Modul Ajar Mat.aktuaria

PENGANTAR Life is uncertain. Kita tidak mengetahui secara pasti apa yang terjadi di masa mendatang dengan kondisi ketidakpastian setiap harinya. Hal ini mengisyaratkan bahwa sering kita membuat suatu keputusan dengan sedikit pengetahuan/ keterangan. Situasi ketidakpastian ini sering dianalisis dengan bentuk rata-rata jangka panjang yang dikenal dengan peluang / probabilitas. Teori mengenai peluang diawali dengan analisis kans kemenangan dari permainan judi yaitu dadu dan kartu. Hingga kini kasino menggunakan peluang untuk merancang pembayaran diantaranya untuk roulette, craps, blackjack Bahkan dibeberapa negara , pemerintahnya memakai peluang untuk merancang pembayaran lotere. Perkembangan yang sangat berarti dari peluang ini merambah di kehidupan kita tidak hanya sekedar judi. Sebagai contoh biaya premi atau jumlah santunan pada masalah asuransi. Dengan jumlah santunan yang sama sebesar A rupiah dan jangka waktu asuransi yang sama yaitu n tahun bagi orang yang berusia 20 tahun dan 60 tahun , tentunya pembayaran premi pertahunnya berbeda . Premi yang harus dibayar orang yang berusia 60 tahun tentunya lebih besar daripada orang yang berusia 20 tahun. Hal ini disebabkab bahwa peluang orang yang berusia 60 tahun untuk mencapai n tahun lagi kecil dibanding dengan orang yang berusia 20 tahun. (atau ekspektasi hidup orang yang berusia 60 tahun lebih kecil daripada orang yang berusia 20 tahun ) PENDEKATAN PELUANG : 1. PENDEKATAN KLASIK Peluang klasik ( peluang apriori) Jika peluang suatu kejadian yang akan terjadi sudah dapat diketahui sebelum dilakukan percobaan . ( besar nilai dari peluang didasarkan pemikiran logis tanpa percobaan ) Contoh : Peluang muncul bilangan genap pada lemparan dadu bersisi enam yang setimbang adalah 0.5. Meskipun kita tidak melakukan pelemparan tersebut, kita meyakini peluang yang diperoleh adalah 0.5

MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

1

2. PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF Peluang empiris Besar nilai peluang ditentukan melalui percobaan. Besar nilai peluang adalah limit dari frekuensi relatif. A : suatu kejadian P ( A)  lim i  Pi 

mi ni

i : percobaan ke i ni : banyaknya usaha ke i mi : banyaknya muncul kejadian A pada usaha ke i Contoh : Peluang muncul bilangan genap pada lemparan dadu bersisi enam yang setimbang sebanyak 10 kali. Pada penghitungan nilai peluang kita melakukan pelemparan tersebut. Hasil yang diperoleh dapat bervariasi. Mungkin 3/10 yang artinya dari sepuluh lemparan muncul bilangan genap sejumlah tiga kali. Mungkin jika dilakukan sepuluh lemparan yang ke dua hasil yang diperoleh adalah 8/10. Sehingga nilai peluang ditentukan oleh hasil percobaan. Makin banyak usaha dilakukan makin stabil / akurat frekuensi relatif yang didapat. P(G) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

100

200

300

400

500

Banyaknya lemparan Peluang empiris munculnya gambar pada lemparan 1 mata uang setimbang. Dua pendekatan di atas disebut pendekatan obyektif


2

3. PENDEKATAN SUBYEKTIF Peluang subyektif adalah peluang terjadinya suatu kejadian didasari dengan perasaan atau intuisi / kepercayaan dari seseorang dari fakta-fakta yang ada. Pendekatan ini digunakan jika data frekuensi relatif tidak ada. LATIHAN 1. Satu kantong berisi 5 kelereng putih, 6 kelereng merah dan 4 kelereng hitam. Bila satu kelereng diambil secara acak , hitung peluang yang terambil kelereng berwarna putih ! 2. Di suatu kota terdapat 10 dari 3000 rumah musnah karena api tiap tahun. Hitung peluang suatu rumah di kota itu tidak musnah karena api selama 1 tahun ! 3. Seseorang akan menang jika mendapatkan jumlah total 7 pada lemparan sepasang dadu

dan akan kalah jika mendapatkan total 11. Tentukan a )Peluang dia akan menang pada lemparan pertama dan b) Peluang dia akan kalah pada lemparan pertama ! 4. Dari 80.000 orang yang berusia 25 tahun, 300 meninggal karena sakit dan 10 orang diantaranya karena kecelakaan dalam satu tahun. Hitung peluang

seseorang dari

kelompok usia tersebut yang meninggal dalam kecelakaan setahun !

KEJADIAN SALING LEPAS / SALING MENIADAKAN (mutually exclusive) Dua kejadian atau lebih dikatakan saling meniadakan bila tidak lebih dari satu daripadanya yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa. Contoh : terjadinya gambar dan angka dalam satu lemparan mata uang yang setimbang adalah kejadian yang saling meniadakan, karena hanya satu dari keduanya yang dapat muncul dalam suatu lemparan. KEJADIAN SALING BEBAS ( independent) Dua kejadian atau lebih dikatakan saling bebas jika terjdinya salah satu tidak mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Contoh : satu mata uang setimbang dilempar tiga kali berturut-turut. Bila setiap lemparan dianggap saling bebas maka ketiga kejadian tersebut adalah kejadian saling bebas, karena apa yang muncul pada lemparan pertama sama sekali tidak mempengaruhi apa yang muncul pada lemparan kedua, demikian juga lemparan ke dua tidak mempengaruhi lemparan ketiga.


3

TEOREMA Bila

p1 , p 2 , p 3 ,..., p n

merupakan peluang terjadinya n kejadian yang saling

meniadakan maka peluang salah satu daripadanya akan terjadi adalah : p1  p 2  p3      p n

TEOREMA Bila

p1 , p 2 , p 3 ,..., p n merupakan peluang terjadinya n kejadian yang saling bebas

maka peluang terjadinya seluruh kejadian tersebut adalah : p1 . p 2 . p 3 .... p n

LATIHAN 1. Peluang tepat satu dari tiga orang yang masing masing berusia 20 , 35 dan 50 tahun akan hidup 15 tahun lagi ialah 0.092 , peluang ketiganya akan meninggal dalam waktu 15 tahun lagi adalah 0.006 . Bila peluang seseorang berusia 20 tahun akan meninggal sebelum usia 35 tahun adalah 0.1 . Hitung peluang bahwa orang itu akan mencapai usia 65 tahun ! Jawab :0.504 2. Peluang Ali dan Badu hidup paling sedikit satu tahun lagi masing-masing adalah 0.8 dan 0.9 . Hitung peluang bahwa : a. Keduanya hidup paling sedikit satu tahun lagi ! b. Paling sedikit seorang dari mereka akan meninggal satu tahun lagi! 3. Dari catatan administrasi suatu universitas , 5% mahasiswanya tidak lulus dalam mata kuliah tertentu. Bila 6 mahasiswa pengikut mata kuliah tersebut diambil secara acak , hitung peluang tepat dua orang tidak lulus ! 4. Peluang orang yang berusia 20 tahun dan seorang lainnya berusia 40 tahun keduanya akan hidup 20 tahun lagi adalah 0.6 . Dari 50.000 orang yang hidup pada usia 20 tahun, 3000 diantaranya meninggal sebelum berusia 25 tahun. Hitunglah peluang seseorang yang sekarang berusia 25 tahun akan meninggal sebelum mencapai usia 60 tahun !

NILAI HARAPAN ( EKSPEKTASI ) Dalam suatu kejadian, peluang mendapatkan nilai-nilai n1 , n 2 ,..., n k adalah p1 , p 2 , ... , p k MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

4

Sehingga nilai harapan kejadian tersebut adalah :  n1 p1  n2 p 2  ...  n k p k 

k

n p i 1

i

i

Nilai harapan untuk suatu peubah acak kontinu yang mempunyai fungsi kepadatan peluang f(x) adalah : E ( x) 



 xf ( x) dx

. Nilai harapan dapat diartikan sebagai rata-rata tertimbang yang



menunjukkan konsentrasi distribusi dari peubah acak, sedangkan penyebaran peubah acaknya dapat diukur melalui variansi :  X2

 X2  E  X  E ( X )

2

LATIHAN 1. Ali melempar sebuah uang logam sebanyak dua kali. Bila dalam dua lemparan muncul angka maka Ali akan mendapatkan Rp. 10.000,- , bila dalam lemparan pertama muncul angka dan lemparan kedua muncul gambar maka Ali akan mendapatkan Rp. 5.000,- . Apabila muncul selain yang diatas, dia tidak mendapatkan apa-apa.

Hitung nilai

harapannya ! 2. Badu membuat suatu perjanjian dengan perusahaan asuransi sebagai berikut : Bila dia tidak sakit sampai akhir tahun maka Badu akan membayar Rp. 10.000,- pada perusahaan asuransi tersebut, namun apabila dia sakit maka perusahaan asuransi akan membayarnya Rp. 1.000.000,- sebagai biaya pengobatan. Bila diketahui peluang Badu sakit sampai akhir tahun adalah 0.001. Hitung nilai harapannya ! 3. Sebuah dadu dilemparkan. Bila muncul angka genap maka Ali akan mendapatkan Rp. 10.000,- , bila angka enam yang muncul dia mendapatkan tambahan sejumlah Rp 60.000,- . Berapakah Ali harus membayar bila angka ganjil yang muncul agar judi tersebut adil ! 4. Peluang seorang yang berusia 20 tahun dan seorang lainnya berusia 40 tahun keduanya hidup 20 tahun lagi adalah 0.6. Dari 50.000 yang hidup pada usia 20 tahun, 3000 diantaranya meninggal sebelum 25 tahun. Hitung peluang seseorang yang sekarang berusia 25 tahun akan meninggal sebelum mencapai usia 60 tahun.


5

Dalam aktuaria, harapan hidup dan peluang kematian seseorang dapat dihitung. Peluang merupakan suatu nilai untuk mengukur besarnya tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian acak.Pengamatan menunjukkan bahwa pada umumnya peluang meninggalnya seseorang naik bersama dengan makin tuanya orang tersebut. Dari sekelompok besar orang, secara statistika dapat dihitung peluang seseorang yang berumur tertentu, yang dipilih secara acak akan meninggal dalam kurun waktu tertentu. Memang tidak dapat ditentukan siapa yang meninggal, tetapi jumlah orang yang akan meninggal dapat diperkirakan. Perusahaan asuransi jiwa mendasarkan semua perhitungan preminya, jumlah santunan dan sebagainya berdasarkan tabel mortalitas (mortality table) yang berisi peluang kematian menurut umurnya dari kelompok usia orang yang diasuransikan (pemegang polis). Tabel tersebut idealnya mendekati peluang kematian sebenarnya dari kelompok orang yang diasuransikan. Membuat tabel seperti itu tentunya sangat sulit karena untuk mendapatkan datanya tentunya tidak mudah. Tabel Mortalitas yang digunakan saat ini di samping Commisioners Standart Ordinary Mortality Table (CSO 1941) juga terdapat tabel mortalitas yang terbaru. Misal dikumpulkan sejumlah bayi yang baru lahir dan banyaknya bayi tersebut dinotasikan sebagai l 0 l1 : banyaknya l 0 yang mencapai usia 1 tahun l 2 : banyaknya l 0 yang mencapai usia 2 tahun

. . . l x : banyaknya l 0 yang mencapai usia x tahun

Umur tertinggi dinyatakan dengan ω dan ω + 1 disebut usia limit. Pada tabel CSO 1941, ω = 99 dan ω + 1 = 100. Dengan menggunakan l x , dapat dihitung peluang seseorang yang berusia x tahun akan hidup atau mati di antara dua periode waktu tertentu. Pembentukan tabel kematian ini hanya merupakan gambaran bagaimana tabel tersebut dibuat. Berikut ini adalah tahapan pembentukan tabel kematian. 1. Mula mula dikumpulkan sejumlah besar orang dan dibagi menjadi beberapa kelompok yang berusia sama. 2. Setelah satu tahun dihitung banyaknya yang meninggal dari setiap kelompok yang berusia sama. MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

6

3. Hasil bagi yang meninggal terhadap jumlah mula mula untuk setiap kelompok merupakan tingkat kematian / peluang kematian dari masing masing kelompok. 4. Memilih angka sembarang yang cukup besar dan bulat, misal 500.000 ; angka ini disebut radix yang dianggap sebagai jumlah orang dalam kelompok usia termuda. 5. Berdasarkan radix tersebut disusun kolom l x , d x , p x , q x

; d x  l x  l x1

Contoh : Diberikan data sebagai berikut : Usia

Jumlah

Angka Kematian Peluang kematian dalam

18 19 20 21 22

5.000 10.000 15.000 26.000 20.000

10 22 36 27 60

1 tahun 0.002 0.0022 0.0024 0.0027 0.0030

Tabel mortalitas x lx dx px qx 18 500.000 1000 0.998 0.002 19 499.000 1098 0.9978 0.0022 20 497.902 1195 0.9976 0.0024 21 0.9973 0.0027 22 0.997 0.0030 Radix :500.000, yang meninggal d18= 0.002x500.000= 1000

NOTASI- NOTASI DALAM MATEMATIKA AKTUARIA Misalkan l x adalah jumlah orang yang hidup pada usia

x tahun, maka peluang

mencapai usia x  t tahun adalah t

px 

l x t , lx

l x t  t p x l x .

di mana l x  t adalah jumlah orang yang berusia x  t tahun .


7

( x)

Peluang seseorang yang berusia

x tahun meninggal dalam jangka waktu t tahun

adalah t

qx 

l x  l x t lx



l x l x t  lx lx

 1 t p x

Dimana berlaku : t

Peluang ( x ) hidup sampai

px  t qx  1 .

n tahun dan kemudian mati dalam 1 tahun berikutnya

adalah : n

qx 

d xn lx



l x  n  l x  n 1 lx



l x  n l x  n 1  lx lx

n px 

n 1

px ,

atau dalam bentuk lain n

qx 

d xn lx



l xn d xn  l xn l x



l xn d xn  l x l xn

 n p x  q xn ,

di mana d x  n adalah jumlah orang yang meninggal pada usia x  n tahun. Peluang ( x ) hidup sampai n r

n tahun dan kemudian mati dalam r tahun berikutnya

q x  nr q x 

Peluang ( x ) hidup sampai

n

qx

.

n tahun dan kemudian mati dalam r tahun berikutnya

juga dapat dihitung dengan rumus

nr

qx 

l xn  l xnr lx

n px 

nr

px .


8

qx

juga merupakan hasil kali peluang ( x ) akan bertahan hidup peluang ( x  n) akan mati dalam waktu r tahun lagi n r

nr

n tahun lagi dengan

l xn l xn  l xnr  lx l xn

qx 

 n p x  r q xn .

Dalam hubungannya dengan t

n

qx

terdapat perumusan sebagai berikut

q x  q x 1 q x  2 q x  ... t 1 q x

.

Bukti: Menurut persamaan n r 1

q x  n r q x 

n

qx

q x 11 q x  q x 2 qx  qx

2

q x  2 1 q x 

2

3 qx 

qx

2

qx

 t 1

Jadi, t

q x  t 11 q x 

t 1

t qx 

qx .

t 1

qx

q x  q x  ( 2 q x  q x )  ( 3 q x  2 q x )  ...  ( t q x 

t 1

qx )

 (q x  q x )  ( 2 q x  2 q x )  ( 3 q x  3 q x )  ...  ( t 1 q x  t 1 q x )  t q x t

qx t qx .

Misalkan T (x ) adalah variabel acak kontinu yang menyatakan future life time orang yang berusia (x) tahun dengan fungsi distribusi peluang t

q x  P (T ( x)  t ), t  0

t

p x  P(T ( x)  t ), t  0

dengan t q x adalah peluang ( x ) meninggal dalam waktu t tahun dan ( x ) akan hidup

t

p x adalah peluang

t tahun lagi.

HARAPAN HIDUP (expectation of life) Dalam aktuaria, harapan hidup terbagi menjadi dua macam yaitu harapan hidup ringkas dan harapan hidup lengkap. Penjelasan dari masing-masing harapan hidup sebagai berikut: a. Harapan hidup ringkas


9

Rata rata tahun lengkap yang masih dialami oleh seseorang berusia x tahun disebut harapan hidup ringkas (curtate expectation of life) Makna tahun lengkap dalam perhitungan harapan hidup adalah hanya diperhitungkan tahun yang penuh dialami, jadi bagian tahun pecahan tidak diperhitungkan . Ini sama dengan mengasumsikan bahwa kematian terjadi tepat setelah hari ulang tahunnya. Pandang l x : banyaknya orang berusia x tahun , sebanyak l x 1 orang akan tetap hidup pada usia x+1 tahun, sebanyaknya l x  2 orang akan tetap hidup sampai hari ulang tahunnya yang ke x+2 tahun, sebanyak l x 3 orang akan hidup hingga hari ulang tahunnya ke x+3 tahun, hal ini terjadi secara terus menerus. Jumlah tahun yang dialami oleh l x orang sampai semuanya meninggal (hanya dihitung tahun yang lengkap) adalah : l x  l x 1  l x  2  ...  l

Sehingga rata-rata jumlah tahun seluruhnya yang dialami oleh orang yang berusia x tahun adalah ex 

l x 1  l x  2  l x 3  ...  l  lx

p x  2 p x  3 p x  ...   x p x

Suatu variabel acak diskrit yang dihubungkan dengan masa hidup mendatang yang merupakan bagian dari tahun kehidupan lengkap ( x ) sebelum kematian disebut dengan curtate future lifetime dari ( x ) dan dilambangkan dengan K ( x) . Karena K ( x) adalah bilangan bulat terbesar anggota dari T ( x ) , maka fungsi peluangnya adalah P ( K ( x)  k )  P (k  T ( x)  k  1)

 P (k  T ( x )  k  1)  k p x  k 1 p x  k p x  q x k

 ki q x ,

k  0,1, 2, .

Pada curtate future lifetime, seseorang dianggap meninggal pada saat ulang tahun terakhirnya. Misalnya, seseorang yang lahir pada tanggal 17 Agustus 1945 dan meninggal pada tanggal 17 Maret 2010, maka orang tersebut dianggap meninggal pada tanggal 17 Agustus 2009. Oleh karena itu umur orang yang seharusnya 64,5 tahun dianggap 64 tahun. b. Harapan hidup Lengkap

Rata-rata jumlah tahun, termasuk bagian pecahan tahun yang masih dialami oleh orang yang berusia x tahun disebut sebagai harapan hidup lengkap (complete expectation of life) dan dinotasikan dengan e x . Jika dimisalkan kematian terjadi secara merata sepanjang tahun


10

(berdistribusi seragam), maka kematian dalam setahun terjadi pada pertengahan tahun. Aproksimasi/ hampiran dari harapan hidup lengkap menjadi e x  e x  Peluang seseorang yang berumur x  k mati dalam

1 2

u tahun lagi, di mana

0  u 1

dan k adalah bilangan bulat tidak negatif, didefinisikan sebagai u

q xk  u q xk

.

Peluang seseorang mempunyai masa hidup tersisa (k  u ) dengan k adalah bilangan bulat tidak negatif dan

u untuk

0  u  1 adalah k u

px 

k

p x (1  u q x  k ) .

Pada complete future lifetime, seseorang dianggap meninggal tepat pada hari kematiannya. Oleh karena itu seseorang yang meninggal pada usia 64,5 tahun, dihitung meninggal pada usia 64,5 tahun.

LATIHAN 1. Peluang seseorang yang berusia 18 tahun akan mencapai usia 28 tahun adalah 0.95 dan peluang orang tersebut akan mencapai usia 48 tahun adalah 0.75. Hitung peluang seseorang yang berusia 28 tahun akan meninggal sebelum ulang tahunnya yang ke 48! 2. Aman berusia 19 tahun dan Amin berusia 43 tahun. Hitung peluang kedua orang tersebut hidup 40 tahun lagi kemudian meninggal setahun berikutnya! e x e x 1e x  2 ... e x  n 1 3. Buktikan bahwa n p x  (1  e x 1 )(1  e x  2 )(1  e x  3 )...(1  e x  n ) 4. Pola mortalitas suatu penduduk berbentuk: Dari setiap 100 bayi yang lahir bersamaan waktunya satu orang meninggal tiap tahun sampai semuanya punah. Dapatkan peluang seseorang yang berusia 20 tahun akan mencapai usia 60 tahun. 5. Diberikan data pengamatan terhadap jumnlah orang usia 18 hingga 23 tahun serta jumlah yang meninggal sebagai berikut : Usia Jumlah pengamatan Jumlah yang meninggal 18 5.000 10 19 10.000 22 20 15.000 36 21 10.000 27 22 20.000 60 MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

11

6. 7. 8. 9.

23 15.000 10 l , Buatlah tabel mortalitas yang berisi x d x , p x , q x Jika l x  k (185  2 x) tentukan nilai dari p85 Jika l x  200(100  x) tentukan nilai dari 2 q x n p x  n 1 p x Buktikan bahwa n p x  q xn Lengkapilah tabel berikut ini Usia lx dx qx px 95 1000 96 700 97 400 98 100 99 10 100 0

; d x  l x  l x1

ex

e x

10. Hitung peluang seorang anak yang berusia 1 tahun akan meninggal antara usia 50 dan 60 tahun. 11. Misal untuk bilangan bulat 80  x  84 , berlaku p x 

89  x 10

Hitung peluang bahwa : a. Orang yang berusia 80 tahun tidak dapat mencapai usia 81 tahun. b. Orang yang berusia 80 tahun akan hidup dua tahun lagi. c. Orang yang berusia 80 tahun akan mencapai usia 85 tahun. d. Orang yang berusia 82 tahun akan meninggal 3 tahun lagi. e. Orang yang berusia 80 tahun akan meninggal di antara usia 82 tahun hingga 85 tahun.

Konsep bunga sangat diperlukan dalam perhitungan matematika aktuaria karena dana yang terkumpul akan diinvestasikan untuk jangka waktu yang lama sehingga dana akan berkembang dan diharapkan dapat mencukupi uang pertanggungan yang harus dibayarkan oleh perusahaan. Tingkat bunga efektif (i) adalah rasio dari besar bunga yang diperoleh selama periode tertentu terhadap besarnya nilai pokok pada awal periode. Dan tingkat diskon efektif (d) adalah rasio dari besarnya diskonto yang diperoleh selama periode tertentu terhadap besarnya nilai akumulasi pada akhir periode , dimana d dapat dinyatakan sebagai d=


12

Nilai saat ini adalah investasi sebesar 1 yang terakumulasi menjadi 1+i pada akhir periode ke 1. Nilai saat ini juga bisa disebut dengan faktor diskonto yang dinotasikan dengan v dan dapat dinyatakan sebagai v=

Pada umumnya bunga terbagi menjadi dua macam yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.

A. Bunga Tunggal Jika hanya modal awal (pokok) yang berbunga selama masa “transaksi”, bunga yang harus dibayar pada akhir tempo disebut sebagai bunga tunggal. Bunga tunggal dari modal awal P untuk n periode dengan tingkat bunga i adalah : B = Pni Dan jumlah akumulasinya untuk n periode adalah Pn  P  B  P  Pni  P(1  ni )

Bunga tunggal sebenarnya dan biasa : 

Bunga tunggal sebenarnya Dihitung dengan asumsi satu tahun adalah 365 hari



Bunga tunggal biasa Dihitung denngan asumsi satu tahun adalah 360 hari

Waktu sebenarnya dan waktu pendekatan 

Waktu sebenarnya Sesuai dengan namanya , waktu sebenarnya dihitung menurut hari yang sebenarnya dari seluruh jumlah hari pada kalender. Dalam hal ini satu dari dua tanggal yang diberikan tidak dihitung.



Waktu pendekatan Dicari dengan anggapan bahwa setiap bulan terdiri dari 30 hari

Contoh : Dapatkan bunga tunggal sebenarnya dan biasa dari Rp 2.000.000,- untuk 50 hari dengan bunga 5% pertahun. Jawab : Bunga tunggal sebenarnya MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

13

n

50 10  365 73

 10   0.05  Rp.13.700,  73 

, B  Pni  2 . 10 6 

Bunga tunggal biasa n

50 5  360 36

 5   0.05  Rp.13.890,  36 

, B  Pni  2 . 10 6 

Contoh : Tentukan waktu sebenarnya dan waktu pendekatan dari tanggal 20 Juni 2006 sampai dengan 24 Agustus 2006 Jawab : Waktu sebenarnya Jumlah hari = jumlah hari yang masih tersisa dari bulan Juli + jumlah hari sampai dengan tanggal yang dinyatakan dalam bulan Agustus = 10 + 31 + 24 = 65 Waktu pendekatan 24 Agustus 2006

2006 : 8 : 24

20 Juni 2006

2006 : 6 : 20

--------------------------------------------

-

0 : 2 : 4 Jadi waktu pendekatan adalah 2 bulan 4 hari atau 64 hari ( diasumsikan 1 bulan adalah 30 hari )

Contoh : Tentukan bunga tunggal sebenarnya dan biasa dari Rp. 2.000.000,- untuk 6% pertahun dari tanggal 20 April 2006 sampai dengan 1 Juli 2006 dengan menggunakan : a. waktu sebenarnya b. waktu pendekatan Jawab : Bunga sebenarnya : a. waktu sebenarnya n

72 365

 72   0.06  Rp.23.670,  365 

, B  Pni  2 . 10 6 

b. waktu pendekatan MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

14

n

71 365

 71   0.06  Rp.23.340,  365 

, B  Pni  2 . 10 6 

Bunga Biasa a. waktu sebenarnya n

72 360

 72   0.06  Rp.24.000,  360 

, B  Pni  2 . 10 6 

b. waktu pendekatan n

71 360



71   0.06  Rp.23.670,  360 

, B  Pni  2 . 10 6 

B. Bunga majemuk Untuk interval tertentu bunga yang harus dibayar ditambahkan ke dalam pokok. Dalam hal ini bunga dikatakan bunga yang digabungkan pada pokok dan juga dikenakan bunga. Jadi pokok akan meningkat secara periodik dan bunga yang digabungkan ke pokok juga bertambah secara periodik Misal diberikan modal awal / pokok P yang diinvestasikan dengan bunga i perperiode . Jumlah akumulasi untuk periode pertama P1  P  Pi  P (1  i ) Jumlah akumulasi untuk periode kedua

P2  P1  P1i  P1 (1  i )  P (1  i ) 2

3 Jumlah akumulasi untuk periode ketiga P3  P2  P2 i  P2 (1  i )  P (1  i )

Jumlah akumulasi untuk periode ke n

Pn  Pn 1  Pn 1i  Pn 1 (1  i )  P (1  i ) n

Contoh : Jika modal awal Rp. 1.000.000,- diinvestasikan dengan bunga majemuk kwartalan Hitung jumlah uang pada saat 8

1 tahun mendatang jika diketahui i = 7% pertahun! 2

Jawab : P  1.000.000 0.07 i  0.0175 (1tahun  4 kwartal ) 4 n  34 P34  10 6 (1  0.0175) 34  Rp.1.803.724,52,

Contoh : Ali meminjam Rp 600.000,- dan dia setuju membayar pokok dengan bunga 3% digabungkan setengah tahunan. Berapakan dia membayar pada akhir tahun ke 4 ! MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

15

Jawab : P  600.000 , i  0.015

n8

P8  600.000(1  0.015)  Rp 675.890 8

Anuitas tertentu Anuitas adalah deretan pembayaran berkala yang dibayarkan dalam jangka waktu tertentu (berkala) dengan anggapan bahwa pembayaran pasti dilakukan apabila

telah sampai pada

waktunya. Besar pembayaran diasumsikan sama. Tertentu mempunyai makna bahwa pembayaran pasti dilakukan, ini untuk membedakan dengan anuitas hidup ( pembayaran tergantung atas hidup matinya seseorang yang bersangkutan ). Anuitas dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu anuitas tentu (annuity certain) dan anuitas hidup (life annuity). Anuitas tentu, pembayarannya dilakukan tanpa syarat. Sedangkan pada anuitas hidup pembayarannya dikaitkan dengan hidup-matinya seseorang.

Contoh dari anuitas tertentu diantaranya pembayaran sewa bulanan , angsuran kredit kendaraan bermotor. Ada dua istilah dalam anuitas tertentu yaitu Nilai tunai dan Jumlah akumulasi Nilai tunai (Present Value): Nilai dari semua pembayaran jika sekiranya pembayaran dibayar sekaligus sekarang. Jumlah akumulasi /Nilai akhir : Jumlah semua pembayaran dan bunga , jika semua pembayaran dan bunga dinilai pada suatu waktu dikemudian hari. Berdasarkan pada saat pembayaran, anuitas tertentu dibagi atas dua yaitu anuitas tertentu akhir dan anuitas tertentu awal.

Anuitas tertentu akhir Jika pembayaran dilakukan setiap akhir periode. Misal angsuran sebesar Rp 1,- dan banyaknya angsuran adalah n kali maka nilai tunai dari anuitas tertentu akhir a n dapat dicari sebagai berikut : - Nilai tunai pembayaran pertama

1 v (1  i )

- Nilai tunai pembayaran kedua

1  v2 2 (1  i )

- Nilai tunai pembayaran ketiga

1  v3 (1  i ) 3


16

. . . - Nilai tunai pembayaran ke n

1  vn n (1  i )

Sehingga nilai tunai keseluruhan : a n  v  v 2  v 3  ...  v n

v 1

merupakan deret geometri turun. 

an 

v(1  v n ) 1  v n  1 1 v 1 v

an 

n

1   1  i   (1  i )  1 1 

1  (1  i )  n i

Nilai akumulasi Sn : jumlah akhir / jumlah akumulasi dari anuitas tertentu akhir dengan tiap pembayaran sebesar Rp 1,S n dapat dicari sebagaai berikut :

Nilai akumulasi dari pembayaran pertama

:

(1  i ) n 1

Nilai akumulasi dari pembayaran kedua

:

(1  i ) n  2

Nilai akumulasi dari pembayaran ketiga

:

(1  i ) n 3

:

(1  i ) n n  1

. . Nilai akumulasi dari pembayaran ke n

S n  1  (1  i )  (1  i ) 2  (1  1) 3  ...  (1  i ) n 1

merupakan deret geometri naik

Sn 

(1  i ) n  1 (1  i ) n  1  (1  i )  1 i

Hubungan antara an dan Sn MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

17

S n  a n (1  i ) n a n  S n (1  i )  n

Contoh : Suatu pinjaman Rp. 100.000.000,- dengan bunga 3% setahun yang akan dilunasi dalam waktu 25 tahun . Hitung anuitas yang harus dibayar tiap akhir tahun ! Jawab : R a 25  100.000.000 R 

100.000.000 100.000.000   5.742.787,18 a 25 1  (1  0.03)  25 0.03

Anuitas tertentu awal Jika pembayaran dilakukan setiap awal periode. Misal angsuran sebesar Rp 1,- dan banyaknya angsuran adalah n kali maka nilai tunai dari  n dapat dicari sebagai berikut : anuitas tertentu awal a

- Pembayaran pertama dilakukan sekarang dan nilai tunainya Rp 1,- Pembayaran kedua pada awal periode dua dan nilai tunainya - Pembayaran ketiga pada awal periode tiga dan nilai tunainya

1 v (1  i)

1  v2 (1  i ) 2

. . .- Pembayaran ke n pada awal periode ke n dan nilai tunainya

1  v n 1 n 1 (1  i )

Sehingga nilai tunai keseluruhan : a n  1  v  v 2  v 3  ...  v n 1

v 1

n  1  a n 1 a  n  v  v 2  v 3  ...  v n  a n va n  a

an 1  v n  v iv n  a

1  (1  i)  n iv MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

18

Nilai akumulasi ( Nilai akhir )  : jumlah akhir / jumlah akumulasi dari anuitas tertentu awal dengan tiap pembayaran sebesar S n

Rp 1, dapat dicari sebagai berikut : S n

Nilai akumulasi dari pembayaran pertama

:

(1  i) n

Nilai akumulasi dari pembayaran kedua

:

(1  i ) n 1

Nilai akumulasi dari pembayaran ketiga

:

(1  i ) n  2

:

(1  i ) n  ( n 1)  (1  i )1

. .Nilai akumulasi dari pembayaran ke n Sn  (1  i )  (1  i ) 2  (1  1) 3  ...  (1  i ) n

merupakan deret geometri naik  (1  i ) n  1  (1  i ) n  1 Sn  (1  i )   ( 1  i )     (1  i ) S n i  (1  i )  1   





Sn  1  (1  i )  (1  i ) 2  (1  i ) 3  ...  (1  i ) n  1 Sn  S n 1  1

Contoh : Setiap selang 6 bulan Ali menyimpan Rp 100.000,- . Penyimpanan dimulai sejak anaknya berusia 6 bulan dan diakhiri sesudah anaknya berusia 20 tahun(setiap awal periode). Selanjutnya uang tersebut tetap tidak diambil dan sesudah anaknya berusia 25 tahun , uang tersebut diberikan kepada anaknya sebagai modal usaha. Hitung berapa banyak uang yang akan diterima anaknya ! ( bunga 1.5% perperiode) Jawab : Setelah menyimpan Rp 100.000 selama 40 periode uangnya menjadi 40   100.000  (1  0.015)  1  5.426.789,341 P  100.000 S 40   0.015  

Setelah anaknya berusia 25 tahun ( antara usia 20 tahun sampai dengan 25 tahun digunakan bunga majemuk dengan periode n = 10 )


19

P10  P (1  i )10  5.426.789,341 (1  0.015)10  Rp 6.298.010,57904

Contoh : Ali membeli rumah dengan membayar kontan Rp. 2.000.000,- dan sisanya akan diangsur sebesar Rp. 100.000,- setiap akhir bulan selama 120 bulan. ( Bunga 1.5% tiap bulan). Hitung : a. Harga rumah seandainya dibayar kontan . b. Jika Ali tidak dapat membayar sebanyak 20 kali mulai dari angsuran pertama . Berapa dia harus membayar pada angsuran ke 21 ! c. Setelah mengangsur 10 kali, seluruh sisa pembayaran akan dilunasi pada angsuran ke 11 . Berapa rupiah yang Ali harus bayar ! d. Bila seluruh angsuran akan dibayarkan pada angsuran ke 41 . Berapa besar uang yang harus Ali bayarkan ! Jawab : a. Harga rumah = 2.000.000 + 100.000 a120

 1  (1  0.015) 120  6   2 .10  5.549.845,42  7.549.845,42 0 . 015  

 2.000.000  100.000 

b. Jumlah yang harus dibayar = 100.000 S 21  (1  0.015) 21  1 5   10 (24,4705221)  2.447.052,21 0 . 015  

 10 5 

c. Jumlah yang harus dibayar = 100.000 (1 + a109 )  1  (1  0.015) 109   10 5  1    5.451.108 , 27 0.015  

d. Jumlah yang harus dibayar = 100.000  S 41  a 79 


20

 (1  0.015) 41  1  0.015 

 10 5 

1  (1  0.015) 79  5  10 (56,0819133  46,1034333)  10.218.534,66 0.015 

LATIHAN 1. Buktikan bahwa

1 1 i Sn an

2. Hitung berapa besar uang yang harus Ali investasikan pada setiap 3 bulan untuk 4 tahun mendatang dalam suatu dana keuangan dengan bunga 4% digabung kwartalan untuk mencapai akumulasi Rp 25.000.000,3. Tentukan waktu sebenarnya dan waktu pendekatan dari tanggal 25 Januari 2011 sampai dengan 15 Mei 2011 4. Hitung jumlah yang harus diinvestasikan hari ini dengan bunga tahunan 5% akan menjadi Rp 1.000.000,- dalam 8 bulan. ( bunga majemuk ) 5. Berapa lamakah untuk investasi Rp 3.000.000,- agar : a. Bertambah Rp 9.000.000,- dengan bunga tunggal 4% pertahun b. Menjadi Rp 3.100.000,- dengan bunga tunggal 5% pertahun 6. Pada tanggal 20 Maret 2011 Ali menanam modal sebesar Rp 200.000.000,- dengan bunga 5% digabung tengah tahunan (bunga majemuk). Hitung jumlah uang setelah 20 September 2011 ! 7. Daripada membayar Rp 125.000 setiap awal bulan selama 8 tahun , Ali memutuskan membeli rumah. Bila bunga 5% setahun , berapakah harga rumah yang dapat dia beli dengan uang sewa di atas ! 8. Suatu perusahaan membeli mesin seharga 10 juta rupiah. Mesin itu diharapkan dapat dipakai selama 10 tahun dan akan diganti dengan mesin yang sama 10 tahun mendatang dengan harga yang sama pula. Suatu dana untuk pembelian mesin baru diadakan dengan MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

21

menyetor uang setiap akhir tahun selama 10 tahun dengan bunga 2.5% . hitung berapa besar setoran tahunannya ! 9. Buktikan bahwa : S n  n 

n(n  1) n(n  1)( n  2) 2 i i  ... 1.2 1.2.3

10. Suatu polis asuransi jiwa memuat suatu pernyataan bahwa bila sitertanggung meninggal maka ahli warisnya boleh memilh salah satu diantara : a. Pembayaran tunai sebesar Rp . 1.000.000,b. Deretan pembayaran selama 10 tahun yang akan dilakukan setiap akhir tahun.

Jika ahli waris memilih b , hitung berapa besar penerimaan tahunannya !

Suatu anuitas yang pembayarannya dilakukan selama tertanggung masih hidup disebut anuitas seumur hidup. Pembayaran dapat dilakukan di awal atau akhir tahun polis. Anuitas yang pembayarannya dikaitkan dengan hidup matinya seseorang disebut anuitas hidup (life annuity). Jadi anuitas hidup ialah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup. Pembayaran akan dihentikan jika orang yang bersangkutan telah meninggal. Contoh : Pembayaran Pensiunan Berdasarkan cara pembayarannya, anuitas hidup dibedakan menjadi dua macam yaitu anuitas diskrit dan anuitas kontinu. Anuitas diskrit berarti pembayaran anuitas dilakukan secara berkala, tiap bulan, 3 bulan, 6 bulan, atau tahunan. Bila pembayaran setahun sebesar n kali setahun dapat dibayarkan tiap saat sehingga n→∞ maka disebut anuitas kontinu.

Untuk mempermudah perhitungan anuitas, premi, cadangan dan perhitungan-perhitungan nilai asuransi yang lain maka dibuat simbol komutasi antara lain. = =

+

+…+

=


22

=

+

+…+

dengan x = usia = usia tertinggi seseorang. Terdapat rmacam-macam anuitas hidup, tergantung atas lamanya pembayaran berlangsung, apakah pembayaran dilakukan permulaan ataupun akhir tahun, ataupun apakah pembayaran ditunda selama jangka waktu tertentu.

A. ANUITAS SEUMUR HIDUP AKHIR Deretan pembayaran dimana pembayaran pertama dilakukan pada akhir periode/tahun diingat pula akan hidup matinya seseorang yang bersangkutan. Notasi a x

0

1

2

.

.

.

.

Rp 1

Rp 1

Rp 1

3

. . .

a x : nilai tunai dari anuitas seumur hidup akhir untuk tiap pembayaran Rp 1 bagi orang

yang berusia x tahun . Misal banyaknya orang berusia x tahun (lx) mufakat untuk mengumpulkan uang, tiap orang sama banyak sedemikian sehingga cukup untuk memberi a. Rp 1 kepada tiap orang yang mencapai usia x+1 tahun b. Rp 1 kepada tiap orang yang mencapai usia x+2 tahun c. dan seterusnya hingga ω tahun Jika uang yang terkumpul tiap orang A rupiah maka banyaknya uang yang terkumpul seluruhnya adalah : = . + . +…+ . . A disebut nilai tunai anuitas seumur hidup akhir dari seseorang dengan pembayaran Rp 1 per tahun, dilambangkan dengan =.

sehingga +

.

+…+

.

,

. Pembilang dan penyebut dikali dengan

sehingga


23

. Menggunakan rumus komutasi diperoleh: .

.

B. ANUITAS SEUMUR HIDUP AWAL Deretan pembayaran dimana pembayaran pertama dilakukan pada awal periode/tahun dan diingat pula akan hidup matinya seseorang yang bersangkutan. Nilai tunai anuitas seumur hidup awal dan akhir berselisih 1 yaitu pembayaran anuitas seumur hidup awal satu tahun lebih awal dari anuitas hidup akhir sehingga : Notasi

0

1

.

.

Rp 1

2

3

.

Rp 1

. . .

. Rp 1

Rp 1

=1 . Jika pembayaran dilakukan tiap awal tahun dan pembayaran berlangsung seumur hidup maka nilai tunainya dinotasikan

.

=1

,

=

,

. =

.


24

nilai tunai dari anuitas seumur hidup awal untuk tiap pembayaran Rp 1 bagi orang yang berusia x tahun . C. ANUITAS HIDUP AKHIR BERJANGKA (ANUITAS TEMPORER) Suatu anuitas hidup di mana tiap pembayaran dilakukan setiap akhir dan banyaknya pembayaran terbatas n kali . Notasi

: nilai tunai dari deretan pembayaran tahunan Rp 1 bagi orang yang berusia x tahun

yang berlangsung tidak lebih dari n tahun. Tiap pembayaran dilakukan pada akhir tahun dan tergantung akan hidup matinya orang yang bersangkutan .

. Pembilang dan penyebut dikali dengan

sehingga .

Menggunakan rumus komutasi didapat: ,

.

D. ANUITAS HIDUP AWAL BERJANGKA Jika serangkaian pembayaran anuitas dilakukan pada suatu jangka waktu tertentu misalkan

tahun pada awal tahun dengan syarat orang tersebut masih hidup disebut anuitas

hidup awal berjangka yang dinotasikan dengan = 1+ =1+

.

, .

Pembilang dan penyebut dikali dengan =

sehingga .


25

=

,

=

.

E. ANUITAS SEUMUR HIDUP AKHIR YANG DITANGGUHKAN SELAMA N TAHUN Suatu anuitas hidup di mana pembayaran pertama dilakukan pada saat x mencapai usia (x+n+1) tahun dan berlangsung selama x masih hidup. Nilai tunai untuk anuitas seumur hidup akhir yang ditunda/ ditangguhkan selama n tahun dengan pembayaran sebesar Rp1,- dinotasikan | 1 x

x+1

x+2

…

(x+n)

1

1

(x+n+1)…

|

.

Pembilang dan penyebut dikali dengan

sehingga

|

.

|

. |

.

Dengan kata lain pembayaran dilakukan pada saat berlangsung selama

mencapai usia

tahun dan

masih hidup.

F. ANUITAS SEUMUR HIDUP AWAL YANG DITANGGUHKAN

SELAMA N TAHUN Suatu anuitas hidup di mana pembayaran pertama dilakukan pada saat x mencapai usia (x+n) tahun dan berlangsung selama x masih hidup atau pengertian lain adalah serangkaian pembayaran anuitas dilakukan pada awal tahun yang ditunda

tahun selama seumur hidup.


26

Nilai tunai untuk anuitas seumur hidup awal yang ditunda/ditangguhkan selama

tahun adalah

|

1 x

x+1

x+2

…

(x+n)

1

1

(x+n+1)…

|

.

Pembilang dan penyebut dikali dengan |

|

1

sehingga

= |

=

|

=

. . .

:nilai tunai dari deretan pembayaran tahunan Rp 1 untuk anuitas seumur hidup awal yang

ditangguhkan n tahun bagi orang yang berusia x tahun . G. ANUITAS HIDUP AKHIR BERJANGKA M TAHUN DAN

DITANGGUHKAN SELAMA N TAHUN Suatu anuitas hidup di mana pembayaran pertama dilakukan pada saat x mencapai usia (x+n+1) tahun dan banyaknya pembayaran terbatas m tahun. Jika serangkaian pembayaran di akhir tahun ditunda

tahun selama paling lama

tahun (pembayaran terbatas hingga

selama orang tersebut masih hidup disebut anuitas hidup akhir berjangka selama

tahun)

tahun yang ditunda

tahun.

Nilai tunai untuk anuitas hidup akhir berjangka

tahun yang ditunda selama

tahun.

dinotasikan dengan n| m

1 x

x+1

x+2

…

(x+n)

(x+n+1)…

1

1

1 (x+n+m)


27

|

=

n m

.

Pembilang dan penyebut dikali dengan |

=

n m

.

n m

|

=

|

=

n m

Notasi n| m

sehingga

,

.

: nilai tunai dari deretan pembayaran tahunan Rp 1 untuk anuitas hidup akhir

berjangka m tahun yang ditunda/ditangguhkan n tahun bagi orang yang berusia x tahun . H. ANUITAS HIDUP AWAL BERJANGKA M TAHUN DAN DITANGGUHKAN SELAMA N TAHUN Suatu anuitas hidup di mana pembayaran pertama dilakukan pada saat x mencapai usia (x+n) tahun dan banyaknya pembayaran terbatas m kali. Jika serangkaian pembayaran di awal tahun ditunda

tahun selama paling lama

tahun (pembayaran terbatas hingga

selama orang tersebut masih hidup disebut anuitas hidup awal berjangka selama

tahun)

tahun yang ditunda

tahun.

Nilai tunainya dinotasikan dengan n| m 1 x

x+1

x+2

…

|

n m

(x+n)

1

(x+n+1)…

=

|

1

1 (x+n+t-1)

.

Pembilang dan penyebut dikali dengan n m

1

=

sehingga .


28

n m

|

=

|

=

n m

Notasi n| m

:

,

.

nilai tunai dari deretan pembayaran tahunan Rp 1 untuk anuitas hidup akhir

berjangka m tahun yang ditunda/ditangguhkan n tahun bagi orang yang berusia x tahun . I. PURE ENDOWMENT (DANA KEHIDUPAN/SUMBANGAN

MURNI) Suatu pembayaran yang dilakukan pada n tahun mendatang bila yang bersangkutan masih hidup. n

E x : nilai tunai n tahun mendatang dana kehidupan Rp 1 bagi orang yang sekarang berusia x

tahun. n n E x V n p x 

V n l xn lx

V xn l xn Dxn   Dx V xlx


29

LATIHAN 1. Aji yang sekarang berusia 25 tahun , ingin membeli suatu rencana pensiun mulai usia 55 tahun dengan penerimaan sebesar Rp 3.000.000,- setahunnya , dimana pembayaran pertama dilakukan pada saat hari ulang tahunnya yang ke 55. Untuk itu dia akan melakukan pembayaran tahunan pada permulaan tahun mulai sekarang dan berakhir pada hari ulang tahunnya yang ke 54. Hitung besar pembayaran tahunan tersebut ! 2. Misalkan orang sejumlah lx sepakat untuk menyumbang Rp 1,- per orang ke suatu dana setahun dari sekarang tiap orang yang masih hidup, lx+1 menyumbang Rp 1,- ke dana tersebut , 2 tahun kemudian tiap orang dari sebanyak lx+2 yang masih hidup menyumbang lagi Rp 1,- ke dana tersebut dan seterusnya sampai sumbangan telah terkumpul sebanyak n kali dari sekarang semua dana yang telah terkumpul ( dengan bunganya ) dibagi sama rata oleh lx+n orang yang masih hidup. Misalkan n U x bagian tiap orang yang masih hidup, buktikan N x  N xn bahwa Dana ini disebut Dana Tonti , menurut penemunya orang Itali nU x  Dxn yang bernama Tonti. 3. Orang yang berusia 20 tahun dijanjikan akan mendapat 10 juta rupiah jika dia mencapai usia 40 tahun. Hitung nilai tunainya ! 4. Pada usia 30 tahun Ari membeli endowment murni sebesar Rp 5.000,- untuk jangka waktu 35 tahun . Bila dia mencapai usia 65 tahun , hitung besar uang yang akan diterima. 5. Seorang janda berusia 55 tahun mengambil pendapatan dari polis asuransi jiwa Rp 25.000.000,-sebagai anuitas. Hitung pendapatan yang diperolehnya ! 6. Jika perusahaan akan memberikan pensiun sebesar Rp 1.000.000,- setiap tahun sampai meninggal kepada karyawan yang berusia 60 tahun , maka berapa banyak uang yang harus diserahkan kepada pihak asuransi ! 7. Pada saat usia 50 tahun Ali menyerahkan uang kepada perusahaan asuransi dengan perjanjian bahwa Ali akan menerima sebesar Rp 2.000.000,- setiap akhir tahun sampai Ali meninggal. Hitung jumlah uang yang akan diberikan kepada perusahaan asuransi tersebut ! 8. Pada usia 25 tahun Aji membayar kepada perusahaan asuransi ( anuitas tertentu akhir ) tiap tahun Rp 1.000.000,- selama 40 tahun. Setelah sampai pembayaran ke 40 Aji akan menerima X rupiah tiap akhir tahun sampai dia meninggal. Hitung besarnya penerimaan Aji ! tingkat bunga 0.025 9. Pada usia 65tahun Ali punya dua pilihan. A. Menerima 25 juta rp dari pihak asuransi yang akan membungakan 2.5% dan Ali akan mendapat penerimaan tentu setiap awal tahun selama 20 tahun( sama besar dan sesudah 20 tahun pembayaran dana tsb habis) B. Membiarkan uangnya pada pihak asuransi dan menerima jumlah uang sama besar tiap awal tahun selama 20 tahun asalkan masih hidup. MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

30

a. Hitung besar penerimaan Ali untuk pilihan A dan B b. Bila Ali meninggal tepat sebelum usia mencapai 80 tahun, berapa besar uang yang diterima ahli warisnya untuk poin A dan B.

Dalam pengertian kesejahteraan terkandung kondisi aman, tentram dan makmur. Setiap orang secara naluriah berusaha meningkatkan kesejahteraannya. Pada hakekatnya kesejahteraan akan tercapai apabila kebutuhan terpenuhi. Salah satu upaya asaha manusia untuk meningkatkan kesejahteraan melalui asuransi jiwa, karena adanya asuransi jiwa nilai ekonomi hidup manusia yang terancam ketidakpastian dapat dilindungi. Nilai kehidupan manusia yang secara ekonomi diukur dengan uang disebut Economic Value of Human Life. Tiap tiap orang memiliki economic value yang berbeda sesuai dengan kondisi dan penghasilan masing masing Pada hakekatnya asuransi jiwa adalah pelimpahan resiko dari pihak tertanggung kepada pihak penanggung agar kerugian material yang diderita dapat ditanggung pihak lain. Asuransi jiwa adalah usaha kerjasama dari sejumlah orang yang sepakat menanggung kesulitan keuangan bila terjadi musibah terhadap salah seorang anggotanya. Perusahaan yang besar dengan pemegang saham yang banyak akan mudah mengatasi santunan asuransi dari anggota yang tertimpa musibah. Dengan administrasi yang efisien dan investasi dana yang aman dengan tingkat bunga yang wajar, perusahaan asuransi akan berkembang dengan sehat dan merupakan usaha pengumpulan modal yang amat penting. Sebuah asuransi jiwa menyediakan suatu pembayaran santunan asuransi (claim) dari jumlah yang ditetapkan atas suatu kematian, yang dikenal sebagai tertanggung (insured). Dalam pembayaran ini terdapat dua asumsi, yaitu pembayaran santunan asuransi pada akhir tahun kematian polis (asuransi diskrit) dan pembayaran santunan asuransi pada saat kematian terjadi (asuransi kontinu).

PRINSIP PRINSIP UMUM ASURANSI JIWA MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

31

1. Economic Principles : resiko kematian, resiko hari tua, resiko kecelakaan/sakit Prinsip ini menyatakan alasan alasan ekonomi yang mendorong seseorang atau kelompok untuk memakai jasa asuransi. Terdapat tiga kelompok resiko yang mempengaruhi nilai ekonomi hidup manusia oleh karena itu mempengaruhi pula penggunaan jasa asuransi jiwa , yaitu : resiko kematian, resiko hari tua dan resiko kecelakaan atau sakit. 2. Legal Principle Kontrak asuransi jiwa merupakan perjanjian timbal balik yang memuat hak dan kewajiban pemegang polis dan pihak yang menerima pelimpahan resiko. Perjanjian ini tercermin dalam polis asuransi jiwa. 3. Actuarial Principles Dalam asuransi jiwa terdapat hubungan antara hak dan kewajiban yang dinyatakan dalam besaran besaran : premi, santunan , cadangan premi, nilai tebus dan lain lain. Hubungan ini ditentukan dengan dasar-dasar perhitungan a. Tingkat bunga (Rate of Interest) b. Tingkat kematian ( Mortality Rate) c. Biaya (Loading Expense ) 4. Cooperation Priciples Asuransi merupakan suatu bentuk kerjasama dari orang orang yang berkepentingan untuk menanggulangi kerugian yang mungkin dideritanya atau setidak tidaknya memperkecil kerugian akibat terjadinya musibah. Menurut Undang-Undang No.2 Tahun 1992, asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, dengan mana pihak penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung, dengan menerima premi asuransi, untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum pihak ke tiga yang mungkin akan diderita tertanggung yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti atau memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan. Asuransi jiwa adalah usaha kerjasama atau koperasi dari sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi musibah terhadap salah seorang anggotanya. Pada hakekatnya, asuransi jiwa adalah pelimpahan risiko dari pihak tertanggung kepada pihak penanggung agar kerugian material yang diderita dapat ditanggung pihak lain. Dengan adanya asuransi jiwa nilai ekonomi hidup manusia yang terancam ketidakpastiaan dapat


32

dilindungi. Perusahaan yang besar dengan pemegang saham yang banyak akan mudah mengatasi santunan asuransi dari anggota yang meninggal. Jenis-jenis asuransi jiwa antara lain:

A. ASURANSI BERJANGKA Dalam polis asuransi berjangka , uang pertanggungan akan dibayarkan bila sitertanggung meninggal dalam jangka waktu asuransi. Misal semua orang yang berusia x tahun (lx) setuju mengumpulkan Rp A setiap orang dengan perjanjian apabila pada satu tahun berikutnya ada anggota yang mati maka ahli warisnya akan diberikan Rp 1. Bila iuran ini dibungakan i/ tahun maka jumlah uang yang terkumpul adalah : A l x (1  i )  d x sehingga

A

dx Vd x V x 1 d x   (1  i )l x lx V xlx

Bila hal tersebut dikembangkan sampai n tahun didapat : ^ x:n

A

Vd x V 2 d x 1 V 3 d x  2 V 4 d x3 V n d x  n 1      ...  lx lx lx lx lx

Ax^:n  ^ x:n

A

V x1d x  V x  2 d x 1 V x 3 d x 2 V x  4 d x 3 V x  n d x  n1    ...  V xl x V xlx V xlx V xlx V xlx

V x1dx  V x 2 d x 1  V x 3 d x 2  ....V x  n d x n1  V xlx

Menggunakan rumus komutasi: Dx  V x l x C x  V x 1 d x M x  C x  C x 1  C x  2  ...  C

Dengan demikian diperoleh : Ax^:n 

C x  C x 1  C x 2  ....C x  n1 M x  M x n  Dx Dx

Ax^:n

merupakan nilai tunai (present value) asuransi berjangka n tahun dengan santunan Rp

1 bagi orang yang berusia x tahun

B. ASURANSI SEUMUR HIDUP MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

33

Dalam polis asuransi seumur hidup , uang pertanggungan akan dibayarkan bila sitertanggung meninggal sewaktu waktu kematian terjadi. Vd x V 2 d x 1 V 3 d x  2 V 4 d x  3 V   x 1 d      ...  lx lx lx lx lx

Ax 

V x 1 d x  V x  2 d x 1 V x 3 d x  2 V x  4 d x 3 V  1 d  Ax     ...  V xl x V xlx V xlx V xlx V xlx V x 1 dx  V x  2 d x 1  V x 3 d x  2  ....V  1 d  V xlx

Ax 

Dengan demikian diperoleh : Ax 

C x  C x 1  C x  2  ....C Mx  Dx Dx

Ax merupakan nilai tunai (present value) asuransi seumur hidup dengan santunan Rp 1 bagi

orang yang berusia x tahun.

C.

ASURANSI DWIGUNA (ENDOWMENT) Merupakan gabungan dari asuransi berjangka dan dana kehidupan Dalam polis asuransi

dwiguna walaupun sudah habis jangka waktu asuransi , pemegang polis tetap mendapatkan uang pertanggungan (santunan). Ax:n  Ax^:n  n E x Ax:n 

M x  M xn  Dx n Dx

Ax:n merupakan nilai tunai (present value) asuransi dwiguna n tahun dengan santunan Rp 1

bagi orang yang berusia x tahun.

D. ASURANSI TERTUNDA Dalam polis asuransi berjangka n tahun yang tertunda m tahun bagi orang yang berusia x tahun, uang pertanggungan akan dibayarkan bila sitertanggung meninggal antara (x+m) tahun dan (x+m+n) tahun mendatang .


34

V m1 d x  m V m 2 d x  m1 V m3 d x  m 2 V m 4 d x  m3 V m n d x   m n1 m/ A      ...  lx lx lx lx lx ^ x:n

V x  m1d x  m  V x  m 2 d x  m1  V x  m3 d x  m 2  ....V x  m n d x  m n1 m/ A  V xlx ^ x:n

Dengan demikian diperoleh : m / Ax^:n 

C x  m  C x  m1  C x  m 2  ....C x  m  n1 M  M xmn  xm Dx Dx

m / Ax^:n

merupakan nilai tunai (present value) asuransi berjangka n tahun yang tertunda m

tahun dengan santunan Rp 1 bagi orang yang berusia x tahun. Ini berarti: Pembayaran dilakukan bagi ahli waris orang yang berusia x tahun asalkan dia meninggal antara umur (x+m) dan (x+m+n) tahun

m/ A

i

x:n

V m i dx  m  V m  2 dx  m i  ...  V m  n dx  m  n i  lx

V x  m i dx  m  V X  m  2 dx  m  n i  ...  V x  m  n dx  m _ n i  V x lx



C x  m  C x  m i  ...  C x  m  n i Dx

m / A1 x:n 

C x  m  C x  m i  C x  m  2  ...  C w C x  m  n  C x  m  n  ...  C w  Dx Dx

m / A1 x:n 

M x  m  M x m n Dx

Dengan cara yang sama untuk Asuransi seumur hidup yang tertunda m / Ax : nilai tunai Asuransi seumur hidup yang tertunda m tahun sebesar Rp 1 yang

dikeluarkan bagi orang berusia x tahun.


35

m / Ax 

M xm Dx

Dengan cara yang sama untuk Asuransi Dwiguna yang tertunda Contoh : Hitung premi tunggal bersih asuransi berjangka 10 tahun bagi orang yang berusia 30 tahun bila besar santunannya adalah 1 juta rupiah. Jawab: X :besar premi  :10 x  10 6 A30 10 6

M 30 M 40 D30

 Rp 38.665,12.

Contoh : Hitung premi tunggal bersih dari polis asuransi jiwa yang besar santunannya selama 10 tahun pertama adalah 1 juta rupiah dan 2 juta setelah itu, bagi orang yang berusia 20 tahun Jawab: Ada berbagai cara untuk menjawab soal tersebut : a. 10 tahun pertama asuransi berjangka dengan santunan 1 juta rupiah dan dilanjutkan dengan asuransi seumur hidup yang tertunda sesudahnya dengan santunan 2 juta rupiah. b. Asuransi seumur hidup yang dimulai usia 20 tahun dengan santunan 1 juta rupiah ditambah asuransi seumur hidup dengan santunan 1 juta rupiah sejak usia 30 tahun c. Selisih dua asuransi yaitu seumur hidup dengan santunan 2 juta rupiah sejak usia 20 tahun dengan asuransi berjangka 10 tahun sejak usia 20 tahun dengan santunan 1 juta rupiah.


36

LATIHAN ` 1. Buktikan bahwa m / Ax  Ax  Ax:m 2. Buktikan bahwa m / Ax`:n  Ax`:m  n  Ax`:m 3. Polis dikeluarkan bagi seseorang yang berusia 40 tahun dengan santunan sebesar Rp 1.000.000,- bila dia meninggal dalam waktu 25 tahun. Bila dia mencapai usia 65 tahun , maka akan menerima pensiun sebesar Rp. 100.000,- mulai hari ulang tahunnya yang ke 65. Hitung premi tunggal bersihnya! 4. Hitung net single premium suatu polis asuransi bagi orang yang berusia 25 tahun dengan santunan sebesar Rp 1.000.000,- bila dia meninggal dalam jangka 10 tahun dan santunan sebesar Rp 500.000,- bila dia meninggal di antara usia 35 – 45 tahun ! 5. Hitung premi tunggal bersih suatu polis asuransi dengan santunan sebesar Rp 1.000.000,dalam jangka waktu 5 tahun dan Rp 2.000.000,- sesudah itu bagi seseorang yang berusia 30 tahun ! 6. Seseorang berusia 50 tahun membeli asuransi dwiguna 11 tahun dengan premi tunggal bersih Rp 1.000.000,- Hitung besar santunan ! 7. Seseorang berusia 39 tahun memiliki Rp 1.000.000,- . Dengan uang tersebut sebagai premi tunggal bersih, dia membeli polis asuransi dengan santunan Rp 3.000.000,- bila dia meninggal dalam waktu 5 tahun dan santunan B rupiah bila dia meninggal sesudah itu. Hitung besar B ! 8. Buktikan bahwa vq x 

 Ax  vAx 1  1  Ax 1 

9. Nyatakan dengan kata –kata tentang premi tunggal bersih asuransi di bawah ini :

10 6  M 20  M 60   (5 x10 5 ) D60 D20


37

10. Buktikan bahwa vq x 

( Ax  vAx 1 ) (1  Ax 1 )

11. Aji yang sekarang berusia 25 tahun , ingin membeli suatu rencana pensiun mulai usia 55 tahun dengan penerimaan sebesar Rp 3.000.000,- setahunnya , dimana pembayaran pertama dilakukan pada saat hari ulang tahunnya yang ke 55. Untuk itu dia akan melakukan pembayaran tahunan pada permulaan tahun mulai sekarang dan berakhir pada hari ulang tahunnya yang ke 54. Hitung besar pembayaran tahunan tersebut !

LATIHAN 12. Misalkan orang sejumlah lx sepakat untuk menyumbang Rp 1,- per orang ke suatu dana setahun dari sekarang tiap orang yang masih hidup, lx+1 menyumbang Rp 1,- ke dana tersebut , 2 tahun kemudian tiap orang dari sebanyak lx+2 yang masih hidup menyumbang lagi Rp 1,- ke dana tersebut dan seterusnya sampai sumbangan telah terkumpul sebanyak n kali dari sekarang semua dana yang telah terkumpul ( dengan bunganya ) dibagi sama rata oleh lx+n orang yang masih hidup. Misalkan n U x bagian tiap orang yang masih N x  N xn hidup, buktikan bahwa Dana ini disebut Dana Tonti. nU x  Dxn 13. Orang yang berusia 20 tahun dijanjikan akan mendapat 10 juta rupiah jika dia mencapai usia 40 tahun. Hitung nilai tunainya ! 14. Pada usia 30 tahun Ari membeli endowment murni sebesar Rp 5.000,- untuk jangka waktu 35 tahun . Bila dia mencapai usia 65 tahun , hitung besar uang yang akan diterima. 15. Seorang janda berusia 55 tahun mengambil pendapatan dari polis asuransi jiwa Rp 25.000.000,-sebagai anuitas. Hitung pendapatan yang diperolehnya ! 16. Jika perusahaan akan memberikan pensiun sebesar Rp 1.000.000,- setiap tahun sampai meninggal kepada karyawan yang berusia 60 tahun , maka berapa banyak uang yang harus diserahkan kepada pihak asuransi ! 17. Pada saat usia 50 tahun Ali menyerahkan uang kepada perusahaan asuransi dengan perjanjian bahwa Ali akan menerima sebesar Rp 2.000.000,- setiap akhir tahun sampai Ali meninggal. Hitung jumlah uang yang akan diberikan kepada perusahaan asuransi tersebut ! 18. Pada usia 25 tahun Aji membayar kepada perusahaan asuransi ( anuitas tertentu akhir ) tiap tahun Rp 1.000.000,- selama 40 tahun. Setelah sampai pembayaran ke 40 Aji akan menerima X rupiah tiap akhir tahun sampai dia meninggal. Hitung besarnya penerimaan Aji ! tingkat bunga 0.025 19. Pada usia 65tahun Ali punya dua pilihan. A. Menerima 25 juta rupiah dari pihak asuransi yang akan membungakan 2.5% dan Ali akan mendapat penerimaan tentu setiap awal tahun selama 20 tahun( sama besar dan sesudah 20 tahun pembayaran dana tersebut habis). B. Membiarkan uangnya pada pihak asuransi dan menerima jumlah uang sama besar tiap awal tahun selama 20 tahun asalkan masih hidup. a. Hitung besar penerimaan Ali untuk pilihan A dan B. Bila Ali meninggal tepat sebelum usia mencapai 80 tahun, berapa besar uang yang diterima ahli warisnya untuk poin A dan B.


38

Asuransi jiwa tidak selamanya preminya dibayar atas dasar premi tunggal. Premi tersebut dapat dibayar secara tahunan/tengah tahunan/tiap bulan dan sebagainya. Premi yang dibayarkan pada setiap awal permulaan tahun yang besarnya bisa sama maupun berubah-ubah setiap tahunnya disebut premi tahunan Besarnya premi tersebut umumnya sama untuk tiap pembayaran dan dilakukan pada awal periode. Semakin sering premi dibayar, untuk santunan yang sama maka semakin kecil premi berkalanya. Tingkat bunga juga mempengaruhi besarnya premi. Makin tinggi tingkat bunga maka makin rendah premi yang harus dibayar untuk besar santunan yang sama. Pembayaran premi asuransi jiwa seumur hidup dapat dilakukan tiap permulaan tahun seumur hidup. Pada asuransi berjangka pembayaran preminya dilakukan selama jangka waktu asuransi. Sedangkan untuk asuransi dwiguna pembayaran preminya dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu selama jangka waktu perlindungan asuransi, terbatas (lebih pendek dari jangka waktu) atau sekaligus (premi tunggal). Adapun rumus dasar premi tahunan bersih adalah nilai tunai premi yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan yang akan datang. Beberapa notasi untuk premi bersih tahunan antara lain:

A.

PREMI TAHUNAN BERSIH ASURANSI SEUMUR HIDUP adalah premi tahunan bersih untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan uang pertanggungan Rp 1 bagi orang berusia

=

tahun.

,


39

=

,

=

,

=

.

=

B.

, .

PREMI TAHUNAN BERSIH ASURANSI BERJANGKA adalah premi tahunan bersih untuk asuransi jiwa berjangka

tahun dengan uang

pertanggungan Rp 1 bagi orang berusia tahun.

P1 x:n 

A1 x : n M x  M x  n  a x:m N x  N xm

Apabila pembayarannya terbatas sejumlah m kali (tahun) maka besar premi tahunan bersihnya sebagai berikut:

mP 1 x:n : Premi tahunan bersih untuk asuransi berjangka n tahun dengan batasan m tahun dengan uang pertanggungan Rp 1 bagi orang berusia x tahun .

mP1x:n ax:m  A1x:n mP1 x:n 

A1 x : n M x  M xn  x:m a N x  N xm

di mana m
C. PREMI TAHUNAN BERSIH ASURANSI DWIGUNA adalah premi tahunan untuk asuransi jiwa dwiguna pertanggungan Rp 1 bagi orang berusia .

=

,

=

,

tahun dengan uang

tahun


40

=

.

mPx:n : premi tahunan bersih untuk asuransi dwiguna n tahun dengan batasan pembayaran m

tahun dengan uang pertanggungan Rp I bagi orang berusia x tahun .  x:m  Ax:n mPx:n .a

mPx:n 

Ax:n x:m a



M x  M xn  Dxn N x  N x m

LATIHAN 1. Buktikan bahwa Px 

vq  Px1 a x ax

2. Buktikan bahwa Pxn  y 

a xn axn

3. Dapatkan net annual premium untuk 18 kali pembayaran untuk endowment 25 tahun bagi orang yang berusia 42 tahun dengan uang pertanggungan Rp. 20.000.000,4. Seorang yang berusia 27 tahun membeli endowment untuk jangka waktu 20 tahun tiga tahun yang lalu. Jika premi bersih tahunan sebesar Rp. 100.000,-berapa besar uang satuan yang akan diterima jika orang tersebut meninggal dalam usia 40 tahun ! 5. Suatu polis asuransi jiwa bagi orang yang berusia 32 tahun menentukan pembayaran premi tahunan 28 kali. Bila sitertanggung meninggal sebelum usia 65 tahun, besar satuannya sebesar 5 juta rupiah, bila dia meninggal setelah 65 tahun santunannya 2 juta rupiah. Hitung besar premi tahunannya. 6. Hitung besar polis asuransi jiwa seumur hidup yang dapat dibeli seseorang yang berusia 20 tahun untuk premi netto tahunan Rp 250.000,7. Jika q x  0.01x, v  0.9 ,hitung P95


41

MODUL 7 CADANGAN PREMI Dalam dunia usaha, istilah cadangan biasanya digunakan untuk suatu dana yang disisihkan untuk dipakai dalam keadaan darurat. Dalam asuransi jiwa artinya sama sekali berbeda. Cadangan dalam asuransi jiwa bukanlah suatu asset perusahaan melainkan kewajiban perusahaan untuk membayar santunan kepada pemegang polis. Dengan kata lain cadangan adalah milik pemegang polis yang dititipkan kepada perusahaan asuransi. Pada saat polis diterbitkan, nilai sekarang dari asuransi (santunan yang akan dibayarkan) sama dengan nilai sekarang dari premi yang akan diterima. Sesudah polis berjalan, masa asuransi semakin pendek sehingga nilai pada akhir tahun ke-t dari asuransinya lebih besar dibandingkan nilai asuransi pada awalnya. Karena masa pembayaran premi semakin pendek maka nilai pada akhir tahun ke-t dari premi yang akan diterima lebih kecil dibandingkan nilai premi pada awalnya. Terlihat bahwa kewajiban semakin membesar sedangkan hak terhadap penerimaan semakin mengecil. Oleh karena itu penting bagi badan asuransi untuk mengetahui berapa jumlah dana yang harus disiapkan agar mampu membayar klaim pada saat jatuh tempo. Maka diperlukan perhitungan cadangan premi secara tepat. Pengertian cadangan secara teori adalah besarnya uang yang ada pada perusahaan dalam jangka waktu pertanggungan. Artinya perusahaan harus menyimpan jumlah uang cadangan sebagai hutang dalam neraca, bukan sebagai kekayaan. Nilai cadangan yang dimiliki perusahaan asuransi jiwa dipengaruhi oleh besarnya pembayaran premi

yang dilakukan oleh peserta

asuransi. Perhitungan cadangan premi dibedakan menjadi dua cara yaitu perhitungan besar cadangan yang berorientasi pada pengeluaran di waktu yang akan datang yang disebut dengan cadangan prospektif dan perhitungan besar cadangan yang berorientasi pada pengeluaran di waktu yang telah lalu yang disebut dengan cadangan retrospektif.


42

Berdasarkan anuitas dan waktu pembayaran santunan, cadangan premi bersih dapat dibagi menjadi tiga macam yakni: 1. Cadangan Penuh Kontinu Perhitungan cadangan jenis ini dilakukan dengan dasar pembayaran premi dilakukan setiap saat (anuitas kontinu) dan pembayaran santunan diberikan pada saat tertanggung meninggal (asuransi kontinu) 2. Cadangan Penuh Diskrit Perhitungan cadangan jenis ini dilakukan dengan dasar pembayaran premi dilakukan secara tunggal atau angsuran dengan tahapan yang konstan (anuitas diskrit) dan pembayaran santunan diberikan pada saat akhir tahun kematian tertanggung (asuransi diskrit). 3. Cadangan Semi Kontinu Perhitungan cadangan ini dilakukan dengan dasar pembayaran premi dilakukan secara tunggal atau angsuran dengan tahapan yang konstan (anuitas diskrit) dan pembayaran santunan diberikan pada saat tertanggung meninggal (asuransi kontinu). Cadangan Retrospektif Cadangan retrospektif adalah perhitungan cadangan dengan berdasarkan jumlah total pendapatan di waktu yang lalu sampai saat dilakukan perhitungan cadangan dikurangi dengan jumlah pengeluaran di waktu yang lampau, untuk tiap pemegang polis.Definisi lain dari cadangan retrospektif adalah nilai premi lalu (telah dibayarkan) yang dibungakan dikurangi nilai santunan yang lalu yang dibungakan. Secara aljabar hubungan ini ditulis :

t

=

,

dimana usia waktu polis dikeluarkan tahun yang telah lewat sejak polis dikeluarkan premi tahunan bersih untuk santunan Rp 1 bagi x t

cadangan akhir tahun ke t dana Tonti biaya akumulasi asuransi =

.

Dana Tonti dapat dinyatakan sebagai bagian tiap yang masih hidup dari dana yang telah terkumpul beserta bunganya. Misalkan sebanyak

orang sepakat menyumbang Rp1 per orang.


43

Setahun kemudian bila orang tersebut masih hidup yaitu sebanyak Dua tahun kemudian tiap orang dari

menyumbang lagi Rp 1.

menyumbang lagi Rp 1 dan seterusnya sampai dana

terkumpul sebanyak t kali (tahun). Maka t tahun dari sekarang untuk semua dana yang terkumpul (dengan bunganya) dibagi sama rata oleh bagian tiap orang yang masih hidup dinotasikan dengan t

=

orang yang masih hidup sehingga adalah

.

Contoh : Dapatkan cadangan akhir tahun ke 10 dan cadangan akhir tahun ke 20 untuk seseorang berusia 30 tahun yang mengambil asuransi berjangka 20 tahun dengan uang pertanggungan sebesar Rp 10.000.000,Jawab: Mula mula dicari terlebih dahulu premi tahunan bersih asuransi berjangka 20 tahun bagi orang yang berusia 30 tahun dengan santunan Rp 10.000.000,P130:20  107

A1 30 : 20 M  M 50  107 30  Rp 59.851,20733 a30:20 N 30  N 50

V  P301 :20

U 30  107

10

 P301 :20 V  P301 :20

20

 P301 :20

10

10

k 30

N 30  N 40 M  M 40  10 7 30  Rp 188.849 D40 D40 20

U 30  10 7

20

k 30

N 30  N 50 M  M 50  107 30 D50 D50

 M 30  M 50 N 30  N 50 M 30  M 50   .  D50 D50  N 30  N 50 

 10 7 

 M 30  M 50 M 30  M 50    D50 D50  

 10 7  0

Cadangan asuransi berjangka pada akhir jangka waktu haruslah sama dengan nol. Cadangan Prospektif Cadangan prospektif adalah besar cadangan yang berorientasi pada pengeluaran di waktu yang akan datang. Dengan pengertian lain perhitungan cadangan didasarkan pada nilai sekarang dari pengeluaran di waktu yang akan datang, untuk tiap pemegang polis. Definisi lain dari cadangan prospektif adalah nilai tunai santunan yang akan datang dikurangi dengan nilai tunai premi yang akan datang. Istilah premi yang akan datang mencakup premi yang harus segera dibayarkan. Rumus perhitungan untuk cadangan prospektif adalah : MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

44

t

=

.

,

dimana usia waktu polis dikeluarkan tahun yang telah lewat sejak polis dikeluarkan premi bersih tahunan untuk santunan Rp 1 bagi x cadangan akhir tahun ke t

t

santunan yang akan datang pada usia P.

nilai tunai pada usia x+t sisa premi mendatang.

Contoh rumus umum cadangan prospektif untuk jenis asuransi endowment n tahun dengan santunan sebesar 1 satuan untuk seseorang yang berumur x tahun adalah :

t

V

=

-P

dengan t

V

= cadangan prospektif akhir tahun ke-t asuransi endowment = santunan yang akan datang pada usia (x+t) tahun

P

= nilai tunai pada usia (x+t) tahun sisa premi mendatang

Contoh: Dapatkan cadangan akhir tahun ke 5 untuk seseorang berusia 30 tahun yang mengambil asuransi endowment 10 tahun namun tertunda 10 tahun dengan uang pertanggungan sebesar sepuluh juta rupiah. Jawab: Mula mula dicari terlebih dahulu premi tahunan bersih asuransi endowment 10 tahun yang tertunda 10 tahun bagi orang yang berusia 30 tahun dengan santunan Rp 10.000.000,P 130:20  107

V  10 7

5

5

A30:10  Rp 384.370,3434 30:20 a

10

1  A35:10  P30 :20 a 35:15

 6.786.722,5  4.689.930,9  Rp 2.096.791,6


45

Cadangan Disesuaikan Sumber dana tambahan untuk menutup biaya awal tahun dapat diperoleh dengan menyesuaikan cadangan premi (cadangan disesuaikan). Dana tersebut dapat dianggap berupa pinjaman yang akan dibayar kemudian dari pembayaran premi kotor di tahun-tahun mendatang. Misalkan P menyatakan premi bersih untuk suatu jenis asuransi. Premi tersebut akan diganti dengan α pada tahun pertama dan diikuti oleh β pada tahun-tahun berikutnya. α dan β adalah premi yang disesuaikan. Pemegang polis membayar premi kotor yang sama besarnya tiap tahun, yaitu P + biaya. α dan β hanya ada dalam perhitungan aktuaria dan tidak ada sangkut pautnya dengan pemegang polis. Nilai tunai seluruh P = Nilai tunai α + Nilai tunai β. Persamaan ini berlaku pada waktu polis dikeluarkan. Bila n menyatakan jangka waktu penyesuaian cadangan, maka hubungan pada persamaan tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut

α+β

=P

(2.16)

,

α < P , karena sebagian dari P dipakai untuk biaya tahun pertama, yaitu sebesar P – α. Jadi, dari premi bersih tahun pertama sebesar P, hanya ada α yang disediakan untuk membayar santunan di tahun tersebut, sisanya P – α dipinjam perusahaan dan pinjaman tersebut akan dibayar kelak dari premi tahun-tahun berikutnya. Karena β > P, maka α < P < β. Metode New Jersey Penentuan nilai cadangan pada metode New Jersey mengunakan premi bersih lanjutan disesuaikan dimana terdapat persyaratan yang harus terpenuhi yaitu polis yang mempunyai


46

premi tahunan bersih lebih kecil dari premi tahunan bersih asuransi seumur hidup dengan 20 kali

pembayaran premi dengan santunan dan usia yang sama tetapi premi kotornya melebihi 1,5 Metode New Jersey menentukan bahwa cadangan akhir tahun pertama adalah nol. Sehingga secara matematis nilai tunai premi pada tahun pertama dapat dituliskan = Simbol J menyatakan metode yang digunakan adalah metode New Jersey. Sehingga berdasarkan persamaan (2.16) dan setelah diaplikasikan ke dalam metode New Jersey, maka diperoleh sebagai berikut

Premi bersih lanjutan disesuaikan (

) pada metode New Jersey untuk asuransi jiwa

endowment adalah premi bersih tahunan yang dikeluarkan untuk orang yang setahun lebih tua x+1. Sehingga nilai cadangan menggunakan metode New Jersey, premi bersih tahunan yang digunakan adalah pada usia x+1 tahun, maka didapat rumusan penentuan nilai cadangan prospektif menggunakan metode New Jersey sebagai berikut

J

V

t

=S

)

,

dengan t

V

J

= nilai cadangan akhir tahun ke-t untuk asuransi endowment menggunakan metode New Jersey = premi tunggal bersih asuransi endowment pada usia x+t tahun


47

= premi bersih lanjutan yang disesuaikan dengan metode New Jersey = nilai tunai anuitas awal asuransi endowment pada usia x+t tahun S

= nilai santunan.

Metode Fackler Rumus Fackler pertama kali diperkenalkan oleh aktuaris Amerika, David Parks Fackler. Rumus umum Fackler adalah :

t+1

=(t +P)

-

dimana = usia waktu polis dikeluarkan = tahun yang telah lewat sejak polis dikeluarkan = premi bersih tahunan untuk santunan Rp 1 bagi = cadangan akhir tahun ke

t+1

dan

.

fungsi Fackler dengan

dan

Metode Fackler sangat berguna untuk menyusun nilai cadangan yang mengharuskan menghitung cadangan premi untuk beberapa tahun secara berurutan. Dengan adanya metode Fackler maka perhitungan cadangan retrospektif akan terlihat lebih jelas.

Latihan : 1. Jika tV x menyatakan cadangan akhir tahun ke t untuk asuransi seumur hidup bagi orang MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

48

yang berusia x tahun. ( Biasa disingkat tV ), terdapat relasi : V x 1 

t

 x  t a , buktikan  x a

2. Berdasar relasi di atas, buktikan bahwa : tV x

 1  ( 1  1V x ) ( 1  1V x 1 ) ( 1  1V x  2 ) . . . ( 1  1V x  t 1 )

3. Tentukan cadangan akhir tahun ke 20 untuk polis asuransi berangka 30 tahun dengan uang pertanggungan Rp. 100.000.000,- yang dikeluarkan pada seseorang yang berusia 30 tahun! 4. Cadangan premi akhir tahun ke t untuk asuransi seumur hidup bagi seseorang berusia x

tahun dinyatakan sebagai tV x  1  ( Px  d )a x  t , Diketahui Px 

4  x  t  1.1 . Keterkaitan dengan soal tersebut, bila perusahaan , tV x  0.5 , a 11

asuransi jiwa memiliki modal awal sebesar S 0 , hitung besar modal perusahaan setelah akhir tahun ke 10 ! 5. Dapatkan cadangan akhir tahun ke lima asuransi seumur hidup dengan santunan 10 juta rupiah bagi orang yang berusia 25 tahun dengan memakai metode retrospektif dan prospektif. 6. Nyatakan dengan rumus komutasi untuk cadangan akhir prospektif ke dua belas asuransi dwiguna 20 tahun dengan uang pertanggungan sepuluh juta rupiah bagi orang yang berusia 40 tahun. MODUL 8 PREMI KOTOR Premi kotor adalah premi bersih ditambah sejumlah biaya tertentu yang dibebankan pada pemegang polis. Premi kotor ini jumlahnya lebih besar dari premi bersih. Selisih antara premi kotor dan premi bersih disebut biaya (loading). Biaya yang diterima oleh perusahaan asuransi jiwa digunakan untuk biaya pemeliharaan administrasi pemegang polis dan sumber pendapatan untuk keperluan cadangan. Premi kotor ini merupakan gambaran dari besarnya biaya yang diperlukan oleh perusahaan dimana dalam manajemen sudah merupakan salah satu komponen penjualan produk asuransi jiwa. Biaya dapat dikelompokkan atas beberapa bagian dan cara pengelompokkannya tergantung cara memandang. Umumnya biaya dapat dinyatakan sebagai salah satu dari : 1. Suatu persentase dari jumlah yang diasuransikan 2. Suatu persentase dari premi MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

49

3. Suatu jumlah tertentu per polis Biaya dapat pula dilihat sebagai biaya tahun pertama dan biaya tahun-tahun berikutnya. Biaya tahun pertama menyangkut pemeriksaan kesehatan, komisi, biaya mengeluarkan polis dan lain-lain. Besarnya komisi biasanya sebanding dengan besarnya premi misalnya 3% dari besar premi. Biaya lain yang termasuk dalam biaya tahun-tahun berikutnya adalah biaya mengadministrasikan polis dari tahun ke tahun, biaya investasi dan biaya manajemen. Semua biaya dalam bagian ini biasanya dinyatakan sebagai presentasi dari besar premi. Di samping biaya-biaya yang telah disebutkan, masih ada satu lagi yang sering ditambahkan pada faktor biaya yaitu keuntungan bagi perusahaan. Untuk menjaga perusahaan dari situasi merugikan yang tak terduga-duga maka perusahaan sering menambah proporsi tertentu misalnya 0,2% dari premi sebagai beban pada premi (Sitompul,1995). Untuk mempermudah perhitungan maka biaya digolongkan menjadi 3 yaitu : 1. Biaya pertama : biaya yang sepenuhnya digunakan dalam tahun pertama seperti komisi agen, pemeriksaan kesehatan, dan biaya mengeluarkan polis. Besarnya dinyatakan per seribu dari uang pertanggungan yang dinotasikan dengan 2. Biaya penagihan seperti ongkos penagihan premi yang besarnya dinyatakan per seratus dari premi, dinotasikan dengan 3. Biaya lanjutan : biaya yang dipergunakan sepanjang jangka

asuransi seperti biaya

administrasi dan gaji pegawai. Besarnya di nyatakan per seribu dari uang pertanggungan yang dinotasikan dengan . Dalam perhitungan premi kotor digunakan prinsip bahwa nilai tunai premi kotor yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan yang akan datang ditambah nilai seluruh biaya yang akan datang. Semua nilai tunai dihitung pada waktu polis dikeluarkan. Nilai tunai santunan ditambah dengan biaya harus sama dengan nilai tunai expense loaded premium. Jumlah total yang ditambahkan ke premi bersih dengan mempertimbangkan semua biaya yang ditanggung perusahaan asuransi disebut loading. Adapun definisi dari expense loaded premium adalah keseluruhan premi yang dibebankan kepada pemegang polis meliputi semua biaya, perkiraan kerugian dan laba perusahaan. Adapun rumus premi tunggal kotor (g) untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan uang pertanggungan sebanyak Rp 1 adalah g = 1.

+ Biaya .

Adapun rumus premi tahunan kotor (G) untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan uang pertanggungan sebanyak Rp 1 adalah G.

= 1.

+ Biaya ,


50

G=

.

Asuransi Seumur Hidup Diasumsikan santunan sebesar Rp 1 dibayar pada akhir tahun kematian. Nilai tunai santunan + biaya = Nilai tunai Expense Loading Premium Ax    G a x G

Ax   a x

 Px 

 a x

Asuransi Berjangka Diasumsikan santunan sebesar Rp 1 dibayar pada akhir tahun jika kematian terjadi pada periode kontrak. Nilai tunai santunan + biaya = Nilai tunai Expense Loading Premium A1x:n    G a x:n G 

A1x:n   a x::n

 Px1:n 

 a x::n

Asuransi Dwiguna Diasumsikan santunan sebesar Rp 1 dibayar pada akhir tahun jika kematian terjadi pada periode kontrak atau si tertanggung hidup sampai akhir kontrak berakhir. Nilai tunai santunan + biaya = Nilai tunai Expense Loading Premium Ax:n    G a x:n G 

Ax:n   a x::n

 Px:n 

 a x::n

Premium Rate R(b) R ( b) 

G (b) b

Adalah tingkat tarif perubahan premi dengan santunan sebesar b yang menyatakan : Laju perubahan premi tiap satu perubahan santunan dengan uang pertanggungan b. Jika R(b) diketahui maka G(b) dengan santunan sebesar b dapat ditentukan. MODUL MATEMATIKA AKTUARIA | PRODI STATISTIKA 2014

51

Contoh: Seseorang berusia x tahun mengambil kontrak asuransi dwiguna. Adapun biaya yang dikenakan sebagai berikut: 1. Biaya tahun pertama -

Persentase premi 10%

-

Biaya per $1000 uang pertanggungan : $ 10

-

Biaya per polis $ 25

2. Biaya tahun ke dua -

Persentase premi 10%

-

Biaya per x$ 1000 uang pertanggungan : $1

-

Biaya perpolis $5

3. Biaya penyelesaian klaim habis kontrak $10 dan ditambah $1 per $ 1000 uang pertanggungan. Santunan sebesar b akan diberikan jika tertanggung meninggal atau masih hidup setelah kontrak berakhir. Misal diketahui a x:3  2.413223

n  3 i  10% . Dapatkan expense loading premium untuk

setiap b yang berbeda. Jawab: Diketahui a x:3  2.413223

n  3 i  10% . Sehingga anuitas hidupa akhir berjangka adalah :

 x:3  1  1.413223 a x:n  a 1  Ax:n d  x:3  1  da

 x:3  a

Premi tunggal bersih asuransi Dwiguna dihitung dari Ax::3

Premi tahunan bersih asuransi Dwiguna Px:3 

 1  (1  v )2.413223  0.780616

Ax::3  0.323474  x:3 a

Misal biaya tahun 1 :β1 Biaya tahun ke dua : β2 Biaya habis kontrak : γ


52

10 b  25 1000 1  2  0.1G x:3 (b)a x:2  ba x:2  5a x:2 1000 b      10   Ax:3 1000  

1  0.25G x:3 (b) 

Sehingga nilai tunai dari biaya

  1   2     0.391322G X :3 (b)  0.012194b  39.872275

Expense loading premium untuk asuransi Dwiguna adalah Ax:n    G a x:n G 

Ax:n   a x::n

 Px:n 

  0.39211b  19.720187 a x::n

Tabel perhitungan expense loading premium dengan besar b yang berbeda : No 1 2 3 4 5 6

Santunan b 1000 5000 10.000 25.000 50.000 100.000

Expense loading premium Gx:3(b) 411,830187 1980,270187 3940,820187 9822,470187 1.9625,220187 39.230,720187


53

Modul Ajar Mat.aktuaria

Recommend Documents