La Universidad del Zulia Facultad de Ciencias Departamento de Matem´atica atica
La Matem´atica atica y sus Relaciones con otros Campos del Conocimiento
Jos´e Heb Heber Nieto Nieto
Maracaibo, Venezuela
´ Indice General Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . La matem´atica atica en la antig¨uedad . . . . . . Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Galileo, Newton y la nueva F´ısica . . . . . Aplicacion Aplicaciones es del c´alculo . . . . . . . . . . F´ısic ısicaa y Teor´ or´ıa de Proba robabi bili lida dade dess . . . . . Predicciones de existencia . . . . . . . . . Qu´ımica y Biolog´ıa . . . . . . . . . . . . . Ciencias soci ociales y humanas . . . . . . . . Las formalizaciones artificiales . . . . . . . La medida de la inteligencia . . . . . . . . Matem´ atica e interdisciplinaridad . . . . . Matem´ atica atica pura vs. matem´atica aplicada La mat matem´ em´atic a ticaa par para s´ı mism mismaa . . . . . . . Matem´ atica y belleza . . . . . . . . . . . . A modo de conclusi´on . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii 1 3 4 5 6 7 9 10 12 12 14 15 15 17 20 20 21 23
Prefacio Esta obra es la edici´on on electr´onica onica de un peque˜no no libro del mismo nombre, ya agotado, publicado en 1986 por la Facultad Experimental de Ciencias de La Universidad del Zulia. Ha sido preparada por el autor por considerar que a´un un mantiene vigencia y puede ser ´util. util. El contenido contenido no ha variado, ariado, exceptuando la correcci´on on de errores tipogr´aficos aficos y algunas referencias. El germen de las ideas aqu´ aqu´ı expuestas expuestas se halla en una ponencia ponencia presenta presentada da al Primer Simposium Nacional sobre Interdisciplinaridad (celebrado en Maracaibo del 25 al 28 de mayo mayo de 1982) por el profesor profesor Gonzalo Gonzalo P´ erez erez Iribarren Iribarren y quien atica e Interdisciplinaridad , esto escribe. En dicha ponencia, titulada Matem´ se resum´ resum´ıan algunas experiencia experienciass vividas vividas por ambos durante durante el desempe˜ desempe˜ no no de nuestras actividades matem´aticas aticas en diversos ´ambitos ambitos universitarios latinoamericanos. Muchos de los conceptos desarrolladas en este trabajo tienen su origen en el constante intercambio de ideas que mantuvimos en aquel tiempo con el eor´ıa ıa de Probabili Probabilidades dades profesor P´erez; erez; en particular el apartado Fisica y Teor´ se basa en un manusc manuscrit ritoo suyo. suyo. Me apresuro apresuro a advert advertir, ir, sin embar embargo, go, que cualquier posible error es de mi exclusiva responsabilidad. El profesor Gonzalo P´erez erez Iribarren falleci´o en Montevideo, Uruguay, el 25 de agosto agosto de 1998. 1998. Deseo Deseo expres expresar ar aqu´ aqu´ı mi gratit gratitud ud por haber haber podido disfrutar de su amistad, inteligencia y sab´ sab´ıdur´ ıdur´ıa, al tiempo que ofrezco la edici´on on electr´onica onica de esta obra como un humilde homenaje a su memoria. Jos´e Heb H eber er Nieto Niet o Said Sai d Maracaibo, diciembre 1999.
ii
Introducci´ on on La naturaleza de la matem´atica atica y de sus relaciones con los dem´as as campos del conocimiento plantea delicados problemas, tanto de car´acter acter filos´ofico ofico como de orden pr´actico. actico. Por una parte es evidente la utilidad de la Matem´atica en los esfuerzos del hombre p or comprender y dominar el mundo f´ f´ısico. Los ´exitos exit os de los m´etodos eto dos matem´ mat em´aticos aticos en las ciencias f´ısicas han sido continuos continuos y espectaculares, y su aplicaci´on on se extiende hoy en d´ıa a las ciencias sociales so ciales y humanas. humanas. Pero Pero al mismo tiempo la Matem´ atica aparenta ser una especie atica de microcosmos micro cosmos cerrado sobre s´ı mismo, donde imperan imp eran la 1´ ogica ogica y el rigor y est´a excluida intencionalmente toda conexi´on on con lo emp´ırico. ırico. Ahora bien, b ien, si la matem´atica atica no fuese m´as as que el estudio abstracto de sistemas formales no interpretados, la ciencia en la cual no sabemos de lo que estamos hablando ni un el conocido aforismo de Bertrand Russell, un si lo que decimos es cierto, seg´ entonces su utilidad para el conocimiento cono cimiento cient´ cient´ıfico del mundo material no resulta f´acilmente acilmente comprensible. De hecho el poder p oder y alcance de los m´etodos etodos matem´aticos aticos ha despertado el asombro no s´ olo olo de fil´osofos osofos y humanistas, sino tambi´ en en de un gran f´ısico como E. P. Wigner quien ha escrito que la irrazonable efectividad de la matem´atica atica en las ciencias naturales es un don maravillo maravilloso so que no comprendem comprendemos os ni merecemos merecemos,, y por el cual deber´ deber´ıamos estar agradecidos (Wigner, [21] p´ag. ag. 1–14). En realidad, ni siquiera la consistencia interna de la propia matem´atica est´a totalmente clara. Es sabido que desde el descubrimiento de las paradojas en las primeras primeras teor´ teor´ıas de conjunt conjuntos os se han sucedido sucedido numerosas numerosas crisis. Los resultados de G¨odel odel acerca de la imposibilidad de demostrar la consistencia de cualquier sistema axiom´atico atico que contenga a la aritm´etica etica (salvo que se empleen recursos transfinitos de consistencia m´as as dudosa que la de la propia aritm´etica) etica) as´ as´ı como toda una serie de trabajos en L´ ogica ogica matem´atica atica que pasan por la demostraci´on on de la independencia de la hip´otesis otesis del continuo (Cohen, (Cohen, 1963) y la existencia existencia consiguiente consiguiente de teor´ teor´ıas de conjunto conjuntoss no cantorianas, han tenido gran impacto sobre la filosof´ filosof´ıa de la matem´ atica atica y han debilitado debilitado los puntos puntos de vista formalistas formalistas.. La pretensi´ pretensi´ on on de alcanzar el rigor absoluto parece no haber sido m´ as as que una vana ilusi´on. o n. La conf confes esi´ i´ on o n de Bertrand Russel en su libro My philosophic philosophical al developmen development t nos muestra un ejemplo ilustrativo del estado de ´animo animo de muchos matem´aticos aticos de su generaci´on: on: La espl´endida endida certeza que siempre hab´ hab´ıa esperado esper ado encontrar en la matem´ atica atica se perdi´o en un laberinto desconcertante (Russell, [14]). ¿Cu´ al al es entonces la raz´on on de la aplicabilidad de la matem´atica? atica?
1
La pregunta es en realidad muy antigua y se han dado innumerables respuestas. puestas . Una de las m´as as persistentes p ersistentes a trav´es es de los l os siglos si glos es e s la creencia en la existencia de una armon a rmon´´ıa preestablecida entre el mundo material y el pensamiento matem´atico atico (o el pensamiento humano, en general). Esta doctrina ha adoptado diversas formas, desde Pit´agoras agoras hasta nuestros d´ıas, pasando pasan do por el racionalismo. racionalismo. El gran matem´ atico David Hilbert, principal represenatico tante de d e la escuela formalista, formali sta, fue tambi´ ta mbi´en en adherente a dherente a la idea de la armon´ıa ıa preestablecida. En todo caso esta postura filos´ofica ofica deja abierta la pregunta de por qu´e existe dicha armon´ armon´ıa. Algunos autores han sostenido puntos de ogicos seg´ vista biol´ un los cuales la adecuaci´on un on entre la realidad material y el pensamiento humano ser´ıa ıa producto de la evoluci´ on o n de la espec especie ie.. Otra Otra opini´on on muy interesante mantiene que la matem´atica atica es aplicable porque al operar con las cosas de la Naturaleza nos inmiscu´ inmiscu´ımos constructivamente constructivamente en la realidad, imprimiendo imprimiendo formas construct constructiv ivas as a la experiencia. experiencia. Esto posibilita a su vez que la experiencia pueda ser expresada mediante las formas de nuestro pensamiento operativo-constructivo, es decir fundamentalmente mediante la matem´atica atica (Frey, (Frey, [5]). Tambi´ en en han surgido puntos de vista empiristas seg´ un un los cuales la matem´atica atica ser´ ser´ıa simplemente simplem ente una un a ciencia ci encia natural m´as, as, cuyos conceptos y m´etodos etodos provienen de la experiencia y en la cual la consistencia de un sistema axiom´atico, atico, por p or ejemplo, debe ser contrastada en la pr´actica actica (Lakatos, [9] cap. 2). Algunos matem´ aticos aticos contempor´aneos, aneos, en fin, se ubican en posiciones neoplat´onicas onicas y ven en las estructuras formales de la matem´atica atica s´olo olo el aspecto m´as as superficial de esta ciencia, colocando en primer plano la cuesti´on on del significado (Thom, [17, 18]). En este trabajo no profundizaremos en los aspectos filos´oficos oficos de este problema, problema, salvo por algunas algunas referenci referencias as ocasion o casionales. ales. Examinarem Examinaremos os en cambio varios ejemplos hist´oricos oricos que muestran algunas de las formas concretas que han asumido las relaciones entre la matem´atica atica y las ciencias f´ısicas. Resultar´a claro que las formas posibles de interacci´ on on son muy variadas y comple complejas jas,, y en muchos muchos casos inespera inesperadas. das. Apoy´ Apoy´ andonos andonos en los ejemplos presentados abordaremos luego los problemas planteados por la matematizaci´on on de otros campos del conocimiento, tratando de encontrar semejanzas y diferencias con lo ocurrido en el campo camp o de las ciencias f´ısicas. M´as as en general general trataremos de describir el rol de la matem´atica y los matem´aticos aticos en la investigaci´ on interdisciplinaria, extrayendo conclusiones de orden pr´actico. on actico. Por u ultimo ´ ltimo haremos algunas reflexiones acerca de la investigaci´on on matem ma tem´´atica ati ca y de los diversos factores que afectan el desarrollo de esta ciencia.
2
La matem´ atica atica en la antig¨ uedad uedad La matem´atica atica ha mantenido mantenido durante durante toda su larga existencia existencia relaciones relaciones fruct´ fruct´ıferas con las m´as as diversas actividades a ctividades humanas. Las operaciones elementales mentales de contar contar y medir as´ as´ı como el empleo empleo de signos para represen representar tar cantidades de objetos y su utilizaci´on on para efectuar operaciones de adici´on on y sustracci´on on aparecen ya en los tiempos prehist´oricos. oricos. La misma escritura escritura parece haber nacido gradualmente a partir de la representaci´on on de cantidades mediante signos. signo s. Los sumerios sumerio s desarrollaron desarroll aron ya habilidades habilidade s matem´aticas aticas considerables (incluyendo la creaci´on on de un sistema de numeraci´on on sexagesimal) que aplicaron fundamentalmente fundamentalmente en astronom´ astronom´ıa, llegando incluso a realizar predicciones a partir de los datos que acumularon sobre el movimiento de los astros. astros. La divisi´ divisi´ on de la circunferencia en 360 partes iguales (motivada on en la duraci´on on de 360 d´ıas que atribuyeron al a˜ no solar) se ha conservado, no transmitida por los griegos, hasta nuestros d´ıas. ıas. En Egipto la determinaci´on o n precisa del a˜no n o solar y la elaboraci´on o n de calendarios calendarios ten´ ten´ıan sin duda gran importancia importancia para poder saber cu´ ando ando se producir´ producir´ıa la crecida crecida anual anual del Nilo. Por otra parte, parte, si nos atenemos al testimonio timoni o de Herodoto, Herod oto, la geometr´ g eometr´ıa ıa naci´ n aci´o en Egipto debido a la necesidad de medir la tierra (y de all´ all´ı su nombre griego) provocada por p or la reforma agraria y tributa trib utaria ria del d el fara´ fa ra´on on Sesos Se sostr tr``ıs. Sin duda dud a que tambi´en en fueron fu eron necesar nece sarios ios cono c ono-cimientos geom´etricos etricos para poder construir pir´amides amides y templos de acuerdo a los preceptos religiosos. Con los griegos los conocimientos matem´aticos aticos emp´ emp´ıricos de egipcios y babilonios adquirieron un car´acter acter m´as as abstracto y racional. Los griegos tienen el m´erito erito de haber h aber introducido introdu cido el m´etodo etodo deductivo en la l a matem´ m atem´atica, atica, al tiempo que crearon un extraordinario cuerpo sistem´atico atico de conocimientos geom´ geom´etricos. etricos. Aunque Aunque el desprecio desprecio de que eran ob jeto los artesanos artesanos (conse(consecuencia de una organizaci´on on social basada en la esclavitud) cre´o una brecha entre entre la ciencia ciencia y la t´ ecnica ecnica griegas, griegas, surgi´ o sin embargo la idea de que el mundo f´ f´ısico puede ser entendido por medio de la matem´ atica. atica. As´ As´ı, para los pitag´oricos, oricos, todo lo que existe participa del n´umero umero y su esencia: el n´umero umero infunde conocimiento y es incompatible con la falsedad. Estas ideas se refle jan posteriormente en el Timeo, de Plat´on, on, al crear el demiurgo los cuerpos a partir de formas geom´etricas etricas elementales, y haciendo corresponder el tetraedro, el cubo, e octaedro y el icosaedro a los cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua. Digamos adem´as as que la construcci´ on de los cinco poliedros reon gulares (a saber los cuatro mencionados m´as as el dodecaedro, que para Plat´on on 3
era una forma form a que q ue envolv´ e nvolv´ıa ıa a todo to do el univer u niverso) so) constit cons tituir´ uir´ıa ıa m´as as tarde t arde la meta final de los monumentales Elementos de Euclides.
Arqu´ımedes Para los prop´ositos ositos de esta obra, dif´ dif´ıcilmente encontraremos en la antig¨ uedad uedad un pensador m´as as importante que Arqu´ Arqu´ımedes. Adem´ as a s de ser un gran matem´atico ati co Arqu´ımedes ımed es fund´ fund o´ la est´atica atica y la hidrostat´at´ at´ıca. ıc a. Apli Ap lic´ c´o la matem´ atica atica al estudio de problemas t´ecnicos, ecnicos, entre ellos el funcionamiento de las maquinas simples. Parece ser que sus hallazgos cient´ cient´ıficos encontraron aplicaciones pr´acticas acticas en su tiempo, por ejemplo en la construcci6n de m´aquinas aquinas b´elicas elicas o en la determinaci´ on on de la proporci´on o n de oro y plata en una aleaci´on. on. En matem´aticas aticas demostr´o varios teoremas notables sobre ´areas areas y vol´ umenes umenes:: obtuv obtuvoo el area a´rea del segmento parab´olico, olico, el volumen de la esfera, etc. Pero durante muchos siglos el m´etodo etodo por el cual hab´ hab´ıa llegado a descubrir sus resultados constituy´o un enigma. En efecto, el m´etodo etodo de exhauci´on on que emple´o en sus demostraciones requiere que de alguna manera se conozc conozcaa de anteman antemanoo el resultad resultadoo que se desea desea demostra demostrar. r. En otras palabras este m´etodo, etodo, debido a Eudoxo, es un m´etodo etodo demostrat´ demostrat´ıvo pero no de descub descubrim rimien iento. to. El enigma enigma se aclar´ aclaro´ reci´en en en 1906 cuando se descubri´o en un antiguo antiguo palimpsesto palimpsesto una obra de Arqu´ Arqu´ımedes ımedes hasta entonces entonces desconocida. desconocida. En ella su autor expone un m´etodo etodo basado en la est´ atica atica para descubrir resultados relativos a ´areas areas y vol´ umenes umenes.. El trabajo trabajo fue envia enviado do a Erat´ostenes, ostenes, acompa˜ nado nado de una carta en la cual Arqu´ Arqu´ımedes ımedes aclara aclara la significaci´ on on que atribu´ atr ibu´ıa ıa a su m´etodo: eto do: (...) he cre´ cre´ıdo conveniente conveniente exponerte por escrito escrito e ilustrarte ilustrarte en este libro la particular particularidad idad de un m´etodo etodo seg´ un un el cual te ser´a posible captar ciertas cuestiones matem´aticas aticas por medios mec´anicos, anicos, lo cual, estoy convencido de que ser´a util u ´til para demostrar los mismos teoremas. Yo mismo, algunas de las cosas que descubr´ descubr´ı primero por v´ıa ıa mec´ me c´anica, anica, las demostr´e luego geom´etricamente, etricame nte, ya que qu e la investigaci´on on hecha por po r este es te m´etodo eto do no impl i mplica ica verdadera verda dera demostr dem ostraci´ aci´on. on. Pero es m´ m ´as as f´ facil, a´cil, una vez adquirido p or este m´etodo etodo un cierto conocimiento de los problemas, dar luego la demostraci´on, on, que buscarla sin ning´un un conocimiento previo (...) estoy convencido tambi´en en de la utilidad que puede aportar a la matem´ atica. atica. Pues supongo que algunos de mis contempor´aneos aneos o sucesores podr´an an encontrar, por p or este m´etodo, etodo, otros teoremas que a m´ı no se me han ocurrido toda to dav´ v´ıa. ıa . (Arqu (Arq u´ımedes, ıme des, [1] p´aginas aginas 34 y 35).
4
Lamentablemente la obra se perdi´o; o; de otro modo seguramente habr´ habr´ıa tenido una gran influencia en el desarrollo y evoluci´on on posterior de la matem´atica. atica. Este ejemplo nos muestra que ya en la antig¨uedad uedad existieron interacciones entre matem´atica atica y f´ısica ısica que resultaron resultar on enriquecedoras enriqu ecedoras para ambas amba s ciencias: ciencia s: Arqu´ Arqu´ımedes no se s e limita limi ta a aplicar aplica r la matem´atica ati ca a la f´ısica, ısi ca, sino sin o que tambi´ tamb i´en en encuentra en esta ´ultima ultima ideas y modos de pensar que le permiten obtener nuevos nuevos resultados matem´ ma tem´aticos. aticos. Transcurrieron siglos antes de que algo a lgo semejante volviese a presentarse.
Kepler A partir pa rtir del Renacimiento asistimos a la vinculaci´on on cada vez m´ as as estrecha entre Matem´atica atica y Ciencias de la naturaleza. Leonardo da Vinci es uno de los primeros en reconocer en la matem´atica atica un medio insustituible para expresar las leyes de la naturaleza y para deslindar la ciencia de la sof´ sof´ıstica. As´ı afirm afi rmaa que qu e Quien reh´use use a la suprema certeza de la matem´atica atica nutrir´a su esp´ esp´ıritu de la confusi´ confusi on o´n y jam´as as podr´a imponer silencio a los sofismas, los cuales s´olo olo conducen a interminables disputas en torno a palabras (citado por Cassirer en [2] p. 295). Pero es en Kepler y su trabajo sobre las ´orbitas planetarias donde encontramos uno de los primeros frutos importantes de las nuevas nuevas concepciones. concep ciones. Como se sabe, tanto el antiguo sistema geoc´entrico entrico ptolemaico como el nuevo sistema copernicano basado en ´orbitas orbitas circulares permit´ permit´ıan predecir los movimientos movimientos de los planetas con un margen de error tolerable. tolerable. Sin embargo embargo los instrumentos instrumentos perfeccionad perfeccionados os de Tycho Tycho Brahe y sus cuidadosas observaciones observaciones (las cuales inclu´ inclu´ıan correcciones de los efectos producidos por la refracci´on on atmo a tmosf´ sf´erica, eric a, esti e stimaci maci´on o´n de errores, etc.) permitieron posteriormente a Kepler hallar una discrepancia de unos ocho minutos de arco en la ´orbita orbita calculada para Marte. Este error no pod´ıa ıa atribuirse a imprecisi´on on en los datos de Tycho Brahe, y condujo a Kepler al abandono de la hip´otesis otesis de circularidad de las ´orbitas, orbitas, liber´andose and ose as´ı de la obsesi´ on de circularidad que nadie hab´ hab´ıa podido p odido romper desde los griegos, y a la cual no escap´o ni el mismo Galileo. Kepler ensay´o entonces algunas curvas ovaladas que le resultaron matem´aticamente aticamente intratables. Finalmente adopt´o la elipse, curva curva que hab´ hab´ıa sido estudiada extensamente extensamente por los matem´ aticos aticos griegos y en particular por Apolonio de P´ergamo ergamo en el siglo II a. C., y formul´ formul´ o sus dos primeras primeras leyes: leyes: los planetas planetas se muev mueven en en elipse elipses, s, con el sol ocupando ocupando
5
uno de los focos; los radios que unen el sol al planeta barren ´areas iguales en tiempos iguales. Estas leyes, publicadas en su Astron As tronom´ om´ıa ıa No Nova va en 1609, son complementadas diez a˜ nos nos despu´es es con la tercera: los cuadrados de los periodos de revoluci revoluci´´on on de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al sol. Esta manera de aproximarse a la realidad, mediante hip´otesis otesis matem´aticas aticas y conceptos geom´etricos etricos era resistida por muchos pensadores contempor´aneos aneos de Kepler. Robert Fludd, por p or ejemplo, sosten´ sosten´ıa que la naturaleza debe ser captada directamente y no partiendo de abstracciones del pensamiento (como los conceptos matem´aticos) aticos) que no permiten adent adentrar rarse se en el verdade verdadero ro ser de las cosas. cosas. A esto esto respond respondee Kepler Kepler confesando que efectivamente efectivamente ´el el ignora el puro interior de las cosas, a menos que se lo revelen sus relaciones y cualidades, y en particular las relaciones de cantidad cantidad.. Y agrega: agrega: Yo agarro, como t´ u dices, la realidad por la cola, pero la tengo en la mano; t´u aspiras, es cierto, a agarrarla por la cabeza, Apolo ologia gia adversus Rob. de Fluctibus Fluctibus , 1622). Espero solamente en sue˜nos nos (Ap ta pol´emica emica es representativa representativa de las dificultades que tuvieron que vencer las nuevas nuevas concepciones cient´ cient´ıficas al enfrentarse enfrentarse a las concepciones del mundo aristo ari stot´ t´elico-e eli co-esco scol´ l´asticas. asticas.
Galileo, Newton y la nueva nueva F´ısica Con Galileo Gali leo asistimos asis timos indudab i ndudablemente lemente al nacimiento na cimiento de la l a f´ f´ısica moderna. mo derna. A partir de su obra las relaciones entre matem´atica atica y f´ısica se vuelven m´as as profundas y org´anicas. anicas. Galileo Galileo cre´ cre´ıa de modo espont´ espontaneo a´neo en la existencia de una correspondencia perfecta entre matem´atica atica y realidad. Para ´el, el, el libro de la Naturaleza est´a escrito en el lenguaje de la matem´atica atica . Pero ero tengamos en cuenta que Galileo acota su campo de investigaci´on on muy precisamente, reduci´endolo endolo al de las cualidades primarias de los cuerpos, es decir aquellas aquellas que como la forma geom´ geom´etrica, etrica, el tama˜ no, no, la posici´on o n y la cantidad de movimien movimiento to son susceptibl susceptibles es de determinab determinabilidad ilidad matem´ atica. atica. Estas son las que considera propiedades objetivas de los cuerpos, mientras que las cualidades sensibles (como el color, sabor y olor) las considera de car´acter subjetivo. Suprimamos mentalmente los cuerpos vivos y sus ´organos organos y desaparecer´a simult´aneamente aneamente el mundo de las cualidades sensibles , escribe en Il Saggiatore . M´as as tarde Newton coincidir´a con Galileo en que el objeto de la f´ısica debe limitarse limitarse a las cualidades cualidades primarias primarias de los cuerpos. Estos puntos de vista hallan su expresi´on on filos´ofica ofica en la doctrina cartesiana de
6
la res extensa . Para Para Descartes Descartes,, la cualidad cualidad esencial esencial del mundo mundo f´ısico es la extensi´on. o n. Y siendo siendo la exten extensi si´on o´n mensurable y matematizable, es posible por tanto una Mathesis Como mo vemo vemoss esta estass idea ideass asign asignan an a la Mathesis universalis universalis . Co matem´ atica atica un papel pa pel fundamental en el estudio del mundo f´ısico, e influyen poderosamente en su desarrollo. Newton crea su m´etodo alculo alculo et odo de fluxi flu xion ones es (c´ infinitesimal) a partir de motivaciones motivaciones en gran parte mec´anicas. anicas. Y a su vez aplica con ´exito exito el nuevo nuevo m´etodo etodo a diversos problemas f´ısicos. Es curioso que en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica no utilice el m´etodo etodo de fluxiones y prefiera presentar los resultados al modo geom´etrico etrico cl´asico, asico, pero es sabido que los resultados fueron hallados originalmente por el m´etodo etodo de fluxiones, y luego reformulados en el estilo tradicional. Esto nos recuerda a Arqu´ Arqu´ımedes y sus trabajos sobre areas ´areas y vol´ umenes, umenes, quien tambi´ bi´en en util ut iliz iz´o´ m´etodos eto dos de exp e xposi osici´ ci´on on y de descubrimiento diferentes. Se˜nalemos nalemos tambi´en en que a partir de los principios princip ios f´ısicos establecidos estableci dos por Newton ´este este logr´o deducir matem´aticamente aticamente las orbitas o´rbitas el´ el´ıpticas de Kepler Kep ler (sin (s in tomar to mar en en consideraci´ on, naturalmente, las interacciones gravitatorias entre planetas, on, que hacen hacen que las leyes leyes de Kepler Kepler no se cumplan cumplan estric estrictam tamen ente) te).. De esta manera las secciones c´onicas onicas estudiadas por los griegos vuelven a jugar un papel importante en la historia de la ciencia.
Aplica Apl icacio cione ness del del c´ alculo alc ulo Durante los dos siglos siguientes a su nacimiento el c´alculo alculo diferencial e integral de Newton y Leibniz encontr´o innumera innumerables bles aplicaciones aplicaciones a todo tipo de problemas problem as f´ısicos. A su vez la f´ısica motiv´o el desarrollo de nuevos conceptos y m´etodos etodo s matem´aticos, aticos, como por ejemplo el c´alculo alculo de variaciones, las series de Fourier y el an´alisis alisis vectorial. vectorial. Es interes interesant antee notar que en algunos casos la f´ısica no s´ o1o o1o plante´ o problemas matem´aticos, atic os, sino sin o que q ue tambi´ t ambi´en en ayud´ o a resolver resolverlos. los. Un ejemplo muy hermoso hermoso de esto lo encontramos encontramos en el ocrona , resuelto por Juan Bernoulli. problema de la braquist´ Bernoulli. Este problema problema consiste en hallar una curva en un plano vertical que una dos puntos O y P. de tal manera que un punto material, movi´ endose endose sobre ]a curva curva sin fricci´ on, on, descienda de O a P en el menor tiempo posible. Esta curva fue llamada curva del m´ as r´ apido descenso o curva de descenso en tiempo m´ınimo ınimo y de all´ al l´ı su nombre de etimolog´ etimolog´ıa griega: braquist´ ocrona. ocrona. Observem Observemos os que si bien la l´ınea recta entre 0 y P es la de menor longitud. no es sin embargo la de menor tiempo de descenso. Para Para resolver resolver el problema problema consideremos consideremos un sistema sistema de 7
ejes cartesianos con origen en el punto O, eje Oy vertical dirigido hacia abajo y eje Ox horizonta horizontal. l. Si la part´ part´ıcula parte del origen O con velocidad velocidad nula, entonces su velocidad en cualquier punto de la trayectoria ser´a v = 2gy , f´ormula ormula que se deduce de la ley de conservaci´on on de la l a energ en erg´´ıa y que q ue Bernoull B ernoullii conoc cono c´ıa perfectamente. p erfectamente. Esto lo l o llev´o a relacionar el problema con la ´optica: optica: un rayo de luz que pasa de un medio a otro en el cual la velocidad de propagaci´on on es distinta, cambia de direcci´on. on. Si la velocida velocidad d de propag propagaci aci´ on o´n var´ var´ıa de d e modo mo do continuo, co ntinuo, la l a trayectoria tr ayectoria del d el rayo r ayo ser´a curva. cu rva. Pero tambi´en en era e ra conocido el principio de Fermat, seg´un un el cual la trayectoria seguida por un rayo de luz es tal que el tiempo empleado para ir de un punto a otro sea m´ınimo. Esto significa s ignifica que si tuvi´esemos esemos un medio medi o transparente tra nsparente en el cual la velocidad de propagaci´on on de la luz variase de acuerdo con la ley v = 2gy podr´ıamos ıamos utilizar rayos de luz para resolver experimentalmente el problema de la braquist´ braquist´ ocrona. En realidad Bernoulli no intent´o realizar el experimenocrona. to, sino que a partir de este punto aplic´o sus conocimientos matem´ aticos: aticos: llamando α al ´angulo angulo de la tangente a la curva curva con el eje Oy , una peque˜na na generalizaci´ on on de la ley de refracci´on on de Snell a medios continuos nos da la ecuaci´on on sen α = k (constante)
√
√
v
Por otra parte si β es el ´angulo angulo de la tangen tangente te a la curv curva con el eje Ox tenemos y = tg β y por lo tanto
1 sen α = cos β = 1 + ( y )2 .
Combinando esta ecuaci´on on con la anterior se llega a la ecuaci´on on diferencial: y (1 + ( y )2 ) = c
(constante).
La soluci´on on de esta ultima u ´ ltima ecuaci´on on no ofrec´ ofrec´ıa ninguna nin guna dificultad dificult ad a Bernoulli. Bernoul li. Las soluciones son cicloides (curvas generadas por el movimiento de un punto de una circunfer circunferenci enciaa que rueda sin deslizar deslizar sobre una recta). recta). Es interesant interesantee mencionar que esta curva curva ya hab´ıa ıa recibido el nombre de taut´ ocrona como resultado resultado de los estudios estudios sobre p´endulos endulos y medida medida del tiempo, tiempo, los cuales cuales hab´ hab´ıan mostrado mostrad o que el p´endulo endulo cicloidal cicloid al tiene un per´ per´ıodo independiente indep endiente de la amplitud de las oscilaciones. La soluci´on on de Bernoulli Bernoulli al problema problema de la braquist´ ocrona ocrona posee una gran belleza, belleza, debido debido quiz´ as as al contacto inesperado entre dos ramas de la f´ısica (la 8
mec´anica anica y la ´optica) optica) por p or intermedio intermedio de un mismo modelo matem´ atico. atico. Este problema y otros semejantes tuvieron enorme importancia para el desarrollo posterior de la Matem´atica atica y de la F´ısica. Condujeron al C´alculo alculo de Variaciones, que desarrollar´ desarrollar´ıan Euler, Lagrange y otros, y a la fundamentaci´ on on de la Mec´anica anica sobre principios variacionales.
F´ısic ısica a y Teor eor´ıa de Prob Probab abil ilid idad ades es La Teor´ eor´ıa de Probabilidades se desarroll´o, o, como es sabido, a partir del estudio de los problemas planteados por los juegos de azar. En sus comienzos grandes matem´aticos aticos se ocuparon de ella, como Pascal, Bernoulli y Laplace. Sin embargo pronto se hizo h izo evidente que esta teor´ teor´ıa tendr´ tendr´ıa gran importancia impo rtancia en F´ısica. Galileo realiz´o algunas consideraciones sobre los errores en las medidas que en cierta forma preanuncian la distribuci´on on normal de Gauss. Laplace publica en 1812 su obra Teor´ Teor´ıa ıa Anal´ıtica ıti ca de las Probabilida Probabil idades des en la cual escribe escrib e prof´eticamente: eticamente: Es notable que una ciencia que comenz´o con la consideraci´on on de juegos de azar habr´ habr´ıa de llegar a ser el objeto m´as as importante del conocimiento humano . De hecho, hoy en d´ıa ıa la Probabilidad Probabi lidad y su v´astago astago la Estad´ Estad´ıstica ocupan o cupan un lugar central en todas las ciencias, Una de las primeras primeras aplicacione aplicacioness espectacular espectaculares es de la Teor´ eor´ıa de Probabilidades bilidades en F´ısica fue llevada llevada a cabo por p or James James Clerk Clerk Maxwell. Maxwell. En una conferencia pronunciada ante la London Chemical Society en 1875 afirma que [Clausius] abri´o un nuevo nuevo campo a la f´ısica matem´ atica. atica... .. porque porque siguiendo guiend o su m´etodo, etod o, que es el unico u ´nico posible experimental o matem´aticamente, aticamente, pasamos de los m´etodos etodos de la din´ amica amica estricta a aquellos de la estad´ estad´ıstica y la probabilidad (Kuznesov, [8]). Luego, refiri´ endose endose a las mol´eculas eculas de un gas en equilibrio t´ermico, ermico, afirma que las velocidades de las mismas deben estar distribui distribuidas das de acuerdo con alguna ley definida. definida. Esta ley es la distrientonces. s. Un hecho interesan interesante te es buci´ on de Maxwell , como se llama desde entonce que Maxwell formul´o la hip´otesis otesis de que las tres componentes de la velocidad de las mol´eculas eculas respecto de cualquier sistema de ejes cartesianos eran independientes y con valor esperado nulo. Esta hip´otesis otesis permite concluir que la distribuci´on on de velocidades debe ser normal; sin embargo la matem´atica atica de la ´epoca epoca no estaba preparada a´ un para suministrar la demostraci´on. un on . Reci´ Re ci´en en M. Kac en 1940 y S. Bernstein en 1941 hicieron algunos avances en ese sentido, y no es sino hasta 1954 cuando se publica un trabajo de V. P. Skitovic [15] que resuelve resuelve con toda generalidad generalidad el problema. problema. El teorema en cuesti´ on on
9
es el siguiente: Sean X 1 , X 2, . . . , Xn variables aleatorias independientes, y sean + an X n , Y 2 = b1X 1 + + bn X n , con todos Y 1 = a1 X 1 + los coeficientes ai y bi no nul nulos os.. Si Y 1 e Y 2 son independientes, entonces las X i se distribuyen normalmente.
···
···
De aqu a qu´´ı se s e deduce d educe la distribuci´ distrib uci´on on de Maxwell partiendo de sus hip´otesis. otesis. En efecto si X 1 , X 2 , X 3 son las velocidades respecto a un sistema de ejes e Y 1 , Y 2 , Y 3 respecto a otro con el mismo origen y tercer eje coincidente (pero los otros dos no) se deduce que X 1, X 2 tienen distribuci´on on normal y por simetr´ıa ıa tambi´ mb i´en X 3 . Como vemos los problemas matem´ aticos planteados por la hip´otesis aticos otesis de independencia de Maxwell tardaron m´as as de tres cuartos de siglo en resolverse satisfactor satisfactoriamen iamente. te. Esto no detuvo detuvo por supuesto supuesto el trabajo de los f´ısicos, ısicos, quienes aceptaron la distribuci´on on de Maxwell Maxwell por razones razones de tipo f´ısico y experimental. Luego de Maxwell, Ma xwell, Boltzmann Bol tzmann y Gibbs G ibbs har ha r´ıan contribuciones contrib uciones importantes impo rtantes a la mec´anica anica estad´ıstica. ıstica. Sin embargo algunos resultados de Gibbs quedan incompletos, quiz´as as porque como dice N. Wiener la introducci´ introdu cci´on on de la probabilidad babili dad por Gibbs en f´ f´ısica ocurri´ ocurr i´ o bastante ba stante antes de d e que existiera existier a la teor´ teor´ıa de probabilidades que ´el el necesitaba . Esta Esta opin opini´ i´ on llama nuestra atenci´on on on sobre el hecho de que, en algunos casos, el aparato matem´atico necesario para una determinada aplicaci´on on no existe; y crearlo no siempre es cosa f´acil acil ni que pueda ser realizada de un d´ıa para el otro.
Predicciones de existencia El rol desempe˜ nado nado por la matem´atica atica en las la s ciencias ci encias f´ısicas se revela del modo m´ as as dram´atico atico en las predicciones te´oricas oricas de la existencia de objetos o fen´omenos omenos nunca nunca observ observados. Cuando Cuando posteriormen posteriormente te las prediccio predicciones nes resultan confirmadas por la observaci´on, on, no es posible dejar de maravillarse por el poder casi m´agico agico de nuestras nuestras herramien herramientas tas formales. formales. Uno de los ejemplos m´as as famosos lo constituye sin duda la proeza de Adams y Le Verrier al deducir, a partir de las anomal´ anomal´ıas observadas observadas en la orbita o´rbita de Urano, la existencia de un nuevo planeta (Neptuno) llegando a calcular incluso su masa y su ´orbita orbita.. Luego Luego el astr´ astr´ onomo onomo Galle ubic´o el planeta en los cielos, con su telescopio, a menos de un grado de diferencia de la posici´on on indicada indicada 10
por Le Verrier. Refiri´endose endose a este descubrimiento Arago pronunci´ o las siguientes palabras: Le Verrier ha apercibido el nuevo astro sin haber tenido necesidad de arrojar una sola mirada hacia el cielo; lo ha visto en el extremo de su pluma . Otro ejemplo fascinante lo hallamos en la teor´ teor´ıa del campo camp o electromagn´etico etic o de d e Maxwel M axwell. l. Este gran gra n f´ısico ısi co realiz´ real iz´o una u na s´ıntesis de los l os conocimientos cono cimientos existent existentes es en su ´epoca epoca sobre electricid electricidad ad y magnetismo, magnetismo, formulando formulando unas ecuaciones que describen completamente la estructura del campo electromagn´etico. etico. Partiendo de sus ecuaciones es posible deducir, mediante manipulaciones formales, que el campo electromagn´ etico etico satisface la ecuaci´ on on de las ondas. En efecto, las ecuaciones de Maxwell en el vac´ vac´ıo son las siguientes:
∇·E =0 ∇·B =0 ∂ E =∇×B a ∂t b
∂ B = ∂t
−∇ × E
siendo E el campo cam po el´ectrico ectr ico,, B el campo camp o magn´etico etico y a y b constantes que depende dependen n de las unidade unidadess de medida medida que se adopten adopten.. A partir partir de las dos ultimas u ´ ltimas ecuacione ecuacioness se obtiene: obtiene: 1 ∂ ∂ 2 E = ( 2 ∂t a ∂t
∇ × B) = a1 ∇ × ∂ ∂tB = − ab1 ∇ × (∇ × E)
E) = ∆E + ( E) y la primera ecuaci´ y usando la identidad ( on on E = 0, resulta entonces que E satisface la ecuaci´ on on
∇× ∇×
∇·
−
∇ ∇·
1 ∂ 2 E = ∆E, ∂t 2 ab que es la ecuaci´on o n de las las onda ondas. s. Del Del mism mismoo modo modo se prueba prueba el resu result ltad adoo correspondiente para B. De esta manera Maxwell lleg´o a la conclus conc lusi´ i´on on de que q ue deb d eb´´ıan existir exis tir ondas ond as electro elec tromag magn´ n´eticas, etic as, predicc pre dicci´ i´on on que fue confirmada en 1886 por Hertz quien escribi´o maravillado; No puede uno evitar el sentimiento de que estas f´ormulas ormulas matem´aticas aticas tienen una existencia independiente y una inteligencia propia,
11
que son m´as as sabias de lo que somos nosotros, m´ as as sabias incluso que sus propios descubridores . Estas mismas ecuaciones de Maxwell jugar´ jugar´ıan luego un papel importante en el nacimien nacimiento to de la teor´ teor´ıa de la relatividad relatividad debido al hecho hecho (tambi´ (tambi´ en en formal) formal) de no ser invarian invariantes tes bajo ba jo las transforma transformacione cioness galileanas, galileanas, pero serlo en cambio cambio bajo las transformac transformaciones iones de Lorentz-E Lorentz-Einste instein, in, En la f´ısica de part´ part´ıculas tambi´en en existen predicciones prediccio nes notables notabl es de este tipo. La teor´ teor´ıa matem´atica atica de los grupos fue empleada por Gell-Mann y Ne’eman para formular la as a s´ı ll llamada amada teor´ıa . Esta Es ta teor teo r´ıa ıa del camino octuple ´ permiti´o a Gell-Mann predecir la existencia de un nuevo bari´on, on, que ´el el llam´ lla m´o Ω . M´as as tarde, tarde, en 1964, esta part´ part´ıcula fue observ observada en las fotograf fotograf´´ıas obtenidas en una c´amara amara de niebla.
−
Qu´ımica y Biolog´ıa No nos detendremos aqu´ aqu´ı a analizar detalladamente las relaciones de la Matem´ atica atica con estas estas ciencias ciencias.. Digamo Digamoss sin embarg embargoo que en genera generall han sido de car´acter acter m´as as unilateral, es decir de pura aplicaci´on, on, que las existentes entre matem´atica atica y f´ısica. En el caso de la Biolog´ Biolog´ıa existen problemas que han contribuido al desarrollo de ciertas ramas de la matem´atica; atica; es el caso de la gen´etica etica de poblaciones y los modelos probabil´ probabil´ısticos dise˜ nados nados para combinar las leyes de la herencia herencia con el azar. Es de esperar que en el futuro las necesidades espec´ espec´ıficas de estas ciencias contribuyan contribuyan a la aparici´ on on de nuevas teor teo r´ıas ıa s matem ma tem´ aticas a´ticas.. En todo caso caso es a´ un un much´ much´ısimo lo que la matem´atica atica cl´asica asica puede aportar a las ciencias biol´ogicas ogicas y a la medicina.
Ciencias sociales y humanas En las ultimas u ´ltima s d´ecadas ecadas tambi´en en en e n estas es tas ciencias se ha operado oper ado un proceproc eso de matematizaci´on on creciente. creciente. Adem´ as as de las aplicaciones de la Teor´ eor´ıa de Probabilidades y de la Estad´ Estad´ıstica en la investigaci´ investigaci´ on on experimental, se emplean ple an diversa di versass t´ecnicas ecni cas matem m atem´aticas a´ticas en Econom Eco nom´´ıa, estructuras estructu ras algebrai a lgebraicas cas en Ling¨ u´ıstica y Antropolog Antropo log´´ıa, estructuras estructura s algebraicas, algebra icas, topol´ topo l´ ogicas ogicas y de orden en el estudio del desarrollo de la inteligencia (Piaget), la teor´ teor´ıa de cat´astrofes astrofes de R. Thom en diversas diversas ciencias, ciencias, modelos matem´ aticos aticos en teor´ teor´ıa de la comunicaci´on, on, etc. Tambi´ en en se aplican disciplinas y teor´ teor´ıas que sin ser parte de 12
la matem´atica atica tienen tienen un fuerte fuerte componente componente de esta ciencia. ciencia. Nos referimos referimos por ejemplo a la cibern´etica, etica, la teor´ teor´ıa general de sistemas, las ciencias de la computaci´ on, on, etc. (v´ease ease [10] para un panorama m´ as as amplio). amplio). En muchas ocasiones sin embargo se hacen matematizaciones banales, que no resuelven problemas ni ayudan a la mejor comprensi´on o n de los mismos. Si bien estas desviacion desviaciones es dif´ dif´ıcilmente ıcilmente pueden afectar de modo m´ as as o menos perman p ermanent entee el desarrollo desarrollo de la ciencia, ciencia, s´ı pueden pueden desanimar desanimar a los investig investigadore adoress respecto respecto a las posibilidades posibilidades de los m´etodos etodos matem´ matematicos a´ticos en su area a´rea espec´ espec´ıfica de trabajo. Sobre este particular particular no podemos resistir resistir la tentaci´on on de citar a Popper, quien ha escrito en forma inspirada: En nuestra ´epoca epoca postrracionalista se escriben escrib en libros y m´ as as libros en lenguajes simb´olicos, olicos, y se hace m´as a s y m´as as dif´ıcil ıcil el ver por qu´e—qu´ e—qu´e es lo que se trata con todo ello, y por qu´e habr´ habr´ıa de ser necesario, o conveniente, permitir que le aburran a uno tomos y tomos de trivialidades simb´olicas— olicas—.. Pa Parec recee como si el simbolismo se estuviese convirtiendo en un valor por s´ı mismo, que hubiera de reverenciar por su exactitud suprema: una nueva expresi´ on on de la antigua b´ usqueda de la certeza, un nuevo ritual usqueda simb´ olico, un nuevo sustituto de la religi´on. olico, on. (Popper, [12] p´agina agina 366 de la versi´on on espa˜ nola.) nola.)
Como Como ya hemos hemos visto, visto, el propio propio objeto objeto de estudi estudioo de la cienci cienciaa f´ısica, ısica, su desarrollo hist´orico orico paralelo al de la matem´ atica, el estrecho entretejido de atica, conceptos y teor´ teor´ıas de ambas ciencias y en fin el largo camino recorrido desde los albores de la civilizaci´ civilizaci´ on on hasta has ta nuestros nuestro s d´ d´ıas permiten p ermiten a estas dos ciencias ci encias multiplicar sus relaciones y fecundarse mutuamente. En otras ciencias naturales, como la Biolog´ Biolog´ıa, se encuentran al menos sistemas conceptuales muy precisos, elaboradas elab oradas taxonom´ıas ıas de los objetos de estudio y procedimientos pro cedimientos metodol´ogicos ogicos bien definidos. Esto abona ab ona el terreno para la aplicaci´on on de los recursos matem´aticos aticos.. Otra Otra es la situaci´ situaci´ on on en ciencias m´as a s j´ovenes, ovenes, en las cuales muchas veces se manejan conceptos no suficientemente precisos y se realizan realizan clasificacione clasificacioness ambiguas ambiguas o artificiale artificiales. s. En estos casos la posibil p osibilidad idad de aplicar aplica r t´ecnicas ecnicas matem´aticas aticas enfrenta serios obst´aculos, aculos, por no haberse cumplido etapas de maduraci´on on impresci imprescindi ndible bles. s. Esto Esto no significa significa que la matem´atica atica no pueda ofrecer ninguna contribuci´on on a estas ciencias; por el contrario creemos cr eemos que, principalmente princip almente a trav´es es de un enfoque enfo que interdisciplina interdis ciplina-rio, es posible un aporte conceptual y metodol´ogico ogico al proceso de maduraci´on on de muchas disciplinas. Esto exige, tanto de parte de los matem´aticos aticos como 13
de los dem´as as cient´ cient´ıficos, un esp´ esp´ıritu abierto y humilde y un verdadero deseo de trabajar en favor del desarrollo global de la ciencia.
Las formalizaciones artificiales El innegable innegab le ´exito exito de los m´etodos etodo s matem´aticos aticos en las ciencias naturales ha hecho pensar a muchos que ´unicamente unicam ente a trav´es es de la matem´atica atica es posible alcanzar la certeza y la correcci´on. on. Este pensamient pensamientoo toma expresi´ expresion o´n filos´ofica ofica en Kant, cuando afirma que en cualquier teor´ teor´ıa sobre la naturaleza se encuentra tanto de verdadera ciencia, cuanto en ella se encuentra de matem´atica atica (Fundamentos metaf´ metaf´ısicos ısicos de las ciencias de la naturaleza , VII). No entrarem entraremos os a discutir discutir esta idea (lo cual en todo caso habr´ habr´ıa que hacer tomando en cuenta el contexto del sistema kantiano, en el cual la matem´atica atica es concebida esencialmente como el modo de describir las cosas y los sucesos sucesos sujetos sujetos al espacio espacio y al tiempo) tiempo) pero s´ı deseamos deseamos observ observar que puede conducir a un grave error, como es el creer que por el s´olo hecho de introducir trod ucir m´etodos etod os o formalismos formali smos matem´aticos aticos en una determinad determinadaa disciplina disciplina se alcanzar´a un grado de conocimiento m´as as elevado, una garant´ garant´ıa de certeza y exactitud exactitud.. Deber´ Deber´ıa ser obvio que si se desarrolla un modelo matem´ atico atico estableciendo correspondencias arbitrarias entre sus elementos ideales y los objetos reales de estudio, no cabe esperar que la matem´atica atica luego sea capaz de obrar milagros. Cuando en mec´anica anica cl´asica asica se representan las velocidades mediante vectores, se debe a que la operaci´on on formal de sumar vectores, por ejemplo, corresponde a la ley f´ısica de composici´on on de velocidades velocidades.. Del mismo modo la utilidad de la ecuaci´on on de una reacci´on on qu´ qu´ımica como 6 HCl + 2Al = 2AlCl3 + 3 H2 es consecuencia de que el formalismo utilizado realmente refleja ciertas leyes de la qu´ qu´ımica (las de Lavoisier, Lavoisier, Proust, Dalton, Avogadro, etc.) y permite, por lo tanto, extraer conclusiones cuantitativas v´alidas. Cuando en cambio se hacen formalizaciones que carecen de este componente vital, el valor explicativo, predictivo o instrumental de los modelos se vuelv vuelvee nulo. nulo. De hecho hecho existe existe un gran gran peligro peligro:: a veces veces partien partiendo do de una de estas formalizaciones artificiales se extraen conclusiones y se pretende que est´an an matem´ mate m´aticament atic amentee fundament fund amentada adass . Este es el caso con muchos modelos matem´aticos aticos del comportamiento social o econ´omico, omico, que suelen ocultar la endeblez de sus supuestos b´asicos asicos bajo el manto de sofisticadas t´ecnicas ecnicas matem´aticas aticas o computacionales.
14
La medida de la inteligencia Debido a la gran dificultad de definir con precisi´on on el concepto intuitivo de inteligencia, muchos psic´ologos ologos (comenzando por Binet) han intentado dar definiciones operacionales, dise˜ nando nando tests y midiendo la inteligencia por medio de ellos. De esta manera a cada persona se le asigna un n´umero umero (que en definitiva depende del criterio de quien dise˜n´ no´ el test) y se le clasifica de acuerdo al mismo. No deseamos aqu´ aqu´ı cuestionar la validez de estos recursos y t´ecnicas ecnicas de la l a psicolog´ ps icolog´ıa ıa experim e xperimental. ental. Sin embargo observemos cuan f´ acil acil y hasta natural resulta efectuar operaciones con los coeficientes de inteligencia y extraer enga˜nosas nosas conclusiones conclusiones.. Por ejemplo ejemplo si aceptamos que el C. I. realmente representa la habilidad de un individuo para resolver cierto tipo de problemas, ¿qu´e representa el promedio de los C. I. de un grupo grup o humano? ¿Representa acaso la habilidad del grupo para resolver problemas colectivamente? En nuestra opini´on, on, deber´ıa ıa ser evidente que no es as´ as´ı. Sin embargo es bastante corriente aceptar impl´ impl´ıcitamente, sin an´alisis alisis cr´ cr´ıtico, extrapolaextrap olaciones injustificadas y falsas obtenidas a partir de modelos cuya estructura interna no guarda correspondencia adecuada con la realidad a la cual pretende aplicarse. aplicarse. De esta manera se presentan presentan como opiniones opiniones cien ci ent´ t´ıfica ıfi cass lo que no son m´as as que groseros prejuicios ideol´ogicos, ogicos , pol´ıticos ıticos o raciales. raciales . Baste como ejemplo de lo dicho la propuesta de William Shockley de esterilizar a los negros norteamericanos sobre la base de su inferioridad intelectual , supuestamente revelada por p or los tests de inteligencia (v´ease ease Vloebergh, [19]).
Matem´ Mate m´ atica atic a e interdisci interd isciplin plinarid aridad ad El concepto de interdisciplinaridad abarca en verdad muchos significados y matices diferent diferentes. es. La idea com´un un es la del contacto entre disciplinas diferentes, o incluso entre distintas ramas de una misma disciplina, ya sea para resolver resolver un problema problema concreto, concreto, para comparar comparar distintos distintos enfoques y metodolog´ todolog´ıas aplicados a una misma situaci´ on, o bien en algunos casos para on, crear nuev nuevas disciplinas. disciplinas. Ya hemos visto como en la soluci´ on on del problema de la braquist´ocrona ocrona participan la mec´anica anica y la ´optica, optica, estableci´endose endose el contacto por p or medio de la matem´atica. atica. Ejemplos como ´este este se encuentran encuentran a menudo, cada vez que a fen´omenos omenos diferentes corresponden representaciones matem´ aticas aticas semejantes o incluso id´enticas. enticas. El movimiento movimiento de una masa que 15
cuelga de un resorte, por ejemplo, se describe mediante una ecuaci´on diferencial de segundo orden del mismo tipo que la que rige el comportamiento de un circuito el´ectrico ectrico L-R-C. Contactos de este tipo tip o son de una gran importancia imp ortancia en la pr´actica. actica. Permite Permiten n resolver resolver problemas de hidr´aulica aulica o aerodin´amica amica estudiando circuitos el´ectricos ectricos equivalentes, equivalentes, los lo s cuales son mucho m´as as f´aciles aciles de construi construir, r, manipu manipular lar y modifica modificar. r. Esta Esta es la base base de las comput computado adoras ras anal´ogicas. ogicas. Otro tipo importante de esfuerzos interdisciplinarios son aquellos que han conducido al nacimiento de nuevas nuevas ramas del conocimiento cient´ cient´ıfico. Durante rante la segunda segunda guerra guerra mundial mundial el matem´ matem´atico atico Norbert Wiener Wiener tuvo tuvo a su cargo un proyecto destinado a desarrollar sistemas de control para ser usados por la artiller´ artiller´ıa antia´ erea. erea. Como consecuencia de una consulta hecha a un fisi´ologo, ologo, el Dr. Rosenblueth, se gener´o un u n fruct f ruct´´ıfero intercambio de ideas que condujo a la realizaci´on on de experimentos conjuntos. El alcance de las investigaciones se ampli´o r´apidamente apidam ente y otros cient´ cient´ıficos se unieron al grupo gru po inicial. in icial. entre ellos los matem´aticos aticos John von Neumann y W. Pitts, los fisi´ologos ologos Mc Culloch y Lorente de No, el psic´ologo ologo Kurt Lewin, los antrop´ ologos ologos G. Bateson y Margaret Mead, el economista Oscar Morgenstern y varios ingenieros, f´ısico ıs icos, s, soci´ so ci´ologos, ologos, neurofisi´ ologos, ologos , etc. et c. De all al l´ı naci´ na ci´o la cibern´etica, etica, disciplina discipl ina que no tardar´ t ardar´ıa ıa en extender ext ender su esfera de influencia influenci a a los m´as as diversos campos. El propio Wiener aclara su punto de vista respecto a la investigaci´on on interdisciplinari interdisci plinariaa en los siguientes t´erminos: erminos : Durante muchos muchos a˜ a nos n ˜os ambos a mbos compartimos—se compart imos—se refiere al a l fisi´ fisi ´ologo ologo Rosen Rosenblu bluet eth—l h—laa idea idea de que las areas a´ reas en las que las ciencias pod po d´ıan realizar realiza r progreso p rogresoss m´as as importantes impo rtantes eran precisamente precisa mente aquellas que hab h ab´´ıan sido dejadas de d e lado, como c omo ‘tierras ‘tier ras de nadie’, nad ie’, entre campos camp os cient´ cient´ıficos perfectamente perfec tamente delimitados. delimit ados. Rosenblueth Rosenbluet h hab´ hab´ıa insistido siempre en el hecho de que una exploraci´on on adecuada de estos espacios espacio s vac´ vac´ıos del mapa de la ciencia solamente solame nte podr´ p odr´ıa ıa ser realizada por po r un equipo de cient´ cient´ıficos, cada uno de los cuales fuese un especialista en su materia y estuviese, adem´as, as, en posesi´on on de un conocimiento bastante amplio de los campos de trabajo de sus compa˜ neros. neros. (Wiener, [20]).
Otro ejemplo de caracter´ısticas ısticas semejantes lo encontramos encontramo s en la Teor´ eor´ıa de Juegos, desarrollada desarro llada a ra´ız ız de la colabor col aboraci´ aci´on on entre John von Neumann y Oscar Morgenstern en torno al problema de la toma de decisiones en situaciones 16
conflictivas. conflict ivas. Tambi´en en la Investigaci´on on de Operaciones es el fruto del trabajo de un equipo interdisci interdisciplinar plinario io durante la segunda guerra mundial. mundial. Media docena de cient´ cient´ıficos de diversas disciplinas fueron convocados por el gobierno ingl´es es para estudiar el mejor m´etodo etodo de defensa contra los bombardeos alemanes, con los recursos disponibles. El ´exito exito de las t´ecnicas ecnicas emanadas de este grupo fue tal que se aplicaron de inmediato a muchos otros problemas b´elico el icoss (dete (d etecci cci´´on on de submarinos, profundidad ´optima optima para las cargas de profundidad, fundidad, t´ acticas de defensa de los barcos frente a los kamikazes japoneses, acticas etc.) y despu´es es de la guerra a problemas econ´omicos. omicos. En un plano m´as as cotidiano, los matem´ aticos participan de diversas maaticos neras en toda clase de equipos interdisciplinarios dedicados a la investigaci´on on cient´ıfica, ıfica , ya sea ´esta esta b´asica asica o aplicada. Es preciso reconocer reconocer que este proceso no est´ a libre de dificultade dificultadess y obst´ aculos. aculos. Es sabido que muchos muchos matem´ aticos, aticos, a´ un teniendo buena voluntad y disposici´on un on para el trabajo en equipo, encuentran serias dificultades de comunicaci´on on con los representantes de otras discipl disciplina inas. s. Esto Esto no se debe tanto tanto a la carencia carencia de un lenguaje lenguaje com´ un corno al hecho de que, debido al tipo de entrenamiento recibido, el un matem´atico atico trabaja con conceptos muy precisamente delimitados y se le hace dif´ dif´ıcil aceptar los planteamientos planteamientos m´as as o menos vagos comunes en otros campos. As´ As´ı por p or ejemplo se apresurar´a a decir que determinado problema no tiene soluci´on, on, o que no est´a correctamente formulado para ser analizado matem´aticamente; aticamente; y probablemente tendr´a raz´on, on, pero sin tener en cuenta que pueden existir condiciones o hip´otesis otesis impl´ impl´ıcitas o sobreentendi s obreentendidas das en el el problema real, que los especialistas de otras disciplinas quiz´as as consideren obvias y no se molesten en aclarar. Esto tambi´en en conduce a veces a soluciones correctas matem´aticamente aticame nte pero carentes de sentido f´ısico, ısico, o irrealizables irreal izables por motivos pr´acticos. acticos. Estas dificultades naturalmente s´olo olo logran resolverse a la larga mediante el trabajo conjunto, y son apenas un peque˜no no precio a pagar a cambio de grandes beneficios.
Matem´ Mat em´ atica ati ca pura pur a vs. matem´ matem´ atica ati ca aplica apl icada da Seg´ un un la tradici´on, on, cuando uno de sus disc´ disc´ıpulos pregunt´ pregunt´ o a Euclides ¿Qu´e ganar´ gan ar´e aprendi apre ndiendo endo estas esta s cosas? cos as? , Euclides llam´o a su esclavo y le orden´o Dadle una moneda, ya que desea ganar algo con lo que aprende. Este relato nos muestra la existencia de dos puntos de vista extremos y antag´ onicos respecto de la matem´atica. onicos atica. Pa Para ra uno de ellos, ellos, la matem´ matem´ atica atica
17
s´olo olo se justifica por sus aplicaciones, por su car´acter acter utilitario. Para el otro, la matem´atica atica es valiosa valios a en e n s´ı misma, m isma, independientemente indep endientemente de cualquier cu alquier aplicaci´on: on: es una forma de arte. Una de las m´as c´elebres eleb res pol´ po l´emicas emic as entre estas esta s dos concepciones concepciones tuvo lugar en 1830 entre entre Fourie Fourierr y Jacobi. Jacobi. El primero de ellos, autor de la famosa Teor´ sent´ıa gran aprecio Teor´ıa ıa anal´ ana l´ ıtica ıt ica del calor calo r , no sent´ por las investigaciones matem´aticas aticas que consideraba demasiado te´oricas oricas y alejadas de la realidad. En un informe que present´o a la Academia de Ciencias de Par´ Par´ıs sobre los trabajos de Jacobi y Abel en la teor´ teor´ıa de funciones el´ el´ıpticas se lamentaba de que cient´ cient´ıficos tan valiosos dedicasen su tiempo a esas especulaciones especulaciones te´ oricas. oricas. Jacobi, Jacobi, por su parte, parte, pensaba que el objetivo objetivo de la ciencia era ´unicamente unicamente el honor del esp´ emica se esp´ıritu ıritu humano. La pol´emica vi´o interrumpida por la muerte de Fourier, pero el tiempo tiemp o se encargar´ encargar´ıa de mostrar las limitaciones de ambas posiciones, al encontrar los trabajos de Jacobi aplicaciones pr´acticas acticas y los de Fourier important imp ortant´´ısimas consecuencias consecuen cias te´oricas. oricas. Hoy en d´ıa la interdependencia entre teor´ teor´ıa y aplicaciones es total. Los ejemplos hist´oricos oricos que muestran lo ilusorio de separar lo puro de lo aplicado tambi´ tambi´en en son muchos. muchos. Hemos visto por ejemplo ejemplo c´ omo omo Kepler aprovech´o la teor´ teor´ıa de las secciones seccione s c´onicas onicas de Apolonio. Apolonio. Del mismo modo la teor´ teor´ıa de grupos, que tiene su origen en los trabajos puros de Galois sobre la resolubilidad de ecuaciones algebraicas por radicales, encontrar´ encontrar´ıa luego aplicaciones en qu´ qu´ımica, ımi ca, mec´anica anica cu´antica, anti ca, f´ısica ısi ca de part par t´ıculas, ıcul as, etc. El aparato matem´atico atico utilizado por Einstein en su teor´ teor´ıa general de la relatividad es tambi´ en en el resultado de una larga evoluci´ on on te´orica orica de la geometr´ metr´ıa, que pasa por la teor´ teor´ıa de superficies de Gauss, las geometr´ geometr´ıas no euclidianas, la geometr´ geometr´ıa de Riemann y los trabajos de Ricci y Levi-Civitta sobre lo que hoy en d´ıa llamamos c´ alculo alculo tensorial. tensorial. Todos estos desarrollos desarrollos te´oricos oricos estaban, en su origen, firmemente ligados a problemas reales (esto es, del mundo f´ f´ısico) pero fueron llevados a grados de abstracci´ on on y profundidad superiores a las posibilidades de aplicaci´on on pr´actica actica que tuvieron en su ´epoca. epo ca. Arqu´ Arqu´ımedes pudo quiz´as as haber utilizado la propiedad focal de la par´abola abola para construir espejos parab´olicos olicos con los cuales incendiar incendia r los nav´ nav´ıos romanos ro manos que sitiaban Siracusa, sin embargo esta aplicaci´on on est´a muy lejos de agotar el potencial te´orico orico de la obra de Apolonio, que muchos siglos m´as as tarde Kepler encontrar´ encontrar´ıa adecuada a sus necesidades. A veces se pretende restar importancia importancia a estas considerac consideraciones iones.. Morris Morris Kline, por ejemplo, ejemplo, afirma en una de sus notas introductorias a una recopilaci´on on de art´ art´ıculos de Scientific American ([7] pp. 260 y 261 de la edici´on on en espa˜nol) nol) que despu´es es de todo 18
las elipses elipses no eran las curvas curvas que Kepler Kepler necesitaba necesitaba,, puesto puesto que las ´orbitas orbitas de los planetas planetas (debido a las interaccion interacciones es gravitatorias gravitatorias entre entre ellos, etc.) no son realmente elipses. Del mismo modo dice que Einstein hizo lo mejor que pudo con el c´alculo alculo tensorial, que casi seguramente no era la herramienta m´as as adecuada posible sino tan s´olo olo lo que hab´ hab´ıa disponible. disp onible. Estas curiosas opiniones, sobre todo proviniendo de un conocedor de la historia de la ciencia como Kline, nos llaman poderosamente la atenci´on. on. Parecen Parecen ignorar ignorar totaltotalmente la forma en que se desarrolla el conocimiento cient´ cient´ıfico, critic´andose andose y super´andose andose a s´ı mismo constantemente. constantemente. ¿C´ omo hemos llegado a saber que omo las orbitas o´rbitas de los planetas no son exactamente elipses? ¿No es acaso a trav´ trav´es es de un largo desarrollo, desarrollo, que pasa necesariamen necesariamente te por Kepler Kepler y Newton? Newton? Por cierto que las teor´ teor´ıas f´ısicas son a la larga superadas y sustituidas o absorbidas por otras otras que las perfecc perfeccion ionan an y gener generaliz alizan. an. Pero Pero esto no les quita quita su importancia, por el contrario, las convierte en hitos en el desarrollo hist´orico del conocimiento. Creemos que resulta claro, si se examina la historia de la ciencia, que para el propio bien de la ciencia aplicada son necesarias las investigaciones te´oricas. oricas. El historiador de la ciencia Ren´e Taton ha expresado esta idea con las siguientes palabras: Si se considera la utilidad como ´unico unico punto de referencia es indiscutible que los descubrimientos te´oricos oricos m´as as fecundos en aplicaciones pr´acticas acticas han sido si do a menudo aquellos a quellos que en sus or o r´ıgenes parec´ pa rec´ıan ıa n m´as as abstractos, m´as as alejados de la realidad concreta. Las investigaciones te´oricas oricas presentan, pues, un inter´ inter´es es primordial para el futuro progreso de las ciencias aplicadas. (Taton, [16] p´ag. ag. 28.)
En uno de sus brillantes Di´ atico atico h´ ungaro ungaro alogos sobre matem´ aticas el matem´ A. R´enyi enyi pone en labios de Arqu´ Arqu´ımedes las siguientes palabras: ...la matem´atica atica revela sus secretos s´olo olo a aquellos que se le acercan con puro amor, por su propia belleza. Quienes esto hacen, son tambi´en en recompensados con result resultado adoss de importa importanci nciaa practi practica. ca. Pero Pero si alguien alguien pregunt preguntaa a cada cada paso ¿c´omo omo puedo sacar provecho provecho de esto?, no llegar´ a muy lejos (R´enyi, eny i, [13] [1 3]). ).
19
La mate matem´ m´ atic atica a para para s´ı mism misma a El punto anterior est´a relacionado con otra cuesti´on on importante de la cual a´un un no hemos hablado. Se trata del car´acter acte r espec esp ec´´ıfico de la matem´ mate m´atica atica como ciencia, como sistema de conocimientos estructurado y org´anico. anico. En verdad creemos que gran parte del poder de la matem´atica atica es consecuencia de su car´acter acter unitario, que la identifica indubitablemente como una sola ciencia a pesar de los cientos de ramas y subramas que comprende. Esta unidad se manifiesta dentro de la matem´atica atica en los contactos a veces inesperados que suelen establecerse entre ramas aparentemente muy alejadas. alejadas. Por otra parte plantea plantea ciertas exigencias, exigencias, que los planificadores planificadores y ejecutores de la pol´ıtica ıtica cient´ cient´ıfica y tecnol´ogica ogica deber´ deber´ıan tomar en cuenta. En primer lugar tenemos la necesidad de la investigaci´on o n b´asic a sica. a. Sin Sin ella ella no s´olo olo no se producir´ producir´ıan nuevos nuevos conocimientos, sino que ni siquiera ser´ ser´ıa posible aplicar los ya existentes. existentes. En efecto, los conocimientos conocimientos matem´ aticos aticos no se encuentran disponibles para ser usados de inmediato por cualquiera, como como las recet recetas as de un libro libro de cocina cocina.. S´ olo para comprender, asimilar y olo posiblemente aplicar cualquier resultado matem´atico atico tal como se publican en la literatur literaturaa especializad especializada, a, se requiere requiere de matem´ matem´aticos aticos con experiencia en investigaci´on. on. Una segunda exigencia exigencia se refiere refiere al desarrollo desarrollo equilibrado equilibrado de las distintas distintas ramas que componen el ´arbol arbol de la matem´atica. atica. Seria dif´ dif´ıcil desarrol d esarrollar lar una u na de ellas en un ambiente carente de especialistas en las dem´as. as.
Matem´ Mat em´ atica ati ca y belle elleza za La apreciaci´on on est´etica etica de la matem´atica a tica es, a no dudarlo, uno de los elementos intr´ intr´ınsecos que m´as as han contribuido contribuido a orientar orientar su desarrollo. desarrollo. El gran pensador y matem´atico atico Henri Poincar´ Poin car´e, e, en una conferencia co nferencia pronunciada pronuncia da ante la Sociedad Psicol´ogica ogica de Par´ Par´ıs a comienzos comienzos de este siglo, analiza analiza el misterio de la creaci´on on en matem´aticas aticas y le atribuye un rol singular´ singular´ısimo a la sensibilidad en este proceso (Poincar´ (Poincar´e, e, [11]). Por su parte el matem´atico atico ingl´es es G. H. Hardy escribi´o: o: Las configuraciones construidas por un matem´atico, atico, lo mismo que sucede con las de un pintor o un poeta, deben poseer belleza; las ideas, los colores y las palabras deben ensamblarse de un modo arm´onico. onico. La belleza es la primera piedra de toque; en el mundo
20
no hay un lugar permanente para las matem´aticas aticas desagradables desde el punto de vista est´etico. etico. (Hardy, [6].)
Agreguemos que el libro citado (A methematician’s methematician’s apology apology ) fue recensado por Graham Graham Greene Greene,, quien quien lo consid consider´ er´ o, o , junt juntoo a los los cuad cuader erno noss de Henr Henry y James, como la mejor descripci´on on de lo que significa ser un artista creador. Es muy interesante encontrar puntos de vista similares en un gran f´ısico como lo fue Dirac. Comentando Comentando el modo como Schr¨ Schrodinger o¨dinger (quien comparti´o con Dirac Dirac el premio premio Nobel Nobel de f´ısica ısica en 1933) 1933) obtuv obtuvoo por primer primeraa vez vez su famosa ecuaci´on on de ondas, abandonando luego el trabajo por algunos meses debido a que al aplicarla al ´atomo atomo de hidr´ogeno ogeno los resultados no concordaban con los experimentos, Dirac nos dice que entonces se introdujo una segunda ecuaci´on on aproximada y m´as as tosca, que no tomaba en cuenta los refinamientos relativist relativistas as de la primera. primera. Sin embargo embargo cuando por fin se descubri´ descubri´ o el spin del electr´on on y la forma correcta de tomarlo en cuenta, la ecuaci´on on relativista original revel´o su verdadero valor y concordancia con la experiencia. Entonces Dirac extrae la siguiente siguiente conclusi´ conclusi´on: on: Parece Parece que si uno trabaja desde el punto de vista de obtener obtener belleza en sus propias ecuaciones, y si se tiene realmente una intuici´on on profunda, entonces est´a en una l´ınea segura de progreso. Si no existe completo acuerdo entre sus resultados y sus experimentos, no se deber´ deber´ıa permitir desanimarse, porque la discrepancia puede muy bien deberse a caracter´ caracter´ısticas de menor importancia que no se tomaron propiamente en cuenta y que ser´an aclaradas aclaradas con ulteriore u lterioress desarrollo des arrolloss de la teor t eor´´ıa. (Dirac, [4].)
En definitiva, definitiva, creemos que los elementos est´eticos, eticos, en matem´atica atica y en otras ciencias, ci encias, juegan un u n rol importante imp ortante y deber deb er´´ıan recibir recib ir la atenci´ aten ci´on on debida.
A modo de conclusi´ on on Hemos reflexionado reflexionado acerca de la matem´ matematica a´tica desde diversos diversos angulos. ´angulos. Por medio de algunos ejemplos hemos visto c´omo omo influyen sobre su desarrollo las relaciones que mantiene con las otras ciencias y la necesidad de resolver problemas concretos. 21
Pero la matem´atica atic a tiene t iene tambi´en en una vida interior que parece desenvolverse de acuerdo con sus propias leyes, y en la cual imperan la belleza y el misterio misterio de la creatividad creatividad.. De este modo, de ella misma surgen surgen constanteconstantemente ideas, problemas y teor´ teor´ıas que la enriquecen y expanden sus fronteras. Creemos que tanto aquellos matem´aticos aticos que han desestimado por completo pleto las aplica aplicacio ciones nes,, poniend poniendoo todo su empe˜ no n o en crear obras de arte perdurables (como Hardy, [6]) o persiguiendo fines espirituales superiores (como es el caso de Shafarevitch, v´ease ease Davis [3]), como aquellos otros que dotados quiz´a de una mayor sensibilidad social y menos prejuicios ideol´ogicos ogicos han puesto su capacidad al servicio de todo tipo de aplicaciones (como Richard Bellman) han contribuido por igual, en la medida de su talento, al engrandecim engrandecimien iento to de la ciencia. Ya hemos mencionado, mencionado, por otra parte, que frecuentemente los desarrollos m´as as puros encuentran aplicaciones pr´acticas acticas y los trabajos aplicados abren nuevos campos a la investigaci´on on b´asica. asica. De hecho creemos que ambos aspectos de la matem´atica, atica, el puro y el aplicado, se conjugan ´ıntimamente ıntimamente y hasta llegan a ser inseparables.
22
Bibliograf´ıa [1] Arqu´ımedes, ımed es, El M´etodo et odo , Eudeba, Buenos Aires, 1966. [2] Cassirer, E. El Problema del Conocimiento , tomo l, Fondo de Cultura Econ´omica, omi ca, M´exico, exic o, 1953. 195 3. [3] Davis, P. J., Hersh, R. The Mathematical Experience , Birkh¨a¨ a¨user, user, Boston, l981. [4] Dirac, P. A. M. La Evoluci´ on de la Imagen del F´ısico de la Naturaleza , en [7]. [5] Frey, rey, G. Der mathematisierung unserer Welt , Kohlammer Verlag, Stuttgart. Hay traducci´on: on: La matematizaci´on on de nuestro universo, G. del Toro, Madrid, l972. [6] Hardy, G. H. A Mathematician’s Apology , Cambridge University Press, 1967. Hay traducci´on: on: Autojustificaci´ on de un matem´ atico, Ariel, Barcelona, 1981. [7] Kline, M. (ed.) Mathematics in the Modern World , W. H. Freeman, San aticas en el mundo moderno , Francisco, 1968. Hay traducci´on: on: Matem´ Blume, Blume, Madrid, Madrid, 1974. [8] Kuzneso Kuznesov, v, B. G. Maxwell’s electr electro odynamics, dynamics, its origins, origins, developmen development t and historical value , Trudy Inst. Istor. Estetuoznan Tehn 1955. [9] Lakatos, I. Mathematics, Science and Epistemology , Cambridge Univeraticas, Ciencia y Epistemologia , sity Press, 1978. Hay traducci´on: on: Matem´ Alianza, Alianza, Madrid, Madrid, 1981.
23
[10] Messik, D. M. (ed.) Mathematical Thinking in Behavioral Sciences , W. H. Freeman, San Francisco, rancisc o, 1968. Hay traducci´ tra ducci´on: on: Matem´ aticas en las Ciencias del Comportamiento, Alianza, Madrid, 1974. creaci´ on matem´ matem´ at`ıca , en Cienci Cie ncia a y M´ etodo etodo , Espasa [11] Poincar´e, e, H. La creaci´ Espasa-Calpe Argentina, Buenos Aires, 1946 y tambi´ tambi´en en en [7].
[12] Popper, Popper, K. La I´ ecnos, Madrid, Madrid, ogica ogica de la invest investiga igaci´ ci´ on cien ci entt´ıfica ıfi ca , Tecnos, 1962. [13] Renyi, A. Dialogues on Mathematics , Holden-Da Holden-Day y 1967. [14] Russell, B. My philosophic philosophical al developmen development t , Allen & Unwin, 1959. Hay evo luci´on on de mi pensamiento filos´ ofico, Alianza Editorial, traducci´on: on: La evoluci´ Madrid, 1976. [15] Skitovic, V. P., Izvestia Acad. Nauk SSSR vol. 18 (1954), 185–200. [16] Taton, R. Causalit´ Causal it´ es es et accidents de la d´ ecouverte ecouverte scientifique scienti fique , Masson et Cie., Paris, 1967. Hay traducci´on: on: Causalidad y accidentalidad de los descubr des cubrimi imiento entoss cient´ ci ent´ıficos ıficos , Editorial Labor, Barcelona, 1973. ematiqu es modernes: une erreur p´ edagogique edagogique et phi[17] Thom, R. Les math´ematiques science 3 (1970), (1970), 225–256. 225–256. Hay traducci´ traducci´ on: on: losophique? L’age de la science Matem´ aticas modernas y matem´ aticas de siempre , en La ense˜ nanza de las matem´ aticas modernas , Alianza Editorial, Madrid, 1978.
[18] Thom, R. Math´ematiques ematiqu es modernes et math´ematiques ematiqu es de toujours toujo urs , en Pourquoi Pou rquoi la math´ematiqu emat ique? e? , R. Jaulin (ed.), Paris, 1974. Hay traducci´ on: on: Matem´ aticas modernas y matem´ aticas de siempre , en La ense˜ nanza de las matem´ aticas modernas , Alianza Editorial, Madrid, 1978. Medidas as de la inteli inteligen gencia cia:: el debate debate vuelve vuelve a la actuaactua[19] Vloebergh, A. Medid Cient´ıfico No. 6 (versi´on on en castellano de La Recherche), lidad , Mundo Cient´ 1981.
[20] Wiener, N. Cybernetics , Scientific American, 179(5), nov. 1948, 14–19. Se halla traducido en las referencias [7] y [10]. [21] Wigner, E. E. P. P. The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences , Communications in pure and applied mathematics, Courant Institute, 1960. 24
