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MODELADO DE MUROS DE ALBAÑILERÍA CONFINADA -
Método Método de la colum columna na ancha ancha equ!a equ!alen lente te
Se pueden modelar sistemas de marcos de concreto-muros de albañilería o muros de albañilería confnada por medio de un columna ancha equivalente. Para ello llo deben eben defnir fnirs se pro propie piedades des equiv quiva alent lente es del del sis sistem tema I eq ) depende principalmente de considerando que el momento de inercia i nercia ( I la rigidez axial de columnas(o castillo para albañilería confnada) ! que debe utilizarse un "rea de cortante reducida ( Aceq ) que permita modelar la sepa separa raci ci#n #n entr entre e equivalentes son&
mur muro ! mar marco. co.
$sí $sí las las prop propie ieda dade des s
geom geom%t %tri rica cas s
2
I eq=
A c∗ b 2
( 1.1 )
A ceq= ( 0.37 −0.12 ζ + 0.023 λ ) ( A m+ 2 A c ) ( 1.2) b ζ = ( 1.3 ) h λ =
Ec A c Gm A m
( 1.4 )
F
I
eq
A
A
c
A
m
A
ceq
c
Figura 1: idealización de muro de albañilería confnada como columna ancha equivalente
'ond 'onde e
A c
es el "rea "rea de la secc secci# i#n n tran transv sver ersa sall de cada cada colum columna na (o
castillo) $m es el "rea neta de la secci#n transversal del muro ambas sin trans transor orma marse rse Ec es el m#du m#dulo lo de elas elasti tici cida dad d de los los elem elemen ento tos s de
confnamiento o del marco ! G m * es el m#dulo de cortante del muro. +stas expresiones se desarrollaron para
Gm= 0.4 Em donde
E m
es el
m#dulo de elasticidad del muro. ,as expresiones . ! . son v"lidas para el siguiente intervalo de las relaciones de aspecto ζ ! de rigideces relativas axiales de los castillos (columnas) con respecto al muro
4omo resultado del an"lisis modelando al sistema marco-muro o muro confnado considerando columnas anchas se obtienen para cada tablero momentos 5exionantes M ! uerzas cortantes V . ,as cargas axiales de tensi#n T ! de compresi#n C en las columnas o castillos de cada tablero se calculan como (/az"n ! 3eli 000)& M T = ( 1.7 ) zb C = z
M ( 1.8 ) b
z =1.15 − 0.2 ζ ( 1.9)
,a uerza cortante m"xima en cada columna (castillo) debe limitarse a 627 de la uerza cortante aplicada en el entrepiso.
-
Método de la da"onal equ!alente
4omo presentan /az"n ! 3eli (018 000) cuando se tienen muros de albañilería confnados por un marco (fgura .2) ! se encuentran su9etos a carga lateral se ha observado que una aproximaci#n razonable de la rigidez lateral del sistema se obtiene modelando los muros confnados por medio de un elemento diagonal equivalente traba9ando en compresi#n. 3odelar muros por medio de elementos axiales equivalentes ue originalmente propuesto en los años sesenta del siglo xx por un investigador ingl%s. /az"n (012) defni# las dimensiones ! propiedades geom%tricas m"s adecuadas de las diagonales equivalentes que permiten modelar muros de albañilería confnados por marcos (o castillos ! dalas) com:nmente usados en 3%xico a partir de calibrar an"lisis est"ticos con los resultados de ensa!os experimentales ! de elementos fnitos que modelaron la separaci#n entre el muro ! el marco en las esquinas al generarse concentraciones de esuerzos de compresi#n en ellas. 4onorme a este estudio la diagonal equivalente t ! m#dulo de m"s representativa debe tener el mismo espesor elasticidad E m que el muro ! su ancho
w debe ser&
w =( 0.35 + 0.022 λ ) h ( 1.10 )
'onde λ tambi%n se calcula conorme a la ecuaci#n .; ! est" acotada por la ecuaci#n .6. Por lo tanto cada muro puede idealizarse con un elemento axial. +ntonces se debe calcular la rigidez axial equivalente k i de cada diagonal como& k i=
E m A eq Ldiag
( 1.11 )
'onde Em es el m#dulo de elasticidad del muro
Ldiag es la longitud de
la diagonal equivalente ! conorme a lo expuesto anteriormente& A eq =tw =th ( 0.35 + 0.022 λ ) ( 1.12 )
F
F
Figura 2: dealización de un muro de albañilería confnada con la diagonal equivalente
Diagonal equivalente
=
Ejemplo 1. A A A el desplazamiento 'etermina ! la A rigidez AlateralAde entrepiso (
m
c
m
c
c
WB W ensa!ado experimentalmente en el 4enapred ! que se muestra
esquem"ticamente en la fgura >. utilizando& a) el m%todo de la columna ancha equivalente ! b) el m%todo de la diagonal equivalente. +l espesor del muro construido con tabique ro9o recocido es t ? 8 cm. ,os castillos son de 15 x 15 cm ! la dala de cerramiento de 8 x 8 cm. 4onsidere que la losa
(10 x 120 cm) contribu!e en la rigidez lateral del sistema. +l m#dulo de
elasticidad del concreto utilizado para construir los castillos dalas ! la losa 2 es E=115,931 kg / c m ,os m#dulos de elasticidad ! de cortante de la mampostería son
Em =21,600 kg / c m
2
!
/c m Gm= 9,000 kg Castillos
no existen deormaciones axiales en muros ! dala-losa.
2
. 4onsidere que Dala-losa
Figura !: Muro de albañilería "#M en$a%ado en el Cena&red
Método de la columna ancha equ!alente
@dealizando a los muros de mampostería confnada como columnas anchas equivalentes seg:n la propuesta de /az"n ! 3eli tendríamos que el marco equivalente sería el de la fgura ;.
F
2
1 3
1
Figura ': Marco equivalente del marco con muro$
Elemento 1 (columna ancha, muro izquierdo)
b = 225 cm hm!o =250−25 =225 cm 2
A c =15 =225 c m
2
A m =210∗15 =3150 c m λ =
ζ =
Ec A c Gm A m b m!o hm!o
=
=
2
115931 ( 225 ) 9000 ( 3150 )
225 225
=0.92
=1
A ceq = ( 0.37 −0.12 ζ + 0.023 λ ) ( Am + 2 A c ) 1
12 E I x 12 E ( 2 365 312.50 ) = =0.82 E ! aax = 3 L ( 1 + " # ) ( 240 )3 ( 1+ 1.51) 6 E I x 6 E ( 2365 312.50 ) = =98.35 E ! abx =! bax = 2 ( 240 )2 ( 1 + 1.51) L ( 1 + " # )
! 11 x =! 22 x =
( 4 + " # ) E I x ( 4 + 1.51 ) E ( 2365 312.50 ) = =21657.54 E L ( 1 + " # ) 240 ( 1 + 1.51)
! 12 x =! 21 x =
( 2−" # ) E I x ( 2−1.51 ) E ( 2365 312.50 ) = =1 946.60 E 240 ( 1 + 1.51 ) L ( 1 + " # )
Submatrices de rigidez en coordenadas locales&
•
[ k ]= E $ 2
11
[
0.82 98.35
[
0.82 [ k ]= E −98.35 $ 2
21
][
98.35 $ 2 % k 12 21657.54
[
−0.82 ]= E − 98.35
]
−151.45 % k $ 2 = E [ 22 ] 1946.6
[
98.35 1946.6
]
−98.35
0.82 −98.35
21657.54
]
Submatriz de rigidez en coordenadas globales&
•
&= 90 '%co(& = 0 % (en&= 1,
[ k ] = E 2 22
[
0.82 98.35
98.35 21657.54
EA )* : L
]
Elemento 3 (dala - losa)
I =43 824 c m A =1425 c m
4
2
A c =15∗25= 375 c m $
L =100 cm%+ =
" # =
12 EI
= 2
G Ac L$
•
! 11 x =
! 22 x =
120 100
2
=1.2 % , =
80 100
12 E ( 43.824 ) 0.4 E ( 375 ) ( 100 )
2
= 0.8
=0.35
4oefcientes de rigidez
[ [
4 E I x
L
1+
L
$
4
+ 3 + + 3 + 2
1 + " #
$
4 E I x
" #
1+
" # 4
+ 3 , + 3 , 2
1 + " #
] ]
=
=
4 E ( 43.824 ) 100
4 E ( 43.824 ) 100
[ [
1 +
0.35 4
+ 3 ( 1.2 )+ 3 (1.2 )
2
1+
0.35 4
+ 3 ( 0.8 )+ 3 ( 0.8 ) 1 + .035
] ]
=11691.20 E
1 + .035
2
=7018.69 E
0.89 + 6 ( 1.2 )( 0.8 )
¿ 0.35 + 3 ( 1.2 ) +3 ¿=8166.97 E 1− 2
! 12 x =! 21 x =
! aax =
! abx =
! bax =
•
[
2 E I x
¿
1−
L
L
$ 2
! 11 x + ! 12 x $
! 22 x + ! 12 x L
2
$
=
=
+ 3 + + 3 , + 6 +,
=
]
=
1 + " #
$
! 11 x + ! 22 x + 2 ! 12 x
L
" #
2 E ( 43.824 ) 100
( 11691.2 +7 018.68 +8 166.97 ) E 2
100
(11 691.2+ 8166.97 ) E
=3.5 E
=198.58 E
100
( 7018.69 + 8 166.97 ) E 100
¿
=151.86 E
Submatrices de rigidez en coordenadas locales ! globales&
[ k ]= E
[
3.50 198.58
[ k ]= E
[
−3.50 −198.58 % k $ 3 = E [ 22 ]
$ 3
11
$ 3
21
151.86
]
198.58 $ 3 % k 12 11 691.2
8 166.97
[
]
[
3.50 ] = E −−198.58
[
3.50 −151.86
151.86 8 166.97
]
−151.86 7 018.69
]
'el marco equivalente de la fgura ;. Se tiene que la regla de ensamble para obtener la matriz de rigidez global [ - ] a partir de las Submatrices globales de rigidez es&
[
k + k [ k ] [ - ] = [ ] [ ] [ k ] [ k ] +[ k ] 1 22
3 11
3 21
3 12
2 22
3 22
]
$hora como se establece que no existen deormaciones axiales de los muros ! de la dala el sistema tendría tres grados de libertad globales los giros de los nudos ! ! el desplazamiento lateral. Se puede demostrar que reordenando los coefcientes de rigidez de cada uno de los elementos en unci#n de agrupar a los giros por una parte ! por otra al desplazamiento lateral que el sistema de ecuaciones ! el ensamble se reduce a&
[
1
! 22 x + ! 11 x
3
! 12 x
3
3
! 22 x + ! 22 x
1
! abx
! 12 x ! abx
2
3
2
! abx
1
! abx
2
1
2
! aax + ! aax
]{ } { } &1 x M 1 x &2 x = M 2 z 1 z= 2 z F 1 z+ F 2 z
Aue sustitu!endo los valores correspondientes se llega a&
[ [
41 904.79 + 11 691.2 E 8 166.97 151.45
53 595.99 E 8166.97 151.45
8166.97 28 676.23 98.35
8 166.97 21657.54 + 7 018.69 98.35
]{ } { }
&1 x 151.45 98.35 &2 x 1.26 + 0.82 = 1 z 2 z
=
0 0 25
]{ } { }
&1 x 151.45 &2 x 98.35 2.08 1 z=2 z
=
0 0 25
Besolviendo se tiene que el vector de desplazamientos globales es&
{ } { } { }{
&1 x −0.04164 −0.04164 −0.00036 !ad / cm 1 1 { }= &2 x = −0.04746 = −0.04746 = −0.00041 !ad / cm E 115.931 17.2951 17.2951 0.1492 cm 1 z=2 z
}
Por lo tanto ante una uerza lateral de 8 toneladas se espera que el muro de la fgura >2. S#lo se desplace aproximadamente 1.5 mm . Por tanto tomando en cuenta que la rigidez lateral se defne como la uerza lateral aplicada entre el desplazamiento lateral obtenido la rigidez lateral del muro de la fgura >.- seria - . =25 / 0.1492 =167.58 Ton / cm . +sta estimaci#n de la rigidez lateral es mu! cercana a la rigidez inicial pico a pico del muro "#" determinada experimentalmente ( - . / 150 Ton / cm ) en los ensa!os del 4enapred ($lcocer et al. 00>).
