PPG MT-MAJOR
TOPIK 1
NOMBOR
Pengenalan Kursus Mengajar Nombor, Pecahan, Perpuluhan dan Peratusan ini memberi peluang kepada pelajar menghayati dan mengembangkan amalan pengajaran yang baik dalam nombor, pecahan, perpuluhan dan peratus. Perbincangan meliputi aspek-aspek yang berkaitan dengan perkembangan konsep kanak-kanak, aktiviti pengajaran dan pembelajaran serta pembinaan resos pembelajaran. Pengalaman praktikal diperoleh melalui sesi pengajaran mikro/makro. Modul ini dibina untuk membimbing pelajar- pelajar menjana ide dan menggilap kreativiti menjadi guru matematik yang berkesan. Tiga aspek utama yang mesti diberi perhatian ialah: i. ii. iii.
Tahu tentang kemahiran- kemahiran matematik yang perlu murid kuasai pada akhir persekolahannya. Ada kemahiran pedagogi untuk menyampaikan isi kandungan pelajaran supaya murid faham dan jelas. Tahap- tahap perkembangan dalam pembinaan sesuatu konsep matematik
Topik- topik dalam kursus ini ialah Nombor, diikuti dengan Pecahan, Perpuluhan dan Peratus. Dalam tajuk 1, kita akan fokus kepada Nombor Bulat sahaja dan Empat Operasi Asas. Kita juga akan bincangkan tentang Fakta Asas, Celik Operasi (Operation Sense) dan Pengiraaan serta Isu- isu Utama dalam Pengajaran Nombor Bulat. Hasil Pembelajaran Pada akhir pembelajaran topik ini, pelajar- pelajar dapat: i. ii.
iv.
Menerangkan tentang perkembangan awal nombor. Meningkatkan kemahiran-kemahiran pedagogi yang berkesan dalam pengajaran Nombor Bulat. Merancang aktiviti- aktiviti pengajaran dan pembelajaran bagi tajuk Nombor Bulat. Membincangkan isu- isu yang berkaitan dalam tajuk ini.
1.1
Nombor Bulat
iii.
Kemahiran - kemahiran matematik dalam tajuk Nombor Bulat yang perlu ada dan mesti dikuasai murid- murid setelah tamat sekolah rendah ialah:
PPG MT-MAJOR
• • • • • • •
Menggunakan istilah seperti banyak, sedikit, sama banyak, tidak sama banyak atau lebih besar daripada, lebih kecil daripada semasa membuat perbandingan. Mengenal dan menamakan nombor bulat Mengira, membaca dan menulis nombor bulat Menentukan nilai tempat bagi digit dalam nombor bulat Membanding beza nilai- nilai nombor bulat Menyusun nombor bulat secara menaik atau menurun Membundar nombor bulat kepada puluh, ratus, ribu dan puluh ribu yang hampir.
Kemahiran Pedagogi ialah satu aspek yang amat penting bagi guru untuk menyampaikan isi kandungan semasa sesi pengajaran dan pembelajaran. Kemahiran pedagogi bermaksud guru dapat menguasai kaedah, teknik dan strategi yang bersesuaian dalam pengajaran dengan tujuan membantu murid memahami dan menguasai sesuatu konsep.Seorang guru matematik yang efektif perlu arif tentang langkah- langkah perkembangan yang perlu diambil kira dalam pembinaan sesuatu konsep khususnya bagi nombor bulat. 1.1.1 Tahap Perkembangan Nombor Bulat Perkembangan suatu konsep matematik selalunya akan melalui beberapa langkah- langkah tertentu. Ia berlaku secara berturutan dari konsep yang mudah ke konsep yang agak sukar dan seterusnya ke tahap yang susah. Murid- murid perlu didedahkan mengikut pemeringkatan seperti dalam tajuk nombor bulat iaitu: • • • • • •
Celik Nombor Pra Nombor Nombor Awal Pengenalan Nilai Tempat Pengukuhan tentang Nilai Tempat Lanjutan tentang Nilai Tempat
1.1.2 Celik Nombor Celik nombor merangkumi: •
Pemahaman tentang konsep nombor dan operasi ke atas nombor.
•
Pembentukan strategi berguna bagi memahami nombor dan operasi ke atas nombor.
PPG MT-MAJOR
•
Kebolehan untuk mengira dengan tepat dan efisyen, boleh mengesan kesilapan.
•
Kebolehan dan kecenderungan untuk menggunakan kefahaman tentang nombor , dan dalam pelbagai cara yang fleksibel apabila ingin membuat keputusan.
•
Mempunyai jangkaan bahawa nombor adalah berguna, dan bekerja dengan nombor adalah bermakna dan boleh diterima akal (make sense). -
cth: dapat tempat pertama dalam kelas
1.1.3 Pra Nombor Pada peringkat ini, kanak- kanak perlu ada kemahiran pra syarat untuk mempelajari tentang nombor. Kemahiran pra syarat ini termasuklah: • mengklafikasi /mengisih objek melalui sifat- sifat fizikal seperti warna, saiz • membandingkan kuantiti dua objek melalui padanan satu ke satu. • menentukan hubungan kuantiti antara dua set sebagai sama banyak, lebih banyak atau kurang daripada. • Keabadian kuantiti Konsep Pranombor adalah yang bukan berkaitan dengan nombor tetapi kemahiran ini penting sebagai asas kepada konsep dan kemahiran nombor yang seterusnya.
1.1.4 Nombor Awal Di sini, kanak- kanak akan menumpukan perhatian untuk mempelajari nombor 1 ke 10, juga sifar. Mereka akan diajar membaca, menulis dan menyusun nombor berasaskan objekobjek konkrit dahulu, diikuti dengan objek- objek dalam gambar dan akhirnya hanyalah simbol atau nombor sahaja. Mereka juga perlu faham konsep sifar yang mewakili kuantiti kosong atau tiada.Guru matematik perlu berhati- hati di sini kerana kanakkanak biasanya menghadapi masalah untuk memahami makna sifar.Oleh itu, adalah wajar untuk mengenalkan sifar hanya setelah kanak- kanak kenal nombor sekurang- kurangnya sehingga nombor 3. Begitu juga dengan nombor 10 kerana ia melibatkan nombor dua digit dan nilai tempat. Penerangan berkenaan Nilai Tempat akan dihuraikan kemudian.
PPG MT-MAJOR
Kemahiran/konsep penting yang perlu dikembangkan dalam peringkat awal nombor •
Mengenal, menama, dan menentukan nilai nombor 1 hingga 10, dan 0
•
Membilang nombor 1 hingga 10
•
Menulis angka 1 hingga 10
•
Menyusun nombor 1 hingga 10 mengikut tertib menaik dan menurun.
1.1.5 Perkembangan Nombor (Number Development) Mengajar awal nombor Dengar, lihat, sebut dan tunjuk Strategi Membilang •
Membilang secara menaik (Counting on)
•
Membilang secara menurun (Counting back)
•
Membilang secara lisan (Verbal counting)
•
Membilang secara sentuhan (Touch counting)
•
Membilang secara visual (Visual counting)
•
Membilang secara melangkau (Skip counting)
•
Mengajar Menulis Angka Teknik Biasa Menulis di udara (write in the air)
•
Menulis di atas pasir (write on sand board)
•
Menekap angka putus-putus (trace dashed numerals)
•
Menulis di atas ruang kosong (write on empty space)
PPG MT-MAJOR
1.1.6 Pengiraan Apabila kita mengira, kita sebenarnya mencari bilangan elemen dalam satu set objek. Ia melibatkan nombor- nombor selain dari 1. Contohnya kita mengira wang, baki wang, mengira dalam kiraan dua (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) atau dalam kiraan lima (5, 10, 15, 20, 25, ...). Kita boleh mengira dalam pelbagai cara yang berbeza. Mengira secara lisan biasanya digunakan bagi objek yang ada di depan mata.Menggunakan gundal atau tally marks, untuk mengira dilakukan dengan mencatatkan satu tanda untuk mewakili satu kuantiti dan kemudian menjumlahkan tanda yang dicatat . Ini adalah pengiraan menggunakan asas 1. Pengiraan biasa ialah menggunakan asas 10 Selain dari itu kita juga boleh menjalankan pengiraan menggunakan jari (finger-counting) terutamanya untuk mengira nombor kecil. Di sini kita menggunakan 1 jari= 1 unit dan terhad kepada mengira 10 sahaja. Lain- lain simbol tangan juga digunakan seperti dalam Sistem Cina di mana 1 tangan mewakili 10. Finger binary (base 2 counting) juga ialah satu cara mengira di mana pengiraan sehingga 1023 = 210 – 1 boleh dilakukan. Guru matematik sepatutnya mendedahkan teknik- teknik untuk mengira seperti teknik counting on (0, 1,2,3,4,....), teknik counting back (10, 9,8,7,6,.....) dan juga skip counting (2, 4,6,8,....) . Kita patut mula dengan nombor yang lebih kecil dahulu misalnya nombor 0 hingga 10. Apabila murid- murid sudah mahir, barulah beralih ke nombor- nombor yang lebih besar. Pelbagai alat dan kaedah boleh digunakan untuk membantu mengira seperti hand tally counters, menggunakan pensel dan kertas, penganggaran, aritmetik mental, abakus, kalkulator dan komputer. Kita sepatutnya dapat membuat pilihan yang bijak melalui pengalaman untuk memilih yang mana satu yang lebih baik dan sesuai.
1.1.7 Peranan Algoritma dan Perwakilan Nombor Algoritma ialah satu prosedur yang mengandungi langkahlangkah khusus untuk diikuti dalam pengiraan. Mengikut alKhwārizmī, algoritma merujuk kepada peraturan- peraturan dalam menjalankan aritmetik menggunakan nombor- nombor Arab- Hindu. Kepentingan untuk memahami dan menggunakan
PPG MT-MAJOR
algoritma adalah perlu dalam mempelajari matematik. Terdapat pelbagai algoritma dalam matematik dengan kegunaannya tersendiri. Untuk menjadi mahir dalam pengiraan, seorang mestilah mempunyai kaedah yang efisen dan tepat untuk mengira, dan ada kemahiran celik nombor dan operasi. Kita perlu tahu dan faham bagaimana sesuatu algoritma itu digunakan dan berfungsi. Ini dapat menyokong kita untuk terus maju dalam matematik kerana algoritma itu bermakna untuk kita. Sekiranya kita mengamalkan pembelajaran secara menghafal semasa menjalankan algoritma matematik, maka ini akan menghalang perkembangan celik nombor kita. Pelajar yang dapat mencipta algoritma alternatif selalunya lebih berjaya dalam matematik kerana ia dibina berasaskan pemikiran dan kefahaman mereka. Dalam pengajaran dan pembelajaran matematik, latihan perlu diberi setelah mempelajari tajuk matematik. Kadangkala latihtubi dan latihan tidak akan menjadi berkesan dan perlu sekiranya ia tidak membawa apa-apa makna kepada pelajar. Jadi seharusnya pelajar perlu jelas dan faham apa yang mereka buat. Kefahaman konseptual mesti dilengkapi dulu sebelum latihan dijalankan. Konsep yang kukuh tentang ide- ide matematik akan memudahkan lagi menyelesaikan masalah yang berkaitan. Kelajuan dan kecekapan menggunakan algoritma matematik melibatkan nombor- nombor besar bukan lagi merupakan satu isu kritikal kerana isu ini dapat diatasi menggunakan teknologi. Kita memerlukan fasiliti kepada algoritma untuk pengiraan itu. Walaupun begitu, teknologi tidak boleh menafikan keperluan untuk memahami dan menjalankan algoritma- algoritma asas. 1.1.8 Nilai Tempat Dalam sistem Arab- Hindu , nilai tempat merupakan satu konsep utama.Nilai bagi sesuatu nombor ditentukan melalui kedudukannya dalam nombor itu. Sebagai contoh nombor 3578 dibaca sebagi tiga ribu lima ratus tujuh puluh lapan. Ribu, ratus, puluh dan sa menunjukkan tempat bagi nilai. 3 5 78 8 sa 7 puluh, atau 70 sa 5 ratus, atau 500 sa 3 ribu, ataqu 3000 sa
PPG MT-MAJOR
Dalam bentuk kembangan (expanded form), 3578 boleh ditulis sebagai 3000 + 500 + 70 +8. Guru perlu membimbing murid memahami nilai tempat asas sepuluh supaya mereka faham sistem nombor Arab Hindu. Ini membolehkan mereka membina sebarang nombor menggunakan 10 digit itu dan menentukan nilai tempatnya. Konsep nilai tempat dapat dikukuhkan lagi melalui pengalaman mencerakinkan nombor dalam bentuk expanded form. Apabila tajuk nilai tempat diperkenalkan, murid- murid akan mula menggunakan nombor 11 hingga 20 . Ide tentang nilai tempat dikaitkan terus dengan konsep pengumpulan semula dalam nombor asas 10 (10 sa = 1 puluh). Satu contoh bahan untuk menunjukkan nombor asas sepuluh ialah dengan menggunakan straw. Kita katakan satu straw mewakili nilai 1 dan 1 ikatan yang mengandungi 10 straw menunjukkan ide mengumpulkan 10 straw kepada satu kumpulan 10. Lihat rajah di bawah.
sa
puluh
Ide nilai tempat diteruskan lagi kepada nombor 20 sehingga 100. Untuk membina kefahaman dan pengalaman ini, kita mesti melalui proses mengumpulkan objek dalam kumpulan sepuluhsepuluh. Sekali lagi kita boleh gunakan straw untuk menunjukkan ide 1 ratus = 10 puluh = 100 sa. Di sini guru memainkan peranan penting untuk membimbing murid untuk belajar dan memahami konsep nilai tempat dengan mudah melalui pengalaman konkrit. Kini masanya untuk anda berfikir. Aktiviti 1 Apakah bahan- bahan lain yang boleh anda gunakan sebagai objek asas 10 semasa mengajar konsep nilai tempat? Bagaimana anda menggunakan bahan itu untuk menunjukkan nilai sa, puluh dan ratus?
PPG MT-MAJOR
Catatkan di bawah.
Konsep nilai tempat dilanjutkan kepada nombor melebihi 100. Idea pengumpulan sepuluh- sepuluh dilakukan untuk menunjukkan 10 puluh = 1 ratus; 10 ratus = 1 ribu dsb. Sehubungan dengan itu, kefahaman murid tentang nilai tempat diperluaskan kepada ratus, ribu, puluh ribu, ratus ribu dan juta. Murid perlu diingatkan tentang digit 0 dalam ide nilai tempat. Sifar di sini ada makna tertentu. Guru perlu membimbing murid supaya faham. Contohnya dalam nombor 709, sifar terletak pada tempat puluh dan tiada nilai puluh di sini. Ada banyak cara yang baik yang boleh digunakan untuk mengajar konsep nombor. Sebagai seorang guru matematik kita tahu, murid membina konsep melalui kefahamannya dan pembelajaran akan berlaku daripada pengalaman belajar yang bermakna. Oleh itu, guru harus merancang pengajaran yang menyediakan ruang untuk berfikir melalui aktiviti – aktiviti yang melibatkan penglibatan aktif , mencabar, praktikal dan relevan. a) Contoh Aktiviti P&P - Mengira
Hasil Pembelajaran: • Mengira sekumpulan objek dari 1 hingga 10 • Mengira ke belakang dari nombor 10 to 0. Bahan : • 10 pembilang • Kad Nombor 0 – 10 Prosedur: 1. Guru berkata: “Lihat, saya ada banyak pembilang. Mari kita kira bilangan pembilang yang saya ada.”
2. Guru mengalihkan satu kaunter ke tepi dan berkata “satu”.
3. Guru mengalihkan satu lagi pembilang dan berkata “dua”.
PPG MT-MAJOR
4. Guru ulang untuk “tiga”, “empat” sehingga “sepuluh”. 5. Kerja berpasangan: Secara bergilir lakukan seperti di atas- seorang alihkan pembilang sambil seorang lagi menyebut bilangan yang dialih. Beri pujian jika dapat mengira dengan betul. 6. Murid- murid bermain “Permainan Mengira” dalam kumpulan berlima mengikut peraturan berikut: • Kocok kad (0 – 10) dan terbalikkannya. • Seorang pemain ambil kad teratas dan terbalikkan sambil menyebut nombornya , contoh : “tujuh”. • Pemain lain mengira ke belakang “enam, lima , empat, tiga,....., sifar” mengikut giliran. • Pemain yang menyebut sifar akan mengambil kad seterusnya dan permainan diteruskan seperti di atas. b) Contoh Aktiviti P&P – Nilai Tempat •
Hasil Pembelajaran: Menukar nombor 10 hingga 20 dalam puluh dan sa menggunakan strip-puluh dan kepingan sa. Bahan: • Bahan Asas 10 : strip- puluh dan kepingan sa • Kad nombor : 0 hingga 9 • Kad Manila dengan dua poket.
Prosedur: 1. Guru bimbing murid untuk menukar 10 kepingan sa dengan satu strip- puluh strip- puluh kepingan sa 2. Murid diminta menyebut satu nombor antara 11 dan 20. Contohnya 15. Guru bimbing murid tukar 15 sa dengan 1 strip- puluh dan 5 sa
PPG MT-MAJOR
3. Guru bimbing murid pilih satu kad nombor untuk mewakili nombor di atas dan letakkan dalam poket seperti di bawah: Puluh
Sa
1
5
4. Guru bimbing murid untuk menulis 15 = 1 puluh + 5 sa = 10 + 5 5. Murid kemudian menyebut nombor itu dalam dua cara iaitu : satu puluh dan lima sa dan lima belas.. 6. Ulang langkah- langkah di atas untuk nombor- nombor lain. Ringkasan: 1. Nombor mewakili kuantiti sesuatu objek dan diterjemahkan dalam bentuk simbol digit. 2. Ide sifar diperkenalkan selepas murid- murid kenal sekurangkurangnya tiga nombor pertama. 3. Ide pengumpulan bersepuluh penting untuk membina konsep nilai tempat. 4. Tiada satu cara terbaik yang tertentu untuk mengajar tajuk nombor bulat. Oleh itu, gunakan kreativiti anda untuk menghasilkan pelbagai kaedah yang boleh digunakan untuk menyokong pengajaran.
1.2.
Operasi Nombor dan Fakta Asas Operasi Tambah dan Tolak
1.2.1 Pengenalan Murid-murid sekolah rendah perlu mempunyai kemahiran asas mengira. Ada empat operasi asas iaitu : •
Penambahan
•
penolakan
•
pendaraban
TADIKA dan TAHUN 1
PPG MT-MAJOR
•
Pembahagian
1.2.2 Peringkat Pembelajaran Bagi Penambahan Dan Penolakan Ada 3 langkah asas dalam pembelajaran ini: •
Tambah dan Tolak sehingga nombor 10 – pengalaman mengira awal dan memahami konsep dan makna penambahan dan penolakan
•
Tambah dan Tolak sehingga nombor 18 – menekankan kemahiran mengingat fakta asas bagi penambahan dan penolakan
•
Tambah dan Tolak bagi nombor lebih daripada 2 digit – menekankan tentang algoritma simbolik bagi penambahan dan penolakan.
1.2.3 Makna Penambahan Dan Penolakan •
Penambahan - operasi yang mengumpulkan dua nombor (addends) untuk menghasilkan nilai unik ketiga yang dikenali sebagai hasil tambah.
•
Dalam ayat matematik, ia ditulis sebagai 3 + 4 = 7,
3 dan 4 adalah addends, dan 7 adalah hasil
tambah. •
Penolakan – kita mula dengan hasil tambah dan menarik keluar satu daripada addends untuk mencari satu lagi addend yang tinggal.
•
Hasil tambah sebenar adalah minuend; addend yang ditolak adalah subtrahend; addend yang tertinggal adalah baki
•
Dalam ayat matematik, ia ditulis sebagai
PPG MT-MAJOR
o 7 – 3 = 4, 7 adalah minuend, 3 adalah subtrahend, dan 4 merupakan baki.
Ada dua model asas untuk menggambarkan penambahan. (a) Model Set: kombinasi objek konkrit; dan (b) Model Garis Nombor : kombinasi kuantiti tidak konkrit Contoh : Masalah 1: Abu mempunyai 3 biji bola berwarna merah dan 5 biji bola biru. Berapa jumlah bola yang Abu punyai? Masalah 2: Suhu air dalam sebuah bikar adalah 38 o C. Selepas memanaskannya, suhu meningkat sebanyak 4 o C. Apakah bacaan suhu baru bagi air tersebut? Masalah 1 berkenaan penambahan dua biji bola, dua objek konkrit. Gambaran rajah adalah seperti berikut: MODEL SET
Masalah 2 berkenaan kombinasi dua bacaan suhu, kuantiti bukan konkrit. Gambaran rajah adalah seperti berikut: MODEL GARIS NOMBOR
PPG MT-MAJOR
4 0C
38 0C
42 0C
0 0C
10 0C
20 0C
30 0C
40 0C
50 0C
Ada empat model asas untuk menunjukkan makna Penolakan : (a) Model Take-Away (b) Model Perbandingan (Comparison) (c) Model Missing-Addend (d) Model Garis Nombor Contoh :
Masalah 1: Bibah mempunyai 5 ekor ayam. Semalam, 2
daripada ayam-ayam tersebut dicuri orang. Berapa ekor ayam yang tinggal ? (MODEL TAKE AWAY)
(b) MODEL PERBANDINGAN (COMPARISON) Masalah 2: Nina mempunyai 5 biji oren. Sari pula mempunyai 2 biji oren. Berapa biji oren yang Nina punyai, melebihi oren yang dipunyai oleh Sari ?
PPG MT-MAJOR
(c) MODEL MISSING-ADDEND Masalah 3: Bob bercadang memelihara 5 ekor arnab. Pakciknya memberi 2 ekor arnab sebagai permulaan.Berapa ekor arnab lagi yang perlu Bob beli ?
(d) MODEL GARIS-NOMBOR) Masalah 4: Suzy mempunyai 5 liter jus oren. Dia memberi 2 liter kepada adiknya. Berapa liter jus oren yang masih tinggal pada Suzy ? 5 liter 2 liter 0
1
2
3
4
5
3 liter
1.2.4 Hubungan Antara Penambahan Dan Penolakan
6
3 litres
PPG MT-MAJOR
•
Penambahan dan penolakan adalah operasi
songsang
(inverse). Contohnya: •
disebabkan 3 + 4 = 7, maka 7 – 3 = 4 dan 7 – 4 = 3.
•
Aktiviti mengenai hubungan antara penambahan dan penolakan adalah sangat penting pada tahap awal pembelajaran kanakkanak.
•
Sebagai
guru
matematik,
adalah
sangat
penting
untuk
membimbing mereka memahami hubungan ‘inverse’ ini melalui aktiviti yang dirancang dengan teliti.
Contoh
Mengenai
Penolakan
Merupakan
‘Inverse’
Kepada
Penambahan Isi tempat yang kosong: 8 + 4 = 12 12 – 8 = _____
12 – 4 = _____
5 + 9 = 14 14 – 5 = _____
14 – 9 = _____
1.2.5 Sifat Penambahan Identiti Penambahan(Additive identity)
Sifar adalah identiti bagi Penambahan sebab dengan menambah sifar
kepada sebarang nombor, tetap akan menghasilkan nombor tersebut, contohnya 4 + 0 = 4 (tekankan bahawa (a + 0) and (0 + a) adalah sama.
Tukar tertib/Komutatif (Commutative property)
Menukar tertib kedudukan dua addend tidak mengubah hasil tambah, contohnya: (4 + 3 = 3 + 4).
PPG MT-MAJOR
Ini memudahkan murid-murid jika yang telah mengetahui 5 + 7 = 12, tidak perlu lagi menghafal (7 + 5). Identiti Penambahan(Additive identity)
Sifar adalah identiti bagi penambahan sebab dengan menambah sifar kepada sebarang nombor, tetap akan menghasilkan nombor tersebut, contohnya 4 + 0 = 4 (tekankan bahawa (a + 0) and (0 + a) adalah sama.
1.2.6 Fakta Asas Penambahan +
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1.2.7 Algoritma Bagi Penambahan Dan Penolakan Untuk mengajar algoritma bagi penambahan dan penolakan, kita perlu menggunakan bahan konkrit ( seperti bahan asas-10 dan carta nilai tempat ). Rajah berikut menunjukkan contoh bagi proses penambahan menggunakan bahan konkrit asas-10 serta proses bagi penolakan.
PPG MT-MAJOR
Model Konkrit bagi (16 + 18).
PPG MT-MAJOR
PuSa76- 23
PuSa76- 233
PuSa76- 2353
Model Konkrit bagi (76 – 23).
Contoh Algoritma Penambahan Algoritma 1
+ 1
1
1
3 9 3
7 5 3
Algoritma 2 8 8 6
+
3 9
1 1
1 2 3
7 5 1 2 0 3
8 8 6 0 0 6
Contoh Algoritma Penolakan Algoritma 1
Algoritma 2
7
-
8 6 1
15
5 7 8
7 15 - 7 = 8
-
8 6 1
10
5 7 8
(10 – 7) + 5 = 8
Disamping algoritma tersebut di atas, terdapat lain-lain algoritma untuk mengira penambahan dan penolakan.
PPG MT-MAJOR
1.3
Operasi Darab dan Bahagi
Pendaraban dan pembahagian adalah dua konsep penting yang digunakan dalam semua topik Matematik. Pendaraban merupakan antara asas pengiraan yang dianggap sukar selain membahagi. Oleh itu pelajar harus membina asas yang kukuh tentang pendaraban dan pembahagian semasa di sekolah rendah sebelum memasuki peringkat menengah. 1.3.1 Kemahiran Asas Matematik – Pendaraban dan Pembahagian Kanak kanak membina pengetahuan pendaraban dan pembahagian daripada kefahaman tentang topik penambahan dan pendaraban. Kemahiran Asas Matematik yang berkaitan dengan pendaraban dan pembahagian ialah: • • • • • •
Menulis ayat pendaraban dan pembahagian. Menyatakan dengan cepat fakta asas pendaraban sehingga 9 x 9 dan fakta asas pembahagian sehingga 81 ÷ 9. Menulis pendaraban dan pembahagian dalam bentuk algorithma piawai. Mendarab sebarang dua nombor. Membahagi sebarang nombor dengan nombor lain, dengan baki dan tanpa baki. Menyelesaikan masalah seharian yang melibatkan pendaraban dan pembahagian.
1.3.2 Maksud Pendaraban dan Pembahagian Pendaraban secara umumnya dikenali sebagai penambahan berulang nombor yang sama. Di dalam ayat pendaraban 3 x 4 = 12, 12 dipanggil hasil darab bagi 3 dan 4 di mana 3 ialah multiplier dan 4 ialah multiplicand. Sebaliknya. pembahagian dikenali sebagai suatu proses mengagihkan suatu kuantiti kepada bahagian yang sama. Bagi pernyataan bahagi 30÷5=6, 30 dipanggil dividend, 5 ialah pembahagi (divisor ) dan 6 ialah hasil bahagi (quotient). Walau bagaimanapun ada banyak lagi maksud pendaraban dan pembahagian.
PPG MT-MAJOR
Rajah 1 menggambarkan dua maksud umum pendaraban dan Rajah 2 menerangkan dua maksud umum pembahagian. Terdapat 3 bungkusan buah tomato. Setiap bungkusan ada 4 biji tomato .Berapakah jumlah buah tomato semuanya. How many tomatoes are there altogether?
Terdapat 3 baris buah tomato. 4 biji tomato pada setiap baris. Berapakah jumlah buah tomato kesemuanya. ?
(3 X 4) bermaksud 4 + 4 + 4
(3 X 4) bermaksud 3 baris; 4 di dalam setiap baris.
TAMBAH BERULANG
SUSUNAN
Rajah1. Maksud Pendaraban.
Terdapat 12 biji tomato.Seorang kanak-kanak makan 3 biji tomato. Berapakah orang kanak-kanak yang dapat makan semua tomato?
Terdapat 12 biji tomato untuk dibahagi kepada 3 orang kanak-kanak. Berapakan biji tomato untuk setiap kanak-kanak tersebut?
buah tomato? tt?tomato.atoes?
12 ÷ 3 = 4 bermaksud 3 boleh di tolak daripada 12 sebanyak 4 kali; iaitu. 12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0
TOLAK BERTURUT-TURUT
12 ÷ 3 bermaksud 12 diagihkan kepada 3 orang kanak-kanak; Seorang kanak-kanak mendapat 4.
AGIHAN SAMA
Rajah 2. Maksud Pembahagian.
PPG MT-MAJOR
Banding dan beza (3 x 4 = 12) dan (4 x 3 = 12). Bagaimanakah perbezaan pendaraban ini mempengaruhi proses anda dalam pengajaran pendaraban?
Cikgu menyuruh Ahmad melukis gambar menunjukkan maksud 8 ÷ 2 = 4. Ahmad melukis gambar berikut:
Arif ,rakan Ahmad ,menyatakan gambar di atas tidak menunjukkan maksud pembahagian yang betul. Kerana untuk pembahagian 8 ÷ 2, Ahmad harus melukis 8 objek yang dikongsi sama oleh 2 orang. Gambar yang betul adalah seperti di bawah.:
Apakah respon anda tentang perbezaan pendapat antara Ahmad dan Arif ? Kenapa anda fikir perbezaan pendapat ini timbul antara mereka ?
PPG MT-MAJOR
1.3.3 Hubungan antara Pendaraban dan Pembahagian Pendaraban dan pembahagian adalah suatu operasi songsangan (inverse operation). Sebagai contoh, oleh kerana 5 x 3 = 15, maka 15 ÷ 3 = 5 dan 15 ÷ 5 = 3. Kanak-kanak perlu diberi ruang yang luas untuk meneroka hubungan ini secara aktif. Model Konkrit bagi (76 – 23).
1.3.4 Sifat-Sifat Pendaraban Pendaraban mempunyai beberapa ciri yang boleh digunakan untuk meringkaskan prosedur pengiraan secara mental dan lazim. Dua ciri yang berguna ialah identiti penambahan,ciri tukar tertib dan pendaraban dengan sifar. i)
Identiti Penambahan (Additive identity).
Satu ialah identiti penambahan kerana mendarabkan 1 dengan sebarang nombor akan meghasilkan nombor itu sendiri. (4 x 1 = 4). ii)
Tukar tertib/Komutatif (Commutative property).
Pendaraban adalah operasi komutatif kerana untuk sebarang nombor a dan b, (b x a) akan memberi nilai yang sama seperti (a x b). Sebagai contoh, 2 x 3 = 3 x 2 = 6. iii)
Pendaraban dengan sifar.
Sebarang nombor yang didarabkan dengan sifar akan memberi nilai sifar. Bagaimanakah ciri-ciri pendaraban ini dapat membantu pelajar meringkaskan tugasan mereka dalam menghafal fakta asas pendaraban?
PPG MT-MAJOR
1.3.5 Fakta Asas Pendaraban Fakta asas pendaraban adalah pendaraban daripada sebarang dua nombor 1 digit. Terdapat 100 fakta asas bagi pendaraban. Fakta asas pendaraban boleh di terjemahkan dalam bentuk jadual. Bincangkan dengan rakan anda di sekolah. Apakah aktiviti pembelajaran yang digunakan untuk mengajar kanak-kanak tentang hubungan songsangan antara pendaraban dan pembahagian? Senaraikan semua idea utama anda.
1.3.6 Fakta Asas Pembahagian Sekiranya pelajar anda telah mengetahui fakta asas pendaraban, mereka boleh mengaitkan dengan fakta asas pembahagian. Sebagai contoh, jika mereka tahu bahawa 6 x 5 = 30, maka tidaklah sukar untuk mengaitkan bahawa 30 ÷ 5 = 6 dan 30 ÷ 6 = 5. Oleh itu, tidak perlu untuk mempelajari fakta asas pembahagian secara berasingan. Sebaliknya guru perlu menekankan tentang hubungan songsang antara pendaraban dan pembahagian. 1.3.7 Algoritma bagi pendaraban dan Pembahagian Terdapat berbagai jenis algoritma untuk melakukan operasi pendaraban dan pembahagian. Rajah 3 di bawah menunjukkan empat jenis algoritma yang berbeza untuk pendaraban dan Rajah 4 menunjukkan 2 jenis algoritma untuk pembahagian. Algoritma 1 X 1
3 9
2 2 4
6
4
8
8
4
2
4 6 4
Algoritma 2 3 X 1
4
1
2 2 2
Algoritma 3 4 6 4
3
2
8
2 2 2
4 6 4
1
2
0
8
0
0
8
0
4
0
0
0
0
0
X
1 8
4 6
6
6 X4 6X 20 6X 300 20 X4 20 X 20 20 X 300
PPG MT-MAJOR
8
4
2
4
8
4
2
4
Algoritma 4 X
300
20
4
20
6000
400
80
6
1800
120
24
324 x 26 = 6000 + 400 + 80 + 1800 + 120 + 24 = 8424 Rajah 3. Algoritma Pendaraban
Algoritma 1
7
1 9 7 2 2
3 4 4 1 3 2
Algoritma 2
4 1
1 8 3
7
baki
1 9 7 2 2
3 0 4 0 4 1 3 2
4 0 0 1 0 1 0 1 8 3
134 tolak 100 x 7 tolak 30 x 7 tolak 4 x 7 baki
Rajah 4. Algoritma Pembahagian Maksud pendaraban dan pembahagian yang manakah setiap algoritma di atas di asaskan? Terangkan sebab anda.
Algoritma yang manakah yang anda pilih untuk mengajar pelajar anda? Mengapa?
Bagaimanakah anda menggunakan bahan konkrik untuk menunjukkan proses pendaraban dan pembahagian algoritma?
PPG MT-MAJOR
1.3.8 Contoh Aktiviti Pengajaran dan Pembelajaran. Sebagai guru matematik, anda seharusnya mencari peluang untuk mengumpulkan aktiviti p-p yang baik untuk pengajaran anda. Jika anda mempunyai koleksi aktiviti yang pelbagai, anda secara semulajadi akan mendapat idea yang banyak semasa merancang pengajaran anda. Dengan membaca contoh aktiviti di bawah diharap akan dapat memberi gambaran dan idea untuk memulakan koleksi anda. Aktiviti 1: Pendaraban sebagai Penambahan Berulang. Hasil Pembelajaran: • •
Menerangkan bahawa pendaraban adalah penambahan berulang. Menulis ayat pendaraban.
Bahan: • Pinggan kertas • Pembilang Langkah perlaksanaan: 1. Guru bercerita tentang penambahan berulang;murid melakonkan setiap cerita menggunakan pembilang dan pinggan kertas.Contoh cerita ditunjukkan dalam Rajah 5. Sediakan jadual untuk menunjukkan fakta asas pendaraban.Apakah pola yang dapat dilihat dalam jadual ini?Bagaimanakah anda menggunakan pola ini untuk mengalakkan pelajar anda mengingat fakta asas dengan mudah?
Rajah 5. Contoh menunjukkan 3 x 2 = 2 + 2 + 2. 2. Setelah membuat model cerita yang lain, guru memperkenalkan pendaraban sebagai penambahan berulang dan ayat matematik yang berkaitan seperti 3 x 2 = 2 + 2 + 2. 3. Di dalam kumpulan 4 orang, setiap murid bergilir-gilir melakukan main peranan bagi situasi di bawah:
PPG MT-MAJOR
Murid A: Ambil sebarang bilangan pinggan(tidak lebih dari 9) dan letakkan ditengah setiap kumpulan. Murid B: Letakkan sebarang bilangan pembilang (tidak lebih dari 9) atas setiap pinggan. Murid C: Mulakan bercerita “3 pinggan; 2 pembilang setiap satu; 6 pembilang semuanya” Murid D: Tuliskan ayat penambahan berulang dan ayat pendaraban yang berkaitan. Aktiviti 2: Pendaraban sebagai Suatu Susunan. : Hasil Pembelajaran: • •
Menerangkan bahawa pendaraban adalah suatu susunan. Menulis ayat pendaraban.
Bahan : • Pembilang • Jalur Kertas Langkah perlaksanaan : 1. Guru membincangkan masalah susunan mudah dengan murid dan menggunakan jalur kertas dan pembilang untuk menyelesaikan masalah. Contoh masalah adalah seperti dalam Rajah 6. 3 pinggan. 2 biji telur dalam setiap pinggan. Berapakah bilangan telur semuanya?
Rajah 6. Contoh untuk menunjukkan 3 x 4 sebagai 3 baris dengan 4 objek dalam setiap baris. 2. Selepas menyelesaikan masalah yang sama, guru memperkenalkan pendaraban sebagai susunan baris dan lajur. 3. Dalam kumpulan 4 orang,setiap murid bergilir-gilir melakukan main peranan bagi situasi di bawah: Murid A: Ambil beberapa bilangan jalur kertas(tidak lebih daripada 9 jalur) dan susun dalam baris ditengah-tengah setiap kumpulan.
PPG MT-MAJOR
Murid B: Letakkan sebarang bilangan pembilang (tidak lebih daripada 9 ) di atas setiap jalur kertas. Murid C: Ceritakan situasi”3 baris;2 pembilang dalam setiap baris; 6 pembilang semuanya” Murid D: Tuliskan ayat matematik tentang pendaraban. Aktiviti 3: Pembahagian sebagai Pengagihan Sama Rata. Hasil Pembelajaran: • Menerangkan pembahagian sebagai pengagihan sama rata. • Menulis ayat metematik mengenai pembahagian. Bahan; • •
Pinggan kertas Pembilang
Langkah Perlaksanaan: 1. Guru menceritakan tentang pengagihan sama rata. Murid menggunakan pembilang dan pinggan kertas untuk melakonkan cerita guru. Contoh ditunjukkan dalam Rajah 7. 3 baris; 4 murid dalam setiap baris; berapakah bilangan murid semuanya?
Rajah 7. Contoh menunjukkan pembahagian 8 ÷ 2 sebagai pengagihan sama rata. 2. Setelah menggunakan model cerita yang lain, guru memperkenalkan maksud pembahagian sebagai pengagihan sama rata dan menulis ayat matematik yang berkaitan iaitu 8 ÷ 2 = 4. 3. Dalam kumpulan 4 orang, setiap murid bergilir-gilir memain peranan bagi situasi di bawah: Murid A: Ambil sebarang bilangan pembilang dan letakkan di tengah kumpulan.
PPG MT-MAJOR
Murid B: Ambil sebarang bilangan pinggan (tidak lebih daripada 9) dan letakkan bilangan pembilang yang sama di atas setiap pinggan tadi. Murid C: Mulakan bercerita “6 pembilang;letakkan sama banyak di atas 3 pinggan; 2 pembilang pada setiap pinggan.” atau “ 9 pembilang; letakkan di atas 4 pinggan; 2 pembilang diatas setiap pinggan dengan 1 baki.” Murid D: Tulis ayat pembahagian. Aktiviti 4: Pembahagian sebagai Penolakan Berulang Hasil Pembelajaran: • •
Menerangkan pembahagian sebagai penolakan berulang. Menulis ayat matematik pembahagian.
Bahan: • •
Pinggan kertas Pembilang
Langkah Perlaksanaan: 1. Guru memperkenalkan masalah penolakan berulang; Murid menggunakan model bagi setiap masalah dengan pinggan kertas dan pembilang.Contoh cerita ditunjukkan dalam Rajah 8. Terdapat 8 ekor kupu-kupu berehat di atas 2 kuntum bunga , dan setiap bunga mempunyai bilangan kupu-kupu yang sama.Berapa banyakkah kupu-kupu pada setiap bunga?
Rajah 8. Contoh untuk menunjukkan 12 ÷ 3 sebagai penolakan berulang. 2. Selepas beberapa kali bercerita, guru memperkenalkan pembahagian sebagai penolakan berulang dan ayat matematik yang berkaitan seperti 12 ÷ 3 = 4. 3. Dalam kumpulan 4 orang, setiap murid bergilir-gilir melakonkan peranan bagi situasi di bawah: Murid A: Ambil sebarang bilangan pembilang dan letakkan ditengah kumpulan. Murid B: Letakkan sebarang bilangan pembilang atas pinggan( tidak lebih daripada 9 pembilang).
PPG MT-MAJOR
Murid C: Ikut bilangan nombor yang dipilih oleh murid B dan letakkan baki pembilang ke atas pinggan dan bercerita seperti “ 24 pembilang; 3 pembilang pada setiap pinggan; 8 pinggan mempunyai pembilang. atau “9 pembilang; letak 2 pembilang pada satu pinggan; 4 pinggan mempunyai pembilang dengan baki 1” Murid D: Tuliskan ayat matematik tentang pembahagian. Aktiviti 5: Pencarian Fakta Pendaraban. Hasil Pembelajaran: •
Untuk mengingat semula fakta asas pendaraban dengan pantas.
Bahan: •
Carta mencari fakta ( Rajah 9) terdiri daripada fakta asas pendaraban dan kad L bagi setiap pasangan murid.
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 47 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81
Rajah 9. Carta pendaraban mencari fakta menunjukkan 3 x 6 = 18.
Langkah Perlaksanaan: 1. Secara berpasangan, murid membina carta pendaraban masing-masing. 2. Secara berpasangan, murid bergilir-gilir melakukan main peranan berikut: Murid A : Gunakan fakta mencari pendaraban untuk mencari fakta; kemudian tanya soalan pendaraban seperti “berapakah 5 x 8 ?”. Kemudian semak jawapan yang diberi oleh murid B. Murid B : Ingat semula fakta pendaraban.
PPG MT-MAJOR
1.4
Abakus dan Kalkulator
1.4.1
Bahagian-bahagian Abakus
Jari hantu – menaik dan menurunkan manik atas
Jari telunjuk – menurunkan manik bawah menjauhi palang pemisah
Ibu jari – menaikkan manik bawah mendekati palang pemisah
PPG MT-MAJOR
1.4.2 Perwakilan Nombor z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PPG MT-MAJOR
1.4.3 Menentukan Nilai Tempat
Tuliskan nilai-nilai di bawah :
1.4.4 Penambahan dan Penolakan
PPG MT-MAJOR
OPERASI TAMBAH KAWAN KECIL (LITTLE FRIEND)/ KOMBINASI 5
KAWAN BESAR (BIG FRIEND)/ KOMBINASI 10
+ 1 = naik 5 turun 4 (+5 – 4) + 2 = naik 5 turun 3 (+5 – 3) + 3 = naik 5 turun 2 (+5 – 2) + 4 = naik 5 turun 1 (+5 – 1)
+1 = turun 9 naik 10 (-9 +10) + 2 = turun 8 naik 10 (-8 + 10) + 3 = turun 7 naik 10 (-7 + 10) + 4 = turun 6 naik 10 (-6 + 10) + 5 = turun 5 naik 10 (-5 + 10) + 6 = turun 4 naik 10 (-4 + 10) + 7 = turun 3 naik 10
PPG MT-MAJOR
(-3 + 10) + 8 = turun 2 naik 10 (-2 + 10) + 9 = turun 1 naik 10 (-1 + 10)
OPERASI TOLAK
1.5
KAWAN KECIL (LITTLE FRIEND)/ KOMBINASI 5
KAWAN BESAR (BIG FRIEND)/ KOMBINASI 10
- 1 = naik 4 turun 5 (+5 – 4) - 2 = naik 3 turun 5 (+3 – 5) - 3 = naik 2 turun 5 (+2 – 5) - 4 = naik 1 turun 5 (+1 – 5)
-1 = turun 10 naik 9 (-10 +9) - 2 = turun 10 naik 8 (-10 + 8) - 3 = turun 10 naik 7 (-10 + 7) - 4 = turun 10 naik 6 (-10 + 6) - 5 = turun 10 naik 5 (-10 + 5) - 6 = turun 10 naik 4 (-10 + 4) - 7 = turun 10 naik 3 (-10 + 3) - 8 = turun 10 naik 2 (-10 + 2) - 9 = turun 10 naik 1 (-10 + 1)
Kalkulator
Kalkulator merupakan bahan bantu belajar berasaskan teknologi yang boleh menarik dan memotivasikan pelajar. Harganya juga murah dan hanya memerlukan beberapa kemahiran asas untuk menggunakannya. Penggunaannya semakin penting untuk peringkat persekolahan yang lebih tinggi. Malah dengan menekan beberapa butang kalkulator sahaja akan dapat mengira dengan menghasilkan jawapan yang tepat dengan pantas. Kalkulator juga mempunyai pelbagai peranan dan boleh digunakan untuk sebilangan besar topik dalam matematik. Melalui penggunaan kalkulator pelajar berpeluang membuat penerokaan dan mengaplikasikannya secara lebih mendalam tentang konsep dan kemahiran matematik untuk topik-topik yang berkaitan.
PPG MT-MAJOR
Masalah matematik harus diterjemahkan kepada sebutan dan bahasa matematik sebelum ianya diselesaikan. Langkah terjemahkan seperti ini memerlukan fahaman yang lengkap terhadap struktur konsep yang terkandung dalam masalah tersebut. Keadaan ini telah menyebabkan kesukaran pembelajaran di kalangan setengahsetengah pelajar. Masalah dan kesukaran ini boleh diatasi melalui penggunaan kalkulator mahu pun komputer.
Kalkulator dicipta oleh Colmur pada tahun 1820 dan pada tahun 1875, Boldwin dari Amerika Syarikat telah menambah baik penggunaan kalkulator dengan melibatkan permasalahan operasi-operasi tambah, tolak, darab dan bahagi. Sejak itu, beberapa model baru muncul dan tidak terhad kepada pengiraan permasalahan empat operasi tetapi juga untuk mendapatkan nilai tepat punca kuasa, gandaan, fungsi trigonometri, logaritma dan aplikasi statistik. Penggunaan kalkulator ke atas sistem pendidikan di Malaysia mahupun di negara-negara maju belumlah dikatakan menyeluruh, tetapi penggunaan kalkulator menjadikan murid lebih bermotivasi dan menunjukkan pencapaian yang lebih baik dan memberangsangkan daripada mereka yang tidak menggunakannya. Terdapat kajian yang menunjukkan pelajar takut terhadap matematik ekoran daripada penggunaan algoritma kertas-pensel yang panjang lebar dan memerlukan banyak langkah, proses dan peraturan yang harus diikuti, terutama dalam operasi pendaraban dan pembahagian. Telah banyak kajian yang menunjukkan bahawa penggunaan kalkulator akan menukar sikap pelajar terhadap matematik dan juga meningkatkan keyakinan diri mereka serta minat terhadap matematik. kalkulator dan komputer
alatan penting dalam penyelesaian masalah
matematik. Alat ini membekalkan imej visual bagi idea-idea matematik , selain mempermudahkan jalan kerja untuk mengatur dan menganalisis data serta menjalankan pengiraan dengan cekap dan tepat. Justeru, murid ;akan lebih bermotivasi, menumpu perhatian ke atas aktiviti-aktiviti membuat keputusan atau kesimpulan , merenung atau membuat refleksi, menaakul dan
PPG MT-MAJOR
menyelesaikan masalah dan dapat memupuk pemahaman konsep matematik disamping menyemak semula jawapan baik.
Bagaimana kalkulator dapat membina kemahiran menganggar dan membuat penghampiran seterusnya mampu memperkembangkan minda pelajar. Bincangkan.
Kalkulator penting dalam kehidupan seharian. Kepentingan kalkulator adalah seperti berikut: i)
memberi motivasi terhadap pembelajaran matematik
ii)
membantu menyelesaian masalah dengan lebih mudah dan berkesan
iii)
membantu menyelesaikan masalah untuk soalan yang lebih mencabar
iv)
memberi peluang dan membuat penerokaan yang lebih mendalam tentang topik-topik yang berkaitan
v)
membolehkan murid mensintesis jawapan berdasarkan pola-pola yang diperhatikan
vi)
menguasai nilai nombor sama ada besar atau kecil
v)
merasa yakin bahawa kalkulator dapat membantu memperbaiki kebolehan untuk menyelesaikan masalah matematik mereka. membina sikap yang positif dalam matematik. Murid akan merasa seronok dengan matematik “seeing the beauty and enjoying the fun of mathematics”.
vi)
melalui
ramalan
PPG MT-MAJOR
vii)
membina keyakinan diri dan matematik mempunyai sikap yang lebih positif terhadap dirinya dalam menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.
viii)
akses kendiri dan murid berdikari.
ix)
mengukuhkan kemahiran jangkaan dan menganggar
x)
menyemak jawapan tanpa perlu bantuan guru.
Apakah masalah yang dihadapi oleh murid sekolah rendah apabila menyelesaikan masalah algoritma operasi matematik? Adakah kalkulator diperlukan untuk membantu mereka menyelesaikan masalah tersebut? Bincangkan.
1.6
Pengiraan Mental dan Penganggaran
Pengiraan mental dan teknik menganggar adalah elemen- elemen penting dalam melakukan pengiraan dan menggunakan matematik. Untuk menguasai kemahiran pengiraan mental dan membuat penganggaran kita mestilah mempunyai asas yang mantap tentang nombor bulat dan nilai tempat. Faktor lain
yang
dapat
meningkatkan
kemahiran
pengiraan
mental
dan
penganggaran ialah pemahaman dan penguasaan tentang fakta- fakta asas dalam matematik. Orang yang dapat membuat perkaitan dan menganalisis pola atau trenda juga akan lebih mudah menjalankan pengiraan mental dan penganggaran.
PPG MT-MAJOR
1.6.1
Pengiraan mental
Pengiraan mental merupakan satu proses mengira untuk mencari jawapan tanpa menggunakan pensil dan kertas,
kalkulator atau apa-apa alat
bantuan pengiraan. Kekuatan minda akan memudahkan pengiraan mental dan penganggaran dilakukan. Kebanyakan kanak- kanak mampu mencongak sebelum mereka mempelajari pengiraan secara formal disekolah. Berpengetahuan baik dalam fakta asas nombor adalah satu keperluan bagi melakukan pengiraan mental dengan
cekap dan ini mengurangkan
kebergantungan terhadap ingatan sementara. Kebolehan menggunakan teknik mencerakinkan nombor dapat membantu dalam pengiraan mental.
1.6.1.1
Aplikasi Fakta Asas Matematik dalam pengiraan mental bagi operasi tambah dan tolak
1
Tukar tertib
• Susunan nombor boleh bertukar tempat
3+4 =4+3
2
Tambah 1
5+1=6 6+1=7 7+1=8
3
Tambah 0
• Tambah 1 kepada suatu nombor ialah nombor berikutnya dalam urutan menaik • Identiti sifar (nombor yang ditambah 0 tidak berubah)
4
Tambah nombor gandaan dua
• Gandaduakan nombor
4+4=8 8+8=16
5
Tambah nombor hampir dengan gandaan dua
• Untuk nombor yang satu lebih atau satu kurang daripada nombor gandaan dua
7+8= Fikirkan 7+7=14 14+1=15
5+0=5 7+0=7 9+0=9
PPG MT-MAJOR
6
• 9 pasangan
Kombinasi 10
1+9 2+8 3+7 5+5 6+4 7+3 8+2 8+5= 8+2 +3=10+3 =13
7
Tambah menjadi 10 dan selanjutnya
• Cerakinkan satu nombor yang besar • Buat kombinasi 10 • Tambahkan
8
Membilang mengikut tertib menaik
• Ambil nombor lebih besar • Sambung membilang secara menaik
9
Kurangkan satu
10
Gandaan
• Tolak satu daripada suatu 8-1=7 7-1=6 nombor ialah nombor 6-1=5 berikutnya dalam urutan menurun 16-8=8 Fikirkan 8+8=16 songsang 16-8=8
11
Membilang secara tertib menurun
12
Membilang secara menaik
1.6.1.2
9-3=6 9 ... 8, 7, 6 Bilang 3 kali tertib menurun dan dapat jawapan 6 8-6=2 6 ... 7, 8 Bilang 2 kali tertib menaik untuk dapat 8
Bil Cara
Huraian cara
Contoh
Contoh
1
• Gandaduakan faktor pertama atau faktor kedua • Hasil darab juga digandaduakan
4x12=48 4x24=96 4x48=192
2x9=18 4x9=36 8x9=72
• Apabila
4x12=48
2
Halving(separuh)
9+1
2+7= Bilang 7... 8, 9
Pengiraan Mental Secara Kreatif Bagi Pendaraban
Doubling (Gandaan Dua)
4+6
32 x 125=4000 16x250=4000 8x500=4000 4x1000=4000 26x3=78
PPG MT-MAJOR
diseparuhkan faktor pertama atau faktor kedua, maka hasil darab juga diseparuhkan • Sesuai untuk nombor genap sahaja
4x6=24 4x3=12
13x3=39
3
Darab /bahagi dengan gandaan 10
• Nombor didarab dengan gandaan 10, maka hasil darab digandakan pada kadar yang sama • Nombor asal ditambahkan bilangan sifar mengikut gandaan 10(pendaraban) • Nombor asal dikurangkan bilangan sifar mengikut gandaan 10(pembahagian)
24x10=240 360÷10=36 24x100=2400 3600÷100=36 24x1000=24000 36000÷10=3600
4
Nombor serasi (compatible numbers)
• Bentukkan nombor serasi(compatible number) kepada 10, 100 • Cari hasil darab dengan gandaan 10 • Tolak /tambah hasil darab
99x5=?
254x98=?
100x5=500 1x5=5 500-5=495
254x100=25400 254x2=508 1000-508=492 24400+492=24892
Bundarkan nombor kepada gandaan 10
• Bundarkan nombor pertama /kedua • Tambah/tolak hasil darab
68x12=?
Taburkan faktor kepada nombor yang mudah
• Taburkan nombor pertama kepada nombor kecil yang mudah dikendali • Darab dengan
24x12=288
15x36=540
20x12=240 4x12=48 240+48=288
15x10=150 15x10=150 15x10=150 15x3=45
5
6
70x12=840 2x12=24 840-24=816
PPG MT-MAJOR
faktor kedua • Tambahkan hasil
1.6.1.3 Bil
15x3=45
Teknik Mendarab dalam pengiraan mental Cara
Huraian cara
Contoh
1
Mendarab dengan 4
• Darabkan dengan 2, darab dengan 2 • Tambahkan hasil darab
58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232
2
Mendarab dengan 11
• Ambil nombor asal (52) dan bayangkan terdapat ruang di antara 2 digit • Tambah kedua-dua digit dan letak pada ruang kosong • Jika hasil tambah keduadua digit lebih daripada 10, tambahkan digit pertama kepada digit pertama pada nombor asal
52x11= 5 (5+2) 2
• • • • • • • •
3
Darab dengan 5
4
Darab dengan 6
5
Darab dengan 9
6
Daran dengan 12
7
Darab dengan 13
• •
8
Darab dengan 14
• •
9
Darab dengan 15
• • •
10
Darab dengan 16
•
Darab dengan 10 Bahagi dengan 2 Darab dengan 3 kemudian darab dengan 2 Darab nombor dengan 10 Tolak nombor asal Darab dengan 10 Tambah nombor asal sebanyak 2 kali Darab dengan 3 Tambah 10 kali nombor asal Darab 4 Tambah 10 kali nombor asal Darab dengan 10 Darab dengan 5 Tambahkan kesemua hasil darab Darab dengan 8, kemudian darab dengan 2
99x11= 9 (9+9) 9 =1089
572
(9+1) 89
PPG MT-MAJOR
11
Darab dengan 17
12
Darab dengan 18
13
Darab dengan 19
14
Darab dengan 24
1.6.1.4
• Darab dengan 7 • Tambah 10 kali nombor asal • Darab dengan 20 • Tolak nombor asal sebanyak 2 kali • Darab dengan 20 • Tolak nombor asal sebanyak satu kali
4x19= 4x20=80 80-4=76
• Darab 8 dan darab 3
Prinsip umum dalam pengiraan mental
Kebanyakan kanak- kanak akan melakukan pengiraan minda sebelum mereka diajar mengira secara bertulis. Dalam pengajaran kelas biasanya pelajar akan mereka dan menggunakan cara sendiri dalam mengira. Kita sepatutnya
sedar
mengajar
tatacara
mengira
secara
formal
akan
mengakibatkan mereka tidak menggunakan daya berfikir bahkan sangat bergantung kepada kaedah yang diajar. Kamii and Dominick (1997) menyatakan yang “apabila kita mengajar pelajar membuat hubungan antara nombor (pengetahuan matematik logik) dengan mengajar algoritma kepada mereka (pengetahuan bersosial ), kita secara tak langsung menarik perhatian mereka dari cuba menggunakan kepekaan terhadap nombor kepada mengingati prosedur pengiraan. Pengajaran algorithma secara bertulis perlu bagi mendorong pelajar mengembangkan kefahaman mereka kepada hubungan nombor saja. Apabila guru matematik mengajar kemahiran pengiraan mental , penekanan hanya perlu diberi kepada bagaimana jawapan diperolehi tanpa menekankan speed maupun ketepatan jawapannya. Untuk membina keyakinan pelajar, guru tidak perlu fokus kepada speed pelajar mendapatkan jawapan.
PPG MT-MAJOR
Pengajaran pengiraan mental yang baik haruslah pelbagai. Guru perlu tahu bagaimana menerangkan kepada pelajar. Penekanan dibuat kepada kepekaan nombor dan kefahaman terhadap nilai tempat. Sowder (1990, p.19) menekankan yang pengiraan minda tidak boleh dilengahkan sehingga pelajar menguasai menulis algorithma secara formal. Perbincangan secara kelas adalah penting bagi berkongsi kaedah minda diantara pelajar. Sesetengah strategi boleh diajar melalui perbincangan kelas, penerangan dan latihan. Secara umumnya, guru perlu menekankan penggunaan pengiraan mental dan penganggaran bagi pengiraan mudah dan sederhana dan hanya menggunakan kalkulator bagi pengiraan yang sukar sahaja.
1.6.2
Penganggaran dalam pengiraan matematik
The NCTM Principle and Standards of School Mathematics (2000) mendefinisikan kecekapan pengiraan sebagai mempunyai kecekapan, kebolehlenturan dan kaedah tepat bagi mengira. Apa yang perlu diberi penekanan
semasa guru mengajar matematik ialah membina kemahiran
mengira tanpa kertas dan pensil. Pelajar perlu cekap mencongak iaitu mengira secara mental di samping boleh menggunakan kertas dan pensil dan alat teknologi seperti kalkulator dalam pengiraan. Pada kebiasaannya pengajaran matematik di sekolah lebih menekankan algoritma (tatacara pengiraan) bagi pengiraan aritmetik. Walau bagaimana pun congak dan anggaran juga sama penting dalam kehidupan harian bagi meningkatkan pembelajaran matematik. Dalam kehidupan harian adalah sangat biasa memberi jawapan hampir kepada masalah arithmatik yang diperlukan berbanding jawapan yang tepat. Ini berlaku terutamanya apabila jawapan diperlukan dengan cepat tanpa penggunaan alatan seperti kertas dan pensil, kalkulator atau mesin kira.
PPG MT-MAJOR
Apabila jawapan tepat diperlukan, biasanya penggunaan kalkulator dan mesin kira akan digunakan. Namun pelajar
perlu juga diajar kepentingan
menganggar dalam mendapatkan jawapan. Biasanya pelajar yang selalu menggunakan strategi penganggaran dan congak atau mental dalam pengiraan lebih memahami secara mendalam tentang hubungan nombor. Ini akan mendorong mereka menjadi lebih cekap dalam matematik.
1.6.2.1
Hubungan antara penganggaran dalam pengiraan dan penggunaan kalkulator
Pelajar seharusnya di ajar membuat penganggaran pada permulaan bagi menjawab soalan sebelum menggunakan kalkulator , kemudian barulah menyemak prosedur pengiraan. Sowder (1990) menyatakan kefahaman kepada nombor adalah asas menguasai penggunaan kalkulator dan ianya mengembangkan penekanan kepada pengiraan mental bagi semua nombor yang membantu mengembangkan kepekaan nombor bagi memahami aritmetik, membuat anggaran dan berurusan dengan tekhnologi 1.6.2.3 Kepentingan Penganggaran dalam kehidupan seharian Penganggaran dalam pengiraan didefinisikan sebagai mencari jawapan terdekat kepada masalah aritmetik tanpa mengira jawapan itu tepat atau sebaliknya. Ia merupakan komponen penting bagi kognitif matematik, dimana ia menyediakan maklumat terhadap kefahaman orang secara umum tentang konsep matematik, hubungan dan strategi dan perkembangan kognitif pelajar dalam domain matematik. Selain itu kemahiran penganggaran adalah berguna dalam kehidupan harian di mana ia lebih realistik dan digunakan secara menyeluruh dalam setiap akiviti kita. 1.6.2.4 Teknik dalam mengira menggunakan penganggaran Penganggaran selalu digunakan dalam situasi berikut: 1. Anggaran Kuantiti (mencari bilangan pelajar, hari, kelas dsb)
PPG MT-MAJOR
2. Anggaran Ukuran ( mencari panjang , luas , isipadu, masa dsb) 3. Anggaran Jawapan( mencari jumlah, perbezaan dsb ) 1.6.3 Pembundaran Tetapkan digit bagi nilai tempat yang hendak dibundarkan. Ianya sebagai digit kekunci.Kenalpasti digit dalam nilai tempat dalam kedudukan kanan dari digit kekunci. Sekiranya digit tersebut kurang dari 5, bundarkan ke bawah, dengan mengekalkan digit kekunci dan ganti semua digit di kanannya dengan sifar. Sekiranya digit tersebut lebih besar dari 5, bundarka ke atas, dengan menambah 1 kepada digit kekunci dan menggantikan semua digit di kanannya dengan sifar. Contoh: menganggarkan 589 + 217 , kita membundarkan 589 kepada 600 dan 217 kepada 200 dan mengira secara minda dengan 600 + 200 bagi memperolehi anggaran 800.
500
20017
550
250
589 600
300
1.6.4 Penukargantian nombor yang serasi Digunakan apabila nombor hampir kepada nombor asal pengiraan menjadi mudah untuk dianggarkan secara minda -Kenalpasti nombor dalam pengiraan asal yang boleh diganti dengan lain nombor bagi menghasilkan anggaran yang mudah dengan minda. -Kirakan dengan nombor baru bagi mendapatkan anggaran.
PPG MT-MAJOR
Contohnya : anggarkan nilai 524 x 33 dengan gantian nombor serasi. Jelaskan dan 10 cara berfikir Mendarabkan 100 dan 10 adalah senang digunakan , satu cara menggantikan nombor serasi ialah 500 x 30 = 15000. Hasilnya 15000. 1.6.5 Anggaran depan ke hujung Cara paling ringkas yang melibatkan pengiraan paling kiri , atau depan ke hujung, digit setiap nombor seperti jika digit yang baki semuanya sifar. Digunakan bila menganggar diperlukan secara pantas dan anggaran kasar saja. -
Anggapkan semua digit kecuali permulaan atau digit depan ke hujung dalam nombor yang dikira adalah 0
-
Buat pengiraan dengan nombor baru
-
Sekiranya memerlukan anggaran lebih hampir,laraskan anggaran pertama dengan menggunakan digit lain atau nombor bagi anggapan menjadi 0 dan anggar semula. Contohnya: anggarkan nilai 569 + 375 dengan menggunakan anggaran depan ke hujung yang dilaraskan. Jelaskan cara berfikir. Tambahkan digit depan ke hujung, kita akan dapat 500 + 300 adalah 800.nombor yang tinggal adalah 69 + 75 atau lebih kurang 150. Jadi 569 + 375 adalah hampir 950.
1.6.6 Pengelompokan Digunakan bagi menganggar jumlah apabila addends pada pengiraan kelompok sekitar nombor yang sama. -Kenalpasti nombor yang setiap addends adalah hampir dan senang untuk mencongak secara minda dengan senang -Gantikan setiap addends dengan nombor yag sama. -Guna pendaraban untuk menganggar jumlah campuran asal pengiraan tambah.
PPG MT-MAJOR
Contoh
Penyelesaian Masalah : Penderma Darah
Bilangan penderma darah di sebuah hospital adalah hampir sama bagi empat bulan terawal pada tahun tersebut : Bulan
Bilangan Penderma Darah
Januari
145
Februari
154
Mac
148
April
153
Jika corak bilangan tersebut berterusan, anggarkan bilangan penderma darah yang dijangkakan pada tahun tersebut. •
Penyelesaian
Setiap nombor adalah hampir kepada 150. Kita mahu menganggarkan jumlah untuk 12 bulan, maka kita berfikir 12 x 150 adalah lebih kurang 10 darab 150, atau 1500. Bilangan penderma berkemungkinan hampir 1500 pada tahun tersebut. [ Giliran Anda ] Latihan : Anggarkan bilangan penderma unutk masa lain adalah seperti berikut. Gunakan kelompok untuk menganggar jumlah yang dinyatakan. a. Penderma untuk jangka masa empat bulan adalah September, 97
Oktober, 120
November, 89
Disember, 106
Berapakah bilangan penderma yang menderma darah dalam masa tersebut ?
PPG MT-MAJOR
b. Bilangan penderma bagi enam bulan pertama pada suatu tahun adalah 126, 124, 125, 127, 129, dan 123. Berapakah bilangan anggaran penderma darah untuk jangka masa enam bulan tersebut? Refleksi : Adakah pengelompokan sentiasa memberi anda anggaran yang sama dengan membundar ? Gunakan contoh dan bahagian (a) di dalam latihan, dengan nombor yang dibundarkan dengan puluh yang terdekat, untuk menguji konklusi anda. Mengelompok juga boleh digunakan untuk menganggar hasil darab. Contohnya, untuk menganggar hasil darab 9 x 13 x 8 x 12, kita melihat bahawa nombor tersebut berkelompok dengan kelompok 10.
Kita
mencari hasil darab secara mental daripada 10 x 10 x 10 x 10, atau 10,000, untuk mencapai anggaran.
1.7
ISU-ISU UTAMA DALAM PENGAJARAN NOMBOR BULAT
1.7.1 Pendahuluan Dari segi sejarah nombor menjadi asas keseluruhan kurikulum matematik. Semua isi kandungan matematik yang digariskan untuk murid daripada peringkat pra persekolahan sehingga ke sekolah rendah adalah berasaskan nombor. Standard Nombor dan Operasi menggambarkan keperluan bagi kefahaman yang mendalam serta kelancaran bagi kemahiran mengira, nombor dan aritmetik.Memahami nombor dan operasi, membangunkan ‘number sense’, dan memperoleh kemahiran dalam pengiraaan aritmetik membentuk pendidikan asas matematik di peringkat sekolah rendah. Semasa melalui pembelajaran di peringkat ini, murid seharusnya menguasai kefahaman yang baik tentang nombor – apakah itu nombor, bagaimana ianya diwakilkan dengan objek, angka, atau atas garis nombor; bagaimana mereka ini berkait antara satu sama lain; bagaimana nombor-nombor termaktub dalam sistem yang mempunyai struktur dan ciri-ciri;
dan bagaimana
menggunakan nombor dan operasi bagi menyelesaikan masalah matematk.
PPG MT-MAJOR
Konsep dan algoritma bagi aritmetik peringkat rendah juga adalah sebahagian daripada nombor dan operasi. Keutamaan dalam Standard ini ialah pembangunan ‘number sense’ – antaranya ialah kemampuan untuk meleraikan nombor menggunakan nombor tertentu misalnya 100 atau ½ sebagai rujukan, menggunakan perkaitan antara operasi aritmetik untuk menyelesaikan masalah, memahami sistem asas-sepuluh, memahami nilai nombor serta menganggar (Sowder 1992). Kajian juga telah menunjukkan bahawa pembelajaran tentang nombor dan operasi
adalah
satu
proses
yang
kompleks
untuk
kanak-kanak
(contohnya,Fuson(1992)).Adalah penting bagi murid mengetahui kombinasi nombor asas (basic number combinations - penambahan satu digit dan pasangan pendaraban juga untuk penolakan dan pembahagian. Murid juga harus
menguasai kelancaran pengiraan-mempunyai dan menggunakan
kaedah yang efisen dan tepat untuk pengiraan. Kelancaran boleh dilihat dengan jelas menerusi kombinasi penggunaan strategi mental dan catatan atas kertas, juga menggunakan algoritma dengan pensil dan kertas terutamanya apabila nobor semakin besar untuk enghasilkan jawapan yang tepat dengan cepat. Apa pun kaedah yang digunakan murid, mereka harus boleh menerangkan kaedah yang digunakan, memahami bahawa terdapat pelbagai kaedah yang ada, dan boleh melihat kebergunaan mana-mana kaedah yang efisen, tepat dan umum. Murid juga harus mampu membuat anggaran dan menilai kemunasabahan jawapan mereka. Kelancaran pengiraan seharusnya dibangunkan selari dengan kefahaman murid terhadap peranan dan makna operasi aritmetik dalam sistem nombor. Justeru dalam melaksanakan pengajaran, isu yang sering dibincangkan melibatkan pengetahuan guru, murid dan juga tentang pedagogi. 1.7.2 Pengetahuan Guru
PPG MT-MAJOR
Ma (1999) melaporkan bahawa guru yang hanya memiliki pengetahuan prosedural mempunyai kecenderungan untuk mengajar muridnya secara algoritma sahaja serta gagal membuat perkaitan antara topik matematik. Contohnya walau pun guru ini mengetahui bagaimana untuk menolak dan mendarab tetapi tidak dapat mempamerkan kefahaman matematik melebihi daripada tindakan yang diperlukan dalam melaksanakan operasi tersebut. Ini bertentangan dengan mereka yang mempunyai kefahaman konseptual. Guru sebegini mampu membuat perkaitan antara konsep matematik, operasi dan perkaitan untuk memberikan kefahaman yang mendalam tentang sesuatu topik matematik. Pengetahuan
guru-guru
yang
mengajar nombor bulat
juga
menjadi
sebahagian daripada masalah dalam pengajaran nombor bulat. Masih terdapat guru yang tidak menguasai secara keseluruhannya dengan mendalam tentang nombor bulat dan nilai tempatnya. Ma (1999) juga mendapati bahawa ramai guru sekolah rendah kekurangan pengetahuan tentang konsep dan operasi nombor bulat. Ini sekaligus menjejaskan kemahiran pedagogi apabila mengajar di dalam kelas. Aktiviti 2 Dapatkan maklumat dan bincangkan apakah konsep yang terlibat dalam pengajaran isi kandungan matematik tentang nombor bulat. Apakah idea penting yang seharusnya disampaikan tentang topik nombor bulat? 1.7.3 Cara Pengajaran Guru Matematik Sebagai guru matematik kita perlu tahu beberapa perkara. Antaranya kita perlu tahu di mana kita berada sekarang (dari segi pengetahuan murid-murid di dalam kelas kita di mana atas pengetahuan sedia ada inilah yang perlu kita bina pengetahuan matematik selanjutnya). Kita juga perlu tahu di mana kita mahu pergi (dari segi pengetahuan kita harus tahu apa yang kita inginkan semua murid di dalam kelas untuk peroleh dan kuasai sepanjang tahun persekolahan mereka).
PPG MT-MAJOR
Akhirnya, kita perlu tahu apakah cara terbaik untuk sampai kepada matlamat tersebut (sebagai guru kita akan menyediakan peluang pembelajaran yang membolehkan semua murid di dalam kelas
untuk mencapai objektif
pembelajaran mereka). Adalah perlu bagi guru untuk merekabentuk pengajaran matematik yang berkesan. Seterusnya apabila
kita bercakap mengenai reformasi dalam pendidikan
matematik, adalah penting untuk menyedari bahawa penguasaan fakta asas tetap merupakan sesuatu yang amat penting dalam pengajaran matematik terutamanya di peringkat awal pembelajaran matematik dalam kalangan murid.Justeru, antara isu dalam pengajaran guru ialah mengenal perbezaan di antara membantu murid menguasai fakta asas dan membantu mereka tentang makna operasi. 1.7.4 Mengetahui Fakta Asas Fakta asas bagi empat operasi asas adalah sangat penting dan menjadi asas dalam pembelajaran matematik. Kebanyakan murid berfikir bahawa nombor yang besar adalah yang mempunyai nilai yang besar. Namun jika mereka diajar tentang fakta asas nombor, nombor yang paling besar ialah 9 manakala cara penyelesaian untuk nombor lain hanya melibatkan konsep. Contoh: 888÷8 (murid mengandaikan sebagai satu nombor besar) Bagi murid yang mengetahui fakta asas, soalan ini hanya melibatkan sifir 8. Masalah yang sering terjadi ialah guru tidak mengajarkan fakta asas secara keseluruhannya. Di sekolah, biasanya hanya fakta asas pendaraban sahaja diajarkan manakala fakta asas untuk 3 operasi yang lain diabaikan begitu sahaja. Keadaan ini menyebabkan ramai murid terus ketinggalan dan tidak menguasai penambahan dan penolakan yang sebenarnya lebih mudah daripada pendaraban. Sekalipun mudah bagi guru, namun fakta asas ini perlu disampaikan secara terperinci kepada murid untuk membantu mereka memahami fakta sebenar
PPG MT-MAJOR
dalam matematik. Murid yang tidak dapat menguasai fakta asas memerlukan bantuan lebih daripada sekadar latih tubi. Antara cadangan bagi membantu murid yang belum menguasai fakta asas ialah dengan mengenal pasti fakta asas yang dikuasai dan yang tidak dikuasai murid juga
mengenal pasti
kekuatan dan kelemahan murid. Sebelum sesuatu strategi fakta asas menjadi automatik, murid harus membangunkan habit mental menggunakan strategi yang sesuai bagi sesuatu fakta yang muncul dalam situasi bukan berbentuk latih tubi. Adalah sangat penting untuk menyedari bahawa pengetahuan murid yang terhad tentang fakta asas seharusnya tidak mengecualikan mereka daripada mengalami pengalaman matematik yang sebenar. Aktiviti 3 Dapatkan maklumat tentang fakta asas bagi empat operasi dalam matematik dan bincangkan strategi bagi penguasaan fakta asas bagi setiap operasi berkenaan.
Contoh : a) strategi bagi fakta asas untuk operasi tambah : ‘zero facts’, ‘doubles’, ‘near doubles’ b) strategi bagi fakta asas untuk operasi tolak : ‘think addition’ atau ‘think missing part’ c) strategi bagi fakta asas untuk operasi darab : fakta ‘doubles’, ‘fives’, ‘ nines’
1.7.5 Pengajaran Nilai Tempat Mengetahui nilai tempat adalah sangat penting sebelum murid dapat membaca dan mengenali nombor yang lebih besar.
Nilai tempat ini
sebenarnya tidak dapat diajarkan dengan mudah dalam tempoh yang singkat. Murid dapat memahami tentang nilai tempat dengan sempurna hanya apabila mereka telah mempelajari dan memahami tentang operasi. Istilah nilai tempat bermaksud kedudukan atau nama tempat bagi sesuatu digit. Bagi murid untuk memahami nilai tempat, mereka perlu terlebih dahulu
PPG MT-MAJOR
menamakan
nombor-nombor
kecil,
melaksanakan
penambahan
dan
penolakan bagi nombor-nombor kecil serta memahami tentang kumpulan dalam pengiraan ‘group in counting’ atau ‘skip counting’. Mereka juga perlu boleh membuat pengiraan ke atas atau ke bawah dalam nilai dua-dua, tigatiga,
lima-lima,
sepuluh-sepuluh
atau
seratus-seratus.
mereka
perlu
diterangkan bahawa apabila nilai semakin besar, cara yang lebih efisen ialah mengira dalam kumpulan bukannya secara individu. Yang paling penting dalam nilai tempat ialah lajur tertentu mewakili saiz kumpulan tertentu iaitu sa, puluh, ratus dan sebagainya. Digit dalam lajur berkenaan memberikan maklumat tentang berapa banyak kumpulan dalam saiz berkenaan. Kesukaran murid antaranya ialah untuk memahami bahawa setiap lajur berkenaan adalah saling berkaitan dan ini mungkin abstrak bagi mereka. Masalah yang sering terjadi ialah, guru mulai mengabaikan pengajaran tentang nilai tempat apabila mengajar operasi kerana memikirkan bahawa pengajaran nilai tempat telah dilakukan sebelum itu. Aktiviti 4 Melalui pengalaman anda, senaraikan kesukaran, kekeliruan serta kesilapan murid dalam mempelajari dan memahami tentang nilai tempat. ii.
Bincangkan dalam kumpulan anda bagaimana untuk mengatasi kesukaran dan kesilapan yang telah dikenal pasti.
1.7.6 Perkembangan konsep nombor bulat dan operasi dalam kalangan murid Perkembangan dan pembangunan pengetahuan murid tentang nombor dan pengiraan adalah penting dalam kefahaman asas matematik murid-murid. Penerokaan awal biasanya diklasifikasikan dalam bentuk intuitif, secara terus dan menerusi pengalaman konkrit (Kilpatrick et al. 2001).Baroody (1987) pula mendapati bahawa kanak-kanak menggunakan kedua-dua strategi pengiraan konkrit dan juga strategi pengiraan mental.
PPG MT-MAJOR
Strategi pengiraan konkrit digunakan apabila objek dikira bagi setiap nombor yang ditambah sebelum semua dikira sebagai satu jumlah. Manakala strategi pengiraan mental merupakan strategi untuk menjejaki sejauh mana seseorang perlu kira daripada nombor kardinal bagi nombor pertama yang ditambah. Strategi ini seterusnya berkembang kepada strategi operasi penambahan dan penolakan termasuk pengiraan ke belakang, ‘skip counting’ dan pengiraaan sepuluh-sepuluh (Fosnot & Dolk, 2001). Apabila berhadapan dengan pengiraan, murid-murid menggunakan pelbagai kaedah untuk menyelesaikan masalah termasuklah menggunakan bahanbahan manipulatif untuk memodelkan situasi, mencipta prosedur bertulis, melukis gambar, melaksanakan pengiraan mental, mengunakan pensil dan kertas(Carroll & Porter, 1998). Bass (2003) menyarankan penggunaan satu penyelesaian generik yang munasabah untuk menyelesaikan masalah matematik yang kerap ditemui. penggunaan algoritma bertulisatau prosedur yang boleh dilaksanakan dengan cara yang sama dan melibatkan nombor yang berbeza adalah perlu (Kilpatrick, et al. 2001, p.7). Oleh kerana pengiraan menjadi semakin sukar untuk dilaksanakan apabila nombor menjadi semakin besar, adalah penting untuk menjejaki (keep track) pengiraan dan algoritma menggunakan pensil dan kertas yang masih merupakan satu kaedah yang penting. Aktiviti 5 Beberapa persoalan yang harus digunakan guru dalam mengajar sebarang topik matematik dan pengajaran nombor bulat khususnya ialah: i) Apakah masalah ataupun kesukaran dalam pengajaran konsep nombor bulat? ii) Apakah kesilapan biasa ataupun kekeliruan yang selalu dihadapi oleh murid dalam topik ini? Bincang dalam kumpulan untuk menjawab persoalan-persoalan di atas. Laksanakan pembentangan kumpulan untuk berkongsi hasil perbincangan anda. Buat rumusan terhadap tindakan yang dicadangkan bagi mengatasi kesukaran dan kesilapan murid
PPG MT-MAJOR
berkenaan, seterusnya memperoleh pengajaran yang lebih efektif.
