CAPÍTULO 2: A ESCOLHA DOS CONSUMIDORES 2.A – Introdução A unidade mais fundamental de decisão de teoria microeconômica microeconômica é o consumidor. Neste capítulo, nós começam começamos os nosso nosso estudo estudo de exig exignci nciaa de consu consumid midor or no con contex texto to de uma economia de mercado. !or uma economia de mercado, nós "ueremos di#er um cen$rio em "ue bens e seri!os "ue "ue o cons consum umid idor or #ode #ode ad"u ad"uir irir ir es$% es$%oo dis# dis#on on& &ei eiss ou com# com#ra ra em #re! #re!os os sabi sabido doss %ou e"ui&alentemente, estão disponí&eis para comércio para outra mercadoria em sa'er índices de c(m'io). *omeçamos nas seç+es 2. a 2.-, descre&endo os elementos '$sicos do pro'lema de decisão de consumidor. m seção 2., nós introdu#imos os commodities de conceito, os o'/etos de escol0a para o consumidor. consumidor. ntão em seç+es seç+es 2* e 2-, nós nós consideramos consideramos as 'imi$a!(es )&sicas e econ*micas "ue limitam a escol0a de consumidor. 1 anterior são capturados no /ogo de consumo, "ue nós discutimos em seção 2*, o ltimo são incorporados em seção 2- no /ogo de orçamento de 3alrasian de consumidor. 1 assunto de decisão de consumidor a estas limitaç+es é capturado na função de demanda de 3alrasian de consumidor. m termo da escol0a aproximação 'aseada a marcação indi&idual de decisão introdu#iu em seção 4*, a função de exigncia de 3alrasian no consumidor regra seleta. studamos a função e algumas de suas propriedades na seção 2. ntre eles são o "ue nós c0amamos propriedades de est$tica comparati&a5 as maneiras em "ue a exigncia de consumidor muda "uando limitaç+es econômicas &ariam. 6inalmente, em seção 26, nós consideramos as implicaç+es para a função de exigncia de consumidor do axioma fraco de preferncia re&elada. A conclusão central "ue nós alcançamos é "ue no cen$rio de exigncia de consum con sumido idor, r, o axioma axioma fraco fraco é essen essencia cialme lmente nte e"u e"ui&a i&alen lente te 7 lei de exign exigncia cia compe compensa nsada da,, o postulado "ue apreçam apreçam e "uantidades exigidas exigidas mo&em em direç+es opostas opostas para mudanças de preço preço "ue deixam a renda real inalterada. 2. – *ommodities 1 pro'lema de decisão encarado pelo consumidor numa economia de mercado é escol0er n&eis de consumo da &$rias mercadorias mercadorias e commoditie commoditiess de ser&iços. ser&iços. !ara simplifica simplificar, r, nós su#omos "ue o n+mero de commodi$ies , )ini$o e i-ua' a L %indexado por l 8 8 4, 9, :). *omo uma "uestão geral, um e$or de mercadoria %ou cesta de mercador mercadoria) ia) , uma 'is$a de "uan$ias das commodi$ies di)eren$es,
e possa ser &isto como um ponto ; :, no espaço de mercadoria. !odemos usar um &etor de mercadoria para representar alguns ní&eis indi&iduais de consumo. A l $. en$rada da mercadoria consumida l / Nós então referimos ao &etor como um &etor de consumo ou cesta de consumo. Note "ue esse esse tempo %ou para essa essa situação de de "uestão) pode ser construído na na definição de uma uma mercadoria. ;igorosamente, ;igorosamente, pão 0o/e e aman0ã de&e ser &isto como commodities distintos. Numa
&eia semel0ante, "uando lidarmos com decis+es so' incerte#a no capítulo <, pão de inspeção em diferente =estados de nature#a= como commodities diferentes são mais teis.
m'ora commodities consumidos em tempos diferentes de&em ser &istos rigorosamente como commod commoditi ities es distin distintos tos,, em pr$tic pr$tica, a, modelo modeloss econôm econômico icoss fre">e fre">ente ntemen mente te en&ol en&ol&em &em algum algum =a-re-a!%o de $em#o =. Assim, uma mercadoria tal&e# se/a =pão consumido no ms de fe&ereiro,= mesmo "ue? em princípio tal agregação de tempo é "ue os dados econômicos a "ue o modelo est$ sendo sendo aplicado aplicado são agregado agregadoss desta desta maneira. maneira. A esperan esperança ça do mais modelo modelo é "ue os commoditie commoditiess são totais são suficientemente semel0ante "ue pouco de interesse econômico em perder. Nós tam'é tam'ém m de&em de&emos os ano anotar tar "ue em alguns alguns conte contexto xtoss torna torna@se @se con con&en &enien iente te e mesmo mesmo necess necess$ri $rioo expande o /ogo de commodities incluir mercadoria e ser&iços "ue potencialmente podem estar disponí&el para compra mas não são realmente então e mesmo algum "ue pode estar disponí&el por meio outro "ue c(m'io de mercado %di#, a experincia de =união de família=). !ara "uase todo o "ue segue a"ui, no entanto, a construção estreita introdu#iu nestes sufixos de seção.
2/ C 0 O Con1un$o Consumo As escol0as de consumo são tipicamente limitadas por um nmero de limitaç+es %restriç+es) físicas. 1 exemplo mais simples é "uando 'em é impossí&el para o indi&íduo consumir uma "uantia negati&a de um tal pão de mercadoria ou $gua. 6ormalmente o con1un$o de consumo , um subcon1un$o do es#a!o de mercadoria R L deno$ado #or , cu/os cu/os elemento elementoss são as cestas cestas de consumo consumo "ue o indi&íduo indi&íduo conce'i&e conce'i&elment lmentee pode consumir dado as limitaç+es físicas impostas pelo seu am'iente. *onsidere a seguir "uatro exemplos para o caso em "ue : 8 2. i)
A 6igu 6igura ra 2.* 2.*.4 .4 rep repre rese sent ntaa poss possí& í&ei eiss ní& ní&ei eiss de cons consum umoo de pão pão e la# la#er er num num dia dia.. Am'o Am'oss ní&eis de&em ser não negati&o e, além do mais, o consumo de mais de 2 0oras de la#er num dia é impossí&el.
ii)
A 6igur 6iguraa 2.*. 2.*.22 repre represen senta ta uma uma situaç situação ão em "ue o prim primeir eiroo 'em 'em é perf perfeit eitam ament entee di&i di&isí& sí&el el mas o segundo est$ disponí&el só em "uantias de nmero inteiro de não negati&os.
iii)
A 6igur 6iguraa 2.*. 2.*.BB captu captura ra o fato fato "ue "ue é imposs impossí&e í&ell come comerr pão pão no no mesmo mesmo instan instante te em em Cas0ington e No&a Ior"ue. Dste exemplo é emprestado de Ealin&aud %4FGH).
i&)
A 6igur 6iguraa 2.*. 2.*. repre represen senta ta uma uma situ situaçã açãoo onde onde o consu consumid midor or exig exigee um mínimo mínimo de "uat "uatro ro fatias de pão ao dia para so're&i&er e existe dois tipos de pães, marrom e 'ranco.
Nos "uatro exemplos, as 'imi$a!(es s%o )&sicas num sentido muito literal. Eas as limitaç+es "ue nós incorporamos no con/unto %/ogo) de consumo tam'ém podem ser ins$i$ucionais em na$ure3a . !or exemplo, uma lei exigindo "ue ninguém tra'al0e mais "ue 4< 0oras por dia mudariam o con/unto de consumo na figura 2.*.4 a isso em figura 2.*.J. !ara manter coisas tão claro "uanto possí&el, prosseguimos nossa con&ersa adotando o tipo mais simples de con/unto %/ogo) de consumo5
o con/unto de todas as cestas de commodities não@negati&as. K representado em figura 2.*.<. Lempre Lempre "ue nós considera considerarmos rmos "ual"uer "ual"uer /ogo de consumo consumo M diferente diferente de nós de&emos de&emos ser explícitos so're o assunto.
Uma car carac$ ac$er& er&s$i s$ica ca es#ec es#ecia' ia' do con1 con1un$ un$oo , "ue , con cone4o e4o// Is$o Is$o , se duas duas ces ces$as $as de consum consumoo 4 e 45 s%o os dois e'emen$os de en$%o a ces$a , $amb,m um e'emen$o de #ara "ua'"uer / %& seção E. do apndice matem$tico para a definição e propriedades do con/unto con&exo). 1s con/untos consumo nas figuras 2.*.4, 2.*., 2.*.J, e 2.*.< são con/untos con&exos? esses nas figuras 2.*.2 e 2.*.B não são.
rande parte da teoria se aplica a ser desen&ol&ida para con/untos consumo con&exos gerais, 'em como como para para . Alguns Alguns dos dos result resultad ados os,, mas não todo todos, s, so'r so're& e&i& i&em em sem sem o pres pressu supo post stoo de con&exidade. 4
2/ D Or!amen$o 6Mercado7 Com#e$i$io m adição 7s limitaç+es físicas consu'stanciadas no con/unto de consumo, o consumidor encara esco'.a de consumo consumo , 'imi$ada a essas essas ces$as ces$as de umas 'imi$a!(es econ*micas importantes5 sua esco'.a mercad mercador oria ia "ue e'e #ode #ode dis#o dis#orr 6 arcar 7/ 7/ 6orma 6ormali# li#ee esta esta limita limitaçã ção, o, nós nós introd introdu# u#imo imoss duas suposiç+es. !rimeiro su#omos "ue as L commodi$ies se1am $odas ne-ociadas no mercado em #re! #re!oo de d8'a d8'arr "ue "ue #ub' #ub'ic icam amen en$e $e s%o s%o ci$a ci$ado doss %ist %istoo é o prin princí cípi pioo de inte integr gral alid idad ade, e, ou uni&ersalidade, uni&ersalidade, de mercados). 6ormalmente estes preços são representados pelo e$or de #re!o
"ue d9 o cus$o de d8'ar #ara uma unidade de cada uma das L commodi$ies/ 1'ser&e "ue 0$ nada "ue logicamente exige preço ser positi&o. Om preço negati&o simplesmente meio "ue um comprador realmente é pago para consumir a mercadoria %"ue não é ilógico para commodities "ue são maus, tal como poluição). Não o'stante para simplicidade a"ui n8s sem#re su#omos # ;< is$o , #l ; #ara cada l / Legundo, Legundo, nós su#omos "ue es$es #re!os es$%o a',m da in)'u=ncia do consumidor . Isto é assim c0amado de #ressu#os$o >$omadores de #re!o? . Loltamente falar, esta suposição est$ possí&el estar &$lido "uando a exigncia de consumidor de "ual"uer mercadoria representa só uma fração pe"uena da exigncia total para esse 'em. A acessibi'idade de uma ces$a de consumo depende de duas coisas 5 os #re!os de mercado p 8 %p4, ..., pl ) e o n&e' de ri"ue3a do consumidor em d8'ares @ . A cesta cesta de consu consumo mo é acessí&el se o seu custo total não exceder o ní&el de renda w do consumidor, isto é, se 2
sta 'imi$a!%o econ*mica de acessibi'idade , "uando com'inado com o re"uisito "ue x existe no con/unto de consumo
, implica "ue o con1un$o de ces$as de consumo #ra$ic9eis consis$e nos
e'emen$os do con1un$o Es$e con1un$o , con.ecido como a'rasiano ou 1o-o or!amen$o or!amen$o 6econ*mico7 com#e$i$io com#e$i$io %conforme :éon Calras). Note "ue essa agregação de mercadoria pode a/udar a con&exidade do con/unto de consumo. No exemplo le&em para figura 2.*.B, o con/unto de consumo podia ra#oa&elmente ser tomado ser con&exo se os eixos fossem em &e# de medir o consumo de pão durante o período de um ms. 2 6re">entemente esta limitação é descrita na literatura como exigindo "ue o custo de compras plane/adas não exceda a renda de consumidor. m "ual"uer caso a idéia é o custo de compras não exceder os recursos disponí&eis do consumidor. Osamos a terminologia de ri"ue#a para realçar "ue o pro'lema real do consumidor pode ser intertemporal, com as commodities en&ol&endo compras so're tempo, tempo, e a limitação de recurso é um de renda de tempo de &ida %i.e., a ri"ue#a) %&er xercício 2.-.4). 1
De)ini!%o 2/D/B: 1 con/unto Calrasiano ou con1un$o or!amen$o 6econ*mico7 com#e$i$io , o con1un$o de $odas ces$as de consumo #ra$ic9eis #ara o consumidor "ue encara os #re!os de mercado p e $em ri"ue3a w/
1 pro'lema do consumidor, dados preços p e ri"ue#a w, pode assim ser declarados como segue5 escol0e uma cesta de consumo x de . Om con/unto de orçamento Calrasiano é retratado em figura 2.-.4 para o caso de : 8 2. 6ocali#ar no caso em "ue o consumidor tem um pro'lema de escol0a não@degenerada, nós sempre supomos 3 P Q %contrariamente o consumidor pode ter recursos para nico x 8 Q).
1 con/unto é c0amado or!amen$o .i#er#'ano %para o caso L 2, c0amamos a 'in.a or!amen$9ria ). le determina o limite superior do con/unto orçamento. *omo a figura 2.-.4 indica, o dec'ie da 'in.a or!amen$9ria %econômica) "uando :82, 0 6#B#27, ca#$ura o &ndice de cmbio en$re os dois commodi$ies . Le o preço de mercadoria 2 sofre diminuiç+es %com p4 e 3 sendo fixos), di# a , o con/unto orçamento cresce maior por"ue mais cestas de consumo estão ao alcance, e a lin0a econômica torna@se mais a'rupta. sta mudança é mostrada em figura 2.-.2. 1utra maneira de &er como o 0iperplano orçament$rio reflete o termo relati&o de c(m'io entre commodities &em de examinar é relação geométrica ao &etor de preço p. 1 &etor de preço p, começar tirado de "ual"uer ponto no 0iperplano orçament$rio, de&e ser ortogonal %perpendicular) a "ual"uer &etor começando em é deitando no 0iperplano orçament$rio, isto é então por"ue para "ual"uer "ue este/a no orçamento 0iperplano, nós temos . !or isso, . A 6igura 2.-.B retrata este relacionamento geométrico para o caso : 8 2. B
Fi-ura 2/D/G A relação geométrica entre p e o 0iperplano orçament$rio.
3
!ara desen0ar o &etor p a partir de , nós desen0amos um &etor a partir do ponto ao ponto . Assim "uando tiramos o &etor de preço neste diagrama, nós usamos as =unidades= nos eixos para representar as unidades de preço em &e# de 'ens.
O con1un$o de or!amen$o de a'rasiano , um con1un$o cone4o: is$o , se as ces$as 4 e 4 s%o ambas e'emen$os de en$%o a ces$a , $amb,m/ Para er is$o no$e #rimeiro "ue #or"ue $an$o 4 como 45 s%o n%one-a$ios / Se-undo desde "ue e n8s $emos A con&exidade de "ue a con&exidade de consumo mais geral M,
/ Des$e modo
/
desempen0a um papel significati&o no desen&ol&imento "ue se segue. Note depende da con&exidade do con/unto consumo
. *om um con/unto
ser$ con&exo en"uanto M é %&er exercício 2.-.B).
m'ora con/untos orçamentos %econômicos) Calrasiano se/am de interesse teórico central, eles são de modo algum o nico /ogo de tipo de orçamento "ue consumidor tal&e# encare em "ual"uer situação real. !or exemplo uma descrição mais realista da troca de mercado entre um consumo 'em e la#er, en&ol&endo impostos, su'sídios, e &$rios índices de sal$rio, é ilustrado em figura 2.-.. Na figura, o preço do consumo do 'em é 4, e o consumidor gan0a índices de sal$rio s por 0oras para as primeiras H 0oras de tra'al0o e sR P s para adicional %0ora extra) 0oras. le tam'ém encara um índice de imposto t por dólar em renda de tra'al0o gan0ou acima de "uantia M . Note "ue o con/unto orçamento na figura 2.-. é não@con&exo %&oc é con&idado a mostrar isto no exercício 2.-.). Om exemplo mais complicado pode ser construído e surge comumente um tra'al0o aplicado. Se/a -eaton e Euell'auer %4FHQ) e urtless e Tausmman %4FGJ) para mais ilustraç+es deste tipo.
2/E A Fun!%o Demanda e Es$9$ica a Com#ara$ia A correspondncia de demanda Calrasiana do consumidor %ou de mercado, ou ordin$ria) x%p,3) designa um con/unto de cestas de consumo escol0idas para cada par de preço@ri"ue#a %p,3). m princípio, esta correspondncia pode ser multi&ari$&el? isto é, aí pode ter mais "ue um &etor de consumo possí&el designado para um dado par preço–ri"ue#a %p,3). Uuando "ue é então, "ual"uer x ∈ x%p,3), tal&e# se/a escol0ido pelos consumidores "uando ele encara o par preço–ri"ue#a %p,3). Uuando x%p,3) é únicos estimados %&alor nico), nós referimos a ele como uma função demanda. !or todo este capítulo, nós mantemos duas su#osi!(es concernente 7 correspondncia de demanda Calrasiana x%p,3)5 Uue ele é .omo-=neo de -rau 3ero e "ue ele sa$is)a3 a Lei de a'ras .
De)ini!%o 2/E/B: A correspondncia de demanda Calrasiana x%p,3) é 0omognea de grau de #ero se para "ual"uer p, 3 e V P Q. A 0omogeneidade de grau #ero di# "ue se tanto preço como ri"ue#a mudança na mesma proporção, eles então a escol0a de consumo indi&idual não muda. !ara entender esta propriedade, não "ue uma mudança em preço e ri"ue#a de %p, 3) a le&e a nen0uma mudança no /ogo de consumidor de fardos pratic$&eis de consumo "ue é . A 0omogeneidade de grau #ero di# "ue a escol0a indi&idual depende só no /ogo de pontos pratic$&eis.
De)ini!%o 2/E/2: A correspondncia de exigncia de Calrasiana %p, 3) satisfa# LEI DE ALRAS em se para cada p PP Q e 3 P Q, nós temos #J4 @ para todo . A :ei de Calras di# "ue os consumidores gastam plenamente sua ri"ue#a. Isto é Intuiti&o uma suposição ra#o$&el fa#er contanto "ue 0$ algum 'om "ue est$ claramente dese/$&el. A lei de Calras de&e ser entendida amplamente5 1 orçamento de consumidor pode ser um intertemporal um permitir para poupança 0o/e ser usado para compras aman0ã. O "ue a 'ei de a'ras di3 , "ue o consumidor -as$a #'enamen$e seus recursos sobre seu $em#o de ida .
E4erc&cio 2/E/B Lupon0a : 8 B, e considere o exigncia função x%p,3) definido por
Isto exige função satisfa#er 0omogeneidade de grau #ero e 3alras "uando 8 4W Uue tal "uando %Q,4)W m capítulo B, onde o x de exigncia de consumidor %p, 3) é deri&am do maximi#ation para preferncias estas duas propriedades %0omogeneidade de grau #ero e satisfação de lei de 3alras) controle so' de circunst(ncia geral. No resto deste capítulo, no entanto, nós 0a&emos de simplesmente tomado então como suposição so're x %p, 3) e exploram a conse">ncia.
Oma implicação con&eniente de x %p, 3) são 0omogneos de grau #ero pode ser anotado imediatamente5 m'ora x %p, 3) formalmente tem : X 4 &ari$&eis independentes num ní&el ar'itr$rio. Oma normali#ação comum é no nmero de argumentos x %p,3) is :.
para alguns l . outra é
. assim sendo, efeti&a
!ara seu lem'ra@se de para esta seção, nós supomos esse x %p, 3) é sempre nico – estimou. Neste caso, nós podemos escre&er o x de função %p, 3) em termo de mercadoria – exigncia específica funcional.
Uuando con&eniente nós tam'ém su#omos 4 6# @7 ser con$&nuos e di)erenci9e' . YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY A aproximação "ue nós tomamos a"ui e em seção 2.6 pode ser &isto como uma aplicação da estrutura escol0a@'aseado desen&ol&ida em capítulo 4. A família de /ogo de orçamento de 3alrasian é ali$s por 0omogeneidade de grau #ero x%p,3) depende apenas de os , uma es$ru$ura de esco'.a , como orçamentos definir o consumidor enfrenta. Por isso definido em seção 4.*. Note "ue a estrutura de escol0a Não inclui todo possí&el su'con/unto de x %e.g., seu não inclui todo dois e trs su'con/unto de elementos de x). ste fato ser$ significati&o para o relacionamento entre o escol0a@'aseado e preferncia 'aseou aproximaç+es a exigncia de consumidor.
Es$9$ica com#ara$ia Nós somos de interessado em analisar como as escol0as de consumidor &aria com mudanças na sua ri"ue#a e preços. O e4ame de mudan!as em resu'$ado em res#os$a a uma mudan!a em #arme$ros econ*micos sub1acen$es , con.ecido como an9'ise de es$9$ica com#ara$ia . 1s feitos da ;enda %ri"ue#a) !ara os preços fixos , a função da ri"ue#a é c0amada )un!%o de consumo de Engel / Lua imagem no é con0ecida como o camin.o de e4#ans%o de ri"ue3a . A 6igura 2..4 retrata tal camin0o de expansão. m "ual"uer %p,3), a deri&ada l t0 'em.
é con0ecido como os e)ei$os de renda 6ri"ue3a7 para o
Oma mercadoria l , norma' em %p, 3) se Isso é exigncia é não de &inco em ri"ue#a. Le efeito de ri"ue#a do l de mercadoria é em &e# disso negati&o, então é c0amado in)erior em %p,3). Se cada mercadoria , norma' #ara $odo 6# @7 en$%o di3emos "ue essa demanda , norma'. A suposição de exigncia normal fa# sentido se mercadoria são agregado grandes %e, g, alimento, a'rigo). Eas se o são muito desagregado %e, g, tipo particular de sapatos) então por causa de su'stituição para 'ens de alta "ualidade como aumentos de ri"ue#a, 'ens "ue tornam@se inferior em algum ní&el de ri"ue#a pode ser a regra antes "ue a exceção. m notação de matri#, os efeitos de ri"ue#a são representados como segue5
E)ei$os de Pre!o Nós tam'ém podemos pedir como ní&eis de consumo das &$rias mudanças de commodities "uando o preço &aria. *onsidere o primeiro o caso onde : 8 2 e supon0a "ue nós mantemos ri"ue#a e preço p 4 fixos. A 6igura 2..2 representa a função de demanda para o 'em 2 como uma função do próprio preço p 2 para &$rios ní&eis do preço do 'em 4, com ri"ue#a constante segurada em "uantia 3. Note "ue, como é 0a'itual em economia, a &ari$&el de preços "ue a"ui é &ari$&el independente, é medida no eixo &ertical, e a "uantidade demandada, a &ari$&el depende, é medida no eixo 0ori#ontal. 1utra representação til da demanda do consumidor em preços diferentes é o local de pontos demandados em "uando nós &ariamos so're todos possí&eis &alores de p 2. Isto é con0ecido como uma cur&a de oferta % offer ). Om exemplo é apresentado em figura 2..B. Eais geralmente, a deri&ada é con0ecida como o efeito de preço de p k , o preço do 'em k , so're a demanda do 'em l . m'ora possa ser natural pensar "ue uma "ueda num preço de um 'em dirigir$ o consumidor a comprar mais dele %como na 6igura 2..B), "ue a situação in&ersa não
é uma impossi'ilidade econômica. 1 'em l é dito ser um bem de Giffen em %p,3) se . !ara a cur&a de oferta retratada na 6igura 2.., o 'em 2 é um 'em de Giffen em .
ens de 'aixa "ualidade podem ser 'ens de iffen para consumidores com ní&eis de ri"ue#a 'aixos. !or exemplo, imagine "ue um consumidor po're inicialmente cumpre muito fora seus re"uisitos dietéticos com 'atatas por"ue estão maneiras de 'aixo custo e&itar fome. Le o preço fora "uedas de 'atatas, ele então pode ter recursos para a por outro, alimento mais dese/$&el "ue tam'ém mantem@ no de ter fome. Leu consumo fora 'atatas 'em podem cair como um resultado. Anote "ue o mecanismo "ue le&a a 'atatas é um giffen 'om nesta 0istória en&ol&e uma consideração de ri"ue#a5 Uuando o preço de "ueda de 'atatas, o consumidor é eficientemente 'em sucedidos %pode ter recursos para comprar mais geralmente) e então compra menos 'atatas. In&estigaremos esta interação entre preço e efeitos de ri"ue#a mais extensamente no resto deste capítulo e em capítulo B.
O e)ei$o de #re!o , conenien$emen$e re#resen$ado em )orma de ma$ri3 do se-uin$e modo:
.
As implicações da homogeneidade e da lei de Walras para os efeitos preço e riqueza.
A 0omogeneidade e lei de Calras implicam certa restrição nos efeitos de est$tica comparati&as da demanda do consumidor com respeito ao preço e a ri"ue#a.
*onsidere, primeiramente, as im#'ica!(es de .omo-eneidade de -rau 3ero . Nós sa'emos "ue . -iferenciando esta expressão com respeito a V, e a&aliando a deri&ada em , nós rece'emos o resultado mostrado na proposição 2..4 %o resultado é tam'ém um caso especial da )8rmu'a de Euler ? &er seção E. do apndice matem$tico para detal0es).
Pro#osi!%o 2/E/B: Le a função de demanda Calrasiana x%p,3) é 0omognea de grau #ero, então para todo p e w5
. m notação de matri#, isto é expressado como . Assim, a 0omogeneidade de grau #ero implica "ue as deri&adas de preço e de ri"ue#a da demanda para "ual"uer 'em l , "uando ponderaram por estes preços e ri"ue#a, somam para #ero. Intuiti&amente, isto pondera surge por"ue "uando nós aumentamos todos os preço e ri"ue#a proporcionalmente, cada uma destas mudanças de &ari$&eis em proporção a marcam com este ní&el inicial. Nós tam'ém podemos reafirmar a e"uação %2..4) em termos das elasticidades de demanda com respeito ao preço e a ri"ue#a. stes são definidos, respecti&amente por,
e
.
stas elasticidades dão a porcentagem de mudança na demanda do 'em l pela porcentagem de mudança %marginal) no preço do 'em k ou ri"ue#a? note "ue a expressão para pode ser lida como . As elasticidades surgem muito fre">entemente em tra'al0o aplicado. -iferente das deri&adas de demanda, as elasticidades são independentes da unidade escol0ida para medir commodities e portanto fornece uma maneira de unidade@li&remente de capturar resposta positi&a de demanda. Osando elasticidades, a condição %2..4) assume a seguinte forma5
Es$a )ormu'a!%o mui$o dire$a e4#ressa uma im#'ica!%o de es$9$ica com#ara$ia da .omo-eneidade de -rau 3ero: uma mudan!a #orcen$a-em i-ua' em $odos os #re!os e ri"ue3a 'ea a nen.uma mudan!a na demanda/ A 'ei de a'ras , por outro lado, tem duas im#'ica!(es para os efeitos de preço e de ri"ue#a da demanda. !ela lei de Calras, nós sa'emos "ue para todo p e w. -iferenciando esta expressão com respeito aos preços c0egamos ao primeiro resultado, apresentado na !roposição 2..2.
Pro#osi!%o 2/E/2: Le a função de demanda Calrasiana x%p,3) satisfa# lei de Calras, então para todo p e w5
1u escrito em noção de matri#
Lemel0antemente, diferenciando resultado mostrado na proposição 2..B.
com relação a 3, nós rece'emos o segundo
Pro#osi!%o 2/E/G: Le a função de demanda Calrasiana x%p,3) satisfa# a lei de Calras, então para todo p e w5
, ou, escrito em notação de matri#, . As condiç+es deri&adas nas !roposiç+es 2..2 e 2..B são 7s &e#es c0amadas de as #ro#riedades de Cournot e a-re-a!%o de Engel , respecti&amente. les são simplesmente as &ers+es diferenciais de dois fatos5 esse gasto total n%o #ode mudar em res#os$a a uma mudança em preço e esse gasto total dee mudar #or uma "uan$ia igual a "ua'"uer mudança de riqueza/
E4erc&cio 2/E/2: Eostre "ue as e"uaç+es %2..) e %2..<) le&am as seguintes duas fórmulas de elasticidade5
onde os preços p e a ri"ue#a w.
é a fatia orçament$ria do gasto do consumidor so're o 'em l dado
2/F O A4ioma Fraco da Pre)er=ncia Ree'ada e a Lei de Demanda
Nesta seção, nós estudamos as implicaç+es do axioma fraco de preferncia re&elada para a demanda do consumidor. !or toda a an$lise, nós continuamos a supor "ue x%p,3) é alor único, homog!neo de grau zero, e satisfaz lei de Walras. 1 axioma fraco /$ foi introdu#ido na seção 4.* como um axioma de consistncia para a decisão 'aseada em escol0a de aproximação a teoria. Nesta seção, nós exploramos suas implicaç+es para o comportamento de demanda de um consumidor. Na aproximação 'aseada na preferncia do comportamento do consumidor ser estudado no capítulo B, a demanda necessariamente satisfa# o axioma fraco. Assim, o resultado apresentado no capítulo B, "uando comparado com esses nesta seção, nos contar$ "uanto mais estrutura é imposta demanda do consumidor pela a'ordagem 'aseada nas preferncias além de ele "ue é implicado pelo axioma fraco só. No contexto de função de demanda Calrasiana, o axioma fraco toma a forma determinada na definição 2.6.4.
De)ini!%o 2/F/B: A função de demanda de Calrasiana x%p,3) satisfa# o axioma fraco de preferncia re&elada %o CA) se a seguinte propriedade permanece para "ual"uer duas situaç+es de preço@ ri"ue#a %p,3) e %pR,3R)5 . Le &oc /$ estudou o capítulo 4, &oc recon0ecer$ "ue esta definição é precisamente uma especiali#ação da declaração geral do axioma fraco apresentado em seção 4.* ao contexto em "ue os con/untos orçamento são Calrasiano e x%p,3) especifica uma escol0a nica %&er xercício 2.6.4). No a/uste da demanda do consumidor, a idéia atr$s do axioma fraco pode ser colocada da seguinte forma5 se e , então sa'emos "ue "uando encarar p de preço e 3 de ri"ue#a, o consumidor escol0eu a cesta x de consumo %p, 3) mesmo "ue a cesta %pR, 3R) tam'ém esti&esse disponí&el. !odemos interpretar esta escol0a como =re&elar= uma preferncia para x%p,3) so're x%pR,3R). Agora nós ra#oa&elmente tal&e# esperemos "ue o consumidor exi'isse alguma consistncia no seu comportamento de exigncia. m particular, dado sua preferncia re&elada, nós esperamos "ue escol0a x%p, 3) so're x%pR, 3R) sempre "ue eles são am'os ao alcance. Le for assim a cesta x %p, 3) não de&e est$ ao alcance na com'inação de ri"ue#a de preço %pR,3R) em "ue o consumidor escol0e a cesta x%pR,3R). Isso é, como re"uerido pelo axioma fraco, nós de&emos ter . A restrição no comportamento de demanda imposto pelo axioma fraco "uando : 8 2 é ilustrado na 6igura 2.6.4. *ada diagrama mostra plane/ar /ogos , e seu corresponder x seleto %pR, 3R) e x %pRR, 3RR). 1 axioma fraco conta@nos "ue nós não podemos ter am'os . 1s painéis %a) para %c) retrata situaç+es permissí&eis, ao passo "ue as demandas nos painéis %d) e %e) transgride o axioma fraco.
As implicações do axioma fraco.
1 axioma fraco tem implicaç+es significati&as para os efeitos de mudanças de preço em exigncia. necessitamos concentrar, no entanto, num tipo especial de mudança de preço. *omo a con&ersa de mercadoria de giffen em seção 2. sugeriu, mudança de preço afeta o consumidor duas maneiras. !rimeiro o altera o custo relati&o de commodities diferentes. Eas secundam eles tam'ém mudam o consumidor ri"ue#a real5 um aumento no preço de uma mercadoria empo'rece eles consumidor "ue de mercadoria. !ara estudar eles implicaç+es do axioma fraco, nós necessitamos isolar o primeiro efeito. Oma maneira de reali#ar isto é imaginar uma situação em "ue uma mudança em preços é acompan0ada por uma mudança no consumidor a ri"ue#a "ue fa# seu fardo inicial de consumo somente ao alcance nos no&os preços. Isso é se o consumidor originalmente encara p de preços e 3 de ri"ue#a e escol0e x de fardo de consumo %p, 3) então
Uuando preços mudam a pR, imaginamos "ue a ri"ue#a de consumidor é a/ustada a . Assim a adaptação de ri"ue#a é ste tipo de adaptação de ri"ue#a é con0ecido como compensação de ri"ue#a de slutsZ[. 6igurem@ se 2. 6. mostra as mudanças no /ogo econômico "uando uma redução no preço de 'ons 4 de p4 a pR 4 é acompan0ada por compensação de ri"ue#a de LlustZ[. eometricamente a restrição é "ue o 0[perplane econômico correspondendo a %pR, 3R) &ai em'ora x de &etor %p, 3). ;eferimos apreçar mudança "ue são acompan0adas por tal ri"ue#a "ue compensa mudança como %slutsZ[) compensou mudanças de preço.
m proposta 2.6.4, nós mostramos "ue o axioma fraco e"ui&alentemente pode ser declarado em termos da resposta de exigncia a mudanças compensadas de preço.
Pro#osi!%o 2/F/B: Lupon0a "ue a função de demanda Calrasiana x%p,3) é 0omognea de grau #ero e satisfa# lei de Calras. ntão x%p,3) satisfa# o axioma fraco se e somente se a seguinte propriedade permanece5 !ara "ual"uer mudança de preço compensada para uma situação inicial %p,3) a um no&o par de preço@ri"ue#a temos5 , com desigualdade estrita sempre "ue
.
Proa: %i) o axioma fraco implica a desigualdade %2.6.4), com desigualdade estrita se . 1 resultado é imediato se , desde então . ntão sup+e@se "ue . 1 lado es"uerdo@mão da desigualdade %2.6.4) pode ser escrito como
%2.6.2).
*onsidere o primeiro termo de %2.6.2). !or"ue então mudança de p para pR é uma mudança de preço compensada, nós sa'emos "ue . m adição, a lei de Calras conta@nos "ue . !or isso %2.6.B). Agora considere o segundo termo de %2.6.2). !or"ue , x%p,3) é ao alcance so' situação de preço@ri"ue#a %pR,3R). 1 axioma fraco portanto implica "ue x%pR,3R) n"o de&e ser ao alcance so' situação de preço@ri"ue#a %p,3). Assim nós de&emos ter . -esde pela lei de Calras, isto implica "ue
%2.6.).
\untamente, %2.6.2), %2.6.B) e %2.6.) permanece o resultado. %ii) 1 axioma fraco é implicado por %2.6.4) segurando para toda mudança compensada de preço, com desigualdade estrita se . 1 argumento para esta direção das pro&as usa o seguinte fato5 o axioma fraco detem se e somente se ele permanece % segura) para toda mudança compensada de preço. Isto é, o axioma fraco detem se, para "uais"uer dois pares preço@ri"ue#a %p,3) e %pR,3R), nós temos sempre e .
!ara pro&ar o fato determinado no par$grafo precedente, nós argumentamos "ue se o axioma fraco é transgredido, então de&e 0a&er uma mudança compensada de preço para "ue ii é transgredida. !ara &er isto supor "ue ten0amos uma infração do axioma fraco, isso é, dois pares de preço@ri"ue#a %pR, 3R) e %pRR, 3RR) tal isso e Le um destes dois controles fracos de desigualdades com igualdade, então isto é realmente uma mudança
compensada de preço e nós somos feitos. ntão sup+e isso, como se mostra em figura 2. 6., temos e
Agora escol0a o &alor
denote figura 2. 6.. Nós então temos
para "ual
e
sta construção é ilustrada em
!ortanto "ual"uer um Lupon0a "ue a primeira a possi'ilidade segure %o argumento é idntico se é o segundo "ue segura), então temos Uual constitui uma infração do axioma fraco para a mudança compensada de preço de %pR, 3R) a %p,3). Oma &e# nós sa'emos "ue para testar para o axioma fraco ele sufixos considerar preço só compensado mudar o permanecer "ue raciocínio é claro. Le o axioma fraco não segura, aí existe uma mudança compensada de preço de algum %pR, 3R) a algum %p, 3) tal isso e
mas desde
satisfa# 3alras, lei
"ue estas duas desigualdade implica
-aí "ue ten0am segure
Uual em contração a 2. 6. segurando para toda mudança compensada de preço %e com desigualdade estrita "uando
)
A desigualdade 2. 6. pode ser escrito em ta"uigrafia e !ode ser interpretado como uma forma da lei de exigncia5 exigncia e mo&imento de preço em direç+es opostas. A proposta 2. 6. conta@nos "ue a lei de controles de exigncia para mudanças compensadas de preço. Nós portanto c0amamo@lo a lei compensada de exigncia. 1 caso mais simples en&ol&e o efeito em exigncia de algum l 'om de uma mudança compensada em seu nico pl de preço. Uuando só esta mudança de preço, nós temos desde ter
a proposta 2. 6. conta@nos "ue se
então de&emos
1 argumento '$sico em ilustrado em figurar@se 2.6.. *omeçar em
%!, 3) uma diminuição compensada no preço de 'om 4 gira a lin0a econômica pensou x %p,3). 1 CA permite mo&imentos de exigncia só na direção "ue aumenta a exigncia de 'om 4. 6igurem@se 2. 6. de&e con&enc@lo "ue o CA %ou, no "ue di# respeito, a suposição de maximi#ation de preferncia discutiu em capítulo B) não é suficiente ceder a lei de exigncia para mudanças de preço "ue nem são compensados. Na figura a mudança de preço de p a pR é o'tida por uma diminuição no preço de 'om 4, mas o axioma fraco não imp+e nen0uma restrição em onde coloco no&o fardo de consumo como, tirado, a exigncia de 'om 4 "ueda. Uuando x de exigncia de consumidor %p, 3) é uma função de differentia'le de preço e ri"ue#a. A proposta 2. 6. tem uma implicação de diferencial "ue é de grande import(ncia. *onsidere, começando numa preço@ri"ue#a dada emparel0a %p, 3) uma mudança de diferencial em dp de preço. Imagine "ue fa#emos esta uma mudança compensada de preço por dado a compensação de consumidor de
%isto é Lomente o an$logo de diferencial de
)
A proposta 2. 6. conta@nos isso.
Agora, usando a corrente em regra, a mudança de diferencial muito procurado indu#ido por esta mudança compensada de preço pode ser escrito como
!or isso
1u e"ui&alente
6inalmente su'stituir 2. 6. em 2. 6. concluímos "ue para "ual"uer possí&el dp de mudança de preço de diferencial, nós temos
A expressão é colc0etes em condição 2. 6. é uma matri# de :x:, "ue é denota por s %p, 3) formalmente
1nde o %l, Z) entrada de t0 é
A matri# %p, 3) con0ecida como a su'stituição, ou slutsZ[, matri# e elementos são con0ecidos como efeitos de su'stituição. A terminologia de su'stituição é capa# por"ue o termo Eeça a mudança de diferencial no consumo de l de mercadoria %eu, e a su'stituição a ou de outros commodities) de&ido a uma mudança de diferencial no preço de Z de mercadoria "uando ri"ue#a este a/ustou de modo "ue o consumidor ainda somente possa ter recursos para seu fardo original de consumo. %u, o'rigação de e unicamente a uma mudança em preço relati&o). !ara &er esta nota "ue a mudança muito procurado para l 'om se ri"ue#a é deixada inalterado é !ara o consumidor poder =somente ter recursos para= seu fardo original de consumo, sua ri"ue#a de&em &ariar pela "uantia o efeito desta ri"ue#a muda uma a exigncia para l 'om é "ue A soma estes dois efeitos em portanto exatamente ;esumimo@nos deri&ação em e"uaç+es 2. 6. a 2. 6. em proposta 2. 6. !roposta 2. 6. se um differentia'le 3alrasian exigncia função x %p, 3) satisfa# 3alras lei, 0omogeneidade de grau #ero e
o fraco axioma então em "ual"uer %p, 3) o slustZ[ matri# s %p, 3) satisfa#
para
"ual"uer Oma matri# satisfa#endo a propriedade em proposta 2. 6. é c0amado semidefinite negati&o %é negati&o definido se a desigualdade é estrita para todo ) Le seciona E- do apndice matem$tico para mais umas estas matri#es. Anote esse s %p, 3) são semidefinite negati&o isso implica Isso é, o efeito de su'stituição de l 'om com respeito ao próprio preço sempre não é positi&o. Oma implicação interessante de só se é
If
K "ue um 'om pode ser um giffen 'om em %p, 3) inferior. m particular desde
temos de ter
!ara referncia posterior, nós anotamos essa proposta 2. 6. não implica em general "ue o s de matri# %p, 3) é simétricos. !ara : 8 2 s %p, 3) é necessariamente simétrico. %O) &oc são pedidos mostrar isto em exercício 2.6.44) "uando :P 2, contudo s %p, 3) não de&em ser simétricos so' as suposiç+es feitas até agora %0omogeneidade de grau #ero, lei de 3alras, e o axioma fraco) Sem exercício 2. 6. e 2. 6. para exemplos. m capítulo B em seção B. T, nós &eremos "ue a simetria de s %p, 3) intimamente é ligado com a possi'ilidade de gerar exigncia do maximi#ation de preferncias racionais. xplorar promo&e as propriedades de 0omogeneidade de grau #ero e lei de 3alras "ue nós podemos di#er um pouco mais so're o su'stituição matri# L %p,3). A proposta 2. 6. sup+e "ue o x de função de exigncia de 3alrasian %p, 3) é diferentes capa#es, 0omogneos de grau #ero, e satisfa# lei de 3alras. ntão
e
para "ual"uer %p,3).
xercitem@se 2. 6. pro&a proposta 2. 6. %propostas de uso de sugestão 2. . a 2.. B) segue de proposta 2. 6. "ue o matri# s %p, 3) é sempre %ligou menos "ue :) e então o negati&o semidefiniteness de s %p, 3) esta'eleceu em proposta 2. 6. não pode ser estendido a negati&o definiteness %& exercício 2.6.4G) A proposta 2. 6. esta'elece semidefiniteness negati&o de s %p, 3) como implicação necess$ria do axioma fraco. Om tal&e# pergunte@se. sta propriedade é suficiente implicar o CA %de modo "ue o semidefiniteness negati&o de s %p, 3) se/a realmente e"ui&alente ao CA) isso é se temos um x de função de exigncia %p, 3) isso satisfa# lei de 3alras, 0omogeneidade de grau #ero e tem uma matri# negati&a de su'stituição de semidefinite de&er est$ satisfa# axioma fracoW A resposta é "uase mas não 'em. xercitem@se 2. 6. fornece um exemplo de uma função de exigncia com uma matri# negati&a de su'stituição de semidefiniti "ue transgride o CA. A condição suficiente é isso sempre para "ual"uer escala Isso é s %p, 3) de&em ser negati&os definidos para todo &etor outro "ue esses "ue são proporcional a p. ste resultado é de&ido a Lamuelson %& Lamuelson 4FG ou ]i0lstrom, Eas@*olell, e Lonnensc0ein %4FG<) para um tratamento a&ançado).
A lacuna entre a necess$ria uma condição suficiente é da mesma nature#a como o fica 'o"uia'erto entre o necess$rio e o suficiente – condiç+es de ordem para minimi#ação de uma função. 6inalmente, como teoria de consumidor exigiria isso é 'aseado unicamente na suposição de 0omogeneidade de grau #ero, lei de 3alras, e o em'odied de re"uisito de consistncia na ação fraca comparam com um 'aseado em maximi#ation racional de prefernciaW aseado em capítulo 4, &oc tal&e# espere essa proposta 4. -. implica "ue os dois são e"ui&alentes. Eas nós não podemos apelar ^ssa proposta a"ui por"ue eles a família de orçamento de 3alrasian não inclui cada possí&el orçamento, em particular não inclui todo o orçamento formado por só dois nem trs fardos de mercadoria. Ali$s a duas teoria deri&ada do axioma fraco est$ fraca "ue a teoria deri&ou de preferncias racionais, no sentido de implicar menos restrição. Isto é mostrado formalmente em capítulo B, onde demonstramos "ue se exigncia em gerar de preferncias, ou é capa# de então sendo gerado, então de&e ter uma matri# simétrica de slutsZ[ a'solutamente %p, 3) mas durante o momento, o'rigação 2.6.4, de exemplo originalmente a TicZs %4FJ<) pode ser suficientemente persuasi&o. 1 exemplo 2. 6. Num trs mercadoria pala&ra, considera o trs econômico /ogos determinado pelo preço &etores orçamentos)
Lup+e
"ue
o
ri"ue#a 8 H. %o mesmo para trs respecti&o %raro) escol0as são m exercício 2. 6. &oc são pedidos &erificar@se
"ue "ual"uer a pares de escol0a satisfa# o CA mas isso
é re&elado preferido a
é
re&elado preferido a e é re&elado preferido sta situação é compatí&el com a existncia de preferncias racionais su'/acentes %transiti&o seria transgredido). A ra#ão "ue este exemplo é nico persuasi&o e 'em não determina a pergunta é essa exigncia foi definida só para os trs orçamentos dados, portanto nós não podemos estar seguros "ue satisfa# o re"uisito do CA para todos possí&eis orçamentos competiti&os. !ara segurar a "uestão "ue nós referimos a capítulo B. m resumo 0$ trs conclus+es prim$rias ser apro&eitadas seção 2. 6 _ 1 em'odied de re"uisito de consistncia no axioma fraco %com'inado com a 0omogeneidade de grau #ero e lei de 3alras) est$ e"ui&alente 7 lei compensada de exigncia. _ 1 compensado de exigncia, em &olta, implica semidefiniteness negati&o do s de matri# de su'stituição %p, 3). _ stas suposiç+es não implicam simétrico de L %p, 3) exceto no caso onde : 8 2.
M;*ILL
2/D/B A consumer 'ies )or $@o #eriods deno$ed B and 2 and consumes a sin-'e consum#$ion -ood in eac. #eriod/ His @ea'$. @.en born is @ ;/ .a$ is .is 6'i)e$ime7 a'rasian bud-e$ se$K Lolution5 :et p2 'e t0e price of t0e consumption good in period 2, measured in units of t0e consumption good in period 4. :et x 4, x 2 'e t0e consumption le&els in periods 4 and 2, respecti&el[. `0en 0is lifetime Calrasian 'udget set is e"ual to x ∈ ; X25 x4 X p2x2 b 3.
2/D/2 A consumer consumes one consum#$ion -ood 4 and .ours o) 'eisure ./ T.e #rice o) $.e consum#$ion -ood is # and $.e consumer can @or a$ a @a-e ra$e o) s B/ .a$ is $.e consumer5s a'rasian bud-e$ se$K Lolution5 %x,0) ∈ ; X25 0 b 2, px X 0 b 2.
2/D/G Consider an e4$ension o) $.e a'rasian bud-e$ se$ $o an arbi$rar consum#$ion se$ : #@ 4 : # Q 4 @/ Assume 6#@7 ;/ 6a7 I) is $.e se$ de#ic$ed in Fi-ure 2/C/G @ou'd #@ be cone4K 6b7 S.o@ $.a$ i) is a cone4 se$ $.en #@ is as @e''/
Lolution5 %a) No. In fact, t0e 'udget set consists of t0e t3o points, eac0 of 30ic0 is t0e intersection of t0e 'udget line and an axis. %') :et x ∈ p,3, x ∈ p,3, and ∈ DQ,4. Crite x 8 x X %4 – )x. Lince M is con&ex, x Eoreo&er, p x 8 %p x) X %4 – )%p x) b 3 X %4 – )3 8 3. `0us x ∈ p,3.
∈
M.
2/D/ S.o@ $.a$ $.e bud-e$ se$ in Fi-ure 2/D/ is no$ cone4/
Lolution5 It follo3s from a direct calculation t0at consumption le&el E can 'e attained '[ %H X %E – Hs)hs) 0ours of la'or. It follo3s from t0e definition t0at %2,Q) and %4< – %E – Hs)hs, E) are in t0e 'udget set. ut t0eir con&ex com'ination of t0ese t3o consumption &ectors 3it0 ratio
is not in t0e 'udget set5 t0e amount of leisure of t0is com'ination e"uals to 4< %so t0e la'or is eig0t 0ours), 'ut t0e amount of t0e consumption good is
2/E/B 6In $e4$/7 Su##ose L G and consider $.e demand )unc$ion 46#@7 de)ined b
/ Does $.is demand )unc$ion sa$is) .omo-enei$ o) de-ree 3ero and a'ras5 'a@ @.en BK .a$ abou$ @.en 6;B7K Lolution5
2/E/2 6In $e4$7 S.o@ $.a$ e"ua$ions 62/E/7 and 62/E/V7 'ead $o $.e )o''o@in- $@o e'as$ici$ )ormu'as:
and @.ere -ien #rices p and @ea'$. w/
Lolution5
is $.e bud-e$ s.are o) $.e consumer5s e4#endi$ure on -ood l
2/E/V Weri) $.a$ $.e conc'usions o) #ro#osi$ions 2/E/B $o 2/E/G .o'd )or $.e demand )unc$ion -ien in E4ercise 2/E/B @.en B/ Lolution5 C0en V 8 4, Calras la3 and 0omogeneit[ 0old. Tence t0e conclusions of !ropositions 2..4 – 2..B 0old.
2/E/X A consumer in a $@o-ood econom .as a demand )unc$ion 46#@7 $.a$ sa$is)ies a'ras5 'a@/ His demand )unc$ion )or $.e )irs$ -ood is 4 B6#@7 Y@#B/ Derie .is demand )unc$ion )or $.e second -ood/ Is .is demand )unc$ion .omo-eneous o) de-ree 3eroK Lolution5 [ Calras la3, `0is demand function is t0us 0omogeneous of degree #ero.
.
2.6.44 L0o3 t0at for : 8 2, L%p,3) is al3a[s s[mmetric. DTint5 Ose proposition 2.6.B. Lolution5 [ proposition 2.6.B, L%p,3) 8 Q and 0ence s 42%p,3) 8 % – p4hp2)s 44%p,3). Also p L%p,3) 8 Q and 0ence s24%p,3) 8 % – p4hp2)s 44%p,3). %Ce sa3 t0is in t0e ans3er for xercise 2.6.F as 3ell.) `0us s42%p,3) 8 s24%p,3).
2.6.42 L0o3 t0at if t0e Calrasian demand function x%p,3) is generated '[ a rational preference relation, t0an it must satisf[ t0e 3eaZ axiom. Lolution5 [ appl[ing !roposition 4.-.4 to t0e Calrasian c0oice structure, 3e Zno3 t0at x%p,3) satisfies t0e 3eaZ axiom in t0e sense of -efinition 4.*.4. [ xercise 2.6.4, t0is implies t0at x%p,3) satisfies t0e 3eaZ axiom in t0e sense of -efinition 2.6.4.
2.6.4 L0o3 t0at if x%p,3) is a Calrasian demand function t0at satisfies t0e 3eaZ axiom, t0en x%p,3) must 'e 0omogeneous of degree #ero. Lolution5 :et p PP Q, 3 Q, and V P Q. Lince p x%p,3) b 3 and %Vp) x%Vp,V3) b V3, 3e 0a&e Vp x%p,3) b V3 and p x%Vp,V3) b 3. `0e 3eaZ axiom no3 implies t0at x%p,3) 8 x%Vp,V3).
2.6.4< *onsider a setting 30ere : 8 B and a consumer 30ose consumption set is ;j. Luppose t0at 0is demand function x%p,3) is
. %a) L0o3 t0at x%p,3) is 0omogeneous of degree #ero in %p,3) and satisfies Calras la3. %') L0o3 t0at x%p,3) &iolates t0e 3eaZ axiom. %c) L0o3 t0at # %p,3) 8 Q for all ∈ ;j. Lolution5
M;*k*I1L -1 *A!k`O:1 J J.*.F -eri&e t0e profit function % p) and suppl[ function %or correspondence) [%p) for t0e single@ output tec0nologies 30ose production functions f %#) are gi&en '[
. Lolution5
J.*.4Q -eri&e t0e cost function c%3,") and conditional factor demand functions %or correspondences) #%3,") for eac0 of t0e follo3ing single@output constant return tec0nologies 3it0 production functions gi&en '[
Lolution5
J.*.44 L0o3 t0at
if and onl[ if marginal cost at q is increasing in 3 l .
Lolution5
M;*k*I1L -1 *A!k`O:1 < <..4 %In text) L0o3 t0at I6 t0e preferences V ∈ %Q,4) and :, : ∈ 3e 0a&e
o&er
satisf[ t0e independence axiom, t0en for all
and : : if and onl[ if V: X %4 – V): V: X %4 – V):. L0o3 also t0at if :
: and :
:, t0en V: X %4 – V):
V: X %4 – V):.
Lolution5 Lolution5 Luppose first t0at : :. A first application of t0e independence axiom %in t0e onl[@if direction in -efinition <..) [ields
If t0ese t3o compound lotteries 3ere indifferent, t0en a second application of t0e independence axiom %in t0e if direction) 3ould [ield : :, 30ic0 contradicts : :. Ce must t0us 0a&e
Luppose con&ersel[ t0at , t0en, '[ t0e independence axiom, : :. If t0ese t3o simple lotteries 3ere indifferent, t0en t0e independence axiom 3ould impl[
a contradiction. Ce must t0us 0a&e :
:.
Luppose next t0at : :, t0en : : and : t3ice %in t0e onl[ if direction), 3e o'tain
:. Tence '[ appl[ing t0e independence axiom
*on&ersel[, 3e can s0o3 t0at if
, t0en : :.
6or t0e last part of t0e exercise, suppose t0at : axiom and t0e first assertion of t0is exercise,
and
`0us, '[ t0e transiti&it[ of
%!roposition 4..4%i)), .
: and :
:, t0en, '[ t0e independence
<..2 %In text) L0o3 t0at if t0e preference relation on is represented '[ a utilit[ function O%) t0at 0as t0e expected utilit[ form, t0en satisfies t0e independence axiom. Lolution5 Assume t0at t0e preference relation
is represented '[ an &.N@E expected utilit[ function
for e&er[ : 8 %p 4, ..., p N) ∈ , : 8 %p 4, ..., p N) ∈ , and V ∈ %Q,4). `0en : ine"ualit[ is e"ui&alent to
. :et : 8 %p4, ..., p N) ∈
, : 8 %p4, ..., p N) ∈
: if and onl[ if
. `0is
. `0is latter ine"ualit[ 0olds if and onl[ if : if and onl[ if
. Tence : . `0us t0e independence axiom 0olds.
<..G *onsider t0e follo3ing t3o lotteries5
:et x: and x:, 'e t0e sure amounts of mone[ t0at an indi&idual finds indifferent to : and :. L0o3 t0at if 0is preferences are transiti&e and monotone, t0e indi&idual must prefer : to : if and onl[ if x: P x:. DNote5 In actual experiments, 0o3e&er, a preference re&ersal is often o'ser&ed in 30ic0 : is preferred to : 'ut x: x:. Lee ret0er and !lot %4FGF) for details. Lolution5
<.*.4 *onsider t0e insurance pro'lem studied in xample <.*.4. L0o3 t0at if insurance is not actuariall[ fair %so t0at q P ), t0en t0e indi&idual 3ill not insure completel[.
Lolution5
<.*.2 %a) L0o3 t0at if an indi&idual 0as a ernoulli utilit[ function u%) 3it0 t0e "uadratic form , t0en 0is utilit[ from a distri'ution is determined '[ t0e mean and &ariance of t0e distri'ution and, in fact, '[ t0ese moments alone. DNote5 `0e num'er $ s0ould 'e taZen to 'e negati&e in order to get t0e conca&it[ of u%). Lince u%) is t0en decreasing at , u%) is useful onl[ 30en t0e distri'ution cannot taZe &alues larger t0an . Lolution5
EERCÍCIOS
2/D/B Um consumidor ie de dois #er&odos deno$ados B e 2 e consome um +nico bem de consumo em cada #er&odo/ Sua ri"ue3a "uando nasce , @ ;/ Zua' , o seu 6$em#o de ida7 con1un$o or!amen$o a'rasianoK Lolução5 -eixe p2 ser o preço do 'em consumido no período 2, medido em unidades do 'em consumido no período 4. -eixe x 4, x 2 serem os ní&eis de consumo nos períodos 4 e 2, respecti&amente. ntão seu con/unto orçamento Calrasiano de tempo de &ida é igual a x ∈ ; X25 x4 X p2x2 b 3. %não de&eria ter o preço do 'em x4W não de&eria ser assim x
; X25 x4 p4 X p2x2 b 3 W ).
∈
2/D/2 Um consumidor consome um bem de consumo 4 e .oras de 'a3er ./ O #re!o do bem de consumo , # e o consumidor #ode $raba'.ar a uma $a4a de sa'9rio de s B/ Zua' , o con1un$o or!amen$o a'rasiano do consumidorK Lolução5 %x,0) ∈ ; X25 0 b 2, px X 0 b 2.
2/D/G Considere uma e4$ens%o do con1un$o or!amen$o a'rasiano #ara um con1un$o de consumo arbi$r9rio : #@ 4 : # Q 4 @/ Assuma 6#@7 ;/ 6a7 Se , o con1un$o re#resen$ado na Fi-ura 2/C/G #@ seria cone4oK 6b7 Mos$re "ue se , um con1un$o cone4o en$%o #@ , também/
Lolução5 %a) Não. Na &erdade, o con/unto orçamento consiste dos dois pontos, cada um dos "uais é a intersecção da lin0a de orçamento e um eixo. %') Le/a x ∈ p,3, x ∈ p,3, e ∈ DQ,4. scre&a x 8 x X %4 – )x. -esde "ue M é con&exo, x ∈ M. Além disso, p x 8 %p x) X %4 – )%p x) b 3 X %4 – )3 8 3. !ortanto x ∈ p,3.
2/D/ Mos$re "ue o con1un$o or!amen$o na Fi-ura 2/D/ , n%o cone4o/ (não entendi essa)
Lolução5 le resulta de um c$lculo direto "ue o ní&el de consumo E pode ser atingido por %H X %E – Hs)hsR) 0oras de tra'al0o. le decorre da definição "ue %2,Q) e %4< – %E – Hs)hsR, E) estão no con/unto orçamento. Eas sua com'inação con&exa destes dois &etores consumo com a ra#ão % racio)
não est$ no con/unto orçamento5 a "uantidade de la#er desta com'inação é igual a 4< %por isso o tra'al0o é de oito 0oras), mas o montante do 'em de consumo é
2/E/B 6No $e4$o7 Su#on.a L G e considere a )un!%o de demanda 46#@7 de)inida #or
/ Ser9 "ue es$a )un!%o de demanda sa$is)a3 a .omo-eneidade de -rau 3ero e a 'ei de a'ras "uando BK Zue $a' "uando 6;B7K Lolução5 A 0omogeneidade pode ser &erificada da seguinte forma5
. !ara &er se a função de demanda satisfa# a lei de Calras, note "ue . !or isso, p x%p,3) 8 3 se e somente se q 8 4. !ortanto, a função de demanda satisfa# a lei de Calras se e somente se q 8 4.
2/E/2 6No $e4$o7 Mos$re "ue as e"ua!(es 62/E/7 e 62/E/V7 condu3em [s se-uin$es duas )8rmu'as de e'as$icidade:
e
onde , a )a$ia 6 percentagem7 do or!amen$o da des#esa do consumidor sobre o bem l dado o #re!o p e a ri"ue3a w/
Lolução5 Eultiplicar por pZ h3 am'os os lados de %2..), então nós o'temos . !or isso %conse">entemente)
.
!or %2..<), !or isso
. .
2/E/V Weri)i"ue "ue as conc'us(es das #ro#osi!(es 2/E/B #ara 2/E/G se se-uram 6 sustentam7 #ara a )un!%o de demanda de$erminada no E4erc&cio 2/E/B "uando B/ Lolução5 Uuando V 8 4, a lei de Calras e a 0omogeneidade permanecem %mantm). Assim, as conclus+es das proposiç+es 2..4 a 2..B sustentam%se.
2/E/X Um consumidor em uma economia de dois bens $em uma )un!%o de demanda 46#@7 "ue sa$is)a3 a 'ei de a'ras/ Sua )un!%o de demanda #ara o #rimeiro bem , 4B6#@7 Y@#B/ Derie sua )un!%o de demanda #ara o se-undo bem/ \ a sua )un!%o de demanda .omo-=nea de -rau 3eroK Lolução5 !or CalrasR lei, ssa função de demanda é, portanto, 0omognea de grau #ero.
.
2/F/BB Mos$re "ue #ara L 2 S6#@7 , sem#re sim,$rico/ ]Dica: Use a #ro#osi!%o 2/F/G/^ Lolução5 !ela proposição 2.6.B, L%p,3) 8 Q e, conse"uentemente, s 42%p,3) 8 % – p 4hp2)s44%p,3). `am'ém p L%p,3) 8 Q e, conse"uentemente, s 24%p,3) 8 % – p 4hp2)s44%p,3). %Nós &imos isso na resposta para o xercício 2.6.F tão 'em.) Assim s 42%p,3) 8 s24%p,3).
2/F/B2 Mos$re "ue se a )un!%o de demanda a'rasiana 46#@7 , -erada #or uma re'a!%o de #re)er=ncia raciona' en$%o e'a dee sa$is)a3er o a4ioma )raco/ Lolução5 Ao aplicar a !roposição 4.-.4 para a estrutura de escol0a Calrasiana, nós sa'emos "ue x%p,3) satisfa# o axioma fraco no sentido da -efinição 4.*.4. !elo exercício 2.6.4, isto implica "ue x%p,3) satisfa# o axioma fraco no sentido da -efinição 2.6.4.
2/F/B Mos$re "ue se 46#@7 , uma )un!%o de demanda a'rasiana "ue sa$is)a3 o a4ioma )raco en$%o 46#@7 dee ser .omo-=nea de -rau 3ero/ Lolução5 -eixe "ue p PP Q, 3 Q, e V P Q. -esde "ue p x%p,3) b 3 e %Vp) x%Vp,V3) b V3, nós temos Vp x%p,3) b V3 e p x%Vp,V3) b 3. 1 axioma fraco agora implica "ue x%p,3) 8 x%Vp,V3).
2/F/BV Considere um cen9rio onde L G e um consumidor cu1o con1un$o de consumo , de R_/ Su#on.a "ue a sua )un!%o de demanda 46#@7 ,
/ 6a7 Mos$re "ue 46#@7 , .omo-=neo de -rau 3ero em 6#@7 e sa$is)a3 a 'ei de a'ras/ 6b7 Mos$re "ue 46#@7 io'a o a4ioma )raco/ 6c7 Mos$re "ue Q S 6#@7 v ; #ara $odo v R_/ Lolução5 %a) A 0omogeneidade pode ser &erificada da seguinte forma5
. Uuanto 7 lei de Calras, . %') !ermitam "ue e
e
, então
. !ortanto, . !or isso %conse"uentemente) o axioma fraco é &iolado.
%c) -enote por a su'matri# 2 x 2 da matri# \aco'iana da ltima lin0a e coluna, então
e
o'tida pela supressão
. -eixe
ser a su'matri# 2 x 2 de L%p,3) o'tida pela supressão da ltima lin0a e coluna, então , pois para
"ual"uer
. Note "ue .
Agora
deixe
.
Note
"ue
e a terceira coordenada de é igual a #ero. Assim denote essas duas primeiras coordenadas por . ntão pela !roposição 2.6.B, .
`/C/ Derie a )un!%o 'ucro 6 p7 e a )un!%o o)er$a 6ou corres#ond=ncia7 6#7 #ara a nica sa!da tecnologias cu1as )un!(es de #rodu!%o f 637 s%o dadas #or
/ Lolução5 !ara encontrar %) e [%) para %a), a condição de primeira ordem %J.*.2) não é muito til, por"ue uma das ligas % &nculos) de restrição não@negati&idade. Além disso, para encontrar %) e [%) para %'), ele nem mesmo é aplic$&el, por"ue f %) não é diferenci$&el. m am'os os casos, porém, de&ido 7 nature#a das funç+es de produção, é 'astante f$cil de resol&er os seus *E! %"ue é semel0ante ao o'ser&ado no xercício J.*.4Q.), e as funç+es de custo c%) re&elam@se ser diferenci$&eis em relação aos ní&eis de produção q. Nós podemos, assim, aplicar a condição de primeira ordem %J.*.<) %"ue re"uer apenas a diferencia'ilidade da função custo com relação aos ní&eis de produto) para encontrar os ní&eis de produção "ue maximi#am o lucro, e portanto as funç+es lucro e as correspondncias de oferta. -urante toda a resposta, o preço de oferta %saída) é fixo para ser igual a um. %a)
.
%')
.
%c) Note primeiro "ue esta função de produção exi'e retornos constantes de escala. Além disso, se 4, então a restrição % limitaç"o' coaç"o' press"o' força' constrangimento) não@negati&a não &incula. Le 8 4, então esta função de produção d$ origem ao mesmas iso"uantas como "ue da %a), e portanto, uma das ligas de restriç+es não@negati&as.Isto é f$cil de aplicar %J.*.<). Le 4, então
. Le 8 4, então
.
`/C/B; Derie a )un!%o cus$o c6@"7 e fator condicional funç"es de demanda 6ou corres#ond=ncias7 36@"7 #ara cada uma das se-uin$es $ecno'o-ias de re$orno cons$an$e de nica sa!da com )un!(es de #rodu!%o dadas #or
Lolução5
`/C/BB Mos$re "ue se e somen$e se o cus$o mar-ina' em q , crescen$e em @ l / Lolução5 Assuma "ue c%)é duas &e#es continuamente diferenci$&el. !ela !roposição J.*.2%&i), #%) é continuamente diferenci$&el e
!or isso, crescente em 3 l .
se e somente se
V//B 6No $e4$o7 Mos$re "ue se as #re)er=ncias en$%o #ara $odo Y L
. , isto é, o custo marginal é
6;B7 e L L
L5 se e somen$e se YL 6B 0 Y7L?
sobre
sa$is)a3em o a4ioma inde#enden$e
n8s $emos YL5 6B 0 Y7L?
e L L5 se e somen$e se YL 6B 0 Y7L? YL5 6B 0 Y7L?/ Mos$re $amb,m "ue se L Lolução5
L5 e L?
L5? en$%o YL 6B 0 Y7L?
YL5 6B 0 Y7L5?/
Lupon0a primeiro "ue :
:. A primeira aplicação do axioma independente %na direção do
=somente se= na -efinição <..) dar%se por
Le estas duas loterias compostas forem indiferentes, então uma segunda aplicação do axioma independente %na direção do =se=) daria :
:, o "ue contradi# :
:. Nós de&emos deste modo
ter
Lupon0a in&ersamente "ue axioma independente, :
, então, pelo :. Le estas duas loterias simples forem indiferentes, então o axioma
independente implicaria
uma contradição. Nós de&emos deste modo ter : Lupon0a em seguida "ue : :, então :
:.
: e :
:. Assim aplicando o axioma independente
duas &e#es %na direção do =somente se=), nós o'temos
In&ersamente, nós podemos mostrar "ue se
, então :
:. !ara a ltima parte do exercício, supon0a "ue :
: e :
:, então pelo axioma independente
e a primeira afirmação deste exercício, e !ortanto, pela transiti&idade de
%!roposition 4..4%i)), .
V//2 6No $e4$o7 Mos$re "ue se a re'a!%o de #re)er=ncia em , re#resen$ada #or uma )un!%o de u$i'idade U6Q7 "ue $em a )orma da u$i'idade es#erada en$%o sa$is)a3 o a4ioma inde#enden$e/ Lolução5 Assuma "ue a relação de preferncia é representada por uma função de utilidade esperada &.N@E para "ual"uer : 8 %p 4, ..., p N) ∈ . -eixe : 8 %p4, ..., p N) ∈ , : 8 %p4, ..., p N) ∈
, : 8 %p 4, ..., p N) ∈ , e V ∈ %Q,4). ntão : desigualdade é e"ui&alente a
: se e somente se
. sta .
sta ltima desigualdade detém %permanece) se e somente se !or isso : : se e somente se detém % permanece' sustenta).
. . Assim o axioma independente
V//X Considere as se-uin$es duas 'o$erias:
Dei4e 4L e 4L serem as "uan$ias cer$as de din.eiro "ue um indi&duo encon$rase indi)eren$e a L e L/ Mos$re "ue se as suas #re)er=ncias s%o $ransi$ias e mon8$onas o indi&duo dee #re)erir L a L se e somen$e se 4 L 4L/ ]No$a: Em e4#erimen$os a$uais 6reais7 no en$an$o uma iners%o de #re)er=ncia , )re"uen$emen$e obserada em "ue L , a #re)erida L mas 4 L 4L/ Wer fre$.er e P'o$ 6BX7 #ara mais de$a'.es/^ Lolução5 Oma &e# "ue o indi&íduo prefere : a :R e é indiferente entre : e x : e entre :R e x :R pela !roposição 4..4%iii), ele prefere x : a x:R. !ela monotonicidade, isto é e"ui&alente 7 x : P x:R.
JV/C/B Considere o #rob'ema de se-uros es$udado no E4em#'o V/C/B/ Mos$re "ue se o se-uro n%o , atuarialmente #usto 6de modo "ue " 7 en$%o o indi&duo n%o ai se-urar com#'e$amen$e/ Lolução5
V/C/2 6a7 Mos$re "ue se um indi&duo $em uma )un!%o de u$i'idade de ernou''i u6Q7 com a )orma "uadr9$ica
