola que une os pontos (s, s2 ) e (t, t2 ) enquanto dR (t, s) ´e o comprimento do segmento de reta que une os pontos (s, 0) e (t, 0). Logo df (M ) (f (t), f (s)) > dM (s, t), mostrando que f n˜ ao ser´ a uma imers˜ ao isom´etrica (veja figura abaixo). 6 N = f (R)
f (t) = (t, t2 ) 2
f (s) = (s, s )
s
t
M =R
Outro resultado importante ´e dado pela Proposi¸ c˜ ao 3.3.4 Seja (E, k.kE ) um espa¸co vetorial normado. Ent˜ ao toda bola aberta ´e homeomorfa a E, isto ´e, se ~a ∈ E e r > 0 ent˜ ao B(~a; r) ∼ E. Demonstra¸ c˜ ao: Do corol´ario (3.3.1) basta mostrar que B(~0; 1) ∼ E, isto ´e, construiremos um homeomorfismo f : E → B(~0; 1).
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
84
Consideremos f :E→E dada por
. f (~x) =
1 ~x, 1 + k~xkE
~x ∈ E.
Observemos que d(f (~x), ~0) = kf (~x)kE = k
1 1 xkE = k~xkE < 1, 1 + k~xkE 1 + k~xkE
mostrando que f (E) ⊆ B(~0; 1), ou seja, f : E → B(~0; 1). Al´em disso f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua (pois a aplica¸c˜ ao ~x → k~xkE ´e cont´ınua e como 1+k~xkE 6= 0, segue que a fun¸c˜ao f ser´a cont´ınua em E). Definamos g : B(~0; 1) → E por
. g(~y ) =
1 ~y , 1 − k~y kE
~y ∈ B(~0; 1).
Temos que a fun¸c˜ao g ´e cont´ınua em B(~0; 1) (pois a aplica¸c˜ ao ~y → k~y kE ´e cont´ınua e como ~ 1 − k~y kE 6= 0 para ~y ∈ B(0; 1), segue que a fun¸c˜ ao g ser´a cont´ınua em B(~0; 1)). Al´em disso se ~y ∈ B(~0; 1) temos que f (g(~y )) = f ( =
1 1 1 ~y ) = ~y 1 1 − k~y kE 1 + k 1−k~ykE ~y kE 1 − k~y kE 1
1+
1 y kE 1−k~ y kE k~
1 1 − k~y kE 1 ~y = ~y = ~y . 1 − k~y kE 1 − k~y kE + k~y kE 1 − k~y kE
De modo semelhante mostra-se que (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor) g(f (~x)) = ~x, ou seja, g = f −1 , mostrando que
~x ∈ E,
f : E → B(~0; 1)
´e um homeomorfismo de E em B(~0; 1), ou ainda, B(~0; 1) ∼ E, como quer´ıamos demonstrar. Portanto B(~a; r) ∼ E. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.3.6 1. Do exemplo acima segue que o intervalo (a, b) ⊆ R ´e homeomorfo a R (munidos da m´etrica induzida da m´etrica usual de R e da m´etrica usual de R, respectivamente), pois (a, b) = B( (veja figura abaixo).
a+b b−a ; ) 2 2
´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS ¾
b−a 2
- ¾
b−a 2
-
a+b 2
a
85
b
2. Na situa¸c˜ ao acima, temos que o intervalo (a, ∞) ´e homeomorfo a R. Para mostrar isto basta considerar a fun¸c˜ ao f : R → (a, ∞) dada por
. f (x) = a + ex ,
x ∈ R.
6
f (x) = a + ex
y=a
x
Com isto pode-se mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que f ´e cont´ınua em R e se definirmos h : (a, ∞) → R por
. h(y) = ln(y − a),
y ∈ (a, ∞)
teremos que h ser´ a cont´ınua em (a, ∞). 6
h(y) = ln(y − a)
y
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
86
Al´em disso, pode-se verificar, que f (h(y)) = y,
y ∈ (a, ∞)
e
g(f (x)) = x,
x ∈ R,
mostrando que h = f −1 , isto ´e, f ´e um homeormorfismo de (a, ∞) em R, mostrando que (a, ∞) ∼ R. 3. De modo semelhante ao que fizemos no item 2. pode-se mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que (−∞, b) ∼ R. Um outro exemplo importante ´e Exemplo 3.3.4 Sejam
. S n = {~x ∈ Rn+1 : k~xk = 1}
a esfera n-dimensional unit´ ario de centro na origem munida da m´etrica induzida pela m´etrica . usual de Rn+1 e p~ = (0, · · · , 0, 1) ∈ Rn+1 (o polo norte da esfera S n ). Mostraremos que S n \ {~ p} ´e homeomorfa a Rn . Para isto exibiremos uma aplica¸c˜ ao Π : S n \ {p} → Rn que ´e um homeomorfismo. A aplica¸c˜ ao Π ´e definida da seguinte forma: → Dado ~x ∈ S n \ {~ p} consideremos a semi-reta px que liga os pontos p~ e ~x (que est´ a bem definida pois ~x 6= p~). → Definimos π(~x) como sendo o ponto de intersec¸c˜ ao da semi-reta px como o h´ıper-plano xn+1 = 0 (veja figura abaixo para o caso n = 1).
S 1 \ {p}
p = (0, 1)
w x
π(x)
π(y)
R
0
6 y →
semi-reta px
¾
→
semi-reta py
A seguir obteremos uma express˜ ao para π(x), x ∈ S 1 \ {p}. → 1 Observemos se x ∈ S \ {p}, que os pontos da semi-reta px s˜ ao da forma p + t.(x − p),
t > 0,
logo π(x) = p + t.(x − p),
para algum
t > 0.
(∗)
´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS
87
Mas π(x) dever´ a pertencer ao h´ıper-plano xn+1 = 0, ou seja, a u ´ltima coordanada de π(x) dever´ a ser zero. Como a u ´ltima coordenada de (*) ´e da forma 1 + t(xn+1 − 1), (pois a u ´ltima coordenada do ponto p ´e 1) deveremos ter 1 + t(xn+1 − 1) = 0. Logo para que π(x) perten¸ca ao h´ıper-plano xn+1 = 0 deveremos ter t=
1 . 1 − xn+1
Escreveremos x = (x1 , · · · , xn , xn+1 ) = (x0 , xn+1 ), onde x0 = (x1 , · · · , xn ) e xn+1 ∈ R. Deste modo teremos que 1 1 (x − p) = (0, · · · , 0, 1) + [(x1 , x2 , · · · , xn , xn+1 ) − (0, · · · , 0, 1)] 1 − xn+1 1 − xn+1 1 1 = (0, · · · , 0, 1) + (x1 , x2 , · · · , xn , xn+1 − 1) = (0, · · · , 0, 1) + ( x0 , −1) 1 − xn+1 1 − xn+1 1 =( x0 , 0), 1 − xn+1
p + t(x − p) = p +
Observemos que {(x1 , · · · , xn , 0) : xi ∈ R, i = 1 · · · , n} ´e homeomorfo a Rn . Para ver isto basta considerar φ : {(x0 , 0) : x0 ∈ Rn } ⊆ Rn+1 → Rn dada por
. φ(x0 , 0) = x0 ∈ Rn
e mostrar que esta ´e um homeomorfismo (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor). 1 n Assim definimos Π : S \ {p} → R por x ∈ S 1 \ {p},
Π(x) = (φ ◦ π)(x), ou seja, Π(x) =
1 x0 , 1 − xn+1
x ∈ S 1 \ {p},
onde x = (x0 , xn+1 ). Como xn+1 6= 1 segue que Π : S 1 \ {p} → Rn ´e uma fun¸ca ˜o cont´ınua em S 1 \ {p}. Consideremos a aplica¸c˜ ao ϕ : Rn → Rn+1 dada por . ϕ(y) = x,
y ∈ Rn ,
onde x = (x0 , xn+1 ) com . x0 =
2 kyk2Rn + 1
y
e
. kyk2Rn − 1 xn+1 = , kyk2Rn + 1
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
88 isto ´e,
. ϕ(y) = (
2 kyk2Rn + 1
y,
kyk2Rn − 1 ) ∈ Rn+1 , kyk2Rn + 1
y ∈ Rn .
Observemos que kϕ(y)k2Rn+1 = k
2 kyk2Rn + 1
yk2Rn + |
kyk2Rn − 1 2 (kyk2Rn − 1)2 4 2 kyk + | = n R kyk2Rn + 1 (kyk2Rn + 1)2 (kyk2Rn + 1)2
=
4kyk2Rn + (kyk2Rn − 1)2 4kyk2Rn + (kyk4Rn − 2kyk2Rn + 1 kyk4Rn + 2kyk2Rn + 1) = = (kyk2Rn + 1)2 (kyk2Rn + 1)2 (kyk2Rn + 1)2
=
(kyk2Rn + 1)2 = 1, (kyk2Rn + 1)2
ou seja, ϕ(y) ∈ S n . Al´em disso, se ϕ(y) = (0, · · · , 0, 1) = p ∈ Rn+1 dever´ıamos ter 2 y = (0, · · · , 0) ∈ Rn 2 kyk + 1 n R kyk2 − 1 =1 kyk2Rn + 1 e das n-primeiras equa¸co ˜es teremos y = (0, · · · , 0) ∈ Rn e este n˜ ao satisfaz a u ´ltima equa¸c˜ ao (o lado esquerda d´ a −1), ou seja p 6∈ ϕ(Rn ). Conslus˜ ao: ϕ : Rn → S n \ {p}. Observemos que ϕ ´e cont´ınua em Rn e al´em disso se x ∈ S n \ {p} temos que 1 = kxk2Rn+1 = kx0 k2Rn + (xn+1 )2
e
xn+1 6= 1.
Assim kx0 k2Rn = 1 − (xn+1 )2 , logo k 1−x1n+1 x0 k2Rn − 1 kΠ(x)k2Rn − 1 2 1 2 0 x ], Π(x), )=( [ ) ϕ(Π(x)) = ( kΠ(x)k2Rn + 1 kΠ(x)k2Rn + 1 k 1−x1n+1 x0 k2Rn + 1 1 − xn+1 k 1−x1n+1 x0 k2Rn + 1 = = = = = = =
1 kx0 k2Rn − 1 (1−xn+1 )2 ( ) 1 1 | kx0 k2Rn + 1 (1−xn+1 )2 (1−xn+1 )2 0 2 2 2(1 − xn+1 )2 0 kx kRn − (1 − xn+1 ) ( 0 2 x , ) [kx kRn + (1 − xn+1 )2 ].(1 − xn+1 ) kx0 k2Rn + (1 − xn+1 )2 2 2 2(1 − xn+1 )2 0 (1 − (xn+1 ) ) − (1 − xn+1 ) x , ) ( [(1 − (xn+1 )2 ) + (1 − xn+1 )2 ].(1 − xn+1 ) (1 − (xn+1 )2 ) + (1 − xn+1 )2 0 2 2 2(1 − xn+1 ) 0 kx kRn − (1 − xn+1 ) x , ( 0 2 ) 2 [kx kRn + (1 − xn+1 )2 ] kx0 kRn + (1 − xn+1 )2 2(1 − xn+1 ) (1 − (xn+1 )2 ) − (1 − xn+1 )2 ( x0 , ) 2 2 [(1 − (xn+1 ) ) + (1 − xn+1 ) ]. (1 − (xn+1 )2 ) + (1 − xn+1 )2 2 2 2(1 − xn+1 ) 0 1 − (xn+1 ) − [1 − 2xn+1 + (xn+1 ) ] x , ) ( [1 − (xn+1 )2 + 1 − 2xn+1 + (xn+1 )2 ] 1 − (xn+1 )2 + [1 − 2xn+1 + (xn+1 )2 ] 2(1 − xn+1 ) 0 2xn+1 − 2(xn+1 )2 2(1 − xn+1 )xn+1 ( x, ) = (x0 , ) = (x0 , xn+1 ) = x. (2 − 2xn+1 ) 2 − 2xn+1 2(1 − xn+1 )
2 1 x0 ], [ 2 0 kx kRn + 1 1 − xn+1
´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS
89
Por outro lado, se y ∈ Rn , denotando por ϕ(y) = ([ϕ(y)]0 , [ϕ(y)]n+1 ) ∈ Rn × R temos 1 1 [ϕ(y)]0 = Π(ϕ(y)) = 2 −1 kyk 1 − [ϕ(y)]n+1 1 − [ kykR2 n +1 ] Rn
=
2
1
2 kyk2 −1 1 − [ kykR2 n +1 ] kykRn + 1
y=
Rn
=
(kyk2Rn
½ (
2 kyk2Rn
¾0 kyk2Rn − 1 y, ) + 1 kyk2Rn + 1
kyk2Rn + 1 2 y 2 2 + 1) − (kykRn − 1) kykRn + 1
2(kyk2Rn + 1) y = y. 2(kyk2Rn + 1)
Portanto Π(ϕ(x)) = x,
x ∈ S n \ {p}
e
ϕ(Π(y)) = y,
y ∈ Rn ,
mostrando que ϕ ´e a fun¸c˜ ao inversa de Π e como isto podemos concluir que Π : S n \ {p} → Rn ´e um homeormorfismo e assim S n \ {p} ∼ Rn , como quer´ıamos mostrar. 20.10.2008 - 22.a Provinha 10.11.2008 - 23.a Para finalizar a se¸c˜ao temos a Defini¸ c˜ ao 3.3.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N . Definimos o gr´ afico da fun¸ c˜ ao f , indicado por G(f ), como sendo o seguinte subconjunto de M × N : . G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ M }. Com isto temos a Proposi¸ c˜ ao 3.3.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N cont´ınua em M . Ent˜ ao G(f ) (munido de uma das trˆes m´etrica do produto M × N ) ´e homeomorfo a M . Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos a seguinte aplica¸c˜ao f˜ : M → M × N dada por
. f˜(x) = (x, f (x)),
x ∈ M.
Observemos que f˜ ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua em M (pois suas fun¸c˜ oes coordenadas s˜ao cont´ınuas em M ) e ´e injetora (pois se x1 6= x2 ent˜ ao (x1 , f (x1 )) 6= (x2 , f (x2 ))) e portanto bijetora sobre a sua imagem G(f ). Observemos que p1 : G(f ) → M dada por . p1 (x, f (x)) = x,
(x, f (x)) ∈ G(f )
90
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
(a restri¸c˜ao ao conjunto G(f ) da proje¸c˜ ao no primeiro fator) ´e cont´ınua em G(f ) e f˜(p1 (x, f (x))) = f˜(x) = (x, f (x)),
(x, f (x)) ∈ G(f ) e p1 (f˜(x)) = p1 (x, f (x)) = x x ∈ M,
mostrando que p1 ´e a fun¸c˜ao inversa associada a f˜. Logo f˜ : M → f (M ) ´e um homeomorfismo, mostrando que M ∼ G(f ), como quer´ıamos demonstrar. ¤ Exemplo 3.3.5 Como exemplos da situa¸c˜ ao acima temos os: . 1. R \ {0} ´e homeomorfo ` a hip´erbole H = {(x, y) ∈ R2 : x.y = 1}. De fato, segue da proposi¸ca ˜o acima que isto ´e verdade pois H ´e gr´ afico da fun¸c˜ ao f : R \ {0} → R dada por
. 1 f (x) = , x ∈ R \ {0} x que ´e cont´ınua em R \ {0} (veja figura abaixo). y
6
1 f (x) = x
1) (x, x
-
x
x
2. De modo an´ alogo, o hemisf´ erio norte da esfera unit´ aria centrada na origem de Rn , que ser´ a indicada por n . S+ = {y = (y1 , · · · , yn , yn+1 ) ∈ S n : yn+1 > 0}
´e homeomorfa ` a bola aberta unit´ aria centrada na origem em Rn , isto ´e, n S+ ∼ B(~0; 1) ⊆ Rn . n = G(f ) onde De fato, pois S+
´e dada por
f : B(~0; 1) → R
. p f (x) = 1 − kxk2 ,
x ∈ B(~0; 1)
´ ´ 3.4. METRICAS EQUIVALENTES EM UM ESPAC ¸ O METRICO
91
n (pois ´ e f ´e cont´ınua em S+ e composta de fun¸c˜ oes cont´ınuas; veja figura abaixo). n se, e somente se, Observemos que y = (y1 , · · · , yn , yn+1 ) ∈ S+ 2 1 = kyk2 = y12 + · · · + yn2 + yn+1
que ´e equivalente a yn+1
e
yn+1 > 0
q = 1 − y12 + · · · + yn2 .
. Logo, se x = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn a condi¸ca ˜o acima ser´ a equivalente a p kxk < 1 e yn+1 = 1 − kxk2 , ou, seja, n y = (y1 , · · · , yn , yn+1 ) ∈ S+ ⇐⇒ y = (x,
p 1 − kxk2 ),
. x = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn .
n S+
¼
f (x)
(x, f (x))
1
9
O x Rn
3.4
M´ etricas equivalentes em um espa¸co m´ etrico
Iniciaremos com a Defini¸ c˜ ao 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas m´etricas em M . Diremos que a m´ etrica d1 ´ e mais fina que a m´ etrica d2 , escrevendo d1 Â d2 se a aplica¸c˜ ao i12 : (M, d1 ) → (M, d2 ) dada por
. i12 (x) = x,
x∈M
for cont´ınua em (M, d1 ). Observa¸ c˜ ao 3.4.1 Da defini¸c˜ ao acima segue que a m´etrica d1 ´e mais fina que a m´etrica d2 se, e somente se, para cada a ∈ M , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que Bd1 (a; δ) = (i12 )−1 (Bd1 (a; δ)) ⊆ Bd2 (a; ε), ou seja, toda bola aberta segundo a m´etrica d2 cont´em uma bola aberta segunda a m´etrica d1 .
92
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
ε
Á ¾
Y
Bd2 (a; ε)
δ a
3
Bd1 (a; δ)
Com isto temos a Proposi¸ c˜ ao 3.4.1 Seja (M, d1 ) um espa¸co m´etrico discreto (isto ´e, d1 ´e a m´etrica discreta) e d2 uma outra m´etrica qualquer em M . Ent˜ ao d1  d2 . Al´em disso, se d ´e uma m´etrica em M tal que d  d1 ent˜ ao d ´e uma m´etrica discreta. Demonstra¸ c˜ ao: Lembremos que na m´etrica discreta todo ponto de (M, d1 ) ´e isolado. Logo se a ∈ M existe δ > 0 tal que Bd1 (a; δ) = {a}. Logo dado ε > 0 temos que Bd1 (a; δ) = {a} ⊆ Bd2 (a; ε), mostrando que d1  d2 . Se d ´e uma m´etrica em M tal que d  d1 ent˜ ao para todo a ∈ M , como d1 ´e a m´etrica discreta, existe ε > 0 tal que Bd1 (a; ε) = {a}. Mas d  d1 , logo existe δ > 0 tal que Bd (a; δ) ⊆ Bd1 (a; ε) = {a}, ou seja, Bd (a; ε) = {a}, mostrando que a m´etrica d ´e discreta. ¤ Outro resultado interessante ´e dado pela Proposi¸ c˜ ao 3.4.2 Sejam d1 e d2 duas m´etricas em M satisfazendo a seguinte rela¸ca ˜o: existe c > 0 tal que d2 (x, y) ≤ c d1 (x, y), x, y ∈ M. Ent˜ ao d1  d2 . Demonstra¸ c˜ ao: A desigualdade acima implica que a aplica¸c˜ ao i12 : (M, d1 ) → (M, d2 ) ´e lischitziana em M , em particular cont´ınua em M , mostrando assim que d1  d2 . ¤
´ ´ 3.4. METRICAS EQUIVALENTES EM UM ESPAC ¸ O METRICO
93
Observa¸ c˜ ao 3.4.2 Podemos provar o resultado acima diretamente, ou seja, para cada a ∈ M , . ε dado ε > 0 seja δ = > 0. c Logo se a ∈ M temos que se x ∈ Bd1 (a; δ) segue que d2 (x, a) ≤ c d1 (x, a) < c δ = c
ε = ε, c
ou seja, x ∈ Bd2 (a; ε), mostrando que Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε), isto ´e, d1 Â d2 . Temos a . . Proposi¸ c˜ ao 3.4.3 Sejam M1 = (M, d1 ) e M2 = (M, d2 ) espa¸cos m´etricos. As afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes; 1. d1 Â d2 (isto ´e, a aplica¸c˜ ao i12 : M1 → M2 ´e cont´ınua em M1 ); 2. Para todo espa¸co m´etrico (N, dN ) se uma fun¸c˜ ao f : M2 → N ´e cont´ınua em M2 ent˜ ao f : M1 → N ´e cont´ınua em M1 (ou seja, toda aplica¸c˜ ao cont´ınua segundo a m´etrica d2 ser´ a cont´ınua segundo a m´etrica d1 ); 3. Consideremos em R a m´etrica usual. Se uma fun¸c˜ ao f : M2 → R ´e cont´ınua em M2 ent˜ ao f : M1 → R ´e cont´ınua em M1 (ou seja, toda aplica¸c˜ ao real cont´ınua segundo a m´etrica d2 ser´ a cont´ınua segundo a m´etrica d1 ); 4. Para todo a ∈ M a fun¸c˜ ao d2a : M1 → R
dada por
. d2a = d2 (a, x),
x ∈ M,
´e cont´ınua em M1 ; 5. Toda bola aberta, segundo a m´etrica d2 , cont´em uma bola aberta segundo d1 , de mesmo centro que a primeira; 6. A fun¸c˜ ao d2 : M1 × M1 → R ´e cont´ınua em M1 × M1 onde neste consideramos uma das trˆes m´etricas do produto cartesiano (a saber, da raiz quadrada, da soma ou do m´ aximo). Demonstra¸ c˜ ao: Mostraremos a seguinte seq¨ uˆencia de implica¸c˜ oes: -
1.
2.
6
+ 6.
j
4.
¾
6
? 5.
? 3.
94
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS Mostremos que (1. ⇒ 2.): Indicaremos por . f 1 = f : M1 = (M, d1 ) → N
e
. f 2 = f : M2 = (M, d2 ) → N.
Como i12 : M1 → M2 ent˜ao temos que f 1 = f 2 ◦ i12 . (∗) O diagrama abaixo ilustra a situa¸c˜ao i12 M1
f1
-
M2
f2
R ª N
Se d1 Â d2 ent˜ao temos que a aplica¸c˜ ao i12 : M1 → M2 ´e cont´ınua em M1 . Como f2 ´e cont´ınua em M2 segue que (*) que f 1 ser´ a cont´ınua em M1 , mostrando que 2. ´e verdadeira. Mostremos que (2. ⇒ 3.): . Segue como caso particular de 2. (basta tomar N = R), com isto obtemos que 3. ´e verdadeira. Mostremos que (3. ⇒ 4.): Sabemos que a aplica¸c˜ao d2a : M2 → R
. dada por d2a (x) = d2 (a, x),
x∈M
´e cont´ınua em M2 (pois d2 ´e cont´ınua em M2 × M2 , logo sua restri¸c˜ ao a {a} × M2 , que ´e d2a , tamb´em ser´a cont´ınua em {a} × M2 ). Logo do item 3. segue a aplica¸c˜ao d2a : M1 → R tamb´em ser´a cont´ınua em M1 , mostrando que 4. ´e verdadeira. Mostremos que (4. ⇒ 1.): Por hip´otese, sabemos que a aplica¸c˜ao d2a : M1 → R
. dada por d2a (x) = d2 (a, x),
x∈M
´e cont´ınua em M1 . Mostremos que a aplica¸c˜ao i12 : M1 → M2 ´e cont´ınua em M1 . Para isto precisamos mostrar que i12 : M1 → M2 ´e cont´ınua em b ∈ M , b arbitr´ario. Como a aplica¸c˜ao d2a : M1 → R ´e cont´ınua em a ∈ M , dado ε > 0 temos que existe δ > 0 tal que se d1 (x, a) < δ ent˜ao |d2a (x) − d2a (a)| < ε,
isto ´e, ε > |d2 (x, a) − d2 (a, a)| = d2 (x, a).
Portanto se d1 (x, a) < δ teremos d2 (x, a) < ε, ou seja, Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε).
´ ´ 3.4. METRICAS EQUIVALENTES EM UM ESPAC ¸ O METRICO
95
Logo se d1 (x, a) < δ, isto ´e, se x ∈ Bd1 (a; δ), segue que x ∈ Bd2 (a; ε), ou seja, ε > d2 (x, a) = d2 (i12 (x), i12 (a)), ou ainda d2 (i12 (x), i12 (a)) < ε. Logo i12 : M1 → M2 ´e cont´ınua em a ∈ M . Assim que d1 Â d2 , mostrando que (4. ⇒ 1.). Mostremos que (4. ⇔ 5.): Sabemos que a aplica¸c˜ao d2a : M1 → R
dada por d2a (a, x), x ∈ M1
´e cont´ınua em M1 . Logo dada a bola aberta Bd2 (a; ε), da continuidade da aplica¸c˜ ao acima no ponto a, segue que existe δ > 0 tal que se d1 (x, a) < δ (ou seja, se x ∈ Bd1 (a; δ)) ent˜ ao ε > |d2a (x) − d2a (a)| = |d2 (x, a) − d2 (a, a)| = d2 (x, a), (ou seja, x ∈ Bd2 (a; ε)). Portanto, se x ∈ Bd1 (a; δ) ent˜ ao x ∈ Bd2 (a; ε). Logo Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε), mostrando que (4. ⇒ 5.). Por outro lado, se toda bola aberta segundo d2 cont´em uma bola aberta de mesmo centro segundo d1 ent˜ao dados a ∈ M e ε > 0 segue que existe δ > 0 tal que Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε). Logo se d1 (x, a) < δ (ou seja, x ∈ Bd1 (a; δ)) teremos que x ∈ Bd2 (a; ε) (*), isto ´e, (∗)
|d2a (x) − d2a (a)| = |d2 (x, a) − d2 (a, a)| = d2 (x, a) < ε, mostrando que a aplica¸c˜ao d2a : M1 → R ´e cont´ınua em M1 , ou seja, que (5. ⇒ 4.). Mostremos que (6. ⇒ 4.): Se a aplica¸c˜ao d2 : M1 × M1 → R ´e cont´ınua em M1 × M1 ent˜ ao a sua restri¸c˜ ao ao conjunto {a} × M1 tamb´em ser´a, isto ´e, d2 |{a}×M1 : {a} × M1 → R ser´a cont´ınua em {a} × M1 . Observemos que d2a = d2 |{a}×M1 , portanto d2a ser´a cont´ınua em M1 , mostrando que (6. ⇒ 4.). Mostremos que (1. ⇒ 6.): Se d1 Â d2 ent˜ao a aplica¸c˜ao i12 : M1 → M2 ser´a cont´ınua em M1 . Logo do corol´ario (3.2.2) segue que a aplica¸c˜ ao identidade id : M1 × M1 → M2 × M2
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
96
tamb´em ser´a cont´ınua em M1 × M1 (pois id = (i12 , i12 ) e i12 ´e cont´ınua em M1 ). Portanto a m´etrica em M1 × M1 ´e mais fina que a m´etrica em M2 × M2 . Sabemos que d2 : M2 × M2 → R ´e cont´ınua em M2 × M2 logo, como (1. ⇒ 3.), segue que d2 : M1 × M1 → R tamb´em ser´a cont´ınua em M1 × M1 , mostrando que (1. ⇒ 6.). ¤ Um outro resultado u ´til ´e dado pela Proposi¸ c˜ ao 3.4.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e uma aplica¸c˜ ao f : M → N injetiva. Ent˜ ao f ´e cont´ınua em M se, e somente se, a m´etrica dM Â d1 , onde d1 ´e a m´etrica induzida em M pela aplica¸c˜ ao f . Demonstra¸ c˜ ao: Podemos supor, sem perda de generalidade que f ´e sobrejetora, isto ´e, N = f (M ) (pois caso contr´ario trocamos N por f (M ) munido da m´etrica induzida por N ). . Indicaremos por M1 = (M, d1 ), onde d1 : M × M → R ´e a m´etrica induzida pela aplica¸c˜ ao f , isto ´e, ´e dada por . d1 (x, y) = dN (f (x), f (y)), x, y ∈ M e f 1 : M1 → N
. dada por f 1 (x) = f (x), x ∈ M,
que ser´a uma isometria, pois dN (f1 (x), f1 (y)) = dN (f (x), f (y)) = d1 (x, y),
x, y ∈ M
e indiquemos por iM 1 : (M, dM ) → (M, d1 ) a aplica¸c˜ao identidade. Como f 1 ´e bijetora segue que ser´a um homeomorfismo de M1 em N . Com isto temos o seguinte diagrama f
-
(M, dM )
(N, dN )
3 iM 1 f1 ´ e homeomrofismo
? (M, d1 )
Como f = f 1 ◦ iM 1 segue que f ´e cont´ınua em M se, e somente se, iM 1 ´e cont´ınua em M , ou seja, dM Â d1 , completando a demostra¸c˜ao da proposi¸c˜ao. ¤ 10.10.2008 - 24.a Provinha 17.11.2008 - 25.a
´ ´ 3.4. METRICAS EQUIVALENTES EM UM ESPAC ¸ O METRICO
97
Exemplo 3.4.1 Consideremos [0, 2π) e S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} munidos das m´etricas, d[0,2π) , dS 1 , induzidas pelas m´etricas usuais de R e R2 , respectivamente e f : [0, 2π) → S 1 dada por
. f (t) = (cos(t), sen(t)),
t ∈ [0, 2π).
Vimos que a aplica¸c˜ ao f ´e cont´ınua e bijetora em [0, 2π). Logo, da proposi¸ca ˜o acima, segue que a m´etrica d[0,2π) ´e mais fina que a m´etrica induzida pela aplica¸c˜ ao f , isto ´e, que a m´etrica . d1 (x, y) = dS 1 (f (x), f (y)) = dS 1 ((cos(x), sen(x)), (cos(y), sen(y))) p = [cos(x) − cos(y)]2 + [sen(x) − sen(y)]2 , x, y ∈ [0, 2π). Temos a seguinte defini¸c˜ao Defini¸ c˜ ao 3.4.2 Sejam d1 e d2 m´etricas em M . Diremos que as m´etricas d1 e d2 s˜ ao equivalentes, denotando por d1 ∼ d2 , se a aplica¸ca ˜o i12 : (M, d1 ) → (M, d2 ) for um homeomorfismo. Observa¸ c˜ ao 3.4.3 1. As m´etricas d1 e d2 em M s˜ ao equivalentes se, e somente se, d1 Â d2 e d2 Â d1 . 2. A rela¸c˜ ao ∼ no conjunto formado por todas as m´etricas definidas em M ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia, isto ´e, satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: (a) para toda m´etrica d1 em M temos d1 ∼ d1 (reflexiva); De fato, pois a aplica¸c˜ ao identidade i11 : (M, d1 ) → (M, d1 ) ´e uma isometria, em particular, um homeomorfismo de (M, d1 ) em (M, d1 ) assim d1 ∼ d1 . (b) se d1 e d2 s˜ ao m´etricas em M satisfazem d1 ∼ d2 ent˜ ao d2 ∼ d1 (sim´etrica); De fato, pois se d1 ∼ d2 ent˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade i12 : (M, d1 ) → (M, d2 ) ´e um homeomorfismo de (M, d1 ) em (M, d2 ) ent˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade i21 = i−1 12 : (M, d2 ) → (M, d1 ) ´e um homeomorfismo de (M, d2 ) em (M, d1 ) mostrando que d2 ∼ d1 . (c) se d1 , d2 e d3 s˜ ao m´etricas em M satisfazem d1 ∼ d2 e d2 ∼ d3 ent˜ ao d1 ∼ d3 (transitiva). De fato, pois se d1 ∼ d2 ent˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade i12 : (M, d1 ) → (M, d1 ) um homeomorfismo de (M, d1 ) em (M, d2 ). De modo semelhante, se d2 ∼ d3 ent˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade i23 : (M, d2 ) → (M, d3 ) um homeomorfismo de (M, d2 ) em (M, d3 ). Logo a aplica¸c˜ ao identidade i13 = i23 ◦ i12 : (M, d1 ) → (M, d3 ) um homeomorfismo de (M, d1 ) em (M, d3 ) mostrando que d1 ∼ d3 . 3. Segue da proposi¸c˜ ao (3.4.3) que duas m´etricas em M s˜ ao equivalentes se, e somente se, toda bola aberta segundo uma das m´etricas contenha uma bola aberta, de mesmo centro, segundo a outra m´etrica.
98
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS 4. Observemos que duas m´etricas discretas em M s˜ ao sempre equivalentes, pois toda bola aberta segundo uma ser´ a uma bola aberta segunda a outra. Al´em disso, vale observar que se d1 ∼ d2 e d1 ´e uma m´etrica discreta em M ent˜ ao, da proposi¸c˜ ao (3.4.1) segue que d2 tamb´em ser´ a uma m´etrica discreta em M . 5. A proposi¸c˜ ao (3.4.3) item 2. nos garante que se d1 ∼ d2 em M ent˜ ao uma aplica¸ca ˜o f : (M, d1 ) → (N, dN ) ser´ a cont´ınua em (M, d1 ) se, e somente se, f : (M, d2 ) → (N, dN ) ser´ a cont´ınua em (M, d2 ). Conclus˜ ao: se trocarmos a m´etrica de uma espa¸co m´etrica por um outra equivalente a mesma, estudar a continuiade de uma fun¸c˜ ao segundo a primeira m´etrica ´e equivalente a estudar a continuidade da fun¸c˜ ao segundo a outra m´etrica. A seguir consideraremos alguns exemplos importantes.
Exemplo 3.4.2 As m´etricas d, d0 e d00 em Rn s˜ ao equivalentes. De fato, da proposi¸c˜ ao (2.1.1) segue que para todo x, y, ∈ Rn temos d00 (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d0 (x, y) ≤ n d00 (x, y).
(∗)
Logo a proposi¸c˜ ao (3.4.2) implicar´ a que as m´etricas d, d0 e d00 s˜ ao equivalentes em Rn . Observa¸ c˜ ao 3.4.4 No exemplo acima se n = 2 temos garantido que toda bola aberta, segundo a m´etrica d (neste caso as bolas s˜ ao os interiores dos discos), cont´em uma bola aberta, segundo a m´etrica 0 ao os interiores dos quadrados cujas diagonais s˜ ao paralelas aos eixos d (neste caso as bolas s˜ coordenados) que, por sua vez, cont´em uma bola aberta, segundo a m´etrica d00 (neste caso as bolas s˜ ao os interiores dos quadrados cujos lados s˜ ao paralelos aos eixos coordenados) que, por ao os interiores dos fim, cont´em uma bola aberta, segundo a m´etrica d (neste caso as bolas s˜ discos). Geometricamente temos a seguinte configura¸c˜ ao: Bd00 (a; r 00 )
Bd (a; r)
? ? ¾ a
Bd0 (a, r 0 )
i Bd (a; s)
´ ´ 3.4. METRICAS EQUIVALENTES EM UM ESPAC ¸ O METRICO
99
Em particular, para estudar a continuidade de uma fun¸c˜ ao f : Rn → R onde em Rn temos, por exemplo, a m´etrica d, podemos trocar a mesma pela m´etrica d0 ou d00 , e estudar a continuidade da fun¸c˜ ao dada com rela¸c˜ ao a esta nova m´etrica que o resultado obtido ser´ a o mesmo o obtido com a m´etrica d. Como conseq¨ uˆencia da proposi¸c˜ao (3.4.2) temos o Corol´ ario 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas m´etricas em M tais que existem α, β > 0 tais que α d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ β d1 (x, y),
x, y ∈ M.
(∗)
Ent˜ ao d1 ∼ d2 . Demonstra¸ c˜ ao: Denotemos por (I)
(II)
αd1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ βd1 (x, y),
x, y ∈ M.
De (I) temos que d1 (x, y) ≤
1 d2 (x, y), α
Logo, da proposi¸c˜ao (3.4.2), segue que d2 Â d1 . Como d2 (x, y) ≤ β d1 (x, y),
x, y ∈ M.
x, y ∈ M,
da proposi¸c˜ao (3.4.2), segue que d1 Â d2 , portanto d1 ∼ d2 , como quer´ıamos demonstrar. ¤ Exemplo 3.4.3 Seja d uma m´etrica em M . Definamos em M : d1 , d 2 : M × M → R
por
. d1 (x, y) =
d(x, y) , 1 + d(x, y)
. d2 (x, y) = min{1, d(x, y)},
x, y ∈ M.
Pode-se mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que d1 e d2 s˜ ao m´etricas em M . Afirmamos que d1 ∼ d ∼ d2 . De fato, observemos que d1 (x, y) ≤ d(x, y),
e
d2 (x, y) ≤ d(x, y),
x, y ∈ M,
logo d  d1 e d  d2 . Por outro lado, dado ε > 0 sejam . δ1 =
ε >0 1+ε
e
. δ2 = min{1, ε} > 0.
Se x ∈ Bd1 (a; δ1 ) temos que d1 (x, a) < δ1 assim
d(x, a) ε < ⇐⇒ d(x, a)[1 + ε] < ε[1 + d(x, a)] ⇐⇒ d(x, a) < ε, 1 + d(x, a) 1+ε
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
100
ou seja, dado ε > 0 existe δ1 > 0 tal que Bd1 (a; δ1 ) ⊆ Bd (a; ε), mostrando que d1 Â d. De modo semelhante, se x ∈ Bd2 (a; δ2 ) temos que d2 (x, a) < δ2 ≤ 1. Logo d2 (x, a) < 1 e assim d(x, a) = d2 (x, a) < min{1, ε} < ε que implicar´ a que d(x, a) < ε, ou seja, dado ε > 0 existe δ2 > 0 tal que Bd2 (a; δ2 ) ⊆ Bd (a; ε), mostrando que d2 Â d. Com isto temos que d1 ∼ d ∼ d2 , como quer´ıamos mostrar. Observa¸ c˜ ao 3.4.5 1. Observemos que as m´etricas d1 e d2 s˜ ao limitadas em M × M pois d1 (x, y) =
d(x, y) 1 + d(x, y)
[d(x,y)≤1+d(x,y)]
≤
1,
x, y ∈ M
e d2 (x, y) ≤ 1,
x, y ∈ M.
Conclus˜ ao: toda m´etrica em M ´e equivalente a uma m´etrica limitada em M . 2. Observemos que se a m´etrica d ´e n˜ ao limitada em M ent˜ ao n˜ ao existe β > 0 tal que d(x, y) ≤ β dj (x, y),
x, y ∈ M,
j = 1, 2.
(∗∗)
De fato, se existisse β > 0 com a propriedade (**) dever´ıamos ter, no caso j = 1: d(x, y) ≤ β
d(x, y) [x6=y] =⇒ d(x, y)[1 + d(x, y)] ≤ β d(x, y) =⇒ d(x, y) ≤ β − 1, 1 + d(x, y)
x, y ∈ M,
ou seja, a m´etrica d deveria ser limitada, o que ´e um absurdo. Para o caso j = 2, se existisse β > 0 com a propriedade (**) dever´ıamos ter: d(x, y) ≤ β min{1, d(x, y)} =⇒ d(x, y) ≤ β, | {z }
x, y ∈ M,
≤1
ou seja, a m´etrica d deveria ser limitada, o que ´e um absurdo. Logo podemos concluir que a condi¸c˜ ao (*) dada pelo corol´ ario (3.4.1) ´e suficiente, mas n˜ ao ´e necess´ aria, para que duas m´etricas sejam equivalentes em M . Temos a
´ ´ 3.4. METRICAS EQUIVALENTES EM UM ESPAC ¸ O METRICO
101
Proposi¸ c˜ ao 3.4.5 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N bije¸c˜ ao. Ent˜ ao: f ´e um homeomorfismo de M em N se, e somente se, a m´etrica dM ´e equivalente ` a m´etrica d1 em M , induzida pela aplica¸c˜ ao f . Demonstra¸ c˜ ao: Definamos f1 : (M, d1 ) → (N, dN )
. dada por f1 (x) = f (x), x ∈ M.
Logo f1 ´e bijetora de M em N . Al´em disso, temos que f1 ´e uma isometria de (M, d1 ) em (N, dN ), pois . d1 (x, y) = dN (f (x), f (y)),
x, y ∈ M.
Logo um homeomorfismo de M em N . Assim sua fun¸c˜ao inversa (f1 )−1 : (N, dN ) → (M, d1 ) ser´a cont´ınua em N . Consideremos as aplica¸c˜oes identidades i1M : (M, d1 ) → (M, dM )
e iM 1 : (M, dM ) → (M, d1 ).
Ent˜ao teremos iM 1 = (f1 )−1 ◦ f
i1M = f −1 ◦ f1 .
(veja diagrama abaixo) ¾ (M, dM )
f
6 i1M
iM 1
f −1
3
(N, dN )
f1−1 f1 ´ e isometria
?
+
(M, d1 )
Logo d1 Â dM (ou seja, a aplica¸c˜ao i1M ´e cont´ınua) se, e somente se, f −1 for cont´ınua. Por outro lado, dM Â d1 (ou seja, a aplica¸c˜ ao iM 1 ´e cont´ınua) se, e somente se, f for cont´ınua. Conclus˜ao: d1 ∼ dM se, e somente se, f ´e um homeomorfismo. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.4.6 Da proposi¸c˜ ao acima segue que no exemplo (3.4.1) a m´etrica induzida em [0, 2π) pela m´etrica usual de R e a m´etrica induzida em [0, 2π) pela fun¸ca ˜o cont´ınua e bijetora f : [0, 2π) → S 1 n˜ ao s˜ ao equivalentes (pois, como vimos no exemplo (3.3.3), f n˜ ao ´e homeomorfismo). Para finalizar a se¸c˜ao temos a Proposi¸ c˜ ao 3.4.6 Sejam M1 = (M, d1 ), M2 = (M, d2 ), (N, dN ) espa¸cos m´etricos e em R a m´etrica usual . S˜ ao equivalentes:
102
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
1. d1 ∼ d2 ; 2. f : M1 → N ´e cont´ınua em M1 se, e somente se, f : M2 → N ´e cont´ınua em M2 ; 3. f : M1 → R ´e cont´ınua em M1 se, e somente se, f : M2 → R ´e cont´ınua em M2 ; 4. Para todo a ∈ M as fun¸c˜ oes d1a : M2 → R e d2a : M1 → R dadas por . d1a (x) = d1 (a, x),
. d2a (x) = d2 (a, x),
x∈M
s˜ ao cont´ınuas no ponto a; 5. Toda bola aberta segundo a m´etrica d1 cont´em uma bola aberta, de mesmo centro, segundo a m´etrica d2 e toda bola aberta segundo a m´etrica d2 cont´em uma bola aberta, de mesmo centro, segundo a m´etrica d1 ; 6. As fun¸c˜ oes d1 : M2 × M2 → R e d1 : M1 × M1 → R s˜ ao cont´ınuas em M2 × M2 e M1 × M1 , respectivamente (onde nos correspondentes produtos cartesianos consideramos uma das trˆes m´etricas canˆ onicas). Demonstra¸ c˜ ao: Conseq¨ uˆencia da proposi¸c˜ao (3.4.3). ¤
3.5
Transforma¸co ˜es lineares e multilineares definidas em espa¸cos vetoriais normados
Come¸caremos pela Defini¸ c˜ ao 3.5.1 Sejam E, F espa¸cos vetoriais sobre R. Diremos que uma aplica¸c˜ ao f : E → F ´e uma transforma¸ c˜ ao linear de E em F se ela tem as seguintes propriedades: f (~x + ~y ) = f (~x) + f (~y ), f (λ~x) = λf (~x),
(3.1) (3.2)
onde ~x, ~y ∈ E, λ ∈ R. Se na situa¸c˜ ao acima F = E (isto ´e, f : E → E) ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f ser´ a dita operador linear em E. Se na situa¸c˜ ao acima F = R (isto ´e, f : E → R) ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f ser´ a dita funcional linear em E. Observa¸ c˜ ao 3.5.1 1. Vale observar que a adi¸c˜ ao do lado esquerdo de (3.1) ´e adi¸c˜ ao em E e a adi¸c˜ ao do lado direito de (3.1) ´e adi¸c˜ ao em F . Al´em disso, a multiplica¸c˜ ao por n´ umero real do lado esquerdo de (3.1) ´e a multiplica¸c˜ ao por n´ umero real em E e a multiplica¸c˜ ao por n´ umero real do lado direito de (3.1) ´e a multiplica¸c˜ ao por n´ umero real em F .
˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO 2. Como conseq¨ uˆencia de (3.1) e (3.2) temos que f (λ1 ~x1 + λ2 ~x2 + · · · + λn ~xn ) = λ1 f (~x1 ) + λ2 f (~x2 ) + · · · + λn f (~xn ), onde ~x1 , ~x2 , · · · , ~xn ∈ E e λ1 , λ2 , · · · , λn ∈ R. ´ A demonstra¸c˜ ao deste fato ´e vista no curso de Algebra Linear. 3. Nosso objetivo nesta se¸c˜ ao ´e estudar a continuidade de transforma¸c˜ oes lineares entre espa¸cos vetoriais normados. Com isto temos o Teorema 3.5.1 Sejam Rn com uma das trˆes normas usuais e (F, k.kF ) espa¸co vetorial normado. Se f : Rn → F ´e uma transforma¸ca ˜o linear ent˜ ao f ´e cont´ınua em Rn . Demonstra¸ c˜ ao: . . Seja B = {~e1 , ~e2 , · · · , ~en } a base canˆonica do Rn (ou seja, ~ek = (0, · · · , 0,
1 |{z}
, 0, · · · , 0)).
k−´ esima posi¸ca ˜o
Logo se ~x ∈ Rn temos que ~x = x1~e1 + x2~e2 + · · · + xn~en , para xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n. Como f ´e uma trasforma¸c˜ao linear temos que
f (~x) = f (x1~e1 + x2~e2 + · · · + xn~en ) = x1 f (~e1 ) + x2 f (~e2 ) + · · · + xn f (~en ). Portanto kf (~x)kF = kx1 f (~e1 ) + x2 f (~e2 ) + · · · + xn f (~en )kF ≤ kx1 f (~e1 )kF + kx2 f (~e2 )kF + · · · + kxn f (~en )kF = |x1 |kf (~e1 )kF + |x2 |kf (~e2 )kF + · · · + |xn |kf (~en )kF . Consideremos
(3.3)
. c = max{kf (~e1 )kF , kf (~e2 )kF , · · · , kf (~en )kF }.
Logo segue de (3.3) que kf (~x)kF ≤ c(|x1 | + |x2 | + · · · + |xn |). Se considerarmos a norma em Rn da soma (isto ´e, k~xkRn = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |, onde ~x = (x1 , x2 , · · · , xn )) ent˜ao segue da desigualdade acima que kf (~x)kF ≤ ck~xkRn ,
~x ∈ Rn ,
mostrando que a aplica¸c˜ao f ´e lipschitiziana, em particular cont´ınua em Rn . Como as m´etricas d, d 0 e d 00 (que prov´em das trˆes normas usuais) s˜ao equivalentes temos que a transforma¸c˜ao linear f : Rn → F ser´a cont´ınua em Rn com qualquer uma das trˆes m´etricas usuais. Deste modo completamos a demnstra¸c˜ ao do teorema. ¤
104
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
Observa¸ c˜ ao 3.5.2 O resultado acima nos diz que uma transforma¸c˜ ao linear definida em espa¸co vetorial normado de dimens˜ ao finita e tomando valores em outro espa¸co vetorial normado ´e sempre cont´ınua. Isto segue do fato que todo espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita ´e isomorfo a Rn para algum n ∈ N. O mesmo n˜ ao ´e verdade se a dimens˜ ao do espa¸co vetorial do dom´ınio n˜ ao for finita, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo 3.5.1 Seja E o conjunto formado por todos os polinˆ omios reais de uma vari´ avel real munido dadas opera¸c˜ oes usuais de adi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por fun¸c˜ oes. ´ No curso de Algebra Linear mostra-se que E munido das opera¸c˜ oes acima ´e um espa¸co vetorial sobre R (na verdade ´e um subespa¸co vetorial das fun¸c˜ oes reais cont´ınuas de uma vari´ avel real). Podemos definir em E a seguinte norma: se p ∈ E temos . kpkE = sup |p(x)|. 0≤x≤1
De fato Se p, q ∈ E e α ∈ R temos que 1. kpkE = sup |p(x)| ≥ 0 e kpkE = 0 se, e somente se, sup |p(x)| = 0, logo |p(x)| = 0 0≤x≤1
0≤x≤1
para 0 ≤ x ≤ 1 que ´e equivalente a p(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1]; Mas p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , x ∈ R e como 0 = p(0) = a)0 , 0 = p0 (0) = a1 , 0 = p00 (0) = 2a2 , · · · , 0 = p(n) (0) = n!an , segue que ak = 0 para k = 0, · · · , n, mostrando que p(x) = 0 para todo x ∈ R; 2. kαpkE = sup |αp(x)| = |α| sup |p(x)| = |α|kpkE ; 0≤x≤1
0≤x≤1
3. kp + qkE = sup |p(x) + q(x)|
[|p(x)+q(x)|leq|p(x)|+|q(x)|]
≤
0≤x≤1
sup |p(x)| + sup |q(x)| = kpkE +
0≤x≤1
0≤x≤1
kqkE , mostrando que k.kE ´e uma norma em E. Consideremos f : E → R dada por . f (p) = p(2),
p ∈ E.
Ser´ a deixado para o leitor verificar que f ´e um funcional linear definido em E. De fato se p, q ∈ E e α ∈ R temos que f (αp + q) = (αp + q)(2) = (αp)(2) + q(2) = (αp(2) + q(2) = αf (p) + f (q), mostrando que f : E → R ´e um funcional linear em E. Afirmamos que f n˜ ao ´e cont´ınua em 0 ∈ E (o polinˆ omio nulo). 1 . x De fato, se tomarmos ε = > 0, para cada n ∈ N consideramos o polinˆ omio pn (x) = ( )n , 2 2 x ∈ R. Obviamente que para todo n ∈ N temos que pn ∈ E e kpn − 0kE = sup |pn (x) − 0(x)| = sup |pn (x)| 0≤x≤1
0≤x≤1
[pn ´ e crescente]
=
1 1 pn (1) = ( )n = n . 2 2
˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO Logo pn → 0 em E, quando n → ∞ mas 2 1 |f (pn ) − f (0)| = |f (pn )| = pn (2) = ( )n = 1 > = ε, 2 2 mostrando que f ´e um funcional linear que n˜ ao ´e cont´ınuo em E. 17.11.2008 - 26.a Provinha 24.11.2008 - 27.a Em geral temos o seguinte resultado importante: Teorema 3.5.2 Sejam (E, k.kE ) e (F, k.kF ) espa¸cos vetoriais e f : E → F uma transforma¸c˜ ao linear. S˜ ao equivalentes: 1. f ´e cont´ınua em E; 2. f ´e cont´ınua em ~0 ∈ E; 3. Existe c > 0 tal que kf (~x)kF ≤ c k~xkE ,
~x ∈ E;
(∗)
4. Existe c > 0 tal que kf (~x) − f (~y )kF ≤ c k~x − ~y kE ,
~x, ~y ∈ E.
(∗∗)
Demonstra¸ c˜ ao: Mostraremos que o diagram abaixo ocorre: 1.
- 2.
6
4. ¾
?
3.
A implica¸c˜ ao (1. ⇒ 2.) ´e trivial; Mostremos que (2. ⇒ 3.): Como f ´e cont´ınua em ~0 ∈ E e f (~0) = ~0 (pois f ´e uma transforma¸c˜ ao linear) tomando-se ε = 1 > 0 existir´a δ > 0 tal que k~xk = k~x − ~0kE < δ
ent˜ao kf (~x)k = kf (~x) − f (~0) kF < ε = 1. (∗ ∗ ∗) |{z} =0
1 Seja c > 0 tal que 0 < < δ. c Se ~x = ~0 ent˜ao teremos kf (~x)kF = k~0k = 0 ≤ c.0 = ck~0kE = ck~xkE , mostrando que (*) ocorrer´a.
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
106
Se ~x 6= ~0 ent˜ao
1 ~x ∈ E ´e um vetor que satisfaz ck~xkE k
1 1 1 ~xkE = k~xkE = < δ. ck~xkE ck~xkE c
Logo, de (***), segue que kf (
1 ~x)kF ≤ 1. (∗ ∗ ∗∗) ck~xkE
Mas f ´e uma trasforma¸c˜ao linear, logo f(
1 1 ~x) = f (~x), ck~xkE ck~xkE
assim (****) implicar´a em 1 1 kf (~x)kF = k f (~x)kF ≤ 1, ck~xkE ck~xkE ou ainda, kf (~x)kF ≤ ck~xkE , como quer´ıamos mostrar. Mostremos que (3. ⇒ 4.): Observemos que se ~x, ~y ∈ E temos que kf (~x) − f (~y )kF
[f ´ e linear]
=
(∗)
kf (~x − ~y )kF ≤ ck~x − ~y kF ,
como quer´ıamos mostrar. A implica¸c˜ao (4. ⇒ 1.) ´e imediata (pois (**) garante que f ´e lischitiziana em E logo cont´ınua em E). ¤ Como conseq¨ uˆemcia temos o Corol´ ario 3.5.1 Sejam (E, k.kE ) e (F, k.kF ) espa¸cos vetoriais e f : E → F uma transforma¸c˜ ao linear bijetora. f ´e um homeomorfismo de E em F se, e somente se, existem c, C > 0 tais que c k~xkE ≤ kf (~x)kF ≤ C k~xkE ,
~x ∈ E.
Demonstra¸ c˜ ao: Lembremos que se f : E → F ´e uma transforma¸c˜ ao linear bijetora ent˜ ao sua fun¸c˜ ao inversa −1 f : F → E tamb´em ser´a uma transforma¸c˜ ao linear (bijetora). Da proposi¸c˜ao acima temos que a condi¸c˜ ao: kf (~x)kF ≤ C k~xkE ,
~x ∈ E
´e equivalente a f ser cont´ınua em E. Por outro lado se ~y ∈ F ent˜ao ~y = f (~x) para algum ~x ∈ E, ent˜ ao ~x = f −1 (~y ), logo a desigualdade c k~xkE ≤ kf (~x)kF , ~x ∈ E.
˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO nos diz que ou seja,
c kf −1 (~y )kE ≤ k~y kF ,
~y ∈ F,
1 kf −1 (~y )kE ≤ k~y kF , c
~y ∈ F,
que, pela proposi¸c˜ao acima, ´e equivalente a dizer que f −1 ser cont´ınua em F , como quer´ıamos mostrar. ¤ A seguir exibiremos um exemplo de uma transforma¸c˜ ao linear bijetora que n˜ ao ´e um homeomorfismo (isto ´e, sua transforma¸c˜ao linear inversa n˜ao ser´a cont´ınua). Exemplo 3.5.2 Consideremos R∞ o conjunto formado por todas as seq¨ uˆencias de n´ umeros reais, ~x = (xn )n∈N , tal, no m´ aximo, um n´ umero finito de coordenadas xn ´e n˜ ao nula, isto ´e, ~x ∈ R∞ ⇔ ~x = (xn )n∈N e xn 6= 0, somente para n ∈ {n1 , n2 , · · · , nm } ⊆ N. Podemos mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que R∞ ´e um espa¸co vetorial sobre R munido das opera¸co ˜es de adi¸c˜ ao de seq¨ uˆencias e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por seq¨ uˆencias. Consideremos em R∞ a seguinte norma (cuja verifica¸c˜ ao ser´ a deixada como exerc´ıcio do ∞ leitor): se ~x ∈ R temos que v uX q u∞ . 2 2 2 k~xkE = x1 + x2 + · · · + xn + · · · = t |xj |2 j=1
que prov´em do produto interno: se ~x, ~y ∈ R∞ temos que ∞
X . < ~x, ~y >E = x1 .y1 + x2 .y2 + · · · + xn .yn + · · · = xj .yj . j=1
Observemos que ambas as s´eries acima reduzem-se a somas finitas (pois as seq¨ uˆencias s˜ ao nulas, exceto para um n´ umero finito de termos). Definamos f : R∞ → R∞ por xn . x1 x2 f (~x) = f (x1 , x2 , · · · , xn , · · · ) = ( , , · · · , , · · · ), 1 2 n
~x = (x1 , x2 , · · · , xn , · · · ) ∈ R∞ .
Observemos que f ´e um operador linear (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) e kf (~x)k2R∞
=
∞ X j=1
∞ X xj 2 |f (xj )| = | |2 j
[|
xj j
∞ |≤|xj |] X
≤
j=1
j=1
se ~x ∈ R∞ , ou seja, kf (~x)kR∞ ≤ k~xkR∞ ,
~x ∈ E.
Logo do teorema (3.5.2) segue que f ´e cont´ınua em R∞ .
|xj |2 = k~xk2R∞ ,
108
˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS Observemos que a fun¸c˜ ao f admite fun¸c˜ ao inversa que ´e dada por
. f −1 (~y ) = f −1 (y1 , y2 , · · · , yn , · · · ) = (y1 , 2.y2 , · · · , n.yn , · · · ),
~y = (y1 , y2 , · · · , yn , · · · ) ∈ R∞
cuja verifica¸c˜ ao ser´ a deixada como exerc´ıcio para o letor (isto ´e, f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = idR∞ ). Mostremos que f −1 n˜ ao ´e cont´ınua. . Para isto, para cada n ∈ N temos que o vetor ~en = (0, · · · , 0, 1 , 0, · · · ) que |{z} n−´ esima posi¸ca ˜o
pertence R∞ (pois s´ o o termo da n-´esima posi¸c˜ ao ´e n˜ ao nulo, e igual a 1). Observemos que k~en k2R∞ =
∞ X
|xj |2
[xj =0, n6=j, xn =1]
=
1
e
kf −1 (en )k2R∞ =
∞ X
|j.xj |2
[xj =0, n6=j, xn =1]
=
n2 .
j=1
j=1
Em particular, kf −1 (~en )kR∞ = n2 ≥ n = n.k~en kR∞ . Fazendo n → ∞ segue, do teorema (3.5.2) item 3., que f −1 n˜ ao ser´ a cont´ınua. Temos a Defini¸ c˜ ao 3.5.2 Sejam E1 , E2 , · · · , En , F espa¸cos vetoriais sobre R. Diremos que uma aplica¸c˜ ao f : E1 × E2 × · · · × En → F ´e n-linear se ela for linear em cada uma de suas n-vari´ aveis, ou seja, para cada j = 1, 2, · · · , n temos que f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj +~yj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) = f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn )+f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~yj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) e f (~x1 , · · · , ~xj−1 , λ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) = λ f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ), onde (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ), (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~yj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) ∈ E1 × · · · × Ej × · · · × En e λ ∈ R, Observa¸ c˜ ao 3.5.3 1. Sejam E1 , E2 , · · · , En , F espa¸cos vetoriais sobre R. e suponhamos que f : E1 × E2 × · · · × En → F ´e n-linear. Ent˜ ao se ~xj = ~0 ∈ Ej para algum j ∈ {1, 2, · · · , n} ent˜ ao f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) = ~0, isto ´e, f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~0, ~xj+1 , · · · , ~xn ) = ~0,
˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO De fato, pois f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) = f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~0, ~xj+1 , · · · , ~xn ) = f (~x1 , · · · , ~xj−1 , 0.~0, ~xj+1 , · · · , ~xn ) [f ´ e n-linear]
=
0.f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~0, ~xj+1 , · · · , ~xn )
= 0, ou seja, f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~0, ~xj+1 , · · · , ~xn ) = ~0. 2. Na situa¸c˜ ao acima se n = 2 ent˜ ao f : E1 × E2 → F ser´ a dita bilinear e ´e caracterizada pelas seguintes propriedades: (a) f (~x1 + ~y1 , ~x2 ) = f (~x1 , ~x2 ) + f (~y1 , ~x2 ); (b) f (~x1 , ~x2 + ~y2 ) = f (~x1 , ~x2 ) + f (~x1 , ~y2 ); (c) f (λ ~x1 , ~x2 ) = λ f (~x1 , ~x2 ) e (d) f (~x1 , λ ~x2 ) = λ f (~x1 , ~x2 ), para ~xj , ~yj ∈ Ej , j = 1, 2 e λ ∈ R. Observemos que do item 1. acima segue que f (~0E1 , ~x2 ) = f (~x1 , ~0E2 ) = ~0F , para ~xj ∈ Ej , j = 1, 2 (onde ~0Ej ∈ Ej ´e o elemento neutro da adi¸c˜ ao de Ej , j = 1, 2 e ~0F ∈ F ´e o elemento neutro da adi¸c˜ ao de F ). Temos os seguintes exemplos importantes de aplica¸c˜ oes bilineares: Exemplo 3.5.3 Seja E um espa¸co vetorial sobre R. A multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por vetor de E, m : R × E → E,
. m(λ, ~x) = λ.~x,
λ ∈ R, ~x ∈ E,
´e uma aplica¸ca ˜o bilinear. A verifica¸c˜ ao deste fato ´e simples e ser´ a deixada como exerc´ıcio para o leitor. Exemplo 3.5.4 Seja E um espa¸co vetorial sobre R com produto interno. O produto escalar de E, < ., . >: E × E → R, ´e uma aplica¸ca ˜o bilinear. A verifica¸c˜ ao deste fato ´e simples e ser´ a deixada como exerc´ıcio para o leitor.
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˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
Exemplo 3.5.5 Seja Rm espa¸co vetorial sobre R com as opera¸c˜ oes usuais de adi¸c˜ ao de m-uplas e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por m-upla. A aplica¸c˜ ao ¯ . ¯¯ m m ¯, ~ x · · · ~ x det : R × · · · × R → R, det(~ x , · · · , ~ x ) = 1 m 1 m | {z } m−fatores m para (~x1 , · · · , ~xm ) ∈ R · · × Rm}, onde det denota o determinante da matriz quadrada obtida | × ·{z m−fatores
colocando-se na j-´esima coluna da matriz as coordenadas do vetor ~xj , j ∈ {1, · · · , m} (matriz das coordendas do vetor ~xj ´e da forma (xij )1≤i≤m , j ∈ {1, · · · , m} ). A fun¸c˜ ao determinante tem a seguinte propriedade: det(~x1 , · · · , ~xj−1 , λ~xj + ~yj , ~xj+1 · · · ~xm ) = λ det(~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 · · · ~xm ) + det(~x1 , · · · , ~xj−1 , ~yj , ~xj+1 · · · ~xm ), m para (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 · · · ~xm ), (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~yj , ~xj+1 · · · ~xm ) ∈ R · · × Rm} e λ ∈ R. | × ·{z m−fatores
´ A demonstra¸c˜ ao deste fato ´e vista no curso de Algebra Linear. Logo, da rela¸c˜ ao acima, segue que a aplica¸c˜ ao m det : R · · × Rm} → R | × ·{z m−fatores
´e m-linear. Com isto temos a: Proposi¸ c˜ ao 3.5.1 Sejam (E, k.kE ), (F, k.kF ), (G, k.kG ) espa¸cos vetoriais sobre R normados, E × F com uma das trˆes normas usuais e f : E × F → G ´e bilinear. S˜ ao equivalentes: 1. f ´e cont´ınua em E × F ; 2. f ´e cont´ınua em (~0E , ~0F ) ∈ E × F ; 3. Existe c > 0 tal que kf (~x, ~y )kG ≤ ck~xkE k~y kF , para (~x, ~y ) ∈ E × F ; 4. f ´e uma aplica¸c˜ ao lischitziana em cada subconjunto limitado de E × F . Demonstra¸ c˜ ao: Mostraremos que o seguinte diagrama ocorre: 1.
- 2.
6
4. ¾
?
3.
˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO Segue imediatamente que (1. ⇒ 2.) e que (4. ⇒ 1). Mostremos que (2. ⇒ 3.): Consideremos em E × F a norma da soma das normas, isto ´e, k(~x, ~y )kE×F = k~xkE + k~y kF (para os outros dois casos utilizamos o fato que as trˆes normas usuais s˜ao equivalentes). Se f ´e cont´ınua em (~0E , ~0F ) ∈ E×F ent˜ ao, como f (~0E , ~0F ) = ~0G segue, tomando-se ε = 1 > 0 existir´a δ > 0 tal que k~xkE + k~y kF = k(~x, ~y )kE×F < δ
ent˜ ao kf (~x, ~y )kG ≤ ε = 1. (∗)
. 4 Seja c = 2 > 0. δ Se (~x, ~y ) ∈ E × F e ~x = ~0E ou ~y = ~0F ent˜ ao temos que f (~x, ~y ) = ~0G logo para kf (~x, ~y )kG = k~0G k = 0 ≤ c (k~xkE k~y kF )
(= 0).
Se (~x, ~y ) ∈ E × F s˜ao tais que ~x 6= ~0E e ~y 6= ~0F ent˜ ao os vetores . ~ = X
δ ~x ∈ E, 4k~xkE
. ~ = Y
δ ~y ∈ F, 4k~y kF
satisfazem δ δ δ δ ~xkE = k~xkE = < , 4k~xkE 4k~xkE 4 2 ~ kF = k δ ~y kF = δ k~y kF = δ < δ , kY 4k~y kF 4k~y kF 4 2
~ E =k kXk
assim ~ E + kY ~ kF < δ. kXk Logo (*) implicar´a que ~ Y ~ )kG = kf ( 1 ≥ kf (X, =
δ δ ~x, ~y )kG 4k~xkE 4k~y kE
[f bilinear]
=
k
δ δ f (~x, ~y )kG 4k~xkE 4k~y kE
δ δ kf (~x, ~y )kG , 4k~xkE 4k~y kE
ou seja, kf (~x, ~y )kG ≤
16 k~xkE k~y kF , δ2 |{z}
(~x, ~y ) ∈ E × F,
=c
mostrando que 3. ´e verdadeira. Mostremos que (3. ⇒ 4.): Seja U ⊆ E × F um subconjunto limitado de E × F . Logo existe r > 0 tal que U ⊆ B[(~0E , ~0F ); r]. Mostremos que f ´e lipschitiziana na bola B[(~0E , ~0F ); r].
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˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS . . Se ~z = (~x, ~y ), ~z 0 = (~x 0 , ~y 0 ) ∈ B[(~0E , ~0F ); r] ent˜ ao
kf (~z) − f (~z 0 ) = kf (~x, ~y ) − f (~x 0 , ~y 0 )kG = kf (~x, ~y ) − f (~x, ~y 0 ) + f (~x, ~y 0 ) − f (~x 0 , ~y 0 )kG [f biliear]
=
kf (~x, ~y − ~y 0 ) + f (~x − ~x 0 , ~y 0 )kG ≤ kf (~x, ~y − ~y 0 )kG + kf (~x − ~x 0 , ~y 0 )kG
[3.]
0
0
[k~ xke ,k~ y 0 kF ≤r]
0
≤ ck~xkE k~y − ~y kG + ck~x − ~x kE k~y kG
≤
crk~y − ~y 0 kG + crk~x − ~x 0 kE
= cr[k~y − ~y 0 kG + k~x − ~x 0 kE ] = crk~z − ~z0 kE×F , mostrando que 4. ´e verdadeira e assim completando a demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao. ¤ Por indu¸c˜ao pode-se demostrar o Corol´ ario 3.5.2 Sejam (E1 , k.k1 ), (E2 , k.k2 ), · · · , (En , k.kn ), (F, k.kF ) espa¸cos vetoriais sobre R normados, E1 × · · · × En munido de uma das trˆes normas usuais e f : E1 × · · · × En → F ´e n-linear. S˜ ao equivalentes: 1. f ´e cont´ınua em E1 × · · · × En ; 2. f ´e cont´ınua em (~0E1 , · · · , ~0En ) ∈ E1 × · · · × En ; 3. Existe c > 0 tal que kf (~x1 , · · · , ~xn )kF ≤ ck~x1 kE1 · · · k~xn kEn , para (~x1 , · · · , ~xn ) ∈ E1 × · · · × En ; 4. f ´e uma aplica¸c˜ ao lischitziana em cada subconjunto limitado de E1 × · · · × En . Demonstra¸ c˜ ao: Ser´a deixada como exerc´ıcio para o leitor. ¤ Como conseq¨ uˆencia temos o: Corol´ ario 3.5.3 Seja (F, k.kF ) um espa¸co vetorial sobre R normado e Rj espa¸co vetorial sobre R munido de uma das trˆes normas usuais, j = m, n. Se f : Rm × Rn → F ´e uma aplica¸ca ˜o bilinear ent˜ ao f ´e cont´ınua em Rm × Rn . Demonstra¸ c˜ ao: Consideraremos a norma da soma em Rm , Rn (para as outras duas podemos utilizar o fato que as respectivas normas s˜ao equivalentes `as respectivas norma da soma). . . De fato, sejam Bm = {e~1 , · · · , e~m } e Bn = {f~1 , · · · , f~n } as bases canˆonicas de Rm e Rn , respectivamente. Dado (~x, ~y ) ∈ Rm × Rn temos que existem x1 , · · · xm ∈ R e y1 , · · · yn ∈ R tais que x=
m X
xi e~i ,
i=1
e y=
n X
yj f~j .
j=1
Como f ´e bilinear segue que m n m X n X X X ~ f (~x, ~y ) = f ( xi e~i , yj fj ) = xi yj f (~ ei , f~j ). i=1
j=1
i=1 j=1
˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO Seja
. c = max{f (~ ei , f~j ) : i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n} ≥ 0. (∗)
Observemos que k~xkRm =
m X
|xi | e
k~y kRn =
i=1
n X
|yj |,
j=1
assim kf (~x, ~y )kF = k
m X n X
i=1 j=1 m X n [(∗)] X
≤
xi yj f (~ ei , f~j )kF ≤ m X
|xi ||yj |c = c[
i=1 j=1
m X n X
|xi ||yj | kf (~ ei , f~j )kF
i=1 j=1 n X
|yj |] = ck~xkRm k~y kRn ,
|xi |][
i=1
j=1
e assim, da proposi¸c˜ao (3.5.1) item 3., segue que f ´e lipschitziana em Rm × Rn e portanto cont´ınua em Rm × Rn . ¤ Observa¸ c˜ ao 3.5.4 1. Se (E, k.kE ) ´e um espa¸co vetorial sobre R, normado ent˜ ao a aplica¸c˜ ao bilinear (ver observa¸c˜ ao (3.5.5) item 1.) m:R×E →E
m(λ, ~x) = λ ~x,
(λ, ~x) ∈ R × E,
ser´ a cont´ınua em R × E. Isto segue do fato que se (λ, ~x) ∈ R × E temos que km(λ, ~x)kE = kλ~xkE = |λ|k~xkE = kλkR k~xkE , ou seja, vale 3. da proposi¸c˜ ao (3.5.1) (com c = 1). Logo m ser´ a cont´ınua em R × E (munido de uma das trˆes normas usuais). 2. Se (E, < ., . >E ) ´e um espa¸co vetorial sobre R com produto interno ent˜ ao a aplica¸c˜ ao < ., . >E : E × E → R, ´e uma aplica¸c˜ ao bilinear cont´ınua em E × E. O fato de ser bilinear ´e evidente da defini¸c˜ ao de produto interno. Da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que | < ~x, ~y >E | ≤ k~xkE k~y kE ,
~x, ~y ∈ E.
Logo o item 3. da proposi¸c˜ ao (3.5.1) ocorre (com c = 1) assim a aplica¸c˜ ao < ., . > ser´ a cont´ınua em E × E. 3. Do corol´ ario acima segue que a fun¸c˜ ao determinante (ver exemplo (3.5.5) item 2.) ser´ a m m cont´ınua em R × · · · × R . | {z } m−fatores
24.11.2008 Provinha 1.12.2008 2.a Prova 8.12.2008 Prova Substitutiva
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˜ ´ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS
Cap´ıtulo 4
Bibliografia [ 1 ] E.L. Lima - Espa¸cos M´etricos - Projeto Euclides, IMPA, 1977. [ 2 ] G.F. Simmons - Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill, 1963 [ 3 ]S. Lipschutz - Topologia Geral, McGraw-Hill do Brasil, 1973.
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