Di Bartolo

Con mucho cariño para mi hija Fabiola y mi esposa Jacqueline

3

C ONTENIDO

C ONTENIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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PRÓLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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C APÍTULO 1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Espacio de los vectores en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Componente de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Representación de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Multiplicación por un escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Vectores unitarios y base cartesiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Delta de Kronecker y símbolo de Levi-Civita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Algunas identidades geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Derivada de una función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Vector tangente y longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Vectores rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C APÍTULO 2 Leyes de Newton. Dinámica elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Vectores posición, velocidad y aceleración de una partícula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Principio de relatividad de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Principio de conservación del momento lineal. Concepto de masa . . . . . . . . . .

11 11 12 12 13 14 15 16 17 18 19 19 20 21 23 24

27 27 28 28 29 5

C ONTENIDO

2.3 2.4

2.5 2.6

2.2.3 Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Principio de sumación de fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Ley de acción y reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerza neta sobre un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integración de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Fuerza constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Fuerza que depende explícitamente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Fuerza que depende de la velocidad (una dimensión) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Fuerza que depende de la posición (una dimensión) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Resortes ideales. El oscilador armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Oscilaciones armónicas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7 Oscilador armónico forzado (fuerza excitadora sinusoidal). . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas reactivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Fuerza de roce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Cuerdas y poleas ideales. Tensión en la cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 30 30 31 31 33 33 35 35 37 38 39 40 40 43

C APÍTULO 3 Sistemas no inerciales. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

Derivada temporal de un vector. El vector velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coordenadas cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Velocidad en coordenadas cilíndricas y esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformación de velocidades y aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vectores intrínsecos a una curva. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coordenadas curvilíneas generalizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos infinitesimales de longitud, área y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C APÍTULO 4 Trabajo y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Trabajo y energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas conservativas y energía potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas unidimensionales conservativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 53 54 55 56 59 61 66 68 70

75 75 77 81 84 89

C APÍTULO 5 Dinámica de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6

C ONTENIDO

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Centro de masa y momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Sistemas con masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Momento angular y torque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Equilibrio estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Energía cinética de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Energía y energía potencial de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 Choque entre dos partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

C APÍTULO 6 Fuerzas centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.1 Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.1.1 Momento angular con respecto al centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 6.1.2 Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.1.3 Potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2 Ecuación diferencial para la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 6.3 Ecuación integral para la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 6.4 Estudio de las órbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 6.4.1 Diagramas de potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 6.4.2 Órbitas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.4.3 Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.4.4 Teorema virial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.5 Leyes de Kepler del movimiento planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 C APÍTULO 7 Movimiento plano de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.1 Velocidad angular y grados de libertad de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.2 Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.2.1 Teorema de la figura plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.2.2 Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.3 Energía de un cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.4 Eje instantáneo de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.5 Ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 7.6 Aceleración de los puntos en el eje instantáneo de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.7 Poleas con masa y roce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 7.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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C ONTENIDO

B IBLIOGRAFÍA RECOMENDADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 ÍNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8

P RÓLOGO

Este libro fue diseñado como un libro de texto para un curso de mecánica clásica, a nivel intermedio. Está dirigido a estudiantes universitarios que estén finalizando su segundo año de estudios. El estudiante que utilice el libro debe tener conocimientos de cálculo íntegro-diferencial y poseer al menos conocimientos rudimentarios de cómo resolver las ecuaciones diferenciales más sencillas. A pesar de que es preferible que el lector haya tomado previamente los cursos elementales de física, el libro es autocontenido en cuanto a las ideas físicas que maneja y no hace referencia a los conocimientos previos de física del estudiante. Aunque el libro se preparó teniendo en mente que fuese útil para estudiantes de la licenciatura en Física, también puede ser provechoso para estudiantes de ingeniería y otras carreras afines. El texto contiene material suficiente para un curso de 12 semanas de 5 a 6 horas semanales. Una adecuada distribución del tiempo en una semana podría ser de 4 horas de teoría y 2 de problemas. El libro contiene numerosos problemas propuestos, la mayoría de los cuales están guiados y podrían servir para tareas semanales. En el texto también se encontrarán algunos ejemplos resueltos para ilustrar determinados puntos. Existen varios aspectos a resaltar en este texto. Se utiliza una notación precisa para dar claridad a la exposición y evitar las ambigüedades, notación que será de utilidad al estudiante en sus cursos avanzados de mecánica clásica. A pesar de ser un libro para un curso introductorio a la mecánica, se ha cuidado la rigurosidad en la presentación de las ideas físicas. Desde el principio y a lo largo de todo el libro, se hace hincapié en el carácter inercial o general del marco de referencia en el cual se encuentra escrita cada ecuación y, de ser necesario, se muestra cómo se altera la ecuación al cambiar de marco de referencia. En el libro se hace un uso intensivo del lenguaje vectorial, que es fundamental en física. El primer capítulo es una introducción al álgebra vectorial. Al final de ese capítulo se trata con curvas orientadas y vectores rotantes. En el capítulo dos se introducen las leyes de Newton, no en su forma original sino de una manera más moderna. Luego se estudian los problemas elementales de física de una partícula, que suelen tratarse en un primer curso de física básica. El capítulo tres trata con sistemas no inerciales y coordenadas curvilíneas, y se introduce pronto el concepto de velocidad angular relativa entre dos marcos de referencia. Se estudian con detenimiento los vectores intrínsecos de una curva (triedro de Frenet) y se introducen los conceptos de elementos infinitesimales de longitud, área y volumen. El capítulo cuatro está dedicado al trabajo y a la energía para el caso de una partícula. Se introducen en ese capítulo los operadores diferenciales: gradiente, rotor y divergencia. Al final se 9

P RÓLOGO

estudian los gráficos de energía potencial para el caso unidimensional. El capítulo cinco está dedicado a los sistemas de partículas. Se hace un tratamiento completo y no usual de los sistemas de masa variable. Se introduce el momento angular y el torque. Se hace un estudio detallado de la energía de un sistema de partículas y se define el problema de dos cuerpos. En el capítulo seis se estudia con detalle el movimiento de dos partículas que interactúan por medio de fuerzas centrales. Se obtienen las ecuaciones de movimiento y de la trayectoria. Se analizan características de las órbitas y al final se obtienen las leyes de Kepler del movimiento planetario. El capítulo siete, último capítulo del libro, trata del movimiento plano de un cuerpo rígido. Se estudia la energía y las ecuaciones dinámicas. Hay que resaltar que se hace un tratamiento profundo y poco usual del eje instantáneo de rotación y de la ecuación dinámica de rotación. Es un placer dar las gracias por las numerosas sugerencias que me hicieron mis estudiantes y los colegas del Departamento de Física de la Universidad Simón Bolívar. Mucho agradezco a los profesores Rita Gianvittorio, Fortunato Bentolila y Jorge Ovalle, por utilizar en sus cursos el borrador de este libro de texto. Agradezco muy especialmente a mi esposa Jacqueline Geille por pasar a Latex mis manuscritos, hacer los dibujos y cuidar su consistencia, revisar el uso del lenguaje, hacer la diagramación del libro y por tenerme una paciencia infinita. El presente libro fue merecedor del «Premio bienal al mejor libro de texto, edición 2010», otorgado por la Universidad Simón Bolívar. Cayetano Di Bartolo

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C APÍTULO 1 Vectores

1.1 Introducción En mecánica clásica es importante describir las trayectorias que siguen las partículas en un espacio euclídeo y tridimensional. Una forma típica de describirlas es introducir un sistema de coordenadas cartesianas. En este caso, la trayectoria viene dada por las ecuaciones x = x(t ),

y = y(t ),

z = z(t ),

donde ( x, y, z) son las coordenadas del punto que ocupa la partícula al tiempo t . Otra forma de describir la trayectoria es usar el vector posición r(t ) de la partícula con respecto al origen del sistema de coordenadas. Los vectores también resultan útiles para representar muchas otras cantidades físicas. En este primer capítulo los definiremos e introduciremos algunas operaciones entre ellos.

1.2 Espacio de los vectores en R3 Al hacer física es importante decir «qué miden» o «cómo ven las cosas» distintos observadores, y por ello es conveniente hacer las descripciones de los fenómenos naturales en términos de objetos geométricos, i.e., objetos de los cuales se dice cómo transforman al cambiar el sistema de referencia (o el observador). Existen muchos tipos de objetos geométricos: escalares (aquellos que no varían al cambiar el observador, por ejemplo la carga de una partícula), vectores, tensores, etc. Por ser éste un curso de introducción a la mecánica, no definiremos un vector por su ley de transformación al rotar un sistema de referencia. Definiremos un vector de una manera gráfica, como un segmento orientado en R3 (espacio euclídeo de tres dimensiones). A

B

A′

B′

(A′ = A)

(B ′  = B)

Figura 1.1

11

1 V ECTORES

Dos segmentos orientados se consideran el mismo vector si, y sólo si, uno de ellos se obtiene a partir del otro por medio de una traslación (no rotación). Dos vectores con orientaciones o tamaños diferentes son vectores distintos. En la figura 1.1 el vector A ′ se obtiene de A por una traslación y por lo tanto son iguales. En cambio B ′ se obtiene de B por una rotación (de ángulo distinto a 2 π ) y por ende son diferentes.

1.2.1 Componente de un vector Para representar los vectores resulta conveniente introducir la idea de componente. Sea A el vector de tamaño |A| y que forma un ángulo θ con un semieje. Llamaremos componente del vector en la dirección indicada por el semieje a Comp(A) = |A|cos (θ ) (componente en una dirección).

(1.1)

Se trata de la proyección del vector sobre el semieje, tomada como positiva si θ ∈ [ 0, π /2] y negativa si θ ∈ (π /2, π ]. cos (θ ) ≥ 0

A

θ

cos (θ ) ≤ 0

A

θ

semieje

semieje

l

l

Figura 1.2 Para los dos casos mostrados en la figura 1.2 la componente del vector es | A|cos (θ ) y l es la longitud de la proyección. En el dibujo de la izquierda es positiva (|A|cos (θ ) = l ) y en el dibujo de la derecha es negativa (|A|cos (θ ) = −l ).

1.2.2 Representación de un vector Hemos representado un vector A por un dibujo (flecha orientada), pero existen muchas otras formas de hacerlo. Mostraremos dos de ellas a continuación. Podemos representar el vector A , la flecha orientada en la figura 1.3, indicando su módulo o tamaño | A| y su direc z ción. La dirección puede especificarse dando los ángulos θ x , A z A θ y y θ z que forma el vector con los ejes cartesianos. Tamθ z bién se puede representar el vector por sus componentes en las direcciones indicadas por los semiejes positivos x , y y z : θ y θ x A y A = ( A x , A y , A z ). Estas componentes se denominan compo y nentes cartesianas. A x x Existe, por supuesto, una relación entre estas dos formas de representar el vector A. Dados los ángulos y el módulo Figura 1.3 del vector podemos determinar sus componentes: A x = |A|cos (θ x ),

12

A y = |A|cos (θ y ),

A z = |A|cos (θ z ).

(1.2)

C APÍTULO 2 Leyes de Newton. Dinámica elemental

En este capítulo introduciremos las leyes de Newton que rigen el movimiento de las partículas. Integraremos las ecuaciones de movimiento de sistemas dinámicos elementales, como los correspondientes a una fuerza constante o una fuerza amortiguadora en una dimensión. Estudiaremos los resortes ideales y las oscilaciones amortiguadas en una dimensión. Trataremos la fuerza de roce, y las cuerdas y poleas ideales.

2.1 Vectores posición, velocidad y aceleración de una partícula Entre los objetivos de la mecánica clásica newtoniana está el describir y explicar el movimiento de los objetos reales o macroscópicos, y para ello se supone que los objetos macroscópicos pueden describirse como agregados de partículas. Una partícula es un objeto puntual (o con un volumen muy pequeño) que sigue una determinada trayectoria en el espacio. El espacio se supone que es euclídeo y tridimensional. En la descripción del movimiento de una partícula se usa su vector posición r(t ) con respecto a algún punto de re z ferencia u origen; este vector es función del parámetro t que t 3 cuantifica de alguna manera nuestra idea intuitiva del tiempo, t 1 esto es, t crece monótonamente a medida que la partícula (o t r(t ) partículas) ocupan «sucesivas» posiciones. En la siguiente y sección el tiempo será cuantificado de una manera más prev (t ) cisa. Esto significa que r = r (t ) es la ecuación paramétrica de la curva orientada o trayectoria que sigue la partícula, y x t 2 que se usa el tiempo como parámetro. La velocidad de la partícula se define por Figura 2.1 v ≡

d r dt

=

d r d ℓ

d ℓ dt

,

donde se usó el hecho de que la trayectoria puede parametrizarse con la longitud ℓ de la misma. Por otro lado, de acuerdo a (1.27) se cumple que v (t ) ≡

d r dt

=

d ℓ dt

uˆT ,

(2.1)

donde uˆT es la tangente a la curva. Esto es, el vector velocidad es tangente a la trayectoria y tiene la misma orientación que ésta en el punto ocupado por la partícula (ver figura 2.1). La rapidez v de la 27

2 L EYES DE N EWTON . D INÁMICA ELEMENTAL

Si lo deseamos, podemos tomar el resorte como parte de una de las partículas o como un tipo de fuerza de interacción entre ellas, y escribimos simplemente (2.32) F 1,2 = −F 2,1 = −k (r − l )uˆr . Observe el lector que esta fuerza siempre es paralela a la línea de unión entre las dos partículas. m2 r

r2

uˆ x k , l

k uˆr

m1

r1

m

x

Figura 2.7

Figura 2.6

A continuación estudiaremos el movimiento de una partícula de masa m moviéndose sobre el eje x, sometida únicamente a la fuerza de un resorte de constante elástica k y longitud natural l , ver figura 2.7. La fuerza es F ( x) = −k ( x − l ) = −mω 2 ( x − l ) con ω ≡ k /m. En consecuencia la ecuación de movimiento de la partícula es (2.33) x¨ + ω 2 ( x − l ) = 0 . Esta ecuación se conoce como ecuación diferencial de un oscilador armónico, y hallaremos su solución general. Usando la identidad (2.28) y la ecuación (2.29), la ecuación del oscilador armónico se integra una vez:



x˙2

= x˙20 −

x



x0

2ω 2 ( x − l )dx = A2 − ω 2 ( x − l )2 ,

donde A 2 = x˙20 + ω 2 ( x0 − l )2. De esta ecuación despejamos dt , y volviendo a integrar obtenemos la función t ( x):



2

dt = σ dx A −

ω 2

x

2 −1/2

 ( − ) x

l

⇒

t =



x0

dx σ A2 − ω 2 ( x − l )2



−1/2



con σ = signo( x˙). Haciendo el cambio de variables x = l + Acos (θ )/ω , se obtiene t = −



d θ σ /ω

⇒

θ = −σ ω t + constante ,

luego la solución general de la ecuación del oscilador armónico es x = l + A cos (ω t + δ 0 ) con A y δ 0 constantes llamadas, respectivamente, amplitud y fase inicial. A la cantidad ω =



k m

(2.34)

(2.35)

se le denomina frecuencia angular del sistema masa-resorte. La componente x de la velocidad de la partícula es (2.36) x˙ = − Aω sen (ω t + δ 0 ) . 36

C APÍTULO 3 Sistemas no inerciales. Coordenadas curvilíneas

Un sistema o marco de referencia u observador S puede especificarse señalando una base de vectores y un punto del espacio que sean fijos en el tiempo para S , por ejemplo, diciendo que el observador S ve en reposo cierta partícula y cierto triedro que viaja con ella. En este capítulo estudiaremos cómo se comparan las observaciones que hacen diferentes observadores sobre la posición, velocidad y aceleración de una partícula. Introduciremos los sistemas de coordenadas curvilíneas y veremos cómo se escriben en ellos los elementos de longitud, área y volumen, así como los operadores gradiente, rotor y divergencia. Definiremos curvatura y torsión de una curva e introduciremos el triedro de Frenet para describir el movimiento de una partícula.

3.1 Derivada temporal de un vector. El vector velocidad angular En esta sección se comparan las derivadas temporales de un vector calculadas por dos observadores arbitrarios. Luego se define el vector velocidad angular que codifica la rotación de un observador con respecto a otro y se estudian sus propiedades. S S ′ Consideremos dos sistemas de referencia: S con origen uˆ3 en O y S ′ con origen en O ′ . En cada uno de ellos existe una eˆ3 eˆ2 ′ base ortonormal fija: {uˆ1 , û2 , û3 } en S y {eˆ1 , ê2, ê3} en S . O O′ Entonces uˆ2 uˆ1 eˆ1 y (3.1) uî · ˆ u j = δ i j eî · eˆ j = δ i j .

Figura 3.1

Los nombres de los vectores se asignarán de manera que sean sistemas de mano derecha (ver la figura 3.1), i.e., uî × ˆ u j = ∑ ε i jk ˆ uk

y

eî × ê j = ∑ ε i jk eˆk

k

(3.2)

k

o, si se quiere, uî × ˆ u j = uˆk

y eî × ê j = êk , donde (i, j , k ) es una permutación cíclica de (1, 2, 3). Los sistemas S y S ′ pueden trasladarse y rotar en el tiempo, uno con respecto al otro; esto conduce a que un vector cualquiera tenga derivadas temporales distintas en los dos sistemas. Por ejemplo, los vectores de las dos bases satisfacen d

 ˆ  = 0

dt

ui

S

d

 ˆ 

dt

= 0 ,

ei

(3.3)

S ′

49

3.10 PROBLEMAS

b. Encuentre tres vectores Ai que satisfagan: d dt

e1

 =

A1 × e1 ,

S

Expréselos en la base B .

d dt

e2

 = S

A2 × e2 ,

d dt

(e1 × e2

 ) =

A3 × (e1 × e2 ) .

S

c. Encuentre la velocidad angular que la base B tiene según S . Exprésela en ambas bases. 4. Una partícula de masa m , en presencia de un campo gra z vitacional constante, se mueve por el interior de una esfera de radio R, con centro en el origen, sin roce y fija en un referencial inercial (ver figura). El eje z apunta verticalmente hacia arriba. m r a. Escriba las ecuaciones de movimiento en coordenadas esO féricas. Muestre que una de las ecuaciones se puede integrar ˙ sen 2(θ ) = constante. y conduce a ϕ b. Muestre que una de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales tiene θ = θ 0 = constante (con θ 0  = 0 y θ 0  = π ), y encuentre qué restricciones tiene θ 0 . Esta solución corresponde al péndulo cónico. a el caso señalado en la parte b encuentre, en términos de θ y ϕ ˙ 0 : ϕ ˙ , la rapidez de la c. Para 0 partícula y el módulo de la fuerza que le aplica la esfera. 5. La figura muestra un cono recto de radio R, altura H, vértice O sobre el eje z (vertical), eje en dirección horizontal uˆρ y que apoya el borde de su base sobre el piso (horizontal). Sean tres observadores con origen en O: S solidario con el eje z y al piso, S B solidario con la base ortonormal B = ( uˆ z , ˆ uρ , ˆ uϕ ) y S C solidario con el cono. Según S B el cono gira alrededor de su propio eje con rapidez angular Ω2 y según S el eje gira con rapidez angular Ω 1 alrededor de z (en los sentidos mostrados en la figura). Al responder las preguntas que siguen exprese los vectores en la base B . a. Determine las velocidades angulares relativas de los tres z uˆϕ = uˆ z × ˆ uρ observadores: ωS C |S B , ωS B |S y ωS C |S . b. Calcule

d

dt

Ω1

uˆϕ | S C . O

Ω2

c. Considere un punto arbitrario p de la base del cono con uˆρ vector posición r p . Muestre que su velocidad según S puede escribirse como v p = A × r p, donde A debe ser determinado. Halle r p para el caso en que p sea el punto en contacto con el piso. d. Usando el resultado anterior encuentre qué relación debe existir entre Ω1 y Ω2 para que el cono ruede sin deslizar. 6. Una partícula se mueve a lo largo de una cardioide dada en polares por r = k (1 + cos θ ), donde k es una constante. La partícula se mueve con rapidez constante v y con θ creciente. Escriba la velocidad de la partícula en polares y determine θ ˙ como una función de θ . 71

C APÍTULO 4 Trabajo y energía

En este capítulo definiremos el trabajo realizado por una fuerza y clasificaremos las fuerzas en conservativas y no conservativas. Definiremos los operadores diferenciales gradiente, rotor y divergencia, y daremos sus expresiones en coordenadas curvilíneas. Para el caso de una partícula, introduciremos los conceptos de energía cinética, energía potencial y energía. Al final estudiaremos la información que proporcionan los gráficos de energía potencial en los problemas unidimensionales.

4.1 Trabajo y energía cinética Consideremos una curva orientada γ dada paramétricamente por r = r (τ ), y una fuerza F definida sobre todos los puntos de la curva. Los puntos inicial y final de la curva γ los denotaremos por γ y γ respectivamente. En la figura 4.1 se muestra la curva y la fuerza. El elemento de línea de la curva, d r , en un punto τ arbitrario es ·

d r =

d r d τ

γ

·

γ

F

·

d r

r γ

r (τ )

·

γ

·

d τ = d ℓuˆT = dx i + dy j + dz k .

(4.1) rγ

·

Definimos el trabajo realizado por la fuerza F a lo largo de la curva como la integral de línea W F ( γ ) =



F · d r =

γ



τ γ

τ γ ·

·

F ·

Figura 4.1 d r d τ

d τ .

(4.2)

Nótese que en cada punto de la curva se hace el producto escalar F · d r y luego se suma (se integra) sobre todos los puntos de la curva. El trabajo es un número real y su unidad en el S.I. es el Joule (J): J= N · m = kg · m2 · s 2 . Veamos algunas propiedades inmediatas de la definición de trabajo de una fuerza. −

•

Denotaremos por γ la curva orientada que se obtiene si se invierte la orientación de la curva γ . Como en cada punto de las curvas los vectores d r de ambas son opuestos, es inmediato el resultado: (4.3) W F (γ ) = −W F (γ ) .

75

4.5 PROBLEMAS

Dé sus respuestas en términos de θ , ϕ , sus derivadas temporales y los vectores de las bases mencionadas. b. Escriba la segunda ley de Newton para la partícula en el referencial S ′′ , y escriba las fuerzas ficticias en ese referencial. c. A partir de las ecuaciones de movimiento anteriores encuentre una ecuación diferencial para θ de la forma θ ¨ + f (θ ) = 0. Halle f (θ ). d. Halle los puntos de equilibrio estable para θ y la frecuencia de las pequeñas oscilaciones en torno a dichos puntos de equilibrio.

18. La figura muestra una cuenta de masa M ensartada en un alambre circular fijo de radio R . El sistema está inmerso en un fluido que produce sobre la partícula una fuerza viscosa dada por F = −k M v. El eje z apunta verticalmente hacia arriba. a. A partir de la relación entre la derivada temporal de la energía y la potencia de las fuerzas no conservativas, encuentre la ecuación diferencial de segundo orden que es satisfecha por θ (t ). b. Argumente, a partir de la ecuación diferencial para θ , en qué puntos puede estar la partícula cuando cese completamente el movimiento. a a19. Un abalorio de masa m desliza sin fricción a lo largo de aun alambre con forma de cicloide (invertida), ver figura. La curva del alambre está dada paramétricamente por: x = b(ψ − sen ψ )

y = b(1 + cos ψ )

z

g

R

θ M

y

g m

x con b una constante positiva y ψ ∈ [0, 2π ]. ˙. a. Halle la energía de la partícula en función de ψ y ψ b. Haga el cambio de variable Q = cos (ψ /2) en la ecuación de la energía; muestre que en la nueva variable adquiere la forma de un oscilador armónico. Diga cuáles son: la masa, la constante elástica y la frecuencia del oscilador. c. Obtenga ψ (t ) a partir del resultado anterior.

93

C APÍTULO 5 Dinámica de un sistema de partículas

En este capítulo se introducirán definiciones y herramientas útiles para tratar con sistemas de partículas. Se definirán «cantidades extensivas» que permitirán describir el movimiento global del sistema. Se definirán los momentos lineal y angular del sistema y sus energías cinética y potencial. También se estudiarán los sistemas con masa variable, las colisiones entre dos partículas y el problema de dos cuerpos.

5.1 Centro de masa y momento lineal Consideremos un sistema formado por N partículas. Llamaremos mα a la masa de la partícula α -ésima y rα a su vector posición en algún referencial S , figura 5.1. Definimos el centro de masa del sistema como un punto cuyo vector posición es 1 (5.1) rcm ≡ ∑ mα rα

m1 mα O

m N

rα

M α

con

M ≡ ∑ mα

(5.2)

Figura 5.1 la masa total del sistema. Nótese que si todas las masas son iguales el centro de masa coincide con el centro geométrico del sistema. Si en lugar de un sistema discreto de partículas se trata de una distribución continua, la posición del centro de masa es 1 (5.3) rcm = rdm con M = dm . α

M





Para una distribución con densidad longitudinal de masa λ escribimos d m = λ d ℓ, con d ℓ el elemento de longitud. Si se tiene densidad superficial de masa σ entonces dm = σ dS , con dS el elemento de superficie. Y si es una densidad volumétrica de masa ρ se usa d m = ρ dV , con dV el elemento de volumen.

Ejemplo 5.1 (Centro de masa de una porción de una corteza esférica homogénea). Imaginemos un cono con vértice en el origen y abertura de ángulo α . Imaginemos también una superficie esférica de radio R y centro en el origen. Llamaremos porción esférica de radio R, 95

5 D INÁMICA DE UN S ISTEMA DE PARTÍCULAS

abertura α y centro en el origen, a la porción de superficie esférica que queda en el interior del cono. En este ejercicio encontraremos la posición del centro de masa de una porción esférica de densidad constante. Sea Σ la porción esférica que se muestra sombreada en la figura 5.2. Supondremos que su densidad superficial σ es z constante y que el eje z es su eje de simetría. Los puntos Σ de S son aquellos cuyas coordenadas esféricas cumplen con r = R , θ ∈ [ 0, α ] y ϕ ∈ [ 0, 2π ). De acuerdo con (3.97) y (3.110) su elemento de superficie es α

dS = hθ hϕ d θ d ϕ = R2 sen θ d θ d ϕ .

Luego la masa de Σ es M =



Σ

O

x

σ dS = σ R2

2π



α

d ϕ

0

 0

sen θ d θ

R y

Figura 5.2

= 2πσ R2(1 − cos α ) .

A continuación determinaremos la posición del centro de masa. rcm

1

  σ rdm = = ( Rsen θ cos ϕ i + Rsen θ sen ϕ j + Rcos θ k)dS M M   σ R Σ

Σ

3

=

M

2π

0

α

d ϕ

0

d θ (sen 2 θ cos ϕ i + sen 2 θ sen ϕ j + cos θ sen θ k) .

Pero 2π

 0

d ϕ cos ϕ =

Por lo cual

2π

 0

d ϕ sen ϕ = 0

α



y

0

1 cos θ sen θ d θ = 2

α d sen 2 θ

 0

d θ

d θ =

1 2 sen α . 2

2 πσ R3 1 2 R sen 2 α R 1 − cos 2 α sen α k = rcm = k = k 2 2 1 − cos α 2 1 − cos α M y finalmente obtenemos R rcm = (1 + cos α ) k . 2





Comentario 5.1. Conjunto de sistemas. Consideremos un conjunto de sistemas de partículas cuyas masas y centros de masas estén dados por {( M 1, rcm 1 ), ( M 2, rcm 2 ), . . .}. Al calcular la posición del centro de masa del conjunto, rcm, usando (5.1) podemos agrupar los sumandos correspondientes a las partículas de cada sistema y obtener rcm =

96

1 M 1 + M 2 + · · ·

(rcm 1 + rcm 2 + · · · ) .

(5.4)

C APÍTULO 6 Fuerzas centrales

Una fuerza es llamada central si, en coordenadas esféricas, es de la forma: F (r) = F (r )uˆr con

r = r uˆr

(6.1)

o, dicho de otra forma, una fuerza es central si en cada punto r del espacio, su dirección es radial y su módulo depende sólo de la distancia al origen r = |r|. Todas las fuerzas centrales son conservativas: en efecto, si definimos r

V (r ) = −



F (r )dr + cte

(6.2)

se cumple que ∂ V /∂ r = −F (r ) y por lo tanto F = −

∂ V uˆr = −∇V . ∂ r

(6.3)

En este capítulo nos enfocaremos en la dinámica de un sistema aislado de dos partículas, cuya fuerza de interacción es central. Estudiaremos las consecuencias de la conservación del momento angular y de la energía del sistema, así como algunas propiedades de la órbita relativa entre las partículas. También consideraremos el caso particular de la fuerza gravitatoria y obtendremos las leyes de Kepler para el movimiento planetario.

6.1 Ecuaciones de movimiento Consideremos un sistema aislado de dos partículas. Para la partícula α -ésima llamaremos m α a su masa y r α a su posición. Supondremos que la fuerza de interacción entre ambas partículas es central: ∂ V (r ) (6.4) F 1,2 = F (r )uˆr = − uˆr , ∂ r

donde r = r uˆr ≡ r1 − r2

(6.5)

es la posición relativa entre las partículas, y V (r ) es el potencial asociado a la fuerza. Nótese que la fuerza es paralela a la línea de unión entre las dos partículas, y su módulo depende solamente de la distancia entre ellas. 119

6 F UERZAS CENTRALES

En un referencial inercial las ecuaciones de movimiento del sistema son: r1 = F (r )uˆr m1 ¨

y m2 ¨r2 = −F (r )uˆr .

(6.6)

Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas. Su estudio será más sencillo si cambiamos de variables: (r1, r2 ) → (rcm, r). En las nuevas variables las ecuaciones de movimiento vienen dadas por las ecuaciones (5.64) con las fuerzas externas nulas: vcm = cte,

µ r¨ = F (r )uˆr ;

µ ≡

m 1 m2 m1 + m2

(6.7)

.

(6.8)

La ecuación (6.8) es la ecuación de movimiento para el vector r = r1 − r2 en un referencial inercial S pero, como ya vimos en el capítulo anterior, también admite otra lectura: es la ecuación de movimiento de la partícula #1, en un referencial no inercial que tiene origen sobre la #2 y velocidad angular nula con respecto a los referenciales inerciales.

Comentario 6.1. Movimiento alrededor de un centro de fuerzas. Si una de las dos partículas, digamos m2 , es mucho mayor que la otra, se cumple: µ ≡

m 1 m2 m1 + m2

= m1 + Orden

  m1 m2

y se puede confundir el centro de masa del sistema con la partícula masiva m 2. El problema se convierte en el de una partícula, m1 , sometida a una fuerza central con origen en un «centro de fuerza», sobre m 2 , que se puede tomar en reposo con respecto a algún referencial inercial.

6.1.1 Momento angular con respecto al centro de masa En este apartado veremos que el momento angular del sistema se conserva, y estudiaremos las consecuencias de este hecho. Llamaremos Lcm al momento angular del sistema con respecto al centro de masa, en un referencial inercial S . De acuerdo con la ecuación (5.70) se cumple: Lcm = µ r × ˙r.

Lcm m1 m2

r (t )

(6.9)

Por otro lado, el que no haya fuerzas externas implica que Figura 6.1 el torque neto es nulo y, de acuerdo con la ecuación (5.72), Lcm es constante. Siendo la dirección de Lcm constante, la ecuación (6.9) implica que el plano que contiene los vectores r y r˙ tiene siempre la misma orientación. Como r pertenece, para todo tiempo, al mismo plano constante, entonces la órbita descrita por r está en un plano que contiene a ambas partículas; esto lo parafraseamos diciendo que la órbita de m1 en torno a m2 es plana. En la figura 6.1 se muestra un ejemplo de una trayectoria plana seguida por m 1 , vista por un observador con origen sobre m2 y que no gira con respecto a los observadores inerciales. 120

C APÍTULO 7 Movimiento plano de un cuerpo rígido

Un cuerpo rígido es un sistema de partículas tal que la distancia entre ellas no cambia en el tiempo. Los sistemas reales, compuestos de átomos vibrantes, no pueden satisfacer esta condición. Sin embargo, desde un punto de vista macroscópico, la mayoría de los cuerpos que llamamos sólidos la satisfacen de manera aproximada. En este capítulo nos limitaremos al estudio de un tipo particular de movimiento de los rígidos, denominado movimiento plano. Este movimiento se define como aquel durante el cual todos los puntos del rígido, vistos desde algún referencial inercial, tienen velocidades paralelas a un plano fijo, denominado plano del movimiento. La descripción de este tipo de movimiento suele ser sencilla porque requiere menos variables dinámicas que el movimiento general de un cuerpo rígido arbitrario. A pesar de la limitación, el lector encontrará una amplia e interesante variedad de situaciones que corresponden al movimiento plano.

7.1 Velocidad angular y grados de libertad de un cuerpo rígido Diremos que un marco de referencia es solidario con el rígido, si todas las partículas que componen el rígido están fijas en dicho marco. Si el sólido tiene al menos tres partículas no colineales, existe un único marco de referencia solidario. Si el rígido es un sistema de partículas colineales, se le llama rotor, y existe una infinidad de marcos de referencia solidarios, siendo la velocidad angular relativa entre ellos paralela al rotor. Definimos la velocidad angular del rígido con respecto a un observador arbitrario S como la velocidad angular del marco de referencia S ′ solidario con el rígido, con respecto al observador: ω = ωrígido|S = ωS ′ |S .

(7.1)

En el estudio del movimiento de un sólido rígido suelen utilizarse simultáneamente varios referenciales; entre ellos destacan: algún referencial inercial (que usualmente denotaremos por S ), el referencial centro de masa S cm, definido como aquel con origen en el centro de masa y velocidad angular nula con respecto a los referenciales inerciales, y el referencial solidario con el rígido (que muchas veces denotaremos por S ′). Algunas personas, para abreviar, llaman «fijo» al referencial inercial que están usando y «móvil» a S ′, pero aquí preferimos no hacerlo. En el marco centro de masa, el rígido y todos los puntos fijos en S ′ están girando con velocidad angular ω , la misma que mide el observador S . Definimos el número de grados de libertad de un sistema de partículas como el número de variables reales, dependientes del tiempo pero independientes entre sí, que un observador inercial necesita para determinar las posiciones de todas las partículas del sistema. Si en un sistema de N 137

7 M OVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO

7.3 Energía de un cuerpo rígido En esta sección usaremos el momento de inercia para obtener una expresión sencilla para la energía de un cuerpo rígido que tiene un movimiento plano. Consideremos un cuerpo rígido de masa M y velocidad angular de dirección constante ˙ uˆ z ω = θ con respecto a algún referencial inercial S . Llamaremos T y T |S cm a la energía cinética del cuerpo rígido en los sistemas de referencia inercial y del centro de masa respectivamente. La expresión (5.42) para la energía cinética de un sistema de partículas relaciona ambas energías: 1 2

1 2

2

T ≡ ∑ mα r˙α |S = M |vcm |2 + T |S cm , α

donde

1 d rα ,cm T |S cm ≡ ∑ mα 2 dt α

Ahora bien:

luego

 

 

d dt

rα ,cm



2

S cm

T |S cm =

  =|

 



(7.12)

2

S cm

 .

(7.13)

˙ 2 |uˆ z × rα ,cm|2 , ω × rα ,cm |2 = θ

˙2 θ

2

˙2 θ

mα |uˆ z × rα ,cm | = I (cm,uˆ z ) . 2 ∑ 2 α

La última igualdad se obtiene de utilizar la ecuación (7.6), e I (cm,uˆ z ) es el momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa y tiene dirección z . Entonces la energía cinética del cuerpo rígido es: 1 1 (7.14) T = M |vcm |2 + I (cm,uˆ z ) ω 2 . 2 2 Si Q es un punto fijo con respecto al rígido, se deja al lector demostrar que la energía cinética puede escribirse también como 1 2

1 2

T = Mv2Q + I (Q,uˆ z ) ω 2 − M vQ · (ω × rQ,cm ) .

(7.15)

Esta expresión es particularmente útil si hay un punto Q del rígido que está, también, en reposo en el referencial inercial S : en este caso vQ = 0 y 1 2

T = I (Q,uˆ z ) ω 2 .

(7.16)

Supondremos que los cuerpos rígidos satisfacen la versión restringida de la tercera ley de Newton: la fuerza entre las partículas de un rígido es paralela a la línea de unión entre ellas, F α ,β = −F β ,α = (rα − rβ ) f α ,β ,

142

(7.17)

Di Bartolo

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