T.C. MUSTAFA KEMAL ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Petrol ve Doğalgaz Mühendisliği Bölümü
PETROL ve DOĞALGAZ MÜHENDİSLERİ İÇİN
MUKAVEMET DERS NOTU
Prof. Dr. Ergül YAŞAR
ISKENDERUN-2012
1
MUKAVEMET
1. GİRİŞ — Mekanik Tanımı — Elastisite — İdeal Kavramlar (elastik cisim- homojen- İzotrop- Hooke yasası)
2. KESİT TESİRLERİ DİYAGRAMLARI (Basit Mukavemet Halleri) — Statik hesaplar, Yayılı yük, — Kesit tesirleri — Kesme kuvveti, eğilme momenti arasındaki a rasındaki bağıntılar
3. NORMAL KUVVET ve GERİLME — Normal Gerilme
4. HOOKE YASASI — Gerilme ve Şekil Değiştirme İlişkisi
5. DEĞİŞKEN KESİTLİ YA DA BİLEŞİK ÇUBUKLAR 6. GENELLEŞTİRİLMİŞ HOOKE YASASI — 3 eksenli Gerilme
7. ATALET MOMENTLERİ 8. İNCE CİDARLI BASINÇ KAPLARI (HALKALAR) 9. BURULMA 10. KESME-MAKASLAMA11. EĞİLME 12. NORMAL KUVVET ve EĞİLME 13. BURKULMA 14. ÇUBUK SİSTEMLERİNDE BURKULMA
1. GİRİŞ Mukavemet; Kuvvetlerin tesiri altındayken üzerinde şekil değişikliği meydana gelen, kuvvetlerin etkisi kalktıktan sonra eski şeklini alan elastik cisimlerin mekaniğidir. Teknik alanda kullanılan malzemelerin çeşitli yüklere dayanması için gerekli hesap esaslarını inceler. Bir mühendisin vazifelerinden en mühimi elemanın (malzemenin) bütün kullanma şartlarını göz önüne alarak yapı, makine ve tahkimat elemanlarının boyutlarını hesaplamak olduğuna göre; bu boyutları hesaplarken iki şartı göz önünde ö nünde tutmak zorundadır.
1
a) Mukavim olma şartı: Yani elemanın boyutlarını o şekilde tayin edecektir ki, eleman kendisine tesir eden dış kuvvetlere mukavemet etsin. O halde bu şart elemanın kesitinin et kalınlığının fazla olmasına sebep olur.
b) Ekonomi şartı: Yani elemanın ucuza mal edilmesidir. Bu şartta elemanın et kalınlığının daha az olmasıyla daha az malzeme kullanılır. Mühendis bu iki zıt şartın en uygun çözümünü arar. Mukavemet bilgisi matematikten ve malzeme bilgisinden çok yararlanır. Deneylere önem verir. Bazı kabuller neticesinde bulunan formüllerin deney sonuçlarına uygun olup olmadığına bakılır.
Sonuç olarak; Mukavemet cisimlerin (malzemenin) kesitlerinde meydana gelen iç kuvvetlerin elastik cisimlerin kesitlerinde nasıl dağıldıklarını, birim kesit alanına düşen kuvveti, yani gerilmeyi, elastik cisimlerin kuvvetler etkisi altında nasıl ve ne kadar şekil değiştirdiklerini (deformasyonlarını (deformasyonlarını = uzama, kısalma, sehim, eğilme, burulma, burkulma) miktarını araştırır.
DIŞ KUVVET: Bir cisme diğer cisimler tarafından yapılan etkiye dış kuvvet kuvv et denir. a) Doğrudan doğruya belli olanlar; Kendi ağırlığı Üzerine yüklenmiş ağırlıklar Diğer kuvvetler)
b) İrtibatlardan gelenler (mesnet tepkileri); Cisimlerin diğer cisimlere bağlanmasından meydana gelen Döşemenin kirişe Kirişin kolona Kolonun temele Temelin zemine Tahkimat direğinin tavana Tavan taşının çelik çelik iksaya
İÇ KUVVET: Bir cismin iki parçasının birbirine yaptığı etkiye iç kuvvet denir. Dış kuvvetlerin tesiri altındaki bir cisim şu zorlamalarla karşı karşıya kalmaktadır. 1. Normal kuvvet (çekme, basınç) 2. Kesme kuvveti 3. Eğilme momenti 4. Burulma momenti → Burkulma momen 5. Döndürme momenti
2
MEKANİĞİN çeşitli yönlerden sınıflandırılması mümkündür. Eğer uğraştığı cismin fizik halini göz önüne alarak bir sınıflandırma yaparsak, mekanik üç ana guruba ayrılır: 1. Katı cisimlerin mekaniği; 2. Sıvıların mekaniği; 3. Gazların mekaniği. Mekaniğin bu üç dalı da mühendisliğin çeşitli kollarında ayrı ayrı önem taşır. Katı cisimler, dış yüklerin etkisi ile az veya çok şekillerini değiştirirler. Teknik problemlerin pek çoğunda bu şekil değiştirmeler küçüktür. Şekil değiştirmelerin değiştirmelerin tamamen ihmal edilebileceği edilebileceği pek çok problem vardır. Bu nedenle ideal bir cisim olan rijit cisim tanımlanır:
Rijit cisim, dış yüklerin etkisi ile herhangi iki noktası arasındaki uzaklığı değişmeyen cisimdir. Bu ideal cismi konu alan mekaniğe rijit cisimler mekaniği adı verilir. Katı cisimler kuvvetlerin etkimesi sonucunda şekillerini değiştirdikten sonra rijitleşmiş kabul edilir ve bunlara rijit cisimler mekaniğinin yöntemleri aynen uygulanır. Bu kabul, katı cisim mekaniğinin dayandığı ilkelerden bir tanesidir ve rijitleme adını alır.
Katı cisimlerin yükler altında şekil değiştirmesi, kullanılan konstrüksiyon malzemesinin cinsine bağlı olarak çeşitli çeşitli özellikler gösterir. gösterir. Yumuşak çeliğin, fontun, betonun, kilin kilin aynı yük altındaki altındaki şekil değiştirmeleri farklıdır. Birçok durumlarda yükler kaldırıldığı zaman cisim ilk haline geri döner. Malzemenin bu davranışına elastiklik adı verilir. Yükler kaldırıldıktan sonra cisim ilk haline dönmez ve şekil değiştirmiş olarak kalırsa bu davranışa da plastiklik denir.
Malzemenin pek çoğunda yükün bir sınırına kadar elastik davranış görülmektedir. Plastik davranış gösteren ve göstermeyen malzemeler vardır. Çeşitli malzemenin özelliklerini kapsayacak çok geniş bir mekanik geliştirmek imkânsız olduğundan bir ideal malzeme tanımlayıp onun mekaniğini kurmaktan başka çare yoktur. Elastik cisimler, elasto plastik cisimler, viskoelastik cisimler, v.b. bu tip ideal cisimlerdir. İşte bu ideal cisimlerin mekaniği, bu arada malzemenin pek çoğunun ortak özelliğini yansıtan elastik daimlerin mekaniği bunların içinde mühendis için en önemli bölümdür. Bu DERSİN konusunu da esas itibariyle elastik cisimler teşkil edecektir. Elastoplastik cisimlere de az miktarda yer verilecektir. Elastik cisimlerin mekaniğini konu alan bilim dalına elastisite teorisi denir. Yalnız elastisite teorisinde inceleme yolu değişiktir. Orada problem, matematik açısından göz önüne alınır, denklemler kurulur ve çözüm yolu aranır. Bu teori pratik mühendislik hesapları için elverişli değildir. Ancak, bir yandan teoriden, bir yandan deneylerden elde edilen sonuçlara dayanılarak 3
varılan basit kabuller, pratik problemlerin çözümü için bizim inceleyeceğimiz bir bilim dalını-
MUKAVEMET- ortaya çıkarmıştır. Mukavemette incelenen problemlerden biri, cismin dış yükler altındaki davranışıdır. Dış yüklerin etkisi ile cismin içinde iç kuvvetler meydana gelir. Bir konstrüksiyonda bu iç kuvvetlerin malzemenin dayanma sınırını aşmaması gereklidir. Bu da mühendisin vereceği uygun boyutlarla sağlanır, işte bu dersin başlıca amacı, boyutlandırmayı sağlamak üzere iç kuvvetlerin hesabıdır .
MUKAVEMET VE İLGİLİ DİĞER BİLİM DALLARI Mukavemet yukarda anlatılan ödevini yapabilmek için diğer birçok bilim dallarından faydalanmak zorundadır; bu arada rijit cisimler mekaniği başta gelir. Fakat mukavemetin uğraştığı malzemenin, dış yük altındaki davranışı göz önünde tutularak, rijit cisim mekaniğinin, yalnız ortamın özelliği ile ilgili olmayan teoremlerinden faydalanmak gerekeceğine dikkat etmelidir. Bunlar arasında denge şartları başta gelir. Mukavemet, deneysel esaslara dayanan bir bilim dalıdır, incelediği cismin gerçek özelliklerini tanımak, bilmek zorundadır; bu sebeple malzeme deneme bilgisinden elde edilen sonuçlardan faydalanır. Kısaca söylemek gerekirse, şekil değiştirme ve kuvvet mekanizmasıyla uğraşan malzeme mekaniği veya modern adı ile reoloji ilgili bilim dalları arasında önemli yer tutar. tuta r. Mukavemeti, konusu konusu itibariye, şekil değiştiren cisimler mekaniğine mekaniğine sokmuştuk. Yalnız Yalnız bir mekanik dalında, konu işlenirken, kullanılan metodun kesinlik derecesi farklı olabilir; böyle bir durum, konuları aynı olan, cisimlerin mukavemeti ile elastisite teorisinde vardır. Pratik amacı dolayısıyla, sırf konuyu sadeleştirmek için, mukavemet bahsinde birçok kolaylaştırıcı varsayımlar yapılır, bundan ötürü varılan sonuçlar yaklaşıktır. Elastisite teorisi aynı probleme daha kesin bir analiz metodu uygular; dolayısıyla elde edilen çözüm çöz üm diğerinden daha kesin olur. Birçok halde, yeter yaklaşıklık elde ettiği için, sonuca daha hızla varan elemanter mukavemet metotları, mühendisler tarafından elastisite teorisine tercih edilir. Fakat kesin teori, sonuçları kontrol bakımından, hiç bir zaman gözden uzakta tutulamaz, ayrıca yeter yaklaşıklığın sağlanamadığı hallerde, elastisite teorisine başvurmaktan başka çare de yoktur. Mukavemetin faydalandığı faydalandığı dallardan biri deneysel deneysel elastisitedir. elastisitedir. Karışık birçok problemin çözümü, model yardımı ve ölçü metotlarıyla bulunur.
Mukavemetin kısımları Her mekanik dalında olduğu gibi burada da konuyu iki büyük parçaya ayırmak kabildir. Birine Elasto-statik adı verilir ve denge problemlerini kapsar. Diğeri ise yapı elemanlarının ivmeli
4
hareketlerinden doğan atalet kuvvetlerinin etkisini araştırır ve elasto kinetik adını alır, Bu son kısım, özellikle makine mühendisliğini ilgilendiren problemlerle uğraşır.
Tarihçe Mukavemetin, çok gerilere gitmeyen tarihine ait burada kısa bir bilgi ile yetinmek istiyoruz. Kirişlerin ilk eğilme problemi ile Galilei (1654–1722) uğraşmıştır, fakat o, kirişte çekme ve basınç gibi iki bölgenin bulunduğunu fark etmemiştir. Kuvvet ve şekil değiştirme arasındaki ilk matematik bağıntı Robert Hooke (1635–1703) tarafından kuruldu. Eğilmeye çalışan kirişte iki çeşit normal gerilme bulacağını ilk fark edenler arasında Mariotte (1680) ve Leibnitz (1684) den bahsetmek gerekir. Bernoulli 1694 de eğrilik ile moment arasındaki orantılılığı, ileri sürdü. Aynı bilgin kiriş kesitlerinin eğilmede düzlem kalması gibi önemli hipotezi 1705 de ortaya attı. Leonhard Euler (1707–1783) elastik eğri ve ona dayanan elastik stabilite problemlerini 1744 de çözdü. Kiriş teorisini geliştiren ve çeşitli mühendislik problemlerinin çözüm metotlarını ortaya koyan Navier (1785–1836) dir. Mukavemet ve Elastisite teorisinin gelişmesi için büyük çabalar sarfeden diğer isimleri şöyle sıralamak kabildir. Poisson (1781–1840), Cauchy (1789–1857), de Saint-Venant (1797– 1886), C. Maxwell (1831–1879), Kirechh off (1838–1907), Wöhler (1819– 1914), Betti (1823–1892), O. Mohr (1835–1918), A. Castigliano (1847–1925) ve Engesser (1848– 1891) [4].
MEKANİK: a) 1. Katı cisimlerin mekaniği 2. Akışkanlar mekaniği
b) 1. Rijit cisimler mekaniği 2. Şekil değiştiren cisimler mekaniği
c) 1. Sürekli ortamlar mekaniği 2. Parçacıklı (Kuantum) mekaniği
d) 1. Newton (vektörel) mekaniği 2. Analitik (Lagrange) mekaniği 3. İstatistik mekanik .
5
Cisimlerin mukavemeti esas itibariye, şekil değiştiren cisimlerin mekaniğidir; yalnız güdülen amaç
boyutlandırma adı verilen belirli tip mühendislik problemlerini çözmek olduğu için, daha çok tatbikî mekanik kategorisine girer. Mühendis, tasarlayacağı her çeşit yapı elemanına boyut verirken, göz önüne alacağı en önemli noktalardan biri de, bunların dış etkenlere dayanmasını sağlamaktır.
İşte cisimlerin
mukavemeti ve bazen de mukavemet adı verilen bu bilim dalı bununla ilgili esas ve metotları hazırlar. Mühendis, tasarlayacağı her çeşit yapı elemanına boyut verirken, göz önünde bulundurmak zorunda olduğu önemli noktalardan biri de, bunların dış etkilere karşı dayanmasını sağlamaktır. İşte mukavemet bilim dalı, bu yolda gerekli esas ve metotları hazırlar. Boyutlandırma, daima birbirine zıt olan, şu iki şartı uyuşturmağa çalışır.
1. Emniyet şartı 2. İktisat şartı Yapı, hiçbir zaman etkiyen dış kuvvetlere tam dayanacak şekilde boyutlandırılmaz, bunların geçici de olsa, muhtemel artışlarını ve yapının emniyeti ile ilgili diğer faktörleri de hesaba katmak gerekir. Bütün bu noktalar, boyutların arttırılmasını, diğer bir deyimle yapının ağır ve rijit olmasını icap ettirir (emniyet düşüncesi). İktisat şartına gelince, lüzumsuz malzeme ve işçilik sarfından kaçınarak, yapı elemanlarına yeter boyut vermeyi öngörür. Bu iki esas şart yanında, yapıya uygun form vermekte hiçbir zaman ihmal edilmemelidir. Eser doğru olduğu kadar güzel de olmalıdır; terim eğer yerinde ise, bu üçüncü şarta da
3. Estetik olma şartı denilebilir. Mukavemet, her teknik problemde bütün şartları gerçekleştirecek optimum bir çözüm arar.
Mukavemeti elde etmek için yapılan basitleştirme ve ideal kavramlar: 1. Ortamın yapısı için kabul edilen ideal kavramlar
Mukavemette kullanılan ideal kavramlar arasında tam elastik cisim ve tam plastik cisim sınırda olan iki cismi gösterir.
6
Elastik Cisim: Bir cisme dış yükleri uyguladığımızda cisim şekil değiştirme yapacaktır. Dış yükler kalktığında cisim 1. şekline dönüyorsa buna elastik cisim denir. Tam elastik özellik, cisimde şekil değişmenin dış etki ile birlikte geri dönmesi demektir. Bunun zıddına, tam plastik cisimde, dış tesirler ortadan kalktığı halde yaptıkları şekil değiştirme olduğu gibi kalır. Yapıda kullanılan cisimler genel olarak, bu iki ideal durumun arasında bulunur; yani dış etkiler geri dönerken, şekil değiştirmelerin bir kısmı geri döner bir kısmı kalır. Buna Elastoplastik cisim denir.
Elastoplastik Cisim: Dış yükler kalktığında cisim ne son şeklinde kalıyorsa ne de ilk şekline dönüyorsa cisme Elastoplastik cisim denir.
Homojen: Eğer ele aldığımız cismin özellikleri her noktası için aynı ise buna homojen cisim denir. İzotrop: Eğer cismin özellikleri cismin içindeki doğrultuya bağlı değilse buna İzotrop cisim denir.
Mukavemet için önemli kavramlardan biri de, dış etkilerle şekil değiştirmeler arasındaki bağıntı, şekil değiştirme kanunudur. İlk basit kanun Robert Hooke tarafından verilmiştir.
Hooke Yasası: “Kuvvet ne kadarsa uzama o kadardır” Böyle cisimlere Hooke yasasına uyan cisimler denir. Buna göre kuvvetle şekil değiştirme arasında lineer bir bağıntı olduğu kabul edilmektedir. Şekil değiştirme kanunu lineer olan cisimlere kısaca Hooke Cismi adı verilir.
2. Şekil değiştirmenin kinematiğinde yapılan basitleştirmeler ve ideal kavramlar: 7
a) Rijitleştirme İlkesi: Denge denklemleri cismi şekli değiştirdikten sonra rijit hale geldiği kabul edilerek uygulanılır.
b) Ayırma İlkesi: Cismin dış etkilere uygunluğunu anlamak için, bir düzlemle herhangi bir yerinden kuramsal olarak kesilir. Düzlemin ayırdığı kısımlardan sadece bir parçasına denge denklemleri uygulanır. Cismi iki parçaya ayırıp, bir tarafı atarak kalan kısmın incelenmesine ayırma prensibi adı verilir. Denge denklemleri cismin bütünü için geçerli ise, her parçası içinde geçerlidir.
c) Eşdeğerlik İlkesi: Statikçe eşdeğer olan mukavemetçe eşdeğer olmayabilir. Statik yönden eşdeğer olan kuvvetler, şekil değiştirme yönünden de eşdeğer değillerdir.
Örnek: İki ayrı yükleme statik yönden eşit olduğu halde biri kirişte şekil değiştirme doğurur. Diğerinde ise hiçbir şekil değişikliği olmaz.
Örnek: Rijit cisim mekaniğinde kuvvet, kayan bir vektör sayıldığı halde, şekil değiştiren cisim mekaniğinde kuvvetin kaymasına izin verilmez.
Bu kuvvetler çubuğu uzatmaya zorladığı halde, kuvvetler kaydırılacak olursa, yani
Böyle olursa şekil değiştirme tamamen ters bir hal alır. Çubuk kısalır.
Saint Venant İleride görülecek mukavemetçe eşdeğerlilik. d) Birinci Mertebe Teorisi: Rijitleştirme ilkesinin tersine mukavemette bağ kuvvetleri hesaplanırken cismin ilk hali yani yükleme yapılmadan önceki durumu rijit olarak kabul edilir. Yani statikte kullanılan bağ kuvvetleri bulma işlemleri aynen uygulanacaktır. Birçok halde, cismin şekil değiştirmiş durumu ile ilk durumu arasındaki fark çok küçüktür. Bu nedenle denge denklemleri yazılırken gerekli boyutlar şekil değiştirmemiş durum üzerinden alınır.
8
e) Süperpozisyon (lineer toplama) İlkesi: Bir elastik sistemin iki ayrı yüklemesini göz önüne alalım.
Her iki yüklemenin birden yapıldığı durumda
Aynı A noktası f kadar yer değiştirsin. Eğer sistemin bu üç yüklemesi arasında
F = f1 + f2 gibi bir bağıntı varsa, burada süperpozisyon kanunu geçerliktedir denir. Süperpozisyon kanunun geçerli olması için, şekil ve yer değiştirmelerin küçük ve cismin Hooke kanununa uygun bir şekil değiştirme yapması gerekmektedir. “Mukavemetin amacı mühendislik yapılarına dış yükler altında uygun boyut vermektir”
9
İÇ KUVVETLER ve NORMAL KUVVET HALİ DIŞ KUVVET Cisme diğer cisimlerin yapmış olduğu etki olarak tanımlanabilir. Bu etkiler iki kısma ayrılabilir: a) Doğrudan doğruya belli dış kuvvetler b) Bağ kuvvetleri (Reaksiyon, mesnet kuvvetleri) Birinci sınıftaki kuvvetler, bilinen verilmiş kuvvetlerdir. İkincisi ise cisimlerin arasındaki bağdan doğar. Bağın şekli ve denge fikri esas rolü oynar. İç kuvvet ise bir cismin çeşitli parçaları arasındaki etki ve tepkiden ibarettir. Mukavemette bir cismin tüm durumu hakkında fikir edinebilmek için, cismi parçalara ayırmak ve her parçayı sanki diğerinden bağımsız, ayrı bir cisim olarak düşünmek gerekir. İç kuvvet, cismin parçalarını belirten ayırma yüzeyi ve kesit kavramından ayrı olarak düşünülemez.
τ ve σ’nın İşaretlerinin Bulunması: (σ) Normal gerilme kesitin normali yönündeyse pozitif (+) ters yönündeyse (-) negatif olur. (τ) Kayma gerilmesi kesitin normali saat ibresinin tersi yönünde 90° yatırıldığında kayma gerilmesi ile aynı yönde geliyorsa (+) ters yönde geliyorsa (-) olur.
Çubuk: Katı cisimlerin teknik mekaniğinde inceleme yolu, cismin geometrisine yakından bağlı olmaktadır. Boyutları bakımından özel olan cisimler için tamamen farklı bir inceleme yolu izlenmektedir. Bu tür özel cisimlerden biri çubuklar, öteki plâk ve kabuklardır. Çubuklar, iki boyutu üçüncü boyutunun yanında küçük olan cisimlerdir. Bu küçüklük oranı genel olarak bir mertebe küçük olma şeklinde söylenebilir, yani 1/10 dur. Çubukların iki öğesi vardır: 1) Çubuk ekseni. Bu genel olarak bir uzay eğrisidir. 2) Çubuğun enine kesiti. Kısaca kesit de denilen enine kesit kapalı bir alan parçasıdır.[2] Kesitin ağırlık merkezi çubuk ekseniyle üst üste düşer ve kesit düzlemi eksen eğrisine diktir.
Her en kesitinin ağırlık merkezinin geometrik yerinden geçen eğriye çubuk ekseni denir.
10
Çubuk eksenine dik olan düzlemlerle kesildiğinde meydana gelen kesite dik kesiti denir. Teknikte çubuklar, eksen eğrisinin şekline ve çubuklara gelen kuvvetlere göre çeşitli adlar almaktadır. (Şek. l-2a). Eksenin şekline göre: 1. Doğru eksenli çubuklar, etkiyen kuvvete göre kiriş, mil, şaft, kolon vb. adlar alır. 2. Eğri eksenli çubuklar, kemer, halka gibi adlar alırlar. En kesitinin durumuna göre: 1. Sabit eksenli çubuklar 2. Değişken kesitli çubuklar
Bir boyutu diğer iki boyutu yanında çok büyük olan elemanlara çubuk denir. Çubukların 2. boyutu 3. boyutu yanında küçük olduğu için eksenleriyle gösterilebilir. Bir çubuğun belli olabilmesi için ekseninden başka en kesitinin ve boyunun bilinmesi gerekir. Çubuğun ekseni en kesitlerin ağırlık merkezinin üzerinde bulunduğu bir eğridir. En kesit eksene dik kesit olarak tanımlanır. Birden fazla çubuğun birbirine bağlanması ile meydana gelen çubuklara çubuk sistemi denir. Eğer bir sistemde çubuklar rijit bağlı ise bunlara, çerçeve adı verilmektedir. Mafsalla bağlandığı kabul edilen ve yükleri bu bağ noktalarına etkiyen çubuk sistemlerine kafes
sistemler denir. Bunlar dışında olan çubuk sistemleri de vardır. Çubuğun kesiti çeşitli geometrik biçimlerde olabilir. Bu biçime göre dikdörtgen, daire, halka vb. kesitli çubuk adı verilir. Çubuk kesiti çubuk ekseni boyunca sabit veya değişken olur. Değişken kesitli çubuklarda da kesit değişimi ani veya sürekli olabilir. 11
Plak ve kabuklar, iki boyutu üçüncüsünün yanında büyük olan cisimlerdir. Bina döşemeleri, kubbeler, hazneler, kazanlar bu tip cisimlere birer örnektir. Boyutları yönünden bu iki özel tipe uymayan çubuklar için genel çözüm yöntemlerinden yararlanmaktan başka çare yoktur. Çubuğa etkiyen dış yükler çubukta iç kuvvetler meydana getirir. Bu kuvvetleri görünür hale getirmek için çubuk hayali iki parçaya ayrılır. Her zaman kullanacağımız bu temel ilkeye ayırma ilkesi adı verilir. [1]. Kuvvetlerin etkisinde bulunan bir çubuk göz önüne alalım. Çubuğu bir kesit boyunca ikiye ayıralım.
Parçalardan bir tanesi, kendisine etkiyen dış kuvvetlerin etkisi altında dengede olmayacaktır. Öteki parçadan o parçaya gelen iç kuvvetleri de hesaba katarsak denge sağlanır. Bu iç kuvvetler bütün kesit yüzeyi üzerine yayılmıştır. Değerleri de genellikle kesit içinde noktadan noktaya değişiktir. Bir noktadaki değeri bir limit işlemiyle tanımlanır: ∆A alanına gelen kuvvet ∆P ise;
Değerine gerilme denir. Gerilmenin boyutu K/L 2 olduğuna göre kg/cm2 ve ya kg/mm 2 gibi birimlerle ölçülür. Kısaca gerilme birim alana gelen iç kuvvettir .
Düzlemsel Yükler İç Kuvvetlerin Hesabı Kesim Yöntemi Doğru eksenli bir çubuğa etkiyen bütün dış kuvvetlerin aynı düzlemde bulunduğunu kabul edelim. Kuvvetlerin düzlemini yz düzlemi olarak alıyoruz. Çubuğun statikçe belirli şekilde mesnetlendiği kabul edildiğine göre bağ kuvvetleri statikçe bilinen yollarla hesaplanır ve bunlarda aynı düzlemde 12
bulunur. İç kuvvetlerin hesabı yönünden bağ kuvvetleri ile doğrudan doğruya belirli öteki dış kuvvetleri ayırt etmeye gerek yoktur. Biz daima bağ kuvvetlerinin hesaplanmış olduğunu kabul edecek ve dış kuvvetler yönünden dengede olan bir çubuktan hareket edeceğiz. Ondan sonra iç kuvvetlerin bulunmasını istediğimiz kesitten çubuğu iki parçaya ayırırız. Soldaki veya sağdaki parçayı bir serbest cisim olarak göz önüne alırız. Kesitteki iç kuvvetler de hesaba katılmak şartıyla göz önüne alınan parça dengede olmalıdır. Düzlemde bulunan kuvvetler için üç denge şartı bize N, T, M bilinmeyenlerini hesaplamak olanağını sağlar. Çubuğu yeteri kadar çok kesitten ayırarak
bütün çubuk boyunca iç kuvvetler hesaplanır. Bu, kesim yöntemidir. Kesim yönteminin pratik uygulaması için önce iç kuvvetlerin işaretli olanlarını yeniden gözden geçirelim. Pozitif yönleri düzlemsel hale indirgersek durum elde edilir. İç kuvvetleri hesaplarken göz önüne alınan çubuk parçasına bilinmeyen iç kuvvetleri pozitif yönleri ile koymalıdır. Böylece hesap sonucunda pozitif çıkan büyüklüklerin pozitif, negatif çıkanların negatif olduğu anlaşılmış olur. Çubukta iç kuvvetler eksen boyunca bütün noktalarda hesaplanır. Sonra bunların grafikleri çizilir. Bu grafikler çubuk üzerindeki her noktada N, T, M değerlerini (işaretli olarak) gösterir ve normal kuvvet diyagramı, kesme kuvveti diyagramı ve eğilme momenti diyagramı adını alır. Diyagramların çizimi için çubuğu kaç noktada kesmek gerektiği akla gelen bir sorudur. Çubuğa etkiyen tekil yükler; yayılı yüklerin başlangıç, bitim ve yayılma kanununun değiştiği noktalar çubukta bölgeler ayırır. Her bölgede bir kesim yapmak, iç kuvvetleri z koordinatının fonksiyonları olarak hesaplamak ve sonra o bölge içinde z’yi değiştirmek suretiyle kesim sayısını minimumda tutmak mümkün olur. Tekil yüklerin etkidiği noktalarda iç kuvvetlerde süreksizlikler olduğundan kesimi tam o noktalarda yapmamalıdır. Hesabın yapılışı ve diyagramların çizilişi örnek problemlerden izlenebilir.
Hesabın yapılış adımlarını bir daha özetleyelim: 1. Bağ kuvvetleri hesaplanır. 2. Yükün değişmesine göre çubukta bölgeler ayrılır. Her bir bölgede bir kesim yapılır. Çubuğun bir parçası göz önüne alınır. Kesitteki yüzeye iç kuvvetler pozitif yönlerde konur ve z’nin fonksiyonu olarak hesaplanır. 3. z’ye bölge içinde değerler vererek iç kuvvet diyagramları çizilir.
13
100kg/m
Soru
500kg 400kg
A
B
3m
7m
a-) Şekildeki gibi yüklü olan sabit kesitli kirişin kesir tesir (normal kuvvet, kesme kuvveti, eğilme moment) diyagramlarını çiziniz.
2m
ÇÖZÜM Σx = 0 ► Ax – 400 = 0 ► Ax = 400kg 100kg/m.10m=1000kg
Σy = 0 ►Ay+By-1000-500= 0 ►Ay + By = 1500kg
500kg
Ax
400kg
Ay
ΣMB=0►Ay*9m-1000*7m= 0 7000 kg.m =9m*Ay By= 722,2 kg, Ay= 777,8kg
By
0 ≤ z ≤ 3m arası Σx = 0 ►Nz = 0
100*z Mz
Σy = 0 ►Tz + 100*z = 0 ► Tz = -100*z Nz
z
(z = 0 → Tz = 0 kg ; z = 3 → Tz = - 300 kg )
Tz
ΣM = 0 ►Mz + 100*z*z/2= 0 ► Mz = -50*z
2
(z = 0 → Mz = 0 kg ; z = 3 → Mz = - 450 kg )
3 ≤ z ≤ 10 m arası 100*z
Σx = 0 ► Nz + 400= 0 ► Nz = - 400 kg Mz
400
Σy=0 ►Tz+100*z-777,8 = 0 ► Tz = 777,8 -100*z
Nz z
(z = 3 → Tz = 477,8 kg ; z = 10 → Tz = - 222,2 kg )
Tz
777,8
ΣM = 0 ►Mz – 777,8*(z-3) + 100*z*z/2= 0 2
► Mz= 777,8*z - 2333,4 - 50z
(z = 3 → Mz = -450 kg ; z = 10 → Mz = 444,6 kg)
0 ≤ z ≤ 2m arası Tz
500
Σx = 0 ► Nz + 400= 0 ► Nz = - 400
Mz 400
Nz z
Σy = 0 ►Tz + 722,2 - 500 ► Tz = - 222,2 ΣM = 0 ►Mz + 500*z - 722,2*z= 0
722,2
► Mz = 222,2*z
(z = 0 → Mz = 0 kg ; z = 3 → Mz = 444,4 kg) Mz (z)= 777,8 -100*z= 0 → z= 7,778cm 2
Mz (7,778)= 777,8*z - 2333,4 - 50z
Mz (7,778)=6049,72-2333,4-3024,86=691,46
14
100kg/m
500kg 400kg
A
B
3m
7m
2m
N
0 -400
477,8
+ T -
-222,2
-300
-450 -
M + 444,6 691,5 7,778m
15
2N/cm
Soru a-) Şekildeki gibi yüklü olan sabit kesitli kirişin
A
B
eğilme moment) diyagramlarını çiziniz.
400 cm
800 cm
kesir tesir (normal kuvvet, kesme kuvveti,
ÇÖZÜM 2N/cm.800cm=1600N
Σx = 0 ► Ax = 0
Ax
Σy = 0 ►Ay+By-1600 ►Ay + By = 1600 N Ay
By
ΣMA=0►1600*400cm - 1200cm*By= 0
By = 533 N, Ay = 1067 N 2*z Mz
0≤ z ≤ 800 cm arası
Nz z 1067
Σx = 0 ►Nz = 0
Tz
Σy = 0 ►Tz -1067 +2*z = 0 ► Tz = 1067 - 2*z (z = 0 → Tz = 1067 ; z = 800 → Tz = - 533 ) ΣM = 0 ►Mz – 1067*z + 2*z*z/2= 0 ► Mz = 1067*z - z
2
(z = 0 → Mz = 0 ; z = 800 → Mz = 213600 )
Tz Mz Nz z
533
0≤ z ≤ 400 cm arası Σx = 0 ►Nz = 0 Σy = 0 ►Tz + 533 = 0 ► Tz = - 533 ΣM = 0 ►Mz - 533*z= 0 ► Mz = 533*z
(z = 0 → Mz = 0 ; z = 400 → Mz = 213200 )
Mz (z)= 1067 - 2*z = 0 → z= 533,5 cm Mz (533,5)= 1067*z - z
2 2
Mz (533,5)= 1067*533,5 – 533,5 = 284622
16
2N/cm
A
B 800 cm
400 cm
N
0
1067
+ T -533
533,5cm
M
+ 213600 284622
17
SORU 2kN/m
a-) Şekildeki gibi yüklü olan sabit kesitli kirişin
10kN 15kN
A
kesir tesir (normal kuvvet, kesme kuvveti, eğilme
B
moment)
diyagramlarını
çiziniz.
Maksimum eğilme momenti, kesme kuvveti ve 3m
3m
6m
normal kuvvetin şiddeti nedir?
10kN
2kN/m.6m=12kN Ax
15kN
ÇÖZÜM Σx = 0 ►Ax + 15 = 0 ► Ax = -15 kN Σy = 0 ►Ay + By -12-10 = 0
Ay
By
►Ay + By = 22 kN
ΣMA = 0 ►12*6m +10*12m- 9*By= 0 Mz
-15
72+120=9By By = 21.3 , Ay = 0.7
Nz z 0,7
0≤ z ≤ 3 m arası
Tz
Σx = 0 ►Nz -15 = 0 ► Nz = 15 Σy = 0 ►Tz – 0,7 = 0 ► Tz = 0,7 ΣM = 0 ►Mz – 0,7*z = 0 ► Mz = 0,7*z (z = 0 → Mz = 0 ; z = 3 → Mz = 2,1 )
2*(z-3)
3≤ z ≤ 9 m arası
Mz
-15
Nz 0,7
z
Σx = 0 ►Nz -15 = 0 ► Nz = 15
Tz
Σy = 0 ►Tz – 0,7+ 2*(z-3) = 0 ► Tz = 6,7-2*z (z = 3 → Tz = 0,7 ; z = 9 → Tz = -11,3) ΣM = 0 ►Mz – 0,7*z + 2*(z-3)*(z-3)/2 = 0 2
► Mz = - (z + 9 - 6,7*z) Tz
(z = 3 → Mz = -2,1 ; z = 9 → Mz = - 29,7 )
10
Mz
15
Nz z
0≤ z ≤ 3 m arası Σx = 0 ►Nz -15 = 0 ► Nz = 15 Σy = 0 ►Tz – 10= 0 ► Tz = 10 ΣM = 0 ►Mz + 10*z = 0 ► Mz = - 10*z
(z = 0 → Mz = 0 ; z = 3 → Mz = - 30) Mz (z)= 6,7-2*z = 0 → 2*z = 6,7 → z= 3,35 2
Mz (3,35)= - (z + 9 - 6,7*z) Mz (3,35)= - (11,2225 + 9 – 22,445) = 2,2225
18
2kN/m
10kN 15kN
A
B
3m
3m
6m
15 N
+
10 +
0,7
T
+ -11,3
2,2
2,1 +
M -
-29,7
19
NORMAL KUVVET: Bir çubuk yalnızca ekseni doğrultusundaki dış kuvvetlerin yani çekme ya da basınç kuvvetlerinin etkisindeyse kesitlerde meydana gelen iç kuvvete Normal Kuvvet, probleme de normal kuvvet hali denir.
GERİLME: Birim alana düşen kuvvet. Normal kuvvet halinde gerilme, normal kuvvetin kesit alanına bölünmesi ile elde edilmektedir.
Çekme uygulanması durumu
ç
F
b
F
: Normal kuvvet (basınç ya da çekme), kg
: Basınç gerilmesi, kg/cm2
: Çekme gerilmesi, kg/cm2
b
ç
emn
F A
. : Emniyet gerilmesi, kg/cm2
: Sınır gerilmesi, maksimum gerilme kg/cm 2
n
: Emniyet katsayısı (> 1)
A
: Kesit alan, cm2
d
: Dairenin çapı, cm
m
Basınç uygulanması durumu
Alan: daire ise
2
* d 4
, * r 2 Alan: kare ise a 2 Alan: dikdörtgen ise a * b
Boyutlandırma ve Emniyet Gerilmesi Malzemeler en genel olarak iki farklı grupta toplanabilir:
1. Sünek (düktil) malzeme: Yükün belirli bir sınırında malzemede çok büyük şekil değiştirmeler meydana gelir. Buna akma denir.
2. Gevrek (frajil) malzeme: Bu tip malzemede akma olmaz. Belirli bir σ gerilmesinde malzeme birdenbire kırılır. Her iki hali bir araya toplayarak malzemeler için bir σ m sınır gerilmesi olduğunu söyleyebiliriz. 20
Ancak bir konstrüksiyonda gerilmelerin σ m sınır gerilmesine kadar çıkması istenmez. Bu nedenle σ m sınır gerilmesi, emniyet katsayısı (n) denilen, birden büyük bir n katsayısına bölünür. Böylece elde edilen gerilmeye emniyet gerilmesi denir. Malzemelerin yeteri kadar emniyetli çalıştırılmaları aşağıdaki sebeplerden doğmaktadır.
1. Dış kuvvetler çoğu zaman tam olarak belli değildir. 2. Taşıyıcı elemanın her yerinde aynı özellik bulunmayabilir. 3. İç kuvvetlerin hesabında yapılan kabullerden dolayı sonuçlar yaklaşıktır. 4. İmalatlarda bir takım hatalar ortaya çıkabilir. 5. Zamanla elemanın kesitinde zayıflama olabilir. 6. Elemanlar uzun zaman çalışması neticesinde yorulmakta dolayısıyla sınır gerilmelerinde değişiklik olmaktadır.
emn
m
ç
n
F
emn
b
F A
emn
Sınır gerilmesine örnek
F
ÇÖZÜM
Soru = Yanda verilen çubuğun emniyetli gerilmesi σem=1400 kg/cm2 ve emniyet katsayısı (n=1,25) ise çelik çubuğun sınır gerilmesi (maksimum gerilme) ne kadardır. emn
m
n
1400
m
1,25
m 1750kg / cm
2
Pratikte üç tip boyutlandırma problemi söz konusu olur:
Problem 1: Çubuktaki F bellidir; malzemenin ne olacağına karar verilmiştir, dolayısıyla
σ emn de
bilinmektedir. Bu bize gerekli kesit alanını verir. Çubuğa verilecek kesitin değeri aranmaktadır.
21
F
F
A
emn.
Problem 2: Çubuktaki F ve A her yerde bellidir; çubuk malzemesi de bellidir, dolayısıyla σ emn bilinmektedir. Çubukta meydana gelen gerilmenin σ emn’in altında olup olmadığının kontrolü istenmektedir.
F
emn
Problem 3: Dış yükün hesabı (Normal kuvvet) A ve
σemn bilinmektedir. Çubuğun ne kadar yük taşıyacağı aranmaktadır. Normal kuvvet diyagramı
bilinmeyen yük cinsinden çizilir. Gerilmenin en fazla olduğu yerdeki değer, σ emn ile karşılaştırılarak taşınacak yüke geçilir.
emn.
* A F
Problem 1’e örnek 100 cm F
ÇÖZÜM Soru = Yanda verilen çubuğa uygulanan P kuvveti 17854 kg ise dairesel kesitli çubuğun çapı ne olmalıdır? (σem=1400 kg/cm2) 1400
F A
1400
17584kg 2
*
d
d 2
4 *17584kg 3,14 *1400
d 2
16
d 4cm
4
22
Problem 2 ye örnek
Fy
0
S AB * sin 30 25t
F
S AB
50t
50000kg
* d d
2
d i
2
emn olmalı idi
50000kg 3,14 * 10
2
8
2
1769kg / cm
2
4
4
1769 1400 olduğu için kesit yeterli değildir.
Problem 3’e örnek 100 cm F
ÇÖZÜM Soru = Yanda verilen çubuğun çapı (d = 4cm),
2
6
2
em=1400 kg/cm ve E= 2.10 kg/cm olduğuna göre taşıyabileceği P kuvveti ne kadardır; bu durumda boyu ne kadar uzar? σ
1400 kg/cm2 ≥ P A A= 3,14* (2cm) 2 = 12,56 cm2
P = 17584 kg
23
ŞEKİL DEĞİŞTİRME (HOOKE YASASI) F
F A
Ls
L
Ls
L
A F
F Çekme
Basınç
Sabit normal kuvvet etkisinde bulunan bir çubuk göz önüne alalım. Kuvvetin etkisi ile çubuğun boyu bir miktar uzar ya da kısalır. Uzama ya da kısalmayı daha iyi karakterize etmek üzere birim boyun uzaması veya kısalması diye bir ε (Epsilon) büyüklüğünü tanımlıyoruz. Bu ifadeler çapta meydana gelen daralma ya da genişleme için de geçerlidir.
eks
Ls L
L
εeks > 0 → çubuk uzar
yanal
ds d d
d
d
εçap < 0 → çubuk uzar
L eks * L εeks < 0 → çubuk kısalır
d çap * d εçap > 0 → çubuk kısalır
ε, iki uzunluğun oranı olmak bakımından, boyutsuz ve birimsiz bir büyüklüktür. Hooke yasası: Uzama ile kuvvet arasındaki ilk bağıntı Hooke tarafından ifade edilmiştir. (1680 yılında) Hooke, uzama ile kuvvetin orantılı olduğunu şu cümle ile söylemiştir; Kuvvet ne kadarsa uzama o kadardır. Hooke kanunu, birim alana gelen kuvvet, yani gerilme ile birim boyun uzaması arasında bir orantılılık vardır şeklinde yorumlayacağız ve aşağıdaki gibi yazacağız:
Buna Hooke kanunu denir.
24
F O HALDE;
L * L
İDİ
L
F *
F * L *
Buradaki ν (vü) ye Poisson oranı denir. Poisson oranı da malzemeye bağlı bir katsayıdır. Basınç etkisindeki bir cisimde hacmin artmayacağı düşüncesi ile Poisson oranının 0 < ν < 0.5 olması gerektiği çıkar.
çap
eks .
Young Modülü ve Poisson Oranı Mühendislik yapılarının çoğunda uygulanan gerilmeler sonucu oluşacak deformasyon oldukça küçük bir değerde gerçekleşir. Bu deformasyon esnasında gerilme-strain diyagramının başlangıç kısmı olan elastik bölgede gerilme (σ) ve strain-birim deformasyon- (ε) arasında doğru orantıyla açıklanabilen bir ilişki vardır. 25
Bu ilişki İngiliz matematikçi Robert Hooke (1653–1703) tarafından ortaya konmuştur ve Hooke Kanunu olarak bilinmektedir. Buradaki (E) sabiti İngiliz bilim adamı Thomas Young (1773–1829) tarafından Elastisite Modülü veya Young Modülü olarak isimlendirilmiştir. E sabiti, mekanik anlamda kayaçların katılığının, ya da sertliğinin bir belirtisidir. Gerilmenin basınç veya çekme olması durumunda elastisite modülünün değeri değişmez. Normal gerilmelerin etkisi altında zorlanma düzlemleri içinde oluşan strainin (x- ve z-düzlemleri), etkime doğrultusundaki straine olan oranına poisson oranı denir ve (ν) ile belirtilir (birimsiz bir sabittir)
Elastisite modülü ve poisson oranının her ikisi birden elastik sabitler olarak isimlendirilir.
26
1
2
P 72
F 1 A1 F 2 A2
2 P 144
100
P 72
P 100
P 7200kgf olmalıdır.
27
GENELLEŞTİRİLMİŞ HOOKE YASALARI 3 EKSENLİ YÜKLEME DURUMU
Üç boyutlu gerilme halinin Genelleştirilmiş Hooke Yasaları x
0
x
0
y y
0
z
0
z
0 0
BU DURUMDA; x
y
z
1 E 1 E 1
* x
* ( y
z
)
* y
* ( x
z
* z * ( x
y
)
)
28
2 EKSENLİ YÜKLEME DURUMU
İki boyutlu gerilme halinin Genelleştirilmiş Hooke Yasaları x
0
x
0
y y
0
z
0
z
0 0
BU DURUMDA; x
y
z
1 E 1 E 1
* x
* y
* y
* x
* * ( x
y
)
29
TEK EKSENLİ YÜKLEME DURUMU
Tek boyutlu gerilme halinin Genelleştirilmiş Hooke Yasaları x
0
x
0
y y
0 0
z
z
0 0
BU DURUMDA;
x
y
z
1 E
1 E
1
* * y * y * * y
x
* y
y
y
z
* y
Burada
x z
30
ATALET MOMENTİ
31
32
33
PARALEL EKSEN TEOREMİNE GÖRE ATALET MOMENTİ HESABI; 2
A2
* y2 ) ...........
2
A2
* x2 ) ...........
Ix
( Ix1 A1 * y1 ) ( Ix2
Iy
( Iy1 A1 * x1 ) ( Iy2
2
2
Ix1 ; Iy1
: 1. cismin kendi atalet momenti (x ve y)
x1 ; y1
: 1. cismin ağırlık merkezinin bileşik cismin ağırlık merkezine uzaklığı (x ve y)
A1
: 1. cismin alanı
34
y 20 cm
Ş1
6cm 5cm
x
G+ 18 cm
13,8 cm
Ş2 10 cm
NO 1 2 Σ
yG
A 120 cm2 180 cm2 300 cm2
A * y A
4140 300
x 0 0 *
y 21 cm 9 cm *
A*x 0 0 0
A*y 2520 1620 4140
13,8cm (tabandan itibaren*xy koordinat düzlemi burada)
Birleşik cismin ağırlık merkezi tabandan itibaren 13,8 cm yukarıdadır. Bu durumda;
1. şeklin ağırlık merkezinin bileşik cismin ağırlık m erkezine olan uzaklığı y1 : 4,8 cm
2. şeklin ağırlık merkezinin bileşik cismin ağırlık merkezine olan uzaklığı y 2 : 7,2 cm PARALEL EKSEN TEOREMİNE GÖRE BU ŞEKLİN ATALET MOMENTİ HESABI;
Ix
2
( Ix1 A1 * y1 ) ( Ix2 20 * 6 3
A2
2
* y2 )
10 *183 2 Ix ( 120 * 4,8 ) ( 180 * 7, 2 ) 12 12 Ix (360 120 * 23,04) ( 4860 180 * 51,84) Ix
2
(3124,8) (14191,2) 17316cm
Iy
2
4
2
( Iy1 A1 * x1 ) ( Iy2 A2 * x2 ) 203 * 6
103 *18 2 Ix ( 120 * 0 ) ( 180 * 0 ) 12 12 4 Ix ( 4000) (1500) 5500cm 2
35
y 10 cm Ş1
+
4 cm
Ş2
+ +
6 cm 5,3 cm
2 cm
Ş3
NO 1 2 3 Σ
4,71 cm
A 40 cm2 12 cm2 34,83 cm2 86,83 cm2
Ş3 alan= yG
x
+
2
* r
y 2 + 6 + 2 = 10 cm 2 + 3 = 5 cm 0 *
A*x 0 0 0 0
A*y 400 60 0 460
2
3,14 * 4,71
2 A * y
460
A
86,83
x 0 0 0 *
2
Ş3 = y
34,83
4 * r 3 *
4 * 4,71 9,42
2
5,3cm (xy koordinat düzlemine göre)
Birleşik cismin ağırlık merkezi yarım dairenin ağırlık merkezi ile çakışan xy koordinat düzleminden itibaren 5,3 cm yukarıdadır. Bu durumda;
1. şeklin ağırlık merkezinin bileşik cismin ağırlık merkezine olan uzaklığı y1 : 10-5,3= 4,7 cm
2. şeklin ağırlık merkezinin bileşik cismin ağırlık merkezine olan uzaklığı y 2 : 5,3-5= 0,3 cm
3. şeklin ağırlık merkezinin bileşik cismin ağırlık merkezine olan uzaklığı y 3 : 0 cm PARALEL EKSEN TEOREMİNE GÖRE BU ŞEKLİN ATALET MOMENTİ HESABI; Ix
2
2
2
( Ix1 A1 * y1 ) ( Ix2 A2 * y2 ) ( Ix3 A3 * y3 )
4 10 * 43 2 * 63 * 4,71 2 2 2 Ix ( 40 * 4,7 ) ( 12 * 0,3 ) ( 34,83 * 0 ) 12 12 8 4 Ix (53,33 883,6) (36 1,08) (8,707) 932,717cm
36
Iy Ix
(
2
2
2
( Iy1 A1 * x1 ) ( Iy2 A2 * x2 ) ( Iy3 A3 * x3 ) 4 *103
2
40 * 0 ) (
6 * 23
12 * 0
2
)(
* 4,714
12 12 4 Ix (333,33) (4 ) (8,707) 346,037cm
8
34,83 * 0
2
)
y 9 cm
Ş1
2cm 3,5 G+ 12 cm
9 cm
Ş2 x 2 cm
NO 1 2 Σ
yG
A 18 cm2 24 cm2 42 cm2
A * y A
x 0 0 *
378 42
y 13 cm 6 cm *
A*x 0 0 0
A*y 234 144 378
9cm (tabandan itibaren)
Birleşik cismin ağırlık merkezi tabandan itibaren 9 cm yukarıdadır. Bu durumda;
1. şeklin ağırlık merkezinin bileşik cismin ağırlık merkezine olan uzaklığı y1 : 4 cm
2. şeklin ağırlık merkezinin bileşik cismin ağırlık merkezine olan uzaklığı y 2 : 3 cm PARALEL EKSEN TEOREMİNE GÖRE BU ŞEKLİN A TALET MOMENTİ HESABI; 2
Ix
(
Iy Ix
(
2
( Ix1 A1 * y1 ) ( Ix2 A2 * y2 )
Ix
9 * 23 12
18 * 4
2
)(
2 *123 12
2
24 * 32 ) 798cm4 2
( Iy1 A1 * x1 ) ( Iy2 A2 * x2 ) 93 * 2 12
18 * 0
2
)(
23 *12 12
24 * 02 ) 129,5cm4 37
iNCE CiDARLI BASINÇ KAPLARI -İç basınç etkisindeki ince halkalar (Kazanlar) Uygulamada rastladığımız otomobil lastikleri, boru, tank ve LPG tüpleri gibi basınç kapları temelde eksenel kuvvet taşıyan araçlardır. Basınç kaplarının et kalınlığı/ iç yarıçap, 1/10 ’dan küçük ise bu tip basınç kaplarını ince cidarlı olarak sınıflandırmaktayız. İnce cidarlı basınç kaplarında normal gerilme kalınlık boyunca sabit kalırken kalın cidarlı basınç kaplarında değişmektedir. İnce cidarlı basınç kaplarında ayrıca iç ve dış yarıçap ayrımı yapılmaz (Bu iki değer birbirine çok yakındır). Burada, ince cidarlı silindirik ve küresel basınç kaplarını ele alacağız. Basınç kabının cidarları zar gibi –membran- davrandığından eğilme momenti oluşmayacaktır. Kap eksenel simetrik yapısı ile taşıdığı maddeden kaynaklanan basınç etkisi ile serbestçe şekil değiştirirken yalnızca membran gerilmeleri adı verilen düzgün yayılı normal gerilmeler oluşur. Bu kabul, kabın rahatça şekil değiştiremediği uç bölgeleri ile mesnetleri dışında oldukça isabetlidir. Silindirik kapların uçlarındaki kapak kısımlarında kesme kuvvetleriyle eğilme momentleri ortaya çıkar. Kesme kuvveti ile Eğilme momentinden kaynaklanan bu gerilmelere süreksizlik gerilmeleri adı verilir. Süreksizlik gerilmelerini azaltmak için kapaklara uygun bir eğrilik verilir. Bu bölümde verilen bağıntılar, sıvı veya gazdan oluşan P iç basıncı halinde kullanılabilir. Vakum kapları ile denizaltılar gibi dış basınç altında kalan araçların incelenmesinde P’nin işaretinin negatif alınması yeterlidir. Dış basınç halinde hesaplanacak gerilmelerin kap cidarlarında burkulma oluşturan kritik gerilmelerden küçük olmalıdır. DIŞ BASINÇ SÖZ KONUSU İSE; P = (Piç-Pdış) olarak alınmalıdır. r r
r
r P
P
L L
L 2 * * r
N: İnce halka içinde oluşan gerilme P: İnce halka içinde oluşan basınç kuvveti r: Basınç kabının yarıçapı L: Basınç kabının basınç öncesi çevresi A: Basınç kabının kesit alanı T: Basınç kabının-borunun- et kalınlığı
N P * r
N
P * r
P * r
* E 38
L 2 * * r
P * r
L
*
L
r
r
L
L
P * r
L
* E
2 * * P * r * E 2
P * r
r
*
P * r
*
BORULAR İnce cidarlı basınç kapları için geçerli olan tüm formülasyon burada da geçerlidir. Sadece formüllerde A yerine t (et kalınlığı) değeri konulmalıdır.
P * r
L
t
2 * * P * r t * E
P * r t * 2
r
P * r t *
*****1 metresinin dayanacağı kadarı olup 2 metre ise 2 ile çarpacağız.)
39
DAİRESEL KESİTLERİN BURULMASI Burulmaya zorlanmaya kısaca "torsiyon" denir. Basit bir çubuk düşünelim (Şek. 1.35). Bu çubuğun eksenine dik iki düzlem içinde her bir düzlemde karşılıklı iki kuvvet ile yükleyelim. Bu iki eksene dik düzlemin arasında bir kesit düzleminde gerilmeyi hesaplamak istersek görürüz ki bu kuvvetler kesitte "burmaya zorlayan kuvvet çifti" ni oluştururlar. Bu kuvvet çifti kesitin iki yüzeyini burmaya zorlayacaktır. Bunun içinde bu zorlama şekline kuvvette olduğu gibi parçada "burulmaya zorlanma" veya kısaca " burulma" veya "torsiyon" adı verilir. Bir yüzeyin içinde olan kuvvete çapraz kuvvet ve bunun oluşturduğu gerilmeye de kayma gerilmesi dediğimize göre burada oluşan gerilme de " kayma gerilmesi" nin bir türüdür.
Mb
r L
G E
L d
r Mb I 0
: Kayma –rijidlik- modülü : Elastisite modülü : Poisson oranı : Çubuk boyu : Çubuk çapı : Çubuk yarıçapı : Burulma momenti : Toplam atalet momenti : Dönme açısı (radyan) : Kayma birim uzaması-Kayma açısı (radyan) : Sabit (Birim boydaki dönme açısı) : Kayma-makaslama- gerilmesi
40
Bu zorlanma malzemeyi 2B basit kesme durumuna uğratır (normal gerilme yok) Aşağıdaki grafik tam kesme-birim uzama eğrisini göstermektedir. Bir diğer malzeme özelliği elastik kayma deformasyonunu gösterir. Bu malzeme özelliği kayma modülü (G) veya rijidilik modülü olarak adlandırılır.
G
E
2 * (1 )
***
* L İSE
*** G *
***
1-2’DEN
L
***
Mb
Mb
G * I 0
Mb I 0
r
***
G * I 0
L
G *
* r
* G
* G * I 0
Mb
* r Mb I 0
Mb
G * I 0
G *
r
Mb * L G * I 0
(1)
(2)
Mb * r I 0
41
max
BOYUTLANDIRMA ŞARTI
Mb * r I 0
emn.
İçi dolu dairede burulma
I 0
* d 4
r
32
d
max
2
d
Mb *
2
max
* d 4
16 * Mb * d 3
32
İçi boş dairede (halka) burulma
* (d 2 d 1 ) 4
I 0
32
4
r
d 2
2
max
Mb *
d 2
2
* ( d 2 d 1 ) 4
4
16 * Mb
max
* d 2
32
3
d 14 * 1 4 d 2
Aşağıdaki tablo bazı çok kullanılan malzemelerin kayma modüllerini vermektedir. Malzeme Kayma Mod, G (GPa)
Yumuşak Çelik 81
Alüminyum 26
Beton *
Ahşap 0,7
Naylon 1
Lastik 0,0014
42
KESME –KAYMA-MAKASLAMA GERİLMESİ Bir eksene göre birbirine zıt ve aralarında çok küçük uzaklık bulunan iki kuvvetin malzemeye etkimesi sonucu malzemede kesme gerilmeleri ve şekil değişimleri görülür. Bu deneyde yalnızca açılarda değişiklikler olur. Ayrıca saptanması en zor ve en az bilinen dayanımdır.
γ
γ
T
τ τ τ τ τ τ Çift makaslama-kesme- durumu
T
2*
: Kayma-makaslama- gerilmesi : Kesit alan : Kesme kuvveti : Perçin-pim-sayısı : Pim-perçin- çapı
A T n d
P
T
P
P n
P
n*
2
* d
4 * P 2
n * * d
emn.
4 43
P/2 P P/2 T
P 2*n
P 2*n*
2
* d
2 * P 2
n * * d
emn.
4
44
DÜZ (BASİT) EĞİLME Eğilmeye zorlanmaya kısaca "eğilme" denir. Eğilmede, şekil değişimiyle ilgili bu hipotezi Bernoulli bulmuş ve Navier de düzenlemiştir. BernoulliNavier hipotezi iki bilim adamının ismi ile anılmaktadır. Bu hipoteze göre: Çubuk eksenine dik düzlem kesitler eğilme neticesinde gene düzlem kalırlar. Çubuk eksenine dik kesitler şekil değiştirmeden sonra da şekil değiştirmiş eksene dik kalırlar. Dolayısıyla başlangıçta çubuk eksenine dik ve düzlem olan kesitlerin şekil değiştirmeden sonra dik ve düzlemliği korunmaktadır. O halde en kesit üzerinde kayma gerilmeleri sıfırdır. Denge denklemlerinin kayma gerilmeleri ile ilgili olanları otomatik olarak sağlanır.
Eğilmeden önce kiriş ekseni doğru olup en kesit sabittir. Basit eğilmeye zorlanan bir çubukta Bernoulli hipotezini göz önüne alarak liflerin uzama ve kısalmasını hesaplayalım. Şekilde görüldüğü gibi yukarıdaki lifler kısalmış aşağıdaki lifler uzamış ve tarafsız eksenden y uzaklığındaki bir lifin (ab lifinin) uzama oranı εx dir. Eğilmiş eksenin eğrilik yarıçapı ρ olmak üzere birim boydaki uzama,
45
Gerilmelerin hesabı için Hooke kanununu tatbik edersek,
x
E * x
x
y E *
x
E * y
1
(1.)
Kesit, düşey eksene göre simetrik olduğundan çarpım atalet momenti sıfırdır. Eksen takımı en kesitin alan merkezine yapıştırıldığından statik moment de sıfır olacaktır. Dolayısıyla birinci ve üçüncü denge denklemleri sağlanır.
M z E * I z
1
( 2.)
Son olarak en kesit üzerindeki normal gerilmenin değişimi Hooke yasasından belirlenir. 1 v e 2 nolu denklemler birbirine eşitlenirse;
x
E * y
max .
M z E * I z
M max . * ymax . I z
x
y
M z I z
x
M z * y I z
emn.
I z y
max .
BU ORAN MUKAVEMET MOMENTİ (ω) OLARAK BİLİNİR. BU DURUMDA;
M max .
emn. 46
BAZI KESİT ŞEKİLLERİ İÇİN EĞİLME HESAPLARI
h b
b * h3
I z
y
12
h 2
max .
M max . * h b * h3
2
max .
6 * M max .
max .
6 * M max .
12
b*h
2
emn.
a a
I z
a4
y
12
a 2
max .
M max . * a a4
2
12
a
3
emn.
d 4
I z
* d
64
y
d 2
max .
M max . * d
2
4
* d
64
max .
32 * M max . 3
* d
emn.
47
NORMAL KUVVET VE EĞİLME
48
BURKULMA (FLAMBAJ) Burkulma basınca maruz çubuklarda görülür. Çubuğun burkulabilmesi için bir kuvvet (P) uygulanmalıdır.
0 Pkr P
ise çubuk doğrusaldır, burkulma oluşmaz.
P Pkr
ise çubuk burkulur.
Elastik eğrinin büküm noktaları arasındaki uzaklık, (Lb) burkulma boyu olarak tanımlanırsa, Euler kritik burkulma yükü formülünü farklı mesnet koşullarına sahip çubukların burkulma yüklerinin hesaplanmasında kullanmak mümkündür. Burkulma olayı, en kesitin en küçük atalet momentini veren eksene dik doğrultudaki yer değiştirmesi ile meydana gelir. Bu sebeple ince dikdörtgen ve L kesitler yerine her eksene göre atalet momentleri aynı olan Daire, halka, tüp yada geniş başlıklı I profil kesitlerin kullanılmaları daha uygun olur.
2
P kr
* E * I min Lb
2
iki ucu mafsallı kolonlar için EULER DENKLEMİ
49
a) Basit mesnetli c) bir ucu sabit diğer ucu basit mesnetli
b) her iki ucu bağlı d) bir iki serbest diğer ucu bağlı
KRİTİK GERİLME – NARİNLİK İLİŞKİSİ Bir kolonda burkulmaya yol açan en küçül normal gerilme σkritik (σkr), Euler burkulma yükü bağıntısının alana bölünmesiyle elde edilebilir. İki ucu mafsallı bir kolonda,
i
2
kr
I min
atalet yarıçapı
Pkr A
2
* E * I min 2
Lb * A
2
* E * i Lb
2
Lb i narinlik katsayısı 2
2
* E
i L b
2
*
2
kr
* E 2
50
ÇUBUK SİSTEMLERİNDE BURKULMA
51
