“Año de la consolidación del Mar de Grau “
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE
Curso
: M : ME E TOD TODOS OS N UM UME E R I C OS
T ema
: 2 2°° PR P R A C T I C A ME M E TOD TODOS OS
Ciclo
: V I
D ocente cente
: PO POE E MAPE RO ROJAS, JAS, GLO GLORI RI A
Alu A lum mno
: H or na B azan, J ua uan n Ca C ar lo loss G amar r a C huq huqui uililin, n, Ca C ar lo loss Ma M ayor ga E st strr ada, C ar lo loss P adi lla C ha hacó cón, n, Ma M ar co Quirr oz M edi na Qui na,, F r eddy Quirr oz M oza, F r ank Qui Sossaya C ha So hayygua guaq que ue,, M i la lagr gro os
Guadalupe, 2016
EJERCICIO 1: Resolver el siguiente sistema:
= = = =
Por el método de Gauss. Hacer su programa. SOLUCIÓN:
= =
Intercambiamos Fila 1 con Fila 2:
La fila 1 lo multiplicamos por (- 3) y le sumamos la fila 2. La fila 1 lo multiplicamos por (- 3) y le sumamos la fila 3. La fila 1 lo multiplicamos por (- 4) y le sumamos la fila 4.
Nos queda la siguiente Matriz:
=
Multiplicamos Fila 2 por (- 5) y le sumamos la fila 3. Multiplicamos Fila 2 por (1) y le sumamos la fila 4.
Nos queda la siguiente matriz:
= =
Ahora intercambiamos la fila 4 con la fila 3.
POR LO TANTO:
= = = = = = = =
PROGRAMA EN MATLAB: %Método de gauss clc,clear A=[3 2 0 0 -2 1 1 0 1 -3 3 -2 0 -1 -7 4 5 6 3 11] %Eliminación hacia adelante A([1 2],:)=A([2 1],:) A(2,:)=A(1,:)*(-A(2,1))+A(2,:) A(3,:)=A(1,:)*(-A(3,1))+A(3,:) A(4,:)=A(1,:)*(-A(4,1))+A(4,:) A(3,:)=A(2,:)*(-A(3,2)/A(2,2))+A(3,:) A(4,:)=A(2,:)*(-A(4,2)/A(2,2))+A(4,:) A([3 4],:)=A([4 3],:) %Sustitución hacia atrás u=A(4,5)/A(4,4) z=(A(3,5)-A(3,4)*u)/A(3,3) y=-(A(2,5)-A(2,4)*u) x=(A(1,5)-(A(1,4)*u)-A(1,2)*y) disp('Vector Solución') disp([x y z u])
EJERCICIO 2: Se se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo: El primero de 25g de oro, 34g de plata y 45g de cobre El segundo de 15g de oro, 40g de plata y 60g de cobre El tercero de 40g de oro, 50g de plata y 95g de cobre Se pide que peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de El primero de 26g de oro, 42g de plata y 70g de cobre. Resolver por método de Gauss
SOLUCIÓN
25104 11515 18540 =26 25 15 40 | 26 25 3 8 | 26 104 115 185 104 23 37 17 8 10 34 40 50 ≈ | 42 34104 11540 18550 =42 10445 11560 18595 | 70 4552 1223 1937 || 7042 104 115 185 104 23 37 45104 11560 18595 =70 25104 233 378 | 26 10425 233 378 | 26 10425 233 378 | 26 1752 238 1037 | 42 0 57598 22925 | 16625 0 57598 22925 | 16625 45[104 1223 1937 | 70] 0 11533 18523 | 1165 0 0 1813298 | 58949 − = = 26 = =15.71 =49.16 =73.13
Ecuación para el oro:
Ecuación para la plata:
Ecuación para el cobre:
EJERCICIO 3: Una empresa que fabrica jarrones recibe un encargo para un día determinado. Al planificar la producción se dan cuenta de que si fabrican 250 jarrones al día, faltarían 150 al concluir el plazo que tienen. Si fabrican 260 jarrones diarios entonces les sobrarían 80. ¿Cuántos días tienen de plazo y cuántos jarrones les encargaron? Resolver por Gauss Jordan, hacer su programa. X = días Y = cantidad de jarrones
250=150 260=80 226050 11 15080 2601 0.1004 0.806 10 0.0.00404 0.2366
Normalizando el 1° renglón
F1(-260) + F2
⇒0.04=236 =5900 0.004(5900)=0.6 =23 PROGRAMA EN MATLAB:
EJERCICIO 4: En Calcule las corrientes que fluyen en cada ramal del circuito. Resolver por Jacobi(4iteraciones) y un programa que encuentre la solución con una tolerancia de0.001.
Solución: Ramal 1:
Ramal 2:
101 25 25 50 50 =0 1076 25 50 =0 76 25 50 =10 25 25 30 1 1 =0 56 25 1 =0 56 25 1 =0
Ramal 3:
102576 50 25561 50106 1 n 0 1 2 3 4
50 50 1 1 55 =0 106 50 1 =0 106 50 1 =0 I1 0 0.1316 0.1316 0.1917 0.1925
I2 0 0 0.0587 0.0598 0.0867
I3 0 0 0.0621 0.0626 0.0910
PROGRAMA EN MATLAB:
Error 0.1316 0.0855 0.0602 0.0391
EJERCICIO 5: En una fabrica de ropa se producen tres estilos de camisa que llamaremos 1,2,3. Cada prenda pasa por el cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas tipo 1 se necesitan 50 minutos para cortarlas, 40 minutos para coserlas y 20 minutos para plancharlas y empaquetarlas. Para el Tipo 2, 30 minutos para cortar, 60 minutos para coser y 30 minutos para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 45 minutos para cortar, 10 minutos para coser y 30 minutos para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?
503015=480 406010=480 203030=480
SOLUCION
TIPO 1:
50 min Cortar, 40 min Coser, 20 min planchar y coser
TIPO 2: 30 min Cortar, 60 min Coser, 30 min planchar y coser
TIPO 3: 15 min Cortar, 10 min Coser, 30 min planchar y coser
APLICAMOS GAUSS SEIDEL
n 0 1 2 3 4
x
= 4803015 50 = 4804010 60 = 4802030 30 Y
z
Error
0
0
0
-
9.6
1.6
8
12.598
6.24
2.5067
9.3333
3.72685
5.29599
2.91379
9.55555
1.05179
4.98506
3.08404
9.59259
0.35642
EJERCICIO 6: Hacer un programa para un sistema de ecuaciones lineales n variables, por el método de Gauss que incluya la técnica del pivoteo parcial. SOLUCION clc, clear n=input('¿De cuantas ecuaciones se compone el sistema?:'); %Reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. M = zeros(n,n); Y = zeros(n,1); X = Y; %Lectura de la matriz de coeficientes. disp('Lectura de la matriz de coeficientes.') for i=1:n for j=1:n fprintf('Ingrese un valor para M(%d, %d): ', i, j) M(i, j)=input(''); end end disp('Lectura del vector columna Y') for i=1:n fprintf('Ingrese un valor para Y(%d): ',i) Y(i)=input(''); end %Formamos la matriz ampliada. A=[M,Y]; %Eliminacion hacia adelante. for j=1:n-1 %Seleccionando al mayor pivote posible. indiceF=j; %Indice fila del mayor. for i=j+1:n if (abs(A(i,j)) > abs(A(indiceF,j))) indiceF=i; end end %Intercambiamos si es necesario. if (j ~= indiceF) vectorTemporal=A(j,:); A(j,:)=A(indiceF,:); A(indiceF,:)=vectorTemporal; end for i=j+1:n A(i,:)=A(i,:)+A(j,:)*(-A(i,j)/A(j,j)); end end %Sustitucion hacia atras. for i=n:-1:1 X(i)=A(i,n+1); for j=i+1:n X(i)=X(i)-X(j)*A(i,j); end
TECNICA DE PIVOTEO PARCIAL
X(i)=X(i)/A(i,i); end disp('Se ha encontrado el valor de las incognitas: ' ) X
EJERCICIO 7: Hacer una programa para un sistema de ecuaciones lineales de n %variables por el metodo de gauss Solución: clc,clear n= input('De cuauantas ecuaciones se compone el sistema:'); %reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. M= zeros(n,n); Y= zeros(n,1), X = Y; %Lectura de la matriz de coeficientes. disp('lectura de la matriz de coeficientes') for i=1:n for j=1:n fprintf('Ingrese un valor para M(%d, %d): ', i , j) M(i,j) = input(''); end end disp('Lectura del vector columna Y') for i=1:n fprintf('Ingrese un valor para Y(%d):' ,i) Y(i) = input(''); end %formamos la matriz ampliada A= [M,Y]; % Eliminacion hacia adelante for j=1:n-1 for i=j+1:n A(i,:) = A(i,:)+A(j,:)*(-A(i,j)/A(j,j)); end end %sustitucion hacia atras for i=n:-1:1 X(i) = A(i,n+1); for j=i+1:n X(i)=X(i) - X(j)*A(i,j); end X(i)= X(i)/A(i,i); end disp('se ha encontrado el valor de las incognitas:')X
EJERCICIO 8: Hacer una rutina de programación que ingrese un sistema de ecuaciones lineales n variables, y determine si está bien o mal condicionado. Solución: %Gauss con Condicionamiento clc, clear n=input('¿De cuantas ecuaciones se compone el sistema?:'); %Reservamos espacio anticipadamente, para optimizar. M = zeros(n,n); Y = zeros(n,1); X = Y; %Lectura de la matriz de coeficientes. disp('Lectura de la matriz de coeficientes.' ) for i=1:n for j=1:n fprintf('Ingrese un valor para M(%d, %d): ', i, j) M(i, j)=input(''); end end disp('Lectura del vector columna Y') for i=1:n fprintf('Ingrese un valor para Y(%d): ',i) Y(i)=input(''); end %Formamos la matriz ampliada. A=[M,Y]; %Escalamos la matriz de coeficientes. %Nos aseguramos de que no tenga un determinate muy pequeño. T=M; %Matriz auxiliar para no afectar la original. mayor=abs(T(1,1)); for i=1:n for j=1:n if (abs(T(i,j))>mayor) mayor=abs(T(i,j)); end end end for i=1:n T(i,:)=T(i,:)/mayor; end if (abs(det(T))<= 0.06) disp('El sistema esta mal condicionado.') return; else disp('El sistema esta bien condicionado' ) end %Eliminacion hacia adelante. for j=1:n-1 for i=j+1:n A(i,:)=A(i,:)+A(j,:)*(-A(i,j)/A(j,j));
BIEN O MAL CONDICIONAMIENTO
end end %Sustitucion hacia atras. for i=n:-1:1 X(i)=A(i,n+1); for j=i+1:n X(i)=X(i)-X(j)*A(i,j); end X(i)=X(i)/A(i,i); end disp('Se ha encontrado el valor de las incognitas: ' ) X
EJERCICIO 9: El sistema no Lineal tiene dos soluciones:
(( ) )= ( ) =
a) Grafique las ecuaciones. b) Usando valores iniciales encuentre una de las soluciones usando el método de punto fijo multivariable con una tol=0.05 c) Aplique el método de Newton raphson modificado. d) Aplique el método de Newton raphson. Solución: a) Graficar las ecuaciones.
b) Usando valores iniciales encuentre una de las soluciones usando el método de punto fijo multivariable con una tol=0.05
=0=0
((,. )=( 1)218=0 )=( 1) ( 6) 25=0 = =
Despejando el primer X de la primera ecuación y Y de la segunda ecuación,
nos queda:
Ahora procedemos a iterar con desplazamiento simultaneo:
n 0 1 2 3
X 0 -18 0,9412 22,7522
y 0 1 31,0833 81,4312
error -------18,0278 35,5496 54,8692
Tal y como vemos en el cuadro el error se aleja de la solución, es decir aumenta.
HAY DIVERGENCIA.
c) A plique el método de Newton Raphson Modificado
((,. )=( )= )=( ) ( ) = =2 =10
-
x
M.N.R. Modificado con desplazamiento simultaneo:
= ((,,)) = ((, ,))
y
1° Iteración: (0,0)
(,(−,)) = = =2 = ( (),()(−),) = = =√ (22) (1010) =0 ((,. )=( )= ) = () () = =2 ; =10 . = 1 1 21 2122 =63 82 = [2 2] =22 =2(1(,, )) =2(1(2,2,110)0)=00 . = 63 82=00 30 122 00 12 =0 =0 =√ ( 0 ) (0) =0 3 =02 =0
d) Apique el método de Newton Raphson
Tomamos como valores iniciales a:
(fórmula)
Hallamos el Jacobiano:
Entonces:
Luego, para hallar y , multiplicamos la fila 1 por (2) y le sumamos la fila 2, quedando de la siguiente manera:
EJERCICIO 10: La presión requerida para sumergir un objeto pesado y grande en un terreno suave y homogéneo, que se encuentra sobre un terreno de base dura, puede predecirse a partir de la presión requerida para sumergir objetos más pequeños en el mismo suelo. En particular la presión P requerida para sumergir una lámina circular de radio r, a una distancia d, en el terreno suave, donde el terreno se encuentra a una distancia D>d debajo de la superficie puede aproximarse mediante una ecuación de la forma:
=
Donde k1, k2 y k3 son constantes que con k2>0, dependen de d y la consistencia del terreno, pero no del radio de la lámina. Encuentre los valores de k1, k2 y k3, si se supone que una lámina de radio 1 pulgada requiere una presión de 10 lb/pulg2 para sumergirse 1 pie en el terreno lodoso; una lámina de radio 2 pulgadas requiere una presión de 12 lb/pulg2 para sumergirse 1 pie; y una lámina de radio 3 pulgadas requiere una presión de 15 lb/pulg2 (suponiendo que el lodo tiene una profundidad mayor que 1 pie). Usar el método que crea conveniente con tolerancia=0.001. Solución: Sustituimos valores de presiones en la ecuación
10= 12= 2 15= 3 12((,, ,, )) == 2 1210 3( , , ) = 3 15 Igualando las ecuaciones a cero
Derivando parcialmente
= = =
, , ,
= ∗ = ∗2 = ∗3
, , ,
=1 =2 =3
Proponer un vector inicial
>
Tomamos un vector de que .
() = () = () = ,
,
, donde la condición es
Evaluando las funciones y las derivadas parciales:
1((, , )) =1∗( ) 110 =6. 2 817 2(, , ) =1∗() 2((1)) 12 =2.6109 3 , , =1∗ 3 1 15 = 8.0855 = =2.7183 = ∗1 = 2.7183 =() =7.3891 =() ∗2(1) =14.7781 =() =20.0855 =() ∗3(1)=60.2566 ,
,
,
,
,
,
Calcular el Jacobiano
1 1 1 2 2 2 =20.2.7.730183891855 14.60.2.772183781566 123=9.7211 3[ 3 3] ∆ , ∆, ∆ 1 1
Calcular
1 2 2 2 3 3 6.2.26817109 14.2.77183783 12 3 9 7 ∆ = = 8.08559.760.2112566 3 = 266. 9.7211 = 27.4627
=1 =2 =3
1 1 1 2 2 2 2.7183 6.2817 1 3 3 7. 3 891 2. 6 109 2 3 [ ] ∆ = = 20.08559.8.72110855 3 = 9.66.17573211 =6.8055 1 1 1 2 2 2 2.7183 2.7183 6.2817 3 3 7. 3 891 14. 7 781 2. 6 109 3 ∆ = = 20.0855 9.60.27566211 8.0855 = 9.484.7821104 =48.8711 Calculando los valores de k1, k2, y k3.
(()) =(−) ∆ =127.4629 → =28.4629 (()) =(−) ∆ =1 (6.8055) → =5.8055 (()) =(−) ∆ =1(49.8711)→ =48.8711 EJERCICIO 11: Explique con ejemplos, dada una matriz de tercer orden como determinar si es positiva definida o negativa definida. Ejemplo 1: determinar si la función dada es una matriz positiva definida o negativa definida.
(,,) =3 32
Solución
=612
=2122 =2
A plic amos la primera derivada parci al
Aplicamos 2da derivadas parciales
=6 =3 =0
, , ,
=3 =2 =0
, , ,
=0 =0 =2
Matriz Hessiana
6 3 0 (,,) =30 20 02 6 3 0 (,,) =30 20 02=263 32=2(1 29) =6
Calculamos el determinante
Respuesta:
La determinante de la matriz es mayor que cero y todos los auto valores de la matriz son positivos por ende esta es una matriz positiva definida.
Ejemplo 2: Determinar si la función dada es una matriz positiva definida o negativa definida.
(,,) =2 3 23
=42
=213 =623
Aplicamos la primera derivada parcial
Aplicamos 2da derivadas parciales
=4 =1 =2
, , ,
= 1 =2 = 2 = 3 = 3 =6 ,
,
,
Matriz Hessiana
4 1 2 (,,) =21 23 36 (,,) =221 20 314 23 614 12 (,,)=2(4)3(10)6(7)=4
Calculamos el determinante
Respuesta:
La matriz es negativa definida debido que todos sus auto valores son negativos y su determinante es menor que cero.
EJERCICIO 12: Haga una iteración del método de Newton Raphson para hallar el punto extremo de:
( )= = , = =
Usar máximo o mínimo?
como valores iniciales ¿El punto extremo será un
SOLUCIÓN:
8222 ∇=1242 4228 6 ∇=1323 2 2 2 =22 41 41 − = |1| × 52 1 1 − = 1 123 132 [ 1 3 3] = ()− ×∇() 5 20 1 1 2 28 1 6 2 1 =11 1 13 32 ×1323= 443 [ 1 3 3] [ 3 ] = ‖ ‖
2028 1 2131 = 443 11= 413 [ 3] [ 3 ] = √ (21) (31/3) (41/3) =27.1026 |(1,1)|=2<0 |(2,2)|= 4 > 0 |(3,3)| =6<0
H es definida negativa Promete
Convergencia a un Máximo local
EJERCICIO 13: Resolver usando el método que estime conveniente: Sea el siguiente conjunto de reacciones:
↔ ↔
Calcule las concentraciones de equilibrio de cada una de las especies si inicialmente se introduce una concentración de:
,,= = ,,== Datos:
= ∗ =5∗10− = ∗ =4∗10− ;
SOLUCIÓN:
2 ↔ ↔ 2= = = =
-2x
Entonces:
-x
+x
-y
-y
+y
Reemplazando valores iniciales en Ao, Bo, Co, Do:
402= 15= 10= =
= (−−(+))(−) = (−−)(+)(−) 5∗10− = (−−)(+)(−) 4∗10− = (−−)(+)(−) (, ) ; (, ) ())2(15) 5∗104 (, )= (4 02 () 4∗102 (, )= (402)(15) ())2(15) 5∗104 (, )= (4 02 Reemplazando en
:
;
;
Igualando a 0 para encontrar
:
HALLANDO VALORES INICIALES en una sola ecuación:
Tabulación para hallar el cambio de signo:
0
0
(, )
4
5
0.00062
x
y
-0.005
CAMBIO DE SIGNO
Valores iniciales [4,5] - Hallando derivadas:
2 44084 3 2202 24000 (, )= 3 82 1622800125 (15)2(240) (, )= (15)(240) 40 2
Aplicando Método Newton Rapson:
= (1(,4),5) =4 0.0.000039006 =. = (2(,4),5) =5 0.0.004480097 =.
EJERCICIO 14: Resolver el siguiente sistema:
( ) − (−−)(−) =.
=. ( ) (−−)(−)
Graficar y hallar valores iniciales, positivos adecuados y resolver con tol=0.01 a) Método de punto fijo multivariable con desplazamientos sucesivos b) Método de Newton Raphson c) Método de Newton Raphson modificado. SOLUCIÓN:
( ) . ( )( ) () . ( )()
f1= f2=
GRÁFICA:
PUNTOS INICIALES: X0=0.8 , Y0=0.45
a)
b)
c)
EJERCICIO 15: Se desea encontrar el volumen más grande posible de un tanque de agua de forma de un cilindro circular recto, el cual se encuentra alojado dentro de una cámara en forma conoidal si se sabe que el radio de la cámara es de 3 metros y tiene una altura de 8 metros ¿Cuál será la cantidad de agua que podrá alojar el tanque?
Resolver con un programa en MATLAB usando el método que más crea conveniente, con una tol=0.001 SOLUCIÓN: La figura representa una sección transversal del cono y del cilindro que pasa por el eje de ambos. Por relación de triángulos semejantes.
Gráfica:
3 = 83 → = 83 (3 ) =. . =. 83 (3 ) = 83 (3 ) →= 83 (3 )
(a, b) = (1, 3); tolerancia = 0,001
RESPUESTA: Cantidad de agua que podrá alojar el tanque = 33,5103 m 2
