Movimientos Rigidos

Sesión 7. Movimientos rígidos y matrices de transformación homogénea Un movimiento rígido es una translación pura seguida junto con una rotación pura. Un punto p en R3 puede entonces ser expresada como p 0 en el marco 0 y p1 en el marco de referencia 1, entonces la relación es:

p 0  R01 p1  d 01 (1) Si se tienen dos movimientos rígidos 2

p 0  R01 p1  d 01

2

y p1  R1 p 2  d1 (2)

Su composición define un tercer movimiento rígido, el cual puede ser descrito por la sustitución de la expresión de p1 en (2) dentro de la ecuación (1)

p 0  R01 R12 p 2  R01 d12  d 01

p0  R02 p 2  d 02 R02  R01 R12 y que d 02  d 01  R01 d12

Comparando ecuaciones se puede llegar a Transformaciones homogéneas

 R01  0

d 01   R12  1  0

d12   R01 R12  1  0

R01 d 21  d 01   1 

La inversa de un matriz de transformación homogénea La regla de composición para transformaciones homogéneas es la misma que se utiliza para la composición de rotaciones. 2

1

Si es respecto a un marco de referencia actual H 0  H 0 H 2

1

Si es con respecto a un marco de referencia fijo H 0  HH 0 1

Para transformación de coordenadas p0  H 0 p1 Ejemplo 1, El marco de referencia B es rotado en Z 30º con respecto al marco de referencia A y trasladado 10 unidades en XA y 5 unidades en YA. Encontrar PA donde PB=[3 7 0]T.

1

2

Ejemplo 2, Encontrar la matriz de transformación de H 0 y la de H 0 . A) Primero con una solución utilizando sólo literales y B) si a1= 1, a2=2,

1  30º y

 2  10º .

1

A

Ejemplo 3, Encontrar la matriz inversa ( TB ) de la matriz de transformación dada a continuación,

T AB

0.866  0.5  0.5 0.866   0.0 0. 0  0. 0  0.0

0. 0 4. 0  0.0 3.0  1.0 0.0  0. 0 1 

Ejemplo 4,

Ejercicios, a) Encontrar otras dos formas de resolver el ejercicio 2. 0

2

b) Considera el diagrama siguiente diagrama. Encuentra las matrices de transformación homogéneas H 1 , H 0 y de manera 2

directa H 1 .

2