Cap 2-MAS-MEJORADO-1-SA0111142038

Cuaderno de Actividades: FII

2) Movimiento Armónico Simple

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo

180


2) Mo Movvimi imien ento to Armó Armóni nico co Aquel movimiento que es posible posible describir con función función armónica. sen

cos

Movimiento ← Armónico: sen, cos Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.

Teor orem emaa de Fo Four urie ier r : Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.

•

Toda onda compleja periódica se puede representar como la suma de ondas simples.

•

Lo anterior es equivalente a decir que podemos construir una onda compleja periódica mediante la suma sucesiva de ondas simples. Esto es lo que se conoce como el Teorema de Fourier.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S. (M.A.S.): ): El Movimiento Armónico Simple es un movimiento oscilatorio o de vaivén en torno de una posición central o de equilibrio.

Es un movimiento rectilíneo pues su trayectoria es un segmento de recta. También También es un movimiento periódico, de período “ T ”. ”. Este tiempo es el que tarda el móvil en acer una oscilación completa. !a frecuenc es el n"mero de oscilaciones completas en la unidad de frecuencia ia “ f ” es tiempo. Es la recíproca del período y viceversa, tal cual vimos al de#inir los par$metros


181


2) Mo Movvimi imien ento to Armó Armóni nico co Aquel movimiento que es posible posible describir con función función armónica. sen

cos

Movimiento ← Armónico: sen, cos Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.

Teor orem emaa de Fo Four urie ier r : Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.

•

Toda onda compleja periódica se puede representar como la suma de ondas simples.

•

Lo anterior es equivalente a decir que podemos construir una onda compleja periódica mediante la suma sucesiva de ondas simples. Esto es lo que se conoce como el Teorema de Fourier.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S. (M.A.S.): ): El Movimiento Armónico Simple es un movimiento oscilatorio o de vaivén en torno de una posición central o de equilibrio.

Es un movimiento rectilíneo pues su trayectoria es un segmento de recta. También También es un movimiento periódico, de período “ T ”. ”. Este tiempo es el que tarda el móvil en acer una oscilación completa. !a frecuenc es el n"mero de oscilaciones completas en la unidad de frecuencia ia “ f ” es tiempo. Es la recíproca del período y viceversa, tal cual vimos al de#inir los par$metros


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del movimiento circular uni#orme. %e miden en las mismas unidades mencionadas en ese momento.

ELONGACIÓN “y”: !a posición del móvil se indica mediante la elongación “y” que es la distancia a que est$ el móvil del origen, el cual est$ ubicado en la posición central o de equilibrio. &or ello, las elongaciones pueden ser positivas, negativas o cero. !a elongación ser$, por tanto, una #unción #unción del tiempo. !a posición de equilibrio no implica un equilibrio est$tico o reposo sino un equilibrio din$mico 'equilibrio porque la #uer(a resultante es cero). *omo veremos luego, el móvil pasa con su m$+ima velocidad por esta posición de equilibrio.

AMPLITUD : “A” En la m$+ima elongación o apartamiento de la posición de equilibrio a que llega el móvil.

El M.A.S. como proycc!"# $l M.C.U. %o&r '#  coor$#$o : El ovimiento -rmónico %imple puede entenderse como la proyección sobre un ee coordenado 'en este caso el ee /y”) de un ovimiento *ircular ni#orme. %uponemos que un móvil se despla(a con ovimiento *ircular ni#orme de período /T”, #recuencia #r ecuencia /#”, velocidad angular / ω”, y velocidad tangencial /”. Tiene adem$s aceleración centrípeta /a *”. Todas estas magnitudes son constantes en el .*.. %i proyectamos en cada instante el móvil en .*.. sobre el ee /y” obtenemos otro móvil que se mueve con ovimiento -rmónico -rmónico %imple. 2e manera que proyectando la posición lineal /%” sobre el ee /y” llegamos a la elongación /y”. &royectando la velocidad tangencial del .*.. sobre el mismo ee se


183


obtiene la velocidad del .-.%. y aciendo lo propio con la aceleración centrípeta se llega a la aceleración del .-.%. *on ello se obtienen las tres ecuaciones orarias del .-.%. En la siguiente aplicación interactiva puede observarse este proceso.


184


Estas tres funciones son las ecuaciones horarias del M.A.S.  como vemos son funciones sinusoidales del tiempo. A continuación continuación se !rafican las mismas.


185


!a elongación /y” varía seg"n la #unción seno del ángulo “θ ”, $ngulo que recibe el nombre de “fase del movimiento”. 2ico $ngulo de #ase aparece en grados se+agesimales para mayor simplicidad en el an$lisis, pudiendo también e+presarse en radianes. !os valores de /y” oscilan entre /6-” y /7-”. !a velocidad /'t)” varía seg"n la #unción coseno de / θ”, oscilando sus valores entre /6ω-” y /7ω-”. !a aceleración /a't)” varía seg"n la #unción /7seno”, que equivale a la #unción seno multiplicada por '71), y por lo tanto su gr$#ica corresponde a la de la #unción seno rebatida con respecto al ee /+”. %e dice que esta gr$#ica est$ en /contra#ase” con respecto a la #unción seno 'en este caso a la /y't)”). %us valores oscilan entre / ω3.-” y /7ω3.-”. Resumiendo :

1 ) Cuando la elongación es m!ima 'positiva o negativa), la velocidad se "ace cero y el móvil est$ a punto de cambiar el sentido del movimiento. En esos instantes la aceleración es m$+ima y de signo contrario a la elongación. 3 ) Cuando el móvil pasa por la posición de equilibrio la elongación es cero# la velocidad es m!ima positiva o negativa y la aceleración también es cero. 4) %e observa que la elongación “$” est en contrafase con la aceleración “a” * lo que indica que la aceleración es recuperadora. %iempre trata de volver a la posición de equilibrio al cuerpo. %i la elongación es positiva 'θ entre 0 y 180) la aceleración es negativa y si la elongación es negativa 'θentre 180 y 490), la aceleración es positiva.

!a velocidad angular “ ” del ovimiento *ircular ni#orme, que también est$ presente en las #órmulas del ovimiento -rmónico %imple * se llama “pulsación” para este "ltimo movimiento.


18:


;tra #orma que puede usarse para deducir las #órmulas del .-.%. es proyectar el .*.. sobre el ee /+” 'en lugar del ee /y” como emos eco). %i se iciera esto llegaríamos a las siguientes #órmulas, que también son v$lidas, sólo que aora se est$ tomando el instante inicial en la m$+ima elongación positiva.

2.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS. • • • •

Es un movimiento periódico. "roducido por la acción de una fuer#a recuperadora que es directamente proporcional a la posición. $uerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada,  en intervalos i!uales de tiempo. %enominamos movimientos armónicos simples &MAS' a aquellos en los que la part(cula se mueve en l(nea recta en torno a un punto de equilibrio  que pueden e)presarse mediante una función armónica &seno o coseno' de una *nica variable.

ovimientos eriodicos

Atleta late 60 veces en 20 s

i) Descripción Cinemática del MAS En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la e+presión de la velocidad. !a posición del móvil que describe un .-.%. en #unción del tiempo viene dada por la ecuación Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo

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Cuaderno de Actividades: FII x=A sen'w t+ )

Crc+r,%+!c%< !a velocidad de la partícula es mayor mientras m$s leos se encuentra de los puntos de retorno, siendo m$+ima cuando cru(a por el punto de equilibrio y mínima 'cero) en los puntos de retorno. !a aceleración de las partículas es mayor mientras m$s leos se encuentra del punto de equilibrio, siendo m$+ima en los puntos de retorno y mínima 'cero) en el punto de equilibrio. %osición# velocidad $ aceleración

Po%!c!"# !a constante A que aparece en la e+presión anterior se denomina amplitud del movimiento, y es el m$+imo despla(amiento de la masa con respecto a su posición de equilibrio x = !. %us unidades en el %= son los metros 'm).

El tiempo que tarda la masa en e#ectuar una oscilación completa se denomina periodo 'T), y est$ relacionado con la #recuencia angular mediante la e+presión<


18>


Velocidad y Aceleración


188


r , v , a

< τ

+a ecuación del movimiento armónico simple es del tipo: )&t '  A sen&-⋅ t  ϕ' o ) &t '  A⋅cos&-⋅ t  ϕ' siendo A la amplitud, - una constante positiva denominada pulsación o frecuencia an!ular  ϕ una constante denominada fase inicial. +a unidad de pulsación S/ es el radi0n por se!undo,  la de fase inicial el radi0n. El ar!umento de la función seno o coseno empleada en la ecuación del movimiento, -⋅ t  ϕ, se denomina fase. Su unidad S/ es el radi0n. El movimiento armónico simple es periódico. El per(odo viene dado por:

 la frecuencia por:

+a ecuación de la velocidad se obtiene derivando la ecuación del movimiento respecto del tiempo. Si empleamos la función seno en la ecuación del movimiento se obtiene:


18?


El -% se considera como el movimiento obtenido al proyectar un movimiento circular uni#orme sobre uno de sus di$metros. En la siguiente #igura, el punto & se mueve a velocidad angular constante, pasando al cabo de tiempos iguales por posiciones & 1, &3, &4, ... -l proyectar estas posiciones sobre el di$metro ori(ontal, se obtienen los puntos @ 1, @3, @4, ..., que determinan las posiciones de la proyección del punto, al despla(arse ésta sobre el di$metro. Este punto proyección se mueve recorriendo espacios di#erentes @ 1, @3, @4, ..., en tiempos iguales, aumentando o disminuyendo en #orma especial. &5

&:

&4 &3 &1

@: @5 @4 @3 @1

ωD cte &

!as magnitudes que intervienen en el -%, son<

OSCILACIÓN.- *amino recorrido entre dos pasos sucesivos por un mismo punto y en el mismo sentido. En la #igura< partiendo del punto , sería ;-;A. PERIODO.-Tiempo invertido por el punto &, en dar una oscilación completa. RECUENCIA.- B"mero de oscilaciones completas reali(adas en le unidad de tiempo. ELONGACION DE UN PUNTO.- 2istancia desde el punto a la posición inicial. En la #igura, la elongación del punto , suponiendo que el movimiento parte de ;, es ;. AMPLITUD.- $+ima elongación del punto. En la #igura corresponde al radio. !a velocidad angular ω, del punto cuya proyección origina el movimiento armónico, recibe el nombre de &!%-*=CB.


1?0


RELACIONES ENTRE PULSACIÓN* PERIODO / RECUENCIA ) Rlc!"# #+r pr!o$o (T) y l p'l%c!"# ( ) %i el punto & tarda T en recorrer 3π  tarda /t” en recorrer ωt %eg"n esto tendremos<

ω =

3π T

&) Rlc!"# #+r l pr!o$o T y l 0rc'#c! “0” %i el punto &, tarda T segundos en dar una vuelta, tarda 1 segundo en dar /#” vueltas. &or tanto< T D

1 f

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE &3 -

;

β1

ω

A

β3 t + φ

+ D - sen β1.

&

ω D cte

@ &1

+ D - sen [ 180 − 'ωt + φ )] + D - sen ' ωt 6 φ)

'1)

+ D - cos ' ωt 6φ )

'3)

Fue determina el mismo tipo de movimiento, aunque des#asado ?0 0 con la e+presión '1).

Vloc!$$ y clrc!"# $l MAS -l derivar la ecuación '1) se obtiene< v D - ω cos 'ω t 6 φ ) '4) 2erivando '4), se obtiene<


1?1


a D 7- ω3 sen ' ωt 6 φ )

'5)

sen3- 6 cos3- D 1 v D -ω cos'ωt 6φ) v3 D -3 ω3 cos3 ' ωt 6 φ )

'a)

-dem$s tenemos< En la e+presión '1) sen 'ωt 6φ) D %en 'ωt 6 φ ) D 3

x 3 A3

x A

'b)

*os3 'ωt 6φ) D 1 G sen3 'ωt 6φ) 'c) Heempla(ando 'b) y 'c), en 'a)<

 x 3 1 − A3  v3 D -3ω3  v D± ω A3 − x 3

 A3 − x 3  3  3 3 3  A  v D - ω ':)

- D 7-ω3 sen'ωt 6φ )I + D - sen' ωt 6φ ) a D 7ω3+

'9)

* 1* 2* 3 '+!l!4#$o l 0rc'#c! “0”: En la #igura anterior tenemos<

ω D

β 1

β1 D ωt

t

'd)

&ara una vuelta<

ω D

β 1 t

=

3π T

= 3π f En 'd)< β1 D 3π # t


1?3


β1 D ωt 6φ

*omo también<

!as e+presiones '1), '3), '4), '5), ':), y '9)< '1) + D - sen '3π # t 6 φ) '3) + D - cos'3 π # t 6φ) '4) v D 3π #- cos'3π # t 6φ) '5) a D 7 5 π3# 3 sen'3π # t 6 φ) ':) v D ± 3π #

A3

− x3

'9) a D 75 π3 # 3 + a D 7ω3+

'9)

!as #órmulas de la #uer(a recuperadora 'JH D 7K+ D ma)I la constante el$stica /K”, la #recuencia /#” y el periodo /T”I se pueden escribir así< J D m.a JH D 7K+ D m'75π3 # 3+) &or consiguiente< K D 5 π3# 3m # D

1 " 3π m

T D 3π

m "

A partir de estas dos ecuaciones, se tiene que:


1?4


Fenomenologa del MAS

µD0

"E

 )≡8A

1

)≡A

)

Movimiento oscilatorio  periódico en torno a la "E &) confinada para 2A ≤ ) ≤ A,

≡1', la oscilación esta

3$ómo deber(a ser ) &t' ≡4

→

x ( t )

≡ A sen { wt + δ }

%onde, 5: 6recuencia de oscilación natural del sistema. 5  5{7,m}


1?5


A, δ: %ependen de las condiciones iniciales del sistema. c.i.:{) &1'

∧ v &1'}

"ara la velocidad,

→

v( t)

a ( t)

dx dt

≡ Aω cos { ωt + δ }

≡ Aw cos { wt + δ }

"ara la aceleración,

→

v≡

a=

dv dt

≡ − Aw 3sen { wt + δ }

≡ − Aw3 sen { wt + δ }

Estas ecuaciones tambi9n se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme &M$U'. +a proección del M$U en el eje de las  s o en el de las ) s, estar(a reportando un comportamiento cinem0tico id9ntico al MAS.

ii) Descripción Dinámica del MAS Aplicando la se!unda le de e5ton obtenemos la e)presión de la fuer#a necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuer#a es proporcional al despla#amiento x  de sentido contrario a 9ste.

$omo la fuer#a F es conservativa. El trabajo de dicha fuer#a es i!ual a la diferencia entre el valor inicial  el final de la ener!(a potencial E p.

+a e)presión de la ener!(a potencial es


1?:


%onde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la ener!(a potencial E p=1 cuando el móvil est0 en el ori!en, y=1, por lo que c 1 +a ener!(a total E , es la suma de la ener!(a cin9tica E c  de la ener!(a potencial E p que es constante.

+a fuer#a que caracteri#a al MAS es una ;ES

6&)'

• 8A

1

)

) A

Si se anali#a cualquier sistema  la fuer#a que lo !obierna es de esta forma → MAS. 6  6;  6s → 6;es  6; → >da le, 6; ≡ ma a ≡

√ →

v≡√

→ ) ≡ √

6; ≡ 6  87 ) ≡ m x m x 7) ≡ 1

 

x

" x ≡ 1 m

&  5>) ≡ 1, x

→ x ( t )

" m

= w3

≡ A sen { wt + δ } ¬ w=


" m

1?9


?: frecuencia an!ular → T ' periodo) =

3π w

1

→ ν ' frecuencia lineal ) = → ω = 3πν T

A,δ: c.i. @: "osición → Elon!ación A: Amplitud

δ: %esfasaje

2.2) Casos especiales de MAS i)

Sistema m!"


1?>


"E m

µ 1

7

' '

"E

>'

7 d

m "EB


1?8


"E "EB 7

o m

oB

d

α

C'

Siempre el MAS se observar0 de la "E &caso '  de las "EB &>,C' con 5 >  7Dm. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de = s en "E ∧ "EB, donde la cone)ión ser0 d, la cual se obtiene del equilibrio de m. +as Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en "EB &>,C'.

ii)

Sistema l#g =

= ! t

θ

!

l 5t "E

θ w

n

"E

θ: describe la posición


1??


5t ≡ 5 senθ

→ 6;es ≡ 5t ≡ 8m! senθ θ: pequeo→ senθ ∼θ → 6 ≡ 8m!θ,

6;es ≡ 8 c)

6;,t ≡ mat

− mg θ = g

m l θ&

&+ θ ≡ 0 θ& l

¬

3

w

=

→ θ&t' ≡ θm sen{5t  δ}

g l

θm ≡ Aθ,

F

w≡

 K   m . δ : desfasaje  

g l

Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ,

→ s ( t )

≡ sm sen{ wt + δ } F s ≡ A = l θ , w ≡ m

s

m

g l

iii) $%ndulo Fsico Es un $; pendular,


300


C& 1 1

r $

θ

"E "E

w

w produce un restaurador que debe llevar al $; a la "E,

τ ≡ 8 r 5 senθ, 5 ≡ m! θ: pequeo → τ  8 r 5 θ ← Senθ ∼ θ ⇒ −rwθ ≡ $ θ &← =: punto fijo, rd &distancia $M8=',

&+  ⇒ θ& 

dmg 

 θ = 0  $ 

,

w3

=

dmg $

→θ (t) ≡ θm sen {5t  δ} w≡

dmg $

→T =

3π w

→ T = 3π


$

dmg

301


iv) $%ndulo de Torsión

A

1

1

θ

"

" "E

"E

%ebido a la torsión en la varilla vertical &se!*n el eje del disco' se producir0 un torque restaurador proporcional a θ ¶ pequeos θs' de tal forma que:

τrestaurador ≡ τ ≡ 8 7θ ↑ 7: constante de torsión &de la varilla' Analo!(a: 7 ≡ 7 &resorte' {6;es  8 7)}

τ

≡ τ He s ≡ −" θ


303


τ ext ,He s

= τ ≡ $ α ← =: punto fijo.

τ ≡ τ He s ≡ −"θ ≡ $ θ " → θ&&+ θ ≡ 0 F $ ≡ $ξ disco = var illa , 0 < punto fio $

→θ&t' ≡ θm sen{5t  δ}

←w =

" $

, T = 3π

$ "

2.') (nerga en el MAS

i) (nerga Cin%tica, (" m < %" =

1 3 mv 3

Si )&t' ≡ A sen {5t  δ} v&t' ≡ x &t' ≡ A5 cos{5t  δ}

%"

=

1 3

mA3 w3 cos 3 { wt + δ }

ii' (nerga $otencial (lástica), (p,el

≡

1

% p ,el ≡

1

% p ,el

3

3

"x3 F ) : posición ≡ deformación ,

3

"A sen

3

1 ≡ "E

{ wt + δ }


304


iii)

(nerga Mecánica, (M EM ≡ E7  Ep ≡ cte

∀ sistemas MAS,

% &

≡ 1 mA3 w3 cos3 { wt + δ } + 1 "A3 sen 3 { wt + δ } ←m5>  7

%m

≡

3

1 3

3

← En particular sistema m27

3

"A

*rá+icos: i) (" E7

1 3 "A 3

1

< t

1 3 "A 3

8A


E7

1

A

)

305


ii) (p Ep

1

) 1

-servaciones


30:

Cuaderno de Actividades: FII En los casos de sistemas m 2 7 donde se ten!a una contribución !ravitacional, la EM deber0 considerarse, EM ≡ E7  Ep,el Ep,! EM ≡ E7  Ep,el

← "E ← "EB

2./) scilaciones amortiguadas Se considerara medios de amorti!uación modelables mediante la velocidad, esto es, la fuer#a opositora al movimiento, &f', proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas f(sicos conocidos que involucran fluidos como aire, a!ua, aceites, etc.

f: fuer#a de fricción f ≡ a  bv  cv>  G

1 )

≡ f &v'


309


Ahora, para describir el sistema planteamos la >H le,

# '

≡ −{"x −

(v {

resorte

medio

→ x&&+

" m

x+

≡ mx

( m

x&≡ 0

← MAA

3 &+ w x ≡ 0} $omparaciones { x&

"

m 2 7 : w=

l 2 ! : w=

← MAS

m g l

"6 : w =

mgd

"< : w =

"

$

$

1) $aso de inter9s: 5b I 5r

x ( t )

≡ Ae

−

(

3m

t

cos { wt + φ }

Movimiento amorti!uado oscilatorio & MAA'

A ≡ A&1' ≡ amplitud inicial


30>


( w≡ −   m  3m "

3

: 6recuencia de oscilación

+a ecuación se interpreta como una parte oscilatoria  una modulación de la oscilación dada por el factor e)ponencial.

wr ≡

" m

→ 5

del resorte, w(

≡

(

3m

→ J5K

del medio.

@ A

e

−

1

(

3m

t

t

2) $aso cuando 5b ≡ 5r , Movimiento cr(ticamente amorti!uado,


308


)

t

') $uando 5b L 5r , se produce un Movimiento sobreamorti!uado, )

t

Un oscilador armónico simple amorti!uado tiene λ  1, 7!Ds, 7  1 Dm  m  1,C1 7!, a) 3Es un movimiento sobreamorti!uado o de amorti!uamiento d9bil4

S2$0)


30?


-) %eterminar el valor λ para el movimiento amorti!uado d9bil. c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t  1, tiene una amplitud de 1,N m.

SC34

λ  1,  7!Ds &b'

MAA

7  1 Dm m 1, C 7! =scilador armónico amorti!uado ?b I 51 ≡ 57 =scilador cr(ticamente amorti!uado ?b ≡ 51 =scilador sobreamorti!uado ?b L 51

→ x ( t ) = Ae a) → w( =

−

(

3m

t

 (  en donde = − ω cos ( ω t + φ )  ÷ m  3m "

3

(

3m

→ w( = wλ ≡ → w( = wλ ≡

( ≡ λ

3m ( ≡ λ

3m

=

0,11 3 × 0,41

=

0,11 " 180 = = 35,1 ∼ 0,18 F → w" = w0 = 3 × 0,41 m 0,41

→ 5b I 51 ≡ 57 :MAA

-) → w( = w0 →

→ ( ≡ λ ≡ 3

(

3m "m

≡

" m

I( ≡ L

≡ 3 180 × 0,41 ∼ 3 ::,8 ∼N

(

c) x ( t ) ≡ Ae− 3 m t cos { wt + φ } )&1'  1,N


310


x ( t )

≡ 0,: e

−

0,11 3×0,41

t

cos { :81 − 0,04 t }

@ A

e

−

1


(

3m

t

t

311


2.5) scilador armónico +or6ado 7 resonancia $omo es bien sabido, nin!*n sistema f(sico podr(a librarse de la acción de la fuer#a de fricción &factor de amorti!uamiento, b≡r', por lo tanto, para mantenerlo activo se requiere de la intervención de una fuer#a e)terna al sistema, esto es, se debe considerar la acción de una fuer#a e)terna impulsora, #ext 't ) ≡ # 't ) .

Supon!amos que la fuer#a e)terna est0 dada por, #ext 't ) ≡ #ext cos' wt )

Aplicando la >da +e de e5ton,

−(x&− "x + #ext cos' wt ) ≡ mx&, & &+ x

( m

x&+

" m

x+ ≡

# ext m

cos' wt )

+a solución estacionaria de esta ecuación diferencial es,

#ext

x't ) ≡ m

' w03 − w 3 )3 + '

(w m

cos' wt ) ≡ )3

# ext m

'w − w ) + '3w( w) 3 0

3 3

3

cos' wt ) ≡ A' w) cos' wt )

Este resultado muestra resonancia en la amplitud del movimiento para una frecuencia de la fuer#a e)terna w ≡ w0 , dependiendo tambi9n la forma de la curva de resonancia del par0metro de amorti!uamiento, b, tal como se aprecia ( en la fi!ura si!uiente & w f ≡ w , γ ≡ w( ≡ . 3m


313


http:DD555.outube.comD5atch4vj8#c#O@S)n5

89 Como se producira la resonancia por energa.


314


OSCILACIONES OR5ADAS %ea un oscilador armónico, por eemplo una masa unida a un resorte que oscila sobre una super#icie ori(ontal. 2espla(ada de su equilibrio est$ sueta, en este caso, a la acción de tres #uer(as. 1. Juer(a de restitución el$stica< #e = − )x 3. Juer(a de ro(amiento o amortiguación< #e = − r x #ext = + cos'*t ) 4.  una #uer(a periódica, llamada de e+citación, M * D#recuencia propia de la #uer(a e+terior y @Damplitud de la #uer(a 

&or lo tanto< m x



= − )x −

r x

+ +



cos( *t )

'1)

Heescribiendo<  = −* 03 x − 3 β x + , cos (*t ) x * 03

=

) m

3 β =

I

r m

I

,

=

'3)

+ m

%i se intenta una solución del tipo< x

= a cos (*t + α )

'4)

Hecordar que ser$ solución si satis#ace la ecuación 1, y lo ar$ bao ciertas condiciones de a y N que se obtendr$n al #inal con las condiciones iniciales y los par$metros del problema 'O, @. PI m y r). 2e '4) se obtiene< x

= −a*

x

= −a*





sin( *t + α ) 3

'5) y ':)

cos( *t + α )

=ntroduciendo '5) y ':) en '3) queda<

− a* 3 cos(*t + α ) = −* 03 a cos(*t + α ) + 3 β * sin (*t + α ) + , cos(*t ) Hecordando las relaciones trigonométricas<

cos'a + () sin' a + ()

cos'a ) cos'() − sin'a ) sin'()

= =

'9)

sin'a ) cos'() + cos'a ) sin'()

y utili($ndolas en '9), luego de reagrupar queda< 3

'cos'*t ) cos'α ) − sin'*t ) sin'α ))

3

a*

+

3β a* 'sin'*t ) cos'α ) + cos'*t ) son'α )) + , cos'*t )


= −* 0

a'cos'*t ) cos'α )

−

−

sin'*t ) sin'α )) +

315


&ara que la identidad se cumpla, los coe#icientes de cos' *t ) y sin'*t ) en ambos miembros deben ser iguales, por lo tanto<

− a* 3 cos'α ) = −a* 03 cos'α ) + 3 β a* sin'α ) + , a* 3 sin'α ) = a* 03 sin'α ) + 3 β a* cos'α ) Heagrupando< a '* 03 a '* 03

− * 3 ) cos'α ) − 3 β a* sin'α ) = , − * 3 ) sin'α ) + 3 β a* cos'α ) = 0

'>)

2e '>) se obtiene< Tan 'α )

=−

3 β * '* 03

'8)

− * 3 )

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones '>) y sum$ndolas queda<

a (* 0 3

3

− * 3 ) + 5β 3* 3 = , 3 3

,

a=

(* − * ) + 5β * 3 0

3 3

3

3

'?)

Hecordar< x


= a cos (*t + α )

'4)

31:


%i la posición inicial es

x0 =

0

x0 =

0



, el cuerpo unido al resorte oscilar$ con la #recuencia de

la #uer(a de e+citación e+terior y una #ase dada por '8), asta una amplitud estable dada por '?). Bota< !a amplitud /a” presenta un m$+imo cuando ODOres Hesulta #$cil obtener el valor m$+imo de /a”, obteniendo el mínimo de (* 03 − * 3 ) 3 + 5 β 3* 3 , resultando< * 3 res

= * 0 3 − β 3 ,

a res

=

-i

β = 0

* res

= * 0

3β * 03

− β 3

@:  8 :

C1

:

1  

  :

8C1 .11

"a!e 

C.>N

>N.N1 Rours

CQ.QN N1.11 1:>> a.m . S0b,  de Oul de >11P

Untitled


319


O%c!l$or 0or4$o &ara ilustrar este tipo de movimiento consideremos una masa m unida al e+tremo de un muelle el$stico de constante K, a un amortiguador de constante de amortiguamiento ρ, y sometido a una #uer(a armónica aplicada.


31>


R%o##c! !as amplitudes del despla(amiento y de la velocidad para la solución estacionaria del oscilador amortiguado dependen de las características #ísicas del oscilador y de la #recuencia de la #uer(a aplicada. En la #recuencia ω a la que la amplitud del despla(amiento se ace m$+ima se dice que se produce resonancia en amplitud. *uando es la amplitud de la velocidad la que se ace m$+ima se dice que se produce resonancia en energía. El #enómeno de resonancia se mani#iesta en la mayoría de los sistemas naturales. Es bien conocido que cuando una #ormación de soldados cru(a un puente, rompe el paso, para evitar que la #recuencia de la marca sea pró+ima a la #recuencia natural de la estructura. !a resonancia es observada con #recuencia en maquinaria rotatoria. n circuito receptor de radio o T sintoni(a en una #recuencia especí#ica austando la #recuencia natural del circuito receptor para que sea e+actamente igual a la #recuencia del transmisor.  sistemas atómicos o nucleares e+iben #enómenos de resonancia cuando son e+citados con lu( o partículas.


318



31?


S2$'0) Un bloque de > 7! se sujeta a un resorte de constante 7  >11 Dm. En t  1 el resorte se e)tiende 1,1N m  se suelta. Ralle:

a) -) c) d)

El despla#amiento en función del tiempo. +a velocidad cuando )  AD>. +a aceleración cuando )   AD>. 3$u0l es la fuer#a sobre el bloque cuando t  πDN s4

SC3:4 " = 300

"

m=3

m

w = 

=

300

= 10

3

 x ( 0 ) = +0,0: m c.i.   v ( 0 ) = 0 a) )&t'  A sen &5t  φ'→ )&1'  A sen &5&1'  φ'Asen&φ'1,1N v&t'  A5 cos &5t  φ'→ v&1'  A5 cos &5&1'  φ' A5 cos &φ' 1 %e la *ltima Ec φ  πD> la v &8' para t ∼ 1T → A1,1N

→ )&t'  1,1N sen &1t  πD>' → v&t'  1,N cos &1t  πD>' -serven la consistencia de tomar ; ); <2 satis+ace las ci 7 lo =ue ocurre en el pro-lema >cerca? de @, tanto para  como para v. 8Bue ocurre si tomamos ; ); ' <29 -) ;ecordando la relación v8)

 x

3

v

3

+  A÷  Aw÷ = 1     3

3

 0,: A + v = 1  A ÷  Aw÷     3

v 4 →   = →v=± ÷  0, : 5

4 5

→v=−

4 5

{ m → x−}

c) ;ecordando la relación a8)


330


a = −w3 x

 0,0: → a = −3,: m → x − { } ÷  3 

a = −103 

d) 6; 6;ES ≡ 87) 87 A sen &5t  φ' 8&>11'&1,1N' sen &1t  πD>'4 t =

π 1:

← T =

3π w

=

3π w

π

= → 6 &' veamos :

6; &tπDN'  81 sen &1πDNT  πD>' ∼ &81' &81, N'  N

S2$02) Una part(cula que cuel!a de un resorte oscila con una frecuencia an!ular de >,11 radDs. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador  cuel!a sin moverse &respecto de la caja del elevador' conforme la caja desciende a una velocidad constante de ,N1 mDs. +a caja se detiene repentinamente, a) 3$on que amplitud oscila la part(cula4, -) 3$ual es la ecuación de movimiento para la part(cula4 &Elija la dirección hacia arriba como positiva'.

SC3:4

t 1

@

! 7

v&1' m v&1'

)&1'1

v&1'

os proporcionan directamente la w ≡ 3 , las condiciones iniciales son, t

≡ 0 < x'0) ≡ 0 ∧ v'0) ≡ −1,:


331

Cuaderno de Actividades: FII Asumiendo las ecuaciones del MAS para )&t'  v&t',

≡ A sen { wt + δ } v ( t ) ≡ Aw cos { wt + δ }

x ( t )

a) %e estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t1,

 v ( 0) A ≡ { x ( 0 ) } +   w  

3

3

3

 −1,: ≡ 0,>: ;eempla#ando datos, A ≡ { 0} +    3 3

A ≡ 0,>: b' +a ecuación para ). Anali#ando las ecuaciones para )&t'  v&t',

≡ 0, >: sen{ 3t + δ } v ( t ) ≡ 1, : cos { 3t + δ }

x ( t )

"ara t1  vecindades,

x ( 0 )

≡ 0,>: sen{ 3 ( 0) + δ } ≡ 0,>: sen{ δ }

v ( t )

≡ 1,: cos { 3 ( 0) + δ } ≡ 1,: cos { δ }

"ara satisfacer )&1'1, δ ≡ 0 , π , el valor correcto es δ ecuaciones quedan,

≡ π ,

con lo cual las

≡ 0,>: sen{ 3t + π } ≡ −0,>: sen{ 3t } v ( t ) ≡ 1,: cos { 3t + π } ≡ −1,: cos { 3t }

x ( t )


333


! 7

 @  1

m

8

S2$/) En el sistema mostrado en la fi!ura =bten!a la e)presión de la ener!(a mec0nica para todo instante de tiempo t. Si: @  A cos &5 1 t  φ' !: aceleración de la !ravedad

SC34

"E 1 d "EB 1B

)

)B

@, @B

En .%′ < mg

≡ "d

%esde 1: x ≡ d + x Q

# '

≡ mg − "x ≡ mg − " { d + x Q} ≡ mg − "d − "x ≡ 0 − "x Q ≡ −"x Q ≡ mx&&≡ mx&Q

→ x&&Q+

" m

xQ ≡ 0

Esta ecuación nos dice que desde 1B se observara MAS de frecuencia


334

Cuaderno de Actividades: FII "

. Ahora, debido a que la fuer#a resultante es # ' ≡ −"x Q , cuando se m escriba la EM desde 1B solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que, w≡

como la # ' ≡ −"x Q , es una fuer#a el0stica conservativa, solo tendr0 asociada una ener!(a potencial el0stica, por lo tanto,

% &

≡ %) + % pe

S2$'2) Una placa " hace un movimiento armónico simple hori#ontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia ν  ,N R#. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la fi!ura adjunta  el coeficiente de fricción est0tico entre el bloque  la placa es µs  1,V 3$u0l es la m0)ima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa4

µs W 7 "

SC3 : 4 a m 6res M 1


335


3 ( & + m ) < a142 & ≡ ω A ≡ 43

& < a &

≡

# ' &

≡

# '%-

( & + m )

→ #'%- ≡ ( & + m) ω 3 A

#'%- − µ - mg &

%$+ &M':

a f S,M ≡ µs m! 6;ES 6; ≡ 6;ES 8µs m!

%e las ecuaciones anteriores,

→ ω 3 A ≡

#'%- − µ - mg &

≡

"A − µ - mg &

← " = ω 3 ' & + m)

→ ω 3 A& ≡ ω 3 ( & + m ) A − µ s mg → µ s m g ≡ ω 3 m A → A ≡

µ s g 0, 9 x10 ≡ ω 3 ( 3π x1, :) 3

≡

9 ?π 3

S2$5)

7 ; M


33:

Cuaderno de Actividades: FII En la fi!ura mostrada halle la frecuencia an!ular 5 1 del MAS resultante, para pequeos despla#amientos ) del centro de masa, si el disco homo!9neo rueda sin desli#ar, considere, M≡ masa del disco, ; ≡ radio del disco  7 ≡ constante del resorte.

SC3:4

t M 7 1

6;

" 1

) pequeo )  s  ;θ

oB

→ MAS , 51  4

"B DD $M : τ  / α 4 3 &' 3

6 4 47 4 48

τ

1 4 = − ( "x ) ' =  &' 3 + &'3 θ&&= &' 3θ&&= −" [ 'θ ] ' 3 3 

" → θ&&+ 3 θ ≡ 0 ⇒

4 &

w0

" = 3

4 &


339


7

r

θ

S2$'') Un cilindro de peso ?  radio r est0 suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la fi!ura adjunta. Un e)tremo de la cuerda est0 unido directamente a un soporte r(!ido mientras que el otro e)tremo est0 unido a un resorte de constante de elasticidad 7. Si el cilindro se !ira un 0n!ulo θ  se suelta, determine la frecuencia natural del sistema.

SC34

" ) " 1

= <

) @

7)

=B

θ

5

&R &

) %e la dinamica rotacional, τ / < "xr − Tr ≡ − $ / α "or la JrodaduraK: x ≡ r θ


33>

Cuaderno de Actividades: FII mr 3 & θ & "r θ − Tr ≡ − ...1 ¬ * ≡ mg 3

3

%e la din0mica traslacional, # '

≡ −T − "x + * ≡ m ( & x& )

Usando nuevamente la rodadura, xr < −Tr − "r 3θ

%e   >,

→ µ ≡

+ *r ≡ mr 3θ &&...3

−3"rθ + * ≡

+aciendo, µ

−T − "rθ + * ≡ mrθ

4 & mrθ & ...4 3

≡ −3"rθ +* → µ&&≡ −3"r θ &&

& &  µ 4 5" 5"g & & m r ×  − w → µ + µ ≡ → ≡ 0 ÷ 3 4m 4*  3" r 

β ) 0′ { 0′ MM 0} τ 0Q < ( "x ) ( 3r ) − * ( r )

4 ≡ −  mr3 θ & 3 

1)

%e la rodadura: x ≡ r θ

2) 4 3

3 3 >' → ': 3"r θ − * r ≡ − mr θ

Sea µ

w≡

')

≡ 3"rθ − * → µ&&≡ 3"rθ&&→ µ ≡ − 4 m r × 3

& & µ

3" r

→ µ&&+ 5 µ ≡ 0 "

4m

5"g 4*


338


Erc!c!o% $ MAS 6.- n péndulo simple de 8 metros de longitud oscila con un período de 3 segundos. %i el período se duplica. S*u$l ser$ la longitud del pénduloL Tenemos la siguiente #órmula<

Heempla(ando g para allar la longitud cuando el período se duplica<

7.- n primer péndulo simple eecuta 30 oscilaciones en 5 segundos y un segundo péndulo simple 90 oscilaciones en : segundos. %i ambos péndulos se encuentran en el mismo lugar. S*u$l es la ra(ón de la longitud del segundo respecto a la longitud del primeroL %eg"n la tercera ley del movimiento pendular<

%abemos también que T 'período) es<

Entonces<


33?


8.- n cuerpo e+perimenta un -% con período 5 segundos. %i inicia su movimiento cuando el resorte esta alargado 30 cm. 2eterminar< a) -l cabo de que tiempo est$ a 10 cm y dirigido acia el origen. b) !a velocidad del cuerpo cuando a transcurrido un segundo después de aberlo soltado. !os datos que tenemos son<

a)

b)

9.- El período de oscilación de un péndulo es de 13 segundosI si la longitud se triplicara. S*u$l sería el nuevo período de oscilaciónL

-ora procedemos a multiplicar la longitud<

.- El período de oscilación de un péndulo es 13 segundosI si su longitud disminuye en un 10. 2eterminar su nuevo período.

-ora procedemos a disminuir el 10 de la longitud<


340


 #inalmente, desarrollamos el nuevo período<

9.7 SFué longitud debe tener un péndulo simple para que su #recuencia sea de 1:0 oscMminL 'gD )

>.7 n péndulo simple de 8 metros de longitud oscila con un periodo de 3 segundos. %i el periodo se duplica. S*u$l ser$ la longitud del pénduloL

!uego<

8.7 El periodo de oscilación de un péndulo simple es disminuye en un 10, determinar su nuevo periodo.


segundos. %i su longitud

341


10 de la !ongitud<

?.7 !a #recuencia de un péndulo simple es de 9 @ert(, luego es llevado a la !una, en donde la gravedad es la se+ta parte que la tierra. S*u$l es el valor de la #recuencia en la !una en @ert(L

Entonces<

10. S*u$l es la constante de #ase inicial

en la ecuación del movimiento

1 ; A . S# (<+ =>) L si las posiciones iniciales de la partícula son< a& ! ' ( b& ! ' )A c& ! ' *A d& ! ' A+,

!a #ase inicial se produce cuando t D0 por lo que nos queda que

<

a)

b) Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo

343


c)

d)

11. Una part(cula que reali#a un M.A.S. recorre una distancia total de >1 cm en cada vibración completa  su m0)ima aceleración es de N1 cmXs>.

a) 3$u0les son los valores de su amplitud , per(odo  velocidad m0)ima 4. b) 3En qu9 posiciones de la traectoria se consi!uen los valores m0)imos de la velocidad  de la aceleración4. a'

A

30 5

= :cm

A ; 0 cm

a  8ω>) +a aceleración es m0)ima cuando ) A ama)  8ω> A

⇒ 8N1  8Nω> ⇒ ω> 1 ⇒ ω 

10

3π 3 π = 1,?8s rad Xs⇒ <  ω = 10

T ; 1, s v  ω - 3 − + 3 +a velocidad es m0)ima cuando )  1 vma) ω A  10 .N  N, cmXs>

vma ; 10, cmEs2 -)

vma para  ; @ ama para  ; A ; 0 cm

12.

Una masa m oscila en el e)tremo de un resorte vertical con una frecuencia de  R#  una amplitud de N cm. $uando se aade otra masa de C11 ! ,la frecuencia de oscilación es de 1,N R#. %etermine: a' El valor de la masa m  de la constante recuperadora del resorte. b' El valor de la amplitud de oscilación en el se!undo caso si la ener!(a mec0nica del sistema es la misma en ambos casos. a'


344


1 K 3π m K # 13 = 3 ⇒ K = 5π 3 m# 13 5π m K # 33 = 3 ⇒ K = 5π 3 'm + 0,4)# 33 5π 'm + 0,4) # 1 =

5π 3 m# 13 = 5π 3 'm + 0,4)# 33 m13 = ' m + 0,4)0,: 3 ⇒ m = 0,3:m + 0,0>: ⇒ m − 0,3:m = 0,0>: ⇒ 0,>:m = 0,0>: ⇒ m = 0,1Kg = 100g m = 6B B K = 5π 3 m# 13 = 5π 3 0,1.13 = 4,?: m N @ = 8*? m

b' E m1

=

E m3

=

1 3 1 3

K- 13

Si

Em  Em>

K- 33

⇒

A  A>  N cm

A1 ; A2 ; 0 cm 1'. Una part(cula reali#a un M.A.S. con una amplitud de  cm  un per(odo de Y s. Sabiendo que en el instante inicial la part(cula se encuentra en la posición de elon!ación m0)ima a) %etermine la posición de la part(cula en función del tiempo b) 3 $u0les son los valores de la velocidad  de la aceleración N s despu9s de que la part(cula pase por el e)tremo de la traectoria 4.

π

a' En función del coseno )  Acos &ωt ϕ1'  .cos En función del seno

3

)  Asen &ωt ϕ1'  .sen &

Esco!emos en función del coseno  ;  cos

C 7

+

t

π 3

t

π 3

'

en unidades

c.g.s.) b' "ara t  Ns v ω A 

) .cos

π 3

π

3

:

1

8 = 5πcm U s

v ; !/ cmEs (n sentido acia la posición de e=uili-rio a  8ω>)  1 a ; @ 1/. Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable,  una masa en el e)tremo de valor Y1 !, tiene un per(odo de oscilación de > s. a' 3$u0l debe ser la masa de un se!undo oscilador, construido con un muelle id9ntico al primero, para que la frecuencia de oscilación se duplique4


345

Cap 2-MAS-MEJORADO-1-SA0111142038

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