41
Espa¸cos normados
3.2
A topologia da norma
Construindo m´ etricas a partir de normas: Seja X = (X, ) um espa¸co vetorial normado. Podemos, a partir da norma construir uma m´etrica d : X X IR pondo, de modo natural:
× →
,
d(x, y) = x
− y ∀ x, y ∈ X
´ d ´e uma m´etrica em X (mostre), dita a METRICA INDUZIDA PELA NORMA
.
Portanto, todo espa¸co normado X = (X, ) pode ser considerado naturalmente como um espa¸co m´etrico (X, d) onde a m´etrica d ´e a m´etrica induzida pela norma , da forma acima descrita.
Defini¸ca ˜o 3.2. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Quando existir uma norma em X tal ´ ´ DA que d ´e a m´etrica induzida pela norma , dizemos ent˜ ao que A M ETRICA d PROV EM NORMA .
Exemplos: A) M´etrica e Norma Usuais da Reta: Consideremos o conjunto IR dos n´ umeros reais, munido da Norma Usual dada por x se x 0 x = x se x < 0
||
A m´etrica induzida por
||
| | : IR → IR
≥
−
´e exatamente a M´etrica Usual da Reta.
B) No Plano Complexo C (ou no IR2 ): Consideremos o espa¸ co C dos n´ umeros complexos (ou ent˜ ao IR2 ), que ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ ao 2 sobre o corpo dos reais. A M´etrica Euclidiana (de (a, b) = a (fun¸c˜ao m´odulo).
| − b| ∀ a, b ∈ C)
prov´ em da Norma Euclidiana
A M´etrica da Soma (ds (a, b) = a1 b1 + a2 b2 a, b Soma a s = a1 + a2 para todo a = a 1 + ia2 s , dada por
||
| − | | − | ∀ ∈ C) prov´em da Norma da | | | | ∈ C . A M´etrica do M´ aximo (d (a, b) = max { |a − b | , | a − b | } ∀a, b ∈ C) prov´em da Norma do M´aximo , dada por a = max { |a | , | a | } para todo a = a + ia ∈ C . m
m
1
m
1
1
2
2
2
1
2
CAP ´ ITULO 3
42
C) M´etrica e Norma do sup: Consideremos o espa¸co (sobre IR)
B(X ; IR) das fun¸c˜oes limitadas f : X → IR. A M´etrica do sup ( d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| ∀ f, g ∈ B (X ; IR) ) prov´em da Norma ∈ do sup ∞ , dada por f ∞ = sup |f (x)| para toda f ∈ B(X ; IR). ∈ x X
x X
ao prov´em de norma alguma: D) Uma m´etrica que n˜ Seja X um espa¸co vetorial com mais de um elemento, sobre IR ou A M´etrica Discreta d : X X IR, dada por
C.
× →
d(x, x) = 0 d(x, y) = 1 se x = y
n˜ao ´e proveniente de nenhuma norma em X (Exerc´ıcio) .
Bolas, esferas e conjuntos limitados: Seja X = (X,
)
um espa¸co vetorial normado.
Dados a X e r > 0, r IR, definimos B(a; r) (bola aberta de centro a e raio r), B[a; r] (bola fechada de centro a e raio r) e S [a; r] (esfera de centro a e raio r) atrav´es da m´etrica d induzida pela norma .
∈
∈
Tamb´em usamos a m´etrica d para caracterizar os conjuntos limitados em X .
Exerc´ıcio: Mostre que um subconjunto Y X (espa¸co normado) ´e limitado se, e somente se, existe k > 0 tal que y k para todo y Y .
≤
⊂ ∈
A topologia da norma: Todo espa¸co vetorial normado X = (X, ) pode ser munido naturalmente da m´etrica d induzida pela norma e conseq¨ uentemente da topologia induzida por esta m´etrica d. Dizemos, de um modo mais breve, que essa topologia ´e induzida pela norma , ou que ´e a TOPOLOGIA DA NORMA .
A partir da´ı todos os conceitos topol´ ogicos estudados em espa¸cos topol´ ogicos e m´etricos s˜ao verificados nos espa¸cos normados, considerando-se a topologia e a m´etrica induzidas pela norma. Tamb´em as no¸c˜oes de continuidade uniforme, aplica¸ca˜o lipschitziana, contra¸ca˜o, etc. s˜ ao verificadas considerando-se a m´etrica induzida pela norma.
43
Espa¸cos normados
Defini¸ca ˜o 3.3. Seja X um espa¸co vetorial. Duas normas ao ditas 1 e 2 em X s˜ EQUIVALENTES se, e somente se, elas induzem a mesma topologia sobre X .
Proposi¸ca ˜o 3.4. Duas normas co vetorial X s˜ ao equivalentes se, 1 e 2 em um espa¸ e somente se, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α. x
≤ x ≤ β. x 1
2
∀ x ∈ X
1
Prova: Exerc´ıcio (Sugest˜ ao: fa¸ca uso do Teorema 3.9, o qual veremos mais a` frente)
Exerc´ıcios: 1) Seja X um espa¸co normado. Mostre que se E E = X ent˜ a o int E = φ .
⊂ X
´e um subespa¸co vetorial de X e
2) Seja X = (X, ) um espa¸co normado. (i) Mostre que x y x y para todos x, y X . (ii) Usando o item anterior, mostre que se (xn ) ´e uma sequˆencia em X tal que lim xn = a ent˜ a o lim xn = a .
− ≥| − |
∈
∈ X
3) Seja X um espa¸co vetorial normado sobre um corpo IK (IR ou C). (i) Mostre que as transla¸co˜es T a : X X , dadas por T a (x) = x + a (onde a homeomorfismos. (ii) Mostre que as homotetias H λ : X X , dadas por H λ (x) = λ.x (com 0 = λ homeomorfismos. (iii) Mostre que duas bolas abertas quaisquer em X s˜ao homeomorfas.
→
∈ X ) s˜ao
→
∈ IK) s˜ao
4) Seja X um espa¸co vetorial normado. Um subconjunto C X ´e dito CONVEXO se, e somente se, para todo par x, y C tem-se t.x + (1 t).y C t [0, 1], ou seja, o segmento [x, y] = t.x + (1 t).y ; t [0, 1] est´a contido em C . (i) Mostre que toda bola em X ´e convexa. (ii) Mostre que a interse¸ca˜o arbitr´ aria de conjuntos convexos ´e convexa. (iii) Mostre que o fecho de um conjunto convexo ´e convexo.
{
−
∈
∈
−
}
⊂ ∈ ∀ ∈
´ X (espa¸co normado). A ENVOLTORIA CONVEXA de B ´e a interse¸ca˜o 5) Seja B co (B) de todos os subconjuntos convexos de X que contˆem B . Prove que co (B) ´e o conjunto de todas as combina¸ co˜es lineares α1.x1 + . . . + αn .xn tais que x1 , . . . , xn B, α1 0, . . . , αn 0 (α1 , . . . , αn IR) e α1 + . . . + αn = 1.
⊂
∈
≥
≥
∈
´ 6) Seja B X (espa¸co normado). A ENVOLTORIA CONVEXA FECHADA de B ´e a interse¸c˜ao co (B) de todos os subconjuntos convexos fechados de X que contˆem B. Mostre que co (B) = cl( co (B)).
⊂
CAP ´ ITULO 3
44
3.3
Espa¸cos de Banach
¸ O DE BANACH ´e um espa¸co vetorial normado completo (toda Defini¸c˜ ao 3.5. Um ESPAC sequˆ encia de Cauchy ´e convergente) quando tomamos a m´etrica induzida pela norma.
Exemplos: A) O espa¸co (IR,
| |)
´e um espa¸co de Banach.
B) O espa¸co dos n´ umeros complexos C, munido de qualquer uma das normas diana), aximo) ´e um espa¸co de Banach. s (da Soma) ou m (do M´
| | (Eucli-
C) O espa¸co (X ; IR) das fun¸ co˜es limitadas f : X espa¸co de Banach.
→ IR, munido da norma do sup, ´e um
B
D) Os espa¸cos (∞ ,
1
∞), ( , ) 1
e (2 ,
) 2
s˜ao todos espa¸cos de Banach.
ao ´e Banach: E) Um espa¸co vetorial normado que n˜
Exerc´ıcio: Mostre que os espa¸cos dos exemplos de A) a D) s˜ao espa¸cos de Banach.
3.4
S´ eries
Defini¸c˜ao 3.6. Uma s´erie VERGENTE para um ponto
∞
i=1
x
n
(sn ) =
xi
xi em um espa¸co normado X = (X,
∈
X
)
´e dita CON-
se, e somente se, a sequˆencia de suas reduzidas
convergir para x.
i=1
Defini¸c˜ao 3.7. Uma s´erie
∞
xi em um espa¸co normado X = (X,
i=1
)
MALMENTE CONVERGENTE se, e somente se, a s´ erie de n´ umeros reais convergente, isto ´e,
∞
i=1
xi < +
´e dita NOR-
∞
i=1
∞ .
xi
for
45
Espa¸cos normados
Exerc´ıcios: 1) Mostre que um espa¸co normado X ´e um espa¸co de Banach se, e somente se, toda s´erie normalmente convergente for convergente.
2) (Teste M de Weierstrass) Seja f n uma s´erie de fun¸co˜es no espa¸co (X ; IR) das fun¸co˜es limitadas f : X IR. Mostre que se existir uma s´erie convergente cn de n´ umeros reais cn 0 e uma constante M tal que f n (x) M.c n para todos n IN e x X ent˜ ao a s´erie f n ´e uniformemente convergente. (Sugest˜ao: use o exerc´ıcio anterior e a norma do sup em (X ; IR))
≥
3.5
→
|
B
|≤
∈
B
Transforma¸ co ˜es lineares em espa¸ cos normados
Alguns exemplos interessantes: ao ´e sobrejetivo: A) Um operador linear que ´e injetivo mas n˜
ao ´e injetivo: B) Um operador linear que ´e sobrejetivo mas n˜
C) Um funcional linear descont´ınuo:
∈
CAP ´ ITULO 3
46
Defini¸c˜ ao 3.8. (Transforma¸coes ˜ lineares “limitadas”) Sejam X e Y espa¸cos normados. Uma transforma¸c˜ ao linear T : X Y ´e dita LIMITADA se, e somente se, existir uma constante c > 0 tal que T (x) Y c. x X para todo x X .
→ ≤
∈
Equivalentemente T : X Y ´e limitada se, e somente se, existir uma constante c > 0 tal que T (x) Y c para todo x X com x X 1 (isto ´e, para todo x B[0; 1] - bola fechada unit´ aria de X ), ou seja, T ´e limitada na bola unit´ aria fechada - de centro 0 - de X (Exerc´ıcio) .
→
≤
∈
≤
∈
Denotaremos por (X ; Y ) o conjunto de todas as transforma¸ c˜oes lineares limitadas de X ´ imediato que (X ; Y ) ´e um subespa¸co vetorial em Y e sempre consideraremos X = 0 . E do espa¸co vetorial de todas as transforma¸ co˜es lineares de X em Y , com as opera¸co˜es usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸ca˜o escalar (mostre).
L
{ }
L
Teorema 3.9. Sejam X e Y espa¸cos vetoriais normados e T : X linear de X em Y . Ent˜ ao as seguintes afirma¸coes ˜ s˜ ao equivalentes:
→ Y uma transforma¸c˜ ao
1) T ´e cont´ınua. 2) T ´e cont´ınua em um ponto x0
∈ X .
3) T ´e cont´ınua no ponto 0 (vetor nulo). 4) Existe c > 0 tal que T x
≤ c. x
Prova:
Y
X para
todo x X ( T ´e limitada).
∈
47
Espa¸cos normados
A norma de uma transforma¸c˜ao linear: J´a temos que (X ; Y ) ´e um espa¸co vetorial (subespa¸co do espa¸co de todas as transforma¸c˜oes lineares de X em Y ).
L
Agora, dada T
∈ L(X ; Y )
(T ´e limitada, ou seja, T ´e cont´ınua), defina
T = sup { T x ; x ≤ 1} A fun¸ca˜o : L(X ; Y ) → IR acima definida ´e uma norma em L(X ; Y ) (Exerc´ıcio). Observe que esta norma em L(X ; Y ) depende das normas tomadas em X e Y . Y
X
Proposi¸ca ˜o 3.10. Sejam X e Y espa¸cos normados e T
T =
∈ L(X ; Y ) . Ent˜ ao: sup { T x ; x ≤ 1 } = sup { T x ; x = 1} =
= sup
Tx ; x=0 x
= inf c > 0 ; T x
{
≤ c. x ∀x ∈ X }
Prova: Exerc´ıcio
Proposi¸ca ˜o 3.11. (Propriedades Imediatas)
T x ≤ T . x ∀ x ∈ X ( T ∈ L(X ; Y ) , com X e Y normados) (ii) T U ≤ T . U ( T ∈ L(X ; Y ), U ∈ L(W ; X ), com W , X e Y normados) (i)
Prova: Exerc´ıcio
CAP ´ ITULO 3
48
Teorema 3.12. Sejam X e Y espa¸cos normados. Ent˜ ao somente se) Y ´e um espa¸co de Banach.
L(X ; Y ) ´e espa¸co de Banach se (e
Prova: Exerc´ıcio
Exerc´ıcio: Mostre que se X ´e um espa¸co de Banach e A linear e cont´ınua) ent˜ ao a s´erie A
e =
∞
n=0
∈ L(X )
(isto ´e, A : X
→ X ´e
An A2 A3 = I + A + + + ... n! 2! 3!
converge para um operador linear cont´ınuo eA : X X (Sugest˜ ao: Mostre que a s´erie acima ´e normalmente convergente). Observa¸ca˜o: No caso particular X = IRn , este exerc´ıcio diz que podemos definir (e bem) a exponencial de uma n n matriz real atrav´es da s´erie acima (e o resultado ´e ainda uma n n matriz real) !!!
→
×
×
Alguns resultados importantes (a t´ıtulo de informa¸ca ˜o): Teorema 3.13. (Princ´ıpio da Limita¸c˜ ao Uniforme) Sejam X um espa¸co de Banach e Y um espa¸co normado. Seja uma fam´ılia de transforma¸c˜ oes lineares cont´ınuas de X em Y , ou (X ; Y ) . seja,
A
A⊂L Se A ´e pontualmente limitada (para cada x ∈ X temos sup { T x ; T ∈ A} < +∞) ent˜ ao A ´e uniformemente limitada (existe M > 0 tal que T ≤ M para toda T ∈ A).
Podemos demonstrar o Princ´ıpio da Limita¸ c˜ao Uniforme “olhando” para os conjuntos e utilizando o Corol´ario do Teorema de Baire (veja nos Bn = x X ; T x n T exerc´ıcios do cap´ıtulo sobre espa¸cos m´etricos) - Tente!
{ ∈ ≤ ∀ ∈ A }
Teorema 3.14. (Teorema da Aplica¸ c˜ ao Aberta) Sejam X e Y espa¸c os de Banach. Se T (X ; Y ) ´e sobrejetiva, ent˜ ao T ´e aberta, ou seja, T (A) ´e aberto em Y para todo A aberto em X .
∈L
Podemos demonstrar o Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta utilizando o Teorema de Baire (veja nos exerc´ıcios do cap´ıtulo sobre espa¸ cos m´etricos). ao espa¸cos de Banach e T Corol´ario 1. Se X e Y s˜ cont´ınua, isto ´e, T −1 (Y ; X ).
∈L
Prova: Exerc´ıcio
∈ L(X ; Y )
´e bijetiva, ent˜ ao T −1 ´e
Espa¸cos normados
Exemplo (um pouco sobre funcionais lineares):
49
50
CAP ´ ITULO 3
Cap´ıtulo 4 Espa¸cos com produto interno Neste cap´ıtulo introduzimos o conceito de Produto Interno, alguns exemplos e t´ opicos b´asicos relacionados, como a norma proveniente de um produto interno e ortogonalidade. Apresentamos os espa¸cos de Hilbert e finalizamos citando o Teorema de Representa¸ca˜ o de Riesz.
4.1
Produto interno
Defini¸ca ˜o 4.1. Seja X um espa¸co vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Um PRODUTO INTERNO sobre X ´e uma fun¸c˜ ao < , >: X X IK que associa a cada par ordenado de vetores x, y X um escalar < x, y > chamado o produto interno de x por y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condi¸c˜ oes para quaisquer x, y, z X, λ IK:
× →
∈
∈
p.i.1) < λ x + y,z > = λ < x, z > + < y, z >
·
p.i.2) < x,x >
·
≥ 0
p.i.3) < x,x > = 0
⇒
x = 0
p.i.4) < x, y > = < y,x > Obs.: < x,λy + z > = λ < x, y > + < x, z >
·
51
∈
CAP ´ ITULO 4
52
Exemplos: A) Consideremos o conjunto C dos n´ umeros complexos (ou ent˜ ao IR2 ) como um espa¸co vetorial de dimens˜ ao 2 sobre o corpo dos reais. < , >: C
× C → IR
dada por
< a1 + ia2 , b1 + ib2 > = a1.b1 + a2 .b2 ´e um produto interno em
C
∀ a = a + ia , b = b + ib ∈ 1
2
1
2
C
(equivale ao Produto Escalar no IR2 ).
B) Seja V o espa¸co das fun¸co˜es cont´ınuas definidas no intervalo [0, 1] e tomando valores complexos: C ; f ´ V = f : [0, 1] e cont´ınua
{
→
× V → C dada por
}
< , >: V
1
< f, g > =
f (x).g(x) dx
0
∀ f, g ∈ V
´e um produto interno em V .
aveis, em um corpo IK (IR ou C) Seja 2 o espa¸co das sequˆencias quadrado som´ 2
= < , >: 2
2
× → IK
(xn ) = (x1, x2, . . .) ; xi
∈ IK ;
C):
| | ∞ ∞
xi 2 < +
i=1
dada por < (xn ), (yn ) > =
∞
xi .yi
i=1
∀ (x ), (y ) ∈ n
n
2
´e um produto interno em 2
odicas de D) Seja C per [ π, π] o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes de IR em IR, cont´ınuas e peri´ per´ıodo 2π. < , >: C per [ π, π] C per [ π, π] IR dada por
−
−
×
−
→
π
< f, g > =
f (x).g(x) dx
−π
´e um produto interno em C per [ π, π].
−
∀ f, g ∈ C [−π, π] per
53
Espa¸cos com produto interno
4.2
Norma a partir de um produto interno
Constru¸c˜ ao: Seja X um espa¸co vetorial munido de um produto interno < , >. A partir de < , > construiremos uma fun¸c˜ao : X IR, pondo
→ x = (< x, x >)
1/2
∀ x ∈ X
A seguir, um importante resultado referente a` fun¸c˜ao constru´ıda acima:
Teorema 4.2. Desigualdade de Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz (CBS)
|< x, y >| ≤ x . y ∀ x, y ∈ X Prova: Exerc´ıcio A fun¸ca˜o : X IR acima constru´ıda a partir do produto interno < , > ´e uma norma ´ DO PRODUTO em X (mostre). Neste caso, dizemos que a A NORMA PROVEM INTERNO < , >.
→
Exemplos: A) A Norma Euclidiana
| | : C → IR |a| =
(fun¸c˜ao m´odulo) dada por
a21 + a22
∀ a = a + ia ∈ 1
2
C
prov´em do produto interno < , > dado por < a1 + ia2 , b1 + ib2 > = a1 .b1 + a2 .b2
B) A norma
2
: 2
→ IR
∀ a = a + ia , b = b + ib ∈ 1
2
1
dada por
(x ) = n
2
| | ∞
xi
1/2
2
i=1
∀ (x ) ∈ n
2
prov´em do produto interno < , > dado por < (xn), (yn ) > =
∞
i=1
xi .yi
∀ (x ), (y ) ∈ n
n
2
2
C
CAP ´ ITULO 4
54
C) Uma condi¸ca˜o necess´ aria (e suficiente): Proposi¸ca ˜o 4.3. Seja X um espa¸co vetorial. Se uma norma : X IR prov´em de um produto interno < , > em X , ent˜ ao vale a IDENTIDADE DO PARALELOGRAMO:
2
x + y + x − y
2
= 2.
x
2
+ y
2
→
∀ x, y ∈ X
Prova: Exerc´ıcio
As normas do M´ aximo interno algum em C. A norma A norma
m : C
→ IR
e da Soma
: C → IR
n˜ao provˆem de produto
s
∞ : ∞ → IR n˜ao prov´em de produto interno algum em ∞. : → IR n˜ao prov´em de produto interno algum em . 1
1
1
Exerc´ıcio: Prove as afirma¸c˜oes acima, mostrando que nenhuma dessas normas satisfaz `a Identidade do Paralelogramo.
4.3
Espa¸cos de Hilbert
Defini¸c˜ ao 4.4. Um ESPAC ¸ O DE HILBERT X ´e um espa¸co vetorial com um produto interno < , > tal que X ´e completo quando munido com a m´etrica d(x, y) = x y , onde ´e a norma que prov´ em do produto interno < , >.
−
Exemplos: A) O espa¸co C, munido do produto interno < a1 + ia2, b1 + ib 2 > = a1 .b1 + a2 .b2 , ´e um espa¸co de Hilbert. B) O espa¸co 2 , munido do produto interno < (xn), (yn ) > = Hilbert.
∞
i=1
xi .yi , ´e um espa¸c o de
55
Espa¸cos com produto interno
4.4
Ortogonalidade
ao Defini¸ca ˜o 4.5. Seja X um espa¸co com produto interno < , >. Dois vetores x, y X s˜ ditos ORTOGONAIS quando < x, y > = 0 e escrevemos x y. Dizemos que um subconjunto S X ´e um CONJUNTO ORTOGONAL quando os vetores de S s˜ ao dois a dois ortogonais.
∈
⊥
⊂
agoras”) Sejam X um espa¸co com produto interno < , > e Teorema 4.6. (“Teorema de Pit´ seja a norma proveniente do produto interno < , >.
Se S X ´e um conjunto ortogonal ent˜ ao, dados x1 , . . . , xn dois a dois distintos em S , temos: x1 + x2 + . . . + xn 2 = x1 2 + x2 2 + . . . + xn 2
⊂
Prova: Exerc´ıcio
Proposi¸ca ˜o 4.7. Se X ´e um espa¸co vetorial com produto interno, ent˜ ao todo conjunto ortogonal de vetores n˜ ao nulos em X ´e linearmente independente (LI) Prova: Exerc´ıcio
4.5
O Teorema de Representa¸ c˜ ao de Riesz
Teorema 4.8. (Teorema de Representa¸c˜ ao de Riesz) Seja X um espa¸co de Hilbert sobre um corpo IK ( IR ou C). Se L : X IK ´e um funcional linear cont´ınuo (limitado) ent˜ ao existe um unico ´ vetor x0 X tal que L(x) = < x,x0 > para todo x X . Mais ainda, temos L = x0 .
∈
Prova: Exerc´ıcio
→
∈
56
CAP ´ITULO
Apˆ endice A Introdu¸ c˜ ao ` a Topologia Produto Este apˆendice tem por objetivo introduzir, de modo natural, uma topologia sobre o produto cartesiano de espa¸cos topol´ ogicos, conhecida como a Topologia Produto.
Considera¸co ˜es iniciais: Sejam X um conjunto, Y um espa¸co topol´ ogico e f : X
→ Y uma fun¸ca˜o de X em Y .
Se considerarmos uma topologia sobre X , ´e claro que quanto maior (ou mais forte) for esta topologia, “maiores ser˜ a o as chances” da fun¸ c˜ao f ser cont´ınua. Equivalentemente, quanto menor (ou mais fraca) for uma topologia sobre X , menores ser˜ ao as chances da fun¸c˜ao f ser cont´ınua. Surge ent˜ ao uma interessante quest˜ ao:
Qual a menor topologia sobre X para a qual a fun¸c˜ ao f ´e cont´ınua ? Tentando responder a` quest˜ ao acima, chegamos naturalmente a` cole¸ca˜o τ =
f −1 (A) ; A aberto em Y
Exerc´ıcio: Mostre que a cole¸c˜ao τ acima ´e uma topologia sobre X tal que a fun¸ca˜o f ´e cont´ınua e τ ´e menor (mais fraca) que qualquer topologia para a qual f seja cont´ınua (τ ´e portanto a topologia procurada na quest˜ ao acima). Consideremos agora uma fam´ılia τ λ λ∈L de topologias sobre um conjunto X . Uma quest˜ao interessante associada a esta situa¸ c˜ao ´e a seguinte:
{ }
Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto X que cont´ em cada uma das topologias τ λ , λ L ?
∈
57
ˆ AP ENDICE A
58 Uma an´alise mais detalhada da situa¸ca˜o nos indica que a cole¸ca˜o
B = { A = A ∩ A ∩ . . . ∩ A λ1
λ2
; Aλi
λn
∈ τ
λi
; λi
∈ L }
das interse¸co˜es finitas de abertos das topologias dadas ´e base para a topologia procurada na quest˜ao acima!
Exerc´ıcio: Mostre que a cole¸c˜ao dada acima ´e base para uma topologia (τ B ) sobre X e que a topologia τ B , gerada por , ´e a menor (mais fraca) topologia sobre X que cont´em cada uma das topologias τ λ , λ L, ou seja, τ λ τ B λ L e se τ ´e uma topologia sobre X com τ λ τ λ L ent˜ ao τ B τ .
∈
⊂ ∀ ∈
B
B
⊂
⊂
∀ ∈
Encerrando esta etapa de considera¸ c˜oes iniciais, consideremos um conjunto X e uma fam´ılia de fun¸c˜oes f λ : X Y λ de X em espa¸cos topol´ ogicos Y λ , λ L. Chegamos ent˜ ao a` generaliza¸c˜ao da primeira quest˜ ao:
→
∈
Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto X para a qual todas as fun¸co ˜es f λ , λ L , s˜ao cont´ınuas ?
∈
Utilizando as considera¸c˜oes anteriores, podemos concluir (mostre) que a cole¸c˜ao
B =
A = f λ−1 (Aλ ) 1
1
1
1
∩ f − (A ) ∩ . . . ∩ f − (A λ2
λ2
λn
λn ) ; Aλi aberto em Y λi ; λi
∈ L
das interse¸co˜es finitas das imagens inversas pelas f λ de abertos dos espa¸cos correspondentes Y λ ´e base para a topologia procurada na quest˜ ao acima.
Produtos cartesianos em geral: Seja X λ λ∈L uma fam´ılia qualquer de conjuntos. O Produto Cartesiano (o qual definiremos mais tarde) desta fam´ılia de conjuntos ser´ a denotado por X λ e identificado (infor-
{ }
λ L
∈
malmente, a princ´ıpio) com o conjunto de todas as L-uplas (xλ )λ∈L de elementos da uni˜ ao X λ tais que xλ X λ para cada λ L.
∈
λ L
∈
∈
Quando o conjunto L de ´ındices for claro (pelo contexto), denotaremos o produto simplesmente por X λ e seu elemento geral por (xλ ).
Se, em particular, tivermos um conjunto finito de ´ındices L = 1, 2, . . . , n ent˜ a o escreveremos X 1 X 2 . . . X n para denotar o produto cartesiano e um elemento arbitr´ ario do produto ser´ a dado por (x1, x2 , . . . , xn ) onde cada xi X i .
× × ×
{
∈
}
59
Introdu¸c˜ ao ` a Topologia Produto
Exemplo: Dados dois conjuntos X e Y , seu produto cartesiano X Y (neste caso L = 1, 2 , X 1 = X , X 2 = Y ) ´e o conjunto dos pares (x, y) tais que x X e y Y .
× ∈
{ }
∈
ao o produto Exemplo: Se L = 1, 2, . . . , n e ainda X 1 = X 2 = . . . = X n = IR ent˜ cartesiano ´e o conjunto IRn = IR IR . . . IR (n vezes) de todas as n-uplas (x1 , x2, . . . , x n) de n´ umeros reais.
{
} × × ×
Defini¸ca ˜o A.1. (Produto Cartesiano) Seja X λ λ∈L uma fam´ılia qualquer de conjuntos. O PRODUTO CARTESIANO desta fam´ılia de conjuntos, denotado por X λ , ´e o conjunto
{ }
de todas as fun¸c˜ oes x : L
→
λ L
X λ tais que x(λ) = x λ
λ L
∈
∈
∈ X para cada λ ∈ L. λ
Se, em particular, X λ = X para cada λ L ent˜ ao o produto cartesiano X λ ´e simplesmente o conjunto X L de todas as L-uplas de elementos de X ou, equivalentemente, ´e o conjunto de todas as fun¸ co˜es f : L X , uma vez que X λ = X .
∈
→
λ L
∈
Exemplo: Considerando L = IN e X n = IR para cada n IN temos que o produto cartesiano IRIN corresponde ao conjunto de todas as fun¸ c˜oes f : IN IR , ou seja, todas as sequˆencias (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) de n´ umeros reais.
∈
→
Exemplo: Considerando L = IR e X λ = IR para cada λ IR temos que o produto cartesiano IRIR corresponde ao conjunto de todas as fun¸ c˜oes f : IR IR.
∈
→
oes) Consideremos uma fam´ılia X λ λ∈L de conjuntos e seu produto Defini¸ca ˜o A.2. (Proje¸c˜ cartesiano X λ . Para cada λ0 L existe uma fun¸c˜ ao
{ }
∈
λ L
∈
πλ : 0
λ L
∈
X λ
→ X
λ0
que associa a cada (xλ )λ∈L do produto a sua λ0 -´esima coordenada xλ . Esta fun¸ cao ˜ ´e chamada a APLICAC ¸ ˜ AO PROJEC ¸ ˜ AO do produto cartesiano X λ sobre X λ ou simples-
0
0
λ L
∈
mente λ0 -´esima proje¸c˜ ao.
Exemplo: Considerando L = 1, 2, . . . , n , X 1 = X 2 = . . . = X n = IR e o produto cartesiano IRn = IR IR . . . IR (n vezes), temos ent˜ ao n proje¸co˜es π1 , π2 , . . . , πn : IRn IR com πi (x1 , x2 , . . . , xn ) = x i para cada i = 1, 2, . . . , n.
× × ×
{
}
→
ˆ AP ENDICE A
60
A Topologia Produto: Dados uma fam´ılia de conjuntos
{X } ∈
e o seu produto cartesiano
λ λ L
X λ , existir´a
λ L
∈
alguma topologia que seja natural sobre o produto cartesiano ? Vimos que surgem naturalmente as chamadas proje¸c˜oes: πλ :
X λ
λ L
∈
→ X
λ
e tamb´em
ogico, cada proje¸c˜ao πλ seja ´e natural pedirmos que, se cada X λ for um espa¸co topol´ cont´ınua! Defini¸c˜ ao A.3. Consideremos uma fam´ılia X λ λ∈L de espa¸cos topol´ ogicos e seu produto cartesiano X λ .
{ }
λ L
∈
A TOPOLOGIA PRODUTO ´e a menor (mais fraca) topologia sobre uma das proje¸c˜ oes πλ :
X λ tal que cada
λ L
X λ
λ L
∈
→ X
λ
∈
´e cont´ınua.
Ora, j´a temos (nas considera¸co˜es iniciais deste apˆendice) pronto um estudo mostrando que a cole¸ca˜o
B =
A = π λ−1 (Aλ ) 1
1
∩
πλ−1 (Aλ ) 2
2
πλ−n1 (Aλn ) ; Aλi aberto em X λi ; λi ∈ L
∩ ... ∩
das interse¸co˜es finitas das imagens inversas pelas proje¸co˜es de abertos dos espa¸cos X λ , ´e base para a topologia produto. O que faremos agora ´e simplesmente tentar enxergar melhor o “jeit˜ ao” destes abertos b´asicos da topologia produto: ´ f´acil ver que, dado um conjunto C X λ , temos E πλ−1 (C ) = 0
∈
0
Dλ , com Dλ = X λ
λ L
∈
∀λ = λ
0
e Dλ = C 0
Com o resultado acima, podemos finalmente concluir (mostre) que os abertos b´asicos da topologia produto sobre X λ s˜ao da forma
λ L
∈
A =
Aλ
λ L
∈
com Aλ aberto em X λ e Aλ = X λ para cada λ fora de um conjunto finito de ´ındices.
61
Introdu¸c˜ ao ` a Topologia Produto
Exemplo: Sejam L = IN e X n = IR (com a Topologia Usual) para cada n IN . J´a sabemos que o produto cartesiano
∈
X n = IRIN corresponde ao conjunto de todas as
n IN
∈
fun¸co˜es f : IN reais.
(x1 , x2 , . . . , xn, . . .) (infinitas) de n´ umeros
→ IR , ou seja, todas as sequˆencias
Se tomarmos, por exemplo, os conjuntos abertos A2 = ( 3, 1) e A3 = (0, 5) , temos que A = IR ( 3, 1) (0, 5) IR IR IR . . . ´e um aberto b´ asico da topologia produto em IRIN , pois A = An com An aberto em IR e An = IR para cada n IN fora do
×−
×
−
× × × ×
∈
n IN
∈
conjunto finito de ´ındices
{2, 3} .
´ imediato que o aberto b´ E asico A exibido acima ´e o conjunto de todas as sequˆencias (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) de n´ umeros reais, tais que x2 ( 3, 1) e x3 (0, 5).
∈ −
∈
a Exemplo: Sejam L = IR e X λ = IR (com a Topologia Usual) para cada λ IR . J´ sabemos que o produto cartesiano X λ = IRIR corresponde ao conjunto de todas as fun¸co˜es f : IR
∈
λ IR
∈
→ IR.
Se tomarmos um > 0 , temos que, por exemplo, A = todo A =
√ λ = 7
´ındices
Aλ com Aλ = IR para
λ∈IR √ e A 7 = (−, ) ´e um aberto b´asico da topologia produto em IRIR , pois
Aλ com Aλ aberto em IR e Aλ = IR para cada λ IR fora do conjunto finito de
∈
λ IR
∈
√
7 .
Observemos que o aberto b´ asico A f : IR IR tais que f ( 7) ( , ).
→
√ ∈ −
exibido acima ´e o conjunto de todas as fun¸ c˜oes
Exerc´ıcios: 1) (Topologia Produto X Topologia de Caixa) Consideremos uma fam´ılia X λ λ∈L de espa¸cos topol´ ogicos e seu produto cartesiano X λ . Mostre que os conjuntos dados por
{ }
λ L
A =
∈
Aλ , com Aλ aberto em X λ
λ L
∈
formam uma base para uma topologia sobre o produto cartesiano acima. Esta topologia ´e chamada TOPOLOGIA DE CAIXA. Compare a Topologia de Caixa com a Topologia Produto. Sob quais condi¸c˜oes podemos dizer que essas duas topologias coincidem ?
ˆ AP ENDICE A
62 co 2) (Topologia Produto e Tychonoff) Mostre que se o espa¸
X λ ´e compacto (con-
λ L
∈
siderando a Topologia Produto) ent˜ ao cada X λ ´e um espa¸co compacto. A rec´ıproca deste resultado ´e o importante Teorema de Tychonoff (ver [3], cap. 5):
“Se cada X λ ´e um espa¸co topol´ ogico compacto, ent˜ ao o produto cartesiano
X λ
λ L
∈
(considerando a Topologia Produto) ´e compacto”.
O Teorema de Tychonoff ´e um dos motivos pelos quais a Topologia Produto ´e a mais natural a ser definida sobre o produto cartesiano (repare que ela ´e definida como a menor topologia tal que todas as proje¸co˜es s˜ao cont´ınuas e isso “aumenta as chances” do produto ser compacto).
3) (Topologia Produto e convergˆencia pontual) Consideremos L = IR e X λ = IR (com a Topologia Usual) para cada λ IR . J´ a vimos que o produto cartesiano X λ = IRIR
∈
λ IR
∈
corresponde ao conjunto de todas as fun¸ c˜oes f : IR
→ IR.
Mostre que a convergˆencia neste espa¸ co IRIR das fun¸c˜oes f : IR IR , quando consideramos a Topologia Produto , ´e a convergˆencia pontual (ver Cap´ıtulo 2 - Espa¸ cos M´etricos), ou seja, uma sequˆencia de fun¸ c˜oes f n : IR IR converge (na Topologia Produto) para uma fun¸ca˜o f : IR IR se, e somente se, para cada x IR fixado, tem-se f n (x) f (x) (convergˆencia pontual).
→
→
→
∈
→
´ 4) (Espa¸cos Vetoriais Topol´ ogicos) Um ESPAC ¸ O VETORIAL TOPOLOGICO (EVT) ´e um espa¸co vetorial X (sobre um corpo IK) munido de uma topologia tal que as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de vetores: X X X e multiplica¸ca˜o escalar: IK X X s˜ao cont´ınuas (considerando a Topologia Usual em IK e as Topologias Produto em X X e IK X ).
× →
Mostre que todo espa¸co normado ´e um EVT.
× → ×
×
Apˆ endice B Sobre bases em espa¸cos vetoriais Seja X um espa¸co vetorial sobre um corpo IK (IR ou C):
Defini¸ca ˜o B.1. (Independˆencia linear) Um subconjunto E X ( E finito ou infinito) ´e LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI) se, e somente se, para todo subconjunto finito e1 , e2 , . . . , en E temos
⊂
{
}⊂
c1 e1 + c2 e2 + . . . + cnen = 0 ci IK
∈
⇒
c1 = c 2 = . . . = c n = 0
co Defini¸ca ˜o B.2. (Base de Hamel ou alg´ebrica) Uma BASE (DE HAMEL) em um espa¸ vetorial X ´e um subconjunto LINEARMENTE INDEPENDENTE MAXIMAL de X . Para esclarecer, ´e base (de Hamel) de um espa¸co X quando ´e o “maior” conjunto LI que cont´em . Isto ocorre se, e somente se, ´e LI e, para cada x X , o conjunto x n˜ao ´e LI.
B∪{}
B
B
B
B
∈ \B
= 1, x, x2 , x3 , . . . ´e uma base (de Hamel) do espa¸ co Exemplo: O conjunto X = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + anxn ; ai IR , dos polinˆomios com coeficientes reais, pois ´e linearmente independente e p n˜ao ´e LI, qualquer que seja p X .
B
{
B
{
∈ } B∪{}
}
Teorema B.3. Todo espa¸co vetorial possui base (de Hamel). Obs.: A demonstra¸ca˜o faz uso do Lema de Zorn.
63
∈ \B
ˆ AP ENDICE B
64
Teorema B.4. Seja um subconjunto LI de um espa¸co vetorial X = 0 . ´e uma base (de Hamel) de X se, e somente se, todo vetor x X pode ser escrito como
B
B
∈
n
x =
αi ei = α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en , onde α1 , . . . , αn
∈
i=1
{ }
IK e
{e , . . . , e } ⊂ B 1
n
(ou
seja, todo vetor de X pode ser escrito como combina¸c˜ ao linear de elementos de um subconjunto FINITO de ).
B
B base (de Hamel) de X e x ∈ X . Podemos supor que x ∈ B (se x ∈ B j´a teremos x = 1.x ). Ent˜ ao B ∪ {x} n˜ao ´e LI (pois B ´e LI maximal) e portanto existem um subconjunto finito {x, e , e , . . . , e } ⊂ B ∪ {x} e escalares α , α , . . . , α ∈ IK tais que: α x + α e + . . . + α e = 0 e α = 0 (pois B ´e LI e B ∪ {x} n˜ao ´e LI) Prova: ( ) Sejam
⇒
1
0
2
k
1 1
0
k k
Logo: x =
1
k
0
− − α1 α0
e1 +
α2 α0
e2 + . . . +
− αk α0
ek
Portanto todo x X pode ser escrito como combina¸ca˜o linear FINITA de elementos de .
∈
( )
⇐ B
B
´e LI. Para todo x X
∈ \B temos:
∈ ⇒ B ∪ { } }⊂ B
x = α 1 e1 + α2e2 + . . . + αk ek α1 , . . . , αk IK e1 , e2 , . . . , ek
{
Logo podemos concluir que
x
B
n˜ao ´e LI.
´e LI maximal, ou seja,
B ´e uma base (de Hamel) de X .
´ atrav´es deste teorema que normalmente definimos base de um espa¸ Obs.: E co vetorial em ´ nossos cursos de Agebra Linear.
Exemplo: Seja X = ∞ = (xn ) = (x1 , x2 , . . .) ; xi IR ; (xn ) ´e limitada o espa¸co das sequˆencias limitadas de n´ u meros reais com as opera¸co˜es usuais de soma de vetores e multiplica¸ca˜o escalar.
{
∈
}
O subconjunto E = (1, 0, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, 0, . . .), (0, 0, 1, 0, . . .), . . . ∞ ´e evidenteao ´ e base (de Hamel) de ∞ pois, por exemplo, x = (1, 1, 1, . . .) ∞ mas mente LI, mas n˜ x n˜ao pode ser escrito como combina¸ ca˜o linear FINITA de elementos de E .
{
}⊂
∈
65
Sobre bases em espa¸cos vetoriais
O teorema a seguir ´e uma bela aplica¸ c˜ao do Teorema de Baire (exerc´ıcio do cap´ıtulo 2 Espa¸cos M´etricos):
Teorema B.5. Seja X um espa¸co de Banach (espa¸co vetorial normado e completo - toda sequˆencia de Cauchy ´e convergente - em rela¸c˜ ao a` m´etrica induzida pela norma). Se X tem dimens˜ ao infinita ent˜ ao toda base (de Hamel) de X ´e n˜ ao-enumer´ avel. avel Prova: Suponhamos, por absurdo, que X tenha uma base (de Hamel) enumer´ = e1 , e2 , e3 , . . . (obs.: ´e um conjunto infinito pois X tem dimens˜ ao infinita).
B {
}
B
Para todo n IN, seja F n = [e1 , e2 , . . . , en ] o subespa¸co de X gerado por e1 , e2, . . . , en .
∈
{
Temos X =
∞
}
F n
n=1
Para todo n IN, temos:
∈
F n tem dimens˜ ao finita
⇒
F n ´e subconjunto fechado de X (ver Lima [2], p. 239).
Como F n tem dimens˜ao finita e X tem dimens˜ao infinita, ´e imediato que F n ´e subespa¸co pr´oprio do espa¸co normado X , de onde podemos concluir que intF n = φ (exerc´ıcio de espa¸cos normados). Temos ent˜ ao que X =
∞
F n com F n fechado e int F n = φ para todo n IN.
n=1
∈
Como X ´e Banach (completo), segue do Teorema de Baire que intX = φ (contradi¸ca˜o). Ent˜ ao, obrigatoriamente, toda base (de Hamel) de X ´e n˜ ao-enumer´ avel. ebrica) para evitar confus˜ ao Observa¸ca ˜o: Sempre usamos o termo base de Hamel (ou alg´ com o conceito de BASE DE HILBERT (ou geom´etrica), que ´e referente aos conjuntos ORTONORMAIS MAXIMAIS em espa¸cos com produto interno.
66
ˆ AP ENDICE B
Apˆ endice C O espa¸co co IRn O espa¸co co vetorial IRn: Consideremos Consideremos o conjunto conjunto IRn = x = x = (x1 , x2 , . . . , xn) ; xi uplas de n´ umeros umeros reais.
IR ; i = 1, 2, . . . , n } das n ∈ IR
{
Dados x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , y = (y1 , y2 , . . . , yn) IR IRn e α IR, definimos:
∈
∈
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) α.x = α.x = (αx1 , αx2 , . . . , α x n ) Estas opera¸c˜ c˜oes o es fazem fazem do do IRn um espa¸co co vetorial de dimens˜ ao ao n sobre o corpo IR dos n´umeros umeros reais.
Produto interno no espa¸co co IRn : ˆ Definimos o PRODUTO INTERNO CANONICO < , >: IRn < x, x, y > = > = x x 1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn
n
× IR → IR
pondo:
x = (x , . . . , x ), y = (y , . . . , y ) ∈ IR IR ∀ x = 1
n
1
n
n
Normas: A partir do Produto Interno Canˆ onico onico acima definido, constru´ constru´ımos a NORMA EUCLIDIANA : IRn IR pondo:
→
x = √ < x,x, x >
67
n
∀ x ∈ IR IR
ˆ AP ENDICE C
68 Obs.: Outras duas normas se destacam no IRn: ´ A NORMA DO MAXIMO
n
: IR → IR dada por x = (x , . . . , x ) ∈ IR IR x = max { |x | , |x | , . . . , |x | } ∀ x = A NORMA DA SOMA : IR → IR dada por x = |x | + |x | + . . . + |x | ∀ x = x = (x , . . . , x ) ∈ IR IR m
1
m
2
n
1
n
n
n
s
s
1
2
n
1
n
n
´ f´acil E acil mostrar que estas duas normas n˜ ao ao provˆem em de produto interno algum no IRn. Para todo x IR IRn temos:
∈
x ≤ x ≤ x ≤ n. x m
s
m
Portanto as normas Euclidiana, do M´ aximo aximo e da Soma s˜ao ao EQUIVALENTES. Logo, as no¸c˜ c˜oes oes topol´ ogicas ogica s (convergˆ (c onvergˆencia encia de sequˆ s equˆencias, encia s, limites, lim ites, continuidade, continuida de, etc.) e tc.) independem pen dem de qual destas desta s trˆes es normas norma s ´e considerad consid erada! a!
Conjuntos limitados: ´ imediato que se duas normas E 1 e X IRn ´e limitado limitad o em rela¸c˜ c˜ao ao a` norma norma 2.
⊂ ⊂
n
no IR s˜ao ao equivalentes ent˜ ao ao um conjunto limita do em rela¸c˜ c˜ao ao a` se, e somente se, X ´ ´e limitado 2
1
IRn ´e limitad limi tadoo (em rela¸c˜ c˜ ao a qualquer norma equivalente Teorema C.1. Um conjunto X IR a` Norma do M´ aximo) se, e somente se, suas proje¸c˜ c˜ oes X 1 = π1 (X ), . . . , Xn = πn (X ) s˜ ao conjuntos limitados em IR.
⊂ ⊂
Sequˆencias enci as no espa¸ espa ¸co co IRn : Uma sequˆ s equˆencia encia (xk ) no IRn equivale a n sequˆencias encia s de d e n´ numeros u´meros reais, ou seja, para todo (k) (k) (k) (k) k IN IN , xk = x1 , x2 , . . . , xn , onde xi = π i (xk ) = i-´ i -´esima esima coordena coo rdenada da de xk . Essas n sequˆ se quˆenci en cias as s˜ao ao ditas as sequˆenciaS enciaS DAS COORDENADAS de (xk ).
∈
Um a sequˆ seq uˆenci en cia a (xk ) no IRn converge (em rela¸c˜ cao ˜ a qualquer norma equivTeorema C.2. Uma alente `a Norma do M´ aximo) para o ponto a = (a1 , a2 , . . . , an ) se, e somente somente se, para para cada (k) i = 1, 2, . . . , n tem-se lim xi = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge converge para para a coordenada correspondente de a. Prova: Prova: Exerc´ Exerc´ıcio (use a Norma do M´ aximo) aximo)
O espa¸co co IRn
69
Coro Co rol´ l´ario ar io 1. Dadas Dad as as sequˆ encias encias convergentes (xk ), (yk ) no IRn e (αk ) em IR, sejam lim xk = a, lim yk = b e lim αk = α. α . Ent˜ ao: lim(xk + yk ) = a + b (i) lim(x (ii) lim αk .xk = α.a (iii) lim < lim < xk , yk > = < = < a, a, b >
A seguir dois importantes importantes resultados, resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimens˜ ao ao finita: (Bo lzano-Weierstrass) Weierstrass) Toda sequˆencia encia limitada limitad a (em rela¸ cao c˜ ˜ a qualquer norma Teorema C.3. (Bolzanoequivalente `a Norma do M´ aximo) em IRn possui uma subsequˆencia encia convergente. Prova: Exerc´ıcio ıcio (Sugest˜ (Suge st˜ ao: ao: use o mesmo resultado em IR para as sequˆ sequˆencias encias das coordenadas, juntamente com o teorema anterior)
Teorema C.4. Duas normas quaisquer no espa¸co co IRn s˜ ao equivalentes. Demonstra¸c˜ cao: a ˜o: n
Sejam
IR a Norma da Soma, dada dada por : IR → IR x = |x | + |x | + . . . + |x | ∀ x = x = (x , x , . . . , x ) ∈ IR IR qualquer no IR . → IR uma norma qualquer s
1
s
e
n
: IR
2
n
1
2
n
n
n
Temos: (i) Por transitividade, se mostrarmos que estar´a demonstrado.
s
e
s˜ ao ao equivalentes, ent˜ ao ao o teorema
(ii) Para a Norma da Soma valem os trˆes es teoremas anteriores, anteriores, pois ela ´e equivalen equivalente te a` Norma do M´aximo. aximo. Consideremos a Base Canˆ onica onica β = e1 , e2, . . . , en do IRn .
{ } Para todo vetor x vetor x = = (x , x , . . . , x ) ∈ IR IR , temos: b. (|x | + . . . + |x |) = b. x x = x e + . . . + x e ≤ |x | . e + . . . |x | . e ≤ b.( onde b = max { e , . . . , e } (repare que este b est´a bem definido, pois tomamos o 1
1 1
2
n n
1
n
n
1
1
n
m´aximo aximo em um conjunto finito de n´ umeros umeros reais). Logo
x ≤ b. x
s
para todo x IR IRn . (1)
∈
n
n
1
n
s
O espa¸co IRn
71
B) Se ϕ : IRm IRn IR p ´e uma aplica¸c˜ao bilinear (linear em cada componente) ent˜ ao ϕ ´e lipschitziana em cada parte limitada de IRm IRn = IRm+n .
×
→
×
Portanto toda aplica¸ca˜o bilinear ´e cont´ınua. Exemplos: multiplica¸c˜a o de n´ umeros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canˆ onico ( < x, y > = x 1 y1 + . . . + xn yn ); multiplica¸c˜ao de matrizes ( ϕ(A, B) = A.B ) IR , dadas por πi (x) = xi x = (x1 , x2 , . . . , xm) C) As proje¸co˜es πi : IRm ( i = 1, 2, . . . , m ), s˜ao lineares, logo lipschitzianas e portanto cont´ınuas.
→
∀
∈ IR
m
A cada aplica¸c˜ao f : X IRm IRn correspondem n fun¸c˜oes f 1 , f 2 , . . . , fn : X IR dadas por f i = π i f ( i = 1, . . . , n ), chamadas as FUNC ¸ ˜ OES COORDENADAS da aplica¸ca˜o f .
◦
⊂
→
→
Para todo x X temos f (x) = (f 1 (x), f 2 (x), . . . , fn (x)) .
∈
Escrevemos f = (f 1 , f 2, . . . , fn ). ao f : X IRm IRn ´e cont´ınua no ponto a X se, e soTeorema C.5. Uma aplica¸c˜ mente se, cada uma das suas fun¸c˜ oes coordenadas f i = π i f : X IR ´e cont´ınua no ponto a.
⊂
→
◦
∈
→
Corol´ario 1. Dadas f : X IRm e g : X IRn , seja h = (f, g) : X IRm IRn dada por h(x) = (f (x), g(x)) . Ent˜ ao h ´e cont´ınua se, e somente se, f e g s˜ ao ambas cont´ınuas.
→
→
→
×
Uma consequˆencia deste corol´ ario: se f, g : X IRm IRn e α : X IR s˜ ao cont´ınuas ent˜ a o s˜ao tamb´em cont´ınuas (f + g) : X IRn dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x) , (α.f ) : X IRn dada por (α.f )(x) = α(x).f (x) , < f, g > : X IR dada por < f, g > (x) = < f (x), g(x) >.
→
→
⊂
→
→
→
Obs.: Se, para obtermos f (x) (onde temos f : X IRm IRn e f = (f 1 , f 2 , . . . , fn ) ), para cada fun¸ca˜o coordenada aplicada em x ( f i (x) ) submetemos as coordenadas do ponto x = (x1, . . . , xm) a opera¸ c˜oes definidas por fun¸co˜es cont´ınuas, ent˜ao f ´e cont´ınua.
⊂
→
Exemplos: f (x, y) = ((sen x).y,x2 y3 , ex cos y) define uma fun¸c˜ao cont´ınua f : IR2 A fun¸c˜ao determinante det : M n (IR)
→ IR
´e cont´ınua.
3
→ IR .
ˆ AP ENDICE C
72
Compacidade: Nosso principal objetivo agora ser´ a mostrar que um subconjunto K IRn ´e compacto se, e somente se, K ´e limitado e fechado. Os resultados a seguir ficam indicados como exerc´ıcios e ir˜ao “preparar o terreno” para cumprirmos o objetivo acima.
⊂
Teorema C.6. Um subconjunto K IRn ´e limitado e fechado se, e somente se, toda sequˆencia (xk ) K possui uma subsequˆencia convergente para um ponto de K .
⊂
⊂
encia “decrescente” de conjuntos Teorema C.7. (Propriedade de Cantor) Dada uma sequˆ limitados, fechados e n` ao-vazios K 1
⊃ K ⊃ . . . ⊃ K ⊃ . . . , sua interse¸c˜ ao 2
i
(limitada e fechada) n˜ ao ´e vazia.
K =
∞
K i
i=1
Lema C.8. Todo conjunto X IRn ´e separ´ avel, isto ´e, possui um subconjunto enumer´ avel E = x1 , x2 , . . . , xl , . . . X, E denso em X .
{
}⊂
⊂
of) Seja X IRn um conjunto arbitr´ ario. Toda cobertura aberta Lema C.9. (Lindel¨ X Aλ admite uma subcobertura enumer´ avel.
⊂
⊂
Chegamos ent˜ ao ao resultado que nos interessa:
Teorema C.10. Um conjunto K IRn ´e compacto se, e somente se, K ´e limitado e fechado.
⊂
Demonstra¸ c˜ ao: ( ) J´ a feita no cap´ıtulo sobre espa¸ cos m´etricos.
⇒ (⇐)
Borel-Lebesgue:
Suponhamos que K seja limitado e fechado.
⊂
Seja K
Aλ uma cobertura aberta de K .
Pelo Lema de Lindel¨ of, ela admite uma subcobertura enumer´ avel
∞
⊂
K
Aλi = Aλ
1
i=1
Para cada i = 1, 2, 3, . . .
∈ IN
∪ A ∪ . . . λ2
ponha
K i = K
(X (Aλ
\
1
∪ . . . ∪ A
λi ))
O espa¸co IRn
71
B) Se ϕ : IRm IRn IR p ´e uma aplica¸c˜ao bilinear (linear em cada componente) ent˜ ao ϕ ´e lipschitziana em cada parte limitada de IRm IRn = IRm+n .
×
→
×
Portanto toda aplica¸ca˜o bilinear ´e cont´ınua. Exemplos: multiplica¸c˜a o de n´ umeros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canˆ onico ( < x, y > = x 1 y1 + . . . + xn yn ); multiplica¸c˜ao de matrizes ( ϕ(A, B) = A.B ) IR , dadas por πi (x) = xi x = (x1 , x2 , . . . , xm) C) As proje¸co˜es πi : IRm ( i = 1, 2, . . . , m ), s˜ao lineares, logo lipschitzianas e portanto cont´ınuas.
→
∀
∈ IR
m
A cada aplica¸c˜ao f : X IRm IRn correspondem n fun¸c˜oes f 1 , f 2 , . . . , fn : X IR dadas por f i = π i f ( i = 1, . . . , n ), chamadas as FUNC ¸ ˜ OES COORDENADAS da aplica¸ca˜o f .
◦
⊂
→
→
Para todo x X temos f (x) = (f 1 (x), f 2 (x), . . . , fn (x)) .
∈
Escrevemos f = (f 1 , f 2, . . . , fn ). ao f : X IRm IRn ´e cont´ınua no ponto a X se, e soTeorema C.5. Uma aplica¸c˜ mente se, cada uma das suas fun¸c˜ oes coordenadas f i = π i f : X IR ´e cont´ınua no ponto a.
⊂
→
◦
∈
→
Corol´ario 1. Dadas f : X IRm e g : X IRn , seja h = (f, g) : X IRm IRn dada por h(x) = (f (x), g(x)) . Ent˜ ao h ´e cont´ınua se, e somente se, f e g s˜ ao ambas cont´ınuas.
→
→
→
×
Uma consequˆencia deste corol´ ario: se f, g : X IRm IRn e α : X IR s˜ ao cont´ınuas ent˜ a o s˜ao tamb´em cont´ınuas (f + g) : X IRn dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x) , (α.f ) : X IRn dada por (α.f )(x) = α(x).f (x) , < f, g > : X IR dada por < f, g > (x) = < f (x), g(x) >.
→
→
⊂
→
→
→
Obs.: Se, para obtermos f (x) (onde temos f : X IRm IRn e f = (f 1 , f 2 , . . . , fn ) ), para cada fun¸ca˜o coordenada aplicada em x ( f i (x) ) submetemos as coordenadas do ponto x = (x1, . . . , xm) a opera¸ c˜oes definidas por fun¸co˜es cont´ınuas, ent˜ao f ´e cont´ınua.
⊂
→
Exemplos: f (x, y) = ((sen x).y,x2 y3 , ex cos y) define uma fun¸c˜ao cont´ınua f : IR2 A fun¸c˜ao determinante det : M n (IR)
→ IR
´e cont´ınua.
3
→ IR .
O espa¸co IRn
73
K i
⊂ K (limitado) ⇒ K ´e limitado. A ∪ . . . ∪ A ´e aberto ⇒ X \ (A ∪ . . . ∪ A i
λ1
λi
λ1
λi )
´e fechado. Como K ´e fechado, temos
ent˜ ao que K i ´e fechado.
Assim, para todo i IN, K i ´e limitado e fechado.
∈
Observemos agora que K K 1
⊃ ⊃ K ⊃ K ⊃ . . . ⊃ K ⊃ . . . 2
3
i
Dado x K , existe λi tal que x A λi (pois K
∈
∞
Logo
∈
∞
⊂
Aλi )
i=1
⇒ x ∈ K
i
K i = φ .
i=1
Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que K i = φ 0
Assim φ = K i = K 0
\
X (Aλ
1
∪ . . . ∪ A
λi0 )
⇒
K
⊂
(Aλ
∪ . . . ∪ A
1
λi0 )
Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita, ou melhor, K ´e compacto.
Conexidade por caminhos: Um CAMINHO num conjunto X num intervalo I IR.
n
⊂ IR
⊂
´e uma aplica¸ca˜o cont´ınua f : I
→ X definida
Dizemos que os pontos a, b X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X quando existe um caminho f : I X tal que a, b f (I )
∈ →
∈
Por exemplo, se X ´e convexo ent˜ ao cada dois pontos a, b X podem ser ligados por um caminho em X , a saber, o caminho retil´ıneo [a, b] = t.a + (1 t).b ; t [0, 1] .
∈ { − ∈ } podem ser ligados por um caminho f : I → X ent˜ ao existe um caminho
Se a, b X ϕ : [0, 1] X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.
∈ →
Um conjunto X IRn ´e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos a, b X podem ser ligados por um caminho em X .
∈
⊂
Por exemplo: todo conjunto convexo ´e conexo por caminhos.
ˆ AP ENDICE C
74
Teorema C.11. Todo conjunto conexo por caminhos ´e conexo. Prova: Exerc´ıcio. Obs.: Nem todo conjunto conexo ´e conexo por caminhos: Exemplo: X = (x, sen1/x) ; x (0, + ) por caminhos.
{
∈
2
∞ } ∪ {(0, 0)} ⊂ IR
´e conexo mas n˜ ao ´e conexo
Isto n˜ao ocorre se o conjunto em quest˜ ao for aberto:
Teorema C.12. Se A Prova: Exerc´ıcio.
n
⊂ IR
´e aberto e conexo ent˜ ao A ´e conexo por caminhos.
ˆ AP ENDICE C
74
Teorema C.11. Todo conjunto conexo por caminhos ´e conexo. Prova: Exerc´ıcio. Obs.: Nem todo conjunto conexo ´e conexo por caminhos: Exemplo: X = (x, sen1/x) ; x (0, + ) por caminhos.
{
∈
2
∞ } ∪ {(0, 0)} ⊂ IR
´e conexo mas n˜ ao ´e conexo
Isto n˜ao ocorre se o conjunto em quest˜ ao for aberto:
Teorema C.12. Se A Prova: Exerc´ıcio.
n
⊂ IR
´e aberto e conexo ent˜ ao A ´e conexo por caminhos.
