MODELO MATEMÁTICO DE UN MOTOR DE CD DE IMANES PERMANENTES.
Se parte del modelo matemático lineal para motores de corriente directa denominado modelo electromecánico. El modelo electromecánico estándar considera el voltaje de armadura y el par debido a la carga como variables de entrada y a la velocidad como variable de salida.
Modelo electromecánico de un motor de corriente directa.
En este modelo, los parámetros son la corriente, la resistencia y la inductancia de armadura, respectivamente; es la tensión de entrada del motor;
es un voltaje generado que se produce cuando los conductores de la armadura se mueven a través del campo magnético establecido por los imanes permanentes de los polos del motor; es la velocidad angular; son el par generado, el
par debido a la fricción, el par debido a la inercia y el par de carga respectivamente; representa el momento de inercia y el coeficiente de fricción f ricción viscosa.
Aplicando la ley de tensiones tensiones de Kirchhoff al modelo anterior.
( ) ( ) () () De acuerdo a la ley de inducción de Faraday, una vuelta de bobina conductora que gira a través de un campo magnético constante, representa en sus extremos un voltaje inducido.
() () ( )
Donde representa los enlaces del flujo magnético en la bobina. En un motor de corriente directa, cada bobina del rotor genera sobre ella un voltaje dado por la ecuación anterior, donde es proporcional al flujo magnético y a la velocidad angular , es decir
()
()⁄
() ()() Debido a que el campo magnético es generado por imanes permanentes, el flujo del campo es considerado constante, y la ecuación anterior se modifica a
() () Donde
es la constante de velocidad del motor.
Otro efecto fundamental en la armadura es la inducción de una fuerza debido al flujo de corriente en las bobinas conductoras en presencia de un campo magnético perpendicular a este flujo. La magnitud de esta fuerza es proporcional a la magnitud de la corriente que fluye en los conductores, la intensidad del campo magnético y la longitud de los conductores, la fuerza inducida total es igual a la suma de fuerzas individuales en cada bobina, esta fuerza opera a una distancia determinada por la construcción del rotor y de esta manera un par electromagnético es generado. Considerando un flujo constante, el par generado es proporcional a la corriente y esta dado por
() () Donde
es la constante de par del motor.
La potencia mecánica en el motor esta dada por
() ()() Una parte de la energía es almacenada como energía cinética en la masa del rotor, es importante notar que no toda esta potencia generada puede ser entregada a la carga conectada al eje del motor, ya que existen pérdidas debidas a la resistencia eléctrica de los devanados y a fenómenos de fricción entre otros. Este tipo de pérdidas son consideradas en el modelo como pérdidas por fricción. El par generado debo ser en cualquier instante igual y opuesto a la suma del par necesario para romper la fricción, la inercia y el par de carga, por lo tanto
() () () El par de inercia debido al momento de inercia del rotor y a la carga sobre el eje del motor, puede ser representado por el producto del momento de inercia total y la aceleración angular . El par debido a la fricción tiene dos componentes, la componente del par total de fricción que es una función lineal de la velocidad angular, se denomina componente de fricción viscosa y es separada de otros términos que involucran fenómenos de fricción. Con estas consideraciones, la ecuación de par generado puede rescribirse de la siguiente manera.
()⁄
() () () ()
Donde representa la friccion viscosa del motor y de la carga referida al eje del motor y es la suma de los elementos considerados como perdidas por fricción, excluyendo la fricción viscosa. Las ecuaciones fundamentales que modelan al motor de CD llevan a funciones transferencia (FT) para varios modos de operación del motor. Para manejar manera más sencilla este conjunto de ecuaciones, se obtiene la transformada Laplace de cada una de ellas, y reacomodando para una representación diagrama de bloques mas intuitiva de estas expresiones, se tiene que:
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() () ( ) () () () () () () () () ()() En la siguiente figura se muestra la representación en diagrama de bloques del modelo electromecánico del motor de CD, el cual consiste en dos entradas: . y una salida:
() () ()
( )
La función de transferencia voltaje-velocidad puede representarse como
() () Normalmente el valor de es de magnitud menor a R, de modo que para valores pequeños de L, la constante de tiempo eléctrica es despreciable con respecto a la constante de tiempo mecánica, reduciendo la FT a una sistema de primer orden con la siguiente forma
( ) () ( ) Considerando el par de carga y a la velocidad como variables de entrada y salida respectivamente es
( ) () () Y para valores pequeños de L a
() () () ( )
