Retirado dos arquivos: Apostila Raciocínio Lógico 1 (www.concurseirosdobrasil.net).pdf ; ma maté téri ria a an anot otad ada a em ca cade dern rno o da FG FGV; V; Raciocínio Lógico (www.concursosfederais).com (www.concursosfederais).com;;
.
Raciocínio Lógico
►PROPOSIÇÃO Proposição: trata-se de uma sentença, algo que será declarado por meio de palavras ou símbolos e cujo conteúdo poderá ser declarado verdadeiro ou falso. - Uma pro proposi osição ção verdadeira, uma proposição falsa é falsa. Prin Pr incí cípi pio o
da
Iden Id enti tida dade de
verd verda adei deira
é
Princípio da Não-Contradição - Nenhuma proposição poderá ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Uma proposição ou será verdadeira ou será falsa: não há outra possibilidade. Prin Pr incí cípi pio o
do Te Terc rcei eiro ro Ex Excl cluí uído do -
PROPOSIÇÃO SIMPLES Possui apenas um objeto de estudo. Ex. Luciana é brasileira.
. Somente para CESPE – contagem pelo predicado: Pedro e
Pulo são analista do SEBRAE.
PROPOSIÇÃO COMPOSTA Duas ou mais proposições ligadas por conectivos (operadores) e ( ); ou ( ); se ... então ( →); se somente se ( ↔). Ex. Luciana é brasileira e gaúcha. Dica: Para se reconhecer uma proposição lógica: 1° Frase declarativa 2° Sujeito e Predicado definidos 3° “Sentido completo”
Não representam proposições a) Frase exclamativa: Bom dia! b) Frase Interrogativa: Que horas são? c) Frase imperativa: Faça isso.
d) “Sentença aberta” – frase declarativa que resulta em uma pergunta, porque não possui termos definidos: x + 4 = 7 ; Ele é alto (o termo ele não é específico). e) Paradoxo – sem sentido completo, frase impessoal: Essa frase é falsa ; Essa proposição é falsa.
►SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA não e ou se ... então se e somente se tal que implica equivalente existe existe um e somente um qualquer que seja
→ ↔ ∣ ∃ ∃∣ ∀
►OPERADORES LÓGICOS •
Conjunção e ( )
p
q
e() V V V V F F F V F F F F p e q // p, mas q // Tanto p como p Uma conjunção só será verdadeira quando ambas as partes que a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção “ p q” corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos:
•
Disjunção ou ( )
p
q
ou ( )
ou ... ou ( - -v
V V F F
) F V V F
V V V F
V F V F
Proposição composta no conectivo “ ou ( )” sendo verdadeira não permite conclusão, pois temos três possibilidades de resultado. Uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas. E nos demais casos será verdadeira. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a disjunção “ p q” corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q. Teremos
OBS.
ou - inclusão
ou ... ou - exclusão
Disjunção exclusiva (ou ... ou) Determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser ao mesmo tempo verdadeiras; ambas nunca poderão ser ao mesmo tempo falsas. Ou p ou q vice-versa.
Se p for verdade, q necessariamente é falso, e
. CESPE – não faz distinção entre ou e ou ... ou. Ex. O céu é azul ou a mata é verde. Ou o céu é azul ou a mata é verde.
•
Condicional se ... então (→)
p
q
V V F F
V F V F
se ... então (→) V F V V
p é denominada de antecedente e q de conseqüente
Se p então q. Se 2 é impar, então Mário é Alto. = V
Se 2 é impar = V
, então Mário é Alto = V ou
F Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional “ p → q” corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q). Teremos:
Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica. Podemos reescrever essa sentença assim: Se Pedro for rico, então Maria é médica. Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico. Podemos reescrever essa sentença assim: Se Pedro for rico, então Maria é médica
Expressões equivalentes a Se p então q : Se A, B
B, se A.
Quando A, B.
A é condição suficiente para B. B é condição necessária para A. A somente se B
A implica B.
Todo A é B.
A proposição condicional “ Se chove, então faz frio” também pode ser dita das seguintes maneiras:
Se chove, faz frio. Faz frio, se chove. Quando chove, faz frio. Chover implica fazer frio. Chover é suficiente para fazer frio. Fazer frio é necessário para chover. Chove somente se faz frio. Toda vez que chove, faz frio. •
Bicondicional se somente se (↔)
p
q
V V F
V F V
se somente se (↔) V F V confirmar !!!
F
F
F
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional “ p ↔ q” corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q.
OBS. Uma proposição bicondicional “ p se e somente se q” equivale a proposição composta: “se p então q e se q então p”, ou seja:
p ↔ q é a mesma coisa que ( p → q) (q → p) São também equivalentes a bicondicional as seguintes expressões: A se e só se B. Se A então B e se B então A. A somente se B e B somente se A. A é suficiente para B e B é suficiente para A. B é necessário para A e A é necessário para B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocamente. ►TABELA VERDADE
Tabela e() verdade conjunç ão p q V V F F
V F V F
2n = x
V F F F
se ... disjunçã então (→) ou ( ) o
V V V F
Onde:
condiciona l
V F V V
se somente se (↔) bicondicion al
V F V F
n = número de proposições.
x= número de linhas ou quantidade de variações. q = 22 = 4
a)
p
b)
(p
c)
(p → q) ↔ (r → s) = 2 4 = 16
q) → p = 22 = 4
Tautologia: o valor lógico da proposição composta é sempre verdadeiro, independentemente dos valores das proposições que a compõem serem V ou F. •
Contradição: o valor lógico da proposição composta é sempre falso, independentemente dos valores das proposições serem V ou F. •
Contingência: o que não for uma tautologia ou uma contradição é uma contingência, o valor lógico da proposição composta depende dos valores lógicos das proposições que a compõem. •
►NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÃO SIMPLES ( ) ( ) p V F A: ∼
p ¬p F V ∼
/
2 é par
A: 2 não é par
Não é verdade que 2 é par É falso que 2 é par . Dupla negação é igual a afirmação:
Hoje não compro nada.
Não fui a lugar nenhum. Não tenho nada a declarar. •
Casos especiais 1
A: 4 + 3 = 9 B: 2 > 3
A: 4 + 3 ≠ 9 B: 2 ≤ 3
p = ≥ >
p ≠ < ≤
2 Quantificador 2.1 p: Todo A é B. p: Algum A não é B.
Existe A não B.
p=p
Pelo menos um A não é B. Ex.
p: Os jogadores do ECV são craques. p: Algum jogador do ECV não é craque.
2.2 p: Algum A é B.
p: Todo A não é B. p: Nenhum A é B. 2.3 p: Nenhum A é B. p: Algum A é B Todo troca por algum e nega a frase.
Nenhum troca por algum e conserva a frase. OBS.
p: ninguém
p: alguém
►NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÃO COMPOSTA ( ) ( ) Proposição A B A B A→B A ↔B Todo A é B Nenhum A é B Algum A é B Algum A não é B •
Negação da proposição ∼ A ou ∼ B ∼ A e ∼ B A e∼ B [ (A e ∼ B) ou (B e ∼ A) ] Algum A não é B Algum A é B Nenhum A é B Nenhum A não é B (ou Todo A é B)
Conjunção e ( )
(p q) » p q A: 2 é par e 3 é impar. A: 2 não é par ou 3 não é impar. •
Disjunção ou ( )
(p q) » p q A: 2 é par ou 3 é impar. A: 2 não é par e 3 não é impar.
OBS.
nem = e + não
A: 2 não é par nem 3 não é impar. •
Condicional se ... então (→)
(p → q) » p q A: Se corro então canso. A: Corro e não canso. OBS. B: Se estudo, não vejo Carlos e fico deprimida. B: Estudo e vejo Carlos ou não fico deprimida. - Quando não se sabe qual é a proposição A OU B. “Teste de Hipótese”. Ex. O Brasil possui embaixada em Adub e não em Marrocos. (A ( A
B)
(A
B)
( A
•
B)
B)
A
B
A
B A
B A
B
Bicondicional se somente se (↔)
(p ↔ q) » [ (p e q) ou (q e p) ] A: Como se somente se tenho fome. A: Como e não tenho fome ou tenho fome e não como.
OBS.
A negação de uma tautologia é sempre uma contradição, enquanto a negação de uma contradição é sempre uma tautologia. ►PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES São ditas proposições equivalentes quando compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelasverdade são idênticos.
Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p q, ou simplesmente por p = q. Da definição de equivalência lógica pode-se demonstrar as seguintes equivalências:
Leis associativas
(A B) C (A B) C
A (B C) A (B C)
Leis distributivas
A (B C)
(A B) (A C)
A (B C)
(A B) (A C)
Lei da dupla negação
( A) = A
Equivalências Básicas: 1- p
q=q p
2- p
q=q p 3- p ↔ q = q ↔ p 4- p ↔ q = (p → q)
(q →p)
Equivalências da condicional:
p→q= p q p→q= q→ p (p q) = p q (p q) = p (p → q) = p
q q Equivalências entre “ nenhum” e “todo” Todo A não é B = Nenhum A é B Nenhum A não é B = Todo A é B
Equivalências úteis
p (p q) = p
p (p q) = p ►PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS São as proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum.
Todo A é B – afirmam que o conjunto A está contido em B, ou
seja, todo elemento de A é elemento de B. Atenção: dizer que Todo A é B não é o mesmo que dizer Todo B é A. Ex. Todo gaúcho é brasileiro. ≠ Todo brasileiro é gaúcho. Se a proposição é verdadeira temos duas representações possíveis:
o conjunto A dentro do conjunto B igual ao conjunto B
o conjunto A
Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Nenhum A é B – é necessariamente falsa Algum A é B – é necessariamente verdadeira Algum A não é B – é necessariamente falsa
Nenhum A é B – os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, A e B não tem elementos em comum. Dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. Ex. Nenhum diplomata é analfabeto. = Nenhum analfabeto é
diplomata. Se a proposição é verdadeira temos a representação possível:
não há elementos em comum entre os dois conjuntos
Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes:
Todo A é B – é necessariamente falsa Algum A é B – é necessariamente falsa Algum A não é B – é necessariamente verdadeira
Algum A é B – o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Quando dizemos que Algum A é B pressupomos que nem todo A é B. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Ex. Algum médico é poeta. = Algum poeta é médico.
Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B
Algum médico é poeta. Pelo menos um médico é poeta. Existe um médico que é poeta Se a proposição é verdadeira temos quatro representações possíveis:
há elementos em comum entre os dois conjuntos conjunto A dentro do conjunto B
o conjunto B dentro do conjunto A igual ao conjunto B
o
o conjunto A
Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Nenhum A é B – é necessariamente falsa Todo A é B – é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 3 e 4), e falsa (em 1 e 2) Algum A não é B – é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 1 e 2), e falsa (em 3 e 4)
Algum A não é B – o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Dizer que Algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que Algum A é não B e logicamente equivalente a dizer que Algum não B é A. Ex.
Algum fiscal não é honesto. = Algum fiscal é não honesto. = Algum não honesto é fiscal. Atenção: Dizer que Algum A não é B não significa o mesmo que dizer que Algum B não é A.
Todo A não é B é equivalente Nenhum A é B Nenhum A não é B é equivalente Todo A é B A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e viceversa) A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e viceversa) Se a proposição é verdadeira temos três representações possíveis: há elementos em comum entre os dois conjuntos conjunto B dentro do conjunto A
o
não há elementos em comum entre os dois conjuntos
Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Todo A é B – é necessariamente falsa Nenhum A é B – é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 3), e falsa (em 1 e 2) Algum A é B – é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 1 e 2), e falsa (em 3)
