MUKAVEMET MUKAVE MET FORMÜLLER, TABLOLAR VE ŞEKĐLLER. ŞEKĐL LER. 2008/09 1
2D Statik Denge Denklemleri: → + ∑ Fx = 0 ↑ + ∑ Fy = 0 ∑ M = 0
Kayma gerilmesi ile Hooke Kanunu
τ = Gγ
, τ
– kayma gerilmesi G - rijidlik modülü
Eksenel Gerilme σ =
γ
P sabitler arasındaki ilişki ;
A
σ – Normal gerilme
G
=
P – Kuvvet A – Kesit Alanı
Ortalama Kayma Gerilmesi τ ort .
V
=
,
A
Emniyetli Gerilme (Allowable Stress) – Emniyet Katsayısı (s) σ s ; Sınır gerilme, malzemenin hasarlanmadan taşıyabileceği en büyük gerilme ( standart deneylerle saptanır) σ ; dış yüklerin etkisinde elemanda oluşan gerilme (hesaplanan)
δ =
σ ≤
= σ em.
δ =
δ
L 0 ε – genleme (birim şekil değiştirme) δ – uzunluktaki değişim L0 – ilk (original) uzunluk
Kayma genlemesi (shear strain) π
γ =
2
γ – kayma genlemesi
δ / L -küçük açılar için
Hooke Kanunu σ = E ε
δ = δ
2
P i Li
i =1
Ai E i
∑
Sıcaklık nedeniyle iki şekilde genleme oluşabilir ; 1. Gerilme olmaksızın genleme 2. Gerilmeli genleme
Statikçe belirsiz eksenel yükler 1.
E – Elastisite modülü
2.
σ pl ε pl
PL
δ = α.∆T. L uzunluktaki değişim ısıl genleşme katsayısı sıcaklıktaki değişim belirli bir kısmın uzunluğu
δ α ∆T
Durum 1 : δ 1 = δ 2 Durum 2: geometric şartlar δ 1 L1
Rezilyans Modülü
1
0
uzunluktaki değişim belirli bir kısımdaki yük belirli bir kısmın uzunluğu belirli bir kısmın kesit alanı belirli bir kısmın elastisite modülü belirli kısım sayısı
ε - genleme
u r =
∫ A( x ) E dx
Isıl genleme ve şekil değiştirmeler
σ – Normal gerilme
,
P ( x )
Değişik kısımlardan oluşan eksenel yükler etkisinde uzunlu ktaki değişim
L
− θ
L
AE
P L A E N
Genleme (strain)
2(1 + ν )
Uzunluktaki değişim (A=sabit ve E=sabit ise)
(veya müsaade edilen tasarım gerilmesi =emniyetli gerilme) s
E
Eksenel Yükleme-Deformasyon
τ – Kayma Gerilmesi V – kesme kuvveti A - kesit alanı
ε =
- kayma genlemesi
=
1 2
σ pl2 / E
Tokluk (Modulus of Toughness), ut gerilme-genleme eğrisi altında kalan toplam alan.
3.
δ 2
=
L1 + L2
Durum 3: δ At + δ Bt − δboşluk = δ A + δ B
Eksenel elemanların integrasyonu dF ( x )
+ q( x ) = 0
[1]
dx
Poisson oranı ν = −
ε enine ε boyuna
du − α ∆T ( x ) dx
F ( x ) = AE
[ 2 ] (here, ε =
du dx
)
Burulma (Torsion) Kayma Gerilmesi (Shear Stress) Tr τ = J τ
kayma gerilmesi dış yarıçap Burulma momenti (TORK, torque (F-L)) polar atalet momenti
r T J
J =
π
J =
π
2 2
r 4
[r − r ] 4
4
o
T ≅ 9550
L
= V ( x )
dx
Değişik yükler için SĐNGÜLARĐTE FONKSĐYONLARI. Kuvvet Moment
Yayılı yük Üçgen yayılı yük
( kW ) = ..... m n ( d / dak .)
Function -2 < x –a > -1 < x –a > 0 < x – a> 1 < x – a>
-(w/L) < x – a>
V(x)
M(x)
-M < x – a >
F(x)
-2 -M < x – a> -1 -F < x – a> 0 -w < x – a>
-1
0 -M < x – a> 1 -F < x – a>
0 -F< x–a> 1 -w < x – a >
Tekil kuvvet Yayılı yük Üçgen yayılı yük
-(w/2L)< x – a >
-(w/2) < x – a> 2
1
2
-(w/6L) < x – a>
3
Atalet Momenti Atalet momenti ve ağırlık merkezi bulmak için tablo
Burulma Açısı θ =
dM
= − w ( x ) &
Tekil kuvvet
güç (kuvvet-uzunluk/zaman) Tork (Burulma Momenti) açısal hız rad/s frekans Hz.
f
dx
Kuvvet Moment
N = Tω = Τ 2 π f,
ω
dV
içi boş mil
i
∆ M = ∫ V ( x )dx
&
Slope on the moment diagram is the value of the shear diagram .
4.
ici dolu mil
GÜÇ
N T
∆V = − ∫ w( x )dx
niAi
T ( x )
∫ J ( x)G dx
yi
niAiyi
niIi
di2niAi
di
0
Sabit kesit için
θ =
TL
Ai yi Ii
JG
Kesit alanı Belirli bir bölgenin ağırlık merkezi atalet momenti Prizmatik kesitler için , I = 1 bh 3
12 π
Içi dolu dairesel kesit, I =
Değişik kesitlerden oluşan elemanlar için
r 4
4
θ =
∑ i =1
θ T L J G N
T L i i J iGi
burulma açısı (radians) belirli bir kısımdaki tork belirli bir kısımdaki belirli bir kısmın polar atalet momenti belirli bir kısmın rijitlik modülü belirli bölüm sayısı
Içi boş dairesel kesit, I =
π
4
[r 4 − r 4 ] o
i
di
ağırlık merkezinden olan uzaklık ( y i
ni
E Elastisite modulleri oranı i
− y )
E j
Ağırlık Merkezi —(T.E. nin yeri )
Statikçe belirsiz Tork
Kesme kuvveti (KK) ve Eğilme Momenti (EM) Diy. 1. 2. 3.
mesnet tepki kuvvetlerini bulun Find V(x) Find M(x) , which is the area under the shear diagram
∑ n A y i
Uygunluk şartları 1. Case 1 : θ1 + θ2 = 0 & Τ1 + Τ = Τ2 2. Case 2: θ1 = θ2 & Τ1 + Τ2 =Τ
y
=
i
i
i =1
∑ n A i
i
i =1
Atalet Momenti ;
I =
∑ n I + ∑ n A d i
i =1
i
2
i
i
i
i =1
3
Elastik Eğilme gerilmesi (Flexural Stress) My
σ = −
n
I eğilme gerilmesi eğilme momenti atalet momenti T.E. den uzaklık elastisite modulleri oranı
σ M I y n
Basınçlı kaplar küresel kaplar σ t
2.
silindirik kaplar σ ek .
σ ek. σ t P r t
Pr 2t
= σ ek . =
1.
=
Pr Pr & σ t = 2t t
eksenel (boyuna ) gerilme teğetsel gerilme iç basınç iç yarıçap cıdar kalınlığı
Kesit modülü – Section Modulus S zz =
Bileşik yükleme
I zz y max
1.
z eksenine gore atalet momenti T.E. den uzaklık
I zz ymax
Eksenel Yükleme
P
σ =
A 2.
τ =
Burulma
Tr J
Kayma (kesme) gerilmesi τ =
= ∑ A d = ∑ A ( y − y ) i
i
i =1
Q=
2 3
τ =
VQ
σ ek .
Đç Basınç
=
Pr Pr & σ t = t 2t
Süperpozisyon prensibi 1. 2.
Her bir yük için ayrı ayrı gerilme h esaplayın Sonra bulduğunuz gerilmeleri toplayın
i
i =1
[r 3 − r 3 ] -- hollow cylinder at neutral axis o
Kesme gerilmesi ,
5.
i
4.
My σ = − I
Ib
KK diy. dan alınan kesme kuvveti moment of inertia kesilen kesit kalınlığı birinci moment
Q
Eğilme Gerilmesi
VQ Ib
V I b Q
3.
Düzlem gerilme (2D) Dönüşüm Đfadeleri
i
Kayma akısı q=
VQ I
q V Q I
kayma akısı (kuvvet/uzunluk ) kesme kuvveti birinci moment (can include n*A) moment of inertia
Bağlantı elemanları arası mesafe s = s n
F q
n. F
Đşaret Kuralı Açı
θ
(+) SYT
Kayma gerilmesi
τxy
(+) SYT (Düşey Dz. de) ( - ) SY (Dşy Dz. de)
Normal gerilme
σ
(+) Çekme
( - ) SY
( - ) Basma
q
Bağlantı elemanları arası mesafe bağlantı elemanı sayısı bir elemana gelen kuvvet kayma akısı
4
σ x′
σ y′
′ τ xy
σ x
=
+ σ y 2
σ x
=
σ − σ + x y cos(2θ ) + τ xy sin(2θ ) 2
+ σ y σ x − σ y cos(2θ ) − τ xy sin (2θ ) − 2 2
σ − σ = − x y sin (2θ ) + τ xy cos(2θ ) 2
En Büyük Kayma (EBK) Gerilmesi
σ p1 , σ p 2
σ p 3
=
+ σ y 2
1. 2. 3. 4.
2
+ σ y 2
Genel Hooke Yasası
2τ σ − σ x y xy tan(2θ p ) = , tan(2θ s ) = − σ x − σ y 2τ xy σ x Düsey dz. de x yönünde etki eden normal gerilme σ y Yatay dz. de y yönünde etki eden normal Düşey dz. de etki eden kayma gerilmesi τ xy σ x’ , σ y’ , τ xy’ ; Dönüştürülmüş gerilmeler
σ x
ε x
=+
ε y
=−
ε z = − τ xy
(Note τ xy’ is acting on the Düşey Dz.)
σ p1,p2
2
σ x
Dairenin merkezinin koordinatlarını ( σ ort. ; 0) bulun Dairenin yarıçapını bulun (R= ……..) Daireyi çizin. Dairenin yarıçapı en büyük kayma gerilmesi, dairenin yatay ekseni kestiği noktalar asal gerilmelerdir.
Asal Düzlem ve EBK düzlemi Açıları
θ p θ s
,σ ort . =
Mohr Dairesinin Çizimi
σ − σ y + τ xy 2 ± x 2
= 0 or − P
− σ p min
σ p max
where, σ 3 or σ z =0 dır basınçlı kabın iç yüzeyi hariç, iç yüzeyde σ 3= - p = iç basınç.
Asal Gerilmeler σ x
=
τ max − 3 D
−
νσ y
E E νσ x σ y
E νσ x E
= G γ
+
−
E
E νσ z
+
E σ z E
, τ yz = G γ yz , τ zx = G γ zx
xy
G=
bu ifadelerde ;
−
E νσ y
Asal gerilme dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı
max. Kayma gerilmesi. dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı Asal gerilmeler
νσ z
−
E
2 (1 +ν )
Birim Hacımdaki değişim Mohr Dairesi
e=
Grafik Yöntem.
∆V V 0
= ε x + ε y + ε z =
(σ + σ + σ ) x
y
z
E
[1 − 2ν ]
2
σ x − σ y + τ xy 2 yarıçap , R = 2 σ x + σ y merkez (σ ort . ) =
Düzlem Gerilme (2D) Hali Gerilmeler yardımıyla genlemelerin bulunması
2
σ p1 = merkez ( σ ort ) + R σ p2 = merkez (σ ort )- R σ n = merkez (σ ort ) + Rcos( θ’ ) τ n = Rsin(θ ’) τ max.(2D) = R
1
ε x
=
ε y
=
ε x
=−
γ xy
=
(σ −νσ ) ⇒ σ =
E
x
y
x
E
1 −ν 2
[ε +νε ] x
y
1
(σ −νσ ) ⇒ σ = E [ε +νε ] 1 −ν E ν (σ + σ ) y
τ xy G
x
x
E
y
y
2
y
x
⇒ σ z = 0
⇒ τ xy = Gγ xy 5
(b) Ve sınır değer çözümlerinden faydalanarak asıl problem çözülür.
Elastik Eğri ve Eğim - Sehim Hesapları Sehimi bulmak için integre edilecek moment ifadesi κ =
EI
y(x) M (x) E I
1 ρ
=
d 2 dx 2
M
P kr =
( eğğrilik
E I
Kirişlerin Burkulması
elastik eğri denklemi
π 2 EI L2e
y ( x ) = M ( x )
P kr Le σ kr
x’ deki yer değiştirme x’ deki moment
Modulus of elasticity Moment of inertia
A E I r
Sınır şartları kullanılarak problem çözülür Using the slope or deflection. çokme ( sehim)
= =
eğğim
K . Kuvveti (V ) Yük ( − q )
Le r
2
kritik burkulma gerilmesi kesit alanı Modulus of elasticity Atalet Momenti (Moment of inertia) atalet yarıçapı (radius of gyration)
I
L/r
narinlik oranı
dx 2 d y
( EI sabit ) ( EI sabit )
Efektif uzunluklar Efektif uzunluk kolonun sınır şartlarına bağlıdır.
Bir ucu sabit, bir ucu serbest
v(x) w (x) V (x) M (x) E I
⇒ σ kr =
A
dy
= EI y ′′ dx 2 3 d y = EI 3 = EI y ′′′ dx d 4 y = EI 4 = EI y ′′′′ dx
E . Momenti ( M ) = EI
Le r
2
π 2 E
kritik burkulma yükü Efektif uzunluk
r =
y
=
π 2 EA
Her iki ucu pimli
Bir ucu sabit, bir ucu pimli
Her iki ucu sabit
Displacement at location x Force at location x Shear at location x Moment at location x Modulus of elasticity Moment of inertia
Kirişin sehimini hesaplamak için süperpozisyon Kirişin herhangi bir noktasındaki eğimi ve sehimi hesaplamak için tablolar kullanılır.
Fixed – Fixed translation L e=1.0L
Statikçe belirsiz kirişler
Đki yöntem var;
1. Moment ifadesinin integrasyomu (a) yayılı yük fonksiyonundan başlanabilir (b) Đntegrasyon sabitlerini bulmak için sınır değer şartları uyugulanır. 2. Superposition Yöntemi; (a) Problem static olarak belirli parçalara bölünür.
6
Standart Katsayılar
Bazı malzemelerin fiziksel özellikleri:
TEORĐK GERĐLME YIĞILMA FAKTÖRÜ ( K t) TABLOLARI ;
SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA
SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA
7
SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA
SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA
DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI MĐL
SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA
SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA
DAĐRESEL KESĐTLĐ BURULMAYA ÇALIŞAN FATURALI MĐL
8
DAĐRESEL KESĐTLĐ EĞĐLMEYE ÇALIŞAN MĐL
DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN MĐL
PĐMLĐ BAĞLANTI PĐM DELĐK ETKĐSĐ
DAĐRESEL KES TL E LMEYE ÇALIŞAN M L
9
Kesme Kuvveti ve Eğilme Moment Diyagramlarının Grafik Yöntem ile çizimi için birkaç kural : MUKAVEMET MUKAVEMET --II:: : : I I T T E E M M E E V V A A K K U U M M
08/09 08/09
dV dx
: : I I T T E E M M E E V V A A K K U U M M
= −w x D
∆V = V D
∫
− V C = − w dx xC
dM dx
MUKAVEMET - I :
8. 8. Hafta Hafta
8. 8. Hafta Hafta
V – F – (V + ∆V) = 0 ∆V = – F
F aşağı doğru etki ettiğinde ∆V negatiftir, bu nedenle KK diy. aşağı doğru şıçrar, F yukarı doğru ise KK diy. da yukarı sıçrar.
= V M + ∆M – M 0 – V ∆x – M = 0 ∆M = M 0
x D
∆ M = M D − M C
=
∫
V dx
xC
11
08/09 08/09
© 2008 NM
27 27
M 0, SY (saat yönünde) ise ∆M pozitiftir ve EM diy. yukarı doğru şıçrar, M 0 SYT (saat yönünün tersi) ise EM diy. da aşağı doğru sıçrar. © 2008 NM
1- Kirişin herhangi bir kesidindeki kesme kuvveti diy. eğimi o kesitteki yayılı yükün şiddetine eşittir (-w=dV/dx). Kesme kuvveti diy. değişim; tekil yükler nedeniyle sabit, düzgün yayılı yük nedeniyle lineer olur (eğimi yayılı yükün büyüklüğü ve işaretine bağlıdır)… 2- Kirişin herhangi bir kesidindeki eğilme momentinin x’ e göre değişimi o kesitteki kesme kuvvetinin değerine eşittir. (V=dM/dx).Moment diy. değişim; tekil yükler nedeniyle lineer, düzgün yayılı yük nedeniyle 2. dereceden eğri şeklinde (parabolic) olur. 3- Kesme kuvveti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil yük olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil yük varsa tekil yükün büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ yük yukarı doğru ) 4- Eğilme momenti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil moment olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil moment varsa tekil momentin büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ (SDYT) moment negatif yönde ) 5- Kirişin uç noktalarında tekil yük yoksa bu noktalarda kesme kuvveti sıfırdır. 6- Kirişin uç noktalarında tekil moment yoksa bu noktalarda eğilme momenti sıfırdır. - Eğer kesme kuvveti pozitif ise moment diy. eğimi de pozitif, eğer kesme kuvveti negatif ise moment diy. eğimi de negatif eğime sahiptir.. - Kesme kuvveti diyagramının sıfır olduğu yerde moment diy. eğimi değişir. (yani negatif veya pozitif en büyük moment değerleri vardır)
10
11
12
S Tipi I-Kirişler
(SI Units)
(DAR BALIKLI I KİRİLER)
Tip No
S610 x 180 x 158 x 149 x 134 x 119 S510 x 143 x 128 x 112 x 98.2 S460 x 104 x 81.4 S380 x 74 x 64 S310 x 74 x 60.7 x 52 x 47 S250 x 52 x 38 S200 x 34 x 27 S180 x 30 x 22.8 S150 x 26 x 19 S130 x 22 x 15 S100 x 14.1 x 11 S75 x 11 x8
Birim Ağ.
Alan
kg/m
mm2
180.0 157.8 148.7 134.4 119.1 143.3 128.9 111.4 98.4 104.7 81.6 74.6 63.9 74.4 60.6 52.2 47.4 52.3 37.8 34.3 27.5 29.9 22.9 25.7 18.6 21.9 14.8 14.2 11.4 11.2 8.4
22,900 20,100 18,900 17,100 15,200 18,300 16,400 14,200 12,500 13,300 10,400 9,500 8,150 9,470 7,730 6,650 6,040 6,660 4,820 4,370 3,500 3,800 2,910 3,270 2,370 2,790 1,890 1,800 1,450 1,430 1,070
Yük.
Genişlik
mm
mm
622 622 610 610 610 516 516 508 508 457 457 381 381 305 305 305 305 254 254 203 203 178 178 152 152 127 127 102 102 76 76
204 200 184 181 178 183 179 162 159 159 152 143 140 139 133 129 127 126 118 106 102 98 93 91 85 83 76 71 68 64 59
kalınlık Web
Flanş
mm 20.3 15.7 18.9 15.9 12.7 20.3 16.8 16.1 12.8 18.1 11.7 14.0 10.4 17.4 11.7 10.9 8.9 15.1 7.9 11.2 6.9 11.4 6.4 11.8 5.9 12.5 5.4 8.3 4.8 8.9 4.3
mm 27.7 27.7 22.1 22.1 22.1 23.4 23.4 20.2 20.2 17.6 17.6 15.8 15.8 16.7 16.7 13.8 13.8 12.5 12.5 10.8 10.8 10.0 10.0 9.1 9.1 8.3 8.3 7.4 7.4 6.6 6.6
x-x axis 6
Ix
4
Sx
3
y-y axis 3
10 mm 10 mm 1,310 4,220 1,220 3,940 996 3,270 939 3,080 879 2,880 702 2,720 660 2,560 532 2,090 497 1,960 387 1,690 335 1,470 203 1,060 187 980 127 833 113 744 95.8 629 91.1 597 61.6 485 51.4 405 27.0 266 24.0 237 17.8 200 15.4 173 10.9 144 9.19 121 6.33 99.6 5.12 80.6 2.85 55.8 2.55 50.1 1.22 32.0 1.04 27.4
r x
mm 239 246 230 234 240 196 201 194 199 171 179 146 151 116 121 120 123 96.2 103 78.6 82.8 68.4 72.7 57.7 62.3 47.6 52.0 39.8 41.9 29.2 31.2
6
Iy
4
10 mm 34.7 32.4 20.1 18.9 17.9 21.1 19.6 12.5 11.7 10.3 8.77 6.60 6.11 6.60 5.67 4.16 3.94 3.56 2.84 1.81 1.59 1.34 1.12 0.981 0.776 0.690 0.508 0.376 0.324 0.249 0.190
Sy
3
3
10 mm 218 324 218 209 201 231 219 155 148 129 115 92.3 87.3 94.9 85.3 64.5 62.1 56.5 48.2 34.2 31.1 27.3 24.0 21.6 18.2 16.6 13.4 10.6 9.52 7.77 6.43
r y
mm 38.9 40.1 32.6 33.2 34.3 34.0 34.6 29.7 30.6 27.8 29.0 26.4 27.4 26.4 27.1 25.0 25.5 23.1 24.3 20.4 21.3 18.8 19.6 17.3 18.1 15.7 16.4 14.5 14.9 13.2 13.3
13
C tipi Kirişler
14
Çok kullanılan bazı kesitlerin geometrik özellikleri
15
AKASTRE (K OSOL) KĐRĐŞLER KĐRĐŞ Beam
C ATILEVER B EAMS
EĞĐM Slope
SEHĐM Deflection
ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve
16
BASIT DESTEKLI KIRIŞLER S IMPLY S UPPORTED B EAMS KĐRĐŞ Beam EĞĐM Slope
SEHĐM Deflection
ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve
17
T EMEL YÜKLEME HALLERİ VE BUNLARA KARŞILIK KESME KUVVET İ, EĞİLME MOMENT İNİN SİNGÜLARİT E FONKSİYONLARI CİNSİNDEN İFADESİ ;
nm-09 18
