Unidad 5 interpolación Interpolación. En el subcampo matemático del análisis nu mérico, se denomina interpolación a la obtenc obtención ión de nuevos nuevos puntos puntos partie partiendo ndo del conoci conocimie miento nto de un conjunt conjunto o discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos puntos obteni obtenido dos s por por muestr muestreo eo o a partir partir de un eperi eperiment mento o y prete pretende nderr construir una función !ue los ajuste. "tr "tro prob proble lema ma estr estrec ec#a #ame ment nte e liga ligado do con con el de la inte interp rpol olac ació ión n es la aproimación de una función complicada por una más simple. $i tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dic#os datos construyendo una función más simple. En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (x k,yk), obtener una función f que que verifique. a la qu que e se de deno nomi mina na función interpolante de di dich chos os pu punt ntos os.. A lo los s pu punt ntos os x k se le les s llama nodos .
5.% &olinomio de interpolación de 'e(ton. Defnición de interpolación polinómica. En análisis numérico, la interpolación polinomial es una técnica interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de eperimento se pretende encontrar un polinomio !ue pase por todos puntos.
de Es un los
Defnición de interpolación polinómica de Newton. Es un método de interpolación polinómica. )un!ue sólo eiste un único polinomio !ue interpola una serie de puntos, eisten diferentes formas de calcularlo. Este método es útil para situaciones !ue re!uieran un número bajo de puntos para interpolar, ya !ue a medida !ue crece el número de puntos, también lo #ace el grado del polinomio.
*e!uiere la elaboración de una tabla de diferencias, pero una ve+ #ec#a esta, se obtienen con facilidad polinomios de interpolación de distintos grados para grupos de datos consecutivos. )demás, el error se estima con facilidad.
Metodología. omemos una ve+ más los n- % puntos dados /0, y01,/%, y%1, . . . ,/n, yn12. 3onsideremos un polinomio de grado cero !ue pase por /0, y01, lógicamente, la única posibilidad es 4 &0/1 y0 3onsideremos a#ora un polinomio de grado uno !ue pase por los dos primeros puntos de la lista de datos, !ue, además, imponemos sea de la forma4 &%/1 &0/1 - a%/ 6 01 !ue por construcción pasa por el primer punto. $i &%/%1 y%, entonces necesariamente4
7e igual forma, construimos4
1. 8mponer P9/ x 91 y 9
nos conduce a4
así sucesivamente, obtendremos4 con
Polinomios P%/ x 1, P9/ x 1, ..., para un conjunto dado de puntos, calculados por el Método de Newton.
enemos por tanto descrito cómo se obtiene el polinomio de interpolación por el :étodo de 'e(ton, sin embargo, no es la manera más rápida ni útil de obtenerlo, veamos por ello, en la sección siguiente, cómo se construye la tabla de diferencias, !ue agili+a el proceso.
Dierencias divididas. 7ada una tabla de datos como la !ue estamos manejando4 / x 0,y 01,/ x %,y %1,..., / x n,y n12, llamaremos diferencias divididas de orden uno a las epresiones siguientes4
Es decir4 , y así sucesivamente. 3on las diferencias de orden uno podemos construir las diferencias de orden 94
es decir4
, etc. 7e manera general, las diferencias de orden k serán4
3on todas estas de;niciones, y asumiendo además !ue las diferencias divididas de orden 0 no son más !ue los propios y i, es fácil comprobar !ue los coe;cientes del polinomio de interpolación calculado por el método de 'e(ton no son más !ue las diferencias divididas de los sucesivos órdenes. Pn/ x 1 a0 - a%/ x 6 x 01 - a9/ x 6 x 01/ x 6 x %1 - ... - an/ x 6 x 01.../ x 6 x n6%1
a0 y 0, a% y 0%, a9 y 0%9,
...,
an y 0%9...n
y, en de;nitiva4 Pn/ x 1 y 0 - y 0%/ x 6 x 01 - ... - y 0%9...n/ x 6 x 01.../ x 6 x n6%1
Pn/ x 1 y 0 - / x 6 x 01/ y 0% - / x 6 x %1/ y 0%9 - // x 6 x 91/... - y 0%9...n/ x 6 x n6%11111
&or tanto, si calculamos una tabla de diferencias divididas de la forma /por ejemplo, para siete datos1 i 0
x i x 0
y i y 0
y ii-% y 0%
y ii-%i-9 y 0%9
y i...i-< y 0%9<
y i...i-= y 0%9<=
y i...i-5 y 0%9<=5
%
x %
y %
y %9
y %9<
y %9<=
y %9<=5
y %9<=5>
9 <
x 9 x <
y 9 y <
y 9< y <=
y 9<= y <=5
y 9<=5 y <=5>
y 9<=5>
= 5
x = x 5
y = y 5
y =5 y 5>
y =5>
>
x >
y >
y i...i-> y 0%9<=5>
dispondremos de todos los coe;cientes de los diferentes polinomios de 'e(ton calculables con dic#os datos. ?inalmente, es posible obtener una estimación en general ra+onable para el error cometido en la interpolación usando las diferencias divididas. eniendo en cuenta la de;nición de y 0%, es ra+onable considerar dic#o valor como una buena aproimación para la derivada primera de la función en el punto medio del intervalo @ x 0,x %A4
B de manera análoga4 f C/D x 91 y %9 , f C/D x 91 y 9< &ara la derivada segunda en un punto medio
... , tendremos
$i continuamos el ra+onamiento se obtiene con facilidad !ue la derivada / n-a1F encima en un punto intermedio se puede aproimar por la epresión4
y en de;nitiva podemos escribir la siguiente epresión aproimada para el error de interpolación4
5.9 &olinomio de interpolación de Gagrange.
7e;nición. En análisis numérico, el polinomio de Gagrange, llamado así en #onor a Hosep#F Gouis de Gagrange, es una forma de presentar el polinomio !ue interpola un conjunto de puntos dado.
"bjetivo. Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan diferentes coordenadas x): (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2),!,(xn, yn)! "uestro o#jeti$o es encontrar una funci%n polin%mica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posi#le! &n polinomio que pase por $arios puntos determinados se llama un polinomio de interpolaci%n!
'ormula! 7ado un conjunto de I - % puntos4 (xo,yo), , (x! ,y! ) donde todos los j se asumen distintos. Ga fórmula general para el polinomio de interpolación de Gagrange es
7onde usamos polinomios básicos de Gagrange4
Epandiendo el producto para verlo mejor4
Estos polinomios básicos de Gagrange se construyen con una propiedad4
Entonces es muy fácil comprobar !ue estos polinomios pasan por todos los n-% puntos dados /es decir, es un polinomio de interpolación1.
etodolo!"a. a funci%n que estamos #uscando es una funci%n polin%mica (x) de grado ! El pro#lema de interpolaci%n puede tener tan solo una soluci%n, pues la diferencia entre dos tales soluciones, ser*a otro polinomio de grado a lo sumo, con +1 ceros! or lo tanto, (x) es el nico polinomio interpolador! a resoluci%n de un pro#lema de interpolaci%n lle$a a un pro#lema de -lge#ra lineal en el cual se de#e resol$er un sistema de ecuaciones: 1! rimera forma de determinar el polinomio interpolador de agrange: resol$iendo un sistema de (n+1) ecuaciones llegamos a la matriz de .an der /onde (si los puntos del soporte son distintos es no singular, soluci%n nica del sistema) 2! egunda forma de determinar el polinomio interpolador de agrange: f%rmula de agrange, el aspecto de las funciones de #ase de agrange (polinomios de agrange) depende del n de puntos de soporte ados dos puntos (x 0, y0) y (x 1, y1) 3ay exactamente una recta que pasa por esos dos puntos:
ados tres puntos (x 0, y 0), (x1, y 1) y (x 2, y 2), con coordenadas x diferentes, o #ien los tres puntos est-n en una recta o 3ay un polinomio de segundo grado (una par-#ola) que pasa por esos tres puntos! En cualquier caso, 3ay un polinomio de grado como muc3o 2 que pasa por esos tres puntos!
5.< 8nterpolación segmentada o splines.
En el su#campo matem-tico del an-lisis num4rico, un spline es una cur$a diferencia#le definida en porciones mediante polinomios! En los pro#lemas de interpolaci%n, se utiliza a menudo la interpolaci%n mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de #ajo grado, e$itando as* las oscilaciones, indesea#les en la mayor*a de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado ele$ado! ara el ajuste de cur$as, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas! a simplicidad de la representaci%n y la facilidad de c%mputo de los splines los 3acen populares para la representaci%n de cur$as en inform-tica, particularmente en el terreno de los gr-ficos por ordenador!
#efinición El t4rmino 5spline5 3ace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolaci%n de datos, o un sua$izado de cur$as! os splines son utilizados para tra#ajar tanto en una como en $arias dimensiones! as funciones para la interpolaci%n por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones!
$ipos 6nterpolaci%n con splines de grado 1 7 pline lineal 6nterpolaci%n con splines de grado 2 7 pline cuadr-tica 6nterpolaci%n con splines de grado 8 7 pline c#ica
Spline Lineal
os splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (9ectas de la forma f(x)ax+#) que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta! ados los n+1 puntos:
&na funci%n spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (ar coordenados) mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes figuras:
;laramente esta funci%n cumple con las condiciones de la spline de grado 1!
Spline Cuadratica
os polinomios (x) a tra$4s de los que construimos el pline tienen grado 2! Esto quiere decir, que $a a tener la forma (x) ax= + #x + c ;omo en la interpolaci%n segmentaria lineal, $amos a tener "71 ecuaciones (donde " son los puntos so#re los que se define la funci%n)! a interpolaci%n cuadr-tica nos $a a asegurar que la funci%n que nosotros generemos a trozos con los distintos (x) $a a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, $amos a determinar c%mo condiciones: •
•
•
>ue las partes de la funci%n a trozos (x) pasen por ese punto! Es decir, que las dos n(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos! >ue la deri$ada en un punto siempre coincida para am#os 5lados5 de la funci%n definida a trozos que pasa por tal punto comn! Esto sin em#argo no es suficiente, y necesitamos una condici%n m-s! ?or qu4@! Aenemos 8 inc%gnitas por cada (x)! En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones (x) para aproximarla, $amos a tener seis inc%gnitas en total! ara resol$er esto necesitar*amos seis ecuaciones, pero $amos a tener tan s%lo cinco: cuatro que igualan el (x) con el $alor de f(x) en ese punto (dos por cada inter$alo), y la quinta al igualar la deri$ada en el punto comn a las dos (x)!
e necesita una sexta ecuaci%n,?de d%nde se extrae@ Esto suele 3acerse con el $alor de la deri$ada en algn punto, al que se fuerza uno de los (x)!
Spline Cubica
%ada polinomio &(x) a trav's del que construimos los plines en m,n* tiene !rado +. Esto quiere decir, que va a tener la forma &(x) ax- bx/ cx d En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada punto com0n a dos intervalos, respecto a la derivada se!unda1 •
•
•
2ue las partes de la función a tro3os &(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos &n(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean i!ual a f(x) en cada uno de estos puntos. 2ue la derivada en un punto siempre coincida para ambos 4lados4 de la función definida a tro3os que pasa por tal punto com0n. 2ue la derivada se!unda en un punto siempre coincida para ambos 4lados4 de la función definida a tro3os que pasa por tal punto com0n. %omo puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadr5ticos, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el n0mero de incó!nitas que tenemos.
6a forma de solucionar esto, determina el car5cter de los splines c0bicos. As", podemos usar1 •
•
plines c0bicos naturales1 6a forma m5s t"pica. 6a derivada se!unda de & se hace 7 para el primer y 0ltimo punto sobre el que est5 definido el conjunto de plines, esto son, los puntos m y n en el intervalo m,n*. #ar los valores de la derivada se!unda de m y n de forma 4manual4, en el conjunto de splines definidos en el intervalo m,n*. 8acer i!uales los valores de la derivada se!unda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo m,n*. plines c0bicos sujetos1 6a derivada primera de & debe tener el mismo valor que las derivada primera de la función para el primer y 0ltimo punto sobre el que est5 definido el conjunto de plines, esto son, los puntos m y n en el intervalo m,n*.
#efinición
