Intro a La Topologia de Espacios Metricos - Diaz Moreno

I

I TRODUCC ION a la TO'POLOG I R d·e los E [1 S METRIIJ S -

I

I

José Manuel Dí az Moreno

Seruicio de Publicaciones Uniuersidad de Cádiz

Díaz Moreno, José Manuel Introducción a la topología de los espacios métricos / José Manuel Díaz Moreno. -- Cádiz : Universidad, Servicio de Publicaciones, 1998. -- 200 p. ISBN 84-7786-514-0 l. Espacios métricos. 1. Universidad de Cádiz. Servicio de Publicaciones, ed. 11. Título. 515.124

Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz I.S.B.N.: 84-7786-514-0 Depósito Legal: CA-741/1998 Diseño Cubierta: CREASUR Imprime: Jiménez-Mena, s.1. Polígono Industrial Zona Franca. Cádiz

Printed in Spain

PRÓLOGO

Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M. Fréchet en 1906, y más tarde desarrollado por F. Hausdorff en su Mengenlehre. En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generalización de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarrollo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes. Actualmente, todas las obras de topología general dedican algún espacio al tratamiento de los espacios métricos, bien como caso particular de los espacios topológicos, bien como una manera natural de introducirlos. Sin embargo, la teoría de los espacios métricos es el fundamento indispensable para un estudio serio y riguroso del Análisis Matemático y puede presentarse en forma de una hermosa teoría acabada, muy asequible a la intuición geométrica y poco propensa a presentar fenómenos patológicos, muy al contrario de lo que ocurre con los espacios topológicos, raras veces al alcance de la intuición, llenos de sutilezas axiomáticas y de extraños fenómenos. Todo ello inclina a pensar que la teoría de espacios métricos merecería un estudio independiente; sin embargo, existe un sorprendente vacío de obras dedicadas al desarrollo independiente de la topología métrica. Este libro, que tiene su origen en los cursos que sobre la materia el autor explica en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cádiz, recoge los principales conocimientos que es necesario poseer para estar en condiciones de seguir posteriormente un curso de Análisis Funcional elemental. El autor espera además que el lector perciba y disfrute de la belleza matemática que los espacios métricos por sí mismos representan. Los prerrequisitos para asimilar el contenido de este libro son pocos; desde un punto de vista formal, los únicos conocimientos previos que se presuponen son: familiaridad y destreza con las nociones elementales de la teoría de conjuntos, incluyendo lo relativo al principio de inducción y las nociones básicas sobre numerabilidadj y, muy especialmente, el conocimiento del cuerpo de los números reales, particularmente en lo que se refiere al axioma del supremo y a los resultados básicos sobre valor absoluto y desigualdades. El capítulo Oestá dedicado a recordar las nociones que deberían conocerse antes de abordar el texto en sí. Finalmente, el último capítulo, requiere conocimientos elementales de álgebra lineal. Con tales requisitos, la experiencia demuestra que el material del presente libro puede adoptarse como texto para un curso semestral de topología métrica destinado a estudiantes de Matemáticas o disciplinas afines. Aunque sería deseable que el lector poseyera cierta madurez matemática lograda después de haber perdido la inocencia matemática, predomina en la obra la idea de introducir la estructura definición-teoremademostración, característica de la matemática contemporánea, tan suavemente como sea posiblej además cada concepto nuevo se acompaña de motivaciones intuitivas, en un lenguaje llano y ordinario (en ocasiones con el riesgo que ello conlleva) y se ha procurado siempre destacar la significación y grado de trascendencia de los resultados.

Al final de cada capítulo se ofrece una numerosa colección de problemas, pero se ha intentando no hacer uso de ellos como parte integral del desarrollo teórico; a 10 más se cita alguno en calidad de contraejemplo. Sin embargo, no se debe interpretar que puede prescindirse de ellos; por el contrario, los problemas evidencian las posibilidades de la teoría, le confieren una mayor significación y apuntan hacia ramificaciones interesantes. Algunos capítulos finalizan con un apéndice dedicado a los espacios de sucesiones y de funciones. Tales espacios métricos son complejos de analizar en un primer curso sobre topología métrica pero ofrecen contraejemplos no triviales sobre algunas cuestiones poco intuitivas. Es en este sentido, y sólo en este, por lo que se han añadido al texto. El capítulo 1 introduce casi todos los conceptos básicos de la topología métrica en la recta real. Esto ayudará al lector a situar el contenido del libro y le familiarizará con las nociones más habituales en un contexto más asequible que la teoría general. Todo el capítulo 2 sirve para que el lector comprenda que los axiomas que definen los espacios métricos (que desde el punto de vista estructuralista constituyen el inicio abstracto de la teoría) son el resultado de un largo proceso de abstracción y de trabajo científico sobre las nociones intuitivas de distancia. Junto a la base axiomática de los espacios métricos, los capítulos 3 y 4 tienen la tarea de introducir los elementos topológicos primigenios. En los capítulos, 5,6,7 se tratan clases especiales de espacios métricos que son de importancia particular en las aplicaciones del Análisis Matemático; se habla respectivamente de las propiedades de conexión, compacidad y completitud, tres conceptos fundamentales y que constituyen junto al estudio de las aplicaciones continuas entre espacios métricos (capítulo 8), el núcleo central. Exigen, pues, un estudio cuidadoso porque deriva en una serie de teoremas fundamentales que constituyen los resultados más notables de la teoría. Se finaliza, en el capítulo 9 con una introducción a los espacios normados en el que se ha tratado, fundamentalmente, de resaltar las especiales, y a veces sorprendentes, relaciones entre dos estructuras, la topológica y la algebraica, que, al menos en principio, aparecen como fuertemente independientes. Estoy en deuda con el doctor don Francisco Benítez Trujillo, quien leyó y corrigió el manuscrito, haciendo muchas sugerencias siempre valiosas y útiles.

ii

Índice General

o

1

Introducción

. . .

.....

Valor absoluto

.

1

0.2

Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo

5

0.3

Intervalos

8

~

. .

.

0.1

0.4 Sucesiones .

10

0.5

Conjuntos numerables

14

0.6

Problemas . . . . .

15

1 Topología usual de R

19

1.1

2

Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

19

1.2 Interior, exterior y frontera de un conjunto

23

1.3 Adherencia y acumulación de un conjunto

25

1.4

Conjuntos densos . . .

29

1.5

Conjuntos compactos.

30

1.6 Problemas . . .

34

Espacios métricos

39

2.1

Distancias . . .

..........

39

2.2

Espacios y subespacios métricos .

42

2.3

Distancias entre conjuntos

45

2.4 Problemas . . . . . . . . .

48

2.5

50

Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

3 Topología de los espacios métricos

53

3.1

Conjuntos abiertos

53

3.2

Conjuntos cerrados

58

3.3 Abiertos y cerrados en los subespacios

61

3.4 Distancias equivalentes .

64

3.5 Problemas . . . . . . . .

66

3.6 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

68 iii

4 Subconjuntos notables

71

4.1

Interior, exterior y frontera de un conjunto

71

4.2

Adherencia y acumulación de un conjunto

74

4.3 Subconjuntos densos

79

4.4 Problemas . . . . . .

80

4.5 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

84 81

5 Conjuntos conexos

5.1

Conjuntos separados

87

5.2

Conjuntos conexos

89

5.3 Componentes conexas

93

5.4

95

Conjuntos conexos en la recta real

5.5 Problemas . . . . . . 6

........

Conjuntos compactos

99

6.1

Conjuntos acotados y totalmente acotados .

99

6.2

Conjuntos totalmente acotados

103

6.3 Conjuntos compactos . . . . . .

106

6.4 Propiedad de Bolzano-Weierstrass

110

6.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . .

112

6.6 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

114

1 Sucesiones y espacios completos

iv

111

7.1

Sucesiones . .

117

7.2

Subsucesiones

122

7.3 Sucesiones de Cauchy

124

7.4 Espacios y subespacios completos

128

7.5

131

Algunos espacios completos importantes n

133

7.7 Problemas . . . . . . . . . .

137

7.8 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

140

Aplicaciones continuas

145

8.1

Continuidad local .

145

8.2

Continuidad global

152

8.3

Continuidad uniforme

158

7.6 Conjuntos compactos en R

8

96

8.4 Aplicaciones contractivas y teorema del punto fijo.

161

8.5 Homeomorfismos e isometrías

164

8.6 Problemas . . . . . . . . . . .

167

9

Espacios normados

172

..

9.1

Espacios normados

9.2

Topología de los espacios normados .

9.3

Normas equivalentes

..

172 175 179

9.4

Aplicaciones lineales continuas

182

9.5

Espacios normados de dimensión finita.

185

9.6 Problemas . . .

..

9.7 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones

191 193

BibliogratTa

197

índice de términos

199

v

o

Introducción

Este capítulo cero debe interpretarse como un breve recordatorio de algunas propiedades de los números reales estrechamente relacionadas con los axiomas de cuerpo y orden que los define. Hemos tenido la necesidad de reprimir tentaciones de desarrollar y ahondar en una variedad de cuestiones que conducen a resultados de gran trascendencia pero que están fuera de nuestras necesidades. Aunque se espera más bien que este capítulo sirva de soporte técnico al objeto principal de nuestro estudio, el lector debería poner un especial cuidado en comprender y dominar los conceptos y propiedades aquí expuestos porque serán usadas profusamente a lo largo de este libro.

0.1

Valor absoluto El hecho de que -a > O si a < O es la base de un concepto, el de valor absoluto, que va a desempeñar un papel sumamente importante en este curso. Definición 0.1.1 Para todo número a E IR definimos el valor absoluto lal de a como sigue:

lal = {

si si

a -a

a

~

O

a::; O

Tenemos, por ejemplo,

I - 31 11

= 3,

171

= 7, 101 = O,

+.J2 - V3/ = 1 +.J2 - V3,

y

11

+.J2 - v'lOl = v'lO - .J2 -

1.

En general, el método más directo de atacar un problema referente a valores absolutos requiere la consideración por separado de distintos casos. Por ejemplo, para demostrar que

la + bl ::; lal + Ibl deberían considerarse los cuatro casos posibles (i)

a~O

(ii) (iii)

a~O

a::;O (iv) a::;O

y y y y

b ~ O;

b::; O; b ~ O; b ::;

y

o.

Aunque esta manera de tratar valores absolutos es a veces el único método disponible, con frecuencia se pueden emplear métodos más sencillos. Nótese, por ejemplo, que lal es siempre positivo excepto cuando a = O y, 1

por tanto, es el mayor de los números a y -a; este hecho puede utilizarse para dar una definición alternativa,

lal = máx {a, -a}, que permite probar de forma muy simple algunos resultados básicos. Proposición 0.1.2 Para todo a E IR se tiene

-lal:5 a :5lal DEMOSTRACIÓN

Puesto que

o bien,

lal = máx {a, -a} se tiene que

-Ial :5 a; así que

lal ~ a y lal -Ial :5 a :5 la\.

~

-a,

•

Proposición 0.1.3 Para todo a, b E IR se verifica

-b

:5 a:5 b

si y sólo si

lal S b

DEMOSTRACIÓN

Se tiene que -b :5 a S b si y sólo si -b :5 y

a y a :5 bj es decir, si y sólo si

b ~ -a.

Por tanto, -b :5 a :5 b si y sólo si b ~ máx{a, -a}

= lal.

• Los resultados anteriores pueden usarse ahora para demostrar ciertos hechos muy importantes relativos a valores absolutos. Teorema 0.1.4 Para todo a, b E IR se verifica

la + bl Sial + Ibl DEMOSTRACIÓN

Puesto que se tiene, sumando,

-(Ial + lb!) :5 a + b :5 lal + Ibl y, por la proposición anterior,

la + bl :5 lal + Ibl

• 2

Teorema 0.1.5 Para todo a, bE lR se verifica

lal- Ibl $

Ilal- Ibll ::;

la - bl·

DEMOSTRACiÓN

La primera desigualdad es obvia. Veamos la segunda: se tiene

lal = la - b+ bl ::; por tanto, Así que

lal-Ibl ::; la -

la - bl

+ Ibl;

la - bl y, de forma análoga,

Ibl-Ial ::;

bl ~ máx{lal-lbl, -(¡al-lb!)}

lb - al

= lIal-lbll

= la - bl·

•

Cuando identificamos lR con la recta real de la manera habitual, el valor absoluto de un número lal puede interpretarse como la distancia desde el origen al punto a. Por ejemplo I ± 51 = 5 significa que los puntos 5 y -5 están a una distancia 5 del origen.

Más generalmente; el valor absoluto noS permite definir la distancia entre dos números reales cualesquiera, pero demoraremos esta cuestión hasta su momento adecuado. La idea fundamental en que se basan en última instancia la mayor parte de las desigualdades que involucran a valores absolutos es, por el elemental que pueda parecer, el hecho de que a2 ~ O para todo numero real a. En particular se tiene para cualesquiera números reales x e y (¿cómo se deduce esto?) (0.1) lo que permite probar la primera, sin duda, de las desigualdades importantes: la desigualdad de Schwarz. Teorema 0.1.6 (desigualdad de Schwarz)

Si

ai y bi son números reales para

todo i

= 1, ... , n,

entonces

DEMOSTRACiÓN

Si ai = O o bi = O para todo i = 1, ... , n, la desigualdad es evidente. Supongamos, pues, que existe algún a¡ #- O y algún b¡ #- O Y pongamos y

Sustituyendo ahora lail

x=p

e

Ib¡1

y=-

q

3

• en la desigualdad (0.1), se tiene (i::: 1, ... ,n)

de forma que

y, finalmente,

t; laill b./ n

(

$ pq:::

n

~ lail 2

) 1/2 (

t; Ib.1 n

2

) 1/2

• La desigualdad de Schwarz es la base para demostrar otro hecho que tendrá una muy importante consecuencia en el capitulo 2 (en su momento, el lector intuirá inmediatamente donde).

Teorema 0.1.1 (desigualdad de Minkowski)

Si

ai Y bi son números reales para todo i

::: 1, ... ,n, entonces

DEMOSTRACIÓN

Puesto que n

n

E lai + b;1 $ E lail 2

;=1

;=1

2

n

n

;=1

i=1

+ 2 E la;b;1 + L Ibil2

se tiene, por la desigualdad de Schwarz,

y. por tanto,

• 4

0.2

Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo Definición 0.2.1 Se dice que un conjunto no vacío A

e

IR. está

1. acotado superiormente si existe un número x E lR tal que

a

~

x

para todo

a E A.

Tal número x se llama una cota superior de A. 2. acotado inferiormente si existe un número x E lR tal que ~

x

a

para todo

a E A.

Tal número x se llama una cota inferior de A. 9. acotado si está acotado superior e inferiormente. Obsérvese que si x es una cota superior de A, entonces y > x es también una cota superior de A¡ por tanto, un conjunto acotado superiormente tiene, de hecho, una infinidad de cotas superiores. Del mismo modo, un conjunto acotado inferiormente tiene una infinidad de cotas inferiores. EJEMPLO 0.2.1

1. El conjunto

A

=::

{x E IR.: O ~ x

< 1}

es un conjunto acotado. Para demostrar que A está acotado basta con exhibir alguna cota superior y alguna cota inferior de A, lo cual es bastante fácil: por ejemplo, 138 es una cota superior de A, e igualmente lo son 2, 3/2, 5/4 Y 1; por otra parte, cualquier número real negativo es una cota inferior y también lo es O. Evidentemente, 1 es la cota superior mínima de A y O es la cota inferior máxima. 2. Sean a y b dos números reales tales que a < b. Los intervalos siguientes son todos acotados, siendo a una cota inferior y b una cota superior.

< x < b} (b) {x E IR : a < x ~ b} (c) {x E IR : a ~ x < b} (a) {x E IR. : a

(d) {x E lR: a

~

x

~

b}

3. Para cada a E IR. los intervalos siguientes son conjuntos no acotados

(a) {xEIR:x
> a}

{xElR:x~a}

(d) {x E IR.: x ~ a}

4. El conjunto IR. de números reales y los números naturales N son ejemplos de conjuntos que no están acotados superiormente.

• Sea A e IR un conjunto no vacío y acotado y supongamos que existe una cota superior mínima x; es decir, si z es otra cota superior, entonces 5

x es menor o igual que z. Es evidente que si x .e y son ambos cotas superiores mínimas de A, entonces x ~ y e y ~ x (¿por qué?) y, por tanto, x = y, de forma que no puede haber dos cotas superiores mínimas distintas. Análogamente, si existe una cota inferior máxima de A, esta debe ser única. Son estas consideraciones las que motivan las definiciones siguientes.

Definición 0.2.2 Dado un conjunto no vacío A

e

IR,

1. Se dice que un número x E lR es el supremo de A y se escribe x = sup A si verifica (a) x es una cota superior de A; y ~

(b) si y es una cota superior de A, entonces x

y.

2. Se dice que un número x E lR es el ínfimo de A y se escribe x si verifica

= inf A

(a) x es una cota inferior de A; y (b) si y es una cota inferior de A, entonces y

~

x.

Nótese que si existe un x E A tal que a ~ x para ~odo a E A, entonces x es el supremo de A y, análogamente, si x ~ a para todo a E A, x es el ínfimo de A. En general, cuando el sup A E A se le suele llamar máximo y se escribe máx A y, de forma análoga, cuando inf A E A se le suele llamar mínimo y se escribe mín A. EJEMPLO 0.2.2

1. Sean a y b dos números reales tales que a < b y A={xElR:a
se tiene entonces inf A

=a

y

sup A

= b.

En efecto, a es, evidentemente, una cota inferior de A. Veamos que si c > a entonces no es cota inferior: si c > b > a, la cuestión es evidente y si a < c < b, se tiene que x = (a+ c)/2 verifica a < x < c y x E A, así que c no es cota inferior de A. Por tanto a = inf A. De forma análoga se demuestra que b = sup A. 2. Si a, b, x E IR con a A

< by

= {x: a < x ~ b},

B

se tiene inf A y

supA

= {x: a ~ x < b},

C

= {x : a ~ x ~ b}

= inf B = inf C = a = supB = supC = b.

• Hemos omitido hasta aquí un detalle: la cuestión de cuáles son los conjuntos que tienen ínfimo o supremo. Consideremos el problema del supremo (las cuestiones relativas al ínfimo se resuelven con facilidad por analogía). Es evidente que si A no está acotado superiormente, entonces A no tiene 6

ninguna cota superior, de modo que no puede tener supremo. Recíprocamente, se tiene la tentación de afirmar que siempre que A tiene alguna cota superior, tiene supremo. Aunque no daremos una demostración formal aquí, nuestra intuición es correcta y el aserto es verdadero, y por cierto muy importante; tan importante que vale la pena enunciarlo con detalle. Teorema 0.2.3

e lR es un conjunto no vacío y acotado superiormente, entonces tiene supremo.

1. Si A

e lR es un conjunto no vacío y acotado injeriormente entonces tiene ínfimo.

2. Si A

Aunque los conjuntos no acotados superiormente no tienen supremo y, por tanto, la notación sup A carece de sentido, a veces, por conveniencia, escribiremos sup A = oo. De forma análoga, para el ínfimo pondremos inf A = -oo. Es posible que esta propiedad, cuya demostración omitimos, llame la atención del lector por su falta de originalidad, pero esta es, precisamente, una de sus virtudes. La propiedad del supremo no es, en realidad, tan inocente como parece; después de todo no se cumple para los números racionales Q (véase el problema 12). De hecho, la propiedad del supremo caracteriza, en cierto modo, a los números reales. EJEMPLO

0.2.3

Dado

A se tiene inf A

= {l/n : n E N}

= O.

En efecto, puesto que O < n para todo n E N, se tiene O < l/n, así que O es una cota inferior de A y, por tanto, A tiene ínfimo.

=

Pongamos a inf A, con a ~ O; entonces se verifica que a todo n E N. En particular, también será

~

l/n para

1

a<- 2n y, por tanto, 2a ~ l/n así que 2a es también una cota inferior y debe verificar 2a ~ a, de donde a ~ O. Luego, a = O. Nótese que esto significa que para todo e > O existe un número natural n con l/n < e, un hecho que será utilizado frecuentemente en este curso.

•

Al comienzo de este capítulo se ofreció el conjunto N de los números naturales como ejemplo de conjunto no acotado. Ahora vamos a demostrar que N es no acotado. El lector puede quedar sorprendido de encontrarse con un teorema tan evidente. Si esto es así, quizá la causa sea el que se haya dejado influir demasiado fuertemente por la imagen geométrica de lR. Sin embargo, un raciocinio basado sobre una imagen geométrica no constituye una demostración. La propiedad de que N no es acotado recibe el nombre de propiedad arquimediana de los números reales porque se deduce de un axioma de la geometría que se suele atribuir (no con absoluta justicia) a Arquímides. 7

Teorema 0.2.4 N no está acotado superiormente. DEMOSTRACIÓN

Supongamos que N estuviese acotado superiormente. Puesto que N :f 0, existiría una cota superior mínima cr para N. Entonces cr ~ n

n E N.

para todo

En consecuencia, cr

puesto que n

~

+ 1 está en

n

+1

para todo

n E N,

N si n está en N. Pero esto significa que

cr - 1 ~ n

para todo

n E N,

así que cr - 1 es también una cota superior de N, en contradicción con el hecho de que cr es la cota superior mínima.

• El que lR sea arquimediano es la base de un resultado extraordinariamente poderoso que enunciamos aquí porque haremos uso de ella frecuentemente. Teorema 0.2.5 Si X,lI son números reales tales que x < y, entonces existe un número racional r tal que x < r < y 11 un número irracional p tal que x < p < Y.

Entre otras consecuencias, el resultado anterior significa que en cada intervalo abierto (a, b) hay, al menos, un número racional. Esta propiedad es tan importante, que recibe un nombre específico: decimos que 10 es denso en lR, un concepto que proviene de la topología y que será precisado en su momento.

0.3

Intervalos Hay nueve tipos de subconjuntos de lR llamados interoalos que tienen un papel relevante en el análisis de las funciones reales y conviene, por tanto, familiarizarse con ellos. Los cuatro primeros son conjuntos acotados y pueden visualizarse como segmentos de la recta real (figura 0.1 (a». Sean a y b dos números reales tales que a < b. Se llama interoalo abierto de extremos a y b Yse designa por (a, b) al conjunto de los números reales estrictamente comprendidos entre a y b: (a,b)

= {x E lR: a < x < b}

Los interoalos semiabiertos (o semicerrados) de extremos a y b se definen de la forma (a,b] = {x E lR: a < x ~ b} 8

y

[a, b)

= {x E lR : a ~ x < b}

Se llama intervalo cerrado de extremos a y b Y se designa por [a, b] al conjunto de números reales [a,b] = {x E IR.: a::; x::; b}. Además, para cada a E IR. hay cuatro semirrectas (-oo,a) = {x E IR.: x < a} (a,oo)={xEIR.:x>a}

(-00, a] = {x E IR.: x::; a} [a, (0) = {x E IR. : x ~ a}

representadas gráficamente en la figura 0.1 (b). Finalmente, (figura 0.1 (c)) IR. en sí mismo puede ser entendido como el intervalo (extendido indefinidamente en ambas direcciones)

(-00,00) = IR

Fi ura 0.1: Intervalos (a)

•

o

•

El

o

El

•

•

(a,b] [a,b) (a, b) [a,b]

I

I

a

b

(b)

• •

El

•

(a, (0) o [a, (0)

•

(-00, a) (-oo,a]

.

I

a

(c)

•

I

O

Todos los intervalos se caracterizan por una propiedad simple llamada propiedad de convexidad. Teorema 0.3.1 Sea A e IR. un conjunto no vacío. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es un intervalo. 2. Para todo x, y E A, el interoalo [x, y] está contenido en A.

9

DEMOSTRACIÓN

Que (1) implica (2) es evidente. Para ver el recíproco ponemos a == inf A

y

b == sup A

(Nótese que permitimos que a y b puedan ser, respectivamente, +00 si A no está acotado inferior o superiormente).

-00

o

Entonces, para cada z E (a, b), existen x, y E A tal que x < z < y (¿por qué?) y, como por hipótesis, [x,y] e A se tiene (a,b) e A. Puesto que a == inf A y b == sup A, A es uno de los intervalos con extremos a y b.

• 0.4

Sucesiones El concepto de sucesión es tan natural que incluso aparentemente se puede prescindir de una definición formal. No es dificil, sin embargo, formular una definición rigurosa; lo importante acerca de una sucesión es que para todo número natural n existe un número real a n y es precisamente esta idea lo que se formaliza en la definición siguiente. Definición 0.4.1 Una sucesión de números reales es una aplicación a:N-+lR

Desde el punto de vista de la definici6n, los valores particulares de la sucesión a deberían designarse mediante a(I), a(2), a(3),

pero la notación con subíndices

es la que se usa casi siempre; la sucesión misma se suele designar como (On)' Cuando el rango de una sucesi6n o es un conjunto acotado superiormente (inferiormente), es decir, existe un número M tal que a n ~ M (a n ~ M) para todo n, decimos que a es una sucesión acotada superiormente (interiormente). Una sucesi6n acotada inferiormente, pero no superiormente es la sucesión (on) definida por mientras que las sucesiones (b n ) y (en) definidas por en

1

== -

n

son acotadas superior e inferiormente. Una representaci6n muy conveniente de una sucesi6n se obtiene marcando los puntos a}, 02, 03, .. ' sobre una recta como en la figura 0.2. Este tipo de gráfica indica hacia donde va la sucesi6n. La sucesi6n (a n ) va hacia el infinito, la sucesión (b n ) salta entre -1 y 1, Y la sucesión (en) 10

Fi

o

ra 0.2: Sucesiones

al

o C4

o

•• •

C2

CI

converge hacia O. De las tres frases resaltadas, la última constituye el concepto crucial asociado con las sucesiones, y será definido con precisión (la definición se ilustra en la figura 0.3). Definici6n 0.4.2 Una sucesión (a n ) converge hacia 1,

lím an

n->oo

si para todo

~

= 1,

> O existe un número natural no tal que

lan -11 < ~

siempre que n > no

Además de la terminología introducida en esta definición,' decimos a veces que la sucesión (a n ) tiende hacia 1 o que tiene el límite l. Se dice que una sucesión (a n ) converge si converge hacia 1 para algún l. Para demostrar que la sucesión (c n ) converge hacia O, basta observar lo siguiente. Si ~ > O, existe un número natural no tal que 1

-

<~.

1 n

1 no

no

Entonces, si n > no tenemos

-
ICn - 01 <~. Sin embargo, es generalmente muy difícil determinar el límite de una sucesión, (o probar que cierto número real lo es) partiendo únicamente

Figura 0.3: Límite de una sucesión

ano +4 1;

l-é

• .. l'

a no+3 1

"...

ano+1

... a no+2

• '1

1+ é

11

de la definición; por eso es importante, disponer de algunos criterios que garanticen la convergencia de sucesiones. El primer criterio, muy fácil de demostrar, pero que constituye la base para todos los demás resultados, se expresa en términos de crecimiento. Diremos que una sucesión (a n ) es creciente cuando a n+! > a n para todo n; y no decreciente si an+I ~ a n para todo n; existen definiciones análogas para sucesiones decrecientes y no crecientes. Teorema 0.4.3 Si (a n ) es una sucesión no decreciente y acotada superiormente, entonces (a n ) converge. DEMOSTRACIÓN

Puesto que (a n ) es acotada superiormente, pongamos a = sup{an : n E N}; y veamos que lím n --+ oo a n

= a.

En efecto, puesto que a es el supremo del conjunto {a n : n E N}, si existe algún ano que satisface

Entonces, si n

> no tenemos que a n a - an

~

~ ano'

é

> O,

de modo que

a - ano < é.

Esto demuestra que lím n --+ oo = a.

•

Un enunciado análogo se tiene si (a n ) es no creciente y acotada inferiormente. La hipótesis de que (a n ) está acotada superiormente es claramente esencial en el teorema anterior; si (a n ) no está acotada superiormente, entonces (tanto si es no decreciente como si no lo es) diverge. Con esta consideración podría parecer que no debería existir dificultad alguna en decidir si una sucesión no decreciente está o no acotada superiormente, y en consecuencia si converge o no. De momento puede el lector intentar decidir si la siguiente (evidentemente creciente) sucesión está o no acotada superiormente:

11111 1 1,1+ 2,1 + 2 + 3,1 + 2 + 3 + 4"" Aunque el teorema 0.4.3 trata solamente un caso muy particular de sucesiones, resulta más útil de lo que a primera vista pueda parecer, puesto que es siempre posible extraer de cualquier sucesión (a n ) otra sucesión que es, o bien no creciente, o bien no decreciente. Hablando sin precisión, definamos una subsucesión de una sucesión (a n ) como una sucesión de la forma donde los

12

ni

son números naturales con

Entonces toda sucesión contiene una subsucesión que es o bien no decreciente o bien no creciente (problema 22) Proposición 0.4.4 Cualquier sucesión (a n ) contiene una subsucesión que es o bien no decreciente o bien no creciente. Este hecho, de por sí ya relevante, es además el núcleo de un resultado aparentemente sorprendente, pero de inmediata comprobación. Teorema 0.4.5 (de Bolzano- Weierstrass).

Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Hasta aquí es donde podemos llegar sin suposiciones adicionales: es fácil construir sucesiones que tengan muchas, incluso infinitas, subsucesiones que converjan hacia números distintos (véase el problema 21). Existe otra suposición razonable que, al añadirla, ofrece una condición necesaria y suficiente para la convergencia de cualquier sucesión; una condición que, además de simplificar muchas demostraciones (sólo por esta razón ya vale la pena que la establezcamos) desempeña un papel fundamental en el análisis. Si una sucesión converge, de modo que sus términos eventualmente se aproximan todos a un mismo número, entonces la diferencia entre dos cualesquiera de tales términos debe ser muy pequeña. Para ser precisos, si lím n ..... oo = l para algún valor l, entonces, por definición, para cualquier f > O, existe no tal que la n -11 < f/2 para n > no; ahora bien, si es a la vez n > no y m > no, entonces

Esta desigualdad final,

la n

-

ami <

f,

que elimina la mención al límite

1, puede utilizarse para formular una condición (la condición de Cauchy)

que es claramente necesaria para la convergencia de una sucesión. Definición 0.4.6 Una sucesión (a n ) es una sucesión de Cauchy si para todo f > O existe un número natural no tal que la n

-

am I <

f,

siempre que n, m > no

La elegancia de la condición de Cauchy está en que es también suficiente para asegurar la convergencia de una sucesión. Después de todo nuestro trabajo preliminar, queda poco por hacer para terminar la demostración. Hemos visto ya que (a n ) es una sucesión de Cauchy si converge. La idea fundamental para ver el recíproco consiste en probar que toda sucesión de Cauchy está acotada y que, por tanto, posee una subsucesión convergente para, finalmente, demostrar que si una sucesión de Cauchy (a n ) tiene una subsucesión convergente entonces (a n ) también converge (problema 23). Teorema 0.4.7 Una sucesión (a n ) converge si y sólo si es una sucesión de Cauchy.

13

0.5

Conjuntos numerables La noción de conjunto numerable es, es realidad, muy natural. Se trata de extender a infinito la posibilidad de contar. La definición matemática adecuada es la siguiente. Definición 0.5.1 Un conjunto A es numerable si existe una aplicación sobreyectiva

Inmediatamente se aprecia que la definición anterior lleva implícita una interpretación ligeramente diferente pero extremadamente importante: el conjunto A es numerable si es posible disponer sus elementos en una sucesión El primer ejemplo inmediato de conjunto numerable es lógicamente N; evidentemente también es numerable cualquier conjunto finito o el conjunto de los números pares. Algo más sorprendente es comprobar que Z es también numerable, pero ver es creer O, -1, 1, -2,2, ... Los resultados siguientes muestran que hay muchos más conjuntos numerables de lo que se pueda suponer. Teorema 0.5.2 1. Cualquier subconjunto de un conjunto numerable es numerable. 2. La unión de dos conjuntos numerables es numerable.

La demostración de estas propiedades es sencilla y se deja al lector. (La primera es inmediata, para la segunda aplíquese el mismo artificio que dio resultado para Z). El conjunto de los números racionales positivos es también numerable; para demostrarlo, basta utilizar la siguiente descripción 1

--t

¿ 2

.¡. /' 3

1

2 2

'2 3

2

1

/'

¿

3 ~

--t

¿

1

¡

2

3

¡

ª-3

¡

3

1

5 2

5 3

5

Naturalmente, de forma similar, el conjunto de los números racionales negativos también es numerable y, por tanto, deducir que Q es numerable (esto es sí que es verdaderamente sorprendente) es ahora una trivialidad. Puesto que existen tantos conjuntos numerables, es importante observar que, por ejemplo, el conjunto de los números reales comprendidos entre O y 1 no es numerable (problema 25). En otras palabras, no es posible disponer todos estos números reales según una sucesión

14

0.6

Problemas 1. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes utilizando como mínimo una vez menos el signo de valor absoluto.

1-12 + -13 - v'5 + v'71· (b) 1(la + bl- lal -lbDI· (c) 1(la + bl + lel -la + b + eDI· (d) Ix 2 - 2xy + y2 1. (e) 1(1-12 + -131 - 1v'5 - v'7DI· (a)

2. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes prescindiendo de los signos de valor absoluto, tratando por separado distintos casos cuando sea necesario. (a) (b)

(c) (d)

la + bl - Ibl· 1(Ixl - 1)\. Ixl - Ix 2 1· a - I(a - laDI·

3. Encontrar todos los números x para los que se cumple (a) (b) (c) (d)

(e)

(f) (g) (h)

4.

Ix - 31 = 8. Ix - 31 < 8. Ix +41 < 2. Ix - 11 + Ix - 21 > 1. Ix - 11 + Ix + 11 < 2. Ix - 11 + Ix + 11 < 1. Ix - 111x + 11 = O. Ix - 111x + 21 = 3.

(a) Dar una nueva demostración la + bl :::; lal + Ibl mediante un análisis exhaustivo de todos los casos posibles. ¿Cuándo se verifica la + bl = lal + Ibl y cuándo la + bl < lal + Ibl?· (b) Dése otra demostración más corta partiendo del hecho de que

..¡;;2 = lal (¡ojo! no a). 5. Demostrar lo siguiente:

(a) Ixyl = Ixllyl· (b)

I~ I

(c)

: 1 = I~I,

(d) (e)

=

I~I' si x # o. si y

# O.

Ix - yl :::; Ixl + Iyl. (Dése un demostración muy corta). Ix + y + zl :::; Ixl + Iyl + Izl· (Indíquese cuándo se cumple

la

igualdad). 15

6. Demostrar que m áx {x,y }

= x + y +2 Iy - xl

mín{x,y} =

x +y -Iy - xl 2

7. Demostrar que si

IX -

E

xol < 2"

y

Iy -

E

Yol < -2

entonces I(x

+ y)

I(x -

+ Yo)1 < E, y) - (xo - Yo)1 < E. - (xo

El enunciado de este problema encierra algunos números extraños, pero su mensaje básico es muy sencillo: si x está suficientemente cerca de Xo e y está suficientemente cerca de Yo, entonces x+y está cerca de Xo + Yo, Y x - y está cerca de Xo - Yo.

8. Hallar la cota superior mínima y la cota inferior máxima (si existen) de los siguientes conjuntos. Decidir también qué conjuntos tienen elemento máximo o elemento mínimo.

(a)

{~: n EN}

(b)

{~: n E Z, n ¡é O}

(c) {x: x

=O

o

x

= l/n,n E N}

(d) {x E Q : O ~ x ~ vÍ2}

+ x + 1 ~ O} + x - 1 < O} < O y x2 + x -

(e) {x: x 2

(f) {x: x (g) {x: x

(h)

2

1 < O}

{~+(-l)n:nEN}

9. Sea A e IR un conjunto no vacío. Probar que A es acotado si y s6lo si existe un número real positivo K tal que Ixl ~ K para todo xE A. 10. Supongamos que A y B son dos conjuntos no vacíos de números reales tales que x ~ y para todos x E A, Y E B. (a) Demostrar que supA

~

y para todo y E B.

(b) Demostrar que sup A

~

inf B.

11. Sean A e B conjuntos no vacíos y acotados superior e inferiormente de números reales. Probar que inf(B)

~

inf(A)

~

sup(A)

~

sup(B)

12. Probar que en el conjunto Q de los números racionales, el conjunto A={aEQ:a>O,a2 <2} es no vacío y está acotado superiormente, pero no tiene supremo.

16

13. Use la propiedad arquimediana para demostrar de otra forma que para todo e > O existe un número natural n con l/n < e. 14. Sea A e IR no vacío y acotado superiormente, y sea e un número real. Demostrar que e :S sup(A), si y sólo si para cada e > O real, existe x E A tal que e - e < x. 15. Probar que si A es acotado y para todo x, y E A, el intervalo [x, y] está contenido en A, entonces (a,b)

e

A

e

[a,b]

= inf A y b = sup A.

con a

Este problema puede ayudar a comprender la demostración del teorema 0.3.1. 16. Probar que un conjunto A es acotado si y sólo si existe un intervalo (a, b) que lo contiene. 17.

(a) Demostrar que si 1 y J son intervalos en IR tales que JnJ:f. 0, entonces J U J es un intervalo. (b) Si 1 Y J son intervalos tales que J U J es un intervalo, entonces J n J:f. 0. ¿Verdadero o falso? (explíquese). ¿ y si son intervalos abiertos? ¿Y si son intervalos cerrados?

18. Hallar

n[n,+oo) 00

(a)

n=l 00

(b) n<-I/n,l/n) n=l

19. ¿Verdadero o falso? (explíquese en cada caso) 00

(a)

U [O, 1 -

l/n] = [0,1]

n=l

n 00

(b)

(a - l/n, b + l/n)

= [a, b]

n=l

20. Sea S una familia de intervalos tales que para cada par de intervalos J, J de S, existe K E S tal que J U J e K. Probar que la unión de todos los intervalos de S, es un intervalo. 21.

(a) Hallar todas las sucesiones convergentes de la sucesión 1, -1, 1, -1, 1, -1, .. ,

(Existen infinidad de ellas, pero s610 hay dos limites que estas subsucesiones pueden tener). (b) Hallar todas las subsucesiones convergentes de la sucesión 1, 2, 1, 2,-3, 1, 2, 3, 4, 1,2,3,4,5, ... (c) Considérese la sucesión 1 1 2 1 231 2 3 4 1

2' 3' 3' 4' 4' 4' 5' 5' 5' 5' 6' ... ¿Para qué números a existe una subsucesi6n que converge haa ?..

. Cla

17

22. Probar que cualquier sucesión contiene una subsucesión que es o bien no decreciente o bien no creciente.

(Es muy posible confundirse al tratar de demostrar esta afirmación, si bien la demostración es muy corta cuando se acierta con la idea adecuada). 23.

(a) Demostrar que si una subsucesión de una sucesión de Cauchy converge, entonces también converge la sucesión original. (b) Demostrar que cualquier subsucesión de una sucesión convergente es convergente.

24. Probar que si Al, A z , A 3 , ••• son todos numerables, entonces

es también numerable.

(Utilizar el mismo artificio que para Q) 25. Probar que el conjunto de los números reales comprendidos entre O y 1 no es numerable.

(Utilícese un desaNYJllo decimal y reducción al absurdo)

18

1

Topología usual de R

En este capítulo construiremos sobre IR una estructura topológica que, fundamentalmente, se basa en la idea de proximidad; una idea que subyace en los conceptos habituales del análisis. Las propiedades topológicas nacen, al menos en principio, para dar una forma precisa a tales conceptos.

1.1

Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados Desde el punto de vista del análisis, los subconjuntos más importantes de IR son, sin duda, los intervalos. Sin embargo, entre ellos hay ciertas diferencias, algunas importantes y otras no (dependiendo, en parte, del contexto). Por ejemplo, la diferencia entre (O, 1) Y (0,5) es únicamente de escala; las . desigualdades que los definen son las mismas. Por otra parte, los intervalos (0,1) Y (O, +00) son de tipos diferentes: uno está acotado y el otro no; incluso así, aún presentan ciertas semejanzas -de hecho, es posible trons/ormar el primero en el segundo-o En contraste, los intervalos l = (0,1) Y J = [0,1] tienen propiedades muy diferentes; el punto crucial es el hecho de que los puntos extremos y 1 pueden ser aproximados tanto como se quiero mediante puntos de l, pero ellos mismos no son puntos de l. Más precisamente, a pesar de que y 1 no son puntos de l, son límite de sucesiones convergentes cuyos términos sí están en l. Por el contrario, si una sucesión convergente tiene sus términos en J entonces su límite también debe estar en J.

°

°

Esta importante propiedad caracteriza no solamente a los intervalos sino también a otra clase mucho más amplia de subconjuntos de R Pero precisar esta idea necesita de ciertas definiciones previas. Definición 1.1.1 Dado un número real x, se llama entorno de x de rodio > al conjunto

r

°

E(x; r)

= {y : Ix - yl < r} = (x -

r, x

+ r)

En lo que sigue, cuando no sea necesario especificar el radio del entorno, designaremos cualquier entorno de x mediante E(x) y llamaremos entorno reducido del punto x al conjunto

E*(x) = E(x) \ {x}. Así pues, un entorno reducido de x es un entorno de x del que se ha suprimido el punto x. Es evidente que la intersección de un número finito de entornos de x es también un entorno de x: la intersección

E(x; r¡) n E(x; r2) n ... n E(x; r n )

19

es el entorno E(x; r) donde r :::: mín {r¡, r2,"" r n }; es importante observar, sin embargo, que esto no ocurre, en general, para un número infinito de entornos (¿puede el lector encontrar un contraejemplo?). También está claro que si x e y son dos números reales distintos, existen un entorno de x y otro de y disjuntos: basta considerar los entornos E(x;r) y E(y;r) con r:::: Ix - yl/2. Sea ahora x un punto cualquiera del intervalo (a,b); si tomamos r :::: mín {Ix -

al, Ix -

bl},

entonces se tiene E(x,r):::: (x - r,x

+ r) e

(a,b);

en otras palabras, no sólamente x está en (a, b), sino que -informalmentetodos los puntos cercanos a x están en (a, b); nótese que esto no pasa, por ejemplo, para algunos puntos de [a, b]. Precisemos esta idea.

Definición 1.1.2 Un conjunto A e lR es un conjunto abierto si para cada x E A existe un entorno E(x) contenido en A. EJEMPLO 1.1.1

1. Los intervalos (a, b), (-00, a) y (a, 00) son evidentemente conjuntos

abiertos. En particular, todo entorno es un conjunto abierto. 2. Un intervalo cerrado [a, b] no es un conjunto abierto pues, por ejemplo, todo entorno de a contiene puntos que no están en [a, b]. (¿cuáles?). 3. Ningún conjunto no vacío finito o numerable es abierto, pues todo abierto contiene intervalos abiertos que son infinitos no numerables. En particular, Z, Q y cualquier sucesión (a n ) de números reales no son conjuntos abiertos.

• En el resultado siguiente se expresan las primeras propiedades de los conjuntos abiertos.

Teorema 1.1.3 Se verifican las siguientes propiedades: 1. 0 Y lR son abiertos. 2. La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto

abierto. 3. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

DEMOSTRACiÓN

Si x E IR, cualquier entorno E(x) está contenido en lR; por tanto IR es abierto. Por otra parte, 0 es, trivialmente, abierto (¿para qué punto no existe un entorno contenido en él?). Veamos 2 y 3. 20

\

Sea A la unión de una colección arbitraria {A;}¡EI de conjuntos abiertos y sea x E A. Existirá. un i tal que x E A¡ Y como A¡ es abierto, existirá. un entorno E(x} contenido en A¡. Entonces E(x} e A y A es abierto. Sea B la intersección de una colección finita B I , B 2 , • •• B n de conjuntos abiertos y sea x E B. Entonces x E B¡ para i = 1,2, ... , n y como cada Bi es abierto existirán n entornos E¡(x} e B i . La intersección de los Ei(X} es un entorno de x contenido en B y B es, pues, un conjunto abierto.

•

Sin embargo, la intersección de una colección no finita de conjuntos abiertos puede no ser un conjunto abierto como prueba el siguiente ejemplo. EJEMPLO 1.1.2

1. Para cada n E NseaA n = (-I/n,l/n). La intersección de todos los abiertos A n es el conjunto {O} que no es abierto pues todo entorno de O contiene puntos distintos de O.

2. Más generalmente, sea A n = (a-l/n, b+l/n). Si x E [a, b] entonces x E A n para todo n, y x pertenece a la intersección de todos los A n ; por otra parte, si x It [a, b], existe n suficientemente grande tal que x E A n y, por tanto, x no pertenece a la intersección de todos los A n . Resumiendo

nA 00

n

= [a,b]

n=!

que no es un conjunto abierto.

• A la familia T formada por todos los conjuntos abiertos de IR le llamaremos topología usual de Jll Por simplicidad, en lo que resta de capítulo, cuando hablemos de IR lo supondremos siempre dotado de la topología

T. Como cabría esperar, la relación entre los conjuntos abiertos y los intervalos abiertos es muy estrecha. El resultado siguiente, de importantes consecuencias, pone de manifiesto la estructura interna de los conjuntos abiertos. su estructura intrínseca. Teorema 1.1.4 Un conjunto no vacío A e IR es abierto si y sólo si es

unión de una colección numerable de intervalos abiertos disjuntos. DEMOSTRACIÓN

Como A es abierto, para cada x E A existe un intervalo (y, z) que contiene a x y está contenido en A. Sean a = inf{y E IR: (y,x)

e

A}

y

b = sup{z E IR: (x,z)

(obsérvese que permitimos que muy bien pudiera ser a Entonces a < x contiene a x.

< b y,

e

A}

= -00 o b = 00).

por tanto, 1., = (a, b) es un intervalo abierto que

21

Veamos que además, I z e A. En efecto, si t E I z , o bien es a < t < x, en cuyo caso existe un y < t tal que (y, x) e A, o es x < t < b, en cuyo caso existe un z > t tal que (x, z) e A, luego en todo caso t E A. Por otra parte, a rt A pues, en caso contrario, por ser A abierto, existiría r > Otal que el intervalo (a-r, a) estaría contenido en A y esto contradice la definición de a. Análogamente se prueba que b rt A. Consideramos la colección de intervalos abiertos {Ix : x E A}. Como cada x E A está contenido en Ix Y todo Ix está contenido en A, se tiene

y, por tanto A es uni6n de intervalos abiertos.

Por otra parte, si dos de los intervalos (a, b) Y (e, d) de esta colección tienen un punto común, deben ser e < b y a < d. Como e no está en A, tampoco está en (a, b) Y es e :$ a y como a no está en A tampoco está en (e, d) y es a :$ e. Por tanto a = c. De manera análoga se prueba que b = d. Por consiguiente, dos intervalos distintos de la colecci6n {Iz } son disjuntos y A es uni6n de intervalos disjuntos. Finalmente, como cada uno de los intervalos abiertos Ix contiene un número raciona, puede definirse una aplicación biyectiva entre la colección {Iz} y un subconjunto de números racionales que, naturalmente, es numerable, luego la colección {/z} es numerable. El recíproco es evidente, puesto que los intervalos abiertos son conjuntos abiertos y la unión de abiertos es un conjunto abierto.

• Consideremos ahora otros subconjuntos de IR que, en cierto sentido, poseen propiedades complementarias de los abiertos. Definición 1.1.5 Un conjunto plementario IR \ es abierto.

e

e e IR es un conjunto cerrado si su com-

Los conjuntos cerrados tienen, en realidad, una caracterización muy sugerente, que aún no estamos en condiciones de demostrar, pero que conviene tenerla en mente -ya hemos aludido a ella previamente-. En IR, un conjunto es cerrado si y sólo si cualquier sucesión convergente de elementos de tiene su límite en C.

e

e

EJEMPLO 1.1.3

1. Todo intervalo cerrado [a, b] es un conjunto cerrado pues su comple-

mentario es abierto por ser la unión de los dos conjuntos abiertos

(-00, a)

y

(b,+oo).

2. Todo intervalo de la forma [a, (0) es cerrado pues su complementario es el conjunto abierto (-00, a); análogamente, (-00, al es cerrado pues su complementario es el conjunto abierto (a, (0). 3. {a} es cerrado, pues su complementario es (-00, a) U (a, (0) que es un conjunto abierto por ser uni6n de abiertos.

• 22

Antes de alargar la lista de ejemplos, veamos las propiedades básicas que resultan inmediatamente -la demostración se deja al lector- de las leyes de De Margan y las propiedades de los abiertos. Teorema 1.1.6 Se verifican las propiedades siguientes:

1. 0 11 lR son cerrados.

2. La uni6n de cualquier colecci6n finita de conjuntos cerrados es un cerrado. 9. La intersecci6n de cualquier colecci6n de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. En este punto parecen convenientes algunas palabras de precaución: en nuestro quehacer diario, "cerrado" significa generalmente ''no abierto"; sin embargo esto no es así en III Por una parte hay subconjuntos que no son abiertos ni cerrados, por ejemplo el intervalo (0,1), Y por otra hay conjuntos, como 0 y IR, que son abiertos y cerrados a la vez. EJEMPLO 1.1.4

1. Si

A

= {Xl,X2"

.. 'X n }

es un conjunto no vacío finito, entonces podemos poner n

A

= U{x;} i=1

y, puesto que cada {Xi} es cerrado, se tiene que A es un conjunto cerrado. 2. Sin embargo, la unión arbitraria de conjuntos cerrados no es, necesariamente, un conjunto cerrado; por ejemplo, el conjunto 00

U [O, 1 -

l/n)

= [0,1)

n=1

no es un conjunto cerrado.

• 1.2

Interior, exterior y frontera de un conjunto Desde un punto de vista conjuntista, cualquier conjunto A e lR clasifica los puntos de lR en dos clases: aquellos que pertenecen a A y los que no. Sin embargo, desde una perspectiva topológica es importante hacer una distinción más fina. Así, dado un punto X E lR podemos afirmar que ocurre una y sólo una de las siguientes situaciones: 1. Existe algún entorno E(x) contenido en A.

2. Existe algún entorno E(x) contenido en lR \ A. 3. Todo entorno E(x) tiene puntos de A y de su complementario. Precisemos esta idea.

23

Definición 1.2.1 Un punto x E lR es un punto interior a un conjunto A e IR si existe un entorno E(x) contenido en A. El conjunto de los puntos interiores a A se llama interior de A y se designa por int(A).

Un punto x E IR es un punto exterior a un conjunto A e IR si existe un entorno E(x) contenido en el complementario de A. El conjunto de los puntos exteriores a A se llama exterior de A " se designa por ext(A). Un punto x E IR es un punto frontera de un conjunto A e IR si todo entorno de x contiene puntos de A " de su complementario. El conjunto de los puntos frontero de A se llama frontero de A " se designa por fr( A). Informalmente: si x es un punto interior a A, no solamente x está en A sino que además hay una pequeña zona alrededor de x que permanece en Aj esto es: todos los puntos suficientemente cercanos a x están en A y algo análogo ocurre si x es un punto exterior. Sin embargo, un punto frontera no puede moverse porque puede perder inmediatamente su condición. Consecuencia inmediata de la definición es que, para cualquier A int(A) e A

e

Ji,

y ext(A) e IR \ A.

Además, es evidente que los conjuntos int(A), ext(A) y ír(A) son disjuntos dos a dos y que int(A) U ext(A) U fr(A) =: IR. EJEMPLO 1.2.1

1. Si A es un intervalo acotado de extremos a y b, entonces

int(A)

2. Sea M

= (a,b),

ext(A)

= (-oo,a)U(b+oo)

y

fr(A)

= {a,b}.

= (0,1) U {2}; entonces: fr(M)

= {O, 1, 2}

int(M)

=:

(0,1),

ext(M)

=:

(-00, O) U (1,2) U (2, +00).

y

3. Sea el subconjunto de IR, A int(A)

= 0,

= {l/n : n E N}; entonces se tiene que

ext(A) = IR \ (A U {O})

Y fr(A) = A U {O}.

• El resultado siguiente precisa el carácter topológico de estos conjuntos. Teorema 1.2.2 Paro todo A e IR, se tiene que int(A) "ext(A) son conjuntos abiertos" fr(A) es cerredo. DEMOSTRACIÓN

Desde luego, int(A) es abierto si es vacío. En otro caso, por definición de interior, para cada x E int(A) existe un entorno E(x) contenido en A. Como E(x) es abierto, para cada y E E(x) existe un entorno E(y) contenido en E(x) y, por tanto, E(y) e A. Esto prueba que todos los 24

puntos de E(x) son interiores a A, es decir que E(x) int(A) es abierto. Como ext(A)

= int(IR -

e

int(A). Así,

A), también ext(A) es un conjunto abierto.

Finalmente, como fr(A)

= IR -

(int(A) U ext(A»

y el conjunto int(A) U ext(A) es abierto por ser unión de abiertos, fr(A) es un conjunto cerrado.

• Tenemos, pues, que int(A) es un conjunto abierto; pero, aún más, como pone de manifiesto el resultado siguiente cualquier conjunto A es abierto si y sólo si coincide con su interior. Teorema 1.2.3 Un conjunto A es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. DEMOSTRACIÓN

Si A es abierto y x E A, existe un entorno E(x) contenido en A, luego x E int(A). Recíprocamente si todos los puntos de A son interiores, se tiene que int(A)

= A y, por tanto, A es abierto.

• 1.3

Adherencia y acumulación de un conjunto Cuando un punto x es exterior a A, existe un entorno E(x) que -en términos informales- separa a x del conjunto A. Esto no ocurre con los puntos frontera ni, desde luego, con los puntos interiores. Precisemos esta idea. Definición 1.3.1 Un punto x E IR es un punto adherente a un conjunto A e IR cuando todo entorno E(x) contiene puntos de A.

El conjunto de puntos adherentes a A se llama adherencia o clausura de A y se designa por A. Puesto que todo entorno E(x) contiene a x, todo punto x E A es adherente a A, así que, en general, A e A, aunque, como se verá, no necesariamente es A = A. EJEMPLO

1.3.1

Sea A el intervalo abierto (a, b). La adherencia de A es el intervalo cerrado [a, b). En efecto: los puntos a y b son adherentes al intervalo (a, b) puesto que todo entorno E(a) y E(b) contiene puntos de Aj por tanto, la adherencia de A incluye como mínimo al intervalo cerrado [a, b). Por otra parte, si x f/. [a, b), uno de los entornos E(x, Ix - al), E(x, Ix - bl) no contiene puntos de A, así que x no es punto de adherencia de A.

•

25

Obsérvese que si x E A todo entorno E(x) contiene puntos de A, así que x no pertenece a ext(A); es decir: x E int(A) U fr(A). Recíprocamente, todo punto interior a A o frontera de A es adherente, así que, en realidad,

A = int(A) U fr(A). Este hecho nos permite mostrar cómo los puntos adherentes pueden determinar si un conjunto es cerrado o no. Teorema 1.3.2 Un conjunto A e IR es cerrado si y sólo si A

= A.

DEMOSTRACIÓN

En primer lugar, observamos que,

A es un conjunto cerrado puesto que

A = int(A) U fr(A) así que si A

= A, A es cerrado.

= IR -

ext(A);

x

Recíprocamente, sea A es cerrado. Si r¡. A, se tiene que x E IR \ A, que es un conjunto abierto; por tanto, existe un entorno E(x) e IR \ A Y E(x) n A = 0 y x no es un punto adherente. Así, pues, A e A y, por tanto A = A.

•

Sea ahora A = {l/n : n E N}. Es fácil ver que O E A, puesto que todo entorno de O contendrá puntos de A. Como se verá, no es difícil probar que, en general, el límite de una sucesión convergente es un punto adherente del conjunto formado por los términos de la sucesión. Desde luego, este hecho no es casual; existe una estrecha relación entre puntos adherentes y sucesiones. Teorema 1.3.3 Un punto x es adherente a un conjunto A si y sólo si x es límite de una sucesión (x n ) de puntos de A. DEMOSTRACIÓN

Si x es un punto adherente a A, se tiene que para todo n

Podemos escoger entonces, para cada n un punto x n E A tal que

xnE (x-~,x+~) Esto define una sucesión (x n ) tal que

IX n

-

xl

< l/no Luego lfmx n

= x.

Recíprocamente, sea (x n ) una sucesión de puntos de A cuyo límite es X. Entonces dado f > O, se tiene que X n E (x - f, X + f) para todo n suficientemente grande y, por tanto, (x - f,X + f) n A:f. 0; así, pues

xEA.

• 26

Conviene hacer notar que en el teorema anterior no se exige que los términos de la sucesión (x n ) sean todos distintos. Es más: muy bien pudiera ocurrir que, para cualquier n, el único punto

sea el propio x. Por otra parte, este resultado nos permite mostrar de otra forma que, por ejemplo, es un punto adherente de A = (O, +00), puesto que = lím l/n, y l/n E A para todo n. Pero su importancia no se reduce a un simple mecanismo de decisión sino que tiene una consecuencia muy importante: es posible caracterizar a los conjuntos cerrados mediante sus sucesiones convergentes, una cuestión que ya fue apuntada en la sección anterior.

°

°

Teorema 1.3.4 Un conjunto A es cerrado si !J sólo si toda sucesión convergente (x n ) con x n E A tiene su límite en A. DEMOSTRACIÓN

En primer lugar, si A es cerrado y límx n = x con X n E A para todo n E N, entonces todo entorno E(x) contiene puntos de {x n } y, por tanto, de A; luego x E A = A (A es cerrado). Recíprocamente, supongamos que toda sucesión en A convergente tiene su límite en A. Si x E A, existe una sucesión (x n ) en A tal que lím X n = x y, por tanto, x E A; luego A = A y A es cerrado.

•

Consideremos ahora el conjunto M = (O, 1)U{2}. No es difícil comprobar que M = [0,1) U {2}. Ahora bien, puesto que 2 es un punto adherente de M debe existir alguna sucesión convergente, llamémosle (x n ), con sus términos en M tal que lím X n = 2. Como 2 E M la sucesión constante 2 verifica esta condición. Pero no hay ninguna más. Así que 2 es un punto adherente pero con ciertas características especiales. Obsérvese por otra parte que, efectivamente, todo entorno E(2,r) contiene puntos de M, pero si r ::s 1, el único punto de intersección es precisamente 2. Estas reflexiones nos llevan a afinar un poco más el concepto de adherencia. Definición 1.3.5 Un punto x E lR es un punto de acumulación de un conjunto A e lR cuando todo entorno reducido E·(x) contiene puntos de A.

Un punto x E lR es un punto aislado de un conjunto A si es un punto de A que no es de acumulación. El conjunto de puntos de acumulación de A se llama el conjunto derivado de A !J se designa por Al. EJEMPLO

1.3.2

= (a, b]' = [a, b)' = fa, b]' = [a, b). Si A = {l, 1/2, 1/3, ... , l/n, .. .r.~lltonces Al = {D}.

1. Se tiene (a, b)'

2.

27

3. En general, si A = {x" : n E N} Y límxn = a con a #- x n para todo n E N, entonces A' = {a}. Si, por el contrario, a E A puede ocurrir que A' {a}, como en la sucesión definida por Xo = a y X n = a + lln, o que A' 0 como en la sucesión X n = a.

=

=

4. Todo punto x E Z es un punto adherente de Z, pero no es de acumulación puesto que EO(x, 1/2)nZ = 0. Es interesante observar, no obstante, que si a E A\A, entonces a es un punto de acumulación de A (Probarlo).

•

A la vista de la definición, es evidente que todos los puntos de acumulación son puntos de adherencia, así que, en general, A' e Aj pero, como se ha visto en el ejemplo anterior, el reciproco no es, en general, cierto. La estrecha relación entre los puntos de acumulación y los puntos adherentes se pone de manifiesto en el resultando siguiente. Teorema 1.3.6 Para cada A

e

lR se verifica A = A U A'.

DEMOSTRACIÓN

Está claro que A U A' e A, puesto que tanto A como A' están contenidos en A. Veamos que también se verifica el reciproco. Sea x E A; entonces para todo entorno E(x) se cumple E(x) nA#- 0. Puede suceder que exista un entorno E(x) tal que E(x) n A {x} en cuyo caso x E A, o bien que para todo entorno E(x) sea EO(x) nA :¡. 0, en cuyo caso x E A'. En todo caso x E A U A'.

=

•

Como consecuencia inmediata es posible caracterizar a los conjuntos cerrados mediante sus puntos de acumulación. Basta tener en cuenta que A es cerrado si y sólo si A = A = A U A'. Por tanto Corolario 1.3.7 Un conjunto A e lR es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación. El resultado más notable con respecto a los puntos de acumulación es, sin duda, el teorema de Bolzano-Weierstrass. Afirma que todo subconjunto A de lR, infinito y acotado, tiene al menos un punto de acumulación (que puede o no pertencer a A). Teorema 1.3.8 (de Bolzano- Weierstrass).

Todo conjunto infinito y acotado A acumulación.

e

IR tiene al menos

un

punto de

DEMOSTRACIÓN

Puesto que A está acotado, está contenido en un intervalo (ao, boj. Dividamos [ao, boj en dos partes iguales; al menos uno de ellos contiene un subconjunto infinito de A. Llamemos a este subintervalo [al, b1). Dividamos de nuevo (al, b1Jen dos partes iguales y obtendremos un subintervalo [a2, b2) que contendrá un subconjunto infinito de A y continuemos este 28

proceso. De esta manera obtenemos una sucesión de intervalos tales que el n-ésimo, [an, bnl tiene longitud

Además, la sucesión (a n ) es creciente y acotada superiormente por be y (b n ) es decreciente y acotada inferiormente por no. Ambas, pues, tienen límite, y

así que ambos coinciden; llamémosle x y veamos que x es un punto de acumulación de A. En efecto: si r es cualquier número real positivo, tomemos n suficientemente grande para que bn - an < r /2; entonces [an, bnl estará contenido en E(x, r). Así, pues, el intervalo E(x, r) contiene puntos de A distintos de x y, por lo tanto, x es un punto de acumulación de A.

•

1.4

Conjuntos densos Sea x un punto cualquiera de lR. Es evidente que en cualquier entorno E(x) hay puntos de Q. Informalmente podríamos decir que Q está por todas partes o que Q rellena a lR. Para hacer precisa esta idea introducimos el concepto de conjunto denso. Definición 1.4.1 Un conjunto D es denso en IR si D = IR.

IR es denso trivialmente. También se tiene Q = IR y IR - Q = IR (véase el problema 8), así que Q y IR - Q son también conjuntos densos en lR. Casi todas las propiedades importantes de los conjuntos densos descansan, en última instancia, en el hecho de que la intersección de un conjunto denso con cualquier conjunto abierto (no vacío) es siempre no vacía. Teorema 1.4.2 Un conjunto D es denso en IR si y sólo si para todo abierto no vacío A e IR se verifica que A n D # 0. DEMOSTRACIÓN

Sea D denso en IR y A un subconjunto abierto. Sea x E A; y E(x) puesto que x E D se tiene E(x) n D # 0 y, por tanto,

e

A;

DnA # 0. Recíprocamente, supongamos que todo abierto no vacío tiene intersección no vacía con D. Sea x E IR y E(x) un entorno de x; puesto que E(x) es abierto, E(x)nD#0 y x E D, lo que prueba que D es denso.

• 29

1.5

Conjuntos compactos Los conjuntos compactos son conjuntos que presentan características muy similares, desde el punto de vista topológico, a los conjuntos finitos. El concepto es, sin embargo, más amplio y, por ende, más útil que la mera noción de cardinalidad. Comencemos por un ejemplo ilustrativo que ayudará a conseguir cierta familiaridad con algunas conceptos previos imprescindibles. Sea A = {l/n : n E N} y consideremos para cada x E (0,1), el conjunto abierto B", = (x, 1). No es difícil comprobar que

U

AC

B",

"'E(O,!)

Y decimos, entonces, que la familia 'Ro = {B", : O < x miento abierto de A. Por otra parte, la familia S verifica que S

e

< 1} es un recubri-

= {B1/ n : n E N}

'R. y, además,

A

= U BrIn> nEN

y decimos, entonces que S es un subrecubrimiento abierto del recubrimiento R de A. Definición 1.5.1 Sea'R. una familia de conjuntos de lR. Decimos que R es un recubrimiento de A e lR cuando la unión de todos los conjuntos de R contiene a A. Un recubrimiento abierto es un recubrimiento formado por conjuntos abiertos. Un subrecubrimiento de un recubrimiento R de A es una subfamilia S de R que es también un recubrimiento de A.

Conviene precisar que, aunque muy bien pudiera suceder, en general no es cierto que A e Rj el sentido preciso de la definición de recubrimiento es que para cada punto x E A existe al menos un conjunto C E R tal que xEC. EJEMPLO

1.5.1

1. Sea

A

= {1, 1/2, 1/3, ...}.

A es un conjunto infinito formado por puntos aislados puesto que para cada x E A existe un entorno E(x) tal que E(x) n A = {x}. Consideremos entonces la familia 'R.

= {E(x) : x E A}j

claramente se tiene A

e

n E(x). "'EA

así que 'R. es un recubrimiento abierto de A. Sin embargo, nótese que 'R. no posee ningún subrecubrimiento propio: si omitimos algún E(x), el punto x queda descubierto, pues x no pertenece a ningún otro E(y) con x 1= y.

30

2. Sea A el intervalo [-1,1]. La familia

R

= {( -1 + l/n, 1 -

l/n) : n E N} U {(-3/2, -1/2), (1/2, 3/2)}

es un recubrimiento abierto de A y

s = {( -1, 1), (-3/2, -1/2), (1/2, 3/2)} es un subrecubrimiento finito de A.

•

Como ilustran los ejemplos precedentes, la estructura de un conjunto determina en gran medida el comportamiento de sus posibles recubrimientos. Pero antes de analizar en profundidad esta cuestión conviene ver qué ocurre en algunos casos particulares.

Teorema 1.5.2 Todo recubrimiento abierto del intervalo cerrado y acotado [a, b] posee un subrecubrimiento finito. DEMOSTRACIÓN

Llamemos R a un recubrimiento abierto de [a; b]. Sea S el conjunto de los puntos x E [a, b] tal que el intervalo cerrado [a, x] está cubierto por un número finito de conjuntos de R. Nuestro objetivo, entonces, es probar Que bES. El conjunto S no es vacío, ya que, al menos, a ES, porque [a, a] = {a} y a pertenece a algún conjunto de R. Además, S está acotado superiormente porque S e [a, b]. Ponemos, entonces, = sup S y, puesto que S e [a, b], se tiene que a ~ ~ b.

°

°

Procedemos, ahora, de la siguiente forma: probaremos, en primer lugar (1), que E S y seguidamente (2), mostraremos que = b, lo que lleva implícito que bES.

°

°

°

(1) Puesto Que E [a, b] y R cubre al intervalo [a, b], existirá A E R tal que E A; ahora bien, A es abierto, así que podemos encontrar 10 > O tal que [o - 10,0] CA.

°

Por ser

° = sup S, existe x E S tal que ° - 10 ~ X < o. [a, o]

Pongamos

= [a, x] U [x, o]

Puesto que x E S, el intervalo [a, x] está cubierto por un número finito de conjuntos de R y, por otra parte, el intervalo [x,o] e [o - E:,o] está cubierto por A; luego el intervalo [a, o] está cubierto por un número finito de conjuntos de R y, por tanto, E S.

°

°

°

°

(2) Para concluir, basta probar que = b. Si fuese < b, como E A y A es abierto existirá z con < z < b tal que [o, z] e A y el intervalo [a, z] estaría cubierto por un número finito de conjunto de R, luego sería z E S Yz > sup S, lo cual es imposible. Por tanto, b.

°

°=

°=

•

En la demostración anterior, para determinar un cierto subrecubrimiento finito de R se han utilizado dos hechos acerca del intervalo [a, b]: que es cerrado y que es acotado. La cuestión, entonces, surge inmediatamente:

31

¿son sólo convenientes para la demostración o, por el contrario, son condiciones imprescindibles? El ejemplo siguiente muestra que ninguna de las dos puede ser excluida. EJEMPLO 1.5.2

1. La recta lR, que es un conjunto cerrado pero no acotado, posee un recubrimiento abierto Ji = UnEN( -n, +n), que no admite ningún subrecubrimiento finito. En efecto, la unión de un número finito de intervalos (-n, n) es igual al mayor de ellos y, por tanto, no puede ser IR.

2. El intervalo (O, 1], que es un conjunto acotado pero no cerrado posee un recubrimiento abierto (O,lJ e UnEN (~, 2) del que no puede extraerse un subrecubrimiento finito porque la unión de un número finito de intervalos de la forma (1/n,2) es el mayor de ellos y, por consiguiente, no puede contener a (O, 1J.

• Veamos ahora otro caso muy importante. Teorema 1.5.3 Si X consiste de los términos de una sucesión convergente y su límite, todo recubrimiento abierto de X posee un subrecubrimiento finito. DEMOSTRACIÓN

Pongamos, para fijar ideas, X

= {x} U {x n : n E N} con límx = x. n

Si 'R es un recubrimiento abierto de X, el límite x debe estar en un conjunto de n, digamos U. Toda vez que U es abierto y (x n ) converge a x existe no tal que x n E U si n > no. Ahora, cada uno de los términos xi(i = 1, ... , no) está en algún Ui E 'R. Así, X está cubierto por los conjuntos U,U1"",Uno '

•

Los resultados precedentes muestran que de todo recubrimiento abierto de [a, bJ o del conjunto X formado por los términos de una sucesión convergente y su límite se puede extraer un subrecubrimiento finito. Ahora bien, la cuestión es: ¿hay otros conjuntos con tal propiedad? La respuesta es sí. En realidad en el caso del conjunto X se puede dar una demostración alternativa observando que es un conjunto cerrado y acotado (la sucesión es convergente) y, por tanto, existe un intervalo cerrado y acotado [a, b] tal que X e [a, b]. A partir de aquí no es difícil determinar un subrecubrimiento finito (¿cómo?). Esta misma idea nos permitirá responder rigurosamente a la cuestión planteada. Antes, sin embargo, conviene dar nombre a tales conjuntos. Definición 1.5.4 Un conjunto K e Ji es compacto cuando todo recubrimiento abierto de K admite un subrecubrimiento finito. Así, los intervalos cerrados y acotados [a, bJ y los conjuntos X formados por los términos de una sucesión convergente y su límite son conjuntos compactos y no lo son JR y (a, b]. El resultado siguiente permite identificar a los conjuntos compactos

32

Teorema 1.5.5 (de Borel-Lebesgue).

Un conjunto K

e

lR es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

DEMOSTRACIÓN

Supongamos en primer lugar que K es compacto (así, pues, K i- lR) Y sea x E lR \ K. Para cada y E K tomemos dos entornos, E(x) y E(y) disjuntos. La familia {E(y): y E K} es un recubrimiento abierto de K y de él se podrá extraer un subrecubrimiento finito E(Yl), E(Y2)"'" E(Yn). Sean El (x), E2(X), ... ,En(x) los entornos de x correspondientes. La intersección

es un entorno de x contenido en lR \ K, luego IR \ K es abierto y K es cerrado. Para ver que K es acotado consideremos el recubrimiento abierto de K formado por todos los intervalos (-n, n) con n E N. De él podrá extraerse un subrecubrimiento finito cuya unión es el mayor de ellos, digamos (-no,no). Así, K e (-no,no) y es, pues, acotado. Recíprocamente, si K es cerrado y acotado entonces K estará contenido en algún intervalo cerrado [a, b] y si es un recubrimiento abierto de K, adjuntándole el abierto lR \ K obtendremos un recubrimiento abierto del compacto [a, b] del que se podrá extraer un subrecubrimiento finito. Tal subrecubrimiento estará formado por un número finito de conjuntos de n, A 1 ,A2 , ••• ,AA: y, tal vez, lR\K. Entonces los conjuntos A ll A 2 ,.·· ,AA: cubren a K. Por tanto K es compacto.

n

• Tendremos numerosas ocasiones de apreciar la extraordinaria utilidad del concepto de compacidad. Con su ayuda, podemos, por ejemplo, dar una nueva demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass que tiene un carácter existencial. Teorema 1.5.6 (de Bolzano- Weierstrass).

Todo conjunto infinito y acotado A acumulación.

e

lR tiene al menos un punto de

DEMOSTRACIÓN

Si A es acotado estará contenido en un intervalo cerrado [a, bJ. Si A no tiene puntos de acumulación, ningún punto de [a, b] será de acumulación de A, lo cual implica que para cada y E [a, b] existe un entorno E(y) tal que el entorno reducido E*(y) no contiene puntos de A. La colección {E(y) : y E [a, b]} es un recubrimiento abierto del compacto [a, b] del que se podrá extraer un subrecubrimiento finito, E(y¡) , E(Y2)"'" E(YA:) que también cubren a A. Además, ninguno de los entorno reducidos E*(y¡), E*(Y2)"'" E*(YA:) tiene puntos de A, luego A consta a lo sumo de los k puntos Yl, Y2," . ,YA:·

• 33

1.6

Problemas 1. Probar que Q no es abierto ni cerrado y que Z es cerrado en IR,

2. Si A, F e lR son dos conjuntos abierto y cerrado respectivamente, demostrar que (a) F \ A es cerrado. (b) A \ F es abierto Indicación: ¿qué es A \ B P. 3. ¿Verdadero o falso? (Explíquese) (a) Si A Y B son abiertos disjuntos tales que AUB es un intervalo abierto (acotado o no), entonces A o B es vacío. (b) Si F, G son cerrados disjuntos tales que F U G es un intervalo cerrado (acotado o no), entonces F o G es vacío. 4. Sea I un intervalo con puntos extremos a < b. Si U es un conjunto abierto en IR tal que un I '" 0, entonces U n (a, b) '" 0. 5. Dados dos números reales x e y definimos la distancia de x a y como d(x, y)

= Ix -

yl

Probar que para cualesquiera x, y, z E lR se verifica (a) d(x,y) ~ O.

(b) d(x, y)

=O

(c) d(x, y)

= d(y,x).

x

{:=:}

(d) d(x,y) +d(y,z)

~

= y. d(x,z).

6. Probar que para cualesquiera x, y, z E lR se verifica Id(x,y) - d(z,y)1

:5 d(x,z)

7. Este ejercicio muestra las estrechas relaciones entre los conceptos de abierto y cerrado y las sucesiones. (a) Un conjunto A e lR es abierto, si y sólo si se cumple la siguiente condición: si una sucesión (x n ) converge hacia un punto a E A, entonces x n E A para todo n suficientemente grande. (b) Sea F un conjunto cerrado y (x n ) una sucesión cuyos términos están en F. Demostrar que si (x n ) converge a un punto a entonces a pertenece a F. 8. Determinar el interior, el exterior, la frontera, la adherencia y los puntos de acumulación de los conjuntos siguientes (a) Z (b) Q

(e) lR-Q (d) A

= {(-1)n/n: n E N}.

9. ¿Verdadero o falso? 00

00

n=l

n=l

UAn=UAn 34

10. Dar explícitamente el significado de cada una de las afirmaciones siguientes En las explicaciones no se pueden utilizar las palabras entrecomilladas. (a) a E X "no" es un punto ''interior'' de X. (b) a E IR ''no'' es "adherente" a X.

e

(e) X

IR ''no'' es un conjunto "abierto"

(d) El conjunto Y

e

IR ''no'' es "cerrado".

(e) a E IR ''no'' es "punto de acumulación" de X (f) X'

= 0.

(g) X

eY

(h) int(X)

IR.

pero X ''no'' es "denso" en Y.

=0

nx' = 0.

(i) X

e IR un conjunto acotado. Probar

11. Sea X (a) a

e

= inf X

= supX son puntos de adherencia de X. conjunto acotado y sup X = sup X. ¿Cuál y b

(b) X es un resultado análogo para el ínfimo?

es el

12. Probar que si A es un conjunto no vacío cerrado de IR tal que A :f; IR, entonces IR \ A no es cerrado. Así, los únicos subconjuntos de IR que son abiertos y cerrados a la vez son 0 y IR.

(Utilícese 11) 13. Sea A e IR y, para cada n E N sea

Un = {x E IR : Ix

- al < 11n para algún

a E A}

Probar (a) Un es un conjunto abierto.

n Un. 00

(b)

A=

n=l

14. A = {X¡,X2,""X n , ... }, el conjunto formado por los términos de la sucesión (x n ). Hallar A' cuando (a)

Xn

-+ x y

(b)

Xn

=x

(e) (x n )

Xn

:f; x para todo n.

para todo n.

= (x,x+ l,x,x+ 1/2,x,x+ 1/3, ...)

15. Contestar razonadamente (a) Dado un entero positivo k, dése un ejemplo de un conjunto A e IR tal que A' tenga exactamente k elementos. (b) Dése un ejemplo con A' = {O} U {lln : n E N} 16. Probar

(a) x es un punto de acumulación de A si y sólo si x E A \ {x}. (h) x es un punto de acumulación de A si y s610 si es límite de una sucesión de elementos de A distintos dos a dos.

35

17. Constrúyase un conjunto A en la recta real tal que

A fe A' fe (A')'

= {O}.

18. Demostrar (a) A es denso en IR si y sólo si IR \ A tiene interior vacío. (b) A es denso en IR si y sólo si todo punto de IR es límite de una sucesión de puntos de A. 19.

(a) Hallar un conjunto A IR \ A no lo es.

e

IR con A

fe IR, tal que A es denso pero

(b) Dar un ejemplo no trivial de un subconjunto abierto y denso en IR. 20. Probar que el conjunto IR \ {x n : n E N} es denso en IR. 21. Por extensión, diremos que un conjunto D e A es denso en A, si A e D. Probar que todo intervalo 1 e IR posee un subconjunto denso en 1 y numerable. 22. Probar las siguientes variantes del teorema de Bolzano-Weierstrass. (a) Un conjunto C e IR es compacto si y sólo si todo subconjunto infinito de C tiene al menos un punto de acumulación en C. (b) Un conjunto C es compacto si y sólo si cada sucesión en C tiene una subsucesión que converge a un punto de C. 23. Si (A n ) es una sucesión de conjuntos compactos no vacíos de IR tal que A n + 1 e A n para todo n, demostrar que el conjunto intersección

es no vacío y compacto. 24. Probar que dado un conjunto A e IR, todo recubrimiento abierto de A admite un subrecubrimiento numerable. 25. (Propiedades de separación). Demostrar: (a) Si C es compacto y x f/: C, existen dos abiertos disjuntos que contienen a C y a x. ¿Es cierto esto si C es cerrado? (b) Si C I y C2 son compactos disjuntos, existen abiertos Al y A 2 disjuntos que los contienen. ¿Existe un análogo para conjuntos cerrados? 26. Probar (a) La unión finita de compactos es un compacto. (b) La intersección arbitraria de compactos es un compacto. (c) Si K es una familia de conjuntos cerrados, al menos uno de los cuales es compacto, entonces nK es compacto. (d) Si

36

e es compacto y F cerrado, C n F

es compacto.

\

27. ¿Verdadero o falso? (explíquese). Si A es un subconjunto acotado de lR entonces A' es compacto. 28. Si X n ~ x y A = {x} U {x n : n E N}, entonces A es compacto y, por tanto, cerrado y acotado. Probar que A es cerrado y acotado sin hacer uso del teorema de Borel-Lebesgue. 29. Construir recubrimientos abiertos de Q y de [0, 00) que no admitan subrecubrimientos finitos.

37

2

Espacios métricos Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elementos, lo que nos permitirá precisar la noción de proximidad, una idea que está presente implícitamente en todos los conceptos fundamentales de la Topología y el Análisis. La recta real o el plano geométrico constituyen ejemplos simples de espacios métricos, concepto que es en realidad una abstracción de las propiedades de lo que habitualmente se conoce como distancia. Los espacios métricos son muy numerosos y diversos. Por razones evidentes, no podemos abordar en este texto el estudio de ciertos espacios para los que se necesita un conocimiento matemático amplio; por ello nos centraremos únicamente en aquellos conjuntos con los que el lector tiene cierta familiaridad y que surgen de forma natural en el análisis. No obstante, en la mayoría de los casos, los conceptos y propiedades que se estudiarán son fácilmente generalizables.

2.1

Distancias Comencemos con un caso sencillo: el conjunto IR de los números reales. Si, como es habitual, identificamos IR con una recta, podemos intuir, sin mucha dificultad, lo que normalmente entendemos como medir la distancia entre dos puntos -después de todo para hallar la distancia entre los puntos -3 y 5 sólo se necesita algo de aritmética-o Sin embargo, es necesario dar una definición precisa que, por una parte, recoja nuestras nociones intuitivas y, por otro, sea matemáticamente rigurosa; ello se consigue con el auxilio del valor absoluto. Definición 2.1.1 Dados dos números reales x e y definimos la distancia euclídea de x a y como d(x,y)::::

Ix-yl

Tenemos, por ejemplo, d(3,2) :::: 13 - 21 :::: 1 y d(3, -7) = 13 + 71 = 10. Puede sorprender que hallamos puesto un apellido, euclídea, en nuestra definición. Ello se debe a que sobre un mismo conjunto se pueden definir distancias distintas; pero esto será precisado más tarde. Veamos, de momento, algunas propiedades más o menos evidentes -y deseables- que se deducen de forma inmediata de las propiedades del valor absoluto. Teorema 2.1.2 Para cualesquiera x, y, z E IR se verifica 1. d(x,y) = O si y sólo si

x = y.

2. d(x, y) 2: O. 3. d(x,y) = d(y,x).

4.

d(x,y)::; d(x,z) +d(z,y).

39

Una precisión, antes de seguir. En lo que sigue consideraremos el conjunto ]R.n como el conjunto de las n-plas (XI, X2, .. . , x n ), donde Xi E lR (i == 1,2, ... , n) a las que llamaremos puntos siguiendo la terminología geométrica que fue su origen; es decir lRn no es más que el producto cartesiano (n) lR x lRx .,. xlR sin ninguna otra estructura definida. Pasemos ahora a]R2 que identificamos con el plano geométrico. Podemos medir la distancia, que entendemos como habitual, entre dos puntos X e y con la ayuda del teorema de Pitágoras (fig. 2.1). Definición 2.1.3 Dados x,y E lR2 definimos la distancia euclídea de a y como

X

Al igual que en IR, también en este caso se demuestra con relativa facilidad que se verifican las propiedades siguientes. Teorema 2.1.4 Para cualesquiera x, y, z E ]R2 se verifica

1. d 2 (x,y) == O si y sólo si

X

== y.

2. d2 (x,y);:::O. 3. d2 (x, y) == d2 (y, x).

4·

d2(X,

y) =::; d2 (x, z)

+ d 2 (z, y).

Como se ve, las definiciones de distancia en ]R y en lR2 verifican las mismas propiedades. Podemos interpretar con facilidad lo que significan tales propiedades. La primera nos dice que la distancia entre dos puntos es cero si y sólo si los puntos coinciden; la segunda establece que la distancia es siempre un número real positivo o cero; la tercera es una propiedad de simetría: indica que la distancia de x a y es igual a la de y a Xj finalmente, la cuarta propiedad nos dice que un lado de un triángulo nunca tiene longitud mayor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. No es difícil reconocer en las definiciones que hemos dado la noción de distancia que conocemos intuitivamente y que habitualmente usamos. No ocurre lo mismo, sin embargo, con la definición siguiente. Definición 2.1.5 Dados x, y E ]R2 definimos la distancia de Manhattan de x a y como

Aunque menos habitual, es fácil interpretar lo que significa dI' Para medir la distancia entre (Xl, X2) e (YI, Y2) hallamos primero la distancia horizontal entre XI e YI y le añadimos la distancia vertical entre X2 e Y2 (fig. 2.1). No es muy difícil imaginar situaciones donde tal medida sea la adecuada: supongámonos, por ejemplo, midiendo distancias en una gran ciudad con todas su calles dispuestas en sentido horizontal y vertical; se comprenderá ahora por qué la denominación de distancia de Manhattan. 40

La definición anterior pone de manifiesto una cuestión importante que ya anticipamos: sobre un mismo conjunto se pueden definir distancias distintas; la elección de una u otra dependerá de nuestros intereses y de su conveniencia para resolver nuestros problemas. Se comprende ahora por qué ponemos apellidos a lo que denominamos distancias. Ahora bien, ¿qué nos permite denominar a d¡ con el nombre de distancia? Esto es: ¿qué propiedades tiene d¡ que refleje lo que intuitivamente entendemos como distancia? y, también, ¿qué hay de común entre d¡ y d 2 ? La respuesta viene de la mano del resultado siguiente. Teorema 2.1.6 Para cualesquiera x, y, z E IR? se verifica 1. d¡(x,y)

=O

2. d¡(x,y)

~

9. d¡(x,y)

= d¡(y,x).

4. d¡(x,y)

~

si y sólo si

x

= y.

O.

d¡(x, z)

+ d¡(z,y).

Figura 2.1: Distancias en IR2

J

/

Hasta aquí, hemos tratado de intuir qué propiedades son esenciales cuando hablamos de distancia. Algunas de ellas han quedado convenientemente expuestas, pero hay que destacar un aspecto que quizás no ha quedado suficientemente explícito: es evidente que toda distancia debería estar definida para cualquier par de elementos del conjunto; es, por tanto, conveniente entenderla como una aplicación que asocia a cada par de elementos del conjunto, un número real positivo. Estamos ahora en condiciones de definir lo que se entiende, en general, por distancia. Definición 2.1.7 Sea E un conjunto no vacío. Se denomina distancia d definida sobre E a toda aplicación d:ExE--+IR que asocia al par (x,y) E ExE el número real d(x,y) y que verifica las siguientes propiedades para todo x, y, z, E E:

1. d(x, y) = O si, y sólo si x = y 2. d(x,y)

~

9. d(x, y)

= d(y,x)

4. d(x, y)

~

(axioma de separación)

O

d(x, z)

(axioma de simetría)

+ d(z, y)

(desigualdad triangular)

41

No entraremos a discutir las complejas razones por las cuales se eligen precisamente estas propiedades -y no otras- para definir la noción de distancia, ni por qué resultan ser suficientes para nuestros propósitos. Baste decir que se trata de propiedades que reflejan nuestras percepciones y que son consistentes; esto es: no da lugar a contradicciones. Algunos ejemplos más nos ayudarán a familiarizarnos con el concepto. EJEMPLO 2.1.1 1. La aplicación definida en ]R2 x ]R2 por

doo(x,y) = máx {!XI - YI!, !X2 - Y2J} es una distancia en ]R2 (fig. 2.1). 2. Las aplicaciones siguientes son distancias definidas sobre ]R3 :

dl(x,y)

=

d2 (x,y) doo(x,y)

=

yd + IX2 - Y21 + IX3 - Y31 V(X¡ - YI)2 + (X2 - Y2)2 + (X3 - Y3)2 máx {lxI - vd, IX 2 - Y21, IX 3 - Y3!} IXI -

Conviene hacer notar que los subíndices utilizados hasta aquí para distinguir unas distancias de otras son los habituales en la literatura; para comprender, sin embargo, su justificación habrá de esperarse a los problemas.

•

Los conjuntos]R, ]R2-y, en general,]Rn son muy adecuados para obtener un reflejo de lo que intentamos definir como distancia. Sin embargo, no hay nada en estos conjuntos que no pueda ser generalizado a otros conjuntos menos familiares. El lector interesado puede ver algunos ejemplos muy significativos en el apéndice del final del capítulo.

2.2

Espacios y subespacios métricos La definición de una distancia sobre un conjunto dota a éste de una estructura rica y fructífera sobre la que se asienta gran parte del Análisis. Tales estructuras reciben el sugerente nombre de espacios métricos y constituyen la primera aproximación formal a los conceptos topológicos. Definición 2.2.1 Sea E un conjunto no vacío y d una distancia definida en él. Al par (E, d) se le denomina espacio métrico. Así, (lR, d), donde d es la distancia euclídea, es un espacio métrico (estructura que se suele conocer con el nombre de recta real). A menos que se exprese lo contrario, en lo que sigue, cuando se considere a ]R como espacio métrico se entenderá que la distancia es la euclídea, también llamada usual. Pero, sobre lR, pueden definirse otras distancias que dan lugar a espacios métricos diferentes. Lo mismo ocurre con ]R2, con ]Rn y, en general, con cualquier conjunto. En particular (]R2, d 2 ), que identificamos con el plano geométrico, es un modelo intuitivo natural de espacio métrico. El ejemplo siguiente es especialmente significativo y recurriremos a él frecuentemente en este texto.

42

EJEMPLO

2.2.1

Sea E un conjunto cualquiera no vacío y dt la aplicación definida por

° sisi

d x = {1 t( ,y)

x;:j:. y

x

=y

Se deja al lector la sencilla comprobación de que tal aplicación es una métrica para E. A la distancia así definida se le suele llamar la distancia trivial y al espacio métrico resultante (E, d¡) se le llama discreto. Aunque tales espacios carecen de interés dada su evidente trivialidad, nos indica que todo conjunto no vacío puede proveerse de una métrica; por otra parte, tales espacios discretos se emplean con frecuencia como contra-ejemplos.

• Consideremos el espacio métrico (E, d) Ysea F un subconjunto cualquiera no vacío de E. De inmediato se comprueba que la aplicación dF: F x F (x,y)

-+ IR. -+ dF(X,y)

= d(x,y)

es una métrica para el conjunto F. A dF se le suele llamar métrica inducida en F por d y, por sencillez, se acostumbra a designar también por d cuando no hay peligro de confusión. Nótese que dF no es más que la restricción de d a F x F. Definición 2.2.2 Sea (E, d) un espacio métrico y F un subconjunto no vacío de E. El par (F, dF), donde dF es la restricción de d a F, se le denomina subespacio métrico de (E,d).

Desde luego, cualquier subespacio métrico es un espacio métrico en sí mismo y cualquier espacio métrico puede considerarse como subespacio de sí mismo. Pero veamos algunos ejemplos menos triviales aunque sencillos. EJEMPLO

2.2.2

1. Si restringimos la distancia euclídea en IR. a los números enteros 2:., obtenemos el subespacio métrico (2:., d).

2. Consideremos la recta real y el subconjunto [0,1]. Entonces ([O,IJ,d)

es un subespacio métrico. Una cuestión evidente pero que conviene hacer notar es el hecho siguiente: consideremos el conjunto X como el conjunto de los puntos cuya distancia a 1/2 es menor que 1; en (IR, d), X es el intervalo (-1/2,3/2), mientras que en ([0, 1],d), X es el intervalo [0,1]. Este hecho puede parecer ahora trivial, pero la apreciación es engañosa; no obstante tendremos que esperar a capítulos posteriores para mostrar toda su importancia.

43

3. Sea (IR2 , d 2 ). Podemos identificar a IR con el subconjunto de IR2 ,

IR·

= IR x {O};

es decir el conjunto de todos los puntos de la forma (x, O), con x E III La restricción de d 2 a IR· viene dada por

De esta forma, en sentido amplio, es posible considerar a la recta real como un subespacio métrico de (IR2, d2 ). De forma similar, es posible considerar, en general, a (IRn - k , d) como subespacio de (IRn, d).

• La noción de subespacio métrico es importante porque nos permite construir nuevos espacios métricos a partir de algunos dados, pero no debe olvidarse su interés intrínseco: más adelante estudiaremos con cierta profundidad algunas propiedades que se apoyan directamente en el comportamiento de algunos conjuntos como subespacios métricos. Hemos visto ya algunos ejemplos particulares de espacios métricos. Algunos de ellos tienen importancia considerable por sí mismos y todos, vistos en conjunto, ponen de manifiesto la gran generalidad del concepto. Así, cuando demostremos una propiedad para un espacio métrico abstracto, ésta queda establecida automáticamente para una extraordinaria diversidad de espacios. Es el caso del resultado siguiente que generaliza la ya conocida propiedad de los triángulos: la longitud de uno cualquiera de sus lados es mayor que el valor absoluto de la diferencia de las longitudes de los otros dos. Teorema 2.2.3 En un espacio métrico (E, d) se verifica

Id(x,z) - d(z,y)j

~

d(x,y)

(2.1)

paro todo x, y, z E E. DEMOSTRACIÓN

Por la desigualdad triangular y el axioma de simetría se tiene

d(x,z)

~

d(x, y) +d(y,z) = d(x,y) +d(z,y)

y, por tanto,

d(x,z)-d(z,y)

~d(x,y)

De igual forma

d(z, y)

~

d(z, x)

+ d(x, y)

= d(x, z) + d(x, y)

y

-d(x, y)

~

d(x, z) - d(z, y)

Luego

-d(x, y)

~

d(x, z) - d(z, y)

y

Id(x,z) - d(z,y)1

44

~

Id(x,y)1

~

d(x, y)

= d(x,y)

•

2.3

Distancias entre conjuntos Sea (E, d) un espacio métrico. Fijemos arbitrariamente un punto Xo E E Y un conjunto no vacío A e E. Designemos por

{d(xo,x) : x E A} al conjunto de números reales constituido por las distancia de Xo a todos los puntos de A. Este conjunto está acotado inferiormente por O, lo que implica que admite ínfimo no menor que O. Definición 2.3.1 Definimos la distancia de un punto Xo E E a un conjunto A e E al número real

d(xo, A)

= xEA inf d(xo,x)

Es evidente que si Xo E A entonces d(xo, A) = O; pero el recíproco no es, en general, cierto. Puede suceder que d(xo, A) = O Y Xo iI A. Esta cuestión quedará definitivamente dilucidada más adelante. EJEMPLO

2.3.1

1. Consideremos JR con la métrica usual y A = (1, 2J. Es trivial com-

probar que d(3/2,A) d(1, A)

d(O,A)

Obsérvese que d(1, A)

13/2 - xl = O inf 11- xl = O xEA = xEA inf Ixl = 1 inf

xEA

= O y, sin embargo 1 rt A.

¿Existe x E A tal que d(1, x)

= d(1, A)?

2. Consideremos el espacio métrico (JR2, d¡), y sea el subconjunto A

de JR2 formado por los puntos

entonces d¡((2,O),A)

inf

(x,y)EA

d¡((2,O), (x,y»

inf d¡((2,O), (x,x 2 »

xER

inf {12 -

xER

Si ponemos f(x)

= 12 - xl + x 2 f(x)

={

y, por tanto,

inf f(x)

xER

Luego d¡((2,O),A)

= 7/4

(figura 2.2), se tiene

x +2 +x - 2

X2 x2

xl + x 2 }

si si

x <2 x ~2

= f(1/2) = 7/4.

• 45

Figura 2.2: f(x)

= l~ -

~1_+;¡;2

La siguiente desigualdad, de carácter auxiliar, será de uso frecuente en lo que sigue. Teorema 2.3.2 Sean (E, d) un espacio métrico, A vacío, y x, y E E. Entonces

e E

un conjunto no

Id(x,A) - d(y,A)1 ~ d(x,y)

DEMOSTRACIÓN

Para todo z E se tiene, por la desigualdad triangular, d(x,z) ~ d(y,z)

+ d(x, y)

y, por tanto,

inf d(x, z)

zEA

~

inf {d(y, z)

zEA

+ d(x, y)}

así que d(x, A) ~ d(y, A)

+ d(x, y)

De forma análoga d(y, A) ~ d(x,A) +d(x,y)

Luego -d(x, y) ~ d(x, A) - d(y, A) ~ d(x, y)

y jd(x,A) - d(y,A)I ~ d(x, y)

• Tomemos ahora dos conjuntos no vacíos A, B e E y designemos por {d(x,y): x E A,y E B}

al conjunto de números reales constituido por todas las distancias entre un punto de A y uno de B. Está claro que tal conjunto está acotado inferiormente por O, por lo que admite un ínfimo no menor que O. Esto nos permite dar la siguiente definición. 46

Fi

ra 2.3: Distancia entre con 'untos

Definición 2.3.3 Definimos la distancia entre los conjuntos A y B al número real d(A,B) = inf d(x,y) :lEA yEB

Si A n B :1: 0, es inmediato que d(A, B) = O; pero de nuevo el recíproco no es, en general, cierto: la distancia puede ser cero aunque los conjuntos sean disjuntos. Un ejemplo sencillo de esta situación resulta si tomamos los conjunto de la recta real A = (a, b) y B = (b, e); ambos intervalos son, evidentemente, disjuntos y, sin embargo, d(A, B) = O como puede comprobarse fácilmente. Conviene destacar que no es en general cierto que exista algún punto Yo E A tal que d(xo,A) d(xo, Yo).

=

Análogamente, tampoco es cierto que en general existan Xo E A e Yo E B tal que d(A, B) = d(xo, Yo) Mostrar estos hechos no es muy difícil. ¿Puede hacerlo el lector? EJEMPLO

2.3.2

1. Consideremos la recta real lR y sean

racionales e JI

= lR -

Q el conjunto de los números

Q. Entonces

d(Q,lR) = d(JI, IR)

= d(Q,JI) = O

2. Dados el espacio métrico (1R2 , d 2 ) Y los subconjuntos de lR2 A= {(x, y) ElR2 :x2 +y2=1} y B={(x,Y)EJR2 :x+y=2} entonces

= v'2 -

1 Un sencillo gráfico ayudará al lector a establecer este hecho. d(A, B)

• 47

2.4

Problemas 1. Demostrar que la aplicación

= Ix - yl

d(x,y)

define una distancia sobre IR. 2. Probar que se verifican para x, y, z E IR las siguientes relaciones:

(a) IIx - z\ - Iz - y¡l $ Ix - yl (b) IIxl - Iyll $ Ix - yl 3. Demostrar que las aplicaciones siguientes son distancias sobre IR2

d 2 (x, y)

+ IX2 - Y2/ J(XI - y¡)2 + (X2 - Y2)2

doo(x, y)

máx {lxI - YII, lx2 - Y21}

dI (x, y)

IXI - YII

(dI Yd oo son fáciles; para la propiedad triangular de d 2 es muy útil la desigualdad de Minkowski)

4. En lR2 y IR3 , determine gráficamente los puntos que verifican (a) d2 (O, x) $ 1

(b) ddO, x) $ 1 (e) doo(O, x) $ 1

5. Consideremos IIr'. Demostrar que las aplicaciones siguientes son distancias n

dI (x,

y)

=

L/xi-Yil i=1

~IXi

(n

d2 (x, y) doo(x, y)

=

-Yi1

2

Y/2

sup IXi - Yil

I$i$n

6. Demostrar que en un espacio métrico (E, d) se verifica la relación Id(x, y) - d(z, t)1 $ d(x, z)

+ d(y, t)

(x,y,z,t E E)

y probar la desigualdad (2.1) a partir de ella. 7. Sea E un conjunto no vacío y d: E x E posee las siguientes propiedades (a) d(x, y)

=

°

si y sólo si x

(b) d(x, y) $ d(x, z)

~

IR una aplicación que

= y.

+ d(y, z)

Demostrar que d es una métrica sobre E. Este problema muestra el hecho de que las propiedades exigidas para que una aplicación sea distancia, son, en realidad, redundantes. 8. Sea I una aplicación inyectiva de un conjunto E en Ji; demostrar que la aplicación d(x,y)

es una distancia sobre E.

48

= If(x) -

l(y)J

9. Tomemos un número natural i entre 1 y n. Definamos para x, y de ]Rn

, d(x,y) = IXi - Yil

¿Qué propiedades de una métrica posee d? 10. Sean d¡,d2"'" dn métricas sobre un conjunto E. Demostrar que n

d(x,y) = Edi(X,y) ;=1

es una métrica para E. 11. Mostrar cómo puede considerarse a métrico de (lRn , d). 12. Sea (lR2 , d2 ) Y A

e

(]R2, d)

corno un subespacio

lR2 definido por

{(x, y) E lR?: (X-2)2 +y2 :51}U{(x,y) E lR2

:

(x+2)2 +y2 :51}

Determinar en (A, d2 ) los puntos que verifican

13. Sea A

e

]R2

definido por A={(x,Y)ER2 :y=X 2 }

•

Dar una forma explícita de la distancia inducida por d¡, d2 Y deo en A. 14. Sea (lR, d) Y A

e

lR definido por A={_n :nEZ} n+1

Hallar d(l, A) ¿Cuánto vale lím ~1? n--4eo n + 15. Sea lR con la distancia usual y A e lR definido por A

= {~+ (_l)n: n E N}

Hallar d(l,A) y d(-l,A). ¿Cuánto vale lím

n-+oo

(.!.n + (_l)n)

16. Sea lR3 con la métrica definida por d(x,y) y A e

= inf{l,d¡(x,y)}

JR3 definido por A

= {(x,y,z) E JItl : 0:5 x:5 1, 0:5 Y:5 1, 0:5 z:5 1}

Hallar los puntos x E lR3 que verifican d(x, A)

17. Dado el subconjunto de A

=1

]R2

= {(x, y) E R 2 : y = x 2} = {(x,x 2) : x E R}

Calcular d¡((2,0),A), d2((2,0), A) Y deo ((2,O),A).

49

2.5

Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones La noción de distancia es un concepto lo suficientemente preciso como para ser fructífero, pero también de una gran generalidad, de forma que puede extenderse a conjuntos de muy diversa naturaleza. Entre ellos, los espacios de funciones y los espacios de sucesiones son, sin duda, los que tienen un papel más destacado en el análisis matemático. En lo que sigue, introducimos uno de ellos y dejamos otros como ejercicio para el lector. Sea C([a, b]) el conjunto de las funciones reales continuas en el intervalo cerrado [a, b]. La aplicación

doo(f,g)

= máx{I/(x) -

g(x)1 : x E [a,b]}

es una distancia. En efecto. En primer lugar doo está bien definida, puesto que I/(x) - g(x)l es una función continua en [a, b] y, por tanto, existe el máximo. Por otra parte, I/(x) - g(x)1 es positiva o cero para todo x E [a, b]; esto es: d(f,g) ~ O. Además, d(f,g) = O si y sólo si I/(x) - g(x)l = O para todo x E [a, b]; esto es: si y s610 si /(x) = g(x) para todo x E [a, b]. La propiedad de simetría es trivial. Finalmente, si h E C([a, b]), se tiene:

d(f,g)

máx I/(x) - g(x)\

zE[a,b]

máx I/(x) - h(x)

zE[a,b]

~ ~

+ h(x) -

máx {I/(x) - h(x)/

zE[a,b]

máx I/(x) - h(x)1

zE[a,b]

+ Ih(x) + máx

zE[a,b]

g(x)¡ - g(x)l} Ih(x) - g(x)1

d(f,h) +d(h,g) Así, pues, (C([a, b]), doo) es un espacio métrico. Figura 2.4: Métrica uniforme o del máximo en C( a, b )

a

b

Los siguientes ejemplos muestra como puede extenderse a este tipo de espacios los conceptos y propiedades de los espacios métricos en general. 50

EJEMPLO 2.5.1

1. Consideremos C([O, 211'"]) con la métrica del máximo y el conjunto

= {sen x + k: °~ k ~ 1} Veamos cuál es la distancia de la función f(x) = x 2 + 2 al conjunto A

A. Se tiene

inf {máx Ix 2 +2-senx-kl

0:9:9 ze[o,27rj

= 0:5k:51 inf { máx {x 2 +2-senx-k} ze[o,2"1

Para hallar este valor, pongamos g(x) = x 2 + 2 - senx - k. Puesto que g'(x)=2x-cosx y g"(x)=2+senx>0, si existe algún extremo relativo de 9 en el intervalo [0,211'"] será un mínimo; por tanto, el máximo -que debe existir- estará en uno de los extremos. Hallando g(O) y g(211'") , es fácil verificar que el máximo ocurre en 211'", así que inf { máx x 2 + 2 - sen x - k}

0:5k:9 ",e[o.2"]

= 0:5k:51 inf {411'"2 + 2 -

k}

= 411"2 +

1

2. Si B = {cosx

+ k: 2 ~

k ~ 3}

¿cuánto vale d(A, B)?

• PROBLEMAS

1. Sea A un conjunto cualquiera no vacío. Diremos que una función f de A en IR es acotada si existe algún número real M > O tal que

I/(x)! ~ M para todo x E A. Designemos por B(A) al conjunto de todas estas funciones. Probar que

d: B(A) x B(A)

-t

(/,g)

-t

IR sup I/(x) - g(x)1 "'eA

es una distancia en B(A). 2. Sea E el conjunto de todas las sucesiones reales (x n ) acotadas (existe algún k > O tal que Ixnl ~ k para todo n E N). Demostrar que

doo((x n ), (Yn» = sup IX n - Ynl n

define una métrica sobre E. Al espacio (E,d) así definido se le denota por loo 3. Sea E el conjunto de todas las sucesiones reales (x n ) tales que lím X n = O. Demostrar que

doo((x n ), (Yn»

= sup jX n n

Ynl

define una métrica sobre E. Al espacio (E, d) así definido se le denota por

ca 51

4. Demostrar que dI (f, g)

=

lb

If( x) - g(x )l dx

define un a mé tric a en C( [a, b)). Ha ga un a repres entación gráfica de

la idea.

l 52

3

Topología de los espacios métricos

En los espacios métricos, hay ciertos subconjuntos con propiedades muy notables y que se revelan como el instrumento indispensable para un estudio serio y riguroso del Análisis Matemático. Éstos son los conjuntos abiertos. Intuitivamente, A es un conjunto abierto si todos los puntos próximos a x E A pertenecen también al conjunto. Por ejemplo, en la recta real, el intervalo (a, b) es un conjunto abierto, pero no lo es (a, b] porque hay puntos próximos a b que no pertenecen al conjunto. Desde luego, esto no es más que una aproximación informal y el determinar si un conjunto es abierto o no depende fundamentalmente, en los espacios métricos, de qué distancia se ha de considerar. Las definiciones precisas y las propiedades que de ellas se derivan es el objetivo de este capítulo.

3.1

Conjuntos abiertos Sea (E,d) un espacio métrico, un punto a E E y r

> O un

número real.

Definici6n 3.1.1 Se denomina bola abierta de centro a y rndio r conjunto B(a,r) = {x E E: d(x, a) < r}

> O al

Se llama bola cerrada de centro a y rndio r > O al conjunto B(a,r)

= {x E E: d(x, a)

~ r}

Obsérvese que puesto que exigimos, y esto es importante, que r > O, tanto cualquier bola, tanto abierta como cerrada, es un conjunto no vacío, ya que al menos el centro pertenece a ella. En (lR3 , d 2 ) el nombre de bola tiene un sentido geométrico clásico. Por ejemplo, B(O,l)

= =

{(x,y,Z)EJR3:y!X 2 +y2+ z2<1} {(x,y,Z)EJ!tl:x 2 +y2+ z 2<1}

representa geométricamente una esfera, (sin la superficie esférica) una bola a la que pertenecen todos los puntos cuya distancia al origen es menor que l. Esta visión geométrica suele ser, en general, muy útil. Sin embargo, deberíamos ser muy precavidos cuando la usemos. En otros espacios o con otras distancias las bolas abiertas o cerradas son conjuntos a los que difícilmente llamaríamos bolas en la vida cotidiana. Los ejemplos siguientes son muy importantes porque, sin duda, ayudarán a aclarar nuestra definición pero también pondrán de manifiesto el peligro de apoyarnos excesivamente en los conceptos geométricos.

53

EJEMPLO

3.1.1

l. Consideremos la recta real. La bola abierta de centro a y radio r

es el intervalo abierto (a-r,a+r); la bola cerrada de centro a y radio r es el intervalo cerrado

la -

r,a

+ r).

2. En (1R2 , d 2 ) la bola abierta de centro 2

{(x,y) E 1R {(x,y) E 1R2

B(O,l)

°

y radio 1 es el conjunto

: :

"j(x 2 + y2 < 1} x 2 +y2 < 1}

Es decir, el círculo geométrico de centro circunferencia.

°

y radio 1, excluida la

En (1R2 , dd, se tiene 2

B(O, 1) :::: {(x,y) E 1R

:

Ixl + Iyl < 1}

que son los puntos interiores a un cuadrado que está girado radianes con respecto a los ejes.

1r /

4

y en (1R2 , doo ) B(O,l):::: {(x,y) E 1R2

:

máx{lxj,lyl} < 1}

que son los puntos interiores a un cuadrado (fig. 3.1).

• Fi

ra 3.1: Bolas abiertas en 1R2

d~

El resultado siguiente, que se conoce como propiedad de Hausdorff, tiene una demostración casi evidente. A pesar de ello es tan importante y de resultados tan fructíferos que conviene enunciarlo como un teorema. Teorema 3.1.2 (Propiedad de Hausdorff). Sean x,y dos puntos distintos de un espacios métrico (E, d) . Existen, entonces, dos bolas abiertas B(x,r) yB(y,s) talque B(x, r) n B(y, s) :::: 0

DEMOSTRACIÓN

Basta poner, por ejemplo, r:::: s:::: ~d(x,y)

• 54

e La noción de bola abierta es la que nos permite definir con precisión a los conjuntos abiertos. En la recta real, sea x un punto cualquiera del intervalo (a, b)j si tomamos

r

= mín {Ix -

se tiene que B(x,r)

= (x -

al, Ix - b\},

r,x

+ r) e

(a,b)j

sin embargo, en el intervalo (a, b] existe un punto, b, para el que no existe ninguna bola abierta B(b,r) contenida en él. De otra forma: existen puntos tan cercanos como se quiera a b que no pertenecen al intervalo (a,b]. Sea (E, d) un espacio métrico cualquiera y A un subconjunto de E. Definición 3.1.3 Decimos que el conjunto A es un conjunto abierto en (E, d) si para todo punto x de A existe una bola abierta de centro x contenida en A. Trivialmente, el propio conjunto E es abierto, lo mismo que el conjunto vacío -¿para qué punto de 0 no existe una bola abierta contenida en él?- Por otra parte el nombre de bola abierta nos sugiere que debería ser también un conjunto abierto, pero este hecho, que es cierto, no es, sin embargo, evidente y necesita de una demostración rigurosa. Teorema 3.1.4 Toda bola abierta es un conjunto abierto DEMOSTRACIÓN

Consideremos la bola abierta B(a,r) y x E B(a,r) un punto cualquiera de ella (fig. 3.2). Nos proponemos demostrar que existe una bola abierta de centro x contenida en B(a, r). Sea p

Veamos que B(x,p) B(x,p); entonces

e

=r

-

d(a, x)

> O.

B(a,r). En efecto: sea y un punto cualquiera de d(x, y)


y

d(a, y)

~d(a,x)+d(x,y)
Luego y E B(a,r)

y, por tanto, B(x,p)

e

B(a, r)

• Conviene observar que el resultado anterior se verifica para cualquier espacio métrico, independientemente de cuál sea el conjunto sobre el que se define e independientemente de la distancia elegida.

55

Figura 3.2: llustración de la demostración en (lR2 , d2 )

r

EJEMPLO

3.1.2

1. En la recta real, todo intervalo abierto es un abierto. En efecto: consideremos el intervalo abierto (a, b) y x E (a, b). Es fácil comprobar que si r = mín {Ix - al, Ix - bl},

entonces B(x, r)

e

(a, b)

Sin embargo, conviene observar que esto se debe a la definición de la distancia. Podemos, ciertamente; considerar en IR una distancia de forma que un intervalo abierto no sea un conjunto abierto. No deben, pues, confundirse ambos conceptos. 2. Consideremos el espacio métrico (IR2, d 2 ) Y el subconjunto de IR2

P

= {(x, y) E lR2 : Ixl < 1,lyl ~ 2}

P no es abierto, ya que para los puntos en los que y = 2 no es posible encontrar bolas abiertas de centro el punto considerado incluidas en P. En cambio, el conjunto A = {(x,y) E IR2

sí es abierto.

:

Ixl < 1, Iyl < 2}

•

El teorema siguiente, a pesar de su sencilla demostración, es de extraordinaria trascendencia. Teorema 3.1.5

1. E Y 0 son conjuntos abiertos. 2. La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

56

DEMOSTRACiÓN

1. Evidente

2. Sea F la familia de conjuntos abiertos y

S=

UA AE:F

Si x E S, entonces x E A para algún A E F; pero A es abierto, así que existe una bola abierta B(x, r) contenida en A y, por tanto, contenida en S. Luego S es abierto. 3. Sean los conjuntos abiertos Al, A22 , • •• , A n Y

= 0 la

Si T

propiedad es trivialmente cierta. Supongamos que E Tj entonces x E A", para k = 1,2, ... , n, y como A", es abierto, existen bolas abiertas

T

:f 0 y tomemos x

(k = 1,2, ... ,n)

Sea r

= mín {ri, r2,"" B(x,r)

e

r n }. Puesto que r

B",(x,r",)

e

A",

(k

~

r", se tiene

= 1,2, ... , n)

así que B(x,r)

e

T

• El teorema anterior nos indica que las uniones de abiertos siempre resultan ser abiertos, y lo mismo ocurre respecto a las intersecciones finitas. Pero no se puede garantizar que la intersección de un número infinito de abiertos sea un abierto. EJEMPLO

3.1.3

Consideremos la recta real y los subconjuntos An

= (-1/n,1/n)

nEN

La intersección de tal familia es el conjunto {O} que no es un abierto. Esto significa que la demostración del teorema precedente debe fallar cuando se aplica a este casOj ¿puede determinar dónde?

•

A la familia T formada por todos los conjuntos abiertos de (E, d) le llamamos topología inducida en E por la distancia d. En lo que sigue, cuando hablemos de un espacio métrico lo supondremos siempre dotado de la topología inducida por la distancia. Como ejemplo, el teorema precedente nos permite determinar la estructura topológica de cualquier espacio métrico discreto EJEMPLO

3.1.4

Consideremos un conjunto E en el que se define la distancia trivial

dt(x,y)

= {~

:~: ~ ~ 57

Para cualquier punto x E E, la bola abierta de centro x y radio r, viene dada por si r S 1 B(a,r) = { ~} si r> 1 lo que supone que cualquier conjunto unitario es un abierto -contrástese con lo que ocurre en la topología usual de 1R- y, por tanto, cualquier subconjunto A e R es abierto, puesto que podemos poner A

= U {x} "'EA

En general, en cualquier espacio métrico discreto todos los conjuntos son abiertos. Desde luego este tipo de espacios carecen de interés por sí mismos, pero se usan frecuentemente como contraejemplos.

• 3.2

Conjuntos cerrados El sentido habitual en la vida ordinaria de cerrado es, desde luego, no abierto. Aunque esta terminología sugiere que hablamos de una clasificación de los conjuntos en abiertos y cerrados, tal suposición es, desde el punto de vista topológico, errónea. Debemos poner, pues, cierto cuidado y revisar detenidamente las impresiones que inmediatamente se nos ocurren cuando tratamos problemas de este tipo. Veamos ahora la definición y las propiedades básicas. Sea (E, d) un espacio métrico cualquiera y A un subconjunto de E.

Definición 3.2.1 Decimos que el conjunto A es un conjunto cerrado en (E, d) si su complementario E \ A es un conjunto abierto Trivialmente, el propio E y el conjunto vacío son conjuntos cerrados. Veamos algún ejemplo más. EJEMPLO 3.2.1

1. En la recta real, todo intervalo cerrado [a, b] es un conjunto ce-

rrado pues su complementario es abierto por ser la unión de los dos conjuntos abiertos (-00, a) y (b, +00). También todo intervalo semiabierto no acotado es cerrado: [a, 00) es cerrado pues su complementario es el conjunto abierto (-00, a). 2. Consideremos el espacio métrico (1R2 , d 2 ) . El conjunto p

= {(x, y) E R 2 /lxl < 1, Iyl::; 2}

no es cerrado. En cambio, el conjunto

A sí es cerrado. 58

= {(x,y)

E]R2

/Ixl ::; 1, Iyl ::; 2}

3. En cualquier espacio métrico (E,d) todo conjunto unitario es cerrado. En efecto, sea x E E; de acuerdo con la propiedad de Hausdorff, para cualquier y E E distinto de x, existen dos bolas abiertas B(x,r) y B(y,s) disjuntas. Por tanto, B(y,s) n {x} = 0 y

B(y,s)

e

E - {x};

luego E - {x} es abierto y {x} es cerrado.

• Nótese que tanto E como 0 son conjuntos abiertos y cerrados a la vez. Resulta oportuno llamar la atención del lector sobre el hecho de que conjunto cerrado no se ha definido como aquél que no es abierto, ni viceversa. Esto admite la posibilidad de que algún conjunto sea abierto y cerrado, que sea una de las dos cosas o que no sea ni una ni otra. La existencia de conjuntos abiertos y cerrados a la vez es particularmente interesante y será estudiada más a fondo cuando tratemos de los conjuntos conexos. De forma análoga a las bolas abiertas, las bolas cerradas son también conjuntos cerrados. Teorema 3.2.2 Toda bola cerrada es un conjunto cerrado. DEMOSTRACIÓN

Sea la bola cerrada B(a, r) en un espacio métrico (E, d) (fig. 3.3); veamos que E \ B(a, r) es abierto. Sea x E E \ B(a, r); entonces d(x,a)

>r

Llamemos p = d(x,a) - r > O y veamos que

B(x,p)

e

E\B(x,r).

En efecto, si y E B(x,p), entonces d(x,y)

< p= d(x,a)

- r

~

d(x,y)

+ d(y,a)

- r

y, por tanto,

d(y, a) > r así que y~B(a,r)

e yEE\B(x,r)

• 59

Figura 3.3: ilustración de la demostración en (1R2 , d 2 )

------~a

r

Antes de alargar la lista de ejemplos, veamos las propiedades básicas que resultan inmediatamente de las leyes de De Morgan y las propiedades de los conjuntos abiertos. Teorema 3.2.3

1. E Y 0 son conjuntos cerrados 2. La unión de un número finito de cerrados es un conjunto cerrado. 3. La intersección arbitraria de cerrados es un conjunto cerrado. DEMOSTRACIÓN

1. Trivial 2. Sean los conjuntos cerrados Al, A 2 , • •• , A n Y designemos n

S=

U AA: A:=l

Se tiene E \S

= E \ U AA: =

n

n

n

A:=l

A:=l

(E \ AA:)

Pero E \ AA: es abierto, por ser AA: cerrado y la intersección finita de abiertos es un abierto, así que E \ S es abierto y, por tanto, S es cerrado. 3. Sea:F una familia de conjuntos cerrados y designemos por T=

nA

AEF

entonces E\T = E \

n

AEF

A=

U (E \ A) AEF

Pero E \ A es abierto por ser A cerrado, así que E \ T es abierto por ser unión de abiertos y, por tanto, T es cerrado.

• 60

EJEMPLO

3.2.2

=

1. Sea (E, d) un espacio métrico y A {x}, X2,"" x n } un subconjunto no vacío finito de E. Puesto que n

A

= U{Xi} i=1

se tiene que A es cerrado por ser unión de conjuntos cerrados. 2. La unión arbitraria de conjuntos cerrados no es, necesariamente, un conjunto cerrado; por ejemplo, considérese la recta real y 00

A

= U[O, 1 -

l/n]

= [0,1)

n=1

que no es un conjunto cerrado. Comentario. En un espacio en el que la unión arbitraria de cerrados sea siempre un conjunto cerrado todos los conjuntos son abiertos; es decir: su topología es la discreta. En efecto: si A es un conjunto cualquiera, se tiene E\A= {x}

U

"'EF\A

y, puesto que todo conjunto unitario es cerrado, E \ A sería cerrado y A abierto.

• 3.3

Abiertos y cerrados en los subespacios Si (E, d) es un espacio métrico y F un subconjunto no vacío de E, sabemos que F da origen a un espacio métrico (F, d) con respecto a la métrica inducida por d. Nos proponemos ahora averiguar cómo son los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados en el subespacio (F, d) Y qué relación guardan con los abiertos y los cerrados en (E,d). Antes que nada conviene precisar cómo son las bolas abiertas en (F, d), punto de partida para todo. Tomemos un punto a E F Y un número real r > O. De acuerdo con la definición, una bola abierta de centro a y radio r en (F, d) es el conjunto {x E F: d(a, x)

< r};

pero esto no es otra cosa que FnB(a, r), donde B(a, r) es la bola abierta de centro a y radio r en (E,d). Resulta, pues, que las bolas abiertas en (F,d) no son más que las intersecciones de las bolas abiertas en (E,d) con F. Teorema 3.3.1 Un conjunto C e F es abierto en el subespacio (F, d) de (E, d) si y sólo si existe un conjunto A abierto en (E, d) tal que

C=AnF

61

DEMOSTRACIÓN

Supongamos que A es abierto en (E,d) y C = AnF. Si C = 0, es abierto en (F, d). Consideremos que C ¡. 0 y tomemos x E C. Pero entonces x E A y A es abierto en (E, d), luego existe r > O tal que B(x, r) e Aj pero esto implica que FnB(x,r)

e

AnF

=C

Es decir, existe una bola abierta de centro x en (F,d) contenida en C; luego C es abierto en (F, d). Recíprocamente, supongamos que C es abierto en (F, d). Entonces, para cada x E C, existe un número real r., > Otal que FnB(x,r.,)

eC

Pero esto implica que

C=

U(FnB(x,r.,)) .,ec

y, empleando la propiedad distributiva, tenemos: C=Fn

(U

B(X,r.,)) .

.,eC

El conjunto A = U.,ecB(x,r.,) es abierto en (E,d) por ser unión de conjuntos abiertos.

• Al igual que los abiertos, los cerrados en (F, d) son las trazas de los cerrados en (E, d) con F. Pero, antes de demostrar este hecho conviene destacar que F es siempre abierto y cerrado en (F, d) aunque no sea ninguno de los dos en (E, d). Teorema 3.3.2 Un conjunto C e F es cerrado en el subespacio (F, d) de (E, d) si y sólo si existe un conjunto A cerrado en (E, d) tal que C=AnF

DEMOSTRACIÓN

Si A es cerrado en (E,d), es D = E \ A abierto y, por tanto, D n Fes abierto en (F, d)j pero

así que A n F es cerrado en (F, d). Recíprocamente, si C es cerrado en (F, d), es F \ C abierto en (F, d) y, por tanto, existe D abierto en (E, d) tal que F\C=DnF

= E \ D es cerrado en (E, d) y se tiene A n F = (E n F) \ (D n F) = F \ (F \ C) = C

El conjunto A

• 62

Como se ha visto, cerrados y abiertos en (F, d) pueden tener carácter distinto como conjuntos del espacio métrico (E, d). Esto es porque los resultados anteriores son independientes del carácter de F como subconjunto del espacio (E, d). Sin embargo, cuando F es abierto o cerrado, la relación entre los abiertos y cerrados de (E,d) y (F,d) es muy simple. Teorema 3.3.3 Todo conjunto abierto en (F, d) es abierto en (E, d) si y sólo si F es un conjunto abierto en (E,d). DEMOSTRACIÓN

Si todo conjunto abierto en (F, d) es abierto en (E, d), entonces F que es abierto en (F,d) será abierto en (E,d). Recíprocamente, supongamos que F es abierto en (E, d); todo conjunto B abierto en (F, d) es tal que B A n F, siendo A abierto en (E, d); pero esto implica que B es abierto en (E, d) por ser intersección de abiertos.

=

• Ahora será fácil para el lector probar el resultado análogo para los cerrados. Teorema 3.3.4 Todo conjunto cerrado en (F, d) es cerrado en (E, d) si y sólo si F es un conjunto cerrado en (E, d) .

La lectura precipitada de los resultados anteriores dan lugar a errores muy comunes. Cuando F es abierto en (E, d), todo conjunto abierto en (F, d) es abierto en (E, d), pero, ¡ojo!, no se afirma nada sobre los conjuntos cerrados; de hecho, no todo cerrado en (F,d) tiene que ser cerrado en (E,d). ¿Puede el lector buscar un ejemplo? EJEMPLO

3.3.1

1. En el espacio (IR, d) consideremos el subconjunto de Q de los números racionales. Cualquier abierto en (IQ, d) es de la forma A n Q, donde A es un abierto de (IR, d). Así, por ejemplo, el conjunto

B

= {x E IQ: °< x

< 1}

es un conjunto abierto en (IQ, d). (Obsérvese, sin embargo que B no es un conjunto abierto en (IR, d». 2. Sea el subconjunto de R2

F={(X,Y)EIR2 :xy>1} Fácilmente se ve que F es abierto en (1R2 , d2) y, por tanto, todo abierto en (F, d2) es un conjunto abierto de (1R2 , d2 ). En particular

A=B«O,O),2)nF es un conjunto abierto en (F,d2 ) yen (1R2,d2). Por otra parte,

F\A es un conjunto cerrado en (F, d2 ), pero no lo es en (1R2 , d2 ). ¿Podría el lector decir por qué?

•

63

3.4

Distancias equivalentes Hemos visto que es posible definir distancias diferentes sobre un mismo conjunto E, y que esto da lugar a espacios métricos que, al menos en principio, han de considerarse distintos. Sin embargo no siempre las topologías inducidas por tales distancias son diferentes; esto es: los conjuntos abiertos en una son conjuntos abiertos en la otra y viceversa. En este sentido, cabe considerar, desde un punto de vista topológico, ambos espacios como idénticos. El estudio de bajo qué condiciones ocurre tal cosa es el objeto de esta sección. Definición 3.4.1 Dos distancias dI y d 2 definidas sobre un mismo conjunto E son topol6gicamente equivalentes si las topologías de los espacios (E, d¡) Y (E, d2 ) coinciden.

La definición anterior significa que si el conjunto A es un conjunto abierto en el espacio métrico (E,d¡) también lo es en el espacio (E,d 2) y viceversa. Obviamente, los cerrados también coinciden. En realidad, supone que todas las propiedades topológicas coinciden. Cuestiones como la convergencia o la continuidad, por ejemplo, mantienen, pues, su condición bajo distancias topológicamente equivalentes. Ahora bien, no es fácil determinar mediante la definición si dos distancias son topológicamente equivalentes. Por ello se hace necesario dar algunos criterios más operativos y es lo que hacemos a continuación. Teorema 3.4.2 Dos distancias dI y d2 definidas sobre un mismo conjunto E son topológicamente equivalentes si y sólo si 1. para cada bola abierta Bd, (a, r) en el espacio (E, d¡) existe una bola abierta B d2 (a, s) en el espacio (E, d2 ) tal que B d2 (a, 8) e Bd, (a, r); y

2. para cada bola abierta Bd2(a, s) en el espacio (E,d2) existe una bola abierta Bd, (a, r) en el espacio (E, dI) tal que B d, (a, r) e B d2 (a, 8). DEMOSTRACIÓN

Supongamos primero que dI y d 2 son equivalentes y sea Bd, (a, r) una bola abierta en (E,d¡). Puesto que todo conjunto abierto en (E,d¡) es también un conjunto abierto en (E, d2), se tiene que Bd, (a, r) es un conjunto abierto en (E,d2) y, por tanto, debe existir una bola Bd2(a,8) incluida en Bd, (a, r). Un razonamiento análogo prueba la inclusión contraria. Recíprocamente, sea A un conjunto abierto en (E, dI)' Para cualquier x E A existe entonces una bola abierta Bd, (x, r) contenida en A; pero esto significa que hay una bola abierta en (E, d2 ), B d2 (x, 8),0 tal que

Luego, A es un conjunto abierto en (E, d2 ). De forma análoga se prueba que A es abierto en (E,d¡) si A es abierto en (E,d2).

•

El que dos distancias dI y d2 sean topológicamente equivalentes significa, pues, que las topologías inducidas en (E,d I ) y (E,d 2 ) coinciden y con 64

ella, todas las propiedades topológicas. Sin embargo, no tiene por qué ocurrir así con las propiedades estrictamente métricas. Por ejemplo, la distancia usual d y la distancia d' (x, y) = inf{1, d( x, y)} son topológicamente equivalentes (véase el problema 17); sin embargo no existe ningún número real k > O tal que d(x,y) ~ k para todo x,y E IR mientras que d'(x,y) ~ 1 para todo x,y E IR. Así, pues, para que tales propiedades métricas coincidan en un espacio y en otro, necesitamos imponer condiciones más fuertes sobre las distancias. La definición siguiente muestra qué condiciones deben cumplir dI y d 2 para poder considerarlas como métricamente equivalentes. Definición 3.4.3 Dos distancias dI y d2 definidas sobre un mismo conjunto E son equivalentes si existen dos constantes reales positivas h y k tales que para todo x, y E E se verifica 1. dI(x,y) ~ hd2(x, y)

2. d2(X, y)

~ kd I (x, y)

Teorema 3.4.4 Si dos distancias dI y d2 definidas sobre un mismo conjunto E son equivalentes, entonces son topológicamente equivalentes. DEMOSTRACiÓN

Supongamos que dI y d 2 verifican 1; probaremos que para cada bola abierta Bd, (a, r) existe una bola Bd. (a, s) contenida en ella. En efecto, todos los x E E que verifican

verifican también dI (a, x)

< hd2 (a, x) < r

luego Bd.(a,r/h)

e

Bd,(a,r)

De forma análoga, si dI y d2 verifican 2 entonces todo x E E que verifica kd¡(a,x)


verifican también luego Bd,(a,r/k)

e

Bd.(a,r)

Esto prueba que las distancias dI y d 2 son topológicamente equivalentes.

•

Es natural estar tentado de concluir que el recíproco del teorema anterior es cierto, pero no es así; dos distancias pueden ser topológícamente equivalentes y no verificar alguna (o ambas) de las condiciones para ser equivalentes (problema 17).

65

EJEMPLO

3.4.1

1. En lR la distancia usual d y la métrica trivial dt no son equivalen-

tes. Basta observar que los conjuntos unitarios {x} son abiertos en (IR, d¡) Y no lo son en (IR, d). 2. En lR2 , las distancias, dI y doo son equivalentes. En efecto; se tiene

dl(X,y)

= ~

=

IXI - YII + IX2 - Y21 2 máx {lxI - yd, IX2 - Y21} 2doo (x, y)

y también

doo(x,y) ~

=

máx{lxI - YII, IX2 - Y21} IXI - YI! + IX2 - Y21 dI (x, y)

• 3.5

Problemas 1. Sea el espacio métrico (lR2 , d), con

d(x, y) = inf{l,d2(x,y)} Hallar B(a, r) y B(a, r). 2. Decidir si los conjuntos siguientes son abiertos o cerrados en los espacios (lR2 ,dd, (lR2 ,~) Y (lR2 ,doo ). (a) A = {(x,y) E lR2 : y = tanx}

= {(x,y) E lR2 : y = v'4 - x 2 } C = {(x,O) E lR2 : x E [0,1]}

(b) B (c)

3. Decir si los conjuntos siguientes son abiertos o cerrados en (lR2 , d) yen (lR2 , dd. (a) A = {(x, y) E lR2 : y = tan x} (b) B= {(x, y) E lR2 :y=v'4-x2 } (c) C={(x,0)ElR2 :xE[0,1]}

4. Demostrar que un conjunto no vacío en un espacio métrico cualquiera es abierto si y sólo si es la unión de una familia de bolas abiertas. 5. Mostrar que en cualquier espacio métrico, la unión infinita de cerrados no es, necesariamente, un cerrado. 6. Demostrar que todo conjunto cerrado en lR es intersección de una familia numerable de abiertos. 7. Sean los conjuntos A y B en el espacio métrico (E, d). Probar que se verifica (a) Si A es abierto y B es cerrado, entonces A \ B es abierto. (b) Si A es cerrado y B es abierto, entonces A \ B es cerrado. 66

8. Encontrar dos conjuntos A y B de IR? cerrados y disjuntos tales que no existan Xo E A, Yo E B de forma que

dz(xo,yo)

= dz(A,B)

¿Ocurre lo mismo en (lR?, d¡)? 9. Sea A un conjunto de números reales abierto, no vacío y acotado. Si llamamos Q = inf A y (3 = sup A, demuéstrese que Q l/. A Y (3 l/. A. 10. Sea (E, d) un espacio métrico, a E E Y r

>

O un número real.

Probar que

{xEE:d(x,y»r} es un conjunto abierto y que {XEE:d(x,y)~r}

es un conjunto cerrado. 11. Sea el subconjunto de lit?

F

= {(x, y) E lRz : xy > 1}

y A

= B(O, 2) nF

Probar que F \ A es un conjunto cerrado en (F, dz), pero no lo es en (lRz , dz). 12. En (lR, d) consideramos el subconjunto Z de los números enteros. (a) ¿Cómo Son las bolas abiertas en (Z,d)? (b) Describir los abiertos y los cerrados de (Z, d) 13. En (lRz , dz) se considera el conjunto F

= {(x, y) E lRz : Ixl < 2, Iyl < 1}

Decidir si el conjunto

A={(x,Y)ElRZ :(x-2)2+ y 2::;I,x<2} es abierto o cerrado en (lRz , d2) yen (F, dz). 14. Sea (E, d) un espacio métrico y F un subconjunto de E. Entonces (F, d) es un subespacio métrico. Sea ahora G e F. Probar que (G,d) es el mismo considerado como subespacio de (E,d) y de (F,d). 15. Sea (E, d) un espacio métrico y F Y G subconjuntos de E tales que

FUG=E Probar que si A e F n G es abierto en (F, d) Y (G, d), entonces es abierto en (E, d). 16. Probar que d1 , dz Y deo son distancias topológicamente equivalentes en 1R2 • (Generalizar también a lRn ). (a) Utilizando el teorema 3.4.2 (b) Utilizando el teorema 3.4.4 67

17. Definimos en 1R2 la aplicación d·(x,y)

= mín {K,d2(X, y)}

donde K > O es una constante. Probar que d· es una distancia y es topológicamente equivalente a d2. ¿Son equivalentes? 18. Para cualquier número real x se define la parte entera de x, [x] como el mayor entero menor que x. Sea dq(x, y)

= I[x] -

[y]1 + ¡(x - [x]) - (y - [y])1

(a) Probar que d q es una distancia en IR. (b) ¿Cómo son las bolas abiertas? (c) ¿Existen constantes positivas h y k tales que hdq(x,y)::; d(x,y)::; kdq(x,y)?

(d) ¿Son equivalentes d q y la distancia usual? (e) Probar que dq y d inducen la misma métrica sobre Z.

3.6

Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones EJEMPLO

3.6.1

1. En C([a, b]) con la métrica uniforme la bola abierta de centro f y radio r es el conjunto de todas las funciones reales, g, continuas en

[a, b] y tales que f(x) - r

< g(x) < f(x) + r

para todo x E [a, b] (fig. 3.4). 2. Sea C([O, 27r]) con la métrica del supremo y

A

= {sen x + k: O < k < 1}

Tomemos f(x)

= sen x + leo E A

La bola abierta de centro f y radio r g, continuas en [O,27r] que verifican sen x

+ ko -

r

> Oes el conjunto de funciones

< g(x) < sen x + leo + r

para todo

x E [O,27r]

Si ponemos (fig. 3.5) g(x)

r

= sen x + 2 sen(8x) + ko,

puesto que -r <

r

2 sen(8x) < r

se tiene sen x

+ leo - r < g(x) < sen x + leo + r

Por lo tanto, g(x) E abierto.

BU, r) y 9

~ A.

Así que A no es un conjunto

• 68

Figura 3.4: Bola abierta en C([a, b]) ~--..;:

f(x)

+r

I I

--;-----,: f (x) I I I I

~_-..,I

g(x) I

f(x) - r

I I

I

I I I I I

a

b

Figura 3.5:

PROBLEMAS

1. Decir si los conjuntos siguientes son abiertos o cerrados en C([O, 1])

con la métrica uniforme. (a) A={senx+k:O~k~l} (b) B

= {j E C([O, 1]) : f(O) = O}

2. En el conjunto E de todas las sucesiones reales (x n ) acotadas (es decir Ixnl ~ k, para algún k > O), la aplicación

d«x n ), (Yn)) = sup IX n - Ynl n

define una métrica sobre E. Decir si el conjunto

A

= {(x n )

E

E: límx n

= O}

es abierto o cerrado. 69

3. En C([O, 1]) consideramos las distancias d(J,g)

= máx

0$"'9

Sea r

If(x) - g(x)¡

lf(J,g)

y

l

Jor If(x) -

g(x)1 dx

> O; se define 9 E C([O, 1]) mediante 4x _ --+4 9 () x - { r 2

Probar que 9 E Bd' (J, r) y que 9 y d' no son equivalentes.

70

=

si si

O$ x < tr tr $ x $ 1

f/. Bd(J, 1).

Deducir de ello que d

4

4.1

Subconjuntos notables

Interior, exterior y frontera de un conjunto En (1R2 , d 2 ) consideremos el subconjunto (fig 4.1) A = {(x,y) E 1R2

:

4x 2 +y2 < 1}

Si tomamos el punto a

= (O, -1/4) E A

podemos encontrar una bola abierta B(a,r) incluida en A; basta tomar, por ejemplo, r = 1/4. Sea ahora el punto b

= (1, -1);

la bola abierta B(b, 1/2) está incluida en el complementario de A. Es decir, no sólo a E A Y b E E \ A, sino que además podríamos decir informalmente, que a está completamente dentro de A y que b está completamente fuera de A. Con otras palabras: los puntos suficientemente cercanos a a son también de A y los puntos suficientemente cercanos a b son también del complementario de A. Ahora bien, no todos los puntos de 1R2 se comportan de esta forma; para el punto c = (1/4, ..12/3) no existe ninguna bola abierta B(c,r) contenida en A o en su complementario; esto es: toda bola abierta B(c, r) contiene a la vez puntos de A y puntos de su complementario (¿cuáles, por ejemplo?), lo que supone que existen puntos cercanos que pertenecen a A y puntos cercanos que no pertenecen a A. Fi ura 4.1: Interior, exterior y frontera

71

Sea (E,d) un espacio métrico. Definición 4.1.1 Un punto x E E es un punto interior a un conjunto A e E si existe una bola abierta B(x, r) contenida en A. El conjunto de los puntos interiores a A se llama interior de A y se designa por int(A).

Un punto x E E es un punto exterior a un conjunto A e E si existe una bola abierta B(x, r) contenida en el complementario de A. El conjunto de los puntos exteriores a A se llama exterior de A y se designa por ext(A). Un punto x E E es un punto frontera de un conjunto A e E si toda bola abierta B(x, r) contiene puntos de A y de su complementario. El conjunto de los puntos frontera de A se llama frontera de A y se designa porfr(A). Consecuencia directa de ladefinición es que int(A) e A y ext(A) e E\A. Nótese, sin embargo, que la condición de interior, exterior o frontera de un punto depende de la existencia o no de ciertas bolas abiertas y, por tanto, de la distancia y como se haya definido. Esto significa que para un conjunto dado un punto puede ser interior a un conjunto si se considera una distancia y no serlo si se considera otra distancia. Por otra parte es evidente que si las distancias son equivalentes, los puntos no pierden su condición. Basta tener en cuenta el teorema 3.4.2. Frecuentemente, para determinar el interior, exterior y frontera de un conjunto en IRR, las ayudas geométricas son de gran ayuda, pero no siempre tenemos situaciones cercanas a nuestra intuición, y fiarse en exceso de ella puede ser a veces muy peligroso. Veamos algún ejemplo. EJEMPLO 4.1.1

1. En la recta real, consideremos el conjunto Q de los números racionales. Ningún intervalo abierto está contenido enteramente en el conjunto Q, luego int(Q) 0.

=

Tampoco existe un intervalo abierto enteramente incluido en IR \ Q, por tanto ext(Q) 0.

=

Finalmente, entonces, fr(A) = IR. Como se ve, int(A) puede muy bien ser vacío sin que lo sea A. Tal situación es de mucho interés y volveremos sobre ella más adelante. 2. Sea el espacio (lR,dd y A = [0,1). Si x E A, entonces B(x,1)

= {x} e

A,

así que x es un punto interior a A. Por otra parte, si x ~ A, la bola abierta B(x, 1) estará contenida en IR \ A y x es un punto exterior a A. Es evidente, finalmente, que entonces fr(A) 0.

=

•

El resultado siguiente pone de manifiesto, como es fácil de intuir, que para cada conjunto A, los conjuntos int(A), ext(A) y fr(A) suponen una clasificación del conjunto E.

72

Teorema 4.1.2 Para cada A e E, los conjuntos int(A), ext(A) y fr(A) son disjuntos dos a dos y

int(A) U ext(A) U fr(A)

= E.

n fr(A) = 0 y

n fr(A) = 0.

DEMOSTRACIÓN

Es evidente que int(A)

ext(A)

También se verifica que int(A) n ext(A) = 0 pues si x E int(A) entonces x E A Y si x E ext(A) entonces x E E-A. Además E = int(A) U ext(A) U fr(A), pues si x E E Y x r¡. int(A) U ext(A) entonces toda bola B(x, r) contiene puntos de A y de su complementario, luego x E fr(A).

• La clasificación de los puntos de E que, de esta forma, genera cualquier conjunto A da lugar a numerosas cuestiones interesantes. De entre todas ellas, sin embargo, la de mayor importancia es la de que el concepto de interior de un conjunto permite caracterizar a los abiertos. Teorema 4.1.3 Para todo A e E, se tiene que int(A) y ext(A) son conjuntos abiertos y fr(A) es cerrado. DEMOSTRACIÓN

Desde luego, int(A) es abierto si es vacío. En otro caso, por definición de interior, para cada x E int(A) existe una bola abierta B(x, r) contenida en A. Veamos que todo punto de B(x, r) es interior a A. Como B(x, r) es abierto, para cada y E B(x, r) existe una bola abierta B(y,s) contenida en B(x,r); luego B(y, s) e A. Esto prueba que todos los puntos de B(x, r) son interiores a A, es decir que B(x, r) e int(A) y, por tanto, int(A) es abierto. Por otra parte, es inmediato que ext(A) ext(A) es un conjunto abierto.

= int(E \

A), así que también

Finalmente, como fr(A)

= E \ (int(A) U ext(A))

y el conjunto int(A) U ext(A) es abierto por ser unión de abiertos, fr(A) es un conjunto cerrado.

• El hecho de que int(A) sea un conjunto abierto tiene una consecuencia muy interesante: los puntos interiores nos permiten dar una caracterización de los conjuntos abiertos.

73

Teorema 4.1.4 int(A) es el mayor abierto contenido en A. Esto es: si B es otro conjunto abierto contenido en A, entonces B e int(A). DEMOSTRACiÓN

En efecto, si B es un abierto contenido en A y x E B, existe una bola abierta B(x, r) contenida en B y por tanto en A, luego todo punto x E B es interior a A y B e int(A).

• El resultado anterior tiene una consecuencia inmediata: Teorema 4.1.5 Un conjunto A es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. Esto es: si y sólo si A = int(A).

Resulta ahora conveniente para lo que sigue ampliar la noción de entorno de un punto x -que ya se vio en IR, aunque con una definición más restringida- al de un conjunto que, en cierta medida, enooelve a x. Definición 4.1.6 Un conjunto A es entorno de un punto x si x es un punto interior a A. En particular, una bola abierta de centro x y radio r > O cualquiera es un entorno de x y un conjunto abierto es entorno de cualquiera de sus puntos. También es fácil ver que la unión arbitraria y la intersección finita de entornos de x son también entornos de x. Teorema 4.1.7 Para cualquier subconjunto A y x E E, las condiciones siguientes con equivalentes

1. A es un entorno de x. 2. Existe un conjunto abierto U tal que x E U

e A.

DEMOSTRACiÓN

Que (1) implica (2) es evidente, pues si x es interior a A, existe una bola abierta B(x, r) tal que x E B(x, r) cA. Veamos el recíproco. Puesto que x E U y U es abierto, existe una bola abierta B(x,r) e U e A y, por tanto, x E int(A).

• 4.2

Adherencia y acumulación de un conjunto Como se ha visto, los puntos interiores pueden servir para caracterizar a los conjuntos abiertos. De forma análoga, existen puntos que permiten caracterizar a los conjuntos cerrados: son los puntos adherentes. Intuitivamente, un punto x es adherente a un conjunto A si no puede separarse de A mediante una bola abierta. La definición precisa y apropiada es la siguiente.

74

Fi ura 4.2: Puntos adherentes

Definición 4.2.1 Un punto x E E es un punto adherente a un conjunto A e E cuando todo bola abierta B(x,r) contiene puntos de A. El conjunto de puntos adherentes a A se llama adherencia o clausura de A y se designa por A. Desde luego, todo punto x E A es adherente a A: basta tener en cuenta que toda bola abierta B(x, r) contiene a x. Sin embargo puede muy bien ocurrir que x sea adherente a A sin que x pertenezca a A; en la práctica, este es el caso más interesante. EJEMPLO

4.2.1

1. Consideremos en (IR2 , d 2 ) el grafo de la función

f (x)

= sen(l/x)

sobre (0,1/11-]; es decir: A = {(x,sen(l/x) : O < x ~ 1/1l} Todo punto (O,y) tal que -1 ~ Y ~ 1 es un punto adherente a A. Por supuesto, también todo punto (x,sen(l/x)) con O < x < 1/1l es también un punto adherente puesto que pertenece a A. 2. En un espacio discreto (E, dd un punto x es adherente a un subconjunto A de E si y sólo si x E A. Para ver esto basta recordar que B(x, 1) = {x}

•

r-

!i~ura~-:~-.:.jJx)

= sen(l/x)

I

I

i

L ___

. 75

Como puede suponerse, los puntos adherentes guardan una estrecha relación con los puntos interiores y los puntos frontera. Teorema 4.2.2

A = int(A) U fr(A)

DEMOSTRACIÓN

Si x E A toda bola abierta B(x, r) contiene puntos de A, así que x no pertenece a ext(A)¡ es decir:

x E int(A) U fr(A) y, por tanto,

A e int(A) U fr(A). La inclusión contraria es evidente a partir de las definiciones.

• El resultado anterior nos permite mostrar cómo los puntos adherentes pueden determinar si un conjunto es cerrado o no. Teorema 4.2.3 Para cada conjunto A e E el conjunto A es cerrado y es el mínimo cerrado que contiene a A; esto es: si B es un conjunto cerrado tal que A e B entonces A e B. DEMOSTRACIÓN

Desde luego,

A es un conjunto cerrado puesto que A = int(A) U fr(A)

= E \ ext(A).

Sea B un cerrado que contenga a A. Tenemos que probar que A lo que es equivalente, E\B e E\A.

eB

o

Sea x E E \ B; como B es cerrado, E \ B es abierto y existirá una bola abierta B(x, r) contenida en E \ B; además, como E \ B e E \ A, será

B(x,r) nA luego x

f/. A, es decir, x

EE\

= 0,

A como queríamos probar.

•

Y, como consecuencia inmediata: Corolario 4.2.4 Un conjunto A e E es cerrado si y sólo si A

= A.

Consideremos ahora el conjunto M = (0,1) U {2}. No es muy dificil comprobar que M = [0, lJ U{2}. Ahora bien, entre los puntos adherentes 1 y 2 hay ciertas diferencias que conviene precisar; en efecto, toda bola abierta B(I, r) contiene puntos de M distintos del 1. Sin embargo, el único punto de M que contiene la bola abierta B(2, 1/2) es, precisamente, 2; ningún otro punto de la bola pertenece a M. Precisemos estas ideas. 76

Definición 4.2.5 Un punto x E E es un punto de acumulación de un conjunto A e E cuando toda bola abierta B(x, r) contiene puntos de A distintos de x.

El conjunto de puntos de acumulación de A se llama el conjunto derivado de A y se designa por A' . Puede muy bien suceder que un conjunto no admita ningún punto de acumulación, así como admitir muchos. Nótese que no se exige en la definición que x E A, pero puede suceder. Es evidente, además, que todo punto de acumulación es punto de adherencia, pero el contrario no es cierto. Existen puntos de adherencia que no son puntos de acumulación. Un ejemplo trivial es el conjunto A

= {a}.

Esto motiva la siguiente definición. Definición 4.2.6 Un punto x E E es un punto aislado de un conjunto A si es un punto de A que no es de acumulación. Veamos algún ejemplo. EJEMPLO

4.2.2

1. En la recta real, todo punto x E N es un punto adherente de N,

pero no es de acumulación puesto que

(B(x, 1/2) \ {x}) n N

=0

En otras palabras, todo punto x E N es aislado.

2. Si

A = {1, 1/2, 1/3, ... , l/n, ... } entonces A'

= {O} Y todos los elementos del conjunto son aislados.

2

3. En (lR , d 2 ) consideremos el conjunto

A = {(x,sen(l/x) : O < x Todo punto (O, y) tal que -1 ~ Y también lo son los puntos x E A.

~

~

llrr}

1 es punto de acumulación y

• Para que un conjunto tenga la posibilidad de admitir puntos de acumulación debe ser infinito (problema 12); dicho de otra forma: un conjunto finito no admite puntos de acumulación. Recíprocamente, como se ha visto en los ejemplos, si un conjunto es infinito no puede asegurarse que admita puntos de acumulación. No obstante, en ciertos espacios (los normados de dimensión finita), conjuntos infinitos que satisfagan una débil hipótesis adicional (acotados) sí tienen puntos de acumulación. Este es el famoso teorema de Bolzano-Weierstrass ya visto en (Ji, d) Y sobre el que volveremos más adelante; desgraciadamente, no es válido en un espacio métrico cualquiera. 77

En general, A' puede contener desde ninguno hasta infinitos puntos y su relación con A puede ser cualquiera: coincidir con él, contenerlo, estar contenido en él, ser disjunto o ninguna de estas cosas. Algunos de estos casos dan origen a diversos tipos de conjuntos de gran importancia, como veremos más adelante. Teorema 4.2~ 7 Para cada A

e

E se verifica

A ::: A U A'.

DEMOSTRACIÓN

A e A y todo punto de acumulación es adherente, luego A' ambos resulta que AUA' cA.

e A.

De

Veamos que también se verifica el recíproco. Sea x E A¡ entonces para toda bola abierta B(x, r) se cumple B(x, r) nA -1- 0. Puede suceder que exista una bola abierta B(x, r) tal que

B(x,r)nA= {x}, en cuyo caso x E A, o bien que para toda bola abierta B(x, r) sea

(B(x,r) \ {x}) n A -1- 0, en cuyo caso x E A'. En todo caso x E A U A'.

• La consecuencia inmediata del resultado anterior es que es posible caracterizar a los cerrados por medio de sus puntos de acumulación. Basta tener en cuenta que A es cerrado si y sólo si A ::: A = A U A'. Por tanto Corolario 4.2.8 Un conjunto A todos sus puntos de acumulación.

e

E es cerrado si y sólo si contiene a

A pesar de todos los casos patológicos, nos atrevemos a dar algunas interpretaciones intuitivas, con la poca confiabilidad que ellas merecen, pero contando con la benevolencia del lector. Podemos pensar que cualquier conjunto de un espacio métrico está limitado (de su complementario) por una concha o cáscara que es su frontera. Lo que se encuentra dentro de la cáscara es el interior del conjunto y el conjunto con toda la cáscara es la clausura. Si el conjunto no incluye nada de la frontera es abierto y si la incluye toda es cerrado; en caso de incluir sólo una parte, el conjunto no es abierto ni cerrado (problema 4). Debemos insistir en que tales interpretaciones son excesivamente simplistas. El concepto de espacio métrico es de una extraordinaria generalidad e incluye una abrumadora variedad de espacios, algunos de los cuales son muy extraños, sucediendo en ellos cosas que desconciertan nuestra modesta intuición que no pasa de ]R3. Aun en ]R2 y hasta en la recta, pueden considerarse conjuntos tan complejos que desafian nuestro sentido común. Debe, pues, el lector tomar las interpretaciones intuitivas en esta teoría abstracta con toda la desconfianza que merecen y a guisa de mera orientación. 78

4.3

Subconjuntos densos Definición 4.3.1 En un espado métrico, (E, d), un conjunto D es denso si D=E.

El conjunto E es denso trivialmente; es, por cierto, el único conjunto cerrado y denso, ya que si A fuese denso y cerrado, entonces A = A = E. Pero existen también subconjuntos propios que son densos. Por ejemplo, ya se ha visto que ij = IR - Q = IR así que Q y IR - Q con subconjuntos densos en (IR, d). La idea de que un subconjunto denso rellena a E se pone de manifiesto en el resultado siguiente. Teorema 4.3.2 Un conjunto D es denso en E si y sólo si para todo abierto no vacío A e E se verifica que A n D # 0. DEMOSTRACIÓN

Sea D denso en E y A un subconjunto abierto. Para cualquier x E A existe una bola abierta B(x, r) e A. Puesto que x E 15 se ~iene que B(x, r) n D # 0 y, por tanto, DnA

# 0.

Recíprocamente, supongamos que A es abierto y A n D # 0. Sea x E E; puesto que B(x, r) es abierto, B(x, r) n D # 0 y D es denso.

• Por extensión, si D e A e E, diremos que D es denso en A si D es denso en el subespacio métrico (A, d). Esto significa que D es denso en A si y sólo si DnA=A o, equivalentemente, si y sólo si AeD.

(Véase el problema 8). EJEMPLO 4.3.1

Sea IR con la distancia usual y A = (0,1). El conjunto de los números racionales del intervalo (0,1), es decir, el conjunto D=QnA,

es denso en A, puesto que QnA

= [0,1]

y, por tanto,

• 79

Los conjuntos densos son, desde luego, de muy variada especie. Algunos de ellos, los que son a la vez conjuntos numerables, tienen una gran -importancia. Definición 4.3.3 Un espacio métrico (E,d) es separable si contiene un subconjunto denso y numerable. La recta real es un ejemplo típico de espacio separable puesto que Q = IR Y Q es numerable. También lo es, en general, (IR", d 2 ) y, por supuesto, con cualquier otra distancia equivalente. En el apéndice de este capítulo puede el lector interesado ver un ejemplo muy sugerente de espacio no separable. Teorema 4.3.4 Si (E, d) es separable, toda familia de abiertos no vacíos y disjuntos entre sí es numerable. DEMOSTRACIÓN

Si (E, d) es separable, contendrá un conjunto A denso y numerable. Sea :F una familia de abiertos B a disjuntos entre sí. Puesto que A es denso y B a abierto, se tiene que

AnBa f 0 Además, (A

n Ra ) n (A n B/3) = 0.

Así, pues, la familia

g = {A n R a : B a } que es numerable, por serlo A, puede ponerse en biyección con:F. Por tanto :F es numerable.

•

Aunque la denominación de separable se suele reservar a los espacios, por extensión, diremos que un conjunto A es separable si posee un subconjunto denso en A y numerable, lo que no supone nada nuevo: lo que realmente estamos diciendo es que (A, d) es separable.

4.4

Problemas 1. En (lR, dt) y (lR; d q ), hallar el interior, exterior y frontera de los siguientes conjuntos: (a) (0,1)

(b) [0,1] (e) {(-l)nln:nEN} (d) Q

2. En (lit? , d2 ) hallar el interior, exterior y frontera de los conjuntos (a) {(x, y) E]R.2 : x

= lln (n E N),O $

V $l}

(b) {(x,V) E]R.2 : xV > l} (e) {(x,y) E lR2

BO

:

x

= n,

V = lln (n EN)}

3. Sean A y B dos subconjuntos en (E,d). Demostrar que (a) int(A

n B)

= iot(A)

n int(B)

(b) int(A) U int(B) e int(A U B). Dése un ejemplo en el que el contenido sea estricto. (e) int(A U B) = int(A) U int(B) si fr(A) n fr(B) = 0

(d) int(int(A» = int(A) 4. Probar que (a) fr(A)

= freE \

A)

(b) A es abierto si

y sólo si A n fr(A) = 0.

(e) A es cerrado si y sólo si fr(A) e A (d) A es abierto y cerrado si y sólo si fr(A)

= 0.

5. Sean A y B dos subconjuntos en (E, d). Demostrar que (a) AUB=AuB

(b) A n B e estricto.

A n B. Dése un ejemplo en el que el contenido sea

(e) A es abierto si y sólo si A n Be A n B para todo B e E. 6. Sea A e E y

:F = {B e E: A e By B es cerrado} Probar que A=

nB

BEF

7. Sea A un conjunto abierto y B un conjunto cualquiera en un espacio (E,d). Demuéstrese que (a) AnBCAnB

(b) AnB=AnB

(e) A

n B = 0 si y sólo si

A

nB =0

8. Sea (F, d) un subespacio de (E, d) Y A e F; designemos por int(A)F F y A al interior y la clausura de A en (F, d), respectivamente. (a) Probar que int(A)F = (E \ F \ A) n F (b) Dar un ejemplo en el que int(A)F -F

(e) Probar que A

f.

int(A)

n F.

=-A n F

9. (F, d) subespacio de (E, d) Y B cerrado en (F, d). Demostrar que B es cerrado en (E,d) si y sólo si B e F. 10. Sean A y B dos subconjuntos en (E, d). Demostrar que (a) A' es un conjunto cerrado. (b) Si A

e

B, entonces A'

e

B'.

(e) (AUB)'=A'UB'.

(d) (A n Bl' e A' n B'. Dése un ejemplo de contenido estricto. 81

11. Contestar razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afir-

maciones. (a) Si a E A Y A es abierto, a es de acumulación de A. (b) Sea F cerrado y x E F, entonces x es un punto aislado de F si y solo si F \ {x} es cerrado. (c) Si A no es cerrado y a E A \ A, entonces a es un punto de acumulación de A. Probar que B(x, r) n A

12. Sea x un punto de acumulación de A.

contiene infinitos puntos para todo r

> O.

13. Probar las siguientes relaciones (a) (A)'

= A'.

(b) E\A=E\int(A).

(c) E \ A == int(E \ A). 14. Probar que todo punto aislado de de A. ¿Se cumple el recíproco?

A

es también un punto aislado

15. En (lR, d t ) Y (IR; dq ), hallar la adherencia y los puntos de acumulación de los siguientes conjuntos: (a) (0,1)

(b) [0,1) (c) {(_l)njn:nEN} (d)

iQ

16. En (lR2 ,d2 ) hallar la adherencia y los puntos de acumulación de los

conjuntos (a) {(x,y) E lR2 : x

= l/n (n E N),O :s Y:S 1}

> 1} : x == n,y

(b) {(x,y) E

]R2 :

(c) {(x,y) E

]R2

xy

= l/n (n E N)}

17. Probar los siguientes hechos relativos a las distancias. (Se supone A~E)

(a) x E A si y sólo si d(x, A) = O.

>O A) > O

(b) x E int(E \ A) si y sólo si d(x, A) (c) x E int(A) si y s610 si d(x, E \ (d) d(A,B)

= d(A,B)

(e) A es denso en E si y sólo si d(x, A)

=

°

para todo x E E.

18. Dado un conjunto A del espacio métrico (E,d), comprobar si los conjuntos siguientes son densos o no en E.

(a) E \ fr(A) (b) (E \ A) U A (c) (E\A)Uint(A) 19. Si A es un abierto y B es denso en (E, d), demostrar que A n B 20. Probar que A es denso si y sólo si int(E \ A)

82

= 0.

= A.

21. Demostrar que si A y B son abiertos y densos en (E, d), entonces A U B es denso. 22. Proporcionar un ejemplo de una familia numerable de conjuntos densos cuya intersección no sea densa. 23. Probar que (a) Un espacio discreto es separable si y sólo si E es numerable. (b)

]Rn

con la métrica usual es separable.

(c) En un espacio métrico separable todo subconjunto es separable. 24. Sean dI y d2 dos distancias equivalentes sobre E y A un subconjunto de E. Probar que (a) el interior, exterior y frontera de A coinciden en (E, d¡) Y (E,d2 ). (b) la adherencia y los puntos de acumulación de A coinciden en (E, d¡) Y (E, d2 ). (c) si A es denso en (E, dI), entonces es denso en (E,d2 ).

25. Un conjunto A es fronterizo en (E, d) si su complementario, E \ A es de1l8o. (Precaución con las intuiciones). (a) Mostrar que, en general, la frontera de un conjunto no es siempre un conjunto fronterizo. (b) Probar que si A es abierto y fronterizo, entonces A

= 0.

(c) Probar que A es cerrado y fronterizo si y sólo si fr(A) == A

26. Un conjunto A es diseminado en (E, d) si el complementario de su clausura, E \ A es denso. (a) Probar que si A es un conjunto abierto o cerrado en un espacio (E, d), entonces fr(A) es diseminado. (b) Probar que si A y B son diseminados en un espacio métrico (E, d), entonces A U B es diseminado. (c) Consideremos (Q, d) donde d es la métrica inducida por la de la recta real. Probar que todo conjunto unitario es diseminado.

N6tese que Q es la unión de todos los conjuntos unitarios, así que esto prueba que la unión arbitraria de conjuntos diseminados no es, necesariamente, un conjunto diseminado. 27. Probar (a) A es fronterizo si y sólo si int(A)

= 0.

(b) A es diseminado si y sólo si int(A) == 0 28. Probar (a) Si A es cerrado y fronterizo, entonces A es diseminado. (b) si A es diseminado entonces A es fronterizo. 29.

(a) Proporcionar un ejemplo de conjunto fronterizo que no sea diseminado. (b) Dar un ejemplo de conjunto fronterizo y denso. 83

4.5

Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones EJEMPLO

4.5.1

Sea C([O, 1]) con la distancia del máximo y el subconjunto A = {f E C([O, 1)) : f(x)

< 1 para todo x E [0, In

Se está tentado de decir que la frontera es la función f(x) = 1. En cierto sentido esto es cierto, pero no totalmente. Sea una función cualquiera,

f

E C([O,

= p < 1,

máx f(x) "'E[O,l] entonces se tiene

BU, 1 -

p)

e

1]. Si

A. En efecto, si 9 E

g(x) < f(x)

+ 1-

P

BU, 1 -

p) entonces

<1

para todo x E [0,1], así que 9 EA. Por otra parte si máx f(x) "'E[O,l]

= p > 1,

= p para algún Xo E [0,1).

entonces f(xo) tiene

Por tanto si 9 E B(f,p - 1) se

g(xo) > f(xo) - p+ 1> 1 y

máx g(x) > 1, "'E[O,l] de modo que 9

't Aj asi pues, B(f,p - 1) e C([O, 1)).\ A.

Finalmente, si máx"'E[O,l] f(x)

= 1, se tiene para cualquier r > 1

f(x) - r < f(x) - 2r < f(x)

°

+r

y

f(x) - r < f(x)

1

+ 2r < f(x) + r

de forma que f(x) - ~r y f(x) + ~r pertenecen a la bola abierta B(f, r). Además 1 1 máx f(x) - -r = 1 - -r < 1 "'E~)J

2

2

y

máx f(x) "'E(O,l]

1

1

+ -2r = 1 + -r > 1 2

así que en toda bola abierta BU, r) hay puntos de A y de su complementario y, por tanto, f es un punto frontera. En resumen int(A)

ext(A) fr(A)

84

=

{f E C([O, 1]) : máx f(x) < 1} "'E[O,l] {f E C([O, 1]) : máx f(x) > 1} "'EIO,l] {f E C([O, 1]) : máx f(x) 1} "'EIO,l]

=

\

EJEMPLO

4.5.2

Llamemos COO al conjunto de todas las sucesiones reales tales que x n salvo para un número finito de términos.

=O

Claramente COO es un subconjunto de CO, Tomemos un punto cualquiera (x n ) de Co y sea r > O un número real positivo cualquiera. Puesto que X n --+ O, existirá no tal que X n E (-r, r) para n > no. Pongamos, entonces X si n:S no Yn = { On si n > no Es claro que la sucesión (Yn) E COO, Además, se tiene

IXn - Ynl IXn - Ynl (recuérdese que

Xn

=O

si si

n>no

> no)

así que


E (-r, r) para n

suplX n

Ynl

-

n:Sno


n

lo que supone que (Yn) E B«x n ), r). Por tanto, en cualquier bola abierta B«xn),r) hay algún punto de Coo, y, por tanto, COO es denso en Co.

•

EJEMPLO

4.5.3

lOO, el espacio de las sucesiones reales acotadas con la distancia del supremo no es un espacio separable. En efecto: llamemos B al conjunto de las sucesiones cuyos términos son todos ceros o unos. Este conjunto no es numerable y es inmediato que si (x n ) e (Yn) son dos puntos de B, entonces d«x n), (Yn» = sup IXn - Ynl = 1 n

De aquí se deduce que el conjunto

es una familia de abiertos disjuntos no numerable. En resumen lOO no puede ser separable.

•

PROBLEMAS

1. Hallar el exterior, interior y frontera en C([O, 1)) con la métrica uniforme del conjunto

A

= {f E C([O, 1)) : feO) = f(l) = O}

2. Hallar la adherencia y los puntos de acumulación en C([O, 1)) con la métrica uniforme de los conjuntos (a) A

= {f E C([O, 1]) : f(x)

< 1 para todo x

E [0,1]}

(b) B = {f E C([O, 1]) : feO) = f(l) = O}

85

5

Conjuntos conexos

La propiedad topológica de la conexión es de gran interés en el Análisis y la Topologia. Intuitivamente un conjunto es conexo cuando es de de una sola pieza, es decir no está separado en partes, tal como el intervalo [0,1) en la recta real; en consecuencia será no conexo cuando conste de varias piezas. Ahora bien, en toda partición de un conjunto las partes son disjuntas y, por consiguiente, el in.tervalo conexo [0,1) se puede partir en partes disjuntas, aun siendo de una sola pieza. No basta, pues, para la conexión la posibilidad de partición, sino que es necesario que las partes estén separadas.

5.1

Conjuntos separados Que dos conjuntos estén separados es una propiedad más fuerte que tener simplemente intersección no vacía. Por ejemplo, es intuitivamente claro que los subconjuntos A = (0,1) Y B = [1,2) de la recta real tienen intersección vacía, pero no puede decirse que estén separados: basta observar que A U B = (0,2) que está constituido por una sola pieza. Sí están separados, sin embargo los subconjuntos (0,1) Y (1,2). Debemos imponer, por tanto, condiciones más fuertes para admitir que dos conjuntos están separados. Comenzamos con una definición formal.

Definición 5.1.1 Dos subconjuntos A y B de un espacios métrico (E, d) están separados si ningún punto de adherencia de A pertenece a B, ni ningún punto de adherencia B pertenece a A. O sea:

AnB=0

y AnB=0

A la vista de la definición, es importante observar que si dos conjuntos están separados, entonces son disjuntos; el recíproco, sin embargo, no es cierto como ya ha quedado de manifiesto. EJEMPLO

5.1.1

1. Los subconjuntos del plano (fig. 5.1)

A y

= {(x, y): x 2 + y2 > l}

B={(x,y):x 2 +y2<1}

están separados. En efecto: puesto que

A = {(x,y): x 2 +y2 y

B= {(x, y)

:X

~ l}

2 +y2 ~ l}

se tiene que

AnB=0

y

AnB=0

87