METODOS NUMERICOS-CHAPRA

FUNDAMENTOS DE ANALISIS NUMERICOS

PARTE DOS

RAÍCES DE ECUACIONES


II. 1 MOTIVACIÓN Desde hace años, se aprendió a usar la formula cuadrática: x =

− b ± b 2 − 4ac 2a

[II.1]

Para resolver: f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0

[II.2]

A los valores calculados con la ecuación (II.1) se les llama “raíces” de la ecuación (II.2). Estos representan los valores de x que hacen que la ecuación (II.2) igual a cero. Por lo tanto, se puede definir la raíz de una ecuación como el valor de x que hace f(x) = 0 . Por esta razón algunas veces a las raíces se les conoce como ceros de la ecuación . Aunque la forma cuadrática es útil para la resolver la ecuación (II.2), hay muchas funciones diferentes que no se pueden resolver de manera tan fácil. En estos casos, los métodos numéricos descritos en el capitulo 4 y 5 proporciona medios eficientes para obtener la respuesta.

II.1.1 Métodos empleados antes de la era de la computadora para determinar raíces Antes del advenimiento de las computadoras digitales, había una serie métodos para encontrar las raíces de las ecuaciones algebraicas o trascendentales. Para algunos casos, las raíces se podían obtener por métodos directos. Como se hace con la ecuación (II.1). Aunque había ecuaciones, como esta que se podían resolver directamente, habían muchas otras que no lo eran, por ejemplo, hasta una función aparentemente simple tal como f(x) = e-x – x no se puede resolver analíticamente. En estos casos, la única alternativa es una técnica de solución aproximada. Un método para obtener una solución aproximada es la de graficar la función y determinar dónde cruza al eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x)=0, es la raíz. Las técnicas gráficas se discuten al principio de los capítulos 4 y 5. Aunque los métodos gráficos son útiles en la obtención de estimaciones aproximativas de las raíces, están limitadas por la carencia de precisión. Una aproximación alternativa es usar lo técnica de prueba y error. Esta "técnica" consiste en escoger un valor de x y evaluar si f(x) es cero. SÍ no es así (como sucederá en la mayor parte de los casos), se hace otra conjetura y se evalúa nuevamente f(x) para determinar si el nuevo valor da una


II. 1 MOTIVACIÓN Desde hace años, se aprendió a usar la formula cuadrática: x =

− b ± b 2 − 4ac 2a

[II.1]

Para resolver: f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0

[II.2]

A los valores calculados con la ecuación (II.1) se les llama “raíces” de la ecuación (II.2). Estos representan los valores de x que hacen que la ecuación (II.2) igual a cero. Por lo tanto, se puede definir la raíz de una ecuación como el valor de x que hace f(x) = 0 . Por esta razón algunas veces a las raíces se les conoce como ceros de la ecuación . Aunque la forma cuadrática es útil para la resolver la ecuación (II.2), hay muchas funciones diferentes que no se pueden resolver de manera tan fácil. En estos casos, los métodos numéricos descritos en el capitulo 4 y 5 proporciona medios eficientes para obtener la respuesta.

II.1.1 Métodos empleados antes de la era de la computadora para determinar raíces Antes del advenimiento de las computadoras digitales, había una serie métodos para encontrar las raíces de las ecuaciones algebraicas o trascendentales. Para algunos casos, las raíces se podían obtener por métodos directos. Como se hace con la ecuación (II.1). Aunque había ecuaciones, como esta que se podían resolver directamente, habían muchas otras que no lo eran, por ejemplo, hasta una función aparentemente simple tal como f(x) = e-x – x no se puede resolver analíticamente. En estos casos, la única alternativa es una técnica de solución aproximada. Un método para obtener una solución aproximada es la de graficar la función y determinar dónde cruza al eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x)=0, es la raíz. Las técnicas gráficas se discuten al principio de los capítulos 4 y 5. Aunque los métodos gráficos son útiles en la obtención de estimaciones aproximativas de las raíces, están limitadas por la carencia de precisión. Una aproximación alternativa es usar lo técnica de prueba y error. Esta "técnica" consiste en escoger un valor de x y evaluar si f(x) es cero. SÍ no es así (como sucederá en la mayor parte de los casos), se hace otra conjetura y se evalúa nuevamente f(x) para determinar si el nuevo valor da una


mejor estimación de la raíz. El proceso se repite hasta que se obtenga un valor que genere una f(x) cercana a cero. Estos métodos fortuitos, obviamente son ineficientes e inadecuados para las exigencias en la práctica de la ingeniería. Las técnicas descritas en la parte III representan alternativas que no sólo aproximan sino emplean estrategias sistemáticas para encaminarse a la raíz verdadera. Además, se adaptan idealmente a la implementación en computadoras personales. Tal como se presenta en las páginas siguientes, la combinación de estos métodos sistemáticos con la computadora hace de la solución de la mayor parte de los problemas sobre raíces de ecuaciones una tarea simple y eficiente.

II.1.2 Raíces de ecuaciones y su práctica en lo ingeniería Aunque las raíces de ecuaciones caben dentro de otro contexto, frecuentemente aparecen en el área de diseño en ingeniería. El cuadro IÍ.1 muestra un conjunto de principios fundamentales que se utilizan frecuentemente en trabajos de diseño. Las ecuaciones matemáticas o los modelos derivados de estos principios se emplean en la predicción de las variables dependientes en función de las variables independientes y de los parámetros. Nótese que en cada caso, las variables dependientes reflejan el estado o funcionamiento del sistema, ya sea que los parámetros representen sus propiedades o su composición. Un ejemplo de tales modelos se presenta en la ecuación derivada de la segunda ley de Newton, usada en el capítulo 1 para la velocidad del paracaidista: v=

gm c

[1 − e −

(c / m)

]

[11.3]

Donde la velocidad v es la variable dependiente, el tiempo t es la variable independiente y g la constante gravitacional, el coeficiente de rozamiento c y la masa m son parámetros. Si se conocen los parámetros, la ecuación (II.3) se puede usar para predecir la velocidad del paracaidista como una función del tiempo. Estos cálculos se pueden llevar a cabo directamente ya que v se expresa explícitamente como una función del tiempo. Esto es, está aislada a un lado del signo igual. Sin embargo, supóngase que se tiene que determinar el coeficiente de rozamiento para un paracaidista de una masa dada, para alcanzar una velocidad prescrita en un periodo dado de tiempo. Aunque la ecuación (II.3) proporciona una representación matemática de la interrelación entre las variables del modelo y los parámetros, no se puede resolver explícitamente para el coeficiente de rozamiento. Pruébese. No hay forma de reordenar la ecuación paro


despejar c de un lado del signo igual. En estos casos, se dice que c es implícita. Esto representa un dilema real, ya que muchos de los problemas de diseños en ingeniería, involucran la especificación de las propiedades o la composición de un sistema (representado por sus parámetros) para asegurar que funciona de la manera deseada (representada por sus variables). Por lo tanto, estos problemas a menudo requieren que se determinen sus parámetros de forma explícita. La solución del dilema las proporcionan los métodos numéricos para raíces de ecuaciones. Para resolver el problema usando métodos numéricos es conveniente cambiar la ecuación (11.3). Esto se hace restando lo variable dependiente v de ambos lados de la ecuación, obteniendo: f (c ) =

gm c

[1 − e −

( c / m)

]− v

[II.4]

Por lo tanto, el valor de c que cumple f(c) = 0, es la raíz de la ecuación. Este valor también representa el coeficiente de rozamiento que soluciona el problema de diseño. La parte II de este libro analiza una gran variedad de métodos numéricos y gráficos para determinar raíces de relaciones tales como la ecuación (II.4). Estas técnicas se pueden aplicar a los problemas de diseño en ingeniería basados en ¡os principios fundamentales delineados en el cuadro II.1 así como tantos otros problemas que se afrontan frecuentemente en la práctica de la ingeniería.

11.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS En la mayor parte de las áreas mencionadas en este libro, en general existen algunos prerrequisitos de fundamentos matemáticos necesarios para conocer a fondo el tema. Por ejemplo, los conceptos de estimaciones de errores y la expansión en serie de Taylor, analizadas en el capítulo 3, tienen importancia directa en el análisis de raíces de ecuaciones. Adicionalmente, antes de este punto se mencionaron los términos de ecuaciones "algebraicos" y "trascendentales". Puede resultar útil definir formalmente estos términos y discutir como se relacionan con esta parte del libro. Por definición, una función dada por y = f (x) es algebraica si se puede expresar de la siguiente manera: f n y n + f n −1 y n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + f 1 y + f 0 = 0

[II.5]


Donde las f son polinomios en x. Los polinomios son un caso simple de funciones algebraicas que se representan generalmente como: f ( x ) = a 0 + a1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n x n

[II.6]

Donde las a son constantes. Algunos ejemplos específicos son: f(x) = 1 - 2.37x+ 7.5x 2

[II.7]

f(x) = 5x2 - x3 + 7x6

[II.8]

y

Una función trascendental es una que no es algebraica. Incluye funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras menos familiares. Algunos ejemplos son: f(x) = e-x-x f(x) = sen x f(x) = In x2 -1

[II.9] [II.10] [II.11]

Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas. Un ejemplo simple de raíces complejas es el caso para el cual el término b 2-4ac de la ecuación (II.1) es negativo. Por ejemplo, dado el polinomio de segundo orden: f(x) = 4x2- 16x + 17 La ecuación (II.1) se puede usar para determinar que las raíces son:

x =

16 ± ( −16) 2 − 4( 4)17 2( 4)

=

16 ± − 16 8

Por lo tanto, una raíz es: x = 2 +

1 2

i

Aunque hay algunos casos donde las raíces complejas de las funciones no polinomiales son de interés, ésta situación es menos común que para polinomios. Por lo tanto, los métodos estándar para encontrar raíces, en general caen en dos áreas de problemas


parecidas en principio, pero fundamentalmente diferentes: 1. La determinación de raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Estas técnicas se diseñaron para determinar el valor de una raíz simple de acuerdo a un conocimiento previo de su posición aproximada. 2. La determinación de todas las raíces reales y complejas de un polinomio. Estos métodos se diseñaron específicamente paro polinomios. Determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de simplemente una, dada una posición aproximada. Este libro está enfocado al área del primer caso. Los métodos diseñados expresamente para polinomios no se analizan ya que van más allá del alcance de este libro. Sin embargo, en el epílogo al final de la parte II se recomiendan algunas referencias para estas técnicas.

II.3 ORIENTACIÓN Antes de proceder con los métodos numéricos para determinar raíces de ecuaciones, será útil dar algunas orientaciones. El siguiente material es una introducción a los temas de la parte II. Además, se han incluido algunos objetivos que orientarán al lector en sus esfuerzos al estudiar el material.

II.3.1 Campo de acción y avance La figura II.1 es una representación esquemática de la organización de la parte II. Examine esta figura cuidadosamente, iniciando en la parte de arriba y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj. Después de esta introducción, el capítulo 4 desarrolla los métodos que usan intervalos para encontrar raíces. Estos métodos empiezan con suposiciones que encierran o que contienen a la raíz y reducen sistemáticamente el ancho del intervalo. Se cubren dos métodos: el de bisección y el de la regla falsa. Los métodos gráficos proporcionan conocimiento visual de las técnicas. Se desarrollan formulaciones especiales paro ayudar a determinar cuanto esfuerzo computacional se requiere para estimar la raíz hasta un nivel de precisión previamente especificado. En el capítulo 5 se cubren los métodos abiertos. Estos métodos también involucran iteraciones sistemáticas de prueba y error pero no requieren que la suposición inicial encierre a la raíz. Se descubrirá que estos métodos, en general son más eficientes computacionalmente que los métodos que usan intervalos, pero no siempre trabajan. Se


analizan los métodos de la iteración de punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. Los métodos gráficos proporcionan conocimiento en los casos donde los métodos abiertos no funcionan- Se desarrollan las fórmulas que proporcionan una idea de qué tan rápido un método abierto converge a la raíz.

Figura II.1 esquema de la organización del material del parte II: Raí ces de las ecuaciones

El capítulo 6 extiende los conceptos anteriores a los conceptos actuales de la ingeniería. Los casos de estudio se emplean para ilustrar las ventajas y las desventajas de cada uno de los métodos y para proporcionar conocimiento sobre las aplicaciones de las técnicas en la práctica profesional. Los casos del capítulo ó también resaltan los elementos de Juicio (estudiados en la parte I) asociados con cada uno de los métodos. Se incluye un epílogo al final de la parte II. Éste contiene una comparación detallada de los métodos discutidos en los capítulos 4 y 5. Esta comparación incluye una descripción de los elementos de juicio relacionados con el uso correcto de cada técnica. En esta


sección se proporciona también un resumen de las fórmulas importantes, con referencias a algunos métodos numéricos que van más allá del alcance de este texto. Ciertas capacidades automáticas de cálculo se integran de diferentes maneras en la parte II. En primer lugar, programasen NUMERICOMP legibles para el usuario del método de bisección disponible para la Apple II y la IBM PC. Pero también se dan los códigos en FORTRAN Y BASIC para el método de bisección directamente en el texto. Con esto se tiene la oportunidad de copiar y aumentar el código para implementarlo en su propia computadora personal o supercomputadora. Se incluyen los algoritmos y diagramas de flujo para la mayor parte de los otros métodos expuestos en el texto. Este material puede servir de base para el desarrollo de un paquete de programación y aplicarlo a una serie de problemas de ingeniería.

11.3.2 Metas y objetivos Objetivos de estudio. Después de terminar la parte II, se debe tener la suficiente información para aprovechar satisfactoriamente una amplia variedad de problemas de ingeniería que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En términos generales se dominarán las técnicas, se habrá aprendido a valorar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular. Además de estas metas globales, se deben asimilar los conceptos específicos del cuadro II.2 para comprender mejor el material de la parte II. Objetivos de computación. El libro proporciona algunos programas simples, algoritmos y

diagramas de flujo para implementar las técnicas analizadas en la parte II. Como herramientas de aprendizaje todos ellos tienen gran utilidad. Los programas opcionales son legibles para el usuario. Incluye método de la bisección para determinar las raíces reales de las ecuaciones algebraicas y trascendentales. Las gráficas asociadas con NUMERICOMP le facilitarán al lector visualizar el comportamiento de la función en análisis. Los programas se pueden usar para determinar convenientemente las raíces de las ecuaciones a cualquier grado de precisión. Es fácil de aplicar NUMERICOMP para resolver muchos problemas prácticos y se puede usar para verificar los resultados de cualquier programa que el usuario desarrolle por sí mismo. También se proporcionan directamente en e) texto los programas en FORTRAN y BASIC para los métodos de bisección y para la iteración simple de punto rijo. Además, se proporcionan algoritmos y diagramas de flujo generales para la mayor parte de los otros métodos de la parte 11. Esta información permitirá aumentar la biblioteca de programas del usuario que sean más eficientes que el método de la bisección. Por ejemplo, puede desearse tener sus propios programas para los métodos de lo regla falsa, Newton-


Raphson y de la secante, que en general son más eficientes que el método de bisección.

CUADRO 11.2 Objetivos de estudio específicos de la parte II 1. Entender la interpretación gráfica de una raíz 2. Conocer la interpretación gráfica del método de la reglo falsa y por qué, en general, es superior al método de bisecciones. 3. Entender las diferencias entre los métodos que usan intervalos y los métodos abiertos para la localización de las raíces. 4. Entender los conceptos de convergencia y de divergencia. Usar el método de las dos curvas para proporcionar una manifestación visual de los conceptos. 5. Conocer por qué los métodos que usan intervalos siempre convergen, mientras que los métodos abiertos algunas veces pueden divergir. 6. Entender que la convergencia en los métodos abiertos es más probable si el valor inicial está cercano a lo raíz. 7. Entender el concepto de convergencia lineal y cuadrática y sus implicaciones en la eficiencia de los métodos de iteraciones de punto fijo y de NewtonRaphson. 8. Saber las diferencias fundamentales entre los métodos de la regla falsa y la secante y cómo se relaciona su convergencia. 9. Entender los problemas que contienen las raíces múltiples y las modificaciones que se les pueden hacer para resolverlos a medias.


CAPÍTULO CUATRO

MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS


En este capítulo sobre raíces de ecuaciones se analizan los métodos que aprovechan el hecho de que una función, típicamente, cambia de signo en la vecindad de una raíz, A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben "encerrar" o estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así, converger a la respuesta correcta. Como preámbulo de estas técnicas, se discutirán los métodos gráficos para graficar funciones y sus raíces. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valores iniciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los métodos numéricos,

4.1 MÉTODOS GRÁFICOS Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) =0 consiste en granear la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual / (x) = 0. Proporciona una aproximación inicial de la raíz. EJEMPLO 4.1 Métodos gráficos Enunciado del problema: empléense gráficas para obtener una raíz aproximada de la función f(x) = e-x - x Solución: se calculan los siguientes valores: x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

f(x) 1.000 0.619 0.270 -0.051 -0.351 -0.632

Estos puntos se muestran en la gráfica de la figura 4.1. La curva resultante cruza al eje x entre 0.5 y 0.6. Un vistazo a la gráfica proporciona una aproximada estimación de la raíz de 0.57, que se acerca a la raíz exacta de 0.567 143 28…, que se debe determinar con métodos numéricos. La validez de la estimación visual se puede verificar sustituyendo su valor en la ecuación original para obtener:


f(0.57) = e-0.57 - 0.57 = -0.004 5 la cual se acerca a cero.

FIGURA 4.1 Método gráfico para la solución de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Representación de f(x) = e -x - x contra x. La raíz corresponde al valor de x donde f(x) = O, esto es, el punto donde la función cruza el eje x. Una inspección visual de la gráfica muestra un valor aproximado de 0.57.

Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado ya que no son precisas. Sin embargo, los métodos gráficos se pueden usar para obtener aproximaciones de la raíz. Estas aproximaciones se pueden emplear como valores iniciales para tos métodos numéricos analizados en este capítulo y en el siguiente- Por ejemplo, los programas de NÜMERICOMP que acompañan este texto le permiten graficar funciones sobre un rango específico, Esta gráfica puede hacerse seleccionando un par d valores iniciales de un intervalo donde está contenida la raíz antes de implementar el método numérico. 1-a posibilidad de graficar aumenta considerablemente la utilidad de los programas. Las interpretaciones geométricas, además de proporcionar aproximaciones iniciales de la raíz, son herramientas importantes en el aislamiento de las propiedades de las funciones previendo las fallas de los métodos numéricos. Por ejemplo, la figura 4.2 muestra algunas formas diferentes en tas que la raíz puede encontrarse en un intervalo definido por un limite inferior x1y y un límite superior X u. La figura 4.2b bosqueja el caso donde los valores positivo y negativo de f(x 1) y f(xu) tienen signos opuestos respecto al eje x, encierran tres


raíces dentro del intervalo. En general, si f(x 1) y f(xu) tienen signos opuestos, existe un número impar de raíces dentro del intervalo definido por los mismos. Como se indica en la figura 4.2a ye, si f(x 1) y f(xu) tienen el mismo signo, no hay raíces o hay un número par de ellas entre los valores dados. Aunque estas generalizaciones son usualmente verdaderas, existen casos en que no se cumplen. Por ejemplo, las raíces múltiples, esto es, funciones tangenciales al eje x (Fig. 4.3a) y las funciones discontinuas (Fig. 4.3b) pueden no cumplir estos principios- Un ejemplo de una función que tiene una raíz múltiple es la ecuación cúbica f(x) = (x - 2) (x - 2) (x - 4). Nótese que x = 2 anula dos veces al polinomio, de ahí que a x se le conozca como raíz múltiple. Al final del capítulo 5, se presentan técnicas que están diseñadas expresamente para localizar raíces múltiples. La existencia de casos del tipo mostrado en la figura 4.3 dificulta el desarrollo de algoritmos generales que garanticen la localización de todas las raíces en el intervalo. Sin embargo, cuando se usan los métodos expuestos en las siguientes secciones en conjunción con esquemas gráficos, son de gran utilidad en la solución de problemas de muchas raíces, frecuentemente se presentan en el área de ingeniería y matemáticas aplicadas. EJEMPLO 4.2 Uso de gráficas por computadora para localizar raíces FIGURA 4.2 Ilustración de las formas que puede tener una raíz en un intervalo prescrito por los límites inferior, x 1 y superior Xy. Los incisos a) y b) indican que si f(x1) y f(xu) tienen el mismo signo, entonces no habrá raíces dentro del intervalo o habrá un número par de ellas. Los incisos c) y d) indican que si f(x1) y f(xu) tienen signos opuestos en los extremos, entonces habrá un numero impar de raíces dentro del intervalo.

Enunciado del problema: las gráficas por computadora pueden informar y acelerar los esfuerzos para localizar raíces de una función. Este ejemplo se desarrolló usando los programas de NÜMERICOMP disponibles con el texto. Sin embargo, de esta manera es posible entender como la graficación por computadora ayuda a localizar raíces. La función: f ( x ) = sin 10 x + cos 3 x


Tiene varias raíces sobre el rango de las x = - 5 hasta x = 5. Empléese la opción de graficación del programa para profundizar en el comportamiento de esta función.

Solución: Como se ilustro en el ejemplo 2.1 se puede usar NUMERICOMP para graficar funciones. En la figura 4.4a se muestra la grafica de f(x) desde x = - 5 hasta x = 5. La grafica muestra la existencia de varias raíces, incluyendo posiblemente una doble alrededor de x = 4.2 en donde f(x) parece ser tangente al eje x. Se obtiene una descripción más detallada del comportamiento de f(x) cambiando el rango de graficación desde x = 3 hasta x = 5, como se muestra en la figura 4.4b. Finalmente, en la figura 4.4c, se acorta la escala vertical a f(x) = -0.15 y f(x) = 0.15 y la horizontal a x = 4.2 y x = 4.3Esta gráfica muestra claramente que no existe una raíz en esta región y que, en efecto, hay dos raíces diferentes alrededor de x = 4.229 y x = 4.264. Las gráficas por computadora tienen gran utilidad en el estudio de los métodos numéricos. Esta habilidad también puede aplicarse en otras materias así como en las actividades profesionales.

FIGURA 4.3 Ilustración de algunas excepciones de los casos generales mostrados en Fig. 4.2 a) Pueden ocurrir figuras múltiples cuando la funciones tangencial al eje x. En este caso aunque los extremos son signos opuestos, hay un número par de raíces en el intervalo. b) Las funciones discontinuas en donde los extremos tienen los signos opuestos también contienen un número par de raíces. Se requieren estrategias especiales para determinar las raíces en es estos casos

Fig. 4.4 Escala miento progresivo f(x) = sen 10x + cos 3x mediante la computadora. Estas graficas interactivas le permiten al analista determinar que existen dos raíces entre x=4.2 y x=4.3


4.2 MÉTODO DE BISECCIÓN Cuando se aplicaron las técnicas gráficas, en el ejemplo 4.1, se observó (Fig. 4.1) que f(x) cambió de signo hacia ambos lados de la raíz. En general, si} (x) es real y continua en el intervalo de x1 y xu y f(x1) y f(xu) tienen signos opuestos, esto es, f(x1)f(xu) < 0

[4.1]

Entonces hay, al menos una raíz real entre x 1 y xu.

Paso 1: Expóngase los valores iniciales de x 1 y xu de forma tal que la función cambies de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que f(x 1) y f(xu) < 0. Paso 2: La primera aproximación a la raíz x, se determina como: x + x u x r = i x

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones determínese en que subintervalo cae la raíz: a) f(x1)f(xr ) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo. Por lo tanto resuelve x u = xr y continúese con el paso 4. b) f(x1)f(xr ) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del segundo subintervalo. Por lo tanto resuelve x 1 = xr y continúese con el paso 4. c) f(x1)f(xr ) = 0, entonces la raíz se igual a x 1 y se terminan los cálculos. Paso 4: Calcule una nueva aproximación a la raíz mediante: x + x u x r = i x

Paso 5: Decídase si la nueva aproximación es tan exacta como se desea. Si es así, entonces los cálculos terminan, de otra manera regrese al paso 3. Fig. 4.5 Algoritmo de Bisección

Los métodos de búsqueda incrementa! se aprovechan de esta característica para localizar un intervalo donde !a función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo (y por ende, de la raíz), se logra más exactamente dividiendo e! intervalo en una cantidad definida de subintervalos. Se rastrea cada uno de estos subintervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a !a raíz mejora cada vez más a medida que los subintervalos se dividen en intervalos más y más pequeños. Se estudia más sobre el tema de búsquedas increméntales en la sección 4.4. El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incrementa! donde el intervalo se divide siempre en dos, Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina


situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. La figura 4.5 muestra un algoritmo para la bisección y en la figura 4.6 se muestra un bosquejo gráfico del método. FIGURA 4.6 Gráfica del método de bisección. Esta gráfica incluye las primeras tres iteraciones del ejemplo 4.3.

EJEMPLO 4.3 Bisección Enunciado del problema; úsese el método de la bisección para determinar la raíz de f(x)=e-x - x. Solución: Recuérdese de acuerdo a la gráfica de la función (Fig. 4.1) que la raíz se encuentra entre O y 1. Por lo tanto, el intervalo inicial se puede escoger desde x 1 = 0 hasta x1 = 1. Por consiguiente, la estimación inicial de la raíz se sitúa en el punto medio de este intervalo: x r =

0 +1 2

= 0.5

Esta estimación representa un error de (el valor exacto es 0.567 143 29. . .) Ev = 0.567 143 29 - 0.5 = 0.067 143 29 o, en términos relativos:

FUNDAMENTOS DE ANALISIS NUMERICOS ε ν =

0.06714329 0.56714329

100% = 11.8%

Donde el subíndice v indica que el error es con respecto a! verdadero. Ahora se calcula: f(0)f(0.5) = (1)(0.10653) = 0.10653 Que es mayor de cero, y por consiguiente no hay cambio de signo entre x 1 y x r . Y por lo tanto, la raíz se encuentra dentro del intervalo y = 0.5 y x = 1. E! límite inferior se redefine como x1 = 0,5, y la aproximación a la raíz en la segunda iteración se calcula como; x r =

0.5 + 1 2

= 0.75

ε ν = 32.2%

El proceso se puede repetir para obtener aproximaciones más exactas. Por ejemplo, la tercera iteración es: f(0.5)f(0.75) = -0.030 <0 Por lo tanto, la raíz está entre 0.5 y 0.75: Xu = 0.75 x r =

0.5 + .75 2

= 0.625

ε ν = 10.2%

Y la cuarta iteración es: f(0.5)f(0.625)= -0.010 < 0 Por lo tanto, la raíz está entre 0.5 y 0.625: Xu = 0.625 x r =

0.5 + .0.625 2

= 0.5625

ε ν = 0.819%

El método se puede repetir para alcanzar mejores estimaciones. La figura 4.6 muestra una gráfica de las primeras tres iteraciones.


En el ejemplo anterior, se puede observar que el error real no disminuye con cada iteración. Sin embargo, el intervalo dentro del cual se localiza la raíz se divide a la mitad en cada paso del proceso. Como se estudiará en la próxima sección, la longitud del intervalo proporciona una aproximación exacta del límite superior del error en el método de bisección.

4.2.1 Criterios de paro y estimación de errores El ejemplo 4.3 finaliza con la opción de repetir el método para obtener una aproximación más exacta de la raíz. Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuando debe terminar el método. Una sugerencia inicial puede ser que terminen los cálculos cuando el error se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. Se puede ver en el ejemplo 4.3, que el error relativo bajó de un 11.8 a un 4.69% durante los cálculos. Puede decidirse que el método termine cuando se alcance un error más bajo, por ejemplo del 0.1%. Esta estrategia es inconveniente ya que la estimación del error en el ejemplo anterior se basó en el conocimiento del valor exacto de la raíz de la función. Este no es el caso de una situación real ya que no habría motivo para usar el método si ya se supiese la raíz. Por lo tanto, se requiere estimar el error de manera tal que no incluya el conocimiento previo de la raíz. De manera análoga ha como se ve en la sección 3.3, se puede calcular e! error relativo aproximado E a de la siguiente manera [recuérdese la ecuación (3.5)]: ε a =

x r nueva − x r anterior x r nueva

100%

[4.2]

Donde xr nueva es la raíz de la iteración actual y xr anterior es el valor de la raíz de la iteración anterior. Se usa el valor absoluto ya que, en general importa sólo la magnitud de E a sin considerar su signo. Cuando |E a| es menor que un valor previamente fijado, que define el criterio de paro, E s el programa se detiene. EJEMPLO 4.4 Estimación del error para el método de la bisección Enunciado de! problema: úsese la ecuación (4.2) para estimar el error de las iteraciones del ejemplo 4.3.

Solución: Las primeras dos estimaciones de la raíz en el ejemplo 4.3 fueron 0.5 y 0.75. Sustituyendo estos valores en la ecuación (4.2) se obtiene:


ε a =

0.75 − 0.5 0.75

100% = 33.3%

Recuérdese que el error exacto para la raíz estimada de 0.75 es del 32.2%. De esta manera, Ea es mayor que E v. Este comportamiento se muestra en las otras iteraciones

Iteración

Xr

|Ev|%

|Ea|%

1

0.5

11.800

2

0.75

32.200

33.3

3

0.625

10.200

20.0

4

0.5625

0.819

11.1

5

0.59375

4.690

5.3

FIGURA 4.7 Errores del método de bisección. Se granean los errores verdadero y aproximado contra el número de iteraciones.

Estos resultados, junto con los de las iteraciones subsiguientes se resumen en la figura 4.7- La naturaleza "desigual" del error real se debe a que para el método de la bisección


la raíz exacta se encuentra en cualquier lugar dentro del intervalo. Los errores verdadero y aproximado son casi iguales cuando el intervalo está centrado sobre la raíz. Cuando la raíz se encuentra cerca de un extremo del intervalo, entonces los errores son muy diferentes. Aunque el error aproximado no proporciona una estimación exacta del error verdadero, la figura 4.7 sugiere que E a capta la dirección descendente de E u. Además, la gráfica muestra una característica muy interesante; que en siempre es mayor que E v. Por lo tanto, cuando Es es menor que E a los cálculos se pueden terminar con la confianza de saber que la raíz es al menos tan exacta como el nivel específico prefijado. Aunque siempre es dañino aventurar conclusiones generales de un sólo ejemplo, se puede demostrar que £„ siempre será mayor que E a en el método de bisección. Esto se debe a que cada vez que se encuentra una aproximación a la raíz usando bisecciones como xr = (x 1 + (x u)/2), se sabe que la raíz exacta cae en algún lugar dentro de intervalo (xu — xl)/2 = ∆x/2. Por lo tanto, la raíz debe situarse dentro de ± ∆x/2 de la aproximación (Fig. 4.8). Por ejemplo cuando se terminó el ejemplo 4.3 se pudo decir definitivamente que: Xr = 0,562 5 ± 0.062 5

FIGURA 4.8 Tres formas diferentes en que un intervalo puede agrupar a la raíz. En a) el valor verdadero cae en el centro del intervalo, mientras que en b) y c) el valor se acerca a uno de los extremos. Nótese que la diferencia entre el valor verdadero y el punto medio del intervalo jamás sobrepasa lo longitud media del intervalo, o ∆x/2.


FIGURA 4.9 Esquema gráfico de! porqué la estimación del error en el método de bisección (∆x/2) es equivalente a la estimación actual de la nueva

raíz ( xr

anterior

menos la estimación anterior de la raíz xr

).

Debido a que ∆x/2 = x nueva 4 - xanterior (Fig. 4.9), la ecuación (4.2) proporciona un límite superior exacto sobre el error real. Para que se rebase este límite, la raíz r eal tendría que caer fuera del intervalo que la contiene, lo cual, por definición jamás ocurrirá en el método de bisección. El ejemplo 4.7 muestra otras técnicas de localización de raíces que no siempre se portan tan eficientes. Aunque el método de bisección, en general es más lento que otros métodos, la elegancia del análisis de error, ciertamente es un aspecto positivo que puede hacerlo atractivo para ciertas aplicaciones de la ingeniería.

4.2.2 Programación del método de bisección El algoritmo de la figura 4.5, ahora se presenta en un programa que se muestra en la figura 4-10. El programa usa una función (línea 100) que facilita la localización de la raíz y las modificaciones a la función. Además, se incluye la línea 200 para verificar la posibilidad de divisiones por cero durante la evaluación del error. Tal caso se presenta cuando el intervalo está centrado respecto al origen. En este caso, la ecuación (4.2) es infinita. Si esto ocurre, el programa salta sobre la evaluación del error para esa iteración. El programa de la figura 4.10 no es muy legible para el usuario; está diseñado únicamente para calcular la respuesta, el usuario debe hacerlo más fácil de usar y de entender. Dentro del paquete de NUMERICOMP asociado con este texto se proporciona un ejemplo de un programa legible al usuario para encontrar raíces de ecuaciones. El siguiente ejemplo muestra el uso de NUMERICOMP para encontrar raíces. También proporciona una buena referencia para valorar y examinar los programas del usuario.


FIGURA 4.10 Programa para el método de bisección.

EJEMPLO 4.5 Localización de raíces usando la computadora Enunciado del problema: asociado con los programas de NUMERICOMP, se encuentra un programa legible al usuario sobre el método de bisección. Se puede usar este programa para resolver un problema de diseño asociado con el ejemplo del paracaidista analizado en el capítulo I. Como se recordará, la velocidad del paracaidista está dada, en función del tiempo, de la siguiente manera: u (t ) =

gm c

[1 − e −(

c / m )t

]

[E4.5.1]

Donde v es la velocidad del paracaidista en centímetros por segundo, g es la constante gravitacional cuyo valor es 980 cm / s 2, m es la masa del paracaidista cuyo valor es 68 100 g y c es el coeficiente de rozamiento. En el ejemplo 1.1 se calculó la velocidad del paracaidista en función del tiempo para valores dados de m, c y g. Sin embargo, supóngase que se desea controlar el movimiento del paracaidista de tal forma que se alcance una velocidad prefijada en caída libre después de un tiempo dado. En este caso, se debe seleccionar un valor apropiado de c que satisfaga los requisitos de diseño cuando se mantengan constantes m, g. t y v. Una ojeada a la ecuación a (E4.5.1) muestra que c no se puede calcular explícitamente en función de las variables conocidas. Supóngase


que se desea que la velocidad del paracaidista alcance un valor de 4 000 cm/s después de 7 s. De esta manera, se debe determinar un valor de c tai que: 0 = f (c) =

gm c

[1 − e −(

c / m )t

]− v

[E4.5.2]

Solución: para implementar el método de BISECCIÓN, se requiere obtener un intervalo inicial que contenga a! valor de c que satisfaga la ecuación (E4.5.2). Es conveniente seleccionar este intervalo conjuntamente con la opción de graficación de BISECCIÓN que viene con el disco (opción 3). El programa pregunta los valores mínimo y máximo de x y de f(x) generando la gráfica mostrada en la figura 4.11o después que se han introducido las dimensiones de la gráfica. Puede verse que existe una raíz entre 10 000 y 15 000 g/s. El programa BISECCIÓN pregunta por un límite máximo de iteraciones permitido, un error de convergencia ε s y un límite inferior y superior para la raíz. La figura 4.11 b muestra estos valores, junto con la raíz calculada de 11 643.14 g / s. Nótese que con 16 iteraciones se obtiene un valor aproximado a la raíz con un error menor de 65- Más aún, la computadora muestra una verificación del error de: f(11643.14) = 1.025391 x 10 -2

FIGURA 4.11 a) Gráfica de la ecuación (E 4.5.2) b) Resultados para determinar el coeficiente de rozamiento usando BISECCIÓN en el problema del paracaidista.

Para confirmar los resultados. Si la exactitud que se requiere no se hubiera alcanzado con el número especificado de iteraciones, entonces el algoritmo habría terminado después de 30 iteraciones. Estos resultados están basados en el algoritmo simple del método de BISECCIÓN con el


uso de rutinas de entrada y salida legibles al usuario. El algoritmo usado es similar al de la figura 4.10. El usuario debe estar listo para escribir sus propios programas sobre el método de bisección. Si tiene los programas de NUMERICOMP, entonces los puede usar como modelo y para verificar que sus programas sean adecuados. 4.3 MÉTODO DE LA REGLA FALSA Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la del método de la regla falsa está basado en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la raíz. Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x 1, a Xu en mitades iguales, no se toma en consideración la magnitud de f(x i) y de f(Xu). Por ejemplo, si / (x,) está mucho más cerca de cero que f(x u), es lógico que la raíz se encuentra más cerca de x, que de x u (Fig. 4.12). Este método alternativo aprovecha la idea de unir los puntos con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una "posición falsa" de la raíz, de aquí el nombre de método de la regla falsa o en latín, regula falsi . También se le conoce como método de interpolación lineal. Con el uso de triángulos semejantes (Fig. 4.12), la intersección de la línea recta y el eje x se puede calcular de la siguiente manera: f ( x l ) x r − xl

=

f ( xu ) x r − xu

[4.3]

Que se puede resolver para (véase el recuadro 4.1 para mayores detalles)

Fig. 4.12 Esquema grafico del método del la regla falsa. La formula de deriva de los triángulos semejantes (áreas sombreadas.


RECUADRO 4.1 Derivación del método de la regla falsa

sumando y restando Xu del lado derecho: x r = x u +

Multiplicando en cruz la ecuación (4.3) se obtiene: f ( x i )( x r − x u ) = f ( x u )( x r − x l )

Agrupando términos y reordenando xr [ f ( xl ) − f ( xu )] = x u f ( x l ) − x l f ( x u )

f ( x l ) x u f ( x l ) − f ( x u )

− x u −

f ( x u ) x l f ( x l ) − f ( x u )

Agrupando términos se obtiene: x r = x u +

x r = x u −

f ( x u ) x u f ( x l ) − f ( x u )

−

f ( x u ) x l f ( x l ) − f ( x u )

f ( x u )( x l − x u ) f ( x l ) − f ( x u )

Dividiendo entre f(x l) - f(xu) x r =

x u f ( x l ) − x l f ( x u ) f ( x l ) − f ( x u )

Que es igual a la ecuación (4.4). Se usa de esta forma ya que es directamente comparable con el método de la secante analizado en el capítulo 5

Ésta es una forma del método de la regla falsa. Nótese que esto permite calcular la raíz x, en función de los límites inferior, x l y superior xu. Se puede ordenar de una manera alternativa, expandiéndola:

x r = x u −

f ( x u )( x l − x u ) f ( x l ) − f ( x u )

Esta es la fórmula de la regla falsa. El valor de xr, calculado con la ecuación (4.4), reemplaza a uno de los dos valores, xl; o a xu que produzca un valor de la función que tenga el mismo signo de f(xr.). De esta manera, los valores xr y xu siempre encierran a la raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada- El algoritmo es idéntico al de la bisección (Fig. 4.6) con la excepción de que la ecuación (4.4) se usa en los pasos 2 y 4. Además, se usan los mismos criterios de paro [(Ec. (4.2)] para detener los cálculos. EJEMPLO 4.6 Regla falsa Enunciado del problema: úsese el método de la regla falsa para determinar la raíz de f(x) = ex — x. La respuesta correcta es 0.567 143 29.


Solución: como en el ejemplo 4.3, iníciense los cálculos con los valores iniciales x l=0 y xu=1. Primera iteración: x l = 0 f ( x) = 1 x u = 1 f ( x u ) = −0.63212 x r = 1 −

− 0.63212(0 − 1) = 0.6127 1 − (−0.63212)

El error relativo real se puede estimar como: εν =

0.56714329 − 0.6127 0.56714329

100% = 8.0%

Segunda iteración: f ( xl ) f ( xu ) = 0.0708

Por lo tanto, la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo y x r se puede convertir en el limite superior de la siguiente iteración, x u = 0.6127. x l = 0

f ( x) = 1

x u = 0.6127

f ( x u ) = −0.0708

x r = 0.6127 −

− 0.070(0 − 0.6127) = 0.51219 ε ν = 0.89% 1 − ( −0.0708)

El error aproximando se puede calcular como: εν =

0.57219 − 0.6127 0.57219

100% = 7.08%

Se pueden llevar a cabo estimaciones adicionales para mejorar la estimación de la raíz. Puede emitirse una opinión mas completa sobre la eficiencia relativa de los métodos de bisección y de la regla falsa al observar la figura 4.13 que muestra la grafica del error relativo porcentual de los ejemplos 4.3 y 4.6. Nótese como el error decrece mucho mas rápidamente para el método de la regla falsa que para el de bisecciones ya que el primero es un esquema más eficiente para la localización de raíces.


Recuérdese que en el método de bisección el intervalo entre x l y xu decrece durante los cálculos. Por lo tanto, el intervalo dado por ∆ x / 2 = x u − x l / 2

proporciona

una medida del error en estas aproximaciones. Este no es el caso para el método de la regla falsa ya que uno de los extremos puede permanecer fijo a lo largo de los cálculos, mientras que el otro converge a la raíz. Como en el caso, del ejemplo 4.4 donde el extremo inferior x l se sostuvo en cero, mientras que x u convergió a la raíz. En tales casos, el intervalo no se acorta, sino que se mantiene más o menos constante. El ejemplo 4.6 sugiere que la ecuación (4.2) representa un criterio de error muy conservador. De hecho, la ecuación (4.2) constituye una aproximación de la discrepancia de la iteración previa. Esto se debe a que para cada caso, tal como en el ejemplo 4.6, donde el método converge rápidamente (por ejemplo, el error se reduce casi una orden de magnitud por iteración), la iteración actual x r nueva es una aproximación mucho mejor al valor real de la raíz que el resultado de la iteración previa x r anterior . Por lo tanto, el numerador de la ecuación (4.2) representa la diferencia de la iteración previa. En consecuencia, hay confianza que cuando se satisface la ecuación (4.2), la raíz se conoce con mayor exactitud superando la tolerancia preestablecida. Sin embargo, como se ve en la siguiente sección, existen casos donde la regla de la posición falsa converge lentamente. En estos casos la ecuación (4.2) no es confiable y se debe desarrollar un criterio diferente de paro. 4.3.1 Desventajas del método de la regla falsa Aunque el método de la regla falsa pareciera siempre ser el mejor de los que usan intervalos, hay casos donde funciona deficientemente. En efecto, como en el ejemplo


siguiente, hay ciertos casos donde el método de bisección da mejores resultados. Un caso donde el método de bisección es preferible al de lo regla falsa Enunciado del problema: úsense los métodos de bisección y de la regla falsa localizar la raíz de: f ( x) = x10 − 1

Entre x = 0 y x = 1.3 Solución: usando bisección, los resultados se resumen como:

Iteración 1 2 3 4 5

Xl 0 0.65 0.975 0.975 0.975

Xu 1.3 1.3 1.3 1.1375 1.05625

Xr 0.65 0.975 1.1375 1.05625 1.015625

|εv|% 35.0 2.5 13.8 5.6 1.6

|εa|% 33.33 14.30 7.70 4.00

De esta manera, después de cinco iteraciones. El error verdadero se reduce a menos del 2%. Con la regla falsa se obtiene un esquema muy diferente.

Iteración 1 2 3 4 5

Xl 0 0.09430 0.18176 0.26287 0.33811

Xu 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3

Xr 0.09430 0.18176 0.26287 0.33811 0.40788

|εv|% 90.6 81.8 73.7 66.2 59.2

|εa|% 48.1 30.9 22.3 17.1

Después de cinco iteraciones, el error verdadero se ha reducido al 59%. Además, nótese que |εv| < |εt|. De esta forma, el error aproximado es engañoso. Se puede obtener mayor información examinando una gráfica de la función. En la figura 4.14 la curva viola una hipótesis sobre la cual se basa la regla falsa; esto es, si f(x l) se encuentra mucho más cerca de cero que f(x u) entonces la raíz se encuentra más cerca a x L que xu (recuérdese la figura 4.12J. De acuerdo a la gráfica de esta función, la inversa es verdadera. El ejemplo anterior ilustra que en general no es posible hacer generalizaciones relacionadas con los métodos de obtención de raíces. Aunque un método como el de la

FUNDAMENTOS DE ANALISIS NUMERICOS Figura 4.14 Grafica de la función f(x) = x -1, ilustración de la convergencia lenta del método de la regla falsa.

regla falsa, en general es superior al de bisección, hay, invariablemente casos especiales que violan las conclusiones generales. Por lo tanto, además de usar la ecuación (4.2), los resultados se pueden verificar sustituyendo la raíz aproximada en la ecuación original y determinar si el resultado se acerca a cero. Estas pruebas se deben incorporar en todos los programas que localizan raíces. 4.3.2 Programa para el método de lo regla falsa Se puede desarrollar directamente un programa para la regla falsa a partir del código del método de bisección de la figura 4.10. La única modificación es la de sustituir la ecuación (4.4) en las líneas 130 y 190. Además, la prueba contra cero sugerida en la última sección, también se debe incorporar en el código. 4.4 BÚSQUEDAS CON INCREMENTOS DETERMINANDO UNA APROXIMACIÓN INICIAL Además de verificar una respuesta individual, se debe determinar sí se han localizado todas las raíces posibles. Como se mencionó anteriormente, en general, una gráfica de la función ayudará en esta tarea. Otra opción es incorporar una búsqueda incremental al principio del programa. Consiste en empezar en un extremo de la región de interés y realizar evaluaciones de la función con pequeños intervalos a lo largo de la región. Cuando la función cambia de signo, se supone que una raíz cae dentro del incremento. Los valores de x de los extremos del intervalo pueden servir de valores iniciales para una de las técnicas descritas en este capítulo que usan intervalos. Un problema aunado a los métodos de búsquedas increméntales es el de escoger la longitud del incremento. Si la longitud es muy pequeña, la búsqueda puede consumir demasiado tiempo- Por el otro lado, si la longitud es muy grande, existe la posibilidad de


que las raíces muy cercanas entre sí pasen desapercibidas (Fig. 4.15). El problema se combina con la posible existencia de raíces múltiples. Un remedio parcial para estos casos en calcular la primera derivada de la función f’(x) en los extremos del intervalo. Si la derivada cambia de signo, entonces puede existir un máximo o un mínimo en ese intervalo, lo que sugiere una búsqueda más minuciosa para detectar la posibilidad de una raíz.

FIGURA 4.15 Casos donde las raíces se pueden brincar debido a que los longitudes de los intervalos en los métodos de búsquedas increméntales son demasiado grandes. Nótese que la última raíz es múltiple y se iba a brincar independientemente de la longitud de! incremento.

Aunque estas modificaciones, o el empleo de un incremento muy fino pueden solucionar en parte el problema, se debe aclarar que los métodos sencillos tales como el de búsqueda incremental no son infalibles. Se debe tener conocimiento de otras informaciones que profundicen en la localización de raíces a fin de complementar las técnicas automáticas. Esta información se puede encontrar graneando la función y entendiendo el problema físico de donde se originó la ecuación. PROBLEMAS Cálculos a mano 4.1 Determínense las raíces reales de: f(x) = -0.874x2 + 1.75x + 2.627 Gráficamente a) Usando la fórmula cuadrática b) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz más alta. Empléense como valores iniciales x i = 2.9yXy = 3.1. Calcúlese el error estimado εa y el error verdadero ε u después de cada iteración.


4.2 Determínense las raíces reales de F(x) =-2.1 + 6.21x - 3.9x2 + 0.667x3 a) Gráficamente b) Usando bisección para localizar la raíz más pequeña. Empléense como valores iniciales xl = 0.4 y X u = 0.6 e itérese hasta que el error estimado ε a se encuentre abajo de e, = 4% 4.3 Determínense las raíces reales de: f(x) = -23.33 + 79.35x -88,09x2 + 41.6x3 - 8.68x4 + 0.658x5 a) Gráficamente b) Usando bisección para determinar la raíz más alta para e, — 1 %. Empléese como valores iniciales x, = 4.5 y Xy " 5. c) Realícense los mismos cálculos de b) pero usando el método de la regla falsa. 4.4 Determínense las raíces reales de: f(x) = 9.36 - 21.963x + 16.2965x2 - 3,70377x3 a) Gráficamente b) Usando el método de la regla falsa con un valor de (, correspondiente 3 tres cifras significativas para determinar la raíz más baja. 4.5 Localícese la primer raíz diferente de cero de tan x = 1.1. x donde x está en radianes. Úsese una técnica gráfica y bisección con valores iniciales 0.1 y 0-6- Realícense los cálculos hasta que ε v sea menor del e; = 10%. Verifíquense también tos errores sustituyendo la respuesta final en la ecuación original. 4.6 Determínese la raíz real de In x = 0.5 a) Gráficamente b) Usando el método de bisección con tres iteraciones y valores iniciales x i = 1 y x, = 2. c) Usando el método de la regla falsa con tres iteraciones y los mismos valores iniciales del inciso anterior.


4.7 Determínese la rafa real de: f ( x) =

1 − 0.6 x x

a) Analíticamente b) Gráficamente c) Usando el método de la regla falsa con tres iteraciones y valores iniciales de 1.5 y de 2,0. Calcúlese el error aproximado ε a y el error verdadero ε v después de cada iteración. 4.8 Encuéntrese la raíz cuadrada positiva de 10 usando el método de la regla falsa con ε = 0.5 %. Empléense los valores iniciales de x l = 3 y xu = 3.2.

s

4.9 Encuéntrese la raíz positiva más pequeña de la función (x está dada en radianes): x2 sen x •= 4 Usando el método de la regla falsa. Para localizar la región en que cae la raíz, primero grafíquese la función para valores de x entre O y 4. Realícense los cálculos hasta que ε a haga que se cumpla e, = 1 %. Verifíquese la respuesta final sustituyéndola en la función original. 4.10 Encuéntrese la raíz real positiva de: f(x) = JC" – 8.6x3 – 35.51x2 + 464x – 998.46 Usando el método de la regla falsa- Úsese una gráfica para determinar los valores iniciales y realizar los cálculos con ε s = 0.1 %. 4.11 Determínese la raíz real de: f(x) = x3 - 100 a) Analíticamente b) Con el método de la regla falsa con εs = 0,1 %. 4.12 La velocidad del paracaidista está dada por la fórmula: v=

gm c

[1 − e − ( c / m) t ]


Donde g = 980. Para un paracaidista de masa m = 75 000 g calcúlese el coeficiente de rozamiento c con ü = 3600 cm/s en t = 6 s. Úsese el método de la regla falsa para determinar c con e¡ == 0.1 %. Problemas para resolver con computadora 4.13 Vuélvase a programar la figura 4.10 de forma tal que sea más legible al usuario. Entre otras cosas: a) Documéntese indicando la función de cada sección. b) Etiquétense las entradas y las salidas c) Agréguese una prueba que verifique si los valores iniciales x l y x u encierran a la raíz. d) d} Agréguese una prueba de verificación para que la raíz obtenida se sustituya en la ecuación original para comprobar si el resultado final se acerca a cero. 4.14 Pruébese el programa del problema 4.13 duplicando los cálculos del ejemplo 4.3 4.15 Úsese el programa del problema 4.13 para repetir desde el problema 4.1 al 4.6. 4.16 Repítanse los problemas 4.14 y 4.15 usando los programas de NUMERICOMP disponibles con el texto. Úsense las capacidades gráficas de este programa para verificar los resultados. 4.17 Úsense los programas de NUMERICOMP para encontrar las raíces reales de dos funciones polinomiales cualesquiera, Grafíquense las funciones sobre un rango definido para obtener los límites inferior y superior de las raíces. 4.18 Repítase el programa 4.17 usando dos funciones trascendentales. 4.19 En este problema se usan solamente las capacidades gráficas de los programas NUMERICOMP disponibles con el texto. Los programas trazan la función sobre intervalos más y más pequeños para incrementar la cantidad de cifras significativas que se quiera estimar una raíz. Empiécese con f(x) = e -x sen (10 x}. Grafíquese la función con un rango a escala completa desde x = O hasta x = 2,5, Estímese la raíz. Trácese nuevamente la función sobre el rango x = 0.5 a x = 1.0, Estímese la raíz. Finalmente, grafíquese la función sobre un rango de 0.6 a 0.7, Esto permite estimar la raíz con dos cifras significativas. 4.20 Desarróllese un programa legible al usuario para el método de la regla falsa basado en la sección 4.3.2. Pruébese el programa con el ejemplo 4.6.


4.21 Úsese el programa del problema 4.20 para probar los cálculos del ejemplo 4.7Realícense corridas de 5, 10. 15 y más iteraciones hasta que el error relativo porcentual sea menor del 0,1%, Grafíquense los errores relativos porcentuales aproximados contra el número de iteraciones sobre papel semilogarítmico. Interprétense los resultados.


CAPÍTULO CINCO

MÉTODOS ABIERTOS


En los métodos del capítulo anterior que usan intervalos, la raíz se encuentra dentro del mismo, dado por un límite inferior y otro superior. La aplicación repetida de estos métodos siempre genera aproximaciones más y más cercanas a la raíz. A tales métodos se les conoce como convergentes ya que se acercan progresivamente a la raíz a medida que crece el número de iteraciones (Fig. 5.1a). FIGURA 5.1 Esquema gráfico de las diferencias fundamentales entre los métodos que usan intervalos a) y los métodos abiertos b) y c) en la localización de raíces. En a), que ilustra el método de bisección, la raíz está registrada dentro del intervalo dado por x l y xu. En contraste, con los métodos abiertos, ilustrados en b) y c), se usa uno fórmula para proyector x, o x;^, con un esquema iterativo. De esta manera, el método puede divergir b) o converger c) rápidamente, dependiendo del unto inicial.

En contraste con éstos, los métodos abiertos que se describen en este capítulo, se basan en fórmulas que requieren de un solo valor x o de un par de ellos pero que no necesariamente encierran a la raíz. Como tales, algunas veces divergen o se alejan de la raíz a medida que crece el número de iteraciones (Fig. 5.1b). Sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen (Fig. 5.1c), en general lo hacen mucho más rápido que los métodos que usan intervalos. Se empieza el análisis de los métodos abiertos con una versión simple que es útil para ilustrar su forma general y también para demostrar el concepto de convergencia, 5.1 ITERACIÓN DE PUNTO FIJO Como se mencionó anteriormente, los métodos abiertos emplean una fórmula que predice una aproximación a la raíz. Tal fórmula se puede desarrollar para la iteración de punto fijo, rearreglando la ecuación /(x) ^O de tal forma que x quede del lado izquierdo de la ecuación: x = g(x)

[5.1]

Esta transformación se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas o simplemente agregando x a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo:


x2 - 2x + 3 = 0 Se puede reordenar para obtener; x =

x2 + 3 2

Mientras que sen x = 0 puede transformarse en la forma de la ecuación (5.1) sumándole x a ambos lados para obtener: x = sen x + x La utilidad de la ecuación (5.1) es que proporciona una fórmula para predecir un valor de x en función de x. De esta manera, dada una aproximación inicial a la raíz, x i, la ecuación (5.1) se puede usar para obtener una nueva aproximación x,+i, expresada por la fórmula iterativa: xi+1 = g(xi)

,

[5.2]

Como con otras fórmulas iterativas del libro, el error aproximado de esta ecuación se puede calcular usando el estimador de error [Ec. (3.5)]: ε a =

x i +1 − x i x i +1

100%

EJEMPLO 5.1 Iteración de punto fijo Enunciado del problema: úsese iteración de punto fijo para localizar la raíz de f(x) = e- x-x. Solución: la función se puede separar directamente y expresarse en la forma de ecuación (5.2) como xi+1 = e-xi. Empezando con un valor inicial de XQ= 0, se puede aplicar esta ecuación iterativa y calcular: Iteración 0 1 2 3 4

x 0 1.000000 0.367879 0.692201 0.500473

|εv|%

|εg|% 100.000 76.300 35.100 22.100 11.800

100.00 171.00 46.90 38.30


5 6 7 8 9 10

0.606244 0.545396 0.579612 0.560115 0.571143 0.464879

6.890 3.830 2.200 1.240 0.705 0.399

17.40 11.20 5.90 3.48 1.93 1.11

De esta manera, cada iteración acerca cada vez más al valor estimado con el valor verdadero de la raíz, o sea 0.567 143 29. RECUADRO 5.1 Convergencia de la iteración de punto fijo Al analizar la figura 5.3, se debe notar que la iteración de punto fijo converge si en la región de interés g'(x) < 1. En otras palabras, la convergencia ocurre si la magnitud de la pendiente de g(x) es menor que la pendiente de la línea f(x)= x. Esta observación se puede demostrar teóricamente. Recuérdese que la ecuación aproximada es: xi+1 = g(xi)

El lado derecho de esta ecuación es la pendiente de la línea que une a g(a) y g(b).De esta manera, el teorema del valor medio dice que hay al menos un punto entre a y b que tiene una pendiente, denotada por g(ξ), que es paralela a la línea que une g(a) con g(b) (Fig. 3.5). Ahora, si se hace o = x,'y b == x, el lado derecho de la ecuación (B5.1.2) se puede expresar como:

Supóngase que la solución verdadera es:.

g ( x r ) − g ( x i ) = ( x r − x i ) g ' (ξ )

Xr = g(xr ) Restando estas dos ecuaciones se obtiene: xr - xi+1 = g(xi) – g(x r ) [B5.1.1]

x r − x i +1 = ( x r − x i ) g ' (ξ ) [B5.1.3]

En el cálculo, existe un principio llamado teorema del valor medio (sección 3,5.2). Dice que si una función g(x) y su primera derivada son continuas sobre un Intervalo a < x < b, entonces existe un valor de x = S; dentro del intervalo para el que: g ' (ξ ) =

g (b) − g ( a ) b−a

Donde ξ se encuentra en alguna parte dentro de x i y x r . Este resultado se puede sustituir en la ecuación (B5.1.2) para obtener:

[B5.1.2]

Si el error verdadero para la i-ésima iteración se define como: E t ,i = x r − x i

Entonces la ecuación (B5.1.3) se convierte en: E t ,i +1 = g ' (ξ ) E t ,i

Por consiguiente, si g’(ξ) < 1, entonces los

FUNDAMENTOS DE ANALISIS NUMERICOS errores decrecen. Con cada iteración. Si g’(ξ)>1, entonces los errores crecen. Nótese también que si la derivada es positiva, los errores serán positivos, y por lo tanto, la solución iterativa será monótona (Figs. 5.3 a y c). Si la derivada es negativa, entonces los errores oscilarán (Figs. 5.3b y d),

Un corolario de este análisis demuestra que cuando el método converge, el error es casi proporcional a y menor que el error del paso anterior. Por esta razón, la iteración de punto fijo se dice que es linealmente convergente.

5.1.1 Convergencia Nótese que el error relativo exacto en cada iteración del ejemplo 5,1 es casi proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la iteración anterior. Esta propiedad, conocida como convergencia lineal, es característica de la iteración de punto fijo. En el recuadro 5.1 se presenta una base teórica para esta observación. Dos métodos gráficos alternativos para determinar la raíz de f(x) = e -x-x. a) Raíz en el punto donde ésta cruza al eje x b raíz en la intersección de los funciones com onentes.

Además de la "velocidad" de convergencia, se debe hacer hincapié en este momento sobre la "posibilidad" de convergencia. Los conceptos de convergencia y de divergencia se pueden ilustrar gráficamente. Recuérdese que en la sección 4.1 se gráfico una función para visualizar su estructura y su comportamiento (Ej. 4.1). Esta función se vuelve a graficar en la figura 5.2o- Un planteamiento gráfico diferente es el de separar la ecuación f(x) = 0 en dos partes, como


en: f 1(x) = f 2(x) Entonces las dos ecuaciones: y=f 1(x)

[5.3]

y=f 2(x)

[5.4]

y

Se pueden graficar por separado (Fig. 5.2b). Los valores de x correspondientes a las intersecciones de estas funciones representan las raíces de f(x) = 0. EJEMPLO 5.2 El método gráfico de dos curvas Enunciado del problema: sepárese la ecuación e -x-x = 0 en dos partes y determínese su raíz gráficamente. Solución: reformúlese la ecuación como y 1=x y y2=e-x. Calcúlense los siguientes valores:

x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y2 1.000 0.819 0.670 0.549 0.449 0.368

Estos puntos se grafican en la figura 5.2b. La intersección de las dos curvas indica una aproximación de x == 0.57, que corresponde al punto donde la curva original en la figura 5.2a cruza al eje x. El método de las dos curvas se puede usar ahora para ilustrar la convergencia y divergencia de la iteración de punto fijo. En primer lugar, la ecuación (5.1) se puede expresar como un par de ecuaciones: y 1 = x y y2= g(x). Estas dos ecuaciones se pueden graficar por separado. Tal fue e! caso de las ecuaciones (5.3) y (5.4), las raíces de f(x) = O son iguales al valor de la abscisa en la intersección de las dos curvas. En la figura 5.3 se grafican la función y 1= x y cuatro


esquemas diferentes de la función y 2= g(x).

FIGURA 5.3 Esquema gráfico de la convergencia a) y b) y la divergencia c) y d) de la iteración de punto fino- A las gráficos a) y c) se les conoce como patrones monótonos, mientras que a b) y d) se les conoce como patrones oscilatorios o en espiral. Nótese que la c onvergencia se obtiene cuando |g'(x) | < 1.

En el primer caso (Fig. 5.3a), el valor inicial x o se usa para determinar el punto correspondiente a la curva y 2 [X0, g(x0)]. El punto [x l , xl] se encuentra moviendo la curva y 1 a la izquierda y horizontalmente. Estos movimientos son equivalentes a la primera iteración del método de punto fijo: x1=g(x0)


De esta manera, en la ecuación y en la gráfica se usa un valor inicial XQ para obtener la aproximación xl. La siguiente iteración consiste en moverse al punto [x 1, g(x1)] y después a [x2, x2}. Esta iteración es equivalente a la ecuación: x1=g(x1) La solución en la figura 5.3a es convergente ya que la aproximación de x se acerca más a la raíz con cada iteración. Lo mismo se cumple para la figura 5.3b. Sin embargo, éste no es el caso para las figuras 5.3c y d, en donde las iteraciones divergen de la raíz. Nótese que la convergencia ocurre únicamente cuando el valor de la pendiente de y 2 = g(x) es menor al valor de la pendiente de y 1 = x, esto es, cuando |g' (x)| < 1. En el recuadro 5.1 se presenta una derivación teórica de este resultado. 5.1.2 Programa para la iteración de punto fijo El algoritmo para la computadora de la iteración de punto fijo es extremadamente simple. Consiste en un ciclo que calcula iterativamente nuevas aproximaciones junto con una declaración lógica que determina cuando se ha cumplido el criterio de paro.

FIGURA 5.4 Programa para la iteración de punto fijo. Nótese que el algoritmo general es similar al de los métodos abiertos.

En la figura 5.4 se presentan tos programas en FORTRAN Y BASIC para el algoritmo. Se pueden programar de manera similar otros métodos abiertos, simplemente cambiando la fórmula iterativa (declaración 130).


5.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Tal vez, dentro de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson (Fig. 5.5), sea la más ampliamente usada. Si el valor inicial de la raíces x i, entonces se puede extender una tangente desde el punto [x i, f(xi)]. El punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada a la raíz. El método de Newton-Raphson se puede derivar geométricamente (una forma de hacerlo es mediante el uso de la serie de Taylor, descrita en el recuadro 5.2). Como en la figura 5.5, la primera derivada en x es equivalente a la pendiente. f ' ( x i ) =

f ( x i ) f ' ( x i )

[5.5]

Que se puede reordenar para obtener: f ' ( x i +1 ) = x i +

f ( x i ) f ' ( x i )

[5.6]

A la que se conoce como fórmula de Newton-Raphson. FIGURA 5.5 Esquema gráfico del método de Newton-Raphson. Se extrapola una tangente o lo función en el punto x i [esto es, f’(x,)] hasta el eje x para obtener una estimación de la raíz en x i+1


EJEMPLO 5.3 Método de Newton-Raphson Enunciado del problema: úsese el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de e-x-x empleando el valor inicial de x 0 = 0. Solución: la primera derivada de la función se puede evaluar como: f(x)= -e-x- 1 Que se puede sustituir, junto con la función original en la ecuación (5.6) para dar: x i +1 = x i −

e − xi − x i

− e − xi − 1

Empezando con el valor inicial x o = 0, se puede aplicar la ecuación iterativa para calcular:

Iteración i 0 1 2 3 4

x 0 0.500000000 0.566311003 0.567143165 0.567143290

|εv|% 100 11.8 0.147 0.0000220 <10 -8

De esta manera, el planteamiento converge rápidamente a la raíz real. Nótese que el error relativo en cada iteración decrece mucho más rápido que como lo hace la iteración de punto fijo (compárese con el ejemplo 5.1). 5.2.1 Criterios de paro y estimación de errores Como con los otros métodos de localización de raíces, la ecuación (3,5) se puede usar como un criterio de paro- Además, la derivación del método con la serie de Taylor (recuadro 5.2) proporciona un conocimiento teórico relacionado con la velocidad de convergencia expresado como: E i+1=0(E 1). De esta forma, el error debe ser casi proporcional al cuadrado del error anterior. En otras palabras, el número de cifras significativas se duplica aproximadamente en cada iteración. Este comportamiento se examina en el siguiente ejemplo.


RECUADRO 5.2 Derivación y análisis del error del método de Newton-Raphson a partir de la serie de Taylor Además de la derivación geométrica [ecuaciones (5.5) y (5.6)], el método del NewtonRaphson se puede derivar también del uso de la serie Taylor. Esta derivación alternativa es muy útil en el sentido de que muestra la penetración en la velocidad de convergencia del método. Recuérdese del capitulo 3 que la serie de Taylor se puede representar como: f ' ' (ξ )

f ( x i +1 ) = f ( x i ) + f ' ( xi)( x i +1 − x i ) +

2

( x i +1 − x i ) 2

[B5.2.1]

En donde ξ se encuentra en alguna parte del intervalo entre x i y xi+1. Truncando la serie Taylor después de la primera derivada, se obtiene una versión aproximada: f ( x i +1 ) ≅ f ( x i ) + f ' ( x i )( x i +1 − x i )

[B5.2.2]

Que se resuelve para: x i +1 = x i −

f ( x i ) f ' ( x i )

Que es idéntica a la ecuación (5.6). De esta forma, se ha derivado el método de NewtonRaphson usando la serie de Taylor. Además de la derivación, la serie de Taylor se puede usar para estimar error de la formula. Esto se puede lograr al utilizar los términos de la ecuación B5.2.1 con el resultado exacto. Por esta estimación x i+1 = xr , en donde xr es el valor exacto de la raíz. Sustituyendo esta valor, junto con f(x r ) = 0 en la ecuación (B5.2.1) se obtiene: 0 = f ( x i ) + f ' ( x i )( x r − x i ) +

f ' ' (ξ ) 2

( x r + x i ) 2

[B5.2.3]

La ecuación (B5.2.2) se puede restar de la ecuación (B5.2.3) para obtener: 0 = f ' ( x i )( x r − x i ) +

f ' ' (ξ ) 2

( x r + x i ) 2

[B5.2.4]


Ahora, notando que el error es igual a la diferencia entre x i+1 y el valor de x r como en: E v ,i +1 = x r − x i +1

Y la ecuación (B5.2.4) se puede expresar como: 0 = f ' ' ( x i ) E v,i +1

f ' ' (ξ ) 2

E v ,i +1

[B5.2.5]

Si se supone que hay convergencia, entonces xi y ξ se deberían aproximar a a la raíz xr, y la ecuación (B5.2.5) se puede reordenar para obtener: E v ,i +1 ≅

− f ' ' ( x r ) 2 f ' ( x r )

E v ,i

2

[B5.2.6]

De acuerdo ala ecuación (B5.2.6) el error es casi proporcional al cuadrado del error anterior. Esto significa que el número de cifras decimales correctos se duplica aproximadamente en cada iteración. A este comportamiento se le llama convergencia cuadrática. El ejemplo 5.4 ilustra esta propiedad. Ejemplo 5.4 Análisis de Error en el Método de Newton-Raphson Enunciado Problema: como se dedujo en el Recuadro 5.2 el método de Newton-Raphson es convergente cuadráticamente. Esto es, el error es aproximadamente proporcional al cuadrado del error anterior, dado por: E v ,i +1 ≅ −

− f ' ' ( x r ) 2 f ' ( x r )

E v ,i

2

Examínese esta fórmula y véase si es aplicable a los resultados del ejemplo 5.3. Solución: la primera derivada de f(x) = e -x -x es: f’(x) = -e-x- 1 Que se puede evaluar en x r = 0.567 143 29 para dar:

[E5.4.1]


f’(0.567 143 29) = -1.567 143 29 La segunda derivada es: f’’(x)=e-x Que se puede evaluar, para obtener: f’(0.567 143 29) = 0.567 143 29 Estos resultados se pueden sustituir en la ecuación (E5.4.1) para obtener: E v ,i +1 ≅

0.56714329 2( −1.56714329)

E v ,i ó E v ,i +1 ≅ 0.18095E v ,i 2

2

Del ejemplo 5.3, el error inicial fue de E t0= 0.567 143 29, que se puede sustituir en la ecuación del error para obtener: Ev,1 ≅ = 0.180 95(0.567 143 29)2 = 0.058 2 Que se acerca al error real de = 0.067 143 29. En la siguiente iteración: Ev,2 = 0.180 95(0.067 143 29)2 = 0.000 815 8 Que también se compara favorablemente con el error real de 0.000 832 3. En la tercera iteración: Ev,3 = 0.180 95(0.000 832 3}2 = 0.000 000 125 Que es exactamente el error obtenido en el ejemplo 5.3. La estimación del error mejora de esta manera ya que está más cercano a la raíz, x i y ξ se aproximan mejor mediante x r [recuérdese la suposición manejada al derivar la ecuación (B5.2.6) a partir de la ecuación (B5.2.5), en el recuadro 5.2]. Finalmente: Ev,4 = 0.180 95(0.000 000 125}2 = 2.83 x 10 -15 De esta manera este ejemplo ilustra que el error en el método de Newton-Raphson es en este caso, de hecho, casi proporciona! (por un factor de 0.180 95} al cuadrado del error en la iteración anterior.


5.2.2 Desventajas del método de Newton-Raphson Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que se porta deficientemente, un caso especial —raíces múltiples— se analiza al final del capítulo. Sin embargo, aun cuando se trate de raíces simples, se encuentran dificultades, como en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5.5 Ejemplo de una función que converge lentamente con el método de Newton-Raphson Enunciado del problema: determínese la raíz positiva de f(x) = x 10 - 1 usando el método de Newton-Raphson con un valor inicial de x = 0.5. Solución: la fórmula del método de Newton-Raphson es en este caso: x i +1 = x i −

x i

10

−1

10 xi

9

Que se puede usar para calcular: Iteración 0 1 2 3 4 5

xi 00.5 51.65 46.485 41.8365 37.65285 33.887565

De esta forma, después de la primera predicción deficiente, e! método converge a la raíz 1, pero con una velocidad muy lenta. Además de la convergencia lenta, debida a la naturaleza de la función, se pueden originar otras dificultades, como se ilustra en la figura 5.6, Por ejemplo, la figura 5.6a muestra el caso donde un punto de inflexión — esto es, f’’(x) = 0 — ocurre en la vecindad de una raíz. Nótese que las iteraciones que empiezan en x divergen progresivamente de la raíz. En la figura 5.6b se ilustra la tendencia del método de Newton-Raphson a oscilar alrededor de un punto mínimo o máximo local. Tales oscilaciones persisten, o, como en la figura 5.6b, se alcanza una pendiente cercana a cero, después de lo cual la solución se aleja del área de interés. En la figura 5.6c, se ilustra como un valor inicial cercano a una raíz puede saltar a una posición varías raíces lejos. Esta tendencia de alejarse del área de


interés se debe a que se encuentran pendientes cercanas a cero. Obviamente, una pendiente cero [f’(x) = 0] es un real desastre que causa una división por cero en la fórmula de Newton-Raphson [Ec. (5.6)] Gráficamente (Fig. 5.6d), esto significa que la solución se dispara horizontalmente y ¡amas toca al eje x. FIGURA 5.6 Cuatro casos donde el método de NewtonRaphson exhibe una convergencia lenta.

La única solución en estos casos es la de tener un valor inicial cercano a la raíz. Este conocimiento, de hecho, lo proporciona el conocimiento físico de! problema o mediante el uso de herramientas tales como las gráficas que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la solución. Esto sugiere también que se deben diseñar programas eficientes que reconozcan la convergencia lenta o la divergencia. La siguiente sección está enfocada hacia estos temas.


5.2.3 Programa paro el método de Newton-Raphson Con sólo sustituir la línea 130 de la figura 5.4, se obtiene el método de Newton-Raphson. Nótese, sin embargo, que el programa se debe también modificar para calcular la derivada. Esto se puede llevar a cabo simplemente incluyendo una función definida por el usuario. Además, de acuerdo a las discusiones anteriores sobre los problemas potenciales del método de Newton-Raphson, el programa se debe modificar incorporándole algunos rasgos adicionales: 1. Si es posible, se debe incluir una rutina de graficación dentro del programa. 2. Al final de los cálculos, la aproximación a la raíz siempre se debe sustituir en la función original para calcular en qué casos el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege contra aquéllos casos donde se observa convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de ε a mientras que la solución puede estar aún muy lejos de una raíz. 3. El programa siempre debe incluir un límite máximo sobre el número permitido de iteraciones para estar prevenidos contra las oscilaciones y la convergencia lenta, o las soluciones divergentes persistirán interminablemente. 5.3 MÉTODO DE LA SECANTE Un problema fuerte en la implementación del método de Newton-Raphson es el de la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras funciones, existen algunas de éstas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar, En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia divida, como (Fig. 5.7): FIGURA 5.7 Esquema gráfico del método de la secante. Esta técnica es similar a la del método de Newton-Raphson (Fig. 5.5) en el sentido de que una aproximación a lo raíz se calculo extrapolando una tangente de la función hasta el eje x. Sin embargo, el método de la secante usa una diferencia en vez de la derivada para aproximar la pendiente.

FUNDAMENTOS DE ANALISIS NUMERICOS f ' ( x i ) ≅

f ( x i −1 ) − f ( x i ) x i −1 − x i

Esta aproximación se puede sustituir en la ecuación (5.6) obteniendo la ecuación iterativa: x i +1 = x i −

f ( x i ) − f ( x i −1 − x )

[5.7]

f ( x i −1 ) − f ( x i )

La ecuación (5.7) es la fórmula para el método de la secante. Nótese que e! planteamiento requiere de dos puntos iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se requiere que f(x) cambie de signo entre estos valores, a este método no se le clasifica como aquellos que usan intervalos. EJEMPLO 5.6 EL método de la secante Enunciado del problema: úsese el método de la secante para calcular la raíz de f(x) = e -x-x Empiécese con los valores iniciales de x -i = 0 y X o = 1.0. Solución: recuérdese que la raíz real es 0.567 143 29… Primera iteración: x-i = 0 f(x-1) = 1.000 00 x0 = 1 f(x0) = -0.632 12 − 0.63212(0 − 1) x1 = 1 − = 0.61270 1 − (−0.63212)

ε v = 8.0%

Segunda iteración: x0 = 1 f(xo) = -0.632 12 xi = 0.612 70 f(x i) = -0.070 81 (Nótese que las dos aproximaciones se encuentran del mismo lado que la raíz.) x 2 = 0.61270

0.07081(10.61270)

− 0.63212 − (−0.07081)

= 0.56384

ε v = 0.58%


Tercera iteración: xi = 0.61270 f(x 1) = -0.070 81 x2 = 0.563 84 f(x 2) = 0.005 18 x 3 = 0.56384 −

0.00518(0.61270 − 0.563)84

− 0.07081 − (0.00518)

= 0.56717

5.3.1 Diferencias entre los métodos de la secante y de la regla falsa Nótese la similitud entre los métodos de la secante y de la regla falsa. Por ejemplo, las ecuaciones (5.7) y (4.4) son idénticas término a término. Ambas usan dos estimaciones iniciales, para calcular una aproximación a la pendiente de la función que se usa para proyectar hacia el eje x una nueva aproximación a la raíz. Sin embargo, existe una diferencia crítica entre ambos métodos y ésta estriba en la forma en que uno de los valores iniciales se reemplaza por la nueva aproximación. Recuérdese que en el método de la regla falsa, la última aproximación de la raíz reemplaza a aquel valor cuya función tenía el mismo signo de /(x,). En consecuencia, las dos aproximaciones siempre encierran a la raíz. Por lo tanto, en todos ¡os casos prácticos, el método siempre converge ya que la raíz se encuentra dentro del interval0 En contraste el método de la secante reemplaza los valores en una secuencia estricta, con el nuevo valor x,4,i se reemplaza a x, y x, reemplaza a x;_i. Como resultado de esto, los dos valores pueden caer de un mismo lado de la raíz. En algunos casos, esto puede provocar divergencia. EJEMPLO 5.7 Comparación de la convergencia en los métodos de la secante y la regla falsa, Enunciado del problema: úsense los métodos de la secante y de la regla falsa para calcular la raíz de f(x) = ln x. Háganse los cálculos con los valores iniciales x l= xi-1. 0.5 y xu= xi= 5.0. Solución: en el método de la regla falsa, usando la ecuación (4.4) y los criterios de obtención de la raíz en el intervalo mediante el reemplazo de los valores correspondientes en cada aproximación, se generan las siguientes iteraciones:

Iteración 1 2 3

xl 0.5 0.5 0.5

xu 5.0 1.8546 1.2163

xr 1.8546 1.2163 1.0585

Como se puede ver (Figs. 5.8a y c), las aproximaciones convergen a la raíz real = 1.


En el método de la secante usando la ecuación (5.7) y el criterio secuencial para reemplazar las aproximaciones se obtiene:

Iteración 1 2

xI-1 0.5 5.0

xi 5.0 1.8546

xI+1 1.8546 -0.10438

Como se muestra en la figura 5.8d, el comportamiento del método es divergente. FIGURA 5.8 Comparación entre los métodos de la regla falsa y de lo secante. Las primeras iteraciones a) y b) de ambos métodos son idénticas. Sin embargo, en las segundas c) y d), los puntos usados son diferentes. En consecuencia, el método de la secante puede divergir, como lo muestra d).

Aunque el método de la secante sea divergente en algunos casos, cuando converge lo hace más rápido que el método de la regla falsa. Por ejemplo, en la figura 5.9, que se basa en los ejemplos 4.3, 4.6, 5.3 y 5.6, se muestra la superioridad del método de la secante. La inferioridad del método de la regla falsa se debe a que un extremo permanece fijo y de esta manera mantiene a la raíz dentro del intervalo. Esta propiedad, que es una ventaja porque previene la divergencia, es una desventaja en relación a la velocidad de convergencia; esto hace que la aproximación con diferencias divididas sea menos exacta que la derivada.


FIGURA 5.9 Comparación de los errores relativos porcentuales εv para cada uno de los métodos en la determinación de las raíces de f(x) = e-x — x.

5.3.2 Programo para el método de la secante Como con los otros métodos abiertos, se obtiene un programa del método de la secante simplemente modificando la línea 110, de tal forma que se puedan introducir dos valores iniciales y sustituyendo la ecuación (5.7) en la línea 130 de la figura 5.4. Además, las opciones sugeridas en la sección 5.2.3 para el método de Newton-Raphson se pueden aplicar al programa de la secante para obtener tales ventajas, 5.4 RAÍCES MÚLTIPLES Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo, dos raíces repetidas resultan de: f ( x ) = ( x − 3)( x − 1)( x − 1)

o, multiplicando términos,

[5.8]

FUNDAMENTOS DE ANALISIS NUMERICOS f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 3

[5.9]

La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x anula dos términos de la ecuación (5.8). Gráficamente, esto significa que la curva toca tangencialmente al eje x en la raíz doble. Véase la figura 5.10a en x = 1. Nótese que la función toca al eje pero no lo cruza en la raíz. Una raíz triple corresponde al caso en que un valor de x se anula en tres términos de la ecuación, como en: f ( x) = ( x − 3)( x − 1)( x − 1)( x − 1)

o, multiplicando, f ( x) = x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 10 x + 3

Nótese que el esquema gráfico (Fig. 5. 10b) indica otra vez que la función es tangencial al eje en la raíz pero que en este caso sí cruza el eje. En general, la multiplicidad impar de raíces cruza el eje, mientras que la multiplicidad par no lo cruza. Por ejemplo, la raíz cuarta en la figura 5.10c no cruza el eje. Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultades a los métodos numéricos expuestos en la parte II:

FIGURA 5.10 Ejemplos de raíces múltiples tangentes al eje X. Nótese que la función no cruza el eje en casos de multiplicidad par a) y c), mientras que para multiplicidad impar sí lo hace b).

1. El hecho de que la función no cambia de signo en una raíz de multiplicidad par impide el uso de los métodos confiables que usan intervalos, discutidos en el capítulo 4. De esta manera, de los métodos incluidos en este texto, los abiertos tienen la limitación de que pueden divergir. 2. Otro posible problema se relaciona con el hecho de que no sólo f(x) se aproxima a cero. Estos problemas afectan a los métodos de Newton-Raphson y al de la secante, los que contienen derivadas (o aproximaciones a ella) en el denominador de sus respectivas fórmulas. Esto provocaría una división entre cero cuando la solución se acerque a la raíz. Una forma simple de evitar estos problemas, que se ha demostrado teóricamente (Raltson y Rabinowitz, 1978), se basa en el hecho de que f(x). Por lo tanto, si se verifica f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que f(x) llegue a cero.


3. Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson y el de la secante convergen en forma lineal, en vez de manera cuadrática, cuando hay raíces múltiples (Raltson y Rabinowitz, 1978). Se han propuesto algunas modificaciones para aliviar este problema. Ralston y Rabinowitz (1978) proponen que se haga un pequeño cambio en la formulación para que retorne su convergencia cuadrática, como: x i +1 = x1 − m

f ( x i ) f ' ( x i )

En donde m es la multiplicidad de la raíz (esto es, m = 2 para una raíz doble, m = 3 para una raíz triple, etc.). De hecho, puede resultar insatisfactorio porque presupone el conocimiento de la multiplicidad de las raíces. Otra alternativa, también sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978), es la de definir una nueva función u(x), que es el cociente de la función y su derivada, esto es: u ( x) = x1 −

u ( x i ) u ' ( x i )

[5.10]

Se puede demostrar que esta función tiene raíces en las mismas posiciones que la función original. Por lo tanto, la ecuación (5.10) se puede sustituir en la ecuación (5.6) y de esta forma desarrollar una forma alternativa del método de Newton-Raphson: x i +1 = x i −

u ( x i ) u ' ( x i )

[5.11]

Se puede derivar la ecuación (5.10), obteniendo: u ' ( x) =

f ' ( x ) f ' ( x ) − f ( x ) f ' ' ( x )

[ f ' ( x)]

2

[5.12]

Se pueden sustituir las ecuaciones (5.10) y (5.12) en la ecuación (5.11) para obtener: x i +1 = x i −

f ( x i ) f ' ( x i ) [ f ' ( x i )]2 − f ( x i ) f ' ' ( x i )

[5.13]


EJEMPLO 5.8 Método de Newton-Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples. Enunciado del problema; úsense los dos métodos, el estándar y el modificado de NewtonRaphson para evaluar la raíz múltiple de la ecuación (5.9), con un valor inicial de XQ= 0. Solución: la primera derivada de la ecuación (5.9) es f’(x) == 3x 2 — 10x + 7, y por lo tanto, el método de Newton-Raphson para este problema [Ec. (5.6)] es: x i − 5 x i + 7 x i − 3 3

x i +1 = x i −

2

3 x i − 10 x i + 7 2

Que se puede resolver iterativamente para obtener:

i 0 1 2 3 4 5 6

xi

|εv|% 100.0 57.0 31.0 17.0 8.7 4.4 2.2

0 0.428571429 0.685714286 0.832865400 0.913328983 0.955783296 0.977655101

Como ya se había anticipado, el método converge linealmente hasta el valor verdadero de 1.0. Para el caso del método modificado, la segunda derivada es f’’(x) = 60x - 10, y la relación iterativa es [Ec. (5.13)]: ( x i − 5 x i + 7 x i − 3)(3 x i − 10 x i + 7) 3

x i +1 = x i

2

2

(3 x i − 10 x i + 7) 2 − ( x i − 5 x i + 7 x i − 3)(6 x i − 10) 2

3

2

Que se puede resolver para obtener:

I 0 1 2 3

xi 0 1.105263158 1.003081664 1.000002382

|εv|% 100.00000 11.00000 0.31000 0.00024


De esta forma, el método modificado converge cuadráticamente. Se pueden usar ambos métodos para buscar la raíz simple en x = 3. Usando un valor inicial de x 0= 4 se obtienen los siguientes resultados:

i 0 1 2 3 4 5

Estándar Ev 4 (33%) 3.4 (13%) 3.1 (3.3) 3.008695652 (0.29%) 3.000074641 (2.5x10 -3%) 3.000000006 (2+10 -7%)

Modificado |Ev| 4 (33%) 2.636363637 (12%) 2.820224720 (6.0%) 2.961728211 (1.3%) 2.998478719 (0.051%) 2.999997682 (7.7 x 10 -5%)

De esta forma, ambos métodos convergen rápidamente, siendo el método estándar más eficiente. El ejemplo anterior ilustra los factores de mayor importancia involucrados al escoger e! método de Newton modificado. Aunque es preferible en raíces múltiples, algunas veces es menos eficiente y requiere más esfuerzo computacional que e! método estándar para el caso de raíces simples. Se debe notar que se puede desarrollar una versión modificada del método de la secante para raíces múltiples sustituyendo la ecuación (5.10} en la ecuación (5,7). La fórmula resultante es (Ralston y Rabinowitz, 1978): x i +1 = x i −

u ( x i )( x i −1 − x i ) u ( x i −1 ) − u ( x i )

PROBLEMAS Cálculos a mano 5.1 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar la raíz mayor de: f(x) = -0.875x2 + 1.75x + 2.625. Empléese un valor inicial de x¡ = 3.1. Realícese los cálculos hasta que ε a sea menor del εs= 0.01%, También verifíquense los errores en la respuesta final. 5.2 Determínense las rafees reales de: f(x) = -2.1 + 6.21x - 3.9x2 + 0.667x3


a) Gráficamente b) Usando el método de Newton-Raphson hasta qLie.c, = 0.01%. 5.3 Empléese el método de Newton-Raphson para determinar las raíces reales de f(x)=23.33 + 79.35x - 88,09x2 + 41.6x3 - 8,68x4 + 0.658x5 Usando el valor inicial de a) x,= 3,5; b) x= 4.0 y c) x,= 4,5, Pruébense y úsense los métodos gráficos para explicar cualquier peculiaridad en los resultados. 5.4 Determínese la raíz real menor de: f(x) = 9.36 - 21.963x + 16.2965x2 - 3.70377x:f a) Gráficamente b) Usando el método de la secante, hasta un valor de ε s correspondiente a tres cifras significativas. 5.5 Localícese la raíz positiva de: f(x) = 0.5x - sen x Donde x está dada en radianes. Úsese un método gráfico y después calcúlese tres iteraciones con el método de Newton-Raphson con un valor inicial de x I=2.0 para calcular la raíz. Repítanse los cálculos pero con un valor inicial de x i= 1.0. Úsese el método gráfico para explicar los resultados, 5.6 Encuéntrese la raíz real positiva de: f(x) = x4 - 8.6x3 - 35.5lx2 + 464x - 998.46 Usando el método de la secante. Empléense los valores iniciales de x i-1 = 7 y xi 9 y calcúlense cuatro iteraciones Calcúlese e εa e interprétense los resultados. 5.7 Realícense los mismos cálculos del problema 5.6 pero usando el método de NewtonRaphson, con un valor inicial de x i= 7. 5.8 Encuéntrese la raíz cuadrada positiva de 10 usando tres iteraciones con: a) El método de Newton-Raphson, con un valor inicial de x i=3


b) El método de la secante, con valores iniciales de x i-1= 3 y xi=3.2. 5.9 Determínese la raíz real de: f ( x) =

1 − 0.6 x 2

Usando tres iteraciones y el método de la secante con valores iniciales x i-1 - 1.5 y x i= 2.0. Calcúlese el error aproximado ^ después de la segunda y la tercera iteración. 5.10 Determínese la raíz real de: f(x) = X3 – 100 Con el método de la secante, con ε s,= 0.1%, 5.11 Determínese la raíz real mayor de: x3 - 6x2 + 11x- 6 a) Gráficamente b) Usando el método de bisección (dos iteraciones, x l= 2.5 y xu= 3.6). c) Usando el método de la regla falsa (dos iteraciones, x l= 2.5 y xu= 3.6) d) Usando el método de Newton-Raphson (dos iteraciones, x i= 3.6). e) Usando el método de la secante (dos iteraciones, x i-1 = 2.5 y xi = 3.6). 5.12 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar todas las raíces de: f(x) = x2+5.78 x - 11.4504 con ε S = 0.001%. 5.13 Determínese la raíz real más pequeña de: f(x) = 9.36 - 21.963x + 16,296 5x 2 - 3.70377x3 a) Gráficamente b) Usando el método de bisección (dos iteraciones, x l= 0.5 y xu= 1.1). c) Usando el método de la regla falsa (dos iteraciones, x l= 0.5 y xu= 1.1). d) Usando el método de Newton-Raphson (dos iteraciones, x l= 0.5). e) Usando el método de la secante (dos iteraciones, x i-1= 0.5 y xi= 1.1). 5.14 Determínese la raíz positiva rea! más pequeña de: /(x) = 4x4- 24.8x3 + 57.04x2 - 56.76x + 20.57


a) Gráficamente b) Usando el método disponible más eficiente. Empléense los valores iniciales de x l = x i-1 = 0.5 y xu = xi = 1.5 y realícense los cálculos hasta que ε s = 15% 5.15 Determínense [as raíces de f(x) = x3 - 3.2x2 - 1.92x + 9.216 a) Gráficamente b) Usando el método disponible más eficiente con s,= 0.1% 5.16 Repítase el problema 4.12, pero usando el método de Newton-Raphson, 5.17 Repítase el problema 4.12, pero usando el método de la secante-Problemas relacionados con la computadora 5.18 Desarróllese un programa para el método de Newton-Raphson basado en la figura 5.4 y en la sección 5.2.3. Pruébese el programa duplicando los cálculos del ejemplo 5.3 5.19 Úsese el programa desarrollado en el problema 5.18 y duplíquense los cálculos del ejemplo 5.5, Determínese la raíz usando un valor inicial de x,= 0.5. Realícense 5, 10, 15 o más iteraciones hasta que el error relativo porcentual exacto sea menor del 0.1%. Grafíquense los errores relativos porcentuales exacto y aproximado contra el número de iteraciones sobre pape! semilogarítmico, Interprétense ¡os resultados. 5.20 Úsese el programa desarrollado en el problema 5,18 para resolver los problemas 5-1 al 5-5. En todos los casos, realícense los cálculos dentro de la tolerancia de t,= 0.001%. 5.21 Desarróllese un programa para el método de la secante basado en la figura 5,4 y en la sección 5.3.2. Pruébese el programa duplicando los cálculos del ejemplo 5.6. 5.22 Úsese el programa desarrollado en e! problema 5,21 para resolver los problemas 5.6, 5.9 y 5.10. En todos los casos, realícense los cálculos dentro de la tolerancia de ε S = 0.001%.


CAPÍTULO SEIS

CASOS DE LA PARTE DOS:

RAÍCES DE ECUACIONES


La finalidad de este capítulo es la de usar los procedimientos numéricos analizados en los capítulos 4 y 5 para resolver problemas reales de ingeniería. Los métodos numéricos son importantes en la práctica ya que frecuentemente los ingenieros encuentran problemas que no se pueden plantear desde un punto de vista analítico. Por ejemplo, algunos modelos matemáticos que se pueden resolver analíticamente no son aplicables en los problemas prácticos. Debido a esto, se deben usar modelos más complicados. En estos casos, es conveniente implementar un método numérico que se pueda usar en una microcomputadora. En otros casos, los problemas requerirán soluciones explícitas en ecuaciones muy complicadas (recuérdese la sección 11.1.2 y el ejemplo 4.5). Los siguientes casos de estudio son una muestra de aquellos que en forma rutinaria se encuentran durante los estudios superiores o de licenciatura. Más aún, son problemas representativos de aquéllos que se encontrarán en la vida profesional. Los problemas van desde la ingeniería económica en general, hasta las especialidades de la misma: química, civil, eléctrica y mecánica. Estos casos de estudio ilustran algunos de los factores de más importancia entre las técnicas numéricas. Por ejemplo, el coso 6.1 hace uso de todos los métodos, con excepción del método de Newton-Raphson para analizar puntos de equilibrio que resulten económicos. El método de Newton-Raphson no se usó porque la función en análisis es difícil de derivar. Entre otras cosas, en el ejemplo se demuestra como puede divergir el método de la secante, si el valor inicial no se encuentra lo suficientemente cerca de la raíz. El caso 6.2 tomado de la ingeniería química, muestra un ejemplo excelente de cómo se pueden aplicar los métodos para la búsqueda de raíces de fórmulas que se presentan en la práctica de la ingeniería. Además, este ejemplo demuestra la eficiencia del método de Newton-Raphson cuando se requiere un gran número de cálculos en la localización de la raíz: Los casos 6.3, 6.4 y 6.5 son problemas de ingeniería de diseño, tomados del área de civil, eléctrica y mecánica. El caso 6.3 aplica tres métodos diferentes para determinar las raíces de un modelo de crecimiento demográfico. En el caso 6-4, se realiza un análisis semejante de un circuito eléctrico. Finalmente, el coso 6.5 analiza las vibraciones de un automóvil. Además de analizar la eficiencia de cada uno de los métodos, este ejemplo tiene una característica adicional, que es la de ilustrar cómo los métodos gráficos sirven de ayuda en el proceso de localización de raíces. CASO 6.1 ANÁLISIS DE PUNTO DE EQUILIBRIO (INGENIERÍA EN GENERAL) Antecedentes: en la práctica de la ingeniería óptima se requiere que los proyectos, productos y la planificación de los mismos sean enfocados de tal manera que resulten


económicos. Por lo tanto, a un ingeniero con experiencia deben serle familiares los análisis de costos- El problema que se trata en esta sección se conoce como "problema de puntos de equilibrio". Se usa para determinar el punto en el cual dos alternativas tienen valores equivalentes. Estos problemas se encuentran en todos los campos de la ingeniería. Aunque el problema se enfoca en términos personales, se puede tomar como prototipo de otros problemas de análisis de puntos de equilibrio, que se encuentran a menudo en la vida profesional. Se está considerando la compra de una o dos microcomputadoras: La "Micro-uno" y la "Micro-dos". En el cuadro 6.1 se encuentran resumidas algunas características, los costos aproximados y los beneficios de cada una de ellas. Si se puede pedir un préstamo con un interés del 20% (i = 0.20), ¿cuanto tiempo se deberá poseer las máquinas, de manera que tengan un valor equivalente? En otras palabras, ¿cuál es el punto de equilibrio medido en años? Solución: como es común en problemas de economía, se tiene una mezcla de costos presentes y futuros. Por ejemplo, en la figura 6.1 se muestra que la compra de la Microuno involucra un gasto inicial de $3 000. Además de este desembolso, también se requiere dinero para el mantenimiento anual de la máquina- Debido a que estos costos tienden a aumentar a medida que la máquina se usa más y más, se supone que los costos de mantenimiento crecen linealmente con el tiempo. Por ejemplo, alrededor del décimo año se requieren $2 000 anuales para mantener la máquina en condiciones de trabajo (Fig. 6.1). Finalmente y además de estos costos se deben deducir beneficios del propietario de la computadora. Las ganancias y las prestaciones derivadas de la Microuno se caracterizan por un ingreso anual constante de $1 000. CUADR06.1 Costos y beneficios de dos microcomputadoras. Los signos negativos indican un costo o una pérdida mientras que un signo positivo indica una ganancia COMPUTADORA Micro-Uno Micro-Dos Costo de la compra, $ -3000 -10000 Incremento en el mantenimiento del costo por año, -200 -50 $/año/año Ganancias y beneficios anuales $/año

1000

4000

Para valorar las dos opciones estos costos se deben convertir en medidas comparables. Una manera de hacerlo es expresando todos los costos individuales como si fuesen pagos anuales, esto es, el costo equivalente por año sobre toda la vida útil de la computadora. Las ganancias y las prestaciones ya se encuentran en este formato. Se


puede disponer de las fórmulas de economía para expresar los costos de compra y de mantenimiento de la misma forma. Por ejemplo, el costo de la compra inicial se puede transformar en una serie de pagos anuales mediante la fórmula (Fig. 6.2a): A p = P

i(i + 1) n (i + i ) n − 1

[6.1]

FIGURA 6.2 Esquema gráfico del uso de una fórmula de economía, a) Transformación de un pago en una serie de pagos anuales equivalentes usando la ecuación (6.1) y b) transformación de una serie de gradiente aritmético en una serie de pagos anuales equivalentes usando la ecuación (6.2).

En donde A p es el monto del pago anual, P es el costo de la compra, í es la tasa de interés y n es el número de años. Por ejemplo, el pago inicial de la Micro-uno es de $—3 000, en donde el signo negativo indica pérdidas. Si 1a tasa de interés es del 20% (i = 0.2), entonces: Ap = −3000

0.2(1.2 )

n

1.2 n − 1

Por ejemplo, si los pagos iniciales se extienden hasta 10 años (n = 10), se puede usar esta fórmula para calcular que el pago anual equivalente sería de $—715-57 por añoA los costos de mantenimiento se les conoce como serie de gradiente aritmético porque crecen a un promedio constante. La conversión de estas series a una tasa anual A se puede calcular con la fórmula: 1  n Am = G  −  n  i (1 + i) − 1

[6.2]

En donde G es la tasa de crecimiento en el mantenimiento. Como se puede ver en la


figura 6.2b esta fórmula transforma el costo de mantenimiento creciente en una serie equivalente de pagos anuales constantes. Estas ecuaciones se pueden combinar de forma tal que se pueda expresar el valor de cada computadora en términos de una serie uniforme de pagos Por ejemplo, para la Micro-uno: Av = −3000

0.2(1.2) n

n   1 200 − −  0.2 1.2 n − 1 + 1000 1.2 n − 1  

Valor total = - costo de compra - costo de mantenimiento + ganancias

En donde A, denota el valor anual Iota!. Agrupando términos, esta ecuación se puede simplificar: − 600(1.2) n 200n Av = + 1.2 n − 1 1.2 n − 1

[6.3]

Si después de poseer la Micro-uno durante dos años se decide descartarla, entonces sustituyendo n = 2 en la ecuación (6.3) resultará que el costo es de $1 055 por año- Si la computadora se descarta después de poseerla 10 años (n = 10), la ecuación muestra un costo de $330 por año. De manera similar, para la Micro-dos se puede desarrollar una ecuación para el costo anual, dado por: − 2000(1.2) n 200n Av = + 1.2 n − 1 1.2 n − 1

[6.4]

Los valores de la ecuación (6.4) para n = 2 y n = 10 son de $—2 568 y $+ 1 461 por año, respectivamente. De esta manera, aunque la Micro-dos es más costosa en base a periodos cortos, si se posee por periodos largos, no sólo es más barata, sino que producirá ganancias al propietario. En la figura 6,3a se muestran las ecuaciones f6.3) y (6.4) para varios valores de n. La identificación del punto en et que las dos máquinas tienen valores iguales indica cuando la Micro-dos viene a ser la mejor compra. Gráficamente, esto corresponde a la intersección de las dos curvas en la figura 6.3a. Desde un punto de vista matemático, el punto de equilibrio es el valor de n para el que las ecuaciones (6.3) y (6.4) son equivalentes, esto es:


− 600(1.2) n − 2000(1.2) n 200 n 50n + = + + 3750 1.2 n − 1 1.2 n − 1 1.2 n − 1 1.2 n − 1

Pasando todos los términos de un lado, el problema se reduce a encontrar la raíz de la función: f ( n) =

− 1400(1.2)n 150n − n + 3750 = 0 1.2 n − 1 1.2 − 1

[6.5]

Nótese que debido a la forma en que se ha derivado la ecuación, la Micro-uno es más efectiva en cuanto a costos cuando f(n) < 0 y la Micro-dos lo es cuando f(n) > O (Fig. 6.3b). Las raíces de la ecuación (6.5) no se pueden determinar analíticamente. Por el otro lado, los pagos anuales equivalentes son fáciles de calcular dada una n. De esta forma, como en el estudio de la sección II.1.2 y el ejemplo 4.5, los aspectos considerados en la elaboración de este problema crean la necesidad de un planteamiento numérico. Las raíces de la ecuación (6.5) se pueden calcular usando algunos de los métodos numéricos descritos en los capítulos 4 y 5. Se pueden aplicar los métodos que usan intervalos y el método de la secante con un esfuerzo mínimo, mientras que el método de Newton-Raphson es embarazoso ya que consume mucho tiempo al determinar df/dn de la ecuación (6.5). FIGURA 6.3 a) Curvas de! costo neto de las computadoras Micro-uno [Ec. (6.3)] y Micro-dos [Ec. (6.4)]. b) La función de punto de equilibrio [Ec. (6-5)]. •

En base a la figura 6.3, se sabe que la raíz se encuentra entre n = 2 y n = 10. Estos valores se


pueden usar en el método de bisección. La bisección de intervalos se puede llevar a cabo 18 veces para obtener un resultado en donde εa sea menor de 0.001%. El punto de equilibrio ocurre a los n = 3.23 años. Este resultado se puede verificar sustituyéndolo en la ecuación (6.5) para ver que / (3.23) = 0. Sustituyendo n = 3.23 ya sea en la ecuación (6.3) o en la (6.4) se muestra que en el punto de equilibrio el costo de cualquiera de ellas es de $542 por año. Más allá de este punto, la Micro-dos es más efectiva en cuanto a costos. Por consiguiente, si se piensa comprar una máquina y poseerla por más de 3.23 años, la Micro-dos es la mejor compra. El método de la regla falsa se puede aplicar fácilmente a este problema. Se obtiene una raíz similar después de 12 iteraciones en el mismo intervalo inicial de 2 a 10. Por otro lado, el método de la secante converge a una raíz de -24.83 con e¡ mismo intervalo inicia!. Sin embargo, si el intervalo se reduce desde 3 hasta 4, entonces el método de la secante converge a 3.23 en sólo cinco iteraciones. Es interesante notar que el método de la secante también converge en forma rápida si el intervalo inicial es de 2 a 3, el cual no encierra a la raíz. Estos resultados son típicos de los factores de importancia que se deben tomar en consideración y que se estudian posteriormente en el epílogo. Entonces e! mejor método numérico para este problema depende del juicio emitido respecto a los factores de importancia, tales como eficiencia numérica, costo de las computadoras y la confiabilidad del método. CASO 6.2 LEYES DE LOS GASES IDEALES Y NO IDEALES (INGENIERÍA QUÍMICA) Antecedentes: la ley de los gases ideales está dada por: pV = nRT

[6.6]

En donde p es la presión absoluta, V es el volumen y n es el número de moles. R es la constante universal de los gases y T es la temperatura absoluta. Aunque esta ecuación la usan ampliamente los ingenieros y científicos, sólo es exacta sobre un rango limitado de presión y temperatura. Más aún, la ecuación (6.6) es más apropiada para algunos gases que para otros. Una ecuación alternativa del estado de los gases está dada por: a    p + 2 (v − b) = RT v  

A la que se le conoce con el nombre de ecuación de Van der Waals. u = V/n es el


volumen molal y a y b son constantes empíricas que dependen de un gas en particular. Un proyecto de ingeniería química requiere que se calcule exactamente el volumen molal (u) del bióxido de carbono y del oxígeno para combinaciones diferentes de la temperatura y de la presión, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los contenga. Asimismo, es importante examinar que tan bien se apega cada gas a la ley de los gases ideales, comparando los volúmenes molales calculados con las ecuaciones (6.6) y (6.7). Se proporcionan los siguientes datos: R = 0.0820541 • atm/(mol •K) a = 3.592 bioxido b = 0.04267 bióxido a = 1.360 oxigeno b = 0.03183 oxigeno Las presiones de interés en el diseño son de 1, 10 y 100 atm. Para combinaciones de la temperatura de 300, 500 y 700°K. Solución: los volúmenes molares de ambos gases se calculan con la ley de los gases ideales, con n = 1. Por ejemplo, si p = 1 atm y T = 300°K, entonces:

Estos cálculos se repiten para todas las combinaciones de presión y temperatura y se presentan en el cuadro 6.2. Los cálculos del volumen molar a partir de la ecuación de Van der Waals se pueden llevar a cabo usando cualquier método numérico que encuentre raíces de los estudiados en los capítulos 4 y 5, de la siguiente manera: CUADRO 6.2 Cálculos del volumen molar del caso de estudio 6.2 Temperatura K

300

500

700

Presión amt

Volumen Molal (de los gases ideales l/mol) 1 10 100 1 10 100 1 10 100

24.6162 2.4616 .2462 41.0270 4.1027 .4103 57.43778 5.7438 0.5744

Volumen Molal (Van der Waals) bióxido de carbono l/mol 24.5126 2.3545 0.1795 40.9821 4.0578 0.3663 57.4179 5.7242 0.5575

Volumen Molal (Van der Waals) Oxigeno l/mol) 24.5928 2.4384 0.2264 41.0259 4.1016 0.4116 57.4460 5.7521 0.5852


En este caso, la derivada de f(u) se determina fácilmente y es conveniente implementar el uso del método de Newton-Raphson. La derivada de f respecto a u está dada por: f ' (uy ) = p −

a u

2

+

2ab u3

El método de Newton-Raphson se describe mediante la ecuación (5.6) como: v i +1 = v i −

f (v1 ) f ' (v1 )

La cual se puede usar en el cálculo de ¡a raíz. Por ejemplo, usando el valor inicial de 24.616 2, el volumen mola! del bióxido de carbono a 300 °K y a 1 atm se calcula como 24.512 6 1/mot. Este resultado se obtuvo después de dos iteraciones y con un ε a menor de 0.001 %. En el cuadro 6.2 se muestran resultados similares para todas las combinaciones de presión y de temperatura para ambos gases. Se observa que los resultados obtenidos con la ecuación de van der Waals difieren en ambos gases de los de la ley de los gases ideales, de acuerdo a los valores específicos de p y de T. Más aún, ya que algunos de estos resultados son significativamente diferentes, el diseño de las vasijas que contendrán a los gases sería muy diferente, dependiendo de qué ecuación de estado se haya usado. En este caso, al usar el método de Newton-Raphson se examinó una ecuación del estado gaseoso complicada. Los resultados variaron significativamente en varios casos usando la ley de los gases ideales. Desde un punto de vista práctico, el método de Newton-Raphson fue apropiado en este caso ya que/' (u) fue fácil de calcular. De esta manera, se pueden explotar ¡as propiedades de rápida convergencia del método de Newton-Raphson. Además de demostrar su potencia en un simple cálculo, el método de Newton-Raphson ilustra en este caso de estudio lo atractivo que es cuando se requiere una gran cantidad de cálculos. Debido a la velocidad de las microcomputadoras, la eficiencia de cada uno de los métodos en la solución de la mayor parte de raíces de ecuaciones se vuelve indistinguible en un cálculo simple. Aun ¡a diferencia cié decenas entre el método eficiente de Newton-Raphson y el método poco refinado de bisección no significa una gran pérdida de tiempo cuando se realiza un solo cálculo. Sin embargo, supóngase que se desea calcular una raíz millones de veces para resolver un problema. En este caso, la eficiencia del método puede ser un factor decisivo al escogerlo.


Por ejemplo, supóngase que es necesario diseñar un sistema de control automático computarizado de un proceso de producción de sustancias químicas- Este sistema requiere una aproximación exacta de volúmenes molales con base a un medio esencialmente continuo para fabricar convenientemente el producto final. Se instalan calibradores que proporcionan lecturas instantáneas de la presión y la temperatura. Se deben obtener evaluaciones de u para toda la variedad de gases que se usan en el proceso. Para estas aplicaciones, los métodos que usan intervalos, tales como el de bisección o de la regla falsa, posiblemente consuman mucho tiempo. Además, los valores iniciales que se requieren con estos métodos generarían un retraso en el procedimiento. Este inconveniente igualmente afecta al método de la secante, que también necesita dos valores iniciales. En contraste, el método de Newton-Raphson requiere únicamente un valor inicial de la raíz. Se puede usar la ley de los gases ideales para obtener este valor al inicio del proceso. Después, suponiendo que el tiempo empleado sea lo bastante corto como para que la presión y la temperatura no varíen mucho durante los cálculos, la solución de la raíz anterior se puede usar como valor inicial de la siguiente. De esta forma, se tendría disponible de forma automática un valor aproximado cercano a la solución, requisito indispensable en la convergencia del método de Newton-Raphson. Todas estas consideraciones favorecerán de manera considerable al método de Newton-Raphson en estos problemas. CASO 6.3 DINÁMICA DEL CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO (INGENIERÍA CIVIL) Antecedentes: la dinámica del crecimiento demográfico es de importancia en todos los planes de estudio de ingeniería. Los programas de construcción y de distribución de recursos en proyectos a gran escala, tales como el abastecimiento de agua y sistemas de transporte dependen en gran medida de las tendencias de la población. Además, las tendencias de otro tipo de poblaciones, tales como los microbios, son importantes en muchos procedimientos de ingeniería, como en el tratamiento de basura, en el manejo de la fermentación y en la elaboración de productos farmacéuticos. Los modelos de crecimiento en un grupo de microbios suponen que el promedio de cambio de la población (p) es proporcional a la población existente en un tiempo (t): dp dt

= kp


La población crece en un medio en el que existe alimento suficiente de manera que k no es una función de la concentración- (Véase el caso 12.2 que muestra un ejemplo en donde k depende del nivel alimenticio.) Cuando el alimento no escasea, el crecimiento se limita sólo por el consumo de productos tóxicos o de espacio, si es que el tamaño de la población crece demasiado. Con el tiempo, estos factores retardan la tasa de crecimiento de la población y la detienen completamente cuando ésta alcanza una densidad máxima de pmax. En este caso, se modifica la ecuación anterior de la siguiente manera: dp dt

= kp ( p max − p )

En donde las unidades de K son litros por célula por día. Esta ecuación diferencial se puede integrar de forma analítica dando: p(t ) =

P max

 P  1 +  max − 1e − KpAX  Po 

[6.9]

En donde p(t = 0) = P o- A la ecuación (6.9) se te conoce como e! modelo de crecimiento logístico. Como se muestra en la figura 6.4, este modelo genera una curva de p(t) en forma de S. Como se puede ver, el modelo simula un crecimiento inicial lento, seguido por un periodo de crecimiento rápido y finalmente, un crecimiento limitado a una densidad demográfica muy alta.

FIGURA 6.4 Un modelo logístico de crecimiento demográfico. El modelo simula un crecimiento inicial lento, después una aceleración en él mismo seguido por un periodo de nivelación en una densidad oblacional alta.

Como ejemplo de aplicación de este modelo en el área de la ingeniería civil, considérese el crecimiento de una población bacteriológica en un lago. E! crecimiento se comporta como lo define la ecuación (6.9). La población es pequeña en la primavera del


año en donde t = O, p(t = 0) = 10 células por litro. Es sabido que la población alcanza una densidad de 15 000 células por litro cuando t = 60 días y que la tasa de crecimiento K es de 2 x 10 6 litros por célula por día. Se requiere calcular la densidad de la población bacterial cuando t = 90 días. Si su número excede de 40 000 células por litro, entonces la calidad estándar del agua requiere la implementación de algún procedimiento para disminuirlas y proteger a las personas que se introduzcan al agua. FIGURA 6.4 Un modelo logístico de crecimiento demográfico. El modelo simula un crecimiento inicial lento, después una aceleración en él mismo seguido por un periodo de nivelación en una densidad poblacional alta. Solución: sustituyendo la información conocida en la ecuación (6.9) se obtiene: 15000

P max

 P  2 10 − 1 +  max − 1e − +  10 

[6.10] 6

( P max )( 60 )

La cual tiene sólo una incógnita, p máx Si la ecuación (6.10) se pudiera resolver para p máx, entonces p(t = 90) se podría determinar fácilmente de la ecuación (6.9). Sin embargo, ya que pmáx es implícita, no se puede obtener directamente de la ecuación (6.10). Por lo tanto, se debe usar un método numérico de los capítulos 4 y 5. No se usará el método de Newton-Raphson ya que la derivada de la ecuación (6.10) es difícil de determinar. Sin embargo, se pueden aplicar fácilmente los métodos de bisección, de la regla falsa y de la secante. Con un error relativo del 0.01% los valores iniciales dados de 60 000 y 70 000 células por litro generan las siguientes aproximaciones de p máx Método empleado Bisección Regla falsa Secante

Resultado 63 198 63 199 63 200

Iteraciones 11 5 4

Nótese que los métodos de la regla falsa y de la secante convergen a la mitad de! número de iteraciones de! método de bisección. Ahora, de la ecuación (6.9), con p máx = 63 200: p (90) =

63200

 63200  − 2+10− ( 63200 )( 60) 1+  − 1e  10 

= 58930 Células por litro.

6

Este nivel demográfico sobrepasa el límite estándar en cuanto a calidad del agua que es de 40 000 células por litro y por lo tanto, se debe tomar alguna medida de corrección.


Este ejemplo, ilustra la eficiencia computacional relativa de tres métodos diferentes para encontrar raíces de ecuaciones en un problema de diseño de ingeniería civil. Sin embargo, como se menciona anteriormente, el esquema general tiene una aplicación amplia en todos los campos de la ingeniería que tengan que ver con el crecimiento de organismos, incluyendo a los humanos. CASO 6.4 DISEÑO DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO (INGENIERÍA ELÉCTRICA) Antecedentes: los ingenieros electrónicos usan a menudo la ley de Kirchoff para estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos en estado estacionario (que no varían con el tiempo). En el caso 9.4 se analiza el comportamiento de estos estados estacionarios. Otro tipo de problemas son los de corriente momentánea e implica a los circuitos donde súbitamente suceden cambios temporales- Esta situación ocurre cuando se cierra el interruptor de la figura 6.5. En este caso, después de cerrar el interruptor hay un periodo de ajuste hasta que se alcanza un estado estacionario. La longitud de este periodo de ajuste está relacionada con las propiedades de almacenamiento de carga del capacitor y con el almacenamiento de energía dentro del inductor. El almacenamiento de energía puede oscilar entre estos dos elementos durante un periodo transitorio. Sin embargo, la resistencia en el circuito disipa la magnitud de las oscilaciones. El flujo de corriente a través de la resistencia causa una caída de voltaje (V R) dado por: VR = iR En donde i es la comente y R es la resistencia del circuito. Cuando las unidades de R e í son ohm y amperes, respectivamente, entonces la unidad de V es el volt. De manera semejante, un inductor resiste el cambio en la corriente, de forma tal que la caída de voltaje (V L) al cruzarlo es de: V L = L

di dt

FIGURA 6.5 Un circuito eléctrico. Cuando se cierra el interruptor, la corriente experimenta una serie de oscilaciones hasta que se alcance un nuevo estado estacionario.


en donde L es la inductancia. Cuando las unidades de L e i son henrios y amperes, la unidad de V L es el volt y la unidad de t es el segundo. La caída de voltaje a través del capacitor (Ve) depende de la carga (q) sobre el mismo: q

V C =

C

En donde C es la capitancia. Cuando las unidades de carga se expresan en culembios, la unidad de C es el faradio. La segunda ley de Kirchoff indica que la suma algebraica de las caídas de voltaje en un circuito cerrado es cero. Después de cerrar e! interruptor se tiene: L

di dt

+ Ri +

q C

=0

Sin embargo, la corriente está dada en función de la carga como: i=

dq dt

Por lo tanto:

L

d 2 q dt 2

+ R

dq dt

+

q C

=0

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se puede resolver usando los métodos de cálculo- La solución está dada por:

q (t ) = q 0 e

 1  R  2  L cos −    LC  2 L    

− Rt / 2

[6.11]

Donde t = O, q = qo =- VoC, y Vo es el voltaje en la batería. La FIGURA 6.6 La cargo en un capacitor en función del tiempo que se presento enseguida de cerrar e! interruptor en lo figura 6.5.

ecuación (6.11) describe la variación de la carga en el capacitor en función del tiempo. La solución q(t) se gráfica en la figura 6.6. Un problema de diseño típico en ingeniería eléctrica, puede necesitar que se determine la resistencia apropiada para disipar


energía a una velocidad constante, con los valores de L y C conocidos. En este caso se supone que la carga se debe disipar al 1% de su valor origina! (q/qo = 0-01) en t == 0.05 s, con L = 5 H y C = 10 -4F. Solución: es necesario resolver para R la ecuación (6.11), usando los valores conocidos de q, qo, L y C. Sin embargo, se debe emplear un método numérico ya que R es una variable implícita de la ecuación (6.11). Se usará el método de bisección para este propósito. Los otros métodos estudiados en tos capítulos 4 y 5 también son apropiados, aunque el método de Newton-Raphson tiene desventajas debido a que la derivada de la ecuación (6.11) es muy complicada. Reordenando la ecuación (6.11) se obtiene:

q ( R ) = e

 1  R  2  q L cos −  −  LC  2 L   q 0  

− Rt / 2

O, usando los valores numéricos dados: f ( R) = e − 0.005 R cos( 2000 − 0.01R 2 0.05) − 0.01

[6.12]

Examinando esta ecuación puede verse que un rango inicial razonable de R es de 0 a 400  (ya que 2 000 — 0.01R 2 debe ser mayor de cero). La figura 6.7, gráfica de la ecuación (6.12), lo confirma. Con veintiún iteraciones del método de bisección se obtiene R = 328.1515, con un error menor al 0.000 1%.

FIGURA 6.7 Gráfica de la ecuación (6.12) usada en la obtención de valores iniciales de R que encierren a la raíz.


De esta forma, se puede especificar una resistencia con este valor en el diagrama de la figura 6.5 y esperar que la disipación sea consistente con los requisitos del problema. Este problema de diseño no se puede resolver eficientemente sin usar los métodos de los capítulos 4 y 5. CASO 6.5 ANÁLISIS DE VIBRACIONES (INGENIERÍA MECÁNICA) Antecedentes: las ecuaciones diferenciales se usan a menudo para modelar el comportamiento de sistemas en ingeniería. Uno de tales modelos, que se aplica ampliamente en !a mayor parte de los campos de la ingeniería, es el oscilador armónico. Algunos ejemplos básicos del oscilador armónico son el péndulo simple, una masa atada a un resorte y un circuito eléctrico inductor-capacitor (Fig. 6.8). Aunque estos son sistemas físicos muy diferentes, sus oscilaciones se pueden describir mediante un mismo modelo matemático. De esta manera, aunque este problema analiza el diseño de un amortiguador para un automóvil, el comportamiento general se aplica a una gran variedad de problemas en todos los campos de la ingeniería. Como se ilustra en la figura 6.9, un conjunto de resortes sostienen un auto de masa m. Los amortiguadores presentan una resistencia al movimiento del auto la cual es proporcional a la velocidad vertical (movimiento ascendente-descendente) del mismo. La alteración del equilibrio de! auto provoca que el sistema oscile como x(f). En un momento cualquiera, las fuerzas que actúan sobre la masa m son la resistencia de los resortes y la capacidad de absorber el golpe de los amortiguadores. La resistencia de los resortes es proporcional a la constante de los mismos {k) y a la distancia al punto de equilibrio (x): Fuerza del resorte = - kx

[6.13]

FIGURA 6.8 Ejemplos de tres osciladores armónicos. Las flechas dobles indican las oscilaciones de cada sistema. FIGURA 6.9 Un auto de masa m

En donde el signo negativo indica que la fuerza de restauración regresa al auto a su posición de equilibrio. La fuerza de amortiguación está dada por:


Fuerza de amortiguación = —cdx/xt En donde c es un coeficiente de amortiguamiento y dx/dt es la velocidad vertical. El signo negativo indica que la fuerza de amortiguación actúa en dirección opuesta a la velocidad. Las ecuaciones de movimiento para el sistema están dadas por la segunda ley de Newton (F = ma), que en este problema está expresada como:

m

d 2 x 2

dt

= −c

dx dt

+ (− kx) = 0

Masa x aceleración = fuerza de amortiguación + fuerza del resorte d 2 x dt 2

+

c dx m dt

+

k m

x=0

Esta es una ecuación diferencia! ordinaria de segundo orden que se puede resolver con los métodos del cálculo. Por ejemplo, si e! auto encuentra por casualidad un hoyo en el camino en t = 0 de tal forma que se desplaza del punto de equilibrio x = x O y dx/dt = 0, entonces: x (t ) = e − nt ( x 0 cos pt + x o

Donde n = c/(2m), p =

k / m − c 2 /( 4m 2 )

n p

sin pt )

[6.14]

y k/m > c2/(4m2). La ecuación (6.14)

proporciona la velocidad vertical del auto en función del tiempo- Los valores de los parámetros son c = 1.4 por 107 g/s, m = 1.2 por 106 g y k = 1.25 por 109 g/s 2. Si x0 = 0,3, las consideraciones de diseño en la ingeniería mecánica requieren que se den los estimados en las tres primeras ocasiones que el auto pase a través del punto de equilibrio. Solución: este problema de diseño se puede resolver usando los métodos numéricos de los capítulos 4 y 5. Se prefieren los métodos que usan intervalos y el de la secante ya que la derivada de la ecuación (6.14) es complicada. Las aproximaciones a los valores iniciales se obtienen fácilmente con base a la figura 6.10. Este caso de estudio ilustra cómo los métodos gráficos proporcionan a menudo información muy importante para aplicar satisfactoriamente los métodos numéricos. La gráfica ilustra que este problema es complicado debido a la existencia de varias raíces,


por lo que en este caso, se deben usar intervalos pequeños para evitar traslapes de raíces.

FIGLTRA 6.10 Gráfica de la posición de un amortiguador respecto al tiempo después que la rueda del auto cae en un hoyo del camino.

En el cuadro 6.3 se enlistan los resultados obtenidos por los métodos de bisección, la regla falsa y la secante, con un criterio de paro del 0.1%. Todos los métodos convergen rápidamente. Como era de esperarse, los métodos de la regla falsa y de la secante son más eficientes que el de bisección. Nótese que para todos los métodos los errores relativos porcentuales aproximados son mayores que los errores reales. De esta forma, los resultados son exactos al menos hasta el criterio de paro, el 0.1 %. Sin embargo, puede observarse también que el método de la regla falsa y el de la secante son muy conservadores en esta relación. Recuérdese el análisis de la sección 4.3 en que el criterio de paro constituye esencialmente una aproximación a la diferencia con la iteración anterior. De esta forma, para esquemas de convergencia rápida como los métodos de la regla falsa y de la secante, la mejora en exactitud entre dos iteraciones sucesivas es tan grande que fu será, en general, mucho menor que ε v. El significado práctico de este comportamiento es de poca importancia cuando se va a determinar sólo una raíz. Sin embargo, si se requiere calcular varias raíces, la convergencia rápida viene a ser una propiedad muy valiosa como para tomarla en cuenta cuando se escoge un método en particular.

METODOS NUMERICOS-CHAPRA

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