CEBA PARROQUIAL
NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
ÁREA DE MATEMÁTICA “Razonamiento Matemático”
CICLO AVANZADO PEBANA - PEBAJA
PROFESOR: 3º AÑO DE DE PEBAJA –PEBANA ALUMNO:
CEBA NUESTRA SEÑORA DE MONTSERRAT _____________________
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INTRODUCCIÓN
El presente Módulo corresponde al área de Matemática del Ciclo Avanzado.
Los temas planteados conciernen al desarrollo y aplicación de los contenidos y actividades integrales programados en las unidades de aprendizaje del año lectivo.
Este documento se torna en un material flexible de relevancia ya que puede ser desarrollado dinámicamente entre los estudiantes y el docente; así mismo se convierte en un material autoinstructivo.
Se toma en cuenta los tres niveles de evaluación (heteroevaluación, autoevaluación y coevaluación) con la finalidad de abarcar al máximo el desempeño de los estudiantes.
Se espera que este esfuerzo por brindar un mejor servicio a los estudiantes de la Modalidad Básica Alternativa, obtenga obtenga los resultados previstos y se siga mejorando los materiales como herramienta de apoyo a este cometido.
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Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei
(1564-1642) Físico y astrónomo italiano.
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ÍNDICE 1. Matemática Recreativa I 2. Matemática Recreativa II 3. Orden de Información I 4. Orden de Información II 5. Operadores Matemáticos 6. Sucesiones 7. Analogías y Distribuciones Distribuc iones 8. Conteo de Figuras 9. Operaciones Operacio nes Combinadas I 10. Operaciones combinadas II 11. Planteo de Ecuaciones I 12. Planteo de Ecuaciones II
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Ejemplos:
1. Quitar dos palitos de fosforo para que queden solamente cuatro cuadrados iguales En este capitulo encontraras interesantes ejercicios en donde tendrás que poner en practicas tu habilidad e ingenio En el presente capítulo vamos a analizar tres tipos de situaciones problemáticas:
Resolución:
1. Situaciones con palitos de fósforo 2. Transmisiones y engranajes 3. División de figuras
1. SITUACIONES CON PALITOS DE FÓSFORO Esta parte de la matemática recreativa trata de resolver situaciones en los cuales intervienen palitos de fósforo o cerillas.
Al eliminar los palitos indicados, quedarán cuatro cuadrados iguales de la siguiente manera:
Las situaciones problemáticas se dividen en tres tipos de análisis: a.) Resolver las situaciones quitando palitos. b.) Resolver las situaciones moviendo palitos. c.) Resolver las situaciones agregando palitos. Estimado alumno para el análisis de las situaciones anteriormente descritas debes de tener en cuenta las siguientes consideraciones: No es valido doblar o romper los palitos. En las figuras conformadas por cerillas no es válido dejar palitos libres (cabos sueltos); es decir, es incorrecto dejar una figura de la siguiente manera:
Palito libre
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2. En la siguiente igualdad incorrecta mover solamente un palito de fósforo y transformarlo en una igualdad correcta.
5
Resolución Todos nosotros sabemos que 3 - 1 es igual a 2 y no a 3 como aparece en la igualdad propuesta, por lo tanto para lograr transformarla en una igualdad correcta hay que mover un palito de la siguiente manera: PROFESOR: PEDRO FLORES C.
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adquirir los engranajes y las ruedas propuestas. NOTA: No olvidar que existen dos tipos de giros:
Giro Horario
Y obtenemos una verdadera igualdad, ya que 2 + 1 es igual a 3.
3. En la figura adjunta agregar cuatro palitos de fósforo y obtener uno.
Resolución Seguro que muchos pensaron en formar el número uno (1), pero el razonamiento correcto es formar la palabra UNO; para ello hay que agregar cuatro palitos de la siguiente manera:
Giro Antihorario
Para una mejor comprensión del tema analizaremos y completaremos las siguientes situaciones: a. Situ ación 1
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido antihorario.
Conclusión: Dos ruedas en contacto girarán en sentidos opuestos. b. Situación 2
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido horario.
2. TRANSMISIONES Y ENGRANAJES En esta segunda parte analizaremos la transmisión del movimiento que van a PEBAJA –PEBANA
Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja abierta girarán en sentidos iguales. PROFESOR: PEDRO FLORES C.
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c. Situación 3
B. ____________________ Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido antihorario.
Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja cruzada girarán en sentidos opuestos.
C. ____________________
Ejercicio 2 Si la rueda "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran las ruedas "B" y "C" respectivamente?
d. Situación 4
B. ____________________ C. ____________________
3. DIVISIÓN DE FIGURAS
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido horario.
Conclusión: Dos ruedas unidas por el mismo eje girarán en sentidos iguales.
En esta última parte de matemática recreativa analizaremos la división de figuras en función de diversas situaciones razonadas. Veamos a ejemplos:
continuación
algunos
Ejemplo 1 A continuación ejercicios con deducido:
resolveremos dos lo anteriormente
Ejercicio 1 Si la rueda "A" gira en el sentido que indica la flecha, ¿en qué sentidos giran las ruedas "B" y "C" respectivamente? PEBAJA –PEBANA
7 Trazar dos líneas rectas y lograr dividir la figura adjunta en cuatro partes.
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PROBLEMAS RESUELTOS
Resolución Realizamos los dos trazos de la siguiente forma:
1. A continuación se muestra una operación incorrecta formada por palitos de fósforo:
2 1 3
4
Y como observamos hemos obtenido cuatro partes.
Se le pide a Ud. que mueva un palito de fósforo para transformarla en una igualdad correcta. Resolución
Ejemplo 2 Antonio tiene cuatro hijos y un terreno de la siguiente forma:
2. Observe la siguiente figura conformada por palitos de fósforo: f ósforo: En su testamento ha dispuesto que cada uno de ellos reciba la misma forma y tamaño de terreno (es decir, cada hijo debe recibir un terreno exactamente igual al otro). ¿Cómo logró realizar lo requerido? Resolución Antonio utilizando su ingenio y creatividad dividió su terreno en cuatro partes exactamente iguales de la siguiente manera:
Se le pide a Ud. que quite dos palitos de fósforo con la finalidad de obtener tres cuadrados iguales. Resolución
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3. En la igualdad incorrecta que se propone a continuación, ¿cuántos palitos hay que mover como mínimo para lograr convertirla en una igualdad correcta?
5. En la figura adjunta, ¿cuántos palitos hay que agregar como mínimo para lograr obtener dos triángulos iguales y un rombo?
Resolución Resolución
4. En la siguiente figura, ¿cuántos palitos hay que quitar como mínimo para obtener tres triángulos t riángulos iguales?
Resolución
6. En los engranajes engranajes que se se proponen proponen a continuación, la rueda "A" gira en sentido horario. Determinar en qué sentido giran las ruedas "B" y "C" respectivamente.
La rueda "B" gira en sentido: ________ La rueda "C" gira en sentido: ________
La rueda "B" gira en sentido: ________ La rueda "C" gira en sentido: ________
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7. Observe la siguiente siguiente figura:
Nivel I En los problemas que se proponen a continuación las igualdades son incorrectas, en cada uno de ellos mueva Ud. solamente un palito de fósforo y logre transformarlas en igualdades correctas. Se le pide a Ud. que la divida en cuatro triángulos exactamente iguales trazando solamente dos rectas.
1.
2. 8. Observa la figura propuesta: propuesta: 3.
4. Cambiando de posición un palito de fósforo hacer que el animal representado mire al otro lado. Se le pide a Ud. que la divida en cuatro rectángulos exactamente iguales trazando solamente dos rectas.
5. Se ha construido una casa utilizando diez palitos de fósforo. Cambiar en ella la posición de dos palitos de fósforo, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.
0 1 a n i g á P
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6. Se tienen doce palitos de fósforos dispuestos como muestra el gráfico adjunto, usted debe retirar dos palitos de fósforo y lograr que queden solo dos cuadrados.
9. Si el engranaje "A" se mueve como indica la flecha, indicar en qué sentidos giran "C", "D" y "E".
"C" gira en sentido ______________ 7. Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido giran las ruedas "B" y "C"?
"D" gira en sentido ______________ "E" gira en sentido ______________ 10. Si el engranaje "E" gira tal y como indica la flecha, mencione qué engranajes giran en sentido antihorario.
"B" gira en sentido _____________ "C" gira en sentido _____________ 8. ¿En qué sentido giran los engranajes "A" y "D", si "C" gira en el sentido que indica la flecha?
Respuesta: ___________________ 11. Si el engranaje "6" gira en el sentido que indica la flecha, diga Ud. qué engranajes giran en sentido horario.
1 1 a n i g á P
"A" gira en sentido _______________ "D" gira en sentido _______________ Respuesta: __________________ PEBAJA –PEBANA
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Nivel II 13. La siguiente figura muestra un cuadrado que debe dividirse en tres partes trazando dos rectas que cortan al cuadrado.
1. La siguiente figura representa un recogedor, dentro del cuál se encuentra un papel. Cambiando de posición dos palitos del recogedor, el papel debe quedar afuera; ¿qué palitos tendrían que moverse?
14. La siguiente figura muestra un rectángulo que debe dividirse en siete partes trazando tres rectas que cortan al rectángulo.
2. Cambiando la posición de dos palitos de fósforo hay que reducir de 5 a 4, el número de cuadrados. ¿Cómo lo harías?
15. Dividir a la luna que se propone a continuación en seis partes trazando solamente dos rectas.
3. ¿Cuál será la menor cantidad de palitos a mover para que el perrito mire para el otro sentido? Observación: el perrito debe estar siempre con la cola hacia arriba.
2 1
a) 1 d) 4
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b) 2 e) 5
c) 3
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4. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes agregar para formar ocho cuadrados?
7. Si el engranaje "1" se mueve como indica la flecha, decir cuántos se mueven en sentido horario.
a) 2 d) 5 a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
b) 3 e) 6
c) 4
c) 5 8. Dividir la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño.
5. ¿Cuántos palitos de fósforo debes retirar como mínimo para que quede uno?
a) 6 d) 8
b) 7 e) 4
c) 5 9. Dividir la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño.
6. ¿En qué sentido giran "B" y "C", si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha?
10. ¿En qué sentido giran "B" y "C" respectivamente, si "A" gira en el sentido que indica la flecha?
3 1 B. __________
PEBAJA –PEBANA
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C. __________
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a) Antihorario, antihorario b) Horario, antihorario c) Antihorario, horario d) Horario, horario e) No giran
2. Con tres líneas rectas dividir la figura en siete partes, de tal manera que en cada parte haya un círculo.
Nivel III 1. Colocaremos doce palitos de fósforo de la siguiente manera:
3. Una llave está formada por diez palitos de fósforo. ¿Cuántos palitos cómo mínimo debes cambiar de posición para que resulten tres cuadrados iguales?
Ahora responde lo siguiente: a. Forma tres cuadrados moviendo cuatro palitos
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
4. Indicar cuántos giran en sentido horario, si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha.
b. Con los datos del problema inicial, forma cinco cuadrados moviendo cuatro palitos.
a) 5 d) 4
b) 6 e) 8
c) 7
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5. ¿Cuántos palitos como mínimo debes mover, para que la igualdad se verifique?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
9. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes mover para formar cinco cuadrados?
c) 3
6. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar cuatro cuadrados del mismo tamaño?
10.¿Cuántos engranajes giran en sentido horario y cuántos en sentido antihorario?
7. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar cuatro cuadrados del mismo tamaño?
8. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados iguales?
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Ejemplo 2 Con tres cifras "5" y utilizando las operaciones básicas formar el número 11.
En esta parte analizaremos las siguientes situaciones problemáticas: 1. Formación de números utilizando las cuatro operaciones fundamentales. 2. Construcciones numéricas 3. Situaciones razonadas diversas
1. FORMACIÓN DE NÚMEROS En este subcapítulo el objetivo principal va a ser formar números dadas cierta cantidad de cifras, para ello utilizarás las cuatro operaciones fundamentales como base para la resolución de los problemas. Recuerda que aquí pondrás a prueba toda tu habilidad numérica y operativa. Veamos a continuación dos ejemplos:
Ejemplo 1 Con tres cifras "4" y utilizando las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división) formar el número 5.
Resolución Para formar el número 11 hay que emplear las tres cifras "5" de la siguiente forma:
2. CONSTRUCCIONES NUMÉRICAS En esta parte de la matemática recreativa deberás colocar en los círculos o recuadros en blanco ciertas cifras, con el objetivo de obtener construcciones numéricas en las figuras propuestas. NOTA: Cuando coloques las cifras propuestas en las figuras adjuntas no es válido repetir las cifras. Para un mejor entendimiento resolveremos dos ejemplos:
Ejemplo 1 Completar los números que faltan en los casilleros en blanco de la torre mostrada, con la condición que el casillero superior sea la suma de los dos inferiores y adyacentes a él. 9
Resolución 5
Para formar el número 5 hay que emplear las tres cifras "4" de la siguiente forma:
3
Resolución Para un mejor entendimiento completaremos paso a paso los casilleros en blanco.
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Ejemplo 2 Colocar las cifras: 0; 1; 2; 3; 4 y 5 (sin repetir) en los círculos en blanco con la condición que cada lado del triángulo sume 8.
Resolución Moveríamos la copa 2 y vaciamos su contenido en la copa 5.
1
3
4
5
6
Luego de ello quedaría así: Resolución Utilizando nuestra habilidad numérica colocaremos las cifras dadas de la siguiente manera: 5
2
3
4
5
6
Ejemplo 2 Tenemos 5 aros como los de la siguiente figura:
8
8 2
0
1
3
4
3. SITUACIONES RAZONADAS DIVERSAS Esta última parte tratará de ciertas situaciones problemáticas donde su resolución requiere de la aplicación del razonamiento e ingenio matemático. Esperamos que este subcapítulo sea tan interesante como los anteriores. Ejemplo 1 La siguiente figura representa seis copas, las tres primeras están llenas con vino y las tres últimas están vacías. Moviendo una sola copa lograr que éstas queden alternadas; es decir, una llena y una vacía, ¿qué copa moverías y cómo?
2
PEBAJA –PEBANA
3
4
¿Cuál es la menor cantidad de aros que debemos abrir y cerrar para obtener una cadena? Resolución
8
1
1
5
Seguro que muchos pensaron que hay que abrir cuatro aros, pero esa no es la solución, ya que la condición del problema es que abramos y cerremos la menor cantidad de aros.
Lo correcto es abrir el aro 2, engancharlo con los aros 1 y 3 y luego cerrarlo, después abrir el aro 4 y engancharlo con los aros 3 y 5 para luego cerrarlo; de esa manera obtendremos la cadena pedida.
6
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PROBLEMAS RESUELTOS
1. Se tienen las cifras: 3; 3; 3 Se le pide a Ud. que con ellas y utilizado adecuadamente uno o más signos aritméticos (+, -, x, :) obtenga como resultado 12.
2. Se proponen las cifras: 5; 5; 5 Se le pide a Ud. que con ellas y empleando adecuadamente uno o más signos aritméticos (+, -, x, :) obtenga como resultado 4.
3. Con solamente cuatro cifras "2" y utilizando correctamente uno o más signos aritméticos obtenga como resultado 5.
4. Con solamente cuatro cifras "6" y empleando convenientemente uno o más signos aritméticos obtenga como resultado 7.
5. En los círculos vacíos del triángulo mostrado coloque Ud. sin repetir las cifras: 0; 1; 2; 3; 4 y 5 con la condición que cada uno de sus lados siempre sumen 9.
6. Coloque Ud. las cifras: 1; 2; 3; 4; 5 y 6 (sin repetir) en los círculos vacíos de la siguiente figura, con la condición que la suma de cada lado del triángulo sea igual a 11.
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7. Complete los números que faltan en los casilleros de la siguiente pirámide, teniendo en cuenta que la suma de los números de dos casilleros adyacentes resulte el casillero inmediato superior.
Nivel I 1. Con tres cifras "2" y utilizando las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división) formar el número 3.
8. Complete los números que faltan en los casilleros de la pirámide adjunta, con la condición que la suma de los números de dos casilleros adyacentes den como resultado el casillero inmediato superior.
2. Con tres cifras "6" y utilizando las cuatro operaciones básicas obtener el número 30.
3. Con cuatro cifras "5" y utilizando las cuatro operaciones fundamentales formar el número 7.
4. Solamente con cuatro cifras "4" y utilizando las operaciones fundamentales obtener los números del 1 al 10 inclusive. 9. Observe la siguiente cadena:
1= 2=
Se le pide a Ud. que abra un eslabón de tal manera que los tres eslabones queden sueltos.
3= 4=
10. Se propone el siguiente cuadrado formado por cuatro monedas idénticas:
5=
9 1
6=
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7= Se les pide a Ud. que mueva una moneda para lograr obtener un triángulo. PEBAJA –PEBANA
8= PROFESOR: PEDRO FLORES C.
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8. Complete los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior.
9= 10 = 5. Colocar los números del 1 al 6 (sin repetir) en los círculos del triángulo, de manera que la suma por lado sea igual a 12.
6. Colocar los números del 1 al 8, de tal forma que en cada ficha la suma sea la misma.
7. Complete los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila, debe dar el número superior.
9. Disponer los números del 3 al 8 (sin repetir) en los círculos del triángulo, de manera que la suma por lado sea igual a 18.
10. Colocar los números del 1 al 9 (sin repetir) en los círculos de la cruz, de manera que la suma por cada fila (vertical y horizontal) sea igual a 27.
29 15
0 2
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11. En los círculos de la rueda disponer los números del 1 al 9 (sin repetir) de modo que la suma por cada diámetro sea igual a 15.
14. Se coloca un microbio en un frasco, el cual se duplica en cada minuto. Si a las 4:00 p.m. se llenó el frasco, indique a qué hora estaba lleno hasta la mitad.
15. Se llevaron al joyero cinco pedazos de cadena de oro, de tres eslabones cada pedazo. Si por abrir y cerrar un eslabón se paga S/. 10, ¿cómo hizo Pedrito para pagar solamente S/. 30 sabiendo que formó una cadena? 12. En una fila de 10 vasos, los cinco primeros están llenos de vino y los siguientes vacíos. ¿Cuántos vasos como mínimo se deben mover para que los llenos y los vacíos se encuentren alternados?
Nivel II 1. Con cinco cifras "5" y utilizando las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división) formar el número 5.
13. Para cruzar un río, un hombre disponía solamente de una canoa y llevaba con él un zorro, una gallina y un saco de maíz. Si por viaje solo podía llevar una de sus pertenencias, ¿cómo hizo para cruzar si se sabe que el zorro se come a la gallina y la gallina se come el maíz de dejar solos a estas parejas?
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2. Con cinco cifras "9" y utilizando las cuatro operaciones básicas obtener el número 12.
3. Con siete cifras "7" y utilizando las cuatro operaciones fundamentales formar el número 17.
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4. Colocar las cifras del 1 al 7, una en cada círculo, de tal manera que la suma en cada línea de tres círculos sea 10.
7.
¿Cuántas monedas se deben cambiar de lugar como mínimo para pasar de la posición "A" a la posición "B"?
A a) 3 d) 6 5. Complete los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números de casilleros consecutivos de cualquier fila debe dar el número en el nivel inmediato superior.
5
8
10 6
1
B b) 4 e) 7
c) 5
8. Se desea dividir una torta en ocho partes utilizando únicamente tres cortes, ¿cómo deberá realizar dichos cortes?
9. Colocar los números del 1 al 7 sin repetir, de tal manera que los números de arriba sean el resultado de la suma de los dos de abajo adyacentes a él.
6. Se colocan nueve monedas tal como indica la figura, dibujando solamente dos cuadrados deberás ubicarlos en regiones que contengan solamente una moneda. 10. Dos adultos y dos niños deben cruzar un río empleando para ello una canoa que soporta como máximo 80 kg. Si cada niño pesa 40 kg y cada adulto 80 kg, ¿cómo deben hacer para cruzar todos en la menor cantidad de viajes?
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Nivel III 1.
Colocar las cifras del 1 al 7 en cada espacio de los círculos para que la suma de los números de cada círculo sea 13.
2. A Coquito se le cae su reloj, quedando este partido en tres, y observa curiosamente que en cada región la suma de sus valores es la misma. Indicar cómo quedó dividido dicho reloj.
11
12
1
10
4. Colocar los números del 1 al 9, uno en cada casillero sin repetirlos de tal manera que la suma de las columnas, filas y diagonales principales sea 15.
5. Disponer los números del 1 al 9 (sin repetir) en los círculos del triángulo, de manera que la suma por lado sea igual a 21.
2
9
3 8
4 7
6
5
3. Colocar los números del 1 al 8 inclusive en cada casillero de la figura, de tal manera que dos números consecutivos no queden juntos. (Ni por un lado, ni por una esquina)
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Estos problemas se caracterizan por presentar un conjunto de datos desordenados que necesariamente contienen toda la información que se requiere para dar la solución y su respectiva respuesta a dichos problemas. Una manera sencilla de resolverlos es procediendo de la forma más esquemática posible, es decir, realizando gráficos, dibujando figuras, trazando líneas, etc. En otras palabras, tratando de representar gráficamente los datos del problema y no pretender llevar todas las relaciones utilizando solamente la lógica. Esta primera parte tratará el ORDENAMIENTO LINEAL, para lo cual analizaremos los tres casos que presenta este ordenamiento, que son: 1. Ordenamiento creciente y decreciente 2. Ordenamiento lateral 3. Ordenamiento por posición de datos
1. ORDENAMIENTO CRECIENTE Y DECRECIENTE Este caso se reconoce porque los datos que se presentan son susceptibles a ser ordenados de mayor a menor y viceversa (en forma creciente o decreciente), por ejemplo nuestras edades, estaturas, pesos, puntajes que obtenemos en un examen, etc. Para una mejor comprensión de este ordenamiento resolvamos a continuación dos ejemplos:
PEBAJA –PEBANA
Ejemplo 1 José es más alto que Eduardo pero más bajo que Gildder, Rommel es más alto que Gildder pero más bajo que Alex. ¿Quién es el más alto de todos? ¿Quién es el más bajo de todos? Resolución Una forma óptima de resolver este problema es trazar una línea vertical que nos servirá de guía para no confundir la información dada, es decir, de la siguiente manera: José es más alto que Eduardo pero más bajo que Gildder
Gildder José Eduardo Rommel es más alto que Gildder pero más bajo que Alex
Alex Rommel Gildder Por lo tanto el ordenamiento quedaría así: Alex Rommel Gildder José Eduardo
Luego el más alto de todos es Alex y el más bajo de todos es Eduardo.
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Ejemplo 2 En una práctica de razonamiento matemático Karen obtuvo 2 puntos más que Patricia, Lady obtuvo 3 puntos menos que Diana y ésta última 4 puntos más que Karen. ¿Quién obtuvo el puntaje más alto?
Ejemplo 1 Ana, Beatriz, Cecilia y Delia viven en cuatro casas contiguas. Si Ana vive a la derecha de Cecilia, Beatriz no vive a la izquierda de Delia y Ana vive entre Delia y Cecilia, ¿quién vive a la derecha de las demás?
Resolución
Resolución
Para este problema como no nos dan los puntajes, nosotros lo podemos asumir. Supongamos que Patricia obtuvo 14 puntos (estamos asumiendo este valor arbitrariamente), entonces: Patricia = 14 Karen = 14 + 2 = 16 Diana = 16 + 4 = 20 Lady = 20 - 3 = 17
De acuerdo a los datos, tenemos:
Observando los resultados deducimos que la que obtuvo el mayor puntaje es Diana.
Ana vive a la derecha de Cecilia
Cecilia Ana Ana vive entre Delia y Cecilia
Cecilia Ana
Delia
Beatriz no vive a la izquierda de Delia (entonces vive a su derecha)
Cecilia Ana Delia Beatriz 2. ORDENAMIENTO LATERAL En este caso el ordenamiento de los datos se realiza lateralmente (en forma horizontal), por ejemplo cierta cantidad de personas sentadas en una banca (cada una se encuentra al lado de otra) o un conjunto de casas construidas en una avenida una a continuación de otra. Antes de resolver los ejercicios estimado alumno debes de saber que en un ordenamiento lateral se cumple lo siguiente: IZQUIERDA OESTE OCCIDENTE
DERECHA ESTE ORIENTE
NOTA: Es frecuente que en este tipo de ordenamiento encuentres la palabra ADYACENTE, la cual quiere decir "junto a" o "al lado de".
PEBAJA –PEBANA
Por lo tanto la que vive a la derecha de las demás es Beatriz.
Ejemplo 2 El volcán "P" está ubicado al oeste del volcán "Q", el volcán "R" está ubicado al oeste del volcán "P" y el volcán "S" está ubicado al este del volcán "R" pero al oeste del volcán "P". ¿Cuál es el volcán ubicado más al oeste? Resolución De acuerdo a los datos, tenemos: El volcán "P" está ubicado al oeste del volcán "Q"
P
Q
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El volcán "R" está ubicado al oeste del volcán "P"
4to piso 3er piso 2do piso
R
P
1er piso
Q
El volcán "S" está ubicado al este del volcán "R" pero al oeste del volcán "P"
R
S
P
Q
Por lo tanto el volcán ubicado más al oeste es el volcán "R"
3. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE ELEMENTOS Es aquel ordenamiento donde los datos ocupan posiciones determinadas o fijas, como los pisos ubicados en un edificio o los puestos que existen en una competencia deportiva (primer puesto, segundo, tercero, etc.). Desarrollaremos a continuación dos ejemplos propuestos:
Ejemplo 1 Cuatro personas "A", "B", "C" y "D" viven en un edificio de cuatro pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que "C" vive un piso más arriba que "A"; "B" vive más arriba que "D", y "C" vive más abajo que "D", ¿en qué piso vive "C"?
Luego ordenemos los datos de la siguiente manera:
"B" vive más arriba que "D"
B
"C" vive un piso más arriba que "A"
C
D
"C" vive más abajo que "D"
A
Luego ordenemos los datos de la siguiente manera:
Ejemplo 2 En una carrera entre cinco amigas, se sabe que María va en primer lugar, Lucía en el quinto puesto, Tatiana va en el puesto intermedio entre ambas, Juana le sigue a Tatiana e Irene está mejor ubicada que Juana. ¿Quién ocupa el segundo lugar? Resolución Acorde a los datos los lugares de estas cinco amigas quedó así: 5to lugar
4to lugar
3er lugar
2do lugar
1er lugar
Lucía
Juana Tatiana Irene María
Resolución Para resolver este problema graficaremos un edificio de cuatro pisos.
6 2 Por lo tanto la que ocupa el segundo lugar es Irene.
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PROBLEMAS RESUELTOS
1. Se sabe que Arturo es menor que Jorge y que Fernando, pero Jorge es mayor que Fernando. ¿Quién es el menor de todos ellos?
4. A una fiesta asisten cinco amigos y respecto a ellos se tiene la siguiente información: * Antonio es más alto que Bernardo. * Carlos es el más alto de todos. * David es más alto que Antonio. * Eduardo es más bajo que Antonio. Si Eduardo no es el menor de todos, ¿quién lo es?
2. De tres amigas se sabe lo siguiente: * Andrea es menor que Gabriela. * Vania es mayor que Andrea. * Gabriela es menor que Vania. De todas ellas, ¿quién es la menor?
5. Tres amigos viven en casas adyacentes. Si Gildder vive a la izquierda de Rommel pero a la derecha de José, ¿quién vive a la izquierda de los demás?
3. Si se sabe que: * Sergio es más alto que María pero más bajo que Luis. * Tania es más baja que María. ¿Quién es el mayor y la menor respectivamente?
6. Cuatro señoritas viven en casas contiguas y se sabe que: * La casa de Dora queda junto y a la derecha de la casa de Amanda. * Carmen vive a la izquierda de la casa de Dora. * Beatriz vive a la derecha de la casa de Amanda. ¿Quién vive a la derecha de las demás?
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9. Se tiene un edificio de cuatro pisos y se sabe que en cada piso vive una familia. La familia Cáceres vive adyacente a la familia Martínez y a la familia Tapia; la familia Figueroa vive más abajo que los Cáceres. Si la familia Martínez no vive en el cuarto piso, entonces, ¿quién vive en dicho piso? 7. Se tiene la siguiente información: * La ciudad "P" se encuentra al oeste de la ciudad "S". * La ciudad "R" se encuentra al este de la ciudad "Q" pero al oeste de la ciudad "P". ¿Cuál de las ciudades anteriormente mencionadas se encuentra más al oeste? 10. En una competencia de Fórmula 1 participan los autos: "V", "W", "X", "Y" y "Z". Si se sabe que: * El auto "W" llegó antes que el auto "Y" pero después que el auto "Z". * El auto "X" ocupó el primer lugar. * El auto "V" llegó después que el auto "Y". 8. Cuatro personas: Félix, Irene y Karina viven en un edificio de cuatro pisos; cada una en un piso diferente. Si se sabe que Irene vive un piso más arriba que Félix, Hugo vive más arriba que Karina e Irene vive más abajo que Karina; ¿en qué piso vive Félix?
¿Qué auto ocupó el segundo y el quinto lugar respectivamente?
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Nivel I 1. María es menor que José y Rosa es mayor que María pero José es menor que Rosa. De todos ellos, ¿quién es el mayor? a) María c) Rosa e) Falta información
b) José d) Julio
2. Se sabe que Juan es mayor que Carlos y Carlos es mayor que Enrique. ¿Quién es el menor de todos, si Pedro y Antonio son mayores que Juan? a) Juan d) Antonio
b) Carlos c) Pedro e) Enrique
3. Se sabe que: - Alberto es mayor que Beatriz pero menor que Catherine. - Catherine es mayor que David pero menor que Elena. - David es mayor que Alberto. ¿Quién es el mayor de todos? a) Beatriz b) David c) Elena d) Catherine e) Alberto
4. Según el problema anterior, ¿cuántas personas son mayores que Alberto? a) 1 d) 4
b) 2 c) 3 e) no se puede
5. Cuatro amigas viven en la misma calle, si sabemos que: - Janisse vive a la izquierda de Úrsula - La casa de Úrsula queda junto y a la derecha de la de Wendy. - Wendy vive a la izquierda de Noemí. ¿Quién vive a la izquierda de las demás? a) Úrsula d) Wendy
6. Angela, Brescia, Carolina y Diana viven en cuatro casas contiguas. Si Angela vive a la derecha de Carolina, Brescia no vive a la izquierda de Diana y Angela vive entre Diana y Carolina; podemos afirmar que: a) Diana vive a la derecha de las demás b) Angela vive a la izquierda de las demás. c) Carolina vive a la derecha de Diana d) Angela vive a la derecha de Brescia. e) Carolina vive a la izquierda de las demás. 7. se tiene las siguientes afirmaciones: - La ciudad "A" se encuentra al este de la ciudad "B". - La ciudad "C" se encuentra al oeste de la ciudad "D". - La ciudad "B" se encuentra al este de la ciudad "D". ¿Cuál de las ciudades anteriormente descritas se encuentra al este de las demás? a) A d) D
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b) Noemí c) Janisse e) Faltan datos
b) B e) E
c) C
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8. El volcán Temboro está ubicado al este del volcán Sumatra. El volcán Etna está al oeste del Krakatoa y este último está ubicado al oeste del Sumatra. ¿Cuál es el volcán ubicado más al oeste? a) Krakatoa b) Sumatra c) Temboro d) Etna e) No se puede determinar
9. Cuatro personas "P", "Q", "R" y "S" viven en un edificio de cuatro pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que "R" vive un piso más arriba que "P"; "Q" vive más arriba que "S" y "R" vive más abajo que "S". ¿En qué piso vive "R"? a) 1° d) 4°
b) 2° e) Sótano
c) 3°
10. Se tiene un edificio de cuatro pisos y se sabe que en cada piso vive una familia. La familia Castro vive adyacente a la familia Machado y a la familia Tello; la familia Farfán vive más abajo que los Castro. Si la familia Machado no vive en el cuarto piso, entonces ¿quién vive en dicho piso? a)Tello d)Machado
b) Farfán c) Castro e)Falta información
11. Cinco personas "D", "E", "F", "G" y "H" viven en un edificio de cinco pisos, cada uno en un piso diferente. Se sabe además que "D" vive en el segundo piso, "F" vive adyacente a "H" y "D"; y "E" vive más arriba que "G". ¿Quién vive en el primer piso? a) F d) E
b) D e) H
c) G
12. Acorde al problema anterior, podemos afirmar que: a) "F" vive en el cuarto piso. b) "D" vive más arriba que "H". c) "E" vive en el tercer piso. d) "G" no vive en el cuarto piso. e) "H" vive más abajo que "F". 13. En una competencia de ciclismo participan cuatro personas: "W", "X", "Y" y "Z". Se sabe que "Z" ganó a "X" pero no a "W" y éste último no ganó a "Y". ¿Quién ganó la carrera? a) Z d) W
14. En una carrera participan cuatro amigas: Michelle, Rocío, Kelly y Verónica. Si del orden en que llegaron se conoce que: - Ni las trampas que hizo ayudaron a ganar a Michelle. - Verónica y Kelly llegaron una detrás de la otra en orden alfabético. - Michelle aventajó a Rocío por tres puestos. ¿Quién ganó la carrera y quién llegó en tercer lugar respectivamente? a) Michelle y Verónica b) Michelle y Kelly c) Kelly y Michelle d) Verónica y Rocío e) Verónica y Michelle
15. En una competencia automovilística el auto de Manuel va en primer lugar y el auto de Nestor en el quinto puesto. Si Lincoln va en el puesto intermedio entre ambos, Jorge le sigue a Lincoln y Ricardo está mejor ubicado que Jorge, ¿quién ocupa el segundo lugar? a) Lincoln d) Nestor
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b) Y c) X e) faltan datos
b) Jorge c) Ricardo e) Gildder PROFESOR: PEDRO FLORES C.
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4.
Nivel II 1. De un grupo de personas se sabe lo siguiente: Eduardo tiene 3 años más que Rubén, éste tiene 2 años más que Danny, Manuel 5 años más que Eduardo y John tiene 4 años más que Manuel. ¿Quién es la persona que tiene más edad? a) Rubén d) Eduardo
b) Danny e) John
c) Manuel
2. En una reunión un caballero comenta lo siguiente: "Mariela pesa 4 kg menos que Sofía, Vanessa pesa 3 kg más que Sofía, Roxana pesa 2 kg menos que Paola y ésta pesa 1 kg menos que Mariela". ¿Quién es la señorita que pesa menos? a) Sofía c) Mariela e) Roxana
b) Vanessa d) Paola
3. En un examen de Razonamiento Matemático se obtiene la siguiente información: Tiburcio obtuvo 5 puntos más que Florencio, quién a su vez obtuvo 3 puntos menos que Clodomiro, Pancracio sacó 6 puntos más que Eucalipta, ésta sacó 7 puntos menos que Tiburcio y Anacleta 2 puntos más que Pancracio. ¿Quién obtuvo el segundo mejor puntaje? a) Florencio b) Clodomiro c) Eucalipta d) Tiburcio e) Anacleta
De un plano vial se sabe que: la carretera "A" mide 20 km más que la carretera "D", la carretera "C" mide 30 km menos que la "E", ésta mide 40 km más que la carretera "A" y la carretera "B" mide 10 km menos que la "C". ¿Cuáles son las carreteras que tienen igual longitud? a) "A" y "B" b) "C" y "D" c) "B" y "D" d) "D" y "E" e)"A" y "E"
5. Si se sabe que: - Katty es la mayor. - Pamela es menor que Telma. - Horacio es mayor que Sergio y Telma. - Gildder es mayor que Horacio. - Sergio es menor que Telma. Si Pamela no es la menor de todos, ¿quién es el menor? a) Horacio d) Sergio
6. En un castillo de cuatro pisos se sabe que viven cuatro familias, cada familia en un piso diferente y se sabe que la familia Picapiedra vive un piso más arriba que la familia Supersónico, la familia Mármol habita más arriba que la familia Neutrón y los Picapiedra viven más abajo que los Neutrón. ¿En qué piso habitan los Picapiedra? a) Primero b) Segundo c) Tercero d) Cuarto e) Quinto 7. Cinco personas "L", "M", "N", "P" y "Q" se sientan en una banca. Se sabe que: - "L" se sienta junto y a la derecha de "N" y adyacente a "P". - "M" se sienta a la izquierda de "N" y "Q" se sienta a la derecha de "P". ¿Quién se sienta al centro? a) "L" d) "P"
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b) Gildder c) Telma e) Pamela
b) "M" e) "Q"
c) "N"
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8. De los seis participantes de una carrera de 100 metros planos se supo que: "Z" llegó en cuarto lugar e inmediatamente detrás de "W", quien a su vez llegó antes que "X" pero después que "U"; además se sabe que "Y" no ganó la carrera y "V" llegó después que "X". ¿Quién quedó en primer lugar en dicha carrera? a) "W" d) "X"
b) "Z" e) "Y"
c) "U"
9. Cinco familias: los Yábar, los Navarro, los Caqui, los Pezo y los Gonzáles viven en cinco casas contiguas y de ellos se conoce que: - Los Navarro viven a la izquierda de los Pezo. - La casa de los Pezo queda junto y a la derecha de la casa de los Caqui. - La casa de los Yábar está a la derecha de los demás. - Los Caqui viven a la izquierda de los Gonzáles. ¿Qué familia vive a la izquierda de los demás? a) Navarro b) Pezo c) Caqui d) Gonzáles e) Yábar 10. Un profesor de Razonamiento Matemático del CEBA observa a seis de sus alumnos durante un bimestre y llega a las siguientes conclusiones: - Juanito es más estudioso que Karinita. - Pepito es menos estudioso que Carlitos. - Alejandrita es menos estudiosa que Pepito pero más que Tadeito. - Juanito es igual de estudioso que Tadeito. ¿Quién es el menos estudioso de todos ellos?
Nivel III 1. Cinco autos numerados del 1 al 5 participan en una carrera. Si se sabe que: - En dicha carrera no hubo empates - El auto 1 llegó en tercer lugar. - Ni el auto 3 ni el auto 4 ocuparon los dos primeros puestos. - La numeración del auto no coincidió con su orden de llegada. ¿Qué auto ganó la carrera? a) Auto 1 d) Auto 4
b) Auto 2 c) Auto 3 e) Auto 5
2. En la "Buena vecindad" se han pesado siete personas y de ello se obtuvo la siguiente información: - Ñoño pesa más que el Chavo pero menos que el profesor Jirafales. - El señor Barriga pesa igual que Ñoño pero más que Kiko. - Don Ramón pesa menos que Kiko pero más que el Chavo. Si la Chilindrina pesa más que el Chavo del 8 pero menos que su papá Don Ramón, ¿quién es el que pesa menos y el que pesa más respectivamente? a) Kiko - Sr. Barriga b) Chilindrina - Ñoño c) Don Ramón - Profesor Jirafales d) Chavo - Sr. Barriga e) Chavo - Profesor Jirafales
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a) Pepito b) Alejandrita c)Karinita d) Carlitos e) Tadeito PEBAJA –PEBANA
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3. Sobre una fila compuesta por 8 casillas de un tablero de ajedrez se disponen seis piezas de la siguiente manera: - Adyacente al Rey y al Peón hay una casilla vacía. - El alfil está a la izquierda de la Dama. - La Torre está junto y a la derecha de la Dama y junto al Rey. - El Caballo está a la derecha de los demás y junto al Peón. - Adyacente a la Dama y al Alfil hay una casilla vacía. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta? a) Entre la Torre y el Rey hay un lugar vacío. b) La Dama está a la derecha del Rey. c) El Alfil no está a la izquierda de los demás. d) Entre las dos casillas vacías se encuentran la Dama, la Torre y el Rey. e) La Torre está a la derecha del Peón.
5. Se tiene seis libros en un estante: Aptitud Matemática, Matemática 1, Lengua, Física, Historia y Geografía. Si se sabe que: - El de Matemática 1 está junto y a la izquierda del de Lengua. - El de Física está a la derecha del de Matemática 1 y a la izquierda del de Historia. - El de Historia está junto y a la izquierda del de Geografía. - El de Aptitud está a la izquierda del de Lengua. ¿Qué libro ocupa el cuarto lugar si los contamos de izquierda a derecha? a) Lengua b) Física c) Historia d) Aptitud Matemática e) Geografía
4. En una carrera intervienen siete participantes. Los jueces han determinado que no hubo empates y se sabe que: - López llegó un puesto detrás de Martínez. - Narváez llegó dos puestos detrás de Ortiz. - Martínez llegó cinco puestos delante de Pérez. - Pérez llegó un puesto delante de Quiroz. Luego podemos deducir que Ramírez llegó:
3 3
a) Entre Martínez y Ortiz b) Dos puestos detrás de Narváez. c) Entre Narváez y Ortiz d) Después de Pérez. e) Antes de Martínez
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- ¿Quién se sienta junto y a la derecha de "A"? ___________________________ En este capítulo seguiremos ordenando un conjunto de elementos en forma gráfica pero esta vez analizaremos los datos mediante un ORDENAMIENTO CIRCULAR, el cual básicamente se realizará alrededor de una mesa redonda. NOTAS: • En este tipo de problemas aparece
- ¿Quién se sienta junto y a la izquierda de "F"? __________________________ - ¿Quién se sienta frente a "D"? __________________________ - ¿Quiénes se sientan adyacentes a "B"? ____________________________
la expresión "sillas distribuidas simétricamente", la cual quiere decir que las sillas que se coloquen alrededor de una mesa guardan la misma distancia una con respecto a la otra. • Estimado alumno no olvidar que el primer dato en un ordenamiento circular se coloca en cualquiera de las sillas y a partir de allí ordenarás el resto de datos.
Ejercicio 1 En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente se sientan cuatro personas; se sabe que: - Gildder se sienta frente a Jorge. - Jorge se sienta a la derecha de Fernando. - Rommel observa entretenidamente la conversación de los demás.
Ejemplo Seis personas "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan en seis sillas distribuidas simétricamente alrededor de una mesa redonda.
Resolución
Entonces dibujaremos dicha mesa de la siguiente manera
Denotemos los nombres de la siguiente manera: Gildder = G Jorge = J Fernando = F Rommel = R Y para un mejor entendimiento resolveremos paso a paso:
D E
¿Quién se sienta a la izquierda de Gildder?
C
F
No olvides que el primer dato lo puedes colocar en cualquiera de las sillas.
B
4 3
A R
Acorde al gráfico, siguientes preguntas:
responder
las
G
J
G
J F
Gildder se sienta frente a Jorge
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Jorge se sienta a la derecha de Fernando
G
J F
Rommel es la cuarta persona
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Ejercicio 2 Seis amigas se sientan alrededor de una mesa redonda con seis asientos distribuídos simétricamente. Si se sabe que: - Ana se sienta junto y a la derecha de Betsy y frente a Cecilia. - Daniela no se sienta junto a Betsy. - Erika no se sienta junto a Cecilia. - Fabiola es la más animada de la reunión.
• Fabiola es la más animada de la
reunión.
D C
E
F
A B
Por lo tanto junto a Fabiola se sientan Betsy y Cecilia.
¿Junto a quiénes se sienta Fabiola? Resolución En primer lugar dibujaremos una mesa con seis asientos y en segundo lugar analizaremos los datos que presente el problema: • Ana se sienta junto y a la derecha
de Betsy y frente a Cecilia.
C A
PROBLEMAS RESUELTOS
Enunciado 1 En la mesa que se propone a continuación están sentadas cuatro personas de la siguiente manera:
B
B
• Erika no se sienta junto a Cecilia. A
C
C
E D
A B • Daniela no se sienta junto a Betsy.
Responda preguntas:
Ud.
las
siguientes
1. ¿Quién se sienta frente a la persona "B"?
D C
B
E
____________________________
A
2. ¿Quién se siente junto y a la izquierda de la persona "D"? ____________________________
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Enunciado 2 En la mesa circular adjunta se sientan: Gildder, Rommel, José, Eduardo, Carlos y Alex, tal y como se muestra a continuación: G J
E
C
R
7. En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente están sentadas cuatro amigas de la siguiente manera: Miluska se sienta frente a Noemí y a la izquierda de Liliana, además Katty está conversando entretenidamente con Miluska. ¿Quién se sienta a la derecha de Liliana?
A
Responder: 3. ¿Quiénes se sientan adyacentes a Eduardo? _____________________________ 4. ¿Quién o quiénes se sientan a la derecha de Alex? ____________________________ 5. ¿Quién se sienta a la izquierda de Carlos y a la derecha de Gildder? _____________________________ _____________________________
8. En una mesa redonda se encuentran sentados en forma simétrica cuatro alumnos del siguiente modo: Luis está a la derecha de Alfredo pero a la izquierda de Daniel, además Manuel está observando como discuten acaloradamente Alfredo y Luis. ¿Quién se sienta frente a Daniel?
6. En una mesa redonda se encuentran sentados simétricamente tres niños: Fernando, Jorge y Roberto. Si Roberto está a la izquierda de Fernando, ¿cuál es el orden en que se sientan dichos niños empezando por Jorge y siguiendo el sentido horario?
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9. En una mesa circular con cinco sillas distribuidas simétricamente se ubican cinco personas de tal manera que: * Francisco se encuentra adyacente a Irina y a Gustavo * Helena está junto y a la derecha de Irina * Julio está con sueño pues ayer no durmió muy bien ¿Adyacente a quiénes se sienta Julio?
Nivel I Enunciado: 1 En la mesa que se propone a continuación están sentadas cuatro personas de la siguiente manera: A C
B D
Responder: 1. ¿Quién se sienta frente a la persona "A"? ___________________________ 10. Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan en una mesa redonda con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: * "A" se sienta junto y a la izquierda de "B" y frente a "C". * "D" no se sienta junto a "B". * "E" no se sienta junto a "C". ¿Quiénes se sientan a la derecha de "E"?
2. ¿Quién se sienta junto y a la derecha de la persona "C"?
Enunciado: 2 En la mesa circular adjunta se sientan: Erdmann, Gregorio, Joseph, Leonardo, Manuel y Richard tal y como se muestra a continuación: M L
J
R
E G
Responda preguntas:
Ud.
las
siguientes
3. ¿Quién o quiénes se sientan a la izquierda de Gregorio? _____________________________ PEBAJA –PEBANA
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4. ¿Quién o quiénes se adyacentes a Joseph?
sientan
_____________________________ 5. ¿Quién se sienta frente a Richard? _____________________________ 6. ¿Quién o quiénes se sientan a la derecha de Erdmann y a la izquierda de Leonardo?
9. En una mesa redonda con cuatro sillas distribuidas simétricamente se encuentran sentados cuatro siniestros monstruos del siguiente modo: La Momia está a la izquierda del Hombre Lobo y a la derecha del Conde Drácula, además Frankenstein está durmiendo. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda del Conde Drácula? a) Frankenstein c) Hombre Lobo e) Faltan datos
b) Momia d) Zombie
_____________________________ 7. En una mesa redonda se encuentran sentados simétricamente tres niños: Gabriel, César y Freddy. Si Freddy está a la izquierda de César; ¿cuál es el orden en que se sientan dichos niños empezando por Gabriel y siguiendo el sentido antihorario? a) Gabriel, Freddy, César b) Freddy, César, Gabriel c) Gabriel, César, Freddy d) César, Gabriel, Freddy e) César, Freddy, Gabriel 8. En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente están sentadas cuatro personas de la siguiente manera: Andrea se sienta frente a Natalia y a la izquierda de Lady, además Elissa está conversando entretenidamente con Natalia. ¿Quién se sienta frente a Lady? a) Andrea b) Elissa c) Natalia d) Janisse e) No se puede precisar
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10. En una mesa cuadrada están sentadas cuatro personas ("P", "Q", "R" y "S") una por lado, y se sabe que: - "P" está sentado a la izquierda de "S". - "R" está sentado frente a "P". ¿Quién se sienta frente a "S"? a) b) c) d) e)
"P" "R" "Q" "T" No se puede determinar
11. En una mesa cuadrada se sientan cuatro personas ("J", "K", "L" y "M"), una por lado, y de ellos se sabe que: - "J" está frente a "L" - "K" está a la izquierda de "L". ¿Quién se sienta a la derecha de "M"? a) "J" c) "K" e) Falta información
b) "L" d) "N"
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12. En una mesa circular con cinco sillas distribuidas simétricamente se ubican cinco personas de tal manera que: - Fernando se encuentra adyacente a Inés y a Graciela - Hamilton está junto y a la derecha de Inés - Jennifer está contemplando a Fernando. ¿Entre quiénes se sienta Jennifer? a) Inés y Fernando b) Fernando y Graciela c) Hamilton e Inés d) Graciela y Hamilton e) No se puede precisar
15. De acuerdo al problema anterior, ¿quiénes se sientan a la izquierda de Eufrasia? a) Carloncho y Dionisio b) Brígida y Fátima c) Artemio y Brígida d) Fátima y Artemio e) Dionisio y Brígida
Nivel II Enunciado: 3 En la mesa circular adjunta se han sentado ocho personas tal y como se muestra a continuación: X
13. De acuerdo al problema anterior, ¿cuál es el orden en que se sientan dichas personas empezando por Fernando y siguiendo el sentido horario? a) FIHJG c) FJHIG e) FIGHJ
b) FGJHI d) FHJGI
14. Seis amigos: Artemio, Brígida, Carloncho, Dionisio, Eufrasia y Fátima se sientan en una mesa redonda con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: - Artemio se sienta junto y a la derecha de Brígida y frente a Carloncho. - Dionisio no se sienta junto a Brígida - Eufrasia no se sienta junto a Carloncho. ¿Dónde se sienta Fátima?
Z
V
S
W Y
R T
Entonces de acuerdo al dibujo propuesto, responda Ud. lo siguiente: 1. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda de "S"? ____________________ 2. ¿Quién se sienta a la derecha de "T" y adyacente a "X"? ____________________ 3. A la derecha de "W" y a la izquierda de "Z" se sientan: ____________________
a n i g á P
a) Entre Carloncho y Eufrasia b) Frente a Dionisio c) A la derecha de Artemio d) A la izquierda de Carloncho e) Entre Brígida y Carloncho PEBAJA –PEBANA
9 3
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Enunciado: 4 En una mesa redonda con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan seis personas del modo siguiente: Gildder se sienta junto y a la derecha de Rommel y frente a José; además José se sienta a la izquierda de Eduardo y junto a Alex. Si Luis es el más callado de los que están sentados en dicha mesa, responder: 4. ¿Frente a quién se sienta Luis? a) Rommel c) Eduardo
b) Gildder d) José
e) Alex
5. Gildder se sienta adyacente a: a) Rommel y José b) Alex y Eduardo c) José y Luis d) Luis y Rommel e) Eduardo y Luis
Enunciado: 5 En una mesa circular seis superhéroes: Batman, Robín, Superman, Acuaman, Flash y la Mujer Maravilla se ubican simétricamente y se sabe que: - Superman está junto y a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a Acuaman. - Robin está frente a Batman y no está al lado de Acuaman. De acuerdo al ordenamiento del enunciado, responder: 6. ¿Quién se sienta junto y a la derecha de Superman? a) Robin c) Acuaman e) Mujer Maravilla
b) Flash d) Batman
7. ¿Quiénes se sientan a la izquierda de Flash?
PEBAJA –PEBANA
a) Superman y Robin b) Batman y Acuaman c) Mujer Maravilla y Superman d) Robin y Batman e) Acuaman y Mujer Maravilla
Enunciado: 6 Se realiza una reunión en la casa de las Chicas Superpoderosas y se sabe además que ellas disponen de una mesa circular con ocho sillas distribuidas simétricamente. Ellas con sus invitados se acomodan del modo siguiente: - Bombón se sienta frente a Bellota. - La señorita Below se sienta frente al Profesor Utonio. - Mojo Jojo se sienta junto y a la derecha de Burbuja. - Burbuja está sentada a la izquierda de la Srta. Below y junto a Bombón. - El alcalde de Saltadilla se sienta adyacente a La Princesa y frente a Mojo Jojo. Entonces de acuerdo a los datos descritos, responda Ud. las siguientes preguntas: 8. Burbuja se sienta frente a: a) La Princesa b) El Profesor Utonio c) Bellota d) Mojo Jojo e) Burbuja 9. Adyacente a la Srta. Below se sientan: a) Burbuja y el Alcalde de Saltadilla b) La Princesa y el Alcalde c) Bellota y Mojo Jojo d) El Profesor Utonio y La Princesa e) Bombón y Bellota PROFESOR: PEDRO FLORES C.
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10. ¿Quiénes se sientan izquierda de Bombón?
a
la
a) Mojo Jojo, Burbuja y la Srta. Below b) La Princesa, Bellota y Mojo Jojo c) Burbuja, El Profesor Utonio y Bellota d) El Profesor Utonio, el Alcalde y La Princesa e) La Srta. Below, Bellota y Burbuja
3. En una mesa circular hay 6 asientos colocados simétricamente ante la cual se sientan 5 amigos: "A", "B", "C", "D" y "E". Si sabemos que: - "A" se sienta frente a "B" y junto a "C" - "D" se sienta frente a "C" y a la izquierda de "B" - "E" no se sienta junto a "D" Podemos afirmar:
Nivel III 1. En una mesa redonda se sientan simétricamente seis personas: tres varones ("P", "Q" y "R") y tres mujeres ("A", "B" y "C"), uno en cada silla. Si se sabe que: - Dos personas del mismo sexo no se pueden sentar juntas. - "R" no está al lado de "A". - "P" está a la derecha de "Q". Entonces podemos afirmar que: I. "A" se sienta frente a "R". II. "B" está a la izquierda de "A". III. "Q" está frente a "B". a) Solo I c) Solo III
b) Solo II d) I y II
e) I y III
2. En una mesa circular hay seis asientos simétricamente colocados, ante la cual se sientan seis amigas a jugar monopolio. Si Lucía no está sentada al lado de Leticia ni de Juana; María no está al lado de Cecilia ni de Juana; Leticia no está al lado de Cecilia ni de María; Irene está junto y a la derecha de Leticia. ¿Quién está junto y a la derecha de María? a) Irene c) Lucía e) Juana PEBAJA –PEBANA
I. "E" se sienta junto a "A" II. "C" se sienta junto a "E" III. "D" se sienta junto al lugar vacío a) I y II c) II y III e) Ninguna
b) I y III d) Todas
4. Cuatro amigas: María, Lucía, Irene y Leticia se sientan en una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si sabemos que: - Lucía no se sienta junto a María. - Irene se sienta a la derecha de María, frente a Lucía - Leticia no se sienta frente a un lugar vacío. Entonces se cumple que: I. Leticia se sienta junto a Lucía II. Irene se sienta junto a Leticia III. María se sienta frente a Leticia. a) I y II c) II y III e) Ninguna
b) I y III d) Todos
1 4 a n i g á P
b) Leticia d) Cecilia
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5. Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: - "A" se sienta frente a "B" - "C" está junto y a la izquierda de "A" - "D" no está frente a "C" ni a "E" ¿Cuáles son verdaderas? I. "D" está frente a "F" II. "E" está junto a "B" III. "B" está entre "D" y "E" a) Solo I c) I y II e) Todas
b) Solo II d) II y III
Los operadores matemáticos son símbolos que se usan de acuerdo a reglas previamente establecidas.
A. Concepto Una operación matemática es un conjunto de procedimientos que nos permiten transformar una o más cantidades en otra cantidad, llamada resultado, mediante la aplicación de ciertas reglas de cálculo previamente establecidas.
B. Elementos En forma general, toda operación matemática tiene tres elementos principales, que son los siguientes: 1. El operador matemático: Es el signo, símbolo, o disposición especial que representa una operación específica. 2. Los operandos: Son las cantidades que van a sufrir la transformación. 3. La Ley de Definición: Es el conjunto de reglas que vamos a utilizar para llevar a cabo la transformación de los operandos en el resultado. También se le llama Ley de Correspondencia o Algoritmo Operativo.
Clases de operaciones Las principales son: 1. Operaciones unitarias: Es cuando el operador afecta a un solo operando. Por ejemplo:
PEBAJA –PEBANA
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2. Operaciones binarias: Es cuando el operador afecta a dos operandos. Por ejemplo: 8 + 3;
25 ÷ 2;
Además cuando un operador afecta a tres operandos, la operación recibe el nombre de ternaria y así sucesivamente. Veamos los ejemplos siguientes:
1. Operación universal: Se le llama así porque su ley de definición es conocida universalmente, por ejemplo la multiplicación. Operandos
Arbitrarias
Operación
Operador
Adición Sustracción Multiplicación División Radicación . . .
+ × ÷ . . .
Operación
Operador
Asterisco Arroba Nabla Grilla Corazón . . .
* @
#
. . .
2. En este capítulo haremos mayor referencia a nuevas operaciones (llamadas en algunos casos operaciones arbitrarias), pues nos permiten aplicar en forma conjunta las reglas operativas ya estudiadas o conocidas. PROBLEMAS RESUELTOS
a × b = a + a + a + ... ("b" veces) Operador
Universales
Ley de definición
1. Si: Calcular:
Aplicación: 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15 5 × 3 = 15
a) 11 d) 12
b) 10 e) 13
c)
14
Resolución: 2. Operación arbitraria: Se le llama de esa manera porque su ley de definición no está determinada universalmente, por ejemplo la operación asterisco representada por *.
En este caso el operador es . La regla de formación es m + n 2 Entonces:
Operandos a * b = Operador
3a
+
=5+9 = 14
5b
Ley de definición
Aplicación: 4 * 6 = 3(4) + 5(6) 4 * 6 = 12 + 30 4 * 6 = 42
(Respuesta: c )
Importante
Consideraciones generales
Al efectuar operaciones combinadas se procede en el siguiente orden:
1. Para un mejor entendimiento de lo anteriormente descrito observemos el siguiente cuadro:
1º Potenciación o radicación 2º Multiplicación o división 3º Adición o sustracción
PEBAJA –PEBANA
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2. Si: Resolución: Calcular:
Si tenemos que aplicar dos veces la definición de :
Resolución: De la condición:
=16 – 4 = 12
Ahora remplazamos en E:
3. Si:
(Respuesta: a)
Calcular: Resolución: De la condición: 5. En el conjunto: M = {a; b; c; d}, se define:
= 3(4) – 2(2) = 12 – 4 = 8
Hallar: N= Resolución: 4. Si: Hallar el valor de la expresión "E", si:
a) 1 156 d) 846 PEBAJA –PEBANA
b) 618 e) 1 256
c) 725
Para hallar b * a, por ejemplo, primero debemos ubicar al primer elemento (b) en la columna de entrada, y al segundo elemento (a) en la fila de entrada; el resultado de la operación lo encontraremos en la intersección de la fila y columna correspondiente al primer y segundo elemento. PROFESOR: PEDRO FLORES C.
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N= Veamos primero: Fila de Entrada
Nivel I 1. Si: a * b = 4a + 5b Calcular: 2 * 3 Columna de Entrada
a) 21 d) 25
Ahora veamos: Fila de Entrada
b) 23 e) 26
c) 19
2. Si: m # n = m2 + n2 Calcular: 1 # 5 a) 21 d) 26 3.
b) 18 e) 15
c) 12
que: 2 + 5y
Columna de Entrada
Luego: N= N= N= 5. En el conjunto: M = {a; b; c; d}, se define:
a) 21 d) 20
b) 29 e) 17
c) 27
4. Si: a # b = (a + b)(a - b) Calcular: 7 # 2 a) 46 d) 45
b) 44 e) 49
c) 42
5. Si: m * n = (m + n)(m2 - mn + n2) Calcular: 2 * 1 a) 6 d) 3 Hallar: N= Resolución: N= PEBAJA –PEBANA
b) 5 e) 9
c) 18
a n i g á P
6. Si: = 5x + 1 Calcular: a) 8 d) 11
5 4
b) 3 e) 17
c) 15
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7. Sabiendo que: Hallar: a) 11 d) 15
= 2m + 3 b) 13 e) 19
13.
Sabiendo que: x = 2x + 7 Calcular:
c) 16
1
a) 57 d) 55
8. Si se conoce que: m @ n = 5m 2 - 2n3
b) 25 e) 47
c) 37
14. Se define el operador " * " en el conjunto: A = {1; 2; 3} mediante la siguiente tabla:
Calcular el valor de: 1 @ 0 a) 6 d) 1
b) 5 e) 0
c) 10
9. Calcular: 7 * 1, Sabiendo que: m * n = 5(m + n) - 5(m - n) a) 11 d) 18
b) 16 e) 13
1 2 3 4
3 + 1
b) 18 e) 11
Hallar el valor de:
12.
c) 3
1 2 3 4
c) 15
3 4 1 2
4 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 1
El resultado de efectuar:
Si: y = 5y + 1
a) 17 d) 62
b) 2 e) 2 ó 3
a = 2a + 5
Hallar el valor de:
11.
a) 1 d) 1 ó 2
15. El operador "#" se define en el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} mediante la siguiente tabla:
10. Sabiendo que:
a) 13 d) 16
c) 10
Hallar: (3 * 2) * (2 * 1)
S=
1
b) 16 e) 31
Es: c) 18
Si se sabe que: z = z2 + z + 1
a)
b)
d)
e) 2
c) 3
Calcular el valor de: 1 + 2 a) 8 d) 15 PEBAJA –PEBANA
b) 10 e) 9
c) 13 PROFESOR: PEDRO FLORES C.
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Nivel II 1. Sabiendo que: x © y = x2 + y2
7. Calcular: 5 2 Sabiendo que: x y = (x + y)2 + (x - y)2
Calcular: (5 © 1) © (-3 © 2) a) 742 d) 845
b) 901 e) 615
a) 51 d) 69
8. Se sabe que: a * b = 2a - b m n = (m + 1)(n -1) Hallar: (5 * 1) (2 * 1)
Hallar: (2 # 1) # 3 b) 111 e) 120
c) 96
c) 94
c) 12
b) 6 e) 1
c) 8
Se sabe que: m # n = (m + n) 2 - m2 - n2
Hallar: 9 # (3 # 2)
Hallar: (3 2) 2 b) 24 e) 35
a) 4 d) 2 10.
4. Si se sabe que: M N = MN – 1
a) 64 d) 15
b) 26 e) 15
Hallar:
Hallar: (2 H1) H (-2) b) 45 e) 104
a) 20 d) 9 9. Si:
3. Si: m H n = 5m - n
a) 47 d) 100
c) 63
a) 108 d) 208
b) 144 e) 216
Hallar: 5 (3 1) b) 48 e) 81
c) 288
Nivel III 1. El operador “ ” se define en el conjunto: B = {L;A;B,Y} mediante la siguiente tabla:
5. Si se sabe que: a b = (a + 1)(b + 2)
a) 12 d) 84
c) 58
c) 118
2. Si: a # b = (a + b)2 - (a - b)2
a) 92 d) 114
b) 16 e) 70
L A B Y
c) 62
6. Si: a # b = ab
L A B L Y A L Y B A B B A Y L Y Y L A B
7 4
Hallar:
Hallar: (1 # 0) # (2 # 1) a) 8 d) 12
PEBAJA –PEBANA
b) 10 e) 0
c) 3
a)
b)
d)
e)
c)
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2. Se define el operador “•” en el conjunto: A = {1;2;4;8} mediante la siguiente tabla: En este capítulo estimado, analizaremos dos tipos de sucesiones: numéricas y literales; donde nuestro objetivo será hallar el término o los términos que siguen de las sucesiones mencionadas, los cuales se encuentran basados por un criterio numérico llamado ley de formación.
• 1 2 4 8
1 2 4 8
4 8 1 2
8 2 4 1
2 1 8 4
1 4 2 8
Hallar: a) 1 d) 8
b) 2 e)
c) 4
3. Se define el operador “*” en el conjunto: B = {C,A,T,S} de acuerdo a la tabla que se da a continuación: * C A T S
C A C T S
A T A S C
T C S A T
S S T C A
Hallar "x". Si: (x * A) * T = S a) T d) C
b) S e) S o C
c) A
Antes de resolver los ejercicios definiremos que es una sucesión:
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (por ejemplo números o letras) cuya característica principal es que se encuentra basada por una LEY DE FORMACIÓN, CRITERIO DE ORDEN o REGLA DE RECURRENCIA. Esta ley de formación está determinada generalmente por las operaciones fundamentales como la adición, sustracción, multiplicación y división. A los elementos de una sucesión se les llama términos y como cada uno de ellos ocupan una posición determinada los podemos especificar como primer término, segundo término, tercer término, etc. SUCESIONES NOTABLES
4. Se define la operación " " en el conjunto A = {B; A; L; I} mediante la siguiente tabla:
B A L I
B L I B A
A I B A L
L B A L I
I A L I B
Hallar el valor de "x", si sabemos que: (I B) (x A) = (L B) L a) T d) L PEBAJA –PEBANA
b) R e) C
c) I
En el estudio de las sucesiones existen algunas cuya ley de formación es conocida - a las que llamaremos notables - como las siguientes: 1; 2; 3; 4; 5; ..........Sucesión números naturales 2; 4; 6; 8; 10; ......... Sucesión números pares 1; 3; 5; 7; 9; ..........Sucesión números impares 1; 4; 9; 16; 25; ....... Sucesión cuadrados perfectos 1; 8; 27; 64; 125; .. Sucesión cubos perfectos A; B; C; D; E; ........ Sucesión letras del alfabeto
de
los
de
los
de
los
de
los
de
los
de
las
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2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; x
A continuación presentaremos algunos ejercicios resueltos:
x2
SUCESIONES NUMÉRICAS
x2
x2
x2
x2
Entonces el valor de "x" es 64.
Ejercicio 1 En la siguiente sucesión, hallar el término que sigue: 5; 8; 11; 14; 17; ... Resolución Fácilmente nos damos cuenta que los términos van aumentando de 3 en 3, es decir:
Ejercicio 4 En la sucesión propuesta, hallar "x" 2 ; 9 ; 17 ; 27 ; 40 ; 57 ; x Resolución Realizamos el siguiente análisis: 2 ; 9 ; 17 ; 27 ; 40 ; 57 ; x
5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; ... +3
+3 +3 +3
Por lo tanto el término que sigue es el 20.
Ejercicio 2 Hallar el término que sigue en: 29; 28; 26; 23; 19; ... Resolución Como nos damos cuenta los términos de esta sucesión van disminuyendo de la siguiente manera: 29; 28; 26; 23; 19 ; ... -1
-2
-3
-4
+7 +8 +10 +13 +17 +?
+3
-5
Por lo tanto el término que sigue es el 14.
Ejercicio 3 Hallar "x" en la siguiente sucesión:
Como no hallamos una ley de formación en el primer análisis, realizaremos un segundo análisis de la siguiente manera: 2 ; 9 ; 17 ; 27 ; 40 ; 57 ; x 7
8
+1
10
13
17
+2 +3 +4
22 5
Este es el número que continúa
x = 57 + 22 = 79
Ejercicio 5 Qué número sigue: 26; 23; 17; 8; .... Resolución: 26; 23; 17; 8; … -3
-6
-9
-12
2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; x Resolución Ahora notamos que los números se están duplicando término a término, es decir:
x = 8 - 12 = -4
Ejercicio 6 Qué número sigue en la sucesión: 30; 0; -20; -20; 10 ; ........
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Observando nuestra tabla nos damos cuenta que al número 13 le corresponde la letra M.
Resolución:
30; 0; -20; -20; 10;… -30 -20
0
+10 +20
+30
+30
Rpta: M
A
+40
Ejercicio 6 Hallar la letra que sigue en:
A = 30+40 =70
X, W, U, R, Ñ, ...
El número qu e sigue es : A+ 10 70 + 10 = 80
SUCESIONES LITERALES
Resolución
ALFABÉTICAS
O
? X , W , U , R , Ñ , ...
En estas sucesiones se debe de tener en cuenta que las letras compuestas como la CH y la LL no se consideran para el análisis de los ejercicios propuestos y la forma de resolver este tipo de sucesiones es realizando el siguiente cuadro:
A
B 1
C 2
J
K 10
R
L 11
S 19
D 3
M
T 20
E 4
12
F 5
N 13
U 21
Asignamos a cada letra su respectivo valor numérico acorde a nuestra tabla, es decir:
6
Ñ 14
V 22
G 7
O 15
W 23
H 8
P 16
X 24
I Q 17
Y 25
9 18
25 ; 24 ; 22 ; 19 ; 15 ; 10 ... -1
-2
-3
-4
-5
Este es el valor que continúa
Observando nuestra tabla nos damos cuenta que al número 10 le corresponde la letra J. Rpta. J
Z 26
27
Ejercicio 7 En la siguiente sucesión, hallar la letra que continúa: A, D , G , J , ... Resolución
I. Sucesiones numéricas En cada caso, encontrar el número que continúa 1.
5 ; 11 ; 17 ; 23 ; ... a) 28 d) 31
Realizamos lo siguiente: ? A , D , G , J , ...
b) 29 e) 32
c) 30
a n i g á P
1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ...
2. +3 +3 +3
PEBAJA –PEBANA
+3
Este es el valor que continúa
38 ; 34 ; 30 ; 26 ; ... a) 19 d) 22
b) 20 e) 23
0 5
c) 21
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3.
2 ; 6 ; 18 ; 54 ; ... a) 172 d) 198
4.
b) 184 e) 162
11. c) 216
625 ; 125 ; 25 ; 5 ; ... a) 1 d) 1/2
5.
b) 2 e) 1/25
1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ... a) 18 d) 29
6.
b) 23 e) 36
c) 25
b) 106 e) 142
c) 117
7.
b) 30 e) 27
b) 4 e) 5
c) 26
c) 2
1 ; -3 ; -5 ; 15 ; 12 ; -36 ; -40 ; ...
a) 118 d) 124 15.
c) 1/2
360 ; 90 ; 88 ; 22 ; 20 ; 5 ; ...
a) 1 d) 3
14.
b) 1/4 e) 2
3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 15 ; ...
a) 31 d) 40
13.
1 ; 8 ; 27 ; 64 ; ... a) 94 d) 125
a) 1/6 d) 1
12. c) 1/5
240 ; 48 ; 12 ; 4 ; ...
b) 128 e) 144
c) 120
4 ; 5 ; 9 ; 16 ; 26 ; ...
50 ; 41 ; 33 ; 26 ; 20 ; ... a) 15 d) 14
8.
b) 13 e) 12
c) 16
17 ; 18 ; 20 ; 23 ; 27 ; ... a) 30 d) 33
9.
b) 31 e) 34
16. c) 32
70 ; 60 ; 52 ; 46 ; 42 ; ... a) 36 d) 40
10.
b) 34 e) 32
c) 38
PEBAJA –PEBANA
b) 935 e) 965
c) 945
c) 41
b) 49 e) 48
c) 39
1 ; 5 ; 12 ; 21 ; 31 ; ...
a) 40 d) 38
18.
b) 38 e) 40
4 ; 7 ; 12 ; 20 ; 32 ; ...
a) 46 d) 37
17.
1 ; 1 ; 3 ; 15 ; 105 ; ...
a) 925 d) 955
a) 39 d) 35
b) 43 e) 41
c) 39
1 5
2 ; 5 ; 20 ; 56 ; 104 ; 173 ; ...
a) 253 d) 250
b) 254 e) 255
c) 252
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19.
40 ; 43 ; 41 ; 33 ; 18 ; ...
a) 7 d) -5
20.
1.
b) 3 e) -9
c) -2
a) 100 d) 94
b) 98 e) 96
a) O d) Ñ 2.
0 ; 4 ; 12 ; 21 ; 39 ; 58 ; ... c) 92
3 ; 4 ; 6 ; 11 ; 21 ; 34 ; ...
a) 58 d) 60
b) 56 e) 62
4. 22.
a) -12 d) 31
b) 29 e) 32
5.
b) 9 210 e) 9 116
c) 9 216
6.
c) J
b) N e) P
c) Ñ
B ; F ; K ; P ; ... b) V e) Y
c) U
A ; E ; G ; K ; M ; ... a) Q d) R
b) P e) T
c) S
4 ; 6 ; 11 ; 20 ; 35 ; 59 ; ... 7.
a) 96 d) 97
25.
b) I e) H
1 ; 2 ; 4 ; 16 ; 192 ; ...
a) 9 218 d) 9 224
24.
c) W
c) -17 a) W d) X
23.
b) X e) V
A ; C ; F ; J ; ... a) M d) O
7 ; 9 ; 3 ; -1 ; 11 ; 25 ; ...
c) P
Z ; V ; R ; Ñ; ... a) K d) L
c) 64
b) N e) Q
E ; J ; Ñ ; S ; ... a) Z d) Y
3. 21.
C ; F ; I ; L ; ...
b) 95 e) 99
A ; D ; H ; M ; R ; ...
c) 94 a) V d) Y
b) W e) Z
c) X
-19 ; -28 ; -16 ; 11 ; 48 ; 91 ; ...
a) 134 d) 137
b) 135 e) 138
c) 136
II. Sucesiones literales o alfabéticas En cada caso, encontrar la letra (o par de letras) que continúa. PEBAJA –PEBANA
8.
W ; Q ; M ; I ; F ; ... a) E d) B
9.
b) C e) A
c) D
a n i g á P
Z ; S ; N ; I ; E ; ... a) A d) D
b) B e) E
2 5
c) C
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10.
A ; D ; I ; O ; ...
a) L d) W 11.
b) P e) Ñ
c) M
CB ; FC ; IE ; LG ; ...
a) ÑQ d) NL 13.
c) U
B ; C ; E ; G ; K ; ...
a) N d) U 12.
b) T e) X
b) ÑK e) ÑL
c) NR
AL ; FN ; JP ; MR ; ÑU ; ...
a) QW d) PV
b) PW e) OW
c) OV
El objetivo en este capítulo será el de hallar una cantidad desconocida (la cual se la representará con una "X", signo de interrogación "?" o un espacio en blanco) para ello es necesario encontrar una relación matemática única, la cual se encuentra basada en una misma interrelación numérica mediante todas las operaciones aritméticas conocidas, es decir, utilizando criterios de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. En este capítulo analizaremos: 1. Analogías numéricas 2. Distribuciones numéricas 3. Distribuciones gráficas
14.
AE ; DG ; GJ ; JN ; ...
a) MT d) MR
15.
b) NT e) MS
1. ANALOGÍAS NUMÉRICAS c) NR
AD ; BF ; DJ ; HO ; ...
a) OW d) PW
b) OV e) PV
c) OX
Son arreglos numéricos donde el objetivo es hallar una cantidad desconocida que se halla entre paréntesis y en la parte central de dichos arreglos. Tienen como criterio común una misma relación matemática, la cual se hallará utilizando los valores numéricos que se encuentran en los extremos. Veamos a continuación los siguientes ejercicios resueltos:
Ejercicio 1 Hallar el valor que falta en: 2 4 7
(10) (12) ( )
5 3 6
Resolución
PEBAJA –PEBANA
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Fácilmente nos damos cuenta que la relación matemática es de una simple multiplicación, es decir, se cumple que: 2 (10) 5 4 (12) 3 7 ( ) 6
2 x 5 = 10 4 x 3 = 12 7 x 6 = 42
para todas las filas, en este caso el análisis correcto es el siguiente: 2 (3) 1 4 (12) 4 5 (x) 7
La respuesta es 42.
22 - 1 = 3 42 - 4 = 12 x = 52 – 7 = 25 - 7 =18
La respuesta es 18.
Ejercicio 2 Hallar la cantidad desconocida en: 6 13 11
(8) 10 (17) 21 ( ) 3
Resolución En este caso la relación matemática es utilizando un criterio de adición y división a la vez, es decir, se observa que: 6 (8) 10 13 (17) 21
2. DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS Son también arreglos numéricos donde otra vez el objetivo es hallar una cantidad desconocida encontrando una relación aritmética única, pero a diferencia de las analogías éstas no presentan paréntesis en la parte central y dicha cantidad a hallar no se encuentra necesariamente en el medio. NOTA Las distribuciones pueden resolverse analizando ya sea las filas o las columnas. Para un mejor entendimiento resolvamos algunos ejercicios:
11 ( ) 3 Por lo tanto la respuesta será 7.
Ejercicio 4 En la siguiente distribución, hallar "x". 2 5 8
Ejercicio 3 Hallar "x" en el siguiente arreglo numérico: 2 4 5
(3) (12) (x)
1 4 7
Resolución Estimado alumno ten mucho cuidado al analizar este tipo de problemas, pues si observas la primera fila y has pensado que la relación matemática es del tipo aditivo (2 + 1 = 3) te darás cuenta que es un error; pues solo está cumpliendo en la primera fila mas no en la segunda (4 + 4 12); por lo tanto te hacemos recordar una vez más que la relación matemática tiene que ser la misma PEBAJA –PEBANA
3 4 10 1 7 12 6 9 x
Resolución En este ejercicio existe una relación aritmética analizando las filas de la siguiente manera: 2 x 3 + 4 = 10 5 x 1 + 7 = 12 8x6+9=x Por lo tanto el valor de "x" es 57.
PROFESOR: PEDRO FLORES C.
4 5 a n i g á P
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NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
Ejercicio 5 Hallar "x" en: 16 36 100
Ejercicio 7 Hallar "x" en: 1 2 7
5 8 x
2 5 3 1
6 10 4 2
9 7 2 3
11
22
x
Resolución
Resolución
En este ejemplo la relación matemática es la que se muestra a continuación:
Fácilmente nos damos cuenta que el valor que se encuentra dentro del cuadrado es igual a la suma de los valores que se encuentran dentro del círculo.
16 36 100
1 2 7
5 8 x
+1=4+1=5 +2=6+2=8 +7=x 10 + 7 = x 17 = x
Luego: x = 9 + 7 + 2 + 3 = 21
Ejercicio 8 Hallar "x" en:
La respuesta es 17.
Ejercicio 6 Dado el siguiente arreglo numérico, hallar "x" 9 10 x
4 6 13
2 5 16
9
2
6
17
7
19
x
La relación matemática distribución es la siguiente:
Si analizamos las filas de esta distribución observamos que no existe alguna relación matemática única, por lo que la lógica nos hace pensar que dicha relación debe encontrarse analizando las columnas. En efecto, si sumamos cada columna obtenemos el mismo resultado, es decir: 4+ 6 13 23
5
Resolución
Resolución
9+ 10 x 23
3
3
5
9
2
6
17
7
19 2
3-2
en
esta
x 2
5-6
2
x = 9 - 17 = 64
2+ 5 16 23
Concluimos que el valor de "x" es 4.
5 5 a n i g á P
3. DISTRIBUCIONES GRÁFICAS Son arreglos numéricos dispuestos en forma gráfica.
PEBAJA –PEBANA
pero
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NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
c) 17
7. 2 5 10
Nivel I En las siguientes analogías numéricas, hallar el número que falta:
a) 14 d) 22
1. 2 9 5 a) 14 d) 12 2.
3 4 7
b) 13 e) 10 13 26 48
a) 35 d) 39 3.
(5) (13) ( )
(9) (11) ( )
a) 63 d) 58
(15) (28) ( )
a) 3 d) 4
(8) (4) ( )
a) 22 d) 23 6.
5 3 16
PEBAJA –PEBANA
2 7 1
6 9 5
12 36 40
b) 7 e) 6 3 4 5
c) 54 a) 6 d) 4
c) 9
2 3 8
4 1 6
1 6 x
b) 7 e) 9
c) 10
11. 5 2 7 a) 5 d) 2
(9) 3 (14) 2 ( ) 16
(9) (20) ( )
2 4 x
c) 7
b) 24 e) 25
c) 17
10.
5. 4 10 5
b) 19 e) 20
a) 8 d) 10
4 6 12
b) 6 e) 5
En las distribuciones numéricas que se proponen a continuación, hallar "x". 8. 3 7 10 5 9 14 12 8 x
c) 36
4. 32 24 60
c) 16
9.
3 7 6
b) 45 e) 49
4 9 18
b) 20 e) 28
a) 21 d) 15
4 15 10
b) 38 e) 37 5 4 9
c) 11
(3) (7) ( )
4 9 7
3 6 x
b) 4 e) 1
23 24 50 c) 3
6 5
12. c) 21
5 4 9 a) 19 d) 11
2 8 10
7 6 x
b) 17 e) 15
c) 13
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a n i g á P
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13.
19. 20 5 4
30 6 5
a) 7 d) 9
48 x 6
2
8 2 1 17
5 3 4 19
a) 1 d) 4
c) 6
x 5 6 26
1
c) 3
5
8
15 3
a) 24 d) 21
x 6
4
9
7
b) 25 e) 22
3
10
2 8
6 18
9 x
x
6 2
15 3
32 8
b) 4 e) 3
2 1
4 2
8 3
11
26
x
b) 74 e) 73
(32) (14) (x)
c) 76
6 3 2
b) 24 e) 26
a) 27 d) 29 3.
a) 41 d) 43
8 7 9 x
(5) (11) (x)
c) 22
1 2 4
b) 28 e) 26 4 6 7
c) 6
18.
PEBAJA –PEBANA
9
2 3 5
c) 70
5
b) 46 e) 49
c) 9
2.
3
a) 45 d) 48
12
6
5 4 11
17.
6 5 7 23
3
5
a) 25 d) 23
b) 90 e) 75
3 4 2 10
8
1.
c) 23
4
a) 5 d) 7
5
x
b) 5 e) 6
a) 75 d) 72
16.
a) 80 d) 85
4
6
Nivel II En las analogías y distribuciones que se proponen a continuación, hallar "x".
15. 6
9
20.
Hallar "x" en las distribuciones gráficas adjuntas:
1
5 10
a) 8 d) 7
b) 2 e) 5
2
6
2
b) 8 e) 5
14.
3
(14) (31) (x)
c) 30
2 5 9
b) 39 e) 40
c) 42
a n i g á P
4. 2 3 4 c) 47
a) 67 d) 69
(9) (29) (x)
1 2 3
b) 66 e) 65
7 5
c) 68
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5.
3 2 x
1 4 3
a) 3 d) 4
Nivel III Hallar el valor de "x" en cada uno de los siguientes ejercicios:
16 36 64
1.
b) 5 e) 7
7 16 13
c) 6
6.
a) 11 d) 12 7 11 6
10 3 1
a) 13 d) 16
5 8 x
13 7 5
2 19 4
a) 12 d) 11
c) 15 a) 19 d) 20
x 4 8
4
2
1
a) 38 d) 41
3
2
5
6
a) 5 d) 8
x 5
b) 39 e) 42
8
1
3
2
4
3
9
a) 78 d) 96
29
5
8
1
4
x
7
1 3 4
8 16 32
-2 -1 -4
b) 6 e) 9
3
c) 7
6
x
4 3
19
c) 24
4.
c) 40
9. 5
b) 26 e) 22
6 5 x
c) 15
31
7
c) 9
3.
b) 13 e) 14
14
b) 10 e) 8
123 (21) 456 541 (20) 820 752 ( ) 309
8. 3
5 2 20
2.
b) 14 e) 17
7.
(4) (6) (x)
a) 1 d) 3
9
2 7
5
b) 4 e) 5
8 11
13
c) 2
10
b) 95 e) 106
c) 86
1
x
10. 4 10
1 2
a) 4 d) 5
PEBAJA –PEBANA
20
3 5
b) 3 e) 2
36
8 5
6
a n i g á P
4
c) 6
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Ejercicio 2 ¿Cuántos triángulos existen en total en la figura propuesta?
El presente capítulo tiene por objetivo hallar la máxima cantidad de figuras de un determinado tipo, presentes en una figura principal dada. El cual consiste en asignar números o letras a las regiones que se presentan para luego realizar el conteo de las figuras pedidas.
Resolución Como en el ejercicio anterior procederemos a enumerar las regiones (llamadas también figuras simples) que componen la figura principal:
Es en este tema utilizarás toda tu habilidad visual, concentración pero sobretodo orden para el correcto desarrollo de los ejercicios propuestos.
1. CONTEO DE TRIÁNGULOS Ejercicio 1 ¿Cuántos triángulos hay en total en la siguiente figura?
Resolución Utilizaremos el método de la simple inspección el cual consiste en enumerar las regiones que conforman la figura principal, es decir, procederemos de la siguiente manera: 2
1 3
4
Luego contamos así:
Triángulos compuestos por una sola región: 1 ; 2 ; 3 3+ Triángulos compuestos por dos regiones: 12 ; 13 ; 24 ; 34 4 Triángulos compuestos por tres regiones: No hay Triángulos compuestos por cuatro regiones: 1234 1 8 triángulos PEBAJA –PEBANA
6 1
2
3
Luego contamos manera:
4
de
5
la
siguiente
Triángulos compuestos por una sola región: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 Triángulos compuestos por dos regiones: 12 ; 23 ; 26 ; 34 ; 45 ; 46 Triángulos compuestos por tres regiones: 123 ; 345 Triángulos compuestos por cuatro regiones: 2346
5+ 6 2 1 14 triángulos
Ejercicio 3 En la figura propuesta a continuación, ¿cuántos triángulos tienen solamente un asterisco en su interior?
Resolución Enumeramos cada una de las regiones que aparecen:
1 4
2
3 5
6
Luego contamos los triángulos que tengan un solo asterisco en su interior:
Triángulos con un asterisco compuesto por una región: 2 Triángulos con un asterisco compuesto por dos regiones: 12 ; 14 ; 23 ; 25 ; 36 Triángulos con un asterisco compuesto por tres regiones: 123
1+ 5 1 7 triángulos
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9 5 a n i g á P
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NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
Resolución Asignando valores literales, tenemos:
2. CONTEO DE CUADRADOS Ejercicio 4 ¿Cuántos cuadrados hay en total en la siguiente figura?
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
Luego contamos así: Resolución Otra vez para que el conteo sea ordenado y correcto asignemos valores a las regiones simples, como letras por ejemplo: b a c
d
e
f g
Luego contamos manera:
de
la
Cuadrados compuestos por una sola región: b , c , d , e , f Cuadrados compuestos por dos regiones: fg Cuadrados compuestos por tres regiones: abc Cuadrados compuestos por cuatro regiones: cdef
Cuadrados compuestos por una sola región: a , b , c , d , e , f , g , h , i , j , k , l Cuadrados compuestos por dos regiones: No hay Cuadrados compuestos por tres regiones: jkm Cuadrados compuestos por cuatro regiones: abde , bcef , dehi , efij , fgjk Cuadrados compuestos por cinco regiones: No hay Cuadrados compuestos por seis regiones: No hay Cuadrados compuestos por siete regiones: No hay Cuadrados compuestos por ocho regiones: efgijklm Cuadrados compuestos por nueve regiones: abcdefhij
siguiente
12 + 1 5
1 1 20
5+ 1 1 1 8
Ejercicio 5 ¿Cuántos cuadrados existen en total en la figura que se propone a continuación?
0 6 a n i g á P
PEBAJA –PEBANA
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5.
Nivel I * ¿Cuántos triángulos como máximo hay en las siguientes figuras?
a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
c) 9
a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
a) 12 d) 10
b) 6 e) 4
c) 8
a) 10 d) 16
b) 12 e) 18
c) 14
6.
1.
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5 7.
2.
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
3.
8.
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
4.
9. a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
1 6
c) 9
a n i g á P
a) 12 d) 15 PEBAJA –PEBANA
b) 13 e) 16
c) 14
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CEBA PARROQUIAL
NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
* ¿Cuántos cuadrados como máximo hay en las siguientes figuras?
15.
10.
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
11.
a) 3 d) 6
a) 14 d) 17
b) 15 e) 13
c) 16
Nivel II
b) 4 e) 7
c) 5
En las figuras que se proponen a continuación, hallar el número de triángulos que tienen solamente un asterisco (*) en su interior. 1.
12.
a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
2. 13.
a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
14.
2 6
3.
a n i g á P
a) 7 d) 10 PEBAJA –PEBANA
b) 8 e) 11
c) 9
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
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CEBA PARROQUIAL
NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
4.
9.
a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
c) 11
a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
c) 11
b) 11 e) 14
c) 12
10.
5.
a) 9 d) 12 • Hallar
el triángulos.
b) 10 e) 13 máximo
a) 10 d) 13
c) 11
número
de
Nivel III * ¿Cuántos triángulos como máximo hay en las siguientes figuras? 1.
6.
a) 26 d) 29 a) 3 d) 7
b) 4 e) 8
c) 6
b) 27 e) 30
c) 28
2.
7.
a) 13 d) 16
b) 14 e) 17
c) 15
8.
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 30 3. ¿Cuántos cuadrados como máximo hay en la siguiente figura?
3 6 a) 3 d) 11
PEBAJA –PEBANA
b) 5 e) 14
a n i g á P
c) 8 a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
c) 17
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CEBA PARROQUIAL
NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
4. En la figura hallar la diferencia del número máximo de cuadrados y triángulos:
a) 4 d) 12
b) 8 e) 16
c) 10
5. ¿Cuántos triángulos que contengan exactamente dos asteriscos existen en la figura adjunta?
En este capítulo resolveremos problemas donde participan el análisis de las cuatro operaciones fundamentales. No olvides que en este tipo de problemas tu habilidad operativa y tu razonamiento numérico deberán interrelacionarse para obtener resultados correctos. Veamos a continuación algunos problemas resueltos:
Ejemplo 1 Machín gana S/. 60 diarios de los cuales puede ahorrar S/. 35. ¿Cuánto dinero ganó, si lleva ahorrados S/. 245? a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
Resolución Por día ahorra S/. 35 y en total ya lleva ahorrados S/. 245. Por lo tanto han transcurrido:
245 7 días 35
Cada día gana S/. 60, entonces en siete días ganó: 7 x S/. 60 = S/. 420 Respuesta: Ganó S/. 420
Ejemplo 2 A cada uno de los 70 soldados de un regimiento le corresponden 200 g de alimentos. Si llegan 30 soldados más, ¿cuántos gramos de alimentos le toca a cada soldado?
PEBAJA –PEBANA
PROFESOR: PEDRO FLORES C.
4 6 a n i g á P
CEBA PARROQUIAL
NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
Resolución Total alimentos: 70 x 200 = 14 000 g Como llegan 30 soldados, ahora hay: 70 + 30 = 100 soldados Todo el alimento (14 000 g) debe ser distribuido entre los 100 soldados Por lo tanto a cada uno le corresponde: 14 000 100
140 g
Respuesta: A cada soldado le toca recibir 140 g de alimentos.
Ejemplo 3 Un hombre da $ 6 210 y 103 caballos que valen $ 54 cada uno a cambio de un terreno que cuesta $ 654 el m2. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el terreno? Resolución Monto total hombre:
entregado
por
Efectivo:
$ 6 210
Caballos: $ 54 x 103 =
$ 5 562
Total:
el
$ 11 772
Ahora, por 1 m2 paga $ 654 Entonces el número de metros cuadrados es:
11 772 654
18
Respuesta: El terreno tiene 18 m2
PEBAJA –PEBANA
Ejemplo 4 Juan tiene S/. 20 más que Roberto. Si juntos tienen S/. 260, ¿cuánto dinero tiene Juan? Resolución + S/. 20
Juan:
S/. 260
Roberto:
Si a los S/. 260 le quito S/. 20 obtengo S/. 240. O sea, ahora es como si ambos tuviesen la misma cantidad de dinero. Por lo tanto la cantidad que tiene Roberto sería: S/. 240 2
S/. 120
Como Juan tiene S/. 20 más, entonces: S/. 120 + S/. 20 = S/. 140 Respuesta: Juan tiene S/. 140
Ejemplo 5 Alberto regala cinco caramelos por día y Arturo regala siete caramelos por día. Luego de haber regalado entre los dos 204 caramelos, ¿cuántos días han transcurrido? Resolución Por día regalan: 5 + 7 = 12 caramelos, y el total de caramelos regalados es de 204; entonces, el número de días que han transcurrido es:
204 17 12 Respuesta: han transcurrido 17 días
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5 6 a n i g á P
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NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
Ejemplo 6 Ricardo tiene 800 figuritas, decide regalar la cuarta parte a Raúl y de lo que queda le regala la tercera parte a Raquel. ¿Cuántas figuritas regaló en total? Resolución
3. Julio y Javier tienen juntos 360 soles. Si Julio tiene 80 soles más que Javier, ¿cuánto dinero tiene Julio? a) S/. 140 d) 190
b) 220 e) 210
c) 180
4. Luis le dice a Andrea: "Peso 30 kg más que tú y la suma de nuestros pesos es 160 kg". Andrea dice: "Yo peso 15 kg menos que Ricardo". ¿Cuánto pesa Ricardo?
- regala: A Raúl:
800 200 figuritas 4
a) 65 kg d) 80
queda: 800 - 200 = 600 - regala: A Raquel:
b) 60 e) 90
c) 75
5. Repartí $ 87 entre "A" y "B" de modo que "B" recibió $ 11 menos que "A". ¿Cuánto recibió "A"?
600 200 figuritas 3
a) $ 51 d) 43
Respuesta: En total regaló 200 + 200 = 400 figuritas
b) 38 e) 49
c) 47
6. Si te regalo S/. 50 ambos tendremos la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tengo más que tú? a) S/. 50 d) 100
b) 25 e) 125
c) 75
7. Tadeo le dice a Rommel: "Si me prestas S/. 40, tendremos la misma cantidad de dinero". Si Rommel tiene S/. 140, ¿cuánto dinero tiene Tadeo? a) S/. 120 d) 60
Nivel I 1. Julio tiene S/. 30 más que Ricardo. Si juntos tienen S/. 90, ¿cuánto dinero tiene Ricardo? a) S/. 30 d) 60
b) 40 e) 45
c) 50
2. Dos personas juntas pesan 180 kg. Si una de ellas pesa 30 kg más que la otra, ¿cuál es el peso de una de ellas? a) 95 kg d) 105 PEBAJA –PEBANA
b) 85 e) 90
c) 70
b) 100 e) 50
c) 80
8. Si Marco le entrega la mitad de su dinero a Patricia, ésta tendría S/. 90 y Marco se quedaría con S/. 70. ¿Cuánto dinero tiene Patricia? a) S/. 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
9. Según el problema anterior, ¿cuánto dinero debe prestarle Marco a Patricia para que ambos tengan la misma cantidad de dinero? a) S/. 60 d) 40
b) 50 e) 70
c) 80
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6 6 a n i g á P
CEBA PARROQUIAL
NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
10. Gildder tiene trece monedas en la mano derecha y nueve en la mano izquierda. ¿Cuántas monedas debe pasar de una mano a la otra para lograr tener la misma cantidad de monedas en cada una de las manos? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
11. Mónica y José comen al día 6 y 9 panes respectivamente. Si en total han comido 255 panes, ¿cuántos días han transcurrido? a) 13 d) 19
b) 15 e) 21
c) 17
12. Martín tiene el doble del dinero que tiene Samuel. Si juntos tienen S/. 180, ¿cuánto dinero tiene Martín? a) S/. 80 d) 110
b) 120 e) 100
c) 90
13. Pedro tiene el cuádruple del dinero que tiene Sebastián. Si entre los dos tienen S/. 1 200, ¿en cuánto excede la cantidad que tiene Pedro a la cantidad que tiene Sebastián? a) S/. 240 d) 960
b) 480 e) 1 020
c) 720
14. "A" es el triple de "B" y "C" es el doble de "B". Sabiendo que: A + B + C = 90, hallar "A". a) 30 d) 60
b) 40 e) 50
c) 45
15. En una caja verde hay cinco cajas rojas, en cada caja roja hay tres cajas amarillas y en cada caja amarilla hay dos blancas. ¿Cuántas cajas hay en total? a) 41 d) 48
PEBAJA –PEBANA
b) 51 e) 45
c) 50
Nivel II 1. Se tienen dos cajas con 70 y 130 polos respectivamente. ¿Cuántos polos se deben pasar de la segunda caja a la primera para que ambas cajas queden con la misma cantidad de polos? a) 20 d) 35
b) 24 e) 30
c) 27
2. Según el problema anterior, ¿cuántos polos se deben pasar de la primera caja a la segunda para que ésta última tenga el triple de los polos que quedan en la primera caja? a) 20 d) 16
b) 12 e) 15
c) 10
3. Dos depósitos tienen 80 y 140 litros de agua respectivamente. ¿Cuántos litros se deben pasar del segundo al primer depósito para lograr que ambos depósitos tengan la misma cantidad de agua? a) 30 litros d) 40
b) 25 e) 45
c) 60
4. Según el problema anterior, ¿cuántos litros se deben pasar del primer depósito al segundo para que éste último tenga el triple de lo queda en el primero? a) 40 litros d) 25
b) 45 e) 30
c) 20
5. Manuel tiene 200 figuritas, regala la quinta parte a su primo Carlos, luego la mitad del resto a su prima Carmen y finalmente la octava parte del resto a su primo César. ¿Cuántas figuras le sobraron a Manuel? a) 50 d) 80
b) 60 e) 75
c) 70
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6. Donald tiene S/. 600 y decide regalar todo el dinero a sus tres sobrinos. A Hugo le corresponde la quinta parte del dinero, a Paco le toca la sexta parte del resto y a Luis el dinero sobrante. ¿Cuánto del dinero le tocó a Luis? a) S/. 360 d) 420
b) 400 e) 480
c) 380
7. En una reunión hay cinco personas. Todas se saludaron dándose la mano. ¿Cuántos apretones de mano hubo? a) 15 d) 12
b) 20 e) 18
c) 10
8. En un campeonato de fulbito participan seis equipos. Si deciden jugar todos contra todos, ¿cuántos partidos se juegan en dicho campeonato? a) 15 d) 20
b) 30 e) 21
c) 24
9. Un lapicero cuesta S/. 2 más que un plumón y el plumón cuesta S/. 1 más que un lápiz. Si un lapicero, un plumón y un lápiz cuestan S/. 16, ¿cuánto cuesta el plumón? a) S/. 4 d) 6
b) 3 e) 7
c) 5
10. Si te diera el doble de lo que tienes, me quedaría con S/. 70. ¿Cuánto tienes si yo tengo S/. 130? a) S/. 20 d) 60
b) 25 e) 50
c) 30
Nivel III 1. Se tienen tres depósitos "A", "B" y "C" cuyos contenidos son 280; 230 y 150 litros respectivamente. Si de "A" y "B" se pasan algunos litros a "C" hasta lograr que los tres depósitos tengan la misma cantidad de agua, ¿cuántos litros se pasaron de "A" a "C"? a) 40 litros d) 70
c) 60
2. Tenía 2576 soles. Compré ropa por un valor de 854 soles y con el resto compré corbatas a 6 soles cada una. ¿Cuántas corbatas compré? a) 280 d) 308
b) 300 e) 299
c) 287
3. Entre dos personas tienen S/. 300. Si la cantidad que tiene uno de ellos es el triple de lo que tiene la otra, ¿cuál es la diferencia de cantidades? a) S/. 150 d) 75
b) 180 e) 200
c) 225
4. Si Ricardo decidiera regalarme el cuádruple de lo que tengo, él se quedaría con S/. 60 y yo con S/. 150. ¿Cuánto dinero tiene Ricardo? a) S/. 150 d) 120
b) 180 e) 160
c) 170
5. Ricardo tiene el doble del dinero que tiene Roberto, y Ramiro decide pagarle a Ricardo los S/. 50 que le debe, con lo cual ahora Ricardo tiene el cuádruple del dinero que tiene Roberto. ¿Cuánto dinero tiene Roberto? a) S/. 40 d) 60
PEBAJA –PEBANA
b) 50 e) 30
b) 25
c) 50
e) FD
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Ejemplo 3
Ejemplo 1 Compro 24 vasos a S/. 5 cada uno. Si ocho de ellos se rompen, ¿a cuánto debo vender cada uno de los restantes para recuperar mi dinero? Resolución Costo total: 24 x 5 = 120 soles Si se rompen ocho vasos solo me quedan:
Por la filmadora "SOÑY" cuyo costo es de $ 790, se entrega $ 142 de inicial y por el saldo se firma 24 letras. ¿Qué valor tiene cada una de las letras? Resolución Si cuesta $ 790 y ya pagué $ 142, entonces faltará cancelar: 790 142 = $648 Los $ 648 se va a pagar en 24 cuotas, entonces el valor de cada cuota será de: = $27
24 - 8 = 16 vasos O sea, debo recuperar 120 soles al vender 16 vasos. Por lo tanto el precio de cada vaso debería ser: = S/. 7,5
El valor de cada letra será $ 27.
Ejemplo 4 Luego de comprar un VHS en 120 dólares, lo vendí ganando la tercera parte del costo. ¿En cuánto lo vendí? Resolución La ganancia es:
Ejemplo 2 Segismundo compra 32 CD a $ 15 cada uno y lo vende a $ 17 cada uno. ¿Cuánto ha ganado en el negocio? Resolución
P VENTA - PCOSTO = Ganancia
120 3
$ 40
P VENTA = PCOSTO + Ganancia
Luego, se vendió en: 120 + 40 = $ 160
Ganancia de un CD es $2 = 17 - 15 Como vende 32 CD, la ganancia total será de: 32 x 2 = $ 64.
PEBAJA –PEBANA
Ejemplo 5 Dos empleados trabajan juntos, el primero gana S/.10 más por día que el segundo. Si después de haber laborado el mismo número de días, el primero recibió S/. 270 y el segundo S/. 180. ¿Cuánto gana diariamente el segundo?
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Resolución - El primero recibió: 270 - 180 = 90 soles más que el segundo. - En 1 día el primero gana S/. 10 más. - Número de días que trabajan
- La segunda persona en 9 días recibe S/. 180 en 1 día
3. Por siete artículos se pagaron en un supermercado S/. 91. ¿Cuánto debe pagarse en otro supermercado si cada artículo cuesta S/. 2 menos? a) S/. 81 d) 70
b) 91 e) 80
c) 77
4. Juan nació cuando su papá tenía 31 años. ¿Cuál es la edad actual de Juan, si la suma de ambas edades es 43 años? a) 30 d) 40
b) 37 e) 41
c) 38
5. Pedro necesita saber el peso total de cinco cajones, sabiendo que el primero pesa 713 kg, el segundo pesa 17 kg menos que el primero; el tercero 18 kg más que el primero y el segundo juntos; el cuarto 365 kg menos que el tercero; y el quinto pesa 2 kg menos que el cuarto. a) 4 890 kg d) 4 898
Nivel I 1. En un colegio se encuentran 63 alumnos, entre hombres y mujeres. En un determinado momento juegan en parejas, (un hombre y una mujer) excepto 17 mujeres que se van a tomar aire. ¿Cuántos hombres habían en la reunión? a) 23 d) 26
b) 24 e) 27
c) 25
2. Entre ocho personas tienen que pagar por partes iguales S/. 400, como algunas de ellas no pueden hacerlo, los restantes tienen que aportar S/. 30 más cada una, ¿cuántas personas no pagaron? a) 5 d) 4
PEBAJA –PEBANA
b) 3 e) 6
c) 8
b) 4 895 e) 4 500
c) 4 897
6. Treinta alumnos decidieron ir de paseo. Como seis de ellos no tenían dinero, cada uno de los restantes pagó S/. 15, cubriendo el costo total. ¿Cuánto más pagó uno de estos últimos? a) S/. 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
7. Pedro reparte cierto número de golosinas entre 12 niños, tocándole 9 a cada uno y sobrando 7. ¿Cuánto habría sobrado si fueran 13 niños? a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
c) 9
8. En una granja hay 9 vacas y 23 pollos. ¿Cuántas patas más que animales hay? a) 50 d) 70
b) 60 e) 80
c) 55
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9. En un corral se encuentra cierta cantidad de gallinas y elefantes. Si en total hay 55 cabezas y 144 patas, ¿cuántos elefantes hay? a) 20 d) 38
b) 15 e) 35
c) 17
10. La siguiente tabla es parte de una factura que tiene que pagar la señora Julia que compró en un supermercado. Articulo
Cantidad
Precio Unit.
Aceite (Lt) 3 Leche 5 Azúcar (kg) 4 Arroz (kg) 6 Total a pagar (s/.)
Total
3,80 2,10 1,90 1,40
A cuánto asciende la factura. a) S/. 37,90 b) 38,40 d) 38 e) 35,90
c) 36,90
Nivel II 1. Si 40 pelotas cuestan S/. 240, ¿cuántas pelotas puedo comprar con S/. 720? a) 140 d) 150
b) 130 e) 160
c) 120
2. Una docena de gaseosas cuestan S/. 36, ¿cuánto debo pagar por tres decenas de gaseosas? a) S/. 90 d) 98
b) 80 e) 85
c) 60
PEBAJA –PEBANA
b) 25 e) 30
a) S/. 24 d) 25
c) 4
b) 30 e) 40
c) 36
5. El profesor Jorge Angles si vende su auto en $ 900, estaría perdiendo $ 200. ¿A cuánto debe venderlo si quiere ganar $ 300? a) $ 1 500 d) 1 100
b) 1 200 e) 1 400
c) 1 800
6. Fernando se dedica a la venta de libros de RM. Si cada libro le costó S/. 25 y decide venderlo a S/. 40, ¿cuántos libros deberá comprar si desea ganar S/. 825? a) 50 d) 30
b) 55 e) 60
c) 60
7. Si compro cierto número de sacos de azúcar por S/. 600 y los vendo por S/. 840 ganando dos soles por cada saco, ¿cuánto pagué por cada saco? a) S/. 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
8. Juana compró 600 sacos de arroz a S/. 8 cada una y por la venta de 300 sacos se obtiene S/. 2 700. ¿A cuánto debe vender cada uno de los sacos restantes si desea ganar S/. 1 200? a) S/. 15 d) 14
3. ¿A cómo debo vender un par de zapatos que me costaron $ 20, para ganar la cuarta parte de lo que me costó? a) $ 22 d) 24
4. ¿A cómo debo vender una pelota de voley que me costó S/. 11, para ganar el doble, de lo que me costó más S/. 3?
b) 11 e) 15
c) 13
9. Un comerciante compró 11 trajes por S/. 3 300. Si vendió cinco trajes a S/. 240 cada uno, ¿a cuánto tiene que vender los restantes para ganar S/. 900? a) S/. 400 d) 500
b) 600 e) 800
c) 700
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10. Un librero compró 15 libros a 12 soles cada uno. Habiéndose deteriorado nueve de ellos, tuvo que vender a S/. 8 cada uno. ¿A cuánto tiene que vender los restantes para no ganar ni perder? a) S/. 16 d) 12
b) 18 e) 14
c) 10
Nivel III 1. Sebastián realiza las siguientes compras para su tienda comercial "Todo barato" Articulo
Cantidad
Precio Unit.
c) 48
2. En un negocio de electrodomésticos, uno de los vendedores gana S/. 100 por cada computadora que vende cuyo costo es de S/. 1 900. Además, por cada TV a color de S/. 700, el vendedor gana S/. 40. Después de haber vendido 15 computadoras y 20 TV a color, ¿a cuánto asciende dicha venta? c) 60
3. Compré 95 entradas para el clásico del partido (Municipal vs Defensor Lima) a S/. 30 cada uno. ¿A cómo los debo vender para obtener una ganancia total de S/. 380? a) S/. 32 d) 35 PEBAJA –PEBANA
b) 31 e) 36
b) 220 e) 26
c) 240
5. Si vendo un departamento en S/. 16 000, gano el doble del costo, más S/. 1 000. ¿Cuánto me costó el departamento? a) S/. 5 000 d) 5 800
b) 10 000 e) 6 000
c) 500
6. A un comerciante le venden la docena de cuadernos a S/. 24 y por cada docena que compró le obsequian dos. Si compra 15 docenas y decide vender cada cuaderno a S/. 3, ¿cuál será su ganancia?
¿Cuánto invirtió en dicha compra?
a) S/. 50 000 b) 44 800 000 d) 70 000 e) 58 000
a) 215 d) 250
Total
Maquina de 15 752 Coser Equipo de 22 890 Sonido Lavadoras 20 520 Total a pagar (s/.)
a) S/. 44 500 b) 44 600 900 d) 34 500 e) 45 900
4. Se repartieron 1 473 hojas entre los alumnos del colegio Trilce, recibiendo cada uno seis hojas y sobrando 183 hojas. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?
a) S/. 270 d) 350
b) 280 e) 400
c) 300
7. Por cada cinco camisas que compré a un comerciante me obsequian una camisa. Si compro 20 camisas a S/. 21 cada uno y vendo todos con una ganancia de S/. 324, ¿a cuánto vendió cada camisa? a) S/. 30 d) 45
b) 31 e) 46
c) 40
8. Se sabe que 100 peras cuestan lo mismo que 20 naranjas y 40 manzanas. Si cada naranja cuesta S/. 3 y cada manzana S/. 2, ¿cuánto cuestan cinco peras? a) S/. 6 d) 7
b) 8 e) 5
c) 9
c) 34
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9. Se compra pantalones a S/. 29 cada uno, pagando en total S/. 899. Como habían 12 defectuosos, éstos se vendieron S/. 2 menos que el costo. ¿A cómo se debe vender el resto para ganar en total S/. 185? a) S/. 30 d) 42
b) 35 e) 43
c) 40
10. En un corral hay tantos conejos como gallinas y el número total de cabezas es 18. Calcular el número de patas. a) 35 d) 50
b) 48 e) 54
c) 60
El arte de plantear ecuaciones es una habilidad sumamente importante para la resolución de problemas, para ello tenemos que traducir un problema dado en un lenguaje convencional, al lenguaje matemático con ayuda de símbolos, variables o incógnitas.
I. Transformación del lenguaje natural (forma verbal) al lenguaje simbólico (forma matemática) A continuación se presentan diversos enunciados en lenguaje natural y hay que hacer su correspondiente representación en el lenguaje matemático. Las incógnitas se representan con las letras: “x”, “y”, “z”, “n”, “m”, etc. FORMA VERBAL
FORMA SIMBÓLICA
Un número El duplo de un número Dos veces un número El triple de un número Tres veces un número El cuádruple de un número Cuatro veces un número El cuadrado de un número El cubo de un número Dos números enteros consecutivos Tres números pares consecutivos Cuatro números impares consecutivos El doble de un número es aumentado en 5 El triple de un número es disminuido en 7 El doble de la suma de un número con 9 El triple de la diferencia de un número con 8 Un número excede a 6 en 2 El exceso de un número sobre 10 es 40 Un número es excedido por 45 en 25 La cuarta parte de un número Un número disminuido en su quinta parte.
PEBAJA –PEBANA
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No te olvides que las palabras: * Nos da * Resulta * Equivale * Tanto como * Es, será, sería, son, etc. significan igual (=)
II. Escribir un enunciado verbal para las siguientes expresiones matemáticas: FORMA SIMBÓLICA
FORMA VERBAL
A
continuación veremos algunos problemas resueltos de formas verbales comunes usadas en el planteo de una ecuación:
Si “n” es par
Pasos para resolver problemas de planteo de ecuaciones Paso 1 • Leer cuidadosamente el problema.
Si es necesario, hágalo más de una vez. • Elabore una síntesis de sus partes principales. • Separe los datos del problema. • Elabore un esquema y ubique los datos.
Paso 2 • Defina
sus incógnitas (representadas por las variables), las cuales generalmente se encuentran en la pregunta del problema. • Transforme el enunciado verbal a lenguaje simbólico o matemático. • Fíjese que el número de incógnitas sea igual al número de ecuaciones planteadas.
Paso 3 Resuelva la(s) ecuación(es) que responde(n) la(s) pregunta(s) del problema. •
Ejemplo 1 1. La edad de Juan aumentada en 8 es 27. ¿Cuál es la edad de Juan? Resolución: Sea: Edad = x Por dato del problema: x + 8 = 27 x = 27 - 8 x = 19 La edad de Juan es 19.
Ejemplo 2 2. El doble de un número es disminuido en 70 y resulta 48. ¿Cuál es el número? Resolución: Sea:
Número = N
Por dato del problema: 2N - 70 = 48 2N = 70 + 48 2N = 118 N = 59 El número es 59.
Ejemplo 3 3. El triple de la suma de un número con 6 es 48. ¿Cuál es el número? PEBAJA –PEBANA
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Resolución: Sea:
Resolución: Sea: Número = N
Por dato del problema:
Dinero = D Por dato del problema:
3(N + 6) = 48 3N + 18 = 48 3N = 30 N = 10
D + = 45 = 45 D = 30
El número es 10. Tengo S/.30
Ejemplo 4 4. El número de hombres es cinco veces el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay? Resolución: Número de mujeres = x Número de hombres = 5x Por dato del problema: x + 5x = 42 6x = 42 x=7 El número de mujeres es 7.
A continuación se presentarán enunciados y tu labor estimado alumno de primer año será resolver las ecuaciones para llegar a la respuesta del problema.
Nivel I 1. ¿A qué número debemos sumar 8 para obtener 15? a) 7 d) 10
Ejemplo 5 5. El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de "A" sobre 2. ¿Cuánto vale "A"? Resolución: Por dato del problema: 15 - 8 = A - 2 7=A-2 7+2=A A = 9 El valor de "A" es 9.
b) 8 e) 24
c) 23
2. ¿De qué número debemos restar 4 para obtener 9? a) 9 d) 18
b) 13 e) 4
c) 5
3. Si a un número entero le agregamos 80 unidades resulta su quíntuple. ¿Cuál es el número? a) 20 d) 40
b) 60 e) 100
c) 80
4. Si a 240 le restamos el triple de un número resulta el séxtuple de 25. ¿Cuál es el número?
Ejemplo 6 6. El dinero que tengo aumentado en su mitad es S/.45. ¿Cuánto tengo? PEBAJA –PEBANA
a) 30 d) 70
b) 40 e) 60
c) 50
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5. Dos números consecutivos suman 71. ¿Cuáles son los números? a) 35; 36 d) 40; 41
b) 36; 37 e) 38; 39
c) 34; 35
6. Cuatro números naturales consecutivos suman 110. ¿Cuál es el mayor número? a) 26 d) 27
b) 28 e) 29
c) 30
7. Tres números pares consecutivos suman 102. ¿Cuál es el menor de ellos? a) 32 d) 30
b) 34 e) 38
c) 36
8. Tres números impares consecutivos suman 159. ¿Cuál es el mayor de dichos números? a) 51 d) 57
b) 53 e) 56
c) 55
12. El producto entre un número entero y el mismo número aumentado en 5 es equivalente a su cuadrado aumentado en 50. ¿Cuál es el número? a) 10 d) 16
a) 10 d) 8
b) 12 e) 16
c) 14
10. El cociente entre dos números naturales consecutivos es 4/5. ¿Cuál es el producto entre ellos? a) 20 d) 12
b) 80 e) 14
c) 10
11. Un número natural se aumenta en 124 unidades, resultando cinco veces el número. ¿Cuál es el número? a) 30 d) 33 PEBAJA –PEBANA
b) 31 e) 34
c) 32
c) 14
13. El doble de un número, aumentado en 23 es 75. Halla dicho número. a) 32 d) 25
b) 26 e) 30
c) 28
14. El cuádruple de un número, disminuido en 36 es 88. Hallar dicho número. a) 29 d) 30
b) 28 e) 31
c) 34
15. El triple de la suma de un número con 10 es 45. Hallar dicho número. a) 4 d) 7
9. Un número par más cuatro veces su par consecutivo suma 58. ¿Cuál es el número?
b) 12 e) 18
b) 5 e) 8
c) 6
16. El quíntuple de la diferencia de un número con 8 es 70. Hallar dicho número. a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 17. La cuarta parte de un número, disminuido en 6 es 17. ¿Cuál es el número? a) 90 d) 93
b) 91 e) 94
c) 92
18. La cuarta parte de la diferencia entre un número con 6 es 24. ¿Cuál es el número? a) 100 d) 112
b) 102 e) 108
c) 110
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19. Un número excede en 24 a 38. Hallar dicho número. a) 64 d) 50
b) 6 e) 62
c) 60
20. Un número ha sido excedido por 70 en 40. Hallar dicho número. a) 30 d) 80
b) 50 e) 110
c) 90
1. La suma de tres números consecutivos es 144. ¿Cuál es el número menor? b) 48 e) 47
b) 32 e) 34
b) 53 e) 59
c) 30
c) 55
4. ¿Cuál es el número que excede a 49 tanto como es excedido por 87? a) 66 d) 69
b) 67 e) 70
c) 68
5. Hallar un número, tal que su doble excede a 60 tanto como su triple excede a 96? a) 42 d) 36 PEBAJA –PEBANA
b) 38 e) 34
c) 15
7. El exceso del triple de un número sobre 52 equivale al exceso de 240 sobre el número. ¿Cuál es el número? b) 71 e) 73
c) 69
8. El triple del exceso de un número sobre 20 equivale al cuádruple del exceso del mismo número sobre 30. Hallar el mencionado número. a) 60 d) 64
3. La suma de cinco números impares consecutivos es 275. ¿Cuál es el número intermedio? a) 51 d) 57
b) 14 e) 11
c) 50
2. La suma de cuatro números pares consecutivos es 132. ¿Cuál es el número mayor? a) 36 d) 38
a) 17 d) 12
a) 75 d) 70
Nivel II
a) 46 d) 49
6. ¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 46 tanto como su doble excede a 18?
c) 40
b) 57 e) 59
c) 50
9. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto? a) 190 d) 197
b) 188 e) 181
c) 176
10. A cierto encuentro futbolístico, asistió cierto número de espectadores, pagando cada uno S/.5 por entrada. En el encuentro de revancha asistió el triple de espectadores que la primera vez y cada uno pagó ahora S/.8 por entrada. Si en la segunda recaudación se recibió S/.380 000 más que en la primera, ¿cuántos espectadores asistieron al segundo encuentro? a) 6 000 d) 4 000
b) 2 000 e) 4 500
c) 60 000
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Nivel III 1. Hallar el número de pelotas que tiene Jorge, tal que si se multiplican por 7 y luego se le agrega 20 resulta el quíntuple de ellas, aumentada en 60. a) 10 d) 25
b) 18 e) 35
c) 20
“Había una vez un caballo y un mulo que caminaban juntos l evando sobre sus lomos pesados sacos, lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya; en cambio, si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía”. ¿Puede decirme cuántos sacos l evaba el caballo?
2. A la cantidad de soles que tiene Eva le agregamos S/.8 para luego el resultado duplicarlo, y sumarle 9, a este último resultado se le divide por 7 y se obtiene cinco unidades menos que la cantidad inicial. ¿Cuál es dicha cantidad? a) S/.10 d) 18
b) 12 e) 20
c) 13
3. María reparte su fortuna entre sus tres novios: al primero le da el doble de lo que le dio al segundo y al tercero $ 2 000 más que al segundo. Si su fortuna fue de $22 000, ¿cuánto le tocó al tercero? a) $ 8 000 d) 7 000
b) 6 000 e) 9 000
c) 5 000
4. El sapito de Vanesa da cuatro saltos recorriendo en cada salto 3 cm más que el anterior. Si el sapito recorrió un total de 74 cm, ¿cuánto recorrió en el segundo salto? a) 6 cm d) 14
b) 8 e) 17
c) 11
PEBAJA –PEBANA
b) 200 e) 600
1. Hallar el menor de tres números consecutivos, si sabemos que la mitad del menor sumada con la quinta parte del número medio, equivale al mayor disminuido en 9. a) 18 d) 26
b) 22 e) 28
c) 300
c) 24
Resolución: Sean los números consecutivos: x; x + 1; x + 2 Por dato del problema:
x 2
5. Si ganase $ 700 tendría el quíntuple de lo que me quedaría si hubiera perdido $ 100. ¿Cuánto tengo? a) $ 80 d) 450
PROBLEMAS RESUELTOS
x 1 x 29 5
Entonces: 5x + 2x + 2 = 10x - 70 72 = 3x x = 24 Rpta.: c
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8 7 a n i g á P
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NTRA. SEÑSORA DE MONTSERRAT
2. Hallar el mayor de tres números enteros consecutivos, si se sabe que la diferencia de cuadrados entre el medio y el menor, excede al mayor en 10 unidades. a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
Resolución: Sean los números consecutivos:
4. La suma de tres números es 200. Si el mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65, hallar el número intermedio. a) 69 d) 62
b) 67 e) 65
c) 60
Resolución: Número mayor = x Número intermedio = x - 32 Número menor = x – 65
n; n + 1; n + 2 Por dato del problema: (n + 1)2 - n2 = n + 2 + 10 n2 + 2n + 1 - n 2 = n + 12 n = 11 Nos piden: n + 2
Por dato del problema: x + x - 32 + x - 65 = 200 3x = 297 x = 99 Nos piden: x - 32
99 - 32 = 67 Rpta.: b
11 + 2 = 13 Rpta.: b
3. En tres canastas se tienen un total de 640 manzanas. Si la primera canasta tiene el doble de manzanas que la segunda y 15 más que la tercera, ¿cuántas manzanas hay en la tercera canasta? a) 262 d) 237
b) 131 e) 222
c) 247
5. Un número excede a otro en 200 unidades y la suma de ambos números es 416. ¿Cuánto vale el mayor? a) 311 d) 315
b) 306 e) 308
c) 314
Resolución: Número mayor = N Número menor = N – 200
Resolución: Primera canasta = 2m Segunda canasta = m Tercera canasta = 2m – 15
Por dato del problema: N + N - 200 = 416 2N = 616 N = 308
Por dato del problema: 2m + m + 2m - 15 = 640 5m = 655 m = 131
Rpta.: e
Nos piden: 2m - 15 2(131) - 15 = 247
9 7 a n i g á P
Rpta.: c
PEBAJA –PEBANA
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6. Un sapo avanza en cada salto el doble de lo avanzado en el salto anterior, más 3 centímetros. Si en 4 saltos avanzó 63 cm, ¿cuánto avanzó en el segundo salto? a) 12 cm d) 13
b) 7 e) 15
c) 11
Resolución: Primer salto = x Segundo salto = 2x + 3 Tercer salto = 2(2x + 3) + 3= 4x + 9 Cuarto salto = 2(4x + 9) + 3 = 8x + 21
Por dato del problema: x + 2x + 3 + 4x + 9 + 8x + 21 = 63 x=2
Rpta.: b
4. ¿Cuántos buzos tiene Diego, si sabemos que al octuplicarlos y restarle 8 obtenemos 7 veces dicha cantidad, aumentada en 3? a) 15 d) 14
a) 18 d) 20
1. Hallar un número, tal que si a su doble le disminuimos 39 obtendríamos 25. b) 31 e) 34
c) 32
2. ¿Cuál es la edad de José, si sabemos que al sextuplicarla, y luego restarle 32 obtenemos tres veces su edad aumentada en 4? b) 13 e) 14
PEBAJA –PEBANA
c) 24
6. ¿Cuál es el número cuyo óctuplo aumentado en 24 es tanto como su quíntuplo más 60? b) 12 e) 17
c) 14
b) 7 e) 10
a) 10 d) 25
b) 12 e) 30
c) 15
8. Tres veces el número de alumnos del primer año; aumentado en 50 nos da el doble del número de alumnos; aumentado en 80. ¿Cuántos alumnos son? a) 30 d) 50
b) 38 e) 32
c) 40
c) 11 9. Si tres números consecutivos suman 39, hallar el mayor.
3. ¿Cuántos hermanos tiene Andrea, sabiendo que si al doble de ellos le agregamos 14, nos da el quíntuple de ellos, disminuido en 10? a) 6 d) 9
b) 21 e) 28
7. ¿Cuál es el lado de un cuadrado tal que el doble de su perímetro, disminuido en 20 es igual al triple de su lado, aumentado en 30?
Nivel I
a) 15 años d) 12
c) 13
5. Hallar un número tal que al triplicarlo y restarle 18, nos da el doble del número aumentado en 2.
a) 13 d) 16
a) 30 d) 33
b) 11 e) 16
a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
c) 8 PROFESOR: PEDRO FLORES C.
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10. Calcular el menor de dos números consecutivos, si al quíntuplo del mayor le restamos 22 obtenemos el doble del menor, aumentado en cuatro. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
11. Dado tres números consecutivos: el doble del mayor más el triple del menor es igual al intermedio aumentado en 67. Hallar el mayor. a) 16 d) 19
b) 17 e) 20
c) 18
12. Calcular el menor de tres números consecutivos tal que si sumamos los tres nos da el cuádruple del mayor, disminuido en 11. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
b) 8 e) 6
c) 12
14. Dado cuatro números consecutivos tal que la suma de los dos menores, aumentado en nueve es igual al doble de la suma de los dos mayores, disminuido en 10. Calcular el menor. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
a) 100 cm d) 38
c) 30
1. Si se sabe que Leonardo mide tres centímetros más que Mike y tres centímetros menos que Jhon y la suma de la talla de los tres es 549 cm, ¿cuánto mide Jhon? a) 180 cm d) 183
b) 186 e) 146
c) 184
2. La suma de cuatro números impares consecutivos es 80. ¿Cuál es el número mayor? b) 23 e) 19
c) 21
3. ¿Cuál es el número que excede a 36 tanto como es excedido por 64? a) 40 d) 45
b) 50 e) 32
c) 55
4. Betty tiene el triple que Ana y Carmen S/.8 más que Betty. Si entre las tres tienen S/.71, ¿cuánto tiene Carmen? a) S/.30 d) 36
b) 9 e) 35
c) 27
c) 7 5. El doble de la suma de un número con 7 es el triple del exceso del número sobre 8. Hallar dicho número. a) 32 d) 38
PEBAJA –PEBANA
b) 40 e) 42
Nivel II
a) 25 d) 27
13. Se tienen dos números impares consecutivos tal que el séxtuplo del menor más el doble del mayor nos da 76. Hallar el par siguiente al mayor. a) 10 d) 14
15. Tres serpientes "A", "B" y "C" tienen las características siguientes: la longitud de "A" excede a la de "B" en 8 cm y a la de "C" en 4 cm. Si la suma de las longitudes de las tres es 102 cm, ¿cuánto mide "A"?
b) 34 e) 35
c) 36
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