(ari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus : 1
6otg β = Se" β =
tan β 1
cos β
1
6s" β = sin β 6ontoh : (i#etahui segitiga si#u-si#u AB6% si#u-si#u di 6% pan&ang a 4 0% b 4 .! a! 7entu#an pan&ang sisi " b! 7entu#an nilai perbandingan trigonometri sudut α B c
4
α
A
C
3
awab : c=
a
2
sin α =
cosα =
tan α =
+b
a c b c a b
=
2
=
2
4 +3
2
=
25 = 5
4 5
=
3 5
=
4 3
A- Per+andin&an tri&onometri $nt$! s$d$t !($s$s .//0 1//0 23/0 4//0 5//6 300 450
2
2
3
1 450
600 1
1
Berdasar#an gambar diatas dapat ditentu#an nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut #husus tersebut dalam tabel beri#ut ) leng#api nilai-nilai 'ang lainn'a* 88 8
Sin
.88
08
288
988
1 2
6os
1
1
3
2
7an
8
6s" Se"
t!t 1
1 3
3
, 2
3
3
6otg
t!t
3
6ontoh : π = 180 7entu#an nilai dari : 1! Sin 88 5 6s" 08 4 8 5 0
sec
,!
π
6
+ cot g
tan
π
2
3
3
=
π
3+
1 3
3
2 =
3 =
3 3
2
41
3
A1 Ni'ai per+andin&an tri&onometri di +er+a&ai !$adran 1! (i#uadran 7iti# A);%<* di#uadran Absis positi$ =rdinat positi$ A(x,y) Sinα = Cosα = Tan α =
y r x r y x
=
+
=
+ =
+
+ +
r
y
α =
positif
=
positif
+ =
positif
x
,! (i#uadran 7iti# A)-;%'* di#uadran Absis negati$ =rdinat positi$ Sinα = Cosα = Tan α =
y
=
+
=
+
r − x
r y
positif
−
=
− x
+
negatif
=
negatif
−
r
y
=
+ =
A(-x,y)
-x
(is#usi#an dengan teman anda% untu# tanda-tanda perbandingan trigonometri di#uadran 'ang lain 'ang ditulis dalam tabel beri#ut! > Sin 5 5 6os 5 5 7an 5 5 6s" 5 5 Se" 5 5 6otg 5 5 -
Ka!ran "" #in & Csc %
Ka!ran " #e$a %
Ka!ran """ 'an & Cot %
Ka!ran " Cos & Csc %
6ontoh : (i#etahui Sin nilai
α
4
3 5
,
α
di#uadran )sudut tumpul*! 7entu#an
Secα , Csc α , Cotg α
awab : Sin α =
3 5
% ' 4 .% r 4 % ; 4
5
2
−3
2
=
25 − 9 =
/arena di#uadran % nilai ; 4 -0 Sehingga : Se"
α
4
5 −
4
% 6s" α =
5 3
% 6otg α =
−4
3
16 = 4
TUGAS I 1! 7entu#an nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut gambar beri#ut : a! b! 5
2
12
α
pada tiap
5
2
,! i#a p sudut lan"ip% tentu#an nilai perbandingan trigonometri sudut p 'ang lain% &i#a salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut di#etahui! a! 6os p 4 8%? b! 6otg p 4 , .! 7entu#an nilai dari : a! Sin 288 "otg 288 5 se" 0 8 "os 08 b! 7an .88 5 "os .88 "! , sin 288 "os 08 0! (ani ingin menentu#an tinggi pohon% pada &ara# 18 m dari pohondengan sudut pandang 288% seperti gambar beri#ut! 7entu#an tinggi pohon tersebut! ) tinggi dani 1 "m*
600
'ini *o+on
'ini !ani
10 $
A2 R$m$s per+andin&an tri&onometri $nt$! s$d$t,s$d$t di sem$a !$adran a! @umus di #uadran Sin(90 − α )
cos α
=
Cos(90 − α )
=
sin α
Tan (90 − α )
=
Cotg α
b! @umus di #uadran Sin(90 + α )
=
Sin(180
Cosα
Cos(90 + α )
= − Sinα
Tan (90 + α )
= −Cotg α
"! @umus di #uadran
atau
− α ) =
Cos(180
Sinα
− α ) = −Cosα
Tan (180 − α )
= −Tan α
Sin( 20 − α )
Sin(180 + α )
= − Cosα
Cos( 20 − α )
= − Sinα
Tan ( 20 − α )
=
atau
Cotg α
= − Sinα
Cos(180 + α )
= −Cosα
Tan (180 + α )
=
Sin(360 − α )
= − Sinα
Tan α
d! @umus di #uadran > Sin( 20 + α )
= −Cosα
Cos( 20 + α )
=
Tan ( 20 + α )
= −Cotg α
Sinα
atau
Cos(360 − α )
=
Tan (360 − α )
= −Tan α
e @umus sudut negati$ Sin( −α )
= − Sinα
Cos ( −α )
=
Tan ( −α )
= −Tan α
Cosα
$!@umus sudut lebih dari .288 Sin( k .360 + α )
=
Sinα
Cos ( k .360 + α )
=
Cosα
Tan ( k .360 + α )
=
Tan α
6ontoh : Ubah #e sudut lan"ip% dan tentu#an nilain'a : a! Sin 1,88 4 Sin )988 5 .88* 4 Sin .88 1
4
2
3
Atau Sin 1,88 4 Sin )1?88 288* 4 Sin 288 4
1
3
2
b! 6os ,,8 4 6os ),388 08* 4 -Sin 08 4
−
1 2
2
Atau 6os ,,8 4 6os )1?88 5 08* 4 -6os 08 4
−
1 2
2
"! Sin 388 4 Sin ),!.28 8 5 .88* 4 Sin .88 4
1 2
8
d! Sin )-,, * 4 - Sin ,,8 4 - Sin)1?88 5 08* 4 - )-sin 08* 4
1 2
2
Cosα
TUGAS II 1! Ubahlah #e sudut lan"ip% #emudian tentu#an nilain'a : a! 6os ..88 b! 7an )-1,88* "! Sin 088 ,! 7entu#an nilai dari : a! Sin .888 5 6os 08 b! 6os .988 5 Se" 388 "! 6otg 388 5 7an )-288* .! Sederhana#an
a! b!
cos( 20 − p) Sin(360 − p)
cos(90 + p) Sin(180 − p) 0
"!
0
cos 120 .Tan 225 .Co sec 240 0
Cos210 .Sec300
0
0
0! Bu#ti#an bahwa a! b!
Sin(20 + p).Sin(180 − p) Cos(90 − p).Cos(180 − p)
=1
Cos(180 + p).Sec(360 − p) Cotg (180 − p).Cotg (90 − p)
= −1
B PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1! Sin ; 4 Sin p 1 4 p 5 #!.28 atau ;1 4 p 5 #!, π , 4 )1?8 p* 5 #!.28 ; , 4 ) π - p* 5 #!, π ,! 6os ; 4 6os p 1 4 p 5 #!.28 atau ;1 4 p 5 #!, π , 4 -p 5 #!.28 atau ;, 4 -p 5 #!, π .! 7an ; 4 7an p 1 4 p 5 #!1?8 atau ;1 4 p 5 #! π
6ontoh : 7entu#an himpunan pen'elesaian : a! Sin ; 4 Sin ,88 C 0 ≤ x ≤ 360 ;1 4 ,8 5 #!.28 % untu# # 4 8 ;1 4 ,8 #41 ;, 4 ,8 5 .28 4 .?8 )tida# memenuhi* , 4 )1?8 ,8* 5 #!.28% untu# # 4 8 ; , 4 128 adi DP 4 E,8% 128F 0
b! , 6os ; 4 6os ; 4
C
3
1 2
0≤
x ≤ 360
0
3
6os ; 4 6os .8 1 4 .8 5 #!.28 % untu# # 4 8 ;1 4 .8 , 4 -.8 5 #!.28 % untu# # 4 8 memenuhi* /41 ;, 4 ..8 DP 4 E.8% ..8F
; , 4 - .8 )tida#
TUGAS III 1! Selesai#an persamaan beri#ut untu# 0 ≤ x ≤ 360 a! 6os ; 4 6os 8 b! Sin ; G 4 8 "! . tan ,; 5 3 4 8 d! , "os ;!sin ; 4 sin ; ,! 7entu#an himpunan pen'elesaian untu# 0 ≤ x ≤ 2π a! , sin ; 4 - , b! , tan .; 5 , 4 8 "! , "os G ; 4 1 0
# IDENTITAS TRIGONOMETRI dentitas trigonometri adalah persamaan trigonometri 'ang berla#u untu# semua nilai pengganti +ariabeln'a! Beberapa rumus dasar : 1! Sin,; 5 6os,; 4 1 Sin,; 4 1 6os,; 6os,; 4 1 Sin,; ,! 1 5 tan,; 4 se",; 1 4 se",; tan,; 7an,; 4 se",; 1 .! 1 5 "otg,; 4 "ose",; 1 4 "ose",; "otg,; 6otg,; 4 "ose",; 1
6ontoh : 1! Bu#ti#an bahwa tan,; 5 0 4 se" ,; 1 awab : tan,; 5 0 4 )se" ,; 1* 5 0 4 se",; 5 0 4 se",; 1 )terbu#ti* ,! Bu#ti#an bahwa . "os,; 5 . sin,; 4 .
awab : . "os,; 5 . sin,; 4 . )"os,; 5 sin,;* 4 . ! 1 4. )terbu#ti* D RUMUS SINUS DAN #OSINUS 1! Aturan Sinus Perhati#an segitiga AB6 beri#ut! C a
b
A
B
c
Berdasar#an segitiga AB6 diatas% berla#u aturan sinus sebagai beri#ut: a
=
SinA
b
=
SinB
c SinC
6ontoh : 1! Pada segitiga AB6% b 4 1% awab : b
=
SinB
c
⇔
SinC
c
=
∠ B =
30 0 , ∠ C = 53,10 !
Ditunglah "!
bSinC
4 4 4 4
SinB 12Sin53,1 Sin30 12.0,8
0,5 9,6 0,5 19,2
,! Pada segitiga AB6 di#etahui sisi b 4 2% sisi " 4 02! ∠ B = 68,2 ! Ditunglah ∠ C b SinB
=
c SinC
⇔
Sin 6 4 4
46 Sin68,2 65 b 46 x 0,928 cSinB
65 42,10 4 65
4
0,65
=
∠ C
4 01%1
,! Aturan 6osinus Perhati#an segitiga AB6 beri#ut ini : C γ
α
β
B
A
Berdasar#an segitiga tersebut berla#u : a, 4 b, 5 ", ,b" "os b, 4 a, 5 ", ,a" "os ", 4 a, 5 b, ,ab "os
α α α
6ontoh : 1. (i#etahui segitiga AB6% AB 4 ? "m% A6 4 "m% Ditung pan&ang B6 awab : a, 4 b, 5 ", ,b" "os A 4 , 5 ?, ,!!?! "os 28 4 , 5 20 ?8! G 4 ?9 08 4 09 a 4 3 "m
∠ A 4
288!
E LUAS SEGITIGA 1!Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit di#etahui C a
b
A
c
L 4 G b!"! sin A
B
L 4 G a!b! sin 6 L 4 G a!"! sin B
,! Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi 'ang terleta# diantara #edua sudut 'ang di#etahui! 2
L
L
=
a . sin B. sin C
2 sin A
=
b 2 . sin A. sin C
2 sin B
2
L
=
c . sin A. sin B
2 sin C
.! Luas segitiga dengan #etiga sisin'a di#etahui L =
s.( s − a ).( s − b).( s − c )
s 4 G ! /eliling Segitiga 4 G )a 5 b 5 "*
6ontoh : 1! Ditunglah luas segitiga% dengan a 4 "m% b 4 ? "m! Sudut 6 4 08 awab : L 4 G a!b!sin 6 4 G !?!sin 08 4 ,8! G 2 4 18 2 ,! (i#etahui segitiga AB6 dengan " 4 "m% 7entu#an luasn'a! awab : ∠C = 180 − 65 − 60 = 55
∠ A =
65, ∠B
=
60 !
2
L
=
L
=
c . sin A. sin B
2 sin C 5 2. sin 65. sin 60 2 sin 55
L =
25.0,425.0,8
0,82 = 11,2
L
.! Ditung luas segitiga AB6% &i#a di#etahui a 4 . "m% b 4 0 "m% " 4 "m! awab : s 4 G )a 5 b 5 "* 4 G ). 5 0 5 * 4 2 L =
s.( s − a ).( s − b).( s − c)
L =
6.(6 − 3).(6 − 4).(6 − 5)
L =
6.3.2.1
L
=
36
=
6 "m,
TUGAS I7
1! Ditunglah luas segitiga PH@% i#a di#etahui p 4 9 "m% r 4 2 "m% ∠ P =
46 0
,! AB6( merupa#an &a&aran gen&ang dengan AB 4 18 "m% A( 4 2 "m% dan A6 4 10 "m! Ditung besar sudut B .! (ua buah #apal meninggal#an pelabuhan dalam wa#tu 'ang bersamaan! /apal petama berla'ar dengan arah 8088 dan #e"epatan ?8 #m&am% sedang#an #apal #edua berla'ar dengan arah 1888 dengan #e"epatan 98 #m&am! Berapa &ara# #edua #apal tersebut setelah berla'ar selama &am!
0! Ditunglah luas segienam beraturan 'ang dilu#is#an pada sebuah ling#aran 'ang &ari-&arin'a 18 "m dan berpusat di =! ! (alam &a&aran gen&ang AB6( di#etahui AB 4 18 "m% A( 4 ? "m% B( 4 1, "m! Ditunglah luas &a&aran gen&ang tersebut!
BAB III PENUTUP
Setelah men'elesai#an modul ini% anda berha# untu# mengi#uti tes untu# mengu&i #ompetensi 'ang telah anda pela&ari! Apabila anda din'ata#an memenuhi s'arat #etuntasan dari hasil e+aluasi dalam modul ini% ma#a anda berha# untu# melan&ut#an #e topi#modul beri#utn'a!
DA8TAR PUSTAKA
7im Matemati#a SMA% ,880! Matemati!a * Unt$! SMA Ke'as X% a#arta : P7! Iala;' Puspa Mega! Sartono Jirodi#romo% ,882! Matemati!a $nt$! SMA Ke'as X% a#arta : Penerbit Krlangga! MIMP Matemati#a /ota Semarang% ,883! LKS Matemati!a SMA 9 MA% Semarang : 6>! abbaar Setia!
