Modulo actualizado Métodos probabilísticos-2012

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 104561 –MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS

104561 – MÉTODOS PROBABILÍSTICOS VLADIMIR DE JESÚS VANEGAS ANGULO (Director Nacional)

WILLIAM MOSQUERA (Acreditador)

Santa Marta 13 de enero de 2012

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por William Ortegón docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de Ibagué el Autor es Ingeniero industrial especialista en logística de producción y distribución. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde Enero de 2008 hasta la fecha y ha sido catedrático de Universidades de Ibagué. El presente módulo ha tenido 2 actualizaciones la primera realizada por la doctora Gloria Guzmán y la segunda por el ingeniero William Ortegón El material ha sido revisado por el ingeniero William Mosquera y aportado para la calidad del mismo.

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INTRODUCCIÓN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y EL USO DE MODELOS Un poco de Historia Se inicia desde la revolución industrial, en los libros se dice que fue a partir de la segunda Guerra Mundial. La investigación de operaciones se aplica a casi todos los problemas. En 1947, en E.U., George Datzing encuentra el método SIMPLEX para el problema de programación lineal. En la investigación de operaciones, las computadoras son la herramienta fundamental en la investigación de operaciones. Definición Investigación de operaciones, es la aplicación del método científico por un grupo multidisciplinario de personas a un problema, principalmente relacionado con la distribución eficaz de recursos limitados (dinero, materia prima, mano de obra, energía ), que apoyados con el enfoque de sistemas (este enfoque, es aquel en el que un grupo de personas con distintas áreas de conocimiento, discuten sobre la manera de resolver un problema en grupo.). Puede considerarse tanto un arte como una ciencia. Como arte refleja los conceptos eficiente y limitado de un modelo matemático definido para una situación dada. Como ciencia comprende la deducción de métodos de cálculo para resolver los modelos. Pasos del Método científico en IO 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Delimitación del problema Modelación del problema Resolución del modelo Verificación con la realidad Implantación Conclusiones

TIPOS DE MODELOS Y SU SIGNIFICADO Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. El objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que, mediante letras, números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones.

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Modelos Matemáticos Un modelo es producto de una abstracción de un sistema real: eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo.

Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos: 1. Variables de decisión y parámetros Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar. 2. Restricciones Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativa. 3. Función Objetivo La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión. La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables x1, x2,..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2,..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2,..., xn) b. Donde x1, x2,..., xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática.

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Clasificación de Modelos Muchos problemas de decisión implican un gran número de factores o variables importantes o pueden tener muchas opciones a considerar por lo que se hace necesario la utilización de computadoras para su solución. Por ejemplo una empresa puede contar con varias fábricas donde produce bienes para enviar a cientos de clientes. Decidir la programación de las fábricas y determinar cuáles de ellas deben atender a cuales clientes, para minimizar costos, implica cientos de variables y restricciones que pueden tener millones de posibles soluciones. Los modelos de programación lineal y programación entera son las técnicas más utilizadas para resolver problemas grandes y complejos de negocios de este tipo. En ellos se aplican técnicas matemáticas para hallar el valor máximo (o el mínimo) de un objetivo sujeto a un conjunto de restricciones. La simulación es una técnica para crear modelos de sistemas grandes y complejos que incluyen incertidumbre. Se diseña un modelo para repetir el comportamiento del sistema. Este tipo de modelo se basa en la división del sistema en módulos básicos o elementales que se enlazan entre sí mediante relaciones lógicas bien definidas. El desarrollo de un modelo de simulación es muy costoso en tiempo y recursos. Problemas dinámicos los problemas dinámicos de decisión implican un tipo particular de complejidad cuando hay una secuencia de decisiones interrelacionadas a través de varios períodos. Por ejemplo modelos de inventario, para determinar cuándo pedir mercadería y cuanto debe mantenerse en existencia; los modelos PERT o de ruta Critica para la programación de proyectos y los modelos de colas para problemas que involucran congestión. En los problemas complejos pueden aparecer variables exógenas o variables externas, importantes para el problema de decisión, pero que están condicionadas por factores que están fuera del control de la persona que decide, tales como condiciones económicas, acciones de los competidores, precios de las materias primas y otros factores similares. Las restricciones pueden considerar ciertas políticas definidas por la empresa tales como que los materiales tienen que adquirirse a determinados proveedores o que deben mantenerse ciertos niveles de calidad.

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La investigación de operaciones, tiene métodos de optimización aplicables a los siguientes tipos de problemas: 1. METODOS DETERMINISTICOS: Ej., Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, programación no lineal, teoría de localización o redes, probabilidad de asignación, programación por metas, teoría de inventarios, etc. 2. METODOS PROBABILISTICOS: Ej. Cadenas de Markov, teoría de juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc. 3. METODOS HIBRIDOS: Tienen que ver con los métodos deterministicos y probabilísticos como la teoría de inventarios. 4. METODOS HEURISTICOS: Son las soluciones basadas en la experiencia, como la programación heurística. Un Analista de investigación de Operaciones debe elegir el plan de acción más efectivo para lograr las metas de la organización, debe seleccionar un conjunto de medidas de desempeño, utilizar una unidad monetaria y tomar decisiones, debe seguir un proceso general de solución, en cualquier situación, durante la toma de decisiones. Deben establecerse los criterios de tomas de decisiones (Costos, Cantidades, Máximos, Mínimos etc.), seleccionar las alternativas, determinar un modelo y evaluarlo, integrar la información cuantitativa obtenida para luego decidir. Muchas veces hay que incorporar factores cualitativos tales como el ánimo y el liderazgo en la organización, problemas de empleo, contaminación u otras de responsabilidad social.

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Nota: el proceso de abstracción (idealización restricción y simplificación) siempre introduce algún grado de error en las soluciones obtenidas, por lo que el ejecutivo no debe volverse incondicional de un modelo cuantitativo y adoptar automáticamente sus conclusiones como la decisión correcta. La cuantificación es una ayuda para el juicio empresarial y no un sustituto de este. Los modelos planteados se conocen como modelos deterministicos. En contraste, en algunos casos, quizá no se conozcan con certeza los datos, más bien se determinan a través de distribuciones de probabilidad, se da cabida a la naturaleza probabilística de los fenómenos naturales. Esto da origen a los así llamados modelos probabilísticos o estocásticos. Las dificultades evidentes en los cálculos de los modelos matemáticos han obligado a los analistas a buscar otros métodos de cálculo que aunque no garantizan la optimalidad de la solución final, buscan una buena solución al problema. Tales métodos se denominan heurísticos. Suelen emplearse con dos fines: En el contexto de un algoritmo de optimización exacto, con el fin de aumentar la velocidad del proceso. En segundo lugar para obtener una solución al problema aunque no óptima, la que puede ser muy difícil encontrar.

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INDICE DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................

UNIDAD UNO: TÉCNICAS DE PRONÓSTICO, TEORÍA DE INVENTARIOS ............................................8 CAPITULO 1: TÉCNICAS DE PRONÓSTICO ..................................................................................12 Lección 1: Conceptos generales................................................................................................ 13 Lección 2: Modelo de regresión lineal ..............................................................................................14 Lección 3: Modelo de promedio móvil..............................................................................................18 Lección 4: suavización exponencial………………………………………………………………………………………………20 Lección 5: error del pronóstico……………………………………………………………………………………………………..22 Practica 1: Regresión lineal…………………………………………………………………………………………………………..26 CAPITULO 2: TEORÍA DE INVENTARIOS…………………………………………………………………………

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Lección 6: conceptos generales…………………………………………………………………………………………………… 33 Lección 7: Modelo de inventarios EOQ………………………………………………………………………………………..36 Lección 8: Modelo de inventario EOQ con descuento………………………………………………………………….41 Lección 9: Modelos de lote de producción y el sistema de clasificación ABC…………………………….. 46 Lección 10: Modelo estocástico de Inventarios………………………………………………………………………….. 52 Fuentes documentales unidad I

UNIDAD DOS: CADENAS DE MARKOV,TEORÍA DE COLAS Y PROGRAMACIÓN NO LINEAL .............60 CAPITULO 3: CADENAS DE MARKOV .........................................................................................62 Lección 11: Conceptos generales.............................................................................................. 62 Lección 12: descripción de una cadena de Markov ..........................................................................63 Lección 13: Cálculo de las probabilidades de transición ...................................................................64 Lección 14: Probabilidades de estados estable……….…………………………………………………………………… 68 Lección 15: aplicaciones……………………………………………………………………………………………………………….70 Practica 2: Cadenas de Markov………………………………………………………………………………………………….. 74 CAPITULO 4: TEORÍA DE COLAS …………………………………………………………………………………........80 Lección 16: conceptos generales………………………………………………………………………………………………… 81 Lección 17: Antecedentes.……………………………………………………………………………………………………………83 8


Lección 18: Características de un sistema de colas……………………………………………………………………….84 Lección 19: Medidas de rendimiento …………………………………………………………………………………………..87 Lección 20: Análisis de costos……………………….……………………………………………………………………………..90 CAPITULO 5: PROGRAMACIÓN NO INEAL……………………………………………………………………......... 95 Lección 21: conceptos generales..……………………………………………………………………………………………… 95 Lección 22: Programación cuadrática..…………………………………………………………………………………………96 Lección 23: Multiplicadores de LaGrange-Condiciones Kunh-Tucker……..…………………………………….96 Lección 24: Técnica del gradiente…… ………………………………………………………………………………………….98 Lección 25: Método de Newton-Raphson…….……………………………………………………………………………..99 Fuentes documentales unidad II………………………………………………………………………………………………..101

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UNIDAD 1

Nombre de la Unidad

TÉCNICAS DE PRONÓSTICO, TEORÍA DE INVENTARIOS En la toma de decisiones tratamos con el diseño de planes futuros. De esta forma los datos que describen la situación de decisión deben ser representativos de lo que ocurra en el futuro. Por ejemplo, en control de inventarios basamos nuestras decisiones en la naturaleza de la demanda del artículo controlado durante un horizonte de planeación específico. Asimismo, en planeación financiera, necesitamos predecir el patrón del flujo de efectivo en el tiempo. Este capítulo presenta tres técnicas para pronosticar cambios futuros en el nivel de una variable deseada como función del tiempo:

1. Regresión lineal Introducción

2. Promedio móvil 3. Suavización exponencial La necesidad de proyecciones de la demanda es un requerimiento general a lo largo del proceso de planeación y control. Sin embargo, también podrían necesitarse ciertos tipos de problemas de planeación, como control de inventarios, compras económicas y control de costos, pronósticos de los tiempos de espera, precios y costos. Las técnicas de pronósticos son igualmente aplicables. El pronóstico de los niveles de demanda es vital para la firma como un todo, ya que proporciona los datos de entrada para la planeación y control de todas las áreas funcionales, incluyendo logística, marketing, producción y finanzas. Los niveles de demanda y su programación afectan en gran medida los niveles de capacidad, las necesidades financieras y la estructura general del negocio. Cada área funcional tiene sus propios problemas especiales de pronóstico. El éxito de un negocio depende a menudo de la habilidad para pronosticar, es decir hacer predicciones sobre el futuro. Estas 10


predicciones se usan para tomar dos amplios tipos de decisiones: decisiones operativas en curso y decisiones estratégicas a largo plazo. • Las decisiones operativas en curso, son la asignación de pocos recursos, la compra de materias primas, la determinación de horarios de trabajo, etc., • Las predicciones estratégicas a largo plazo también dependen de predicciones exactas. De esta forma el pronóstico es la estimación de las actividades futuras; se basa en el uso de datos anteriores de una variable para producir su desempeño futuro, solo son aplicables para predecir la demanda de artículos para los que se dispone de una cantidad sustancial de información anterior y no para productos nuevos.

Las técnicas de pronósticos disminuyen la incertidumbre sobre el futuro, permitiendo estructurar planes y acciones congruentes con los objetivos de la organización y permiten también tomar acciones correctivas apropiadas y a tiempo cuando ocurren situaciones fuera de lo pronosticado. Pronosticar vs. Planear Pronóstico. Estimación anticipada del valor de una variable, por ejemplo: la demanda de un producto.

Justificación

Presupuesto. Valor anticipado de la variable que una compañía está en posibilidad de concretizar, por ejemplo: la cantidad de producto que la compañía decide fabricar en función de la demanda y de la capacidad instalada. El conocimiento de las técnicas de pronósticos es de poco valor a menos que puedan aplicarse efectivamente en el proceso de planeación de la organización. Características de los Pronósticos Primera. Todas las situaciones en que se requiere un pronóstico, tratan con el futuro y el tiempo está directamente involucrado. Así, debe pronosticarse para un punto específico en el tiempo y el cambio de ese punto generalmente altera el pronóstico. Segunda. Otro elemento siempre presente en situaciones de pronósticos es la incertidumbre. Si el administrador tuviera certeza sobre las circunstancias que existirán en un tiempo dado, la preparación de un pronóstico seria trivial. Tercera. El tercer elemento, presente en grado variable en todas las situaciones descritas es la confianza de la persona que hace el 11


pronóstico sobre la información contenida en datos históricos. La administración de inventario es primordial dentro de un proceso de producción ya que existen diversos procedimientos que nos va a garantizar como empresa, lograr la satisfacción para llegar a obtener un nivel óptimo de producción. Dicha política consiste en el conjunto de reglas y procedimientos que aseguran la continuidad de la producción de una empresa, permitiendo una seguridad razonable en cuanto a la escasez de materia prima e impidiendo el acceso de inventario, con el objeto de mejorar la tasa de rendimiento. Su éxito va estar enmarcado dentro de la política de la administración de inventario: 1. Establecer relaciones exactas entre las necesidades probables y los abastecimientos de los diferentes productos. 2. Definir categorías para los inventarios y clasificar cada mercancía en la categoría adecuada. 3. Mantener los costos de abastecimiento al más bajo nivel posible. 4. Mantener un nivel adecuado de inventario. 5. Satisfacer rápidamente la demanda. 6. Recurrir a la informática. Algunas empresas consideran que no deberían mantener ningún tipo de inventario porque mientras los productos se encuentran en almacenamiento no generan rendimiento y deben ser financiados. Sin embargo es necesario mantener algún tipo de inventario porque: 1. La demanda no se puede pronosticar con certeza. 2. Se requiere de un cierto tiempo para convertir un producto de tal manera que se pueda vender. Además de que los inventarios excesivos son costosos también son los inventarios insuficientes, por que los clientes podrían dirigirse a los competidores si los productos no están disponibles cuando los demandan y de esta manera se pierde el negocio. La administración de inventario requiere de una coordinación entre los departamentos de ventas, compras, producción y finanzas; una falta de coordinación nos podría llevar al fracaso financiero. En conclusión la meta de la administración de inventario es proporcionar los inventarios necesarios para sostener las operaciones en el más bajo costo posible. En tal sentido el primer paso que debe seguirse para determinar el nivel óptimo

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De inventario son, los costos que intervienen en su compra y su mantenimiento, y que posteriormente, en qué punto se podrían minimizar estos costos.

intencionalidades Formativas

Denominación de capítulos

 Desarrollar una técnica de decisión que comprenda teoría matemática, si es necesario, y que conduzca a un valor óptimo basado en los objetivos del tomador de decisiones.  Permitir que los estudiantes resuelvan problemas del campo de la ciencia, la tecnología e ingeniería, con los conocimientos interiorizados del curso académico en mención.  Fomentar en el estudiante características que deben identificarlo en su desempeño y actuación profesional de la Ingeniería. Capitulo 1 Técnicas de pronóstico Capitulo 2 Teoría de inventarios

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CAPITULO UNO: TÉCNICAS DE PRONÓSTICO Introducción En la toma de decisiones tratamos con el diseño de planes futuros. De esta forma los datos que describen la situación de decisión deben ser representativos de lo que ocurra en el futuro. Por ejemplo, en control de inventarios basamos nuestras decisiones en la naturaleza de la demanda del artículo controlado durante un horizonte de planeación específico. Asimismo, en planeación financiera, necesitamos predecir el patrón del flujo de efectivo en el tiempo. Este capítulo presenta tres técnicas para pronosticar cambios futuros en el nivel de una variable deseada como función del tiempo: 1. Regresión lineal 2. Promedio móvil 3. Suavización exponencial La necesidad de proyecciones de la demanda es un requerimiento general a lo largo del proceso de planeación y control. Sin embargo, también podrían necesitarse ciertos tipos de problemas de planeación, como control de inventarios, compras económicas y control de costos, pronósticos de los tiempos de espera, precios y costos. Las técnicas de pronósticos son igualmente aplicables. El pronóstico de los niveles de demanda es vital para la firma como un todo, ya que proporciona los datos de entrada para la planeación y control de todas las áreas funcionales, incluyendo logística, marketing, producción y finanzas. Los niveles de demanda y su programación afectan en gran medida los niveles de capacidad, las necesidades financieras y la estructura general del negocio. Cada área funcional tiene sus propios problemas especiales de pronóstico. El éxito de un negocio depende a menudo de la habilidad para pronosticar, es decir hacer predicciones sobre el futuro. Estas predicciones se usan para tomar dos amplios tipos de decisiones: decisiones operativas en curso y decisiones estratégicas a largo plazo. • Las decisiones operativas en curso, son la asignación de pocos recursos, la compra de materias primas, la determinación de horarios de trabajo, etc., • Las predicciones estratégicas a largo plazo también dependen de predicciones exactas. De esta forma el pronóstico es la estimación de las actividades futuras; se basa en el uso de datos anteriores de una variable para producir su desempeño futuro, solo son aplicables para predecir la demanda de artículos para los que se dispone de una cantidad sustancial de información anterior y no para productos nuevos.

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Lección 1: PRONÓSTICOS La definición de pronóstico es simple, sin embargo encierra muchas situaciones que intervienen en su resultado o bien en la consecución del mismo. "Un pronóstico es un inicio o una señal por donde se puede saber una cosa futura mediante indicios"1 El pronóstico desempeña un papel muy significativo en la planeación de materiales, se pueden encontrar pronósticos de abastecimiento, de condiciones, comerciales, de tecnología, precios, etc. Y en cualquiera de estos rótulos el pronóstico es necesario para la toma de decisiones. Aunque es muy cotidiano que hoy en día el manejo de pronósticos en las pequeñas y medianas empresas, existen situaciones que tienen que ver con la planeación de las necesidades futuras. La problemática primordial es la poca confianza del uso de la técnica pronóstico. En el sector automotriz las insuficiencias de compra de materiales y producción provienen de pronósticos ventas, ya que es responsabilidad la misma área de ventas o mercadeo de los productos, sin embargo cuando los ordenadores de compra de materiales tienden en compras excesivas o deficientes siempre son acusados, cuando verdaderamente el generador de esos pronósticos es ventas. Autores experimentados manifiestan que: "Si la demanda es inferior al pronóstico, el proveedor puede sospechar que el pronóstico original era un intento por obtener un precio favorable o alguna otra concesión. Si la demanda excede el pronóstico, los costos del proveedor pueden aumentar debido a la urgencia, las compras de emergencia, y cambios en los programas de producción."2 De tal manera los proveedores hacen parte de ese conjunto de incertidumbre que presenta el pronóstico, por ello es prescindible que los ordenadores de los materiales ayuden a estrechar los contactos con los diferentes proveedores y que generen un ambiente empresarial fomentando flexibilidad y cooperación al momento de sus 1

Enciclopedia Sopena, Editorial Ramon Sopena, S.A. Provenza 95, Barcelona pág. 952

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Arbones Malisani, Logistica Empresarial. Editorial Alfaomega

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requerimientos También es cierto que no se deben descartar que de manera regular las actualizaciones y se ajusten a los pronósticos. En el día a día se encuentran una diversidad de técnicas para el planteamiento de pronósticos y se estas se van desarrollando de manera exponencial, estas técnicas pueden ser cuantitativas y cualitativas y se pueden emplear separadas o en conjunto. El sector automotriz la técnica más usada de pronósticos es la cuantitativa ya que esta se sustenta en la toma de datos del pasado para hacer las proyecciones o predicciones del futuro, algunas técnicas cuantitativas hacen hincapié en identificar indicadores que sean sobresalientes mediante los cuales se puedan crear modelos lineales o de regresión múltiple. Algunas de las técnicas de pronóstico cuantitativas que en la actualidad se utilizan, se desarrollaron durante el siglo XIX; un ejemplo de ello el análisis de regresión y las técnicas de series de tiempo. Con la implementación de técnicas de pronóstico más complejas, junto con la generalización del uso de las computadoras, los pronósticos acentuaron la atención durante los últimos años, y cualquier persona es capaz de operar datos a partir de un software en una computadora de bolsillo y obtener pronósticos. Quienes han desarrollado los modelos cuantitativos clasifican a algunos de los pronósticos cuantitativos como repetitivos, es decir, que los valores que se pronostican continúan un proceder repetitivo a través del tiempo, la labor de los quienes analizan este tipo de pronósticos es el identificar ese comportamiento y desarrollar el pronóstico, por consiguiente el desarrollar dicho pronóstico hace necesario tener en cuenta algunos factores como el valor constante, tendencia, variaciones estaciónales, variaciones cíclicas, variaciones aleatorias y puntos de modulación. Referente a los pronósticos cualitativos, se consideran más comunes en las empresas de servicios ya que se basan en la repuesta de opiniones de diversas personas, valorizando con juicio dichas opiniones para utilizarlas al generar el pronóstico. Estas técnicas cualitativas son más flexibles que las cuantitativas, sin embargo son tan precisas y exactas como estas. Al momento de elaborar un pronóstico y este resulta mal proyectado conlleva a que la planeación no funciona y todas las áreas de la empresa se vuelven ineficientes, repercutiendo en las finanzas y reflejando las 16


pocas ventas obtenidas, abundancias en los inventarios de productos que no requieren los clientes, reducción de márgenes, costos más altos, entre otros problemas. En términos de pronosticar variables importantes para una compañía o para una parte de ella como son las ventas de la empresa, las horas de ausencia por empleado, los costos operativos, las tasa de interés y tipos de cambio del mercado, entre otros, más sin embargo, las variables macroeconómicas median en las decisiones que tome la empresa para su futuro. ¿QUÉ TÉCNICA UTILIZAR? Para determinar que técnica de pronóstico, se deben considerar los siguientes puntos: 1. Definir la naturaleza del problema de pronóstico. 2. Explicar la naturaleza de los datos bajo investigación. 3. Describir las capacidades y limitaciones de las técnicas de pronóstico potencialmente útiles. 4. Desarrollar algunos criterios predeterminados sobre los cuales se pueda tomar la decisión de la selección, como son algunas medidas de error.

BASES DE PRONÓSTICO. • Ingreso por venta. • Costo de productos manufacturados. • Horas de mano de obra directa • Horas de maquinaria. • Costos de los insumos. FUENTES DE PRONÓSTICO.

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• Externas: Actividades generales de la geopolíticos, que después se relacionan empresariales.

economía con las

o factores actividades

• Internas: Estima cada producto de una empresa, para después hacer un pronóstico agregado de todas sus actividades. CLASIFICACION DE LOS METODOS DE PRONOSTICOS.SEGÚN EL TIEMPO: A Corto Plazo: alcance de un día a un año, sirve para funciones de control, como ajuste de la Tasa de producción, del empleo, del pronóstico de venta, etc. A Mediano Plazo: con alcance de una estación a uno o dos años. Son usados para la planeación operativa, el flujo de caja, el programa de producción y las ventas. A Largo Plazo: con un alcance de dos a cinco años, esto se usa para ampliar plantas, producir nuevos productos, cambiar políticas, adoptar nuevas tecnologías.

Lección 2: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL El análisis de regresión es una de las técnicas estadísticas la cual se utiliza en la investigación al relacionar entre dos o más variables, una de sus utilizaciones está en la construcción de modelos que permitan predecir el comportamiento de una variable Y (dependiente, respuesta) en función de una o más variables (independientes, predictivas) X. El comportamiento de estas variables suelen definirse de manera previa lo que nos remite a un modelo teórico, o bien, se tiene el caso de que no exista una relación establecida entre estas y sea necesario establecer una primera aproximación del comportamiento de las mismas. Lo anterior se puede lograr usando una herramienta gráfica denominada diagrama de dispersión lo que nos conduciría a desarrollar un modelo empírico de la relación que mantienen las variables en estudio. Establece la relación temporal para la variable de pronóstico, implica una relación causa-efecto.

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La ecuación general es: Y=α + βx Y = Variable dependiente = La altura de la recta. β = La pendiente de la recta.

x = Variable independiente.

METODOS DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS. Para calcular

α y β:

α = altura de la línea recta. β = pendiente de la recta. Y = variable dependiente. X = variable independiente. x = promedio de los valores X. y = promedio de los valores Y. n = número de observaciones. Ejemplo Encontrar la línea recta del mínimo cuadrado.

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EJEMPLO: 20


La demanda de un artículo en los últimos 4 años se muestra a continuación: Demanda(unidades) 2006

2007

2008

2009

Años

8

7

9

6

Con esta información se pide pronosticar la demanda para el año 2010 y 2011 utilizando regresión lineal. Solución: Es necesario hallar la ecuación de regresión la demanda en unidades del artículo. Procedemos a hallar Años 2006 2007 2008 2009 TOTALES

, donde x representa el tiempo y Y

teniendo en cuenta las ecuaciones planteadas anteriormente.

X 1 2 3 4 10

Demanda(y) 6 8 7 9 30

X.Y 6 16 21 36 79

X2 1 4 9 16 30

= =2,5; = =7,5 = =0,8 =5,5 ; Esta sería la ecuación de regresión, ahora para hallar la demanda del año 2010 reemplazamos a x por 5, ya que sería el valor que le correspondería en la tabla, pues el 2009 es 4, así el 2011 seria 6. Reemplazando obtendríamos:

Entonces la demanda proyectada para el 2010 sería de 9 unidades y de 10 unidades para el 2011. TALLER DE APLICACIÓN Solucione los siguientes ejercicios: 1. La demanda de un artículo en unidades en los últimos 5 años se describe a continuación: 21


Utilice la técnica de regresión lineal para estimar el número de unidades que se proyectan de demanda para el año 2010. 2. El número de estudiantes matriculados en los últimos 4 años en una institución de educación básica secundaria se describe a continuación:

Mediante regresión lineal pronostique el número de estudiantes que se matricularan en el año 2010.

Lección 3: MODELO DE PROMEDIO MÓVIL

La suposición fundamental para esta técnica es que la serie de tiempo es estable, en el sentido de que sus datos se generan mediante el siguiente proceso constante: yt= b+et donde b es un parámetro constante desconocido estimado a partir de los datos históricos. Se supone que el error aleatorio et tiene un valor esperado cero y una varianza constante. Además, los datos para los diferentes periodos no están correlacionados. La técnica del promedio móvil supone que las n observaciones más recientes son igualmente importantes en la estimación del parámetro b. Así, en un periodo actual t, si los datos para los n periodos más recientes son yt-n+1, yt-n+2,...e yt, entonces el valor estimado para el periodo t+1 se calcula como yt+1 = (yt-n+1+ yt-n+2 +...+yt)/n No hay una regla exacta para seleccionar la base del promedio móvil, n. Si las variaciones en la variable permanecen razonablemente constantes en el tiempo, se recomienda una n grande. De otra forma, se aconseja un valor de n pequeño si la variable muestra patrones cambiantes. En la práctica, el valor de n fluctúa entre 2 y 10. Ejemplo.

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La demanda (en número de unidades) de un artículo de inventario durante los pasados 24 meses se resume en la tabla. Utilice la técnica del promedio móvil para pronosticar la demanda del siguiente mes (t= 25) TABLA Mes, t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Demanda, yt 46 56 54 43 57 56 67 62 50 56 47 56

Mes, t 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Demanda, yt 54 42 64 60 70 66 57 55 52 62 70 72

Si utilizamos n = 3, la demanda estimada para el siguiente mes (t = 25) será igual al promedio de las demandas para los meses 22 al 24, es decir, =68. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Solucione los siguientes ejercicios: 1. La demanda de un artículo en unidades en los últimos 5 años se describe a continuación:

Utilice la técnica del promedio móvil con k= 3 para estimar el número de unidades que se proyectan de demanda para el año 2009 y 2010. 2. El número de estudiantes matriculados en los últimos 4 años en una institución de educación básica secundaria se describe a continuación:

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Mediante promedio móvil con k= 4, pronostique el número de estudiantes que se matricularan en el año 2010 y 2011. Lección 4: SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL El método de suavización exponencial es un método de promedio móvil ponderado muy refinado que permite calcular el promedio de una serie de tiempo, asignando a las demandas recientes mayor ponderación que a las demandas anteriores. Es el método de pronóstico formal que se usa más a menudo, por su simplicidad y por la reducida cantidad de datos que requiere. A diferencia del método de promedio móvil ponderado, que requiere n periodos de demanda pretérita y n ponderaciones, la suavización exponencial requiere solamente tres tipos de datos: el pronóstico del último periodo, la demanda de ese periodo y un parámetro suavizador, alfa , cuyo valor fluctúa entre 0 y 1.0. Para elaborar un pronóstico con suavización exponencial, será suficiente que calculemos un promedio ponderado de la demanda más reciente y el pronóstico calculado para el último periodo. La ecuación correspondiente a este pronóstico es: Ft+1=

(demanda para este periodo) + (1-

Ft+1=

Dt + (1-

) (pronóstico calculado para el último periodo)

)Ft

La siguiente ecuación es equivalente: Ft+1= Ft +

(Dt-Ft)

Esta forma de la ecuación muestra que el pronóstico para el periodo siguiente es igual al pronóstico del periodo actual más una proporción del error del pronóstico correspondiente al mismo periodo actual. Para poner en marcha la suavización exponencial se requiere un pronóstico inicial. Hay dos formas de realizar este pronóstico inicial: Usar la demanda del último periodo, o bien, se dispone de datos históricos, calcular el promedio de varios periodos recientes de demanda. El efecto de la estimación inicial del promedio sobre las estimaciones sucesivas del mismo disminuye a lo largo del tiempo porque, con la suavización exponencial, las ponderaciones asignadas a las demandas históricas sucesivas, que se utilizan para calcular el promedio, disminuyen exponencialmente.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 24


1. Karl´s Copiers vende y repara máquinas de fotocopiado. El gerente necesita pronósticos semanales de las solicitudes de servicios, a fin de poder programar las actividades de su personal de servicio. El pronóstico correspondiente a la semana del 3 de julio fue de 23 llamadas para servicio. El gerente aplica la suavización exponencial con = 0.25. Pronostique usted el número de llamadas para servicio correspondientes a la semana del 7 de agosto, suponiendo que ésta sea la semana próxima.

2. Los siguientes datos corresponden a las calculadoras vendidas (expresadas en unidades) en una tienda de electrónica durante las últimas 5 semanas.

Aplique la suavización exponencial con correspondientes a las semanas 3 a 6.

= 0.2, para pronosticar las ventas

Lección 5: ERROR DEL PRONÓSTICO MEDICIONES DE PRONÓSTICO.

RENDIMIENTO

PARA

EVALUAR

MODELOS

DE

Error Pronóstico: La cantidad por la cual la demanda real difiere de la demanda pronosticada. Existen tres mediciones de funcionamiento para evaluar un modelo de pronóstico en el que Dt es la demanda real en el periodo t y Ft, es la demanda pronosticada en el periodo t, encontramos: 

RMSE: Error medio cuadrado



MAE: Error medio absoluto



MAPE: Error medio porcentual 25


EJEMPLO. Se ha desarrollado un modelo de pronóstico para predecir las ventas mensuales de un modelo particular de carro basándose en los siguientes datos de los 6 meses anteriores, donde hallaremos error de pronóstico, error medio cuadrado (RMSE), error medio absoluto (MAE), error medio porcentual(MAPE).

Como las ventas pronosticadas no son iguales que las ventas reales como podemos calcular el error de pronóstico:

Los errores de pronostico (+) indican que la demanda real excede el pronóstico y los errores (-) significan que la demanda está por debajo del pronóstico. Ahora hallaremos RMSE y tenemos:

26


RMSE = √72/6 = 3,46 MAE = 18/6 = 3 MAPE = 28/6 = 4,66 Autoevaluación TALLER. 1. En la Universidad de Tunja se escogieron 10 muestras de hombres al azar y se les pregunto la estatura (x) y el número de calzado (y), arrojando los siguientes datos:

Halle la ecuación de la línea de regresión lineal (y). Cuando x: 1,75 2. Pronosticar las ventas diarias del almacén de zapatos Bucaramanga basándose en los 11 meses anteriores donde deberá hallar: a. Error pronostico b. Error medio cuadrado (RMSE) c. Error medio absoluto (MAE) d. Error medio porcentual (MAPE)

27


28


AREA:

ESTADÍSTICA

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

CIENCIAS BÁSICAS CURSO:

UNIDAD: Técnicas de pronóstico y teoría de inventarios CAPÍTULO: Técnicas de pronóstico

Métodos probabilísticos

LECCIÓN: modelo de regresión lineal

NUMERO DE LA PRÁCTICA

1

NOMBRE DE LA PRÁCTICA Regresión lineal NOMBRE DEL SOFTWARE WinQsb Libre: ______x_____ Licenciado: _____________ Aspectos Teóricos:

El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.4 La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno. El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso

La idea es proyectar una variable a través del tiempo, teniendo como referencia los datos históricos de una variable, por ejemplo la demanda de un artículo en los últimos años y a partir de estos datos pronosticar mediante una línea de regresión el valor aproximado de la demanda en el futuro, generalmente es válido para unos cuantos períodos.

29


Ejemplo 1: Teniendo en cuenta los datos históricos de la demanda de un artículo en los últimos 5 años, realice el pronóstico de la demanda para el año 2011.Utilice el winqsb. AÑOS 2005 DEMANDA(MILES 8 DE UNIDADES)

2006 6

2007 7

2008 10

2009 11

Solución: Utilice el modulo del winqsb titulado: forecasting and linear regression.

Luego seleccione file:

30


Nos dara la opción de elegir new problem, para introducir los datos de un nuevo ejercicio luego nos aparece el siguiente pantallazo, en donde vamos a darle un titulo al problema y en problema type marcamos time series forecasting, en time unit colñocamos días, meses o años según los datos del problema, para nuestro caso serán años. En number of time units colocamos el número de periodos de tiempo que tenemos, esto corresponde a los datos históricos que se tienen para hacer el pronóstico(5 en nuestro caso).

31


Le damos ok y obtenemos el siguiente cuadro, en donde se deben registrar los datos del ejercicio:

Luego seleccionamos solve and analyze, y obtenemos el siguiente cuadro:

Seleccionamos como indica la figura y se obtiene el siguiente cuadro de resultados:

32


Los valores que aparecen en los años 6 y 7 son los valores proyectados para la demanda, que en este caso sería de 8,4 es decir 8400 unidades para el año 2010 y 2011.La demás información corresponde a datos estadísticos de los cálculos efectuados. Podemos también realizar la grafica correspondiente a datos reales y proyectados, para nuestro ejercicio nos quedaría así:( utilizando la ventana indicada con la flecha.)

EJERCICIO 1. Halle el pronóstico de la demanda para el mes de febrero y marzo de un artículo que en los últimos meses registro las siguientes ventas en millones de pesos: Meses

agosto

septiembre

octubre

noviembre

diciembre

enero 33


Ventas(millones 3 de pesos)

4

5

4

6

3

Utilice el Winqsb como se mostro en el ejemplo, grafique los datos originales y los de tendencia. 2. El número de estudiantes que se matricularon en una institución educativa de bachillerato en los últimos cuatro años se relacionan a continuación: años Estudiantes matriculados

2007 425

2008 450

2009 465

2010 486

Con estos datos halle el pronóstico de estudiantes que se matricularían para el año 2011. CAPITULO 2: TEORÍA DE INVENTARIOS INTRODUCCIÓN Los modelos de inventarios tienen mucha importancia en el ámbito laboral de cualquier empresa o negocio en el cual se necesite tener información completa sobre los diferentes materiales o insumos que haya en existencia o que tengan que ser incluidos en la lista de pedidos que deben ejecutarse temporalmente de acuerdo con las necesidades de producción de la empresa o según el comportamiento de la demanda. Existen diferentes modelos de inventarios, los cuales se aplican en relación con los requerimientos del negocio en el cual van a ser empleados y se convierten en una base para la toma de decisiones por parte de los gerentes o encargados de producción que son los que están pendientes de que no haya faltantes o sobrantes en la producción, de modo que se generen el denominado logro que no es otra cosa que poseer un stock de mercancías que no se mueven o no producen ninguna ganancia. OBJETIVOS 

Conocer algunos de los más efectivos métodos para la toma de decisiones en cuanto al manejo de inventarios y sus métodos de control.



Determinar cuál es el modelo de inventarios más adecuado de acuerdo con la empresa en la cual se vaya a implementar, de modo que se tenga una certeza de cuáles son los artículos que se van a necesitar y en qué medida debe realizarse el pedido.

Lección 6: CONCEPTOS GENERALES DEFINICION 34

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 104561 –MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 

Son los artículos a la mano que un cliente puede comprar en un ambiente de fabricación, los inventarios son las materias primas para producir bienes terminados.



La madera, clavos, barniz y otros materiales necesarios para construir un librero son los artículos de inventario, el medio de producción es el cliente.

ADMINISTRACION DE INVENTARIOS 

Son técnicas usadas para ayudar a los gerentes a determinar cuándo deben ordenarse.



Consideremos las ventajas de tener grandes inventarios:

Para evitar escasez. Cuando se conoce la demanda futura de un artículo y se puede confiar en las entregas puntuales de un proveedor, siempre puede colocar pedidos de tal forma que se satisfaga toda la demanda sin necesidad de un inventario. Para aprovechar las economías de escala. Al solicitar grandes cantidades un negocio puede obtener su suministros a un costo inferior, así mismo el negocio colocaría menos pedidos, lo que ahorraría esfuerzos y costos administrativos. Mantener un flujo de trabajo continuo en un medio de producción de múltiples etapas. Cada una de estas razones argumenta a favor de tener grandes inventarios a la mano. CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS Son las técnicas utilizadas para determinar cual de estas características tiene su modelo para poder aplicar el paquete para realizar el análisis correcto. a. Demanda Dependiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo determinado afecta la demanda de uno o más de los otros artículos. b. Demanda Independiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo no afecta la demanda cualquiera de otros artículos. c. Demanda Determinística Contra Probabilística: Existen dos categorías: 

Demanda Determinística: es la demanda de un artículo que se conoce con certeza. Ejemplo: un proceso de elaboración de un libro, una máquina inserta las 100 hojas por segundo aquí las hojas serían artículos o materias en inventario, la maquina es el cliente y la demanda Determinística son las 100 hojas por segundo.



Demanda Probabilística: es la demanda de un artículo que está sujeta a la cantidad significativa de incertidumbre y variabilidad. Ejemplo: en un hospital usted no sabe cuántos y que tipos de pacientes tenga la semana entrante, lo que ocasiona una demanda incierta de suministros médicos.

35


d. Déficit o Faltantes: una circunstancia en la que el inventario disponible es insuficiente para satisfacer la demanda. e. Tiempos Líderes: el tiempo entre la colocación de periodo de bienes y la llegada de estos bienes enviados por el proveedor. f. Descuentos Cuantitativos: cuando los inventarios son reabastecidos por proveedores Externos, la cantidad pagada por artículo puede depender del tamaño de ese pedido. g. Políticas de Pedidos: es un enfoque para determinar cómo y cuándo reabastecer los inventarios. CARACTERÍSTICAS CLAVES: Pedido de artículos en intervalos de tiempo fijos: La cantidad a ordenar está determinada por el nivel del inventario en el momento en el que se coloca el pedido. La cantidad pedida cada vez varía. Ejemplo: considere el reabastecimiento de leche en una tienda de abarrotes. Cada martes el gerente de lácteos pide la cantidad, y la cantidad depende de cuantos galones hay en el estante cuando coloca el pedido. Esta política también se denomina revisión periódica pues requiere revisara el nivel de inventario en puntos fijos de tiempo para determinar cuánto ordenar. Pedido de un número fijo de artículos cuando el inventario a la mano llega a un cierto nivel previamente especificado, llamado el punto de nuevos pedidos: En este caso, la cantidad pedida siempre es la misma, pero el tiempo entre los pedidos puede variar. Ejemplo: Un gerente de bar puede reordenar cerveza cuando el suministro actual cae por menos de tres cajas. Este nivel puede alcanzarse en 4 semanas cuando el negocio va lento o en una semana cuando el negocio está activo, digamos durante la semana del súper tazón. Esta política también se denomina revisión continua, pues requiere una comprobación continua del inventario para determinar cuándo se alcanza el punto de nuevos pedidos. i. Revisión Periódica: es la política de ordenamiento que requiere revisar el nivel de inventarios en puntos fijos de tiempo para determinar cuándo ordenar sobre la base de inventarios a la mano en ese momento. ii. Revisión Continua: es la política de ordenamiento que requiere revisar el inventario continuamente para determinar cuándo se alcanza el punto de nuevos pedidos. iii. Punto de Nuevos Pedidos: nivel de inventarios en el cual debe colocarse el nuevo pedido. Lección 7: MODELO DE INVENTARIOS EOQ MODELOS DE INVENTARIOS E.O.Q. ¿A qué se debe que las empresas almacenan inventario?. Son muchas las razones para que una empresa conserve productos terminados o insumos como inventario. El inventario 36


permite enfrentar variaciones de la demanda, evitar quiebres de stock, obtener economías de escala, permite una mayor flexibilidad productiva, se puede usar como un arma competitiva, etc. Por consiguiente, mantener los inventarios proporciona importantes beneficios asociados ¿Por qué no llenamos nuestras bodegas de inventario?. Las respuestas son múltiples, pero todas mantienen una base común: Costos. Se afirma que mantener inventarios es un "mal necesario" dado los costos asociados a la gestión de inventarios. En este sentido podemos clasificar los costos de inventario en: 1. Costo de Órdenes: costo que se incurre cada vez que se emite una orden. 2. Costo de mantener Inventario: arriendo de bodegas, depreciación, costo de oportunidad, pérdidas, seguros, etc. 3. Costo de quiebre de stock: es más difícil de estimar y está asociado al costo de la venta pérdida (perder un cliente, deterioro de imagen, multas, etc). La Gestión de Operaciones provee de modelos matemáticos que permite enfrentar de una forma sistemática la problemática de la gestión de inventarios. Estos modelos matemáticos básicamente se clasifican en 2 categorías y depende del comportamiento (basado en supuestos) respecto al comportamiento de la demanda. Están los modelos asociados a demanda constante (EOQ, POQ, EOQ con descuentos por volumen, etc) y los relacionados con demanda aleatoria (asociada a una función de probabilidad). En este sentido EOQ resulta ser el modelo matemático más sencillo y sus características principales se resumen a continuación. De tal manera Inventarios EOQ, Es el modelo matemático usado como la base para la administración de inventarios en el que la demanda y el tiempo líder son determinísticos. No se permiten los déficits y el inventario se reemplaza por lotes al mismo tiempo. Características: 

El inventario pertenece a uno y solo un artículo.



El inventario se abastece por lotes.



La demanda es Determinística, es decir se conocen cuantas se venden en un tiempo determinado.



El tiempo guía L es determinístico y se conoce.



Los déficit no están permitidos.

Componentes de Costos de un Sistema de Inventarios.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 104561 –MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 

El costo de pedidos u organización: (K) este es un costo fijo, independiente del número de unidades pedidas o producidas. se incurre es este costo cada vez que se coloca un pedido o que se echa a andar una máquina para una corrida de producción.



El costo de compra: (C) cada unidad pedida incurre en un costo de compra, que es un costo directo por unidad.



El costo de conservación: (H) este es un costo obtenido por cada artículo en inventario, un costo de conservación puede incluir lo siguiente:

Costos de almacenamiento: compuestos por los gastos generales del almacén, seguro, requerimientos de manejo especial, robo, objetos rotos,etc. Costos de oportunidad del dinero: comprometido en inventario que de otra manera podría haberse usado o invertido. Los costos totales de almacenamiento y oportunidad que componen los costos de conservación se calculan como una fracción (i) del costo unitario C. H= (Tasa de transferencia)*(Costo de la unidad) H=i*C Ejemplo: Para el Mouse valuado en $20000 con tasa de transferencia de 0.11, el costo de conservación por año por cada unidad es: H=i*C H = 0.11 * 20000 H = $2200 Tasa de Transferencia: (i) es la suma de las fracciones usadas en el cálculo de los costos de almacenamiento y oportunidad. El costo de Déficit: (B) es el costo de no satisfacer la demanda. es decir el costo de que se acabe un artículo. Recuerde que cuando no se puede satisfacer la demanda la venta se pierde. TABLA DE RESUMEN D = demanda por pedido L= El tiempo para recibir un pedido I= Tasa de transferencia por periodo, está dada siempre en % K= El costo fijo de colocar un pedido. C= El costo de compra de pedir cada unidad. H = (I * C) El costo de conservación por unidad por periodo.

38


Formulas del Modelo E.O.Q. D - demanda por período. L - el tiempo guía para recibir un pedido. L = Q*/D i - tasa de transferencia por pedido. K - costo fijo de un pedido. C - costo de compra (costo por unidad). H - costo de conservación (H = I x C). Q - número de unidades. Q* - cantidad optima de pedido. Q/2- inventario promedio. CPA. Costo de pedido anual Cp = K x (D/Q). Cc. Costo por compra anual Cc = C x D. Costo de conservación anual Ch= (Q/2) x (H). Ct .Costo anual total Cta = (Cp) + (Cc) + (CH). Número de pedidos NP = D/Q*. Punto de nuevos pedidos (R) R = D x L.

EJEMPLOS 1. El hospital de Neiva da servicio a una pequeña comunidad. Un suministro usado con frecuencia es la película de rayos x, que se pide a un proveedor fuera de la ciudad. Como gerente de suministros, debe determinar cómo y cuándo hacer pedidos para asegurar que al hospital nunca se le termine este artículo critico, y al mismo tiempo, mantener el costo total tan bajo como sea posible. Para comprender como la cantidad de pedido (Q) impacta al nivel del inventario con el tiempo, supongamos que ordenamos lotes de: Q = 4500 películas en existencia. Y el proveedor se ha comprometido a satisfacer pedidos en 1 semana (es decir el tiempo guía es L = 1 semana). El departamento de contabilidad del hospital ha proporcionado los siguientes valores: Un costo de pedidos fijo de $10000 para cubrir los costos de colocar cada pedido, pagar los cargos de entrega, etc. Un costo de compra de $5000 por cada película sin descuento de cantidad. Una tasa de transferencia de 30% por año (es decir, i=0.0) para reflejar el costo de almacenar la película en un área especial, así como el costo de oportunidad del dinero invertido en el inventario ocioso. Solución Demanda anual D= (1500 películas*12 meses)= 18000 películas Tiempo guía L= 1 semana= 1/52 de un año 39


Tasa de transferencia anual de i= 0.30% Costo de pedidos K= $10000 por pedido Costo de pedidos C= $5000 por película Costo de conservación anual H= i*C= 0.30*5000= $1500 por película al año. CTA = costo de pedidos anual + costo compra anual + costo conservación A. COSTO DE PEDIDOS ANUAL: K * D / Q = 10000*(18000/4500)= 40000 COSTO DE COMPRA ANUAL: C * D = 5000*18000= 90.000.000 COSTO DE CONSERVACION ANUAL: (Q/2)*H o (Q/2)*(I * C) =(Q/2)*(I * C)=2250*(0.30*5000)= 3.375.00 Ahora remplazamos en la formula general: CTA = costo de pedidos anual + costo compra anual + costo conservación A. CTA = 40000+90.000.000+3.375.000 CTA = 93.415.000 Ahora hallamos Q* Q*=√2D*K/H = √2D*K/I*C Q*= √2D*K/(i * C) Q*= √2*18000*10000/(0.30*5000) Q*=489,89≈ 490 NUMERO DE PEDIDOS: D/Q*=18000*490 = 36,7≈ 37 pedidos TIEMPO: L = Q*/D = 490/18000 = 0.027 NIVEL DE PEDIDOS: R = D * L =18000*0.027 = 486 2. Almacenes Olímpica compra aproximadamente 10.000 televisores en el curso del año a un costo de 30 cada uno. Cada pedido incurre en un costo fijo de 85 y llega una semana después de haber hecho el pedido. Suponiendo una tasa de transferencia anual de o.15, calcule: La cantidad de pedidos óptimos, el punto de nuevos pedidos y el costo anual. Solución. Lo que se tiene: D = 10.000 H = I x C = 0,15(30) K = 85 i = 0,15 C = 30= 4.5

=614,6362 R = D x L Q = (D/2 x H) R= 10.000(1/52) Q = 10.000/2(4.5) R = 192,3076 Q = 22.500

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CTA = costo de pedido anual + costo compra anual + costo conservación anual K(D/Q) + C x D + (Q/2) x H 85(10.000/22.500) + 30(10.000) + 614,6363/2) x 4,5 CTA = 315208,35 3. Un almacén de venta de ropa para un suministro frecuente de jeans pide a un proveedor fuera de la ciudad, el gerente debe asegurar que estas nunca se terminen y que además se mantenga el costo mínimo posible. Teniendo en cuenta: La demanda es de 200 jeans por mes El proveedor tarda una semana en entregar la mercancía El costo de pedido fijo es de $50.000 Un costo de compra de $30.000 Una tasa de transferencia del 20% por año donde Q=1000 D = 200 I = 1 K = 50.000 C = 30.000 L = 0.20 Q = 1000 CPA = Kx(D/Q)=50.000(200/1000)=50.000 x 0,2=10.000 Costo de compra anual= C x D = 30.000 x 200 = 6.000.000 Costo de conservación=Q/2(I x C)=1000/2(0,2 x 30.000)=3.000.000 Número promedio de pedidos=D/Q=200/1000=0.2

SOLUCIONE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 1. Una compañía comercializadora está interesada en reducir el costo de su inventario determinando el número óptimo de su producto que debe solicitar en cada orden. Su demanda anual es de 500 unidades, el costo de ordenar o preparar es de $12 por orden y el costo de mantener por unidad por año es de $2. La compañía trabaja 280 días al año. Halle: a. Número óptimo de unidades por orden. b. Número de órdenes por año. c. Tiempo esperado entre órdenes. d. Costo total anual del inventario. (costo por unidad $80). 2. En cada uno de los siguientes casos, determine la cantidad óptima de pedido y el costo diario correspondiente. a. k= $100, h= $0.05, D= 30 unidades diarias. b. k= $50, h= $0.05, D= 30 unidades diarias. c. k= $100, h= $0.01, D= 40 unidades diarias. d. k= $100, h= $0.04 D= 20unidades diarias. 41


3. Mcburguer pide carne molida al comenzar cada semana para cubrir la demanda semanal de 300lb. El costo fijo por pedido es de $20, cuesta unos $0.03 por libra y por día refrigerar y almacenar la carne. Determine la cantidad óptima de pedido y el costo semanal del inventario. Lección 8: MODELOS DE INVENTARIOS EOQ CON DESCUENTOS

DESCUENTO POR CANTIDAD Los descuentos por cantidad, que son incentivos de precio para que el cliente compre mayores cantidades del producto, crean presión para mantener un inventario abundante. Por ejemplo, un proveedor puede ofrecer un precio de $4 por unidad, para los pedidos en que soliciten entre 1 y 99 unidades; un precio de $3.50 por unidad, para pedidos entre 100 y 199 unidades; y un precio de $3.000 por unidad, para los pedidos de más de 200 unidades. El precio del artículo ya no se considera fijo, como se suponía en la derivación de la EQQ; en lugar de eso, si la cantidad del pedido aumenta lo suficiente, se obtiene un descuento en el precio. Por lo tanto, en este caso se requiere un nuevo enfoque para encontrar el mejor tamaño del lote, es decir, un método que sopese las ventajas de comprar materiales a precios más bajos y tener que hacer menos pedidos(es decir, los beneficios de hacer pedidos por grandes cantidades), frente a la desventaja que implica el incremento del costo por el manejo de un inventario mayor. El costo anual total incluye ahora no solamente el costo de manejo de inventario, (Q/2) (H) y el costo de hacer pedidos, (D/Q) (S), sino también el costo de los materiales comprados. Cualquiera que sea el nivel de precios por unidad, P, el costo total es: Costo = Costo anual de + Costo anual de + Costo anual de Total manejo de inventario hacer pedidos de materiales

El costo unitario de manejo de inventario H se expresa habitualmente como un porcentaje del precio unitario, porque cuanto más valioso sea el artículo que se tiene en inventario, tanto más alto será el costo de su manejo. Por consiguiente, cuanto más bajo sea el precio unitario, P, tanto más bajo será H. Inversamente, cuanto más alto sea P, tanto más alto será H. Igual que cuando calculamos anteriormente el costo total. La ecuación del costo total genera curvas de costo total en forma de U. Si el costo anual de materiales se agrega a la ecuación del costo total, cada curva de costo total se eleva en una magnitud fija.

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PROCESO PARA HALLAR EL MEJOR TAMAÑO DE LOTE 1. A partir del precio más bajo de todos, calcule la EOQ para cada nivel de precios, hasta que encuentre una EOQ factible. Sabrá usted que ésta es factible si se encuentra en el rango correspondiente a un precio. Cada EOQ subsiguiente es más pequeña que la anterior porque p, y por lo tanto H, se vuelve cada vez más grande y porque esa H más grande está en el denominador de la fórmula de la EOQ. 2. Si la primera EOQ factible que encuentre corresponde al nivel de precios más bajo, esta cantidad representará el mejor tamaño del lote. Si no es así, calcule el costo total correspondiente a la primera EOQ factible y a la mayor magnitud del cambio de precio, en cada nivel de precios más bajo. La cantidad a la cuál corresponde el costo total más bajo de todos será la óptima. EJEMPLO PRÁCTICO Uno de los proveedores del sistema de salud de Lower Florida Keys ha presentado su plan de precios de descuento por cantidad para alentar a sus clientes a que compren mayores cantidades de un catéter de tipo especial. El plan de precios propuesto es el siguiente:

Lower Florida ha estimado que la demanda anual para este artículo es de 936 unidades, el costo que implica hacer esos pedidos es de $45 por pedido y su costo anual de manejo de inventario representa el 25% del precio unitario del catéter. ¿Qué cantidad de dicho catéter tendrá que pedir el hospital para minimizar su total de costos? SOLUCION Paso 1. Encuentre la primera EOQ factible, comenzando con el nivel de precios más bajo:

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Un pedido de 77 unidades cuesta realmente $60 por unidad, en lugar del costo de $57 por unidad que se uso en el cálculo de la EQQ; por lo tanto, esta EQQ no es factible. Intentemos ahora con el nivel de $58.80:

Esta cantidad tampoco resulta factible, porque un pedido de 76 unidades es demasiado pequeño para que se le aplique el precio $58.80. Intente ahora con el nivel de precios más alto:

Esta cantidad es factible, porque se encuentra dentro del rango correspondiente a su precio, P = $60.00. Paso 2. La primera EQQ factible, de 75, no constituye el nivel de precios más bajo de todos. Por lo tanto, tendremos que comparar su costo total con las cantidades correspondientes al cambio de precio (300 unidades y 500 unidades), en los niveles de precio más bajos ($58.80 y $57.00):

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La mejor cantidad de compra es de 500 unidades, con la cual se obtiene el mayor descuento. Sin embargo, la solución no siempre funciona así. Cuando los descuentos son pequeños, el costo de manejo de inventario H es considerable, la demanda D es pequeña y los tamaños del lote más reducidos funcionan mejor, aunque se renuncie a descuentos en el precio. TALLER DE APLICACIÓN 1. El equipo Bucks de la liga mayor de béisbol rompe cuatro bates por semana, en promedio. El equipo compra sus bates de béisbol a Corkys, un fabricante que se distingue porque tiene acceso a la mejor madera maciza. El costo de hacer el pedido es de $70 y el costo anual del manejo de inventario por bat y por año representa el 38% del precio de compra. La estructura de precios de Corkys es la siguiente:

a. ¿Cuántos bates debería comprar el equipo en cada pedido? b. ¿Cuál es el total de los costos anuales asociados a la mejor cantidad de pedido? 2. La librería universitaria de una gran institución estatal compra lapiceros mecánicos a un mayorista. Éste le ofrece descuentos cuando los pedidos son grandes, de acuerdo con el siguiente plan de precios:

La librería ha supuesto que la demanda anual será de 500 unidades. Hacer un pedido le cuesta $10 y el costo anual por manejo de inventario de una unidad es equivalente al 10% del precio de la misma. Determine cuál es la mejor cantidad del pedido. Lección 9: MODELOS DE LOTE DE PRODUCCIÓN Y EL SISTEMA DE CLASIFICACIÓN ABC MODELO DE LOTE DE PRODUCCIÓN Hasta ahora habíamos supuesto que el pedido llegaba instantáneamente o que la producción se reabastecía de inmediato. Sin embargo en la práctica una empresa manufacturera va produciendo paulatinamente y a través del tiempo va vendiendo los artículos que le son

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demandados. A continuación se explicara un modelo con el supuesto que la producción se da paulatinamente a una tasa b, que es mayor que la demanda a. Los costos que se considerarán son: K : Costo de preparación para producir u ordenar un lote. c : El costo de producir o comprar cada unidad. h : El costo de mantenimiento de una unidad de inventario por unidad de tiempo. Recordemos además: b : Tasa de producción de los artículos a : Tasa de demanda de los artículos. b>a

Debemos hallar el costo total por unidad de tiempo ($/tiempo). Primero hallaremos los costos únicamente para un ciclo, por lo que los costos estarán en ($). Costo por ciclo de producción u ordenar = K + c Q [$] + [$/ artículo ] * [artículo ] =[$]

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Ejemplo: Manufactura de bocinas para televisores. 1. Cada vez que se produce un lote, se incurre en un costo de preparación de $12000. 2. El costo unitario de producción de una sola bocina (excluyendo el costo de preparación) es $10. 3. El costo de mantenimiento de una bocina en almacén es de $0.3 por mes. 4. La demanda es de 8000 bocinas mensuales. 5. La tasa de producción es de 14000 bocinas mensuales

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Manufactura de bocinas para televisores debe producir 38643 bocinas cada 4.83 meses para minimizar los costos de manejo de los inventarios.

EL sistema de clasificación ABC Es una necesidad en casi todas las compañías saber la composición de sus inventarios. Es por ello que existen formas de clasificarlos según su importancia. El sistema de clasificación ABC nos ayuda a clasificar los inventarios en tres categorías: A: Muy importantes. B: Medianamente importantes. C: Poco o nada importantes Al aplicar el sistema de clasificación ABC es importante recordar lo expuesto por el economista italiano Pareto referente a que el 20% más importante de la causa es la responsable del 80% del efecto. Aplicándolo a los inventarios se vería:

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Un criterio de clasificación para determinar la importancia de los artículos dentro del inventario es la cantidad promedio en dinero del artículo (Cantidad en artículos promedio * Costo unitario). Ejemplo: Suponga que un almacén de cadena maneja 4 tipos de artículos: Electrodomésticos, vestidos para hombres y mujeres, artículos comestibles, artículos de papelería. En la siguiente tabla se resume la clasificación de los artículos:

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Lección 10: MODELO ESTOCASTICO DE INVENTARIOS Hasta el momento hemos venido suponiendo que la demanda es conocida y cierta. Modelo de un período sin costo fijo sin embargo la mayoría de los casos nos muestran demandas inciertas y desconocidas. Suponiendo que la demanda para un período es una variable aleatoria, es posible conocer su distribución de probabilidad. Ejemplo - Distribuidor de bicicletas Un distribuidor mayorista de bicicletas compra bicicletas al fabricante para surtir las diferentes tiendas en el oeste de los E.E.U.U existe incertidumbre sobre cuál será la demanda de bicicletas por parte de las tiendas en cualquier mes, por lo que el distribuidor se enfrenta a ¿Cuántas bicicletas debe ordenar al fabricante en un mes determinado? El distribuidor ha analizado sus costos y ha determinado que los siguientes factores son importantes: 1. Costo de ordenar:

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2. Costo de mantenimiento: Costo de tener un inventario. Se ha estimado en $1 por bicicleta-mes. Sin embargo las bicicletas tienen un valor de salvamento de $10 c/u. - $9 por bicicleta que queda al final del mes. 3. Costo por faltantes: Costo por no tener una bicicleta disponible cuando se necesita se considera despreciable en este ejemplo. Según la terminología que hemos venido empleando: K : 0 Costo de preparación c : $ 20 / bicicleta Costo de adquisición h : - $9 / bicicleta - mes Costo de mantenimiento p : $ 45 / bicicleta Precio de venta Vamos a adoptar el criterio de maximización del ingreso neto para la formulación del modelo

Definamos y : Cantidad comprada por el distribuidor al fabricante D : Cantidad demandada por las tiendas al distribuidor Ingreso neto = p * cantidad vendida por el distribuidor - c * cantidad comprada por el distribuidor - h * cantidad no vendida y liquidada al valor de recuperación

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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1. Escriba dentro del paréntesis la letra a la cual corresponde la definición.

2. Mac-in-the-Box, Inc., vende equipo de computadoras mediante pedidos que los clientes hacen por teléfono y por correo. Mac vende 1200 escáneres de cama plana cada año. El costo del pedido es de $300 y el costo anual del manejo de inventario representa el 16% del precio del artículo. El fabricante del escáner le ha propuesto la siguiente estructura de precios a Mac-in-the-Box.

¿Con qué cantidad del pedido se logra minimizar el total de los costos anuales?

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3. enuncie cuatro características de los Modelos E.O.Q.

4. Indique el significado de los siguientes símbolos. 

K



C



H



B

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Q*

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I

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D

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FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 

Bernstein, Peter L. (1998). Against the Gods, the remarkable story of risk. USA, John Wiley.



Hanke, John E.; Wichern, Dean W. & Reitsch, Arthur G. (2001). Business Forecasting. Seventh Edition. USA, New Jersey: Prentice Hall



Makridakis, Spyros. (1993). Pronósticos. Estrategia y Planificación para el siglo XXI. Madrid, España: Ediciones Díaz de Santos, S.A.



Sanjay K. Bose. An Introduction to queueing systems, Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2002.



Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman Introduction to operations research, McGraw-Hill, 1995.



Hisashi Kobayashi Modeling and analysis : an introduction to system performance evaluation methodology, Addison-Wesley, 1978.



Stephen S. Lavenberg, [editors] Computer performance modeling handbook, Academic Press, 1983.



Wayne L. Winston Operations research : applications and algorithms, Brooks/Cole - Thomson Learning, 2004.

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UNIDAD 2 Nombre de la Unidad

Cadenas de Markov, teoría de colas y programación no lineal

Introducción El análisis de Markov tuvo su origen en los estudios de A.A.Markov(1906-1907) sobre la secuencia de los experimentos conectados en cadena y los intentos de descubrir matemáticamente los fenómenos físicos conocidos como movimiento browiano. La teoría general de los procesos de Markov se desarrollo en las décadas de 1930 y 1940 por A.N.Kolmagoron, W.Feller, W.Doeblin, P.Levy, J.L.Doob y otros. El análisis de Markov es una forma de analizar el movimiento actual de alguna variable, a fin de pronosticar un movimiento futuro de la misma. Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes. En matemáticas, Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Justificación

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas.

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Intencionalidades Formativas





Denominación de capítulos

Valorará la importancia que tiene los métodos estudiados en situaciones organizacionales para las empresas en el mundo moderno. Planteará y resolverá problemas en diferentes campos del saber, haciendo un proceso de abstracción de escenarios conocidos a escenarios desconocidos de las temáticas estudiadas.

Capitulo 3 Cadenas de Markov Capitulo 4 Modelos de líneas de espera Capitulo 5 Programación no lineal

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CAPITULO 3: CADENAS DE MARKOV

Lección 11: CADENAS DE EVENTOS ANALISIS DE MARKOV Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los consumidores, para pronosticar las concesiones por deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. Aunque no es una herramienta que se use mucho, el análisis de Markov puede proporcionar información importante cuando es aplicable. El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Más importante aún, permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo. Un tipo especial de procesos estocásticos de tiempo discreto se llama cadena de Markov. Para simplificar nuestra presentación supondremos que en cualquier tiempo, el proceso estocástico de tiempo discreto puede estar en uno de un número finito de estados identificados por 1.2,..., s. DEFINICIÓN Un proceso estocástico de tiempo discreto es una cadena de Markov si, para t = 0,1,2,... y todos los estados, (1) P(Xt+1 = i t+1 \ X t = i t,. Xt-1= it-1, …, X1 = i1, X 0= i0) = P(Xt+1 = i t+1 \ X t = i) En esencia, la ecuación (1) dice que la distribución de probabilidad del estado en el tiempo t + 1 depende del estado en el tiempo t(i) y no depende de los estados por los cuales pasó la cadena para llegar a i, en el tiempo t. En el estudio de las cadenas de Markov haremos la hipótesis adicional que para lodos los estados i y j, y toda t, P(Xt+1 = i \ X t = j ) es independiente de t. Esta hipótesis permite escribir

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(2) P(Xt+1 = i \ X t = j ) = pij donde pij es la probabilidad de que dado que el sistema está en el estado i en el tiempo t, el sistema estará en el estado j en el tiempo t + 1. Si el sistema pasa del estado i durante un periodo al estado j durante el siguiente, se dice que ha ocurrido una transición de i a j. Con frecuencia se llaman probabilidades de transición a las pij en una cadena de Markov. La ecuación (2) indica que la ley de probabilidad que relaciona el estado del siguiente periodo con el estado actual no cambia. o que permanece estacionaria, en el tiempo. Por este motivo, a menudo se llama Hipótesis de estabilidad a la ecuación (2). Toda cadena de Markov que cumple con la ecuación (2) se llama cadena estacionionaria de Markov El estudio de las cadenas de Markov también necesita que definamos qi como la probabilidad de que la cadena se encuentre en el estado i en el tiempo 0; en otras palabras, P(X0 = i) •= qi,. Al vector q = [q1, q2, ..., qs] se le llama distribución inicial de probabilidad de la cadena de Markov. En la mayoría de las aplicaciones, las probabilidades de transición se presentan como una matriz P de probabilidad de transición s x s. La matriz de probabilidad de transición P se puede escribir como

Dado que el estado es i en el tiempo t, el proceso debe estar en algún lugar en el tiempo t + 1. Esto significa que para cada i.

También sabemos que cada elemento de la matriz P debe ser no negativo. Por lo tanto, todos los elementos de la matriz de probabilidad de transición son no negativos; los elementos de cada renglón deben sumar 1.

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Lección 12: DESCRIPCIÓN DE UNA CADENA DE MARKOV La probabilidad de pasar de un evento a otro se llama probabilidad de transición, para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición. Hay dos formas fáciles de exponer las probabilidades de transición: 1. DIAGRAMA DE ESTADOS: como el que muestra la figura, en ésta se ilustra un sistema de Markov con dos estados posibles: s1 y s2. La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama, por ejemplo la probabilidad de pasar del estado s1 al estado s2 se señala como p12. Las flechas muestran las trayectorias de transición que son posibles. La ausencia de algunas trayectorias significa que esas trayectorias tienen probabilidad igual a cero.

2. MATRIZ DE TRANSICIÓN: Para el ejemplo anterior la matriz se muestra a continuación, nótese que, como existen dos estados posibles, se necesitan 2x2 = 4 probabilidades. También nótese que cada renglón de la matriz suma 1.esto se debe a que el sistema debe hacer una transición.

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EJERCICIOS PRACTICOS 1. Teniendo en cuenta el siguiente diagrama de estados, describa la matriz de transición correspondiente.

2. teniendo en cuenta la siguiente matriz de transición describa el diagrama de estados correspondiente.

3. Escriba las observaciones que puede hacer a partir del diagrama de estados o de la matriz de transición en cada caso. Lección 13: CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN

Ahora que se sabe cómo presentar los datos, ¿ qué puede hacerse? Un análisis útil es pronosticar el estado del sistema después de 1, 2, 3, o más periodos. Esto se llama análisis de transición, debido a que es a corto plazo y está enfocado a periodos cortos. EJEMPLO: Considérese la siguiente cadena de Markov: una copiadora de oficina, poco segura. Si está funcionando un día, existe un 75% de posibilidades de que al día siguiente funcione y un 64


25% de posibilidades de que no funcione. Pero si no está funcionando, hay 75% de posibilidades de que tampoco funcione al día siguiente y sólo un 25% de que si lo haga (se lleva mucho tiempo la reparación) Para comenzar un análisis de transición, se deben conocer el estado actual. Supóngase que se está comenzando y que hay 75% de posibilidades de estar en el estado 1 y 25% de estar en el estado 2. Esto define el estado actual en forma probabilística. ¿Cuál es la probabilidad de que la copiadora al 4 día este funcionando? SOLUCION: ESTADOS: S1= La copiadora funcionando S2= La copiadora no funcionando

X0= Representa la proporción de objetos en cada estado al inicio del proceso (vector inicial de distribución probabilística) ESTADO ACTUAL X0= [X1, X2]= [0.75, 0.25] Para hallar la probabilidad de que la copiadora este funcionando al 4 día es necesario determinar las 3 probabilidades anteriores, ya que: X4= x3.p X3= x2.p X2= x1.p X1= x0.p

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Xn= x0.pn esta ecuación representa la proporción de objetos en el estado i que realizan la transición al estado j durante un período. Entonces las probabilidades para el primer ciclo se calcularían así:

De esta forma se hallan las otras probabilidades de transición, el resultado final es:

Esto se puede interpretar asi: al cuarto día la probabilidad de funcionamiento de la copiadora es de 51.56% si ella estaba funcionando. asi mismo 48.43% de probabilidades de no funcionamiento. TALLER 1. Dada la cadena de Markov siguiente:

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Encuentre las probabilidades de transición para los 5 ciclos siguientes, teniendo en cuenta que el sistema se encuentra en el estado 1. 2. Dada la siguiente matriz de tres estados.

a. dibuje el diagrama de estados. b. Encuentre las probabilidades de transición para los siguientes tres ciclos suponiendo el inicio en el estado B. 3. Un gerente de crédito estima que el 95% de aquellos que pagan sus cuentas a tiempo un mes, también lo harán el siguiente mes, sin embargo, de aquellos que se tardan, solo la mitad pagara a tiempo la próxima vez. a. Si una persona paga a tiempo. ¿ Cuál es la probabilidad de que pagara a tiempo durante 6 meses desde ahora? Lección 14: PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE APLICACIÓN A LA ADMINISTRACIÓN E INGENIERIA Las compras de los consumidores están influidas por la publicidad, el precio y muchos otros factores. Con frecuencia un factor clave es la última compra del consumidor. Si por ejemplo, alguien compra un refrigerador maraca Y y le da un buen servicio, quedará predispuesto a comprar otro refrigerador marca Y. De hecho, una investigación de mercado puede determinar el grado de lealtad a la marca encuestando a los consumidores. En términos de una cadena de Markov, los resultados de la investigación son las probabilidades de transición de seguir con la marca o de cambiar. Ejemplo, cambio de marca, la marca A es la marca de interés y la marca B representa todas las demás marcas. Los clientes son bastante leales, el 80% de ellos son clientes que repiten. La oposición conserva el 70% de sus clientes. 67


¿ Qué información puede obtenerse con el análisis de Markov? Con el análisis de transición puede descubrirse que tan probable es que un cliente cambie después de cierto número de ciclos. Pero el análisis de estado estable es el más útil. ¿Qué interpretación daría usted del promedio a largo plazo de estar en cualquiera de los estados? ¡La de porcentajes de mercado! El promedio a la larga del estado A es el porcentaje de mercado que puede esperar recibir la marca A. Así, conociendo el grado de lealtad a la marca entre los clientes puede predecirse el porcentaje de mercado para el producto o servicio. El desarrollo o cálculo de las probabilidades de estado estable para el ejemplo anterior se realizan a continuación: Matriz de transición (cambio de marca) Marca A Marca B Marca A

0.8

0.2

Marca B

0.3

0.7

Las distribuciones de estado límite o estable representan las proporciones aproximadas de objetos en los diferentes estados de una cadena de Markov, después de un gran número de periodos. La matriz limite L tiene dos renglones idénticos, siendo la suma de sus componentes igual a la unidad. Se calculan utilizando la siguiente expresión: [ x1,x2].P = [ x1,x2] [ x1,x2]. 0.8 0.2 = [ x1,x2] 0.3 0.7 Resultan 2 ecuaciones: 0.8x1+0.3x2= x1 0.2x1+0.7x2= x2 Y una tercera ecuación, clave para hallar la solución del sistema es: X1+x2=1

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De las dos primeras ecuaciones escogemos 1, pues las dos resultan ser la misma, para trabajarla con la tercera. Utilizamos cualquier método de solución de sistemas de ecuaciones, como reducción, igualación o sustitución. La solución del sistema es: X1= 0.6 X2= 0.4 Lo que significa que la marca A capturará a la larga el 60% del mercado y las otras marcas tendrán el 40%. Esta información puede ser útil en muchas formas. Una de ellas es al evaluar las diferentes estrategias de publicidad. Esta publicidad puede estar dirigida a los clientes actuales en un esfuerzo para incrementar la lealtad a la marca. De otra manera, puede dirigirse a los compradores de otras marcas con el fin de persuadirlos para cambiar. ¿Cómo debe asignarse un presupuesto de publicidad entre estas dos alternativas? El análisis de Markov puede proporcionar una respuesta si se dispone de cierta información adicional. TALLER 1. Dada la cadena de Markov siguiente:

Encuentre las probabilidades de estado estable. 2. Dada la siguiente matriz de tres estados.

Encuentre las probabilidades de estado estable.

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3. Un gerente de crédito estima que el 95% de aquellos que pagan sus cuentas a tiempo un mes, también lo harán el siguiente mes, sin embargo, de aquellos que se tardan, solo la mitad pagara a tiempo la próxima vez. A la larga ¿Cuál es la proporción de cuentas pagadas a tiempo? Lección 15: Aplicaciones

PROBLEMA RESUELTO Formúlese como una cadena de Markov el siguiente proceso. El fabricante de dentífrico Brillo controla actualmente 60% del mercado de una ciudad. Datos del año anterior muestran que 88% de consumidores de brillo continúan usándola, mientras que 12% de los usuarios de brillo cambiaron a otras marcas. Además, 85% de los usuarios de la competencia permanecieron leales a estas otras marcas, mientras que 15% restante cambió a brillo. Considerando que estas tendencias continúan, determínese la parte del mercado que corresponde a brillo: a) en 3 años, y b) a largo plazo. Se considera como estado 1 al consumo de brillo y al estado 2 como el consumo de una marca de la competencia. Entonces, p11, probabilidad de que un consumidor de brillo permanezca leal a brillo, es 0.88; p12, la probabilidad de que un consumidor de brillo cambie a otra marca es de 0.12;p21, probabilidad de que el consumidor de otra marca cambie a brillo, es 0.15; p22, probabilidad de que un consumidor de otra marca permanezca leal a la competencia, es 0.85. La matriz estocástica definida por estas probabilidades de transición es:

El vector inicial de distribución probabilística es X0 = ( 0.60, 0.40 ), donde los componentes x10 = 0.60 y x20 = 0.40 representan las proporciones de personas inicialmente en los estados 1 y 2, respectivamente. SOLUCIÓN: Las probabilidades para los primeros ciclos se calculan así:

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según esto a brillo le corresponde en el primer año 58.8% del mercado, al segundo año 57.9% y al tercer año 57.26%. A largo plazo el proceso sería:

Las distribuciones de estado límite o estable representan las proporciones aproximadas de objetos en los diferentes estados de una cadena de Markov, después de un gran número de periodos. La matriz limite L tiene dos renglones idénticos, siendo la suma de sus componentes igual a la unidad. Se calculan utilizando la siguiente expresión: [ x1,x2].P = [ x1,x2]

[ x1,x2]. 0.88 0.12 = [ x1,x2] 0.15 0.85 71


Resultan 2 ecuaciones: 0.88x1+0.15x2= x1 0.12x1+0.85x2= x2 Y una tercera ecuación, clave para hallar la solución del sistema es: X1+x2=1 De las dos primeras ecuaciones escogemos 1, pues las dos resultan ser la misma, para trabajarla con la tercera. Utilizamos cualquier método de solución de sistemas de ecuaciones, como reducción, igualación o sustitución. La solución del sistema es: X1= 0.55 X2= 0.45 Lo que significa que la marca brillo capturará a la larga el 55% del mercado y las otras marcas tendrán el 45%. Esta información puede ser utilizada para realizar campañas de publicidad encaminadas a mantener o mejor subir la fidelidad de los clientes antiguos y a ganar clientes nuevos. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1.Las uvas del valle de sonoma se clasifican como superiores, regulares o malas. Después de una cosecha superior, las probabilidades de tener durante el siguiente año una cosecha superior, regular o mala son de: 0, 0.8 y 0.2 respectivamente. Después de una cosecha regular, las probabilidades de que la siguiente cosecha sea superior, regular y mala son de 0.2, 0.6 y 0.2. Después de una mala cosecha, las probabilidades de una cosecha superior, regular y mala son de 0.1, 0.8 y 0.1. Determínense las probabilidades de una cosecha superior para cada uno de los siguientes cinco años. si la cosecha más reciente fue regular.

2.Una línea aérea con un vuelo a las 7:15 p.m entre la ciudad de Nueva York y la ciudad de washington,D.C; No desea que el vuelo salga retrasado dos días consecutivos. Si el vuelo sale retrasado un día, la línea aérea realiza un esfuerzo especial al día siguiente para que el vuelo salga a tiempo, y lo logra 90% de las veces. Si el vuelo no salió con retraso el día anterior, la linea aérea no realiza arreglos especiales, y el vuelo parte de acuerdo con lo programado el 60% de las veces. ¿ Que porcentaje de veces parte con retraso el vuelo?.

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3. El departamento de comercialización de la marca X hizo una investigación y encontró que, si un cliente compro su marca, existe un 70% de posibilidades de que la compre de nuevo la próxima vez. por otro lado, si la última compra fue de otra marca, entonces se escoge la marca X solo el 20% del tiempo. ¿ Cuál es el porcentaje de mercado que puede pronosticarse a la larga para la marca X?.

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AREA:

ESTADÍSTICA

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

CIENCIAS BÁSICAS CURSO:

UNIDAD: Cadenas de Markov, teoría de colas y programación no lineal CAPÍTULO: Cadenas de Markov

Métodos probabilísticos

LECCIÓN: cálculo de las probabilidades de transición

NUMERO DE LA PRÁCTICA

2

NOMBRE DE LA PRÁCTICA Cadenas de Markov NOMBRE DEL SOFTWARE WinQsb Libre: ______x_____ Licenciado: _____________

Aspectos Teóricos: Las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos estocásticos. Dichos estudian el comportamiento de variables aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w). Se definen como una colección de variables aleatorias {X(t,w), t  I}, donde X (t,w) puede representar por ejemplo los niveles de inventario al final de la semana t. El interés de los procesos estocásticos es describir el comportamiento de un sistema e operación durante algunos periodos.

Los procesos estocásticos se pueden clasificar atendiendo a dos aspectos: si el espacio de estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos o continuos y de si los valores del tiempo son discretos o continuos.

Las cadenas de Markov es un proceso estocástico en el que los valores del tiempo son discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contienen valores discretos, es decir, es una cadena estocástica de tiempo discreto.

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Las cadenas de Markov, se clasifican, además, dentro de los procesos estocásticos de Markov, que son aquellos en el que el estado futuro de un proceso es independiente de los estados pasados y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las probabilidades de transición entre los estados para los tiempos k-1 y k solamente depende de los estados que la variable adquiere dichos tiempos. La idea es determinar las probabilidades de ocurrencia de eventos que dependen de las probabilidades de ocurrencia del evento anterior y también más importante poder determinar las probabilidades a largo plazo de los eventos. Ejemplo 1: Una copiadora que hoy se encuentra funcionando tiene una probabilidad de que el día de mañana funcione correctamente de 65%. Pero si la copiadora hoy no está funcionando existe un 40% de probabilidades de que mañana funcione. Nos interesa determinar en esta cadena de Markov las probabilidades de encontrar la copiadora funcionando después de 1 o varios días, teniendo en cuenta que como estado inicial vamos a suponer que la copiadora está funcionando hoy. También determinaremos las probabilidades de estado estable que significan las probabilidades de encontrar la copiadora funcionando después de n ciclos que en nuestro caso son días. Solución: Utilice el modulo del winqsb titulado: Markov process Luego seleccione file:

Nos dará la opción de elegir new problem, para introducir los datos de un nuevo ejercicio. Luego nos aparece el siguiente pantallazo, en donde vamos a darle un titulo al problema y colocamos también el número de estados, para nuestro ejemplo serán 2(la copiadora funcionando y la copiadora no funcionando) y le damos ok.

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Al darle ok nos dara la opción de introducir los datos del ejercicio, que corrersponden a la matriz de transición. En este caso es: S1: Estado 1, la copiadora funcionando S2: Estado 2, la copiadora no funcionando Matriz de transición S1

S2 76


S1 S2

0,65 0,40

0,35 0,60

Entonces

Hay que resaltar que se debe colocar las probabilidades iniciales, en nuestro caso las que corresponden al estado 1, según el enunciado del ejercicio. Luego procedemos a resolver utilizando solve and analyse que encontramos en la barra superior y elegimos markov process step Obtenemos la siguiente tabla:

En esta casilla se coloca el numero de periodos que se quieren proyectar, en este caso colocamos 1. El resultado que obtenemos 0,5625 corresponde a la probabilidad de encontrar funcionando la copiadora al dia siguiente y 0,4375 de no estar funcionando si tenemos en cuenta que la copiadora inicio funcionando. Bastaria con variar este número para calcular las probabilidades de 2,3, 0 más periodos.

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Asi mismo hallamos la probabilidad de estado estable asignando por ejemplo el valor de 100 o eligiendo la opción steady state, que para nuestro ejemplo nos daria los siguientes resultados:

Los que indica la flecha, es decir que a la larga la probabilidad de encontrar la copiadora funcionando es de 53,33% y de no estar funcionando de 46,66%. Es de anotar que para el cálculo de estas probabilidades no se necesita de un estado inicial, sea el valor que fuera nos daría a largo plazo el mismo resultado. Ejercicios de aplicación 1. En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov. Determinar la probabilidad de tener un día soleado al tercer día si hoy tenemos un día nublado. A largo plazo ¿cuál es la probabilidad de tener días soleados? 2. Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, 78


desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día Siguiente es 0,4, la de tener que viajar a B es 0,4 y la de tener que ir a A es 0,2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0,2. Por último si el agente comercial trabaja todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0,1, irá a B con una probabilidad de 0,3 y a C con una probabilidad de 0,6. a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días? b) ¿Cuales son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades?

CAPITULO 4: MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes: 1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de servicio en secuencia? 2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad? 3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria? 4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo? Lección 16: CONCEPTOS GENERALES INTRODUCCIÓN En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros 79


automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc. JUSTIFICACION La teoría de las colas se ocupa del análisis matemático de los fenómenos de las líneas de espera o colas. Las colas se presentan con frecuencia cuando de solicita un servicio por parte de una serie de clientes y tanto el servicio como los clientes son de tipo probabilístico. La teoría de las colas no pretenden en ningún momento resolver directamente el problema de la espera en colas sino mas bien describe la situación que presenta una cola a través del tiempo y extrae lo que bien se podría llamar las características operacionales de la cola. Alguna de estas características son el número promedio de clientes en la cola, su tiempo de espera en la cola, el porcentaje de tiempo que el despachador esta ocupado, etc. Debido al carácter básico de estas teorías nos limitaremos a hacer una exposición de los modelos mas elementales sin entrar estrictamente a considerar la labor de optimización de los sistemas que representan. OBJETIVOS 

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costo global del mismo.



Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.



Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.



Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

LECTURA AUTOREGULADA UNA VISITA A DISNEY

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¿Qué tan popular es Disney World en Orlando, Florida? Desde que abrió en 1971, 200 millones de personas han visitado Disney World, y esperan en filas Para tener acceso a sus muchas atracciones. Lo administración de Disney Pone mucha atención a la forma en que trata a sus clientes mientras esperan en las colas. En la ciencia de la administración. Las filas se conocen a menudo como colas, y la teoría de colas se aplica a muchas estructuras diferentes- En Disney world, por ejemplo, los visitantes forman una fila para tener acceso al paseo con el Capitán Nemo, mientras que los mismos submarinos del Capitán Nomo hacen cola mientras bajan y suben, a los pasajeros Qué también atiende las filas y a las personas es algo crítico para el negocio de Disney, Norm Doerges, directora de Epcot (que es parte de Disney World). analiza cómo Epcot fue diseñada. Primero, los investigadores de Disney recolectaron datos acerca del modo en que las personas pasan su tiempo en el parque. ¿Cuánto tiempo esperan en una fila? ¿Cuánto tiempo realmente invierten en las atracciones? ¿Cuánto tiempo pasan comiendo? ¿Cuánto tiempo les lleva decidirse sobre qué hacer a continuación? Segundo, Disney pide a sus clientes su opinión acerca de cuánto tiempo estañan dispuestos a esperar para tener acceso a las diferentes atracciones y servicios. Los diseñadores deo Epcot entonces construyeron un modelo para simular sucesos y el flujo de tráfico en el parque. teniendo en mente la eliminación de las esperas largas. Tomar en consideración las necesidades de los clientes en la etapa de diseño, significa que Epcot podría evitar el hacer cambios caros a gran escala en el parque después de que fuera construido. PREGUNTAS SOBRE EL CASO 1. ¿Cuánto tiempo estaban dispuestos a esperar los clientes de Disney World para tener acceso a las atracciones más populares? ¿Qué factores influyeron en sus decisiones? 2. Comente sobre la forma en que Disney revisa sus colas y con qué frecuencia lo hace. 3. ¿Qué tipos de datos objetivos y subjetivos recaba Disney para su modelo de simulación? Más allá del caso 1. ¿Por qué los supermercados no utilizan el sistema de una sola fila que se ve en la mayoría da los bancos? 2 ¿Qué ahorro en costos pueden resultar del uso de un modelo de colas para decidir cuántos servidores controladores, cajeros, etcétera) tener trabajando?

Lección 17: ANTECEDENTES ANTECEDENTES

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El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida. En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio. Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente porque los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable. En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan. La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas. Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones.

Lección 18: CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMAS DE COLAS Población de Clientes: Conjunto de todos los clientes posibles de un sistema de colas Proceso de llegada: La forma en que los clientes de la población llegan a solicitar un servicio

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Proceso de colas: La forma en que los clientes esperan a que se les dé un servicio Disciplina de colas: La forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles un servicio. Proceso de servicio: Forma y rapidez con que son atendidos los clientes Proceso de Salida: Forma en que los productos o los clientes abandonan un sistema de colas Sistema de colas de un paso: Sistema en el cual los productos o los clientes abandonan el sistema después de ser atendidos en un solo centro o estación de trabajo. Red de colas: Sistema en el que un producto puede proceder de una estación de trabajo y pasar a otra antes de abandonar el sistema.

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ELEMENTOS EXISTENTES EN UN MODELO DE COLAS

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Para describir una cola se deben especificar un proceso de entrada y uno de salida. En la siguiente tabla se presentan algunos ejemplos de procesos de entrada y salida. CASO Banco Pizzería Banco de sangre en hospital Astillero naval Frigorífico

PROCESO DE ENTRADA Los clientes llegan al banco.

PROCESO DE SALIDA Los cajeros despachan a los clientes Se reciben pedidos de La pizzería manda una pizzas. motocicleta para entregar pizzas. Llegan bolsas de sangre. Los pacientes usan bolsas de sangre. Se descomponen los barcos Se reparan los barcos y en el mar y se mandan al regresan al mar. astillero a reparación. Llegan las reses para ser Se despacha la carne para el sacrificadas consumo humano.

EL PROCESO DE LLEGADA El proceso de entrada se conoce, por lo general, por proceso de llegada. La llegada son los clientes. En todos los modelos que estudiamos, suponemos que solo hay una llegada en un instante dado. En el caso de un restaurante, es una suposición muy poco real. Si sucede que hay más de una llegada en un instante dado, decimos que se permiten llegadas en masa. En general, suponemos que el proceso de llegada no es afectado por el número de clientes presentes en el sistema. En el contexto de un banco, esto significaría que el proceso que gobierna las llegadas no cambia, haya 5 o 500 personas en la cola. Hay dos casos comunes en los que el proceso de llegada puede depender del número presente de clientes. El primero se da cuando las llegadas se toman de una población pequeña. Suponga que solo hay cuatro barcos en un astillero naval. Si los cuatro están en reparación, entonces ningún barco se puede descomponer en el futuro cercano. Por otro lado, si los cuatro barcos están en el mar, en el futuro cercano hay una probabilidad relativamente alta de que suceda una descompostura. Los modelos en los que las llegadas se toman de una población pequeña se llaman modelos de origen finito. Otro caso en el que el proceso de llegada depende del número de clientes presentes, se tiene cuando la rapidez a la que llegan los clientes a la instalación disminuye cuando está demasiado concurrida. Por ejemplo, si el lector ve que el estacionamiento del banco está lleno, podría pasar e ir otro día al banco. Si un cliente llega, pero no puede entrar al sistema, decimos que el cliente ha declinado. El fenómeno de declinación (denegar o no aprovechar su turno) fue explicado por Yogi Berra cuando dijo: "Nadie va ya al restaurante; está demasiado concurrido."

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Si al proceso de llegadas no lo afecta el número de clientes presentes, lo expresamos normalmente especificando una distribución de probabilidad que gobierne el tiempo entre llegadas sucesivas. PROCESO DE SALIDA O DE SERVICIO Para describir el proceso de salida, que con frecuencia se llama proceso de servicio, de un sistema de cola, en general especificamos una distribución de probabilidad; la distribución del tiempo de servicio, que gobierna el tiempo de servicio a un cliente. En la mayor parle de los casos suponemos que la distribución de tiempo de servicio es independiente del número de clientes presentes. Esto significa, por ejemplo, que el servidor no trabaja más rápido cuando hay más clientes. En este capítulo estudiaremos dos acomodos de servidores: servidores en paralelo y servidores en serie. Los servidores están en paralelo si todos ellos dan el mismo tipo de servicio y un cliente sólo necesita pasar por un servidor para completar su servicio. Por ejemplo, los cajeros de un banco están organizados generalmente en paralelo; cualquier cliente sólo necesita ser atendido por un cajero, y cualquier cajero puede llevar a cabo el servicio deseado. Los servidores están en serie si un cliente debe pasar por varios de ellos antes de completar el servicio. Un ejemplo de un sistema de cola en serie es una línea de ensamble. DISCIPLINA DE LA COLA Para explicar por completo un sistema de cola, también debemos explicar la disciplina de la cola y la manera en la que los clientes se unen a ella. La disciplina de la cola es el método que se usa para determinar el orden en el que se sirve a los clientes. La disciplina más común es la disciplina FIFO (el primero en llegar primero en ser servido), en la que los clientes son servidos en el orden de su llegada. Bajo la disciplina LIFO (último en llegar, primero en ser servido), las llegadas más recientes son las primeras en recibir el servicio. Si pensamos que la salida de un elevador sea un servicio, entonces un elevador muy lleno ilustra una disciplina LIFO. A veces, el orden en el que llegan los clientes no tiene efecto alguno sobre el orden en que se les sirve. Este sería el caso si el siguiente cliente en llegar se selecciona al azar de entre los que están esperando para ser atendidos. A este caso se le llama disciplina SEOA (servicio en orden aleatorio). Cuando al llamar a una aerolínea se les pide que esperemos, la suerte de la selección determina con frecuencia al siguiente interlocutor que es atendido por un operador. MÉTODO UTILIZADO POR LAS LLEGADAS PARA UNIRSE A LA COLA Otro factor que tiene un importante efecto sobre el comportamiento de un sistema de cola es el método que usen los clientes para determinar a cuál cola unirse. Por ejemplo, en algunos bancos los clientes deben hacer una sola cola, pero en otros, pueden escoger la cola donde formarse. Cuando hay varias colas, con frecuencia los clientes se forman en la más 86


corla. Desafortunadamente en muchos casos, como en un supermercado, por ejemplo, es difícil definir la cola más corta. Si hay varias colas en una instalación, es importante conocer si se permite a los clientes cambiar de cola o no. En la mayor parte de los sistemas con colas múltiples se permite el cambio, pero no se recomienda el cambio en una casilla para peaje. Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) Resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio. Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria. Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno. La cola: Es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio. El sistema de la cola: Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma). Lección 19: MEDIDAS DE RENDIMIENTO MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE COLAS Valor numérico que se utiliza para evaluar los meritos de un sistema de colas en estado estable. CONDICIONES: 1. Población de clientes infinita. 2. un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con una disciplinas de colas de primero en entrar primero en salir. FIFO. 3. un proceso de servicio que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de acuerdo con una distribución infinita. 88


FORMULAS: 

Taza de Llegada: número promedio de llegad por unidad de tiempo (λ).



Taza de Servicio: número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo (μ).



Utilización: probabilidad de hallar el sistema ocupado.

U=p p=λ/μ Probabilidad de que hayan clientes en el sistema o que el sistema este ocioso. Po = 1-p Probabilidad de que hayan clientes en el sistema. Pn = pn *po Número Promedio en Filas: número promedio de clientes que se encuentran esperando en la fila para su atención. Lq = λ2 / μ (μ-λ) Número Promedio en el Sistema: número promedio de clientes que se encuentran en el sistema. L = λ (μ-λ) Tiempo Promedio en la Cola: tiempo promedio de un cliente que llega tiene que esperar en la cola antes de ser atendidos. Wq = λ / μ (μ-λ) tiempo Promedio en el Sistema: tiempo promedio que un cliente invierte desde su llegada hasta su salida. Wq = 1 (μ-λ) FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS MEDIDAS DE RENDIMINTO DE UN SISTEMAS DE COLAS M/M/1

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Lección 20: ANÁLISIS DE COSTOS

ANALISIS DE COSTOS DEL SISTEMA DE COLAS Al analizar los méritos de contratar personal de reparación adicional en Bavaria , usted debería identificar dos componentes importantes:

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Para seguir adelante, necesita ahora conocer el costo por hora de cada Miembro del personal de reparación (denotado con C8) y el costo por hora de Una máquina fuera de operación (denotado por CW), que es el costo de una hora de producción perdida. Suponga que el departamento de contabilidad le informa que cada reparador le cuesta a la compañía $50 por hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc. El costo de una hora de producción perdida deberá incluir costos explícitos, como la contabilidad de ganancias no obtenidas, y costos implícitos, como la perdida de voluntad por parte del cliente si no se cumple con la fecha limite de la entrega. Estos costos implícitos son difíciles de estimar. Sin embargo suponga que el departamento de contabilidad estima que la compañía pierde $ 100 por cada hora que una máquina esté fuera de operación. Ahora ya puede calcular un costo total para cada uno de los tamaños de personal. Para un personal de siete reparadores, el número esperado de máquinas en el sistema es 12.0973, de modo que:

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Realizando cálculos parecidos para cada uno de los tamaños de personal restantes se tiene como resultado los costos por hora de cada alternativa que presentamos en la siguiente tabla: Costos por hora para diferentes tamaños de personal de reparación de la empresa Bavaria

De los resultados, usted puede ver que la alternativa que tiene menor costo por hora, $ 1128.63, es tener un total de nueve reparadores. En consecuencia, su recomendación a la gerencia de producción de la empresa X, es contratar a dos reparadores adicionales. Estor dos nuevos empleados tendrán un costo de $100 por hora, pero este costo adicional está más que justificado por los ahorros que se tendrán con menos máquinas fuera de operación. La recomendación reducirá el costo por hora de $ 1559.73 a $ 1128.63, un ahorro de aproximadamente $ 430 por hora, mayor que la cantidad que cubre sus honorarios.

CARACTERÍSTICAS CLAVES

En resumen, para evaluar un sistema de colas en el que controla el número de servidores o su tasa de servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costos y medidas de rendimiento: 

El costo por servidor por unidad de tiempo (C8).



El costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema (Cw).



El número promedio de clientes en el sistema (L).

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EJEMPLO DESARROLLADO La Concesión Neiva – Bogotá, tiene unas estaciones para el pesado de camiones cerca de sus peajes, para verificar que el peso de los vehículos cumpla con las regulaciones viales. La administración de la Concesión está considerando mejorar la calidad del servicio en sus estaciones de pesado y ha seleccionado una de sus estaciones como modelo a estudiar antes de instrumentar los cambios. La administración desea analizar y entender el desempeño del sistema actual durante las horas pico, cuando llega a la báscula el mayor número de camiones, suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este periodo, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor. Para estimar las tasas promedio de llegada y de servicio en la estación, los datos disponibles que la gerencia determina para los valores son: λ = número promedio de camiones que llegan por hora = 60 μ = número de camiones que pueden ser pesados por hora = 66 El valor de μ = 66 es mayor que el de λ = 60, de modo que es posible hacer el análisis de estado estable de este sistema. Solución:

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La intensidad de tráfico es: p = λ / μ = 60 / 66 = 0.9091 Mientras más cerca esté p de 1, más cargado estará el sistema, lo cual tiene como resultados colas más larga y tiempos de espera más grandes. En términos de p, λ y μ las medidas de rendimiento, para el problema de la concesión, se calculan de la siguiente manera: 1. Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema (Po): Po = 1 – p= 1 – 0.9091= 0.0909 Este valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que llega no tiene que esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía. Dicho de otra manera aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar. 2. Número promedio en la fila (Lq): Lq = p2/ 1 – p= (0.9091)2 / 1 – 0.9091= 9.0909 En promedio la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente nueve camiones esperando para obtener el servicio (sin incluir al que se está pesando) Cuando ya se ha determinado un valor para Lq se pueden calcular los valores de Wq , W, y L , así: 3. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq ) Wq = Lq / μ= 9.0909 / 60= 0.1515 Este valor indica, que en promedio un camión tiene que esperar 0.1515 horas, aproximadamente 9 minutos, en la fila, antes de que empiece el proceso de pesado. 4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W) W = Wq + 1 / λ= 0.1515 + 1 / 66= 0.1667 Este valor indica, que en promedio, un camión invierte 0.1667 horas, 10 minutos, desde que llega hasta que sale. 5 Número promedio en el sistema ( L ) L = λ * W= 60 * 0.1667= 10 Este valor indica, que en promedio, existe un total de 10 camiones en la estación de pesado, ya sea en la báscula o esperando ser atendidos. 6 Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( Pw ) : pw = 1 – Po = p= 0.9091 Este valor, como se estableció en el paso 1, indica que aproximadamente 91% del tiempo un camión que llegue tiene que esperar. 7 Probabilidad de que haya n clientes en el sistema ( Pn ) : Pn = p n * Po Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades: n pn 0 0.0909 1 0.0826 94


2 0.0759 3 0.0684 . . . . Esta tabla proporciona la distribución de probabilidad para el número de camiones que se encuentran en el sistema. Los números que aparecen en la tabla se pueden utilizar para responder una pregunta como: ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan más de tres camiones en el sistema?, en este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma de las primeras cuatro probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2 y 3. 8 Utilización ( U ) : U = p= 0.9091 Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo las instalaciones de pesado están en uso (un camión está siendo pesado). De manera equivalente, aproximadamente 9% del tiempo la estación está sin funcionar, sin que haya camiones que se estén pesando.

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CAPITULO 5 PROGRAMACIÓN NO LINEAL

Lección 21: Conceptos generales INTRODUCCIÓN Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones Función objetivo y funciones de restricción son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal de una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar x = ( x1,x2,....xn ) para maximizar f(x), sujeta a: g(x) bi, para i= 1, 2,3....m y x 0 en donde f(x) y las g(x) son funciones dadas de n variables de decisión. No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa. En este caso se destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de la forma: Optimizar z = f(x) Donde f es función no lineal de x y la optimización se realiza en (-∞, ∞). Si la búsqueda se circunscribe a un sub. Intervalo finito [a, b] el problema es de optimización no lineal restringida y se transforma a optimizar z = f(x) con la condición a x b. Optimización no lineal multivariable Es el caso análogo al anterior, pero en el caso en que la función f es de más de una variable, es decir: Optimizar z = f(X) donde X = [x1, x2, ..., xn]T Si existen las restricciones Gi(X) = 0 Es un problema no lineal multivariable restringido. Ejemplo Una Compañía desea construir una planta que recibirá suministros desde tres ciudades A, B, C, tomando como origen la ciudad A, B tiene coordenadas (300 km. al Este,400 Km. al Norte), y C tiene coordenadas (700 Km. al Este, 300 Km. al norte) respecto de A. La posición de la planta debe estar en un punto tal que la distancia a los puntos A, B y C sea la mínima. sean x1 y x2 las coordenadas desconocidas de la planta respecto de A. Utilizando la fórmula de la distancia, debe minimizarse la suma de las distancias

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No hay restricciones en cuanto a las coordenadas de la planta ni condiciones de no negatividad, puesto que un valor negativo de x1 significa que la planta se localiza al Oeste del punto A. La ecuación es un programa matemático no lineal in restricciones. Veamos ahora algunos casos de programación no lineal comunes de encontrar:

Lección 22: PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

Es un caso particular de programación matemática no lineal. Un programa Matemático en el cual cada restricción gi es lineal pero el objetivo es cuadrático se Conoce como programa cuadrático, es decir f(x1,x2,..,xn) = S i=1,nS j=1,n cijxixj + S i=1,ndixi Ejemplo Minimizar z = x12+X22 Con las condiciones x1 - x2 = 3 X2 3 Donde ambas restricciones son lineales, con n = 2 (dos variables) c11 = 1; c12 = c21 = 0; c22 = 1 y d1 = d2 = 0.

Lección 23: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE -CONDICIONES KUNH TUCKER MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen. Las condiciones que establecen las condiciones de optimalidad de KKT permiten resolver modelos de PNL con restricciones mediante la activación progresivas de las restricciones del modelo. Una restricción activa es aquella que se cumple en igualdad.

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Se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver los problemas no lineales en los cuales las restricciones son igualdades. Consideramos los del tipo siguiente: max(o min) z= f(x1,x2,.....xn..) s.a g1( x1,x2,.....xn..)= b1 g2( x1,x2,.....xn..)= b2 gm( x1,x2,.....xn..)= bm para resolverlo, asociamos un multiplicador L1 con la i-esima restricción y fórmamos el lagrangiano. Ejemplo Karush Kuhn Tucker (KKT)

No existe una única forma de abordar la resolución de un problema de programación no lineal utilizando el teorema de KKT. Consideraremos la aplicación de este teorema en este caso para problemas sólo con restricciones "<=" (menor o igual). Si el problema tiene restricciones ">=" éstas se pueden transformar por "<=" multiplicando por -1. Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Notar que si se han activado la totalidad de restricciones sin encontrar una solución factible, entonces el problema es infactible.

Lección 24: TÉCNICA DEL GRADIENTE En este punto se desarrolla un método para optimizar funciones continuas que son dos veces diferenciables. La idea general es generar puntos sucesivos comenzando en un punto inicial dado, en la dirección del aumento más rápido maximización) de la función. Está técnica se conoce como método del gradiente porque el gradiente de la función en un punto es lo que indica la tasa más rápida de aumento. Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un 98


modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen. En este sentido el método del gradiente (conocido también como método de Cauchy o del descenso más pronunciado) consiste en un algortimo específico para la resolución de modelos de PNL sin restricciones, perteneciente a la categoría de algoritmos generales de descenso, donde la búsqueda de un mínimo está asociado a la resolución secuencial de una serie de problemas unidimensionales. Los pasos asociados a la utilización del método del gradiente o descenso más pronunciado consiste en:

Ejemplo del Método del Gradiente Considere el siguiente modelo de programación no lineal sin restricciones. Aplique 2 iteraciones del método del gradiente a partir del punto inicial X0=(1,1).

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Luego de realizar la segunda iteración se verifica que se cumplen las condiciones necesarias de primer orden (d1=(0,0)). Adicionalmente se puede comprobar que la función objetivo resulta ser convexa y en consecuencia las condiciones de primer orden resultan ser suficientes para afirmar que la coordenada (X1,X2)=(-2,1) es el óptimo o mínimo global del problema. Lección 25: MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. Una desventaja de utilizar la condición necesaria f(x)= 0 para determinar puntos estacionarios es la dificultad de resolver numéricamente las ecuaciones simultáneas resultantes. El método de Newton-Raphson es un procedimiento iterativo para resolver ecuaciones simultáneas no lineales. Aunque el método se presenta en este contexto, realmente es parte de los métodos conocidos como métodos de gradiente para optimizar numéricamente funciones no restringidas, irrestrictas. fi (X) =0, i=1, 2, ..., m se Xk un punto dado. Entonces por el desarrollo de Taylor fi(X)= fi (Xk ) + fi(Xk) (X-Xk) , i= 1, 2, ...., m Por consiguiente, las condiciones originales pueden aproximarse por fi (Xk) + fi (Xk) (X-Xk) = 0 , i= 1, 2, ...., m k Estas ecuaciones pueden escribirse en notación matricial como Ak + Bk (X - X ) = 0 Bajo la hipótesis de que todas las fi(X) son independientes Bk necesariamente es no singular. Por consiguiente, la última ecuación proporciona X = Xk -Bk-1Ak La idea del método es comenzar desde un punto inicial X0. Utilizando la ecuación anterior, siempre puede determinarse un nuevo punto Xk+1a partir de Xk. El procedimiento finaliza con Xm como la solución cuando Xm = Xm-1 . ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD TALLER En los siguientes ejercicios identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores b. La población de clientes y su tamaño 100


c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas d. El proceso y la disciplina de colas e. Proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo - servicio 1. La división de mantenimiento de las Empresas Públicas de Neiva está tratando de decidir cuántos reparadores necesita tener para proporcionar un nivel aceptable de servicios a sus clientes. Las quejas llegan a un centro de servicios de acuerdo con una distribución exponencial, con una tasa promedio de 20 llamadas al día. El tiempo que tarda un técnico reparador en llegar al lugar donde se le llamó, resolver el problema y regresar también sigue una distribución exponencial, con un promedio de 3 horas y 30 minutos. 2. El gerente del Supermercado La Sexta desea determinar el número mínimo de cajeros que necesita para atender a los clientes que llegan a la hora del almuerzo. El tiempo promedio entre la llegada de dos clientes es de 2 minutos, pero el tiempo real entre llegadas sigue una distribución exponencial. Cada cajero puede atender un promedio de 12 clientes por hora, pero el tiempo de atención a cada cliente varía de acuerdo a una distribución exponencial. 3. El portaaviones de Aires tiene un complemento de 80 aviones. Después de operaciones de rutina, los aeroplanos son llevados de la cubierta de vuelo a una cubierta inferior, dos a la vez. El recorrido en elevador de una cubierta a otra dura 20 segundos y se necesitan diez segundos para cargar y descargar una aeronave del elevador. Los elevadores llegan al elevador de la cubierta de vuelo cada 30 segundos.

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FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2 BIBLIOGRAFÍA

● Álvarez A. Jorge Investigación de Operaciones. Programación Lineal. Editorial. U.N.I.Lima 1995. ● Prawda W. Juan Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones. Tomo I: Modelos Deterministicos. Editorial Limusa. Quinta Edición. México 2001. ● Taha Hamdy A. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Editorial Prentice Hall. Séptima Edición. México 2000. ● Instituto Tecnológico de “Introducción a la Investigación de Operaciones”. Sonora, México. Abril 2007

● Programa Nacional de TIC, “Capítulo Ministerio de Educación y Ciencia, España. Set. 2007

8:

Programación

Lineal”.

● Dr. Ing. Franco Bellini M, “Curso de Investigación de Operaciones”. Universidad Santa Maria. Caracas – Venezuela. Ago.2005

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Modulo actualizado Métodos probabilísticos-2012

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