Naskah Soal Penyisihan Kompetisi Matematika Unpar 2012 Tingkat Sma

KOMPETISI MATEMATIKA 2012 TEST BABAK PENYISIHAN SMA HIMPUNAN MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS TEKNOLOGI INFORMASI DAN SAINS UNIVERSITAS UNIVERSITAS KATOLIK PARAHYANGAN Jl. Ciumbuleuit 94, Bandung 40141

PETUNJUK PENGERJAAN SOAL 1.

Isilah nama peserta, asal sekolah, dan kota sekolah Anda pada lembar ja wab yang tersedia.

2.

Jawaban dikerjakan dengan membuat tanda silang pada salah satu kotak yang telah disediakan pada lembar jawab.

3.

Apabila ada jawaban yang keliru dan Anda ingin memperbaikinya, buatlah dua buah garis lurus secara horizontal pada kotak jawaban yang salah, kemudian buatlah tanda silang pada kotak lain sesuai dengan jawaban yang Anda anggap benar. Contoh :

Semula

A

B

C

D

E

D

E

x

Menjadi

A x

B

C x

4.

Seluruh jawaban dikerjakan dengan menggunakan ballpoint/tinta.

5.

Soal terdiri atas 50 butir soal pilihan ganda dan 3 butir soal essay.

6.

Semua soal, baik Pilihan Ganda maupun Essay, dikerjakan pada lembar jawab yang telah tersedia. Untuk bagian Essay, harap diperhatikan bahwa setiap nomor dikerjakan pada lembar yang terpisah. Tuliskan identitas Anda pada setiap lembar jawaban Essay.

7.

Tidak ada pengurangan nilai untuk setiap jawaban Pilihan Ganda yang salah.

8.

Selamat Mengerjakan.

1 ————————————————————————————————————————————————

Kompetisi Matematika Unpar 2012

Bagian Pertama: Pertama: PILIHAN GANDA GANDA

1. Agar fungsi fungsi

(a)

f (x) = x3 + px2 + px + p2

−2 (b) −1 (c) 0

selalu naik untuk setiap x bilangan riil, nilai p adal adalah ah . . .

(d) 1 (e) 2

(a) 0 < p < 2 (b) 0 < p < 3 5. Hasil Hasil dari dari

(c) 1 < p < 2 (d) p < 0 atau p > 3



(e) p < 0 atau p > 2

dx x + sin x cos x + sin2 x

2cos2

adal adalah ah . . . 2. Misal Misal diberikan diberikan f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d

dan f (1) = f (2) = f (3) = f (4) (4) = log 2. Nila Nilaii 2a + d adal adalah ah . . .

(c) (c) 3 + log log 2 (d) (d) 4 + log log 2

−

(a)

√

(b)

√ 17 tan

(c)

√ 27 tan

(d)

√ 27 tan

(e)

√ 27 tan

(a) (a) 1 + log log 2 (b) (b) 2 + log log 2

1 tan 7

−

−

−

−

1

1

1

1

1

 2tan + 1  √ 7 +  2cot + 1  √ 7 + 2 + 1 √ 7 +  2tan + 1  √ 7 +  2cot + 1  x

x

x

C C

C

x

√ x7

C

+ C

(e) (e) 5 + log log 2 6. Hasil Hasil dari dari



3. Diketahui Diketahui x2 + 2, x 1 ax + b, 1 < x < 5 x 3, x 5

 ( )= 2

f x

−

≤ ≥

Bila f (x) merupakan fungsi kontinu untuk setiap adalah ah . . . x bilangan riil, maka nilai a + 2b adal (a) 5

adal adalah ah . . . 1 (a) tan 2

1

1 tan 2

1

1 (c) tan 2

1

−

(b)

−

−

(b) 10 (c) 11

(d)

√ 12 tan

(e)

√ 12 tan

(d) 12 (e) 20

4. Misalk Misalkan an f (x) adalah fungsi linear. Jika

x2 + 1 dx x4 + 1

  

−

−

1

x2

 1 − √ + C x 2  x−1 √ + C x 2

x2

− 1  + C

 22 − 1  √ 2 +  − 1 x

x2 x

1

x2

√

x 2

C

+ C

7. Bilangan Bilangan 1003 dapat ditulis sebagai

1 1 + = 0, 35 f (0) f (1)

1003 = A2

dan f ( 1) = 16, maka nilai f (2) yang mungkin

dengan A dan B bilangan bilangan bulat. bulat. Nilai 2A

−

− B2 − 3B

2 ————————————————————————————————————————————————


(a)

−9250 (b) −4750 (c) −4500

(a)

−2 (b) −1 (c) 0

(d) 4750

(d) 1

(e) 9250

(e) 2

8. Trapesium ABCD dengan AB sejajar DC mempunya punyaii tinggi tinggi 12. Misalk Misalkan an besar sudut CBA CB A adalah α. Jika panjang AD = 13, CB = 15, dan AB = 35, sedangkan luasnya adalah 336, maka AB nilai dari sin α dan DC berturut-t berturut-turut urut adalah adalah . . . (a) (b) (c) (d) (e)

4 5 3 5 4 5 3 5 3 5

dan dan dan dan



− −

◦

(a) 9 (c) 15 (d) 18 (e) 21  dan   + 3 13. Misalk Misalkan a = 2 i j b = 4 i 2 j k. Be    b sar sudut antara vektor b a + a b dan b a a  adal adalah ah . . .

−

≤ t ≤ 32 . Matriks π

9. Misalk Misalkan an 0 A

1 = 0

0 1 2 si s in t 0 1 0 2 cos2 t

 

mempuny mempunyai ai invers invers untuk . . . (a) t = 0, π2 , π,

3π 2

(b) t = 0, π4 , 34π , π, (c) t = 0, (d) t = 0,



(b) 12

3 5 5 3 5 3 3 5 4 5

dan

12. Misalk Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang memenuhi f (x + 2) = x 1 dan (f g ) (x) = 3x2 + 4x, di mana g menyatakan turunan pertama fungsi g . Jika g(2) = 3, maka nilai g (1) (1) adala adalah h . ..

5π 4 π π 3π 3π 5π 4 , 2 , 4 , 2 , π, 4 π 3π 5π 4 , 4 , π, 4

 (e) t =  0, 2 , π

|| ||

−

| | −| |

(a) π (b)

π

(c)

π

(d)

π

(e)

π

2 3 4 6

14. Lingkaran Lingkaran x2 + y 2 + 2x + 4y 4 = 0 dirotasikan π2 radian berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. Persamaa Persamaan n lingkaran lingkaran yang yang baru adalah . . .

−

π

(a) x2 + y 2 + 2x + 4y + 4 = 0 (b) x2 + y 2 4x 2y 4 = 0

10. Sisa pembagian pembagian suku banyak banyak x2012 + x2011 + x2010 + x2009 + . . . + x2

oleh x2

adalah ah . . . − 1 adal

(a) 1005x + 1004 (b) 1005x

− − − (c) − 4x + 2 y − 4 = 0 (d) 2x2 + 2y2 − 8x + 4y − 4 = 0 (e) 2x2 + 2y2 − 2x + 2y − 3 = 0 x2

+ y2

15 15.. Bilan Bilanga gan n 73 7318 1808 08 adal adalah ah hasi hasill perk perkalia alian n dari dari 5 3 faktor-faktor primanya, yaitu 2 3 7 112 . Banyaknya bilangan asli bukan prima yang habis membag mem bagii 731 731808 808 adalah adalah . . .

× × ×

− 1005

(c) 1005x + 1006 (d)

−1005x − 1007 (e) −1005x + 1008

(a) 144 (b) 140 (c) 30

11. Diberika Diberikan n fungsi

(d) 28 f (x) =

x 1 ax + b

−

yang memenuhi f ( 1) = 3. Jik Jika 0, a, dan b adalah tiga suku berturutan dari suatu barisan 

−

(e) 10 16. Di dalam sebuah bola berjari-jari berjari-jari 26 cm dibuat sebuah sebuah tabung. tabung. Luas maksimum maksimum selimut selimut tabung

3 ————————————————————————————————————————————————


(a) 676π

(a) 0

(b) 845π

(b)

(c) 1014π

(c)

(d) 1352π

(d)

(e) 2028π

(e) 1

17. Misalkan Misalkan a,b,c,d em empa patt bila bilang ngan an riil riil yang ang memenuhi

  

abc + ab + bc + ac + a + b + c bcd + bc + cd + bd + b + c + d cda + cd + da + ca + c + d + a dab + da + ab + db + d + b + a

maka nilai a + b + c

= = = =

7 19 19 19

adalah ah . . . − d adal

1 2 1 3 1 4

21. Jika Jika x, y, dan z bilangan-bilangan riil sehingga

maka nilai

 

xlog x+log y ylog x+log y z log x+log y

log z

−

log z

−

log z

−

=6 =5 =3

xy yang yang mungkin mungkin adalah adalah . . . z

(a) 1

−2 (b) −1

(b) 10

(c) 0

(d) 100 10000

(d) 1

(e) 10000

(a)

(c) 100

(e) 2 22. Jika Jika A + B + C = 2 π , maka

18. Nilai

adal adalah ah . . .

−

−

(a)

1 2

(c) 0 (d)

−1 (e) − 12

(b) 2 (c) 3 (d) 6

23. Jika Jika x, y, dan z adalah bilangan-bil bilangan-bilangan angan riil yang memenuhi persamaan

∞

19. Misal Misal diberikan diberikan limas segitiga segitiga T.ABC . Bidang Bidang-bidang T AB , T AC , dan ABC saling tegak lurus. Jika panjang T A = 3, AB = AC = 3, dan α adalah besar sudut antara bidang ABC dan adalah ah . . . T BC , maka nilai sin α adal

 

√

(a) (b) (c) (d) (e)

1 7 1 7 1 7 1 7 2 7

√ 7 √ 21 √ 42 √ 14 √ 7

(b) (c) (d) (e)

−→

−−→

maka (a)

20. Vektor posisi A dan B masing-mas masing-masing ing adalah adalah       3i + 2 j + k dan i + 2 j + 3k. Tit Titik C berada pada perpanjangan OA, sehingga sehingga AC = 2OA, Titik D berada pada perpanjangan OB , sehingga Misalk lkan an ada ada titi titik k E , sehing sehingga ga BD = OB . Misa adalah jajaran jajaran genjan genjang. g. Jika Jika α adalah OCED adalah

−−→

A

(b) 1

(a) 0

(e)

2

2

3 sin(2 sin(2x) 2 sin(3 sin(3x) lim x 0 1 cos(3x) →

B +C

    = ... 2sin

sin

−→ −−→

−→

x+y+z x + y2 + z 2 x3 + y 3 + z 3 2

= 1 = 2 = 3

x4 + y 4 + z 4 = ... (x + y + z )(3xyz ) 25 6 25 3 17 3 17 6 31 6

24. Misalk Misalkan m dan n adalah akar-akar persamaan x2

− (2 p + 4)x + (3 p + 4) = 0

di mana p < 0 dan p konstan konstanta. ta. Jika Jika m, p, n merupa merupak kan tiga tiga suku suku pertama pertama suatu suatu deret deret geometri, maka suku ke-2012 deret tersebut adalah

4 ————————————————————————————————————————————————


√ √ (b) 6 − 2 5 (c) −1

(b) 3 dan 2

(d) 1

(d) 2 dan 1

(e) 4

(e) 3 dan

(a) 6 + 2 5

(a) 3 dan (c) 2 dan

25. Dari huruf-huruf A, K , M , O, dan T akan dibentuk 120 kata kata berbeda. Kata-k Kata-kata ata yang terbenterbentuk tuk tida tidak k haru haruss me memi mili liki ki arti arti.. Dala Dalam m seti setiap ap kata yang terbentuk, masing-masing huruf hanya boleh digunakan tepat satu kali. Jika semua kata yang terbentuk disusun secara alfabetikal, maka kata KOMAT berada berada pada urutan urutan ke-.. . (a) 37

−2 −1 −1

29. Misalk Misalkan m, n, dan p merupakan akar-akar persamaan suku banyak x3

− 3x2 + 4x + 5 = 0

maka nilai m3 + n3 + p3 adal adalah ah . . . (a)

−28 (b) −24 (c) 24

(b) 38 (c) 39

(d) 28

(d) 40

(e) 30

(e) 41 26. Diketahui Diketahui persamaan logaritma 8

log U 2 + 2

4 log (5U 7 ) = ·8 log U 4 − 8 log 3

dengan U 2 , U 4 , dan dan U 7 merupakan merupakan suku-suku pada pada barisa barisan n geo geomet metri. ri. Jika Jika suku suku ketig ketigaa dari dari barisan tersebut adalah 100, maka suku ke sepuluh luh adala adalah h ... (a) 2 59

· (b) 3 · 59 (c) 4 · 59

30. Untuk Untuk mem membuk bukaa sebuah sebuah gem gembok, bok, terdap terdapat at 12 kunci yang tersedia dan hanya satu kunci yang dapat membuka gembok tersebut. Peluang kunci yang yang digunak digunakan untuk untuk mem membuk bukaa gem gembok bok pada percobaan ke-7 berhasil, jika kunci yang telah digunakan gunakan tidak dapat digunak digunakan lagi adalah . . . (a) (b) (c) (d) (e)

(d) 510

1 120 10 12 4 12 1 12 2 12

31. Angka Angka satuan dari dari 32010 72011 172012 adal adalah ah . . .

·

(e) 6 59

·

·

(a) 1 (b) 3

27. Hasil dari dari

 

1 tan x + tan x

(c) 5

2



(d) 7

dx

(e) 9

adal adalah ah . . . (a)

sin x+cos x sin x

+ C

(d)

tan x+1 + C cot x tan x+sin x + C tan x sin x−cos x + C sin x

(e)

tan2 x−1 tan x

(b) (c)

32. Akar-akar Akar-akar persamaan x3 13x2 + px+q = 0 merupakan deret geometri dengan rasio 3. Nilai p dan yang memenuhi memenuhi berturut-turut berturut-turut adalah adalah . . . q yang

−

2

(a) 64 dan dan

−56 (b) 39 dan dan −27

+ C

(c) 56 dan 64

28. Lingkaran Lingkaran dengan persamaan x2 + y 2 4x + 2y + Jari-jari dan nilai nilai c c = 0 melalui titik (0, 1). Jari-jari

−

−

(d) 27 dan 39 (e)

−27 dan 56

5 ————————————————————————————————————————————————


33. Jika Jika f (x) =

−2sin2 x tan x, maka invers dari

A=

adalah A

−

1 2

1

π

   ( )  f f



4

π

3

f π f π4

− −



 2 = 0. . .  (a)  445 0 05  (b)  3 25 −005  (c)  −44 5 0 05  (d)  −23 5 0−05 −

,

,

,

37. Hasil dari dari



,

,

3, 5

(a) (b)

,

(c)

0, 5

(d) (e)

34. Diketah Diketahui ui vektor-v vektor-vekto ektorr a = (2, 2, z ),  b = ( 8, y, 5), c = ( x, 4y, 4), dan d = (2x, 22 z, 8). Jika vektor a tegak tegak lurus dengan vektor vektor  b, se dangkan dangkan vektor c sejajar vektor d, maka y + 2z = ...

−

(a)

−

−

−1 −2

(d) (e)

35. Misal diberikan diberikan titik A(0, 0). 0). Titi Titik k B dan C berturut-turut terletak di sumbu- x dan sumbu-y sehingga besar sudut CBA CB A adalah 60 dan pan jang AB adalah adalah 5. Misal Misal akan akan dibuat dibuat persegi persegi panjang panjang di dalam segitiga ABC yang sisi-sisinya sejajar sumbusumbu-x dan sumbusumbu-y. Luas Luas ter terbe besa sarr persegi persegi panjang tersebu tersebutt adalah . . . ◦

(b) (c) (d) (e)

dengan 0

(c)

(e) 0

√ 3 √ 3 27 4 √ 3 21 4 √ 3 23 4 √ 3 29 25 4

(8x2 −18)ln(2 x−3)−(2x−3)2 −24x + C ln 5 2 2 (8x −18)ln(2 x−3)+(2x−3) −24x + C ln 5 2 2 (8x +18)ln(2x−3)−(2x−3) +24x + C ln 5 (16x2 +18) +18) ln(2x−3)+(2x+3)2 −24x + C ln 5 (16x2 +18) +18) ln(2x−3)+(2x+3)2 +24x + C ln 5

f (x) = 3sin x +

(b)

(d) 2

(a)

·5 log(2x − 3) d(2x − 3)

38. Nilai maksimum maksimum dari fungsi fungsi

(a)

(b) 1 (c)

8x


,

,

(e)

(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 2

9 4 3 2 5 4 4 5 2 3

√ 3 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3

√

1 3cos2x 2

π

adalah ah . . . ≤ x ≤ 2 adal

39. Garis Garis g y = x m tidak memotong maupun menyinggung parabola y 2 = x maka batas-batas yang memenu memenuhi hi adalah adalah . . . m yang

≡

(a) (b) (c) (d) (e)

m> m<

−

1 4 1 4

− 14 m < − 14 m = − 14 m>

40. Jika Jika cos (arcta (arctan n3 A = cos maka nilai A adal adalah ah . . .

4

(a)

36. Jika Jika

2012

f (x) =

1

−

 2012 

log x 2 (2012 log x)

1 7

−√ √ √ 2 3 10 √ 2 7

(b) 2 3 1 (c) 10 2 (d) (e)

10

arctan 2) − arctan

6 ————————————————————————————————————————————————


41. Diketahui Diketahui kubus kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a, jika P tengah-tengah AD, maka jarak adalah ah . . . AB ke P F adal (a) (b) (c) (d) (e)

√ 5 √ 6 √ 3 √ 5 √ 3

1 5a 1 3a 1 2a 1 2a 1 3a

45. Diketah Diketahui ui sebuah sebuah segitiga segitiga ABC dengan A(2, 3), dan C (2 (2, 10 10). ). Di dala dalam m segi segiti tiga ga ini ini B (26, 3) dan dibuat dibuat lingkaran lingkaran yang menyingg menyinggung ung ketiga ketiga sisi segitiga, segitiga, mak makaa pusat lingkaran lingkaran yang terbentuk terbentuk adal adalah ah . . . (a) (5, 4) (b) (3, 4) (c) (5, 6) (d) (6, 5) (e) (4, 5)

42. Pern Pernya yataa taan n ”Jik ”Jika saya saya belajar belajar mak makaa saya saya lulus” memiliki nilai kebenaran yang sama dengan pernya pernyataa taan n ... (a) Jika Jika saya tidak belajar mak maka a saya tidak lulus.

46. Luas daerah yang yang dibatasi oleh kurva kurva y = x2 dan y = 8 2x2 adalah adalah . . . satuan satuan luas luas..

−

(a) 23

(b) Saya tidak belajar dan saya tidak lulus.

(b) 32

(c) Saya Saya tidak lulus dan saya tidak belajar.

(c) 64

(d) Saya Saya tidak belajar atau saya saya tidak lulus.

(d) 46

(e) Saya Saya tidak belajar atau saya saya lulus.

(e) 12

43. D adalah adalah daerah daerah tertut tertutup up yang yang dibata dibatasi si oleh oleh 3 graﬁk fungsi y = x , sumbu-x, dan garis x = 2. Jika D diputar diputar 360 terhadap terhadap sumbusumbu-y , mak makaa volume benda putar yang diperoleh sama dengan . . . satu satuan an volu volume me.. ◦

(a) (b) (c) (d) (e)

164 5 π 64 5 π 138 5 π 23 5 π 17 5 π

47. Bila Bila x + 2y 3 merupakan faktor dari ax2 + bxy + cy2 5x + 5y 3, maka a + b + c = . . .

− (a) −3 (b) −1

−

(d) 1 (e) 3

44. Misalkan Misalkan menyatakan kombinasi r objek dari n objek. Hasil dari

48. Persamaa Persamaan n lingkaran lingkaran yang berpusat di titik potong antara garis x+2y 3 = 0 dan 3x+5y 7 = 0 serta berjari-jari

−

−

  √ √ + 1 49

r=

1 1 1 1 + C 1n + C 2n + . . . + C n 2 3 n+1 n

1

x

64x

dx


adal adalah ah . . . 2n+1 2 n+1 n+2 2 2 (b) n+1 n+2 2 1 (c) 2 (n + 1)

− − −

2n+1 1 n+1 n+2 2 1 (e) n+1

(d)

−

(c) 0

C rn

(a)

−4

− −

(a) 9x2 + 9y2 + 18x

− 36y − 53 = 0 (b) 9x2 + 9y2 − 18x + 36y − 53 = 0 (c) 9x2 + 9y2 − 18x − 36y − 53 = 0 (d) 9x2 + 9y2 + 9x − 18y − 53 = 0 (e) 9x2 + 9y2 − 9x + 18y − 53 = 0 49. Hasil dari dari

dn dxn

1 x

7 ————————————————————————————————————————————————


(a) (b)

n!

50. Jika garis-garis garis-garis singgung kurva

xn+1

y = x3 + (a + 3)x2 + 6ax

n!

− x +1 n

di titik berabsis 1 dan maka nilai a adal adalah ah . . .

−

n!

(c) ( 1)n

−

xn+1 n! (d) ( 1)n+1 n+1 x

(e) ( 1)

−

−2 saling tegak lurus,

(a) 4 atau 2

−

n (n

−5

(b) 4 atau

− 1)!

(c)

xn+1

(d) (e)

1 4 1 4

atau atau

−2 1 2

− 12

− 14 atau 12

Bagian Kedua: ESSAY ESSAY Catatan: Setiap nomor essay dikerjakan dalam lembar terpisah .

1. Suatu fungsi memetak memetakan an bilangan riil x ke ax2 + bx + c, dengan a, b, dan c bilangan-bilangan riil yang belum diketahui nilainya. Perhatikan Perhatikan diagram berikut. b erikut.

Himpunan semua titik di garis sebelah kiri adalah daerah asal fungsi tersebut, dan di sebelah kanan adalah daerah jelajahnya. (a) Carilah Carilah nilai a, b, dan c. (b) Carilah Carilah semua bilangan riil dalam daerah asal fungsi tersebut tersebut yang dipetaka dipetakan n ke dirinya dirinya sendiri. sendiri. 2. Diberika Diberikan n sudut-sudut sudut-sudut lancip lancip A dan B dengan tan(A + B ) =

1 2

dan

tan(A

− B) = 13

Hitunglah Hitunglah hasil penjumlahan penjumlahan deret tak berhin b erhingga gga tan2 A + tan4 A + tan6 A + tan8 A + . . . 3. Diketahui Diketahui bujursangkar ABCD yang sisi-sisinya dinyatakan dengan persamaan x + y = 1, x y = 1, x + y = 1, dan x + y = 3. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui keempat titik sudut ABCD .

−

=

≡ ”Live as if you will die tomorrow, but learn as if you will live forever.” ≡= (Mahatma Gandhi)

−

LEMBAR JAWAB BABAK PENYISIHAN KOMPETISI MATEMATIKA 2012 UNIVERSITAS KATOLIK PARAHYANGAN BANDUNG

Nama Peserta

: __________________________________________________

Asal Sekolah

: SMA _______________________________________________

Kota Asal

: _______________________ Provinsi Provinsi : ____________________

Lembar Jawab Pilihan Ganda No.

B

C

D

E

No.

1

26

2

27

3

28

4

29

5

30

6

31

7

32

8

33

9

34

10

35

11

36

12

37

13

38

14

39

15

40

16

41

17

42

18

43

19

44

20

45

21

46

22

47

23

48

24

49

25

50

Benar Salah Kosong Poin

A

A

B

C

D

E


Nama Peserta

: __________________________________________________

Asal Sekolah

: SMA _______________________________________________

Kota Asal


Lembar Jawab Essay

1.


Nama Peserta

: __________________________________________________

Asal Sekolah

: SMA _______________________________________________

Kota Asal


Lembar Jawab Essay

2.


Nama Peserta

: __________________________________________________

Asal Sekolah

: SMA _______________________________________________

Kota Asal


Lembar Jawab Essay

3.

Naskah Soal Penyisihan Kompetisi Matematika Unpar 2012 Tingkat Sma

Recommend Documents