Belmiro Mendes Tomás
Uso do Tabuleiro Tecelado como Alternativa Didáctica para Introdução da Progressão Aritmética aos Alunos da 12ª classe: Caso da Escola Secundária Geral 25 de Setembro – Quelimane Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações em Ensino de Física
Universidade Pedagógica Quelimane 2017
Belmiro Mendes Tomás
Uso do Tabuleiro Tecelado como Alternativa Didáctica para Introdução da Progressão Aritmética aos Alunos da 12ª classe: Caso da Escola Secundária Geral 25 de Setembro – Quelimane Licenciatura em ensino de Matemática com habilitações em ensino de Física
Monografia Cientifica a ser entregue no Departamento de Ciências Naturais e Matemática para a obtenção do grau de Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações em Ensino de Física Supervisora: dra. Nasma da Glória J. Langa
Universidade Pedagógica Quelimane 2017
Índice Lista de figuras ........................................... .................................................................. ............................................. ............................................. ....................................... ................iv Lista de Tabelas .............................. ..................................................... .............................................. .............................................. ............................................. ............................ ...... v Lista de Gráficos.................................. ........................................................ ............................................ ............................................. ............................................. ..........................vi Lista de abreviatura .............................................................. .................................................................................... ............................................. .................................. ........... vii Declaração de Honra .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ............................. ...... viii Dedicatória............................... Dedicatória...................................................... ............................................. ............................................ ............................................ .................................... ..............ix Agradecimentos .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................. ........................................ .................x Resumo ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................ ............................................. ............................ .....xi CAPITULO I ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. .......................................... ...................13 1.
INTRODUÇÃO.......................................... ................................................................. ............................................. ............................................. ........................... .... 13
1.1.
Delimitação do Tema...................................... Tema............................................................ ............................................ ............................................. ......................... 14
1.2.
Localização Geográfica da da Escola Escola ............................................ ................................................................... .......................................... ...................14
1.3.
Justificativa .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ................................... ............15
1.4.
Problematização e Problema de Pesquisa Pesquisa............................................ ................................................................... ............................... ........ 15
1.5.
Objectivos ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ................................... ............16
1.6.
Procedimentos Metodológicos .......................................... ................................................................. ............................................. .......................... .... 16
1.7.
Objecto de de Estudo........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ......................... 17
1.8.
Classificação da Pesquisa Pesquisa .......................................... ................................................................ ............................................ ................................... .............17
1.9.
Técnicas de Colecta Colecta de Dados Dados ........................................... .................................................................. ............................................. .......................... .... 18
1.10. População ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ................................... ............18 1.10.1.Amostra e o Critério de Selecção da Amostra............................................ ................................................................... ......................... 19 1.11. Etapas da Pesquisa.......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ......................... 20 1.12. Analise dos Dados .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ......................... 20 1.13. Interpretação dos Dados ..................................... ........................................................... ............................................ .......................................... ....................21 CAPITULO II............................................. .................................................................... ............................................. ............................................. ...................................... ...............22 2.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................... .................................................................. .......................................... ...................22
2.1.
Processo de Ensino e Aprendizagem Aprendizagem ............................................ ................................................................... ...................................... ...............22
2.2.
Processo de Ensino e Aprendizagem Aprendizagem na Perspectiva Perspectiva das das Teorias de de Aprendizagem Aprendizagem .........23
2.2.1. Segundo a Concepção dos Comportamentalistas/Behavioristas Comportamentalistas/Behavioristas ........................ ........................................ ................23 2.2.2. Segundo os Construtivistas/Estruturalistas.......................................... ................................................................. ............................... ........ 24 2.3.
A Etnomatemática Etnomatemática Numa Visão Educacional ............................................ ................................................................... ......................... 26
2.4.
Inclusão das Práticas Práticas Culturais no Ensino da Matemática Escolar .................................... ....................................26
2.4.1. Historial e Conceito da Aritmética .....................................................................................28 2.5.
Sucessões ............................................................................................................................29
2.5.1. Progressão Aritmética.........................................................................................................30 2.5.2. Historial de Progressão Aritmética e Conceito................................................................... 30 2.5.3. Termo Geral de Uma Progressão Aritmética .....................................................................31 2.5.4. Soma de Termos Consecutivos de uma Progressão Aritmética ........................................32 n
CAPIULO III .................................................................................................................................33 3. Apresentação, Análise e Interpretação dos Resultados ..........................................................33 3.1. Apresentação dos Resultados do Pré-teste ............................................................................. 33 3.2. Descrição da Aula com Tabuleiro Tecelado........................................................................... 35 3.2.1. Procedimentos Para a Extracção de Sequências Num Tabuleiro Tecelado......................... 35 3.2.2. Procedimentos Para a Extracção da Razão Num Tabuleiro Tecelado.................................36 3.2.3. Procedimentos Para a Extracção do Termo Geral Num Tabuleiro Tecelado ...................... 37 3.2.4. Procedimentos Para a Extracção da Soma de Termos Consec. no Tabuleiro Tecelado ..... 38 3.3. Apresentação dos Resultados do Pós-teste .............................................................................38 3.4. Análise e Discussão do Pós-teste............................................................................................40 3.6. Análise e Interpretação de Resultados do Pré e Pós-teste ...................................................... 43 3.9. Nível de significância e regra de decisão ................................................ Error! Bookmark not defined.
3.10. Apresentação e Análise dos Resultados do Questionário.....................................................46 CAPITULO IV ..............................................................................................................................50 CONCLUSÃO...............................................................................................................................50 Sugestões ………………………………………………………………………………………...52 Limitações………………………………………………………………………………………..52 Referencias Bibliográficas……………………………………………………………………….53 APÊNDICES ANEXOS
iv
Lista de figuras Fig .1. Tabuleiro de caixa, cartolina e papeis. .......................................................................... 17 Fig.2.A extracção de sequências ............................................................................................. 33 Fig.3. A extracção de sequências na primeira linha ................................................................. 34 Fig.4. A extracção de sequências na segunda linha ................................................................. 34 Fig.5. A extracção de sequências na terceira linha................................................................... 34 Fig.6. A extracção da razão em todas linhas ............................................................................ 35 Fig.7. A extracção do termo geral na primeira linha ................................................................ 35 Fig.8. A extracção da soma dos termos consecutivos na primeira linha .................................. 37 Fig.9. Ilustração do pós teste do aluno 1 .................................................................................. 40 Fig.10. Ilustração do pós teste do aluno 2 ................................................................................ 40 Fig.11. Ilustração do pós teste do aluno 3 ................................................................................ 41
v
Lista de Tabelas Tabela.1. Dados dos alunos por sexo em cada grupo .................................................................. 19 Tabela 2. Estatística das notas do pré-teste ................................................................................. 31 Tabela 3. Frequências de notas no pré-teste ................................................................................ 32 Tabela 4. Classificação de acordo com o género......................................................................... 32 Tabela 5. Estatística das notas no pós-teste ................................................................................. 37 Tabela 6. Frequências de notas no pós-teste ............................................................................... 37 Tabela 7. Medidas Estatísticas..................................................................................................... 41 Tabela 8.Medidas Estatísticas e o erro padrão ............................................................................ 41 Tabela 9. Test de Man-Whitney .................................................................................................. 43 Tabela 10.Dados colectados no questionário............................................................................... 45
vi
Lista de Gráficos Gráfico 1: Percentagem de alunos nos resultados do pré-teste ............................................... 33 Gráfico 2: Percentagem de alunos nos resultados do pós-teste ............................................... 40 Gráfico 3: Perfil da distribuição de notas ................................................................................ 42
vii
Lista de abreviatura a.C – Antes do Cristo; d.C- Depois do Cristo. E.S.G- Escola Secundaria Geral EPC-Escola Primaria Completa fi - Frequência absoluta
Fig- Figura Fr%- Frequência relativa percentual Grupo A – Letras (Português, Inglês, Francês, Historia, Matemática) Grupo B – Ciências com Biologia (Matemática, Física, Química, Biologia) Grupo C- Ciências com desenho (Educação visual, Matemática, Geometria descritiva) MINEDH- Ministério da Educação e Desenvolvimento Humano PA- Progressão Aritmética PEA – Processo de Ensino e Aprendizagem PEM – Processo de Ensino da Matemática SNE- Sistema Nacional da Educação UPQ- Universidade Pedagógica Delegação de Quelimane
viii
Declaração de Honra Declaro por minha honra que a presente Monografia Cientifica é resultado da minha investigação sob orientação da dra. Nasma da Glória Langa , minha supervisora. Declaro ainda que o seu conteúdo é original e que todas as fontes consultadas para a sua elaboração estão devidamente mencionadas no texto e na Bibliografia final. A originalidade deste trabalho reside no facto de nunca ter sido apresentado em nenhuma instituição de ensino, para obtenção de qualquer grau académico. Quelimane, Outubro de 2017 __________________________________
(Belmiro Mendes Tomás)
ix
Dedicatória O trabalho dedica-se especialmente aos meus pais (Mendes Tomás Almeida e Luísa Francisco Andrassane), aos meus irmãos (Abel, Louvardo, Regina, Mércio, Júnior e Avozinha), ao meu primo e companheiro durante a jornada (Egídio Alberto), ao meu tio que sempre me apoiou em ideias e transporte (Elísio Francisco) e finalmente aos meus avós (Carlota, Gracinda e Andrassane). Estes e outros que não pude mencionar é que fizeram com que minha formação académica se tornasse uma realidade. Aos meus docentes do curso, aos meus colegas da turma (em especial os elementos do primeiro grupo) estes que marcaram companheirismo e aos que directa ou indirectamente contribuíram para a compilação deste trabalho.
x
Agradecimentos Louvado seja o magnífico e o soberano Deus que nele agradeço em primeiro lugar, pela vida e saúde que em mim ele mantém e a vontade que por graça dele, permaneceu em mim, para enfrentar esse todo percurso estudantil. Gostaria merecer agradecimento especial dra. Nasma da Gloria Langa (supervisora deste trabalho) por ter aceitado a supervisão, pelo apoio e encorajamento na execução dessa Monografia Cientifica. Em seguida agradeço a todos docentes do curso de matemática pelo espírito crítico construtivo demonstrado durante o período de formação. E sem me esquecer da Luciana da Gama e Isac Costa Ramos pela paciência na revisão linguística. Vão meus agradecimentos a direcção da ESG 25 de Setembro, que autorizou para que se efectuasse a pesquisa naquela Escola, em especial agradecer aos participantes que dias após dia mostraram toda passividade em contribuir positivamente para a realização do trabalho.
xi
Resumo A pesquisa teve uma inclinação etnomatemática, com o intuito de poder explorar o tabuleiro tecelado como alternativa didáctica na introdução do conteúdo da PA com o objectivo geral de desenvolver o raciocínio do aluno em torno do conteúdo. Nos procedimentos metodológicos a pesquisa teve uma abordagem qualitativa e tivemos quatro fases sendo: pré-teste, leccionação da aula com tabuleiro, pós-teste e questionário que serviu para auxiliar o pós-teste. Todos estes procedimentos foram aplicados aos 51 alunos que foram seleccionados num universo de 104 alunos repetentes da ESG 25 de Setembro-Quelimane, onde se aplicou a amostragem estratificada e a informação colectada foi analisada com o auxílio de pacotes estatísticos SPSS e Excel 2007. Após os dados serem analisados, careceram de interpretação por meio de testes estatísticos. Foi aplicado o teste de normalidade e verificou-se que as notas não seguiam a distribuição normal facto este que nos levou a recorrer ao teste de Man-Whitney, que segundo as analises verificou-se que existiam diferenças significativas entre as médias apurando assim o pós -teste como o de maior média. Em torno dos resultados do trabalho sugere-se aos professores de Matemática a usarem o tabuleiro tecelado como uma alternativa didáctica para introdução da PA. Palavras-chave: Tabuleiro tecelado, progressão aritmética.
xii
Abstract The research had an ethnomathematical inclination, with the intention of being able to explore the weaved board as a didactic alternative in the introduction of the content of the AP with the general objective to develop the reasoning of the student around the content. In the methodological procedures the research had a qualitative approach and we had four phases being: pre-test, lesson of the lesson with board, post-test and questionnaire that served to assist the post-test. All of these procedures were applied to the 51 students selected in a universe of 104 repeating students from the September 25 Secundary and General School-Quelimane, where the stratified sampling was applied and the information collected was analyzed with the aid of SPSS and Excel 2007 statistical packages. Data were analyzed, they lacked interpretation through statistical tests. The normality test was applied and it was verified that the notes did not follow the normal distribution, which led us to resort to the Man-Whitney test, which according to the analyzes it was found that there were significant differences between the averages thus assessing the post -test as the highest average. Regarding the results of the work, it is suggested that teachers of Mathematics use the weighted board as a didactic alternative for the introduction of AP.
Key words: Weighted board, arithmetic progression.
13
CAPITULO I 1. INTRODUÇÃO A matemática está sempre presente na vida da maioria das pessoas de maneira directa ou indirecta. Em quase todos os momentos do quotidiano, exercita-se os conhecimentos matemáticos, mas a pesar de ser utilizada praticamente em todas as áreas do conhecimento, nem sempre é fácil mostrar aos alunos, aplicações que despertem seu interesse ou que possam motiválos através de problemas contextualizados. Este trabalho trata-se de uma pesquisa Etnomatemática, procurando observar e explorar as actividades e práticas, com a intenção de identificar as ideias matemáticas contidas no tabuleiro tecelado, pois o estudo surgiu por meio de uma palestra do cátedra Paulo Gerdes ministrada no ano 2016 na UPQ pelo Professor Doutor Marcos Cherinda, que tinha como tema “EPC e ESG de Coalane oficina Etnomatemática: vamos entrelaçar formas geométricas. Quanto a estrutura do trabalho temos quatro capítulos especificados: Primeiro capítulo faz referência a Introdução, justificativa da escolha do tema, problematização é nela onde pode-se conferir o problema, objectivos do trabalho, que se subdivide em dois, o geral e os específicos, pois os específicos conduzem a concretização do objectivo geral, relevância do tema refere-se a importância do trabalho, delimitação do tema e procedimentos metodológicos aplicados para a concretização dos objectivos do trabalho, neste pode-se verificar o tipo de pesquisa feita, as técnicas de recolha de dados, tanto como na população e amostra em estudo, como os dados serão recolhidos e como serão analisados. O segundo capítulo relaciona-se com a fundamentação teórica, onde são abordadas teorias que possibilitam a percepção do PEA e a noção da PA, neste capítulo pode-se verificar várias ideias de diversos autores que sustentam da problemática em estudo. O terceiro capítulo dedicou-se a análise interpretação dos resultados obtidos nas técnicas usadas para a recolha dos dados, e também se fez a abordagem da aula a partir do método proposto detalhando o seu funcionamento; Finalmente, quarto capítulo apresenta as conclusões, sugestões e limitações seguidas de apêndices e anexos. Assim, neste capitulo pode-se verificar as supostas conclusões que obteve na análise e interpretação dos resultados, as sugestões que o pesquisador da em forma de contribuição para melhoria da percepção da PA de modo que haja uma aprendizagem eficiente na abordagem e finalmente as limitações que o autor teve durante a elaboração da pesquisa.
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1.1.Delimitação do Tema A pesquisa, em abordagem, limita-se na reflexão sobre a progressão aritmética. O tema enquadra-se no ensino secundário geral do 2º ciclo 12ª classe, foi pesquisado na Escola Secundária Geral 25 de Setembro, localizada na autarquia de Quelimane Província da Zambézia. A pesquisa realizou-se no período da tarde visto que a 12ª classe frequentam as aulas no período da manhã.
1.2.Localização Geográfica da Escola A actual Escola Secundária Geral 25 de Setembro, fica situado no 1 o bairro, denominado Cimento, fazendo limites com a Avenida Ahmed Sekou Touré a Sul, Avenida de Libertação Nacional a Este, Avenida de Liberdade e o bairro Piloto a Norte, ocupando uma área de 500 m 2 que compreende os edifícios escolares até aos blocos que constituem o Lar da Escola.
1.2.1. Breve Resenha Histórica da Escola As construções dos edifícios das salas de aulas, bloco administrativo, ginásio, anfiteatro e cantina foram iniciadas em 1970 e terminadas em Setembro de 1972. A origem desta instituição de ensino segundo fontes fidedignas, é remota á 22 de Setembro de 1960 levando a Escola com o nome de Liceu de Quelimane, sob a direcção do Reitor Manuel Vale da Costa. As actividades nessa altura decorriam nas salas anexas da antiga Escola Primária Geral Vasco da Gama, hoje, Escola Primária Completa de Quelimane, tendo de 1964 á 1971, transitando para Liceu João Azevedo Coutinho actual Escola Secundária de Quelimane, onde outrora funcionava a Escola Comercial de Quelimane, antes de ter ostentado o nome de Ciclo preparatório. Foi com o nome de Liceu de Quelimane, que a presente Escola, abriu as portas em Setembro de 1972, e, em 1978 é atribuído a Instituição, o nome da Escola Secundária e Pré-universitária 25 de Setembro, o qual até a presente data possui a mesma designação. No tempo colonial esta escola era reservada para uma minoria, a classe privilegiada dos filhos dos agentes do governo colonial, administração, chefes de postos, enfermeiros das grandes empresas agrícolas e ferro-portuárias, tais como: Madal, Borror Comercial, C.F.M, Alfândegas da Zambézia, Chazeiras do Gur]ué, Socone-Ile e de alguns assimilados locais e nacionais. Daí que o número de alunos era reduzido a ponto de 15 a 25 alunos por turma num total de 14 salas de aulas constantes no 1 o bloco. Após a independência nacional em 1975 até aos tempos actuais, tem vindo a registar uma explosão demográfica considerável em termos da população estudantil, chegando a ter 60 a 120 alunos por turma, o que dificulta bastante o trabalho do docente.
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1.3. Justificativa Actualmente nota-se um grande debate acerca da qualidade de ensino nas escolas públicas nacionais. A melhoria de qualidade não passa do melhoramento das partes que a compõem, o Processo do Ensino e Aprendizagem da Matemática, pois, no que diz respeito a melhoria de qualidade de Ensino da Matemática estão envolvidos os seguintes factores: o professor, os alunos, os objectivos de ambas partes, as condições financeiras, emocionais e o material didáctico relativo a cada conteúdo a ser leccionado. Com isso, a adequação dos conteúdos ensinados em sala de aulas com a realidade do aluno pode ser considerada como uma das formas de melhoria da qualidade de ensino e aprendizagem. Nisto, trata-se de desenvolvimento da aula por meio de materiais palpáveis que são bem possíveis produzir e localizar nas nossas comunidades. Assim sendo, pela experiência adquirida pelo pesquisador a partir da palestra mencionada na introdução do projecto e a partir do contacto com a disciplina de Etnomatemática na sua formação académica, o pesquisador verificou a possibilidade de existência de ideias matemáticas nos padrões da peneira que estariam ligadas ao conteúdo da progressão aritmética. A presente pesquisa trará como vantagens para a maior parte da camada social no nosso pais, isto é, para os artesões a pesquisa contribuirá para a valorização dos pensamentos fazendo com que eles possam inovar padrões para as posteriores pesquisas. Para os professores facilitara na introdução do conteúdo, fazendo com que os alunos prestem muita atenção devido ao novo material palpável, enquanto para os alunos trará vantagens no modo de percepção e consolidação do conteúdo e despertará o interesse em querer explorar outros matérias na comunidade para relacionar com conteúdos do seu interesse. Portanto notou-se que há necessidade de incorporar cada vez mais a nossa cultura Moçambicana, no ensino de Matemática, para que também se possa afirmar diante dos outros povos.
1.4. Problematização e Problema de Pesquisa Leccionar a matemática é incrementar o raciocínio lógico no meio da comunidade, estimular o pensamento independente, a criatividade e a capacidade de decretar problemas, por outro lado o aluno durante as suas práticas culturais se depara com significados de muitos fenómenos e acontecimentos, que muitas vezes não encontra respostas claras. Nessa perspectiva o aluno deve ser levado pela prática tradicional a exercitar suas habilidades mentais e a trazer respostas face a questão ou problema em realce. Pois a arte de t ecer e trançar é uma das artes que envolve a criatividade e abstracção, que tem se distanciado do foco de estudo de muitos pesquisadores. Pensamos que é devido a abstracção e criatividade por parte dos
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artesões, o que faz com que alguns pesquisadores não percebam as inúmeras aritméticas que são criadas e produzidas no momento da construção das peças. Na situação vivida no nosso país, pode se constatar que na nossa sociedade as pessoas que exercem esta actividade de tecer são menos escolarizadas, mas muitos de nós ficamos surpresos ao ver uma peça já pronta, sem se quer perceber quantas matemáticas foram aplicadas para a produção de uma peça, seja ela para o uso diário, a comercialização ou em outros lugares de estar e ou decoração. Por meio dos entrelaçamentos de fitas o pesquisador verificou que estas, é que fazem o conhecimento matemático manter-se oculto, facto este que se levantou o seguinte problema de pesquisa: Que impacto traz o entrelaçamento de fitas na construção do tabuleiro, para a percepção de uma progressão aritmética nos alunos da 12a Classe?
1.5. Objectivos 1.5.1. Geral:
Desenvolver o raciocínio da progressão aritmética nos alunos da 12 aclasse a partir do tabuleiro tecelado
1.5.2. Específico:
Verificar se sucessões de fitas obedecem uma progressão aritmética;
Padronizar modelos da progressão aritmética a partir de padrões produzidos pelos alunos nos seus devidos tabuleiros;
Propor modelos matemáticos que facilitem relacionar a progressão aritmética num tabuleiro, para a melhoria do ensino do conteúdo.
1.6. Procedimentos Metodológicos A presente pesquisa decorreu no primeiro trimestre do ano corrente, num prazo de duas semanas, onde tivemos alunos repetentes na disciplina de Matemática 12ª classe do regime/curso diurno como os participantes da pesquisa. Visto que a Matemática no Sistema Nacional de Educação esta em todos os grupos (A- grupo de letras, B- grupo das ciências e C- grupo das artes visuais), e cada interveniente propõe mecanismos de ensinar de forma simples cada um dos conteúdos Matemáticos, pois alguns já produzem artefactos para servirem de auxílio na leccionação, mas para o nosso caso na realização da pesquisa utilizamos o tabuleiro com caixa, cartolina e papel como mostra a figura.
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Fig 1. Tabuleiro de caixa e cartolina.
Fonte: CHERINDA, 2016
Onde tivemos as fitas fixas orientadas na vertical e as móveis na horizontal. Visto que os alunos já estudaram o conteúdo, então só pretendíamos desenvolver o raciocínio da PA a partir dos tabuleiros produzidos em grupos de alunos.
1.7. Objecto de Estudo De acordo com Gil (2002:16), “ objecto de estudo é o fenómeno que se pretende pesquisar, visando trazer a superfície natural a resposta para um problema identificado” .
Portanto, para
esta pesquisa, constituiu como o objecto de estudo “ A progressão Aritmética”
1.8. Classificação da Pesquisa
Para Gerhardt, etall (2009:31 – 41) as pesquisas científicas são classificadas quanto à abordagem, quanto à natureza, quanto aos objectivos e quanto aos procedimentos, assim sendo, a pesquisa realizada foi classificada:
Quanto aos objectivos : A pesquisa é exploratória porque o produto final desse processo passa a ser um problema mais esclarecido de investigação mediante procedimentos mais sistematizados porque apesar de haver estudos sobre o conteúdo da progressão aritmética de forma superficial nas escolas, o pesquisador pretende explorar um material (tabuleiro tecelado) palpável a fim de explicar conteúdos da PA por meio dos entrelaçamentos das fitas de um tabuleiro;
Quanto aos procedimentos: trata-se de estudo de caso, visto que foi um estudo realizado com grupo de alunos de uma classe especifica, em que este conteúdo não esta sendo desenvolvido no momento. A preferência pelo uso do estudo de caso deu-se pelas possíveis possibilidades de fazer observações participativas do pesquisador e pela capacidade de lidar com uma completa variedade de evidências tais como: artefactos, testes, questionários e observações, mediante comparação baseada na pesquisa qualitativa que permitiu traçar um diagnóstico a fim de dar um parecer e tirar uma conclusão.
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Quanto a abordagem: A pesquisa é qualitativa que segundo as ideias de Lima (2009) este tipo de pesquisa estabelece uma relação dinâmica entre o mundo real e o sujeito, isto é, uma ligação inseparável entre o mundo objectivo e a subjectividade do sujeito que não pode ser traduzido em números, pois opta-se neste tipo de pesquisa porque estávamos mais preocupados com os procedimentos metodológicos.
Quanto a natureza : A Pesquisa é Básica pois objectiva gerar conhecimentos novos por meio do tabuleiro tecelado. Conhecimentos estes muito úteis para o avanço da disciplina de matemática.
1.9. Técnicas de Colecta de Dados Para as técnicas de recolha de dados da presente pesquisa utilizou-se a observação que na óptica de Goldenberg (1997) define a observação como fenómenos da realidade através de uma sucessão de passos, orientados por conhecimentos teóricos, buscando explicar a causa desses fenómenos, suas correlações e aspectos não revelados. Também utilizou-se o questionário que nas ideias de (Lakatos & Marconi, 2003: 201) “Questionário é um instrumento de colecta de dados, constituído por uma série ordenada de perguntas, que devem ser respondidas por escrito e sem a presença do entrevistador ” Esta técnica de colecta de dados foi composta por oito (8) questões apresentadas por escrito aos alunos, teve como objectivo de sustentar o pós-teste que estava relacionado com a última aula dada com o tabuleiro tecelado a fim de tirar as recomendações dos alunos em torno do material. Além do questionário, aplicou-se também os testes com a pontuação de 5 valores para cada uma das 4 alíneas de modo a alcançarmos a classificação máxima de 20 valores como recomenda o S.N.E.
1.10.
População
No que diz respeito ao universo populacional, entende-se de acordo com Richardson (1989: 49), por universo ou população alvo “ a totalidade de indivíduos que possuam a mesma característica definida para um determinado assunto”. Nessa ordem de ideia, importa-nos referir que a população alvo da pesquisa foram os alunos da 12ª. Classe que estão a repetir em especial a disciplina de Matemática no corrente ano, tendo um universo populacional de 104 estudantes repetentes na disciplina de matemática de ambos os sexos e grupos, como ilustra a tabela abaixo.
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Tabela1: Dados dos alunos por sexo em cada grupo Sexo
Grupo A
Grupo B
Grupo C
Total
Inqueridos Total
Inqueridos Total
Inqueridos
Masculino
12
8
36
17
15
6
Feminino
23
9
12
7
6
4
Total
35
17
48
24
21
10
Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017 1.10.1. Amostra e o Critério de Selecção da Amostra A amostra de acordo com Richardson (1989: 60), “ é um subconjunto de indivíduos da população alvo, com a mesma característica, para que o resultado possa ser generalizado” .
De acordo com a população da pesquisa e os objectivos da pesquisa, ao que diz respeito as técnicas de amostragem, é de salientar que foi utilizada a amostragem estratificada que na óptica de Oliveira (2012) Amostragem Estratificada – É aquela na qual dividimos a população em subgrupos (estratos) de idênticas características e retiramos amostras aleatórias simples dos subgrupos. Nesta ordem de ideia foram seleccionados em cada grupo uma proporção de f
n
N
51
104
0,4903 equivalente a 49% dos
alunos em cada estrato, onde tivemos no
Grupo A um universo de 35 alunos repetentes sendo seleccionados 17, no Grupo B: 48 alunos seleccionados 24 e no Grupo C: 21 alunos seleccionados 10 tendo uma amostra de 51.Uma vez que a população era finita, para a selecção dos mesmos em cada estrato após a amostragem estratificada recorremos a amostragem aleatória simples que na óptica de Stevenson (2003) afirma “ se a população alvo é finita, há essencialmente duas técnicas de escolher uma amostra aleatória simples, sendo a primeira por meio de lotaria e o segundo por meio da tabela de números aleatórios”.
Nesta ordem nos auxiliamos com a tabela de números aleatórios que consistiu primeiro na numeração de cada elemento no seu devido grupo, de seguida fez-se a leitura da tabela de modo a obter uma amostra representativa.
20
1.11.
Etapas da Pesquisa
As etapas decorreram num período de duas semanas sendo que na primeira semana foi feita a apresentação do credencial na secretaria da escola em epígrafe, com a permissão desta o pesquisador se apresentou na mesma e explicou o propósito da pesquisa naquela escola. Também nesta mesma semana, foi feita a localização da população alvo da pesquisa e o devido levantamento da amostra. Após a selecção da amostra houve um encontro com os mesmos para o acordo dos dias e horas em que estariam disponíveis para os posteriores encontros (ver anexo imagem 1). De forma consensual chegou-se a um acordo de que os encontros estariam a acontecer na segunda, quarta e sexta-feira num prazo de uma semana pelas 15horas nas salas disponíveis da mesma escola. Na segunda semana, existiram os encontros e este grupo de alunos inclusos na pesquisa, estavam sujeitos a:
Um pré-teste que servia para avaliar o nível inicial dos alunos no que se refere a Progressão Aritmética;
Participar na leccionação do conteúdo da PA utilizando o tabuleiro tecelado como material didáctico (ver o plano de aula no apêndice e no anexo imagem 2,3,4);
Um pós-teste que levou-nos a perceber qual foi o nível de percepção atingido pelos alunos;
Um questionário constituído por perguntas fechadas relacionadas com a matemática de uma forma geral e a nova proposta de ensino da PA.
1.12.
Analise dos Dados
Para a análise dos dados colhidos a partir dos testes, fez-se a selecção de testes dos estudantes que tiverem as respostas certas, erradas e incompletas de acordo com a questão a ser analisada; A mesma técnica de análise aplicada no pré-teste também utilizamos para o pós-teste com a finalidade de apurarmos os resultados percentuais das positivas e negativas nos dois testes e descrevermos os mesmos a fim de verificarmos o nível de percepção dos alunos em torno do conteúdo leccionado com o tabuleiro. De seguida fez-se o teste de aderência a normalidade Kolmogorov-Simirnov, para testar, se nos dois grupos, as notas seguem distribuição normal, com as seguintes hipóteses (Pestana & Gajeiro, 2003): H 0
: A distribuição das notas no pré e pós-teste no mesmo grupo é normal.
H 1
: A distribuição das notas no pré e pós-teste no mesmo grupo não é normal.
Com a rejeição da hipótese nula, fez-se o teste de Man-Whitney com as seguintes hipóteses:
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Não existem diferenças entre as médias do pré e pós -teste.
H 0 :
H 1
: Existem diferenças entre as médias do pré e pós -teste
Recorreu-se ao pacote Excel 2007 para construção de gráficos e tabelas, e o pacote estatístico SPSS para executar todos os testes, com nível de significância
1.13.
0.05
Interpretação dos Dados
Após os dados serem analisados, estes foram interpretados de uma forma generalizada fazendo a apreciação das respostas com o auxílio das tabelas e gráficos de barras construídos na base dos pacotes Estatísticos SPSS e Excel. No pré e pós teste a interpretação foi feita mediante a descrição do aproveitamento positivo que consistia em explicar os aspectos mais interessantes nos dois testes e o aproveitamento negativo consistia também em retirar os aspectos interessantes e dar a possível sugestão. Para a interpretação foi feito o apuramento da hipótese nas seguintes condições: 1) Não rejeita-se a hipótese nula H se o p-value = sig (nível de significância associada 0
ao teste) for maior que 5%. 2) Rejeita-se a hipótese nula H se o p-value = sig (nível de significância associada ao 0
teste) for menor que 5%.
22
CAPITULO II 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1. Processo de Ensino e Aprendizagem Na sociedade dos primatas a educação comportava de um carácter informal, todos queriam ensinar o quanto sabiam fazer, e não tinha um lugar específico para criar-se um ambiente de transmissão dos conhecimentos, mas com a divisão do trabalho, surgem indivíduos e condições específicas em que se realiza a educação, o que caracteriza o processo de ensino e aprendizagem. Partindo da conexão teórica e prática, em ambientes organizados de relação e comunicação intencional entre objecto e aluno, entendemos como sendo um bom reflexo-aplicativo que se ocupa no processo de formação e desenvolvimento dos conhecimentos organizados e práticos num processo de ensino e aprendizagem do aluno. Para Libâneo (2002:92), “O processo de ensino e Aprendizagem consistiria em processos de teorização sobre os problemas que gera a prática institucional da educação. É, portanto, uma prática teórica, que deve dar conta de sua produção dentro das tradições de elaboração de conhecimento científico, mas que não renuncia a ser um conhecimento prático que aspira a conectar com os processos de pensamento e experiência dos profissionais da educação, trazendo elementos para o enriquecimento e reconstrução de seu conhecimento profissional”.
Neste aspecto, entendemos que a realidade no processo de ensino é o aluno, por este ser social e historicamente determinado, activo do próprio conhecimento, inserido em contextos sociais determinados em que vivificam significados e intenções culturais, e o professor apenas um acompanhante do processo e inovadores de um ensino reflexivo. Segundo Zeichner (1993) apud Libâneo (1994), “Com o conceito de ensino reflexivo, os formadores de professores têm a obrigação de ajudar os futuros professores a interiorizarem, durante a formação inicial, a disposição e a capacidade de estudarem a maneira como ensinar usando objectos palpáveis para despertar o conhecimento nos objectos, responsabilizando-se pelo seu próprio desenvolvimento profissional inclusivo”.
23
2.2. Processo de Ensino e Aprendizagem na Perspectiva das Teorias de Aprendizagem No propósito do Processo de Ensino e Aprendizagem, focalizada nas teorias de ensino abordadas por psicólogos no sentido didáctico, são concebidas sob forma a trazer o ensino que envolve as práticas culturais no sentido cognitivo e como construir um conhecimento escondido numa cultura para sua posterior validade no Processo de Ensino e Aprendizagem, na interacção objecto e meio. Para a tomada da decisão prestamos atenção no sig dos dois testes estatísticos, portanto se for significativamente superior ao nível de significância
0.05,
valida-se a hipótese nula e
rejeita-se a nula
2.2.1. Segundo a Concepção dos Comportamentalistas/Behavioristas O termo behaviorista esta associado ao nome do psicólogo Americano John Behavior Watson (1878-1958) e em particular no seu livro Behaviorism, publicado em 1952, este termo Behavior que significa Comportamento. “ Por behavioristas,
a aprendizagem é o resultado de um processo de condicionamento segundo
o qual, determinadas respostas ou reacções são associadas a determinados estímulos e considera que todas formas de comportamentos podem ser aprendidas, por meio de ligação estimulo-resposta” (Tavares & Alarcão, 2000:92). Nesta perspectiva dos behavioristas a nossa pesquisa se opõe a este pensamento, uma vez que pretende-se usar um conhecimento patente dentro no tabuleiro tecelado, sem deixar de trás a colheita de opiniões e ideias dos sujeitos intervenientes da pesquisa. Não só, uma aprendizagem que consiste em dar os conteúdos apenas sem coleccionar as ideias dos aprendizes, torna a camada de alunos mais fraca e difícil de ter a motivação de aplicar, nem mesmo relacionar os conteúdos aprendidos na sala de aulas à vida real. Para Tavares& Alarcão(2000:94), “Thorndike um comportamentalista, ele vê a aprendizagem duma maneira diferente do Watson, e diz que a aprendizagem seria resolver um problema, aprender consiste então em estabelecer uma conexão, a nível do sistema nervoso, entre estímulo e reacção, conseguida após uma série de tentativas e erros”.
Neste olhar de Thorndike, está aliada à nossa concepção em relação o tratamento da pesquisa em caso e a natureza do tema do trabalho. Para que ocorra uma aprendizagem, é necessário que haja também a motivação que lhe leva a aprender e tenha uma visão de deixar uma solução sobre um problema identificado. No caso da pesquisa levada à cabo, tende solucionar o problema de isolamento da cultura no enquadramento dos estudos aritméticos, nesse caso o estudo da progressão aritmética a partir do tabuleiro tecelado.
24
Prosseguindo na ordem dos behavioristas, Tavares & Alarcão (2000:96), “Thorndike enunciou as suas três leis da aprendizagem, que giram à volta da ideia de que a aprendizagem anda associada a um esforço que é recompensado, nomeadamente: a lei de efeito, lei de exercício ou frequência e lei da mat uridade específica”.
Lei de efeito: A conexão entre o estímulo e uma reacção é reforçada ou enfraquecida
consoante a satisfação, a ausência de satisfação ou aborrecimento que acompanha a acção.
Lei de exercício ou frequência: A repetição, por si só, não conduz a aprendizagem. Mas
resulta em aprendizagem se for acompanhada de resultados positivos.
Lei de maturidade específica: Se um organismo estiver preparado para estabelecer a conexão
entre o estímulo e a reacção, o resultado será agradável e a aprendizagem efectuar-se-á, caso contrário, o resultado não será agradável e a aprendizagem será inibida. Essas três leis de Thorndike referente à aprendizagem, vão de acordo com a abordagem que se leva à cabo dentro da pesquisa, pois, é preciso que haja uma boa satisfação para que se consiga descobrir a matemática escondida em qualquer cultura, não basta repetir para provar o conhecimento patente nela, mas sim procurar sempre que os resultados sejam convincentes e sirvam como alternativas didácticas.
2.2.2. Segundo os Construtivistas/Estruturalistas Para que o conhecimento seja sólido, não basta apenas teoria, mas sim é necessário que o aluno tenha um contacto directo com o objecto e seja mostrado o conhecimento a partir de factos reais e palpáveis. Os teóricos desta abordagem procuram explicar aquisição do conhecimento humano em uma perspectiva em que sujeito e objecto interagem em um processo que resulta na construção e reconstrução de estruturas cognitivas de um saber científico. Segundo Piaget (1996:29), ‟ Para se compreender o processo de construção do conhecimento, é necessário evidenciar a configuração dos sistemas que integram os processos de convivência social do indivíduo, e seja colocada em frente a importância da interacção entre o sujeito e o objecto na aquisição de novos conhecimentos”. E ainda defende, que é necessário conhecer com clareza o que significa os seguintes conceitos:
Organização:
Não pode haver conhecimento proveniente de uma fonte desorganizada, pois o conhecimento tem como base uma organização inicial expressa no ponto de partida para acção do indivíduo sobre os objectos palpáveis que pode se manipular um conhecimento.
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Como defende Carretero (1997:65) “O pensamento (interiorização da acção) se organiza mediante a constituição de esquemas que formam através do processo de organização. A interacção objecto sujeito, é indissolúvel na construção de um conhecimento”.
Adaptação:
É um processo dinâmico e contínuo no qual o organismo interage com o meio externo de modo a reconstituir-se. Ela é a essência do funcionamento intelectual e biológico. É um movimento de equilíbrio contínuo que se estabelece no contacto sujeito objecto, que são processos distintos, porém indissociáveis que compõem o conhecimento segundo os construtivistas. “O indivíduo modifica o meio e é também modificado por ele. A adaptação intelectual constitui se então em um equilíbrio progressivo entre o material palpável e assimilador que pretende complementar e adquirir um conhecimento prático do que teórico" (Piaget, 1982).
Assimilação e Acomodação:
Quando a criança tem novas experiências (vendo coisas novas, ou ouvindo coisas novas) mas que estejam ao seu contacto físico, ela tenta adaptar esses novos estímulos às estruturas cognitivas que já possui, formalizando um certo conhecimento. “ A assimilação é o processo cognitivo pelo qual uma pessoa integra (classifica) um novo dado perceptual, motor ou conceitual às estruturas cognitivas prévias” (Piaget, 1982). Nesta ideia, para Piaget (1996:13), “assimilação é integração à estruturas prévias, que podem permanecer invariáveis ou são mais ou menos modificadas por esta própria integração, mas sem descontinuidade com o estado precedente, isto é, sem serem destruídas, mas simplesmente acomodando a relação do aprendido com o quotidiano ”. Nesta vertente do Piaget, com o tema que se aborda nesta pesquisa, encontramos um enquadramento cultural da peneira na qual iremos criar os mesmos padrões num tabuleiro tecelado que se pretende integrar no ensino da matemática e que este material palpável pode adaptar os novos estímulos aos esquemas que os alunos possuem até aquele momento.
Esquema:
Modelo de actividade que o organismo utiliza para incorporar o meio, no ser humano os esquemas iniciais, que marca ponto de partida da interacção sujeito e objecto, é o reflexo do aprendizado na vida real. E todo novo esquema construído a partir dos esquemas iniciais, é ponto de partida para novas interacções do indivíduo com o meio e criação de novos conhecimentos a partir do intelecto ligado aos objectos físicos. Wadsworth (1996), define ‟ os esquemas como estruturas mentais, ou cognitivas, pelas quais os indivíduos intelectualmente se adaptam e org anizam o meio” . Assim, se aliando na perspectiva
26
desse pensador, entendemos que os esquemas são tratados, não como objectos reais, mas como conjuntos de processos dentro do sistema nervoso.
2.3. A Etnomatemática Numa Visão Educacional Olhando para a dimensão educacional, segundo D’Ambrósio (2002:42-47), ‟o essencial da etnomatemática é incorporar a matemática do momento, contextualizada, na educação matemática”. Ela
privilegia o raciocínio qualitativo, e seu enfoque está ligado a uma questão
maior, de natureza ambiental ou de produção. Se enquadra perfeitamente numa concepção multicultural e holística de educação e raramente se apresenta desvinculada de outras manifestações culturais, como a arte e religião. Como educadores matemáticos, temos que estar em sintonia com a grande missão de educador. Precisamos perceber que há muito mais do que ensinar a fazer continhas ou a resolver equações e problemas artificiais, mesmo que, muitas vezes tenha a aparência de se referir a fatos reais. A proposta da etnomatemática é fazer da matemática algo vivo, lidando com situações reais no tempo e no espaço, questionando o aqui e o agora. Assim, mergulhamos nas raízes culturais e praticamos dinâmica cultural, reconhecendo na educação a importância das várias culturas e tradições na formação de uma nova civilização, transcultural e transdisciplinar. Por tudo isso, a etnomatemática representa um caminho para uma educação renovada, capaz de preparar gerações futuras para construir uma civilização mais feliz.
2.4. Inclusão das Práticas Culturais no Ensino da Matemática Escolar A História da Matemática vem procurando identificar nas culturas, diversos conceitos e resultados da Matemática Ocidental e, daí, incluir-se que essa matemática equivale a estágios primitivos da Matemática Ocidental e que, se desenvolvesse a mesma a partir da realidade que se vive em cada região, seria mais prático do que teórico. A matemática é considerada uma criação humana, nesta perspectiva os objectos matemáticos são construções sócio-histórico-culturais desenvolvidas por métodos específicos de pensamento que contribuíram de forma particular para o desenvolvimento da sociedade. Na perspectiva de D’Ambrosio (1991:17), [...] um dos mais importantes conceitos da Etnomatemática é o de considerar a associação existente entre a matemática e a formas culturais distintas. Assim, a Etnomatemática implica uma conceituação muito ampla do etno e da matemática. Muito mais do que simplesmente uma associação a etnias, etno se refere a grupos culturais identificáveis, como por exemplo sociedades nacionais, tribais, grupos sindicais e profissionais, crianças
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de uma certa faixa etária etc, e inclui memória cultural, códigos, símbolos, mitos e até maneiras específicas de raciocinar e inferir [...]. Uma das principais causas que se verifica na abordagem dos contextos matemáticos na sala de aulas é a utilização da matemática que leva o aluno a olhar nesta ciência sentido abstracto e dentro desta linha, nota-se que sim, há necessidade de se resgatar a matemática em diferentes culturas, para se explicar na sala aos alunos esses saberes matemáticos encontrados. Para D’Ambrósio (1991), “Os conceitos matemáticos propõem um enfoque epistemológico alternativo associado a uma historiografia mais ampla. Parte da realidade e chega, de maneira natural através de um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural, à acção pedagógica”.
A dimensão educacional da etnomatemática, visa trazer as aplicações didácticas da cultura na matemática e perpetuar os conceitos matemáticos escondidos dentro duma cultura e potenciar sob forma de propostas educacionais os conceitos para contributo do processo de ensino da matemática. Segundo D’Ambrósio (1991), “acredita que a Etnomatemática possui várias dimensões que na maioria das vezes estão interligadas, e para efeito didáctico as classifica deste modo: dimensão conceitual, dimensão histórica, dimensão cognitiva, dimensão epistemológica, dimensão política e dimensão educacional”.
O uso do tabuleiro tecelado como uma alternativa metodológica para ensinar progressão aritmética, necessita duma abstracção que venha impulsionar o estímulo da modelagem racional deste conhecimento patente neste objecto. Segundo Gerdes (1991:19), “estudo da etnomatemática como uma proposta metodológica, criando até mesmo uma proposta de acção pedagógica impulsionada pela pesquisa etnomatemática, seguida da utilização da modelagem matemática para alcançar os objectivos educacionais no grupo pesquisado”.
Entendemos que a etnografia no contexto educacional, volta-se para experiências e vivências dos indivíduos, assim como cultura dos diversos grupos e sociedades. Numa linha de pensamento de enquadramento da cultura na matemática, requer primeiro uma criatividade do pesquisador que deve criar em prol de manter uma forte ligação com o grupo social que pretende usar para levar à cabo a sua pesquisa. Para D’Ambrosio (1991:58), “Uma boa educação não será avaliada pelo conteúdo ensinado pelo professor e aprendido pelo desgastado paradigma educacional sintetizado no binómio “ensino – aprendizagem”,
verificado por avaliações idóneas, é insustentável. Espera -se que a
educação possibilite, ao educando, a aquisição e utilização de instrumentos comunicativos,
28
analíticos e materiais que serão essencialmente seu exercícios de todos os direitos e deveres intrínsecos à toda cidadania. Nesta ideia de D’Ambrosio (2002)"para sistematizar um conhecimento patente numa cultura é necessário se tomar em conta sempre o enquadramento científico desse saber, obedecendo a conexão aluno e quotidiano e valorizando os materiais culturais como meios para a evolução e contribuição do ensino da matemática". A álgebra como sendo uma área ampla que contempla as abordagens da aritmética, as vezes é confundida com a própria aritmética. Esquecendo-se que os conceitos algébricos, envolvem as operações aritméticas, e neste item, se descreve o historial da aritmética e posteriormente faz-se a definição.
2.4.1. Historial e Conceito da Aritmética Estudo da aritmética sempre esteve presente nas civilizações, os filósofos da antiguidade também se ocuparam de estudar Matemática, até porque eram eles que reflectiam sobre todos os sectores da indagação humana. Entre os gregos, Pitágoras (570-497 a.C.) foi o primeiro a escrever sobre a disciplina do número, depois Nicômaco (60-120 d.C.) ampliou esse trabalho que foi traduzido, entre os latinos, primeiro por Apuleio (125-180 d.C.) e, depois por Boécio (475-524 d.C.). Na busca das raízes da invenção dos números e das operações, vêem-se, desde a civilização grega, as referências que serviram de base para a educação do mundo ocidental em grupos que foram chamados de trivium e quadrivium. O trivium abarcava a Gramática, a Dialéctica e a Retórica, matérias que visavam a uma preparação para a vida prática. O quadrivium dividia o conhecimento considerado necessário para o desenvolvimento do espírito em Aritmética, Geometria, Música e Astronomia. Para chegar à aritmética, a humanidade percorreu longos caminhos. A técnica da contagem e as regras de calcular foram fatos estabelecidos no final do período renascentista, em meados do século XVII. Nesse ínterim, muitas batalhas aconteceram: lutas por territórios ou por religião em que os povos traziam sua cultura e tomavam conhecimentos de outras. As várias práticas de quantificar, contar, medir ou de representar essas acções foram se mesclando no decorrer da história, e algumas acabaram se impondo, de maneira que hoje, tem-se quase uma universalidade dessas práticas. Segundo Dantzig (1970:44), “a Aritmética e a Teoria dos Números são ramos contrastantes da Matemática. Aritmética é mais acessível devido à generalidade e simplicidade de suas regras, enquanto que a Teoria dos Números é de difícil compreensão por causa dos métodos individuais de abordagem de problemas”.
29
Para entender as razões de se estudar a Aritmética, procura-se na história da humanidade o seu desenvolvimento. Arithmética era a teoria do número até o século XVII. O que actualmente denomina-se Aritmética, era para os gregos, Logística e, na Idade Média, Algarismo, de acordo com (DANTZIG, 970:45). A definição actual de Aritmética, segundo Newman apud Teles (2004:02), encontra-se na Enciclopédia de Matemática como parte da matemática que trata de cálculos, e está dividida em Aritmética Comum: cálculo com números definidos e Aritmética Literal : cálculo com números representados por letras (cálculo algébrico). Brahmagupta (589-668), outro matemático indiano e considerado o pai da Aritmética, eleva o zero à categoria dos samkhya (ou seja, dos números), em seu livro Brahmas phutasidanta. Séculos depois, Bhaskara (1114-1185), considerado o mais importante matemático do século XII, preencheu as lacunas do trabalho de Brahmagupta. Sua obra representa uma culminação de contribuições às obras hindus anteriores. Assim, a aritmética moderna utilizada actualmente, espalhou-se pela Índia e Arábia e, então, pela Europa. Inicialmente, era conhecida como Al Hind (livro sobre adição e subtracção de acordo com os hindus) em língua árabe, e De Numero Hindorum (sobre a sobre a arte hindu de calcular) em Latim, substituindo os numerais romanos e os métodos de operações baseados em ábaco. Hoje, a Aritmética faz parte do dia-a-dia de qualquer cidadão. Planejar com racionalidade aritmética parece imprescindível para a sobrevivência. A Aritmética dos números e dos cálculos considerados primários está presente em qualquer currículo escolar e é, muitas vezes vulgar. Assim, faz-se necessário entender como ela se constitui em matéria escolar obrigatória.
2.5. Sucessões Designaremos sequência ou sucessão, como qualquer conjunto ordenado. Uma sequência numérica pode ser representada da seguinte forma: (a 1, a2, a3, ... , ... ,an, ...) onde termo,
a
2
é o segundo termo, ... ,
a
n
a
1
é o primeiro
é o n-ésimo termo. Assim, por exemplo, o conjunto
ordenado ( 3, 5, 7, 9, 11,..., 35) é uma sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente. Note que a sequência acima ela é finita pois tem o termino, mas poderíamos apresentar sequências que não fossem finitas. Exemplo: A sequência (2, 4, 6, 8, 10, …) é infinita, pois a sequencia continua sem o término. Por exemplo, na sequência (2, 6, 18, 54, 162, 486,... ) podemos dizer que etc.
a
2
6
,
a
6
486
,
30
São de particular interesse, as sequências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles. Assim, na sequência acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da sequência, é denominada termo geral. Portanto, Nheze (2009:91) Afirma que ‟O termo geral de uma sucessão é uma expressão analítica numa variável que nos possibilita obter os seus termos, dando a essa variável sucessivamente os valores 1, 2, 3, 4, ..., n,... ” Consideremos por exemplo à sequência S cujo termo geral seja dado por
a
n
2n 15 ,
onde n é
um número natural não nulo. Observemos que se atribuindo valores para n, obteremos o termo
a
n
(n - ésimo termo)
correspondente.
2.5.1. Progressão Aritmética Este é o ponto mais focal do trabalho, consta o historial e o conceito da progressão aritmética, conhecimento aritmético que se leva a cabo neste estudo partindo do tabuleiro tecelado e faz-se a descrição dos procedimentos a usar para extrair a P.A no objecto em estudo.
2.5.2. Historial de Progressão Aritmética e Conceito As progressões começaram a ser estudadas desde os povos muito antigos como os babilónicos. Na Mesopotâmia surgiram várias tabelas babilónicas muito interessantes, mas a mais extraordinária foi a de Plimpton 322 (1900 a 1600 a.C). A Matemática no Egipto antigo nunca alcançou o nível obtido na Matemática Babilónica, talvez porque a babilónia era o centro das rotas de navios e de troca de saberes. Mas não podemos esquecer que os egípcios tiveram um papel primordial na preservação de muitos destes papiros que contribuíram para o nosso conhecimento em Matemática hoje. Em um papiro que data de 1950 a.C, podemos encontrar problemas teóricos a respeito de Progressões Aritméticas. Tem também o papiro Rhind (ou Ahmes) data aproximadamente de 1650 a.C. e nada mais é do que um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. O papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre matemática egípcia antiga, deixando evidências de que sabiam fazer a soma de termos de uma progressão aritmética.
31
As progressões aritméticas foram estudadas desde povos muito antigos como os babilónicos. Inicialmente, procurou-se estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os egípcios de 5.000 anos atrás tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente do rio, pois para poderem plantar na época certa e assim garantir seus alimentos, os egípcios precisavam saber quando haveria inundação. Havia, portanto, necessidade de se conhecer o padrão desse acontecimento. Para Machango (2007:50) “Progressão aritmética é uma sucessão em que a diferença () entre dois termos consecutivos é constante. A chama-se razão de progressão aritmética”. Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25,...
Observe que na sucessão, cada termo, a partir do segundo pode obter-se a partir do anterior por adição de um mesmo número constante cinco (5). A constante verificada na sucessão denominase razão; As sucessões com estas características chamam-se progressões aritméticas. Se
d 0 , a P.A é crescente
Se
d 0 , a P.A
Se
d
0,
é decrescente
a sucessão é constante
2.5.3. Termo Geral de Uma Progressão Aritmética De acordo com a definição, temos
a
n
a
,
,
1 a2 a3
,..., a ,... uma progressão aritmética de razão d . n
Então:
a
a2
a1
d
a3
a2
d a1 d d a1 2d
a4
a3
d a1 2d d a1 3d
an
1
a
1
…
an 1 d a1 (n 1)d
Segundo Vuma (2010:94), ” A expressão
a
n
chama-se termo geral da progressão
a1 n 1 r
aritmética porque, permite obter qualquer termo da progressão.” onde an
Representa o termo procurado
a
Representa o primeiro termo da P.A
n
Representa o número de termos.
1
32
r
Representa a razão
A fórmula do termo geral possibilitara o cálculo de qualquer termo de uma P.A desde que se conheça o primeiro termo e a razão da progressão.
2.5.4. Soma de Termos Consecutivos de uma Progressão Aritmética n
Analisemos o esquema de soma dos 10 primeiros números naturais
O esquema ilustra a seguinte propriedade que é valida em qualquer P.A finita.
Propriedade 1: A soma dos termos equidistantes dos extremos de uma P.A finita é igual a soma dos extremos.
33
CAPIULO III 3. Apresentação, Análise e Interpretação dos Resultados Dentro deste capítulo estão apresentados os resultados do trabalho realizado, esses resultados foram obtidos a partir do estudo feito aos grupos de estudantes que estão a repetir a disciplina de matemática, onde foram submetidos 51 alunos da 12ª classe. A interpretação dos resultados baseou-se nas perguntas do pré e pós-teste e finalmente do questionário, onde através de tabelas e gráficos de frequência foram analisados em níveis: Certo, errado e incompleto, onde as perguntas do questionário serviram como sustento do pós-teste.
3.1. Apresentação dos Resultados do Pré-teste O pré-teste foi submetido à todos estudantes envolvidos na amostra, que decorreu no dia 03 de Abril 2017. Constituído por uma pergunta com quatro (04) alíneas, onde verificamos que 40 alunos que correspondem a uma percentagem de 78, tiraram negativas e os restantes onze 11 que correspondem a uma percentagem de 22 tiveram positivas, como mostra a tabela abaixo. Tabela 2:Estatística das Notas do Pré-teste
Notas Frequência Percent 5.00 13 25.5 7.00 10 19.6 9.00 17 33.3 13.00 8 15.7 15.00 3 5.9 Total 51 100.0 Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
Percent. Acumulada 25.5 45.1 78.4 94.1 100.0
34
Tabela 3: Frequência de notas no pré-teste
Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
Na alínea a) 30 alunos que correspondem uma percentagem de 59 acertaram a questão, 21 alunos que correspondem uma percentagem de 41 erraram e nenhum aluno teve resposta incompleta. Na alínea b) 26 alunos que correspondem uma percentagem de 51 acertaram a questão, 25 alunos que correspondem a uma percentagem de 49 erraram e nenhum aluno teve resposta incompleta. Para a alínea c) 17 alunos que correspondem uma percentagem de 33 acertaram a questão, 30 alunos que correspondem a uma percentagem de 59 erraram e 1 aluno que corresponde a uma percentagem de 2 teve resposta incompleta. Finalmente na última alínea d) 20 alunos que correspondem uma percentagem de 39 acertaram a questão, 16 alunos que correspondem a uma percentagem de 31 erraram e 15 alunos que correspondem a uma percentagem de tiveram respostas incompletas. Tabela 4: Classificação de acordo com o género
Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
A partir da tabela 4, verificou-se que estavam presentes 31 estudantes do sexo masculino, dos quais 14 tiveram resultados positivos e os restantes tiveram resultados negativos. Para o sexo oposto ao anterior estavam presentes 20 estudantes das quais 12 tiveram resultados positivos e as restantes tiveram o resultado negativo. No gráfico abaixo segue o resumo percentual das respostas adquiridas no pré-teste
35
Gráfico 1: Percentagem de Alunos nos Resultados do Pré-teste 70 60 50 %40 r F 30
Respostas certas Respostas erradas
20
Respostas incompletas
10 0 a
b
c
d
Nivel da pergnta
Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
O resultado plasmado na tabela 3, o gráfico 1 faz uma descrição daquilo que foi a contribuição dos alunos a respeito das perguntas do pré-teste.
3.2. Descrição da Aula Com os Procedimentos de Exploração da Progressão Aritmética no Tabuleiro Tecelado 3.2.1. Procedimentos Para a Extracção de Sequências Num Tabuleiro Tecelado Um dos principais conhecimentos explorados no tabuleiro tecelado para a leccionação da aula de PA, foi a extracção das sequências de acordo com as linhas que pretendíamos estudar. Para a extracção, nos auxiliamos primeiro com a enumeração feita no topo superior do tabuleiro, e no lado direito do tabuleiro. Fig .2.A extracção de Sequências
Fonte: O autor, 2017
Por exemplo, quando queríamos achar a progressão da primeira linha, primeiro tínhamos que localizar o número correspondente da linha e da coluna pois este era considerado de primeiro termo. Para o nosso caso o primeiro termo, estava localizado na primeira posição, enquanto que para a localização do segundo termo e os posteriores, tínhamos que achar sobre a linha a fita semelhante a anterior. Por exemplo, se verificarmos na figura abaixo notaremos que a fita
36
semelhante a anterior estará na posição 5, o termo a seguir estará na posição 9 assim sucessivamente. Fig 3.A Extracção de Sequências na Primeira Linha
Fonte: O autor, 2017
Sempre que vamos a nova linha, a contagem começa a partir da coluna correspondente a linha em estudo, por exemplo a segunda linha começa a contagem a partir da segunda coluna, logo o primeiro termo passa a ser 2, o segundo termo será 6 porque é a fita semelhante a anterior.
Fig 4.A Extracção de Sequências na Segunda Linha
Fonte: O autor, 2017 Na terceira linha, a contagem começa na coluna 3 e o primeiro termo estará na posição 3, o segundo na posição 7 assim sucessivamente. Fig 5.A Extracção de Sequências na Terceira Linha
Fonte: O autor, 2017
3.2.2. Procedimentos Para a Extracção da Razão Num Tabuleiro Tecelado Após a primeira fase da extracção de sequência seguiu-se o estudo da razão de uma PA com o auxílio do tabuleiro. Após o conceito da razão dado na aula de recapitulação, facilmente alguns alunos conseguiam verificar a razão das fitas que progrediam em cada um dos estudos com o tabuleiro. Portanto se prestarmos a atenção na primeira linha e tomarmos como referência o primeiro termo, notaremos que se passam 4 fitas para o alcance do termo posterior, pois sempre que pretendemos achar o
37
termo seguinte notaremos a passagem de 4 fitas, facto este que generalizamos e achamos a razão de 4. Fig 6.A Extracção da Razão em Todas Linhas
Fonte: O autor, 2017
3.2.3. Procedimentos Para a Extracção do Termo Geral Num Tabuleiro Tecelado Visto que cada matéria se relaciona com a outra para a obtenção da nova, então com base nos conteúdos ensinados seguiu-se com a leccionação da matéria ligada a obtenção do termo geral de uma sequência na PA. O termo geral é a possível expressão que nos facilitara generalizar e localizar qualquer termo de uma sequência, por exemplo quando pretendíamos achar o termo geral da primeira linha, nos auxiliamos com o valor da razão achando o dobro, o triplo etc. Sabendo que a razão é 4, contamos inicialmente as primeiras 4 fitas para a localização do primeiro termo e notamos que o primeiro termo esta na primeira posição, portanto removemos as 3 fitas que vem após o primeiro termo, quando pretendíamos achar o segundo termo tínhamos que adicionar a razão por si mesma achando o seu dobro tendo como o resultado 8 fitas, pois notou-se que esta distante do segundo termo, tendo uma diferença de 3 fitas. Fig 7.A Extracção do Termo Geral na Primeira Linha
Fonte: O autor, 2017
Logo concluímos que para a primeira linha o seu termo geral será
a
n
4n
3
, onde
n
1,2,3,4
pois varia de acordo com o termo que pretendemos achar. Também verificamos que na segunda linha apenas removemos duas fitas, na terceira linha removemos uma fita, na quarta linha pela
38
coincidência da linha e razão não removemos nenhuma fita. A partir da quinta linha já passamos a adicionar as fitas, mantendo constante a razão e o n que varia em função dos termos, por exemplo a expressão da quinta linha será
a
n
4n
1
assim por diante.
3.2.4. Procedimentos Para a Extracção da Soma de Termos Consecutivos no Tabuleiro Tecelado Após a matéria da obtenção do termo geral de cada linha, seguiu-se com a última matéria ligada a soma de termos consecutivos de uma PA, onde também nos auxiliamos com os conhecimentos anteriores utilizados para a leccionação. Recorrendo ao tabuleiro, verificamos que para a obtenção da soma de termos consecutivos primeiro devemos localizar o primeiro termo de seguida o termo que pretendemos achar e finalmente a metade do número de termos que pretendemos somar. Por exemplo, na primeira linha quando pretendíamos achar a soma dos primeiros dois termos, primeiro localizamos o primeiro e segundo termo da primeira linha, isto é
a
1
1
e
a
2
5
de seguida fazíamos a soma
de fitas começando a adicionar 5 fitas após a primeira tendo um total de 6 fitas, de seguida achamos a metade do numero da soma que pretendemos, neste caso queríamos a soma dos primeiros dois termos tendo como metade uma fita. Dai concluímos que o total das fitas tinham que se repetir de acordo com a metade das fitas, pois neste caso como a metade é 1, então teremos o resultado 6. Fig 8.A Extracção da Soma dos Termos Consecutivos na Primeira Linha
Fonte: O autor, 2017
3.3. Apresentação dos Resultados do Pós-teste O pós-teste foi submetido aos mesmos alunos, que decorreu no dia 10 de Abril, sendo constituído por uma pergunta com quatro (4) alíneas, teve a duração de 60 minutos. As questões se parecem com as do pré-teste, mas de forma geral o pós-teste objectiva a perceber quanto foi a
39
relevância da administração da aula através do tabuleiro tecelado, abaixo segue a tabela de frequência das notas obtidas. Tabela 5: Estatística das Notas no pós-teste Notas
Frequência
Percent
Percent. Acumulada
8.00
7
13.7
13.7
9.00
15
29.4
43.1
10.00
8
15.7
58.8
11.00
7
13.7
72.5
12.00
4
7.8
80.4
13.00
3
5.9
86.3
14.00
3
5.9
92.2
16.00
1
2.0
94.1
17.00
3
5.9
100.0
Total
51
100.0
Fonte: os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
Com base na tabela, podemos verificar que no pós-teste 14% dos participantes tiveram a nota mínima de oito (8) valores, e 6% dos participantes tiveram a nota máxima de dezassete (17) valores. A percentagem total das negativas foi de 43 e os restantes 57% tiveram notas positivas. A tabela abaixo ilustra a classificação categórica de cada alínea de acordo o proveito dos alunos após a leccionação com o tabuleiro tecelado. Tabela 6: Frequência de Notas no Pós-teste
Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
Na alínea a) 49 alunos que correspondem uma percentagem de 96 acertaram a questão, 2 alunos que correspondem uma percentagem de 4 erraram e nenhum aluno teve resposta incompleta.
40
Na alínea b) 31 alunos que correspondem uma percentagem de 61 acertaram a questão, 20 alunos que correspondem uma percentagem de 39 erraram e nenhum aluno teve resposta incompleta. Na alínea c) 26 alunos que correspondem uma percentagem de 51 acertaram a questão, 21 alunos que correspondem uma percentagem de 41 erraram e 4 alunos que correspondem uma percentagem de 3 tiveram resposta incompleta. Na alínea d) 25 alunos que correspondem uma percentagem de 49 acertaram a questão, 23 alunos que correspondem uma percentagem de 46 erraram e 3 alunos que correspondem uma percentagem de 6 tiveram respostas incompletas.
3.4. Análise e Discussão do Pós-teste Para a análise e interpretação (discussão) do pós-teste, fizemos como a do pré-teste que se baseou em números de questões acertadas, erradas e incompletas. No pós-teste tinha a seguinte afirmação de partida: 1.Seja dado o tabuleiro, considere a sétima linha como a principal, e responda as perguntas que se seguem:
a) Determine a Sequência dos Termos. A pergunta tinha como objectivo verificar o novo conhecimento que o aluno adquiriu a respeito do comportamento de uma sequência aritmética num tabuleiro tecelado, e saber até que ponto perceberam a respeito do conteúdo após a aula dada pelo pesquisador com o tabuleiro tecelado. Verificou-se nesta alínea, houve uma melhoria percentual de acertos embora tenha uma pequena quantidade de respostas erradas. Portanto a possível sequência da sétima linha seria: 7,11,15 onde
a
1
7,
a
2
11
e a
3
15
b) Qual é a Razão Desta Progressão Aritmética Teve como objectivo aperfeiçoar o conhecimento do aluno, tendo em vista a aula dada verificase que grande parte dos alunos acertaram, tendo uma percentagem acima da metade da amostra.Com a questão, o pesquisador pretendia verificar se os alunos conseguiam achar o número de fitas que vinham sempre após a anterior para alcançar a seguinte. Assim sendo, a razão era de 4, pois na sétima linha se passam quatro fitas partindo do primeiro termo.
41
c) Ache o Termo Geral Teve como objectivo estimar o conhecimento do aluno, tendo em vista a aula dada, verificou-se que o número de acertos em comparação com alunos que responderam errado, grande parte dos alunos acertou. Com o tabuleiro podemos verificar que temos as quatro fitas constantes designadas de razão que vai variando em função do número de temos ou fitas (n) que pretendemos alcançar. Vejamos por exemplo que se multiplicarmos a razão por 2 a fim de localizarmos o segundo termo, teremos 8 fitas resultantes. Sabendo que o primeiro termo é 7, pois é do nosso conhecimento que se adicionamos com a razão teremos o segundo termo. Portanto, do resultado anterior podemos verificar que com 8 fitas precisamos acrescentar 3 para a localização do segundo termo 11. Com isto concluímos que o termo geral da P.A em estudo é a
n
4n 3
d) Calcule a soma dos três primeiros termos A questão tinha como objectivo avaliar o raciocínio do aluno. Os resultados apontam que a percentagem de alunos que acertaram e dos que erraram tinha uma diferença de 3%,. Pois para a questão, a possível resposta seria alcançada obedecendo os seguintes passos: acharmos primeiro o terceiro termo
a
3
15
e sabemos que
de 22 fitas. Visto que temos
n
3,
a
1
7
, nos resta adicionar estes que resultarão num total
então temos que adicionar 3 vezes as 22 fitas que resultara
em 66 fitas e finalmente separamos o número total pela metade, tendo 33 fitas. Logo a soma dos primeiros três termos seria de 33. Abaixo segue o gráfico das classificações percentuais no pós-teste. Gráfico 2: Percentagem de Alunos nos Resultados do Pós-teste 120 100 80 Resposta certa 60
Resposta errada
40
Resposta incompleta
20 0 a
b
c
d
Fonte: os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
42
3.5. Alguns Aspectos Interessantes Verificados no Pós-teste Neste item iremos mostrar alguns aspectos que constituíram grande interesse para o pesquisador. Fig. 9. Ilustração de Pós-teste do aluno 1
Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
No caso do teste acima ilustrado, iremos comentar em torno da questão 1 nas alínea a e b. Na alínea “a’’ o aluno conseguiu, ver ificar com sucesso a sequência de uma P.A, isto nos garante que inicialmente ele tenha uma cautelosa observação sobre a linha 7. Na alínea “b’’ procurávamos saber qual seria a razão. Podemos verificar que embora ele tenha extraído a sequência da P.A na alínea anterior isto não garantiu para achar a razão da progressão, pois ele achou r
5.
Talvez tenha sido uma distracção da linha que se fazia o estudo ou se calhar ele
começou a contagem na própria grelha inicial. Com esta falha, aprendemos que nunca podemos nos distrair quando pretendemos extrair principalmente a sequência e a razão, pois estes dois é que podem influenciar positivamente ou negativamente nas próximas resoluções de questões ligadas a P.A Fig. 10. Ilustração de pós -teste do aluno 2
Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
Nesta situação, a resposta do aluno foi: “ na sétima linha temos a fita a subir e a descer, começando na casa 3 e 4 depois desce na casa 5 e 6, volta a subir na casa 7 e 8 logo desce na casa 9 e 10 assim sucessivamente desce duas vezes e também sobe duas vezes”.
O ponto de
43
partida do aluno é plausível, mas para o actual estudo as sequencias que ele da não ira nos ajudar porque a primeira linha passa por cima de duas e por baixo de duas, mas tornara difícil obter um único numero equivalente a posição de cada termo. Para a alínea b) o aluno conclui qu e “a razão é de 2”, pois para o nosso estudo a razão é de 4. A falha do aluno nesta resposta, foi o resultado ou consequência da resposta da alínea anterior. Fig. 11. Ilustração de pós -teste do aluno 3
Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
Nesta situação, a resposta do actual aluno em relação as questões, ele responde que: “ sobre a 7ª. Linha encontramos a sequência da fita na casa 3, 7, 11”. Para
este caso da para entender que o
aluno tinha esquecido a regra da extracção de termos, pois ele não se despistou da linha mas ele começou a extrair os termos partindo da posição 3, talvez percebeu que a numeração começava a partir da posição onde encontramos a primeira pintura sobre a linha. Durante as aulas o pesquisador chamou a atenção que na extracção de sequências devíamos localizar a linha e a contagem começaria na posição da coluna correspondente a linha; na alínea b) felizmente o aluno conseguiu achar a razão de 4, pois nos mostra que ele conseguiu verificar o número de fitas que distanciavam um termo do outro. De um modo geral, de acordo com a apreciação dos testes aqui expostos podemos verificar que as matérias se inter-relacionam e podemos verificar que o erro ou acerto de uma alínea pode influenciar de forma positiva ou negativa no resultado final.
3.6. Análise e Interpretação de Resultados do Pré e Pós-teste Com base nas respostas e resultados dos alunos, determinamos a media das notas e o desvio padrão equivalente do pré e pós teste, como ilustra a tabela abaixo. Tabela 7: Medidas Estatísticas e o erro padrão Testes
N
Media
Desvio Padrão
Erro med. Padrão
Pré Teste
51
8.5686
3.08062
0.43137
Pós Teste
51
10.6667
2.45493
0.34376
Fonte: Os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
44
Fazendo uma interpretação em relação as medidas estatísticas no pré e o pós-teste observou-se que a média aritmética do pré-teste é menos significativa em relação a do pós-teste, e as notas do pré-teste estão mais dispersas comparativamente com as do pós-teste. Podemos perceber que no pré e pós teste participaram 51 alunos da amostra, dos quais tiveram no pré teste uma média de 8,5686 com o desvio padrão de 3,08062 e as notas variavam em torno da média com um erro padrão de 0,43137; Enquanto no pós teste as notas tinham uma média de 10,6667 um desvio padrão de 2,45493 e uma variação das notas em torno da média com o erro padrão de 0,34376. Para a nossa decisão não bastou apenas verificar as médias, pois testou-se inicialmente a normalidade.
3.7. Teste de aderência a normalidade Aplicou-se o teste de Kolmogorov-Simirnov, para testar, se nos dois grupos, as notas seguem distribuição normal, com as seguintes hipóteses (Pestana & Gajeiro, 2003): H 0
: As notas do pré e pós teste seguem a distribuição normal;
H 1
: As notas do pré e pós teste não seguem a distribuição normal.
Abaixo segue a tabela da normalidede de Kolmogorov-Smirnov e Shapiro-Wilk que resume a análise das notas. Tests of Normality Kolmogorov-Smirnova
Notas
Shapiro-Wilk
Testes_Escritos
Statistic
Df
Sig.
Statistic
Df
Sig.
Pre-Teste
.229
51
.000
.868
51
.000
Pos-Teste
.195
51
.000
.852
51
.000
a. Lilliefors Significance Correction Com base nos resultados obtidos, verificou-se que o sig (P-value) de Kolmogorov e de Shapiro é menor que 0,05, facto este que nos levou a rejeição da hipótese nula fracassando a análise T, porque a distribuição t só é teoricamente adequada quando a distribuição é normal. Visto que as notas não seguem a distribuição normal, levou-nos a recorrer um novo teste Man-Whitney por não fazer tal exigência que pode ser aplicada como alternativa do teste de duas amostras para médias. De facto, a única hipótese é que o nível de mensuração seja numa escala contínua, e mesmo essa hipótese não é absolutamente rígida. Apesar do enfraquecimento das hipóteses, o teste de Mann-Whitney é quase tão forte quanto o de duas amostras para médias. O teste se baseia numa soma de Ranks (fileiras).
45
Abaixo segue a tabela do teste com as seguintes hipóteses: H 0
: As médias do pré e pós teste são iguais;
H 1
: As médias do pré e pós teste não são iguais.
Test Statisticsa
Notas Mann-Whitney U
727.500
Wilcoxon W
2053.500
Z
-3.907
Asymp. Sig. (2-tailed)
.000
a. Grouping Variable: Testes_Escritos
De acordo com a análise feita, verificou-se que o U de whitney correspondia a 727,500 e um sig igual a 0,000 que é menor que 0,05 nos levando desta maneira a rejeitar a
H 0
. Após a análise
feita por meio do sig, fizemos a segunda análise nos apoiando com a soma das fileiras ou Ranks.
Ranks
Testes_Escritos R1
Notas
: Pré -Teste
R2: Pós -Teste Total
N
Mean Rank
Sum of Ranks
51
40.26
2053.50
51
62.74
3199.50
102
Dispõem-se os dados em fileiras, como se todas as observações fizessem parte de uma única amostra.
Se
H 0
é verdadeira, os Ranks baixos e altos devem distribuir-se
equilibradamente entre as duas amostras;
Se
H 1
é verdadeira, uma amostra tenderá a ter mais Ranks baixos enquanto que
a outra tenderá a ter maior soma de Ranks. Uma forma de analisar essa tendência é focalizar a soma de Ranks de uma das amostras e compará-la com a soma esperada de fileiras, supondo iguais as médias. Pode-se testar qualquer dos dois conjuntos de Ranks. Todavia, é importante reconhecer que, se um conjunto de Ranks é mais alto do que se espera, o outro deve ser mais baixo que o esperado.
46
R2
R1
Então a soma dos Ranks do pós -teste foi verificada ser maior que a soma de Ranks do
Pré -teste se (isto é, maior que a soma esperada sob
). Isto equivale a dizer que a soma dos
H 0
Ranks do pré-teste é menor que a do Pós -teste (isto é, menor que a soma esperada sob
).
H 0
3.10. Apresentação e Análise dos Resultados do Questionário Após a análise e interpretação dos testes, neste item iremos mostrar o resultado dos dados colhidos no questionário. A primeira coluna da tabela abaixo representa a ordem das questões, na segunda coluna encontramos a questão correspondente a ordem, na terceira coluna vem as alternativas correspondentes a questão de seguida vem a quarta coluna da frequência absoluta dos alunos em relação a questão e a ultima coluna é correspondente a frequência relativa percentual. As perguntas do questionário, possuem questões gerais que estão ligadas a disciplina de matemática no modo geral e as questões específicas, que vão de acordo com o tema em estudo. Tabela 9. Dados colectados no questionário Ord.
1
2
3
4
5
Questão
Opção
Complicada Visto que és finalista, provavelmente te Simples de perceber experiencias na disciplina de matemáti Exige muita concentração pensas acerca da disciplina no teu Mais fácil estudantil? Trabalhos em grupo Como é que deviam ser ensinadas as Resolução de exercícios matemática? A partir de objectos trazidos do bairro Somente a explicação do professor
Frequência ab Frequência relativa p (Fr%) 11 40
22% 78%
6 30 15
12% 59% 29%
6
12%
45
88%
No ano passado na unidade 4, Um conteúdo interessante conteúdos ligados a função real de variáv Um conteúdo indispensável Que achas da progressão aritmética? Conteúdo que mais gosto aprender Um conteúdo muito difícil
15 5 25 6
29% 10% 49% 12%
Resolvo muitos exercícios de P.A O que fazes para melhorar o teu Leio vários livros acerca do conteúdo percepção no conteúdo da progressão ari Tenho recebido explicações com colegas Uso artefactos matemáticos (jogos ou object
10 30 6 5
20% 59% 12% 10%
51
100%
Que achas do tempo estabelecido pelo aulas de matemática?
Muito Muito de mais Pouco Pouco demais Normal
Sim 6
Desde que começaste a estudar a mate em alguma vez usaste o tabuleiro tecelad Não
47
7
8
Depois da aula anterior, anterior, que achas d Sim tabuleiro tecelado. Será que Ajud alguma maneira o professor de mat fazer perceber o conteúdo da pr Não aritmética?
45
88%
6
12%
Que recom recomenda endações ções das a respe respeito ito des des Deve ser incluso na escola 15 no processo de ensino e aprendizagem? Deve ser usada para o ensino da matemátic matemátic 6 Não serve para levar na sala de aula Deve ser explorado ainda mais 30
29% 12% 59%
Fonte: os alunos que fizeram parte da pesquisa, 2017
Todos alunos manifestavam o interesse pela disciplina de matemática, várias respostas foram dadas sob ponto de vista de cada aluno em subsídio das perguntas vivenciadas no pós-teste. A primeira questão, procurava saber “ o que os alunos pensam acerca da disciplina de matemática no percurso estudantil ”, portanto, relactiva a esta questão várias respostas foram
dadas sob ponto de vista de cada aluno em subsídio da pergunta. Verificou-se que 80% dos alunos afirmavam que ela apenas é uma disciplina como as outras da linhagem das ciências mas oque diferencia da matemática é que ela exige muita concentração. Os restantes 20% responderam que a disciplina é muito simples de perceber , portanto o nosso posicionamento de acordo com as respostas dadas, nos mostra que o boato da matemática como um bicho de 7 cabeças esta sendo desmitificado na mente dos alunos, isto é, aquilo que era ameaça, agora exige muita concentração para ser bem percebida. A segunda questão, precisávamos saber “ Como é que deviam ser ensinadas as aulas de matemát matemátii ca ”, em resposta, 10% dos alunos participantes diziam que as aulas podiam se baseiar
na resolução de exercícios, 60% responderam que as aulas deviam ser ensinadas a partir de objectos trazidos do bairro e 30% dos alunos responderam que as aulas deviam ser dadas baseando-se baseando-se na centralização de conhecimentos conhecimentos na parte do professor, isto é somente a explicação do professor. De acordo com as respostas dadas, podemos afirmar que todas são validas quando unidas, mas segundo a nova visão dos alunos, sugerimos que nas aulas de matemática devem ser incorporados objectos, jogos ou outros materiais que podem ser explorados para a explicação de certos conteúdos.
48
acham do do tempo tempo estabel estabeleci ecido do pelo pelo Na terceira terceira questão, estávamos a querer saber “ oque acham MI M I N E D H nas nas aula aulass de de matemática? ica? A A pergunta surge porque os estudantes são repetentes, se
calhar alguns puderam reprovar devido ao tempo. Felizmente, constatou-se que 90% dos alunos participantes responderam que o tempo estabelecido pelo MINEDH é normal, os restantes 10% respondiam que o tempo de leccionação é muito. Com estes dados afirmamos que o tempo é razoável para a leccionação da disciplina, visto que a cada dia da aula são consumidos 90minutos. Tendo em conta que no ano passado na unidade 4, os alunos estudaram conteúdos ligados a função real de variável natural, a quarta questão pretendíamos saber “ oque acham da progressão aritmética ” , onde surgiram muitas respostas a respeito, em que 30% dos estudantes acharam como um conteúdo interessante, 10% acharam a P.A como um conteúdo indispensável, 50% responderam que este é um conteúdo que mais gostam de aprender e 10% estudante respondeu que este é um conteúdo muito difícil. Embora seja um contudo difícil, interessante e indispensável, muitos responderam que este era o conteúdo que mais gostam de aprender, portanto o conteúdo passa também a ser interessante. Referente a quinta questão, pretendia-se pretendia- se saber “ oque os alunos tem feito para melhorar o modo de percepção no conteúdo da progressão aritmética ”, dos 50 questionados, cerca de 20% dos
alunos responderam que para melhorar o modo de percepção tem se dedicado na resolução de muitos exercícios de P.A, 60% responderam que têm lido vários livros que debruçam acerca do conteúdo, 10% responderam que tem recebido explicações com colegas e os restantes 10% responderam que tem usado artefactos matemáticos. Segundo o nível de percentagem máxima na questão, a maioria afirmaram que tem lido vários livros que falam acerca da P.A, portanto não estaríamos a limitar ao estudante em apenas limitar-se num único modo, mas sim ser polivalente com o principal objectivo perceber o conteúdo. Na sexta questão que estava relacionada com a ultima aula leccionada, pretendia-se saber se esde que que começar começaram am a estudar estudar a mate matemá mátitica, ca, j á em em alg alguma uma vez vez usavam o tab tabul ulei eirr o “D esde tecelado”. Verificou-se Verificou-se que todos 50 alunos reponderam r eponderam não; oque quer dizer
o material era novo para leccionação das aulas, apenas conseguiam relacionar os padrões do entrelaçamentos de fitas. Embora tenha sido um novo material, os alunos conseguiram se adaptar na relação existente entre o conteúdo com o material. Visto que a última aula foi leccionada com o material, provavelmente os alunos já conseguiam verificar sequências de P.A. Com este novo conhecimento, pretendíamos saber dos alunos, oque
49
Ser á que que acham do uso do tabuleiro tecelado na turma. Portanto o foco da questão sete era: “ Ser Ajud A juda ar iam de de algum alguma a ma maneir neir a o profe profess sso or de ma matemática a faze fazer perceb rceber o cont conte eúdo údo da da progres progressã são o ari tméti ca? ca? ”. ”. Verificou-se que 90% dos alunos responderam Sim e 10%
responderam não. Isto nos prova que com o material na posse dos professores, os alunos já terão uma nova visão, se calhar a mais simples de perceber o conteúdo. A última questão pretendíamos saber dos alunos, “ Que Que recom recomendaçõe endaçõess dão a respe respeii to deste deste objecto no processo de ensino e aprendizagem”. Várias respostas foram dadas de acordo com o
ponto de vista de cada um, sendo que num total de 50 alunos, 30% responderam que o material deve ser incluso na escola, 10% responderam que deve ser usado para o ensino da matemática e os restantes 60% responderam que o tabuleiro tecelado deve ser explorado ainda mais. Com estas respostas, o nosso posicionamento vai para as respostas com maior número de estudantes, portanto de uma forma geral, nesta questão os alunos recomendam que o tabuleiro tecelado deve ser explorado ainda mais porque podem ser descobertos outros conteúdos matemáticos diferentes da P.A escondidos nos entrelaçamentos. Fazendo análise em torno do questionário, é de concluir que o questionário teve como objectivo intensivo de buscar informações relacionando-as com a prática docente em sala de aula, com vista de saber se o professor durante as aulas abordadas, faz a menção dos conteúdos leccionados com envolvimento das descobertas que podem ser praticadas pelos alunos, como forma de envolver melhor o aluno nas aulas planejadas com um material palpável. De acordo com as respostas dadas, mostram que o professor durante a aula, não traz exemplos que podem levar o aluno ao incentivo da aprendizagem, fazendo com que os alunos fiquem fechados e sem saber relacionar uma aula com a objectos localizados no nosso quotidiano.
50
CAPITULO IV CONCLUSÃO A presente pesquisa vem para incentivar com base no estudo, a noção que a sociedade estudantil tem em relação a disciplina de Matemática. É um fenómeno bem conhecido que muitos consideram a matemática como uma disciplina que não é notória na vida real, mas sim apenas que se apega em cálculos e tem mais assento nos aspectos abstractos. Na óptica de D’Ambrosio, “a abordagem Etnomatemática vai além do subsídio metodológico para o ensino da Matemática no contexto escolar”. Não se trata, apenas, da melhoria do Processo Ensino-Aprendizagem da Matemática, mas de desafiar e contestar o domínio de saberes e a valorização desse domínio por alguns, sob pena de destruir outros de seus próprios valores, então é necessário que resgatemos todas culturas possíveis para o ensino da matemática. Durante as análises dos dados colectados, aplicou-se o teste não paramétrico de Man-Whitney testadas com as hipóteses: H 0
: As médias do pré e pós teste são iguais;
H 1
: As médias do pré e pós teste não são iguais.
Se
H 0
é verdadeira, os Ranks baixos e altos devem distribuir-se
equilibradamente entre as duas amostras;
Se
H 1
é verdadeira, uma amostra tenderá a ter mais Ranks baixos enquanto que
a outra tenderá a ter maior soma de Ranks. Uma forma de analisar essa tendência, focalizamo-nos na soma de Ranks de uma das amostras e comparamos com a soma esperada de fileiras e verificou-se que, um conjunto de Ranks do pós teste é mais alto do que se espera e o Ranks do Pré-teste foi mais baixo que o esperado. Após as analises feitas com o nível de significância de 5% podemos notar que o sig achado foi de 0,00 , favorecendo deste a rejeição da hipótese nula e chegando a conclusão de que o pós-teste teve maior media. Portanto o tabuleiro tecelado é um meio didáctico que pode sem duvida alguma dar uma contribuição plausível para introduzir-se a aula referente a progressão aritmética e, servir como um meio didáctico que venha auxiliar mais a percepção deste conteúdo e também é um objecto que segundo pesquisas pode ser usado para introduzir diversos conceitos matemáticos além da progressão aritmética.
51
Sugestões Após a conclusão feita, sugere-se para os responsáveis da criação do sistema curricular escolar e os professores a:
Trabalharem com um olhar sobre os interesses da sociedade, em particular dos valores culturais;
Pensarem de forma reflexiva com vista a levar a cabo acções reveladoras, através da promoção das práticas culturais, de modo que o processo de ensino e aprendizagem ocorra em paralelo com as culturas locais;
Elaborarem os currículos escolares que colocarão novos desafios sociais aos alunos, exigindo uma nova forma de estar e de agir na comunidade, com uma maior disponibilidade e prontidão na resposta das preocupações socioculturais.
Limitações
Falta de fontes bibliográficas que abordam acerca do tabuleiro tecelado como objecto didáctico para o ensino da matemática;
Não conseguir descobrir sequências com razão diferente de 4;
Não poder incluir todos alunos, porque a pesquisa aconteceu no primeiro trimestre.
52
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APÊNDICES
Caro aluno(a), este pré-teste tem por objectivo levantar informações referentes a P instrumento de colecta de dados, faz parte de um projecto de pesquisa de Licenciat Ensino da Matemática, sendo por isso a identidade dos sujeitos participantes preservada Desde já agradecemos muitíssimo obrigado pela sua compreensão e participação. Responda com clareza as questões que se seguem, não ignore os passos por ti estudados
1. Um estudante em pleno passeio numa viatura, ia anotando o número de casa que verificava sobre o lado direito da estrada tendo o seguinte registo:
Casa 1 com o número 4,
Casa 2 com número 7,
Casa 3 com o número 10,
Quando estava em direcção a casa 4 passou uma outra viatura que perturbou o registo da casa 4, tendo apenas visto a casa 5 com o número 16. a) Ajude o estudante a determinar o número da casa 4 e reescreva a sequência. (5V) b) Qual é a razão desta progressão Aritmética? (5V) c) Ache o termo geral. (5V) d) Calcule a soma dos oito primeiros termos. (5V)
Muito obrigado pela gentileza Quem pensa pouco, era muito…
Boa sorte;
Caro aluno(a), este pos-teste tem por objectivo levantar informações referentes a P. tabuleiro tecelado Este instrumento de colecta de dados, faz parte de um projecto de p de Licenciatura em Ensino da Matemática, sendo por isso a identidade dos participantes preservada. Desde já agradecemos muitíssimo obrigado pela sua compreensão e participação. Responda com clareza as questões que se seguem, não ignore os passos por ti estudados
1. Após a aula anterior com o tabuleiro tecelado, esperamos que já tens uma outra visão em torno da Progressão Aritmética. Seja dado o tabuleiro, faca o estudo do comportamento da fita situada na sétima linha
a) Determine a sequência dos termos. (5V) b) Qual será a razão? (5V) c) Ache o termo geral. (5V) d) Determine a soma dos 3 termos. (5V)
Muito obrigado pela gentileza Obrigado pela compreensão e contribuição
Formulário do questionário dirigido aos alunos Caro aluno(a), este questionário tem por objectivo levantar informações referentes ao tabuleiro tecelado como alternativa didáctica para a percepção da Progressão ari tméti instrumento de colecta de dados, faz parte de um projecto de pesquisa de Licencia E nsino da Matemática, sendo por isso a identidade dos sujeitos participantes preservad Desde já agradecemos muitíssimo obrigado pela sua compreensão e participação.
Data: _____/______/2017. Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) 1. Visto que és finalista, provavelmente tens muitas experiencia na disciplina de matemática. Oque pensas acerca da disciplina no teu percurso estudantil? Complicada Simples de perceber Exige muita concentração Mais fácil 2. Como é que deviam ser ensinas as aulas de matemática? Trabalhos em grupos Resolução de exercícios A partir de objectos trazidos do bairro Somente a explicação do professor 3. Que achas do tempo estabelecido pelo MINED nas aulas de matemática? Muito Muito demais Pouco Pouco demais Normal
4. No ano passado na unidade 4 estudaste conteúdos ligados a função real de variável natural. Que achas da progressão aritmética? Um conteúdo interessante Um conteúdo indispensável para a vida Conteúdo que mais gosto aprender Um conteúdo muito difícil 5. Oque fazes para melhorar o teu modo de percepção no conteúdo da progressão aritmética? Resolvo muitos exercícios de P.A Leio vários livros acerca do conteúdo Tenho recebido explicações de alguns colegas Uso artefactos matemáticos (Jogos ou objectos) 6. Desde que começaste a estudar a matemática, já em alguma vez usaste o tabuleiro tecelado? Sim Não 7. Depois da aula anterior, que achas do uso do tabuleiro tecelado. Será que Ajudariam de alguma maneira o professor de matemática a fazer perceber o conteúdo da progressão aritmética? Sim Não 8. Que recomendações das a respeito deste objecto no processo de ensino e aprendizagem? Deve ser incluso na escola Deve ser usado para ensino da matemática
Não serve para levar na sala de aulas Deve ser explorado ainda mais
Muito obrigado pela gentileza Obrigado pela compreensão e contribuição
Tabela de numeros aleatorios entre 1 a 51- ESG 25 de Setembro-Quelimane 47
31
44
33
5
23
23
42
20
37
16
26
4
32
23
8
19
40
9
25
12
19
48
41
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11
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5
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15
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11
10
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49
23
27
21
13
9
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49
8
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4
31
18
18
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9
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1
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23
27
8
44
25
31
4
39
16
35
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28
6
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9
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4
3
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11
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28
16
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8
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9
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46
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36
14
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6
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6
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27
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45
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32
21
37
50
29
41
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16
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26
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9
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5
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5
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17
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7
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34
43
27
7
39
21
27
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10
13
9
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1
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2
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10
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21
25
35
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50
37
15
19
15
25
8
21
4
3
17
3
2
47
28
ANEXOS
Imagem 1. Alunos se concentrando para o primeiro encontro de selecção da amostra
Imagem 2. Alunos tentando descobrir sequência na presença do pesquisador
Imagem 3. Alunos fazendo entrelaçamentos de fitas obedecendo uma P.A
