Matlab Simulink. V.2013a
Muestreo y reconstrucción de señales. Funciones de transferencia.
SERIE DE PROBLEMAS PARA SIMULACION: MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. INTRODUCCION:
Figura A. Sistema de control en tiempo discreto. La estabilidad del sistema en tiempo discreto y la aproximación del sistema de tiempo continuo a tiempo discreto dependen del periodo de muestreo T. La planta en tiempo continuo es discretizada, generalmente por el método del retenedor de orden cero, obteniéndose así una aproximación digital
M u e s t r e o d e u n s i s t e m a c o n Z er er o - O r d e r -H -H o l d . Una situación común en control de la computadora es que el convertidor D/A está construida de tal manera que se mantiene la señal analógica constante hasta que se ordene una nueva conversión. Esto a menudo se llama un circuito de retención de orden cero. Es entonces natural, para elegir los instantes de muestreo, t h, como los tiempos en que los cambios de control. Debido a que la señal de control es discontinua, es necesario especificar su comportamiento en las discontinuidades.
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Figura B. Proceso de la señal de tiempo continúo a tiempo discreto.
Ec(1)
Ec(2)
Ec(3) Polos y ceros. Los polos de un sistema son los ceros del denominador de H (q), la característica polinomio A (q). Los ceros se obtienen a partir de B (q) == 0, los polos de la inversa sistema. Por ejemplo, el sistema en el Ejemplo 1.1 tiene un cero en -1; el sistema tiene dos polos en 1.
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El Retardo en un sistema da lugar a los polos en el origen.
; Ejemp lo 1.1.
OBJETIVO GENERAL: Realizar las siguientes simulaciones en MATLAB y SIMULINK de una señal de entrada (al variar la frecuencia de una señal senoidal de entrada), obtener una señal muestreda y reconstruirla con un retenedor de orden cero, así mismo obtener la función de transferencia discreta y observar la relación entre los polos de la función de transferencia continua y los polos de la función de transferencia discreta.
OBJETIVO ESPECIFICOS: 1.- Comparar las respuestas de dos plantas idénticas, con la única diferencia en que la señal de entrada (una señal sinusoidal ) en una entra directamente y en la segunda opción la señal es previamente muestreada y luego construida a través de un retenedor de orden cero como se muestra en la figura 1. Utilice un tiempo de muestreo T=1 seg.
Figura 1. Esquema en diagrama a bloques a utilizar con simulink.
Analizar que ocurre al variar la f recuencia de la señal sinusoidal de entrada con:
( )
Frecuencia de muestreo : = 2/T Explicar: El tiempo de muestreo elegido es el adecuado?
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2.- Utilizando el mismo esquema anterior, cambiar la fuente de señal por un escalón unitario. Se observa alguna diferencia entre ambos? ¿Por qué? 3.- Para la planta continua utilizada, obtener la función de transferencia discreta que representa la misma (utilizando un retenedor de orden cero). Para esto MATLAB dispone de una serie de funciones para realizar las conversiones temporales del dominio discreto al continuo y viceversa. Las funciones más importantes se muestran en la figura 2, aquella cuyo nombre terminan en m, poseen un método de conversión a elegir por el usuario. El resto por defecto, utilizan el sistema ZOH (retenedor de orden cero). En todos ellos un parámetro importante es el periodo de muestreo. Para calcular el equivalente discreto de una planta continua con retenedor de orden cero y salida muestreada se emplea el comando c2d .
D2C
d2cm
D2D
d2c
CONTINUO
DISCRETO c2d
C2D
c2dm
Figura 2. Conversión de modelos en MATLAB.
Observe la relación entre los polos de la planta continua original y los polos de la función de transferencia discreta obtenida. Compruebe que no sucede lo mismo con el cero. 4.- Realice un esquema de simulación en simulink similar al del punto 1 pero agregando la función de transferencia discreta obtenida en el punto 3. Para esto utilice el conjunto de bloques de la librería “discrete” de simulink. Compare las respuestas de los tres esquemas de simulación.
DESARROLLO 1: 1.- Analizaremos que ocurre al variar la frecuencia de la señal sinusoidal de entrada. A continuación veremos cómo desarrollar las diferentes frecuencias de la señal de entrada: Dibujemos en simulink el esquema en diagrama a bloques como se muestra en la figura 1. Posteriormente en el bloque de la señal de entrada sinusoidal figura 3, damos doble click y aparece un cuadro donde aparecen todos los parámetros a ingresar, para este caso las frecuencias
= 2/T
y T=1seg.
Por separado iremos viendo y
analizando que ocurre al variar dichas frecuencia de la señal sinusoidal, y particularmente veremos que
para
( )
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Figura 3. Parámetros del bloque de la señal de entrada.
RESULTADOS:
Figura 4. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
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Figura 4.1. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
Figura 4.2. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
Figura 4.3. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
Figura 4.4. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
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Figura 4.5. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
Figura 4.6. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
Figura 4.7. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
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Figura
4.8.
Frecuencia
sinusoidal de entrada con
desfase de
de
la
señal
con
(45º). (Señal de
entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
Figura
4.9.
Frecuencia
sinusoidal de entrada con
desfase de
de
la
señal
con
(90º). (Señal de
entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
Figura
4.10.
Frecuencia
sinusoidal de entrada con
desfase de
de
la
señal
con
(135º). (Señal de
entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
Figura
4.11.
Frecuencia
sinusoidal de entrada con
desfase de
de
la
señal
con
(180º). (Señal de
entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
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Figura 4.12. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
Figura 4.13. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo” y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
ANALISIS DE RESULTADOS: Como se puede ver en las gráficas con un periodo de muestreo T=1seg. Al aumentar su frecuencia, se va desplazando hasta que la señal muestreada se hace cero.
Cuando desfasamos a cualquier múltiplo de π, la frecuencia hará que el ZOH no tome muestras. ¿El tiempo de muestreo elegido es el adecuado? No. Cuanto menor sea el tiempo de muestreo mejor resolución tiene en la señal muestreada.
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DESARROLLO 2: 2.- Utilizaremos el mismo esquema anterior, pero cambiamos la fuente de señal por un escalón unitario (step). El esquema quedaría de la siguiente manera:
Figura 5. Esquema en diagrama a bloques con simulink. Para el mismo caso dada la explicación para la figura 3, damos click en el bloque step y configuramos los parámetros como se muestra a continuación en la figura 6. Y posteriormente obtenemos el siguiente resultado:
Figura 6. Parámetros del bloque de la señal escalón unitario. 10
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RESULTADOS:
Figura 7. Frecuencia de la señal por un escalón unitario (Señal original escalón unitario “línea blanco”, y señal muestreado y reconstruido “línea roja”).
DESARROLLO 3: 3.- Para la planta continua utilizada, obtener la función de transferencia discreta que representa la misma (utilizando un retenedor de orden cero). Para esto MATLAB dispone de una serie de funciones para realizar las conversiones temporales del dominio discreto al continuo y viceversa. Las funciones más importantes se muestran en la figura 2, aquella cuyo nombre terminan en m, poseen un método de conversión a elegir por el usuario. El resto por defecto, utilizan el sistema ZOH (retenedor de orden cero). En todos ellos un parámetro importante es el periodo de muestreo. Para calcular el equivalente discreto de una planta continua con retenedor de orden cero y salida muestreada se emplea el comando c2d .
RESULTADOS: Realizamos el siguiente código y obtenemos la función de transferencia discreta: % OBTENER FUNCION DE TRANSFERENCIA T = 1; % tiempo de muestreo: T = 1 seg Gps = tf(num,den); % Función de transferencia de la planta Gps = zpk(Gps) disp('LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE PLANTA + RETENEDOR DISCRETIZADA ES : G(z) = '); Gz =c2d(Gps, T,'zoh'); Gz = tf (Gz) [numd,dend]=c2dm(num,den,T,'zoh'); Gz1 = tf (numd,dend)
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Gps = (s+10) -------------------(s^2 + 5s + 10) Continuous-time zero/pole/gain model. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETIZADA ES : G(z) =
Gz = 0.97 z + 0.09547 -------------------------z^2 + 0.05871 z + 0.006738 Sample time: 1 seconds Discrete-time transfer function.
Gz1 = 0.97 s + 0.09547 -------------------------s^2 + 0.05871 s + 0.006738 Continuous-time transfer function.
Observaremos la relación entre los polos de la planta continua original y los polos de la función de transferencia discreta obtenida. Compruebe que no sucede lo mismo con el cero.
disp('LOS POLOS DEL SISTEMA SON : '); PolosS = pole(Gps) PolosZ = pole(Gz) disp('SUS MAGNITUDES Y ANGULOS SON : '); MagS = abs(PolosS) AngS = angle(PolosS)*180/pi MagZ = abs(PolosZ) AngZ = angle(PolosZ)*180/pi disp('GRAFICA DE LO POLOS Y CEROS EN EL PLANO-S'); pzmap(Gps) grid figure disp('GRAFICA DE LO POLOS Y CEROS EN EL PLANO-z'); pzmap(Gz) grid
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Grafica 1:
Figura 8. Polos de la función de transferencia discreta.. Grafica 2
Figura 9. Polos de la planta continúa Original.
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DESARROLLO 4: 4.- Realizamos ahora un esquema de simulación en simulink similar al del punto 1 pero agregando la función de transferencia discreta obtenida en el punto 3 y compararemos las respuestas de los tres esquemas de simulación. En el punto 3 obtuvimos la función de transferencia discreta, por lo que la respuesta de los tres esquemas de simulación (señal reconstruida discreta directa, señal muestreada con retenedor de orden cero y la señal original continua) se puede representar en un esquema a bloques en simulink como lo marca el punto 4. Para una mejor representación y análisis de la misma, vamos realizar un esquema general de simulación en simulink agregando la función de transferencia del punto 1 y la función de transferencia discreta del punto 3 y obtenemos la siguiente comparación general de la planta (figura 10).
Figura 10. Esquema general en diagrama a bloques con simulink de la función de transferencia reconstruida y la función de transferencia discreta obtenida.
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RESULTADOS: Comparábamos las respuestas de los tres esquemas de simulación y obtenemos las siguientes gráficas: Figura 21. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo”, señal muestreado y reconstruido “línea roja”, señal discreta y sobrepuesta con una señal con ZOH “cyan”).
Figura 22. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo”, señal muestreado y reconstruido “línea roja”, señal discreta y sobrepuesta con una señal con ZOH “cyan”).
Figura 23. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo”, señal muestreado y reconstruido “línea roja”, señal discreta y sobrepuesta con una señal con ZOH “cyan”).
Figura 24. Frecuencia de la señal sinusoidal de entrada con
.
(Señal de entrada sinusoidal original “línea blanco”, señal de onda reconstruida directo “línea amarillo”, señal muestreado y reconstruido “línea roja”, señal discreta y sobrepuesta con una señal con ZOH “cyan”).
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CONCLUSION: En las señales obtenidas de la función de transferencia reconstruida con retenedor de orden cero, pudimos observar que la señal filtrada o reconstruida por la función de transferencia va por delante de la señal original sinusoidal, y las dos señales van en fase de acuerdo a la frecuencia que queremos manipular, asi mismo con la señal reconstruida con el retenedor de orden cero cuando llega a vemos que la señal cada vez que aumentamos la frecuencia se va aproximando a cero cada Para el caso de los polos obtenidos en el punto 3, se observó que tanto los polos de la función de transferencia y los polos de la función discreta ya que la ubicación de las raíces del denominador se encuentran en el semiplano izquierdo y por lo tanto se llega a la conclusión que las dos funciones son estables. En el punto 4 cuando se agregó la función de transferencia discreta obtenida en el punto 3 y se comparó las respuestas de los tres esquemas de simulación de la función discreta se observó que la señal discretizada tanto de la funcion directa y la función con retenedor de orden cero se están sobrepuestas, esto quiere decir, que cualquier tipo de señal de entrada obtendremos una señal discretizada para cualquier periodo de muestreo de 1 seg. La simulación se realizó para un periodo de muestreo de 1 seg. Por lo que se obtuvieron buenos resultados, pero cabe mencionar que si el periodo de muestreo es menor que uno , la frecuencia va aumentando y si es mayor que uno, su frecuencia disminuye. La estabilidad del sistema en tiempo discreto y la aproximación del sistema de tiempo continuo a tiempo discreto dependen del periodo de muestreo T Al comprender todo lo anterior, conlleva a que los avances tecnológicos, tanto en electrónica como en computadoras, y la mayoría de los sistemas de adquisición de datos y de control automático , procesadores digitales y sistemas que operan con computadoras, son sistemas discretos, y operan con señales discontinuas que presentan su discontinuidad tanto en magnitud como en tiempo. por eso es importante tener una idea general de este tema y de conocer las características, ventajas y desventajas de los sistemas continuos como de los discretos ya que es fundamental para tener claridad en las especificaciones y limitaciones de diseño que aseguren que, en la implementación de uno de estos tipos de sistemas, cumplamos con los objetivos de rendimiento global esperado.
BIBLIOGRAFIA:
Karl J. Astrom-Bjorn Wittenmark, Computer controlled systems, Theory and design, prentice hall.
Katsuhiko Ogata, 2 Edición. Sistemas de Control en Tiempo Discreto , Pearson education. “
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