Análisis Dinámico en Economía y Empresa Sara Báez Ávila Susana Santana González
ÍNDICE
Reseña Histórica
Hipótesis Teóricas-Económicas del Modelo
Formulación Matemática del Modelo
Resolución del Modelo
Caso Mauritania
Caso Estados Unidos
Estudio de la Convergencia entre Mauritania y Estados Unidos
Conclusiones
Bibliografía
Reseña Histórica:
Roy Forbes Harrod
Economista británico. Seguidor de John Maynard Keynes, estudió las condiciones del crecimiento armonioso en una economía capitalista y los posibles factores que condicionan su inestabilidad. Harrod estudió la carrera universitaria en las dos universidades más prestigiosas del país, en Oxford y Cambridge. Fue uno de los discípulos más aventajados del famoso economista Keynes. En el año 1922, recién licenciado, comenzó a impartir clases en el Christ Church de Oxford, donde permaneció hasta 1967. Su actividad docente tan sólo se vio interrumpida por la Segunda Guerra Mundial, en la que sirvió a su país como consejero personal del primer ministro Winston Churchill. Nombrado, entre los años 1945 a 1961, director adjunto del Economic Journal , en el año 1948 publicó su primera obra de relieve, Towards a Dynamic Economics (Hacia una economía dinámica), en la que afirmó, siguiendo la teoría keynesiana, que la cuestión decisiva en el crecimiento económico de un país estribaba en la tasa de aumento del producto nacional, necesario para garantizar el uso pleno de una cantidad de capital siempre creciente. En 1952 fue nombrado asesor del Fondo Monetario Internacional. Desde este puesto, Harrod siguió haciendo notables aportaciones teóricas sobre comercio internacional, los problemas de la liquidez internacional, los problemas de crecimiento económico superando las condiciones del equilibrio estacionario y los ciclos económicos; para ello se basó en esquemas del tipo de "principio de aceleración". En relación a este último punto y teniendo en cuenta la función que realiza el progreso técnico, Harrod elaboró un modelo económico, quizá el más célebre de todos los modelos de crecimiento, que expuso en su artículo Essay in Dinamic Theory. De una manera totalmente independiente, el estadounidense Ensey David Domar hizo el mismo hallazgo en el año 1946, por lo que el modelo económico fue bautizado con el nombre de Harrod-Domar.
Evsey David Domar
Economista estadounidense de origen polaco. Representante de la escuela keynesiana, fue responsable del célebre modelo Harrod-Domar de crecimiento económico, así como de diversos trabajos en historia económica. Pasó su juventud en Manchuria y China, hasta que en 1936 emigró a los Estados Unidos. Ingresó en la Universidad de Berkeley (California), donde se licenció en 1939, y posteriormente pasó a la Universidad de Michigan en la que obtuvo el doctorado en Estadística Matemática en 1941. En 1943 se licenció en Ciencias Económicas por la Universidad de Harvard, materia en la que se doctoró en 1947 en ese mismo centro. Entre 1943 y 1946 fue asesor económico del Consejo de Gobernadores de la Reserva Federal, y al año siguiente profesor ayudante de Economía en el Instituto Carnegie de Tecnología. En 1946 contrajo matrimonio con Carola Rosenthal, con quien tuvo dos hijos. Sus primeros trabajos trataron acerca del déficit público y su influencia sobre el crecimiento económico, así como en las cuestiones del pleno empleo y la acumulación de capital. En 1946 desarrolló, paralelamente a Roy F. Harrod, un modelo de crecimiento basado en las tesis keynesianas sobre el papel ejercido por la demanda. En 1958 fue nombrado profesor de Economía en el Instituto de Tecnología de Massachusetts, centro en donde permaneció hasta su jubilación en 1984. Fue asesor económico de varios organismos. Sus obras más destacadas fueron Expansión y Empleo (1947), Acumulación de Capital y Fin de la Prosperidad (1949), Ensayos sobre Teoría del Crecimiento Económico y Capitalismo (1957), La Granja Colectiva Soviética como productor Cooperativo (1966), Las causas de la Esclavitud: una hipótesis (1970)
y
Capitalismo,Socialismo y Servidumbre (1989).
El modelo Harrod-Domar expresa las condiciones que debe tener una economía capitalista o de mercado para generar el volumen de demanda global necesario para permitir el desarrollo sostenido y equilibrado. Sin abandonar nunca el sistema keynesiano, este modelo considera la capacidad productiva como una variable a lo largo del tiempo. Para garantizar el equilibrio a largo plazo no basta con el volumen de
ahorro, sino que es preciso que en todo momento se dé una total utilización de la capacidad productiva, incrementada a través de las nuevas inversiones. Principales Contribuciones al Crecimiento del Tercer Mundo:
El pionero de la doctrina de las etapas de crecimiento económico fue W. W. Rostow, él establecía que cada sociedad, de acuerdo a su dimensión económica, debería ser considerada dentro de alguna de las siguientes "etapas": la sociedad tradicional; las condiciones previas para el despegue hacia el crecimiento autosostenido; el despegue; el camino hacia la madurez; y la era del consumo masivo. Con esto se argumentaba que los países subdesarrollados que se encontraran en la primera o segunda etapa alcanzarían un nivel de crecimiento autosostenido siempre que siguieran un conjunto de reglas; dentro de las que resaltaba, principalmente, el fomento del ahorro interno y externo en forma tal que con ese ahorro se proporcionaran los recursos necesarios para mantener un nivel de inversión suficiente con el que se generara crecimiento. Luego de la doctrina de Rostow surge una teoría del crecimiento fundamentada en las ideas del británico John Maynard Keynes. Dicha teoría sentó las bases del crecimiento económico de la postguerra en los países industrializados y enfatiza en un equilibrio económico a largo plazo. Los encargados de su elaboración fueron Evsey Domar y Roy Harrod. Harrod y Domar se preocuparon por averiguar cuan capaz sería una economía de crecer en estado estable. Dicho estado se refiere a un período en que la producción y el empleo crecen de una forma proporcional y constante, así como el ahorro y la inversión capaces de generar la existencias de capital suficientes para mantener la relación capital producto
fija.
Dentro del modelo Harrod-Domar se distingue la producción de una única mercancía compuesta que puede consumirse, o acumular como existencias de capital; además, la oferta de trabajo es homogénea. Este modelo toma en cuenta los siguientes supuestos:
1.
La población y la mano de obra crecen a una tasa proporcional constante (n) y además son determinadas exógenamente.
2.
La proporción de ahorro neto (s) e inversión neta con respecto al producto neto es invariable o fija.
3.
No hay cambio tecnológico. La tecnología está representada por coeficientes fijos que son: la fuerza de trabajo necesaria para cada unidad de producción, y la relación capital / producto (nivel de capital necesario para cada unidad de producción, v).
Harrod y Domar establecen que estos supuestos son válidos en la descripción de "economías en crecimiento" si y sólo si el ahorro es igual al producto de la relación capital / producto por la tasa de crecimiento de la población y de la mano de obra, o sea s = vn. Si una economía logra esto, entonces, habrá llegado al estado estable. La ecuación de crecimiento de Harrod-Domar refleja que la tasa de cambio del PNB está determinada por la razón del ahorro nacional y la relación capital/producto, así: PNB = F(s, v), de esta manera se establece que lo único que las economías necesitan, para crecer rápidamente, es aplicar una política económica orientada a ahorrar e invertir (productivamente)
más.
Tanto la teoría de las etapas de crecimiento de Rostow como el modelo Harrod-Domar pasaron a ser tan sólo una herramienta intelectual con respecto a los países subdesarrollados, ya que el deseo de querer implantar un "nuevo Plan Marshall" a dichas economías (a las que se transferían enormes cantidades de capital) no funcionaría, pues a diferencia de los países europeos después de la segunda guerra mundial, los países subdesarrollados no contaban con las condiciones necesarias para que la ayuda que se les proporcionara se tradujera en crecimiento y mucho menos en desarrollo. Además, de esto se deduce que el ahorro y la inversión son características necesarias
del
crecimiento,
pero
no
suficientes.
Con los modelos neoclásicos de cambio estructural se superan algunos de los problemas de las teorías del crecimiento por etapas. La teoría del cambio estructural centra su análisis en la manera en la que los países subdesarrollados, (que poseen estructuras económicas de subsistencia) modifican su estructura para convertirse en sociedades más modernas y complejas que dan mayor importancia al rol de la industria y de los servicios dentro de su economía.
Hipótesis del Modelo: Desde un punto de vista económico, las hipótesis de Harrod son esencialmente diferentes a las de Domar. En el de Harrod, aparece una clara hipótesis de comportamiento referente a las decisiones de inversión de los empresarios que da lugar a una función de inversión. 1. El ahorro depende del ingreso. 2. La inversión depende del ingreso. 3. En consecuencia, todo ahorro se invierte. En el modelo de Domar por el contrario no hay función de inversión (en el sentido de relación de comportamiento), pues su problema es diferente: lo que el quiere es determinar la tasa a la cual la inversión debe de crecer para que no haya capacidad ociosa, y no introduce función de inversión alguna para explicar cómo ésta puede en realidad crecer a esa tasa. 1. La inversión incrementa la capacidad productiva. 2. La capacidad productiva, incrementa a su vez la producción potencial. 3. Dicha producción debe ser absorbida por un incremento de la demanda agregada (consumo más inversión).
Formulación Matemática del Modelo: Planteamiento según Harrod: -El ahorro viene dado por: S t = sYt-1 -La inversión adopta la forma: I t = k (Yt – Yt-1) -El equilibrio se consigue igualando el ahorro a la inversión, por lo tanto: sYt-1 = k (Yt – Yt-1)
de donde, k Yt – (k+s) Yt-1 =
y por tanto
0
Yt – [(k+s)/k] Yt-1 = 0 - La solución de esta ecuación homogénea es: Yt = A [(k+s)/k]t = A [(1 + (s/k))]t * Nota: · Propensión marginal (y media) a ahorrar “s” · Coeficiente de aceleración “k” · Renta nacional “Y” · Valor inicial de la renta “A” · Tasa de crecimiento constante “s/k” (A ésta, Harrod la denomina t asa de crecimiento garantizada y es tal que, si la renta crece a ese ritmo, asegura la continua igualdad a lo largo del tiempo entre el ahorro y la inversión, es decir, que permite alcanzar un equilibrio dinámico. Se caracteriza por ser inestable).
- Equilibrio dinámico: St = sYt-1 = sA [(k+s)/k] t-1 , It = k (Yt – Yt-1) = k [A ((k+s)/k)t – A((k+s)/k)t-1] La ecuación de la inversión puede ser transformada del siguiente modo It = k A((k+s)/k)t-1 [((k+s)/k)-1] = k A((k+s)/k)t-1[s/k] De modo que It = [(k+s)/k]t-1
es igual a la expresión de S t , puesto que hemos obtenido Y t
como función del tiempo, imponiendo la condición de que I t = St .
Planteamiento según Domar: - La capacidad productiva viene dada por: P´ =
I
- En equilibrio, un aumento en la producción es igual a un aumento en la demanda agregada: (1) Y´ = C´ + I´ (2) Y´ = ( 1-s)Y´ + I´ (3) Y´ = ( 1/s)I´ - El incremento en la producción potencial deberá ser igual al de la producción real, es decir Y´ = P´ - De acuerdo con lo expuesto anteriormente, observamos I(t) =
sI
la cual expresa la relación que debe cumplir la inversión
para que la capacidad productiva esté totalmente utilizada en el tiempo, cuya solución es I(t) = I0e s
t
- Si la inversión crece a “ s”, la produc ción aumentará en la misma proporción, integrando con respecto al tiempo los dos miembros (Y´, I(t) ), tenemos sY = I + A sY = I0e s
t
+A
Y = (1/s) I0es
t
es decir,
+ (A/s)
- Suponiendo que partimos de una situación de equilibrio, tendremos que tener sY 0 = I0 de modo que, Y 0 = (1/s) I0
y, consecuentemente, A debería ser cero. En estas
condiciones Y(t) = Y0e s
t
Y por tanto también Y crecerá a la tasa
s .Por consiguiente, la renta crece a un ritmo
que es el mismo que se obtiene en el modelo de Harrod ( s = s/k).
*Nota: · Producción Potencial “P (t)” · Producción (Renta) Efect iva “Y” · Productividad Potencial Social Media de la Inversión “
”
· Inversión “I” · Incremento de Volumen de Capital “k” · Tasa Constante (proporcional) “s ” · Constante Arbitraria “A”
Resolución del Modelo (Caso Mauritania)
Año Producto Interno Bruto (PIB) per capita (US$) 2000
1910
2001
2000
2002
1800
2003
1900
2004
1800
2005
1800
2006
2200
2007
2600
2008
1800
*Según Harrod: RSolve
k
y t
k
y t
s k
s
y t
1
0, y t , t
1 t
C 1
k
Supongamos que la propensión (marginal y media) al ahorro es
0.2
“s”,
entonces:
k=2 s=0.2
el
coeficiente
de
aceleración
“k”
es
2,
*Según Domar:
=0.5 s=0.2
DSolve[{y'[t] *s*y[t],y[0] 1800},y[t],t]
y t
1800
y t_ 1800 1800
0.1 t
0.1`t
0.1 t
m=Table[y[t], {t,0,20}] {1800,1989.31,2198.52,2429.75,2685.28,2967.7,3279.81,362 4.75,4005.97,4427.29,4892.91,5407.5,5976.21,6604.73,7299 .36,8067.04,8915.46,9853.11,10889.4,12034.6,13300.3}
ListPlot[m,PlotJoined True,PlotStyleHue[0.8]]
12000
10000
8000
6000
4000
2000
5
10
15
20
Resolución del Modelo (Caso Estados Unidos)
Año Producto Interno Bruto (PIB) per capita (US$) 2000
33900
2001
36200
2002
36300
2003
37600
2004
37800
2005
40100
2006
41600
2007
44000
2008
46000
*Según Harrod: k=2 s=0.2 RSolve
y t
k
y t
s k
y t
1
0, y 0
13860 , y t , t
t
13860. 1.1
t
y t_ 13860.` 1.1` t
13860. 1.1
m=Table[y[t], {t,0,20}] {13860.,15246.,16770.6,18447.7,20292.4,22321.7,24553.8,2 7009.2,29710.1,32681.2,35949.3,39544.2,43498.6,47848.5,5 2633.3,57896.7,63686.3,70055.,77060.5,84766.5,93243.1}
ListPlot[m,PlotJoined True,PlotStyleHue[0.4]]
80000
60000
40000
20000
5
*Según Domar:
10
15
20
=0.5 s=0.2
DSolve[{y'[t] *s*y[t],y[0] 13860},y[t],t] y t
13860
y t_ 13860
0.1 t
13860
0.1` t
0.1 t
m=Table[y[t], {t,0,20}] {13860,15317.7,16928.6,18709.,20676.7,22851.3,25254.6,27 910.6,30846.,34090.1,37675.4,41637.7,46016.8,50856.5,562 05.1,62116.2,68649.,75868.9,83848.1,92666.5,102412.}
ListPlot[m,PlotJoined True,PlotStyleHue[0.6]]
100000
80000
60000
40000
20000
5
10
15
20
Al aplicar el modelo de Harrod y Domar a los casos de Mauritania, en referencia a un país subdesarrollado, y Estados Unidos, en representación de los países desarrollados, observamos en ambos casos el crecimiento continuo de la renta a lo largo del tiempo.
Estudio de la Convergencia entre Mauritania y Estados Unidos: *Mauritania: m={{0,1910},{1,2000},{2,1800},{3,1900},{4,1800},{5,1800}, {6,2200},{7,2600},{8,1800}} {{0,1910},{1,2000},{2,1800},{3,1900},{4,1800},{5,1800},{6 ,2200},{7,2600},{8,1800}}
g1=ListPlot[m,PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.4]] 2600
2400
2200
2000
2
4
6
8
En esta gráfica podemos observar que la renta es oscilante en el tiempo. *Estados Unidos: m={{0,9255},{1,9963},{2,10082},{3,10400},{4,10990},{5,117 50},{6,12310},{7,13130},{8,13860}} {{0,9255},{1,9963},{2,10082},{3,10400},{4,10990},{5,11750 },{6,12310},{7,13130},{8,13860}}
g2=ListPlot[m,PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.10]]
13000
12000
11000
10000 2
4
6
8
*Mauritania y Estados Unidos: 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000
2
4
6
8
Esta gráfica muestra la no convergencia entre Mauritania y Estados Unidos, dado la gran diferencia de los niveles de renta de dichos países. Además, podemos observar el continuo crecimiento de Estados Unidos (naranja), a diferencia del estancamiento que presenta Mauritania (verde).
Conclusiones: El sistema económico no puede avanzar a una velocidad mayor que la que la tasa natural permite. Si la tasa de crecimiento posible fuera superior a la tasa natural se produciría una tendencia crónica a la depresión, por el mecanismo explicado previamente. Por esto, cuando la tasa permitida empieza a exceder la tasa natural, aquella debe ser reducida. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si la tasa de ahorro es muy elevada lo que podría hacer pensar que es beneficioso para el crecimiento de la economía, cuando podría producir un resultado exactamente opuesto al deseado. Como conclusión, podríamos decir que la tasa de crecimiento permitida no puede superar a la tasa natural, sino que debería ser igual.
Bibliografía:
* Métodos y Modelos Matemáticos de la Dinámica Económica (Giancarlo Gandolfo). *Análisis Discreto en Economía y Empresa Concepción, Javier A. Barrios García). * www.indexmundi.com
(Concepción González
