STANBUL TEKN K ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
NANOTEKNOLOJDE NANO ÖLÇEKTEK YAPILARIN YEREL OLMAYAN ELAST STE ÇERÇEVES NDE NCELENMES
DOKTORA TEZ Y. Müh. Ay şegül TEPE
Anabilim Dalı: NŞAAT MÜHENDSLĞ Programı: YAPI MÜHEND SLĞ
ARALIK 2007
ii
ÖNSÖZ
Doktora tezimin tüm aş a şamalarında bilimsel katkıları ile bana destek destek olan, e ğitimim süresince yardımlarını esirgemeyen, beni sürekli motive edip yönlendiren de ğerli hocam Prof. Dr. Reha ARTAN’a, tezin yürütülmesindeki katkılarından dolayı de ğerli hocalarım Doç. Dr. Ekrem TÜFEKÇ TÜFEKÇ ve Doç. Dr. Ünal ALDEM R’e ve tez komitemdeki diğ diğer öğ öğretim üyeleri hocalarıma sonsuz teş te şekkür ederim. Tez çalış çalı şmamın ilk gününden son gününe kadar sonsuz sevgi, anlayı ş ve sabırla bana destek olan sevgili aileme, desteğ deste ğiyle beni hiçbir zaman yalnız bırakmayan Sevan Makaracı’ya ve dostluğ dostlu ğuna çok şey borçlu olduğ oldu ğum değ değerli arkadaş arkadaşım Serab Kolbaş Kolba şı Onursal’a içtenlikle teş teşekkür ederim.
Aralık, 2007
Ayş Ayşegül TEPE
iii
ÇNDEKLER
TABLO LSTES ŞEKL LSTES SEMBOL LSTES ÖZET SUMMARY
vii viii ix x xii
1. GRŞ VE ÇALIŞMANIN AMACI
1
2. NANOTEKNOLOJ 2.1. Nanoteknolojinin Tanımı 2.1.1. Farklı büyüklüklerin karş kar şılaş ılaştırılması 2.2. Nanobilim ve Nanoteknolojinin Kronolojik Geli şimi 2.3. Nanoteknolojinin Amaçları 2.4. Nanoteknolojinin Avantajları 2.5. Nanoteknolojiyi Nanoteknolojiyi Elde Etme Yöntemleri 2.6. Nanoteknolojinin Gelecekteki Uygulama Alanları 2.6.1. Malzeme ve imalat sektörü 2.6.2. Nanoelektronik ve bilgisayar teknolojileri 2.6.3. Tıp ve sağ sa ğlık sektörü 2.6.4. Havacılık ve uzay araş ara ştırmaları 2.6.5. Çevre ve enerji 2.6.6. Bioteknoloji ve tarım 2.6.7. Savunma sektörü 2.6.8. Nanoteknoloji ile iliş ili şkili potansiyel hükümet uygulamaları 2.6.9. Bilim ve eğ e ğitim 2.7. Nanobilim ve Nanoteknoloji Açısından Karbon 2.8. Karbon Nanoyapılar 2.8.1. Karbon nanotüpler 2.8.1.1. Karbon nanotüplerin yapısı 2.8.1.2. Karbon nanotüplerin özellikleri 2.8.1.3. Karbon nanotüplerin uygulama alanları 2.8.2. Karbon nanotoplar 2.8.3. Karbon nanohalkalar iv
2 2 4 4 8 8 9 9 9 10 10 11 11 11 12 12 12 12 15 16 17 18 19 20 21
2.8.4. Karbon nanoçubuklar 2.9. nşaat Sektöründe Nanoteknoloji 2.9.1. nşaat sektöründe nanoteknolojinin avantajları 2.9.2. Nanoinş Nanoin şaat 2.9.3. Bulk inş inşaat malzemeleri 2.10. Türkiyede Nanoteknoloji Çalış Çalı şmaları
21 22 22 22 22 23
3. YEREL OLMAYAN ELAST STE TEORS 3.1. Tanım 3.2. Yerel Olmayan Elastisite Teorisinin Kronolojik Geli şimi 3.3. Yerel Olmayan Elastisitede Hooke Kanunu
24 24 25 26
4. BAŞLANGIÇ DEĞER YÖNTEM 4.1. Giriş Giriş 4.2. Elastomekanikte Baş Ba şlangıç Değ Değer Yöntemi ve Taş Ta şıma Matrisi 4.3. Taş Taşıma Matrisinin Hesabı 4.4. Matris Fonksiyonları, Matris Denklemleri 4.5. Cayley-Hamilton Teoremi 4.6. Üstel Matrisin Hesaplanması 4.7. Boyutlu Bir Matrisin Fonksiyonu Yardımıyla Hesaplanması
29 29 29 32 34 35 36 36
5. KESMEL EĞLME 5.1. Giriş Giriş 5.2. Normal Gerilme Hesabı 5.3. Kayma Gerilmesi Hesabı 5.4. Yerel Olmayan Dikdörtgen Kesitli Kiriş Kiri şler çin Uygulama
38 38 38 39 39
6. ELASTK ZEMNE OTURAN KRŞLER 6.1. Giriş Giriş 6.2. Elastik Zemine Oturan Kiriş Kiri şlerin Kronolojik Geliş Geli şimi 6.2.1. Literatürde doğ do ğru eksenli çubukların kronolojik geliş geli şimi 6.2.2. Literatürde daire eksenli çubukların kronolojik geli şimi 6.3. Temel Denklemler
43 43 45 45 46 48
7. YEREL OLMAYAN ELAST STEDE KRŞLERN EĞLMES 7.1. Giriş Giriş 7.2. Yerel Olmayan Çubuk çin Uygulama I 7.2.1. Sonuçlar ve değ de ğerlendirme 7.3. Yerel Olmayan Çubuk çin Uygulama II 7.3.1. Sonuçlar ve değ de ğerlendirme
50 50 50 57 59 62
v
8. YEREL OLMAYAN ELAST STEDE BURKULMA 8.1. Doğ Doğru Eksenli Elastik Çubuğ Çubu ğun Stabilitesi 8.2. Burkulma Uygulamaları 8.2.1. Uygulama I 8.2.2. Uygulama II 8.2.3. Uygulama III 8.2.4. Uygulama IV 8.3. Değ Değişken Kesitli Çubuklarda Burkulma Yüklerinin Hesaplanması 8.3.1. Değ De ğişken kesitli çubuklarda taş ta şıma matrisinin hesaplanması 8.3.2. Uygulama
66 66 70 71 74 78 80 83 83 86
9. SONUÇLAR
91
KAYNAKLAR
94
ÖZGEÇMŞ
100
vi
TABLO LSTES
Sayfa No
Tablo 6.1
Çeş Çeşitli zemin türleri için k yatak katsayıları .....………………...
vii
44
ŞEKL LSTES Sayfa No
Şekil 2.1 Şekil 2.2 Şekil 2.3 Şekil 2.4 Şekil 2.5 Şekil 2.6 Şekil 2.7 Şekil 2.8 Şekil 2.9 Şekil 5.1 Şekil 5.2 Şekil 6.1 Şekil 7.1 Şekil 7.2 Şekil 7.3 Şekil 7.4 Şekil 7.5 Şekil 7.6 Şekil 7.7 Şekil 7.8 Şekil 7.9 Şekil 7.10 Şekil 7.11 Şekil 7.12 Şekil 8.1 Şekil 8.2 Şekil 8.3 Şekil 8.4 Şekil 8.5 Şekil 8.6 Şekil 8.7 Şekil 8.8 Şekil 8.9 Şekil 8.10 Şekil 8.11
: Farklı büyüklüklerin karş kar şılaş ılaştırılması ......................................... ............................................... ...... 4 : Xe atomundan IBM yazısı...................................... yazısı............................................................ ...................... 6 : Motorize bir nanoraba"............................ nanoraba".................................................. .......................................... .................... 7 : molekülü ............................................ .................................................................. ......................................... ................... 13 : Karbon atomlarının bağ ba ğlanma şekilleri.............................................. 14 : (a) grafit (2B), (b) karbon nanotüp (1B), (c) karbonlu elmas (3B) ve (d) top (0B) (0 B) yapıları...................................... yapıları............................................................. ................................. .......... 14 : (a) Tek duvarlı tüpler, (b) Çok duvarlı tüpler..................................... tüpler..................................... 17 : (a) Koltuk tüp yapısı (b) Zikzak tüp yapısı (c) Bükük tüp yapısı.. 17 : (a) Zik-zak nanotüp modeli, (b) Koltuk nanotüp modeli.................... 18 : Dikdörtgen kesitli bir kiriş kiri ş............................................ ................................................................. ..................... 40 : Yerel olmayan kayma gerilmesinin klasik kayma gerilmesine oranı 42 : Doğ Doğru eksenli ve simetrik kesitli bir kiriş kiri ş.......................................... 48 : Çubuk ve koordinat eksenleri.......................................... eksenleri............................................................. ................... 50 : Basit eğ eğilmede sonsuz küçük bir parça....................................... parça.............................................. ....... 52 : Elastik zemin üzerine oturan basit kiriş kiri ş........................................... 53 : A noktasındaki yerel ve yerel olmayan dönmelerin oranı................. 58 : Orta noktadaki noktadaki yerel ve yerel yerel olmayan yerde yerde ğiştirmelerin oranı....... 59 : Uniform yüklü bir kiriş kiri ş.......................................... ................................................................. .............................. ....... 59 : için yerdeğ yerdeğiştirmelerin diyagramı................................ diyagramı...................................... ...... 62 : için dönmelerin diyagramı.................................... diyagramı.................................................. .............. 63 : için momentlerin diyagramı................................ diyagramı............................................... ............... 63 : için kesme kuvvetleri diyagramı........................................ diyagramı........................................ 64 : A noktasındaki momentlerin oranı....................................... oranı..................................................... .............. 64 : B noktasındaki dönmelerin oranı......................................... oranı....................................................... .............. 65 : Doğ Doğru eksenli bir çubuk modeli................................................... modeli......................................................... ...... 66 : ki ucu sabit olan doğ do ğru eksenli bir kiriş kiriş............................................ 71 : ve uydurulmuş uydurulmu ş polinom...................................... polinom............................................................ .......................... 73 : Bir ucu sabit, diğ di ğer ucu ankastre olan doğ do ğru eksenli bir kiriş kiriş............ 74 : ve uydurulmuş uydurulmu ş polinom...................................... polinom............................................................ .......................... 77 : ki ucu ankastre olan doğ do ğru eksenli bir kiriş kiriş………………….......... 78 : ve uydurulmuş uydurulmu ş polinom...................................... polinom............................................................ .......................... 80 : Bir ucu ankastre, diğ di ğer ucu boş bo ş olan doğ do ğru eksenli bir kiriş kiri ş.............. 81 : ve uydurulmuş uydurulmu ş polinom...................................... polinom............................................................ .......................... 83 : Değ Değişken kesitli bir kiriş kiriş modeli...................................................... 84 mesnetlenmi ş değ değişken kesitli bir çubuk.. 87 : Sol uçtan ankastre olarak mesnetlenmiş
viii
SEMBOL LSTES : Atomik mesafe : Eğilme rijitliğ rijitliği : Üstel matris : Malzeme sabiti : Elastisite (Young) modülü : Kesit alanı : Atalet momenti : Yay sabiti : Kiriş Kirişin uzunluğ uzunluğu : Yerel olmayan burulma momenti : Klasik halde burulma momenti : Klasik halde burkulma yükü : Yerel olmayan burkulma yükü : Düzgün yükleme kuvveti : Yerel olmayan kesme kuvveti : Klasik halde kesme kuvveti : Yerel olmayan dikey yerdeğ yerde ğiştirme : Klasik halde dikey yerdeğ yerde ğiştirme : Taş Taşıma matrisi : Yerel olmayan parametre : Klasik gerilme : Klasik halde kayma gerilmesi : Yerel olmayan halde kayma gerilmesi : Eğim : Yerel olmayan dönme : Klasik halde dönme
ix
NANOTEKNOLOJDE NANO ÖLÇEKTEK YAPILARIN YEREL OLMAYAN ELAST STE ÇERÇEVES NDE NCELENMES ÖZET Nanoteknoloji moleküler boyutta fonksiyonel sistemlerin mühendisli ğidir. Ana teması, 1 ile 100 nanometre arasındaki boyutlardaki maddelerin kontrolüdür. Nanoteknolojiye artan ilgi, bir çok sorunun ortaya çıkmasına neden olmu ştur. En önemli sorulardan biri, zamanla geliş geli şen geleneksel teorilerin, nanoteknolojik olguları açıklamakta yeterli olup olmadığ olmadı ğıdır. Bunun gibi benzer sorular malzeme mekaniğ mekani ğinde de ortaya çıkmaktadır. Bu çalı şmanın amaçlarından biri, çok küçük boyutlardaki yapılarda yerel olmayan elastisite teorisinin kullanılmasının klasik elastisite teorisine göre daha avantajlı olduğ oldu ğunu göstermektir. Bu çalış çalışmada, yerel olmayan elastisite çerçevesinde ba şlangıç değ değer yöntemi kullanılarak elastik yarı düzlem üzerinde olan bir çubu ğun gerilme bileş bileşenleri ve yerdeğ yerdeğiştirmeleri hesaplanmış hesaplanmıştır. Kritik şekil değ değiştirmelerde küçük uzunluk ölçeğ ölçeğinin önemini incelemek için yerel olmayan gerilme ve şekil değ değiştirmeler yerel gerilme ve şekil değ değiştirmelerle karş karşılaş ılaştırılmış tırılmıştır. Klasik elastisite teorisi atomik boyutlardaki olguları açıklamakta yetersiz kaldı ğı için nanomalzemelerin yerel modelleri yanıltıcı, yetersiz ve hatalı olabilir. Sonuçlar nanoyapıların mekanik davranış davranı şlarını anlamada yerel olmayan elasitisitenin daha güçlü oldu ğunu ve yerel olmayan etkilerin nanoteknolojide önemli olduğ oldu ğunu göstermektedir. Karbon nanotüpler nanoteknolojik uygulamalarda kulllanılan yapı elemanlarından biridir. Olağ Olağanüstü özellikleri ile moleküler boyutta grafit karbonların içi bo ş silindirik çubukları olarak düş dü şünülebilirler ve bilinen en güçlü ve en sert liflerdir. Bu çalış çalışmada, karbon nanoçubukların burkulması yerel olmayan elastisite çerçevesinde baş başlangıç değ değer yöntemi kullanılarak araş ara ştırılmış tırılmış ve bu yönteminin uygulanabilirliğ uygulanabilirli ği için gerekli olan taş ta şıma matrisi verilmiş verilmiştir. Çeş Çeşitli şekilde desteklenen çubukların burkulma yükleri, katsayılar matrisinin determinantının sıfıra e şitlenmesiyle hesaplanmış hesaplanmıştır. Buna ilaveten değ de ğişken kesitli bir çubuk araş ara ştırılmış tırılmış ve burkulma yükleri baş başlangıç değ değer yöntemi kullanılarak elde edilmiş edilmi ştir. Yöntemin önceliğ önceli ği,
x
yüksek dereceli statik belirsizliklerde problemin çözümüne ekstra bir zorluk eklememesidir. Verilen yöntemde burkulma determinantından elde edilen matris boyutu (2x2)’dir. Eğ E ğer bu probleme geleneksel teknik uygulansaydı, burkulma yükleri (4x4)’lük matristen elde edilirdi. Değ De ğişken kesitli çubuk için burkulma determinantından elde edilen matris boyutu (2x2)’dir. Aynı problemin geleneksel teknik kullanılarak çözümü (8x8)’lik matristen elde edilebilir. Sonuçlar, yerel olmayan
etkilerin
karbon
nanotüplerin
göstermektedir.
xi
burkulmasında
önemli
oldu ğunu
Anahtar Kelimeler: Yerel olmayan elastisite teorisi, nanoteknoloji, kiri ş, taş taşıma matrisi, baş başlangıç değ değer yöntemi
xii
A STUDY OF SMALL SCALE DIMENSIONS OF STRUCTURES STRUCTURES IN NONLOCAL ELASTICITY SUMMARY Nanotechnology is the engineering of functional systems at the molecular scale. The main unifying theme is the control of matter on a scale between 1-100 nanometers. An increasing interest in nanotechnology has caused to raise many questions. One of the most important questions is that whether the conventional theories developed in time are sufficient to analyze the phenomena within the scope of nanotechnology. Similar questions appear in the mechanics of materials. One of the aims of this work is to indicate the advantage of using nonlocal elasticity as opposed to classical one for the structures at very small scale. In this work the stress resultants and displacements in a bar on an elastic half plane are calculated by using the method of initial values within wit hin the framework of nonlocal elasticity. To examine the significance of the small length scales on t he critical strain, the nonlocal stress and strains are compared with the local stres and strains. Since classical elasticity theory theory cannot cannot explain the phenomena at the atomic scale, scale, local modeling of nanomaterials can be inaccurate, inadequate and misleading. The results indicate that nonlocal elasticity has more potential to represent the mechanical behavior of nanostructures and nonlocal effects could be
significant in
nanotechnology. Carbon nanotubes are one of the structural elements that are used in nanotechnological applications. They are figured as hollow cylindrical bars for graphitic carbon at molecular scale with outstanding properties and they are among the stiffest and strongest fibres known. known. In this work, work, the buckling buckling of a bar is investigated by using the method of initial values within the framework of nonlocal elasticity. The principal matrix required for the applicability of the method of initial values is presented. The buckling loads for bars with various kind of supports are found. The buckling loads are obtained by setting the determinant of the coefficient matrix equal to zero. In addition, the bar with cross-section is also investigated and
xiii
the buckling loads are found using the initial values method in this work. A priority of the method is that the high degree of statical indeterminancy adds no extra hardship to the solution of the problem. It is interesting to note that the size of the matrix from which the buckling determinant obtained in the presented method is (2x2). If the conventional technique is applied to this problem the buckling loads are found by the determinant of (4x4) matrix. For the bar with cross-section, the size of the matrix from which buckling determinant obtained is (2x2). The solution of the same problem using conventional technique can be obtained by a (8x8) matrix. The results are used to display that nonlocal effects could be significant in buckling of carbon nanotubes.
Keywords: Nonlocal Elasticity Theory, Nanotechnology, Nanobar, Carry-Over Matrix, Initial Values Method xiv
1. GRŞ VE ÇALIŞMANIN AMACI Çalış Çalışmada, moleküler boyutta olan elemanların belli yükler altındaki davranı şlarını yerel olmayan elastisite çerçevesinde incelemek ve bu boyutlardaki elemanların mekanik davranış davranı şlarını anlamada yerel olmayan etkilerin yerel etkilere göre çok daha üstün olduğ olduğunu göstermek amaçlanmaktadır. amaçlanmaktadır. Birinci bölümde, tezin amacı ve bölümleri ile ilgili kısa bir özet verilmi ştir. kinci bölümde, nanoteknoloji ile ilgili genel bilgiler verilmi ş ve nanoteknolojinin uygulama alanlarından biri olan karbon nanotüplerden bahsedilmi ştir. Üçüncü bölümde; yerel olmayan elastisite teorisi ile ilgili kısa bir literatür taraması yapılmış yapılmıştır. Dördüncü bölümde; tezdeki uygulamalarda kullanılan ba şlangıç değ değerleri yöntemi ve taş ta şıma matrisi açıklanmış açıklanmıştır. Beş Beşinci bölümde; kesmeli eğ e ğilme konusundan kısaca bahsedilmiş bahsedilmi ş ve yerel olmayan teoride dikdörtgen kesitli bir kiri ş için uygulama yapılmış yapılmı ştır. Çalış Çalışmanın altıncı bölümünde; elastik zemine oturan kiriş kirişlerden kısaca bahsedilmiş bahsedilmi ştir. Çalış Çalışmanın yedinci bölümünde; yerel olmayan elastisite çerçevesinde baş ba şlangıç değ değer yöntemi ve taş ta şıma matrisi kullanılarak nano boyuttaki kiriş kirişlerin eğ eğilmesi ile ilgili bir çalış çalışma yapılmış yapılmıştır ve yerel olmayan çubuklar için çeş çe şitli uygulamalar yapılarak konu desteklenmi ştir. Karbon nanoçubuklar çekmeye kar şı son derece dayanıklı ancak basınca kar şı mukavemetleri çok düş düşüktür.
Bu nedenle, nedenle, bu çubukların çubukların basınç basınç etkisi altındaki davranı şlarını
incelemek büyük önem kazandı ğı için çalış çalışmanın sekizinci bölümünde yerel olmayan elastisite çerçevesinde nanoboyutta olan çubukların basınç etkisi altındaki burkulması araş araştırılmış tırılmıştır. Baş Başlangıç değ değer yöntemi ve taş ta şıma matrisi kullanılarak hem doğ doğru eksenli hem de değ de ğişken kesitli çubuklar için çeş çe şitli uygulamalar yapılmış yapılmış, hem klasik hem de yerel olmayan teoride burkulma yükleri hesaplanmı ş ve sonuçlar karş karşılaş ılaştırılmış tırılmıştır. Burkulma hesaplarının daha sistematik yapılabilmesi için çubuk rijitlik matrisleri verilmiş verilmi ştir. Elde edilen sonuçlar karbon nanotüplerin burkulmasında yerel olmayan etkilerin önemli oldu ğunu göstermiş göstermiştir. Bu bölümün European Journal of Mechanics A/Solids scitation indexli dergide yayımlanması kabul edilmiş edilmiştir.
1
2. NANOTEKNOLOJ 2.1 Nanoteknolojinin Tanımı Nanoteknoloji, fizik, kimya, biyoloji gibi fen bilimleri dallarıyla, elektronik, endüstri, mekanik, uzay, bilgisayar, inş in şaat, malzeme gibi bir çok mühendislik dallarını birleş birleştiren, tüm disiplinleri kendi alanlarında moleküler düzeyde dü şünmeye, tanıyıp anlamaya, tasarlamaya ve bunları ürüne dönü ştürmeye yönlendiren disiplinler arası bir bilim dalıdır [1,2]. Bu teknoloji, bilinen bütün teknolojilere kıyasla çok daha fazla temel bilime ve kuramsal araş ara ştırmalara gereksinim duymaktadır [3]. Nanoteknoloji, atomlar ve moleküller moleküller seviyesinde 1 ile 100 nm boyut skalasında skalasında çalış çalışarak, geliş geli şmiş miş ve tamamen yeni fiziksel, kimyasal, biyolojik özelliklere sahip yapılar elde edilmesine imkân sağ sa ğlamaktadır. Bu teknoloji sayesinde, bu boyutlardaki yapıların, malzeme ve sistemlerin anla şılması kontrolü ve atomsal seviyede değ de ğiştirilip iş işlenmesi sonucunda ortaya çıkan de ğişik özellikleri kullanarak yeni teknolojik nano ölçekte aygıtların, malzemelerin, sistemlerin üretilmesi ve bu aygıtların günlük hayatımızda kullanılır hale getirilmesi mümkün olmu ştur. Atomsal düzeyde mühendislik olan nanoteknoloji, nanometre (nm) ölçü birimini kullanır. Nano, bilim alanında metrenin milyarda biri anlamına gelen bir ölçü birimi olup, bu ölçü birimi “nanometre” (kısaca nm) olarak tanımlanır. nm =
m‘dir.
Bütün maddeler atomlardan oluş olu şmuş muştur ve özelliklerini de atomlarının diziliş dizili şlerinden alırlar. Maddeleri birbirlerinden farklı kılan şey; en küçük birim olan atomların diziliş dizilişlerindeki çeş çeşitliliktir. Atomlar veya molekülleri tek tek alıp hassas şekilde birleş birleştirerek istenen her türlü ürünü elde ederek atomları hareket ettirebilecek boyutlarda aletler geliş geli ştirilebildiğ tirilebildiği takdirde, doğ do ğadaki atomik dizilim taklit edilerek herş herşey kopyalanabilir. Atomları hareket ettirebilecek bir teknoloji de bu çe şitliliğ itliliğe bir ölçüde ulaş ulaşabilir. Örneğ Örneğin, kömür moleküllerindeki moleküllerindeki atomları düzenleyebilirsek düzenleyebilirsek aynı moleküllerin farklı bir dizilimi olan elması elde edebiliriz.
2
Nanoteknolojiyi uygulanabilir kılan şey, atomların yapısı ve aralarındaki mükemmel organizasyon özelliğ özelli ği olduğ olduğundan, atomların yapısının ve davranı ş biçimlerinin çok iyi bilinmesi gerekir: “Örneğ “Örneğin, külçe altın oda sıcaklı ğında tepkimeye girmezken, 3-5 nanometre boyutlarındaki altın parçacıkları, pek çok tepkimeyi tetikleyebiliyor. Nanoaltınların bu özelliğ özelliğini keş keşfeden bir Japon firması, bunlardan tuvaletlerde kullanılmak üzere "koku yiyiciler" geliş geli ştirmiş tirmiş. Malzemelerin nanoölçeklerde kazandıkları de ğişik özellikler, bunlara giderek artan bir endüstriyel de ğer kazandırıyor. Bazı şirketler, sıradan plastiğ plastiğin üzerine nanoölçekli çubuklar yerle ştirerek malzemenin gücünü ve darbeye direncini güçlendirmeye çalı çalışşıyorlar. Askeri laboratuvarlar, anthrax gibi biyolojik silahları belirleyen nanoölçekli sondalar geli ştiriyorlar. Ve bir-iki nanometre çapında, kamış kamı ş biçimli moleküller olan karbon nanotüpler, biçimlerine bağ bağlı olarak elektriğ elektriği metal ya da yarı iletken özellikte ta şıyabiliyorlar ve daha şimdiden transistör ve diyot gibi elektrik malzemelerinde yaygın kullanım kazanmı ş bulunuyorlar”. Nanoteknoloji, benzeri görülmemiş görülmemi ş özelliklerdeki yeni aygıtları üretmek için atomların ve moleküllerin bilinen özelliklerini kullanır. E ğer bilim adamları bağ ba ğımsız atomları ve molekülleri bir yapılanmada belli ölçülerde ve sürede bir araya getirebilirlerse, bu buluş bulu ş "programlanabilir kendinden inş in şâ ve türeyen makineler çağ çağı"nın baş başlangıcı olacaktır. Malzemenin büyüklüğ büyüklü ğü nanometre ölçütlerine inince, kuantum davranı şlar bilinen klasik davranış davranışların yerini almakta, üretilen yeni malzemeler klasik metodlar ile elde edilen makro boyutlardaki malzemelere kıyasla daha önce görülmeyen yeni üstün fiziksel, kimyasal veya biyolojik özelliklere sahip olmaktadırlar. Nanometre boyutlarına inen malzeme daha i şlevsel, daha mukavemetli olabilmekte, kimyasal ve fiziksel özellikleri, yapının büyüklüğ büyüklü ğüne ve atom yapısının ayrıntılarına, dı şarıdan sisteme bağ bağlanan yabancı bir atomun cinsine ve yerine göre çok farklı ve ola ğanüstü davranış davranı şlar sergilemekte, malzemeler daha kuvvetli, alabildi ğine esnek, çok daha hafif veya daha farklı şekillerde ısı ve elektrik iletme özelliklerine sahip olabilmekte, magnetik ve optik özelliklerinde önemli ölçüde artma veya azalma olabilmekte ve hatta renkleri bile değ de ğişebilmektedir. (Altının, nano boyutlara indikçe renginin mavi veya kırmızı olması gibi). Mevcut nanoyapıya yabancı bir atomun yapı şması, o
3
yapının elektronik özelliklerini, örneğ örne ğin elektrik iletkenliğ iletkenliğini farkedilebilir şekilde değ değiştirmektedir. Bu yabancı bir atom geçi ş elementi olduğ olduğunda yapış yapı ştığ tığı bir nanoyapıya manyetik özellikler kazandırabilmektedir. Kısaca, bir nanoyapının fiziksel özellikleri, bağ bağ yapısı ve dolayısı ile mukavemeti onun büyüklü ğüne ve boyutuna bağ ba ğlı olarak önemli değ değişimler gösterebilmektedir [3]. Böylece üretilen nanoteknolojik malzemelerin daha dayanıklı, daha dü şük hata seviyeli, daha hafif ve daha hassas özelliklerle donatılmış donatılmı ş olması günümüzde nanoteknolojiyi ilgi oda ğı haline getirmiş getirmiştir.
2.1.1 Farklı büyüklüklerin büyüklüklerin kar şılaştırılması 1 nanometre, metrenin milyarda biridir. Nanoteknoloji ise nanometre boyutlarında sistemlerin tasarımını, üretim ve uygulamasını düzenleyen yöntemlerdir. Karıncanın baş başının geniş genişliğ liği bir milyon nanometre, insan saç telinin kalınlığ kalınlı ğı yaklaş yaklaşık 100.000 nanometre, biyolojik hücrelerin çapı bin nanometre, 10 tane yan yana konmu ş hidrojen atomu 1 nanometre, DNA molekülleri yakla şık 2.5 nanometre, atomların çapları nanometrenin onda biridir ( Şekil 2.1).
Karınca başı genişliği 1.000.000 nanometre
Saç teli kalınlığı 100.000 nanometre
DNA molekülü 2.5 nanometre
Şekil 2.1: Farklı büyüklüklerin karşılaştırılması
2.2 Nanobilim ve Nanoteknolojinin Kronolojik Geli şimi Nanoteknolojinin geliş geli şim sürecini şöyle özetleyebiliriz: [4,5,6]
1959: Nobel fizik ödüllü Richard Feynman’ın malzeme ve cihazların moleküler boyutlarda üretilmesi ile baş ba şarılabilecekler üzerine verdiğ verdi ği ünlü konferansıyla nanoteknoloji vizyonu ortaya çıkmış çıkmı ştır. Richard Feynman, “There is a Plenty of Room at the Bottom” adlı konferansında, “Eğ “Eğer moleküler düzeyde malzemeler ve cihazlar yapılabilirse bu, yeni bulu şların
4
kaynağ kayna ğı olacaktır” diye seslenmiş seslenmi ş, minyatürize edilmiş edilmi ş yeni aygıtlarla nano yapıların yönetilebileceğ yönetilebileceğinin, ölçülebileceğ ölçülebilece ğinin ve yeni amaçlar do ğrultusunda kullanmanın mümkün olabileceğ olabilece ğinin altını çizmiş çizmiştir.
1974: Aviram ve Seiden ilk moleküler elektronik aygıt için patent almı ştır. 1981: Araş Araştırmacıların daha küçük boyutlarda çalı şmaya baş başlamasıyla, boyutlar küçüldüğ küçüldüğü için yapılan çalış çalı şmaları izlemek zorlaş zorla şmış mıştır. Buradan doğ do ğan ihtiyaçla, G.K.Binnig ve H. Rohrer atomları tek tek görüntüleyebilmek için “Scanning Tunneling Microspcope”(STM) adlı mikroskobu icat etmi şlerdir. Taramalı tünelleme mikroskobunun keş ke şfi, yüzeyde bulunan atomların ve moleküllerin gözlenmesine, atomsal düzeyde tepkimelerin izlenmesine olanak tanımı ştır.
1985: R.Curl Hr., H. Kroto ve R. Smalley C 60 ’molekülünü ke keşfetmiş fetmişlerdir. 1986: G.K.Binning, C.F. Quate ve C.Gerber nanoyapıların ölçüm ve manipulasyonu için gerekli olan araçlardan biri olan ve STM mikroskobunun bir türevi olan “Atomic Force Microscope” (AFM)’u icat etmiş etmi şlerdir. Paralelindeki geliş geli şmelerle, artık bilgisayarların kapasitelerinin geliş geli şmesiyle birlikte nano boyutlarda malzemelerin davranı şları kolayca simüle edilebilmektedir. Bu yeni araç ve teknikler, bilimsel çevrelerdeki bir çok bilim adamının, boyutu 100 nm’nin altında olan yapılar üzerine yeni fenomenler ke şfetmek için çeş çe şitli nanoyapıları analiz etmeye baş ba şlamasını sağ sağlamış lamıştır. Ayrıca 1986’da 1986’da K.E. Drexler “Engines “Engines of Creation” Creation” adlı kitabını yayınlamı yayınlamı ştır. Bu kitap, moleküler nanoteknoloji fikrini ortaya çıkarmı ştır. Kaliforniya'daki Foresight Enstitüsü baş başkanı Dr. Eric Drexler, Massachusetts Teknoloji Enstitüsü‘ndeki (MIT) eğitimi sırasında biyolojik sistemlerden esinlenerek molekülsel makineler yapılabileceğ yapılabileceğini öneren ve nanoteknoloji kelimesini ilk kez ortaya çıkaran bilim adamıdır.
1987: letkenliğ letkenliğin kuantum özelliğ özelli ği ilk defa gözlenmiş gözlenmi ştir. 1988: W. De Grado ve ekibi ilk defa tek elektron transistörü yapmı şlardır. 1989: IBM (Zurich)’de Xe atomundan IBM yazısını yazmı ştır. IBM 1993 yılında 14 nanometre uzunluğ uzunlu ğunda bir bakır temel üzerine demir atomlarını eliptik bir biçimde dizmiş dizmiştir. Bu düzenek 1 ve 0’ları temsil eden atomlar sayesinde bilgi saklayabilme
5
özelliğ özelliğine sahipti. IBM’in ‘kuantum havuz’ olarak adlandırılan bu bulu şu, bilinen en eski bilgi taş taşıyıcı nano-yapılardan biri olan nezle virüsünden çok az daha küçüktür.
ekil 2.2: Xe atomundan IBM azısı (Şekil 2.2)’de, IBM’in Almaden Araş Ara ştırma Merkezi’nde, mikroskobik bakır bir plaka üzerine 35 tane karbonmonoksit molekülünün yan yana dizilmesiyle olu şturulan yazı görülmektedir. Yüksekliğ Yüksekli ği milimetrenin 250 binde biri, geniş geni şliğ liği ise 333 binde biri kadardır. Bir saç telinin kalınlığ kalınlı ğı kadar bir alana bunun gibi 250 milyon tane yazılı plaka yerleş yerleştirilebildiğ tirilebildiği düş düşünülürse, bu bize yazının büyüklü ğü hakkında bir fikir verebilir.
1990: Rice Üniversitesinde Richard Smalley öncülüğ öncülü ğündeki araş araştırmacılar, 60 karbon atomunun simetrik biçimde sıralanmasıyla elde edilen futbol topu şeklindeki “fullerene” moleküllerini geliş geli ştirmiş tirmişlerdir. Elde edilen molekül 1 nanometre büyüklüğ büyüklüğünde olup, çelikten daha güçlü, plastikten daha hafif, elektrik ve ısı geçirgenliğ geçirgenliğine sahip bir yapıydı. Yaptıkları bu çalış çalı şmayla 1996 yılında Nobel Kimya ödülünü almış almı şlardır.
1991: Japon NEC firması araş ara ştırmacılarından biri olan Sumio Iijima çok duvarlı karbon nanotüpleri keş ke şfetmiş fetmiştir. Bu nanotüpler, fullerene molekülünün esnetilmi ş bir şekli olup benzer şekilde önemli özelliklere sahipti. Çelikten 100 kat daha güçlü ve ağırlığ ırlığı ise çelik’in ağ a ğırlığ ırlığının 6’da 1’i kadardı.
1992: Erix Drexler, “Nanosystems:Molecular Machinery, Manufacturing, and Computation” adlı kitabını yayımlamış yayımlamıştır. Bu kitapta kitapta genel kavram kavram ve düş dü şüncelerini detaylı analiz ve tasarımlar ile ayrıntılı olarak anlatmı ştır.
1993: Iijima ve Bethune tek duvarlı karbon nanotüpleri ke şfetmiş fetmişlerdir. Ayrıca 1993 yılında ABD’deki Rice Üniversitesinde ilk “nanoteknoloji” laboratuvarı laboratuvarı kurulmu ştur.
6
1997: N.Seeman ilk defa DNA molekülünü kullanarak nanomekanik aygıt yapmı ştır. Ayrıca 1997’de ilk defa nanotüp kullanılarak elektrik akımı ölçülmü ştür.
1998: C. Dekker ve ekibi TUBEFET yapmış yapmı şlardır. 1999: M.Reed ve J.M.Tour ilk defa tek organik molekül ile elektronik anahtar yapmış yapmışlardır. Ayrıca, 1999 yılında ABD’de Bill Clinton, nanoteknoloji alanında yürütülen araş araştırma, geliş geliştirme ve ticarileş ticarileştirme faaliyetlerinin hızını artırma amacını taş taşıyan ilk resmi hükümet programını, Ulusal Nanoteknoloji Adımını (National Nanotechnology Nanotechnology Initiative) baş ba şlatmış latmıştır.
2000: ABD ilk defa nanoteknoloji araş ara ştırmaları için 422 milyon mil yon $ kaynak ayırmış ayırmı ştır. 2001: lk defa nanotüplerden transistör ve mantık devreleri yapılmı ştır. Ayrıca 2001 yılında Avrupa birliğ birli ği, çerçeve programına nanoteknoloji çalı şmalarını öncelikli alan olarak dahil etmiş etmi ştir. Japonya, Tayvan, Singapur, Çin, srail ve sviçre benzer programlar baş başlatarak 21. yüzyılın ilk küresel teknoloji yarış yarı şında önlerde yer almak için çalış çalışmalarına hız vermiş vermi şlerdir. Ayrıca 2001’de ZnO nanotel lazeri yapılmış yapılmı ştır.
2002: Superörgü nanoteller yapılmış yapılmı ştır. 2005: Rice Üniversitesi araş araştırmacıları ilk defa dört tekerlekli nanoaraba modelini hareket ettirmiş ettirmiştir.(Ş tir.(Şekil 2.3)
Şekil 2.3 : Motorize bir nanoaraba
Arabanın boyutu (3nm x 4nm) yani bir DNA satırı geni şliğ liğinde olup, bu nano arabalardan 20.000 tanesini yan yana yana parkedince bir insan saç telinin kalınlı ğına ulaş ulaşılır. Iş Işıkla çalış çalışan nano arabanın atomları bir araya getirilip moleküler akslar, dingiller yapılarak güç aktarım sistemi inş in şa edilmiş edilmiş, sonra da atomsal boyuttaki tekerlekleri ile, sürüklenerek değ de ğil, tekerlekleri de dönerek yüzey üzerinde hareket ettirilmiş ettirilmiştir. 7
Nanoteknoloji yediğ yedi ğimiz gıda ürünlerinden, giydiğ giydi ğimiz kıyafetlere, kullandığ kullandı ğımız ilaçlardan, bilgisayarlarımızın gücüne, sürdüğ sürdü ğümüz otomobillerden, yaş ya şadığ adığımız evlere kadar hayatımızın her noktasını etkileyecek olan 21. yüzyılın endüstriyel devrimi olarak hızlı bir şekilde biçimlenmektedir.
2.3 Nanoteknolojinin Amaçları 1) Nanometre ölçekli yapıların analizi 2) Nanometre boyutunda yapıların fiziksel özelliklerinin anla şılması 3) Nanometre ölçekli yapıların imalatı 4) Nano hassasiyetli cihazların geliş geli ştirilmesi 5) Nano ölçekli cihazların geliş geli ştirilmesi
2.4 Nanoteknolojinin Avantajları Nanoteknolojinin önemi, atomlar ve moleküller seviyesinde (1-100 nm) boyut skalasında çalış çalı şarak, geliş gelişmiş miş ve/veya tamamen yeni fiziksel, kimyasal, biyolojik özelliklere sahip yapılar elde edilmesine imkan sağ sa ğlamasından kaynaklanmaktadır. Teknik açıdan açıklamak gerekirse malzeme özellikleri ve cihazların çalı şma prensipleri, genel olarak 100 nm’den büyük boyutları temel alarak yapılan varsayımların sonucunda ortaya çıkarılmış çıkarılmı ş geleneksel modelleme ve teorilere dayanmaktadır. Kritik uzunluklar 100 nm’nin altına indi ğinde ise geleneksel teori ve modeller, ortaya çıkan özellikleri açıklamakta ço ğu zaman yetersiz kalmaktadır. Nanoteknoloji iş i şte burada devreye girmektedir. Daha sa ğlam, daha kaliteli, daha uzun ömürlü ve daha ucuz, daha hafif, daha küçük cihazlar geli ştirme isteğ isteği bir çok iş iş kolunda gözlenen eğ e ğilimlerdir. Minyatürizasyon olarak tanımlanabilecek bu e ğilim bir çok mühendislik çalış çalı şmasının temelini oluş oluşturmaktadır. Minyatürizasyonun sadece kullanılan parçaların daha az yer kaplamasından çok daha önemli getirileri vardır. Minyatürizasyon üretimde daha az malzeme, daha az enerji, daha ucuz ve kolay nakliye, daha çok fonksiyon ve kullanımda kolaylık olarak uygulamada kendini göstermektedir. 20. yüzyılın ikinci yarısından itibaren bir çok endüstride kullanılan toleranslar sürekli iyileş iyileştirilmiş tirilmiş, üstün kalite anlayış anlayı şı geliş geliştirilmiş tirilmiştir. Mikroteknoloji ürünü olarak
8
tanımlayabileceğ tanımlayabileceğimiz parçalar otomobil, elektronik, iletiş ileti şim gibi sektörlerde yaygın olarak kullanılır olmuş olmuştur. Nanoteknoloji sayesinde sanayide, biliş bili şim teknolojilerinde, sağ sa ğlık sektöründe ve daha bir çok alanda yeni ürünler geli ştirilecek, günümüzün üretim süreçleri ve yöntemleri değ değişecektir.
2.5 Nanoteknolojiyi Elde Etme Yöntemleri Nanoyapıların elde edilmesinde iki ana yöntem bulunmaktadır. A şağıdan yukarıya “bottom-up” ve yukarıdan aş a şağıya “top down” olarak adlandırılan bu iki yakla şımı şu şekilde özetleyebiliriz:
1-Bottom-up: Aşağıdan yukarıya yaklaş yakla şımı (küçükten büyüğ büyü ğe), moleküler nanoteknoloji olarak tanımlanabilir. Bu yakla şım, organik veya inorganik yapıları, maddenin en temel birimi olan atomlardan ba şlayarak atom atom, molekül molekül inş inşâ edilmesi yöntemini ifade eder.
2-Top-down: Yukarıdan aş aşağıya yaklaş yaklaşımı (büyükten küçüğ küçü ğe), makineler, asitler ve benzeri mekanik ve kimyasal yöntemler kullanılarak nano yapıların fabrikasyonu ve imâl edilmesi yöntemlerini ifade eder. Teknolojinin bugünkü seviyesi nedeni ile yapılan çalı şmaların bir çoğ ço ğu yukarıdan aşağıya (top-down) klasmanında değ de ğerlendirilir.
2.6 Nanoteknolojinin Gelecekteki Uygulama Alanları Nanoteknolojinin gelecekteki gelecekteki potansiyel uygulama u ygulama alanlarının birkaçını özetleyelim: [4,5]
2.6.1 Malzeme ve imalat imalat sektörü Nanoölçekte iş i şlevi olan malzeme ve aygıtların makroskobik boyutlardaki malzeme içine yerleş yerleştirilmesi ile hatasız, çok miktarda üretim yapabilmek için yeni yöntemler geliş geliştirilmesi; klasik metodlar ile elde edilen malzemelere oranla daha sa ğlam ve hafif maddelerin elde edilmesi için malzemelerin atomik ve moleküler boyutlardan baş başlayarak üretilmesi; sonradan iş i şlenmeye ihtiyaç duyulmadan tam istendi ği şekli ile nanoyapıda
metal,
seramik,
polimer
malzemeler
üretilmesi;
nanoölçekte
parçacıklardan yapılmış yapılmı ş boya ve boyar maddeler kullanılarak geli ştirilmiş tirilmiş baskı 9
yöntemleri; benzersiz ve alış alı şılmamış ılmamış özellikleri ile nanotüpler, elyaflar, lifler ve kaplama malzemeleri üretimi; nanoölçekte kaplama yapılmı ş kesme aletleri, elektronik, kimyasal uygulamalar; nanoölçekte yeni ölçüm standartları geli ştirilmesi; üretim safhasında daha az enerji harcanmasını sağ sa ğlayacak ve atık malzeme üretilmemesini sağ sağlayacak yöntemlerin geliş geli ştirilmesi; düş düşük maliyetli üretim yöntemleri geliş geliştirilmesi nanoimalatın potansiyel uygulama alanlarına örnek olarak verilebilir.
2.6.2 Nanoelektronik ve bilgisayar teknolojileri Bilgisayarların mimari tasarımlarını geliş geliştirmek için daha az enerji ile çalı şan nanoölçekte elektronik devre elemanlarının üretilmesi; nanoölçekte bilgi depolama elemanları üretilmesi; ebatları küçük, hızları ve kapasiteleri büyük, daha az enerji harcayan nanometre nanometre ölçeklerinde elektronik araçlar üretilmesi; elektronik araçlar için sensör, gösterge sistemleri ve sinyal üretilmesi potansiyel uygulama alanlarına örnek olarak verilebilir.
2.6.3 Tıp ve sa ğlık sektörü Canlıların yapıtaş yapıtaşı olan hücreler nanometre ölçeğ ölçe ğindeki moleküllerden oluş olu şur. Ebatları ve kıvrımları ile, diziliş dizili şleri ile belirli özellikleri olan proteinler, nükleik asitler, lipitler, karbonhidratlar nanoölçekteki malzemelere örnek olarak sayılabilir. Nanoteknolojinin doğ do ğadaki iş işlevsel karş karşılığ ılığı hücre olduğ oldu ğundan dolayı bu teknoloji, yaş yaşayan sistemlere moleküler seviyelerde müdahele etme imkânı yaratabilir. Yaş Yaşayan organizmalar ile etkileş etkile şime geçebilecek boyutlarda araçlar üretilmesi ile bir çok yeni teş teşhis ve tedavi yöntemlerinin geliş geli ştirilmesi mümkündür. Gen alanında hem teş te şhiste hem de tedavide yeni yöntemler geli ştirilmesi ve bu alanda daha hızlı çalış çalı şmalar yapılabilmesi için nanoölçekteki aygıtların üretilmesi; bilgisayar modelleme çalış çalı şmaları ile makro moleküllerin davranış davranı şları incelenerek yeni ilaç tasarımlarının yapılması ve suni organ yedekleyebilmek için yeni biyolojik malzemelerin üretiminin gerçekleş gerçekle ştirilmesi; daha hassas sonuçlar alabilmek için vücut içerisine yerleş yerleştirilebilen muhtelif ölçüm cihazları; insan vücudu içinde hareket edilmesine imkân sağ sa ğlayan teş teşhis araçları; sadece hastalı ğın bulunduğ bulunduğu ve/veya yayıldığ yayıldığı bölgelere saldırarak ilaç veren makineler; görme ve duyma i şlevlerinde yeni geliş gelişmeler sağ sağlayacak araçlar; tehlikeli hastalıkları önceden haber veren algılayıcı sistemler potansiyel uygulama alanlarına örnek olarak verilebilir. Yakın 10
sürede beklenen en önemli geli şme, nanoölçekte malzemelerin nasıl kendi kendini ürettiğ ürettiğinin anlaş anlaşılmasıyla “self-assembly” proteinlerin ve çeş çe şitli organik maddelerin üretim şeklinin kopyalanabilmesidir.
2.6.4 Havacılık ve uzay ara ştırmaları Az enerji gerektiren, radyasyona karş kar şı dayanıklı, yüksek verimli bilgisayarların yapımı; mikro ölçekteki uzay araçlarında kullanılabilecek nano ölçekte aletler; nanoyapılı algılayıcılar ve nanoelektronik ile desteklenen uçu ş sistemleri yapımı; ısıya dayanıklı nanoyapılı kaplama malzemeleri; roket ve uzay istasyonlarının yapımında, havacılık ve uzay araçlarının üretiminde maliyeti dü şürmek için nanoyapılı malzeme kullanımını potansiyel uygulama alanlarına örnek olarak verebiliriz. Ayrıca çekme direnci çelikten kat kat yüksek nanotüpler sayesinde dünya yüzeyinden atmosfere kadar yükselebilecek yapılar in şâ edilmesi potansiyel uygulama alanları içinde yer alabilir. Böylece fırlatma maliyetleri dü şürülebilir.
2.6.5 Çevre ve enerji Enerjinin verimli kullanılması, depolanması ve üretilmesinde nanoteknolojinin önemli etkileri vardır. Potansiyel uygulama alanlarının en önemlilerinden biri, temiz enerji kaynağ kayna ğı olarak kabul edilen hidrojen gazını depolama i şine nanoölçekte çözüm aranmasıdır. Ayrıca çevre sorunlarının gözlenmesinde ve giderilmesinde kullanılabilir, çe şitli kaynaklardan gelen atıklar önlenebilir, daha az atık yapan üretim sistemleri geliş geliştirilebilir. Temiz su elde edilmesinde nanolifler kullanılabilir. Nano malzemelerin ve nano kompozitlerin fosil yakıt endüstrilerinin verimlili ğini geliş geliştirme potansiyeli bulunmaktadır. Nano kompozitlerin yaygın olarak kullanılması ile daha yüksek verimliliğ verimlili ğe sahip motorların ve dolayısı ile daha temiz, çevre dostu ulaş ulaşım sistemlerinin kurulması mümkün olacaktır.
2.6.6 Bioteknoloji ve tarım Üretilen bioteknolojik ürünler tıp, ilaç ve tarım sektörlerinde kullanılabilecektir. Biyolojik yapıtaş yapıtaşlarının suni malzemelerin ve aygıtların içine yerleş yerle ştirilmesiyle biyolojik iş işleve ve baş başka üstün özelliklere sahip malzemelerin üretilmesi; bitkileri
11
böceklere karş kar şı korumak için moleküler seviyede kimyasalların geli ştirilmesi; gübreler, daha besleyici ve hastalık direnci yüksek bitkiler üretilmesi; hayvanlar için ilaçların üretilmesi; Dna testleri için nanoölçekte kontrol yöntemlerinin geli ştirilmesi potansiyel uygulama alanlarına örnek olarak verilebilir. Bugün bile bitki ve hayvan genlerinin düzenlenmesi ile ortaya çıkartılmı ş olan bazı ticari ürünlere rastlamak mümkündür.
2.6.7 Savunma sektörü Nanoelektronik Nanoelektronik yardımıyla haberleş haberle şme araçlarının üretilmesi ve çok karmaş karma şık eğ eğitim sistemleri yapılması; daha az insan gücünün kullanılması için robot sistemlerinin üretimi; zararlı gazların ve radyoaktif serpintilerin tespit edilebilmesi için nano algılayıcılar üretilmesi; nükleer savunma sistemlerinin kontrol edilebilmesi için nano ve mikro mekanik aygıtların birleş birle ştirilmesi; daha iyi silah sistemleri üretilmesi; geliş geliştirilmiş tirilmiş kamuflaj ve akıllı giyecekler üretilmesi; elektronik sava ş kapasitesi geliş geliştirilmesi bir çok ar-ge çalış çalışmasının gerçekleş gerçekleştirildiğ tirildiği alanlardır.
2.6.8 Nanoteknoloji ile ili şkili potansiyel hükümet uygulamaları Ulaş Ulaşımda daha hafif ve güvenli ekipman ( Ula ştırma Bakanlığ Bakanlığı ) Kirliliğ Kirliliğin ölçüm, kontrol ve yok edilmesi ( Çevre Koruma ) Daha çok ve verimli adli araş ara ştırma ( Adalet Bakanlığ Bakanlı ğı ) Baskı ve kabartma teknolojisinde yüksek kalite, sahte s ahte para ve döküman olmasına engel teknolojiler ( Dökümantasyon )
2.6.9 Bilim ve eğitim Nanoyapı teknolojisi; fizik, kimya, biyoloji gibi temel bilimler ile malzeme, elektronik, makina, bilgisayar mühendisliğ mühendisli ği gibi uygulamalı bilimlerin iş i şbirliğ birliği içinde çalış çalışmalarını gerektiren disiplinlerarası bir alandır. Eğ E ğitim programlarının bu geliş gelişmeye uygun olarak düzenlenmesi gerekir.
2.7 Nanobilim ve Nanoteknoloji Açısından Karbon Karbon elementi canlıların temel taş ta şıdır. Bütün canlıların karbon esaslı hayatı olduğ olduğundan ve organik maddelerde karbon vazgeçilmez oldu ğundan nanoteknoloji açısından da karbon atomu çok önemlidir ve nanoteknolojinin geli şmesine çok
12
önemli katkılar sağ sa ğlar. Nanoteknolojide önemli iki unsur vardır. Bunlardan biri uygun malzeme ve diğ di ğeri ise onu iş i şleyebilecek teknik düzenektir. Karbon bu bakımdan da rakipsizdir. Nanobilimde atılan ilk adım, 1985 yılında
C 60
molekülünün deneysel olarak ilk defa elde edilmesidir. C60 molekülü, 60 tan tane karbon atomunun futbol topu şeklinde bir kafes yapısı halini alarak olu şturduğ turduğu moleküldür. (Ş (Şekil 2.4)
Şekil 2.4: C 60 molekülü Karbon atomlarından oluş olu şan malzemeler karbon atomlarının kendi aralarındaki bağ bağlanma geometrisine göre çok farklı fiziksel ve kimyasal özellikler gösterirler. Karbon atomunun böyle bir özellliğ özellli ğe sahip olmasının sebebi, 6 tane elektronunun olmasıdır. Karbon atomu 6 elektronu ile periyodik tabloda IV. grup elementlerinin ilk elemanıdır. Karbon atomunun elektronlarından ilk ikisinin bağ ba ğlanmaya hiç etkisinin olmaması, ayrıca ilk iki elektron ile geri kalan elektronların enerjileri arasındaki farkın da büyük olması karbonun farklı yapılar oluş olu şturabilmesini sağ sağlamaktadır. Bu özelliklerde baş başka bir elementin olmaması karbon atomunu rakipsiz yapmaktadır. Karbon atomları kendi aralarında 3 farklı ba ğlanma özelliğ özelliği gösterirler. Bunlar bağ bağlanmaya dahil olan elektronların karı şımına göre
,
ve
ile ifade edilir.
ile tanımlanan bağ ba ğlamada karbon atomları birbirleri ile doğ do ğrusal geometri oluş oluşturur ve her atomda 2 bağ ba ğ bulunur. Asetilen molekülünü
bu tip
bağ bağlamaya örnek olarak verebiliriz. ile tanımlanan bağ ba ğlamada karbon atomları birbirleri ile üçgen geometri olu şturur ve her atomda 3 bağ ba ğ bulunur. Grafit plakalarını bu tip bağ ba ğlamaya örnek olarak verebiliriz. 13
ile tanımlanan bağ ba ğlamada karbon atomları birbirleri ile piramit bir geometri oluş oluşturur ve her atomda 4 ba ğ bulunur. Elmas kristalini bu tip bağ ba ğlamaya örnek olarak verebiliriz. Buradaki her bir farklı geometrik şekil farklı bir malzeme anlamına gelir. Bu gösterimler aynı zamanda bağ ba ğlanma geometrisini de temsil ederler. (Ş (Şekil 2.5)
doğrusal
üçgen
piramit
ba ğlanma şekilleri Şekil 2.5: Karbon atomlarının bağ Karbon esaslı malzemelerin
,
ve
şeklinde bağ ba ğ yapmaları, aynı zamanda bu
malzemelerin boyutu ile de iliş ili şkilendirilebilir. Karbon periyodik tabloda mevcut elementler içerisinde 0 ( sıfır ) boyuttan 3 ( üç ) boyuta kadar izomerleri olabilen yegâne elementtir. zomer, aynı atom sayısında farklı şekillere sahip olabilen yapılardır. (Ş (Şekil 2.6)
(a)
(b)
(d)
(c)
Şekil 2.6:
(a) grafit (2B) (b) karbon nanotüp (1B) (c) karbonlu elmas (3B) (d) top (0B) yapıları 14
Karbon üç boyutlu (3B) yarıiletken elmas yapıdan iki boyutlu (2B) yarımetalik grafite, bir boyutlu (1B) iletken ve yarıiletken nanotüplere ve sıfır boyutlu (0B) nanotoplara kadar farklı karar yapıları ve birçok ilginç özellikleri olan tek elementtir. Karbonun 1B ve 0B yapıları nanometre mertebesinde oldukları için sistemlere nanotüpler veya nanotoplar denmektedir. Karbon nanoyapıların aslını toplar ve tüpler oluş oluşturmaktadır.
2.8 Karbon Nanoyapılar Nanobilim ve nanoteknoloji dendi ğinde akla ilk gelen karbon nonoyapılardır. Bu yapılar nanometre ölçüsünde sadece karbon atomlarından olu şurlar. Bunlar genellikle toplar, tüpler, çubuklar ve halkalar şeklinde sınıflandırılabilen kafesimsi yapılardır. Nanoteknoloji sürecini baş ba şlatan ilk çalış çalı şma, 1991 yılında karbon nanotüp yapıların elde edilmesi için yapılan deneysel çalış çalı şmadır. Karbon nanotüpler, hem yapısal, hem de mekanik özellikleri açısından nanoölçekteki malzemelere en güzel örneklerden biridir. Karbon nanoyapıların elektronikten tıbbi malzemelere kadar geni ş bir yelpazede uygulama alanı vardır.
2.8.1 Karbon nanotüpler Nanoteknolojide yapılan ilk uygulamalar karbon nanotüp yapısı kullanılarak gerçekleş gerçekleştirilmiş tirilmiştir. Bu alanda öncü element karbon atomu olup, öncü malzeme de karbon esaslı malzemedir. Karbon nanotüplerin çapları nanometre ölçüsündedir, boyları 1 mikrometre kadar olabilmektedir. Nanotüplerin çapları şimdiye kadar yapılabilen en ileri yarı iletken i letken aygıtlardan bile çok daha küçüktür. deal bir nanotüp, düzgün silindir yapmak için yuvarlatılmış yuvarlatılmı ş hegzagonal karbon atom a ğı olarak düş düşünülebilir. 1985 yılında yılında H.W. Kroto, R.E. Smalley (Rice Üniversitesi)’den Üniversitesi)’den oluş olu şan bir grup karbon atomlarını izole etmeyi baş ba şararak, fullerene yapısının tümüyle bilinmesine giden ilk adımları atmış atmı şlardır. Bu çalış çalışmalarında futbol topu şeklinde olan 1 nm çapında çelikten güçlü, plastikten hafif, elektrik ileten molekülleri geliş geliştirerek 1996 yılında da Nobel Ödülü’nün sahibi olmuş olmu şlardır.
15
NEC firması araş araştırmacılarından elektron mikroskobu uzmanı Sumia Iijima, 1991 yılında yaptığ yaptı ğı çalış çalışmasında fullerenlerin ark-buharlaş ark-buharla şması sentezi sırasında katodda biriken malzemeyi araş ara ştırırken karbon nanotüpleri ilk olarak keş ke şfeden bilim adamı olmuş olmuştur. Kısa süre sonra Iijima’nın laboratuvarından Thomas Ebbeson ve Pulickel Ajayan, ark-buharlaş ark-buharla şma koş koşulları değ değiştirilerek daha büyük miktarlarda nanotüplerin nasıl üretileceğ üretileceğini göstermiş göstermişlerdir. Ancak standart ark-buharlaş ark-buharla şma sadece çok katmanlı tüpler üretebilmiş üretebilmi ştir. Yapılan araş araştırmalar sonucunda, grafit elektrotlarına kobalt gibi bazı metallerin eklenmesi ile tek katmanlı mükemmel tüpler elde edilmiş edilmiştir. Iijima, yüksek çözünürlüklü “Geçirmeli Elektron Mikroskobu” (TEM) kullanarak karbon nanotüpleri gözleyince, nanotüpler konusundaki ara ştırmalar yoğ yoğun bir şekilde baş başlamış lamıştır. Tek katmanlı nanotüpler 1993 yılında elde edilmi ştir. 1996 yılında Rice Üniversitesi Araş Araştırma Grubu, tek duvarlı (katmanlı) nanotüp grupları üretmek için daha etkili bir yöntem bularak, çok sayıda karbon nanotüp deneylerinin önünü açtılar. Bu nanotüpler, bir karbonun
deki fırın içinde lazerle buharlaş buharla ştırılması ile elde
edilmiş edilmiştir. Bu yöntem, tek katmanlı nanotüplerin özelliklerini incelemek üzere geliş geliştirilen ilk verimli üretim metodu olmuş olmu ştur. Daha sonra Fransa’da Montpellier Üniversitesinden Catherine Journet, Patrick Bernier ve arkadaş arkada şları dirençli, tek katmanlı nanotüp elde etmek için karbon arkbuharlaş buharlaşma metodunu geliş geli ştirdiler. Ayrıca, iyonize karbon plazmasından Joule ısınmasıyla tek katmanlı nanotüp elde edilmi ştir. Günümüzde bu iki yöntemden türetilmiş türetilmiş yöntemlerle tek katmanlı nanotüpler üretilmesine rağ ra ğmen, bu alanda en büyük etkiyi Rice Üniversitesi araş ara ştırma grubu yapmış yapmı ştır. Yapılan araş araştırmalar sonucunda bilim adamları, karbon nanotüplerin nano ölçekte bir çok fiziksel, kimyasal, yapısal, elektriksel ve optik özelliklerinin oldu ğunu keş keşfetmiş fetmişlerdir.
2.8.1.1 Karbon nanotüplerin yapısı Karbon nanotüpler tek ya da iç içe geçmi ş, uçları açık ya da kapalı silindirler biçiminde değ değişik çaplarda olabilmektedirler. Grafit tabakalarının sayısına göre iki tür nanotüp vardır. Bunlar: 1) Tek duvarlı (katmanlı) nanotüpler: Tek duvarlı karbon nanotüpler ilginç mekanik ve elektro mekanik özelliklere sahiptirler. Tek-katmanlı nanotüpler temel
16
silindirik yapı olarak düş dü şünülebilirler ve bu da çok katmanlı nanotüplerin temel yapıtaş yapıtaşlarını oluş oluşturur. (Ş (Şekil 2.7-a) 2) Çok duvarlı (katmanlı) nanotüpler: çiçe geçmiş geçmi ş karbon tüplerinden oluş oluşmaktadırlar. Çok duvarlı nanotüplerde iki tüp arasındaki uzaklık, genellikle tüpü oluş oluşturan karbon atomları arasındaki bağ ba ğ uzaklığ uzaklığından fazladır. (Ş ( Şekil 2.7-b)
Şekil 2.7 : (a): Tek duvarlı nanotüpler (b): Çok duvarlı nanotüpler
Grafit plakalarının kıvrılma yönüne göre tüpler ya zikzak yapıda olur, ya da koltuk yapıda olur. Ayrıca her iki yapıdan birinin biraz bükülmesi ile bükük yapıda tüpler olabilmektedir.(Ş olabilmektedir.(Şekil 2.8), (Ş (Şekil 2.9)
Şekil 2.8: (a) Koltuk tüp yapısı (b) Zikzak Zikzak tüp yapısı (c) Bükük tüp yapısı
17
Zik-zak nanotüp modeli (b) Koltuk nanotüp modeli modeli Şekil 2.9: (a) Zik-zak
Bu yapı çeş çeşitliliğ itliliği sayesinde tüpler birbirinden farklı değ de ğişik mekanik ve elektronik özellikler gösterirler. Koltuk modeli metal özelliğ özelli ği gösterirken, zikzak modeli yarı iletken özelliğ özelliği göstermektedir. Zikzak modelde tüpün çevresindeki halka sayısı üçün katları ise metal özelliğ özelli ği göstermektedir. Düzgün karbon nanotüp yapılarda atomlar birbirleri ile grafit plakalarda oldu ğu gibi ba ğlanır. Atomlar sadece altıgen geometri oluş olu ştururlar. Her atomun şeklinde bağ sadece 3 komş kom şusu vardır.
2.8.1.2 Karbon nanotüplerin özellikleri Karbon nanotüplerin ağ a ğırlıklarının çok hafif olması, yüksek elastisite modülü ve gözüken en dayanıklı lif olma ihtimali önemli özelliklerindendir. Nanotüpler, yapılarındaki değ değişikliğ ikliğe (chirality) bağ ba ğlı olarak metalik ya da yarı iletken özellik gösterebilmekte ayrıca elastik/plastik yapı deformasyonları ile elektronik özellikleri değ değiştirilebilmektedir. Bu özellikleri ile karbon nanotüpler yüksek bir teknolojik potansiyele sahiptirler. Nanotüpler, tüp ekseni yönünde çekilmeye kar şı çok sağ sağlamdırlar ve hasar görmeden mukavemet gösterebilirler. Küçük çaplı (yakla şık 1-2 nanometre) tüplerden oluş oluşturulmuş turulmuş bir demeti koparabilmek için uygulanan çekme kuvvetinin büyüklü ğü yaklaş yaklaşık 36 gigapaskal ölçüsündedir. Bu, bilinen en sa ğlam malzemelerden daha sağ sağlam bir yapı özelliğ özelli ği gösterir. Nanotüp lifler, gerilmeye karş kar şı en sağ sağlam malzemelerdir.
18
Karbon nanotüplerin yarıiletken teknolojisinde kullanılmaya ba şlaması elektronik aygıt yapımında çok büyük bir atılım yapılmasını sa ğlayacaktır. Çünkü nanotüplerin çok özel elektronik özellikleri vardır. Laboratuvar deneylerinde tek duvarlı küçük çaplı karbon nanotüplerin gerilme mukavemeti 45.000 Mpa olarak belirlenmi ştir. Bir fikir vermesi açısından belirtmek gerekirse, en sağ sa ğlam çelik alaş alaşımları bile 2 Mpa’da kopar. Üstelik karbon nanotüpler düğ düğüm yapılabilecek kadar esnektirler. Gelecekte karbon nanotüp demetleriyle yapılan karbon nanotüp lifler, üstün dayanımları ve esneklikleri ile süper malzemeler olacaklardır. Bu liflerle dokunacak süper membranlar çok geni ş yüzeylerin, hatta kentlerin üzerini örtebilir. Karbon nanotüp liflerin, beton ve yapı plastikleri içerisinde güçlendirme malzemesi olarak kullanıldığ kullanıldığı süper karma malzemelerle inanılmaz mimarlık ve mühendislik yapıları inş inşa edilebilir. Bunun gerçekleş gerçekle ştirilmesi için öncelikle karbon nanotüplerin maliyetinin azaltılması (maliyeti 1000$/gram civarında) ve daha da önemlisi nanotüp yüzeylerinin fazla düzgün ve pürüzsüz olması nedeniyle matris malzeme içinden kayma probleminin giderilmesi gerekir. Karbon nanotüplerin üretilmesi için uygulanan yöntemler : 1) Ark-buharlaş Ark-buharlaştırma yöntemi 2) Lazer buharlaş buharlaştırma yöntemi 3) Kimyasal buharlaş buharlaştırma yöntemi
2.8.1.3 Karbon nanotüplerin uygulama alanları 1) Nanoaygıt ve transistörlerden bütünleş bütünle şik devre 2) Kalıcı bilgisayar belleğ belleği ve laptop bilgisayarı 3) Karbon nanotüp düz ekran televizyonlar 4) Kurş Kurşun geçirmeyen kumaş kuma şlar, nanotext denilen leke ve bakteri tutmayan kuma şlar 5) Ortamda bulunan zehirli gazları algılayabilen gaz dedektörü 6) Hidrojen depolama ve yakıt hücresi 7) Nanomıknatıs, yüksek yoğ yo ğunluklu bilgi depolayan küçük ölçekli sabit disk ve deformasyon ölçmeye yönelik ölçü aygıtları a ygıtları
19
2.8.2 Karbon nanotoplar D.E.H. Jones, 1966 yılında karbonun top şeklinde kafes yapısı oluş olu şturabileceğ turabileceği fikrini ilk defa ortaya atan kiş ki şidir. E.Osawa 1970 yılında kâse şeklinde olan “coranulene“ molekülünü sentezleyerek bunun birkaçının biraraya gelmesi ile top şeklinde kafes yapı olabileceğ olabilece ğini ileri sürmüş sürmüşür. Fakat bu iki düş dü şünce de bilim çevresinde ilgi görmemiş görmemi ştir. R.E. Smalley ve arkadaş arkada şları, 1984 yılında grafit kristalini lazer ile eritip buharlaş buharlaştırma yaptıkları sırada karbon atomlarının topaklar halinde farklı büyüklüklerde top şeklinde kafes yapılar oluş olu şturduğ turduğunu farketmiş farketmişlerdir. Bu karbon topları 20-130 kadar karbon atomu içermekteydi. R.F. Curl, H.W. Kroto ve R.E. Smalley 1985 yılında olu şan karbon toplarını ayrış ayrıştırmış tırmışlar ve bu sayede karbon nanotopların yapılarının ayrıntılı olarak bilinmesinin yolunu açmış açmı şlardır. Bu ekibe yapmış yapmış oldukları öncü çalış çalı şmalarından dolayı 1996 yılında kimya alanında nobel ödülü verilmi ştir. Nanometre düzeyinde sıfır boyutlu (0B) yapıya sahip olan karbon nanotoplar, optik sınırlayıcı olarak kullanılırlar. Bunlar malzemeleri a şırı ış ışıktan korumada yararlanılan kaplamalardır. Karbon toplar içeren polimerler, fotoiletkenlik özelli ği gösterdiğ gösterdiği için, karbon nanotoplar fotodiyot ve transistör olarak, ayrıca güne ş pillerinde de kullanılabilir. Oksitlenmeye kar şı iyi bir koruyucu olmaları, karbon nanotopların yüzey malzemesi olarak kullanılmasının nedenidir. Karbon nanotoplar yapı malzemelerinin yüzeyinde nanometre kalınlıkta kaplama (nanokaplama) olarak kullanıma girmi ştir. Bunlarla kaplanan yüzeylerde karbon nanotopların düzgün ve pürüzsüz yüzeyleri nedeniyle yabancı madde tutunamaz ve nanotopların olağ olağanüstü sağ sağlamlıkları nedeniyle kaplanan yüzey çizilmez. Günümüzde, malzeme niteliklerini iyileş iyile ştiren baş başka kaplamalar da kullanıma sokulmuş sokulmuştur. Isı koruyucu PCC (Protective Ceramic Coating-Koruyucu Seramik Kaplama)’yi örnek olarak verebiliriz. NASA’nın, uzay araçlarının atmosfere giriş girişlerinde sürtünmeden korumak üzere geli ştirdiğ tirdiği zar kalınlığ kalınlı ğında bir ısı kalkanı olan bu kaplama, seramik, ah şap, çelik, plastik, cam elyafı gibi her türlü malzeme yüzeyine yangından koruyucu olarak sürülerek uygulanmaktadır.
20
Akıllı malzeme özelliğ özelli ği gösteren kaplamalara ilginç bir örnek, New Castle Üniversitesi’nde geliş geliştirilen piezoelektrik bir madde olan zirkonat titanat (PZT) içeren boyalardır. Piezoelektrik maddeler, üzerlerine güç uygulandı ğı zaman uygulanan güçle orantılı elektriksel bir gerilim olu şturur. Çelik konstrüksiyonlu binalarda yüzeye püskürtülerek uygulanan bu boya, uygulandı u ygulandı ğı malzemedeki basınç ve çekme gerilmelerindeki artış artı şa bağ bağlı olarak çevreye elektrik gerilimi vermektedir. Bu gerilimin izlenmesiyle yapının strüktürel davranı şı izlenebilmektedir. Bu boya 2000 yılında
ngiltere’de Gateshead Milenyum Köprüsü’nde bu amaçla
kullanılmış kullanılmıştır. Uygulandığ Uygulandı ğı malzemenin gerilimini izlemek dış dı şında, ış ışıkla kendini temizlemek ya da sıcaklıkla renk değ de ğiştirmek gibi ilginç özellikler gösteren akıllı boyalar da üretilmiş üretilmiştir. Gelecekte geliş geli ştirilecek akıllı süper kaplamalar sayesinde, sıradan yapı malzemeleri bile dikkate değ de ğer özellikler kazanacaktır. Gelece ğin yapıları için kendini temizleyen, bakım gerektirmeyen, çizilmez cepheler ya da yangına kar şı yüksek güvenilirlik sıradan özellikler haline gelecektir.
2.8.3 Karbon nanohalkalar Karbon nanotüplerin iki ucu birleş birle ştirilerek halka ("toroid") şeklinde yapıların oluş oluşturulması da söz konusu olmaktadır. Farklı iç ve dı ş çaptaki halkalarla çok değ değişik halka modelleri oluş olu şturmak mümkündür. Her farklı halkanın farklı özellikler göstermesi beklenmektedir. Karbon tüpler kıvrılarak ilginç özelliklere sahip helezoni yapılar da oluş olu şturabilir. Bu yapılar üzerindeki çalış çalı şmalar şimdilik yalnızca teorik düzeydedir.
2.8.4 Karbon nanoçubuklar Çok duvarlı nanotüplerde iki tüp arasındaki uzaklık, genellikle tüpü olu şturan karbon atomları arasındaki bağ ba ğ uzaklığ uzaklığından fazladır. Eğ E ğer içiçe geçmiş geçmi ş tüplerde, tüplerin duvarları arasındaki uzaklık, karbon atomlarının ba ğ yapmalarına imkan verecek kadar azsa (0.15 nm), karbon atomları birbirleriyle
şeklinde bağ ba ğlanır. Yani her
karbon atomunun dört bağ ba ğlı komş komşusu vardır. Bu durumda oluş olu şan çok duvarlı tüp yapısına “karbon nanoçubuk” nanoçubuk” denir. denir. Çubuklar içi tamamen tamamen bo ş veya içi kısmen dolu tüp yapılardan oluş olu şmaktadır. Bu yapıların esnekliğ esnekli ği tüplere göre daha az olup, ayrıca tek duvarlı tüplerden farklı mekanik ve elektronik özellikler gösterirler.
21
2.9 nşaat Sektöründe Nanoteknoloji nşaat sektöründe kullanılan inş in şaat malzemeleri yerine, yüksek performanslı malzemelerin geliş geli ştirilmesi, farklı boyutta malzemelerin modellenip üretilmesi, çok fonksiyonlu malzemeler, aktif, kendini adapte eden malzemeler, polimerik malzemeler, çimento nanokompozitler gibi akıllı inş in şaat malzemelerinin hayatımıza girmesi nanoteknoloji kullanımıyla mümkün olacaktır.
2.9.1 nşaat sektöründe nanoteknolojinin avantajları Nanomalzemeler pek çok performansı bir arada ta şır. Örneğ Örneğin, enerji, tıp, çevre, üretim, emniyet, orman ürünleri yönetimi gibi sorunlara çözüm sa ğlar. Mevcut iş iş kollarını, sektörleri canlandırır, global yarış yarı şı ivmelendirir, tamamen yeni sektörler yaratır. Bu sayede ekonomiye enerji verir.
2.9.2 Nanoin şaat Nanoinş Nanoinşaatın hedefi, nanoteknoloji kullanarak günümüzde kullanılan in şaat malzemelerinden daha sağ sa ğlıklı, daha dayanıklı ve emniyetli olan akıllı inş in şaat malzemeleri üretmektir. “Nanotechnology “Nanotechnology in Construction, 2nd Intl. Symposium, Bilbao, 13-17th Nov. 2005” sempozyumuna konu olan “NANOCONEX” yol haritasına göre, Nanoconex projesinde üretilmesi planlanan nano in şaat malzemeleri Biomimetrik malzemeler Kompozitler, yani kendini adapte eden ara yüzeyler Şeklini hatırlayan, tamir eden akıllı malzemelerden oluş olu şmuş muş sistemler Akıllı nanoboyalar nanoboyalar Yeni kontrollü, dayanıklı mekanizmalar Nanoparçacıklar, Nanoparçacıklar, nanotüpler, nanolifler Fotovoltaik yüzeyler
2.9.3 Bulk in şaat malzemeleri NANOCONEX yol haritasına göre, Nanoconex projesinde üretilmesi planlanan nano malzemeler Çelik: Paslanmaya dayanıklı
22
Beton: -
Düş Düşük enerji çimento
-
Yeni alış alışılmadık polimerler (Ductile çimento, çok sert beton)
-
Nanokatmanlar, Nanokatmanlar, boya
Seramik, Tuğ Tuğla, Cam -
Bio- aktif yüzeyler
-
Güçlü seramik
-
Kendini temizleyen camlar
Bitum ‘polimer’ -
Nanolifler
-
Moleküler self assembly polimerler
Kereste: Yoğ Yoğun ve güçlü modifiye ya da sentetik keresteler.
2.10 Türkiyede Nanoteknoloji Çalı şmaları Ülkemizde nanoteknoloji alanında ciddi çalı şmalar yapan kurum ve kurulu kuruluşşlarımız mevcuttur. Nanoteknoloji faaliyetleri baş ba şta Odtü, Bilkent ve Gyte olmak üzere bir çok üniversitede kurulan nanoteknoloji ara ştırma merkezlerinde yapılmaktadır. Araş Araştırma merkezi olarak, Tübitak’ın bu alanda çalı şmalar yapılmasını destekleyen bir kamu kuruluş kurulu şu olarak önemli bir yeri vardır. Avrupa Birli ğinin 7. Çerçeve Programı sayesinde nanoteknoloji araş ara ştırmalarımız yeniden yapılanma ve ivme kazanmış kazanmıştır. Nanoteknoloji, Tübitak tarafından hazırlanan Vizyon 2023 programı’na öncelikli alanlardan biri olarak alınmış alınmı ş bulunmaktadır. Türkiyede Nanoteknoloji üreten bazı şirketler şunlardır:
Yaşar Holding (Dyo): Solmaya, kirlenmeye dirençli, kendini temizleyen nanoteknolojiye sahip akıllı boya üretti.
Arçelik: Eylül 2003’te koku filtreli hijyen uygulaması ile nanoteknoloji ürünü buzdolabını üretti. Temmuz 2004’te nanoteknoloji ürünü olan tam koruma üçgenli multi hijyen buzdolabını üretti.
Yeşim Tekstil: Kolay ütülenen, çabuk kuruyan ve leke tutmayan akıllı kuma şlar üretti.
Zorlu Enerji: Evlerde elektriğ elektriği kendimizin üretebilmesine imkân sağ sa ğlayan bir aletin prototipini geliş geliştirdi.
23
3. YEREL OLMAYAN ELAST STE TEORS
3.1 Tanım Yerel olmayan elastisite teorisi, klasik elastisite teorisinin yetersiz oldu ğu durumları ortadan kaldırmak için geliş geli ştirilmiş tirilmiş bir teori olup, sürekli ortamlar mekaniğ mekani ğinde yeni bir yaklaş yaklaşımdır. Klasik elastisite teorisinde bir noktadaki gerilme durumu hesaplanırken, o nokta komş kom şuluğ uluğundaki diğ diğer noktalarda olan şekil değ değiştirmeler hesaba katılmaz. Malzemenin gerilme gibi büyüklükleri sadece o noktadaki değ değerlerine bağ bağlı olarak hesaplanır. Yani bu teori sadece yerel etkileri gözönüne alarak problemleri çözer [8,9]. Cisimler yerdeğ yerdeğiştirdiklerinde, bu yerdeğ yerde ğiştirmelerin ortaya çıkardığ çıkardı ğı geometrik düzensizlikler cismin içinde gerilmeler oluş olu şturur. Yerdeğ Yerdeğiştirmelerden dolayı ortaya çıkan bu gerilmelerin klasik elastisite teorisi çerçevesinde hesabı bazı düzensizlikler gösterir. Mesela bazı cisimler şekil değ değiştirdiklerinde, cismin içinde oluş olu şan hem gerilmeler hem de şekil değ değiştirme enerjileri sonsuza gider. Aynı tip problemler yerel olmayan teori kullanılarak çözüldü ğünde bu durum düzelir. Ortaya çıkan gerilme ve enerjideki tekillikler, problemin yerel olmayan teori ile çözülmesi ile tamamen ortadan kalkmış kalkmı ş olur. Baş Başka bir şekilde şöyle ifade edebiliriz. Cismin iç yapısında oluş olu şan gerilmeler arasındaki mesafenin atomik boyutlarda olması durumunda iç yapının önemi azalaca ğından, gerilmelerin hesabının klasik elastisite teorisi çerçevesinde yapılması uygundur. Ancak cisme uygulanan dı ş etkilerin büyük olması durumunda cismin iç yapısı önem kazanaca ğından, gerilme hesabı yapılırken yerel olmayan elastisite teorisi çerçevesinde problemi çözme yoluna gidilir. Problemlerin klasik elastisite teorisi ve yerel olmayan elastisite teorisi çerçevesinde formülasyonları arasındaki tek fark bünye denklemleridir [10].
24
Yerel olmayan elastisite teorisi formülasyonunda, yerel olmayan denklemlere geçildiğ geçildiğinde çözüm uzayı geni şler ve bu uzay içinde seçim yapabilmek için problemin tipine ve özelliklerine göre kabul edilebilir sınır ko şulları belirlenir.
3.2 Yerel Olmayan Elastisite Teorisinin Kronolojik Geli şimi Eringen, Edelen ve Kunin, yerel olmayan teorinin esaslarını ortaya koyan çalı şmalar yapmış yapmışlardır. Daha sonra Eringen, elastisite problemlerini yerel olmayan elastisite teorisi çerçevesinde ele almış almı ş ve elde ettiğ etti ği çözümlerle yerel olmayan elastisite teorisinin klasik elastisite teorisine göre üstünlüklerini ispatlamış ispatlamıştır.
1965: Gurtin, yerel olmayan sürekli ortamlar üzerine çalış çalı şma yapmış yapmı ştır [11]. 1968: Kunin, mikroyapılı elastik ortamlar üzerinde çalı şma yapmış yapmıştır. Aynı tarihte Körner, sürekli ortamlar mekaniğ mekani ği ile ilgili yaptığ yaptığı çalış çalışmasında yerel olmayan teorinin diğ diğer teoriler arasındaki yerini vurgulamış vurgulamı ş ve yerel olmayan teorinin önemini belirtmiş belirtmiştir.
1969: Edelen, yerel olmayan teoride varyasyon hesabının temellerini bir seri makale [12] ve bir kitapta [13] yayınlamı yayınlamışştır.
1972: Eringen, yerel olmayan polar elastik ortamlar için yerel olmayan elastisitenin bünye denklemlerini elde etmiş etmi ştir [14]. Eringen’in aynı yıl yaptığ yaptı ğı diğ diğer bir çalış çalışma, yerel olmayan akış akı şkanlar için bünye denklemleri elde etme üzerine olmu olmuşştur [15]. Bunların yanısıra Eringen, yerel olmayan lineer elastisite teorisi için denklemler elde ettiğ etti ği ve tek boyutlu elastik dalga yayılımı problemleri üzerine yaptığ yaptı ğı farklı çalış çalışmalarda klasik yollarla elde edilemeyen sonuçlar elde ederek bilime çok önemli katkılar sa ğlamış lamıştır [16]. Bundan baş başka Eringen ve Edelen, mekanik ve varyasyonel var yasyonel olmak üzere iki ayrı yoldan elastik ortamlar için bünye denklemlerini çıkarma üzerine çalı şmalar yapmış yapmışlardır[17]. Daha sonra Eringen, elde edilen bu bünye denklemlerini lineerle l ineerleşştirmiş tirmiştir. Ayrıca Demiray, yerel olmayan dielektrik malzemeler için bünye denklemlerini elde etmiş etmiştir [18].
1973: Eringen, yerel olmayan mikroakış mikroakı şkanlar için bünye denklemlerini elde etmi ştir [19]. Yine Eringen, yerel olmayan polar elastik ortamlar için elde etti ği bünye denklemlerini lineerleş lineerleştirmiş tirmiştir [20].
25
1974: Eringen, yerel olmayan elastisite üzerine yaptı ğı çalış çalışmasında korunum yasalarını, bünye denklemlerini ve alan denklemlerini vermi ştir. Ayrıca yerel olmayan teori kullanarak dalga yayılımı problemlerini, dislokasyon ve çatlak problemlerini çözdüğ çözdü ğü ve önemli sonuçlar elde ettiğ etti ği bir çok çalış çalı şması vardır [21]. Aynı yılda Eringen ve Kim, sonsuzda düzgün da ğılı çekme gerilmesine maruz Griffith çatlağ çatlağını incelemiş incelemişlerdir[22]. Bunun yanısıra Eringen termoelastik cisimlerin yerel olmayan teorisi üzerine [23] ve daha sonra viskoelastik malzemelerin yerel olmayan teorisi üzerine [24] çalış çalı şmalar yapmış yapmı ştır ve bu konuda baş ba şka çalış çalışma yapılmamış yapılmamıştır.
1977: Balta ve Şuhubi, genelleş genelle ştirilmiş tirilmiş termoelastik cisimlerin yerel olmayan teorisi üzerine çalış çalı şmış mışlardır [25]. Bunun yanısıra Eringen ve çalış çalı şma arkadaş arkadaşları, yerel olmayan elastik katılarda çatlak problemleri ile ilgili çalı şmalar yapmış yapmışlardır [26]. Ayıca Eringen, yerel olmayan elastisite kullanarak kenar dislokasyon problemlerini çözme üzerine çalış çalı şmalar yapmış yapmı ştır [27].
1978: Eringen kaymaya maruz çatlak problemini incelemiş incelemi ştir [28]. 1979: Eringen düzlem dış dı şı kaymaya maruz çatlak problemini incelemi ştir [29]. 1983: Eringen, dislokasyon ve çatlak etkileş etkile şmesi problemini incelemiş incelemi ş ve yerel olmayan elastisite teorisinin üstünlüğ üstünlü ğünü göstermiş göstermiştir [30]. Daha sonra Eringen ve Arı, Griffith çatlak problemini farklı bir etkileş etkile şme çekirdeğ çekirdeği kullanarak incelemiş incelemişlerdir [31].
1984: Eringen, yerel olmayan elastisite kullanarak dislokasyonların sürekli da ğılımı üzerine çalış çalı şmalar yapmış yapmı ştır [32].
3.3 Yerel Olmayan Elastisitede Hooke kanunu Yerel olmayan elastisitede cauchy hareket denklemi
(3.1) ve bünye denklemi
(3.2)
26
gerilme tansörü, kütle yoğ yo ğunluğ unluğu,
dir. Burada
yerdeğ yerdeğiştirme vektörü,
kütle
kuvveti yoğ yoğunluğ unluğudur. Şekil değ değiştirme tansörü
(3.3) şeklinde tanımlanır.
,
vektörünün bir fonksiyonudur. Sonuç olarak
noktasındaki gerilme cismin içindeki diğ di ğer
noktalarındaki şekil değ değiştirmelere
bağ bağlıdır. Aşağıdaki gösterimler kullanılmış kullanılmı ştır.
(3.4)
, zotropik cisimlerde gerilme tansörü
(3.5) şeklini alır. Burada
yerel gerilme tansörü olup Hooke kanunu
(3.6) şeklindedir.
;
uzaklığ uzaklığının bir fonksiyonudur ve
(3.7) şeklinde tanımlanır. Buradaki
atomik mesafe,
ise boyutsuz bir malzeme
sabitidir. ki boyutlu halde
fonksiyonu
(3.8) şeklindedir. Bu fonksiyon
(3.9) bağ bağıntısını sağ sağlar. Yani
fonksiyonu yukarıdaki denklem için Green fonksiyonudur.
Bu bağ bağıntı (3.5)’te kullanılarak
(3.10)
27
bağ bağıntısına ulaş ulaşılır. Bir boyutlu halde bu bağ ba ğıntı
(3.11) şeklinde ifade edilir.
28
4. BAŞLANGIÇ DEĞER YÖNTEM
4.1 Giriş Çubuk üzerinde, tekil kuvvet gibi etkiler bulundu ğunda veya çubukta bir ara mafsal olduğ olduğunda, elastik eğ e ğrinin çeş çeşitli mertebeden türevleri süreksizlik gösterirler. Bu durumda çubuğ çubu ğu süreksizliğ süreksizliğin olduğ olduğu yerlerden keserek bölgelere ayırıp, her bölgede sürekli olduğ olduğunu bildiğ bildi ğimiz elastik eğ eğriyi entegrasyonla bulmamız mümkündür. Burada sabitlerin belirtilmesi için gerekli denklemlerden bir kısmı mesnet şartlarından, bir kısmı da ara şartlardan elde edilir. Kiriş Kiriş üzerinde süreksizliğ süreksizli ği doğ doğuran nedenler çoğ ço ğaldığ aldığında, entegrasyonu alınacak bölge sayısı da artar. Her bölge için dört sabit gerekti ğinden dolayı belirtilmesi gereken sabitlerin sayısı da artar. Bu durum çe şitli mühendislik problemlerinde çok sık karş karşılaş ılaşılan bir sorundur. Sınır şartları yardımıyla belirtilmesi gereken sabitlerin sayısının çok olduğ oldu ğu durumlarda problemin çözümü zorla şır ve hata payı da artar. Bu tip problemlerin kuruluş kurulu şunda sabitlerin sayısını mümkün olduğ oldu ğunca azaltacak çözüm yolları aranır. Baş Başlangıç değ değer yöntemi bu amacı gerçekleş gerçekle ştirmek için geliş geliştirilmiş tirilmiş bir yöntemdir. Bu yöntem tek değ de ğişkenli problemlere uygulanır. Bu yöntemin ana fikri,
sınır değ değer problemlerinin hepsini baş ba şlangıç değ değer
problemlerine dönüş dönü ştürmek, böylece ara şartlardan dolayı girebilecek yeni sabitlerin önüne geçmek ve problemlerin denklemlerini hep aynı ba şlangıçtaki sabitlerle ifade etmektir [33]. Baş Başlangıç değ değer yöntemi sayesinde bir problemde belirtilmesi gereken sabitlerin sayısını ikiye kadar düş dü şürmek mümkündür [34].
4.2 Elastomekanikte Ba şlangıç Değer Yöntemi ve Ta şıma Matrisi Koordinat sistemleri
(4.1)
29
olan bir sistemi inceleyelim. Bu koordinatların bir
serbest değ de ğişkenine bağ ba ğlı olarak
değ değiştiğ tiğini kabul edersek sistemin koordinatları
olarak ifade edilir. Analiz
ettiğ ettiğimiz problemlerde
parametresi bir boyutlu sürekli ortamlarda yeri gösteren
değ değişken olabildiğ olabildiği gibi, ayrıca bu parametre, zaman olarak da ifade edilebilir. parametresini, bir vektörün koordinatları olarak ifade ettti ğimizde
(4.2)
olur. Bu kolon matrisine “ durum vektörü ” denir. fonksiyonlarının hepsinin birinci türevlerinin bulunduğ bulundu ğunu kabul edersek, durum vektörünün türevinin kolon matrisi
(4.3)
olarak gösterilebilir. Parametrenin
değ değerindeki durumundan
nasıl olacağ olacağını tanımlamak için, sistemin
değ de ğerindeki durumuna geçiş geçi şinin ile
vektörleri arasındaki
bağ bağıntıları gösteren kanonik formda tasvirini yapalım. Bu ba ğıntıların
tane lineer
denklemden oluş olu ştuğ tuğunu kabul edersek, sistemin kanonik lineer diferansiyel denklemleri
(4.4)
30
şeklinde ifade edilir. Bu kanonik denklemler, bir çok durumda durum koordinatları arasındaki uygunluğ uygunlu ğu, sistemin dengesini ve ortamın fizik karakterini(cismin kanununu) ifade ettiğ etti ği için çok büyük anlam ta şırlar. Buradaki
koordinatlarından bağ ba ğımsız olup,
katsayıları
parametresine
bağ bağlı değ değişken katsayılar da olabilirler. Yukarıda ifade edilen bağ ba ğıntıları düzenlersek
(4.5) olur. Buradaki
(4.6)
kare matrisi olup bu matrise teoride “ Diferansiyel Geçi ş Matrisi” denir. ve
değ değerlerine bağ bağlı olan durumların arasındaki iliş ili şkiyi ifade eden kanonik
lineer diferansiyel denklem, türev tanımı göz önüne alınarak
(4.7) şeklinde ifade edilir. (4.5) ve (4.7) ifadeleri, sistemin yakın durumları arasındaki geçiş geçişi tarif eden ifadelerdir. Bu eş e şitliklerde tarif edilen parametrenin belirli bir değ değerinden, örneğ örne ğin
’dan baş başlanmak koş ko şuluyla ulaş ulaşılmak istenen herhangi bir
değ değerindeki duruma, sonsuz küçük kısa adımlarla, çok sayıda parça parça diferansiyel geçiş geçişler yaparak gelmek mümkündür. Bu şekilde parça parça geçi şler yerine, tek bir integral geçiş geçi şle
baş başlangıç durumundan parametrenin
gibi
sonlu değ değerine ait durumuna geçmek mümkündür. Bu tek geçi şi sağ sağlayan matrise “Taşıma Matrisi” denir. Taş Taşıma matrisinin kanonik formda gösteriliş gösterili şi
(4.8)
31
’daki değ de ğerlerden herhangi bir kesitteki değ de ğerlere
şeklindedir. Bu denklem bize
bu matris sayesinde nasıl geçildiğ geçildi ğini açıkça gösterir. Burada
, sistemin
baş başlangıçta varsayılan bir yerdeki durumunu gösterir ve durum vektörü, yani
(4.9)
olup
ise,
(4.10)
şeklinde olup, sistem
fonksiyon elemanları olan kare formda bir ta şıma matrisi
sayıda
durum vektörü, parametrenin değ de ğeriyle birlikte bir transformasyona
uğrar. (4.8)’de verilen geçiş geçi ş ifadesi kiriş kirişin yüksüz, yani denklemin homojen olması durumunda söz konusudur.
matrisi sadece diferansiyel denkleme, dolayısıyla da
onun sabit katsayılarına bağ ba ğlı olup, sınır şartları ile ilgili olan integrasyon sabitlerinden bağ bağımsızdır. integral karakteristiğ karakteristiğini gösterirken,
ise sistemin diferansiyel karakterini
gösterir. Şimdi
matrisine geçiş geçişin nasıl hesaplandığ hesaplandı ğını inceleyelim:
matrisinden
4.3 Taşıma Matrisinin Hesabı (4.8) denklemindeki
matrisini hesaplamak için gerekli diferansiyel denklem
(4.11) dir. Bu da
kolon matrisi ile
kare matrisinin aynı tipte diferansiyel
denklemi sağ sağladığ ladığını gösterir. Eğer
matrisinin bütün elemanları sabitse diferansiyel denklemin çözümü 32
(4.12) şeklinde üstel bir matris fonksiyon olur. Buradaki
birim matristir ve matrisin
noktasındaki baş başlangıç durumunu gösterir. Birim matris
(4.13)
şeklindedir. matris polinomu serisinde gösterildiğ gösterildi ğinde
(4.14) olur. Çubuk yüklü olduğ oldu ğunda geçiş geçi ş ifadesi (4.8)’deki gibi olmaz. Bazı hallerde
gibi
belirli bir yerde dış dı ş tekil tesir söz konusu olabilir. Böyle ara giriş giri şli transformasyonlara homojen olmayan adı verilir. Geçi ş hesabı
için
(4.15) denklemiyle hesaplanırken,
için homojen olan (4.8) denklemiyle hesaplanır.
ise durum vektöründe süreksizliğ süreksizli ğin olduğ olduğunu gösterir. Buradaki süreksizlik matrisidir ve
(4.16)
şeklindedir. Buradaki
‘ler ara geçiş geçi şi ifade eden koordinatlardır.
Özetlersek, tek yüklemeler için taş ta şıma ifadeleri
33
,
(4.17)
, olur.
Çeş Çeşitli noktalarda dış dı ş tekil yük olması halinde (4.15) denklemi süperpozisyondan faydalanılarak
(4.18) (
)
şeklinde yazılabilir. Bu halde durum vektöründeki süreksizlik birbirinden farklı noktada var demekir. Eğer dış dış yükler, yayılı yük ise (4.18) denklemindeki sonlu toplam yerine integral alınarak genelleş genelle ştirilmiş tirilmiş denklem
(4.19) olur. Burada
(4.20)
şeklinde değ de ğişken elemanlı bir kolon matristir. matristir.
4.4 Matris Fonksiyonları, Matris Denklemleri Matris fonksiyonları ile çalış çalı şmak, matrislere özgü “minimum denklem” özelliğ özelli ği ile özel bir önem ve önemli sadele ştirmeler sağ sağlar. Bu denklem yardımıyla
matrisi ve
kuvvetleri, minimum denkleminin en yüksek katsayısı olarak lineer şekilde ve daha düş dü şük kuvvetler cinsinden ifade edilir. Ancak böylece, .üncü dereceden bir
matris polinomu daha düş dü şük yeni ( 34
halinde, ).inci dereceden
polinomu dış dı şında A
polinomuna indirgenebilir. Bunun katsayıları ise,
matrisine de önemli ölçüde bağ ba ğlıdır. ndirgenme iş i şlemi kuvvet serileri cinsinden ifade edilebilmeleri halinde, genel matris fonksiyonlarına da uygulanabilir. Böylece bütün bu fonksiyonlar polinoma indirgenebilirler [35]. Bir
kare matrisinin fonksiyonlarını değ değerlendirmek, bir çok uygulamada önemli
bir problem olmuş olmuştur.
kuvvetleri ve
üstel matrisi,
’nın en çok kullanılan
fonksiyonları arasındadır.
4.5 Cayley-Hamilton Teoremi matri matrisi si (
) boyut boyutlu lu keyf keyfii bir bir kare kare matri matriss olsu olsunn ve bu matr matrisi isinn kara karakt kter erist istik ik özdeğ özde ğerler olmak üzere
polinomu
(4.21) olsun. Cayley-Hamilton teoremi, her kare matrisin kendi karakteristik denklemini sağ sağladığ ladığını ifade eder. Bu tanıma göre
matrisi Cayley-Hamilton denklemini
sağ sağlar. O halde (4.21) denkleminde ’nın
ile yerdeğ yerde ğiştirmesi ile
matris
polinomu sıfıra eş eşittir. Yani
(4.22) dir. Burada şudur: kuvv kuvvet etle leri ri,,
(
birim matristir. Bu dikkate değ değer gerçeğ gerçeğin önemli sonuçlarından biri ) boyutlu bir matris ise, nın nın ilk ilk
kuvv kuvvet etii ve (
kuvveti, )’li )’likk
kombinasyonu olarak ifade edilebilirse ve
‘nın daha yüksek tüm biri birim m matr matris isin in line lineer er bir bir
‘nın herhangi bir fonksiyonu fonksiyonu kuvvet
serisi şeklinde açılabilirse, bu fonksiyona eş e şit (
). dereceden
bulu buluna nabi bili lir. r. Buna Buna göre göre key keyfi bir bir matr matris is poli polino nomu mu daim daima, a, dere derece cesi si ( polinom ile gösterilebilir [36,37].
35
bir polinom )’de )’denn bir bir
4.6
Üstel Matrisin Hesaplanması
Üstel matris analitik bir fonksiyon halinde basitçe
(4.23) şeklinde tanımlanır. Burada
değ de ğerleri,
‘nın özdeğ özdeğerleri tarafından oluş oluşturulan
denklem sistemlerinden belirlenir. Bu özdeğ özde ğerler
ise üstel matriste
(4.24) olarak ifade edilir.
4.7
Boyutlu Bir Matrisin
Örnek olarak aş a şağıdak daki gibi (
Fonksiyonu Yardımıyla Hesaplanması )’lik lik bir
matrisin isinii ele alal lalım. ım.
(4.25)
Bu matrisin karakteristik denklemi
(4.26) (4.27) olup, özdeğ özdeğerleri
,
olarak bulunduğ bulunduğunda, matrisin mertebesinden
bir derece düş dü şük çok terimli bir polinomu
(4.28) olarak yazabiliriz. Bu fonksiyonu hesaplamak için bulmamız gerekir.
ve
bilinmeyen katsayılarını
fonksiyonu yardımıyla bu katsayıları bulalım.
için,
36
(4.29) ve
olduğundan olduğ
(4.30) olur. O halde fonksiyon
(4.31) ve
(4.32) bulunur.
37
5. KESMEL EĞLME
5.1 Giriş Kesmeli eğ eğilmeyi, kesme kuvveti ile eğ e ğilme momentinin bir arada bulunması hali olarak tanımlayabiliriz [38,39]. Kiriş Kiri şlerin hesabında oldukça sık karş kar şımıza çıkan bir durum olan kesmeli eğ e ğilmede, kesme kuvveti ile eğ eğilme momenti arasında
(5.1) şeklinde bir diferansiyel bağ ba ğıntı vardır. Eğ Eğilme momentinin türevi kesme kuvveti olduğ olduğuna göre momentin sabit olması haricinde, kesme kuvveti daima e ğilme momenti ile birlikte bulunur ve çubuk kesitlerinde, hem e ğilme momentinden meydana gelen normal normal gerilmeler, hem de kesme kuvvetinden kuvvetinden meydana meydana gelen gelen kayma gerilmeleri birlikte oluş olu şur.
5.2 Normal Gerilme Hesabı Basit eğ eğilme lme durumunda (
) normal gerilme lme
, dik kesitle tlerin e ğilme
sonrasında düzlem kalması varsayımına ba ğlı olarak doğ do ğrusal değ değişir. Yani ’dir. Kesme kuvveti etkisindeki çubuk kesitinde kayma gerilmesi düzgün yayılmadığ yayılmadığı için kesit çarpılması meydana gelir. Kesmeli eğ e ğilmede her iki tesir de birlikte oluş oluştuğ tuğundan dolayı kesit çarpılması kaçınılmazdır. Bu yüzden normal gerilme hesabında geçerli olan ve düzlem kesitlerin şekil değ değiştirdikten sonra düzlem kalması esasına dayanan Bernoulli-Navier varsayımı artık kullanılamaz. E ğilme momenti
çubuk ekseni boyunca de ğiştiğ tiği için
olarak iki
değ değişkenli bir fonksiyondur. Kesmeli eğ eğilmede basit eğ eğilmede olduğ olduğu gibi normal gerilmenin doğ do ğrusal değ değiştiğ tiği varsayılırsa, kesmeli eğ eğilmedeki normal gerilmeler basit eğ e ğilmedeki
38
(5.2) gerilme formülüyle hesaplanır. Gerilmelerin şiddetçe en büyük değ de ğeri
’nin en
büyük olduğ oldu ğu en üst ve en alt noktada ortaya çıkar. Yani
(5.3) dir.
5.3 Kayma Gerilmesi Hesabı Kayma gerilmesi
(5.4) formülüyle hesaplanır. Bu formülde : Kesitteki kayma kuvveti : Hesaplamak istediğ istedi ğimiz
uzaklığ uzaklığından aş aşağıda kalan alanın
eksenine göre
statik momenti : uzaklığ uzaklığındaki kesit geniş geni şliğ liği : Bütün kesitin eksenine göre atalet momenti olarak tanımlanır. Eğer alt kısmın alanı ve ağ a ğırlık merkezinin yeri biliniyorsa
(5.5) olur.
5.4 Yerel Olmayan Dikdörtgen Kesitli Kiri şler çin Uygulama (Şekil 5.1)’de görüldüğ görüldü ğü gibi, gibi, kesit boyutu boyutu ( x ) olan olan dikdör dikdörtgen tgen kesitli bir kiriş kiri şi ele alalım.
39
h/2
x
y
dA=bdy
h/2
h/2-
dy
b y
Şekil 5.1 : Dikdörtgen kesitli bir kiriş
Bu kesitteki düş dü şey kesme kuvveti noktalarda
olmak üzere,
kayma gerilmesini bulmak için,
ekseninden bir
’den
uzaklı ğındaki
eksenine çizilen paralelin
altındaki alanı hesaplarsak
(5.6) olur. Ağırlık merkezinin uzaklığ uzaklı ğı
(5.7) olur. Buna göre taralı alanın statik momenti
(5.8) olarak bulunur. Aynı sonuç
(5.9) integrasyon yolu ile de ulaş ula şılır.
olduğ olduğundan (5.4) formülüne göre kayma
gerilmesi 40
(5.10) bulunur. (5.10) kayma gerilmesi, kesitin en alt ve en üst ipçiklerinde koş koşulunu sağ sağlar. En büyük kayma gerilmesi kesit a ğırlık merkezinde
‘da
(5.11) olur. Kayma gerilmeleri gerilmeleri kesitte düzgün düzgün yayılsaydı yayılsaydı
(5.12) olacaktı. (5.12) ifadesini, (5.11) ’e yerleş yerle ştirdiğ tirdiğimizde
(5.13) olur. Dikdörtgen kesitlerde kayma gerilmesi hesabı, kesit yüksekli ği
‘nın ’ye göre
oldukça büyük olması durumlarda (yassı çubuklarda) gerçe ğe çok yakın sonuç verir. Kesit geniş genişliğ liği arttıkça yaklaş yakla şıklık bozulur. Statik moment
(5.14) olup
(5.15) diferansiyel denklemi,
sınır koş ko şullarında çözülürse
ve
(5.16) (5.17)
41
olur.
ye giderken limitte oran şudur:
oranını
(5.18) ,
,
,
,
alınarak oran tekrar hesaplandığ hesaplandı ğında bu oranın
,
, aralığ aralığındaki grafiğ grafiği
(Şekil 5.2)’de görüldüğ görüldü ğü gibi olur.
Şekil 5.2: Yerel olmayan kayma gerilmesinin klasik kayma gerilmesine oranı
42
6. ELASTK ZEMNE OTURAN KRŞLER
6.1 Giriş Doğ Doğru eksenli bir çubuk sürekli bir ortam üzerine oturmu ş olsun. Kiriş Kirişin dayandığ dayandı ğı ortamın şekil değ değiştirebileceğ tirebileceğini kabul edersek bu problem elastik zemine oturan kiriş kirişler olarak tanımlanabilir. Elastik zemine oturan kiriş kiri ş problemi ilk olarak Winkler tarafından incelenmiş incelenmi ştir. Winkler hipotezine göre yerdeğ yerde ğiştirme sırasında kiriş kirişin zeminden gördüğ gördü ğü tepki yerdeğ yerdeğiştime ile doğ doğru orantılı olup yakın noktaların etkileş etkile şimi söz konusu değ değildir. Zemin, bağ bağımsız elastik yaylardan meydana gelmiş gelmi ş bir fiziksel model olarak ele alınabilir. Winkler zemininin en önemli özelliklerinden biri, zeminin sıkça yerle ştirilmiş tirilmiş ve birbirinden bağ bağımsız yaylardan oluş olu ştuğ tuğu varsayımıdır. Zemin katsayısı (yatak katsayısı)
ile karakterize edilir ve bu katsayı, düş dü şey yerdeğ yerde ğiştirme bir birim
olduğ olduğunda, birim geniş geni şlikteki birim alana gelen tepkiyi ifade eder. Zemin katsayısı belirli bir gerilme altında zeminde meydana gelen oturma olarak da tarif edilebilir. Zemine ait deformasyon deformasyon karakteri karakteri olan bu katsayının katsayının birimi kuvvet/ uzunluk³ uzunluk³ ‘ dür. Zemin katsayısının değ de ğeri bir çok etkene, özellikle zeminin elastik özelliklerine ve yüklü alanın boyutlarına bağ ba ğlıdır. Bu faktörlerin etkisi ve uygulamadaki zemin katsayısının sayısal değ değerinin ne alınabileceğ alınabilece ği konusunda bir çok araş ara ştırma yapılmış yapılmıştır. Zemin katsayısı kavramı, uygulamalı mekani ğe önce Winkler tarafından getirilmiş getirilmiş ve Zimmerman [40] tarafından, bütün uzunlukları boyunca balast üzerine oturan demiryolu traverslerinin hesabı amacıyla kullanılmı ş ve bu araş araştırmacılar özel uygulamalarında belirli türdeki zeminler için buldukları buldukları ve kullandıkları “ ” değ değerlerini vermiş vermişlerdir. Engesser, kiriş kiriş geniş geni şliğ liği arttıkça zemin katsayısı değ de ğerinin azaldığ azaldı ğını iş işaret etmiş etmiştir. Hayashi ve Freund, zemin katsayısı de ğerinin taban basıncına ba ğlı olacağ olacağı düş düşüncesiyle “p” taban basıncı de ğeri arrtıkça
zemin katsayısı değ de ğeri azalacak
şekilde kabul ederek çeş çe şitli problemler çözmüş çözmüşlerdir. Küçük şekil değ değiştirmeler için dolaylarında gerçek durumla Winkler kabulü arasındaki farklar çok küçük olduğ olduğundan böyle bir hassasiyetin pratik yönden sonuçları etkilemesi yok denecek
43
kadar azdır. Hayashi, elastik zemine oturan kiri şler konusundaki ayrıntılı çalış çalışmasında
katsayısının yükleme deneyleri sonuçlarının yüklü alanın
büyüklüğ büyüklüğüne bağ bağlı olduğ olduğu gerçeğ gerçeğinden söz etmemiş etmemi ştir. Mühendislik problemlerinin çözümü için gerekli
yatak katsayılarının sayısal
değ değerleri, yayınlanmış yayınlanmı ş gözlemlere dayanarak yaklaş yakla şık benzeş benzeşimle, ya da yapının inş in şa edileceğ edileceği zeminde yapılacak arazi deneyleri sonuçlarından elde edilebilir. Bir fikir vermek amacıyla, çeş çe şitli zemin türleri için
katsayılarının değ değerleri (Tablo 6.1)‘de
gösterilmektedir.
Tablo 6.1: Çeş Çeşitli zemin türleri için zemin katsayıları Zemin Cinsi
Yatak Katsayısı (ks)
Balçık – turba
< 200
Kil (plastik )
500 – 1000
Kil (yarı sert)
1000 – 1500
Kil (sert)
1500 – 3000
Dolma toprak
1000 – 2000
Kum (gevş (gevşek)
1000 – 2000
Kum (orta sert)
2000 – 5000
Kum (sıkı)
5000 – 10000
Kum – Çakıl (sıkı)
10000 -15000
Sağ Sağlam Şist
> 5000
Kaya
> 20000
Elastik zemine oturan yapılar pek çok sektörde özellikle; füze ve roket rampaları olarak askeri alanlarda, endüstride çeş çe şitli fabrika kren ve makinaların zemine sabitlenmesinde, havaalanı ve demiryolu uygulamalarında, kıyı–liman yapılarında, temel ve zemin mühendisliğ mühendisli ğinde karş karşımıza çıkmaktadır.
44
6.2 Elastik Zemine Oturan Kiri şlerin Kronolojik Geli şimi 6.2.1 Literatürde do ğru eksenli çubukların kronolojik geli şimi 1966: Miranda ve Nair, sonlu uzunluktaki elastik zemin üzerine oturan kiri şlerin diferansiyel denkleminin özel fonksiyonlarla çözümünü sayısal örnekler vererek yapmış yapmışlardır [41]. Aynı tarihte nan, doğ do ğru eksenli çubuklar için genel bir çözüm yöntemi olarak baş başlangıç değ değer yöntemini geliş geli ştirmiş tirmiş ve taş taşıma matrisini vermiş vermiştir. Yine baş başlangıç değ değer yöntemini kullanarak elastik zemin üzerine oturan do ğru eksenli kiriş kirişler için de kapalı olarak bir taş ta şıma matrisi bularak çözüme ulaş ula şmış mıştır [42].
1969: Durelli ve arkadaş arkada şları, elastik zemine oturan sonlu ve sonsuz uzunlukta olan kiriş kirişlerin fotoelastik çalış çalı şmasını yapmış yapmışlardır. Bu kiriş kirişler bir ve iki noktadan yüklenerek davranış davranı şları incelenip bulunan sonuçlar teorik çözümle kar şılaş ılaştırılmış tırılmıştır [43].
1970: Munther, aynı durumdaki kiriş kiri şleri sonlu elemanlar yöntemi ile incelemi ştir. Bulunan sonuçları, fotoelastik çalış çalı şmadan elde edilen sonuçlarla birlikte çizilen eğriler üzerinde vermiş vermi ştir [44]. Weistman, sadece basınca çalış çalı şan Winkler ve Reissner zemin modelini kullanarak yaptıkları çalış çalışmada, elastik zemin üzerine oturan, ortasından tekil yükle yüklü sonlu bir kiriş kirişin, çökme ve kesit tesirlerine ait grafiklerini vermiş vermi şlerdir.
1971: Rao ve arkadaş arkada şları, sadece ortadan tekil yüklü kiri şleri ele almış almı şlar ve baş başlangıç değ değerleri yöntemi ile çözüme ulaş ula şmış mışlardır. Bu kiriş kirişlerle ilgili çizelge ve eğriler de vermiş vermi şlerdir [45].
1982: Ting, winkler zemini üzerindeki elastik mesnetli sonlu kiri şin diferansiyel denkleminin bir çözümünü ortaya koymu ştur. Bu çözüm farklı sınır şartlarına sahip elastik temeller üzerindeki kiriş kiri şlere benzetilerek kullanılabilir [46].
1983: Ting ve arkadaş arkada şları, elastik winkler zemini üzerine oturan her iki ucundan basit mesnetlerle mesnetlenmiş mesnetlenmi ş yayılı yükle yüklü sonlu uzunlukta bir kiriş kiri şin çökme ve kesit tesirlerine ait tablolar vermiş vermi şlerdir[47]. Ayrıca, yine aynı yıl Tig ve arkadaş arkada şları, düzlem ve çerçeve analizi için tekil yük, tekil moment ve lineer olarak yayılı kuvvetlerine bağ ba ğlı olarak elastik zemin üzerindeki bir kiri ş için yük eleman
45
vektörleri ve sonlu eleman rijitlik matrisi geliş geli ştirmiş tirmişler ve bu rijitlik matris elemanının bilinen deplasman metoduna kolayca uygulanabilece ğini göstermiş göstermişlerdir [48].
1985: Eisenberger ve Yankelevski, elastik zemin üzerine oturan kiri şlerin kesin bir rijitlik matrisini formüle eden bir çalı çalışşma yapmış yapmı şlardır. Winkler zemini üzerindeki bir kiriş kirişin sürekli bir parçasını kesin olarak temsil etmesi için bir eleman gereklidir. Bundan dolayı tipik bir problemin çözümü için sadece birkaç eleman yeterlidir [49].
1987: Lin ve Adams, çekme gerilmesi almayan Winkler zemini üzerinde oturan, kendi ağ ağırlığ ırlığına ilaveten üzerinde aynı hızla hareket eden bir çift yük etkisi dikkate alarak elastik kiriş kirişin davranış davranı şını incelemiş incelemişlerdir. Elde ettikleri sonuçlar tekil yüklere, hızlarına ve zeminden ayrılma noktalarına ba ğlıdır [50].
1988: Elmas, elastik zemin üzerine oturan sonlu uzunlukta ah şap ve betonarme kiriş kirişlerin davranış davranı şlarını incelemiş incelemiştir. Ayrıca orta noktadan etkiyen tekil yükün limit değ değerini araş araştırarak, kiriş kirişlerin davranış davranı şına ve limit yüke, farklı malzeme ve boyutlarının etkisini de incelemiş incelemi ştir [51]. Celep ve arkadaş arkada şları Malaika ve Hussein, yayılı yük, tekil yük ve moment etkisi altındaki kiriş kirişlerin çekme gerilmesi almayan elastik winkler zemini üzerine oturması halinde statik ve dinamik davranış davranı şını incelemiş incelemişlerdir. Ayrıca bu çalış çalı şmalarında, statik ve dinamik eksantrik yüklemeler altında kiri ş deformasyonuna ve zeminden ayrılma noktalarına ait grafikleri vermiş vermi şlerdir [52].
1993: Doğ Doğan, zeminin basınç ve çekmede farklı davranış davranı şlar gösterdiğ gösterdiğini kabul ederek elastik zemine oturan ağ a ğırlıksız kiriş kirişlerin statik ve dinamik tekil yükleri altındaki davranış davranı şlarını incelemiş incelemiştir [53].
6.2.2 Literatürde daire eksenli çubukların kronolojik geli şimi 1961: Rodriguez, burulma açısına bağ ba ğlı altıncı mertebeden bir diferansiyel denklem kurmuş kurmuş ve sinüzoidal yayılı yükleme için birtakım çözümler elde etmi ştir. Ayrıca kurmuş kurmuş olduğ olduğu diferansiyel denklemde ilave olarak
düş dü şey yerdeğ yerde ğiştirme için zemin katsayısına
gibi bir dönmeye karş kar şı zemin katsayısının etkisini de gözönünde
bulundurmuş bulundurmuştur [54].
1966: nan, daire eksenli çubuklar için genel bir çözüm yöntemi olarak ba şlangıç değ değerleri yöntemini geliş geliştirmiş tirmiş ve taş taşıma matrisini vermiş vermiştir. Aynı yöntemi 46
kullanarak elastik zemine oturan doğ do ğru eksenli kiriş kirişler için kapalı olarak bir taş ta şıma matrisi kullanmış kullanmıştır. Ancak elastik zemine oturan daire eksenli kiriş kiri şler için kapalı olan bir taş taşıma matrisini, altıncı derece karakteristik denklemin kökleri kapalı olarak olarak elde edilemediğ edilemedi ği için bulmak mümkün olmamış olmamı ştır [55].
1979: Elastik bir zemin üzerindeki dairesel bir kiriş kiri şin en genel yükleme ve davranı şı için lineer statik analizini yapan Panayotounakas Panayotounakas ve Theocaris, bu çalı şmalarında altı tane birinci dereceden lineer diferansiyel denklemde topra ğın burulma reaksiyonu ve kayma deformasyonlarını dikkate almış almı şlardır. Çözüm yolu olarak genelleş genelle ştirilmiş tirilmiş dirac deltası ve birim adım fonksiyonları ile taş ta şıma matrisi yöntemi kullanmış kullanmışlardır [56].
1987: Dasgupta ve Sengupta, elastik zemine oturan dairesel kiri ş problemleri için 3 nodlu izoparametrik kiriş kiri ş elemanı kullanarak, kayma deformasyon etkilerini ve burulma yüklemelerini içeren bir sonlu eleman modeli geliş geli ştirmiş tirmişlerdir [57].
1989: Banan ve arkadaş arkada şları, elastik zemin üzerinde değ de ğişken kesitli olabilen uzaysal eğrilikli kiriş kirişler için bir genel sonlu eleman formülasyonu geli ştirmiş tirmişlerdir [58]. Eksenleri doğ do ğru olan çubuklar, eğ e ğildikten sonra, eksenleri eğ e ğri olmakta ve buna elastik eğ eğri denilmektedir. Elastik eğ e ğri problemlerinde önemli nokta çökmeleriyle, bunu doğ do ğuran
yükleri arasında bir bağ ba ğıntı kurmaktır. Aranan bu
bağ bağıntının çubuğ çubu ğun uç–sınır şartlarından bağ bağımsız olması isteneceğ isteneceği için, bağ bağıntı türevlerle ifade edilen bir diferansiyel denklem olmalıdır. Bundan baş başka, çeş çeşitli geometriye sahip uzay çubuklar üzerinde bazı çalı şmalar yapılmış yapılmıştır. 1987’de Aköz‘ün fonksiyonel analiz yaparak çubuklar için geçerli fonksiyonellerin elde edilmesi hakkında yaptı ğı çalış çalışmayı bunlara örnek olarak verebiliriz [59]. Bu fonksiyonel elde edildikten sonra problemler çe şitli yöntemlerle çözülebilmiş çözülebilmiştir. 1991’de Aköz ve Omurtag, helisel olabilen üç boyutlu bir çubuk için değ değişkenlere bağ ba ğlı olarak fonksiyonelleri elde edip varyasyon ve sonlu eleman yöntemleri uygulayarak çözüm elde ettikleri çalı şmalarını yayınlamış yayınlamışlardır [60].
47
1990: Omurtag doktora tezinde benzer iş i şlemleri doğ doğru ve daire eksenli uzay çubuklarla, silindirik kabuklara uygulamı ştır [61].
1994: Kadıoğ Kadıoğlu, winkler zemin modelini ele almış almı ş, elastik zemine oturan doğ do ğru ve daire eksenli kiriş kiri şlerin çeş çeşitli yüklemeler altındaki davranış davranı şlarını incelemiş incelemiştir [62].
2002: Çengel, elastik zemine oturan çerçeve sistemler üzerine çalı şmış mıştır. Winkler zemini üzerine oturan kiriş kiri şler için baş başlangıç değ değer yöntemi kullanarak çözümler bulmuş bulmuş ve bu hesapları yaparken kesme etkisini göz önüne almamı ştır [63].
2003: Ergüven ve Gedikli, Winkler zemini üzerine oturan Timoshenko kiri şi için bir karış karışık sonlu eleman formülasyonu elde etmiş etmi şlerdir [64].
6.3 Temel Denklemler
Şekil 6.1: Doğru eksenli ve simetrik kesitli bir kiriş
(Şekil 6.1)’de görüldüğ görüldü ğü gibi doğ doğru eksenli ve simetrik kesitli bir çubuk sürekli olarak bir ortam üzerine oturmuş oturmu ş olsun. Yani kiriş kiri şin mesnetlendirilmesi sürekli olsun. Kiriş Kirişin dayandığ dayandı ğı ortamın şekil değ değiştirebileceğ tirebileceğini kabul edersek, yüklerinden dolayı kiriş kiri şte
çökmesi olur. Çubuk ise ortamdan
görür. Buna göre kiriş kiri şe etkiyen bileş bileşke yükler
‘dir.
tepkisini yükleri
verildiğ verildiğine göre problemi problemi çözebilmek için yayılı tepkilerin bilinmesi gerekir. Bunun için gerekli olan ikinci denklem ancak kiri şin dayandığ dayandı ğı ortamın mekanik özelliklerini bilmekle elde edilir. Ortamın elastik ve herhangi bir A noktasındaki tepkisi aynı noktadaki olsun. Burada
çökmesiyle orantılı, yani her noktada elastik zemin sabiti olup boyutu
48
’dir.
Ortamdan ortama farklı olan bu sabit, s abit, belirli bir zemin için ancak deney yoluyla elde edilebilir.
bağ bağıntısına “Winkler hipotezi“ denir.
Elastik eğ eğriye ait diferansiyel denklem
(6.1) (6.2)
(6.3)
(6.4) (6.5)
(6.6) olup homojen denklem
(6.7) olur. Bu denklemde
alınırsa
(6.8) elde edilir.
49
7. YEREL OLMAYAN ELAST STEDE KRŞLERN EĞLMES
7.1 Giriş Bu bölümde yerel olmayan elastisite çerçevesinde ba şlangıç değ değer yöntemi kullanılarak nano boyuttaki kiriş kiri şlerin eğ eğilmesi ile ilgili bir çalış çalışma yapılmış yapılmıştır ve yerel olmayan çubuklar için çeş çe şitli uygulamalar yapılarak konu desteklenmi ştir. Günümüzde yerel olmayan oluş olu şturucu denklemlerin nanoteknolojiye uygulanması üzerine bir çok makale vardır[65,66,67,68,69,70,71,72,73]. Yerel olmayan elastisite ile klasik elastisite arasındaki temel fark, yerel olmayan elastisitenin iç atomik kuvvetlerinin uzak eriş eri şimli özelliğ özelliğini korumasıdır. Klasik elastisite teorisi, küçük uzunluk ölçeğ ölçe ğindeki klasik sürekli ortam modellerin hesaplanmasında yetersiz kalır. Önerilen nanoteknoloji aygıtları nanometre boyutlarındaki uzunluklarla ilgilenir. Bu boyutlardaki aygıtlar için yerel olmayan etkiler önemlidir. Bu yüzden atomik boyutlardaki olguları ol guları açıklayamaz. Bölümde 1)
Atomik boyutlardaki çubukların eğ e ğilmesinde yerel olmayan elastisitenin kullanılmasının klasik elastisiteye göre çok daha üstün oldu ğunu göstermek
2)
Nanoyapıların mekanik davranış davranı şlarını anlamada yerel olmayan etkilerin önemli olduğ olduğunu, dolayısıyla da yerel olmayan etkilerin nanoteknolojide önemli olduğ olduğunu göstermek amaçlanmaktadır. amaçlanmaktadır.
7.2 Yerel Olmayan Çubuk çin Uygulama I (Şekil 7.1)’de görülen düzlemdeki çubu ğun klasik elastisitedeki geometrik uygunluk koş koşulları, yönetici bağ ba ğıntı ve denge denklemleri [74]
Şekil 7.1 : Çubuk ve koordinat eksenleri 50
(7.1) (7.2) (7.3) (7.4) dır. Burada : kesme kuvveti,
: burulma momenti,
: dikey yerdeğ yerde ğiştirme,
: dönme’yi
ifade eder. (7.1) geometrik uygunluk ko şulunu ve (7.3) ile (7.4) denklemleri ise denge koş ko şullarını ifade eden denklemler olup, yerel olmayan elastisitede de geçerli olan denklemlerdir [65]. Bernoulli/Euler çubuk modeli, her tek eksenli gerginlik veya sıkış sıkıştırma durumunda, boylamasına liflerle inş in şa edilmiş edilmiş bir çubuk olduğ oldu ğu varsayımını temel alır. (Ş ( Şekil 7.1) Yerel olmayan elastisitede tek eksenli Hooke kuralı, gerilme,
klasik gerilme,
değ değiştirme, atomik mesafe,
,
yerel olmayan eksenel
makroskobik (klasik) eksenel şekil
malzeme sabiti,
Young modülü olmak üzere
(7.5) dir [75]. Şekil değ değiştime
, dönme
ve e ğrilik yarıçapı arasındaki iliş ilişki (Şekil 7.2)
(7.6) bağ bağıntısıyla tanımlanır.
51
Şekil 7.2 : Basit eğilmede sonsuz küçük bir parça
(7.5) denklemi
(7.7) şeklinde yazılabilir. (7.7) denklemini
ile çarpar ve bu sonucu tüm kesit alanı
üzerinde entegre edersek,
(7.8) sonucunu elde ederiz. Diğ Diğer taraftan,
elemanı üzerinde hareket eden gerilmesi,
ekseninde moment
üretir ( Şekil 7.1). Bu da
(7.9) dir. Tüm enkesit alanı üzerindeki
‘in integrali, toplam
momentinde
sonuçlanmalıdır.
(7.10) O halde (7.8) denklemi
(7.11) olmak üzere
(7.12) 52
Formunu alır. (7.3) ve (7.12) denklemlerini birleş birle ştirdiğ tirdiğimizde
(7.13) denklemini elde ederiz. O halde, yerel olmayan elastisitede yönetici denklemler a şağıdaki gibi olur:
(7.14) (7.15) (7.16) (7.17) Burada
eğ eğilme rijitliğ rijitliğidir. Bu denklem sistemlerini kullanarak
(7.18) bağ bağıntısı elde edilir [66].
Şekil 7.3: Elastik zemin üzerine oturan basit kiriş
Eğer (Şekil 7.3)’te görüldüğ görüldüğü gibi düzgün yükleme kuvveti kadar tüm uzunluğ uzunlu ğu
olan, baş ba ştan sona
olan basit bir çubuk elastik zemine oturtulmuş oturtulmu ş ise, o zaman
düzgün yükleme kuvveti
; (
) ile yer de ğiştirir. Buradaki yay sabitidir.
Bu durumda (7.14), (7.15), (7.16), (7.17) denklemleri
(7.19)
53
(7.20) (7.21) (7.22) formuna dönüş dönü şür. Problem vektörel diferansiyel denklem formunda
(7.23)
olarak ifade edilir. Baş Başlangıç değ değer yöntemi matrissel gösterimde
(7.24) olar larak ifade edilir lir ve çözüm
temel matri tris olmak üzere
(7.25) olur.
baş başlangıç değ değerleri ile
çözümü ve
temel matris arasında
(7.26) şeklinde bir bağ ba ğıntı vardır.
matrisi aynı zamanda ta şıma matrisi olarak bilinir.
fonksiyonu taş taşıma matrisini verir [76] ve
(7.27) formunda sürekli grup özelliğ özelli ğine sahiptir. Hesaplanan taş ta şıma matrisinin elemanları aşağıda verilmiş verilmiştir.
(7.28)
54
(7.29)
(7.30)
(7.31)
(7.32)
(7.33)
55
(7.34)
(7.35)
(7.36)
(7.37)
(7.38)
(7.39)
56
(7.40)
(7.41)
(7.42)
(7.43)
7.2.1 Sonuçlar ve de ğerlendirme Bu uygulamada (Ş ( Şekil 7.3)’te görüldüğ görüldü ğü gibi düzgün yükleme kuvveti baş baştan sona kadar tüm uzunluğ uzunlu ğu
olan,
olan elastik yarı düzlemdeki basit bir çubuk, yerel
olmayan elastisite çerçevesinde araş ara ştırılmış tırılmıştır. noktasındaki dikey yerdeğ yerde ğiştirme
ve eğilme momenti
‘ın değ değerleri
sıfırdır. Eğ Eğer biz bu baş başlangıç değ değerlerini (7.25) denkleminin içine koyarsak ve
(7.44)
57
sınır koş koşullarını kullanırsak, diğ di ğer
baş başlangıç değ değerleri elde edilir.
ve
Buradan da yerel olmayan elastisitede ba şlangıç değ değer probleminin ve
bilinmeyenleri bulunur.
,
,
ve
,
,
birçok terim
içerdiğ içerdiği için, örnek problemin gerilme bileş bile şenleri ve yerdeğ yerde ğiştirmeleri ihmal edilmiş edilmiştir. Bu problemde kesme kuvveti
ve burulma momenti
hem klasik
elastisitede hem de yerel olmayan olmayan elastisitede aynıdır. Fakat dikey yerde yerde ğiştirme ve dönme
farklıdır. Yerel ve yerel olmayan dönmelerin ve yerde ğiştirmelerin
oranı (Ş (Şekil 7.4) ve (Ş ( Şekil 7.5)‘te gösterilmiş gösterilmiştir.
Şekil 7.4 : A noktasındaki yerel ve yerel olmayan dönmelerin oranı
58
Şekil 7.5: Orta noktadaki yerel ve yerel olmayan yerdeğiştirmelerin oranı
Bu bölümde yapılan çalış çalı şmayı şu şekilde değ değerlendirebiliriz: Yerel olmayan elastisite teorisi, nanoyapıların mekanik davranı şlarını anlamada klasik elastisite teorisine göre çok daha güçlüdür. Elastik yarı düzlemdeki çubukta ortaya çıkan gerilme ve şekil değ değiştirmeler, baş başlangıç değ değerleri yöntemi kullanılarak yerel olmayan elastisite çerçevesinde hesaplanmı ş ve bu yöntemin uygulanabilirliğ uygulanabilirli ği için gerekli olan taş taşıma matrisi elde edilmiş edilmi ştir. Uygulamada verilen çubuğ çubu ğun boyu (
) arasında atomik boyutlara indirgendi ğinde yerel olmayan
etkilerin önemli olduğ olduğu görülür. Elde edilen sonuçlar, yerel olmayan etkilerin nanoteknolojide önemli olduğ oldu ğunu ortaya koymaktadır.
7.3 Yerel Olmayan Çubuk çin Uygulama II (Şekil 7.6)’da görülen üniform yüklü bir kiri şin klasik elastisitedeki temel denklemleri
59
Şekil 7.6: Uniform yüklü bir kiriş kiri ş
(7.45) (7.46) (7.47) (7.48) Yerel olmayan elastisitedeki temel denklemler
(7.49) (7.50) (7.51) (7.52) şeklindedir. Problem, vektörel diferansiyel denklem formunda yazılırsa
(7.53)
60
Bir önceki örnekteki gibi bu sistem matrissel gösterimde yazılır ve baş başlangıç değ değerleri arasındaki bağ ba ğıntıdan
çözümü ile
taş taşıma matrisi elde edilir.
Bulunan taş taşıma matrisi aş aşağıdaki gibidir:
(7.54)
görüldü ğü gibi yerel olmayan olmayan elastisite çerçevesinde çerçevesinde üniform yüklü bir kiriş kiri şi Şekilde görüldüğ inceleyelim.
noktasında dikey yerdeğ yerde ğiştirme
ve dönme
sıfırdır.
Eğer bu baş başlangıç değ değerlerini (7.25) nolu denklemde yerine koyarsak ve
(7.55) sınır koş koşullarını kullanırsak, diğ diğer
ve
baş başlangıç değ değerleri elde edilir.
Buradan da yerel olmayan elastisitede ba şlangıç değ değer probleminin ve
,
,
bilinmeyenleri bulunur. Bunlar
(7.56) (7.57) (7.58) (7.59) Yukarıda bulunan yerel olmayan de ğerlerde
da limite geçersek, klasik
elastisitedeki çözümü elde etmiş etmi ş oluruz. Klasik elastisitedeki çözüm şöyledir:
(7.60) (7.61) (7.62)
61
(7.63) 7.3.1 Sonuçlar ve de ğerlendirme Klasik sürekli ortam modeli, büyük uzunluk ölçe ğindeki modellerin hesaplanmasında yeterli olmasına rağ rağmen, küçük uzunluk ölçeğ ölçe ğindeki modellerin hesaplanmasında yetersiz kalmaktadır. Kritik şekil değ değiştirmelerde küçük uzunluk ölçeğ ölçe ğinin önemini incelemek için, yerel olmayan gerilme ve şekil değ değiştimeleri, yerel gerilme ve şekil değ değiştirmelerle karş karşılaş ılaştırılmış tırılmış ve bu karş kar şılaş ılaştırmalar (Ş (Şekil 7.7-Ş 7.7-Şekil 7.12)’de grafiksel olarak gösterilmiş gösterilmi ştir. Nanomalzemelerin yerel modelleri hatalı, yetersiz ve yanıltıcı olabilir. Uygulamada ele alınan çubuğ çubu ğun boyu
arasında atomik boyutlara
indirgenmiş indirgenmiş olup, bu boyutlardaki çubuklarda yerel olmayan etkilerin önemli oldu ğu sonucu ortaya çıkmış çıkmı ştır. Önerilen nanoteknoloji aygıtları nanometre boyutlarındaki uzunluklarla ilgilenir. Bu boyutlardaki aygıtlar için yerel olmayan etkiler önemlidir. Dolayısıyla elde edilen sonuçlardan, yerel olmayan etkilerin nanoteknolojide önemli oldu ğu sonucuna varılır.
Şekil 7.7 :
için yerdeğiştirmelerin diyagram di yagramıı 62
Şekil 7.8:
Şekil 7.9:
için dönmelerin diyagramı diyagramı
için momentlerin momentlerin diyagramı 63
Şekil 7.10:
için kesme kuvvetleri diyagramı
Şekil 7.11: A noktasındaki momentlerin oranı 64
ekil 7.12: B noktasındaki dönmelerin oranı
65
8. YEREL OLMAYAN ELAST STEDE BURKULMA
8.1 Doğru Eksenli Elastik Çubu ğun Stabilitesi
Şekil 8.1: Doğru eksenli bir çubuk modeli
(Şekil 8.1)’de görüldüğ görüldü ğü gibi elastik zemine oturan ve N eksenel kuvvetin etkisi altında EI eğ e ğilme rijitliğ rijitliği olan düzlemdeki doğ do ğru eksenli bir çubuğ çubu ğu ele alalım[55]. Burada
parametresiyle herhangi bir dik kesiti tarif edelim. Yerdeki durumun
tanınabilmesi için
çökme,
e ğim,
burkulma momenti ve
kesme kuvveti olan dört durum fonksiyonunun belirlenmesi gerekir. Bu fonksiyonları
durum vektörünün koordinatları olarak düş dü şünürsek, kolon
matris olarak
(8.1)
şeklinde ifade edebiliriz. Bu çubuğ çubu ğun klasik elastisitedeki geometrik uygunluk koş koşulları, oluş oluşturucu bağ bağıntı ve denge denklemleri
(8.2) (8.3)
66
(8.4) (8.5) dir. Buradaki (8.2) denklemi, geometrik uygunluk ko şulunu ifade eden denklem ve (8.4) ile (8.5) denklemleri de denge ko şullarını ifade eden denklemler olup hem klasik elastisitede hem de yerel olmayan elastisitede geçerlidirler. Di ğer taraftan (8.3) denklemi, yerel olmayan elastisitede farklı bir formda ifade edilir. Şimdi bu denklemi elde etmeye çalı çalışşalım: Kesmeli eğ eğilmeden hatırlarsak elastik eğ e ğiriyi veren lineer haldeki diferansiyel denklem (8.3) denklemidir ve (8.2) denklemi ise elastik e ğrinin eğ eğimini veren denklemdir. Yerel olmayan elastisitede tek eksenli Hooke kuralı;
(8.6) denklemiyle ifade edilir. Burada klasik gerilme, ve
olup
klasik eksen gerilmesi,
Young modülüdür.
gerilmesi,
yerel olmayan eksen gerilmesi, iç karakteristik uzunluk,
dönmesi ve
sabit
e ğriliğ riliği arasındaki iliş ilişkiyi
veren bağ bağıntı
(8.7) olduğ olduğundan (8.7) denklemini (8.6) denkleminde yerine yazarsak,
(8.8) olur. (8.8)’i
ile çarpıp çıkan sonucu
alanına göre entegre edersek;
(8.9)
elemanı üzerine etkidiğ etkidi ğinde,
olur.
gerilmesi
Yani
entegre edildiğ edildiğinde
ekseninde bir moment üretir.
olup (8.9) denklemi tekrar düzenlenirse
(8.10)
67
olarak alınmış alınmı ştır.
elde edilir. Burada
Yerel olmayan elastisitede geçerli olan denklem
(8.11) denklemiyle ifade edilir. Elastik eğ e ğride
çökmesi ile
arasındaki iliş ili şkinin
olduğ oldu ğunu hatırlarsak (8.2)
diferansiyel denkleminin
denklemini kullanarak (8.11) denklemini tekrar düzenledi ğimizde
(8.12) elde ederiz. (8.4) denklemi yardımıyla
(8.13) olur. (8.12) denklemine
ifadesini koyup tekrar düzenlersek
(8.14) olur. Problemi vektörel diferansiyel denklem formunda ifade edersek,
olmak
üzere
(8.15)
olur. Baş Başlangıç değ değer problemi matrissel gösterimde
(8.16) olar larak ifade edilir lir ve çözüm
temel matri tris olmak üzere
(8.17)
68
olur. Homojen denklemin
çözümü ile
baş ba şlangıç değ değerleri ve
temel
matris arasında
(8.18) şeklinde bir bağ ba ğıntı vardır.
matrisi aynı zamanda taş ta şıma matrisi olarak bilinir
ve
(8.19) formunda sürekli grup özelliğ özelli ğine sahiptir. Hesaplanan taş ta şıma matrisi elemanları şöyledir:
(8.20)
(8.21)
(8.22)
(8.23)
(8.24) (8.25)
(8.26)
(8.27)
69
(8.28) (8.29)
(8.30)
(8.31)
(8.32) (8.33) (8.34) (8.35)
8.2 Burkulma Uygulamaları Elastik bir çubuğ çubu ğa etki eden eksenel kuvvetin değ de ğeri arttırıldığ arttırıldığında, kuvvet belli bir değ değerin üstüne çıktığ çıktı ğı andan itibaren dengesini kaybederek kararsız denge konumuna gelir ve eğ e ğilmeye baş başlar. Çubuk elastik eğ e ğri şeklini alır. Bu eksenel kuvvetin değ de ğeri arttırılmaya devam edilirse çubuğ çubu ğun eğ eğilme miktarı artar ve öyle bir an gelir ki çubuk kırılır. Bu olaya burkulma ( buckling ) denir. Eğer çubuk burkulursa, eğ e ğri formdan ötürü gelen zorlamalar o kadar büyük olur ki çubuk deforme olur. Mühendisler için önemli olan nokta, çubu ğun burkulmamasını sağ sağlamaktır. Burada, burkulmada çubu ğa dış dışarıdan bir eğ e ğilme momenti etkimediğ etkimedi ğini, çubuğ çubuğun eksenel kuvvet etkisinde dengesini kaybederek kaybederek e ğildiğ ildiğini dikkate aldığ aldığımızı unutmamak gerekir. Bu eksenel kuvvetin arttırımı sırasında çubu ğun stabilitesini bozan en küçük yük, kritik burkulma yüküdür. Taş Taşıma matrisi yoluyla doğ do ğru eksenli elastik çubukların stabilitesine ait burkulma determinantlarını sistematik olarak kolayca bulabiliriz. Buna örnek olarak a şağıda 4 farklı uygulama ele alınacak ve burada kullanılan ta şıma matrisi elemanları, daha önce bulduğ buldu ğumuz (8.20-8.35) nolu denklemlerde gösterilen ta şıma matrisi elemanları olacaktır.
70
8.2.1 Uygulama I
Şekil 8.2: ki ucu sabit olan doğru eksenli bir kiriş
Doğ Doğru eksenli çubuğ çubu ğa ait bir uygulama olmak üzere iki ucu sabit olan do ğru eksenli bir kiriş kiriş ele alalım.(Ş alalım.(Şekil 8.2) Burada
çökme,
eğ e ğim,
moment,
kesme kuvveti olmak üzere 4
durum fonksiyonunu belirlemek gerekir. Bu fonskiyonları
durum vektörünün koordinatları olarak sayarsak;
baş başlangıç değ değerleri ve
taş taşıma matrisi olmak üzere
olduğ olduğundan
(8.36)
olur. Bu uygulamada baş ba şlangıç vektörü
(8.37)
olduğ olduğundan
baş başlangıç noktasında bilinmeyenler
tanedir. Bu bilinmeyenler belli olursa
ve ve
olmak üzere iki denklemlerini elde
ederiz. noktasında sağ sağ uçtaki sınır şartlarından ötürü olduğ olduğundan
ve
denklemlerine ihtiyacımız olduğ oldu ğundan,
denkleminde yerine yazarsak
71
ve 'ı (8.36)
olur. noktasındaki sınır şartlarını bu denklemlerde yerine yazarsak,
olur. Bulduğ Bulduğumuz bu lineer denklem sistemini matris formunda ifade edersek,
(8.38) olur. Bu sistemin homojen haldeki çözümü yani trivial çözümü mevcuttur. Sis temin a şikâr trivial çözümden baş ba şka çözümünün olabilmesi için lineer denklemdeki katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. Yani
(8.39) Bu determinanta burkulma determinantı denir. ve
'ın her ikisi birden sıfır olmamak şartıyla bu lineer denklem sisteminin
çözümü bulunabilir. Buradan elde ettiğ etti ğimiz normal kuvvet denklemi, bizim uygulamamızdaki burkulmaya neden olan kuvvetin denklemidir. Buna göre, bu determinantı daha önce bulduğ buldu ğumuz taş taşıma matrisi değ değerlerine göre hesaplarsak yerel olmayan burkulma yükünü elde etmi ş oluruz. Şimdi örneğ örneğimizdeki bu kiriş kiriş için yerel olmayan olma yan burkulma yükünü hesaplayalım:
72
da bulunan
değ de ğeri yerine yazılırsa, yerel olmayan burkulma yükünün
değ değeri
(8.40) olarak bulunur. Yerel olmayan burkulma yükünde
alınarak klasik burkulma yükü elde edilmi ş
olur. Klasik burkulma yükü,
(8.41) olarak bulunur. Klasik burkulma yükünün yerel olmayan burkulma yüküne oranının büyüdüğ büyüdü ğü grafikte gösterilmiş gösterilmiştir. (Ş (Şekil 8.3)
Şekil 8.3:
ve uydurulmuş polinom 73
oranı arttıkça
8.2.2 Uygulama II Bir ucu sabit, diğ diğer ucu ankastre olan doğ do ğru eksenli bir çubuğ çubu ğu ele alalım. (Ş ( Şekil 8.4)
Şekil 8.4: Bir ucu sabit, diğer ucu ankastre olan doğru eksenli bir kiriş
Bu uygulamada baş ba şlangıç vektörü
(8.42)
olduğ olduğundan
baş başlangıç noktasındaki bilinmeyenler
ve
olmak üzere
iki tanedir. Bu bilinmeyenler belli olursa Sağ Sağ uçtaki ve
ve
denklemlerini elde ederiz.
noktasında sınır şartlarından ötürü
ve
denklemlerine ihtiyacımız olduğ oldu ğundan,
denkleminde yerine yazarsak
olur. noktasındaki sınır şartlarını bu denklemlerde yerine yazarsak,
olur. Bu lineer denklem sistemini matris formunda ifade edersek,
74
olduğ oldu ğundan değ değerini (8.36)
(8.43) olur. Bu lineer denklem sisteminin homojen haldeki çözümü yani trivial çözümü mevcuttur. Sistemin aş a şikâr trivial çözümden baş ba şka çözümünün olabilmesi için lineer denklemdeki denklemdeki katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. Yani
(8.44) olmalıdır. ve
'ın her ikisi birden sıfır olmamak şartıyla bu lineer denklem sisteminin
çözümü bulunabilir. Buradan elde ettiğ etti ğimiz normal kuvvet denklemi, bizim uygulamamızdaki burkulmaya neden olan kuvvetin denklemidir. Buna göre, bu determinantı daha önce buldu ğumuz taş taşıma matrisi değ değerlerine göre hesaplarsak yerel olmayan burkulma yükünü elde etmi ş oluruz. Bu kiriş kiriş için yerel olmayan burkulma yükünü hesaplayalım
75
olduğ olduğundan
ve
ve
özdeş özdeşliklerini dikkate aldığ aldığımızda
olur. Buradan
olur.
olarak tanımlarsak,
76
(8.45)
olarak bulunur. Yerel olmayan burkulma yükünde
alınarak klasik burkulma yükü elde edilmi ş
olur. Klasik burkulma yükü,
(8.46)
olarak bulunur. Klasik burkulma yükünün yerel olmayan burkulma yüküne oranının oranı arttıkça büyüdüğ büyüdü ğü grafikte gösterilmiş gösterilmi ştir. (Ş (Şekil 8.5)
Şekil 8.5:
ve uydurulmuş polinom
77
8.2.3 Uygulama III çubu ğu ele alalım.(Ş alalım.(Şekil 8.6) ki ucu ankastre olan do ğru eksenli bir çubuğ
Şekil 8.6 : ki ucu ankastre olan do ğru eksenli bir kiriş
Bu uygulamada baş ba şlangıç vektörü
(8.47)
olduğ olduğundan
baş ba şlangıç noktasında bilinmeyenler
tanedir. Bu bilinmeyenler belli olursa
ve ve
olmak üzere iki denklemlerini elde
ederiz. noktasında sağ sağ uçtaki sınır şartlarından ötürü ve
ve
denklemlerine ihtiyacımız olduğ oldu ğundan,
olduğ olduğundan değ değerini (8.36)
denkleminde yerine yazarsak
olur. noktasındaki sınır şartlarını bu denklemde yerine yazarsak
olur. Bu lineer denklem sistemini matris formunda ifade edersek
(8.48)
78
olur. Bu lineer denklem sisteminin homojen haldeki çözümü yani trivial çözümü mevcuttur. Sistemin aş a şikâr trivial çözümden baş ba şka çözümünün olabilmesi için lineer denklemdeki denklemdeki katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. Yani
(8.49) olmalıdır. Buna göre, bu determinantı daha önce buldu ğumuz taş taşıma matrisi değ değerlerine göre hesaplarsak yerel olmayan burkulma yükünü elde etmi ş oluruz. Bu kiriş kiriş için yerel olmayan burkulma yükünü hesaplayalım:
özdeş özdeşliklerini dikkate aldığ aldığımızda
ve
olduğ olduğundan
değ de ğeri yerine yazılırsa, yerel olmaya burkulma yükü
(8.50)
79
olarak bulunur. Yerel olmayan burkulma yükünde
alınarak klasik burkulma yükü elde edilmi ş
olur. Klasik burkulma yükü
(8.51) olarak bulunur. Klasik burkulma yükünün yerel olmayan burkulma yüküne oranının
oranı arttıkça
büyüdüğ büyüdü ğü grafikte gösterilmiş gösterilmiştir. (Ş (Şekil 8.7)
Şekil 8.7:
ve uydurulmuş polinom
8.2.4 Uygulama IV Sol ucu ankastre olarak mesnetlenmi ş ve sağ sağ ucu boş boş olan doğ doğru eksenli bir çubuğ çubu ğu ele alalım. (Ş (Şekil 8.8)
80
Şekil 8.8: Bir ucu ankastre, diğer ucu boş olan doğru eksenli bir kiriş
Bu uygulamada baş ba şlangıç vektörü
(8.52)
olduğ olduğundan
baş ba şlangıç noktasında bilinmeyenler
tanedir. Bu bilinmeyenler belli olursa ederiz. olduğ olduğundan
ve ve
olmak üzere iki denklemlerini elde
noktasında sağ sa ğ uçtaki sınır şartlarından dolayı ve
denklemlerine ihtiyacımız olduğ oldu ğundan,
ve değ değerini
(8.36) denkleminde yerine yazarsak
olur. noktasındaki sınır şartlarını bu denklemde yerine yazarsak
olur. Bu lineer denklem sistemini matris formunda ifade edersek,
(8.53) olur.
81
Bu lineer denklem sisteminin homojen haldeki çözümü yani trivial çözümü mevcuttur. Sistemin aş a şikâr trivial çözümden baş ba şka çözümünün olabilmesi için lineer denklemdeki denklemdeki katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. Yani
(8.54) olmalıdır. Buna göre, bu determinantı daha önce buldu ğumuz taş taşıma matrisi değ değerlerine göre hesaplarsak yerel olmayan burkulma yükünü elde etmi ş oluruz. Bu kiriş kiriş için yerel olmayan burkulma yükünü hesaplayalım:
olur. Buradan olduğ olduğundan
bulunur. değ de ğeri yerine yazılırsa, yerel olmayan burkulma yükü
(8.55) olarak bulunur. Yerel olmayan burkulma yükünde
alınarak klasik burkulma yükü elde edilmi ş
olur. Klasik burkulma yükü,
(8.56) olarak hesaplanır. Klasik burkulma yükünün yerel olmayan burkulma yüküne oranının büyüdüğ büyüdü ğü grafikte gösterilmiş gösterilmiştir. (Ş (Şekil 8.9)
82
oranı arttıkça
Şekil 8.9 :
ve uydurulmuş polinom
8.3 Değişken Kesitli Çubuklarda Burkulma Yüklerinin Hesaplanması Büyük boyutlardaki matrisler için burkulma determinantının hesaplanmasında klasik tekniklerin kullanılması yoğ yo ğun ve karmaş karma şık hesaplamalara neden olduğ oldu ğundan, dolayısıyla da çözümü zorlaş zorla ştırdığ tırdığından, klasik teknikler yerine taş ta şıma matrisi kullanılmasının çözümü sistematikleş sistematikle ştirip basitleş basitleştirdiğ tirdiğini göstermek için değ de ğişken kesitli bir çubuk uygulaması örnek olarak verilecektir.
8.3.1 Değişken kesitli çubuklarda ta şıma matrisinin hesaplanması Bir baş başlangıç değ değer problemi,
(8.57) şeklinde verilsin. Burada
, bilinmeyenlerin (
değ değerlerini içeren kolon matris,
)
koordinatındaki
ise bilinmeyenlerin baş ba şlangıçtaki (
değ değerlerini içeren kolon matristir. Bu problemin çözümü,
83
)
(8.58) taş taşıma matrisi adını alır. Burkulma probleminde taş ta şıma matrisinde
dir. Burada
iki temel parametre vardır, bunlar ve ’dır. Bu nedenle taş ta şıma matrisini göstereceğ göstereceğiz. bölgede
çubuk rijitliğ rijitli ği ile ilgilidir, bu nedenle birinci bölgede
ile , ikinci
kullanacağ kullanaca ğız. (8.58) denklemi, bilinmeyenlerin 'deki değ de ğerini bulmak
için taş taşıma matrisi ile baş başlangıç değ değerlerini içeren
kolon vektörünü çarpmak
gerekir şeklinde yorumlanabilir.
Şekil 8.10 : Değişken kesitli bir kiriş modeli
Şimdi
noktasını baş başlangıç olarak seçtiğ seçti ğimizi düş düşünelim.
‘den
kadar
uzaklıktaki bilinmeyenleri hesaplamak için, taş ta şıma matrisi ile bilinmeyenlerin yeni seçtiğ seçtiğimiz baş başlangıç noktasındaki (
’deki) de ğerlerini içeren kolon vektörü
çarpılmalıdır.
’de bilinmeyenlerin değ de ğerini bulmak için
matrisinde z yerine
yazarak (8.58) denklemini kullanabiliriz.
Bu açıklamalar bağ ba ğlamında yeni baş ba şlangıç değ değerlerimiz
taş taşıma aş aşağıdaki gibi
hesaplanabilir.
(8.59) ’den
kadar uzaktaki değ de ğerler, taş taşıma matrisi ile yeni seçtiğ seçti ğimiz baş başlangıç
nokt noktas asın ında daki ki bil bilin inme meyyenle enleri rinn (
’dek ’dekii bili bilinm nmey eyen enle leri ri içe içere renn kolo kolonn vekt vektör örün ün))
çarpımı ile bulunabilir. Yani
(8.60) dir. (8.60) kullanılırsa bu bağ ba ğıntı
(8.61) şeklini alır.
çarpımı bizim yeni taş taşıma matrisimizdir. Yani
84
(8.62) Hesaplanan taş taşıma matrisinin elemanları şöyledir:
(8.63)
(8.64)
(8.65)
(8.66) (8.67)
(8.68)
(8.69)
85
(8.70) (8.71)
(8.72)
(8.73)
(8.74) (8.75) (8.76) (8.77) (8.78) 8.3.2 Uygulama (Şekil 8.11)’deki gibi sol uçtan ankastre olarak mesnetlenmi ş değ değişken kesitli bir çubuğ çubuğun burkulma yüklerini hesaplayalım.
86
Şekil 8.11 : Sol uçtan ankastre olarak mesnetlenmiş değişken kesitli bir çubuk
BC bölgesi için çözüm, A noktasındaki baş ba şlangıç değ değerlerine göre
(8.79) bağ bağıntısı kullanılarak elde edilir. Eğer B noktası baş başlangıç noktası olarak seçilirse,
aralığ aralığında
(8.80) olmak üzere çözüm
(8.81) olur. (8.79) ifadesini (8.81)’e yerleş yerle ştirdiğ tirdiğimizde A noktasındaki baş ba şlangıç değ değerlerine göre elde edilen BC bölgesindeki çözümü elde etmi ş oluruz. Bu da
(8.82) olur. Bu uygulamada baş ba şlangıç vektörü
(8.83)
olduğ olduğundan
baş ba şlangıç noktasında bilinmeyenler
tanedir. Bu bilinmeyenler belli olursa
ve ve
ederiz.
87
olmak üzere iki denklemlerini elde
noktasında sağ sağ uçtaki sınır şartlarından dolayı olduğ olduğundan
ve
denklemlerine ihtiyacımız olduğ oldu ğundan,
’ı (8.36)
denkleminde yerine yazarsak
olur.
noktasındaki sınır şartlarını bu denklemlerde yerine yazarsak,
olur. Bulduğ Bulduğumuz bu lineer denklem sistemini matris formunda ifade edersek,
(8.84) olur. Bu lineer denklem sisteminin homojen haldeki çözümü yani trivial çözümü mevcuttur. Sistemin aş a şikar trivial çözümden baş ba şka çözümünün olabilmesi için lineer denklemdeki denklemdeki katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. Yani
(8.85) olmalıdır. Buna göre, bu determinantı daha önce buldu ğumuz taş taşıma matrisi değ değerlerine göre hesaplarsak yerel olmayan burkulma yüklerini elde etmi ş oluruz. Bu kiriş kiriş için yerel olmayan burkulma yüklerini hesaplayalım:
88
özdeş özdeşlikleri kullanılırsa
ve
olur.
özdeşliklerinden yararlanarak tekrar
ve
düzenlersek
Bu transandant denklemin klasik ve yerel olmayan burkulma yükleri, verilen değ değerlere göre hesaplanır. Bu denklemin iki farklı yerel olmayan burkulma yükü ve iki farklı klasik burkulma yükü mevcuttur. Problemde verilen değ de ğerlere göre bulacağ bulaca ğımız en küçük burkulma yükü aradığ aradı ğımız burkulma yükü olacaktır. Burada
89
(8.86) alırsak, ifadenin sıfıra eş e şit olması için
(8.87) olmalıdır. Bulunan
ve
değ de ğerleri
(8.88)
, şeklindedir. O halde değ de ğişken kesitli çubuğ çubu ğun yerel olmayan burkulma yükleri ,
(8.89) olur. Bu iki yerel olmayan burkulma yükünün hangisinin küçük oldu ğu, problemde verilen değ değerler yerine konarak bulunur. Böylece aranan burkulma yükleri elde edilmiş edilmiş olur. Yerel olmayan burkulma yüklerinin değ de ğerlerinde
alınarak klasik burkulma
yükleri elde edilmiş edilmi ş olur. Bu çubuk için klasik burkulma yüklerinin değ de ğerleri şöyledir:
(8.90)
,
Özel bir hal olarak yukarıda hesapladı ğımız klasik ve yerel olmayan burkulma yüklerinde
,
,
alınırsa, klasik ve yerel olmayan
burkulma yükleri
(8.91)
, olur.
90
9. SONUÇLAR Bilindiğ Bilindiği gibi nanoteknoloji, moleküler boyutta (1-100 nm) fonksiyonel sistemlerin mühendisliğ mühendisliğidir. Atom ve moleküler ölçeğ ölçe ğinde özel yöntem ve tekniklerle yapıların, materyallerin ve araçların inş in şâ edilmesini, bu ölçekte ölçme, tahmin etme, izleme ve yapım
faaliyetlerinde
bulunmayı,
benzeri
görülmemi ş
özelliklerde
yeni
nanoteknolojik aygıtlar üretmeyi hedefler. Nanoteknolojiyi uygulanabilir kılan şey, atomların yapısı ve aralarındaki olağ ola ğanüstü organizasyon özelliğ özelli ği olduğ olduğundan atomların yapısı ve davranış davranı ş biçimlerinin çok iyi bilinmesi gerekir. Bu çalış çalışmanın sonuçlarını şu şekilde özetleyebiliriz: 1) Çalış Çalışmada yerel olmayan elastisite teorisinin nanometre boyutlarındaki yapılarda kullanılmasının klasik elastisite teorisine göre üstünlüğ üstünlü ğünü göstermek amacıyla çeş çeşitli uygulamalar yapılmış yapılmı ştır. Uygulamalarda örneklendirilen çubuklarda ortaya çıkan gerilme ve şekil değ değiştirmeler baş başlangıç değ değer yöntemi kullanılarak hesaplanmış hesaplanmıştır. Bu yöntemin uygulanabilirliğ uygulanabilirliği için gerekli olan taş ta şıma matrisleri elde edilmiş edilmiştir. Taş Taşıma matrisi elde edildikten sonra çeş çe şitli türlerde desteklenmiş desteklenmi ş çubuklar için kritik yükler hesaplanmış hesaplanmı ştır. Bir çubuğ çubuğa ait oluş oluşturulacak taş taşıma matrislerinin bilinmesi, a) Her tip yükleme için kolayca tüm bilinmeyenlerin (kuvvet, moment, yerdeğ yerdeğiştirme, dönme) hesaplanmasını sağ sa ğlamaktadır. b) Çubukların kuvvetler etkisi altındaki davranı şını sistematik olarak incelemeyi sağ sağlamaktadır. c) Atomlararası etkileş etkileşmenin çubuk ekseni doğ do ğrultusunda yoğ yo ğunlaş unlaştığ tığı bir yerel olmayan teori kullanarak çubu ğa etki eden dış dı ş kuvvetlerle çubuğ çubu ğun şekil değ değiştirmesi arasındaki iliş ilişkiyi kurmaktadır. d) Doğ Doğru eksenli çubuklarda kesme kuvvetinin de etkisi gözönüne alınarak yerel olmayan teoride taş ta şıma matrisinin bilinmesi, betonun mukavemetinin arttırılmasını sağ sağlayan bu çubukların daha gerçekçi ve sistematik bir şekilde incelenmesine yardımcı olacağ olaca ğı düş düşünülmektedir. 91
Kesit alanı atomsal boyutta olan çubuklara yerel olmayan teoriyi uygularken ta şıma matrisi yönteminin kullanılması sayesinde, nanoboyuttaki bu çubukların kuvvetler etkisi altındaki davranış davranı şlarının daha gerçekçi ve sistematik bir şekilde incelenmesi mümkün olmuş olmuştur. 2) Son zamanlarda yapılan çe çeşşitli deneysel sonuçlar, modelin boyutları veya araş araştırılan malzemenin hacmi küçüldüğ küçüldü ğü zaman mekanik özelliklerde boyut etkisinin önemli olduğ olduğunu göstermiş göstermiştir. Klasik süreklilik teorilerinin, modelin boyutu malzemenin iç uzunluk boyutu ile kar şılaş ılaştırılabilir bir boyutta olduğ olduğu zaman baş başarısız olduğ olduğu düş düşünülmektedir. Bu eksikliğ eksikli ği gidermek için klasik elastisite formüllerinde çeş çeşitli değ değişiklikler ileri sürülmüş sürülmüştür. 3) Nanoyapıların mekanik davranış davranı şlarını anlamada yerel olmayan etkilerin klasik elastisiteye göre çok daha güçlü oldu ğu vurgulanmış vurgulanmıştır. 4) Nanoteknolojide
ilk
uygulamalar
karbon
nanotüp
yapısı
kullanılarak
gerçekleş gerçekleştirilmiş tirilmiştir. Karbon nanotüpler nanoteknolojinin geli şmesine çok önemli katkılar sağ sağlamaktadır. Karbon nanotüpler hem yapısal, hem de mekanik özellikleri bakımından nanoölçekteki malzemelere en güzel örneklerden biri olup, sahip oldukları olağ olağanüstü özelliklerden dolayı bilinen en sert ve en güçlü liflerdir. Karbon nanotüplerin son 10 yıldaki keş ke şifleri, birçok araş araştırmacının dikkatini çekmiş çekmi ştir. Bu çalış çalışmada karbon nanotüpler, nano boyutta grafit karbonların içi bo ş silindirik çubukları olarak düş dü şünülebilir. Bu tüpler çekmeye karş kar şı dayanıklıdırlar ancak basınca karş karşı mukavemetleri oldukça düş dü şüktür. Bu nedenle, bunların basınç etkisi altındaki davranış davranı şlarının incelenmesi büyük önem kazanır. Bu çalış çalışmada ayrıca yerel olmayan elastisite çerçevesinde ba şlangıç değ değer yöntemi kullanılarak hem doğ do ğru eksenli elastik bir çubuğ çubu ğun hem de değ de ğişken kesitli bir çubuğ çubuğun burkulması araş araştırılmış tırılmıştır. Yapı nanometre boyutlarına indirgendi ğinde yerel olmayan parametre olan 'nın bu çalış çalı şmanın sonucu üzerine önemli etkileri vardır. Bazı durumlarda klasik ve yerel olmayan burkulma yüklerinin oranı 1.4’e kadar çıkmaktadır. Literatürde geleneksel yöntemler kullanılarak do ğru eksenli çubuklarda burkulma yükleri (4x4)’lük determinantlardan elde edilirken, 8.bölümde do ğru eksenli çubuklar için yapılan uygulamalarda burkulma yükleri (2x2)’lik determinantlardan elde edilmiş edilmiştir. Değ Değişken kesitli çubuklarda burkulma yükleri hesabı literatürde
92
(8x8)’lik determinantlardan elde edilirken, yine (8.3.2)’deki de ğişken kesitli çubuk örneğ örneğinde görüldüğ görüldü ğü gibi burkulma yükleri hesabı (2x2)’lik determinatlardan elde edilmiş edilmiştir. Böylece klasik tekniklerin kullanılmasının getirdi ği yoğ yoğun ve karmaş karma şık hesaplamalardan kurtulmuş kurtulmu ş olunur. Uygulamalardan elde edilen sonuçlar, karbon nanotüplerin burkulmasında yerel olmayan etkilerin önemli oldu ğunu, dolayısıyla da nanoteknolojide yerel olmayan etkilerin önemli oldu ğunu göstermiş göstermiştir.
93
KAYNAKLAR [1] Hierold, C., Jungen C. and Helbling. T. , 2007. Nanoelectromechanical sensors based on carbonnanotubes sensors and actuators, A: Physical, 136(1), 51-61. [2] Gu, F.X., Karnik, R., Wang, A. and Nissenbaum , L.E., 2007. Targeted nanoparticles for cancer therapy, NanoToday, 2(3), 14-21. [3] Çıracı , S., 2005. Nanoteknolojide yeni ufuklar, Bilim ve Teknik Dergisi. [4] Gürbüz, G. B. , 2002. Nanoteknoloji ve mezoskopik, mezoskopik, Yüksek Lisans Tezi, .T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. [5] Erkoç, Ş., 2007. Nanobilim ve Nanoteknoloji, O.D.T.Ü. Bilim ve Toplum Kitapları Dizisi, Ankara. [6] Gencer, Y. , 2006. Nanoteknoloji ve karbon nanoyapılar, Bitirme Tezi, Ankara Üniversitesi, Ankara. [7] Erkoç, Ş., 2001. Structural and electronic properties of single-wall nanotubes, Journal of Molecular Structure, 542, 89-93. [8] Artan, R., 1992. Yerel olmayan plastisitede varlık ve teklik problemleri, Doktora Tezi, .T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. [9] Oruçoğlu, K., 1991. Yerel olmayan elastisitede çatlak problemi, Doktora Tezi, .T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. [10] Altan, B., 1982. Yerel olmayan elastisitede bazı konular, Doktora Tezi, .T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. [11] Gurtin, M.E., 1965. Thermodynamics and possibility of spatial interactions in elastic materials, Arch. Rat.Mech.Anal., 19, 339. [12] Edelen, D.G.B. , 1969. On nonlocal variational mechanics I, Int. Journ. Engn. Sci, 7, 269. [13] Edelen, D.G.B. , 1969. 1969. Nonlocal variations and and local local invariance invariance of fields, Modern
Analytic
and
Computation
Mathematics, 19.
94
Methods
in
Science
and
[14] Eringen, A.C. , 1972. Nonlocal polar elastic continua, Int. Journ. Engn. Sci, 10, 1-6. [15] Eringen, A.C. , 1972. On nonlocal fluid mechanics, Int. Journ. Engn. Sci., 10, 561. [16] Eringen, A.C. , 1972. Lineer theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves, Int. Journ. Engn. Sci, 10, 425-435. [17] Eringen, A.C. and Edelen, D.G.B. , 1972. On nonlocal elasticty, Int. Journ. Engn. Sci, 10, 233-248. [18] Demiray, H. , 1972. On the nonlocal theory of quazi-static dielectrics, Int. Journ. Engn. Sci, 10, 285. [19] Eringen, A.C. , 1973. On nonlocal microfluid mechanics, Int. Journ. Engn. Sci, 11, 291. [20] Eringen, A.C. , 1973. Linear theory of nonlocal microelasticity and dispersion of plane waves, Lett. Appl. Engn. Sci., 1, 129. [21] Eringen, A.C. , 1974. Nonlocal elasticity and waves, Continuum Mechanics Aspect of Geodynamics and Rock Fracture, 81-105. [22] Eringen, A.C. and Kim, B.S. , 1974. On the problem of crack tip in nonlocal elasticity, Continuum Mechanics Aspect of Geodynamics and Rock Fracture, 81-105. [23] Eringen, A.C. , 1974. On nonlocal thermoelasticity, Int. Journ. Engn. Sci, 12, 1063. [24] Eringen, A.C. , 1974. Memory dependent nonlocal elastic solids, Lett. Appl. Engn. Sci., 2, 145. [25] Balta, D.A. and Şuhubi, E.S. , 1977. Theory of nonlocal generalized thermoelasticity, Int. Journ. Engn. Sci, 15, 579. [26] Eringen, A.C. , 1977. Continuum mechanics at the atomic scale, Cryst. Latt. Def. and Amorph. Math., 7, 109-130. [27] Eringen, A.C. , 1977. Edge dislocation in nonlocal elasticity, Int. Journ. Engn. Sci, 15, 177-183.
95
[28] Eringen, A.C. , 1978. Line crack subject to shear, Int. J. Fracture Sci., 14, 367379. [29] Eringen, A.C. , 1979. Lineer crack subject to antiplane shear, Engineering Fracture Mechanics, 12, 211-219. [30] Eringen, A.C. , 1983. Interaction of dislocation with a crack, J. Applied Physics, 24, 6811-6817. [31] Arı, N. and Eringen, A.C. , 1983. Nonlocal stress field at Griffith Crack, Cryst. Latt. Def. and Amorph. Math., 10, 33-38. [32] Eringen, A.C. , 1984. On continuous distributions of dislocations in nonlocal elasticity, J. Applied Physics, 56, 2675-2684. [33] nan, M. ,1981. Cisimlerin Mukavemeti, .T.Ü Yayınları, stanbul. [34] nan, M., 1961. The carry-over matrix in elastomechanics, Bull. Tech. Univ. stanbul, 14, 61. stanbul [35] Zurmühl, R., 1978. Matrisler ve Mühendislik Problemlerine Uygulamaları, .T.Ü Yayınları, stanbul. [36] Ayres, F.,1980. Teori ve Problemlerle Matrisler, Schaum's Outline Series. [37] Runckel, J.H. and Pittelkow, U. , 1983. Practical computation of matrix functions, Linear Algebra and its Applications, 49, 161-178. [38] Omurtag, M., 2005. Mukavemet Cilt II, Birsen Yayınevi, stanbul. [39] nan, M.,1981. Cisimlerin Mukavemeti, .T.Ü. Yayınları, stanbul. [40]Zimmerman, H. ,1988. Die Berechnung des Eisenbahnober bauses, Second Edition, Berlin, Germany. [41] Miranda, C.K. and Nair, K. , 1966. Finite beams on elastic foundation, App. Div. Proc. ASCE . [42] nan, M.,1966. Elastik Çubukların Genel Teorisi, .T.Ü. Yayınları, stanbul. [43] Durelli, A.J. and Parks., V.J., 1969. Photoelastic beams on elastic foundations, J. Struct. Div. Proc. ASCE . [44] Munther, J.H. , 1970. Photoplastic study of beams on elastic foundation, ASCE .
96
[45] Rao, N.S., Das, Y.C. and Anandokrishan, M. , 1971. Variational approach to beams on elastic foundations, J. Struc. Div. Proc. ASCE . [46] Ting, B.Y., 1982. Finite beams on elastic foundation with restraints, J. Struct., Div., ASCE , 108, 611-620. [47] Ting, B.Y., 1983. Beam on elastic foundation finite element, J. Applied Mech., 109(6), 1390-1402. [48] Ting, B.Y. and Mockry, E.F. , 1984. Beam on elastic foundation finite element, J. of Struct., 110(10), 2324-2339.
Eisenerger, M. and Yankelevsky, D.Z. , 1985. Exact stiffness matrix for beams [49] Eisenerger, on elastic foundation, Computers and Structures, 121(6), 1355-1359. [50] Lin, L. and Adams, G.G. , 1987. Beam on tensionless elastic foundation, Journal of Engn. Mechanics, 113(4), 542-553. [51] Elmas, M., 1988. Elastik zemine oturan sonlu kiriş kiri şlerin deneysel incelenmesi, Doktora Tezi, .T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. [52] Celep, Z., Malaika, A. and Abu-hussein, M. , 1988. Forced vibrations of a beam on a tensionless foundation, J. of Sound and Vibration, 128(2), 235-246. [53] Doğan, O., 1993. Elastik zemin üzerine oturan kiri şler, Yüksek Lisans Tezi, .T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. [54] Rodriguez, D.A. , 1961. Three-dimensional bending of a ring on elastic foundation, J. Appl. Mech, ASME , 461-463. [55] nan, M., 1964. Elastomekanikte Baş Ba şlangıç Değ Değerleri Metodu ve Taş Ta şıma Matrisi, .T.Ü Yayınları, stanbul. [56] Panayotounakas, D.E. and Theocaris, P.S. , 1979. Circular beam on elastic foundation, J. Eng. Mech. Div. Proceedings ASCE , 105. [57] Dasgupta, S. and Sengupta, D. , 1988. Horizontally curved isoparametric beam element with or without elastic foundation including of without deformation, Computers and Structures, 29(6), 967-973.
97
[58] Banan, M.R., Karami, G. and Farshad, M. , 1989. 1989. Finite element element analysis of curved beams on elastic foundations, Computers and Structures, 32(1), 45-53. [59] Aköz, A.Y. , 1987. Şekil Değ Değiştirebilen Cisimlerin Mekaniğ Mekani ğinde Varyasyon Hesabı, Beta Yayınevi, stanbul. [60] Aköz, A.Y., Omurtag, M.H. and Do ğruoğlu, A.N., 1991. The mixed finite element formulation for three-dimensional bars, Int. Journ. of Solids Struct., 28(6), 225-234. [61] Omurtag, M., 1990. Takviyeli değ de ğişken kesitli silindirik kabukların karış karı şık sonlu eleman yöntemi ile çözümü, Doktora Tezi, .T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. [62] Kadıoğlu, F., 1994. Elastik zemine oturan doğ do ğru ve daire eksenli çubuklar, Yüksek Lisans Tezi, .T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. [63] Çengel, B., 2002. Elastik zemine oturan çerçeve sistemler, Yüksek Lisans Tezi, .T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. [64] Ergüven, M. E. and Gedikli, A. , 2003. A mixed finite element formulation for Timoshenko beam on Winkler foundation, Computational Mechanics, 31, 229-237. [65] Peddieson, J., Buchanan, G.R. and McNitt, R.P. , 2003. Application of nonlocal continuum models to nanotechnology, nanotechnology, Int. Journ. Engn. Sci., 41(4), 305-312. [66] Pin, L., Lee, H.P., Lu, C. and Zhang, P.Q. , 2007. Application of nonlocal beam models for carbon nanotubes, Int. Journ. of Solids Struct., 44(16), 5289-5300. [67] Altan, B.S. and Subbash, G. , 2003. A nonlocal formulation based on a novel averaging scheme applicable to nanostructured materials, 35, 281-294. [68] Gould, P., 2007. Nanotubes line up for electronics., Nanotechnology Materials Today, 10(5), 15-26. [69] Hierold, C., Jungen, C. and Helbling, T. , 2007. Nanoelectromechanical sensors based on carbonnanotubes sensors and actuators, A: Physical, 136(1), 51-61.
98
[70] Kuchibhatla, V.N., Karakoti, A.S., Bera, D. and Seal, S. , 2007. One dimensional nanostructured materials, Progress in Materials Science, 52(5), 699-913. [71] Guz, I.A., Rodger, A., Guz, A.N. and Rushchitsky, J.J. , 2007. Developing the mechanical models for nanomaterials, Composites Part A: Applied Science and Manufacturing, 38(4), 1234-1250. [72] Valvala, P.K., Clancy, T.C., Odegard, G.M. and Gates, T.S. , 2007. Nonlinear multiscale modeling of polymer materials, Int. Journ. of Solids Struct., 44 (3-4), 1161-1179. [73] Gibson, R.F., Ayorinde, O. and Wen, Y.F. , 2007. Vibrations of carbon nanotubes and their composites: A review, Composites Science and Technology, 67(1), 1-28. [74] Artan, R., 1997. The analytical calculation of circular rods of variable crosssection by initial values method, Computers and Structures, 62(3), 445-461. [75] Eringen, A.C. , 1983. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves, Journal of Applied Physics, 54, 4703-4710. [76] Artan, R., 1997, The analytical calculation of circular rods of variable cross section by initial values method, Computers and Structures, 62(3), 445-461.
99
ÖZGEÇMŞ Ayş Ayşegül TEPE, 18.12.1975 yılında stanbul'da doğ doğmuş muş, lise öğ öğrenimini Beş Beşiktaş iktaş Atatürk Anadolu Lisesi'nde yapmış yapmı ştır. 1993-1997 yılları arasında YTÜ Matematik Mühendisliğ Mühendisliği programında lisans eğ e ğitimini almış almıştır. 1998-2000 yılları arasında YTÜ Matematik Mühendisliğ Mühendisliği programında yüksek lisans eğ e ğitimini tamamlayarak dereceyle mezun olmuş olmu ştur. 2001 yılında .T.Ü nşaat Fakültesi, Yapı Mühendisliğ Mühendisli ği programında doktora eğ e ğitimine baş başlamış lamıştır. 1998 yılında Y.T.Ü Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik bölümünde ara ştırma görevlisi olarak, 2000-2004 yılları arasında stanbul Bilgi Üniversitesinde öğ öğretim görevlisi olarak, 2004 yılından itibaren de stanbul Ticaret Üniversitesinde öğ ö ğretim görevlisi olarak çalış çalı şmış mış, matematik, bilgisayar ve programlama dersleri vermiş vermi ştir. 2007 Mayıs ayında proje yürütücüsü ve aynı zamanda tez danı şmanı Prof. Dr. Reha Artan'ın "Yerel Olmayan Doğ Doğru ve Daire Eksenli Çubuklar çin Taş Taşıma Matrisi ve Nanoteknolojiye Uygulanması" konulu projesi Tübitak tarafından desteklenmi ş ve Aysegül Tepe bu projede postdoktora bursiyeri statüsünde yer almaya hak kazanmış kazanmıştır. Bundan sonra tez danı şmanıyla beraber akademik çalış çalı şmalarına devam etmeyi planlamaktadır.
100
