NiLai Ekstrim Fungsi Dan Membuat Grafik Fungsi_bab9

BAB

IX

NILAI EKSTRIM FUNGSI DAN MEMBUAT GRAFIK FUNGSI

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan mampu: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

menentuk menen tukan an sela selang ng dima dimana na suat suatu u fungs fungsii naik naik atau atau turun turun,, menentuk mene ntukan an titik titik stas stasione ionerr suatu suatu fung fungsi si bese beserta rta jeni jeniss ektrim ektrimnya, nya, mene me nent ntuk ukan an tit titik ik bel belok ok sua suatu tu fun fungs gsi, i, meng me ngga gamb mbar arka kan n gr graf afik ik fu fung ngsi si,, menjel men jelask askan an karakt karakteri eristi stik k masalah masalah yang yang model model matema matematik tikany anyaa menentukan ekstrim fungsi, menentu men entukan kan bes besaran aran mas masalah alah yang dira dirancan ncang g sebag sebagai ai peuba peubah h dalam dalam ekspresi matematikanya, merumu mer umuska skan n fungsi fungsi satu satu peuba peubah h yang yang merupa merupakan kan mode modell matema matematik tikaa dari suatu masalah, menen me nentuk tukan an peny penyele elesai saian an dar darii mode modell matem matemati atika ka,, member mem berika ikan n tafsir tafsiran an terha terhadap dap peny penyele elesai saian an dari dari masal masalah. ah.

BAB IX ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Membuat Grafik Fungsi

305

Pengantar

Gedung A dan B B adalah adalah dua gedung yang berhadapan pada masing-masing tepi suatu danau yang lurus dengan lebar 3 km. Gedung C terletak di tepi danau dimana gedung B berada, dan jauhnya 6 km dari B . Suatu perusahaan telekomunikasi akan memasang kabel telepon dari A ke C . Jika biaya pemasangan kabel per kilometer di bawah air adalah 25% lebih mahal dari pada pemasangan kabel di daratan, bagaimanakah cara pemasangan kabel yang termurah untuk perusahaan tersebut? Ilustrasi posisi dari gedung A, B , dan C C diberikan diberikan oleh gambar berikut.

B

C

3

A

Gambar 9.1

Pemecahan dari masalah ini erat hubungannya dengan pengoptimuman fungsi. Sebelum menyelesaikan masalah ini secara khusus, sebaiknya Anda harus sudah menguasai bab sebelumnya terutama fungsi, limit fungsi, dan turunan.

306

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

9.11 9.

Fung Fu ngsi si Na Naik ik da dan n Fung Fungsi si Tur urun un Gambar 9.2 memberikan sketsa grafik fungsi f pada interval [ x1 , x6 ] . Grafik itu memperlihatkan bahwa jika titik bergerak sepanjang kurva dari A ke B maka nilai fungsi bertambah seiring bertambahnya absis; dan juga jika titik bergerak sepanjang kurva B B ke ke C , maka nilai fungsi berkurang seiring bertambahnya absis. Dalam hal ini kita katakan bahwa f naik pada interval [ x1 , x2 ] ,dan turun pada [ x2 , x3 ] . Definisi formalnya kita berikan berikut. y

F D

B

E x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x

C A

Gambar 9.2

Definisi 9.1

1. Fungsi f dikatakan naik pada interval I I ,, jika untuk sembarang x1 , x2 ∈ I f ( x1 ) < f ( x2 ) . 2. Fungsi f f dikatakan dikatakan turun pada interval I jika I jika untuk sembarang

dengan x1

< x2 , maka

dengan x1 , x2 ∈ I , maka f ( x1 ) > f ( x2 ) . .

Pada ilustrasi gambar 9.2 fungsi f naik pada interval tertutup [x 1 , x 2], [x [x 3 , x 4], dan [x [x 5 , x 6] Fungsi f f turun turun pada interval tertutup [x 2 , x 3] dan [x [x 4 , x 5] Hubungannya dengan turunan, kita mempunyai sifat berikut ini. Teorema 9.1

Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan pada interval tertutup [ a, b ]. ]. 1.

Jika f '( x) > 0 untuk setiap x x di di dalam (a, ( a, b ), ), maka f naik pada [a, [a, b ]. ].

2.

Jika f '( x) < 0 untuk setiap x x di di dalam (a, ( a, b ), ), maka f turun pada [a,b [a,b ]. ].


307

Contoh 9.1.1 Diberikan

f (x ) = x 3  6x f ( 6x 2 + 9x 9x +1 +1 Tentukan pada interval mana f naik atau turun. Penyelesaian: Kita mempunyai f '( x) = 3 x

2

− 12 x+ 9

Dengan mengambil f '( x) = 0 , kita memperoleh 2 3(x x  3)(x 3)(x  1) = 0 3 x − 12 x + 9 = 0 ⇔ 3( x == 3 atau x x == 1 ⇔ x Tabel 9.1 Interval

K e s i m pu l a n

x < 1 x < 1 < x x << 3 3 < x

+  +

f naik f naik f turun f turun f naik f naik

Dari tabel 9.1 kita simpulkan bahwa f naik untuk x x << 1 atau x x >> 3, dan turun untuk 1 < x x << 3. y

y = x 3  6x 2 + 9x + + 11

8 6 4 2 x 0

1

2

3

4

Gambar 9.3 Grafik fungsi y = x

3


5

− 6 x2 + 9 x+ 1

⎧ x 2 − 4 , unt untuk uk x < 3 f ( x ) = ⎨ ⎩8 − x , untuk x ≥ 3

Tentukan pada interval mana f naik atau turun. Penyelesaian: Fungsi f tidak mempunyai turunan di x x == 3 (mengapa?), dan

⎧2 x ⎩−1

f '( x ) = ⎨ 308

, untuk x < 3 , untuk x > 3 Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Dengan mengambil f '( x) = 0 , maka 2x x == 0

⇔

x == 0 x

Tabel 9.2 Interval

Kes impul an

x < 0 x < 0 < x x << 3 3 < x

 + 

f turun f turun f naik f naik f turun f turun

Tabel 9.2 menyatakan bahwa f f naik naik pada interval 0 < x x << 3, dan turun pada x x << 0 atau x >> 3. x y 5 4 3 2 1 -3

1

2 3

4

5 6

7

8 9

x

-4

Gambar 9.4 W

Latihan 9.1 1.

Untuk seti setiap ap fungsi fungsi yang dibe diberikan rikan,, tentukan tentukan inter interval val dima dimana na fungsi fungsi itu naik naik atau turun. a. f f ((x ) = x 2  4x 4x  3 d. f f ((x ) = x 3  3x 3x 2  9x 9x b.

2.

3x ++ 2 f ((x ) = x 2  3x f

e.

f ((x ) = f

1 4

x 4  x 3 + x 2

c. f f ((x ) = x 3  9x 9x 2 + 15x 15x  5 f. f ((x ) = 3x f 3x 4  4x 4x 3  12x 12x 2 + 5 Untuk Untu k setiap setiap fungs fungsii yang yang diberi diberikan, kan, tentu tentukan kan inter interval val di mana mana fungsi fungsi itu naik naik atau turun. a. b. c.

f ( x) = 2 x + f ( x ) =

1 2 x

x + 2 x − 2

f ( x) = x 5 − x

d.

f ((x ) = (1  x )2(1 + x )3 f

e.

f ((x ) = sin x f

f.

f ((x ) = 2  3(x f 3( x  4)2/3


309

3. 4.

9.2

Buktikan bahwa y

=

1

selalu turun.

x Misalkan f naik pada interval I . Buktikan bahwa: a. Jika g (x ) = f f ((x ) + C , maka g maka g naik naik pada I . b. Jika fungsi h (x ) = f f ((x ), ), maka h h turun turun pada I . c. Jika k (x ) = 1/f 1/f ((x ) dan f f ((x ) > 0 pada I , maka k k turun turun pada I .

N ila i E k s trim Beberapa aplikasi dari turunan yang terpenting adalah persoalan pengoptimumam. Dalam kasus ini kita dituntut untuk mencari metode terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh adalah masalah pemasangan kabel telepon yang diungkapkan di awal bab. Persoalan ini dapat direduksi menjadi pencarian nilai minimum fungsi. Serupa dengan ini, banyak masalah yang intinya adalah pencarian nilai maksimum. Oleh karena itu, pada sub-bab ini kita akan mengkaji nilai maksimum dan nilai minimum fungsi. Penelusuran nilai maksimum dan minimum dapat dilakukan melalui pendekatan grafik. Jika kita kembali pada gambar 9.2, titik B atau D nilainya paling besar di antara titik-titik sekitarnya. Dalam hal ini, kita menyebutnya bahwa B B dan dan D D nilai nilai maksimum relatif. Sementara itu, titik C atau E pada gambar 9.2 nilainya paling kecil diantara titik-titik sekitarnya. Dalam hal ini, kita menyebutnya bahwa C C dan dan E E nilai nilai minimum relatif. Secara umum, kita mempunyai definisi berikut. Definisi 9.2 1. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c , jika terdapat

interval terbuka yang memuat c , sehingga f ( c) ≥ f ( x) untuk x dalam interval tersebut. 2. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c , jika terdapat interval terbuka yang memuat c , sehingga f ( c) ≤ f ( x) untuk x dalam interval tersebut. 3. Fungsi f f yang yang mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di c , dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c .

Gambar 9.5 masing-masing menunjukkan sketsa dari sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai maksimum relatif di c . Sedangkan, gambar 9.6 masing-masing menunjukkan sketsa dari sebagian grafik fungsi yang mempunyai minimum relatif di c .

310


Gambar 9.5 Sketsa maksimum fungsi

a

c (a)

b

x

a

c (b)

b

x

Gambar 9.6 Sketsa minimum fungsi

Jika kita perhatikan gambar 9.5 (a) dan 9.6 (a), maka garis singgung di titik ( c , f (c )) )) horisontal; ini adalah titik dimana f '(c ) = 0 . Kita akan menamai secara khusus titik semacam ini. Definisi 9.3

Jika f '(c ) = 0 , maka fungsi f dikatakan stasioner di c . Nilai f (c ) disebut nilai stasioner dari f . Titik (c ( c , f f ((c )) )) disebut titik stasioner dari f .

Sebaliknya, tampak pada gambar 9.5 (b) dan 9.6 (b) bahwa fungsi f di bilangan c tidak mempunyai turunan (masih ingat mengapa?). Dari keempat kasus di atas, kita mempunyai kesimpulan berikut ini.

Teorema 9.2 Jika f terdefinisi pada (a, ( a, b ) dan mempunyai ekstrim relatif di c , a a << c c << b , maka f '(c ) = 0 atau f '(c ) tidak ada.

Bilangan c di dalam daerah asal f sehingga f '(c ) = 0 atau f '(c ) tidak ada kita sebut sebagai bilangan kritis. BAB IX ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Membuat Grafik Fungsi

311

Lebih lanjut, dari gambar 9.5 (a) dan 9.6 (a) secara geometri juga dapat kita simpulkan bahwa jika fungsi f yang mencapai maksimum relatif di c , maka grafik f f di di kiri titik c c naik naik dan di kanan c c turun. turun. Sebaliknya, dari gambar 9.5 (b) dan 9.6 (b) jika fungsi f f mencapai mencapai minimum relatif di c , maka grafik di kiri c c turun turun dan di kanan c c naik. naik. Dengan fakta ini dan Teorema 9.1, kita mempunyai alat uji uj i ekstrim yang dikenal sebagai Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Relatif. Teorema 9.3 Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Relatif 

Misalkan f mempunyai turunan di sekitar c c kecuali kecuali mungkin di c c sendiri. sendiri. 1. Jika f '( x) > 0 untuk x x << c , dan f '( x) < 0 untuk c c << x , maka fungsi f f mempunyai mempunyai nilai maksimum relatif di c . 2. Jik ikaa un untu tuk k x x << c , dan untuk c c << x , maka fungsi f f mempunyai mempunyai nilai minimum relatif di c . Sebagai kesimpulan, langkah-langkah untuk menentukan ekstrim relatif suatu fungsi f adalah: 1. Tentukan f '(x ) . 2. Tent entuka ukan n bil bilang angan an kri kritis tis nil nilai ai x , ( f '( x) = 0 atau f '(x ) tidak ada). 3. Guna Gunakan kan uji turu turunan nan pert pertama ama (T (Teore eorema ma 9.3) 9.3).. Contoh 9.2.1 Diberikan

f (x ) = x 3  6x f ( 6x 2 + 9x 9x +1 +1 Tentukan jenis ekstrim relatif dari fungsi f . Penyelesaian: 1. Kita me mempunyai 3x 2  12x 12x ++ 9 f '(x ) = 3x 2. Da Dari ri co cont ntoh oh 9. 9.1. 1.1, 1, x == 3 atau x x == 1 f '( x) = 0 ⇔ x 3. Deng Dengan an uji turun turunan an pertam pertama, a, hasilny hasilnyaa disimpu disimpulkan lkan pada pada tabel tabel 9.3. 9.3. Tabel 9.3 Interval

x < 1 x < x == 1 x 1 < x x << 3 x == 3 x 3 < x

f x 

5 1

K e s i m pu l a n

+ 0  0 +

f naik f naik f mempunyai f mempunyai nilai maksimum relatif f turun f turun f mempunyai f mempunyai nilai minimum relatif f naik f naik

Dari tabel 9.3, kita menyimpulkan bahwa nilai maksimum relatif dari f f adalah adalah 5 yang terjadi di x x == 1, dan nilai minimum relatif dari f adalah 1 yang terjadi di x x == 3. Lihat kembali gambar 9.3.

312



⎧ x 2 − 4 , untuk x < 3 f ( x ) = ⎨ ⎩8 − x , untuk x ≥ 3

W

Tentukan jenis ekstrim relatif dari fungsi f . Penyelesaian: 1. Da Dari ri co cont ntoh oh 9. 9.1. 1.22 ki kita ta pe pero role leh h

⎧2 x ⎩ −1

f '( x ) = ⎨

, untuk x < 3 , untuk x > 3

Ingat bahwa f tidak mempunyai turunan di x x == 3. 2. Dalam hal ini, f '(x ) tidak ada ⇔ x x == 3, dan stasioner f '( x) = 0 ⇔ x x == 0. 3. Deng Dengan an uji turun turunan an pertama pertama,, hasilnya hasilnya disim disimpulk pulkan an pada pada tabel tabel 9.4. 9.4. Tabel 9.4 Interval

x < 0 x < x == 0 x 0 < x x << 3 x == 3 x 3 < x

f x 

4 5

K e s i m pu l a n

 0 + tidak ada 

f turun f mempunyai nilai minimum relatif f naik f mempunyai nilai maksimum relatif f turun

Dari tabel 9.4, kita menyimpulkan bahwa nilai maksimum relatif dari f f adalah adalah 5 yang terjadi di x x == 3, dan nilai minimum relatif dari f adalah 4 yang terjadi di x x == 0. Lihat kembali gambar 9.4.

Tugas Mandiri Tentukan nilai bilangan a a yang yang bersifat bahwa fungsi f tidak mempunyai bilangan kritis: f ( x) = ( a2

+ a − 6) cos 2 x + ( a − 2) x + cos 1

Kecekungan dan Titik Belok Kita perhatikan gambar 9.7. Kedua grafik menghubungkan titik A dan B B tetapi tetapi mereka kelihatan berbeda, karena mereka melengking pada arah yang berlainan. Bagaimana perbedaan dua perlakuan ini? Pada Gambar 9.8 telah digambarkan beberapa garis singgung dari kedua kurva ini. Pada gambar (a) kurva terletak di atas garis singgung dan f f cekung cekung ke atas pada (a, ( a, b ). ). Pada gambar (b) kurva terletak di bawah garis gari s singgung dan grafik g grafik g cekung cekung ke bawah pada (a, ( a, b ). ). BAB IX ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Membuat Grafik Fungsi

313

y

y B

B g

f A

0

A

a

b

x

0

a

b

(a)

x

(b) Gambar 9.7

y

y

B

B g

f A

0

A

a

b

x

0

a

(a)

b

x

(b) Gambar 9.8

Secara umum, kita mempunyai definisi berikut ini. Definisi 9.4 Grafik fungsi f dikatakan cekung ke atas pada interval I , jika grafik f f terletak terletak di atas semua garis singgungnya pada I . Grafik fungsi f dikatakan cekung ke bawah pada interval I , jika grafik f f terletak terletak di bawah semua garis singgungnya pada I .

Jika kita perhatikan grafik gambar 9.8 (a), berangkat dari kiri ke kanan, kemiringan garis singgung bertambah besar. Ini artinya bahwa turunan f ' adalah fungsi naik, dan sehingga turunannya f '' adalah positif. Serupa, pada gambar 9.8 (b), kemiringan garis singgung berkuarang dari kiri ke kanan, sehingga f ' fungsi turun dan berakibat f '' adalah negatif. Sehingga secara umum kita mempunyai uji kecekungan berikut ini.

Teorema 9.4 Uji Kecekungan

1. Jika f ''( x ) > 0 untuk semua x x dalam dalam I , maka grafik f f cekung cekung ke atas pada I . 2. Jika f ''( x ) < 0 untuk semua x x dalam dalam I , maka grafik f f cekung cekung ke bawah pada I .

314


Dari Teorema 9.4 kita dapat bertanya: apa tafsirannya terhadap grafik apabila f ''( x ) = 0 ? Mudah untuk kita jawab pertanyaan ini, yaitu di titik tersebut merupakan perubahan kecekungan dari cekung ke atas berubah menjadi cekung ke bawah, atau sebaliknya. Dengan demikian di titik tersebut grafiknya mengalami pembelokan arah garis singgung.

Definisi 9.5 Titik P pada kurva disebut titik belok jika kurva berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas diP di P .

Sebagai konsekuensi Teorema9.4, Teorema9.4, jika turunan kedua ada di titik belok, maka turunan kedua di titik tersebut sama dengan nol.

Teorema 9.5 Jika f f mempunyai mempunyai turunan pada interval yang memuat c , dan (c (c , f f ((c )) )) adalah titik

belok, maka f ''(c ) ada, dan f ''(c ) = 0 .


f (x ) = x 3  6x f ( 6x 2 + 9x 9x +1 +1 Tentukan titik belok grafik fungsi f f dan dan juga interval dimana grafiknya cekung ke atas dan cekung ke bawah. Penyelesaian: Dari fungsi yang diberikan 3x 2  12x 12x ++ 9 dan f ''( x ) = 6x 6x  12 f '(x ) = 3x f ''( x ) ada untuk setiap x . Menurut Teorema 9.5, kemungkinan titik belok hanya di

bilangan x x sehingga sehingga f ''( x ) = 0 , 6x x  12 = 0

⇔

x == 2 x

Kita periksa tanda f ''( x ) dengan Teorema 9.4, Tabel 9.5 Interval

x < 2 x < x == 2 x 2 < x

f x 

3

K e s i m pu l a n

3

 0 +

grafik cekung ke bawah grafik mempunyai titik belok grafik cekung ke atas

Dari Tabel 9.5, kita menyimpulkan bahwa (2, 3) adalah titik belok grafik fungsi f , grafik cekung ke bawah pada interval x < 2 , dan grafik cekung ke atas pada interval x > 2 .


315

y

y = x 3  6x 2 + 9x + + 11

8 6 4 2 1

2

3

4

x

5

Gambar 9.9

Selain bermanfaat untuk untuk menentukan titik belok, keuntungan lain dari turunan kedua adalah bahwa turunan tersebut dapat digunakan sebagai uji ekstrim relatif. Teorema 9.6 Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Relatif  Misalkan f f mempunyai mempunyai turunan pada interval terbuka yang memuat c dan f '(c ) = 0 .

1. Jika f ''(c ) < 0 , maka f f mempunyai mempunyai nilai maksimum relatif di c . 2. Jika f ''(c ) > 0 , maka f f mempunyai mempunyai nilai minimum relatif di c .

Contoh 9.2.4 Diketahui fungsi

f (x ) = x 3  3x f ( 3x 2 Tentukan titik-titik stasioner beserta jenisnya. Penyelesaian: Kita mempunyai 2 f ''( x) = 6 x− 6 f '( x) = 3 x − 6 x dan Titik stasioner diperoleh apabila f '( x) = 0 , f '( x)

= 0 ⇔ 3 x − 6 x = 0 ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0 atau 2

x=2

Dengan uji turunan kedua kita selidiki jenis ekstrimnya. Tabel 9.6 Interval

f x 

x = 0 x = x == 2 x

0 4

K es i m p u l a n

0 0

 +

f mempunyai maksimum relatif f mempunyai f mempunyai f mempunyai minimum relatif

Dari Tabel 9.6, kita menyimpulkan bahwa (0,0) dan (2,4) adalah titik-titik stasioner, masing-masing merupakan titik maksimum relatif dan minimum relatif. 316


y 16 14 12 10 8 6 4 2 -1

-1 -2

y = x 3  3x 2

1

2

3

4

x

Gambar 9.10 Grafik fungsi y = x 3  3x 2

Latihan 9.2 1.

2.

Untuk setiap Untuk setiap fungsi fungsi yang yang dibe diberika rikan n tentuka tentukan n titik-ti titik-titik tik stasi stasioner oner dan dan ekstrim ekstrim relatif dengan uji turunan pertama. a. f f ((x ) = x 2 + 4x 4x  3 d. f f ((x ) = x 4 + 4x 4x b.

f ((x ) = x 3  3x f 3x ++ 2

e.

f ((x ) = 4 sin 12 x f

c.

f ((x ) = 2x 3  9x f 9x 2 + 2

f

f ((x ) = f

1 5

x 5 

5 3

x 3 + 4x 4x ++ 1

Untuk Untu k setiap setiap fungs fungsii berikut berikut,, tentuka tentukan n ekstrim ekstrim rela relatif tif denga dengan n uji turun turunan an pertam pertama. a. a. b.

c.

2

f ((x ) = (x f x ++ 2) 2) (x x  1) 1) f ((x ) = x 3 − x f

f ((x ) = x f x  3 x

1

3

2

2

3

d.

f ((x ) = x f

e.

⎧2 x + 9 , untuk x ≤ −2 f ( x ) = ⎨ 2 ⎩ x + 1 , untuk x > −2

f.

⎧4 − ( x + 5)2 f ( x ) = ⎨ 2 ⎩12 − ( x + 1)

(x x  1) 1)2

, untuk x ≤ −4 , untuk x ≥ − 4

3.

Tentu entukan kan ekstr ekstrim im relati relatiff dari dari fungsi fungsi pada pada soal soal nomo nomorr 1 dan dan nomor nomor 2 denga dengan n uji turunan kedua (jika mungkin). 4. Untu Untuk k setiap setiap grafi grafik k dari dari fungsi fungsi berik berikut, ut, tentuk tentukan an titik titik belokn beloknya ya (jika (jika ada), ada), inte interval rval dimana grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah a. f f ((x ) = x 3 + 9x 9x f. H (x ) = (x x ++ 2)1/3 b. g (x ) = x 3  6x 6x 2 + 20 g. f f ((x ) = (x x  1)1/3

2 c.

4

3

h (x ) = x  8x 8x

h. g (x ) =

( x

+ 3)

2

x d.

F (x ) = (x x ++ 2)

3

i.

e.

G (x ) = (x x  1)3

j.

h (x ) =

( x + 4) G (x ) = 2 cos 3x 3 x


2

317

5. 6. 7.

8.

Tentukan a, b, c dan c dan d d sehingga sehingga grafik fungsi f f ((x ) = ax 3 + bx 2 + cx cx ++ d mempunyai ekstrim relatif di (0, 3) dan mempunyai titik belok di (1, 1). Tentukan a dan b sehingga fungsi yang didefinisikan oleh f (x ) = x 3 + ax 2 + b mempunyai ekstrim relatif di (2, 3). Diberikan f f ((x ) = x 3 + 3rx 3rx ++ 5. Buktikan: a. Jika r r >> 0, maka f tidak mempunyai ekstrim relatif. b. Jika r r << 0, maka f f mempunyai mempunyai maksimum dan minimum relatif. Suatu Sua tu epidem epidemii penyak penyakit it berjan berjangki gkitt di lingku lingkunga ngan n masyara masyarakat kat.. Dalam Dalam x bulan setelah epidemi mulai berjangkit, P P persen persen penduduk telah ketularan, dengan P

=

30 x

2

(1 + x ) Setelah berapa bulan paling banyak penduduk ketularan dan berapa persenkah ini dari penduduknya?

9.

2 2

(Gunak (Gun akan an Ka Kalk lkul ulat ator or). ). Di an anta tara ra 0 oC dan 30 oC , volume V V (dalam (dalam sentimeter kubik) dari 1 kg air pada suhu T T secara secara hampiran diberikan oleh rumus: V = 999, 87 − 0, 06 064267T + 0, 00 0085043T − 0, 00 0000679T Tentukan suhu, sehinga pada suhu tersebut air mencapai kerapatan maksimum. 2

3

10. Gaya Gaya yang dipe diperluk rlukan an untuk untuk menarik menarik benda benda sebe seberat rat W W sepanjang sepanjang bidang datar diberikan oleh persamaan F =

μ W μ sin θ

+ cos θ

dengan θ adalah sudut yang terbentuk antara tali dan bidang datar, 0 ≤ θ ≤

π

,

2 dan μ adalah konstanta koefisien gesekan. Lihat kembali contoh 3.2.4 dan soal tanθ θ = μ . analisis no.3 bab 8. Perlihatkan bahwa F F minimum minimum ketika tan

9.33 9.

Ekst Ek stri rim m Mutl Mutlak ak pada pada Int Inter erva vall Ter Tertu tutu tup p Pada sub-bab 9.2 kita telah membahas bahwa syarat perlu fungsi kontinu mempunyai ektrim relatif di c c dalam dalam daerah asal adalah bahwa c c bilangan bilangan kritis. Tetapi jika daerah asal f adalah interval tertutup, maka kita dapat menemukan nilai fungsi terbesar atau terkecil pada interval tersebut. Kita perhatikan ilustrasi fungsi berikut. Misalkan f diberikan oleh , untuk x < 1 ⎧ x + 1 f ( x ) = ⎨ 2 ⎩ x − 6 x+ 7 , untuk x≥ 1

Sketsa grafik f pada interval [4, 4] diberikan oleh gambar 9.11. Perhatikan bahwa f mempunyai nilai ekstrim relatif di x = 1 = 1 dan x x == 3, karena 1 dan 3 adalah bilangan kritis f , dengan f (1) f (1) = 2 dan f f (3) (3) = 2 Kemudian nilai f f pada pada batas interval, f ( ( 4) = 3 dan f f (4) (4) = 1 318


Jadi, kita peroleh nilai terbesar dari f f pada pada interval [4, 4] adalah 2, dan nilai terkecil dari f f pada pada interval tersebut adalah 3. Nilai ini masing-masing disebut sebagai nilai maksimum mutlak dan nilai minimum mutlak dari f f pada pada [4, 4]. y 3 2 1 -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

-1 -2 -3 -4

Gambar 9.11

Definisi 9.6

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval tertutup dan c c anggota anggota interval. 1. Jika f ( c) ≥ f ( x) untuk semua x x dalam dalam interval , maka f (c ) disebut nilai maksimum mutlak dari f pada interval tersebut. 2. Jika f ( c) ≤ f ( x) untuk semua x x dalam dalam interval , maka f (c ) disebut nilai minimum mutlak dari f pada interval tersebut. 3. Jika f (c ) maksimum mutlak atau minimum mutlak, maka f (c ) disebut nilai ekstrim mutlak dari f .

Faktanya, fungsi f pada ilustrasi di atas adalah fungsi yang kontinu pada interval tertutup [4, 4]. Hasil ini berlaku untuk sembarang fungsi kontinu pada interval tertutup.

Teorema 9.7 Teorema Nilai Ekstrim

Jika f f kontinu kontinu pada interval tertutup [a, [ a, b ], ], maka f f mencapai mencapai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a, [ a, b ]. ].

Dari ilustrasi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa kemungkinan ekstrim mutlak dari fungsi kontinu pada interval tertutup terjadi di bilangan kritis atau kritis atau di batas interval . Sehingga kita mempunyai metode pencarian ekstrim berikut ini.


319

Metode Interval Tertutup Untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi kontinu f pada interval tertutup [a, [ a, b ]: ]: 1. Ca Cari rila lah h nil nilai ai f f di di bilangan kritis f di dalam (a, (a, b ), ), 2. Ca Cari rila lah h ni nila laii f di titik batas interval, 3. Bandingka Bandingkan n nilai-nilai nilai-nilai pada langkah langkah 1 dan 2, yang terbesar adalah

nilai maksimum mutlak; yang terkecil adalah nilai minimum mutlak

Contoh 9.3.1 Diketahui fungsi

f (x ) = x f ( x  2sin x , 0 ≤ x ≤ 2π Tentukan ekstrim mutlak dari f pada interval tersebut. Penyelesaian:

W

Fungsi f (x ) = x x  2sin x kontinu pada interval [0, 2π ] . Karena,

f'( x) = 1 − 2 cos x , kita

peroleh f '( x) = 0 apabila cos x = 1 2 , dan ini terjadi ketika x = π 3 atau x = 5π 3 . Nilai f di bilangan kritis ini adalah f (π 3) =

π 3

− 2 sin =

π

π

3

3

5π

=

−

3 = − 0, 684853

5π

+

dan f (5π 3) =

5π

− 2 sin

3 Nilai f di titik batas interval adalah

3

3

3 = 6, 968039

f (0) = 0 dan f ( 2π ) = 2π = 6, 28 Dengan membandingkan empat bilangan ini dengan menggunakan Metode Selang

Tutup, kita peroleh nilai minimum mutlak adalah f (π 3) = π 3 − 3 , dan nilai maksimum mutlak adalah f (5π 3) = 5π 3 +

3.

y

8

y= x− 2sin x

6 4 2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

Gambar 9.12 Grafik fungsi y= x− 2sin x

320


Contoh 9.3.2 Teleskop Ruang Angkasa Hubble dilepaskan pada 24 April 1990 oleh pesawat ulangalik Discovery. Model untuk kecepatan pesawat ulang-alik selama misi ini, sejak peluncuran pada saat t t == 0 sampai pendorong roket pejal memulai pembuangan pada t = 126 detik, diberikan oleh v (t ) = 0, 001302t − 0, 09029t + 23, 61t − 3, 083 (dalam kaki per detik). Dengan model ini, perkirakan nilai ekstrim mutlak dari percepatan pesawat ulang-alik di antara peluncuran dan pembuangan pendorong. Penyelesaian: Fungsi percepatan untuk pesawat adalah 3

a (t )

=

dv

2

= 0, 003906t 2 − 0,18058t + 23 , 61

dt Kita terapkan Metode Interval Tertutup terhadap fungsi kontinu a pada interval 0 ≤ t ≤ 126 . Turunannya adalah a '(t ) = 0, 00 007812t − 0, 18058

Bilangan kritis hanya terjadi ketika a '(t ) = 0 : t 1

=

0,18058

≈ 23,12

0,007812 Dengan menghitung a (t ) di bilangan kritis dan di titik ujung, kita peroleh

a (126) (126) = 62,87 a (t 1 ) ≈ 21, 52 ; Jadi, percepatan maksimum kira-kira 62,87 kaki/detik 2 dan percepatan minimum kirakira 21,52 kaki/detik 2. a (0) (0) = 23,6;

Latihan 9.3 Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 8, tentukan (jika ada) ekstrim ekstr im mutlak dari setiap f ungsi yang diberikan pada interval yang ditentukan. Gambarkan pula sketsa gra f ik f ungsi pada interval tersebut (jika mungkin gunakan komputer). 1.

f ((x ) = x 3 + 5x f 5x  4, [3, 1] 4

2

5.

2.

f ((x ) = x  8x f 8x + 16, [4,0]

6.

3.

f ((x ) = sin x f x ++ cos x, [0, π 3]

7.

4.

f ((x ) = x f x  2cos x, [ −π , π ]

8.


f ((x ) = f f ((x ) = f

x x + 2

, [1,2]

x + 1

, 2 x − 3

[0,1]

2

f ( x) = ( x + 1) 3 ,

⎧2 x − 7 f ( x ) = ⎨ 2 1 − x ⎩

[2,1]

−1 ≤ x ≤ 2 untuk 2 < x ≤ 4

, untuk ,

321

9.

Pada suatu Pada suatu monopo monopoli, li, persa persamaa maan n permint permintaan aan suatu suatu bara barang ng terten tertentu tu adala adalah h x + p = 140 , dengan x banyaknya satuan barang yang diproduksi setiap hari dan p dan p juta juta menyatakan harga setiap satuan. Biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk memproduksi x x satuan satuan diberikan oleh C ( x) = 300 + 20 x + x

2

untuk x ∈ [0,140] . a. Ten entu tuka kan n fung fungsi si keu keunt ntun unga gan n tota total. l. b. Tentu entukan kan fungs fungsii pendapa pendapatan tan margi marginal nal dan dan fungsi fungsi biay biayaa margina marginal. l. c. Tent entuk ukan an ma maksi ksimu mum m keun keuntun tungan gan set setiap iap har hari. i. 10. Misalka Misalkan n dalam dalam suatu suatu monopoli, monopoli, persamaan persamaan permintaa permintaan n suatu barang tertentu adalah p =

1 5

dengan p juta menyatakan harga x barang dengan x − 100 , dengan p

x ∈ [100,1000] . Biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk memproduksi x

satuan diberikan oleh C ( x ) = 100 + 2 x . a. Tentu entukan kan fung fungsi si penda pendapata patan n margin marginal al dan dan fungs fungsii biay biayaa margin marginal. al. b. Tentukan nilai x x yang yang menghasilkan keuntungan maksimum.

9.44 9.

Meng Me ngga gamb mbar ar Gr Graf afik ik Fu Fung ngsi si Al Alja jaba barr Sedemikian jauh kita telah membahas beberapa aspek tentang fungsi, kini pada gilirannya kita siap menuangkan aspek-aspek tersebut untuk menggambarkan grafik secara benar. Kita mempunyai pedoman untuk membuat sketsa grafik fungsi y y == f f ((x ): ): 1. Daerah asal 2. Pe Perp rpot oto ong ngaan sum sumbu Perpotongan sumbu- y y adalah adalah f (0), (0), dan perpotongan sumbu-x sumbu- x kita kita ambil untuk y untuk y == 0. 3. Asimtot m f ( x) = L atau (a) As Asim imto tott datar datar . Garis y = L adalah L adalah asimtot datar, jika xli→∞ lim f ( x) = L .

x →−∞

(b) Asim Asimto tott teg tegak ak . Garis x = c c adalah adalah asimtot tegak, jika paling sedikit salah sal ah satu limit berikut dipenuhi. lim− f ( x ) = ∞

x → c

lim+ f ( x ) = ∞

x → c

4. 5. 6. 7.

lim− f ( x ) = −∞

x → c

lim+ f ( x ) = −∞

x → c

Interv Inte rval al na naik ik da dan n tu turu run n Nila Ni laii ekst ekstri rim m bes beser erta ta jen jenis isny nyaa Kece Ke ceku kung ngan an da dan n tit titik ik be belo lok k Gamb Ga mbar arka kan n sket sketsa sa kur kurva va

Contoh 9.4.1 Gambarkan grafik dari fungsi f f ((x ) = x 3  3x 3x  2.

322


Penyelesaian: 1. Da Daer erah ah as asal al ad adal alah ah ¡ (himpunan semua bilangan real), karena f f sukubanyak. sukubanyak. 2. Ti Titik tik pot potong ong gra grafi fik k deng dengan an sum sumbubu-x x , yaitu untuk y untuk y == 0, 3 y == 0 ⇔ x  3x y 3x  2 = 0 x ++ 1)2 (x x  2) = 0 ⇔ (x x == 1 atau x x == 2 ⇔ x Jadi, titik potong grafik dengan sumbu-x sumbu- x adalah adalah (1, 0) dan (2, 0) Titik potong grafik dengan sumbu- y sumbu- y , yaitu untuk x x == 0, 3 x == 0 ⇒ y x y == 0  3.0  2 = 2 Jadi, titik potong grafik dengan sumbu- y sumbu- y adalah adalah (0, 2). 3. Karena f f sukubanyak, sukubanyak, maka tidak mempunyai asimtot. 4. Ki Kita ta mempun uny yai f '( x) = 3 x2 − 3 dan f ''( x) = 6 x , f '( x)

dan

= 0 ⇔ 3x 2  3 = 0 3(x x  1)(x 1)(x ++ 1) = 0 ⇔ 3( x == 1 atau x x == 1 ⇔ x

f ''( x ) = 0

x == 0 ⇔ 6x x == 0 ⇔ x

Kita rangkum hasilnya Tabel 9.7 Interval

x < 1 x < x == 1 x x == 0 x 1 < x x << 1 x == 1 x 1 < x

f x 

0 2 4

Kesi mpula n

+ 0  0 +

f naik f naik f mempunyai f mempunyai maksimum relatif f mempunyai f mempunyai titik belok f turun f turun f mempunyai f mempunyai minimum relatif f naik f naik

 0 +

Dari Tabel 9.7, kita mempunyai (1, 0) adalah titik maksimum relatif, dan (1,4) adalah titik minimum relatif. y 15

10

0

-2

-1

1

2

3

x

-4

Gambar 9.13 BAB IX ~ Nilai Ekstrim Fungsi dan Membuat Grafik Fungsi

323

Contoh 9.4.2 Gambarkan sketsa grafik fungsi f ( x ) =

3 x + 6 x − 2

Penyelesaian: 1. Tamp ampak ak bahw bahwaa fungsi fungsi tida tidak k terdefi terdefinis nisii di x = 2, sehingga daerah asalnya

{ x ∈ ¡ | x ≠ 2}. 2. Ti Titik tik pot potong ong gra grafi fik k deng dengan an sum sumbu bu-- x , yaitu untuk y untuk y == 0, y == 0 ⇔ 3x y x ++ 6 = 0 x ==  2 ⇔ x Jadi, titik potong grafik dengan sumbu- x x adalah adalah ( 2, 0). Titik potong grafik dengan sumbu- y sumbu- y , yaitu untuk x x == 0, x == 0 x

⇒

y

=

3.0 + 6

= −3

0−2 Jadi, titik potong grafik dengan sumbu- y sumbu- y adalah adalah (0, 3).

3. Karena lim+ f ( x ) = lim+ x → 2

x→2

3 x + 6

= ∞ , maka garis x x == 2 adalah asimtot tegak. Sehingga

x − 2

untuk x → 2 grafiknya menuju ke

Karena lim f ( x ) = lim →x+∞

3 x + 6

→x+∞ x − 2

=

∞

dan ke 3+

lim

→x+∞

1−

−∞ .

6 x 2

= 3 , maka garis y garis y == 3 adalah asimtot

x

datar. Sehingga untuk x → +∞ grafiknya mendekati garis y garis y == 3.

3 -2

-3

2

x

Gambar 9. 14

324


Latihan 9.4 Gambarkan grafik dari setiap fungsi yang diberikan. 1. f f ((x ) = x 3 7. f f ((x ) = (x x ++ 1)3(x x  2)2 2.

f ((x ) = 2x f 2x 3  6x 6x ++ 1

8.

f ((x ) = 12 x 4  2x f 2x 3 + 3x 3x 2 + 2

3.

f ((x ) = (x f x  1)2 (x x ++ 2)

9.

f ((x ) = x 4  8x f 8x 2 + 16

4. 5. 6.

9.5

4

3

10. f ( x ) =

3

2

11. f ( x ) =

f ((x ) = x  2x f 2x

f ((x ) = x + 5x f 5x + 3x 3x  4 5

4

f ((x ) = 3x + 5x f 5x

12. f ( x ) =

10 ( x − 2) 2 x ( x − 4) ( x − 20) ( 2 x + 3)

Masa Ma sala lah h Pe Peng ngop opttim imu uma man n Metode yang telah kita pelajari dalam bab ini digunakan untuk mencari nilai ekstrim yang mempunyai penerapan praktis dalam banyak bidang kehidupan. Dalam memecahkan praktis tantangan terbesar adalah mengubah masalah dalam kalimat menjadi masalah pengoptimuman matematis dengan merancang fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan. Secara singkat, kita mempunyai tiga aktivitas utama dalam memecahkan masalah pengoptimuman, yaitu: merancang model matematika, menyelesaikan model, dan menafsirkan penyelesaian. Berikut ini, kita rangkum langkah-langkah dalam memecahkan masalah pengotimuman: 1. Me Mema maha hami mi pe perm rmas asal alah ahan an Baca dengan seksama sampai paham. Tanyakan pada diri kamu sendiri: Apa yang tidak diketahui? Apa besaran yang diketahui? Apa syarat yang diberikan? 2. Gam amb bar dia iag gra ram m Jika memungkinkan gambarkan diagram. 3. Pe Perk rken enal alka kan n no nota tasi si Berikan simbol untuk besaran yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan (misalkan F ). ). Pilih juga besaran-besaran yang tidak diketahui (misalkan : a, b, c, ..., x, y ). ). 4. Bu Buaat per erssam amaaan F F dalam dalam simbol-simbol besaran yang tidak diketahui. 5. Guna Gunakan kan metode metode penen penentuan tuan maksi maksimum mum dan dan minimu minimum m pada pada bab ini. ini. Contoh 9.5.1 Suatu perusahaan kotak kardus akan membuat kotak tanpa tutup dari karton berbentuk persegi yang berukuran 12 inci. Pembuatan kotak dilakukan dengan cara memotong persegi-persegi yang ukurannya sama dari keempat sudutnya, kemudian melipat sisisisinya ke atas. Tentukan ukuran pemotongan agar diperoleh kotak kardus dengan isi terbesar.


325

Penyelesaian: Gambar 9.15 (a) menyatakan satu lembar karton dan gambar 9.15 (b) menyatakan kotak yang dihasilkan dari karton tersebut. Misalkan x x inci inci adalah sisi persegi-persegi dari keempat sudut karton. Setelah sisi-sisinya dilipat maka terbentuk kotak dengan ukuran (12  2x 2 x ) inci, (12  2x 2 x ) inci dan x x inci. inci. Perhatikan gambar 9.15 (b). Jika V (x ) inci kubik menyatakan isi kotak, maka V (x ) = (12 (12  2 x ) (12  2x 2x ) x = 144x 144x  48x 48x 2 + 4x 4x 3 Daerah asal V V adalah adalah interval tertutup [0, 6]. Mengapa? x

x x

x

12 2x 12 x x

x x

x

12 2x

12 2x 12

12 2x

(a)

(b)

Gambar 9.15

Kita akan menentukan maksimum mutlak dari V V pada pada interval [0,6] dengan Metode Interval tertutup. Kita mempunyai V '( x ) = 144  96x 96 x ++ 12x 12 x 2 , V '( x ) = 0

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

144  96x 96x ++ 12x 12x 2 = 0 x 2  8x 8x ++ 12 = 0 (x x  6) (x ( x  2) = 0 x == 2 atau x x x == 6 Jadi, bilangan kritis V V adalah adalah 2 dan 6. Nilai V V di di bilangan kritis dan di titik batas interval adalah maksimum mutlak V V terjadi terjadi di bilangan kritis atau pada batas interval, V (0) (0) = 0, V (2) (2) = 128, V (6) (6) = 0. Jadi, pemotongan sudut karton sepanjang sepanjan g 2 inci, akan memberikan volume kotak kardus maksimum sebesar 128 inci kubik.

Contoh 9.5.2 Lapangan berbentuk empat persegi panjang yang terbentang di tepi jalan raya, hendak dipagari tetapi sepanjang tepi jalan tidak ikut dipagari. Harga material untuk pagar pada sisi yang sejajar dengan jalan adalah Rp120.000,00 per meter, dan harga material untuk pagar kedua sisi lainnya adalah Rp80.000,00 per meter. Tentukan Tentukan ukuran lapangan yang luasnya terbesar yang dapat dipagari dengan pagar seharga Rp36.000.000,00.

326


Penyelesaian: Misalkan x x meter meter adalah panjang sisi lapangan yang tegak lurus dengan jalan, y y meter meter 2 adalah panjang sisi lapangan yang sejajar jalan, dan A m luas lapangan, perhatikan gambar 9.16, maka

A = xy .

jalan raya

x

x

y

Gambar 9.16

Harga material untuk sisi lapangan yang tegak lurus jalan adalah Rp80.000,00 per meter. Karena panjangnya x x meter, meter, maka harga material untuk satu sisi tersebut adalah 80000x 80000 x rupiah. rupiah. Harga material untuk sisi ketiga adalah 120000 y 120000 y rupiah. rupiah. Diketahui total biaya adalah Rp36.000.000,00 maka 80000 x + 80000 x + 120000 y = 36000000

atau 4x x ++ 3 y y == 900 x Kita nyatakan y nyatakan y dalam dalam x , y y == 300 − 4 3 , kemudian kita subtitusikan ke dalam A , 2 A = A( A(x ) = x(300 − 43 x) = 300 x − 43 x

Kita terapkan uji turunan pertama, A '( x)

A'( x) = 300 − 8 x 3

=0 ⇔ ⇔

300 − 8 x = 0 3 x == 112,5 x

⋅ (112, 5) = 150. Subtitusi kedua harga Untuk x x == 112,5 akan menghasilkan y menghasilkan y == 300 − 4 3 ini ke dalam A memberikan A = (112,5((150) = 16875 m 2 Jadi, luas terbesar yang dapat dipagari dengan harga Rp36.000.000,00 adalah 16.875 m2 , yang diperoleh apabila sisi lapangan yang sejajar jalan 150 m dan panjang masingmasing sisi yang lain adalah 112,5 m.


327

Untuk mengakhiri bab, kita tinjau kembali masalah pemasangan kabel telepon di antara dua gedung yang berseberangan pada tepi danau, yang sampaikan pada awal bab. Contoh 9.5.3 Titik A dan B B adalah adalah dua titik yang berhadapan pada masing-masing tepi danau yang lurus dengan lebar 3 km. Titik C C terletak terletak di tepi danau di mana B B terletak terletak dan jauhnya 6 km dari B . Perusahaan telekomunikasi ingin memasang kabel dari A ke C . Jika biaya pemasangan kabel per kilometer di bawah air 25 % lebih mahal daripada pemasangan kabel di daratan, bagaimanakah cara pemasangan kabel yang termurah untuk perusahaan tersebut? Penyelesaian: Dari informasi yang diberikan, kita awali dengan menempatkan titik P P yang yang terletak di antara B B dan dan C , sehingga kabel dipasang dari A ke P P dan dan dari P P ke ke C . Misalkan jarak B B ke ke

P adalah x P adalah x km, km, maka jarak P P ke ke C C adalah adalah (6  x ) km, x ∈ [0,6] . Kita sederhanakan sketsa dari gambar 9.1 menjadi gambar 9.17 di bawah. Kita akan menentukan x , yaitu posisi P , sehingga C (x ) minimum. Karena daerah asal C (x ) interval tertutup, kita dapat menggunakan Metode Interval Int erval Tertutup. Tertutup. Faktanya, fungsi C (x ) kontinu pada [0, 6], sehingga minimumnya ada. Kita mempunyai C '( x ) =

5kx 4 9 + x

2

− k

(6  x ) km

x km x km B

C

P

3 km

32 + x 2

A

Gambar 9.17

Dengan menyelesaikan C '( x)

=0

5kx 4 9 + x

328

2

untuk x x diperoleh diperoleh

− k = 0 ⇔

5 x = 4 9 + x

2

⇔ 25 x 2 = 16(9 + x 2 ) ⇔ x 2 = 16 ⇔ x = ±4 Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Tetapi 4 bukan akar penyelesaian, sehingga bilangan kritis untuk C (x ) pada interval [0, 6] adalah 4. Nilai C (x ) di bilangan kritis dan titik batas interval adalah C (0) (0) =

39 4

, k ,

C (4) (4) =

33 4

(6) = k , dan C (6)

15 4

k 5

Tampak bahwa minimum mutlak dari C (x ) pada interval [0, 6] adalah

33 4

k , yang

terjadi untuk x x == 4. Jadi, agar biaya pemasangan kabel minimum, maka kabel harus dipasang dari A ke P P di di bawah air dahulu, kemudian dari P P ke ke C C di di daratan, dengan biaya 33k 33k /4 /4 juta rupiah, dengan k k suatu suatu konstanta.

Tugas Kelompok

Diskusikan soal-soal berikut dikelompok Anda, untuk menyelesaikannya. 1. Jend Jendela ela Norman Norman adalah adalah jendel jendelaa mempunya mempunyaii bentuk bentuk persegi persegi panjang panjang yang yang di atasnya berupa setengah lingkaran. Jika keliling jendela p meter, berapakah jari-jari lingkaran agar luas pintu tersebut maksimum? 2. Sebu Sebuah ah lampu lampu dile diletakk takkan an pada pada puncak puncak tian tiang g tinggi tinggi h h meter meter untuk menerangai suatu lingkaran lalu lintas yang sibuk, yang berjari-jari 40 meter. Intensitas penyinaran I pada sembarang titik P pada lingkaran berbanding langsung terhadap kosinus sudut θ (lihat gambar 9.18) dan berbanding terbalik terhadap kuadrat jarak d d dari dari sumber cahaya. Perhatikan kembali soal analisis nomor 2 bab 4.

θ h

d

40

P

Gambar 9.18

a. Sebera Seberapa pa tingg tinggii tiang tiang lamp lampu u untuk untuk memak memaksim simum umkan kan I . b. Ji Jika ka ttin ingg ggii tian tiang g lamp lampu u adal adalah ah h h meter meter dan seorang berjalan menjauhi alas tiang pada laju 4 meter/detik. Pada laju berapakah intensitas cahaya pada titik dipunggungnya 4 meter di atas permukaan tanah berkurang ketika dia mencapai tepi luar dari lingkaran lalulintas tersebut?


329

Latihan 9.5 1.

2.

3.

4. 5.

6.

7.

8.

9.

10.

330

Hasil kali Hasil kali dua bilan bilangan gan positi positiff adalah adalah 16. 16. Tentuk Tentukan an bilang bilangan-b an-bilan ilangan gan itu, itu, jika: jika: a. jumlahnya mi minimum b. juml jumlah ah dari dari bila bilangan ngan pert pertama ama dan kuad kuadrat rat bil bilanga angan n kedua kedua min minimum imum Dike Di ketah tahui ui ling lingka karan ran ya yang ng mem mempu puny nyai ai pers persam amaa aan n x 2 + y 2 = 9. Tentukan: a. jar jarak ak terde terdekat kat dari dari titi titik k (4, 5) 5) ke suatu suatu titi titik k pada pada lingk lingkara aran n b. jar jarak ak terja terjauh uh dari dari titik titik (4, (4, 5) ke ke suatu suatu titik titik pad padaa lingk lingkara aran n Tentuk entukan an luas luas persegi persegi panjan panjang g terbesar terbesar yan yang g dua titik sudut sudutnya nya terle terletak tak pada pada sumbu-x sumbux sedangkan sedangkan dua titik sudut lainnya terletak di atas sumbu- x x dan dan pada 2 parabola y parabola y == 9  x . Persegi Pers egi panja panjang ng mana mana yang yang mempun mempunyai yai luas luas terbe terbesar sar jika jika kelil kelilingn ingnya ya 100 100 cm? 2 Berapa cm luasnya yang maksimum? Luas Lu as da daer erah ah pe pers rseg egii pan panja jang ng ial ialah ah 48 48 cm cm 2. a. Ji Jika ka pa panj njan ang g sa sala lah h sat satu u si sisi siny nyaa x x cm, cm, tulislah kelilingnya dalam x . b. Tentu entukan kan ukuran ukuran perse persegi gi panjan panjang g itu sehin sehingga gga keli keliling lingnya nya min minimum imum.. Sehelai Sehe lai karto karton n berbent berbentuk uk perseg persegii panjang panjang denga dengan n lebar lebar 5 inci inci dan dan panjang panjang 8 inci. inci. Pada keempat sudut karton itu dipotong bujur sangkar yang sisinya x x inci. inci. Dari bangun yang diperoleh, dibuat kotak tanpa tan pa tutup yang tingginya x x inci. inci. Tentukan ukuran kotak agar isinya maksimum. Seorang Seor ang pengu pengusaha saha ingi ingin n membua membuatt kaleng kaleng berbe berbentuk ntuk tab tabung ung yang yang isiny isinyaa 1000 1000 3 cm . Kaleng itu akan dibuat demikian hingga luasnya paling kecil. Tentukan Tentukan jari jari dan tinggi kaleng itu apabila: a. kaleng itu tanpa tutup b. kaleng itu dengan tutup Suatu Suat u kotak kotak tanp tanpaa tutup, tutup, alas alasnya nya berb berbentu entuk k bujursa bujursangka ngkarr yang yang sisin sisinya ya x x cm. cm. Isi 3 kotak itu 64 cm . a. Tul ulis isla lah h tin tingg ggin iny ya dal dalam am x . b.. Ji b Jika ka lu luas as pe perm rmuk ukaa aann nnya ya L , nyatakan L L dalam dalam x . c. Tentu entukanl kanlah ah ukuran ukuran kota kotak k itu itu agar agar bahan bahan yang yang dibua dibuatt sedikit sedikit mung mungkin. kin. Titik A merupakan suatu pulau yang terletak 6 km dari titik terdekat B pada pantai yang lurus. Seorang turis asing di pulau tersebut bermaksud pergi ke titik C di C di pantai yang jaraknya 9 km dari B . Turis tersebut dapat menggunakan perahu dengan sewa Rp15.000,00 per kilometer dan pergi ke suatu titik P P di di antara B B dan dan C . Kemudian dari P menuju C , dia menyewa mobil beserta supirnya dengan sewa Rp12.000,00 per kilometer. Tentukan rute perjalanan yang paling murah dari titik A ke titik C C .. Seseoran Sese orang g melunc meluncurka urkan n perahun perahunya ya dari dari titik titik A pada tepian sungai lurus, dengan lebar 3 hm, dan bermaksud menuju ke titik B , 8 hm ke arah hilir pada tepian yang berseberangan, secepat mungkin. Orang tersebut dapat mendayung perahunya langsung menyeberangi sungai ke titik C dan kemudian berlari ke B , atau dia dapat mendayung ke suatu titik D D di di antara C C dan dan B B dan dan kemudian berlari ke B . Jika dia mendayung dengan kecepatan 6 hm/jam dan berlari dengan kecepatan 8 hm/jam, di mana dia seharusnya mendarat untuk mencapai B B secepat secepat mungkin? Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Rangkuman 1.

2.

3.

4. 5. 6. 7.

8.

9. 10.

Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan pada interval tertutup [ a, b ]. ]. a. Jika f '( x) > 0 untuk setiap x x di di dalam (a, ( a, b ), ), maka f naik pada [a, [a, b ]. ]. x di di dalam (a, ( a, b ), ), maka f turun pada [a,b [a,b ]. ]. b. Jika f '( x) < 0 untuk setiap x Misalkan fu fungsi f terdefinisi pada interval terbuka dan c c anggota anggota interval. a. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c , jika terdapat interval terbuka yang memuat c , sehingga f ( c) ≥ f ( x) untuk x dalam interval tersebut. b. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c , jika terdapat interval terbuka yang memuat c , sehingga f ( c) ≤ f ( x) untuk x dalam interval tersebut. c. Fungsi f f yang yang mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di c , dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c . Misalkan fu fungsi f terdefinisi pada interval tertutup dan c c anggota anggota interval. a. Jika f ( c) ≥ f ( x) untuk semua x dalam interval, maka f (c ) disebut nilai maksimum mutlak dari f pada interval tersebut. b. Jika f ( c) ≤ f ( x) untuk semua x dalam interval, maka f (c ) disebut nilai minimum mutlak dari f pada interval tersebut. c. Jika f (c ) maksimum mutlak atau minimum mutlak, maka f (c ) disebut nilai ekstrim mutlak dari f . Jika f '(c ) = 0 , maka fungsi f dikatakan stasioner di c . Nilai f (c ) disebut nilai stasioner dari f . Titik (c ( c , f f ((c )) )) disebut titik stasioner dari f . Jika f terdefinisi pada (a, ( a, b ) dan mempunyai ekstrim relatif di c , a a << c c << b , maka atau tidak ada. Bilangan c c di di dalam daerah asal f f sehingga sehingga atau tidak ada kita sebut sebagai bilangan kritis. Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Relatif . Misalkan f mempunyai turunan di sekitar c c kecuali kecuali mungkin di c c sendiri. sendiri. a. Jika f '( x) > 0 untuk x x << c , dan untuk c c << x , maka fungsi f f mempunyai mempunyai nilai maksimum relatif di c . b. Jika f '( x) < 0 untuk x x << c , dan untuk c c << x , maka fungsi f f mempunyai mempunyai nilai minimum relatif di c . Uji Turunan Turunan Kedua untuk Ekstrim Relatif . Misalkan f f mempunyai mempunyai turunan pada interval terbuka yang memuat c dan . a. Jika f ''(c ) < 0 , maka f f mempunyai mempunyai nilai maksimum relatif di c . b. Jika f ''(c ) > 0 , maka f f mempunyai mempunyai nilai minimum relatif di c . Teorema Nilai Ekstrim. Jika f kontinu pada interval tertutup [a, [ a, b ], ], maka f mencapai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [ a, b ]. ]. Metod Me todee Inte Interv rval al Ter Tertut tutup up. Untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi kontinu f f pada pada interval tertutup [a, [a, b ]: ]: (1) Ca Cari rila lah h nila nilaii f f di di bilangan kritis f di dalam (a, ( a, b ), ), (2) Ca Cari rila lah h nila nilaii f di titik batas interval, (3)) Bandingka (3 Bandingkan n nilai-nilai nilai-nilai pada langkah langkah (1) dan (2), (2), yang terbesar terbesar adalah nilai nilai maksimum mutlak; yang terkecil adalah nilai minimum mutlak.


331

Math Info

Pakar ilmu burung telah menetapkan bahwa beberapa jenis burung cenderung menghindari terbang melintasi genangan air luas selama siang hari. Dipercaya bahwa lebih banyak energi yang diperlukan untuk terbang melintasi air daripada melintasi tanah karena secara umum pada siang hari di atas tanah udara naik dan di atas air turun. Hal ini menunjukkan bahwa burung secara naluriah memilih jalur yang akan meminimumkan pengeluaran energi.

Gambar 9.19 Burung terbang Sumber : indonesian.cri.cn

Uji Kompetensi A. Berila Berilah h tanda tanda silang silang (X) (X) pada pada huru f , d atau e di depan jawaban f a, b, c yang Anda anggap paling benar!

−1 ≤ x ≤ 2 , fungsi

y= x

3

− 3 x2 + 3

1.

Pada interval

2.

. A.  6 B.  1 C. 3 D. 6 E. 8 Jumlah Jum lah dari dari bilan bilangan gan perta pertama ma dan dan kuadrat kuadrat bilan bilangan gan kedua kedua adal adalah ah 75. 75. Nilai Nilai terbesar dari hasil kali kedua bilangan tersebut adalah ... A. 5 0 B. 7 5 C. 17 1 75 D. 25 25 0 E. 3 50

3.

Jarak Ja rak ter terpen pendek dek ti titik tik (4 (4,, 2) ke kur kurva va par parab abola ola y 2 A.

4.

2

B.

2 3

C.

3

mempunyai nilai maksimum

= 8x

adalah ... . D.

2 2

E. 3 2

Suatu Sua tu proyek proyek pemb pembang anguna unan n gedung gedung seko sekolah lah dapa dapatt disele diselesai saikan kan dala dalam m x hari dengan biaya proyek per hari

⎛ 3 x − 900 + 120 ⎞ ratus ribu rupiah. Agar biaya ⎜ ⎟ x ⎠ ⎝

proyek minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu ... hari A. 4 0 B. 60 60 C. 9 0 D. 12 0 E. 1 50 332


5.

Jika Ji ka ni nila laii mak maksi simu mum m fun fungs gsii y = x +

6.

A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 E. 3 Persamaan Persa maan gari gariss yang yang melalui melalui titi titik k (2, (2, 3) dan m membe embentuk ntuk segi segitiga tiga di kuadra kuadran n pertama dengan luas terkecil adalah ... .

7.

A.

y − 3 =

B.

y − 3 = − 32 ( x − 2)

C.

y − 3 =

3 2

2 3

( x − 2)

D.

y − 3 = − 23 ( x − 2)

E.

y − 3 = − 13 ( x − 2)

( x − 2)

Jika Ji ka ni nila laii st stas asio ione nerr da dari ri f ( x) = x3 − px2 A. 0 atau 1

8.

p ==  . p − 2 x adalah 4, maka nilai p

B.

0 atau

1 5

C.

−

, maka nilai p nilai p ==  . px− 1 adalah x = p

0 atau 1

D.

E.

1 5

Jarak Ja rak yan yang g ditem ditempuh puh se sebua buah h mobi mobill dala dalam m wakt waktu u t t diberikan diberikan oleh fungsi s (t ) = − 13 t

3

+ 3t 2 − 5t

Kecepatan mobil tertinggi dicapai pada waktu t t == ... . A. 1 B. 2 C. 3 D. 9.

1

Tit itik ik belok dari fun ung gsi f ( x) = x3 + 6 x2 A. (2, 3)

B.

(2, 7)

10. Kurva y = x3 + 6 x2

− 9 x+ 7

C.

(2, 5)

x > 0

D.

B.

−3 < x < 1 −1 < x < 3

E.

1 5

B.

1

5

E.

(2, 5)

adalah .. . . D.

(2, 10)

x < −3 atau x

>1 x < −1 atau x > 3

11. Nil Nilai ai maksim maksimum um dari dari fungs fungsii trigono trigonometr metrii A.

E.

naik untuk nilai-nilai x x  .

A.

C.

+ 9 x+ 7

4

C.

0

f( x) = 15 sin(5 x− π 6 ) adalah  .

D.

5

E.

5 6

12.. Gr 12 Graf afik ik fu fung ngsi si f ( x) = x3 + ax2 + bx+ c turun pada interval −1 < x < 3 . Jika nilai maksimum dari f f ((x ) adalah 15, maka nilai minimumnya adalah ... . A.  24 B. 2 0 C. 1  17 D. 1  10 E. 2 13. Sebu Sebuah ah keru kerucut cut mem mempuny punyai ai jari jari-jar -jarii r r dan dan tinggi t . Jika r r ++ t t == 9, maka volume maksimum kerucut tersebut adalah ... . A. 24 π B. 27 π C. 33 π D. 36 π E. 42 π 14.. Dua bi 14 bila lang ngan an a a dan dan b b memenuhi memenuhi a a  2b b == 50. Nilai minimum dari a A. 30 3 00

B.

40 0

C.

5 00


D.

60 0

2

− b 2 adalah .... E.

7 00

333

15. Jika x1 dan x2 merupakan akar persamaan kuadrat x2 3

stasioner dari x1

+ 3 x1 x2 +

− ( a − 1) x+ a = 0 . Nilai

3

a == ... . x2 dicapai untuk a

A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 3 dan 2

D. E.

1 dan 2 1 dan 2

B . Kerjakan soal-so soal-soal al berikut berikut dengan langkah langkah-langka -langkah h yang yang tepat! 16. D i ke ke ta ta hu hu i Δ ABC siku-siku sama kaki, berapakah luas minimum segi empat ABED ?

AC= BC= 20 , dan

AD= CE ,

A

D

C

E

B

Gambar 9.20

17. Dike Diketa tahu huii fu fung ngsi si f ( x) = 2 x3 + 9 x2 − 24 x + 5 . Tentukan: a. int nter erv val dimana gra raffik f naik dan turun b. mak maksi simum mum rel relati atiff dan dan mi minim nimum um rel relati atiff c. titik belok grafik y y == f f ((x ) d. sketsa grafik y y == f f ((x ) 18. Bia Biaya ya untu untuk k mempr memprodu oduksi ksi x unit barang

per

hari

adalah

( 3x− 2000 2x+ 3000000 )xrupiah. Jika barang itu harus diproduksi, berapakah biaya paling rendah untuk per unit? 19. Sebuah roda roda berputar berputar mengelilingi mengelilingi titik pusatnya. pusatnya. Sudut si simpangan mpangan setiap titik titik pada roda pada waktu t t dirumuskan dirumuskan sebagai: 2 3 θ (t ) = 54t − 3 t − 1 t 2 3 Tentukan kecepatan sudutnya. Kemudian hitung hitun g besar sudut ketika kecepatannya sama dengan nol. 20. Misal Misalkan kan penguranga pengurangan n tekanan tekanan darah seseoran seseorang g tergantung tergantung pada banyak banyaknya nya obat tertentu yang digunakannya. Jika x mg obat yang digunakan maka pengurangan tekanan darah merupakan suatu fungsi dari x . Misalnya f (x ) mendefinisikan fungsi tersebut dengan

f (x ) =

1 2

x 2 (k k  x )

dengan x ∈ [0, k ] dengan k konstanta positif. Tentukan nilai x sehingga pengurangan tekanan darah terbesar. 334


Soal Analisis 1.

Pancuran hujan dibu Pancuran dibuat at dari dari lemb lembaran aran besi yang memi memiliki liki leba lebarr 30 cm denga dengan n menekuk ke atas dari sepertiga besi pada masing-masing sisi sebesar sudut θ . Bagaimana seharusnya θ dipilih sehingga penampung akan dapat menampung air dalam jumlah maksimum?

10 cm

10 cm

10 cm Gambar 9.21

2.

Bandingkan dengan soal analisis nomor 1 bab 3. Dibe Di beri rika kan n pers perseg egii panj panjan ang g deng dengan an leb lebar ar l l cm cm dan panjang p panjang p cm. cm. Tentukan persegi panjang dengan luas maksimum yang dapat diletakkan di sekeliling persegi panjang yang diketahui.

p l

Gambar 9.22

Bandingkan dengan soal analisis nomor 2 bab 3. 3. Pera Perahu hu mening meninggalk galkan an dermag dermagaa pada pada pukul pukul 14.00 14.00 dan dan berla berlayar yar menuju menuju sela selatan tan dengan kecepatan 20 km/jam. Perahu lain telah menuju ke Timur pada kecepatan 15 km/jam dan mecapai dermaga yang sama pada pukul 15.00. Pada pukul berapa kedua perahu itu paling berdekatan. 4. Se Sebu buah ah peru perusa saha haan an memp mempro rodu duks ksii dua jen jenis is prod produk uk A dan B . Jika biaya total produksi untuk 8 jam sehari adalah C C juta, juta, maka C C == 3x 2 + 42 y , dengan x x banyaknya banyaknya mesin yang digunakan untuk memproduksi produk A dan dan y y banyaknya banyaknya mesin yang digunakan untuk memproduksi produk B . Misalkan selama 8 jam sehari terdapat 15 mesin yang bekerja. Tentukan banyaknya mesin yang harus digunakan untuk memproduksi A dan banyaknya mesin yang memproduksi B agar biaya total produksi minimum. 5. Pake Pakett yang yang dapat dapat diteri diterima ma oleh oleh suatu suatu perusa perusahaan haan peng pengirim iriman an adalah adalah pake pakett yang yang jumlah panjang dan keliling penampang tegaknya tidak melebihi 100 inci. Bila paket berbentuk kotak tegak dengan penampang tegaknya berbentuk bujursangkar, tentukan ukuran paket yang mempunyai volume terbesar yang dapat dikirimkan oleh perusahaan pengiriman tersebut.


335

Aktivitas Proyek

Aktivitas N am a Kelas

Tanggal :  Materi Pokok : Nilai ekstrim dan teknik menggambar grafik fungsi Kelompok:  Semester : 2 (dua) Kegiatan: Membuat persegi dan segitiga sama sisi dari sepotong kawat Tujuan : Menentuka Menentukan n persegi persegi dan dan segitiga segitiga sama sama sisi sisi sehing sehingga ga total total luasnya minimum A.

B.

:  : XI

Alat dan bahan yang digunakan 1. 5 potong kawat masing-masing 200 cm 2. Gunting / alat pemotong 3. Meteran

4. Alat tuils 5. Buku catatan

Cara kerja 1. Bua Buatla tlah h kelompo kelompok k yang yang berang beranggota gotakan kan 5 siswa siswa,, setiap setiap kelom kelompok pok menyediakan 5 potong kawat berukuran 200 cm. 2. Poto Potong ng kawat kawat menjad menjadii dua bagi bagian, an, tida tidak k ada kete ketentua ntuan n panjang panjang poto potongan ngan.. 3. Buat mas masinging-mas masing ing poton potongan gan kawat kawat menjad menjadii persegi persegi (PS) dan segit segitiga iga sama sama sisi (SS). 4. Hitu Hitung ng luas luas untuk untuk seti setiap ap bangun bangun data datarr itu, itu, kemudia kemudian n isikan isikan pada pada tabe tabell di bawah. 5. Ula Ulangi ngi lang langkah kah 2 samp sampai ai 4 untuk untuk empa empatt kawat kawat yang yang lain, lain, yang yang masi masingngmasing berbeda cara memotongnya. Kawat I PS1

SS1

Kawat II PS2

SS2

Kawat III

Kawat IV

PS3

PS4

SS3

SS4

Kawat V PS5

SS5

Sisi Luas C . A na l i s i s 1. Dari data yang Anda pero peroleh leh di di atas, atas, manak manakah ah yang yang membe memberika rikan n total total luas luas minimum. 2. Jik Jikaa diam diambi bill sat satu u poto potong ng kaw kawat at 20 2000 cm, cm, da dan n x x cm cm yang dipotong untuk dibuat persegi, berapakah kawat yang dibuat untuk segitiga sama sisi? 3. Nya Nyatak takan an lua luass masin masing-m g-mas asing ing bi bida dang ng data datarr dalam dalam x . 4. Misalkan L L menyatakan menyatakan total luas dari kedua bidang datar itu, apakah daerah asal fungsi L ? 5. De Deng ngan an Uji Uji Tur Turuna unan n Per Perta tama ma,, tentu tentuka kan n nila nilaii x x yang yang menyebabkan L L minimum. minimum. 6. Ma Manak nakah ah hasil hasil per perco cobaa baan n Anda Anda di atas atas ya yang ng mend mendek ekati ati L untuk nilai x tersebut?

336


Teka-Teki Matematika Matema tika

Menebak Tiga Bilangan Mintalah teman Anda untuk memikirkan 3 bilangan yang masing-masing lambang bilangannya paling banyak terdiri dari 2 angka. Misalnya: tanggal, bulan, dan tahun kelahiran (hanya dua angka terakhir dari tahun itu). Suruhlah ia melakukan perhitungan berikut. a. Kal Kalik ikan an bila bilanga ngan n perta pertama ma den denga gan n 10 b. Has Hasil il dari dari a di ata atass kuran kurangi gi deng dengan an 1 c. Ha Hasi sill dar darii b kal kalik ikan an den denga gan n 50 d. Hasi Hasill kali kali dari dari c dita ditambah mbah 5 kali kali bilan bilangan gan kedu keduaa e. Ha Hasi sill dar darii d kal kalik ikan an den denga gan n 20 f. Pa Pada da has hasil il e ta tamb mbah ahka kan n bila bilang ngan an ke ke 3 g. Ak Akhir hirnya nya tam tamba bahka hkan n 1 kepad kepadaa hasil hasil f Setelah melakukan perhitungan itu suruhlah memberitahukan hasil perhitungannya kepada Anda. Dari hasil perhitungan itu Anda dapat mengetahui bilangan pertama, kedua, dan ketiga (yang dirahasiakan itu) setelah perhitungan dari g ditambah dengan 999. Misalnya hasil perhitungan itu 240.235, maka 240.235 + 999 = 241.234. Jadi, ketiga bilangan yang dirahasiakan itu ialah 24, 12, dan 34.


337

Latihan Ulangan Umum Semester 2

A. Untuk soal nomor 1 sampai dengan dengan nomor 40, pilihlah satu jawaban jawaban yang paling tepat! Kerjakan di buku tugas Anda! 1.

Jika su sukubanyak F (x ) masing-masing dibagi oleh ( x x  3) dan (x ( x ++ 2) mempunyai sisa 6 dan 10, jika dibagi oleh x 2 lim

x →15

A. B. C. 2.

px − 42 ax + 6 8 7 4

−x−6

= ... . D. E.

3 2

Suatu su sukubanyak F (x ) jika dibagi ( x + 2) sisanya 14 dan jika dibagi ( x − 4) sisanya  4, sisa pembagian F (x ) oleh x A. 3 x − 8 D.

3.

mempunyai sisa 2 ax + 3 p , maka

B.

3 x + 8

C.

8 x + 3

E.

2

− 2x − 8 −3 x + 8 −3 x − 8

adalah ....

Suatu su sukubanyak F (x ) habis dibagi oleh ( x − 1) , sisa pembagian F (x ) oleh ( x − 1)( x + 1) adalah ....

4.

A.

− 12 F (−1)(1 − x )

D.

1 2

F (−1)(1 + x )

B.

− 12 F (1)(1 + x )

E.

1 2

F (−1)(1 − x )

C.

− 12 F (−1)(1 + x) 2

px

A. B. C. D. E. 5.

( x − y + 1)

Jika

+

qxy+ ry

2

faktor

dari

bentuk

p = 2, q p = q == 1, r r == 1 p ==  2, q p q == 1, r r == 1 p == 2, q p q == 1, r r == 1 p == 2, q p q == 1, r r == 1 p == 1, q p q == 1, r r == 1

p + q A. 3 5 B. 2 9 C. 2 4 338

sebuah

+ 5 x− 2 y+ 3 , maka ... .

J i k a ak a k a r - a k a r da da r i 2

merupakan

2

+

3

x

+ 5 x2 − 2 x− 24 = 0 adalah p,

q , dan r , maka nilai

r = ... . 2

D. E.

5 1


3 x − px− 15 2

6.

Pecahan

x

2

− 5x + 6

dapat disederhanakan apabila p apabila p == ... .

A. 2 B. 1 C. 0 7.

D. E.

1 2

− 7 x4 + 3 x dibagi oleh x3 − 4 x ( a 30 ) maka + log(b + c − 3) = ... .

Jika sukubanyak x7 A. 6 B. 5 C. 4

D. E.

mempunyai sisa ax 2

1 2

8.

Jika f ( x) = 4 x+ 2 dan g ( x ) = 3 , maka ( g o f )(0) = K . A. 0 D. 6 B. 3 E. 1 0 C. 4

9.

Jika f ( x) = A. x B. C.

2 x+ 1 dan g ( x ) = x

− 1 , maka D.

10. Jika ( g o f )( x ) = −

x

2

+ 1 dan

( g o f )( x ) = K .

2x x  1

E. x 2

x  1 x  x ++ 1 x

+1

g ( x ) = 4 x , maka f ( x ) = K

A.

1 8

( − x + 2)

D.

1 4

( x − 1)

B.

1 8

( − x − 2)

E.

1 4

( − x + 2)

C.

1 8

( x − 2)

11. Jika ( g o f )( x ) = 2 x 2

+ 4x + 7

dan f ( x) = x2

+ 2 x − 1 , maka

A.

2 x − 1

D.

2 x + 9

B.

2 x − 3

E.

2 x − 9

C.

2 x + 3

12. Jika f ( x) =

2

x

+ 1 dan (

f o g)( x) =

1

( x − 5) ( x − 1)

g ( x) = K

− 4 x+ 5 , maka

g ( x − 3) = K

1 D.

1 B.

2

x

x − 2

1 A.

+ bx + c ,

( x − 3)

1 E.

( x + 3)

1 C.

( x + 1)


339

13. Jika f ( x ) =

2 x − 5 3 x − 2

A. 1 1

, maka f −1 (1) = K .

B.

2 3

C.

3

D.

7 7

14. Jika ( g o f )( 2 x + 3) = 3x − 6 dan g ( x ) = x + 4 , maka f −1 (8) = K . A. 5 B. 1 0 C. 1 5 D. 2 0 15. Jika f−1 ( x) = 15 ( x− 1) dan g −1 ( x ) = 12 (3 − x ) , maka ( f A. 3

B.

2

C.

1

D.

− 16. Jika f ( x) = 2 x+ 3 dan g ( x ) = x 3 + 1 dengan ( g A. 2 1 B. 1 8 C. 1 5

1

f( x) =

17. Jika f

−1

x + 1 x

lim

x

→2

⎛ 2 x2 − 8 ⎜ x − 2 − ⎝

20.

1

2

−1

)(a ) = 2 maka a = K . D. 1 2 E. 9

6

B. 2 x + 1

lim

→−1 2 2 −

21. lim x →1

A. 

22. lim

→0

A. 0

2

1 3

D.

1 4

E.

1 5

C.

8

D.

9

E.

∞

a ++ 1 a

C.

a ++ 2 a

D.

a ++ 3 a

E.

a ++ 4 a

C.

0

D.

1

E.

2

C.

0

D.

1 4

E.

1 2

C.

2

D.

3

E.

4

= ... .

4 x + 6

B. x

C.

− 2 x⎞ =K . ⎟ 2 x − 4 ⎠

A. a

x

E.

(6) = K .

2

→a

A. 4

340

3

+ (3 − a) x− 3 a = ... . x − a

x

lim

x

25

x

B. 2

x

f

E.

, x≠ 0 , dan p dan p adalah banyaknya faktor prima dari 210, maka

B.

A. 5 19.

o

−1

 11

( p) = K .

A. 4

18.

o g)

E.

2

+ 3 − x −1 = ... . 2 1 − x

1 2

B.

sin x + sin 3 x x cos x



1 4

= ... .

B.

1


23. lim x

− 1) sin 6 x = ...... . 3 2 x +3 x +2 x

( x

→0

2

A. 5 24. li lim m

B.

tan( x − 1) sin(1 −

x →1

A. 25.

x

2

B.

(3 x− 2 −

→∞

A. 

x)

− 2x + 1

∞

lim

x

3

8 2

B.



x →3

4 5

B.

27. Jika f( x) = A.

28. Jika f ( x ) =

2 x

x

+

B.

5 x

−

C.

3 x

+

2

B. C.

E.

3

C.

6

D.

1

E.

0

D.

7 3

E..

5 6

D.

5 2

E.

∞

D.

7 9

E.

9 11

C. f ( x) − f ( 3) x − 3



5 3

= ...... .

C.

2 5

2 x

3 5

C.

, maka f '( x ) = ... .

2

x

2 x

5 7

−1

x

2

D.

5 x

−

E.

3 x

−

2 x x

2

x

2

2 x x

2

29.. Tur 29 urun unan an da dari ri y A.

0

B.

3 x

. 2

6 x+ 7 , maka nilai f '(3) = K .

2 3

A.

D.

) = ... .

7 3

lim m 26. Jika f ( x) = x2 , maka li

A. 

2

= ...... .

9 x − 2 x+ 5

5 6

C.

= 3x 4 cos x

−12 x 3 sin x −12 x 3 cos x 4 3 3 x cos x+ 12 x sin


adalah ... . D.

12 x sin x− 3 x cos x

E.

12 x cos x− 3 x sin x

3 3

4

4

x

341

30.. Tur 30 urun unan an da dari ri f ( x) = 5( x2 A.

15( 2 x + 2)

B.

15( x

C.

10( x+ 1)( x

2

B.

C.

adalah ... .

2

D.

30( x+ 1)( x

+ 2 x − 1)2

E.

15( 2 x+ 2) ( x

+ 2 x− 1)2

2

2

2

+ 2 x− 1)2

+ 2 x− 1)2

2

31. Jika f ( x ) =

A.

+ 2 x− 1)3

3 sin x + 1

, maka f '( x ) = ... . 4 sin x + 6

3 cos x + 1

14cos x

D.

4 sin x + 6 3 sin x + 1 ( 4 sin x + 6)

E.

2

( 4 sin x + 6)

2

−14 2 ( 4 sin x + 6)

3 sin x − 1 4 sin x − 6

3 32.. Tur 32 urun unan an da dari ri f( x) = sin 2 (2 ( 2 x − 1) adalah ... . 2

A.

6 x sin 2( 2 x

B.

6 x cos( 2 x

C.

12 x cos( 2 x

2

3

− 1)

3

2

− 1)

3

D. 2 cos( 2 x 3 − 1) E. 2cos6 x 2

− 1)

33. Pers Persama amaan an garis garis sing singgung gung pada kurv kurvaa y A. 4x x  y y  4 = 0 B. 4x x  y y  5 = 0 C. 4x x ++ y y  4 = 0

D. E.

= x2 −

2 x

di titik (1, 1) adalah ... .

4x x ++ y y  5 = 0 4x x  y y  3 = 0

34. Pers Persamaa amaan n garis garis sing singgung gung pada kurv kurvaa y = x2 + 4 x− 5 yang sejajar dengan garis y == 2x y 2x ++ 3 adalah ... . A. y y  2x 2x  10 = 0 D. y y  2x 2x + 8 + 8 = 0 B. y y  2x 2x ++ 6 = 0 E. y y  2x 2x ++ 12 = 0 C. y y  2x 2x + 2 + 2 = 0 35. Pa Pada da int i nter erva vall maksimum  . A.  6 B.  1 C. 3

342

−1 ≤ x ≤ 2 ,

fungsi f ( x) = x3 − 3 x2 D. E.

+3

mempunyai nilai

6 8


36.. Gr 36 Graf afik ik fu fung ngsi si f ( x) =

1 6

3

x

− 3 x2

naik untuk x x yang yang memenuhi ... .

A.

1 < x < 6

D.

B.

1 < x < 12

E.

C.

−6 < x < 6

x < 0 atau x > 12 x < 1 atau x > 6

37.. Jik 37 ikaa kur urva va y = 2 x5 − 5 x4 + 20 mencapai nilai minimum di titik ( a, b ), ), maka a a == . A.  1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 2

38. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x mencapai minimum untuk k k == ... . A.  1

B.

0

1 2

C.

+

kx+ k = 0 , maka x1

D.

39. Ti Titik tik belo belok k dari dari grafik grafik fung fungsi si y = x3 + 6 x2

+ 9 x+ 7

2

1

E.

+ x22 2

adalah  .

A. (2, 3) D. (2, 10) B. (2, 7) E. (2, 5) C. (2, 5) 40. Suat Suatu u karton karton berben berbentuk tuk bujur bujur sangk sangkar ar dengan dengan sisi sisi a a cm cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting keempat pojoknya sebesar h h cm. cm. Volume kotak maksimum untuk h h == ... .

B.

A.

1 2

a atau

B.

1 3

a

C.

1 4

a

1 6

a

D.

1 8

a

E.

1 6

a

Untuk soal nomor 41 sampai dengan nomor 50, kerjakan dengan singkat dan jelas! 41. Jika f mempunyai turunan di c , dengan c > 0 , hitunglah limit dalam bentuk f '(c ) :

lim

x → c

42. Ten entu tuka kan n ni nila laii lim

1 + tan x

x →0

−

x

3

f ( x) − f ( c) x

1 + sin x

−

c

.

43. Di Dike ketah tahui ui su sukub kuban anyak yak f( x) = cx4 − 2 x2 + 1 , dengan c c nilai nilai yang berubah-ubah. a. Tentukan ni nilai c c sehingga sehingga sisa pembagian sukubanyak oleh ( x x  1) adalah 3. b. Untuk nilai c yang diperoleh pada a, tunjukkan bahwa titik minimum sukubanyak terletak pada parabola y Latihan Ulangan Umum Semester 2

= 1 − x2 . 343

44. Ten entuk tukan an titi titik k pada pada kurv kurvaa y = x3 − 3 x+ 4 dan y = 3( x2 − x) mempunyai garis singgung bersama. 45. Ten entu tuka kan n ni nila laii a a dan dan b b sehingga sehingga (1, 6) adalah titik belok dari grafik fungsi f ( x) = x

3

+

2

ax

+

bx+ 1

46. Misa Misalk lkan an dike diketa tahu huii bahwa bahwa f f (2) (2) = 3, f '( 2) = 4 , f ''( 2) = −1 , , g g (2) (2) = 2, dan g '( 2) = 5 . Carilah tiap nilai berikut. a.

b.

c.

d dx d dx d dx

[ f ( x) + g ( x)] di x x == 2, 2

3

[ f ( x ) g ( x)] ) ] di x x == 2, [ f ( g ( x))] di x x == 2.

47. Suat Suatu u proyek proyek akan dise diselesa lesaikan ikan dala dalam m x hari, dengan biaya proyek per hari

⎛ 2 x + 1500 − 80 ⎞ ribu rupiah. Berapakah biaya minimum dari proyek itu? ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ 48. Misalkan f ( x) = x− 2 dengan g = f −1 . a. Tentukan g g dengan dengan daerah asal dan daerah hasilnya. b.

Hitung g '( x ) .

c.

Nyatakan g '( x ) dalam f '( x ) .

49. Carilah Carilah dua bilangan bilangan bulat bulat positif positif sehingga sehingga jumlah jumlah bilangan bilangan pertama pertama dengan dengan empat kali bilangan kedua adalah 1000 dan hasilkali bilangan tersebut sebesar mungkin. 50. Pipa besi besi dibawa dibawa melewati melewati gang yang yang memiliki memiliki lebar lebar 9 meter. meter. Pada Pada ujung gang terdapat belokan menyiku ke arah gang yang lebih sempit dengan lebar 6 meter. Perhatikan gambar berikut. Berapa panjang pipa maksimum dapat dapat dibawa secara mendatar melewati pojokan itu? Perhatikan kembali soal analisis nomor 4 bab 3.

6

θ

9

344


NiLai Ekstrim Fungsi Dan Membuat Grafik Fungsi_bab9

Recommend Documents