Minitab Apostila

INTRODUÇÃO AO USO DO ®

MINITAB

NAS DISCIPLINAS DE ESTATÍSTICA DO CURSO DE GRADUAÇÃO EM ZOOTECNIA DA FZEA/USP

Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima E_mail: E_mail: [email protected]

Para uso nas aulas das disciplinas: ZAB 230 - Estatística I, ZAB 216 - Estatística II e ZAB 050 - Utilização de pacotes estatísticos na análise de dados experimentais e xperimentais

PIRASSUNUNGA - SP Março / 2004

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1. INTRODUÇÃO O MINITAB consiste de uma planilha de dados diversos comandos e subcomandos usados para executar operações matemáticas e diversas análises estatísticas. Uma planilha pode conter: colunas de dados denotadas por C1, C2,..., constantes denotadas por K1, K2, ... matrizes numéricas de dados, denotadas por M1, M2,... Na apresentação dos comandos/subcomandos, a letra E pode denotar tanto uma constante, quanto uma coluna ou matriz. Na janela principal do Minitab encontramos uma régua que disponibiliza os grupos de comandos e subcomandos usados para manipulação de arquivos – File; edição de dados – Edit; manipulação de dados − Manip; cálculos envolvendo colunas − Calc; cálculos de estatísticas e de diversos tipos de análises estatísticas − Stat; contrução de gráficos − Graph; um editor de comandos − Editor; um controlador das janelas de trabalho − Window, além de uma boa tela de auxílio − • • •

Help.

• • • •

As quatro janelas de trabalho são apresentadas como: Session: que é usada para digitarmos os comandos e visualizarmos a saída dos resultados; Data: que é a planilha de dados; History: que guarda uma cópia de todos os comandos usados numa sessão, e Info: que apresenta informações sobre as colunas, as constantes e as matrizes definidas numa sessão.

As colunas e as constantes podem ter nomes, devendo-se evitar o uso de acentos. Por exemplo: para nomearmos a coluna C1 com o nome “Tratamento”, a coluna C2 com o nome “Producao” e a constante K2 com o nome “ProducaoMedia” utilizamos o seguinte comando: MTB > NAME C1 'Tratamento' C2 'Producao' K1 'ProducaoMedia 'ProducaoMedia' '

Os comandos e subcomandos podem ser digitados em letras maiúsculas e/ou minúsculas, não havendo necessidade de entrarmos com mais do que as suas quatro primeiras letras. Por exemplo, para calcular a menor das produções e colocar o resultado em K2, podemos usar os comandos: MTB > Let K2 = Minimum(C2)

ou

MTB > Let K2 = Mini(C2)

que os resultados serão idênticos. Ao invés do número número da coluna – C2 – também pode ser usado o seu nome: MTB > Let K2 = Mini(Producao)

Os dados da planilha podem ser digitados diretamente na planilha Data, Data, copiados de um outro programa e colados na planilha ou lidos de arquivos já existentes. As colunas com valores numéricos apresentam seus valores colados à direita e as colunas com valores alfanuméricos, além de indicar essa coluna com uma letra – T, T, apresentam seus valores colados à esquerda. A seguir, apresentamos algumas informações sobre o uso efetivo do Minitab em alguns pontos relevantes do curso de Estatística II: a) revisão de estatística descritiva, visando a obtenção de medidas de tendência central e de dispersão, além de gráficos e tabelas; Introdução ao uso do MINITAB

®

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1. INTRODUÇÃO O MINITAB consiste de uma planilha de dados diversos comandos e subcomandos usados para executar operações matemáticas e diversas análises estatísticas. Uma planilha pode conter: colunas de dados denotadas por C1, C2,..., constantes denotadas por K1, K2, ... matrizes numéricas de dados, denotadas por M1, M2,... Na apresentação dos comandos/subcomandos, a letra E pode denotar tanto uma constante, quanto uma coluna ou matriz. Na janela principal do Minitab encontramos uma régua que disponibiliza os grupos de comandos e subcomandos usados para manipulação de arquivos – File; edição de dados – Edit; manipulação de dados − Manip; cálculos envolvendo colunas − Calc; cálculos de estatísticas e de diversos tipos de análises estatísticas − Stat; contrução de gráficos − Graph; um editor de comandos − Editor; um controlador das janelas de trabalho − Window, além de uma boa tela de auxílio − • • •

Help.

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As quatro janelas de trabalho são apresentadas como: Session: que é usada para digitarmos os comandos e visualizarmos a saída dos resultados; Data: que é a planilha de dados; History: que guarda uma cópia de todos os comandos usados numa sessão, e Info: que apresenta informações sobre as colunas, as constantes e as matrizes definidas numa sessão.

As colunas e as constantes podem ter nomes, devendo-se evitar o uso de acentos. Por exemplo: para nomearmos a coluna C1 com o nome “Tratamento”, a coluna C2 com o nome “Producao” e a constante K2 com o nome “ProducaoMedia” utilizamos o seguinte comando: MTB > NAME C1 'Tratamento' C2 'Producao' K1 'ProducaoMedia 'ProducaoMedia' '

Os comandos e subcomandos podem ser digitados em letras maiúsculas e/ou minúsculas, não havendo necessidade de entrarmos com mais do que as suas quatro primeiras letras. Por exemplo, para calcular a menor das produções e colocar o resultado em K2, podemos usar os comandos: MTB > Let K2 = Minimum(C2)

ou

MTB > Let K2 = Mini(C2)

que os resultados serão idênticos. Ao invés do número número da coluna – C2 – também pode ser usado o seu nome: MTB > Let K2 = Mini(Producao)

Os dados da planilha podem ser digitados diretamente na planilha Data, Data, copiados de um outro programa e colados na planilha ou lidos de arquivos já existentes. As colunas com valores numéricos apresentam seus valores colados à direita e as colunas com valores alfanuméricos, além de indicar essa coluna com uma letra – T, T, apresentam seus valores colados à esquerda. A seguir, apresentamos algumas informações sobre o uso efetivo do Minitab em alguns pontos relevantes do curso de Estatística II: a) revisão de estatística descritiva, visando a obtenção de medidas de tendência central e de dispersão, além de gráficos e tabelas; Introdução ao uso do MINITAB

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2 b) simulações e cálculo cálculo de probabilidades; c) intervalos interva los de confiança para a média e para a proporção; propor ção; d) testes de hipóteses para a média de uma população, comparação de médias e de variâncias de duas populações; e) correlação e análise análise de regressão. regressão.

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO – REVISÃO DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA Data.

Entre com os dados das variáveis C1: Idade, C2: Peso e C3: Altura, na janela

Idade

Peso

Altura

22 19 17 17 19 21 19 17 19 18 20 20 19 19 17 18 21 26 20 19 18 18 17 18 19 18 18 20

70 85 48 72 89 76 62 68 49 71 54 52 70 76 73 55 93 51 45 57 65 92 69 56 54 75 71 75

1.75 1.88 1.63 1.80 1.82 1.72 1.85 1.80 1.64 1.80 1.75 1.64 1.77 1.80 1.75 1.70 1.80 1.65 1.53 1.70 1.78 1.83 1.75 1.64 1.70 1.83 1.81 1.78

Siga corretamente as instruções e tente “traduzir” as saídas. 1) Para visualizar os dados na tela: Manip > Display data e selecionar selecionar em e m Columns, constants and matrices to display , as colunas C1, C2 e C3. Como alternativa, na janela Session, entrar com: MTB > print c1 c2 c3

ou MTB > print

Idade

'

'

Peso

'

'

Altura

'

'

2) Para obter estatísticas descritivas das variáveis: Stat > Basic Statistics > Describe Statistics... e selecionar as colunas C1, C2 e C3. Como alternativa, entrar com o comando: MTB > Desc c1 c2 c3

3) Para obter essas estatísticas para as variáveis C2: Peso e C3: Altura, para cada um dos valores de C1: Idade: Stat > Basic Statistics > Describe Statistics... selecionar as colunas C2 e C3 e selecionar em By variables: a coluna C1. Como alternativa, usar: MTB > Desc c2 c3; SUBC> by c1.

4) Para construir um histograma dos dados da variável C2: Peso: Graph > Histogram.. e escolher C2 em Graph variables. Alternativa: MTB > Histo c2

5) Para construir o histograma de C2 definindo os limites (cutpoints) das classes: Graph > Histogram... escolher C2 em Graph variables, entrar em Options..; em Type of Intervals clicar em Cutpoint ; em Definition of Intervals , clicar em Midpoint/Cutpoint positions: e entrar com os valores 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00, com espaços entre os números. 6) Para visualizar a relação entre as variáveis C2: Peso e C3: Altura: Graph > Plot.. e escolher C2 como Graph variables: Y e C3 como Graph variables: X . Como alternativa, usar: MTB > plot c2*c3

Introdução ao uso do MINITAB®

3 7) Para construir um box-plot dos dados de C3: Altura: Graph variable: Y, a coluna C3. Ou então, usar:

> Boxplot.. e escolher em Graph

MTB > boxplot C3

8) Para obter uma distribuição de freqüências da variável discreta C1: idade: Stat > Table > Tally , escolher como Variables: a coluna C1 e marcar Counts e Percents em Display. Como alternativa, usar: MTB > Tally 'Idade'; SUBC> Counts; SUBC> Percents.

9) Para obter uma tela com diversas estatísticas descritivas, distribuição de freqüências, box-plot, teste de normalidade dos dados de C2: Peso, além de intervalos de confiança para a média e para a mediana: MTB> %Describe c2 MTB> %Describe 'Peso' ou

2. AS OPÇÕES DA BARRA STAT O MINITAB oferece diversas opções para análise descritiva e inferencial de dados experimentais. Praticamente todas as opções aparecem no menu Stat da barra principal do programa:

A seguir, apresentaremos alguns detalhes de cada uma das opções deste menu. Maiores informações sobre as opções podem ser obtidas em Help, no botão , ou usando a tecla F1, Menu Commands e Stat Menu. Basic Statistics (Stat Menu > Basic Statistics) • Permite calcular diversas estatísticas descritivas, executar testes de hipóteses, calcular a correlação e covariâncias entre variáveis numéricas e testar a normalidade dos dados. Os principais comandos são: Display Descriptive Statistics: produz uma tabela com estatísticas descritivas: número de N ); Median); tri-média (TrMean);desvio padrão (StDev); valores ( N ); média ( Mean); mediana ( Median Minimum); maior valor ( Maximum Maximum);1o quartil erro padrão da média (SE Mean); menor valor ( Minimum Histogram); gráfico de (Q1) e 3o quartil (Q3). Também produz gráficos como o histograma ( Histogram Dotplot ), BoxPlot ) e um gráfico resumo (Graphical summary) com diversas pontos ( Dotplot ), boxplot ( BoxPlot estatísticas descritivas, intervalos de confiança para a média, mediana e desvio padrão e um (Anderson-Darling Normalitty Test ). teste de normalidade dos dados Anderson-Darling ).

Introdução ao uso do MINITAB

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4 Store Descriptive Statistics: calcula diversas estatísticas descritivas e grava os resultados na planilha. 1-Sample Z: calcula um Intervalo de Confiança e executa o teste de hipótese para a média de uma população normal com variância populacional conhecida (z-test ). 1-Sample t: calcula um Intervalo de Confiança e executa o teste de hipótese para a média de uma população normal com variância populacional é desconhecida (t-test ). 2-Sample t: calcula um Intervalo de Confiança e executa o teste de hipótese para comparar as médias de duas populações normais (t-test ) de variâncias iguais ou não. Paired t: testa a diferença entre médias quando os dados estão pareados. 1 Proportion: calcula um intervalo de confiança e executa um teste para a proporção. 2 Proportions: calcula um intervalo de confiança e executa um teste para a diferença entre duas proporções. 2 Variances: executa um teste para a igualdade (homogeneidade) de variâncias de duas populações usando os testes F e de Levene. Correlation: calcula o coeficiente de correlação de Pearson entre variáveis numéricas e o nível descritivo do teste H0: ρ = 0 vs. H1: ρ ≠ 0. Opcionalmente, grava os resultados numa matriz de correlações. Covariance: calcula a covariância entre variáveis numéricas e grava os seus valores numa matriz de covariâncias. Normality Test: testa a normalidade dos dados (Testes de Anderson-Darling, Ryan-Joiner e Kolmogorov-Smirnov) e apresenta um gráfico normal de probabilidades (normal probability plot ). • Regression (Stat > Regression)

Permite executarmos análises de regressão simples, polinomial e múltipla com os mecanismos stepwise, forward e backward de seleção de variáveis e regressão logística. Produz gráficos para análise de resíduos e ajusta alguns modelos de regressão logística. • ANOVA (Stat > ANOVA)

Permite executarmos a análise de variância, testar a homogeneidade de variâncias e gerar diversos gráficos. Os principais comandos são: Oneway: executa a análise de variância com um fator (one way), com as respostas em uma coluna e os índices em outra. Também possibilita a comparação das médias através dos testes de Tukey, Dunnett etc. Oneway (Unstacked): executa a análise de variância para o modelo com um fator (One way), com as respostas de cada tratamento colocadas em colunas diferentes. Twoway: executa a análise de variância para o modelo com dois fatores (Two way) e dados balanceados. Analysis of Means: mostra um gráfico de Análise de Médias e uma tabela resumo para dados normais, binomiais e de Poisson. Balanced ANOVA: analisa dados uni ou multivariados, balanceados, através de modelos mistos com fatores cruzados e hierárquicos. General Linear Model: executa a análise de variância para dados uni ou multivariados e desbalanceados com fatores cruzados e hierárquicos e covariáveis. Executa também a análise de variância multivariada. Fully Nested ANOVA: executa a análise de variância para modelos hierárquicos (nested ) e estima componentes de variância para cada variável resposta.


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5 Balanced MANOVA: executa a análise de variância multivariada de delineamentos balanceados (todas as combinações de níveis de fatores devem ter o mesmo número de repetições). General MANOVA: executa a análise de variância multivariada de delineamentos balanceados ou desbalanceados, ou que envolve covariáveis. Test for Equal Variances: executa os testes F, de Bartlett e de Levene para a homogeneidade de variâncias. Interval Plot...: produz um gráfico de grupos de médias com barras de erro padrão ou de intervalos de confiança das médias. Main Effects Plot: gera um gráfico de médias dos níveis dos fatores. Interactions Plot: gera um gráfico da interação dos níveis dos fatores (ou matriz de gráficos) •

DOE (Design of Experiments) (Stat > DOE) Disponibiliza diversas opções para criação e análise de delineamentos experimentais ortogonais.

•

Control Charts (Stat > Control Charts) Disponibiliza diversos tipos de gráficos para o controle de qualidade para dados numéricos ou não.

•

Quality Tools (Stat > Quality Tools) Disponibiliza diversas técnicas para construção de gráficos de qualidade e checa a acurácia e a precisão de um sistema de medidas.

•

Reliability/Survival (Stat > Reliability/Survival) Disponibiliza alguns comandos para analisar dados de tempos de falha e ferramentas para estimar a variabilidade de funções que descrevem tais distribuições. Possibilita também a análise de tabelas de sobrevivência.

•

Multivariate (Stat >Multivariate) Proporciona a execução de análises multivariadas, como a de Componentes Principais (PCA), Análise de Fatores ou Fatorial, Análise Discriminante etc.

•

Time Series (Stat > Time Series) Disponibiliza a análise de séries temporais e diversas técnicas de análise descritiva de tais conjuntos de dados.

•

Tables (Stat > Tables) Imprime tabelas de contingência com uma ou duas entradas para variáveis associadas e executa uma análise de Qui-quadrado. Cross Tabulation: imprime tabelas de contingência e tabelas de estatísticas para variáveis associadas. Tally: imprime tabelas de freqüência absolutas e percentuais de variáveis numéricas. Chisquare Test: executa a análise de Qui-quadrado de tabelas de contingência. Nonparametrics (Stat > Nonparametrics) Permite a execução de diversos testes não paramétricos, como os Testes dos sinais, de Wilcoxon, Mann-Whitney, Kruskal-Wallis etc., além da construção de intervalos de confiança para a mediana.

•

•

EDA (Exploratory Data Analysis) (Stat > EDA) Disponibiliza diversas ferramentas para fazer uma análise exploratória de dados, como os gráficos de ramos e folhas (stem-and-leaf), boxplot etc. Tais métodos são utilizados antes dos métodos tradicionais de análise, ou para examinar os resíduos de um modelo. Também são úteis Introdução ao uso do MINITAB®

6 para identificar observações discrepantes e examinar a violação de suposições de modelos, como a não linearidade dos resíduos ou a heterocedasticidade das variâncias.

3. USANDO O MINITAB PARA SIMULAÇÕES E CÁLCULO DE PROBABILIDADES Vamos explorar a capacidade do MINITAB de simular distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias discretas (Bernoulli, Binomial, Poisson etc.) e contínuas (Exponencial, Normal, Qui-quadrado, t-Student, F-Snedecor etc.), que pode ser feito através do comando random, disponível em Calc > Random Data. Além disso, o MINITAB também tem recursos para o cálculo de probabilidades, com os comandos: PDF ( probability distribution function) e CDF (cumulative distribution function), que estão disponíveis em Calc > Probability Distributions. A seguir serão apresentados alguns detalhes de aplicação desses comandos em exemplos bastante comuns nos estudos já desenvolvidos nas aulas de Estatística I e que voltarão a ser necessários nas aulas do curso de Estatística II e Estatística Experimental.

COMANDO PDF ( probability

distribution function): Permite calcular probabilidades (distribuições discretas) ou densidades (distribuições contínuas). O nosso propósito é o de calcular probabilidades para variáveis discretas. Por exemplo: para a distribuição Binomial, X ~B( n, p), é possível usar este comando com dois propósitos diferentes:

i)

Construir uma distribuição de probabilidades completa para a Binomial, com parâmetros n e p. Por exemplo, para n = 7 e p = 0,3: MTB > PDF; SUBC> BINOMIAL 7 0.3.

gera a seguinte saída:

Probability Density Function Binomial with n = 7 and p = 0.300000 x P( X = x) 0 0.0824 1 0.2471 2 0.3177 3 0.2269 4 0.0972 5 0.0250 6 0.0036 7 0.0002

ii) Calcular

a probabilidade de que a v.a. X ~ B( n = 7 e p = 0.3) assuma o valor k = 4, ou seja, calcular P(X = 4). MTB > PDF 4; SUBC> BINOMIAL 7 0.3.

Probability Density Function Binomial with n = 7 and p = 0.300000 x P( X = x) 4.00 0.0972

®


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COMANDO CDF ( cumulative distribution function): permite calcular a probabilidade acumulada até um valor k fixado, ou seja, calcular F(k) = P(X ≤ k). Para uma distribuição binomial com n = 7 e p = 0.3, podemos calcular P(X ≤ 4) utilizando os resultados já calculados anteriormente, fazendo:

P(X

≤

4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0824 + 0,2471 + 0,3177 + 0,2269 + 0,0972 = 0,9712

Porém, este resultado pode ser obtido mais facilmente utilizando o comando CDF: MTB > CDF 4; SUBC> BINOMIAL 7 0.3.

Cumulative Distribution Function

Binomial with n = 7 and p = 0.300000 x P( X <= x) 4.00 0.9712

ou seja: a probabilidade de encontrarmos até 4 sucessos , quando X ~ B(7; 0,3) é igual a 0,9712. Podemos estar interessados também, em calcular probabilidades acumuladas para diversas distribuições associadas a variáveis contínuas, como a normal, qui-quadrado, F-Snedecor, t-Student 2 etc. Por exemplo: para calcular a probabilidade de uma variável normal reduzida, N(µ = 0; σ = 1), assumir valores iguais ou inferiores a 1, P(Z ≤ 1), usamos o comando: MTB > CDF 1; SUBC> NORMAL 0 1.


Normal with mean = 0 and standard deviation = 1.00000 x P( X <= x) 1.0000 0.8413

OBS: Quando usamos uma variável normal reduzida , não precisamos indicar quais são os valores da média e do desvio padrão, ou seja, basta usar os comandos: MTB > CDF 1; SUBC> NORMAL.

A probabilidade da variável aleatória " X = altura dos calouros 99 ", que tem distribuição normal com média 1,70m e variância 0,01m2 (e desvio padrão 0,10m), assumir valores iguais ou inferiores a 1,85, P(X ≤ 1,85), pode ser obtida com o comando: MTB > SUBC>

CDF 1.85; NORMAL 1.70 0.10.


Normal with mean = 1.70000 and standard deviation = 0.100000 x P( X <= x) 1.8500 0.9332

ou seja, 93,3% dos calouros 99 têm altura igual ou inferior a 1,85 metros. Introdução ao uso do MINITAB®

8 COMANDO INVCDF ( inverse cumulative distribution function): Faz o papel inverso do comando CDF, ou seja, calcula o número x , que deixa à sua esquerda a probabilidade indicada. Deste

modo, o comando: MTB > SUBC>

INVCDF 0.95; NORMAL.

Inverse Cumulative Distribution Function Normal with mean = 0 and standard deviation = 1.00000 P( X <= x) x 0.9500 1.6449

ou seja, o valor 1,6449 ≅ 1,65, da normal reduzida, deixa à sua esquerda uma área igual a 95%, ou ainda: P(X ≤ 1,65) = 0,95. Outro exemplo: “Qual é a altura, acima da qual estão 28% dos calouros de 99?” . Para tanto, basta usar o comando: MTB > SUBC>

INVCDF 0.72; NORMAL 1.70 0.10.

Inverse Cumulative Distribution Function Normal with mean = 1.70000 and standard deviation = 0.100000 P( X <= x) x 0.7200 1.7583

ou seja, abaixo de 1,76m estão 72% dos calouros 99, ou então, acima de 1,76m estão 28% dos calouros de 99.

COMANDO RANDOM: Permite gerar amostras aleatórias de distribuições teóricas associadas a

variáveis discretas ou contínuas. Por exemplo: estamos interessados em estudar um experimento que consiste em contar o "número de eleitores favoráveis a um certo candidato A" numa amostra de 10 eleitores, supondo que a porcentagem de eleitores favoráveis a este candidato tenha sido estimada em 0,70. (Perceba nesta descrição que a variável envolvida tem distribuição binomial de parâmetros n=10 e p=0,70). Assim os comandos: MTB > RANDOM 15 C1; SUBC > BINOMIAL 10 0.7. MTB > PRINT C1

simulam (e mostram) os resultados de 15 experimentos binomiais com n = 10 eleitores e p = 0,70, colocando-os na coluna C1:

Data Display C1 8

7

6

5

7

8

8

8

6

7

8

7

4

6

6

Como sabemos que a média de uma variável com distribuição binomial, X ~ B(n; p) é igual a E(X) = np e a variância é igual a Var(X) = np(1-p) , temos que E(X) = 7 e Var(X) = 2,1 (e desvio padrão = 1,4491). Para verificar se a amostra é representativa dessa população, usamos: MTB >

DESCRIBE C1


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Descriptive Statistics Variable C1

N 15

Mean 6.733

Median 7.000

Tr Mean 6.846

Variable C1

Min 4.000

Max 8.000

Q1 6.000

Q3 8.000

StDev 1.223

SE Mean 0.316

e podemos perceber que a amostra representa razoavelmente bem a referida população, já que a média e o desvio padrão amostrais foram iguais a 6,733 e 1,2223, respectivamente. Se estivermos interessados em gerar uma amostra de tamanho n = 40 da variável X = "pesos corporais de frangos da linhagem Hubbard, aos 42 dias de idade" , sabendo-se que esta variável tem distribuição normal N(µ = 1,80; σ2 =0,01), usamos o comando: MTB > SUBC>

RANDOM 40 C5; NORMAL 1.80 0.10.

Para imprimir os dados simulados de C2 e as estatísticas descritivas correspondentes, usamos: MTB >

PRINT C5

Data Display C5 1.88368 1.85025 1.70791 1.84269 1.60558

MTB >

1.90070 1.95905 1.98492 1.74938 1.79857

1.74597 1.70512 1.77098 1.74669 1.66694

1.65488 1.82874 1.67058 1.61301 1.87760

1.74494 1.86497 1.84883 1.84342 1.75625

1.60249 1.96199 1.80105 1.61336 1.70891

1.78853 1.81543 1.84905 1.84578 1.83445

StDev 0.1770

SE Mean 0.0280

1.75199 1.71719 1.73582 1.84137 1.72964

DESCRIBE C2

Descriptive Statistics Variable C1

N 40

Mean 1.7807

Median 1.7747

Tr Mean 1.7841

Variable C1

Min 1.3367

Max 2.1235

Q1 1.6640

Q3 1.9001

OBS:

dificilmente os pesos que você obteve utilizando esses mesmos comandos serão idênticos a esses. Lembre-se que o Minitab gera amostras aleatórias...

Se estivermos interessados em arredondar para duas casas decimais os pesos dos frangos que estão em C5 e colocá-los em C6, usamos o comando round da seguinte maneira: MTB > LET C6 = 0.01*ROUND(100*C5) MTB > PRINT C6

Data Display C3 1.88 1.71 1.85 1.85

1.90 1.83 1.80 1.84

1.75 1.86 1.85 1.61

1.65 1.96 1.74 1.80

1.74 1.82 1.84 1.67

1.60 1.72 1.75 1.88

1.79 1.71 1.75 1.76

1.75 1.98 1.61 1.71

1.85 1.77 1.84 1.83

1.96 1.67 1.61 1.73


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COMANDO SAMPLE:

Possibilita sortear amostras com ou sem reposição de alguma população conhecida. Como exemplo, podemos utilizar os dados de peso da coluna C3 como sendo a população da qual queremos sortear uma amostra aleatória de tamanho 10. Isto pode ser feito de duas maneiras:

i) sem reposição: MTB > SAMPLE 10 C3 C10

coloca em C10 os dez valores de C3 (peso de frangos aos 42 dias) sorteados ao acaso e sem reposição. ii) com reposição: MTB > SUBC>

SAMPLE 10 C3 C11; REPLACE.

coloca em C11 os dez valores de C3 sorteados ao acaso e com reposição.

4. INTERVALOS DE CONFIANÇA O objetivo principal deste material é apresentar os comandos do Minitab que podem ser usados para a construção de intervalos de confiança para a média ( µ) de uma população com distribuição normal e para a proporção p de uma variável dicotômica.

4.1. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO COM DISTRIBUIÇÃO NORMAL CASO 1: I.C. ( µ) quando a variância populacional ( σ2) é conhecida Usar o caminho

Stat > Basic Statistics > 1-Sample z, ou o comando ZINTERVAL:

MTB > ZINTERVAL [coeficiente de confiança] sigma Ci

Comentários: •

Esse comando permite calcular o I.C.( µ) a partir dos dados amostrais de uma variável Ci que tem distribuição normal com desvio padrão σ = sigma, conhecido.

•

Se não informarmos o valor do desvio padrão, o Minitab assumirá sigma = 1;

•

Se não informarmos qual o valor do coeficiente de confiança, o Minitab assumirá γ = 95%;

Exemplo: Calcular o I.C. para a média das idades dos alunos de Estatística I da turma de 1997, que tem distribuição normal e desvio padrão σ = 1, baseado na seguinte amostra de n = 10 alunos: {19; 17; 19; 18; 17; 20; 18; 19; 20; 18}. Após colocarmos os dados na coluna C7, usamos o comando: MTB > NAME C7 'Idade'

MTB > ZINTERVAL 95 1 C7


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Confidence Intervals

The assumed sigma = 1.00 Variable N Idade 10

Mean 18.500

StDev 1.080

SE Mean 0.316

95.0 % CI (17.880, 19.120)

ou seja: o I.C.( µ; γ = 95%) = [17,88; 19,12] anos contem o verdadeiro valor da idade média dos alunos de Estatística I, com 95% de confiança. Se quisermos um I.C.( µ) com uma confiança γ = 99%, basta trocarmos no comando acima, o valor 95 por 99.

CASO 2: I.C.(µ) quando a variância populacional ( σ2) é desconhecida Usar o caminho:

Stat > Basic Statistics > 1-Sample t ou o comando TINTERVAL:

MTB > TINTERVAL [coeficiente de confiança] Ci •

Permite calcular o I.C. para a média µ de uma variável Ci (ou mais variáveis) com distribuição normal e variância populacional ( σ2) desconhecida;

•

O Minitab se incumbe de estimar a variância, já que ela é desconhecida.

Exemplo: calcular o I.C. γ = 95%, para a média das idades dos alunos de Estatística I, que tem distribuição normal, baseado na seguinte amostra de n = 10 alunos: {19; 17; 19; 18; 17; 20; 18; 19; 20; 18}. MTB > TINTERVAL 95 C1

Confidence Intervals

Variable Idade

N 10

Mean 18.500

StDev 1.080

SE Mean 0.342

95.0 % CI (17.727, 19.273)

Ou seja: o intervalo [17,727; 19,273] anos, contem o verdadeiro valor da média das idades dos alunos do curso de Estatística I, com γ = 95% de confiança.

4.2. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO (p) Para calcularmos o I.C.( p) podemos entrar com os dados numa coluna (Ci) ou indicar o tamanho da amostra e o número de sucessos.

Exemplo: numa amostra de n = 100 elementos, temos 42 sucessos e 58 fracassos, então devemos criar uma coluna (C8, por exemplo) com 42 números “1” e 58 números “0”, de modo que a média desta coluna seja igual a 42/100 = 0.42, que coincide com a proporção de sucessos. No Minitab, isso é feito com o comando: MTB > set c8 DATA> 42(1) 58(0) DATA> end


12

CASO 1: Amostras grandes Como neste caso o intervalo de confiança é baseado na distribuição normal, usar o caminho Stat > Basic Statistics > 1 Proportion... e escolher C8 em Samples in columns: e em Options marcar Use test and interval based on normal distribution , ou o comando: MTB > POne c8; SUBC> UseZ.

resultando em: Test and CI for One Proportion: C8 Test of p = 0.5 vs p not = 0.5 Success = 1 Variable C8

X 42

N 100

Sample p 0.420000

95.0% CI (0.323264; 0.516736)

Z-Value -1.60

P-Value 0.110

e podemos afirmar que o intervalo [0,32; 0,52] contem a verdadeira proporção de sucessos com uma confiança de 99%.

Note que este comando também executa um teste de hipóteses para a proporção, cujos resultados serão comentados quando tratarmos desse assunto.

CASO 2: Amostras pequenas (usa a distribuição binomial) Em Stat > Basic Statistics > 1 Proportion... escolher C8 em Samples in columns: ou o comando: MTB > Pone c8

resultando em:

Test and CI for One Proportion: C8 Test of p = 0.5 vs p not = 0.5 Success = 1 Variable C8

X 42

N 100

Sample p 0.420000

95.0% CI (0.321986; 0.522881)

Exact P-Value 0.133

OBS: Vale observar que esse intervalo tem uma amplitude maior que o do intervalo de confiança baseado na distribuição normal. Ao invés de entrarmos com os dados na coluna C8 podemos especificar em Stat > Basic Statistics > 1 Proportion... > Summarized data , o número de tentativas ( Number of trials) igual a 100 e o número de sucessos ( Number of successess) igual a 42. A seguir devemos escolher se o IC será baseado na distribuição normal ( Use test and interval based on normal distribution) ou não.


13

5. TESTES DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL E PARA A PROPORÇÃO 5.1. TESTE PARA A MÉDIA ( µ) QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL É CONHECIDA Usar o caminho

Stat > Basic Statistics > 1-Sample z ou o comando ZTEST, cuja sintaxe é:

MTB > ZTEST [µ0] [sigma] C; SUBC> ALTERNATIVE [k].

• Executa o teste de hipótese: H 0: µ = µ0 vs. H1: µ < µ0 (ou H1: µ ≠ µ0 ou H 1: µ > µ0) quando a

variância é conhecida. • Se não informarmos os valores de µ0 e sigma, o Minitab assume os valores 0 e 1, respectivamente. • Para a hipótese alternativa H 1: µ < µ0 devemos escolher k = –1; para H1: µ ≠ µ0, usar k = 0 e para H1: µ > µ0, usar k = +1. • Se o valor de k for omitido, o programa assume k = 0;

Exemplo:

Testar a hipótese de que a idade média dos alunos de Estatística I é igual a 18 anos, admitindo que σ2 = 1, baseado na amostra de n = 10 alunos: {19; 17; 19; 18; 17; 20; 18; 19; 20; 18}. Após digitarmos os dados na coluna C1, usamos o comando: MTB > ZTEST 18 1 C1; SUBC> ALTERNATIVE 0.

Ou então: Stat > Basic Statistics > 1-Sample z , escolhemos C1 em Variables, colocamos o valor 18 em Test mean, escolhemos not equal em Alternative e digitamos o valor 1.0 em Sigma. Em ambos os casos, o resultado é o seguinte:

Z-Test Test of mu = 18.000 vs mu not = 18.000 The assumed sigma = 1.00 Variable N Mean Idade 10 18.500

StDev 1.080

SE Mean 0.316

Z 1.58

P 0.11

que apresenta uma descrição das hipóteses envolvidas no teste, o valor do desvio padrão ( σ = 1), o tamanho da amostra (n = 10), o valor da média amostral ( x =18,50), o desvio padrão amostral (s = 1,080), o erro padrão da média (s( x ) = 0,316), o valor da estatística Z (z calc = 1,58) e o nível ˆ = P = 0,11), ou seja, para rejeitarmos H 0 precisamos assumir um nível de descritivo do teste ( α significância igual ou superior a 11%.

5.2. TESTE PARA A MÉDIA QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL É DESCONHECIDA Usar o caminho:

Stat > Basic Statistics > 1-Sample t ou o comando TTEST, cuja sintaxe é:

MTB > TTEST [µ0] C; SUBC> ALTERNATIVE [k].


14 •

•

É usado quando queremos realizar um teste de hipótese para a média de uma população normal e desconhecemos a variância populacional σ2. Sua sintaxe é bastante similar à do comando ZTEST .

Exemplo: Para testar a hipótese de que idade média dos alunos de Estatística I é igual a 18 anos, usamos o comando: MTB > TTest 18 C1; SUBC> Alternative 0.

Ou seguimos o caminho: Stat > Basic Statistics > 1-Sample t, escolhemos C1 em Variables, colocamos o valor 18 em Test mean e escolhemos not equal em Alternative. O resultado é o seguinte:

T-Test of the Mean

Test of mu = 18.000 vs mu not = 18.000 Variable Idade

N 10

Mean 18.500

StDev 1.080

SE Mean 0.342

T 1.46

P 0.18

Como o valor do nível descritivo do teste é relativamente grande ( α ˆ = P = 0,18), podemos assumir que os alunos de Estatística I, em média, não têm idade diferente de 18 anos. 5.3. TESTE PARA A PROPORÇÃO Usar o caminho: Stat > Basic Statistics > 1 Proportion ou o comando Pone. Quando os dados já estiverem digitados em numa coluna (Ci) e utilizarmos a distribuição normal (caso de grandes amostras), devemos usar os comandos: MTB > SUBC> SUBC> SUBC>

POne Ci; Test [p]; Alternative [k]; UseZ.

Se não optarmos pela aproximação normal, devemos excluir o subcomando da última linha. Outra possibilidade consiste em indicarmos o número de elementos da amostra ( Number of trials) e o número de casos favoráveis ( Number of successes) em Summarized data. Exemplo: Precisando saber se um candidato vai se reeleger como prefeito de Pirassununga, foi feita uma pesquisa com 180 eleitores, dentre os quais, 95 são favoráveis à reeleição. Ao nível α = 5% podemos concluir que a proporção de eleitores favoráveis à reeleição é superior 50%? Seguimos o caminho: Stat > Basic Statistics > 1 Proportion, em Summarized data, digitamos 180 como Number of trials: e 95 em Number of successes. A seguir, em Options, indicamos em Test proportion o valor 0.50, em Alternative: greater then e usamos a opção Use test and interval based on normal distribution. Como alternativa, digitamos: MTB > POne 180 95; SUBC> Test .50; SUBC> Alternative 1; SUBC> UseZ.


15

Test and CI for One Proportion Test of p = 0.5 vs p > 0.5 Sample X N Sample p 1 95 180 0.527778

95.0% Lower Bound 0.466572

Z-Value 0.75

P-Value 0.228

e podemos concluir que a hipótese H0: p = 0,50 não deve ser rejeitada, pois o nível descritivo do ˆ = P = 0,228), ou seja, a reeleição do candidato A não está garantida. teste é muito alto ( α

6. COMPARAÇÕES ENTRE AS MÉDIAS DE DUAS DISTRIBUIÇÕES NORMAIS Para compararmos as médias de duas populações normalmente distribuídas e independentes, ou seja, Ho: µi = µ j versus H1: µi ≠ µ j (ou H1: µi > µ j ou ainda H1: µi < µ j), quando as variâncias populacionais são desconhecidas, seguimos o caminho Stat > Basic Statistics > 2-Sample t ou usamos o comando: MTB > TWOSAMPLE [coeficiente de confiança] Ci Cj

• Ci e Cj identificam as colunas onde estão inseridos os valores amostrais das duas populações. • Se as variâncias populacionais forem consideradas iguais, usamos também o subcomando

POOLED. • Se o coeficiente de confiança ( γ ) for omitido, será calculado um I.C. para a diferença entre as médias populacionais assumindo γ = 95%.

Exemplo: Utilizando os dados do exemplo da seção 4.1e assumindo que uma outra amostra de idades foi retirada da turma de 1998, cujos resultados foram {18; 19; 19; 19; 18; 18; 17; 18; 19; 18}, desejamos testar se as idades médias das turmas de 1997 e 1998 podem ser consideradas iguais. C1

C2

C3

C4

1997

1998

Amostra

Idade

1

19

18

1

19

2

17

19

1

17

3

19

19

1

19

4

18

19

1

18

5

17

18

1

17

6

20

18

1

20

7

18

17

1

18

8

19

18

1

19

9

20

19

1

20

10

18

18

1

18

11

2

18

12

2

19

13

2

19

14

2

19

15

2

18

16

2

18

17

2

17

18

2

18

19

2

19

20

2

18

Os dados das amostras podem estar colocados em colunas diferentes (C1 e C2, respectivamente) ou empilhadas na coluna C4, mas com a coluna C3 indicando o número da amostra correspondente, de acordo com a figura abaixo: Para empilharmos os dados das colunas C1 (1997) e C2 (1998) na coluna C4, colocando em C3 um índice associando o número da amostra, usamos o comando: MTB > Stack (c1 c2) c4; SUBC> Subscripts c3.

Como já sabemos, antes de compararmos as médias, devemos saber se podemos admitir que as variâncias das idades das duas turmas podem ser consideradas iguais ou não. Para compararmos as variâncias das duas turmas, que consiste em testar H0: σ12 = σ22 versus H1:

2 2 σ1 ≠ σ 2

, usamos:


16 MTB > %Vartest C4 C3; SUBC> Confidence 95.0.

Resultando em: Test for Equal Variances Response Factors ConfLvl

Idade Amostra 95.0000

Bonferroni confidence intervals Lower Sigma Upper 0.706534 1.08012 2.17499 0.441500 0.67495 1.35911

for standard deviations N Factor Levels 10 1 10 2

F-Test (normal distribution) Test Statistic: 2.561 P-Value : 0.177 Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: 2.939

Ou seja, pelos testes F e de Levene, a igualdade das variâncias foi aceita, pois o nível descritivo associado às estatísticas foi igual ou superior a 0,104 (valor que pode ser considerado alto!). Após a decisão sobre a igualdade (ou não) das variâncias, podemos comparar as médias populacionais, usando o teste t-Student conveniente.

CASO 1. AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS FORAM CONSIDERADAS IGUAIS Seguimos o caminho: Stat > Basic Statistics > 2-Sample t, em > Samples in different columns indicamos C1 em First e C2 em Second. A seguir escolhemos Alternative: not equal e clicamos em Assume equal variances. Alternativamente, usamos o comando: MTB > TWOSAMPLE 95 c1 c2; SUBC> Alternative 0; SUBC> pooled.

Two-Sample T-Test and CI: Amostra 1; Amostra 2 Two-sample T for Amostra 1 vs Amostra 2

Amostra1 Amostra2

N 10 10

Mean 18.50 18.300

StDev 1.08 0.675

SE Mean 0.34 0.21

Difference = mu Amostra 1 - mu Amostra 2 Estimate for difference: 0.200 95% CI for difference: (-0.646; 1.046) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value= 0.50 P-Value= 0.626 DF= 18 Both use Pooled StDev = 0.901

Observe que são apresentados: a média (mean), o desvio padrão (StDev) e o erro padrão da média (SE Mean) de cada uma das • amostras; ®


17 um intervalo de confiança para a diferença das médias, com γ = 95%; ˆ = P = 0.626) e o número • o valor da estatística t-Student (T=0.50), o nível descritivo do teste ( α de graus de liberdade (DF=18); • o valor do desvio padrão comum ( Both use Pooled StDev ) é 0,901 e é usado no teste porque assumimos que as variâncias podem ser consideradas iguais. ˆ = P = 0,63), não temos motivos para rejeitar a hipó• Como o nível descritivo do teste foi alto ( α tese H0 e concluímos que as idades médias das turmas de 1997 e 1998 são iguais. •

Podemos também realizar o teste com os dados que estão empilhados em C3 e C4, usando os comandos: MTB > TWOT 95 C4 C3; SUBC> Alternative 0; SUBC> Pooled.

Ou usando o caminho: Stat > Basic Statistics > 2-Sample t e indicamos C4 em Samples in the column > Samples e C3 em Subscripts. A seguir escolhemos Alternative: not equal e clicamos em Assume equal variances.

CASO 2. AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS FORAM CONSIDERADAS DIFERENTES Para desejamos comparar as médias de duas populações normalmente distribuídas e com variân-cias desconhecidas e diferentes, usamos o caminho: Stat > Basic Statistics > 2-Sample t, em > Samples in different columns indicamos C1 em First e C2 em Second. A seguir escolhemos Alternative: not equal, mas não selecionamos Assume equal variances. Quando não usamos a opção Assume equal variances , o Minitab faz a comparação das médias usando a estatística t-Student aproximada, com número de graus de liberdade calculados pela fórmula de Sattertwait. Alternativamente, podemos usar o comando: MTB > TWOSAMPLE C1 C2

Two Sample T-Test and Confidence Interval Two sample T for Amostra1 vs Amostra2 N Mean StDev SE Mean Amostra1 10 18.50 1.08 0.34 Amostra2 10 18.300 0.675 0.21 95% CI for mu Amostra1 - mu Amostra2: ( -0.66, 1.06) T-Test mu Amostra1 = mu Amostra2 (vs not =): T=0.50 P=0.63

DF=15

Ou seja: como o nível descritivo do teste foi alto (0,63), não temos motivos para rejeitar a hipótese H0 e então, concluímos que as médias dos dois grupos de idades são iguais.


18

7. COMPARAÇÃO DE MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES DEPENDENTES – DADOS PAREADOS. Outro problema bastante comum consiste em compararmos as médias de duas populações normais que não são independentes , ou seja, os dados são pareados.

Exemplo (Apostila de Estatística II)

Com o objetivo de testar ( α = 5%) se a suplementação de alfafa aumenta o ganho médio de peso de coelhos em mais de 0,10kg, foram utilizados 8 pares de coelhos. Os resultados foram os seguintes:

Par no

1

2

3

4

5

6

7

8

X (com)

0,72

0,90

0,67

0,83

0,67

0,93

0,80

0,75

Y (sem)

0,32

0,49

0,51

0,45

0,70

0,52

0,35

0,60

Para fazermos a comparação de médias proposta, precisamos criar as três colunas de dados: C5, C6 e C7, que é obtida: MTB > Let c7 = c5 -

c6

C5

C6

C7

Com

Sem

D=Com-Sem

1

0.72

0.32

0.40

2

0.90

0.49

0.41

3

0.67

0.51

0.16

4

0.83

0.45

0.38

5

0.67

0.70

-0.03

6

0.93

0.52

0.41

7

0.80

0.35

0.45

8

0.75

0.60

0.15

Após a criação da coluna C7, para testarmos H0: µD = 0,10 vs H1: µD > 0,10, seguimos o caminho: Stat > Basic Statistics > 1-Sample t , escolhemos C7 em Variables, colocamos o valor 0.10 em Test mean e escolhemos greater than em Alternative. Uma maneira alternativa, comsiste em entrar com o comando: MTB > ttest 0.10 C7; SUBC> alternative 1.

Resultado em:

T-Test of the Mean

Test of mu = 0.1000 vs mu > 0.1000 Variable D=COM-SEM

N 8

Mean 0.2913

StDev 0.1746

SE Mean 0.0617

T 3.10

P 0.0087

Como o nível descritivo do teste é muito pequeno (p = 0.0087) rejeitamos a hipótese H 0 e comcluímos que a suplementação de alfafa aumenta o ganho médio de peso de coelhos em mais de 0,10 kg. Outra alternativa de executar o teste consiste em utilizar os comandos: MTB > Paired 'Com' 'Sem'; SUBC> Test .10; SUBC> Alternative 1.

ou o caminho: Stat > Basic Statistics > Paired t..., indicando C5 como First sample e C6 em Second sample. Resultando em:


19

Paired T-Test and CI: Com; Sem Paired T for Com - Sem N Mean Com 8 0.7837 Sem 8 0.4925 Difference 8 0.2912

StDev 0.0988 0.1240 0.1746

SE Mean 0.0349 0.0438 0.0617

95% lower bound for mean difference: 0.1743 T-Test of mean difference = 0.1 (vs > 0.1): T-Value = 3.10

P-Value = 0.009

8. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES A seguir veremos como usar o Minitab para estudar o relacionamento entre duas variáveis quantitativas, calculando o coeficiente de correlação linear (de Pearson) entre elas e ajustando uma reta que relaciona uma variável Y ( variável resposta ou dependente ) e outra variável X (também chamada de covariada, variável explanatória ou independente ).

8.1. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON Exemplo (da Apostila de Estatística II) Com o objetivo de estudar a relação entre o peso médio de coelhos ao abate (Y), em quilogramas, e o tamanho de ninhada (X), foram coletados na granja do Campus os dados apresentados a seguir. X: Tamanho da ninhada

4

8

6

1

7

3

7

5

Y: Peso médio ao abate

2,125

1,980

2,270

2,300

1,880

2,320

1,860

2,050

Vamos colocar os dados das variáveis X e Y nas colunas C8 e C9.

1 2 3 4 5 6 7 8

•

C8

C9

Ninhada

Peso

4 8 6 1 7 3 7 5

2.125 1.980 2.270 2.300 1.880 2.320 1.860 2.050

Para visualizarmos a possível relação entre as variáveis: Ninhada e Peso ao Abate, seguimos o caminho: Graph > Plot e em Graph variables escolhemos C9 em Y e C8 em X, por exemplo. Ou então, digitamos: MTB > plot C9*C8

(note que os valores da coluna C9 vão aparecer no eixo-y e os valores da coluna C8, no eixo-x)

Pode-se observar no gráfico que, à medida que o tamanho da ninhada aumenta, ocorre uma diminuição do peso ao abate, indicando uma correlação negativa entre as duas variáveis.


20

2.35

2.25

2.15 o s e P

2.05

1.95

1.85 1

2

3

4

5

6

7

8

Ninhada

Gráfico de dispersão dos pesos ao abate (kg) e tamanhos de ninhada de coelhos Para calcularmos o coeficiente de correlação linear de Pearson entre as colunas C8 e C9 seguimos o caminho: Stat > Basic statistics > Correlation... e escolhemos C8 e C9 como Variables. Ou então, digitamos: MTB > Correlation C8 C9

Correlations: Ninhada; Peso Pearson correlation of Ninhada and Peso = -0.776 P-Value = 0.024

•

confirmada a correlação negativa (–0,776) entre o tamanho da ninhada e o peso ao abate. A hipótese H: ρ(X, Y) = 0 foi rejeitada, pois o nível descritivo do teste (P-Value= 0,024) foi pequeno. Concluimos então que existe uma dependência entre X: tamanho da ninhada e Y: peso ao abate de coelhos.

8.2. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Exemplo (Apostila de Estatística II) Determinar a reta que relaciona a Absorbância (Y) com a concentração de nitrito (X, em mg/100ml) em amostras de mortadela. Os dados experimentais são: X: nitrito Y: Absorbância

0,5

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

0,040

0,078

0,145

0,215

0,300

0,340

0,395

0,460

0,560

0,715

Antes de realizarmos os cálculos, é importante visualizarmos a (possível !) relação linear entre as variáveis X: Nitrito e Y: Absorbância. Isso pode ser feito através do comando: MTB > plot C11*C10


21 Colocando os dados de X: Nitrito e Y: Absorbância nas colunas C10 e C11, respectivamente, a análise de regressão é feita da seguinte maneira: Stat > Regression > Regression... e escolhemos C11 como Response, e C10 como Predictors . Ou então, usamos o comando: MTB > Regress C11 1 C10

The regression equation is Y:Absorbância = - 0.0044 + 0.0724 X:Nitrito Predictor Constant X:Nitrit

Coef -0.00439 0.072350

SE Coef 0.01975 0.003698

S = 0.03271 R-Sq = 98.0% (5) Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total

DF 1 8 9

SS 0.40947 0.00856 0.41803

(6) Unusual Observations Obs X:Nitrit Y:Absorb 10 9.00 0.7150

(1)

T -0.22 19.56

P 0.830 0.000

R-Sq(adj) = 97.7%

MS 0.40947 0.00107

Fit 0.6468

F 382.69

SE Fit 0.0194

(2) (3) (4)

P 0.000

Residual 0.0682

St Resid 2.59R

R denotes an observation with a large standardized residual

Onde podemos identificar:

(1) A equação da reta ajustada: Y:Absorbância = –0.0044 + 0.0724 X:Nitrito. (2) A estimativa do intercepto ( aˆ = –0,00439), o seu erro padrão (0,01975), o valor da estatística para o teste H0: a = 0 vs. H 1: a ≠ 0 é T = –0,22 e o nível descritivo do teste é P = 0,830. (3) A estimativa da inclinação ( bˆ = 0,072350), o seu erro padrão (0,003698), o valor da estatística para o teste H0: b = 0 vs. H 1: b ≠ 0 é T = 19,56 e o nível descritivo do teste é P = 0,000. (4) A estimativa do desvio padrão é s = 0,03271, o coeficiente de determinação (R 2) é R-Sq = 98,0% e o coeficiente de determinação ajustado (R 2ajust) para o número de parâmetros é RSq(adj) = 97,7% (5) O quadro da análise de variância para a regressão, indicando que o modelo de regressão linear foi significativo (isto é, explica bem o relacionamento entre Y e X), já que a fonte de variação associada ao modelo (Regression) é significativa (P = 0.000) (6) Indica que a décima observação ( X = 9 e Y = 0,7150) apresenta um grande residuo padronizado, sendo uma séria candidata a outlier . Comentários: o intercepto pode ser retirado do modelo, pois a hipótese H 0: a = 0 não foi rejeitada; o coeficiente angular da reta ( inclinação) não é nulo, pois a hipótese H 0: b = 0 foi rejeitada; o valor alto do coeficiente de determinação (R 2) indica uma boa qualidade do ajuste. Para solicitarmos a construção de um gráfico dos resíduos do modelo em função da variável X: Nitrito, após definirmos o modelo de regressão linear, vamos para Graphs > Residuals for Plots > Regular e em Residuals versus the variables: escolhemos C10. O gráfico resultante sugere a não existência de aleatoriedade dos resíduos e a presença de um outlier .


22

Residuals Versus X:Nitrit (response is Y:Absorb)

outlier 0.05

l a u d i s e R

0.00

-0.05 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X:Nitrit

Se quisermos que o modelo de regressão não contenha o intercepto, fazemos: Stat > Regression > Regression..., como Response escolhemos a coluna C11 e como Predictors, a coluna C10 e em Options desmarcamos a opção Fit intercept. Ou então, utilizamos o comando: MTB > Regress 'Y:Absorbancia' 1 'X:Nitrito'; SUBC> NoConstant;

The regression equation is Y:Absorbancia = 0.0716 X:Nitrito Predictor Noconstant X:Nitrito

Coef

SE Coef

T

P

0.071649

0.001832

39.12

0.000

S = 0.03094 Analysis of Variance Source DF Regression 1 Residual Error 9 Total 10 Unusual Observations Obs X:Nitrit Y:Absorb 10 9.00 0.71500

SS 1.4644 0.0086 1.4730

Fit 0.64484

MS 1.4644 0.0010

F 1530.18

SE Fit 0.01648

P 0.000

Residual 0.07016

St Resid 2.68R

•

Dos resultados apresentados, temos que a estimativa da inclinação da reta que passa pela origem é 0,071649, um pouco inferior à do modelo com intercepto (0.072350).

•

Mais uma vez, o Minitab indica que a décima observação é candidata a valor discrepante. Sugestão: retirar este par de valores ( X=9, Y=0,7150) do conjunto de dados e refazer a análise.

•

Como exercício, faça isso e verifique que o problema da presença de outlier fica resolvido e as conclusões sobre o modelo não se alteram. Introdução ao uso do MINITAB®

23

9. TABELAS DE CONTINGÊNCIA No módulo Stat > Tables encontramos as ferramentas para construção de tabelas, como: •

Cross tabulation: constrói tabelas de contingência para uma, duas ou mais variáveis categóricas. As suas células podem conter contagens, porcentagens e estatísticas descritivas tais como a média e o desvio padrão, associadas a variáveis numéricas. Também disponibiliza o teste de Quiquadrado testar a associação de variáveis.

•

Tally: constrói tabelas com freqüências absolutas, percentuais e percentuais acumuladas para os valores distintos das variáveis.

• •

Chi-Squared Test: faz o teste de Quiquadrado de uma tabela de contingência. Multiple Correspondence Analysis: executa a análise de correspondência para três ou mais variáveis categóricas.

Para exercitar o uso de alguns desses comandos, vamos utilizar os dados da tabela com características da turma de Estatística II de 1997.

1) Para construir uma distribuição de freqüências da variável Idade, seguimos o caminho Stat > Tables > Tally... , selecionamos a variável Idade e todas as opções de Display, ou digitamos: MTB > Tally 'Idade'; SUBC> Counts; SUBC> CumCounts; SUBC> Percents; SUBC> CumPercents.

Tally for Discrete Variables: Idade Idade 18 19 20 21 22 23 N=

Count CumCnt 5 5 9 14 8 22 6 28 1 29 2 31 31

Percent CumPct 16.13 16.13 29.03 45.16 25.81 70.97 19.35 90.32 3.23 93.55 6.45 100.00

2) Será que a maioria dos alunos que fizeram escola pública (2 o grau) também fez cursinho? Para ajudar a responder essa pergunta, vamos construir uma tabela de contingência das variáveis: Escola pública? e Cursinho? usando: Stat > Tables > Cross tabulation... , escolhendo as variáveis: Escola pública? e Cursinho? e selecionando como Display: Counts e Row percents, ou digitamos: MTB > Table 'Escola Pública?' 'Cursinho?'; SUBC> Counts; SUBC> RowPercents.


®

24

Rows: Escola Pública?

Columns: Cursinho?

não

sim

All

não

10 40.00

15 60.00

25 100.00

sim

1 16.67

5 83.33

6 100.00

All

11 35.48

20 64.52

31 100.00

Cell Contents -- Count % of Row

onde podemos perceber que 83,33% dos alunos que fizeram o 2 o em Escola Pública precisaram fazer cursinho; dentre os alunos de escola particular, essa porcentagem cai para 60%. Para testarmos se existe alguma relação entre essas duas variáveis categóricas, podemos solicitar o teste de Quiquadrado para as hipóteses H0: Cursinho? é independente de Escola Pública? H1: Cursinho? é dependente de Escola Pública? usando os comandos: MTB > Table 'Escola Pública?' 'Cursinho?'; SUBC> Chisquare.

Rows: Escola Pública?

não sim All

Columns: Cursinho?

não

sim

All

10 1 11

15 5 20

25 6 31

Chi-Square = 1.151; DF = 1; P-Value = 0.283 2 cells with expected counts less than 5.0

•

como o nível descritivo é alto (P-value=0,283) não rejeitamos H 0 e concluímos que as duas variáveis classificatórias são independentes.

3) Construir uma tabela com estatísticas básicas da variável C4: peso, por C2: sexo e por C13:

Fuma?, mais o teste de Quiquadrado para verificar se o ato fumar independe do sexo: MTB > table c2 c13; SUBC> stats c4; SUBC> chisq.

®


25

Rows: Sexo

F

M

Columns: Fuma?

não 10 56.380 6.050 10

sim 3 62.333 15.373 3

All 13 57.754 8.582 13

15 80.267 16.241 15

3 79.000 13.077 3

18 80.056 15.414 18

All

25 6 31 70.712 70.667 70.703 17.614 15.693 17.007 25 6 31 Chi-Square = 0.199; DF = 1; P-Value = 0.656 2 cells with expected counts less than 5.0 Cell Contents -Peso:N Mean StDev Count

4) Para construir uma tabela com três variáveis classificatórias C2: Sexo, C10: Alojamento? e C12:

Esporte?, podemos usar o comando MTB > table c2 c10 c12 Control: Esporte? = não Rows: Sexo Columns: Alojamen

F M All

não

sim

All

1 4 5

2 1 3

3 5 8

Control: Esporte? = sim Rows: Sexo Columns: Alojamen

F M All

não

sim

All

1 6 7

9 7 16

10 13 23

Cell Contents -Count

Se trocarmos a ordem das colunas no comando, mudamos a disposição das variáveis na tabela. Podemos também alterar a apresentação dos resultados na tabela, para evidenciar alguma relação ou para compactar a saída dos resultados, utilizando o subcomando layout. Introdução ao uso do MINITAB®

26 Neste mesmo exemplo, onde temos 3 variáveis classificatórias, se quisermos que a tabela apresente uma variável nas linhas e duas variáveis nas colunas, devemos usar: MTB > table c2 c10 c12; SUBC> layout 1 2.

Rows: Sexo

Columns: Alojamen / Esporte?

não -------------não sim F M All

1 4 5

1 6 7

sim -------------não sim 2 1 3

9 7 16

All ----All 13 18 31

Cell Contents -Count

Se quisermos ainda, que seja apresentada a porcentagem de alunos por sexo nas diversas classes e a média de C14: Estatística I, usamos: MTB > SUBC> SUBC> SUBC>

table c2 c10 c12; layout 1 2; rowpercents; mean C14.

Rows: Sexo

Columns: Alojamen / Esporte?

não -------------não sim

sim -------------não sim

All ----All

F

7.69 6.0000

7.69 8.4000

15.38 2.9500

69.23 4.3667

100.00 4.5846

M

22.22 6.5250

33.33 3.5500

5.56 4.4000

38.89 5.6000

100.00 5.0556

All

16.13 6.4200

22.58 4.2429

9.68 3.4333

51.61 4.9063

100.00 4.8581

Cell Contents -% of Row Estat-I: Mean

Onde podemos notar: que a porcentagem de alunas que praticam esporte é maior dentre aquelas que moram no alo• jamento; essa característica também se mantém entre os alunos, mas de forma menos sensível; • •

dentre os alunos de ambos os sexos que não moram no alojamento, a média em Estatística I foi maior entre aqueles que não praticam qualquer tipo de esporte.

®


27

INTRODUÇÃO AO USO DO MINITAB® NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA (COM EXEMPLOS) EXEMPLO 1. DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC) Com o objetivo de avaliar a utilização do farelo bruto realizou-se um experimento com duração de 28 dias, envolvendo 4 tratamentos (0, 10, 20 e 30% de substituição) e 5 repetições por tratamento. Cada parcela foi constituída de 50 pintos de um dia de idade da linhagem "Ross", sendo 25 machos e 25 fêmeas. Os resultados dos ganhos de peso médio, em kg, de cada parcela são:

% de substituição por farelo bruto 0% 10% 20% 30% 0.60 0.62 0.61 0.64 0.63 C1 Farelo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C2 Repet

C3 GP

0.82 0.85 0.78 0.79 0.80

0.82 0.81 0.79 0.80 0.79

•

A criação de uma planilha (Worksheet) com esses dados envolve a digitação dos dados em três colunas: a primeira (C1) de nome Farelo, indicando os níveis de tratamento; a segunda ( C2) de nome Repet, com o número da repetição dentro de cada tratamento e a terceira (C3) de nome GP, com os correspondentes ganhos de peso.

•

0

1

0.60

0

2

0.62

0

3

0.61

0

4

0.64

0

5

0.63

10

1

0.82

10

2

0.85

10

3

0.78

10

4

0.79

10

5

0.80

20

1

0.79

20

2

0.83

20

3

0.82

Para exibir esses dados no monitor, usamos o mouse e clicamos em Manip > Display data. A seguir selecionamos as colunas C1, C2 e C3 com um clique duplo sobre seus nomes e depois clicamos em Ok. Uma forma alternativa consiste em entrar com o seguinte comando na janela Session:

20

4

0.81

MTB > print c1-c3

20

5

0.82

30

1

0.82

30

2

0.81

Para calcular algumas estatísticas descritivas da coluna de ganhos de peso, usamos:

30

3

0.79

MTB > describe c3;

30

4

0.80

30

5

0.79

..

•

Descriptive Statistics Variable Farelo N Mean GP 0 5 0.62000 10 5 0.80800 20 5 0.81400 30 5 0.80200 Variable GP

0.79 0.83 0.82 0.81 0.82

Farelo 0 10 20 30

Min 0.60000 0.78000 0.79000 0.79000

Resultando em:

Median 0.62000 0.80000 0.82000 0.80000 Max 0.64000 0.85000 0.83000 0.82000

Tr Mean 0.62000 0.80800 0.81400 0.80200 Q1 0.60500 0.78500 0.80000 0.79000

StDev 0.01581 0.02770 0.01517 0.01304

SE Mean 0.00707 0.01240 0.00678 0.00583

Q3 0.63500 0.83500 0.82500 0.81500


28 Se quizermos calcular somente a média e o desvio padrão de GP de cada um dos tratamentos, podemos fazer: Stat > Table > Cross Tabulation , escolher como Classification variables a coluna C1 Farelo; em Summaries escolher C2 GP como Associated variables: e marcar no Display os nomes Means e Standard deviations. Como alternativa, entramos com o comando: MTB > table c1; SUBC> mean c3; SUBC> stdev c3.

Rows: Farelo Ganho Mean 1 0.62000 2 0.80800 3 0.81400 4 0.80200 All 0.76100

Ganho StDev 0.01581 0.02775 0.01517 0.01304 0.08540

Se quisermos testar a homogeneidade das variâncias dos tratamentos, devemos clicar em Stat > ANOVA > Homogeneity of variance e a seguir, escolher em Response a coluna C3 GP e em Factors a coluna C1 Farelo. Ou então usar o comando: MTB > %Vartest

c3 c1

O resultado consiste de um gráfico com intervalos de confiança para os desvios padrões dos tratamentos e os resultados dos testes de Bartlett e de Levene. Vale lembrar que podemos assumir que as variâncias são iguais se o P-value (nível descritivo do teste) for superior a 5% (mais comum!) ou a 10%.

Homogeneity of Variance Test for GP 95% Confidence Intervals for Sigm as

Factor Levels 0 Bartlett's Test Test Statistic: 2.705 10

20

P-Value

: 0.439

Levene's Test Test Statistic: 0.731 P-Value

: 0.548

30

0.00

0.05

0.10

Para fazer a análise de variância dos dados desse experimento, cujo delineamento é o inteiramente casualizado com 5 repetições/tratamento, comparar as médias através do teste de Tukey


29 (α= 5%) e calcular os resíduos (e gravar em C5) para, posteriormente, verificarmos se os erros têm distribuição normal, devemos clicar em Stat > ANOVA > Oneway , escolher em Response a coluna C3 GP, em Factor a coluna C1 Farelo, em Comparisons a opção Tukey, family error rate: 5 e clicar no quadro Store residuals. Ou então, entrar com o comando: MTB > oneway c3 c1 c4; SUBC> Tukey 5. Analysis of Variance for Ganho Source Farelo Error Total

DF 3 16 19

Level 1 2 3 4

N 5 5 5 5

Pooled StDev =

SS 0.132900 0.005680 0.138580

(1)

MS 0.044300 0.000355

Mean 0.62000 0.80800 0.81400 0.80200

StDev 0.01581 0.02775 0.01517 0.01304

0.01884

F 124.79

P 0.000

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev (2) ----+---------+---------+---------+-(--*-) (-*--) (-*--) (--*-) ----+---------+---------+---------+-0.630 0.700 0.770 0.840

(3)

Tukey's pairwise comparisons Family error rate = 0.0500 Individual error rate = 0.0113 Critical value = 4.05

Intervals for (column level mean) - (row level mean) 1

2

2

-0.22213 -0.15387

3

-0.22813 -0.15987

-0.04013 0.02813

4

-0.21613 -0.14787

-0.02813 0.04013

3

-0.02213 0.04613

Comentários sobre os resultados: (1) no quadro da análise de variância podemos verificar a significância do fator Farelo (p<0,0001), ou seja, podemos afirmar que existe pelo menos um efeito não nulo do fator Farelo sobre o GP, ou que pelo menos duas das médias do fator Farelo são diferentes entre si, quanto ao GP. (2) o número de observações, a média e o desvio padrão de cada nível do fator Farelo, além de intervalos de confiança para as médias, podendo-se observar que os animais que receberam os níveis 10, 20 e 30 tiveram um GP similar entre si e superior ao nível 0 (zero). (3) resultados da comparação das médias do fator Farelo utilizando o teste de Tukey (5%). São apresentados intervalos de confiança para a diferença entre as médias dos diversos níveis. Diferenças significativas entre médias podem ser identificadas nos intervalos onde os limites (inferior e superior) têm o mesmo sinal. Pode-se perceber que as comparações envolvendo o nível “0” são significativas e que as comparações envolvendo outras duas médias não são significativas. A tabela seguinte, resume esses resultados: Introdução ao uso do MINITAB®

30

Farelo

Média

0 10 20 30

0.62000 0.80800 0.81400 0.80200

a b b b

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: como o fator Farelo é uma variável quantitativa, não é indicado o uso de qualquer método de comparação múltipla para avaliar as possíveis diferenças entre as médias desse fator. Neste caso, é indicado um estudo de regressão, para estudarmos a relação entre os níveis do fator Farelo e os ganhos de peso dos animais. Com o Minitab, podemos visualizar o comportamento das respostas médias fazendo: Stat > ANOVA > Main Effects plot.. e escolhendo C3 GP como Responses: e C1 Farelo como Factors: . Do gráfico resultante pode-se perceber uma tendência quadrática de resposta de Y (ganho de peso) em função de X (% de substituição por farelo bruto). Para ajustar uma equação do segundo grau, fazemos Stat > Regression > Fitted Line Plot... e escolhemos C3 GP como Response (Y) e C1 Farelo como Predictor (X) e finalmente, escolhemos Quadratic em Type of Regression Model .

O resultado é um gráfico de dispersão com o desenho da curva ajustada, sua equação é GP = 0.6282 + 0.02052 Farelo - 0.0005 Farelo**2 , uma estimativa do desvio padrão dos dados é S = 0,0270120, o coeficiente de determinação R-Sq = 91.0 % e o coeficiente de determinação ajustado R-Sq(adj) = 90.0 %, indicando um ótimo ajuste do modelo. A partir da equação de regressão ajustada, podemos estimar a porcentagem de substituição de farelo que proporciona o maior ganho de peso. Para tanto, igualamos a zero a derivada primeira de GP em relação a X (Farelo): d (GP) dx

= 0,02052 – 0,0010X = 0

⇒

X=

0,02052 0,0010

= 20,52

e obtemos o ponto de resposta máxima é Farelo = 20,52% e GP = 0,84 kg no intervalo de 28 dias.


31 Se os dados de GP dos tratamentos 0, 10, 20 e 30% estivessem digitados nas colunas C5, C6, C7 e C8, respectivamente: C5

C6

C7

C8

0%

10%

20%

30%

1

0.60 0.82 0.79 0.82 2 0.62 0.85 0.83 0.81 3 0.61 0.78 0.82 0.79 4 0.64 0.79 0.81 0.80 5 0.63 0.80 0.82 0.79 A mesma análise pode ser feita clicando-se em Stat > ANOVA > Oneway (Unstacked) e, a seguir, escolher em Responses (in separate columns) as colunas C5 a C8, ou entrar com o comando: MTB > aovoneway C5-c8

Com esta opção, somente serão mostrados os quadros (1) e (2), não havendo possibilidade de se comparar os pares de médias através do teste de Tukey . Para testar a normalidade dos erros podemos clicar em Stat > Basic Statistics > Normality test e a seguir escolher em Variable a coluna C5 RESI1 e em Tests for Normality, escolher um dos testes disponíveis ( Anderson-Darling, Ryan-Joiner ou Kolmogorov-Smirnov ). O resultado do teste de Anderson-Darling permite concluir que os erros do modelo (estimados pelos resíduos gravados em C5 RESI1) têm distribuição normal, pois o teste forneceu um nível descritivo muito alto (P-Value = 0,909). Um modo mais rápido de executar esse teste consiste em usar o comando: MTB > %NormPlot c5

Normal Probability Plot

.999 .99 .95 y t i .80 l i b a .50 b o r .20 P

.05 .01 .001 -0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

RESI1 Average: 0 StDev: 0.0172901 N: 20

Anderson-Darling Normality Test A-Squared: 0.176 P-Value: 0.909

Comentários: a) neste tipo de análise ainda podemos utilizar alguns gráficos, como por exemplo, o dotplot e o boxplot, para avaliar a distribuição, a variabilidade, a assimetria, a presença de valores discrepantes nos dados originais, além do histograma, normal plot etc. dos resíduos para avaliar a sua distribuição. b) se a variável que define o fator é quantitativa , sempre devemos optar por uma análise de regressão para estudar o comportamento das respostas em função dos níveis desse fator.


32

EXEMPLO 2. DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO - EXPERIMENTO FATORIAL No setor de suinocultura do Campus foi feito um estudo sobre o consumo diário de ração, em kg/dia, em suínos no período de crescimento/ acabamento, envolvendo três tipos de ração (R 1: farelada; R2: granulada e R3: peletizada) e duas formas de arraçoamento (A 1: à vontade e A 2: controlada) e utilizando 4 animais/tratamento. Os dados experimentais resultantes estão apresentados na tabela abaixo:

Arraçoamento

Farelada

Ração Granulada

Peletizada

2.63

2.19

2.31

2.64

2.21

2.30

2.65

2.22

2.30

2.70

2.20

2.28

2.28

2.32

2.19

2.26

2.30

2.18

2.23

2.31

2.16

2.20

2.30

2.21

À vontade

Controlada

A planilha com os dados é construída de modo similar à do Exemplo 1: nas três primeiras colunas estão as informações sobre o tipo de ração (C1), o tipo de arraçoamento (C2) e o número da repetição (C3); em C4 estão os dados do consumo diária de ração, em kg/dia. Uma parte da planilha está apresentada a seguir. Vale notar que a letra -T nas colunas C1 e C2 indica que elas não são numéricas. C1-T Racao

C2-T Arracoamento

C3 C4 Repet Consumo

1

Farelada

A vontade

1

2.63

2

Farelada

A vontade

2

2.64

3

Farelada

A vontade

3

2.65

4

Farelada

A vontade

4

2.70

5

Farelada

Controlada

1

2.28

6

Farelada

Controlada

2

2.26

7

Farelada

Controlada

3

2.23

8

Farelada

Controlada

4

2.20

continua... Uma tabela com as médias de consumo, por tipo de ração e tipo de arraçoamento é obtida com os comandos: MTB > table c1 c2; SUBC > means c4.


33

Rows: Racao

Columns: Arracoam

À vontad Controla Farelada Granulad Peletiza All

2.6550 2.2050 2.2975 2.3858

2.2425 2.3075 2.1850 2.2450

All 2.4488 2.2563 2.2413 2.3154

Cell Contents -Consumo:Mean

Podemos inverter a disposição das variáveis classificatórias fazendo: MTB > table c2 c1; SUBC > means c4.

Rows: Arracoam

Columns: Racao

Farelada Granulad Peletiza À vontad Controla All

2.6550 2.2425 2.4488

2.2050 2.3075 2.2563

2.2975 2.1850 2.2413

All 2.3858 2.2450 2.3154

Cell Contents -Consumo:Mean

Para testar a homogeneidade de variâncias clicamos em Stat > ANOVA > Homogeneity of variance e a seguir, escolhemos em Response a coluna C4 Consumo e em Factors as colunas C1 Racao e C2 Arracoam. Ou então, podemos usar o comando: MTB > %vartest c4 c1 c2


®

34

Da figura, podemos perceber que pelos testes de Bartlett (P-Value = 0,225) e de Levene (P-Value = 0,265) a homogeneidade das variâncias foi aceita, e podemos realizar análise de variância. IMPORTANTE: Se a homogeneidade das variâncias for rejeitada, a análise de variância não deve ser utilizada para comparar os tratamentos, já que isso pode interferir nos resultados finais. Soluções para este problema envolvem a busca de uma transformação da variável resposta ou o uso de métodos de análise não paramétricos.

A análise de variância do experimento fatorial 3x2 (3 tipos de ração e 2 tipos de arraçoamento) em um delineamento inteiramente casualizado com r = 4 repetições, considerando os fatores de efeito fixo, é feita clicando-se em Stat > ANOVA > Twoway , escolher em Response a coluna C4 Consumo, em Row factor a coluna C1 Racao, em Column factor a coluna C2 Arracoam Store, além de clicar em Display means e Store residuals.

Two-way ANOVA: Consumo versus Racao; Arracoamento Analysis of Variance for Consumo Source DF SS MS Racao 2 0.214233 0.107117 Arracoam 1 0.119004 0.119004 Interaction 2 0.267633 0.133817 Error 18 0.009125 0.000507 Total 23 0.609996 Racao Farelada Granulad Peletiza

Mean 2.4488 2.2563 2.2413

Arracoam À vontad Controla

Mean 2.3858 2.2450

F 211.30 234.75 263.97

P 0.000 0.000 0.000

Individual 95% CI ----------+---------+---------+---------+(--*--) (--*--) (--*-) ----------+---------+---------+---------+2.2800 2.3400 2.4000 2.4600 Individual 95% CI ----+---------+---------+---------+------(--*--) (--*--) ----+---------+---------+---------+------2.2500 2.3000 2.3500 2.4000

Como o número de repetições é o mesmo para todos os tratamentos, uma alternativa para realizar a análise, consiste em utilizar a opção Balanced Anova... Escolhemos então Stat > ANOVA > Balanced Anova... ; em Responses C4 Consumo; em Model escrevemos Racao Arracoam Racao*Arracoam e em Storage marcamos Residuals. Em Options... > Display means corresponding to the terms escrevemos Racao Arracoam Racao*Arracoam. Ou então, entramos com o comando: MTB > anova c4 = c1 c2 c1*c2; SUBC > means c1 c2 c1*c2; SUBC > residuals c4.


35

ANOVA: Consumo versus Racao; Arracoamento

Factor Racao Arracoam

Type Levels Values fixed 3 Farelada Granulada Peletizada fixed 2 A vontade Controlada

Analysis of Variance for Consumo Source DF SS Racao 2 0.21423 Arracoam 1 0.11900 Racao*Arracoam 2 0.26763 Error 18 0.00912 Total 23 0.61000

MS 0.10712 0.11900 0.13382 0.00051

F 211.30 234.75 263.97

P 0.000 0.000 0.000

Means Racao Farelada Granulada Peletizada

N 8 8 8

Arracoam À vontade Controlada

N 12 12

Racao Farelada Farelada Granulada Granulada Peletizada Peletizada

Consumo 2.4488 2.2563 2.2413 Consumo 2.3858 2.2450

Arracoam À vontade Controlada À vontade Controlada À vontade Controlada

N 4 4 4 4 4 4

Consumo 2.6550 2.2425 2.2050 2.3075 2.2975 2.1850

Comentários: •

a interação Racao*Arracoam foi significativa (P < 0,001), indicando que o consumo dos animais que receberam um certo tipo de ração (farelada, granulada ou peletizada) depende do tipo de arraçoamento (à vontade ou controlada) ou vice-e-versa.

•

os efeitos individuais de Ração (P < 0,001) e de Arraçoamento (P < 0,001) foram significativos, mas esses resultados não tem grande importância porque a interação foi significativa.

•

A interação pode ser melhor entendida analisando-se os gráficos apropriados que são obtidos em Stat > ANOVA > Interactions plot , escolhendo a coluna C4: Consumo em Responses:, em Factors, as colunas C1: Racao e C2: Arracoam e selecionando Display full interaction plot matrix. De forma alternativa, pode-se utilizar o comando MTB > %Interact c1 c2; SUBC> Response c4; SUBC> Full.


36 Interaction Plot d a- Data Means efor Consumo d a

d a l a e r F a

l a n u r a G

d a l a o r t o n C

d t a n v o A

a i z t l e e P

2.6

Racao Peletizada

2.4 Granulada

2.2

Farelada

2.6

Arracoamento Controlada

2.4

2.2

A vontade

Exemplo 3. DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS E EXPERIMENTO EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS

Para estudar o efeito de três níveis de adubação (A) e de dois espaçamentos (E) na altura (em centímetros) de certo tipo de plantas, planejou-se um experimento em parcelas subdivididas num delineamento em blocos casualizados. Os tratamentos principais correspondem a três níveis de adubação (A0, A1 e A2) e os tratamentos secundários a dois espaçamentos (E 1 e E2). Os blocos (I, II, III, IV) controlam a fertilidade do solo. Os dados são apresentados a seguir: A0

A1

A2

Bloco

E1

E2

E1

E2

E1

E2

I

58

44

85

59

66

54

II

77

59

90

68

93

75

III

38

30

73

45

67

53

IV

52

34

77

55

64

48

A planilha com os dados é construída de modo similar à dos exemplos anteriores: nas três primeiras colunas estão as informações sobre os níveis de adubação ( C1: Adubacao), os dois espaçamentos (C2: Espacamento) e os blocos ( C3: Bloco); em C4 estão as alturas em centímetros ( C4: Altura). Se os quadros auxiliares de totais forem necessários para o cálculo de somas de quadrados da interação entre Adubação e Espaçamento, podemos utilizar os comandos MTB > table c1 c2; SUBC> sums c4.

resultando em:


37

Tabulated Statistics Rows: Espacame Columns: Adubacao A0 A1 A2 All E1 225.000 325.000 290.000 840.000 E2 167.000 227.000 230.000 624.000 All 392.000 552.000 520.000 1464.000 Cell Contents -Altura:Sum

Para testar a homogeneidade das variâncias, podemos (verifique!) utilizar o comando: MTB > %Vartest

C4 C1 C2

e, como os níveis descritivos dos testes de Bartlett (P = 0.883) e de Levene (P= 0.953) são muito altos podemos aceitar a hipótese de homogeneidade das variâncias. ( Verifique!!!) Para realizar a análise de variância deste experimento em parcelas subdivididas num delineamento em blocos casualizados, consideraremos os níveis do fator C1: Adubacao aplicados às parcelas e os níveis de C2: Espacamento, aplicados às subparcelas, ambos de efeito fixo. Para que os testes F de significância sejam feitos corretamente, devemos considerar o fator Bloco como de efeito aleatório. Daí utilizarmos a seqüência: Stat > ANOVA > Balanced Anova... e inserimos as informacões necessárias como apresentado na figura seguinte. Em Storage marcamos Residuals e em Options... > Display means corresponding to the terms escrevemos: Adubacao Espacamento Adubacao*Espacamento. De modo alternativo, podemos entrar com o comando: MTB > SUBC> SUBC> SUBC>

anova c4 = c3 c1 c1*c3 c2 c1*c2; random c3; residuals c5; means c1 c2 c1*c2;

Resultando em: Introdução ao uso do MINITAB®

38

ANOVA: Altura versus Bloco; Adubacao; Espacamento Factor Type Levels Values Bloco random 4 I Adubacao fixed 3 A0 Espacame fixed 2 E1

II A1 E2

III A2

IV

Analysis of Variance for Altura Source Bloco Adubacao Bloco*Adubacao Espacame Adubacao*Espacame Error Total

DF 3 2 6 1 2 9 23

SS 2352.00 1792.00 320.00 1944.00 127.00 57.00 6592.00

MS 784.00 896.00 53.33 1944.00 63.50 6.33

F 14.70 16.80 8.42 306.95 10.03

P 0.004 0.003 0.003 0.000 0.005

Means Adubacao A0 A1 A2

N 8 8 8

Altura 49.000 69.000 65.000

Espacame E1 E2

N 12 12

Adubacao A0 A0 A1 A1 A2 A2

Espacame E1 E2 E1 E2 E1 E2

Altura 70.000 52.000 N 4 4 4 4 4 4

Altura 56.250 41.750 81.250 56.750 72.500 57.500

Vale notar que os testes de significância da ANOVA foram realizados corretamente: para testar o efeito de Bloco e de Adubação, que estão relacionados à variação entre parcelas, foi utilizado o QM da interação Bloco*Adubacao, que corresponde ao QMResiduo(a); nos demais testes relacio-nados à variação entre subparcelas, foi utilizado o QM do Error, que corresponde ao QMResiduo(b). Como a interação entre os fatores Adubacao e Espacamento foi significativa, podemos estudá-la através dos gráficos apropriados: Stat > ANOVA > Interactions plot, escolhendo em Factors C1 Adubacao e C2 Espacamento, em Raw response data in: a coluna C4 Altura e clicando em Display full interaction plot matrix.


®

Minitab Apostila

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