ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL L ITORAL Facultad de Economía y Negocios Microeconomía Microeconomía III
TAREA 1 TEORÍA DE JUEGOS: FORMAS DE REPRESENTAR UN JUEGO Ejercicio 1: El juego de la subasta de $50 Describa el siguiente juego, denominada el juego de la subasta de $50, de forma normal, también conocida de forma estratégica. Detalle, para mayor aprendizaje, cada una de las estrategias de forma escrita. En este caso P significa pasar y $20, significa seguir apostando $20 más. X3
X1 X4
X2
X5
X7
X6 X8
2 1
-10,-40 -10,-40 -20, 10 -20, 10 0, 30 25, 25 0, 30 25, 25
30, 0 30, 0 0, 30 0, 30
30, 0 30, 0 25,25 25,25
: (20 60): Usar 20 en la primera parte del juego y 60 si el jugador 2 decide jugar 40. : (20 P): Usar 20 en la primera parte del juego y P si el jugador 2 decide jugar 40. : (P 60): Usar P en la primera parte del juego y 60 si el jugador 2 decide jugar 40. : (P P): Usar P en la primera parte del juego y P si el jugador 2 decide jugar 40. : (40 20): Usar 40 si J1 decide jugar 20 y jugar 20 si J1 decide empezar jugando P : (40 P): Usar 40 si J1 decide jugar 20 y jugar P si J1 decide empezar jugando con con P : (P 20): Usar P si J1 elige A y jugar 20 si J1 elige P : (P P): Usar P tanto si J1 elige 20 o P
Ejercicio 2: Detalle las estrategias de cada uno de los jugadores en este juego.
Conjunto de jugadores I= [1, 2, 3]
Conjunto de nodos: X= [0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x 9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17] Entonces σ: σ(O) = O σ(x1) = σ(x2) = σ(x5) = O σ(x3) = σ(x4) = x1 σ(x6) = σ(x7) = x2 σ(x8) = σx9) = x3 σ(x10)=σ(x11)=x4 σ(x12)=σ(x13)=x5 σ(x14)=σ(x15)=x6 σ(x16)=σ(x17)=x7 El conjunto de acciones es A= [a, b, c, d, e, f, g, h, i]. Entonces α: α(x1)=a α(x2)=b α(x3)=d α(x4)=e α(x5)=b α(x6)=f α(x7)=g α(x8)=h α(x9)=i α(x10)=h α(x11)=i α(x12)=h α(x13)=i α(x14)=h α(x15)=i α(x16)=h α(x17)=i Conjunto de nodos de decisión para el jugador 1, 2, 3: X1= [O] X2= [x1,x2] X3= [x3, x4, x5, x6, x7] Los conjuntos de información para los jugadores 1, 2, 3: H1= [(O)] H2= [(x1), (x2)] H3= [(x3, x4, x5, x6, x7)]
Entonces: H= [(O), (x1), (x2), (x3, x4, x5, x6, x7)] Conjunto de todos todos los conjuntos de información para los jugadores 1, 2, 3 Conjunto de acciones disponibles en cada uno de los conjuntos de información del juego: A([O]) = [a, b, c] A([x1]) = [d, e] A([x2]) = [f, g] A([x3, x4, x5, x6, x7]) = [h, i] Pagos para los nodos terminales R(x8)= (1, 4, 3) R(x9)= (2, 1, -1) R(x10)=(1, 3, 2) R(x11)=(1, 1, 3) R(x12)= (2, 4., -1) R(x13)= (1, 5, 2) R(x14)= (2, 1, -1) R(x15)= (1, 0, 2) R(x16)= (2, 1, 2) R(x17)= (3, 1, 1) Por lo tanto: J= [ I, (X,σ), (A,α), (X1, X2, X3), X3 ), (H1, (H1, H2, H3), (A(h),R)]
σ Ejercicio 3: Este juego secuencial, representarlo de forma normal o estratégicamente, detallando cada una de las estrategias de los jugadores de forma escrita
(1, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) (0, 0) (0, 0)
(1, 0) (1, 0) (3, 0) (2, 1) (1,-1) (1,-1)
: (a f): Elegir a en la primera acción y elegir f si el jugador 2 ha elegido d o e. : (a g): Elegir a en la primera acción y elegir g si el jugador 2 ha elegido d o e. : (b f): Elegir b en la primera acción y elegir f si el jugador 2 ha elegido d o e. : (b g): Elegir b en la l a primera acción y elegir g si el jugador 2 ha elegido d o e. : (c f): Elegir c en la primera pr imera acción acción y elegir f si el jugador 2 ha elegido d o e. : (c g): Elegir c e la primera acción acción y elegir f si el jugador 2 ha elegido d o e. : (d): Elegir d en caso de que uno haya escogido b o c : (e): Elegir e en caso de que uno haya escogido b o c
Ejercicio 4 Escribir el juego secuencial de la figura siguiente como un juego en forma normal.
j i
A B
CE
CF
DE
DF
-10, 4 16, 2
-10, 4 0,-1
1, 5 16, 2
1, 5 0, -1
Ejercicio 5 Escribir el juego siguiente como un juego secuencial.
Ejercicio 6 En el juego de la figura 7 hallar: 1. Los conjuntos de acciones de cada jugador. 2. los conjunto de estrategias de cada jugador.
(I)
(K) LPRT LPRZ LPST LPSZ LQRT LQRZ LQST LQSZ MPRT MPRZ MPST MPSZ MQRT MQRZ MQST MQSZ
CE (211) (211) (211) (211) (211) (211) (211) (211) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2)
CF (211) (211) (211) (211) (211) (211) (211) (211) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2) (1,-3,2)
A (J) DE (6,0,142) (6,0,142) (6,0,142) (6,0,142) (351) (351) (351) (351) (6,0,142) (6,0,142) (6,0,142) (6,0,142) (6,0,142) (351) (351) (351) (351)
B (J) DF (6,0,142) (6,0,142) (6,0,142) (6,0,142) (351) (351) (351) (351) (6,0,142) (6,0,142) (6,0,142) (6,0,142) (351) (351) (351) (351)
CE (431) (431) (132) (132) (431) (431) (132) (132) (431) (431) (132) (132) (132 ) (431) (431) (132) (132)
CF (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2)
DE (431) (431) (132) (132) (431) (431) (132) (132) (431) (431) (132) (132) (431) (431) (132) (132)
DF (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2) (431) (1,-3,2)
Ejercicio 7 En un departamento viven tres amigos que estudian juntos el pregrado en el ESPOL: Abraham quien estudia Ingeniería en alimentos; Bertha quien estudia ingeniería en computación; computación; y Cecilia quien estudia la carrera de Economía. Los tres amigos han decidido pasar el fin de semana en casa luego de la semana de exámenes para descansar viendo televisión. Hay tres programas emitidos simultáneamente que les interesan: Master Chef; la película Wall-e; la película “una mente brillante”. La utilidad que tiene cada uno de los amigos por cada uno de los programas
aparece en la siguiente tabla: Abraham Máster Chef Wall –E Una mente brillante
Bertha 3 2 1
Cecilia 1 3 2
2 1 3
Cada uno de los amigos vota por uno de los tres programas y deciden ver todos, el programa que tenga más votos, decidiendo Cecilia en caso de empate. Represente el juego de forma normal o estratégica.
Solución: Supuestos para la tabla: 1) Cada jugador vota por un programa sin que su elección sea de conocimiento de todos hasta el conteo. (Escriben el programa en un papel y cuando los tres hayan finalizado, se procede a contarlos). 2) Una vez contados los votos en caso de que cada uno eligiese un programa diferente, se tomará como decisión final el programa que hubiera escogido Cecilia
CECILIA M W B
M (3, 1, 2) (3, 1, 2) (3, 1, 2)
M BERTHA W (3, 1, 2) (2, 3, 1) (1, 2, 3)
B (3, 1, 2) (2, 3, 1) (1, 2, 3)
ABRAHAM W BERTHA M W B (3, 1, 2) (2, 3 , 1) (3, 1, 2) (2, 3, 1) (2, 3 , 1) (2, 3, 1) (1, 2, 3) (2, 3 , 1) (1, 2, 3)
M (3, 1, 2) (2, 3, 1) (1, 2, 3)
B BERTHA W B (3, 1, 2) (1, 2, 3) (2, 3, 1) (1, 2, 3) (1, 2, 3) (1, 2, 3)
Ejercicio 8 En un juego cada uno de los dos jugadores anuncia de manera simultánea un número perteneciente al conjunto de números entre 0 y 6. Si a1+ a2 ≤ 6, siendo ai el número anunciado por el jugador i, entonces cada jugador i recibe un pago de ai. Si a1+ a2 > 6 y ai < a j, entonces el jugador i recibe ai y el jugador j recibe 6 - ai. Si a1+ a2 > 6 y ai = a j, entonces cada jugador recibe 3. Represente el juego de forma normal o estratégica. estratégica.
(0, 6)
1
2
3
4
5
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 4) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 3) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (3, 3) (3, 3) (4, 2) 5 (5, 1) (4, 2) (3, 3) (2, 4) (3, 3)
[0, 6]
0
1
2
3
4
5
6
0
(0, 0)
(0, 1)
(0, 2)
(0, 3)
(0, 4)
(0, 5)
(0, 6)
1
(1, 0)
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 5)
2
(2, 0)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 4)
(2, 4)
3
(3, 0)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 3)
(3, 3)
(3, 3)
4
(4, 0)
(4, 1)
(4, 2)
(3, 3)
(3, 3)
(4, 2)
(4, 2)
5
(5, 0)
(5, 1)
(4, 2)
(3, 3)
(2, 4)
(3, 3)
(5, 1)
6
(6,0)
(5, 1)
(4, 2)
(3, 3)
(2, 4)
(1, 5)
(3, 3)
Ejercicio 9 Considere el siguiente juego para dos jugadores: Cada jugador empieza con tres fichas: roja, blanca y azul. Cada ficha puede ser utilizada solo una vez. Para comenzar, cada jugador jugador selecciona una de sus fichas y la coloca en la mesa, manteniéndola oculta. Ambos jugadores descubren sus fichas y determinan el pago que debe abonar el perdedor y que recibe el ganador, según los datos de la tabla dada: Pago en decenas de dólares
Roja gana a blanca Blanca gana a azul Azul gana a roja Coincidencia de colores
5 4 3 0
Luego cada jugador selecciona una de sus fichas restantes y se repite el procedimiento. Finalmente cada jugador muestra su tercera ficha repitiéndose el juego por tercera vez. Represente el juego en forma normal o estratégica. 1ER JUEGO (0)
R A B R R1; R2; R3; A R4; R5; R6; B R8; R7; R9; De donde se desprenden 9 resultados y 9 juegos más, EJM: B A B A Donde cada resultado del juego i [i ∈ (2,3,…,9)] estás asociado con su respectivo resultado del Juego O El total de resultados en los segundo juegos suman 36 donde cada uno presenta un único resultado para el tercer juego y por lo tanto tendremos 36 combinaciones de 3 resultados para cada posible estrategia.
Entonces, la matriz de suma de los pagos pa gos en todos los posibles resultados tanto para el primero, segundo y tercer juego de cada uno uno de los jugadores será:
RAB
RBA
ABR
ARB
BRA
BAR
RAB
(0,0)
(0,0)
(-12,12)
(0,0)
(12,-12)
(0,0)
RBA ABR
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(-12,12)
(0,0)
(12,-12)
(12,-12)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(-12,12)
(0,0)
ARB BRA
(0,0)
(12,-12)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(-12,12)
(-12,12)
(0,0)
(12,-12)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
BAR
(0,0)
(-12,12)
(0,0)
(12,-12)
(0,0)
(0,0)
Ejercicio 10 Considere el siguiente juego entre una firma incumbente (I) o monopolista y un potencial entrante (E). Suponga que se está discutiendo la aprobación de una ley de control de la contaminación. La (I), de gran influencia política, puede apoyar la propuesta del Grupo Verde, apoyar la propuesta de la oposición, o no apoyar una nueva ley que exige controles de contaminación en todas las empresas de la industria. Suponga que cada propuesta se aprueba so y solo si la apoya el monopolista. Los controles de contaminación propuestos por los verdes aumentarían en $60.000 los ostos fijos de cada empresa, tanto si opera en régimen de monopolio como de duopolio, mientras que la propuesta de la oposición los aumentaría en $24.000. La ( E ) puede entrar o no entrar en la industria. Sin costes de control de contaminación los beneficios de la I son $120.000 y los del duopolio de $48.000. Si ( E ) decide no entrar, sus beneficios son cero. a) Suponga que el entrante tiene que tomar su decisión de entrada antes de conocer la decisión del monopolista: monopolista: a. Represente el juego en forma extensiva b. Represente el juego en forma normal.
En miles de dólares
E NE
V (-12,-12) (0,60)
O (24,24) (0,96)
NA (48,48) (0,120)
b). Suponga ahora que el entrante conoce, antes de tomar su decisión, la decisión del monopolista. b.1 Represente el juego juego en forma extensiva b.2 Represente el juego en forma normal. En miles de dólares
V O NA
E-E-E (-12,-12) (24,24) (48,48)
E-E-NE (-12,-12) (24,24) (120,0)
E-NE-E (-12,-12) (96,0) (48,48)
E-NE-NE (-12,-12) (96,0) (120,0) (120,0)
NE-E-E (60,0) (24,24) (48,48)
NE-E-NE (60,0) (24,24) (120,0) (120,0)
NE-NE-E (60,0) (96,0) (48,48)
NE-NE-NE (60,0) (96,0) (120,0)
