1. Basım
UYGULAMALI
ELASTİSİTE TEORİSİ Prof. Dr. Paşa YAYLA Marmara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü
www.nobelyayin.com
NOBEL AKADEMÝK YAYINCILIK EÐÝTÝM DANIÞMANLIK TÝC. LTD. ÞTÝ.
YAYIN NO : 808 Teknik Mühendislik No : 72 ISBN : 978-605-133-709-8 © 1. Basım, Şubat 2014
UYGULAMALI ELASTİSİTE TEORİSİ Prof. Dr. Paşa YAYLA
Marmara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi - Makina Mühendisliği Bölümü
Copyright 2014, NOBEL AKADEMİK YAYINCILIK EĞİTİM DANIŞMANLIK TİC. LTD. ŞTİ. SERTİFİKA NO 20779 Bu baskının bütün hakları Nobel Akademik Yayıncılık Eğitim Danışmanlık Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Yayınevinin yazılı izni olmaksızın, kitabın tümünün veya bir kısmının elektronik, mekanik ya da fotokopi yoluyla basımı, yayımı, çoğaltımı ve dağıtımı yapılamaz. Genel Yayın Yönetmeni: Nevzat Argun
[email protected]ın Koordinatörü: Pınar Gülter
[email protected]ühendislik Editörü: Doç. Dr. Timur Aydemir
[email protected]: Gönül
[email protected] Tasarım: Şerikan Kara
[email protected] Tasarım: Pınar Özen
[email protected] Baskı Sorumlusu: Halil Yeşil Baskı ve Cilt: Genç Ofset Gıda San. Tic. Ltd. Şti. • Necatibey Cad. 66/1 ANKARA Sertifika No: 20960 Dağıtım: Volkan Kurt
[email protected] Dursun
[email protected]ıtım: Sadık Küçükakman
[email protected] Şahin
[email protected] Uysal
[email protected]Çetin Erdoğan
[email protected] Geçkaldı
[email protected]: Volkan Özdemir
[email protected] +90 312 418 20 10 Sipariş: -sipariş@nobelyayin.com-
KÜTÜPHANE BİLGİ KARTI
Yayla, Paşa. Uygulamalı Elastisite Teorisi / Prof. Dr. Paşa Yayla 1. Basım, VI + 247 s., 195x275 mm Kaynakça ve dizin var. ISBN 978-605-133-709-8 1. Katı Cisimler Mekaniği, 2. Mukavemet, 3. Elastisite, 4. Gerilme Analizi
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ............................................................................................................................................ iii İÇİNDEKİLER ................................................................................................................................... v
BÖLÜM 1. ...................................................................................................................................... 1 1.1. GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR ................................................................................... 1 1.2. LİNEER ELASTİSİTE TEORİSİNDE YAPILAN KABULLER ....................................... 3 1.3. GERİLME VE GENLEME ................................................................................................ 4 1.3.1. Kartezyen Koordinatlarda Gerilme ve Gerilme Bileşenleri .................................... 4 1.3.2. Polar Koordinatlarda Gerilme ve Gerilme Bileşenleri ...........................................15 1.4. BİR NOKTADAKİ ÜÇ BOYUTLU GERİLME HALİ .....................................................18 1.5. GENLEME VE GENLEME BİLEŞENLERİ ....................................................................23 1.6. GERİLME VE GENLEME DÖNÜŞÜMLERİ ..................................................................26 1.7. UYGUNLUK DENKLEMLERİ .......................................................................... 27 1.8. GERİLME – GENLEME DENKLEMLERİ ......................................................................32 1.9. ELASTİSİTE TEORİSİ PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜM PRENSİPLERİ .......................35 1.9.1. Direkt Yöntem .....................................................................................................40 1.9.1.1. Yer Değiştirme Esaslı Yaklaşım .............................................................40 1.9.1.2. Gerilme Esaslı Yaklaşım ........................................................................40 1.9.2. Ters Yöntem ........................................................................................................41 1.9.3. Yarı-ters Yöntem .................................................................................................41 1.10. TERMOELASTİK DENKLEMLER ...............................................................................42 1.11. SAINT-VENANT PRENSİBİ .........................................................................................44
BÖLÜM 2. İKİ BOYUTLU ELASTİSİTE ...........................................................................49 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
GİRİŞ ................................................................................................................................49 DÜZLEM GENLEME ......................................................................................................50 DÜZLEM GERİLME .......................................................................................................53 UYGULAMALAR ...........................................................................................................57
BÖLÜM 3. GENELLEŞTİRİLMİŞ HOOKE KANUNU ..................................................69 3.1. GİRİŞ ................................................................................................................................69 3.2. ELASTİK SABİTELER ARALARINDAKİ İLİŞKİ ........................................................81
BÖLÜM 4. AIRY GERİLME FONKSİYONU .............................................................. 85 4.1. GİRİŞ ................................................................................................................................85 4.2. İKİ BOYUTLU PROBLEMLERDE GERİLME FONKSİYONU ÇÖZÜMÜ ...................... 87 4.2.1 Temel Çözüm Yöntemleri.....................................................................................88 4.2.2 Matematiksel Teknikler ........................................................................................90 4.3. POLİNOM ŞEKLİNDE AIRY GERİLME FONKSİYONU KULLANMAK ..................91 4.3.1. İkinci Dereceden Polinomlar ...............................................................................91 4.3.2. Üçüncü Dereceden Polinomlar.............................................................................92 4.3.3. Dördüncü Dereceden Polinomlar ..........................................................................93 4.3.4. Beşinci Dereceden Polinomlar ..............................................................................93 4.4. GERİLME FONKSİYONUNDA SÜPERPOZİSYON ...................................................94 4.5. UYGULAMALAR ..........................................................................................................95
BÖLÜM 5. KİRİŞLERİN EĞİLMESİ ............................................................................. 115 5.1. BASİT KİRİŞ TEORİSİ .................................................................................................115 5.2. BASİT EĞİLME ..............................................................................................................116 5.3. TEKİL KUVVET YÜKLÜ ANKASTRE KİRİŞ ..............................................................123 5.4. YAYILI YÜKLÜ BASİT MESNETLİ KİRİŞ .................................................................129 5.5. UYGULAMALAR ..........................................................................................................133 v
BÖLÜM 6. DAİRESEL VE DAİRESEL OLMAYAN ÇUBUKLARIN BURULMASI .. 147 6.1. GİRİŞ ..............................................................................................................................147 6.2. SAINT-VENANT BURULMA TEORİSİ ......................................................................148 6.2.1. Çarpılma Fonksiyonu Yaklaşımı .......................................................................... 148 6.2.2. Gerilme Fonksiyonu Yaklaşımı .........................................................................150 6.3. MENBRAN ANALOJİSİ ...............................................................................................164 6.4. DİKDÖRTGEN KESİTLERİN BURULMASI ...............................................................169
BÖLÜM 7. EKSENEL SİMETRİK ELEMANLARDA GERİLME ANALİZİ ........175 7.1. GİRİŞ ..............................................................................................................................175 7.2. SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR...................................................................................177 7.2.1 Silindirik Koordinatlarda Genel İfadeler ................................................................ 177 7.2.2 Silindirik Koordinatlarda Düzlemsel Problemler................................................... 181 7.3. EKSENEL SİMETRİK PROBLEMLER ........................................................................193 7.4. SİMETRİK DAĞILIMDA YER DEĞİŞTİRMELER ....................................................200 7.5. KALIN CİDARLI BASINÇLI KAPLAR .......................................................................202 7.6. EKSENEL GERİLME VE GENLEMELER ...................................................................206 7.7. BİRLEŞİK (KOMPAUND) SİLİNDİRLER ...................................................................208 7.8. DÖNEN SİLİNDİR VE DİSKLER .................................................................................211 7.9. DÖNEN BASINÇLI SİLİNDİRLER ..............................................................................218
BÖLÜM 8. LEVHALAR VE KABUKLAR ................................................................. 219 8.1. GİRİŞ ..............................................................................................................................219 8.2. LEVHALARDA TEMEL KABULLER .........................................................................219 8.3. LEVHALARDA GENLEME - EĞRİLİK YARIÇAPI BAĞINTILARI ........................220 8.4. LEVHANIN EĞİLMESİ .................................................................................................222 8.5. LEVHADA BASİT EĞİLME ..........................................................................................224 8.6. LEVHANIN EĞİLMESİNDE SINIR KOŞULLARI .......................................................225 8.7. KABUKLAR ...................................................................................................................229 8.8. İNCE CİDARLI BASINÇLI KAPLAR ...........................................................................231
EK: TEMEL MATEMATİKSEL BİLGİLER ............................................................ 235 A.1. GİRİŞ ......................................................................................................................................235 A.2. SKALER, VEKTÖR, MATRİS VE TENSÖREL TANIMLAMALAR .................................235 A.3. İNDİS NOTASYONU............................................................................................................236
KAYNAKÇA ................................................................................................................... 239 DİZİN ............................................................................................................................... 243
vi
ÖNSÖZ Bu kitabın amacı öğrencilere elastisite teorisi ile ilgili teori ve formülasyonu vermek ve bazı problemlerin çözümlerini aktarmaktır. Bu sayede öğrenciler çoğu temel elastisite çözümlerinin temel mukavemet çözümünün yerini aldığını takip edebilecektir. Bu ders sayesinde katı cisimler mekaniği alanında çoğu öğrenciler için temel bilgiler verimliş olunacaktır. Öğrencilerin bu kitabı almadan önce mekanik (statik ve dinamik) ile mukavemet derslerini almış olmalarında büyük yarar vardır. Bu ders kapsamında, kuvvet etkisi altında lineer elastik cisimlerde oluşan gerilme ve şekil değişimi olaylarının mekaniği incelenecektir. Bunu yaparken problemin uygun sınır şartlarının belirlenmesi önemlidir. Bu ders kapsamında elde edilecek bakış açısı, sadece mühendislerin gelecekte tasarımlarında kullanacakları bağıntıları elde etmesi ile sınırlı olmayıp aynı zamanda yük etkisi altında elastik sistemlerin nasıl davranacağının anlaşılması konusunda da önemli bir altyapı teşkil edecektir. Bu kitapta ele alınan Elastisite konusu – Teori ve Çözümlü Problemler formatındadır. Teori kısmında konunun temel prensipleri ve bağıntıları çıkarılmış, pratik ve önemli problemlerin çözümlerinin elde edilmesinde kullanılabilir şekilde sunulmştur. Çözümlü Problemler kısmında ise ilk kısımda verilen bağıntıların, bazı önemli mühendislik problemlerin analitik çözümlerinde nasıl kullanıldığı örnek problemler üzerinde açıklanmıştır. Her bir bölümün sonunda, konu ile ilgili yeterli sayıda çözümlü örnek problemlere yer verilmiştir. Bu bağlamda Elastisite Teorisi aşağıdaki ana başlıklar altında incelenecektir. Katı cisimler mekaniğinin ilgili bağıntılarının elde edilmesi ve anlaşılması, Problemin uygun şekilde idealize edilip sınır koşulların doğru bir şekilde
belirlenmesi, Uygun gerilme, genleme ve şekil değiştirme bağıntıları kullanılarak problemin
çözülmesi, Elde edilen sonuçların doğru olarak yorumlanması.
Farklı yükleme durumuna ait temel bağıntılar hem iki veya üç boyutlu problemlerin analitik olarak çözülmesini sağlayacak hem de gerek deneysel gerilme analizi gerekse sayısal gerilme analizi yöntemlerinin uygulanmasına ve sonuçların analizine ve yorumlanmasına da öncülük edecektir.
iii
Elastisite Teorisi, problemin formülasyonunu gerçekleştirirken sayısal yöntemlerle de bu formüllerin çözümleri elde edilir. Problem doğru bir şekilde formüle edilmediği sürece sayısal yöntemlerle doğru sonuçların elde edilmesi mümkün değildir. Pek çok problemin elastisitenin temel denklemleri kullanılarak analitik olarak çözümü mevcut olmakla birlikte, mühendislikte sonlu elemanlar gibi nümerik yöntemler sayesinde problemin sayısal olarak çözümüne kıyasla, belli bir matematiksel altyapıyı ve oldukça karmaşık ve uzun işlemleri gerektirdiğinden bu şekilde bir çözüm eskiden olduğu kadar rağbet görmemektedir. Günümüzde mühendisler bu tür sayısal analiz programlarını doğru ve efektif kullanarak önlerine konan problemlerin çözümlerini elde edip bu sonuçları yorumlamaya çalışmaktadırlar. Bu ise ancak problemin nasıl formüle edildiğinin doğru bir şekilde anlaşılması durumunda mümkün olmaktadır. Bu da ancak Elastisite Teorisi sayesinde gerçekleşebilmektedir. Bu kitap elastisite teorisi problemlerine analitik çözümler geliştirmeyi esas almakla birlikte kitapta ele alına konular lisasnüstü seviyesinde makina, inşaat, havacılık, yer bilimleri mühendisleri ile Katı Cisimler Mekaniğini kendisine bir uzmanlık alanı seçen mühendisler, lisansüstü eğitime devem eden öğrenciler ve araştırmacılar için amaçlanmıştır. Ayrıca kitap kapsamında işlenen konular eğitim programlarında İleri Mukavemet derslerinde ele alınan konuları da içerecek şekilde oluşturulmuştur. Kitabın tüm öğrencilere, araştırmacılara ve uygulamacılara yararlı olması dileğiyle. Prof.Dr. Paşa YAYLA Altunizade - İstanbul
iv
