open green road
Guía Matemática M LTIPLOS Y DIVISORES Nicola´´ Melgarejo profesor: Nicola
.cl
ope gr ee road
1.
Mu
´ltiplos y
divisibilidad
Se dice !"e " "´#ero a es divisible por o$ro de o$ra #aera: a es di%isi(le por
b
b
si al di%idir a co b& el resid"o o res$o es cero&
s´) * s´olo s´) a +
b
· c dode c es cocie$e.
E (ase a es$o pode#os decir !"e a co$iee a b e,ac$a#e$e c %eces. Lla#are#os mu´ ltiplo de " "´#ero a " "´#ero !"e co$iee a o$ro "a ca$idad e,ac$a de %eces& por eje#plo - es #" ´l$iplo de por!"e - co$iee a seis %eces e,ac$a#e$e. Los #"´l$iplos de " "´#ero p"ede o($eerse f ´acil#e$e #"l$iplicado ese "´#ero por la serie ifii$a de los "´#eros a$"rales. Vea#os " eje#plo co el coj"$o de los #"´l$iplos de /. Los #"´l$iplos de / so: /×-+ / /×+ 0
/×/+ 1 / × 2 + -
/ × 3 + -3 / × 0 + -4
.. / × n + /n
Si lo escri(i#os co#o coj"$o por e,$esi M / + { /, 0, 1, -, -3, -4, . . . , /n } Los mu´ ltiplos de un nu´ mero n se obtienen multipli - cando n por cada nu´ mero natural.
1.1.
Nu
´meros
De$ro de los "´#eros a$"rales #´as i$eresa$es es$´a los nu´ meros primos& los !"e se carac$eri5a & /& 3& 7& --& -/& -7& /& /7& O$ra car ac $er ´)s$ica #"* po$e$e de los "´#eros pri#os es !"e co ellos pode#os geerar c"al!"ier
1.2.
Nu
´meros
8"al!"ier "´#ero a$"ral !"e p"eda escri(irse co#o #"l$iplicaci ´o de o #´as "´#eros a$"rales dis$i$os de - * s´) #i#o& se deo#ia nu´ mero compuesto. Por eje#plo el "´#ero - lo
´
- + / · 2
+ /·. ·
Si desco#poe#os el "´#ero -4 e s"s fac$ores pri#os -4 + . · 1
+ .·/ ·/
Notar que los t ´e rminos que componen a un nu mero compuesto coincide con sus divisores . ´
ope gr ee road 1.3.
Pares e impares
Pode#os separar el coj"$os de los e$eros 9 e dos s"(coj"$os: pares e i#pares. Lla#a#os par a $odo "´#ero !"e es #"´l$iplo de & es decir& si " "´#ero lo pode#os escri(ir co#o
P + n dode n ∈ 9& e$oces P es par idepedie$e de !"e n lo sea. E$oces si di%idi#os " "´#ero por * el resid"o o res$o es & ese "´#ero es par. Los impares so "´#eros !"e al di%idir por o($ee#os - co#o resid"o o res$o. Dic'o de
´ I + n ± dode n
2.
∈
9. E es$as codicioes
I
es i#par idepedie$e#e$e si n lo es.
Criterios de divisibilidad
Pode#os daros c"e$a !"e a $odos los #"´l$iplos de " "´ #ero a los pode#os ide$ificar $a#(i co#o "´#eros divisibles por
Si b
es
mu´ ltiplo de a, entonces b es divisible por a
E,is$e cier$as carac$er ´)s$icas de los "´#eros !"e os per#i$e ide$ificar por si#ple isp ecci ´o si
´ 2.1.
ivisibilidad por 2
U "´#ero se dice di%isi(le por si ´es$e $er#ia e cero o par. 6lg"os eje#plos de "´#eros di%isi(les
2.2.
-
-.2
/2.--4
-
2.//0
-..77
ivisiblilidad por p otencias de 1!
U "´#ero es di%isi(le por alg"a po$ecia de - si $er#ia e $a$os ceros co#o el "´#ero del e,poe$e de la po$ecia de -. Por eje#plo -. $er#ia e ceros& e$oces es di%isi(le por - + - es di%isi(le por -
3/. es di%isi(le por -.
-./ es di%isi(le por -
-. es di%isi(le por -.
/
;Mira<
☞
ope gr ee road 2.3.
ivisibilidad por "
U "´#ero es di%isi(le por 3 si $er#ia e cico o cero. 6lg"os eje#plos de "´#eros di%isi(les por -
--.--3
-3
.3
/ -.14.703
-3 -.
2.#.
11.23/.//
ivisibilidad por #
U "´#ero es di%isi(le por 2 c"ado las "´l$i#as dos cifras de la derec'a =decea * "idad> so ceros
2.".
/
/3.0/0
-.-0
2.//-.3
./2
2.3.2
ivisibilidad por $
U "´#ero es di%isi(le por 4 c"ado las "´l$i#as $res cifras =ce$ea& decea * "idad> so ceros o
´
2.%.
´
/.
37.4
7.-0
4.703.-04
.2
3-.3/.2
ivisibilidad por 3
U "´#ero es di%isi(le por / c"ado la s"#a de los %alores a(sol"$os de s"s cifras es " #"´l$iplo de
´ - es di%isi(le por / *a !"e - ? ? + / * /
/37. es di%isi(le por / *a !"e / ? 3 ? 7 + -3
´
´
7.-- es di%isi(le por / *a !"e 7 ? ? - ? +1
4.73.-0- es di%isi(le por / *a !"e 4 ? 7 ? ?
´
´
-.11 es di%isi(le por / *a !"e - ? ? 1 ? 1 ?
/-.3/.2 es di%isi(le por / *a !"e / ? - ? 3 ?
´
´
2
ope gr ee road 2.&.
ivisibilidad por '
U "´#ero es di%isi(le por 1 c"ado la s"#a de los %alores a(sol"$os de s"s cifras es " #"´l$iplo de
´
´
-0 es di%isi(le por 1 *a !"e - ? 0 ? + 1 * 1
111.11 es di%isi(le por 1 *a !"e 1 ? 1 ? 1 ?
7.1-- es di%isi(le por 1 *a !"e 7?1?-?- + -4 * -4 es #"´l$iplo de 1
4.73.70- es di%isi(le por / *a !"e 4 ? 7 ? ?
-.110 es di%isi(le por 1 *a !"e - ? ? 1 ? 1 ?
/-.3/.2 es di%isi(le por 1 *a !"e / ? - ? 3 ?
´
2.$.
Notar que todo nu´ mero que es divisible por 9, tam- bi ´e n lo es por 3.
´
ivisibilidad por %
U "´#ero es di%isi(le por 0 si c"#ple co los cri$erios de di%isi(ilidad por * / al #is#o $ie#po& es decir& ser ´a di%isi(le por 0 si s" "´l$i#a cifra ="idad> es ´o par * la s"#a de los %alores a(sol"$os de
´
2.'.
´
- es di%isi(le por 0 *a !"e es " "´#ero par
-.11 es di%isi(le por 0 *a !"e $er#ia e * la s"#a de s"s cifras es - ? ? 1 ? 1 ? +
7. es di%isi(le por 0 *a !"e $er#ia e * la s"#a de s"s cifras es 7 ? ? ? + 1
/37. es di%isi(le por 0 es " "´#ero par *
ivisibilidad por 11
U "´#ero es di%isi(le por -- si la diferecia e$re la s"#a de las cifras e las posicioes i#pares * el %alor a(sol"$o de las cifras e las pocicioes pares& de derec'a a i5!"ierda& es cero o " #"´l$iplo de =1 ? > − =4 ? /> + -- − -- +
´
-.- es di%isi(le por -- *a !"e = ? -> − = ? -> + 10.-0 es di%isi(le por -- *a !"e = ? - ? 1> − =0 ? 0> + -.1- es di%isi(le por -- *a !"e =- ? 1 ? > − = ? ? -> + - − - + --
Desaf ´ ıo
I
E el "´#ero -2./(& @!"´e %alores p"ede $o#ar ( para !"e el "´ #ero sea di%isi(le por 0A Resp"es$a
3
ope gr ee road
Propiedades de la multiplicidad y divisibilidad
3. 3.1.
)uma de mu´ltiplos o divisibles de un nu
)i a y b son divisibles por n* entonces a ? cocre$o
b
tam bi ´en es divisible por n. E " caso
´ - ? ? 3 +
8o#o 33 $er#ia e 3& e$oces la s"#a de los di%isi(les por 3 es $a#(i ´e di%isi(le por
3.2.
i+erencia de mu´ltiplos o divisibles de un nu
)i a y "
3.3.
b
son divisibles por n* donde a > b* entonces a −
b
tam bi ´en es divisible por n. E
Propiedad de los mu
)i n divide a b entonces dividir ´a a cual,uier mu´ ltiplo de b. Por eje#plo -.- es di%isi(le por --& si $o#a#os alg"´ #"´l$iplo de -.-& por eje#plo 3.0- * aali5a#os seg"´ el cri$erio de di%isi(ilid ad de -- se o($iee: = ? 0> − =- ? 3> + 0 − 0 +
3.#. Multiplicaci´on de divisores de un nu )i a es divisible por n y m* entonces a es divisible por mn. El caso #´as si#ple para eje#plificar es$o es el cri$erio de di%isi(ilidad por 0. Recorde#os !"e " "´#ero es di%isi(le por 0 si es di%isi(le ✍
1
Ejercicios
esuelve los si!uientes
-. @Por !"´e "´#eros so di%isi(les 3& -/ * 0.-/A . @8"´al es la #eor cifra !"e se le de(e agregar a /2- para !"e sea di%isi(le por /. Por si#ple ispecci´o de$er#ie @c" ´al es el resid"o de las sig"ie$es di%isioes 37- ÷ & -.- ÷ / * -.33- ÷ --A 2. @ Por !"´e "´#ero es di%isi(le la s"#a de " #"´l$iplo de -- co o$ro #"´l$iplo de --A 3. 0. @La s"#a de " par co o$ro par es par o i#parA @Por !" ´eA 7. 4. @La #"l$ip licaci´o de dos pares es par o i#parA @Por !"
0
´
ope gr ee road 1. @Si " "´#ero o es di%isi(le por /& !"´e %alor p"ede $o#ar el resid"o de di%idir dic'o "´#ero por /A -. @Si " "´#ero o es di%isi(le por 3& !"´e %alor p"ede $o#ar el resid"o de di%idir dic'o "´#ero
#. escomp osici´on prima Uo de los grades logros de la Teor ´)a de los N"´#eros es 'a(er llegado a la cocl"si ´o de !"e nu´ mero compuesto puede escribirse como multiplicaci´on de nu´ meros primos. 6 la acci´o de esB cri(ir " "´#ero co#p"es$o co#o #"l$iplicaci´o de s"s di%isores pri#os se le deo#ia descomposici ´on prima. Por eje#plo& si !"ere#os desco#poer el "´#ero -& %a#os escri(i´edolo co#o
´
´
´
´
- + . · 0
+ . · 0 · - + . · . · / · - + .·.·/·.·3 + .·.·.·/·3 / + ·/·3 ✍
2
Ejercicios
"escomponer en sus #actores primos los si!uientes nu
-. 2
3. -4
1. -.-4
. 02
0. /0
-. 3.447
/. --
7. 03
--. 1.2
2. -0
4. 42
-. -.1-
Es i$eresa$e o$ar !"e para cada "´#ero co#p"es$o e,is$e s´olo " sis$e#a de "´#eros pri#os !"e lo desco#poe& es decir& cada "´#er o co#p"es$o $iee s´olo "a fac$ori5aci´o pri#a. Es$a carac$er
´
´ La descomposici ´o n prima mero compuesto. ´
es
u´ nica para cada nu
La desco#posici´o pri#a es #"* "´$il e las #a$e#´a$icas& os per#i$e eco$rar el "´#ero de di%isores
7
;Mira<
☞
ope gr ee road #.1.
-ncontrar el nu´ mero de divisores de un nu
6*"d´adoos de !"e la desco#posici´o pri#a es "´ica para cada "´#ero& pode#os eco$rar $oB dos los di%isores de ese "´#ero 'aciedo $odas las co#(iacioes posi(les e$re los fac$ores pri#os.
´ 43 + .3 · //
+ 3 · 3 · // + / · 3 · 3 · - + / · 3 · -Recorde#os !"e al reali5ar la desco#posici´o pri#a& cada "o de los "´#eros pri#os di%ide a 43& * co#o %i#os a$erior#e$e la #"l$iplicaci ´o de los di%isores de " "´#ero $a#(i´e es di%isor de ese "´#ero. E$oces el "´#ero de di%isores de 43 ser ´a $odas las co#(iacioes !"e poda#os 'acer co los "´#eros /& 3& 3 * -- cosiderado $a#(i´e a las co#(iacioes !"e o icl"*a a $odos los ele#e$os. Para o($eer el "´#ero de di%isores #"l$iplica#os la po$ecia a"#e$ada e "a "idad d
´ =- ? ->= ? ->=- ? -> + . · / · + E efec$o& los fac$ores so /3-- + -
/-3--- + / × -- + //
/-3-- + /
/3---- + 3 × -- + 33
-
/-3-- + / × 3 × 3 + 73
-
/3--- + 3 × 3 × -- + 73
/-3---- + / × 3 × -- + -03
- -
/-3--- + / × 3 × 3 × -- + 43
/ 3 -- + 3 / 3 -- + -/ 3 -- + 3 × 3 + 3 / 3 -- + / × 3 + -3
E el caso !"e la desco#posici´o pri#a de " "´#ero sea n + pa qb r c dode p& q * r so pri#os& el "´#ero de di%isores " de n es " + =a ? ->=b ? ->=c ? ✍
3
Ejercicios
$allar el nu´ mero de divisores que tiene cada uno de los si!uientes nu -. -
2. 73
7. 23
. /2
3. 1
4. 423
/. 0
0. -0
1. -.4
4
ope gr ee road #.2.
Primos relativos o primos entre
s
Se lla#a primos relativos o primos entre s´ a dos o #´as "´#eros !"e s´olo $iee co#o di%isor co#"´ el -. Por eje#plo - * 3 so pri#os rela$i%os por!"e o $iee fac$ores o di%isores e co#"
´
´
´
´
´a/imo comu´n divisor
".
M
P"ede defiirse co#o el #a*or "´#ero e$ero !"e di%id e e,ac$a#e$e a dos o #´as "´#eros Us"al#e$e el #´a,i#o co#"´ di%isor e$re a * b se deo$a co#o M & "=a, b>. Para calc"lar el M8D de dos "´#eros 'a* %ariados #´e$odos o es$ra$egias& pero si cooce#os la o$aci´o de las po$ecias *
´
0l m´ aximo comu ´ n divisor entre a * b, M & "=a, b>, es i!ual a la multiplicaci ´o de las bases n primas en comu´ n entre a * b, elevadas a la m ´ ınima potencia a la que aparecen en la ✎
Ejemplo
-. $allar el m´ a'imo comu´ n divisor entre () * )oluci´on0 Escri(i#os pri#ero la desco#posici´o pri#a de cada " ´#ero - + 2 · / + · / -4 + . · 1 + . · /
No$e#os !"e a#(os $iee e co#"´ las (ases pri#as * /. 6'ora de(e#os ide$ificar c"´al es la m´nima po$ecia a la !"e es$´a ele%ada cada (ase pri#a. E el caso de s" #eor po$ecia es -& * para la (ase pri#a / la #eor po$ecia es - $a#(i´e. E$oces:
M & "=-, -4> + - · /- + 0 . )oluci´on0 La desco#posici´o pri#a de cada "o es: /0 + . · -4 + . · . · 1 + · / 73 + 3 · -3 + 3 · / · 3 + / · 3
E es$e caso la "´ica (ase pri#a !"e $iee e co#"´ es /& * la m´nima po$ecia a la !"e es$´a ele%ada es -& por lo $a$o M & "=/0, 73> + /
/. )oluci´on0 / + . · / · 3 7 + / · /
Tiee e co#"´ las (ases * /. La #eor po$ecia de es - * la #eor po$ecia de / es - $a#(i ´e& e$oces el #a*or de los di%isores e$re ellos es - · /- + 0
1
;Mira<
☞
ope gr ee road
´nimo comu´n mu´ltiplo
%.
M
Si $ee#os %arios "´#eros e$eros& lla#are#os #´)i#o co#"´ #"´l$iplo de esos "´#eros al "´#ero e$ero posi$i%o !"e es #"´l$iplo de $odos ellos. El #´)i#o co#"´ #"´l$iplo e$re a * b se deo$a
´
´
mu ´ ltiplo entre a 0l m´ ınimo comu ´ n * b, M & "=a, b>, es i!ual a la multipli c aci ´o n de todas las bases primas di#erentes que aparecen en la des com- posici ´o n prima de a * b, elevadas a la m´ axima po- tencia a la que aparecen en las ✎
Ejemplo
-. &u´ al es el m´ 1nimo comu´ n mu´ ltiplo entre 9 )oluci´on0 Desco#poe#os 1 * / e s"s fac$ores 1 + / / + . · / · 3 El M & M =0, /> ser ´a ig"al a la #"l$iplicaci ´o de $odas las (ases pri#as !"e aparece e las dos desco#posicioes& ele%adas a la po$ecia #´a,i#a a la !"e aparece. E es$e caso las (ases so & / * 3& * las po$ecias #´a,i#as a las !"e es$´a ele%adas so -& * - respec$i% a#e$e. M & M =0, /> + - · / · 3- + . · / · 3 . 2btener el M&M entre , () * (4 )oluci´on0 Escri(i#os el "´#ero co#o desco#p osici´o 0+ .·/ - + · / -3 + / · 3 E$oces& el M & M =0, -, -3> ser ´a la #"l$iplicaci ´o de $odas las (ases pri#as !"e aparece e las /
M & M =0, -, -3> + · / · 3 +
-
;Mira<
☞
ope gr ee road ✍
3
Ejercicios
-. 0ncuentra el M&M * M&" de cada !rupo de nu ´
a > - * -3
b > - * -4 c > / * 7 d > 7 * --
e > -2 * -/
# > -& 2 * - ! > -23 * / 5 > - * -3
i > - * -4 6 > / * 7 7 > - * 2 * -.
. Ide$ifica si e los sig"ie$es pro(le#as es$´a prese$e el cocep$o de M8M * a > Dos %aras de #adera de 0 * -3 ce$´)#e$ros se !"iere p eda5os. @8"´a$os peda5os se p"ede cor$ar co#o # b> ´a,i#oA
cor$ar e "a #is#a ca$idad de
El ca#paario de "a iglesia $iee ca#paas. Ua s"ea cada -3 #i"$os * la o$ra s"ea cada / #i"$os. Si la "´l$i#a %e5 !"e soaro j"$as f"e a las -: a#& @a !"´e 'ora soar c > ´a "e%a#e$e j"$asA d >
@8"´al es el %alor #´a,i#o de la logi$"d de "a regla co la !"e se p"ede #edir e,ac$a#e$e el largo * ac'o de "a 'a(i$aci ´o de 4 por 0/3 ce $´)#e$ros de largoA
Desaf ´ ıo
II
Si p es #"´ l$iplo de q & @c" ´al es el M & M = p, q>A Resp"es$a
--
ope gr ee road
esa+ ´.os ✓
Desaf ´)o I: El "´#ero es par& idepedie$e del %alor !"e $o#e (. Nos fal$a 'acer !"e el "´#ero
sea
- ? ? 2 ? / ? ( ? sea #"´l$iplo d
Cij´e#oos - ? ? 2 ? / ? ( ? + - ? (
No$ar !"e si el "´#ero ic´ogi$o es & fal$ar ´)a "idades para ser #"´l$iplo de / ´o so(ra "a "idad para c"#plir la #is#a codici´o. E$oces el "´#ero ic´ogi$o ( de(e ser " #"´l$iplo de / #´as ´o " #"´l$iplo de / #eos -. − + V ol%er dode 7 ∈ N ✓
Desaf ´)o II: 8o#o p es #"´l$iplo de q & el #´)i#o co#"´ #"´l$iplo e$r e ellos ser ´a el #a*or&
e es$e
caso p& e$oces M & M = p, q> +
ibliogra+ n (9+3& 8ODI8E S.6. Madrid =-14/> F- 6´ lge(ra & 0dici ´o "r. 8urelio aldor .
F 6ri$#e´ $ica& 0dici ´o n (9:& 8ULTUR6L 8ENTRO6MERI86N6 "a$e#ala =-14/>
-
