MODUL I PROGRAM MINITAB 1.1 Pengenalan Program Minitab Minitab merupakan salah satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan untuk mempermudah pengolahan data statistik. Keunggulan minitab adalah dapat digunakan dalam pengolahan data statistika untuk tujuan sosial dan teknik. Minitab telah diakui sebagai program statistika yang sangat kuat dengan tingkat akurasi taksiran statistik yang tinggi. Minitab menyediakan beberapa pengolahan data untuk melakukan analisis regresi, membuat ANOVA, membuat alat-alat pengendalian kualitas statistika, membuat desain eksperimen (factorial, response surface dan taguchi), membuat peramalan dengan analisis time series, analisis realibilitas dan analisis multivariate, serta menganalisis data kualitatif dengan menggunakan cross tabulation. 1.2 Bagian-bagian Minitab Minitab terdiri atas beberapa bagian dan Gambar 1.2 menunjukan beberapa bagian Minitab.
Toolbar
Window session
Window graph
Window data
Project manager
Gambar 1.1 Tampilan window Minitab.
1
1.2.1
Toolbar Toolbar merupakan alat untuk mempermudah dan mempercepat perintah Minitab. Toolbar Minitab berbentuk tombol-tombol dalam window Minitab. Pengoperasiannya pun mudah, yaitu hanya dengan menekan (klik) toolbar tertentu untuk menjalankan suatu perintah.
Gambar 1.2 Beberapa Toolbar khas dalam Minitab 1.2.2
Window Data Window data pada minitab dinamakan dengan worksheet. Worksheet pada window data terdiri dari kolom-kolom dan baris, dimana 1 kolom berisi kolom variable tertentu dan 1 baris berisi suatu observasi. Sel paling atas suatu kolom berisi nama kolom yang disediakan oleh Minitab secara otomatis. Namanya adalah C1, C2, C3 dan seterusnya. Kita bisa pula memberi nama kolom yang disediakan dibaris kedua suatu kolom. Kolom dalam Minitab bisa diberi nama yang panjang. Gambar 1.3 menunjukan bentuk window data pada Minitab.
Gambar 1.3 Window Data 1.2.3
Window Session Window session menampilkan hasil analisis data yang telah dilakukan. Kita bisa mengedit dan memformat teks, menambahkan komentar, melakukan perintah menyalin, mengubah huruf atau mencari dan mengganti angka serta huruf. Pekerjaan yang telah dilakukan atau hasil analisis dalam window bisa
2
disimpan dan dicetak. Kita dapat pula menggunakan window session untuk memerintah minitab dalam tipe text dan menjalankan program macro. Menjalankan perintah melalui wondow session membutuhkan bahasa perintah tertentu. Gambar berikut ini menampilkan bentuk window session.
Gambar 1.4 Window Session 1.2.4
Window Graph Window graph menampilkan grafik data statistik . Pada program minitab kita dapat membuat grafik beresolusi sebanyak 100 gambar secara bersamaan. Ada 4 jenis grafik yang bisa dibuat dalam minitab, yaitu: 1. Grafik dasar Ada beberapa grafik yang dikategorikan grafik dasar seperti scatterplot, plot times series, histogram, boxplot, plot draftsman, plot contour, dan lain-lain. 2. Grafik 3D Grafik yang bisa dibuat dalam 3 dimensi dalam minitab adalah scatterplot, plot surface dan plot wireframe. 3. Grafik-grafik khusus statistika Grafik-grafik tersebut adalah dotplot, diagram lingkaran (pie chart), plot marginal dan plot probabilitas. 4. Character Graph Grafik ditampilkan window session dalam tipe text.
3
1.2.5
Project Manager Project Manager berfungsi mengatur file-file yang tersimpan dalam project. Project Manager terdiri atas beberapa folder dan window suatu folder seperti ditunjukan pada gambar berikut
Gambar 1.5 Project Manager Gambar di atas memperlihatkan bahwa project manager terbagi menjadi dua bagian. Bagian kiri project manager menunjukan subfolder-subfolder yang merupakan isi project tertentu. Window di sebelah kanan menampilkan daftar file pada subfolder tertentu yang ditunjuk.
4
MODUL II ALAT – ALAT STATISTIK DALAM MINITAB Seiring dengan perkembangannya, Minitab mengalami perbaikan-perbaikan dalam menyediakan metode-metode analalisis data statistik. Pada modul ini penulis akan memberikan pnejelasan lebih terperinci mengenai alat-alat pengolahan data statistik yang disediakan menu data Statitistik dalam minitab. 2.1
Statitika Sederhana Diawal menu stat, Minitab menampilkan metode untuk analisis statistik sederhana, yaitu melalui submenu Basic Statistik. Perhitungan statistik sederhana yang dilakukan dalam menu antara lain menghitung banyaknya data, rata-rata, median, kuartil 1 dan 3, nilai terbesa (maksimum) dan terkecil (minimum) serta standar deviasi.
2.2
Analisis Regresi Minitab menyediakan alat-alat untuk melakukan analisis regresi, yaitu melalui submenu Regression. Analisis regresi yang bisa dilakukan dalam submenu regression meliputi analisis regresi sederhana dan
analisis regresi berganda.
Untuk analisis regresi berganda, Minitab menyediakan metode analisis regresi untuk memilih model regresi terbaik. Tidak hnya itu, Mintab menyediakan pula berbagai analisis regresi logistik. 2.3
Analysis of Variance (ANOVA) Minitab mnyediakan alat untuk melakukan Analysis of Variance atau lebih sering terkenal ANOVA dalam submenu ANOVA.
2.4
Design of Experiment (DOE) Untuk memperbaiki kualitas, design of experiment (eksperimen desain) sering digunakan sebagai salah satu alat. Minitab menyediakan beberapa analisis untuk desain eksperimen. Desain eksperimen yang disediakan Minitab adalah desain
5
eksperimen factorial, response surface , desain mixture, dan yang terbaru adalah desain Taguchi. 2.5
Peta Kendali Peta Kendali adalah salah satu alat statistic untuk mengendalikan kualitas. Lebih lanjut, Minitab menyediakan kemudahan membuat peta kendali. Submenu Control Chart menyediakan peta kendali
2.6
Alat-alat untuk Mengendalikan Kualitas Minitab tidak hanya menyediakan peta kendali sebagai alat-alat statistik untuk mengendalikan kualitas, tetapi juga beberapa alat statistik untuk mengendalikan kualitas dalam submenu Quality Tools. Submenu Quality Tools menyediakan pula analisis kemampuan proses utnuk data yang berdistribusi nonnormal, poisson dan binomial.
2.7
Analisis Reliabilitas Kelebihan minitab adalah aplikasinya untuk meningkatkan kualitas seperti peta kendali, desain eksperimen , diagram pareto, diagram ishikawa dan analisis kemampuan proses. Kemudian minitab menyediakan pula alat untuk menganalisis reliabilitas melalui submenu Reliability/Survival.
2.8
Analisis Multivariat Analisis multivariate merupakan analisis data statistic yang bnayak digunakan dan bermanfaat dalam berbagai bidang seperi pemasaran, teknik, dan masalahmasalah social. Minitab menyediakan operasi-operasi untuk melakukan analisis multivariate melalui submenu multivariate.
2.9
Analisis Time Series Untuk keperluan peramalan, minitab menyediakan analisis time series dalam submenu time series.
6
2.10
Analisis Data Kualitatif Minitab memberikan beberpa metode untuk meringkas data dalam table dan melakukan analisis data kualitatif yang dikelomppkan ke dalam menu tables.
2.11
Analisis Nonparametrik Mintab memberikan pula kemudahan dalam melakukan analisis nonparametric yang perintah-perintahnya dikelompokan ke dalam submenu nonparametrics.
2.12
Exploratory Data Analysis (EDA) Agar mudah melakukan eksplorasi data dan mencari residual
suatu model,
program minitab menyediakan Exploratory Data Analysis dalam submenu EDA. 2.13
Power and Sample Size Untuk meyakinkan apakah desain yang telah dirancang cukup andal dan data yang telah diperoleh cukup memuaskan, kita perlu melakukan beberapa uji. Salah satu cara melihatnya adalah dengan melihat apakah jumlah sample yang telah diambil sudah mencukupi. Minitab menyediakan alat untuk melakukannya dalam submenu Power and Sample Size.
7
MODUL III OPERASI DASAR MINITAB Pada modul ke-3 akan mempelajari operasi dasar Minitab, yaitu cara memasukkan data, menyimpan data, dan membuka file. 3.1
Proses Analisis Statistik dalam Minitab Tahap-tahap analisis data statistik diawali dengan melakukan desain untuk mengambil data (desain sampling atau desain eksperimen), dilanjutkan dengan mengumpulkan data, menganalisa data dan terakhir adalah mengambil kesimpulan berdasarkan analisa data. Pengolahan data dalam Minitab bisa dilakukan melalui menu Stat. Menu stat menyediakan beberapa metode analisa statistik. Apabila membutuhkan analisa data melalui grafik, kita dapat melakukannya melalui graph dalam Minitab. Sealin kedua menu, apabila pengguna Minitab akan melakukan perhitungan matematika atau statistic tertentu atau memanipulasi data sesuai dengan kebutuhan, maka kita dapat melakukannya melalui menu Data atau Calc. Output analisa data ditampilkan melalui window session atau disimpan dalam worksheet. Jika melakukan anlaisa grafik, maka window graph akan menampilkan outputnya. Setelah mengahsilkan output, interprestasi data
bukan lagi tugas Minitab.
Dalam Tahap interpretasi data, peneliti sangat berperan dalam menginterpretasikan output yang dihasilkan Minitab dan menganalisis hasil yang telah didapatkan. 3.2 Memasukan Data Pertama kali menjalankan minitab, kita akan melihat project yang belum terisi. Karena worksheet masih kosong, kita harus memasukan data yang akan diolah ke dalam worksheet atau memanggil data yang sudah dimasukandalam format lain. Contoh ilustrasi menggunakan data pada table 3.1 di bawah ini. Data dalah jumlah reaktor nuklir pada suatu negara.
8
Tabel 3.1 Data Reaktor Nuklir terbesar di Dunia Negara Belgia Perancis Finlandia Jerman Belanda Jepang Swedia Switzerland USA Total
Jumlah Reaktor Nuklir 4 22 2 7 1 11 3 1 47 98
Benua Eropa Eropa Eropa Eropa Eropa Asia Eropa Eropa Amerika
Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich,T., 1995. Statistics for Engginering and The Science. Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey
3.2.1
Memberi Nama Kolom
Cara memberi nama pada komo sebagai berikut: 1.
Letakkan kursor di sel di bawah C1
2.
Ketikkan “Negara” pada sel.
3.
Ulangi tahap 1 dan 2 untuk memberi nama pada kolom C2 dan C3
dengan nama “Jumlah Reaktor Nuklir” dan “Benua”. Pemberian nama kolom pada minitab bisa panjang, dapat mencapai 31 karakter. Hasil pemberian nama dapat dilihat pada gambar 3.1.
Gambar 3.1 Tampilan window Data setelah kolom diberi nama. Jika ada kesalahan dalam memberi nama pada kolom, cara mengubahnya adalah: 1.
Letakkan kursor pada sel yang namanya akan diubah.
2.
Ketikan nama yang baru pada sel.
3.
Tekan [enter]
9
Secara otomatis, nama kolom yang lama akan berganti dengan yang baru. 3.2.2
Memasukkan Data dalam Window Data
Untuk melakukan analisa data dengan menggunakan Minitab, kita terlebih dahulu harus memasukan data yang akan dianalisis ke dalam worksheet. Tahap-tahap memasukan data adalah : 1. Klik tanda entry arrow [↓] di pojok kiri atas window data untuk entry data ke bawah. Klik tanda entry arrow [→] untuk entry data ke arah kanan.
Entry Arrow
Gambar 3.2 Entry Arrow Arah Bawah dan Kanan 2.
Masukkan data sesuai dengan table 3.1 pada kolom “Negara”,
“Jumlah Reaktor Nuklir” dan “Benua” Gambar 3.3 menunjukan worksheet berisi hasil Minitab. Gambar memperlihatkan kolom C1 dan C3 berubah menjadi C1-T dan C3-T. huruf T menunjukan tipe data pada kolom tersebut.
10
Gambar 3.3 Tampilan hasil memsukkan data pada window Data. 3.3 Menyimpan Worksheet Cara menyimpan data yang telah dimasukan agar tidak hilang adalah: 1.
Pilih File > Save Current Worksheet As
2.
Pada kolom File Name ketikan nama file, contoh Nuclear
3.
Selanjutnya, klik Save. Sebagai pengguna Minitab perlu mengingat bahwa dalam menu File, Minitab
menyediakan 3 perintah untuk menyimpan, yaitu perintah pertama untuk menyimpan semua project (window session, worksheet, project manager dan graph), kedua hanya untuk menyimpan worlsheeet, dan terakhir hanya untuk menyimpan grafik. Jika ingin menyimpan suatu file dalam window tertentu, pastikan windownya sedang aktif sehingga dalam menu File, perintah print akan diikuti nama. 3.4
Membuat Worksheet Langkah-langkah membuat worksheet baru adalah: 1.
Pilih File > New atau tekan tombol [Ctrl] + [N]
2.
Pilih Minitab Worksheet
3.
Klik OK
Memasukkan Data Menggunakan Autofill Memasukkan Deret Bilangan Tunggal berulang dari Data Tunggal
11
Kita dapat memasukkan deret bilangan tunggal hanya dengan mengisikan data. Contoh bilangan tunggal berulang adalah: •
1, 1, 1, …
•
putih, putih, putih, …
•
1/99, 1/99, 1/99, ….
Langkah-langkahnya sebagai berikut: 1. Ketikan data tunggal, misalnya 1 pada sel pertama dalam kolom C1. 2. Blok sel seperti tampak dalam gambar 3.4 (a) . 3. Letakkan kursor di pojok kanan bawah sel sehingga kursor berubah menjadi +, klik kiri, tahan dan geser ke bawah sampai baris ke-n.
Gambar 3.4 Autofill untuk memasukkan deret bilangan tunggal Catatan: Untuk data tipe date/time, pada tahap kedua, tekan [Ctrl]. Memasukkan Deret Bilangan berpola yang Berulang Contoh pola deret berpola yang berulang adalah: •
1, 2, 3, 1, 2, 3, …
•
merah, putih, merah, putih, …
•
Jan-07, Feb-07, Jan-07, Feb-07, …
Langkah-langkahnya sebagai berikut: 1.
Pada kolom C1, ketikkan angka 1, 2 dan 3 pada baris pertama, kedua
dan ketiga. 2.
Blok ketiga sel seperti ditunjukkan dalam gambar 3.5.
12
3.
Tekan tombol [Ctrl] dan letakkan kursor pada pojok kanan bawah sel
yang di blok sehingga kursor berubah menjadi +. Klik kiri, tahan dan geser ke bawah sampai baris ke-n
Gambar 3.5 Memasukkan deret bilangan berpola menggunakan autofill Memasukkan Deret Bilangan dari Beberapa Bilangan Conto deret bilangan yang mempunyai selisih sama adalah: •
Dari 1 untuk membuat: 1, 2, …, 100
•
Dari 1/1/07 untuk membuat : 1/1/07, …, 2/2/07
•
Dari hari 1 untuk membuat : hari 1, …, hari 100
Langkah-langkahnya adalah: 1. Pada kolom C1, masukkan angka 1 dan 2 pada baris pertama dan kedua. 2. Letakkan kursor pada sel yang telah diberi angka seperti diutnjukkan dalam gambar 3.6 3. Tekan [Ctrl], lalu letakkan kursor di pojok kanan bawah sel yang diblok sehingga kursor berubah bentuk menjadi +, Klik kiri, tahan dan geser ke bawah.
Gambar 3.5 Memasukan deret bialngan menggunakan autofill
13
Memasukkan Deret dari Daftar Tertentu Deret berikut merupakan deret tertentu, misalnya nama hari, bulan dan jam: •
Jan, Feb, …, Dec
•
Mon, Tue, …, Sun
Langkah-langkahuntuk memasukkan data seperti berikut: 1. Isikan kata “Jan” pada baris pertama dalam kolom C5. 2. Blok sel data seperti ditunjukkan dalam gambar 3.6 3. Letakkan lursor di pojok kanan bawah sel yang diblok sehingga kursor berubah menjadi +. Klik kiri, tahan dan geser ke bawah.
Gambar 3.6 Memasukkan data untuk deret tertentu. Memasukkan Data Melalui Window Session Sebelum menuliskan perintah pada window session, pastikan terdapat command prompt “MTB >” pada window session. Jika belum ada, cara mengaktifkannya adalah meletakkan kursor pada window Session. Selanjutnya, beri cek pada Editor > Enable Commands. Ada beberapa contoh memasukkan data dari window session. Contoh 1. Jika data akan dimasukkan pada kolom C1, baris pertama sampai baris kesembilan akan diisikan angka 1,4,3,5,9,2,4,6,7,dan 5. Caranya: 1. Tuliskan perintah di bawah pada window session: MTB > SET c1 (enter) DATA> 1 4 3 5 9 2 4 6 7 5 (enter) DATA> END (enter)
14
2. Lihat kolom C1 pada window data. Contoh 2 Jika akan dimasukan pada kolom C2, baris pertama sampai kesembilan akan diisikan angka 1 sampai 9. Caranya: 1. Tuliskan perintah berikut pada window session: MTB> SET C2 (enter) DATA> 1 : 9 (enter) DATA> END (enter) 2. Lihat hasilnya pada kolom C2 di window data. Contoh 3. Jika data akan dimasukkan pada kolom C3, mulai dari baris pertama sampai kesembilan akan diisikan angka 1. Caranya: 1. Tuliskan perintah berikut pada window session: MTB> SET C3 (enter) DATA> 9 (1) (enter) DATA> END (enter) 2. Lihat hasilnya pada kolom C3 di window data Contoh 4 Jika akan dimasukkan data pada kolom C4, baris pertama sampai baris kesembilan akan diisikan angka 1,1,1,2,2,2,3,3, dan 3. Caranya: 1. Tuliskan perintah berikut pada window session: MTB> SET C4 (enter) DATA> 3 (1)
3 (2) 3 (3) (enter)
DATA> END (enter) atau MTB> SET C4 (enter) DATA> (1:3) 3 (enter) DATA> END (enter) 2. Lihat hasilnya pada kolom C4 di window data.
15
Contoh 5 Jika akan dimasukkan data pada kolom C5, baris pertama sampai kesembilan akan diisikan angka 1,2,3, 1,2,3,1,2 dan 3. Caranya: 1. Tuliskan perintah berikut pada window session: MTB> SET C5 (enter) DATA> 3 (1:3) (enter) DATA> END (enter) 2. Lihat hasilnya pada kolom C5 di window data. Memasukkan Data Berpola Melalui Menu Calc Memasukkan Deret Bilangan yang Selisihnya Sama Jika akan memasukan deret : 100, 90, …, 10, 100, 90, …, 10. Caranya adalah: 1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Simple Set of Numbers.
Gambar 3.7 Kotak Dialog Simple Set of Numbers 2. Pada Store patterned data in, isikan C6. artinya adalah data yang akan dibuat dimasukkan ke dalam kolom C6. 3. Karena kita mengetahui nilai awal adalah 100, isikan 100 dalam From forst value 4. bilangan terakhir deret adalah 10, maka dalam To last value, isikan 10. 5. Isikan 10 dalam In steps of karena selisih deret adalah 10.
16
6. Dalam List each value, isikan 1. koolom dimaksudkan untuk mengulang tiap bilangan. 7. deret yang akan dimasukkan adalah deret bilangan 100 – 10 yang berselisih 10 dan diulangsebanyak 4 kali. Oleh karena itu, isikan 4 dalam List the whole sequence. 8. Klik OK. Outputnya ditampilkan dalam kolom C6. Kolom memperlihatkan 40 pengamatan. Deret diawali dengan bilangan 100 dan pengamatan ke 40 berisi bilangan 10. Memasukkan Deret Bilangan yang Selisihnya Tidak Sama Berikut adalah data yang ingin dimasukkan: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 11, 11 Langkah-langkah membuat deret dalam Minitab asalah: 1.
Pilih Calc > Make Pattern Data > Arbitrary Set of Numbers.
Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikut
Gambar 3.8 Kotak dialog Arbitrary Sets of Numbers 2.
Di bawah Store Patterned data in, isikan c7
3.
Di bawah Arbitrary set of numbers, isikan 2 : 4 7 11
4.
Dalam List each value, isikan 2
5.
Dalam List the whole sequence, Isikan 1
6.
Klik OK
17
Memasukkan Deret Bertipe Data Text Minitab memberikan pula kemudahan memasukkan deret berpola yang bertipe text. Contoh deret adalah kamu, saya, mereka, kamu, saya, mereka. Cara memasukkan data adalah 1.
Pilih Calc > Make Pattern Data > Text Values. Layar monitor
akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikut
Gambar 3.9 Kotak dialog Text Values 2.
Di bawah Store Patterned data in, isikan c8
3.
Di bawah Text values, isikan kamu, saya, mereka
4.
Dalam List each value, isikan 1
5.
Dalam List the whole sequence, Isikan 2
6.
Klik OK
Memasukkan Deret Beraturan Bertipe Date/Time Contoh deret bertipe date/time beratruran adalah 11/1/07, 11/2/07, …, 11/30/07 Cara memasukkan data pada contoh adalah: 1.
Pilih Calc > Make Pattern Data > Text Values. Layar monitor
akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikut
18
Gambar 3.10 Kotak dialog Simple Set of Date/Time Values 2.
Di bawah Store Patterned data in, isikan c9
3.
Di bawah Patterned Sequence in, isikan 11/1/07 dalam start
Date dan 11/30/07 dalam End Date. 4.
Dalam List each value pilih Day dan isikan 2 dalam by. Artinya
selang deret yang akan dibuat adalah dua hari. 5.
Dalam List each value dan List the whole sequence masing-
masing isikan angka 1. 6.
Klik OK.
Tipe Data Dalam melakuakn analisa data statistic, kita harus memperhatikan skala data yang akan diolah. Dalam Minitab, skala data berkaitan dengan tipe data. Minitab menyediakan 3 tipe data, yaitu: •
Numeric
•
Text
•
Date/Time
Ketiganya bisa diatur sesuai dengan keinginan pengguna. Bila dikaitkan denan jenis skala data, tipe data numeric adalah jenis skala data kuantitatif (interval atau rasio), tipe data text dan date/time adalah jenis skala data kualitatif. Menentukan Tipe Data Memformat Data Bertipe Numeric
19
1. Tempatkan kursor pada salah satu sel di kolom C1 dan klik kanan. Setelah itu, daftar menu seperti pada gambar 3. 11.
Gambar 3. 11Menu untuk menentukan tipe data 2. Pada perintah Format Column, ada 3 pilihan tipe data, yaitu numeric, text, dan date/time. Plih numeric. 3. Pada kotak dialog Numeric Format Column, pilih exponential with di bawah Format. Isikan angka 2 dalam kotak decimal places. Klik OK. 4. Dalam kolom C1, masukkan 1; 0.2; dan 500 pada baris pertama, kedua dan ketiga. Tampilan kolom C1 dalam worksheet adalah
Gambar 3. 12 Tampilan dalam kolom C1 Memformat Data Bertipe Text 5. Letakkan kursor pada salah satu sel di kolom C6. 6. Klik kanan. 7. Dalam menu, pilih Format Column > Text. Nama kolom C6 akan menjadi C6-T. Artinya, tipe data pada kolom C6 adalah text. 8. pada baris pertama, kedua, danketiga, ketikkan Indonesia, @, dan Rp.10.000
20
Gambar 3. 13 Tampilan dalam kolom C6 Memformat Data Bertipe Date/Time 1. Letakkan kursor pada salah satu sel dalam kolom C7. 2. Klik kanan. 3. Pilih Format Column > Date/Times Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog Date/Time Column. Format seperti ditunjukkan gambar 3. 14
Gambar 3. 14 Kotak Dialog untuk format date/time 4. Pilih h:mm:ss AM/PM di bawah Current Date /Time Formats. Kolom example menunjukan contoh tipe data. 5. Klik OK. Nama kolom akan menjadi C7-D. Artinya tipe data pada kolom C7 adalah date/time. 6. Dalam kolom C7 baris pertama sampai ketiga, ketikkan 12;11:23 dan 9:50:23 Tampilan pada kolom C7 menjadi:
21
Gambar 3. 15Tampilan kolom C7. Memanipulasi Data Membuat Rangking Sebagai ilustrasi, data yang digunakan untuk membuat rangking adalah data dari worksheet Nuclear.MTW. Jumlah reactor nuklir di setiap negara berbeda-beda, ada yang banyak maupun sedikit. Jika ingin mengetahui rangking suatu Negara berdasarkan jumlah reactor nuklir , caranya adalah: 1.
Pilih Data > Rank seperti gambar 3. 16 di bawah.
Gambar 3. 17 Kotak Dialog Rank 2.
Dalam kotak dialog Rank, masukkan variable Jumlah Reaktor
Nuclear ke dalam Rank data in. 3.
Dalam Store in, masukkan C4
4.
Klik OK
Outputnya bisa dilihat dalam worksheet pada kolom C4. Dalam hal ini urutannya dari data terkecil hingga terbanyak. Data memperlihatkan ada dua Negara yang jumlah reactor nuklirnya 1, yaitu Belanda dan Switzerland. Karena ada 2 negara, maka kedua Negara dalam kolom C4 diberi rangking 1,5.
22
Gambar 3. 18 Rangking jumlah reactor nuklir di suatu negara Membuat Urutan Data Rangking Negara-negara yang memiliki reactor nuklir diurutkan mulai dari Negara yang memiliki jumlah reactor nuklir paling sedikit sampai paling banyak. Caranya adalah: 1.
Pilih Data > Sort, seperti pada gambar di bawah.
Gambar 3. 19 Kotak Dialog Sort 2.
Dibawah Sort column(s), masukkan variable Negara, Jumlah
reactor nuklir, dan Benua. 3.
Pada By column, masukkan C4
4.
Di bawah Store sorted data in, pilih Column(s) of current
worksheet 5.
kolom di bawah column(s) of current worksheet akan aktif.
Kemudian ketikkan C9, C10, C11 dalam kolom. 6.
Klik OK
23
MODUL IV ANALISIS STATISTIK SEDERHANA Pada modul ini akan membahas beberapa analisis statistic sederhana, yaitu membangkitkan bilangan acak, menghitung statistic, analisis deskriptif dan membuat grafik. 4.1
Membangkitkan Bilangan Acak Apabila akan melakukan studi simulasi, kita tentu membutuhkan data dari distribusi tertentu. Minitab menyediakan kemudahan memabngkitkan data dengan distribusi tertentu. Data yang akan dibangkitkan adalah data yang berdistribusi eksponensial dengan rata-rata (λ ) sebesar 0.25. cara memabngkitkan data adalah: 1. Buka project baru pilih Minitab Project 2. Pilih Calc > Random Data > Eksponential. Kotak dialog akan mucul seperti gambar di bawah.
Gambar 4.1 Kotak Dialog Exponential Distribution. 3. Dalam Generate, isikan 500 untuk membangkitkan data sebanyak 500 pengamatan. 4. Untuk menyimpan data ketikkan C1 di bawah Store in column (s) 5. isikan 0.25 dalam scale dan 0 dalam Treshold. Artinya data yang berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 0.25.
24
6. Klik OK Worksheet pada kolom C1 menunjukan output yang ditampilkan dalam Minitab. Dalam kolom tersebut akan terdapat bilangan acak sebanyak 500 data. Dalam Minitab, tiap kali akan membangkitkan bilangan acak, bilangan yang dihasilkan akan berbeda. 4.2
Uji Distribusi Data Untuk membuktikan bahwa data yang yang telah dibangkitkan benar-benar sesuai dengan yang diinginkan, kita perlu melakukan uji distribusi data.Tahap-tahap uji distribusi data antara lain: 1. Pilih Stat > Reliability/Survival > Distribution Analysis (Right Censoring) > Parametric Distribusi Analysis.
Gambar 4.2 Kotak Dialog Parametric Distirbution Analysis 2. Di bawah variable isikan C!, karena data yang akan diuji ada pada kolom C1. 3. Pada Assumed distribution pilih Exponential 4. Selanjutnya, klik OK Interpretasi Output Uji Distribusi Output Minitab akan ditunjukan dalam window Session dan window Graph.
25
Gambar 4.3 Grafik plot probabilitas untuk uji distribusi data Grafik diatas menunjukan plot uji distribusi eksponensial untuk data dalam kolom C1. Suatu data dikatakan mengikuti distribusi tertentu apabila titik-titiknya mengikuti garis lurus. Selain plot probabilitas, gambar 4.3 menunjukkan pula nilai rata-rata, standar deviasi, median, interquartil range (IQR) untuk data di kolom C1. Berdasarkan output, diketahui rata-rata data adalah 0.259. Nilai rata-rata hamper mendekati rata-rata yang diinginkan yaitu 0.25. Semakin kecil perbedaannya menunjukkan validitas alat pembangkit data. Untuk mengetahui bahwa data yang telah dibangkitkan telah mengikuti distribusi eksponensial, kita melakukan uji hipotesis. Dalam hal ini uji hipotesisnya adalah H0 : data mengikuti distribusi eksponensial H1 : data tidak mengikuti distribusi eksponensial Uji hipotesis akan menggunakan level toleransi (α ) sebesar 5 %. Untuk membuktikan hipotesis, uji distribusi menggunakan statistic Anderson-Darling. Semakin kecil nilai statistic Anderson-Darling semakin besar peluang gagal meolak hipotesis awal. Distribution Analysis: C1 Variable: C1 Censoring Information Uncensored value
Count 500
Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y)) Distribution:
Exponential
Parameter Estimates Parameter Mean
Estimate 0.269684
Standard Error 0.0121369
95.0% Normal CI Lower Upper 0.246916 0.294553
Log-Likelihood = 161.514 Goodness-of-Fit Anderson-Darling (adjusted) = 0.716 Characteristics of Distribution
Mean(MTTF) Standard Deviation Median First Quartile(Q1) Third Quartile(Q3) Interquartile Range(IQR)
Estimate 0.269684 0.269684 0.186931 0.0775834 0.373862 0.296279
Standard Error 0.0121369 0.0121369 0.0084127 0.0034916 0.0168253 0.0133338
95.0% Normal CI Lower Upper 0.246916 0.294553 0.246916 0.294553 0.171149 0.204169 0.0710332 0.0847376 0.342298 0.408337 0.271264 0.323600
26
Evaluasi hasil uji distribusi bisa dilakukan hanya pada salah satu window karena hasil pada window session maupun window graph tidak berbeda. Perbedaanya adalah output teks tidak menampilkan grafik plot probabilitas yang dapat mempermudah interpretasi hasil. 4.3
Membuat Histogram Kita bisa mengetahui pola distribusi suatu data dalam kolom C1, C2 dan C3 secara bersamaan dengan membuat histogram. Dalam Minitab dapat membuat histogram melalui menu Graph. Langkah-langkah membuat histogram adalah 1. Pilih Graph > Histogram. Pada layar monitor akan muncul gambar berikut
Gambar 4.5 Kotak Dialog Histogram 2. Pada kotak dialog, pilih With Fit and Groups. Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog seperti gambar 4.6
Gambar 4.6 Kotak Dialog Histogram- With Fit and Groups
27
3. Data yang akan dibuat histogramnya adalah data dalam kolom C1, C2 dan C3. Oleh kaena itu masukkan C1 C2 C3 di bawah Graph variable. Histogram dibuat untuk melihat bentuk probability distribusi function (pdf) data pada kolom C1 sampai C3. Dalam histogram kita bisa membuat garis pdf yang menggambarkan bentuk distribusi data. Cara melakukannya adalah 1. Pada kotak dialog Histogram-With Fit and Groups, pilih Data View 2. pada kotak dialog pilih Distribution. 3. Di bawah Distribution, pilih Exponential. Ini berarti plot pdf akan membentuk distribusi eksponential berdasarkan pengamatan. 4. Selanjutnya klik OK. 4.4
Menghitung Statistik Sebelum menghitung data, sebagai ilustrasi masukkan data pada table 4.1 di bawah ini ke dalam worksheet baru. Tabel 4.1 Data Penggunaan Listrik per bulan Ukuran Rumah (kaki2) 1290 1350 1470 1600 1710 1840 1980 2230 2400 2930
Penggunaan Listrik per Bulan (KwH) 1182 1172 1264 1493 1671 1711 1804 1840 1956 1954
Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich, T.,1995. Statistics for Engineering and The Sciences, Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey
Statistik yang diinginkan adalah rata-rata ukuran rumah danpenggunaan listrik per bulan. Langkah-langkah menghitungnya adalah: 1. Pilih Calc > Column Statistics. Kotak dialog akan muncul seperti gambar 4.7.
28
Gambar 4.7 Kotak Dialog Column Statistics 2. Karena statistic yang diinginkan adalah rata-rata, maka di bawah statistic pilih mean. 3. Variabel yang dihitung adalah variable penggunaan listrik per bulan sehingga isikan variable listrik per bulan ke dalam input variable. 4. Selanjutnya, klik OK Gambar 4.8 menunjukan outputnya dalam window session Mean of Penggunaan Listrik per Bulan Mean of Penggunaan Listrik per Bulan = 1604.7
Gambar 4.8 Rata-rata penggunaan Listrik per Bulan Outputnya memperlihatkan rata-rata penggunaan listrik per bulan adalah 1604,7 kaki 2. 4.5
Analisis Statistik Deskriptif Analisis statistic yang paling sederhana adalah analisis statistic deskriptif. Inti anlisis statistic deskriptif adalah mengumpulkan, meringkas, dan menyajikan data dalam bentuk yang mudah dibaca. Analisis statistic menghitung beberapa statistic sederhana seperti rata-rata, standar deviasi, kuartil, median, nilai terbesar dan nilai terkecil. Tahap-tahap analisisnya sebagai berikut: 1.
Pastikan worksheet berisi data yang akan dianalisis
29
2.
Plih Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics
Gambar 4.9 Kotak dialog Display Descriptive Statistics 3.
Masukkan variable ukuran rumah dan penggunaan listrik per
bulan dalam daftar variable di bawah variable. 4.
Selanjutnya, Klik OK.
Interpretasi Output Statistik Deskriptive Output statistic deskriptive yang ditampilkan dalam window session menunjukkan beberapa istilah. Variable berarti menunjukkan variable yang dianalisis, dalam hal ini ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan. Descriptive Statistics: Ukuran Rumah, Penggunaan Listrik per Bulan Variable Ukuran Rumah Penggunaan Listr
N 10 10
N* 0 0
Variable Ukuran Rumah Penggunaan Listr
Q3 2273 1868.5
Mean 1880 1604.7
SE Mean 164 97.2
StDev 518 307.4
Minimum 1290 1172.0
Q1 1440 1243.5
Median 1775 1691.0
Maximum 2930 1956.0
Gambar 4.10 Output Statistik Deskriptive Selain variable, output memperlihatkan huruf N yang berate jumlah pengamatan yang dianalisis sebnayak 10 pengamatan. Statistik deskriptive menunjukkan ukuran kecenderungan pusat seperti rata-rata (mean), median (median), kuartil 1 (Q1), dan kuartil 3 (Q3), serta ukuran penyebaran seperti standar deviasi (StDev), dan standart error of mean (SE Mean). Statistik deskriptive menyeeediakan informasi data tertinggi (maximum) dan
terendah (minimum) yang berguna untuk
30
mengukur range sebagai ukuran penyebaran data. Standard error of mean tidak selalu digunakan dalam statistic deskriptive. Untuk menghitungya standard deviasi dibagi dengan
n . Statistik deskriptive merupakan ukuran penyebaran distribusi
rata-rata sampel yang berguna untuk uji hipotesis. 4.6
Membuat grafik Salah satu tujuan membuat grafik data adalah supaya informasi lebih menarik dan mudah dipahami. Salah satu grafik yan gakan dibuat adalah scatter diagram. Grafik yang menggambarkan pola hubungan antara dua variable adalah scatter diagram atau scatter plot. Cara membuat plot data adalah: 1.
Pilih menu Graph > Scatterplot
Gambar 4.11 Kotak Dialog untuk memlih bentuk scatterplot Kotak dialog menyediakan beberapa bentuk scatterplot. Scatterplot yangakan dibuat adalah scatterplot sederhana dan hanya menggambarkan hubungan antara dua variable. Cara melakukannya adalah: 2.
Pilih sample
3.
Kemudian klik OK
4.
Masukkan variable yang akan dijadikan sebagai variable y dan variable x.
5.
Kemudian klik OK.
31
Gambar 4.12 Scatter diagram hubungan ukuran rumah dengan penggunaan listrik per bulan Output proses menghasilkan scatter diagram yang bentuknya seperti dalam gambar 4. 12. output memperlihatkan titik dalam grafik yang merupakan data. Setiap titik pada gambar diatas menunjukkan hubungan antara variable y dengan variable x.
32
MODUL V MEMBANDINGKAN RATA-RATA POPULASI Suatu penelitian sering ingin membandingkan suatu populasi dengan nilai statistic tertentu atau membandingkan suatu populsi dengan populasi lain. Minitab menyediakan beberapa metode utnuk melakukan analisis statistic ini. Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Besar (n ≥ 30) Uji 1 arah Uji 2 arah Uji 1 arah Hipotesis: Hipotesis: Hipotesis: H 0 : µ = µ0 H 0 : µ = µ0 H 0 : µ = µ0 H1 : µ < µ 0 H1 : µ ≠ µ 0 H1 : µ < µ 0 Statistik uji: Statistik uji: Statistik uji: y − µ0 y − µ 0 z = y − µ0 ≈ y − µ 0 y − µ0 y − µ 0 z= ≈ z = σy ≈ s/ n σy σy s/ n s/ n Daerah penolakan Daerah penolakan Daerah penolakan z > za atau z < −z z > za atau z < − zaa z > za / 2 Asumsi: Asumsi: Data mendekati distribusi normal Data mendekati distribusi normal Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Kecil Uji 2 arah Uji 1 arah Hipotesis: Hipotesis: H 0 : µ = µ0 H 0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ 0 H1 : µ < µ 0 Statistik uji: Statistik uji: y − µ0 s/ n Daerah penolakan t > ta atau t < −ta Derajat Bebas (df) = n – 1 Dimana n adalah jumlah data Asumsi: Data mendekati distribusi normal t=
5.1
Daerah penolakan t > ta / 2
Uji Rata-rata Populasi
33
Dalam statistika, uji hipotesis dilakukan untuk membandingkan rata-rata suatu populsi. Salah satu metode uji hipotesisnya adalah uji t dan uji z. Uji t menggunakan statistika t dan uji z menggunakan statistika z. Uji t digunakan apabila jumlah sample kurang dari 30 (n ≤ 30) . Dan standar deviasi (σ ) populasi tidak diketahui. Sebaliknya, statistika z digunakan jika jumlah sample besar (n ≥ 30) dan standar deviasi (σ ) populasi diketahui. Kedua statistic dapat digunakan apabila data mengikuti atau mendekati distribusi normal dengan parameter tertentu. Bila data tidak memenuhi asumsi tersebut maka kedua uji tidak bisa digunakan. Sebagai contoh data yang digunakan terdapat pada table 5.1, yaitu data rasio panjang tulang terhadap lebar tulang lengan atas dari fosil suatu species. Para arkeolog meyakini bahwa rasio dapat digunakan untuk menentukan jenis spesies binatang tertentu. Sebelumnya mereka telah menemukan spesies A yang memilki rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang adalah 8.5. Tabel 5.1 Data rasio panjang terhadap lebar pada tulang lengan atas 10.73 8.48 8.52 8.91 8.93 9.38 8.89 8.71 8.87 11.77 8.80
9.07 9.57 6.23 10.48 10.02 9.20 9.29 9.41 10.39 8.38
10.33 9.94 6.66 9.39 11.67 9.98 8.07 9.35 9.17 8.30
9.84 8.37 8.86 9.89 9.17 9.17 6.85 9.93 8.17 12.00
Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich, T.,1995. Statistics for Engineering and The Sciences, Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey
Untuk membuktikan bahwa keempatpuluh satu spesies sama dengan spesies A, maka kita perlu melakukan uji rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang fosil yang telah ditemukan. Dari penelitian standar deviasi tidak diketahui, maka yang akan digunakan adalh uji t. Tahap-tahap melakauakan uji t dalam Minitab adalah: 1. Pilih Stat > Basic Statistic > 1-Sample t.
34
2. Dalam kotak dialog masukkan varibel Rasio ke dalam kotak di bawah Varibel. Dalam analisis, rata-rata rasio data dalam table akan dibandingkan dengan rasio spesies A, yaitu 8.5. cara melakukannya adalah: 3. Isikan 8.5 ke dalam Test mean. 4. pilih Graph untuk menampilkan output dalam bentuk grafik. 5. beri tanda cek pada Histogram of Data. 6. Kemudian klik OK
Gambar 5.1 Kotak Dialog 1 sampel t Interpretasi output Gambar 5.2 dan 5.3 menunjukkan output analisisnya. Output 5.2 menunjukkan nilai-nilai statistic seperti rata-rata, standar deviasi dan selang kepercayaan 95% untuk rata-rata. T: Rasio One-Sample Test of mu = 8.5 vs not = 8.5 Variable Rasio
N 41
Mean 9.24732
StDev 1.20245
SE Mean 0.18779
95% CI (8.86778, 9.62686)
T 3.98
P 0.000
Gambar 5.2 Hasil uji rata-rata 1-sample t Hipotesis Hipotesis pada analisis adalah: H0 : Rata-rata rasio tulang ( µ ) = 8.5 H1 : Rata-rata rasio tulang ( µ ) ≠ 8.5
35
Dugaan (hipotesis) awal adalah keempat uluh satu fosil yang telah ditemukan sama dengan spesies A. Sebaliknya, hipotesis alternative mengatakan bahwa keempat puluh satu fosil yang telah ditemukan tidak sama dengan spesies A. Daerah Penolakkan Uji 1 arah: Tolak hipotesis awal apabila t > tα atau (t > −tα ) Uji 2 arah: Tolak hipotesis awal apabila t > ta / 2
Gambar 5.3 Histogram Rasio Interprestasi Output Uji Rata-rata Populasi Analisis menggunakan level toleransi α sebesar 5% dan uji 2 arah. Tabel distribusi t memperlihatkan nilai | t0.05/ 2 | dengan derajat bebas n-1 = 41 – 1 = 40 sebesar 2.021. Gambar 5.2 menunjukkan nilai statistic T sebesar 3.98. Apabila statistic T pengamatan dibandingkan dengan statistic tα / 2 , statistic T lebih besar. Ini berarti kesimpulannya adalah menolak hipotesis awal jaid, uji 2 arah menunjukkan bahwa keempat puluh satu fosil tulang yang telah ditemukan tidak sama dengan jenis spesies A. 5.2
Membandingkan Rata-rata Dua Populasi dalam Satu Percobaan Untuk menggambarkan uji antara 2 populasi, akan menggunakan ilustrasi dalam Tabel 5.2 yang merupakan data pengukuran waktu respons antara 2 jenis disc
36
drive 1 dan disc drive 2. Jenis disc dirve 1 memperoleh 13 pengamatan, sedangkan disc drive 2 memperoleh 12 pengamatan. Peneliti ingin membandingkan kedua jenis disc drive. Tabel 5.2 Waktu respons 2 jenis Disc Drive 59 92 54 102 73
Disc Drive 1 60 73 75 74 84
47 33 61
71 38 47 53 63
Disc Drive 2 48 41 68 40 60
44 39 34 75 86
Tahap-tahap analisis data dalam Minitab sebagai berikut: 1. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-Sample t
Gambar 5.4 Kotak Dialog 2-Sample t 2. Pilih Sample in difference columns 3. Dalam First masukkan variable Disk 1 4. Dalam Second masukkan variable Disk 2 5. Analisis mengasumsikan varian populasi adalah sama. Cara melakukan uji t yang mengasumsikan bahwa varian populasi adalah sama: 6. Beri tanda cek pada Assume equal variance 7. Klik tomobl Graph 8. Pada kotak dialog, beri tanda cek pada Boxplot of Data 9. Selanjutnya, klik OK.
37
Two-Sample T-Test and CI: Disc Drive 1, Disc Drive 2 Two-sample T for Disc Drive 1 vs Disc Drive 2 Disc Drive 1 Disc Drive 2
N 13 15
Mean 68.2 53.8
StDev 18.7 15.8
SE Mean 5.2 4.1
Difference = mu (Disc Drive 1) - mu (Disc Drive 2) Estimate for difference: 14.4308 95% CI for difference: (1.0468, 27.8148) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.22 Both use Pooled StDev = 17.1831
P-Value = 0.036
DF = 26
Gambar 5.5 Hasil Uji Rata-rata dua sample independen
Gambar 5.6 Boxplot Disc Drive 1 dan Disc Drive 2 Hipotesis Hipotesis untuk tabel adalah
H 0 : ( µ Disk _ Drive _1 − µ Disk _ Drive _ 2 ) = 0 H1 : ( µ Disk _ Drive _1 − µ Disk _ Drive _ 2 ) ≠ 0 Hipotesis awal (H0) mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 sama dengan rata-rata waktu respon disc drive 2. sebaliknya, hipotesis alternative (H 1) mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan rata-rata waktu respons disc drive 2. Daerah Penolakan 38
t > ta / 2
Interpretasi Output Uji Rata-rata 2 Sampel Independen
α / 2 = 0.025
α / 2 = 0.025
−2.056 Daerah penolakan
2.056 Daerah penolakan
Gambar 5.7 Daerah penolakan pada distribusi t untuk α = 5% dan df=40 Uji rata-rata dua sampel independent akan menggunakan level toleransi α sebesar 5%. Derajat bebas (df) pada penelitian adalah 26. Tabel distribusi t menunjukkan nilai statistic t0.05/2 pada df =26 sebesar 2.056. Output 5.5 memperlihatkan statistic T hasil pengamatn adalah 2.22./ bila dilihat pada grafik penolakan gambar 5.7 menunjukan bahwa statistic T(2.22) jatuh di daerah penolakan. Hasil menunjukan bahwa waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan waktu respons disc drive 2. Boxplot pada gambar 5.6 menunjukan bahwa waktu respons disc drive 1 lebih cepat dibandingkan waktu respons disc drive 2, yang terlihat dari posisi rata-rata waktu responsdisc drive 1 lebih tinggi dari pada rata-rata waktu respons disc drive 2. 5.3
Membandingkan Varian dua Populasi Suatu penelitian tidak mengukur rata-ratanya, tetapi juga varian datanya yang menunjukkan penyebaran data. Ada 2 metode utnuk melakukan uji dengan menggunakan varian, yaitu uji varian suatu populasi dan uji rasio antara 2 varian. Uji varian suatu populasi digunakan untuk menguji kesesuaian varian suatu data dengan varian tertentu. Aapaun uji rasio varian digunakan apabila 2 populasi yang variannya akan dibandingkan. Kedua metode sama-sama mensyaratkan distribusi yang mendasari data adalah distribusi normal.
39
Sebagai ilustrasi, agar mudah memahami mengenai uji rasio antarvarian maka kita akan menggunakan data pada table 5.2. Uji varian 2 populasi Uji 1 arah Hipotesis: σ 12 H0 : 2 = 1 σ2
Uji 2 arah Hipotesis: σ 12 H0 : 2 = 1 σ2
σ 12 σ 12 > 1 atau <1 σ 22 σ 22 Statistik uji: s12 s22 F = 2 atau F = 2 s2 s1 Daerah penolakan F > Fa Derajat Bebas v1 = n1 − 1 v2 = n2 − 1
σ 12 ≠1 σ 22 Statistik uji:
H1 :
H1 :
F=
s12 jika s12 > s22 s22
s22 jika s22 > s12 s12 Daerah penolakan F > Fa / 2 F=
Langkah-langkah untuk melakukan uji varian 2 populasi dalam Minitab adalah: 1. PIlih Stat > Basic Statistics > 2 variances
Gambar 5.8 Kotak Diaolg 2 Varians 2. Pilih Samples in different columns 3. Dalam First, Isikan Dsik 1 4. Dalam Second, isikan Disk 2 5. Selanjutnya klik OK
40
Hipotesis Hipotesis pada analisis adalah: 2 σ Disk H 0 : 2 _ drive _1 = 1 σ Disk _ drive _1 2 σ Disk H1 : 2 _ drive _1 > 1 σ Disk _ drive _1
Hipotesis awal (H0) menduga bahwa varian waktu respons disc drive 1 sama dengan waktu respons disc drive 2. Daerah Penolakan F > Fα Derajat bebas (df) pengamatan adalah v1 = n1 − 1 = 13 − 1 v2 = n2 − 1 = 15 − 1 Interpretsi Output Uji Rasio Varian Test for Equal Variances: Disc Drive 1, Disc Drive 2 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations N Lower StDev Upper Disc Drive 1 13 12.7930 18.6599 33.3688 Disc Drive 2 15 11.0945 15.8078 26.7933 F-Test (normal distribution) Test statistic = 1.39, p-value = 0.548 Levene's Test (any continuous distribution) Test statistic = 0.11, p-value = 0.740
Gambar 5.9 Output hasil perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive Pada output dapat terlihat bahwa nilai statistic F adalah 1.39 . Pada table distribusi F nilai F(5%,12,14) = 2.53 . Nilai F masih berada di atas nilai statistic F hasil pengamatan. Oleh karena itu, kesimpulan hasil uji adalah varian waktu respons disc drive 1 dan varian disc drive 2 secara statistic tidak berbeda.
41
Pada gambar 5.9 tampak bahwa varian waktu respons disc drive 1 sebesar 2 2 σ Disc _ drive _1 = (18.66) = 348.19 , sedangkan varians waktu respons disc drive 2 sebesar 2 2 σ Disc _ drive _ 2 = (15.81) = 249.89 . Secara matematis varian berbeda, namun secara
statistis telah terbukti bahwa kedua varian waktu respon tidak berbeda. Pada gambar 5.10menunjukkan 2 jenis grafik yaitu dotplot (grafik bagian atas) dan boxplot (grafik bagian bawah). Pada grafik memperlihatkan penyebaran waktu respons disc drive 1 tidak berbeda jauh dengan penyebaran waktu respons disc drive 2.
Gambar 5.10 Grafik hasil Perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive
42
MODUL VI ANALISIS KORELASI Koefisien korelasi Pearson berguna untuk mengukur tingkat keeratan hubungan linear anatara dua variable. Nilai korelasi berkisar antara -1 samapai +1. nilai korelasi negative berarti hubungan antara 2 variabel adalah negative. Artinya, apabila salah satu variable menurun, maka variable lainnya akan meningkat. Sebaliknya,
nilai korelasi positif
berarti hubungan antara kedua variable adalah psotif. Artinya apbila salah satu variable meningkat, maka variable lainnya meningkat pula. Suatu hubungan anatara 2 variabel dikatakan berkorelasi kuat apabila makin mendekati 1 atau (-1). Sebaliknya, suatu hubungan dikatakan lemah apabila semakin mendekati 0 (nol). Hipotesis Hipotesis untuk uji korelasi adalah: H0 : ρ = 0 H1 : ρ ≠ 0 Dimana ρ adalah korelasi antara 2 variabel. Daerah Penolakan P-value < α Untuk membuat interpretasi analisis korelasi, ada beberapa hal yang harus diingat, yaitu: 1. Koefisien korelasi hanya mengukur hubungan linear. Jika ada hubngan nonlinear, maka koefisien korelasi akan bernilai 0. 2. koefisien korelasi sangan snsitif terhadap nilai ekstrim. 3. kita bisa membuat korelasi hanya jika variable memiliki hubungan sebab akibat. Langkah-langkah menghitung korelasi antara dua variable dengan menggunakan Minitab adalah: 1. Pilih Stat > Basic Statistics > Correlation
43
2. Pada kotak dialog , letakkan variable ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan pada kolom di bawah Variabels. 3. Untuk menampilakn P-value, pilih Display p-value, klik OK.
Gambar 6.1 Kotak dialog Correlation Interpretasi Output Korelasi Output analisis korelasi yang akan ditampilkan dalam windows session. Output menunjukkan nilai korelasi atara ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan sebesar 0.898. seperti telah dijelaskan sebelumnya, apabila nilai korelasi Pearson semakin mendekati 1 atau (-1), berarti hubungan antara 2 variabel semakin erat. Karena nilai korelasi antara ukuran dan penggunaan listrik bernilai 0.898, maka hubungan antara kedua variable diduga erat. Agar lebih menyenangkan, kita perlu uji atau hipotesis. Hipotesis H0 : ρ = 0
vs
H1 : ρ ≠ 0
Dalam hal ini, hipotesis awal adalah tidak ada korelasi antara ukuran rumah dan dan penggunaan listrik, sedangkan hipotesis alternatifnya adalah ada korelasi antara ukuran dan rumah dengan penggunaan listrik. Correlations: Ukuran Rumah, Penggunaan Listrik per Bulan
44
Pearson correlation of Ukuran Rumah and Penggunaan Listrik per Bulan = 0.898 P-Value = 0.000
Daerah penolakan Penjelasan sebelumnya telah mengatakan bahwa daerah penolakan adalah apabila P-value > α . Gambar 6.2 memperlihatkan daerah penolakkannya. Pada gambar, apabila p-value jatuh dalam daerah α (daerah penolakan, daerah yang diarsir), maka berarti menolak hipotesis awal.
Interpretasi Output Analisis Hasil analisis korelasi memperlihatkan bahwa nilai P-value adalah 0. Karena P-value jatuh di daerah penolakan, maka keputusannya adalah menolak hipotesis awal yang mengatakan bahwa tidak ada korelasi antara ukuran rumah dan penggunaan listrik. Ini berarti menerima hipotesis alternative. Oleh karena itu, kesimpulan yang didapat dari uji hipotesis adalah antara ukuran rumah dengan penggunaan listrik per bulan ada hubunggan erat, yaitu sekitar 89,9%
45
MODUL VII DISTRIBUSI BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIK Ruang sampel adalah gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika dan dinyataan dengan lamabang S. Sedangkan himpunan bagian dari sampel adalah kejadian. Definisi peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel. Contoh 1. Misalkan sebuah mata uang dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah ={gambar, angka} atau {M , B} dengan M = angka, dan B = gambar. Maka suatu kejadian yang mungkin terjadi adalah {M} atau {B}. Contoh 2. Misalkan sebuah dadu dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah {1,2,3,4,5,6}, Suatu kejadian yang mungkin terjadi adalah {1} atau {2} atau … atau {6}. Penulisan ruang sampel seperti diatas tidak praktis, maka didefinisikan peubah acak, umumnya dinotasikan sebagai x, y, z, sebagai fungsi dengan daerah asal ruang sampel dan daerah definisinya bilangan real. Pada contoh 1 kita bisa representasikan suatu peubah acak diskrit x = {0,1} atau {-1, 1} dengan 0 /-1 menyatakan angka (M) dan 1/1 menyatakan gambar (B). Pada contoh 1 dan 2, peubah acak diatas (x dan y) adalah peubah-peubah acak yang diskrit. Contoh-contoh peubah acak yang kontinu adalah yang berasal dari ruang sampel yang mengukur seperti berat badan, tinggi badan, temperatur dan lain-lain. Dimana pengukurannya tersebut tidak eksak (tepat sekali). Contoh Tinggi badan= 170 cm berarti bukan mutlak tingginya 170 cm mungkin 169,999cm atau 170,005 cm. A. Distribusi Binomial
46
Pada kasus dalam distribusi bertipe diskrit seperti binomial, kejadian yang diamati hanya dikelompokkan dalam 2 kategori, yaitu sukses dan gagal. Bentuk fungsi kepadatan peluang (fkp) binomial adalah:
n n! Dimana : = x x !(n − 1)! Dengan x adalah variabel acak, n adalah banyaknya data yang diuji/eksperimen dan p adalah peluang terjadinya kejadian x. Sedangkan fungsi distribusinya :
Atau disebut juga Fungsi distributif kumulatif. Contoh : Misalkan x peubah acak berdistribusi binomial dengan banyak data n dan peluang terjadinya kejadian x adalah p, atau ditulis: x bersdistribusi B ( x; n, p ) atau x ~ B (n, p) Untuk peubah acak x yang diketahui fkp-nya, biasanya dapat dihitung ekspetasi dan variansinya, dan masing-masing didefinisikan sebagai berikut: Ekspetasi dari x : µ = E ( x) = ∑ x. p( X = x) adalah nilai harapan / rataan dari x. Variansi dari X : σ 2 = Var ( x ) = E[{x − E ( x) 2 }2 ] = E ( x 2 ) − ( E ( x)) 2 ; 2 2 dengan E ( x ) = ∑ x f ( x) :akar positif dari variansi adalah simpangan baku /standar
deviasi, yang menyatakan variansi data disekitar rata-rata. Untuk distribusi binomial:
µ = E ( x) = np (bisa dibuktikan sebagai latihan ) dan σ 2 = var( X ) = npq, dengan q = 1− p . Catatan : bedakan rataan dan variansi dalam distribusi data /statistika deskriptif dengan rataan µ dan variansi σ 2 disini.
47
Perintah-perintah padaMinitab Langkah-langkah memasukkan data yang berdistribusi binomial secara random dalam Minitab. 1. Pilih Calc > Random Data > Binomial 2. Pada kotak dialog seperti pada gambar masukan banyaknya data yang diinginkan
pada kolom Generate, contohnya 100. 3. pada kolom store in column(s) masukkan C1. 4. Isikan peluangnya pada Number of Trials 5. Isikan probability sucses contoh 0.95. 6. Kemudian klik OK.
Gambar 7.1 Kotak dialog distribusi Binomial
Probability Density Function
48
Untuk mencari fungsi kepadatan peluang atau fungsi peluang distribusi binomial dengan n dan p ditentukan dari kolom Ci yang hasilnya disimpan di kolom Cj. (Ci ≠ Cj ) . Sebagai ilustrasinya sebuah mata uang logam yang simetri dilantunkan sebanyak 10 kali. Jika dimisalkan X = jumlah muncul muka. Tentukan: a. Fungsi kepadatannya untuk setiap kejadian (x) yang mungkin b. Hitung kemungkinan muncul muka lebih dari 5 kali tapi kurang dari 9 kali! Langkah-langkahnya pada Minitab antara lain: 1. Input data pada kolom C1dari 0 : 10 2. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial 3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Probability 4. Pada Number of Trial, masukkan 10 yang menunjukkan banyaknya pengamatan. 5. Pada Probability of Succses, masukkan 0.5 yang menunjukkan peluang muncul
muka dalam 1 kali lantunan. 6. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C2. 7. Kemudian klik OK.
49
Gambar 7.2 Kotak Dialog Probability Density Function a. Fungsi kepadatannya untuk setiap kajadian (x) yang mungkin terdapat pada kolom 2 ditunjukkan dalam gambar 7.3
Gambar 7.3 Probability Density Function b. P (5 < x < 9) = P ( X = 6) + P ( x = 7) + P ( X = 8) = 0.205078 + 0.117188 + 0.043945 = 0.366211 = 36.62%
50
Cumulatif Distibution Function Untuk mencari fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial dengan n dan p ditentukan dari kolom Ci yang hasilnya diletakkan di kolom Cj. Perhatikan contoh berikut lebih lanjut. •
Misalkan peluang suatu obat x dapat menyembuhkan seseorang dari sakit flu adalah 70%. Setiap hari diasumsikan ada 10 orang yang sakit flu dan membeli obat tersebut. a. tentukan fkp dan fungsi distribusinya (FD) b. Berapakah peluang bahwa yang tidak sembuh sembuh dari sakit flu adalah 3 orang? c. Bagaimana kejadian yang mungkin terjadi untuk 20 hari yang lainnya.
Untuk menjawab pertanyaan diatas lakukan perintah-perintah berikut pada Minitab: 1. Masukkan data pada kolom C1 dari 0 : 10 2. Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dengan cara seperti di atas dan
masukkan 10 pada kotak number of trial, dan 0.7 pada kotak Probability of success. Simpan pada kolom C2. Untuk mencari fungsi kumulatif distribusi: 3. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial 4. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability 5. Pada Number of Trial, masukkan 10 yang menunjukkan banyaknya ruang
sampel. 6. Pada Probability of Succses, masukkan 0.7 7. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3.
51
8. kemudian klik OK.
Gambar 7.4 Kotak Dialog Culmulatif Distribution Function a.
Output fungsi kepadatan peluang dan kumulatif distribusi ditunjukkan
pada gambar berikut:
Gambar 7.5 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi Kumulatif b.
Ditanyakan peluang untuk 3 orang yang tidak sembuh..
Karena peluang obat x yang membuat orang sembuh adalah 70%, dan sisanya 30% adalah untuk yang tidak sembuh. Maka dengan p = 30% = 0.3, akan dicari peluang untuk 3 orang yang masih sakit, atau P(Z = 3) =? 52
Caranya : Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dan distribusi kumulatifnya
dengan cara seperti di atas dan masukkan 10 pada kotak number of trial, dan 0.3 pada kotak Probability of success. Simpan pada kolom C4.
Gambar 7.6 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi Kumulatif Dari gambar di atas diketahui bahwa peluang yang tidak sembuh dari dari flu adalah 3 orang sebesar 0.266828 = 26.68% c.
Kejadian yang mungkin terjadi selama 20 hari (untuk obat x yang
mempunyai peluang menyembuhkan orang = 70%) Caranya : Random data binomial sebanyak 20 pada kolom C4 dengan nilai n = 10 dan p = 0.7. Hasilnya dapat ditunjukkan pada tabel berikut: Tabel 7.1 Data random berdistribusi Binomial C4 5 7 6 6 7 8 9 6 8 9
8 6 8 4 4 4 6 7 7 9
B. Distribusi Hipergeometrik Distribusi binomial digunakan bila penarikkan sampel dilakukan dengan pengembalian. Untuk kasus penarikan tanpa pengembalian, digunakan distribusi 53
hipergeometrik. Misalkan 52 kartu bridge yang terdiri dari 26 kartu merah dan 26 kartu hitam. 5 kartu diambil secara acak dan ingin diketahui peluang menarik 3 kartu 26 merah dari 26 kartu merah dan 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam. Ada cara 3 26 menarik 3 kartu merah dan cara mengambil 2 kartu hitam. Jadi banyaknya cara 2 26 mengambil 3 kartu merah dan 2 kartu hitam dalam lima kali penarikkan ialah 3 26 52 . Banyaknya cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 kartu bridge ialah 2 5 . Jadi peluang mengambil 5 kartu tanpa pengembalian, 3 diantaranya merah dan 2 hitam, diberikan oleh: 26 26 3 2 = 0.3251 52 5 Percobaan hipergeometrik dapat disimpulkan sebagai berikut: Misalkan ada n benda yang terdiri dari k benda yang diberi nama sukses dan sisanya, n-k diberi nama gagal. Ingin dicari peluang memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia, bila sampel acak berukuran n diambil dari N benda. Percobaan seperti ini dikenal dengan nama percobaan hipergeometrik. Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik dinotasikan sebagai berikut: x ~ H ( N , n, k ) Dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah: k N − k x n−x P ( X = x) = f ( x) = , x = 0,1, 2,..., n N n Contoh: 54
Suatu panitia 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 kimiaawan dan 5 fisikawan. Hitunglah distribusi peluang banyaknya kimiawan dalam panitia tersebut. Jawab: Misalkan peubah acak x yang menyatakan banykanya kimiawan dalam panitia, dengan N =8, n = 5, k = 3. Distribusi peluang untuk x adalah: 3 8 − 3 x 5− x P ( X = x) = f ( x) = , x = 0,1, 2,3 8 5 P ( X = 0) = 1/ 56;
Sehingga:
P ( X = 1) = 15 / 56 P ( X = 2) = 30 / 56 P ( X = 3) = 10 / 56
C.
Latihan 1.
Buat model distribusi binomial dengan n = 12, dan p = 0.45
Jawablah a.
P(x = 6), P(x = 8)?
b.
P ( x > 8), P (3.6 ≤ x ≤ 8.2) ?
2.
Seorang insinyur pengawas lalu lintas melaporkan bahwa 755
kendaraan yang melintasi suatu daerah pemeriksaan berasal dari DKI. Buat programnya dan cari outputnya, tentukan: a.
Peluang paling sedikit 3 dari 5 kendaraan yang
lewat berasal dari luar DKI b.
Peluang ada 2 dari 10 kendaraan yang lewat berasal
dari DKI 3.
Suatu bursa buku murah memiliki 100 buku cerita dan 300 buku
umum. Seorang anak membeli 10 buku secara acak. Tentukan peluangnya bila 4 buku diantaranya adalah buku cerita? 4.
Misalkan Y suatu peubah acak, memiliki peluang sukses p = 2/3
dalam n kali pengulangan dari suatu percobaan. a. Jika n = 3, tentukan P(2 ≤ Y )! b. Jika n = 5, tentukan P( Y ≤ 2)!
55
5.
Dari kotak berisi 12 peluru, diambil 4 secara acak dan kemudian
ditembakkan. Bila kotak itu mengandung tiga peluru cacat yang tidak akan meledak. Buat programnya dan jawab berapa peluangnya: a.
Keempatnya meledak
b.
Paling banyak 2 yang tidak meledak
c.
Tepat 2 meledak atau minimal 3 tidak meledak.
MODUL VIII DISTRIBUSI POISSON Percobaan yang menghasilkan peubah acak x yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu, disebut Percobaan Poisson. Suatu percobaan poisson memiliki sifat berikut: 1. Banyaknya sukses terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terilih. 2. Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya
56
daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tertentu. 3. Peluang terjadi lebihdari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sangat sempit tersebut dapat diabaikan. Panjang selang waktu tersebut boleh berapa saja, semenit, sehari, sebulan, atau malah setahun. Contohnya seperti banyaknya mobil yang masuk tol per jam, jumlah mahasiswi yang gagal di mata kuliah kalkulus per tahun, jumlah kecelakaan yang terjadi di sekitar rumah per minggu, dan lain sebagainya. Distribusi peluang peubah acak poisson x, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh: P( x = x) = f ( x) =
e −µ µ x , x = 0,1,2,... x!
dengan µ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dan e = 2.71828 ... Misalkan X berdsitribusi poisson atau x ~ P ( µ) mempunyai mean = varian = µ . Kejadian-kejadian yang berdistribusi poisson adalah kejadian yang jarang terjadi. Distribusi binomial dengan peluang sukses (p) yang sangat kecil, dapat dihampiri dengan distribusi poisson, dengan µ = np .
A. Contoh Soal 1.
Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati
suatu perhitungan selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah empat. Berapakah peluang enam partikel melewati penghitung dalam suatu milidetik tertentu? Jawab: Dik : x = jumlah partikel yang melewati alat penghitung x ~ P ( µ) dengan
µ=4
Dit: P(X = 6)? Untuk mendapatkan jawabannya maka lakukan langkah-langkah berikut pada program Minitab: 2.
Input data pada kolom C1 0 : 20;
57
3.
Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;
4.
Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Probability;
5.
Pada kotak Mean, masukkan 4 yang menunjukkan rata-
rata. 6.
Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik
C2. 7.
Kemudian klik OK.
Gambar 8.1 Kotak Dialog Fungsi Kepadatan Probabilitas Untuk mengetahui fungsi kumulatif distribusinya lakukan langkah-langkah berikut ini: 9. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson 10. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability 11. Pada kotak dialog Mean, masukkan 4 yang menunjukkan banyaknya rata-rata
banyaknya partikel. 12. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3. 13. Kemudian klik OK
58
Gambar 8.2 Kotak Dialog Fungsi Distributif Kumulatif Output fungsi kepadatan peluang dan kumulatif distribusi ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 8.3 Output pdf dan cdf Dari data di atas diketahui bahwa P(X = 6) = f(6) = 0.104196 = 10.42% Untuk mengetahui grafiknya hubungan antara Fungsi Distribusi Kumulatif dengan banyaknya data dan Fungsi Kepadatan Peluang dengan bnyaknya data, lakukan langkah berikut ini: 1. Pilih Graph > Scatterplot > Simple > OK 2. Masukkan Fd(x) = (C3) sebagai variable sumbu y dan x =(C1) sebagai variable sumbu x. 3. Kemudian klik OK 4. Buka kembali graph. 5. Masukan f(x) = C2 sebagai variable sumbu y dan x = C1 sebagai variable sumbu x.
59
6. Kemudian klik OK. Output dari grafik dapat dilihat pada gambar berikut:
Gambar 8.4 Grafik Hubungan Fungsi Distribusi Kumulatif
Gambar 8.5 Grafik Hubungan Fungsi Kepadatan Peluang
2.
Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang
dari gelas, terjadi belembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa sample acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung? Jawab. 60
Pada dasarnya percobaan ini merupakan distribusi binomial dengan n = 8000 dan p = 0.001. karena p sangat dekat dengan nol dan n cukup besar, maka akan dihampiri dengan distribusi poisson dengan µ = np = (8000)(0.001) = 8 . Jadi jika z merupakan banyaknya barang yang bergelembung, maka : 6
6
z =0
z =0
P ( Z < 7) = ∑ b(8000.0.001) ≈ ∑ p (8) = 0.3134 Atau dapat dilihat nilai P(Z < 7) pada hasil keluaran berikut dengan menggunakan Minitab: 1. Input Data pada kolom C1 dari 0 : 10 2. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson; 3. Pada kotak dialog pilih Probability; 4. Pada kotak Mean, masukkan 8. 5. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C2. 6. Kemudian klik OK 7. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson; 8. Pada kotak dialog pilih Cumulatif Probability; 9. Pada kotak Mean, masukkan 8. 10. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3. 11. Kemudian klik OK
Outputnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:
61
Gambar 8.6 Output pdf dan cdf Dari data diatas dapat dilihat bahwa Fungsi Kumulatif Distribusi pada
P(Z =
6) = 0.313374. C. Latihan 1. Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 3 kecelakaan seminggu. Hitunglah berdasarkan program yang anda buat, peluang bahwa pada suatu minggu tertentu akan terjadi: 1. tepat 5 kecelakaan ! 2. Paling sedikit ada 7 kecelekaan ! 3. Antara ada 3 dan ada 6 kecelekaan ! 2. Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Buat programnya dan hitung :
62
a. Berapa peluangnya pada suatu hari tertentu ada tanker yang terpaksa disuruh pergi karena melebihi kapasitas pelabuhan? b. dari 30 hari yang diamati, berapa hari terdapat tepat 15 tanker? 3. Peluang seseorang meninggal karena suatu infeksipernafasan adalah 0.002. Carilah peluang bila 2000 orang yang terserang infeksi tersebut kurang dari 5 orang yang akan meninggal? 4. Suatu daerah di bagian timur Amerika Serikat, rata-rata ditimpa angina topan setahun. Carilah peluang di suatu tahun tertentu: a. tidak sampai 4 angin topan yang akan menimpa daerah tersebut. b. antara 6 sampai 8 angin topan akan menimpa daerah tersebut. 5. Dalam suatu penelitian inventori (persediaan barang) diketahui bahwa permintaan rata-rata dari gudang terhadap suatu bahan tertentu lima kali sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tertentu bahan tersebut: a. diminta lebih dari lima kali b. tidak diminta sama sekali? .
63
MODUL IX DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
A. DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS) Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar di bawah, yang mengambarkan berbagai kumpulan data yang muncul di alam, industri, dan penelitian.
µ
x
64
Distribusi normal sering disebut pula distribusi Gauss, untuk menghormati Gauss (1777-1855). Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk lonceng tadi disebut peubah acak normal. Atau ditulis X ~ N ( µ, σ 2 ) . Distribusi normal, bergantung pada dua parameter µ dan σ . Fungsi padat peluang (pdf) peubah acak normal X dengan rataan µ . Dan variansi σ 2 ialah: 1 x −µ σ
− 1 f ( x) = e 2 σ 2π
,−∞ < x < ∞
Dengan mengamati grafik serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari f(x) dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut: 1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva,
terdapat pada x = µ (atau median µ ); 2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan µ . 3. Kurva mempunyai titik belok pada x = µ ± σ . Cekung ke bawah bila
µ − σ < x < µ + σ dan cekung ke atas untuk harga x lainnya; 4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x
bergerak menjauhi µ baik ke kiri maupun ke kanan; 5. Seluruh luas di bawah kurva dan di atas sembu datar dengan 1.
Catatan: Dalam praktek/kehidupan sehari-hari, sulit sekali ditemukan suatu kasus/kejadian yang benar-benar berdistribusi normal (atau X ~ N ( µ, σ 2 ) . Kurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas dibawah kurva diantara kedua ordinat x = x1 sama dengan peluang peubah acak X mendapat harga antara x = x1 dan x = x 2 . Jadi: P ( x1 < X < x 2 ) =
x2
∫
x1
f ( x)dx =
1
σ 2π
x2
∫
e
1 x−µ − 2 σ
dx
x1
Dinyatakan dengan luas daerah yang diarsir. Berikut adalah gambar dari persamaan diatas;
65
Tabel Normal. Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal maka dibuat tabel luas kurva normal untuk rataan nol dan variansi 1. Dalam hal ini dibutuhkan untuk suatu transformasi untuk peubah acak x yang mempunyai rataan µ dan variansi σ 2 . Transformasi tersebut merupakan pemusatan dan pembakuan terhadap x, yaitu: Z=
X − µx σx
Sehingga z berdistribusi normal dengan rataan nol dan variansi 1. Distribusi peubah acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku (standar). Catatan: simpangan baku = deviasi standar. Tabel normal baku berisi informasi tentang z dan φ( z ) dimana φ( x) = P ( Z ≤ z ) = Fd ( z ) = fungsi distribusi kumulatif dari z.
Plot berdistribusi peluang normal berbentuk seperti huruf ‘S’. Untuk mempermudah i = 0.375 . n + 0.25
−1 analisa kenormalan, maka digunakan skor normal, yaitu : z = φ
Yang gunanya adalah untuk menguji apakah data yang kita peroleh itu bersitribusi normal atau tidak, dengan melihat apakah plotnya bergaris lurus atau tidak. Catatan: untuk jumlah data yang sama dan saling berbeda nilainya satu sama lainnya, maka nilai skornya sama. Contoh : a. 50 60 70 80 90 b. 35 45 55 65 75 Untuk a dan b , keduanya mempunyai nilai skor yang sama tapi berbeda datanya. Perintah-perintah pada Minitab melalui window session adalah sebagai berikut: MTB > random 20 C1; SUBC> normal 0 1. MTB > nscore C1 C2
66
MTB > plot C2*C1; SUBC> symbol.
Gambar 9.3 Scatterplot bilangan berdistribusi normal dengan normal score. MTB > cdf C1 C5 MTB > plot C5*C1; SUBC> symbol.
Gambar 9.4 Scatterplot dari cdf berdistribusi normal TB > invcdf C5 C6 MTB > Plot C6*C1; SUBC> Symbol.
67
Gambar 9.5 Scatterplot dari invcdf berdistribusi normal
Berikut ini adalah sebagian dari table normal baku: 1. Masukkan data C1 melalui window session. Langkah-langkahnya: MTB > set C1 DATA > -.5 : 1.5 / .1 DATA > END. 2. Pilih Calc > Probability Distribution > normal 3. Pada kotak dialog pilih cumulative distribution 4. Masukkan C1 sebagai input column dan C2 sebagai optional storeage. 5. Selanjutnya OK. Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
z -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Phi (z) 0.308538 0.344578 0.382089 0.420740 0.460172 0.500000 0.539828 0.579260 0.617911 0.655422 0.691462 0.725747 0.758036 0.788145 0.815940 0.841345 0.864334 0.884930 0.903200 0.919243 0.933193
Catatan : bila subcommand tidak ditulis maka mintab dengan
sendirinya
memberikan nilai (default) sama dengan normal 0.1. Diketahui x berdistribusi normal
dengan
µ = 50 & σ 2 = 10 .
Carilah
peluang bahwa x mendapat harga antara 45 dan 62. Jawab:
68
X − µ 62 − 50 45 − 50 P (45 < x < 62 ) = P < < σ 10 10 = P ( −0.5 < z < 1.2) = p ( Z < 1.2) − P ( Z < −0.5) = 0.884930 − 0.308538 = 0.576392
Suatu mesin membuat alat tahanan listrik dengan rataan tahanan 40 ohm dan simpangan baku 2ohm. Misalkan bahwa tahanan berdistribusi normal dan dapat diukur sampai derajat ketelitian yang diinginkan. Berapakah peluangnya sebuah alat mempunyai tahanan melebihi 43 ohm? Jawab: Peluang sebuah alat mempunyai melebihi 43 ohm adalah sebesar luas daerah yang diarsir pada kurva normal berikut: 43 − 40 P ( x > 43 ) = P Z > = P ( Z > 1.5) 2 = 1 − P ( Z −1.5) = 1 − 0.933193 = 0.066807
B. Hampiran Normal Terhadap Binomial (atau Poisson) Peluang binomial dapat diperoleh langsung dari rumus B ( x; n, p ) Atau dari tabel bila n kecil. Bila n besar dan tidak ada dalam daftar yang tersedia, maka peluang binomial dihitung dengan cara hampiran. Teorema : bila x peubah acak binomial dengan rataan µ = np dan variansi σ 2 = npq , , maka bentuk limit distribusinya: Z =
Bila
X −np np
, q =1 − p.........( *)
n → ∞ maka berdistribusi normal baku
Catatan : untuk
N ( z;0,1)
n → ∞ dan harga p yang sangat kecil, maka peluang binomial dapat
dihampiri oleh peluang distribusi poisson ( X ~ p( µ = np )) , sehingga membentuk persamaan (*) berubah menjadi :
69
Z =
X − np np
Contoh: X berdistribusi binomial ( x;15 ,0.4). Ditanyakan P(7 ≤ x ≤ 9) ? Jawab: 1. Dengan menggunakan rumus binomial 9
P (7 ≤ x ≤ 9) = ∑ b( x;15, 0.4) 7
P
9
0
7
= ∑ b( x;15, 0.4) − ∑ b( x;15, 0.4) = 0.9662 − 0.6098 = 0.3564 2. Dengan menggunakan hampiran normal: 9.5 − 6 6.5 − 6 P (7 ≤ x ≤ 9) = P
C. Latihan. 1. Buat table normal baku (standar) untuk z = -2.0, -1.9, …, 1.9, 2.0.
70
2. Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3.0 tahun dengan simpangan baku 0.5 tahun. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal, carilah peluang suatu baterai tertentu akan berumur kurang dari 3.2 tahun? 3. Menghitung peluang. Kerjakan langkah-langkah berikut: •
Generate 10 sampel random dari distribusi normal (15,4);
•
Urutkan sample tersebut dari kecil hingga besar;
•
Lakukan pemusatan dan pembakuan terhadap sample tersebut;
•
Hitung: i.
P( x ( 2) < X < x( 4 ) )
ii. P( x (5) < X < x (9 ) ) iii. Dengan
P( X < x( 6) ) X (i ) = data ke I yang telah diurutkan (petunjuk : gunakan tebl
pada nomor 1 diatas). 4. Suatu proses menghasilkan sejumlah barang yang 10% cacat. Bila peluang 100 barang diambil secara acak dari proses tersebut, berapakah peluang bahwa banyaknya yang cacat melebihi 13? (petunjuk – Gunakan hampiran normal) 5. Peluang seseorang sembuh dari suatu operasi jantung (yang rumit) adalah 0.9. berapakah pelluang bahwa anatara, dan termasuk, 84 dan 95 dari 100 orang yang dioperasi akan sembuh? (petunjuk : gunakan hampiran normal). 6. Suatu pengukuran dipakai untuk menolak semua suku cadang yang ukurannya tidak memenuhi ketentuan 3.50 +- d . diketahui bahwa pengukuran tersebut berdistribusi normal dengan rataan 1.50 dan simpangan baku 0.2 . tentukanlah harga d sehingga ketentuan tersebut mencakup 95% seluruh pengukuran
71
MODUL X TRANSFORMASI DAN DISTRIBUSI SAMPLING A. TRANSFORMASI Distribusi empirik yaitu berupa histogram, batang daun, dan boxplot, yang akan memberikan gambaran aantara lain tentang kesimetrisan, kecondongan, pemusatan, penyebaran dari data pengamatan. Salah satu sifat penting dari distribusi normal yaitu kesimetrisan. Distribusi normal ini sangat penting karena banyak metode statistik yang dipakai (uji hipotesis dan uji selang kepercayaan) dengan anggapan distribusi empirik data menghampiri distribusi normal. Bagaimana jika data tersebut tidak menghampiri distribusi normal,
72
dengan kata lain tidak simetri. Transformasi adalah salah satu cara untuk mengatasi masalah tersebut, dan ada cara lainnya (akan tetapi tidak selalu berhasil). Transformasi data dilakukan pada data-data yang memiliki bentuk distribusi empirik tidak simetri sehingga diperoleh bentuk yang simetri atau mendekati simetri. Contoh bentuk-bentuk distribusi empirik adalah Tinggi
x
x xx xxxxx xxx xx x
x xx xxxx xxxxx xxxx xx x
x xx xx
x xxx xxxx xxx xx x xx xxxx xxxxx xxx x x
x
xxx xxxx xx
x
Rendah 1. Menjurai ke atas, berpuncak tunggal
2. Simetri, berpuncak tunggal
3. Menjurai ke bawah, berpuncak tunggal
4.Hampir simetri berpuncak ganda
Salah satu teknik transformasi pengsimetrisan, adalah dengan : −
1 1 − , log x, 2 , x x
x
, x 2 , x 3 , dll.
Tukey menyimpulkannya dengan apa yang dinamakan Tangga Transformasi : transformasi utk menjurai ke atas 1 1 − 2 − log x x x antilog x kuat sedang
simetri
transformasi utk menjurai ke bawah x
x
tak berubah
x2
sedang
x3
kuat
Contoh 1 Distribusi empirik di bawah bersifat tidak empirik karena data yang bernilai kecil mengumpul (dapat juga dikatakan menjurai ke atas). Data : N = 60
73
0.0 sebanyak 10 baris 0.5 sebanyak 19 baris 1.0 sebanyak 14 baris 1.5 sebanyak 3 baris 2.0 sebanyak 5 baris 2.5 sebanyak 2 baris 3.0 sebanyak 4 baris 3.5 sebanyak 1 baris 4.0 sebanyak 1 baris 4.5 sebanyak 0 baris 5.0 sebanyak 0 baris 5.5 sebanyak 1 baris Langkah-langkah pengerjaan melalui program Minitab: -
Masukkan data-data tsb pada worksheet (sebanyak N = 60) di kolom C1
-
Pilih menu Graph > Simple, lalu OK
-
Pilih C1 sebagai Graph variables, lalu OK
-
Didapat plot Histogram of C1
Histogram of C1
4.8
C1
3.6
2.4
1.2
0.0 0
5
10 Frequency
15
20
Gambar 10.1 Histogram dari Distribusi Empirik
74
Jika dibuat transformasi Z = log C2, maka pengerjaan pada program Minitab: 1. Pilih Calc > calculator. 2. Pada kotak dialog calculator seperti pada gambar, masukkan C2 pada kotak store result in variable. 3. Masukkan fungsi LogT(C1) pada expression, yang artinya C2 =Logten (C1), lalu OK.
Gambar 10.2 Kotak Dialog Kalkulator 4. Plih Graph > Histogram > simple > OK. 5. Pada kotak dialog histogram masukkan variabel C2 pada kotak graph variable > OK Output histogram C2 akan ditunjukkan seperti gambar dibawah.
Gambar 10.3 Grafik histogram dari C2 dengan fungsi transformasi y = log (x) 75
Jika dibuat transformasi y =
x
, maka perintah pada program Minitab sama dengan
diatas, tetapi fungsi yang digunakan C3 = SQRT (C1). Kemudian setelah itu dibuat histogram dari C3 yang menghasilkan grafik seperti dibawah.
Gambar 10.4 Grafik Histogram dari C3 dengan fungsi transformasi y =
x
6. Pilih Graph > steam and Leaf 7. Masukkan C3 pada kotak graph variable. > OK Stem-and-Leaf Display: C3 Stem-and-leaf of C3 Leaf Unit = 0.10 10 10 10 29 29 (14) 17 14 7 3 2 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2
N
= 60
0000000000 7777777777777777777 00000000000000 222 4444455 7777 8 0 3
Analisa Pada plot pertama terlihat data sangat jauh dari normal (dikatakan menjurai ke atas). Lalu dicoba transformasi Z = log x, dan diperoleh plot kedua yang ternyata membuat data menjadi menjurai ke bawah. Dicoba lagi dengan transformasi y =
x
, dan
diperoleh plot yang lebih mendekati normal, walaupun dari histogram masih belum simetri. 76
Pencarian transformasi yang cocok masih terus dapat dilakukan sehingga dihasilkan histogram yang simetri (atau mendekati simetri) dan plot normal yang mendekati garis lurus. Contoh 2 Jika peubah acak diubah dengan mengalikan atau menambahkan suatu nilai skalar maka mean juga berubah dengan mengalikan atau menambahkan scalar tersebut. Untuk variansi, jika peubah acak dikalikan dengan scalar maka variansinya juga dikalikan dengan kuadrat skalar. Tapi jika ditambahkan dengan skalar maka variansinya tetap. Ini dikarenakan plot hanya bergeser sejauh pergeseran mean. Jadi, hanya mean yang berubah. Langkah yang dilakukan pada Minitab antara lain: 1. Pilih Calc > Random Data > Normal 2. Pada kotak Generate, masukkan 60 data dan mean = 0.4, lalu OK. 3. Pilih Calc > Calculator 4. Pada kotak dialog, masukan fungsi 3*C1 pada kotak expression > OK. 5. Pilih Stat > Basic Statistic > Display Descriptive Statistics 6. Pilih Varibel C1 dan C2 > Statistics 7. Cek Mean,Median,TrMean,Stdev,Semean, Min dan Max. > OK. Descriptive Statistics: C1, C2 Variable C1 C2
CumN 60 60
Mean 0.427 1.280
SE Mean 0.120 0.361
TrMean 0.391 1.172
StDev 0.932 2.795
Minimum -1.233 -3.698
Median 0.299 0.897
Maximum 3.336 10.009
B. DISTRIBUSI SAMPLING Misalkan akan diambil kesimpulan mengenai proporsi orang Indonesia yang merokok. Tentunya tidak mungkin menanyai semua penduduk Indonesia. Karena itu ada yang dinamakan sample acak, yaitu beberapa data dari populasi diambil secara acak, dan kemudian dihitung proporsi orang yang merokok (populasi adalah keseluruhan pengamatan yang akan diteliti). Percobaan ini dilakukan beberapa kali.
77
Suatu nilai yang dihitung dari sample dinamakan statistik. Karena banyak sampel maka kita dapatkan banyak nilai statistik yang berbeda dari sampel ke sampel. Karena itu statistik adalah suatu peubah acak juga. Dalam modul ini, akan dibahas mengenai distribusi beberapa statistik, khususnya rataan sampel dan variansi sampel. Misalkan diambil sampel berukuran n dari suatu populasi, dan diulangi sebanyak k kali, kemudian dari tiap sampel diambil rataannya, maka rataan sampel itu mempunyai distribusi, dan disebut distribusi sampling dari rataan. Jika yang diamati variansinya untuk tiap sampel, maka variansi sampel itu mempunyai distribusi dan dinamakan distribusi sampling dari variansi. Misalkan X ~ F sembarang, dengan rataan µ dan variansi σ 2 , maka E( X )
∑ xi = E n
1 = E ( ∑ xi ) = 1 ∑ E ( xi ) = 1 nµ = µ . n n n
∑ xi 1 1 V a (rX ) = V a r = 2 V a ( r∑ xi ) = 2 ∑ V a (rxi ) , n n n =
(karena xi bebas)
1 σ2 2 n σ = . n2 n
Bila populasi yang tidak diketahui distribusinya (berhingga atau tidak), diambil sampelnya, maka distribusi sampel rataannya akan berdistribusi hampir normal σ2 dengan rataan µ dan variansinya , asalkan ukuran sampel besar dan ekspetasi n
dari sampel acak dan berhingga. Contoh program simulasi distribusi rataan untuk normal dan binomial. 1. Distribusi rataan untuk N(0,4) MTB > random 15 C1 – C60 MTB > normal 0 2 MTB > copy C1 – C60 m1 MTB > transpose m1 m2 MTB > copy m2 C1 – C15 MTB > rmean C1 – C15 C16 MTB > histogram C16 Histogram of C16 N = 60 Midpoint Count
78
-1.2 3 *** -0.8 9 ********* -0.4 10 ********** 0.0 17 ***************** 0.4 15 *************** 0.8 5 ***** 1.2 1 * MTB > nscore C16 C17 MTB > plot C17 C16
MTB > describe C16 N MEAN C16 60 -0.0332 C16
MIN -1.3268
MAX 1.3702
MEDIAN 0.0429
TRMEAN -0.0258
01 -0.4820
STDEV 0.5636
SEMEAN 0.0728
03 0.4704
MTB > boxplot C16
Untuk distribusi rataan dari binomial, gunakan program yang sama, hanya random normal diganti random binomial. N C1 100 MIN C1 -8.905
MEAN -0.169
MEDIAN -0.472 MAX 10.585
01 -3.042
TRMEAN -0.219
STDEV 3.960
SEMEAN 0.396
03 2.460
Contoh 3 Data : N = 100 -8 sebanyak 2 -6 sebanyak 11 -4 sebanyak 13 -2 sebanyak 19 0 sebanyak 16 2 sebanyak 17
79
4 sebanyak 11 6 sebanyak 8 8 sebanyak 2 10 sebanyak 1 Minitab -
Masukkan data-data tsb pada worksheet (sebanyak N = 100) di kolom C1
-
Pilih menu Graph > Simple, lalu OK
-
Pilih C1 sebagai Graph variables, lalu OK
-
Didapat plot Histogram of C1 Histogram of C1
8
C1
4
0
-4
-8 0
5
10 Frequency
-
Pilih menu Graph > Stem-and-Leaf
-
Pilih C1 sebagai Graph variables
-
Diperoleh Stem-and-leaf of C1 Leaf Unit = 1.0 2 13 26 45 (8) 47 39 22 11 3
-0 -0 -0 -0 -0 0 0 0 0 0
15
N
20
= 100
88 66666666666 4444444444444 2222222222222222222 00000000 00000000 22222222222222222 44444444444 66666666 88
80
1
1
0
-
Pilih menu Graph > Boxplot
-
Pilih Simple, lalu OK
-
Diperoleh Boxplot of C1 10
C1
5
0
-5
-10
-
Pilih menu Calc > Calculator
-
Store result in variables C2
-
Expression pilih Normal score(C1), lalu OK
-
Diperoleh data normal score nya di C2
-
Pilih menu Graph > Scatterplot
-
Pilih Simple, lalu OK
-
Pilih C2 sebagai Y variable dan C1 sebagai X variable, lalu OK
-
Diperoleh Scatterplot of C2 vs C1
81
Scatterplot of C2 vs C1 3
2
C2
1
0
-1
-2 -10
-5
0 C1
5
10
C. LATIHAN 1.
Data di bawah ini menyajikan penduduk ke-22 wilayah metropolitan terbesar di AS pada tahun 1970. Petugas sensus mencoba mendefinisikan wilayah ini sehingga merupakan satuan populasi yang berarti.
-
Diagramkanlah data mentahnya
-
Bagaimana bentuk disribusinya (jelaskan)
-
Buat juga boxplotnya
-
Transformasi apa yang dipakai agar bentuk distribusinya menjadi berbentuk hampir normal
2.
1420
1390
2071
2754
6979
1385
2064
1556
4200
1985
7032
1404
1814
11529 1857
1359
4818
2401
2363
3110
1422
2861
Gunakan data no.1. Bandingkanlah transformasi manakah yang lebih baik antara akar dua dengan versi kebalikan negatif. Jelaskan!
3.
Simulasi sebanyak 20 pengamatan dan diletakkan di 5 kolom, dari N(0,4). Lakukan percobaan ini sebanyak 3 kali, dan perhatikan histogram dan normal plotnya. Bagaimana analisa anda!
82
4.
Buat program untuk menset 80 buah rataan (terhadap C1-C30) dari B(x ; 10, 0.2) dan N(0, 16). Apa yang dapat anda jelaskan dari outputnya!
5.
Di bawah ini adalah produk kosmetik bruto per kapita negara belahan bumi barat tertentu (1971), dla US$, yang diambil dari buku Memahami Data (Erickson dan Nosanchuk). Argentina Bolivia Brazil Kanada Costa Rica Ekuador Guatemala Haiti
1260 219 452 4317 586 306 371 110
Jamaica Meksiko Nikaragua Panama Peru Uruguay Amerika Serikat Venezuela
740 712 471 782 356 836 5121 1151
Buat histogram, batang daun, dan normal plotnya. Kemudian ambil log-nya, dan buat kembali histogram, batang daun, dan normal plotnya. Bandingkan! Analisalah!
MODUL XI SELANG KEPERCAYAAN UNTUK KEPERCAYAAN
83
Taksiran suatu parameter populasi dapat diberikan berupa taksiran titik atau berupa taksiran selang.
Taksiran titik suatu parameter populasi θ merupakan nilai tunggal θ suatu statistik Θ. Sebagai contoh, nilai x suatu statistik X , dihitung dari suatu ukuran n, merupakan taksiran titik parameter populasi µ . Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik
≡
penaksir.
Taksiran selang untuk µ dari suatu populasi ialah suatu selang yang berbentuk ˆ . Biasanya µ ˆ = X , µˆ 1 < µ < µˆ 2 , di mana µˆ 1 & µˆ 2 tergantung pada nilai statistik µ
dengan kata lain µˆ 1 & µˆ 2 tergantung pada X . Atau µˆ 1 = x − k dan µˆ 2 = x + k , dengan k ditentukan dari distribusi sampel X . Catatan :
parameter adalah konstanta dari suatu distribusi yang nilainya tertentu tapi tidak
diketahui, misalnya µ & σ 2 .
perbedaan
sampel (berlainan)
memberikan
nilai X
yang
berbeda,
ini
mengakibatkan penaksiran selang bagi parameter µ berbeda pula. ˆ dapat ditentukan µˆ 1 & µˆ 2 , sedemikian sehingga Misalkan dari suatu distribusi sampel µ
P = ( µˆ 1 < µ < µˆ 2 ) = 1 − α . Maka dengan peluang (1 − α ). 100 % ini, sampel acak yang
diambil akan menghasilkan suatu selang yang mengandung µ . Contoh : Misalkan P = ( µˆ 1 < µ < µˆ 2 ) = 0.95 . Artinya, yang dihitung berdasarkan sampel acak yang diambil, disebut selang kepercayaan 95%, dengan kata lain kita percaya 95% bahwa selang yang dihitung mengandung parameter yang sesungguhnya dari populasi.
A. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI NORMAL
84
Perhatikan gambar di atas. Selang kepercayaan (1 − α ).100 % adalah selang pada daerah yang diaksir, yaitu antara − zα / 2 dan zα / 2 . Misalkan ambil α = 0.05 = 5% , maka 1 − α = 95% . Jadi, selang kepercayaan 95% adalah selang antara − z 2,5% dan z 2,5% . Nilai ± zα / 2 dinamakan nilai kritis dan diambil dari tabel normal. Di bawah ini beberapa nilai
kritis z untuk beberapa nilai
α yang sering digunakan.
α
Nilai zα / 2
1% = 0.01
-2.57
5% = 0.05
-1.96
10% = 0.10
-1.64
B. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI T Perhatikan gambar di bawah ini
Penggunaannya sama dengan selang kepercayaan pada distribusi normal. Nilai t dapat dilihat dari tabel t, dengan v menyatakan derajat kebebasan dan 1 − α menyatakan berapa persen selang kepercayaan yang diinginkan. Perhatikan besarnya v
untuk data yang berasal dari 1 populasi : v = n - 1
untuk data yang berasal dari 2 populasi yang saling bebas atau tidak berpasangan : v = n1 + n 2 − 2 .
C. PERINTAH-PERINTAH MINITAB UNTUK SELANG KEPERCAYAAN 85
Z INTERVAL K %
σ C1 . . . C2
(1 ≤ n ≤ 100 )
Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi dengan nilai σ 2 diketahui. Bentuk selang tersebut adalah :
( x − zα / 2 (σ / n ) ,x + zα / 2 (σ / n ) ) Di mana : x = mean data n = ukuran sampel z = nilai dari tabel normal untuk K %
T INTERVAL K % C1 . . . C2 (1 ≤ n ≤ 100 )
Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi dengan σ 2 tidak diketahui, atau data berasal dari populasi berpasangan dengan
σ 1 2 dan σ 2 2 tidak diketahui. Bentuk selang tersebut adalah :
( x − tn− 2,α / 2 (s / n ) , x + tn− 2,α / 2 (s / n ) ) Di mana : x = mean data s = standar deviasi sampel n = ukuran sampel t = nilai dari tabel t untuk K % dan derajat kebebasan (n-1) D. CONTOH SOAL 1.
Sebuah mesin menghasilkan potongan logam berbentuk silinder.
Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya : 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 dan 1.03. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal.
86
Jawab: MTB > set C1 DATA > 1.01 0.97 1.03 1.04 0.99 0.98 0.99 1.01 1.03 DATA > end MTB > tinterval 99.0 C1 N MEAN STDEV SEMEAN 99.0 PERCENT C.I C1 9 1.00556 0.02455 0.00818 (0.97809, 1.03302) 2.
Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua
perusahaan film. Waktu (menit) Perusahaan A
103
94
110
87
98
88
Perusahaan B
97
82
123
92
175
118
Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa waktu putar berdistribusi hampir normal. Jawab: MTB > read C1 C2 DATA > 103 97 DATA > 94 82 DATA > 110 123 DATA > 87 92 DATA > 98 175 DATA > 88 118 DATA > end MTB > let C3 = C2 – C1 MTB > tinterval 90 C3 N MEAN C3 6 -17.8
STDEV 32.5
SEMEAN 13.3
90.0 PERCENT C.I (-44.6, 8.9)
E. LATIHAN 1.
Ambil sampel acak sebanyak 100, dari distribusi normal baku,
dan tentukan selang kepercayaan 90%, 95% dan 99%. Lakukan juga untuk sampel dari N(0, 4) dan N(0, 16). Apa yang dapat anda simpulkan! Buat juga perhitungannya secara manual untuk selang kepercayaan 90% dgn N(0, 4). (Gunakan tabel normal)
87
2. sebanyak
Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2 dan 9.6 liter. Carilah selang
kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu, bila distribusinya dianggap hampir normal. Lakukan pula perhitungan secara manual. (Gunakan tabel t)
3.
Suatu perusahaan menyatakan bahwa sejenis diet baru akan
menurunkan berat badan seseorang rata-rata 4.5 kg dalam 2 minggu. Berat tujuh wanita yang menggunakan diet ini dicatat sebelum dan sesudah jangka waktu 2 minggu. 1 58.5 60.0
Berat sebelum Berat sesudah
2 60.3 54.9
3 61.7 58.1
4 69.0 62.1
5 64.0 58.5
6 62.6 59.9
7 56.7 54.4
Hitung selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat, dan perhatikan apakah pernyataan perusahaan tersebut benar? Anggap distribusi berat hampir normal. 4.
Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian 9 universitas
untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas padi. Tiap varietas ditanam di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dlm kg per detik sbb:
Varietas A Varietas B
1 38 45
2 23 25
3 35 31
Universitas 4 5 41 44 38 50
6 29 33
7 37 36
8 31 40
9 38 43
Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis, anggap bahwa distribusi hasil hampir normal. Jelaskan mengapa kedua varietas perlu dibuat berpasangan dalam soal ini. Buat juga perhitungan manualnya. (Gunakan tabel t)
88
SELANG KEPERCAYAAN
1 POPULASI
σ 2 diketahui dr pop. normal
2 POPULASI
σ 2 tdk diketahui (n < 30)
berpasangan (n1 = n 2 )
σ 1 , σ 2 2 tdk diketahui 2
(n ≥ 30 )
σ2
σ2 = s2
X
X
distribusi normal
σ d = sd 2
D = X1 − X 2
distribusi t | µ |< x ± t n −1,α / 2 ( s /
2
distribusi t n)
| µ |< d ± t n −1,α / 2 ( s d /
n)
| µ |< x ± zα / 2 (σ / n )
89
MODUL XII UJI HIPOTESIS Dalam kehidupan, sering kita ingin menguji kebenaran suatu pernyataan/ anggapan. Misal, benarkah pernyataan iklan obat di televisi yang sebagai ‘penambah tenaga’. Untuk menguji kebenarannya, sulit untuk menanyakan semua orang yang minum obat tersebut (populasi yang minum obat). Kesulitan tersebut karena biaya yang besar, memakan waktu yang lama, serta kemungkinan bisa/ tidaknya suatu percobaan dilaksanakan. Kegiatan ini disebut hipotesis statistik. Pengujian hipotesis statistik merupakan bagian terpenting dari teori keputusan. Suatu anggapan/ pernyataan yang mungkin benar/ tidak mengenai satu populasi atau lebih disebut hipotesis statistik. Kebenaran atau ketidakbenaran suatu hipotesis statistik tidak pernah diketahui dengan pasti kecuali bila seluruh populasi diamati. Namun hal ini sangat sulit, karena itu diambil sampel acak dari populasi yang ingin diselidiki dan dengan menggnakan informasi yang terkandung dalam sampel itu diputuskan apakah hipotesis tersebut wajarnya benar atau salah. Petunjuk dari sampel yang tidak sesuai dengan hipotesis menjurus kepada penolakan hipotesis, sedangkan petunjuk yang mendukung menjurus kepada penerimaannya. (ditegaskan bahwa penerimaan suatu hipotesis statistik diakibatkan oleh tidak cukupnya petunjuk untuk menolaknya dan tidaklah menunjukkan bahwa hipotesis itu benar). Istilah diterima / ditolak penting dipahami, bahwa penolakan suatu hipotesis berarti menyimpulkan bahwa hipotesis tersebut tidak benar, sedangkan penerimaan suatu hipotesis hanyalah menunjukkan bahwa tidak cukup petunjuk untuk mempercayai sebaliknya. Biasanya hipotesis yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut hipotesis nol (H0). Penolakan H0 menjurus kepada penerimaan suatu hipotesis tandingannya (H1). Bentuk uji hipotesis statistik untuk 1 populasi adalah sbb:
90
1. Uji satu arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingannya yang berarah satu, seperti: H 0 : µ = µ0
H 0 : µ = µ0
atau
H1 : µ > µ0
H1 : µ < µ0
Seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan µ > µ0 terletak diujung kanan distribusi, sedangkan seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan µ < µ0 terletak diujung kiri. 2. Uji dua arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingan berarah dua, H 0 : µ = µ0
seperti:
H1 : µ ≠ µ0 Hipotesis tandingan menyatakan salah satu dari µ < µ0 ataupun µ > µ0 . Nilai pada kedua ujung distribusi membentuk daerah kritisnya. Sebagai contoh: Misalkan umur rata-rata mahasiswa yang mengambil statistika dasar adalah 20 tahun dan jumlah mahasiswa (populasi) yang mengam,bil mata kuliah tersebut 400 org. Ingin diuji apakah rata-rata umur mhs tsb benar/ salah, jika diambil sampel sebanyak 15 mhs. Penulisan hipotesis statistiknya adalah H 0 : µ = 20 H1 : µ < 20
atau
H 0 : µ = 20 H1 : µ > 20
atau
H 0 : µ = 20 H1 : µ ≠ 20
A. UJI-Z : UJI RATAAN 1 SAMPEL DENGAN σ 2 DIKETAHUI Pandanglah masalah pengujian hipotesis bahwa rataan populasi dengan variansi σ 2 diketahui, sama dengan nilai µ0 tertentu lawan tandingan bahwa rataan tersebut tidak sama dengan µ0 , yaitu akan diuji: H 0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 Statistik yang sesuai sebagai dasar patokan keputusan ialah peubah acak x karena x adalah penaksir tak bias untuk µ . Tidak diketahui bahwa distribusi sampel dari
91
rataan adalah hampir normal dengan rataan µ dan variansi σ 2 / n , bila suatu populasi dengan mean µ dan variansi σ 2 diambil sampelnya secara acak sebanyak n. Bila digunakan taraf keberartian α , maka dapat dicari 2 nilai kritis x1 & x2 sedemikian sehingga x1 < X < x2 menyatakan daerah penerimaan dan yang lainnya menyatakan daerah kritis. Daerah kritis dapat dinyatakan dalam nilai z yang diberikan oleh: z=
x − µ0 σ /n
Jadi, untuk taraf keberartian α , nilai kritis peubah acak z yang berpadanan dengan x1 & x2 , adalah: − zα / 2 =
x1 − µ0 σ /n
atau
zα / 2 =
x2 − µ0 σ /n
Dari populasi diambil sampel acak berukuran n dan kemudian rataan sampel x dihitung. Bila x jatuh dalam daerah penerimaan x1 < X < x2 , maka z akan jatuh dalam daerah − zα / 2 < Z < zα / 2 dan disimpulkan bahwa µ ≠ µ0 . Daerah kritis biasanya dinyatakan dalam z bukan dalam x . Contoh 1 Suatu perusahaan pembuat perlengkapan olah raga membuat tali pancing sintetik yang baru dan yang menurut pembuatnya rata-rata dapat menahan beban 8 kg dengan simpangan baku 0.5 kg (tali pancing tersebut diasumsikan berdistribusi normal). Ujilah hipotesis bahwa µ = 8 kg lawan tandingan bahwa µ ≠ 8 kg, bila sampel acak 50 tali diuji dan ternyata rata-rata daya tahannya 7.8 kg. Gunakan taraf keberartian 0.05. Jawab: Pengujiannya masalahnya adalah: H 0 : µ = 8 kg H1 : µ ≠ 8 kg Langkah-langkah yang dilkaukan didalam minitab
92
1. Bangkitkan bilangan acak berdistribusi normal dengan banayak data 50 simpan di C1. 2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample Z. 3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih samples in columns input C1 4. Input 0.5 sebagai Standar Deviation dan 8 sebagai test mean 5. Kemudian klik OK
Gambar 12.1 Kotak dialog 1- sample Z Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut: One-Sample Z: C1 Test of mu = 8 vs not = 8 The assumed standard deviation = 0.5 Variable C1
N 50
Mean 7.75760
StDev 0.51324
SE Mean 0.07071
95% CI (7.61901, 7.89619)
Z -3.43
P 0.001
Analisa : Dari Minitab diperoleh nilai z hitung = -3.44. Untuk taraf keberartian
α = 0.05 , z mempunyai nilai kritis : z < -2.575 dan z > 2.575. Jadi, z = -3.43 terletak dalam daerah penolakan maka kesimpulannya adalah H0 ditolak, artinya rata-rata daya tahan tidak smaa dengan 8. Cara lain yang lebih mudah untuk mengujinya adalah dengan membandingkan α dengan nilai p-nya. Jika α < nilai p , maka H0 diterima. Untuk sebaliknya, H0 ditolak.
93
B. UJI-T 1 SAMPEL : UJI RATAAN DG σ 2 TDK DIKETAHUI Selain uji-z ada pada uji-t, yaitu untuk menguji rataan bila variansi populasi tidak diketahui. Langkah-langkah pengerjaan sama dengan uji-z, dengan rumusuntuk T adalah : T=
λ − µ0 dengan daerah kritis −tn −1,α / 2 < T < tn −1α / 2i s/ n
s menyatakan simpangan baku dari sampel damn n adalah banyaknya data. Nilai dari t dapat dilihat dari tabel t.
Contoh 2 Ujilah hipotesis bahwa rat-rat isi kaleng sejenis minyak pelumas adalah 10 liter, bila isi sampel acak 10 kaleng adalah 10.2, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3, dan 9.8 liter. Gunakan taraf keberartian 0.10 dan anggap bahwa distribusi isi kalaeng normal. Jawab : Pengujian : H0 : µ = 10 H1 : µ ≠ 10 Langkah-langkah pengerjaan pada Minitab: 1. Input data pada kolom C2 10.2 9.7 10.1 10.3 10.1 9.8 .9.9 10.4 10.3 9.8 2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t 3. Pada kotak dialog, pilih sample in column input C2, test mean input 10 selanjutnya OK
Gambar 12.2 Kotak dialog 1-sample t
94
One-Sample T: C2 Test of mu = 10 vs not = 10 Variable C2
N 10
Mean 10.0600
StDev 0.2459
SE Mean 0.0777
95% CI (9.8841, 10.2359)
T 0.77
P 0.460
Analisa: nilai kritis dari t untuk taraf keberartian 0.10 dan derajat kebebasan 9 : t0.05,9 < −1.833 dan t0.05,9 < 1.833 . Maka T hasil perhitungan = 0.77 terletak dalam daerah penerimaan. Jadi, H0 diterima, artinya rata-rata- isi kaleng minyak adalah benar 10 liter. Cara lain : α = 0.10 < nilai p = 0.46, jadi H 0 diterima.
Contoh 3 Misalkan untuk masalah diatas, pengujiananya dilakukan satu arah, misalkan pengujian menjadi : H0 : µ =10 lawan H1 : µ < 10 Maka digunakan uji t 1 sampel untuk masalah satu arah : 1. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t 2. Pada kotak dialog klik option, pilih less than pada kolom alternative, lalu OK > OK
Gambar 12.3 Kotak dialog 1-sample t - options Hasil outputnya sebagai berikut: One-Sample T: C2 Test of mu = 10 vs < 10 Variable
N
Mean
StDev
SE Mean
95% Upper Bound
T
P
95
C2
10
10.0600
0.2459
0.0777
10.2025
0.77
0.770
Analisa : Dengan nilai kritis T < -1.833 maka kesimpulan adalah H0 diterima. C. UJI-T 2 SAMPEL : UJI SELISIH RATAAN Pengertian uji t 2 sampel sama dengan uji t 1 sampel, hanya saja terdapat 2 sampel yang kemudian diuji selisih rataannya, dengan rumus T=
( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ2 ) untuk σ 1 − σ 2 dan tidak diketahui S p (1/ n1 ) + (1/ n2 )
Contoh 4 Diberikan 2 sampel acak berukuran n1 = 11& n2 = 14 , dari dua populasi normal yang bebas satu sama lain. Dari sampel diperoleh x1 = 75, x2 = 20, s1 = 6.1, s2 = 5.3 . Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0.05 bahwa µ1 = µ2 , lawan tandingan µ1 ≠ µ2 . Anggap bahwa kedua populasi mempunyai variansi yang sama. Jawab: Pengujian : H 0 : µ1 = µ2 atau µ1 − µ2 = 0 lawan H1 : µ1 ≠ µ2 atau µ1 − µ2 ≠ 0 Langkah-langkah yang dilakukan pada Minitab : 1. Bangkitkan 11 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C1 dengan n = 75 dan p = 6.1 2. Bangkitkan 14 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C2 dengan n = 60 dan p = 5.3 3. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-sample t 4. Pada kotak dialog pilih samples in different columns, input C1 sebagai first dan C2 sebagai second 5. Ceklist Assume equal variances. Selanjutnya OK
96
Gambar 12.4 2-samples t Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut: Two-Sample T-Test and CI: C1, C2 Two-sample T for C1 vs C2 C1 C2
N 11 11
Mean 77.99 64.13
StDev 4.30 4.02
SE Mean 1.3 1.2
Difference = mu (C1) - mu (C2) Estimate for difference: 13.8642 95% CI for difference: (10.1594, 17.5690) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 7.81 20 Both use Pooled StDev = 4.1652
P-Value = 0.000
DF =
Analisa : Diketahui untuk taraf keberartian 5% daerah kritis adalah T0.029,23 < −2.069 dan T0.029,23 > 2.069 . Maka T = 8.16 terletak dalam daerah penolakan, artinya keputusan adalah H1 diterima atau selisih mean tidak sama dengan nol, atau terdapat beda mean kedua populasi.
97
98
