MODEL INTI
1. Model Tetes Zat Cair
2. Model Kulit
Fakta : Inti Magic Number Inti : Inti dengan jumlah proton dan/atau neutron tertentu merupakan inti yang sangat stabil Magic Number : 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126,.. 4
16
• Inti dengan magic number ganda : 2 He2 ; 8O8
;
40 20Ca 20
;
208 208 82Pb126 126
• Inti dengan jumlah neutron (atau proton) sama dengan magic number memerlukan energi besar untuk memisah neutron (atau proton) dari inti tersebut
• Inti dengan satu neutron (atau proton) lebih banyak dari magic number sangat mudah untuk terbelah • Inti dengan magic number ganda berbentuk bola Atom • Elektron bergerak dengan di bawah pengaruh potensial Coulomb V(r) 1/r • Kulit elektron diisi mengikuti prinsip Pauli • Sifat atom ditentukan oleh elektron valensi • Atom dengan jumlah elektron sama dengan magic number atom merupakan atom gas mulia Magic number atom : 2, 10, 18, 36, 54, ....
Contoh Konfigurasi elektron gas mulia : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 Kulit elektron terisi penuh sehingga menghasilkan sebuah struktur closed shell , yang mengakibatkan atom sangat stabil dan sangat sulit bereaksi dengan atom lain
Terdapat kemiripan sifat atom gas mulia dengan inti atom yang stabil
Model Kulit Inti
Bukti Struktur Kulit • Jumlah Isotop Stabil • Jumlah Isoton stabil • Kelimpahan Isotop Alami Nuklida • Hasil Peluruhan Deret Radioaktif • Potongan lintang penangkapan neutron • Energi ikat neutron atau proton terakhir • Pemancar neutron spontan • Momen kuadrupol listrik
Postulat : nukleon dalam orbit yang terdefinisi dengan jelas, dengan energi diskrit Model Kulit Inti (Barlett & Elsasser ) - Setiap nukleon ditinjau secara independen dan dibentuk persamaan Schroedinger dengan potensial inti untuk memperoleh level energi nukleon - Prinsip larangan Pauli bekerja terpisah untuk proton dan neutron
Sumur Potensial Persegi tak Hingga Diasumsikan setiap nukleon bergerak independent dari nukleon lain dalam sumur potensial bersama V(r) yang bersimetri bola. Dari sifat simetri angular yang diperlukan adalah bagian radial : Untuk potensial persegi tak hingga : V r
0 ; untuk r R
; untuk r R
untuk neutron maupun proton
Untuk r > R fungsi gelombang bernilai nol, u l(r)= 0. Untuk r < R, persamaan radial :
2l l 1 rul E ul 0 2 2 2m r dr 2m
2
2
1 d
• Jika l = 0 ( keadaan s), maka : 2
d
2
dr
ru0
2mE
2
ru0 0
Berdasarkan syarat batas dan sifat divergensi pada r = 0, maka solusi persamaan adalah :
u0 r A0 dengan : 2
k
sin kr kr 2mE
2
dengan A0 adalah tetapan normalisasi dan k dikaitkan dengan energi E. Nilai k dapat diperoleh dari syarat batas, ketika ul (r) =0 untuk r = R, yang artinya akan dipenuhi oleh nilai sin(kR) = 0, yang akan memberikan level energi sesuai dengan
kR , 2 , 3 , 4 ,.......untuk l 0 • Jika l = 1 (keadaan p) d 2
2 2 ru1 k 2 ru1 0 2 dr r sinkr coskr solusi : u1 r A1 2 kr kr
dengan syarat batas pada r = R : u 1(R) = 0, dipenuhi :
kR 4 ,49 ; 7 ,73 ; ........
Solusi untuk l = 2 dan seterusnya dapat diperoleh dengan cara yang sama. Solusi persamaan tersebut tidak lain berupa fungsi Bessel jenis pertama untuk masing-masing nilai l . Nilai kR yang memenuhi dapat diperoleh tidak lain adalah dengan menentukan (secara numerik) akar dari fungsi Bessel (nilai kR yang membuat fungsi terbut bernilai nol)
Level Energi 2
k
2mE
2
E
2 2 k
2m
• Untuk l = 0
kR , 2 , 3 , 4 ,.......untuk l 0 kR k
R
kR 2 k ............
E
2 R
2
2mR
E
2 E 10 2
2
2mR
2 2 E 20 2
• Untuk l = 1
kR 4 ,49 ; 7 ,73 ; ........ kR 4 ,49 k kR 7 ,73 k ..............
4 ,49 R 7 ,73 R
E E
2
2mR 2 2mR
2 4 ,49 E 11 2 2
2
7 ,73 E 21
Oleh karena setiap level berdegenerasi 2 (2l+1), maka level energi dapat diperoleh sebagai berikut :
kR
l
state n
2(2l +1)
Total nukleon untuk kulit lengkap
3,14
0
s
1
2
2
4,49
1
p
1
6
8
5,76
2
d
1
10
18
6,28
0
s
2
2
20
6,99
3
f
1
14
34
7,73
1
p
2
6
40
8,18
4
g
1
18
58
catatan : Dalam hal ini, n bukanlah bilangan kuantum utama seperti pada atom, namun hanyalah nomor urut perpotongan fungsi Bessel dengan sumbu datar, untuk masing-masing nilai l Jumlah nukleon dalam complete shell untuk : 2,8,dan 20 sesuai dengan magic number. Yang lain tidak sesuai
State 1g
Jumlah Nukleon/State 18 magic number
2p 1f 2s 1d
1p
6 14
2 10
34 18
6
20
8 1s magic number
2 Jumlah Nukleon dalam Closed Shell
Catatan : Beberapa Bentuk Sumur Potensial
H ' T i V (r i ) v(r ij ) V (r i ) i i V(r) R
r 1. Square Well 2. Harmonic Oscillation
3. Woods - Saxon Potential
V0 a
l l 1 2 2 M Rnl 0 2 Rnl 2 E nl V (r ) 2 dr r 2 Mr d 2
V (r ) U 12 M 0 r 2
V (r )
Vo 1 exp
r R a
2
Square Well Potential
Harmonic Potential Woods - Saxon Potential
The closed shell magic number
Koreksi Kopling spin-orbit ( Maria Mayer, 1950) Sumur potensial tinggi tak hingga tidaklah realistik,untuk itu perlu dilakukan koreksi menjadi kedalaman sumur yang berhingga, misalnya V0 = 40 MeV, namun koreksi ini ternyata tidak terlalu berpengaruh. Demikian juga apabila potensial diganti , misal menjadi V(r) = Cr 2 tidak akan memperbaiki ramalan tentang magic number. Faktor utama yang perlu diperhitungkan untuk memperbaiki prediksi magic number adalah dengan memperhitungkan interaksi antara spin neutron atau proton dengan momentum sudutnya. Interaksi ini akan menggeser level energi,dan terutama akan membelah level energi, atau akan memodifikasi struktur kulit
Interaksi spin-orbit mempunyai bentuk energi potensial, untuk masing-masing nukleon :
V L S so f dengan : L : vektor momentum sudut S : vektor spin f : tetapan gandengan spin - orbit Momentum sudut total nukleon :
J L S
J 2 2
L
j j 1 2 l l 1
2
S 2 ss 1 2
34 2
Bilangan kuantum j dan l memenuhi relasi :
j
l 12 atau l 12 ; jika l 1 ; jika l 0
1 2
L L S S 2 L S
J J L S L S
V so
fL S
1 f L2 2
2
2
S J
12 f 2 l l 1 34 j j 1
12 f 2l
; j l 12
V so 2 1 f 2
l 1 ; j l 12
2 1 sehingga terjadi pembelahan level energi sebesar f l 2
kecuali pada l = 0 (state s) Catatan : Sesuai dengan perhitungan Mayer dan Haxel, ineraksi spinorbit menghasilkan komponen gaya non sentral,dan magnitudonya bergantung pada : magnitudo L,orientasi relatif spin,dan vektor momentum sudut orbital Interaksi spin-orbit bersifat inverted : energi nukleon makin kecil jika S.L positif, dan makin besar jika S.L negatif. Sehingga state j = l+ ½ mempunyai energi yang lebih rendah dibanding state j= l – ½ (berlawanan dengan pada atom)
menggunakan potensial : V r S L
dengan V r adalah potensial sentral (kombinasi sumur persegi dan potensial osilator)
V r
r 2 V 0 1 2 R
; untuk r R
0
; untuk r
R
Sehingga menghasilkan level energi (mulai paling rendah ) :
1 s1 / 2 ,1 p3 / 2 ,1 p1 / 2 ,1d 5 / 2 ,1d 3 / 2 ,2 s1 / 2 ,.... dalam perhitungan ini interaksi Coulomb belum diperhitungkan
dengan memperhitungkan efek Coulomb terjadi pergeseran beberapa level energi, dan menjadi :
1 s1 / 2 ,1 p3 / 2 ,1 p1 / 2 ,1d 5 / 2 , 2 s1 / 2 ,1d 3 / 2 ,1 f 7 / 2 ,....
Jumlah state = 2j+1 1g7/2
8
1g9/2
10
Jumlah nukleon pada closed shell
1g
2p 1f 2s 1d 1p 1s
2p1/2
1f 5/2
2 6 4
2p3/2 1f 7/2 1d3/2 2s1/2
8
1d5/2
6
1p1/2
4
50
2 28 20
2
1p3/2
4
1s1/2
2
8
Penerapan Model Kulit A. Spin dan Paritas Inti Spin dan paritas inti dalam keadaan dasar : a. Dalam level yang terisi penuh (sub shell atau shell), momentum sudut orbital dan spin nukleon dijumlahkan sehingga menghasilkan momentum sudut total yang resultannya nol b. Dalam level yang tidak terisi penuh, nukleon membentuk pasangan pasangan (pasangan proton, pasangan neutron, namun bukan pasangan protonneutron) Dua asumsi ini memberikan kaidah gandengan :
Kaidah 1 : Keadaan dasar inti genap-genap mempunyai momentum sudut nol dan berparitas genap tanpa memperhatikan jumlah proton dan neutron
J N 0,
dan
J P 0
Kaidah 2 : Dalam inti dengan jumlah neutron genap dan jumlah proton gasal, sifat keadaan dasar hanya ditentukan oleh proton, spin inti ditentukan oleh proton gasal terakhir Dalam inti dengan jumlah proton genap dan jumlah neutron gasal , sifat keadaan dasar hanya ditentukan oleh neutron gasal terakhir
Dua kaidah tersebut tidak dapat meramalkan spin inti dengan jumlah proton gasal dan neutron gasal. Jika spin proton gasal adalah j1 dan spin neutron gasal adalah j2,maka spin inti bisa mempunyai nilai antara : j1 j2 dan j1 j2 17 O Contoh : Inti 8
Z=8;N=9 3/2
1d
1p 1s
1/2 5/2
2s
1/2
3/2
Neutron
1/2 Proton
: neutron
proton Spin inti : 1d5/2
Paritas sistem ditentukan oleh :
1
l
l adalah bilangan kuantum orbital nukleon gasal terakhir Untuk nukleon pada state : s, d, g ,........., berturut-turut mempunyai nilai l 0 , 2, 4, .... berparitas : (+) Untuk nukleon pada state : p, f, h,........., berturut-turut mempunyai nilai l 1 , 3, 5, .... berparitas : (-) 17
Untuk inti 8 O
spin dan paritasnya adalah
J
1d 5 / 2 disingkat menjadi :
J
5
2
Nuclide
Z and N number
Orbit assignment
Shell Model
J
6He
Z= 2 N= 2
(1s1/2)2 (1s1/2)2
s1/2
0+
11B
Z= 5 N= 6
(1s1/2)2 (1p3/2)-1 (1s1/2)2 (1p3/2)4
p3/2
3/2-
12C
Z= 6 N= 6
(1s1/2)2 (1p3/2)4 (1s1/2)2 (1p3/2)4
p3/2
0+
15N
Z= 7 N= 8
(1s1/2)2 (1p3/2)4 (1p1/2)-1 (2nd mg.#)
p1/2
1/2-
16O
Z= 8 N= 8
(2nd mg.#) (2nd mg.#)
p1/2
0+
17F
Z= 9 N= 8
(1s1/2)2 (1p3/2)4 (1p1/2)2 (1d2)1 (2nd mg.#)
d5/2
5/2+
27Mg
Z= 12 N= 15
(2nd mg.#) (1d5/2)4 (2nd mg.#) (1d5/2)6 (2s1/2)-1
s1/2
1/2+
37Sr
Z= 38 N= 49
(3rd mg.#) (2p3/2)4 (1f 5/2)6 (3rd mg.#) (2p3/2)4 (1f 5/2)6 (2p3/2)4(1g9/2)-1
g9/2
9/2+
B. Momen Magnetik Inti Berdasarkan teori partikel tunggal, sifat inti atom ditentukan oleh nukleon gasal terakhir.Salah satu sifat inti atomadalah momen magnetiknya Pada inti genap-genap, spin inti adalah nol maka momen magnetik sama dengan nol Untuk inti dengan A gasal, momen magnetik adalah :
g l al J g s a s J
untuk proton : g l 1 ; g s
5,5854
untuk neutron : g l 0 ; g s
3,8262
koefisien al dan as ditentukan dari hasil proyeksi L dan S pada J : al
a s
L J
J
2
S J J
2
j j 1 l l 1 s s 1
2 j j 1 j j 1 s s 1 l l 1 2 j j 1
dengan
s maka :
1 2
; j l
1 2
dan j l 12
I j 12 g l 12 g s
;
untuk : I j l
I
1 2
l j 12
j
j 32 g l 12 g s j 1
untuk : I j l
1 2
l j 12
3. Model Kolektif Model kulit dapat menjelaskan beberapa sifat inti dengan baik - magic number - spin dan paritas inti - momen magnetik dan momen kuadrupol listrik inti Model kulit tidak dapat menjelaskan beberapa sifat : - keadaan eksitasi yang terjadi jika satu atau lebih nukleon naik dari keadaan dasar ke keadaan eksitasi - momen magnetik dan momen kuadrupol listrik dalam beberapa kasus tidak sesuai antara model kulit dan eksperimen
Perlu dibuat model yang yang tidak hanya memperhitungkan nukleon valensi saja namun juga nukleon di bagian “core”
Model Kolektif - J. Rainwater ; A. Bohr ; B. Mottelson
Keadaan eksitasi nukelon tunggal dapat dipredikdi dari model kulit, terutama untuk eksitasi kecil inti A gasal dekat closed shell
• Model Kolektif merupakan kombinasi antara liquid drop model dan shell model • Terdapat Potensial akibat kulit dalam yang terisi • Nukleon pada kulit tak terisi penuh bergerak independent di bawah pengaruh potensial core • Potensial tidak harus bersimetri bola
• Interaksi antara nukleon luar (valensi) dengan nukleon dalam (core) menghasilkan deformasi permanen pada potensial • Deformasi merepresentasikan gerak kolektif nukleon di dalam core yang dikaitkan dengan model tetes zat cair • Terdapat dua gerak kolektif utama : - Vibrasi : osilasi permukaan - Rotasi : rotasi bentuk yang terdeformasi Gerak vibrasi dan rotasi inti merupakan gerak kolektif inti di dalam teras inti
Gerak kolektif dapat disatukan ke dalam model kulit dengan menggantikan potensial simetri statik dengan potensial yang memungkinkan deformasi bentuk
Model Kolektif vibrasi dan rotasi Hanya akan ditinjau inti : Z genap, N genap Keadaan dasar : J =0+ Keadaan eksitasi terendah : J = 2+ Dapat dibagi menjadi dua katagori :
a. Vibrasi • Pada model closed shell inti dianggap berbentuk bola • Namun inti sebenarnya tidak sepenuhnya berbentuk bola, permukaan dapat mengalami deformasi • Keadaan eksitasi berosilasi di sekitar permukaan bola (speris) • Gerak kolektif merupakan osilasi harmonik sederhana di sekitar keseimbangan V
V
x
W=0V
V
x
W>0,, =0 =0V
x
W<0, =0 deformation
Bentuk rata-rata adalah speris, namun sesaat tidak berbentuk speris Average shape
Instantaneous shape
Koordinat sesaat R(t) dari titik di permukaan pada ( ,) : λ
R(t)
R avr α λμ (t) Yλμ (θ, φ) λ μ λ
Simetri refleksi menghasilkan : λμ
=0, vibrasi : Monopol R(t)=Ravr +00 Y00
λ, -μ
• λ =1,
Vibrasi: Dipol 1
R(t) R avr
α
1μ Y1μ (θθφ)
μ 1
R avr α11Y11 α10Y10 α1, -1Y1, -1 R avr α10Y10
α1μ 0 for μ 0 ( α1, -1 α11 and Y1, -1 Y11 )
1 3
R avr α10 2 2π
3/2
cosθ
• λ =2,
Vibrasi : Kuadrupol 1
R(t) R avr
α
1μ Y1μ (θθφ)
μ 1
R avr α 22Y22 α 21Y21 α 20Y20 α 21Y21 α 2, -2 Y2, -2 R avr α 20Y20 α 2μ 0 for μ 0 1/2
1 5
R avr α 20 4 π
2
(3cos θ - 1)
Bentuk permukaan dapat ditentukan oleh : Y 2m m=±2, ±1, 0. Pada kasus ellipsoid R=R(θ) atau m=0.
Osilasi kuadrupol adalah ragam vibrasi terendah inti dan memancarkan kuanta energi vibrasi (fonon) Fonon membawa 2 satuan momentum sudut dan dengan paritas genap {=(-1)2 = +1} J
2
Oktupol fonon membawa 3 satuan momentum sudut dengan paritas gasal {=(-1)3 = -1} Fonon adalah boson sehingga memenuhi statistik BoseEinstein (fungsi gelombang simetri terhadap pertukaran dua boson)
Ground state genap-genap
0
1 fonon
2
2 fonon
0 , 2 , 4
tak berdegenerasi State oktupol (J = 3-) seringkali berdekatan dengan state triplet 2 fonon State vibrasi cepat meluruh dengan mengemisikan berkas
Contoh :
Energi fonon sulit diprediksi,
eksitasi ke 2 2 fonon 0 ,2 ,4
eksitasi pertama (1 fonon 2 )
2
Quadrupole Vibrational Levels of of phonons
N=2
114Cd
E
2ω
4 - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - -
N=1
1ω
2
N=0
0ω
0
1.283 1.208
two-phonon triplet
1.132
- - - - - - - - - - - - - - - 0.558
---------------
0
single-phonon state ground state
3 vibrations : vibrations :
Octupole modes with λ=3 w/ Jπ=3 can be observed in many nuclei.
b. Rotasi Pada Model Kulit, core (teras) dalam keadaan diam, hanya nukleon valensi yang berotasi Jika inti mengalami deformasi, nukleon teras dan valensi berotasi secara kolektif
Energi rotasi (rigid rotator) :
H rot
2
R ˆ
2I
• Solusi : 2
R ˆ
2I
Ψ
EJΨ
R 2 YJM ˆ
J (J 1) 2 YJM
EJ
2
2I
Paritas ( 1)
J
J (J 1)
J
0, 1, 2, 3, 4, . . .
Gerak rotasi inti yang mengalami deformasi momentum sudutnya tidak lagi hanya ditentukan oleh nukleon di luar closed shell , yaitu j,namun juga karena rotasi seluruh nukleon :
I j R Jika momentun sudut gerak kolektif adalah : R I j R 2 2
R
2
I I 1 K
2
K adalah komponen sepanjang sumbu Z’ benda – dari – dari momentum sudut nukleon di luar closed shell. Komponen I sepanjang sumbu ruang Z adalah M
I
z (sumbu ruang) M
z’ (sumbu benda)
R K
2 Energi kinetik sistem : E rot 1 2
= momen inersia inti terdeformasi
dengan : momentum sudut =
E rot
1 2
2
1 2
R
I I 1 K 2
2
Pada inti Genap-Genap spin intrinsik adalah = 0
E rot 21 I I 1
K =0 2
dengan : I 0, 2, 4, 6,.... peningkatan deformasi akan menyebabkan peningkatan momen inersia sehingga energi rotasi menjadi lebih kecil. Rasio : E 4 / E 2 3 ,33 ; E 6 / E 4 2 ,1 ; E 8 / E 6 1,71 176 Hasil eksperimen E 4 / E 2 72 Hf 3,30
E 4 / E 2
180
72 Hf
3,33
Hampir semua inti genap-genap mempunyai state eksitasi pertama adalah 2 + State eksitasi rendah berikutnya dapat diperoleh dengan ekstasi coulomb dengan cara menembakkan partikel bermuatan Pada kasusu inti A = gasal, spin intrinsik K tidak sama dengan nol namun bernilai setengah bulat gasal
Gerak rotasi kolektif hanya dapat diobservasi pada inti dengan bentuk keseimbangan non-speris Untuk inti genap-genap ground statenya : J = 0+ Simetri cermin inti membatasi deretan state rotasi mempunyai momentum sudut bernilai genap : J
0 ,
2 , 4 ,....
Terdapat simetri refleksi sehingga J = gasal tidak memberikan pengaruh, sehingga nilai J yang memenuhi adalah : J = 0, 2, 4, .....
EJ
2 2I
J(J 1)
J
0, 2, 4, ...
0
E0 E2
EJ
2
2(2 1) 6
2
st
1 excited energy
2
1
E2
2I 2I 2I 6 1 J(J 1)E 2 J 0, 2, 4, . . . in terms of first excited energy 6
8
---------------
0.525
6
---------------
0.309
Level Energi 4
---------------
0.148
2
---------------
0.0447
0
---------------
0
238U.
Untuk kasus umum : Inti dengan teras (core) + satu nukleon valensi. Teras memberikan momentum sudut rotasi tegaklurus thd sumbu simetri z sehingga R z = 0. Nukleon valensi menghasilkan momentum sudut j
Momentum sudut total = momentum sudut inti + momentum sudut rotasi Energi rotasi inti : E
2 2 I eff
J J 1
I eff momen inersia efektif
2 2 Ψ Ψ J J(J 1) 2 J , Jz 0 J z Ψ K Ψ R z 0 J z jz K
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
H H rot
H nucleon energy of the valancenucleon
rotational energy 2
1 2 H nucleon J j H nucleon 2I 2I 1 2 1 2 1 J 2J z jz j H nucleon (J x jx J y jy ) 2I 2I I R ˆ
ˆ
ˆ
H R
ˆ
ˆ
ˆ
HP
ˆ
ˆ
HC
ˆ
HC
HP
H R
1 I
1 2I
(J x jx ˆ
ˆ
J y jy ) ˆ
ˆ
j2 H nucleon ˆ
J 2I 1
ˆ
2
2J z jz ˆ
ˆ
: Coriolis term (rotation - coupling term),it can be neglected except K 1/2 is independent of the rotattional state of the nucleus, H P Ψ E PΨ
describes the rotational motion,
H R Ψ E R Ψ E R
2
J(J 1) 2K ; J K 2I 2
Total energy becomes E J,K
2
J(J 1) 2K E 2I 2
P
K=0 is spinless. K≠0 spins of rotational bands are given J
R j
J? J K, K 1, K 2, . . . EJ
1 6
J(J 1)E 2
| K - j | J K j ; K 0
Rasio energi state eksitasi rotasi : E total ( J K 2) E total ( J K ) E total ( J K 1) E total ( J K )
2
1 K 1
3. MODEL GAS FERMI Konsep teoritis gas Fermi dapat diterapkan untuk sistem fermion yang berinteraksi lemah - proton dan neutron dianggap bergerak bebas di dalam volume inti. Potensial inti ditimbulkan oleh seluruh nukleon - Aproksimasi pertama : sumur potensial inti dianggap persegi : konstan di dalam inti - neutron dan proton adalah fermion yang dapat dipisahkan, sehingga mempunyai dua sumur potensial terpisah
- setiap state energi dapat ditempati oleh dua nukleon dengan proyeksi spin berbeda - semua state energi yang ada terisi pasangan nukleon - mempunyai energi state tertinggi yang terisi adalah energi Fermi, EF - selisih energi B antara puncak sumur dan energi Fermi adalah konstan untuk kebanyakan inti yang tidak lain adalah energi ikat per nukleon : B/A dengan nilai sekitar 7 – 8 Mev
Proton dan neutron ,keduanya adalah fermion, di dalam inti memnuhi prinsip eksklusi Pauli Model ini menganggap neutron dan proton sebagai gas Fermi yang dianggap sebagai dua sistem yang terpisah. Semua partikel tak berinteraksi, sehingga hanya mempunyai energi kinetik Perlu ditentiukan energi total, dengan memperhitungkan prinsip eksklusi Pauli Tinjau gas Fermi terdiri dari n 0 partikel masing-masing ber massa m dalam ruang bervolume V. Apabila pertikel mempunyai momentum p,maka energi total adalah
pmax
E
0
p 2 g p dp 2m
g p adalah rapat keadaan sebagai fungsi momentum
g p dp adalah jumlah state dengan momentum antara p dan p dp g p pmax
E
0
Vp
2
2 3
p Vp V 2m 2 3 dp 2m 2 3 2
2
pmax
V 2 10m
4
p dp
0
5
p 3 max
Jumlah total partikel adalah : pmax
no
0
V
4 3
g p dp
V
2 3 3
r o A
V
2 3
p 2 dp
0
3 pmax
1 / 3 3
E
pmax
3 r o A
no5 / 3 C 2 / 3 A
4 3
;
2
9 dengan : C 2 10mr o 4 3
2 / 3
Inti atom dengan bilangan massa A mempunyai N buah neutron dan Z buah proton. Dengan asumsi m n = mp, maka : C E 2 / 3 N 5 / 3 Z 5 / 3 A
Untuk menguji prediksi teori ini, asumsikan inti mempunyai nilai N dan Z yang hampir sama :
N Z
;
A
N Z A N
1
2 A
; Z
1 2 A
E
C 5 / 3
2
A
A
5 / 3
2 / 3
A 5 / 3
5 / 3 5 / 3 CA 5 / 3 1 1 2 A A 2 CA 5 ( dengan jabaran Binomial) 2 / 3 1 nn 1 2 9 A a b ...... a b a na b 1.2 C 5 N Z 2 E 2 / 3 A 9 A 2 n
n
n 1
n 2 2
Bandingkan dengan model tetes zat cair, suku pertama sebanding dengan suku “volume” , suku kedua sebanding dengan suku “asimetrik”
