modulazione di frequenza

Modulazione di frequenza (F.M.)

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Modulazione di frequenza (F.M.) Nella sezione relativa alla sintesi additiva, additiva, si è visto come questa tecnica, pur permettendo il completo controllo di ciascun parametro (frequenza,ampiezza,fase) (frequenza,ampiezza,fase) di ogni componente spettrale, richieda strumenti molto complessi ed il controllo di un numero elevatissimo di parametri (dovuti al numero di oscillatori necessari - uno per ogni armonica dello spettro - nonché gli altri eventuali moduli che lo strumento possa richiedere per la sua implementazione ). Per questi motivi si sono sempre studiate tecniche di sintesi alternative all'additiva, in termini di efficienza e costo computazionale , ma che permettessero comunque un controllo dinamico del contenuto spettrale di un segnale. Tra le tecniche di sintesi non lineare (o sintesi per distorsione ) , la modulazione di frequenza è sicuramente una delle più conosciute ed utilizzate, in ragione di quanto esposto precedentemente. La sintesi F.M. è ottenuta tramite l' alterazione (o distorsione ) della frequenza di un oscillatore causata dall'ampiezza di un segnale modulante. Un semplice esempio di "vibrato" come quello realizzato dallo strumento in Fig.1 costituisce già una modulazione di frequenza. fr equenza.

Fig.1

Se questo strumento usasse una frequenza sub-audio (ad esempio 8 Hz) ed una "larghezza" di vibrato minore di un semitono, si ascolterebbe un suono che possiede una variazione lenta ben percepibile nella sua frequenza fondamentale. E' importante sottolineare che il parametro definito 'larghezza del vibrato' altro non è se non l' ampiezza dell'oscillatore modulante e la 'velocità del vibrato' altro non è se non la frequenza dell'oscillatore modulante. Il primo parametro costituisce un fattore fondamentale, in quanto maggiore è l'escursione in ampiezza (da qui il termine 'larghezza') 'l arghezza') dell'oscillatore modulante tanto maggiore sarà la deviazione in frequenza dell'oscillatore portante. Ciò che accade è che se l' ampiezza dell'oscillatore modulante causa una deviazione in frequenza dell'oscillatore portante troppo elevata, ascolteremo (a seconda se la frequenza dell'oscillatore modulante è bassa o alta) o un segnale che "glissa" periodicamente tra due valori estremi, o una sorta di segnale "pulsante". Nel caso appena contemplato del vibrato, t uttavia, non si assiste ad un fenomeno di sintesi vero e proprio ma solo ad una modulazione appena accennata della portante del segnale, che devia leggermente in frequenza intorno al suo valore, donando al suono una

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caratteristica di "vivacità" e "dinamicità" senza perdere la caratteristica di riconoscibilità dell'altezza del suono né alterando il contenuto spettrale del suono se non in maniera impercettibile (almeno fintanto che si resta nell'ambito di un corretto vibrato ). Invece, diversamente dal caso del vibrato , la sintesi FM utilizza frequenze di modulazione nella gamma audio ed ampiezze di modulazione decisamente maggiori. Lo strumento base per la sintesi FM è illustrato in Fig.2 e, apparentemente, non si discosta molto dallo schema di Fig.1:

Fig.2 si presti particolare attenzione agli unici parametri la cui denominazione è cambiata, ovvero d (che sostituisce 'larghezza del vibrato') e f m (che sostituisce 'velocità del vibrato'): il loro significato diverrà chiaro qui di seguito, nell'esposizione del funzionamento di questo primo, semplice strumento F.M. . Esso è formato da due oscillatori sinusoidali. Un valore costante f c (che si potrebbe definire come la requenza base dell'oscillatore portante) viene sommato all'uscita dell'oscillatore modulante, ed il risultato di questa somma viene applicato all'ingresso in frequenza dell'oscillatore portante. Se l'ampiezza del segnale modulante è zero, non avviene alcuna modulazione e l'uscita dell'oscillatore portante è semplicemente un'onda sinusoidale di frequenza f c. Quando invece si verifica una

modulazione (ovvero quando d > 0 ) il segnale in uscita dall'oscillatore modulante (un'onda sinusoidale di frequenza f m ) sposta la frequenza dell'oscillatore portante 'sopra' e 'sotto' la frequenza portante f c. Il cambio nella frequenza dell'oscillatore portante è proporzionale all'ampiezza dell'oscillatore modulante. Quando (su di un dato campione) l'uscita del'oscillatore modulante è positiva, la frequenza dell'oscillatore portante sarà maggiore di f c. Se viceversa l'uscita dell'oscillatore modulante è negativa, la frequenza dell'oscillatore portante sarà minore di f c. Il picco di deviazione della frequenza (o, più semplicemente, deviazione) costituisce il massimo valore di scostamento da f c che la frequenza dell'oscillatore portante può raggiungere. Il parametro di deviazione , a cui ci si riferisce formalmente come d , viene regolato tramite il valore applicato all'ingresso d'ampiezza dell'oscillatore modulante. Questo valore è usualmente espresso in termini di Hz o di S.I. (sampling increment): si tenga presente che non è "inappropriato" per una frequenza essere applicata ad un ingresso d'ampiezza: nella sintesi FM, il segnale digitale in uscita dall'oscillatore modulante rappresenta una frequenza che deve essere sommata con la frequenza portante. La massima frequenza istantanea che l'oscillatore portante assumerà è data da f c + d , e la

minima da f c - d . Se la deviazione è grande, è possibile che all'ingresso frequenza dell'oscillatore portante venga applicato un valore negativo. Questa condizione, in un oscillatore digitale, corrisponde ad un

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sampling increment negativo, e così la fase dell'oscillatore si muove all'indietro. La maggior parte (ma non tutti) degli oscillatori digitali sono capaci di accettare questa condizione della fase negativa, ma quelli che non possono non sono di molta utilità per la sintesi FM poiché la massima deviazione non può superare la frequenza portante. Nella F.M. semplice, entrambi gli oscillatori hanno una forma d'onda sinusoidale. La tecnica di sintesi della modulazione di frequenza può produrre degli spettri così 'ricchi' che raramente è necessario usare delle forme d'onda più complicate: difatti, quando una forma d'onda con un elevato numero di componenti spettrali ne modula in frequenza un'altra, lo spettro risultante sarà così 'denso' da risultare gracchiante e indefinito. Poiché la modulazione di frequenza è una tecnica ben conosciuta nell'ambito delle comunicazioni radio, la sua tipologia spettrale è stata ben caratterizzata: la Fig.3 illustra lo spettro di un suono prodotto in F.M.

Fig.3

Come si può facilmente vedere,ci sono componenti spettrali su entrambi i lati della frequenza portante f c, spaziate ad una distanza uguale alla frequenza di modulazione f m : queste bande laterali sono raggruppate a coppie in accordo col numero armonico di f m . In termini matematici, le frequenze presenti in un semplice spettro F.M. sono date da :

ove k è un intero che può assumere qualsiasi valore più grande od uguale a zero. La componente portante è indicata con k = 0. La distribuzione dell'energia tra le componenti spettrali dipende in parte dall'ammontare della deviazione di frequenza ,espressa con d , prodotta dall'oscillatore modulante. Quando d = 0, non si verifica alcuna modulazione e tutta l'energia ricade sulla componente a frequenza portante: incrementare la deviazione significa far sì che le bande laterali acquisiscano maggiore energia a spese dell'energia nella frequenza portante. Più ampia è la deviazione , più largamente distribuita sarà l'energia fra le bande laterali che possiedono un'ampiezza significativa. Quindi, la deviazione può agire come un controllo sulla larghezza di banda dello spettro di un segnale F.M. L'ampiezza di ciascuna componente spettrale è determinata sia dalla deviazione (d ) che dalla frequenza di modulazione ( f m). Per descrivere matematicamente l'ampiezza di ciascuna componente spettrale, è utile definire un indice di modulazione , I, tale che


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L'ampiezza di ciascuna banda laterale dipende dall' indice di modulazione come mostrato nella tabella A qui di seguito:

Tabella A L'ampiezza della frequenza portante (la "zero-esima" armonica) è uguale a J 0(I). Quindi, il valore assoluto dell'ampiezza della k-esima banda laterale è data da J k (I), dove J è una funzione di Bessel del primo ordine, k è l'ordine della funzione e l'argomento ( I ) è l'indice di modulazione . Le funzioni di Bessel sono funzioni matematiche che possono essere usate per r isolvere parecchie equazioni, una delle quali è quella della sintesi F.M. I loro valori possono essere calcolati tramite una somma infinita, ma uno dei più convenienti metodi di valutazione è quello di riferirsi alle tabelle delle funzioni di Bessel normalmente disponibili nei libri di testo di funzioni matematiche. La Fig.4 mostra i grafici delle funzioni di Bessel che vanno dall'ordine zero all'ordine cinque.


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Fig.4

Quando non è presente modulazione, l' indice di modulazione ( I ) è zero e le funzioni di Bessel di qualsiasi ordine tranne l' ordine zero sono valutate zero. Poiché J 0(I) = 1, tutta l'energia del segnale risiede (come ci si attendeva) nella frequenza portante. I grafici dimostrano che, allo scopo di ottenere un'ampiezza significativa nelle bande laterali di ordine più alto, è necessario che il valore di I sia grande. In generale, la banda laterale di ordine più alto che possieda un'ampiezza significativa è data dall'espressione approssimata k = I + 1, dove I è arrotondato all'intero più vicino. Conoscendo la frequenza di modulazione e della portante, questa relazione diventa utile allo scopo di stimare il valore dell'indice di modulazione a causa del quale si verificherà una situazione di foldover nelle componenti spettrali più alte che siano significative come contributo per lo spettro risultante. Va altresì notato che le funzioni di Bessel visualizzate in Fig.4 mostrano che una banda laterale può avere un'ampiezza positiva o negativa a seconda di un ben preciso valore di I . Quando l'ampiezza è positiva, la componente spettrale è detta essere "in fase'" , il che significa che ha una fase di zero gradi. Viceversa, un'ampiezza negativa indica che la componente è "fuori fase", il che significa che ha una fase di 180 gradi. Le componenti spettrali fuori fase sono rappresentate graficamente disegnando le loro ampiezze verso il basso, come mostrato in Fig.5.

Fig.5


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La fase di una componente spettrale non produce un effetto udibile a meno che non sia presente una componente spettrale della stessa frequenza: in questo caso, l'ampiezza di tutte queste componenti sarà o sommata o sottratta l'una all'altra, a seconda delle loro rispettive fasi. Come evidenziato dalla Fig.5, la modulazione di frequenza produce componenti spettrali sia al di sotto che al di sopra della frequenza portante f c. E' abbastanza comune, per alcune delle bande laterali di frequenza più bassa, avere delle ampiezze negative. Per predire il suono risultante, è conveniente formare uno spettro "netto", ribaltando le frequenze negative intorno a zero Hertz e portandole quindi alle loro corrispondenti posizioni come frequenze positive.L'atto di 'ripiegare' le componenti inverte la loro fase, e quindi una banda laterale con frequenza negativa equivale ad una componente con la corrispondente frequenza positiva ma di fase opposta. Se una componente x qualsiasi è presente alla stessa frequenza di una componente 'ripiegata' (invertita) y, allora x e y devono essere combinate tra loro. In questo caso le fasi delle componenti diventano importanti: infatti, se esse hanno la stessa fase verranno sommate; se possiedono invece fasi diverse, verranno sottratte. Un esempio di questo tipo è riportato in Fig.6 .

Fig.6 Si consideri lo spettro prodotto in questo caso, con f c = 400 Hz, f m = 400 Hz e I = 3. La Fig.5a mostra lo spettro risultante con indicate le fasi delle relative componenti. La Fig.5b mostra come le fasi delle componenti a frequenza negativa si invertono come esse vengono 'ripiegate' su frequenze positive. Ad esempio, la componente negativa a -1200 Hz viene sottratta dalla componente a 1200 Hz. La Fig5c mostra lo spettro "netto", che corrisponde alle sue proprietà udibili. Ci sono parecchie proprietà utili che possono essere dedotte esaminando il rapporto tra frequenza portante e modulante. Ad esempio, se

dove N1 e N2 sono interi con nessun fattore comune, allora la frequenza fondamentale f 0 del suono


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risultante sarà data da:

questa è un'equazione fondamentale, che si applica anche ad altri tipi di sintesi per distorsione. Se N2= 1, allora lo spettro conterrà tutte le armoniche di f 0. Se N2= M, ove M è un intero maggiore di uno, allora viene persa ogni M-esima armonica di f 0. Ad esempio, se N 2= 2, lo spettro perderà le armoniche pari. Nel caso in cui N 2= 1 o N 2= 2, le componenti a frequenza negativa 'ripiegate' coincideranno con le componenti positive e dovranno essere combinate. Per qualsiasi altro valore di N2, nessuna delle componenti a frequenza negativa 'ripiegate' coinciderà con una positiva.Ciò suggerisce che gli spettri prodotti nel primo caso non saranno così 'densi' come quelli prodotti quando N2> 2 ( assumendo lo stesso indice di modulazione in entrambi i casi). Se o f c o f m sono numeri irrazionali (ovvero numeri reali non esprimibili come quozienti di due interi, come ad esempio pi greco, e, etc.) non possono essere definiti né N 1 né N2. Ne risulta uno spettro inarmonico, come quello illustrato in Fig.7a, ove

Fig.7

Quando N1 e N2 hanno valori interi grandi, l'ascoltatore tenderà a percepire il suono risultante come inarmonico, poiché N1 e N2 implicheranno un rapporto fra alte armoniche e una bassa fondamentale, ed in questo caso non può aver luogo alcuna "fusione tonale". Ad esempio, un suono prodotto con un rapporto di 5 : 7 (ovvero 1 : 1.4) come nel caso dello spettro illustrato in Fig.7b , è simile a quello prodotto quando il rapporto è di 1 : radical due (ovvero 1:1.4142...). Poiché la F.M. ha un singolo indice per controllare la ricchezza spettrale di un suono, questo può essere usato con relativa semplicità per creare degli spettri dinamici, ossia tempo-varianti. L'indice di


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modulazione controlla il contenuto spettrale di un segnale F.M., e quindi un inviluppo applicato all'indice farà sì che lo spettro cambi nel tempo. La Fig.8 mostra un semplice strumento F.M. che produce spettri dinamici.

Fig.8

Si noti che sono presenti due generatori di inviluppo, uno per controllare l'indice di modulazione (ed infatti è applicato all'ingresso d'ampiezza dell'oscillatore modulante) ed uno per controllare l'ampiezza dell'oscillatore portante, al cui ingresso d'ampiezza è infatti applicato. La costante IMAX rappresenta il massimo valore che l'indice può assumere: per poter controllare l'oscillatore modulante, IMAX deve essere convertito a una deviazione moltiplicandolo per la frequenza di modulazione. La progressione delle componenti spettrali con indice può essere complicata se vengono presi in considerazione gli effetti delle bande laterali negative 'ripiegate': Dopo aver esaminato le forme delle funzioni di Bessel in Fig.4, non è difficile rendersi conto che l'evoluzione di un segnale F.M.possiede al suo interno una certa quantità di "ondulazione" (meglio nota in inglese come "ripple"). Questo vuol dire semplicemente che, come il valore dell'indice aumenta, l'ampiezza di qualsiasi componente non aumenterà dolcemente, ma invece alternativamente aumenterà e diminuirà, andando qualche volta anche a zero. L'ammontare dell'ondulazione è in qualche modo proporzionale al massimo valore dell'indice di modulazione. Ad esempio, la Fig.9 mostra lo spettro tempo-variante (cioé dinamico) prodotto dallo strumento di Fig.8 con i valori dei parametri indicati. Si osservi l'ondulazione (il "ripple") nell'evoluzione dello spettro.


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Fig.9

Diversamente dalla sintesi additiva, la sintesi per modulazione di frequenza permette solo certi tipi di evoluzioni spettrali. Normalmente non sarà possibile far combaciare punto per punto le ampiezze delle componenti di uno spettro ottenuto da un' analisi acustica. Un possibile strategia può essere invece quella di selezionare l'inviluppo spettrale che realizzerà la desiderata evoluzione della larghezza di banda dello spettro. Un' importante caratteristica di molti suoni naturali è la presenza di formanti fisse. Per "formante" si intende a livello di inviluppo spettrale una porzione dello stesso in cui più componenti spettrali possiedono una maggiore ampiezza rispetto alle altre, "formando" così il timbro del suono (nel senso di 'caratterizzarlo'). Risulta estremamente difficile sintetizzare alcune classi di suoni senza prevederne il contributo. Nella sintesi F.M., anche scegliendo con estrema cura i parametri di uno strumento allo scopo di posizionare un 'picco' (cioé una zona "formante") al suo interno, questo sarà significativo solo per una piccola gamma dei valori dell'indice di modulazione: inoltre il picco nello spettro non resterà fisso, centrato su di una ben determinata frequenza, ma varierà in base alla frequenza fondamentale del suono. Se ad esempio si lascia passare il segnale di un qualsiasi strumento attraverso un filtro passabanda, si otterrà una formante molto accurata e fissa. Un sistema più economico e pratico, ottenibile tramite la sintesi F.M. è illustrato in Fig.10: va subito detto che esso può solo approssimare delle formanti fisse, ma in molti casi può costituire un risultato soddisfacente.


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Fig.10

Per simulare una formante, nello strumento di Fig.10 vengono utilizzati due oscillatori portanti controllati da un oscillatore modulante. L'indice di modulazione del primo oscillatore portante è I1, mentre il segnale modulante inviato al secondo oscillatore portante è moltiplicato per una costante (I2 / I1) allo scopo di fornire un secondo indice di modulazione con la stessa variazione temporale del primo. Il secondo oscillatore portante produce uno spettro che è centrato intorno alla seconda frequenza portante. generalmente, il suo indice di modulazione (I2) è piuttosto piccolo, cosicché lo spettro ha la sua componente di maggiore energia sulla seconda frequenza portante. Quando infine i due segnali FM vengono sommati insieme, lo spettro finale possiede un picco alla seconda frequenza portante. L'effetto udibile è quello di aggiungere una formante al suono. L'ampiezza del secondo oscillatore portante è proporzionale a (e normalmente minore de) l'ampiezza del primo oscillatore portante di un fattore A2. L'energia realtiva di questa formante può essere regolata agendo su questo parametro. La seconda frequenza portante ( f c2) viene scelta per essere l'armonica della frequenza ). Formalizzato in termini fondamentale ( f 0) che è più vicina alla frequenza formante desiderata ( f f

matematici, si ha

Dove n è il rapporto, arrotondato all'intero più vicino, della frequenza formante desiderata rispetto alla frequenza fondamentale. La seconda frequenza portante resta armonicamente correlata ad f 0, e così il valore di n cambia con il valore di f 0 allo scopo di tenere la seconda frequenza portante quanto più vicina possibile alla frequenza formante desiderata. Ad esempio, se la frequenza formante desiderata è 2000 Hz, considerando f 0 = 400 Hz, si userà la quinta armonica (infatti 400 * 5 = 2000) .


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Incrementando f 0 , f c 2 rimarrà la quinta armonica finché f 0 non diventerà più grande di 444.4 Hz, quando la quarta armonica sarà più vicina a 2000 Hz. Una possibile implementazione dello strumento di Fig. 10 in Csound è la seguente: ;FM formant.orc ;strumento in FM rappresentato in Fig.10 ;che consente la simulazione di una formante ;tramite l'utilizzo di due oscillatori portanti ;e un oscillatore modulante.

sr = 44100 kr = 441 ksmps = 100 nchnls = 1

instr 1

idur = p3 ;durata (in sec.) iamp = ampdb(p4) ;ampiezza primo portante ia2 = p5 ;fattore scalamento ampiezza secondo portante ifc1 = p6 ;frequenza portante 1 ifc2 = p7 ;frequenza portante 2 ifm = p8 ;frequenza di modulazione id1 = p9 ;valore primo indice di modulazione idx1 = id1 * ifm ;primo indice di modulazione id2 = p10 ;valore secondo indice di modulazione ifunc = 1 ;numero d'ordine della funzione (seno)


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;oscillatore modulante amod oscili idx1,ifm,ifunc ;sommatore ingresso frequenza portante 1 afc1 = ifc1 + amod ;secondo indice di modulazione andx = amod * (id2 / id1) ;sommatore ingresso frequenza portante 2 afc2 = ifc2 + andx ;ampiezza secondo portante iamp2 = iamp * ia2 ;primo oscillatore portante acarrier1 oscili iamp,afc1, ifunc ;secondo oscillatore portante acarrier2 oscili iamp2,afc2, ifunc ;somma delle uscite asig = acarrier1 + acarrier2 dispfft asig,p3,4096 out asig endin

La relativa possibile partitura è:

;FMformant.sco ;funzione seno f1 0 8192 10 1 ;qui i dati sono stati inseriti in una tabella solo per comodità di formattazione in HTML! ;p1 p2

p3 p4

p5 p6 p7

p8 p9 p10


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;ins start dur iamp ia2 ifc1 ifc2 ifm id1 id2 i1 0 3 80 0.5 400 2000 400 0.5 0.8 i1 3 3 80 0.7 400 2000 500 0.5 0.8 i1 6 3 80 0.8 400 2000 700 0.5 0.8 e


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