12 Final Final Metodos Numericos 1 (2)

MÉTODOS NUMÉRICOS INTRODUCCION Antes de la invención de la computadora sólo contaban con tres métodos para la solución de problemas:

1)

ENCONTRAR SOLUCIONES DE ALGUNOS PROBLEMAS USANDO MÉTODOS EX ACTOS O ANALÍTICOS Estas soluciones con frecuencia resultaban útiles y proporcionaba una comprensión excelente del comportamiento de algunos sistemas, pero sólo se encontraban en una clase limitada de problemas, incluyendo a los que podríamos aproximarlos mediante modelos lineales y aquellos que tienen pocas dimensiones

2

EL USO DE SOLUCIONES GRÁFICAS ! "ara anali#ar el comportamiento de los sistemas, se usaban gr$ficas ó nomograma, aunque las técnicas gr$ficas se emplean para resolver problemas comple%os, los resultados no eran muy precisos, eran tediosas y difíciles de implementar!

3)

PARA EL USO DE MÉTODOS NUMÉRICOS, SE UTILIZABAN CALCULADORAS Y REGLAS DE &onCÁLCULO.0 este método se prese nta algunas dificultades, los c$lculos son muy lentos, tedi osos y los resultados no eran consistentes' debido a que surgen equivocaciones al reali#ar c$lculos manuales! (enemos las fases de solución de un problema:

FORMULACION Leyes fundamentales brevemente

SOLUCION Metodos muy elaborados y muy complicados

INTR!RTACI ON An"lisis limitado

FORMULACION #posicion profunda de la relacion del problema con las leyes fundamentales

SOLUCION Metodo de la computadora de facil uso

INTR!RTACION $esarrollar la intuicion studiar el comportamiento del sistema

Entonces los )étodos *uméricos son técnicas que nos permiten formular modelos matem$ticos, de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas! +oy en día las computadoras y los )étodos *uméricos proporc ionan una buena alternativa para c$lculos muy complicados! El uso de las computadoras nos permite acer aproximaciones de c$lculo sin tener que recurrir a suposiciones ó técnicas lentas! *os preguntamos -"or qué estudiar )étodos *uméricos. / 0os )étodos *uméricos son erramientas muy poderosas para la solución de problemas! "ueden mane%ar ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas' aumentando la abilidad de resolver problemas! 2 &ontar con la ocasión de usar soft1are que contenga métodos numéricos, es por eso que debe tenerse el conocimiento de la teoría!  3er capaces de dise4ar sus propio s programas para res olver los probl emas que otr os soft1are no lo reali#an! 5 0a mayoría de los métodos numé ricos est$n dise4ados para implementarlos en la computadora! 6 0os métodos numéricos son un medio de refor# ar su compr esión de las matem $ticas' pues una de sus funciones es convertir las matem$ticas superiores a operaciones aritméticas b$sicas!

INTRODUCCION A LA TEORIA DE ERRORES Es importante entender el concepto de ERROR, para usar en forma efectiva los )étodos *uméricos! "or e%emplo en la caída de un paracaidista, la velocidad de la caída puede determinarse por métodos analíticos es decir' obtener los resultados exactos pero, también, se puede determinar la velocidad de caída por métodos numéricos que son solo una aproximación, observando que aparece una cierta discrepancia ó error en los valores encontrados! "ero en mucos problemas no podemos obtener la solución analítica, por lo que no podemos calcular con exactitud los errores asociados con nuestro método numérico, en estos casos debemos resolver por aproximaciones ó estimar los errores: 7eneralmente se luca por limitar los errores en los traba%os' pues así: cuando se reali#a un examen ó se reali#an tareas son sancionadas m$s no premiados por sus errores! En la pr$ctica profesional los errores pueden resultar costosos y en algunas ocasiones catastróficos es decir' puede perderse la vida, si un dispositivo falla! Entonces nos preguntamos si las aproximacio nes numéricas introducen errores - Q!

"#$"% &''%' (& '&(&$"# &$ *%( +*+*%( - ! "#$ "%*&'#/*& &(

TIPOS DE ERRORES E$"'& *%( "%( 2& &''%'&( "&$&%(4

1) ERROR ABSOLUTO

EA

E( *# 25&'&$+# &$"'& &* 6#*%' 6&'2#2&'% 76#*%' &8#+"%) - &* 6#*%' #'%8#2% 76#*%' %/(&'6#2%) E⃒ A = V −V A ⃒

D%$2& 4 9 : 9#*%' 6&'2#2&'% ; &8#+"%. VA : 9#*%' #'%8#2% S<

V −V A > 0 E A

S<

V −V A 0 E A

&( %' 2&5&+"% &( %' E8+&(%

OBSER9ACION A/%(

E A ($ 6#*%' #/(%*"%

√ 7=2.645751311064

E1) C#*+*#' *%( &''%'&( #/(%*"%( & (& +%&"&$ #* "%#' &* 6#*%' 6&'2#2&'%

+%$

√ 7=2.6457

V A =2.645751311064 E A =2.6457−2.645751311064= 0.000051311064> 0

. E( $ &''%' %' D&5&+"%

E$"%$+&(4

E A= ⃒ 0.000051311064

⃒

E A =0.000051311064

E=) S<,

V =13.59342

- (&# &* 6#*%' #'%8#2%

E A= ⃒ 13.59342− 13. 59816 ⃒ =⃒ −0.00474

V A =13.59816

⃒

−3

E A =0.00474= 4.74 × 10

E3) S<,

#)

V =3.141592654 =¿ 22 7

/)

- (&# &* 6#*%' #'%8#2%

333 106

355

+) 113

2)

√ 3 +√ 2 −2

E A= ⃒ 3.141592654−3.142857 ⃒ =⃒ 0.001264346 ⃒ =0.1264346 × 10 −4

=⃒ ⃒0.83653 × 10 E A= ⃒ 3.141592654−3.141509 ⃒ 0.000083653 = =⃒ =0.592653 × 10 E A= ⃒ 3.141592654−3.1415 ⃒ 0.000592653 ⃒

−3

−2

E⃒ ⃒ ⃒= 0.004671346 ⃒ = 0.4671346× 10 A = 3.141592654− 3.146264

√ 5=2.2360677977

E1) C#*+*#' *%( &''%'&( #/(%*"%( & (& +%&"&$ #* "%#'

V A =2.2360677977

+%$ &* 6#*%'

6&'2#2&'%

√ 5=2.236

E A =2.236− 2.2360677977=−0.00006797749978 0

. E( $ &''%' %' E8+&(%

E$"%$+&(4

E A= ⃒ − 0.00006797749978 ⃒ E A =0.00006797749978

V =7.59362

E=) S<,

- (&# &* 6#*%' #'%8#2%

V A =7.59816

E A= ⃒ 7.59362−7.59816 ⃒ =⃒ −0.00454 ⃒ −3

E A =0.00454= 4.54 × 10

V =3.141592654=¿

E3) S<,

/)

22 7

/)

- (&# &* 6#*%' #'%8#2%

333 106

+)

355 113

2)

√ 3+√ 2 −2

E A= ⃒ 3.141592654− 3.142857 ⃒ =⃒ 0.001264346 ⃒ =0.1264346 × 10 −4

=⃒ ⃒0.83653 × 10 E A= ⃒ 3.141592654− 3.141509 ⃒ 0.000083653 = =⃒ =0.592653 × 10 E A= ⃒ 3.141592654−3.1415 ⃒ 0.000592653 ⃒

−3

−2

E⃒ ⃒ ⃒= 0.004671346 ⃒ = 0.4671346× 10 A = 3.141592654− 3.146264

√ 3=1.732050808

E>) C#*+*#' *%( &''%'&( #/(%*"%( & (& +%&"&$ #* "%#'

+%$ &* 6#*%'

V A =1.732050808 E A =1.73−1.732050808=−0.0020508070 E$"%$+&(4

− 0.002050807 ⃒ E A= ⃒ E A =0.002050807

E?) S<,

V =6.3564

- (&# &* 6#*%' #'%8#2%

V A =6.3613

. E( $ &''%' %' E8+&(%

6&'2#2&'%

√ 3=1.73

E A= ⃒ 6.3554 −63613 ⃒ =⃒ − 0.0049 ⃒ −2

E A =0.0049= 0.49 × 10

E@) S<,

V =3.141592654=¿

- (&# &* 6#*%' #'%8#2%

333

22 +)

355

/)

+)

106

7

2)

√ 3+√ 2

113 −2

E A= ⃒ 3.141592654− 3.142857 ⃒ =⃒ 0.001264346 ⃒ =0.1264346 × 10 −4

=⃒ E A= ⃒ 3.141592654− 3.141509 ⃒ 0.000083653 = ⃒0.83653 × 10 E A= ⃒ 3.141592654− 3.1415 ⃒ =⃒ 0.000592653 ⃒ =0.592653 × 10

−3

−2

E⃒ ⃒ ⃒= 0.004671346 ⃒ = 0.4671346 × 10 A = 3.141592654− 3.146264

OBSER9ACION4 a El error absoluto que conviene tomar es el menor de estos números, pues m$s estreco ser$ el intervalo dentro del cual se asigna el número exacto! b El error absoluto refle%a sólo el aspecto cuantitativo

=) ERROR RELATI9O

ER

&on la finalidad de estimar la calidad de los c$lculos ó las mediciones respectivas, se introduce el concepto de error relativo! Entonces4

E R=

EA

,V ≠0

⃒ V ⃒

V −V A ⃒ E⃒ , V ≠0 R= V

E1) S&# '&*#"6%.

V A =0.42

$ 6#*%' #'%8#2% 2&

V=

5 = 0.41666666 … . , #**#' &* &''%' 12

0.41666666−0.42 0.41666666

E R= ⃒

E=) S&#,

V =5.6286

a ¿ V A =5 . 6241

E R= ⃒

/)

E R= ⃒

+)

E R= ⃒

V A =0.45

E⃒ R=

E=) S&#,

- (&# &* 6#*%' /)

V A =5.6780

5.6286−5 . 6241 5.6286

#)

E1) S&#

= 8.00016 × 10−3

=

⃒0.008000016

=

= 7.99488 × 10−4

=

=8.776605 × 10−3

=

=7.3037700 × 10−2

⃒0.008776605

5.6286−5.2175 5.6286

⃒0.073037700

$ 6#*%' #'%8#2% 2&

V A =5.2175

⃒0.000799488

5.6286−5.6780 5.6286

4 9

V = =0.444444 … ..

, #**#' &* &''%' '&*#"6%.

0.444444− 0.45 =0.0125010125=1.25010125× 10−2 ⃒ 0.444444

V = 9.6587

- (&# &* 6#*%'

a ¿ V A =9 . 6211

/)

V A =9.6790

9.6587 −9 . 6211

E =⃒ 2)

+)

R

+)

V A =9.6125

=

=3.892863429 × 10−3

=

=2.101732117× 10−3

=

=4.783252405 × 10−3

⃒0.003892863429

9.6587 9.6587 − 9.6790 9.6587

⃒0.002101732117

9.6587 −9.6125 9.6587

⃒0.004783252405

&)

E R= ⃒

5)

E R= ⃒

E3) S&#

V A =0.67

$ 6#*%' #'%8#2% 2&

0.6666 −0.67 0.666

E R= ⃒

E>) S&#,

V =6.3564

=

⃒0.005

2 3

V = = 0.6666 … .

, #**#' &* &''%' '&*#"6%.

=0.5 × 10−2

- (&# &* 6#*%'

a ¿ V A =6 . 3613

/)

V A =6 . 3514

+)

V A =6 . 3499

6.3564 −6.3613 6.3564

⃒0.000770876

=

=0.77086 × 10−3

6.3564 −6.3514 6.3564

⃒0.000786608

=

=0.786608 × 10−3

)

E R= ⃒

)

E R= ⃒

)

E R= ⃒

6.3564 − 6.34499 6.3564

=0.1022591 × 10−2

=

⃒0.001022591

3) ERROR RELATI9O PORCENTUAL Es el error relativo multiplicado por /88 9

| |

ER =

E1) S&#

V=

25 = 0.342465753 73

- (&#

EA V

× 100 , V ≠ 0

V A =0.337597 . C#*+*#' &* 6#*%' '&*#"6%

%'+&$"#*.

0.342465753 0.337597 ⃒ × 100 =0.014216759 − 0.342465753

ER=⃒

E=) S&#

V = √ 73 =8.544003745

%'+&$"#*.

-

V A =8.196879 . C#*+*#' &* 6#*%' '&*#"6%

8.544003745−8.196879 ⃒ × 100 = 4.0627838 8.544003745

ER= ⃒

E1) S&#

V=

17 =0.6538461538 26

- (&#

V A =0.652987

. C#*+*#' &* 6#*%' '&*#"6% %'+&$"#*.

0.6538461538 0.652987 . ⃒ × 100 = 0.13139993 − 0.6538461538

ER=⃒

E=) S&#

V = √ 38 =6.164414003

-

V A =6.164879

. C#*+*#' &* 6#*%' '&*#"6% %'+&$"#*.

6.164414003−6.164879 ⃒ × 100 = 0.007543247416 6.164414003

ER= ⃒

E3) S&#

V=

13 =0.684 19

V A =0.68421

- (&#

0.68421 − 0.684 0.684

ER=⃒

E>) S&#

V = √ 52= 7.21

E⃒ R=

=

. C#*+*#' &* 6#*%' '&*#"6% %'+&$"#*.

=0.30 × 10−3 =0.03

⃒0.00030

110=??1

-

V A =7.2111

. C#*+*#' &* 6#*%' '&*#"6% %'+&$"#*.

7.211102551− 7.2111 =0.000035376=0.353776 × 10−4 ⃒ 7.211102551

;3E<=A&>*: a 3i comparamos los dos resultados anteriores, veremos que la calidad de datos del E2 es me%or que E/ b El error relativo representa el aspecto cualitativo, es decir -&ómo emos reali#ado el c$lculo bien ó mal.! c &uando se mane%a cantidades muy grandes o muy peque4as, el error absoluto puede ser no tan significativo, mientras el error relativo si es significativo en mucos casos!

CIFRAS SIGNIFICATI9AS EXACTITUD4 Q& "#$ +&'+#$% &(" &* 6#*%' +#*+*#2% ; &22% +%$ &* 6#*%' 6&'2#2&'%.

PRECISION4 Q& "#$ +&'+#$% &(" $ 6#*%' $262#* &22% ; +#*+*#2% '&(&+"% # *%( %"'%(. EEMPLO 14 LA INEXACTITUD 7SE CONOCE COMO SESGO TAMBIEN)

S%$ $&8#+"%(, &( &("$ #*&#2%( 2&* +&$"'% & &( &* 6#*%' 6&'2#2&'%

IMPRESICION 7SE CONOCE COMO INCERTIDUMBRE)

Ambas son exactas, pero la segunda es m$s precisa que la primera, ya que los puntos est$n en un grupo m$s compacto!

Entonces las cifras significativas de un número son todas sus cifras, a excepción de los ceros que est$n a la i#quierda! E/ 8!8?2@?/

⇒

E2 6/6!2/

⇒

E ?!/ E5 6?B@!/5@

E/ 8!882@?/

E2 /6!2/

⇒

⇒

⇒

⇒

(iene 6 cifras significativas! (iene @ cifras significativas! (iene 2 cifras significativas! (iene  cifras significativas.

(iene 5 cifras significativas!

(iene 6 cifras significativas!

⇒

E /@!/

⇒

E5 6?B@!/?5

(iene  cifras significativas!

(iene ? cifras significativas.

⇒

E6 8!88/@85

(iene 5 cifras significativas!

⇒

E@ 8!688

(iene 6 cifras significativas!

⇒

E? 5!6

⇒

E ?25!56

(iene  cifras significativas!

(iene ? cifras significativas.

DEFINICION 3e dice que un número

VA

se aproxima a = con t dígitos significativos, si t es el entero m$s

grande no negativo para la cual se cumple:

−V

⃒ VA

V

⃒

< 5 × 10−t

VA

E1) A'%8&

#* $&'% =? +%$ 2%( +5'#( ($5+#"6#( .

E$"%$+&(4

−V

⃒ VA

V

− 25

⃒ VA

25

⃒ VA

⃒

⃒

< 5 × 10−t ⃒

< 5 × 10−2

−25 ⃒ < 5 × 10−2 × 25

V A− ⃒ 25 < 1.25

−1.25 < V A−25 < 1.25

23.75 < V A < 26.25 ⇒ V A ∈⟨ 23.75 26.25 ⟩

"or lo tanto, podemos decir que cualquier valor de

V A en dico intervalo cumple con

la condición

VA

E1) A'%8&

#* $&'% 1? +%$ 2%( +5'#( ($5+#"6#( .

E$"%$+&(4

−V

⃒ VA

V

− 15

⃒ VA

15

⃒

< 5 × 10−t ⃒

< 5 × 10−2

⃒ VA

−15 ⃒ < 5 × 10−2 × 15

⃒ VA

−15 ⃒ < 0.75

−0.75 < V A− 15 < 0.75 14.25 < V A < 15.75 ⇒ V A ∈⟨ 14.25 15.75 ⟩

"or lo tanto, podemos decir que cualquier valor de

VA

en dico intervalo cumple con la condición

SERIES DE TAYLOR ERROR DE TRUNCAMIENTO

0os errores de (runcamiento son aquellos que result an al usar aproximaciones en lugar de un procedimiento matem$tico exacto! 0a serie de (aylor es importante, pues es útil para obtener modelos numéricos, así como anali#ar los errores de truncamiento% TEOREMA

3ea x

f ( x)

( n + 1 )− esima derivada

una función cuya I

en un intervalo abierto

, que contenga a

a

f ( x)

( n + 1)

para todo

, existe para cada x

de

I !

⏟ ⏟ f ( a ) + f ( a ) ( x −a ) '

+ Rn( x )

¿ ⏟

2

POLINOMIO DE 1 erORDEN + f '' ( a ) ( x − a ) ¿ 2! 3

POLINOMIO DE 2 doORDEN + f ' ' ' ( a) ( x − a) + … + f n ( a ) ( x − a ) n! ¿ 3!

n

POLINOMIO DEORDEN n

¿ ¿ f ( x )=¿

R n ( x ) = f ( n+ 1 ) ( c )

Conde x

entre

( x − a ) n+ 1 (n+ 1)!

es el residuo u error, donde

c

es algún punto

y a !

OBSER9ACION P 1 ( x ) = f ( a ) + f ( a ) ( x −a ) '

1)

'

''

P2 ( x ) = f ( a ) + f ( a ) ( x − a )+ f ( a )

E1) E$+&$"'&

P1 ( x )

&$

( x −a )2

a =1

6#*%'&( #'%8#2%( 2& ln ( 0.9 ) 3ea f ( x )= ln x ⟹ f ( 1 ) =ln 1 ⟹ f ( 1 )= 0

2!

#'# -

f ( x )= ln x ln ( 1.5 )

.

- (&*% #'# +#*+*#'

1

'

1

'

'

f ( x )= ⟹ f ( 1 )= ⟹ f ( 1 )= 1 x 1

Entonces : P 1 ( x ) = f ( a ) + f ( a ) ( x −a ) '

' P 1 ( x )= f ( 1 ) + f ( 1 ) ( x − 1 )

P 1 ( x )= 0 + 1 ( x − 1 ) P 1 ( x )= x − 1 ⟹ ln x ≅ x −1

0uego: ln x ≅ x − 1

−0.10536 ≅− 0.1 ln ( 0.9 )= 0.9− 1 ⟹ ln ( 0.9 )=−0.1 ⟹ ln ( 1.5 )= 1.5 − 1 ⟹ ln ( 1.5 ) = 0.5 ⟹ 0.40546 ≅ 0.5

El primero es me%or, pues 8!B est$ m$s cercano de 8 que /!6

P2 ( x )

E=) E$+&$"'&

6#*%'&( #'%8#2%( 2& ln ( 0.9 ) 3ea f ( x )= ln x ⟹ f ( 1 ) =ln 1 ⟹ f ( 1 )= 0

'

1

1

'

'

f ( x )= ⟹ f ( 1 )= ⟹ f ( 1 )= 1 1 x f

''

( x )=

−1 x

Entonces :

2

''

⟹ f ( 1 )=

f ( x ) = ln x

a =1 #'#

&$

−1 1

2

''

⟹ f ( 1 )=−1

-

ln ( 1.5 )

- (&*% #'# +#*+*#' .

'

''

P2 ( x ) = f ( a ) + f ( a ) ( x − a )+ f ( a ) '

''

P2 ( x ) = f ( 1 )+ f (1 ) ( x − 1 ) + f ( 1 ) P 2 ( x ) = 0 + 1 ( x −1 ) −

( x −a )2 2!

( x −1 )2 2!

1 ( x −1 )2 2!

ln x =( x −1 )− 1 ( x −1 )2 P 2 ( x ) =( x − 1 ) − 1 ( x − 1 ) 2 ⟹ 2

2

0uego: ln x =( x −1 )−

1 ( x −1 )2 2

ln ( 0.9 )= ( 0.9− 1 )−

1 ( 0.9 −1 )2 ⟹ −0.10536 ≅−0.105 2

ln ( 1.5 )=( 1.5 −1 )−

1 ( 1.5−1 )2 ⟹ 0.40546 ≅ 0.375 2

bservamos que estas son me%ores aproximaciones que en el caso lineal!

E3) U(& &* %*$%% 2& T#-*%' 2& %'2&$ > #'# #'%8#2% 2& ln ( 0.9 )

a =1

- 2! $# &("#+;$ 2&* 8% &''%' +%&"2%.

Es necesario las cinco primeras derivadas de f ( x ) f ( x )= ln x ⟹ f ( 1 ) =ln 1 ⟹ f ( 1 )=0 '

1

'

1

'

#* +#*+*#' &* 6#*%'

f ( x )= ⟹ f ( 1 )= ⟹ f ( 1 )= 1 x 1

−1 ' ' '' ( x )= −12 ⟹ f ( 1 )= 2 ⟹ f ( 1 )=−1

f

''

f

'''

f

'

x

( x )=

1

2

x

' ''

⟹ f (1 ) =

3

2 1

'' '

⟹ f ( 1 ) =2

3

2

−6 '  ( ) ' ( x )= −66x ⟹ f ( 1 )= 4 ⟹ f 1 =−6 x (1 )

f ( x )= 

24 x

x

3

⟹ f ( c )= 

8

24

⟹ f ( c )= 

( c )5

24

c

5

Entonces por la fórmula de (aylor: '

ln x = f ( 1 ) + f ( 1 ) ( x −1 ) + f

ln x =0 + 1 ( x −1 ) +

ln x =( x −1 )−

ln x = ( x −1 )−

''

( 1)

( x − 1 )2 2!

(−1 ) ( x −1 )2 2!

( x −1 )2 2

+

3

+

2 ( x −1 )

2 ( x −1 ) 3!

3

3 × 2×1

−

+

( x −1 ) 3 3!

+ f '  ( 1)

(−6 ) ( x −1 )4

6 ( x −1 )

4!

( x −1 )4

4

4 ×3 × 2×1

2

3

+ R4 ( x )

4

( x − 1 ) 2 ( x − 1 ) 3 ( x −1 ) 4 + − + R4( x )

ln ( 0.9 )= ( 0.9−1 )−

2

3

4

( 0.9 − 1 )2 ( 0.9−1 )3 ( 0.9− 1 )4 + − + R 4 ( 0.9 )

−0.10536=−0.1−

2

3

4

(−0.1 )2 (−0.1 )3 (−0.1 )4 + − + R 4 ( 0.9 ) 2

3

−0.10536=−0.105358+ R4 ( 0.9 )

4

4!

+ R4( x )

( x −1 )2 ( x −1 ) 3 ( x − 1 ) 4 + − + R4 ( x )

ln ( 0.9 )= ( x − 1 )−

3abemos que :

+f ' ' ' ( 1)

+ R4 ( x )

Rn ( x ) = f ( n+1 ) ( c )

( x − a ) n+ 1 (n+ 1)!

Rn ( 0.9 )=

24

(− 0.1 )5

c5

5!

Rn ( 0.9 )=

24 5

(−0.1 )5 5 × 4 ×3 × 2×1

c Rn ( 0.9 )=

(−0.1 )5 5c

5

0.9 < c < 1

x< c< a

"or lo tanto :

|Rn ( 0.9 )|< |Rn ( 0.9 )|<

( 0.1 )5 5c

5

( 0.1 )5 =−0.00000338 5 5 ( 0.9 )

"odemos concluir que ln ( 0.9 )=−0.10536 con un error de −0.00000338 Al decir esto suponemos que el error es insignificante o que el error de c$lculo fue insignificante!

POLINOMIO DE MCLAURIN En el caso

a =0

, el polinomio de (aylor de orden n

se simplifica para obtener el

polinomio de )claurin, dando una aproximación particularmente útil en una vecindad de x =0

(enemos: ' f ( x )= f ( 0 ) + f ( 0 ) x +

'' ' '' n f ( 0) 2 f ( 0) 3 f ( 0) n x+ x + … + … .. + x 2! 3! n!

E1) E$+&$"'& *%( %*$%%( 2& M+*#'$ #'# 2&(!( &* 6#*%' 2& e #)

0.2

cos ( 0.2 )

-

e

x

-

cos x

, &*&#$2% n =4 .

Es necesario las cinco primeras derivadas de f ( x ) f ( x )= e x ⟹ f ( 0 ) =1 f ( x )= e ⟹ f ( 0 )= 1 '

x

'

'' ( x )= e x ⟹ f ( 0 )= 1

f

''

f

'''

' '' ( x )= e x ⟹ f ( 1 )= 1

f

'

' ( x )= e x ⟹ f ( 1 )= 1

Entonces: '' ' '' ' ' 2 3 4 f ( x )= f ( 0 ) + f ( 0 ) x + f ( 0 ) x + f ( 0 ) x + f ( 0 ) x 2! 3! 4!

x

e =1 + 1 x +

0.2

e = 1 + 1 ( 0.2 )+

. C#*+*#'

1 2 1 3 1 4 x + x + x 2! 3! 4!

1 ( 0.2 )2+ 1 ( 0.2 )3 + 1 ( 0.2 ) 4 2! 3! 4!

1.2214 =1.2214

b)

Es necesario las cinco primeras derivadas de f ( x )

f ( x )= cos x ⟹ f ( 0 )= cos ( 0 ) ⟹ f ( 0 )= 1 f ( x )=−sen x ⟹ f ( 0 )=−sen 0 ⟹ f ( 0 )= 0 '

'

'

'' '' ( x )=−cos x ⟹ f ( 0 )=−cos0 ⟹ f ( 0 ) =−1

f

''

f

'''

''' '' ' ( x )= senx ⟹ f ( 0 ) =sen 0 ⟹ f ( 0 )= 0

f

'

' ' ( x )=cos x ⟹ f ( 0 ) =cos0 ⟹ f ( 0 )= 1

Entonces: ' f ( x )= f ( 0 ) + f ( 0 ) x +

'' ' '' ' f ( 0) 2 f ( 0) 3 f ( 0 ) 4 x+ x+ x 2! 3! 4!

cos x =1 + 0 x −

cos0.2 =1−

1 2 0 3 1 4 x + x + x 2! 3! 4!

1 ( 0.2 )2+ 1 ( 0.2 )4 2! 4!

0.99999= 0980066

1.2214 =1.2214

SISTEMA NUMERICO

1.1) C%$6&'(;$ 2& $&'%( &$"&'%( 2&* (("&# 2&+#* # $ (("&# 2& /#(& / - 6+&6&'(#. E1) C%$6&'"# 5? D

47310

#* (("&# %+"#*.

1

6BD 3 

47310

Entonces

es equivalente a

457 8

E=) C%$6&'"#

2

457 8= 4 × 8 457 8

Entonces

35810

E/ &onvierta

&

7318

#* (("&# 2&+#*.

+ 5 × 8 1+ 7 × 80= 30310 es equivalente a

30310

al sistema octal!

6 D 55D '(

35810

Entonces

E2 &onvierta

es equivalente a

6528

al sistema decimal!

2

6528= 6 × 8

Entonces

2768

5468

+ 5 × 81 + 2 × 8 0=426 10

es equivalente a

19010

1.=) C%$6&'(;$ 2& $&'%( &$"&'%( 2&* (("&# %+"#* #* /$#'% - 6+&6&'(#. E1) C%$6&'"#

5748

#* (("&# /$#'%!

"rimero aplicaremos Cescomposición polinómica! 2

5748 = 5 × 8

+ 7 × 81+ 4 × 80=38010 !

0uego divisiones sucesivas 8 D2 ⓿ /B8D2 ⓿ B6D2 ) 5?D2 ) 22! 2D2 ⓿)

38010

Entonces

es equivalente a

5748

"or lo tanto

1011111002

es equivalente al número binario

1011111002

"ero también lo podemos resolver así: 5748 =

{ { {

5 7 4 101 111 100

6 D2 2 D2 )

!!

⓿ )

5468

E/ &onvierta

al sistema binario!

"rimero aplicaremos Cescomposición polinómica!

2

5468= 5 × 8

+ 4 × 81 + 6 × 80=35810

!

0uego divisiones sucesivas 6 D2 ⓿ /?BD2 ) BD2 ) 55D2 ⓿ 22! 2D2 ⓿)

Entonces

"or lo tanto

35810 5468

es equivalente a

1011001102

es equivalente al número binario

1011001102

"ero también lo podemos resolver así:

5468= 6 D2 2 D2 )

{ { {

5 4 6 101 100 110 !!

⓿ )

1.3) C%$6&'(;$ 2& $&'%( 5'#++%$#'%( 2&* (("&# 2&+#* # $ (("&# 2& /#(& / E1) C%$6&'"#

0.610

#* (("&# %+"#*.

0.6

0.8

0.4

0.2

0.6

×8

×8

×8

×8

×8

4.8

6.4

3.2

1.6

4.8

Entonces

0.610

es equivalente a

y se repite

0.46314 8 .

Este procedimiento se repite un número suficiente de veces o asta que la parte decimal sea &E<!

E/ &onvierta

0510

al sistema octal!

0.5

0.4

0.2

0.6

0.8

0.4

×8

×8

×8

×8

×8

×8

4.0

3.2

1.6

4.8

6.4

3.2

0.510

Entonces

es equivalente a

y se repite

0.431468 .

Este procedimiento se repite un número suficiente de veces o asta que la parte decimal sea &E<!

E2 &onvierta

Entonces

0.210

al sistema octal!

0.2

0.6

0.8

0.4

0.2

×8

×8

×8

×8

×8

1.6

4.8

6.4

3.2

1.6

0.210

es equivalente a

y se repite

0.146318 .

1.>) C%$6&'(;$ 2& $ $&'% 5'#++%$#'% &$ (("&# /$#'% #* (("&# 2&+#* Cebemos tomar en cuenta que se inicia la posición F/ a partir del punto de decimal!

E1) C%$6&'"#

0.0101011102

0.0101011102=0 × 2

−1

#* (("&# 2&+#*!

+ 1 × 2−2 + 0 × 2−3 + 1 × 2−4 + 0 × 2−5+ 1 × 2−6 + 1 × 2−7 + 1 × 2−8 + 0 × 2−9=0.3398843751

REPRESENTACION DE NUMEROS EN LA COMPUTADORA 7eneralmente los errores de redondeo se relacionan de manera directa con la forma en que se guardan en la memoria de la computadora! 0a unidad fundamental de almacenamiento en un computador es la "A0A;
1) NUMEROS ENTEROS (GC CE0 3>7*, donde el primer bit corresponde al signo, que puede ser HI cuando es &E< y HF cuando es G*! E/
Entonces por divisiones sucesivas, tenemos:

−28 =−111002

1000000000011100 BIT O

CARACTERISTICA

MANTISA

=) NUMEROS REALES 7PUNTO FLOTANTE) Al almacenar un número real en su representación binaria se utili#ara la notación: '

0. d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 × 2

Conde

'

'

'

'

'

'

d 1 d2 d 3 d 4 d 5 d6 d 7

d i  0 y d i " d # con iK /,! ' %K/,2,? pueden ser cero o unos

E/
−15 =11112 0uego: 0.324 ×2 0.648

Entonces:

0.648 ×2 1.296

0.296 ×2 0.592

0.592 ×2 1.184

−15.324 =−1111.010100101… ..2 −15.324=−1111010100101× 24 −15.324=−0.1111010100101× 2100

Conde 5 D2 ⓿ 2 D2 ⓿ )

1000010011110101

⟹ 4 =1002

0.184 ×2 0.736

!!

BIT O

CARACTERISTICA

RAICES DE UNA ECUACION INTRODUCCIN *osotros desde ace tiempo aprendimos a utili#ar la fórmula:

MANTISA

x=

−$ % √ $2− 4 ac 2a

"ara resolver expresiones

& ( x )= a x + $x + c 2

ó también podemos resolver polinomios

& ( x ) = ax + $ !

lineales

A estos valores calculados del polinomio ya sea lineal o cuadr$tico se les llama raíces' es decir

& ( x )= 0

es por eso que al gunas raíces se les conocen como ceros del

polinomio! Aunque la fórmula anterior es útil para resolver ecuaciones polinomiales de segundo grado, ay mucos polinomios que no es posible resolverlos de una manera f$cil, en estos casos los métodos numéricos son métodos eficientes para obtener una respuesta!

MÉTODO GRAFICO Este método es útil para obtener una aproximación a la raí# de un polinomio y observar donde cru#a ó se intercepta en el e%e de las L! Este valor

x

para la cual

& ( x )= 0

proporciona una aproximación inicial de la raí#,

aunque los métodos gr$ficos son útiles para obtener estimaciones aproximadas de las raíces, pero pocas precisas "ara aproximar debemos usar la técnica de "
& ( x ) = 0 , sino no ocurre así, como en la mayoría de los casos, & (x)

se ace otra con%etura y se evalúa nuevamente a estimación asta encontrar un valor que genere un & ( x )

, asta determinar la me%or cercano a &E<!

Así tenemos:

#

/

#

/

=emos que el gr$fico H/ y H tienen el mismo signo pero, no ay raíces en la M>7H/ y la M>7H tiene par de ellos entre los valores dados! El grafico H2 nos da el resultado de una raí# que est$ acotada por valores positivos y negativos de

&(x)

!

Así la M>7 H5 es un polinomio de signos diferentes existiendo un número impar de raíces! "ero no siempre se cumple, pues ay funciones tangenciales ó discontinuas! Así

& ( x )= ( x −2 ) ( x −2 ) ( x − 4 )

es un polinomio tangencial pero tiene una raí# múltiple

LOCALIZACION DE INTER9ALOS DE RAICES DE 578) :0 &uando no ay información previa de acerca de los valores aproximados de las raíces' una manera sencilla para allar intervalos de NxO que contenga una raí# es construir una tabla de valores de x, con separación uniforme. E1) D&"&'$#' &* 7*%( ) $"&'6#*%( 2& "##H% 1.0 , "#* & +%$"&$# $% % ( '#<+&( " = f ( x ) =−x + x + 1 con =1.0, = ese( tama)ode( intera(o 3

− − − −

8

578):0

>3 = 1 0 1 =

−¿

     

3

−¿

>

−¿

¿

¿

f ( 1 ) f ( 2 ) < 0 ⇒ ∃ x 1 ∈[ 1,2 ] , x 1 es rai*

E=) D&"&'$#' &* 7*%( ) $"&'6#*%( 2& "##H% 1.0 , "#* & +#2# $# 2& &**#( +%$"&$# $% % ( '#<+&( " = f ( x ) =−18 ( x −0.5 ) ( x −1 ) + e −e x

8

−2 x

, −5 < x < 5

578):0

− ?

−¿

− >

−¿

− 3

−¿

− =

−¿

− 1

−¿ −¿

0 1 =

−¿

3

−¿

>

−¿

?

−¿

¿

¿

¿

¿

f ( 0 ) f ( 1 ) < 0 ⇒ ∃ x1 ∈[ 0, 1 ] , x 1 es rai*



f ( 1 ) f ( 2 ) < 0 ⇒ ∃ x 2 ∈[ 1,2 ] , x 2 es rai*

Encontramos dos intervalos

[ 0,1 ] , [ 1,2 ] cada una de los cuales contiene al menos

una raí#! E3) D&"&'$#' &* 7*%( ) $"&'6#*%( , "#* & +%$"&$# $% % ( '#<+&( " f (x )

=

x

3

7 x 6 con

=− −

+

0.4, 

=

ese( tama)o de( intera(o

=

E>) D&"&'$#' &* 7*%( ) $"&'6#*%( 2& "##H% 1.0 , "#* & +%$"&$# $% % ( '#<+&( " = f ( x ) =7 e − x x

2

E?) D&"&'$#' &* 7*%( ) $"&'6#*%( 2& "##H% 1.0 , "#* & +#2# $# 2& &**#( +%$"&$# $% % ( '#<+&(

" = f ( x ) =−19 ( x −0.5 ) ( x −1 ) + e − e x

8

−2 x

, −10 < x < 10

578):0

−

10

−¿

−

J

−¿

−

K

−



−¿ −¿

−

@

−¿

−

?

−¿

−

>

−¿

−

3

−¿

−

=

−¿

−

1

−¿

¿

¿

¿

¿

¿

¿

f ( 0 ) f ( 1 ) < 0 ⇒ ∃ x1 ∈[ 0, 1 ] , x 1 es rai*

f ( 1 ) f ( 2 ) < 0 ⇒ ∃ x 2 ∈[ 1,2 ] , x 2 es rai*

−¿

0 1



=

−¿

3 >

−¿ −¿

?

−¿

@

−¿

f ( 6 ) f ( 7 ) < 0 ⇒ ∃ x 3 ∈[ 6,7 ] , x 3 esrai*





K



J



10



Encontramos tres intervalos

[ 0,1 ]

cuales contiene al menos una raí#!

,

[ 1,2 ] ,

[ 6,7 ]

cada una de los

E@) D&"&'$#' &* 7*%( ) $"&'6#*%( , "#* & +%$"&$# $% % ( '#<+&(

" = f ( x ) =−x −2 x −1 con = 0.5,  =es e( tama)o de( intera(o 3

E) D&"&'$#' &* 7*%( ) $"&'6#*%( 2& "##H% 1.0 , "#* & +%$"&$# $% % ( '#<+&(

" = f ( x ) =e x −5 x 2

MÉTODOS CERRADOS INTRODUCCIN 3on aquellos que aprovecan que una función cambia de signo en una vecindad de una raí#! A estas técnicas los llamamos N)étodos &erradosO o de N>ntervalosO, pues son necesarios dos puntos iniciales para la raí#! Esto implica que dicos valores iniciales deben encerrar a la raí#! 0os métodos que vamos a estudiar emplearan diferentes estrategias para reducir el tama4o del intervalo y converger a la respuesta correcta! Entre ellos tenemos: a )étodo de ;isección b )étodo de
MÉTODO DE BISECCION f ( x) Al graficar la función podemos observaremos que la función lados de la raí#!

f(a

cambia de signo en ambos

a

b

f(b

f ( x) Entonces en general si

f ( a) es real y continua en el intervalo a , b y sí

f ( b) ,

tienen

f ( a) f( )b 〈 0 signos opuestos , es decir

, entonces afirmamos que al menos ay una raí# real

[ a , b] entre a y b ó en el intervalo ! El método de ;isección conocido como corte binario, de partición en dos intervalos iguales ó )étodo de ;ol#ano es un tipo de búsqueda incremental en que el intervalo se divide siemp re en la mitad

MÉTODO DE BISECCION 7BUSQUEDA BINARIA)

[ a , b] 3ea

f ( x)

una función continua y definida en el intervalo

signos distintos, existe un

x

¿

¿

,

a< x < $

tal que

con ¿

f ( x ) =0

f (a)

y

f ($)

de

HExiste una solución ó raí#

por el (eorema del =alor )edio Este método de ;isección aplica los siguientes pasos para una raí# con ciertas cifras significativas exactas!

[ a0 , b0 ] 1) 3ea

un intervalo inicial donde existe la raí# +

sucesión

¿ ¿ x i }i=0 ⟶ x

, mediante la relación :

=) Ceterminar

{

¿ 0 ⇒ ai + 1 = x i $ i + 1= $ i f ( ai ) f ( x i )= ¿< 0 ⇒ ai + 1=ai $i +1= x i ¿= 0 ⇒ x i es(arai*

x i=

ai + $i 2

x

¿

, para generar luego la

,i =1,2, …

3) Ce%ar de iterar sí

Tolerancia

 $ 1 8



8

0.?

 1

10

 $ 1 E

>)

A

0.?

10

Ce%ar de iterar sí

;3E<=A&>*

mK rden

nK *úmero de cifras significativas

E%emplo / Encuentre la raí# de la siguiente ecuación en el intervalo f ( x )= x ln x − 9 x −18 2

bisección para el polinomio sea menor o igual al 8!8/! =0

3ea

[a

0

6 7

, $0 ] = [ ,

⟹ x0 =

⟹ x 0 =6.5

] a 0+ $0 2

=

6+7 =6.5 2

[ 6 ,7 ]

empleando el método de

e iterar asta que el error estimado

f ( a0 ) f ( x 0 )= f ( 6 ) f ( 6.5) < 0 ⟹

{

a1=a 0=6 $1= x 0=6.5

=1

3ea

[a

1

, $1 ] =[ 6 , 6.5 ]

⟹ x 1=

⟹

a1 +$ 1 2

=

6 + 6.5 2

=6.25

x 1= 6.25

f ( a1 ) f ( x 1) = f ( 6 ) f ( 6.25)> 0 ⟹

{

a2 = x1 =6.25 $ 2=$1= 6.5

==

3ea

[a

2

, $2 ]=[ 6.25 , 6.5 ]

⟹ x 2=

⟹

a 2+ $2 2

=

6.25+ 6.5 2

=6.375

x 2= 6.375

f ( a2 ) f ( x 2) = f ( 6.25 ) f ( 6.375 )> 0 ⟹



{

a3 = x2 =6.375 $3 =$2= 6.5

3

3ea

[a

3

, $3 ] = [ 6.375 , 6.5 ]

⟹ x 3=

⟹

x 3= 6.4375

a 3+ $3 2

=

6.375+ 6.5 2

=6.4375

f ( a3 ) f ( x 3 )= f ( 6.375) f ( 6.4375)< 0 ⟹

n 8 / 2  5 6

{

a 4= a3=6.375 $ 4= x 3=6.4375 ⃒ x n+1⃒ − xn

xn *%+ *%,+ *%./+ *%1./+ *%1-*,+ *%.2-*,+

-%,+ -%0,+ -%-*,+ -%-.0,+ -%-0+*,+

 0.01 @

*%.3,30,+

-%--/30,+

0uego tenemos que la raí# es: ⟹

x 5= 6.390625

Conde x n+1⃒ − x n =0.015625  0.01

⃒

E%emplo /

5 8 3ea

8

3

8

−2

1 8 L ∈ [ 1 ,= ]

10 con un error de aproximación de obtener

, aplicar el método de bisección!

=0 /

3ea

[ a0 , b] 0[ ] =

1 ,=

#0 +, / 0

⇒ 80 =

=

=

1+ =

= 1, ?

=

⇒ 8 0 = 1, ?

( ) 5( 8

5#

0

0

#1 = #0 = 1 / = 8 = 1,?  1 0

) = 5(1) 5(1.?  )〈0

⇒

( −) ( + )

2

=1 3ea

[ a1 ,]b[1 = ]1 , 1,? #1 + , / 1

⇒ 81 = ⇒

1+ ,1,?

=

= 8 1 = 1, =?

=

= 1, =?



# 5 # 5 81 1

5

5 1 5 1,=?  

0

/

8 1 # 1

= =

1,=? 1,?

== 3ea

1,=?, 1,?

a2 ,b2 #=

8=

1,=? ,1,?

/=

= 1, 3F?

8=

1, 3F?

=

6

# 5#

@

=

5 8=

  5 1,=?   5 1,3F?

0

/

3 3

# 8

1,=?

=

1,3F?

=

=3 3ea a3 ,b3

xn

1,=? , 1,3F?

⃒ x n+1 #3

83

8

0%+

/

0%,+

2

0%./+

-%0,+



0%.0,+

-%-*,+

5

0%.1./+

-%-.0,+

6

0%.,30,+

-%-0+*,+

@

0%.,-.0,

-%--/30,+

/3

1,=? ,1,3F?

= 1, 31=?

83

=

1, 31=?

-%,+

EPE)"0 /

Sea

¿ 0.0

5 ( 8)

= 8 = + =8 − > = 0

8L

a

obtener la solución con dos cifras significativas

8L ∈ b

5 ( 8)

[ −>, −3 ] obtener la solución con dos cifras significativas

= 8= + =8 − > = 0

Entonces resolveremos a

=0 ?

1 ,=

3ea

[ a0 , b] 0[ ] = 80 80

5 # 5 80 0



 1 3ea

5 1 5 1.? 

0

1 ,=

#0 , /0

1 =

= 1, ?

# 1 / 1

=

# 0 8 0

1 1,?

1, ?

[ a1 ,]b[1 = ]1 , 1,? ⇒ 81 =

# 1 +, / 1 =

=

1+ ,1,? =

= 1, =?

⇒ 8 1 = 1, =? B

( 1)

5 # 5( 81 )

/8

#= = #1 = 1 = 5( 1) 5( 1,=?   ) 〈 0 ⇒ / = 8 = 1,=?  = 1 ( −) ( +)

== 3ea

[ a] 2 , b[ 2 = 1] , 1,=? #=

8=

1 ,1,=?

/=

= 1, 1=?

8=

=

1, 1=?

//

 ⇒ 3 #

( = ) 5 ( 8 = ) = 5(1) 5(1,1=?   ) 〉 0

5#

( −)

/2

= 8 = 1,1=? =

/3 = / = = 1,=?

( −)

=3 3ea

[ a ][, b 3

3

= 1,1=? ] , 1,=?

⇒ 83 =

#3

+ /3

=

=

1,1=?+ ,1,=? =

= 1, 1KF?

⇒ 8 3 = 1, 1KF?

E%emplo 2

[ −2.5,−1 ] ncuentre la ra45 de la si6uiente ecua ci7n en el intervalo 8 2 f ( x )= 3 x −2 x −10 8 empleando el m9todo de :isecci7n para el polinomio e iterar ;asta
f ( x )=3 x −2 x −10 2

x

,

¿

ϵ

[ −1,− 2.5 ]

con un

=0

/ 3ea - 1 ,-=.?

a0 ,b0

80 80

5#

0

2

#0

/0

= 1, F?

1 2.5 =

  1 5  1  .75 

5 80

5

=1

3ea a1 ,b1

1, 1.F?

0

1,F ?

#1 / 1

#0 8 0

1 1.F?

-s 5

= 1, 3F?

81

( 1)

5 # 5 ( 81 )



1

# 1 , /1

81

1,F?

1, 3F?

=

# = = 81 = −1, 3F? = 5( − 1) 5( − 1,  3F?   ) 〉 0 ⇒ / = / = −1, F?  = 1 ( −) ( −)

==

3ea 1, 3F? , /!?6

a2 , b2 #=

8=

/=

= 1, ?@=?

8=

1, ?@=?

# 5#

=

5 8=

  1,  375   5 1,?@=?  

5

n

0

/

F/!?68888888 F/!?6888888 F/!6@2688888 F/!5@?68888 F/!6/@26888

0uego tenemos que la raí# es: - 1.516250

8>

Conde 8>

83

0.0>@KF?00 0

0.0?

E%emplo 

5( 8)

= 8 = − 0.9 x − 1.52 8 L ∈ [ 1 ,= ]

3ea ,

5

- =10 con un

=0 3ea

[ a0 , b] 0[ ] =

1 ,=

3

# 8

= =

1, 3F? 1,?@=?

|x i+1− x i|

xn

0 1 = 3 >

3

−3

8!?6888888 8!/?688888 8!8B?68888 8!85@?6888

 0.05

#0

80

1 2

/0 =

80

1, ?

=

1, ?

6 # 5 #

5 80

0

5 1 5 1.?



0



/

8

1

/

1

1.?

0

=

0

@

=1 3ea a1 ,b1

1, ? , 2

1,? ,=

#1 ,/1

81

= 1, F?

81

1, F?

=

?

(

5 #

1

) ) 5 ( 81 ) = 5(1,? 

( −)

5 ( 1,F? ) 〉 0   

 # = = 81 = 1,F?  /= = /1 = 2

⇒ 

( −)



== 3ea

a2 ,b2

1,75, 2 #=

8=

1,F? ,=

/=

= 1, 1=?

8=

1, KF?

=

B # 5#

=

/8

5 8=

5 1,F?   51,KF?  

0

/

#

3

8

3

= =

1,F? 1,KF?

=3

3ea a3 ,b3

1,F?, 1,KF? #3

83

/3

1,F? ,1,KF?

= 1, K1=?

83

=

=0

//

3ea

[ a0 , b] 0[ ] =

1 ,=

#0

80

1 2

/0 =

80

=

1, ?

1, ?

/2 5#

0

5 80

5 1 5 1.?



# 1 /1

0

8 0 /0

1.? =

/

=1 3ea a1 ,b1

81 81

1, ? , 2

#1 , / 1

1,? ,=

= 1, F?

=

/5 5#

/6

1

5 81

5 1,?  5 1,F?  

0

#= /=

81 /1

1,F?

2

1, F?

1, K1=?

== 3ea a2 ,b2

8= 8=

1,75, 2

#=

/=

= 1, 1=?

1,F? ,= =

1, KF?

/@ 5 #= 5 8=

5 1,F?   51,KF?  

0

#3 /3

#=

1,F?

8=

1,KF?

/?

=3 3ea a3 ,b3

83 83

1,F?, 1,KF?

#3

/3

= 1, K1=?

0uego tenemos que la raí# es :

⇒ 8 J = 1, F@=@J?313

Conde 8J

− 8 K = 0.000JF@ 〈 0.001

1,F? ,1,KF? =

1, K1=?

MÉTODO DE REGULA FALSI

Cado que el )étodo de ;isección es una técnica que permite determinar raíces, su enfoque no es tan eficiente! 0a Malsa "osición es una alternativa basada en la visuali#ación gr$fica, pues la intersección de una línea con el e%e de las L, representa una me%or estimación de la raí#, de aquí el nombre de Malsa "osición, en 0atín nterpolación 0ineal!

1) Este método se basa en la interpolación lineal, es an$logo al método de bisección, puesto que el tama4o del intervalo que contiene a la raí# se reduce mediante iteración! 3in embargo en ve# de encontrar los puntos medios de los intervalos en forma monótona , utili#a la interpolación lineal a%ustada a dos puntos extremos para encontrar una aproximación de la raí#, siendo la función bien aproximada por la interpolación lineal , entonces las raíces tendr$n una buena precisión y la iteración converger$ m$s r$pido que usando el método de bisección! El )étodo de ;isección tiene el defecto que al dividir el intervalo en mitades iguales no considera la magnitud de las im$genes de la función!

f a Así por e%emplo si

f b es m$s ce rcano a cero qu e

a encuentre m$s cerca de

f a

b que de

es lógico que la raí# se

aprovecando en unir

f b y

con una línea

recta , donde la intersección de esta línea con el e%e L representa una me%or estimación de la raí# , de eco al reempla#ar una curva por una línea recta da una FALSA POSICION de la raí# de aquí el nombre M!"%2% 2& FALSA POSICION . 7&A3

S#/&%( & *# &+#+;$ 2& *# '&+"# &(4 " − " 0 =m ( x − x 0 )

"− "0 =

" 1− " 0 ( x−x0) x 1− x 0

Entonces:

[ a , $]

3ea el intervalo cerrado pasa por los puntos : " − f ( x1 ) =

( x , f ( x )) ,( x , f ( x )) 1

f ( x 1) − f ( x 0 )

x1

1

0

0

, se tiene:

( x 1− x 0 )

x 1− x 0

Cespe%ando,

que contenga a la rai# , la funcion lineal que

tenemos:

( " ¿ −f ( x ) ) ( x − x ) + x = x 0

0

1

0

f ( x 1 )− f ( x 0 )

3i

0

1

" =0 ⟹ 0a recta intersecta al e%e L en una raí#

Entonces x 1=

− f ( x 0 ) ( x 1− x 0 ) + x0 f ( x1 ) − f ( x 0 )

x 1= x 0−

( x 1− x 0 ) f ( x 1 )− f ( x 0 )

f ( x0)

Entonces: x 2= x 1−

x 3= x 2−

( x −x ) 2

1

f ( x 2) − f ( x 1 )

( x −x ) 3

2

f ( x 3 )− f ( x2 )

!!!!!!! x n = x n − 1−

f ( x 1)

f ( x2)

( x n − x n− ) 1

f ( x n )− f ( x n−1 )

f ( x n− 1 )

=) 0a desventa%a de este método es que pueden aparecer extremos fi%os así las x 2, x3, x 4... aproximaciones a la raí# converge solamente por un lado! 3) 0os extremos fi%os no son deseables, pues acen m$s lentos la convergencia, especialmente cuando el intervalo inicial es muy grande!

ALGORITMO DEL METODO DE REGULA FALSI

f ( x)

3ea 3i

[ a , b] una función continua y definida en el intervalo ¿

¿

f ( a ) f ( $ ) < 0 ⟹ ∃ x ⟨ a , $ ⟩  f ( x )= 0

(enemos la relación:

x i=

f ( $i ) a i− f ( ai ) $i f ( $i ) − f ( ai )

i =0,1,2 … .

Ceterminamos:

f ( ai ) f ( x i )=

Conde

x i= x

¿

{

i+ 1 ¿ 0$⇒ a= = xi $ i+1

i

¿< 0 ⇒ ai +1=a i $ i + 1= x i ¿= 0 ⇒ xi es(a rai*

donde

f ( x )= 0

!

E&*% 1 f ( x )= x |sen √ x|−5 2

Sea

( x est / enra dianes ), determine la raíz

positiva más pe!e"a de la f!n#i$n, empleando el m%todo de ¿

x ϵ [ 0  5 ] . 'eali#e el #ál#!lo asta !e

&alsa posi#i$n para - s <- a

donde

- a= 1

f ( x ) = x |sen √ x|−5 2

S&#

,

¿

x ∈[ 0 , 5] ,

1) 3ea f 8

f 6

6

/5!@@A?2A2AB

=)

5 0 5 5

"or lo tanto

=0 3) 3ea

0

8L

0, ?

# ,/ 0

0

80 80 80

5 /0 #0 5 /0 f 6

8 f 6

5 #0 /0 5 #0 f 8 6 f 8

1, =F10?31JK

>) 0uego

5 #0 5 80 # / # ,/ 1

5 0 5 1,=F10?31J K 8

1

/

1

0

1, =F10?31JK

0

5

0

1, =F10?31JK, ?

1

?)  =1 5 /1 #1

81

5 /1 55

81

5 #1 /1 5 #1

1, =F10?31J 55

81

5 1, =F10?31J 5

5 1, =F10?31J

1,JJ@11=30 J

@) 0uego 5 #1 5 81 # /

8

=

0

1

/

=

# = ,/ =

$

5 1, =F10?31JK 5 1,JJ@11=30 J

1

0

1,JJ@11=30 J

5

1,JJ@11=30 J , 5

xn

-s

/!2?/86/B

1 = 3 > ?

/!BB@//28B 2!/BB5@?/? 2!26B226 2!258@65 2!2B8@5@//

8!?2686B//8 8!286688 8!85/26B8 8!85@?6888

@ 

2!2B/@2B@ 8!888888888

8!888/8@6 8!8888888/5

 0 . 05

8!888@68@

E&*% = f ( x ) = x −2 x + 1 3

mplee el m%todo de &alsa posi#i$n para ¿

x ∈ [ −2, −1 ]

1) 3ea 5( − ) = ( )= − =( )3 − = − = + 1 5 ( − =)

= −3

=) 5 ( −)1( =) 5 ( − 1)

− 1( 3 )− = − 1 + 1

== 5 ( − =) ( 5 )− 1

"or lo tanto =0 3) 3ea

⇒ 80 =

5 ( /)0 # 0 (−) 5 # 0 /0

−( 5) # 0 5 ( − 1)( −) = (− 5)( −) = − 1 ⇒ 80 = 5 ( − )1( − 5) − = ⇒ 80 = −

5 ( /)0

F ?

⇒ 8 0 = −1, > >) 0uego

[

〈 0 ⇒ ∃ 8 L ∈ [ − =,−1] = # , / 0

0

]

#'#

5( # ) 0( )5 8 0(

=) (5 − =) 5 − 1,> 〈 0

#1 = #0 = −= / = 8 = −1,>  1 0 ∴ [# , / ] = [ − =,−1, > ] ⇒ 1

1

?)  =1

⇒ 81 = ⇒ 81 =

5 ( /) 1 #1 (−)5 #1 /1

−( 5) #1 −) =( −)(5 − =) − 1,> 5 ( − 1,> ) ( − )5 − =

5 ( /)1

5 ( − 1,>)(

⇒ 8 1 = −1,??@=1301 K @) 0uego 5 ( #)( 1) 5( 8)( 1

= 5 − = 5 − 1,??@=1301 ) K 〈0

#= = #1 = −= / = 8 = −1,??@=1301K  = 1

⇒

∴ [#= , /= ] = [ − =,−1,??@=1301K] ) ==

⇒ 8= = ⇒ 8= =

5 ( /)= # = (−) 5 # = /= 5 ( /)=

−( 5) # =

5 ( − 1,??@=1301)(K) ( )(− =

− 5 − = −)1,??@=1301 K −5 −=

5 ( − 1,??@=1301 )() K

⇒ 8 = = −1,?@01K1F0 >1

K) 0uego 5 ( #)( =) 5( 8() =

= 5 − = 5 − 1,@01K1F0> ) 1 〈0

# 3 = # = = −= /3 = 8 = = −1,@01K1F0> 1

⇒

∴ [# 3 , /3 ] = [ − =,−1,@01K1F0> 1]

J) =3 5 /3 # 3

83

5 /3 5

5 # 3 /3 5 #3

1, @01K1F0>1

83

5

83

=

5

=

1, @01K1F0>1

1,@13KF=3FF

10) 0uego 5 ( #() 3) 5( 8() 3

= 5 − = 5 − 1,@13KF=3F ) F 〈0

# > = # 3 = −= / = 8 = −1,@13KF=3F F  > 3 ∴ [# , / ] = [ − =,−1,@13KF=3F F] ⇒ >

>

E%emplo 2

¿

f ( x ) = x −1

x ∈ [ 0 , 1,3 ]

10

3ea

1)

,

3ea

5 0

1

=) 5 1,3 5 1,3

1,3

10

1

12,7*5*+

5 0 5 1,3

8L

0

0 1,3

# ,/ 0

0

"or lo tanto 3)

3ea

=0

5 /0 #0

80

5 /0 5 1,3 0

80

5 1,3

80

>)

5 #0 5 0 1,3 5 0

0, 0J>=JJ

0uego

5 #0 5 8 0

=1

5 0 5 0.094299 0

#1

80

0,0J>=JJ

/

/

1,3

1

# ,/ 1 1

?)

5 #0 /0

0

,1, 3 0,094299

1, @01K1F0>1 5

=

5 /1 #1

81

81

@)

5 # 1 /1

5 /1

5 #1

0,094299 5 0,0942991,3 5 1,3 5 0,094299

5 1,3

81

0,1K1F?K

0uego

5 #1 5 8 1 # / # ,/ =

5 0,094299 5 0,1KF?K 8

=

/

=

0

0, 1K1F?K

1

1,3

1

0,181758 , 1,3

=

) ==

5 /= # =

8=

5 #= 5 0,181758

5 1,3

0,=@=KF3

8=

K)

5 #= /=

5 /=

5 1,3 0,181758 5 0,1817581,3

8=

0uego

5 0,1817585 0,262873 0

5 #= 5 8 = #

8

3

/3

0,262873

=

/=

# 3 ,/3

1,3

0,262873,1,3

J) =3

5 /3 #3

83

5 #3

0.338140

83

10)

5 #3 /3

5 /3

0uego

5 0,2-2*735 0,33*10+

5 # 3 5 83 # /

> >

# ,/ >

#

3

8

3

0

0,33K10> 1,3

0,33*10+ , 1,3

>

11) 

>

8> 8>

5 /> # >

5 #> />

5 />

5 #>

0,407877

ORDEN DE UN NÚMERO El orden de un número es el m$ximo exponente de la descomposición polinomica! 0o denotaremos como el entero NmO E%emplo / 0 -1- 2- 3- 4



V

0.00 9 8 0

1

 10 0  10    0  10 

V

0

2

9

10

3 m

8

10

4

LO 'E%O A LA !"#$!E%&AO VALE Orden: m

3

Adem$s, podemos afirmar que tiene 2 cifras significativas E%emplo 2

V = 0.011070 −1 0 ( − 2 ) =m V= 0 + 1× 10− 3 + 0× 10− 4 + 7× 10− 5 + 0 × 10− 6  ×10  + 0× 10   + 1× 10 LO'E%OA LA!"#$!E%&A O VALE

Orden : m= − 2

Adem$s, podemos afirmar que tiene 6 cifras significativas E%emplo  3 2 1 0 -1-2-3-4

V = 1 90 5.077 8 V = 1× 10( 3) =m + 9× 102 + 0× 101 + 5× 100 + 0× 10− 1 + 7 × 10−2 + 7× 10−3 + 8× 10− 4 Orden : m= 3

Adem$s, podemos afirmar que tiene  cifras significativas E%emplo 5 1-2-3 1 0 -

V = 39.078

V = 3× 10( 1) =m + 9× 100 + 0× 10-1+ 7× 10-2 + 8× 10− 3 Orde n : m =1

Adem$s, podemos afirmar que tiene 6 cifras significativas

METODOS ABIERTOS INTRODUCCION =eremos que los )étodos Abiertos se basan en fórmulas que requieren un único valor de inicio ó un par de ellos, pero no necesariamente encierran a la raí#' pues algunas veces divergen ó se ale%an de la verdadera raí# a medida que aumenta el número de iteraciones! 3i los métodos abiertos convergen estos lo acen r$pidamente! Entre ellos tenemos: a )étodo del punto fi%o b )étodo de *e1ton
METODO DE PUNTO FIO METODO DE APROXIMACIONES SUCESI9AS

3ea

f ( x)

de la forma:

una función de la que deseamos allar sus raíces donde

f ( x)

se puede expresar

x= 0 ( x)

, para alg una función

0 (x )

por lo tanto debemos all ar su

solución!

f ( x )= 0

3í se desea allar un cero Hraí# de

, se puede expresar como un problema de punto

fi%o, aciendo: 0 ( x ) = x −f ( x ) HN0a tarea es cuando una función tendr$ un punto fi%o y cómo determinarlosO

1x

E1) L#( '#<+&( ; +&'%( 2& f ( x )=cos 2


&$ $ $"&'6#*%

1 x =1 ⇒ f ( x )=cos =0 2

x =3 ⇒ f ( x ) = cos

31 =0 2

Entonces si resolvemos como un problema de punto fi%o, tenemos:

0 ( x ) = x −f ( x ) 0 ( x ) = x −cos

⇒ 0 ( 1 )=1− cos

⇒ 0 ( 3 ) =1 −c os

E1) L#( '#<+&( ; +&'%( 2&


1 2

1x 2

, x ∈ [ 1, 3 ]

⇒ 0 ( 1 )= 1 ⇒ x =1

!

31 ⇒ 0 ( 1 )=1 ⇒ x = 3 ! 2

f ( x )= sen 2 x

&$ $ $"&'6#*%

[ 0 ,1 ]

x =0 ⇒ f ( x )= sen 0 =0 x = 1 ⇒ f ( x )= sen 2=0

Entonces si resolvemos como un problema de punto fi%o, tenemos:

0 ( x ) = x −f ( x )



Es punto fi%o!

Es punto fi%o!

[ 1, 3 ] 

0 ( x ) = x −sen 2 x , x ∈ 0,1 ⇒ 0 ( 0 )= 0− sen 0 ⇒ 0 ( 0 )= 0 ⇒ x = 0

!

⇒ 0 ( 1 )=1− sen 2 ⇒ 0 ( 1 )=1 ⇒ x =1

E1) L#( '#<+&( ; +&'%( 2&


f ( x ) = sen x

! Es punto fi%o!

[ 0 ,1 ]

&$ $ $"&'6#*%

Es punto fi%o!



x =0 ⇒ f ( x )= sen 0 =0 x =1 ⇒ f ( x ) = sen= 0

3i

1 2

x = ⇒ f ( x )= sen ❑ = 1 ≠ 0 ⇒ x = 2

1 2

, *o es una raí#

Entonces si resolvemos como un problema de punto fi%o, tenemos:

0 ( x ) = x −f ( x )

0 ( x ) = x −senx,x ∈ [ 0, 1 ] ⇒ 0 ( 0 )= 0− sen 0 ⇒ 0 ( 0 )= 0 ⇒

x =0

⇒ 0 ( 1 )=1− sen ⇒ 0 ( 1 )= 1 ⇒ x = 1

!

Es punto fi%o!

! Es punto fi%o!

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL PUNTO FIO 3upongamos que

0 ∈ 2 [ a $] "=0 ( x )

i 3i la imagen de la aplicación

x∈[a $]⇒ 0

tiene al menos un punto fi%o en

ii 3upongamos adem$s! que ∀ x ∈ ⟨a $ ⟩ ⇒ 0

0 (x) '

[a $]

est$ definida en

tiene un único punto

, " ∈ [a $]

verifica qu e

&

fi%o en

para cada punto

!

⟨a $⟩ [a $]

y que !

|0' ( x )|< 1

0 ∈2 a $

: Al con%unto de todas las funciones continuas en el intervalo cerrado!

E1) D&"&'$#' ( *# 5$+;$ "&$& $ $+% $"% 5%

f ( x ) =cos x

&$

[ 0 , 1]

.

f ( x )= cos x ∈ 2 [0,1 ]

/

f ( x )= cos x

es decreciente en

[ 0,1 ]

por lo que su imagen

f ( [ 0,1 ] )= [ cos ( 1 ) , cos ( 0 ) ] radianes

f ( [ 0,1 ] )= [ 0.54030236 , 1 ] ⊆ [ 0,1 ]

2 3i

"or lo que cumple con i del teorema

|0' ( x )|=|−sen x|

x ∈ ⟨ 0, 1 ⟩ ⇒

¿

sen x

, cuando

x =1

<1

≅ 0.841470985

&umple con la condición ii del teorema

[ 0,1 ]

"or lo tanto el punto fi%o de fHx en f ( x ) = sen x

E=) D&"&'$#' ( *# 5$+;$ "& $& $ $+% $"% 5%

&$

es único!

[ 0 , 1]

.

f ( x )= senx ∈ 2 [ 0,1 ]



f ( x )= senx

[ 0,1 ]

es creciente en

por lo que su imagen

f ( [ 0,1 ] )= [ sen ( 0 ) ,sen ( 1 ) ] radianes

f ( [ 0,1 ] )= [ 0, 0.841470985 ] ⊆ [ 0,1 ] "or lo que cumple con i del teorema

5

3i

x ∈ ⟨ 0, 1 ⟩ ⇒

0 ( x ) =|cos x| '

|

|¿

cos x

, cuando

≅ 0.540302306

&umple con la condición ii del teorema

"or lo tanto el punto fi%o de fHx en

[ 0,1 ]

es único

<1

x =1

f : Dom ( f ) =[ a , $ ] ⟶ R es creciente ⇒ Ran ( f )=[ f ( a ) , f ( $ ) ] f : Dom ( f ) =[ a , $ ] ⟶ R es decreciente ⇒ Ran ( f )=[ f ( $ ) , f ( a ) ]

E=) S&#

1 2

0 ( x ) =1 + sen

/ Existe

x , '%/#' ( "&$& $ $+% $"% 5% &$

2

'

2

'

1 4

0 ( x )= cos

2

x 2

0os m$ximos y mínimos absolutos, para esto encontraremos los puntos críticos!

'

3i

.

0 (x) !

1 x 0 ( x ) =1 + sen ⇒

2

[0, 21 ]

0 ( x )= 0 ⇒

1 x x x ' cos =0 ⇒ cos =0 ⇒ =90 ⇒ x = 180 ⇒ x =1 ⇒ 0 ( x )= 1 4 2 2 2

Entonces:

0 ( 0 )= 1 + 1 sen 0 ⇒ 0 ( 0 )= 1 2

2

1 2

0 ( 2 1 )= 1 + sen

21 ⇒ 0 ( 2 1 ) =1 2

0 (x )

 3e t iene q ue

es continua

[0, 21 ]

y

' 3 0 ( x ) 3  4 <1 , ∀ x ∈

⟨ 0, 2 1 ⟩ 0uego: 1

34

cos

∴

x 2

1 4

3  < 1 , ∀ x ∈ [ 0 , 2 1 ] , c5ando x =0

(iene un único punto fi%o en

[0, 21 ]

E3) S&#

0 (x)=

5 Existe 0 (x )=

2x

2

−2

&$

8

[ −1, 1 ]

. P'%/#' ( (& "&$& $ $+% $"% 5%.

0 (x) ! '

2x

2

−2

8

'

0 ( x )=

⇒

(4 x ) (8) 8

'

0 ( x )=

1x 2

6 0os m$ximos y mínimos absolutos, para esto encontraremos los puntos críticos! 1x ' 3i 0 ( x )=0 ⇒ 2 = 0 ⇒ x =0 Entonces:

0 ( 0 )=

2 (0)

2

−2

8 2 (1)

0 (1 ) =

2

⇒ 0 ( 0 )=

−1

)ínimo

4

−2 ⇒ 0 ( 1 ) =0

8

)$ximo

0 (−1 )=

2 (−1 )

@ 3e tiene que

2

−2

8

0 (x ) ∴

⇒ 0 (−1 ) =0

'

(iene un único punto fi%o en

? "odemos determinar el punto fi%o N

2 & 2− 2 8

8 & =2 &

2

−2

2

8 ¿ 2 & − 8 & −2 2

8 ¿ & −4 & −1

[ −1 , 1 ]

& O en el intervalo

&= 0 ( & ) &=

1 2

3 0 ( x ) 3  < 1 , ∀ x ∈ [ −1 , 1 ] , c5ando x =1

es continua y

!

[−1 , 1 ]

!

&=

− ( − 4 ) % √ (− 4 )− 4 ( 1 ) (− 1 ) 2 (1)

&=

4 % √ 20 2

&= 2 % √ 5 &=2 + √ 5

Entonces

&= 2 − √ 5

*o es un punto fi%o de

Es un punto fi%o de

0 (x)

en

0 (x )

en

[ −1 , 1 ]

[ −1 , 1 ]

;3E<=A&>* &=2 −√ 5 =−0.236 ∈ [ −1 , 1 ]

&=2 + √ 5 =4.236 ∉ [ −1 , 1 ]

2

x − x −2= 0 , alle algunas posibilidades de Munciones de

E5 D#2# *# &+#+;$ polinomial >teraciones de g(x) a

x = x − 2 ⟹ 0 ( x ) = x −2

b

x =√ x +

c

x = x −2 ⟹ 1 = x − ⟹ 1= x − ⟹ 0 ( x ) =1 + x x x

2

2

2⟹

0 ( x ) =√ x +

2

2

2

2

2

&ada una se denomina función de >teración para encontrar una raí# de la ecuación, al escoger alguna de ellas se efectúa el algoritmo! E6 L# &+#+;$polinomial

2x

2

− x − 5= 0

, tiene raíces : /!68?/86B y F/!68?/86B, algunas posibilidades de x = g(x) son:

2

a

x =2 x −5

b

x=

c

x=

√

despe%ando el segundo termino!

x +5 despe%ando x del primer término!

2 5

factori#ando x y despe%ando

2 x −1

E>) L# &+#+;$ %*$%#*

3

2

x + 4 x −10 =0 , "&$& $# '#< &$

[ 1 , 2]

+ay varias funciones de iteración de dica ecuación polinomial' es decir ay mucas maneras de convertirlas en

x= 0 ( x)

, entre ellas tenemos:

x = x − x − 4 x + 10 ⟹ 01 ( x )= x − x −4 x + 10 3

/

x=

2

2

3

1

1

( 10− x 3 ) 2

( 10 − x3 ) 2 ⟹ 0 2 ( x )=

2

2

( ) 10 4+x

03 ( x ) = x =



&omo

2

1 2

( )

⟹ 03 ( x ) =

10 4+x

1 2

x 0= 1.3 tenemos H(raba%ar con B dígitos 3

2

x 1=2.3430 ⇒ ( 1 ) tenemos : ( 2.3430 )−( 2.3430 ) − 4 ( 2.3430 ) + 10=−22.477843610

1)

3)

/! 2!58 F22!5??5@/8 B2!6/@55 F!/8256? x /8// 6!8@688B x /86

/! /!?@86@B /!@5/@6@5 /!@6@6565 /!@62/2?2 /!@62228@ /!@622B?5

i 0 1 = 3 > ? @

Cebemos se4alar que / es divergente' pero el otro resultado  es me%or !

( ) 10

(enemos 03 ( x )= 4 + x

/

1 2

:

x 0= 0 ( x 0 )=1.3

x 1= 0 ( x0 ) = 0 ( 1.3 ) =

( + )= 10 4 1.3

1 2

(

x 2= 0 ( x1 ) = 0 ( 1.373605639)=

x 3= 0 ( x 2) = 0 ( 1.364165634)=

1.373605639

10 4 + 1.373605639

(+

10 4 1.364165634

)= 1 2

1.364165634

)= 1 2

1.365365454

x 4=¿

!

x 5=¿



3

2

x + 4 x −10 =0

E>) L# &+#+;$ %*$%#*

, "&$& $# '#< &$

[ 1 , 2] x= 0 ( x)

+ay varias funciones de iteración de dica ecuación polinomial' es decir ay mucas maneras de convertirlas en

, entre ellas tenemos:

01 ( x )= x = x − x −4 x + 10 3

/

2

1

02 ( x )= x =

2

( 10 − x 3 ) 2 2

( ) 10 4+x



03 ( x )= x =

5

04 ( x )= x = x −

1 2

3

&omo

x 0=1.5

tenemos:

2

x + 4 x −10 2 3 x +8 x

x 0=1.3

tenemos

3

2

x 1=−0.875 ⇒ (1 ) tenemos : ( −0875 ) −(−0.875 ) −4 (−0.875 ) + 10 =6.73 … . i 8 / 2  5 6 @

/

2



5

/!6 F8!?6 @!?252/6 F5@B!?/B6

/!6 /!2@B6 /!58265/ /!5656/ /!?6/?8 /!@88B5 /!@?5?

/!6 /!5BB /!@??@ /!@5B6? /!@62@5 /!@6226 /!@628

/!6 /!? /!@682@28 /!@6288/5 /!@6288/ /!@6288/ /!@6288/

Cebemos se4alar que / es divergente' pero tenemos me%ores resultados en 2  y 5! (enemos:

2

x 0= 0 ( x 0 )=1.5 1

x 1= 0 ( x0 ) = 0 ( 1.5 ) =

(

10 4 + 1.5

x 2= 0 ( x1 ) = 0 ( 1.3448399

)= )=( + 2

1.348399

10 4 1.348399

)= 1 2

1.367376

x 3= 0 ( x 2) = 0 ( 1.367376)=

x 4=¿

(

10 4 + 1.367376

)= 1 2

1.364957

!

x 5=¿



COROLARIO 0 ∈ 2 [ a $ ] , 0 ( x ) ∈ [ a $ ] , ∀ x ∈ [a $ ]

3ea

'

∃, 0

,

(x)

∀ x ∈ ⟨a $ ⟩

'

0 ( x ) 3 6 < 1, ∀ x ∈ ⟨ a $ ⟩ '

⇒ 3 P n− x 0 3 

6

n

1− 6

3 x 1− x 0 3 ,

∀ n7 1

OBSER9ACION / 3i Q es muy cercano a cero

⇒

0a sucesión

{ Pn }n 7

2 3i Q es muy cercano a uno

⇒

0a sucesión

{ Pn }n 7

 0a rapide# de la convergencia depender$ del factor :

1

&onverge r$pidamente!

1

&onverge muy lentamente!

6

1 −6

(enemos por e%emplo:

E1)

01 ( x )= x − x − 4 x + 10 3

2

01 ( x )=1−3 x − 8 x '

⃒

3

,

01 ( x ) , es continua en '

) = 1 −3 x − 0⃒ ⃒ 8 x , ∀x ∈⟨ 1 , 2 ⟩ 1 ( x⃒ '

2

'

⇒ 3 01

∴

( x ) 3 ≮ 1, ∀ x ∈ ⟨ 1 , 2 ⟩ !

*o ay sospeca de convergencia

,

n

⟨1 2⟩

⃒

( )

E=) '

02 ( x )

1 2

es continua en

(⃒ ) = 0⃒ 2 x '

⃒

10 4+x

02 ( x )= x =

⟨1 , 2 ⟩

−1 / 2

( ) ( ( −+ ) )

1 10 2 4+ x

'

⃒

0⃒ x⃒ = − 2 ( )

⃒

) =− 0⃒ ⃒ 2 (x

10

⃒2

4 x

, ∀x ∈⟨ 1 , 2 ⟩

( 4 + x )1 /2 ⃒ , ∀x ∈⟨ 1 , 2 ⟩ ( 10 )1/ 2 ( 4 + x )2 5

5

'

−−3

( 4 + x⃒ ) 2 , ∀x ∈⟨ 1 , 2 ⟩ 1

( 10 ) 2 xK/

) = −0.1414 0⃒ ⃒ ⃒ =0.14 <1 , ∀x ∈⟨ 1 , 2 ⟩ 2 (x '

⃒

∴

Es convergente a un único punto fi%o

( 10 − x ) /

3 1 2

E3) 03 ( x ) =

2

03 ( x ) , es continua en 2

' 0⃒ ⃒ ) =− 3 (x

⃒

[ 1 , 2] −1

3x 3 2 ( 10− x⃒ ) 4

1.8

3i

x

=1.8

⟹

⃒

⃒

¿ ¿ 10−(¿ 3 ¿) ¿ ¿ 2 3 ( 1.8) ' 03 ⃒ ¿ ( 1.8⃒ )=−

( 1.8 ) = 1.190261588 03 ⃒ '

∴

4

≮ 1, ∀

x ∈ ⟨ 1 , 2⟩ !

*o ay sospeca de convergencia

P&'%, aora tomaremos otro intervalo −1

2

3 03' ( x ) 3=3−

1 , 1,5

3x ( 10− x 3 ) 4

3, ∀ ∈ ⟨ 1 , 1.5 ⟩

2

) = −0.598083621 ⃒⃒ ⃒ x =1,45 ⇒⃒ 03 ( 1.45 '

3i,

⃒ ) = 0.598083621< 1 , ∀∈⟨ 1 , 1.5 ⟩ 03 ( 1,45 '

⃒

03 ( x )

con

6 =0.598083621

02 ( x )

con

6 =0,1414

'

3i comparamos y

'

3on convergentes, pero el segundo converge m$s r$pido que el primero!

E>) S&#

(+)

x=0 ( x)=

xi

1 2 +%$

x 0=1.5, V =1.3652

Ea&rox

8

1 .5

/ 2  5 6 @ ?  B / 8

10 4 x

2%3/1-000.1

1 .3 4 8 39 9 7 2 5

1 1 .2 4 29 7 7 3 0 6

1 .3 6 7 37 6 3 7 2

1 .3 8 7 8 1 4 4 6 4

1 .3 6 4 95 7 0 1 5

0 .1 7 7 2 4 7 8 2 3

1 .3 6 5 26 4 7 4 8

0 .0 2 2 5 4 0 1 4 9

1 .3 6 5 22 5 5 9 4

0 .0 0 2 8 6 7 9 4 7

1 .3 6 5 23 0 5 7 6

0 .0 0 0 3 6 4 8 8 4

1 .3 6 5 22 9 9 4 2

0 .0 0 0 0 4 6 4 2 4

1 .3 6 5 23 0 0 2 3

0 .0 0 0 0 0 5 9 0 7

1 .3 6 5 23 0 0 1 2

0 .0 0 0 0 0 0 7 5 1

1 .3 6 5 23 0 0 1 4

ER

0 .0 0 0 0 0 0 0 9 6

0%,.-*-2-/1 -%0+210/301 -%-0//231*, -%--1/1,/+/ -%--03/1/++ -%--,,.2*13 -%--,02.,,. -%--,0220,2 -%--,023./3 -%--,0231/1


;3E<=A&>* Ea&rox = E A = ERROR APRO8IMADO ⃒=

A&roximaci9n Act5a( − A&roximaci9n Anterior ⃒ A&roximaci9n Act5a(

E R = ERROR RELA:IVO ⃒=

Va(or Verdadero−Va(or A&roximado ⃒ Va(or Verdadero

OBSER9ACION / 0as ex presiones E A y E R se considera en los c$lculos el valor verdadero , pero en situaciones reales es difícil contar con la información del valor verdadero, entonces en estos casos es normali#ar el error es una alternativa esto es usando:

Ea&rox= ERROR APRO8IMADO

9!

2 Ciremos que los c$lculos se repiten asta que se cumpla la relación : E a&rox; = ⃒ ⃒∈s ∈s

Conde

K (olerancia porcentual prefi%ada!

 (ambién es posi ble relacionar estos errores con el númer o de cifra s significativas en la aproximación es decir , que es posible afirmar que el criterio se cumple y que el resultado es correcto en al menos $ cifras significativas:

(

∈s= 0.5 × 10

2−n

)

E?) U"*+& &* !"%2% 2& P$"% F% #'# *%+#*#' *# '#< 2& f ( x )= sen √ x − x

+%$ $ 6#*%'

$+#* &( 0.? & "&'#' #("# & &* &''%' #' %8#2% %'+&$"#* (&# &$%' %  #* # 0.01. T&$&%( &4 f ( x )= sen√ x− x ⟹ x =sen √ x ⟹0 ( x )=sen √ x

i

Ea&rox=¿

xi 0 1 = 3

8!6 8!@5B@@BB 8!?2/62?B? 8!?68B8//@@

2!8B2? B!B@/BB@B !B/22/?/

> ? @  K J

8!?@28B@6/ 8!?@@25/5 8!?@???/@65 8!?@2@6B 8!?@6282/ 8!?@@8@2/

10

8!?@@8@

/!5@B8@2/ 8!65/?@@2/ 8!/B522? 8!8?25B6@@B 8!82@5@/8B? 8!88B@66/B

0.01

(enemos 0 ( x ) = sen √ x :

x 0= 0 ( x 0 )=0.5 x 1= 0 ( x0 ) = 0 ( 0.5 ) = sen √ 0.5= 0.649636939

x 2= 0 ( x1 ) = 0 ( 0.649636939 )= sen √ 0.649636939 =0.721523797 x 3= 0 ( x 2) = 0 ( 0.721523797)= sen √ 0.721523797= 0.750901166 x 4= 0 ( x 3 )= 0 ( 0.750901166 )= sen √ 0.750901166 =0.762096851

|

0.649636939−0.5 x 100 ⟹ Ea&rox =23.3393330 0.649636939

|

0.721523797−0.649636939 x 100 ⟹ Ea&rox =9.963199869 0.721523797

Ea&rox =

Ea&rox =

|

|

ALGORITMO DEL PUNTO FIO

x 0=¿

E*(
=alor inicial

E=¿ Error N =¿ /

i=1

2 )ientras 

*umero m$ximo de iteraciones

i  N , acer los pasos ,5,6

x i= 0 ( xi −1 )



⃒

5 3í

x⃒ − x0 < E

Entonces >mprimir

x

(erminar 6 Ce lo contrario +acer i =i + 1 @ Actuali#ar

x0

? >mprimir N)ensa%eO El )étodo no converge a una raí# y terminar!

EEMPLO 1

f( )

,>sen?#@?0B ,@  #

!+era,- ne/ *-

D iteracion es

*0

-8+

f( )

,>sen?#@?0B ,@  #

( )

,>sen?#@?0B ,@

1

1.299273 878

61.516966 638

Err r

-%--0=

2

1.817147 504

28.499261 882

3

1.950573 917

6.8403669 28

4

1.969742 513

0.9731523 75

5

1.972068 881

0.1179658 56

6

1.972344 178

0.0139578 58

7

1.972376 656

0.0016466 28

8

1.972380 486

0.0001941 87

0

f(-)

a

0 .5

3

E3

0%2/,.3-1 3*

3

-%---0210 3/

EEMPLO =

f()

,>sen?s
n,-n -+era,-n

,>sen?s
*

Ga H -%--0=

Errr

-

*-

f ( - )

-

 a

-%+

0

-%+

-%/22,/. 3/3

./%11.,, -02

,

-%/22,/. 3/3

-%/+2202 --,

+%0/33,+ 0+/

.

-%/+2202 --,

-%//-2/0 2/,

0%1..*12.*

1

-%//-2/0 2/,

-%/*3-03 -20

-%.31*03+0

+

-%/*3-03 -20

-%/*3302 ,01

-%0-1,-0 /+1

*

-%/*3302 ,01

-%/*3*-, /3

-%-,30+2 .,+

/

-%/*3*-, /3-

-%/*3**0 .01

-%--/*0+ -./

3

-%/*3**0 .01

-%/*3*1+ 133

-%--,-+3 2,1

2

-%/*3*1+ 133

-%/*3*12 /*3

-%---++* /0,

EEMPLO 3

F?#@ I #  ?sec#@B,

# I6?#@I?Sec#@B,

*-

valor inicial I-%+

f ( - ) a -%+

-%+,.+23//*

1%+-/-.10 1

-%+-23*../,

,%*2.2.30 ,

0 , -%+0/33+03. . 1

0%+132++* -%+0.,-2/

-%200-,/2 0

-%+0+2./2*2

-%+,3/2/2 /

-%+01.1/-1

-%.-2.0-1 +

-%+0+,/+0,1

-%03-001, ,

+ * / 3

-%+01/..31.

-%0-+0+/1

METODO DE NETON RAPSON Es uno de los métodos numéricos m$s conocido y poderoso para encontrar las raíces de !

f ( x)

3upóngase x⃒ −&

⃒

x ∈[ a , $ ] una aproximación a N

f ∈ 2 [ a , $ ] ! 3 ea 2

& O'

'

f ( x )= f ( x ) + ( x − x ) f ( x ) +

( x − x )2 2!

f

''

f ( x)

alrededor de

(- ( x ))

ó

( x − x )2

f ( x )= f ( x ) + ( x − x ) f ( 1) ( x ) +

Conde

-

esta entre

&omo

&

es raí# de

x

2!

y

f (x)

f ( 2) ( - ( x ) )

x !

H

es decir'

- =¿ Error! f ( & )= 0 ,

Entonces:

f ( & ) = f ( x ) + ( & − x ) f ( 1 ) ( x )+

0 = f ( x )+ ( & − x ) f ( 1 ) ( x ) +

x⃒ −&

⃒ &omo 2

x⃒ −& <0

( & − x )2 2!

( & − x )2 2!

f (2 ) ( - ( x ) )

f ( 2) ( - ( x ) )

es muy peque4o, entonces al derivar Es despreciable, luego

0 ≅f ( x ) + ( & − x ) f

(1 )

(x)

−f ( x ) ≅( & − x ) f (1 ) ( x ) −( 1f) (( x )) &− x f

∴

x

'

es muy peque4o!

&onsideremos el polinomio de (aylor HCe primer grado para

⃒

f ( x )≠ 0

≅

& ≅x−

f ( & n−1) f (x) ⇒ & n ≅ & n− 1− , n7 1 f (1 ) ( x ) f ( 1 ) ( & n− 1 )

0a expresión anterior es una me%or aproximación a N & O que

x

mismo!

x



y

Entonces la fórmula de recurrencia es llamada formula de *e1ton en una forma generali#ada!

x n ≅ x n− 1 −

f ( x n− 1 ) f ( 1 ) ( x n− 1 )

Conde la sucesión

,n71

{ x n }n 7

1

es una sucesión convergente acia

&

 tenemos que: x n + 1= x n −

f ( xn ) '

f ( xn)

,n70

*ota

x /

' f ( x )≠ 0

, pues la recta tangente que pasa por el punto

¿ ¿  , no debe ser paralelo al ¿

e%e de las L! 2

2 [ a , $ ] !K &on%unto de todas las funciones que tienen segunda derivada, continua en x 2

>*(E<"* 7E)E(<>&A CE0 )E(C CE *ER(*
E/
f ( x )= x cos x − 6 x ln x −2 5 2

, utili#ando el método de *e1ton


0.01

cuando el valor

⃒ x n+1⃒ −xn

$

xn

0 1 2 3

,1%--------,1%1*0-./,1. ,1%+,30...,*

-%1*0-./,1. -%-*/-2*-3. -%--,*,/-2.  0.01

,1%+.-/*-102 ,1%+.-/*1**/ ,1%+.-/*1**/

4 5

-%-----1,13

Entonces: 2

x n + 1= x n −

x n cos x n− 6 x n ln x n−25 2

2 xn cos x n−¿ x n sen x n−6 ln x n− 6

x n + 1= x n −

f ( xn) '

f ( xn)

⟹¿

(enemos: 2

24 cos24 −6∗24 ln24 −25

2

2 x 0 cos x 0−¿ x 0 sen x 0−6 ln x 0−6 ⇒ x 1= 24−

2∗24cos24

−24 2 sen 24 −6ln24 −6

⇒ x1 = 24.461037243

2

x 1= x 0− x 0 cos x 0 −6¿ x0 ln x 0−25

2

2 x 1 cos x 1−¿− x 1 sen x 1− 6 ln x 1−6 2

x 2= x 1−

x 1 cos x 1− 6 x 1 ln x 1−25

¿ 2

⇒ x 1= 24.528133326−

24.461037243 cos 24.461037243 −6∗24.461037243 ln 24.461037243−2 2

2∗24.461037243cos 24.461037243−24.461037243 sen 24.461037243− 6 ln 24.461

⇒ x 2= 24.528133326

E2 3ea

f ( x )= senx − x + 1 , x ϵ [ 1, 3 ] ! &alcule la raí# de

*e1ton
f ( x )= sen x − x + 1 f ( x )=cosx − 1 '

f ( x ) , aplicando el método de

f

''

( x )=− senx

(enemos que:

f ( 1 ) f ( 3 ) <0 ⇒ ∃ x

¿

[

∈ 1, 3

]

Empleando el método:

$

X$

0

.%---------

1 2 3 4 5

,%-*+33+2,2 0%2.23,-210 0%2.1+/,*20 0%2.1+*.,00 0%2.1+*.,00

Entonces: x n + 1= x n −

sen xn − x n+ 1 cos x n−¿ 1

x n+ 1= x n −

f ( x n) '

f ( xn )

⟹¿

(enemos: cos3 −¿ 1 ⇒ x1 = 2.065885929 cos x 0−¿ 1 ⇒ x 1=3−

x1= x 0 −

3

¿

sen x 0− x 0 + 1

¿

E Encuentre la raí# real de la ecuación *e1ton
sen 3−3 + 1

f ( x )=2 x + x + 5 x − 10 , mediante el método de 3

x 0= 1 , - =10−4

2

,aplicando⃒ a

2

f ( x )= 2 x + x + 5 x − 10 2 f ' ( x )= 6 x + 2 x + 5

$ 0 1

⃒ x n+1⃒ −xn

xn x 0=¿ / /!/65@/65

8!/65@/65

x n+1⃒ − xn

!

/!/526/ /!/525?/5B

= 3

8!8//8?5/ 8!8888@@25  0.001

Entonces: x n+1= x n−

f ( xn ) '

f ( xn)

3

⟹ x n + 1= x n −

+ x n2 +5 x n−10 2 6 x n + 2 x n +5

2 xn

(enemos:

x 1= x n−

3 2 + x 02+ 5 x 0−10 2 ( 1) +( 1) + 5 ( 1 )−10 ⇒ x 1=1− ⇒ x 1= 1.153846154 2 2 6 x 0 + 2 x0 + 5 6 ( 1) + 2 ( 1 )+ 5

2 x0

3

1.153846154

¿ ¿ 2 ¿ 3 + ( 1.153846154 ) + 5 (1.153846154 )− 10 2¿ 3 2 2 x 1 + x 1 + 5 x1− 10 x 2= x 1− ⇒ x 2= 1.153846154 −¿ 2 6 x 1 + 2 x 1+ 5

ttps:SS111!youtube!comS1atc.vKP7"Q#x#L>T5

−x

E/ 3ea

f ( x )=e

=x

verdadero es 8!6@?/52B!

, calcular la raí# de

f (x)

, aplicando el método de *e1ton
x 0= 0

,donde el valor

−x

/

f ( x )= e

2

f ( x )=−e



x n+1= x n−

=x −x

'

=1

f ( xn) f ( xn ) '

⟹ x n+1= x n−

n

xn

8

x 0=¿

/

e

−x n

= xn

−e−x = 1 n

ER /88 8

8!6

//!

2

8!6@@//882



8!6@?/5/@5

5

8!/5@ 8!888822

8!6@?/52B8

−8

10

(enemos:

− x0

x 1= x 0 −

x 2= x 1−

e

−e e

= x0

− x0

− x1

=1

= x1

−x1

−e

=1

0

⇒

x1= 0−

e =0 1 = ⇒ x 1=0.5 −e−0 = 1 2 −0.5

⇒ x 2= 0.5 −

e

= 0.5

−e−0.5 = 1

⇒ x 1=0.566311002

e− x = x 1 =0.567143164 −e− x = 1 1

x 3= x 2−

1

f ( x )= x + 2 x + 10 x −20 3

E2 Encuentre la raí# real de la ecuación

- =10

−3

⃒

,aplicado a

x n+1⃒ − xn

2

, mediante el método de *e1ton
!

f ( x )= x + 2 x + 10 x −20 3

2

f ' ( x )=3 x + 4 x + 10 2

n

xn

8

x 0=¿

⃒ x n+1⃒ − xn /

/

/!5//?@5?8@

8!5//?@5?8@

2

/!@B5@?/

8!85252



/!@8/B

5

/!@8/8

8!88862622 8!8888888/

Entonces:

x n + 1= x n −

f ( xn ) '

f ( xn)

3

⟹ x n+1= x n−

2

x n +2 x n +10 x n−20 3 xn

2

− 4 x n+ 10

¿ 0.001

x 0= 1

,

f ( x )=−0.9 x + 1.7 x + 2.5 con x 0=5 2

E2 3ea

! &alcular la raí# de

f ( x)

, aplicando el método de *e1ton
- s  0.01

- s= ERROR E>:IMADO =⃒A&roximaci9n Act5a( − A&roximaci9n Anterior| - s= ERROR E>:IMADO ⃒ = x n+1 − x n| 2

=)

f ( x )=−0.9 x + 1.7 x + 2.5 ' f ( x )=−1.8 8 + 17

3)

x n+ 1 = x n−

1)

f ( xn ) '

f ( xn )

⟹ x n+1= x n−

n

[−0.9 x

+ 1.7 x n + 2.5 ] −1.8 x n + 17

|

⃒ x n+ 1 − x n

xn x 0=¿

8

2

n

6

/

!525@6?65

/!6?6525@@

2

2!B256@BB?

8!688886?



2!@//5@B?@

8!8@2/882/

5

2!@8/85@B

8!88/8522?

6

2!@8/8558@ 8!8888882

¿ 0.0001

(enemos:

n = 0 ⇒ x1 = x 0 −

[ −0.9 x

+ 1.7 x0 + 2.5 ] [−0.9 x02+1.7 x 0 +2.5 ] ⇒ x =3.424657534 ⇒ x 1= 5 − 1 −1.8 x 0+ 17 −1.8 x 0 + 17 2

0

!

|x 1− x 0|=1.575342466 n = 1 ⇒ x 2= x 1 −

E5
[− 0 . 9 x

+ 1 . 7 x 1+ 2 . 5 ] ⇒ x 2= 2.924356997 −1 . 8 x 1+ 17 2

1

f ( x )= 4cos x −¿ e

¿

x

, utili#ando el método de *e1ton
estimado de /8F5, , cuando el valor inicial es /!

/ 2

f ( x ) = 4cos x −¿ e

x

¿

f ( x )=−4 senx −e ⟹ f ( x ) =−(4 senx + e ) '

x

'

x

 x

x +¿ e 4 sen ¿

¿ ¿ −¿ x x −¿ e 4cos ¿ xn + 1= x n−¿ x n+ 1= x n−

f ( xn) '

f ( xn)

⟹

¿

x

x +¿ e 4 sen ¿

¿ ¿ ¿

4cos

x −¿ e

x

¿

x n+ 1= x n +¿ f ( xn) x n+ 1= x n− ' ⟹ ¿ f ( xn)

|

$

xn

0

x 0=¿

1 = 3

⃒ x n+1 − x n

/

8!B85B68 8!B85?BB2 8!B85?2/

8!8B/6@/868 8!88@55B@ 8!888886?@5

¿ 0.0001

ALGORITMO DE NETON RAPSON

>*7
x 0=¿

=alor inicial

- =¿

Error ó (olerancia

N =¿

*umero de iteraciones

f ( x )=¿ "roporcionar la función

f ' ( x )=¿

i=1

/ +acer

i N

2 )ientras

 +acer ⃒

5 3i

"roporcionar la derivada de la función

x i+ 1= x i−

, seguir los pasos

f ( xi) '

f ( xi )

x n+1⃒ − x n <-

Entonces : >mprimir N3olucion Aproximada O

x ¿ x i+ 1 6 +acer iKiI/ @ >mprimir N)etodo no &onverge a una rai# y terminar O

;3E<=A&>*

1) Gtili#ando el método de *e1ton
R n+ 1

es proporcional al cuadrado del error anterior!

3upongamos que el error en una iteración es cuadrado del error anterior es decir

10− 2 n

−n

10

el error siguiente es proporcional al

, el que sigue es

10−4 n ' esto nos

permite afirmar que cada iteración duplica aproximadamente el número de dígitos correctos!

3) El método de *e1ton
C>;GPA<

>) *ecesidad de conocer el valor de la derivada de

f (x)

en cada aproximación lo cual es

una dificultad del método!

NETON RAPSON MODIFICADO Gna raí# múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al e%e L! En general, la multiplicidad impar de raíces cru#a al e%e L , mientras que la multiplicidad par no lo cru#a! E%emplo /!F 3 ea f ( x )= ( x − 3 ) ( x − 1 ) ( x −1 )

f ( x )= x −5 x + 7 x − 3 3

2

E%emplo 2!F 4 3 2 f ( x )= x −6 x + 12 x −10 x + 3 f ( x )=( x −3 ) ( x −1 ) ( x −1 ) ( x − 1 ) Cibu%o:


.

.

3egún
f (x) f (x) '

( 1)

0a cual tiene raíces! 3i la ecuación de *e1ton
x i + 1= x i −

5 ( xi ) '

5 ( xi )

(2 )

Ce H/ derivando tenemos: '

'

5 ( xi ) =

'

f ( x i ) f ( x i )− f ( xi ) f 2

'

''

( xi )

(3)

[f (x )] i


'

f ( xi ) '

x i + 1= x i −

f ( xi ) f ( x i ) f ( x i )− f ( xi ) f '

'

''

( xi )

[f (x )]

2

'

i

2

'

x i + 1= x i −

'

f ( xi)

[[

f ( x i ) 2f ( x i ) ' '' f ( x i ) −f ( x i ) f ( x i )

][

]

]

"or lo tanto '

x i + 1= x i −

f ( xi ) f ( xi ) 2

[ f ( x )] − f ( x ) f '

i

E/

i

''

( xi )

Aplicar el )étodo de * e1ton
f ( x )= x −2 x −5 , donde

x 0= 2

/

f ( x ) = x − 2 x −5

2

' 2 f ( x )= 3 x − 4 x



f

5

x i + 1= x i −

3

''

2

( x )= 6 x −4 f ( xi ) f ( xi ) '

2

[ f ( x )] − f ( x ) f '

i

i

$ 0 1 = 3 > ?

''

( xi )

xn ,%--------,%.+/01,3+/ ,%*,-03,,*/ ,%*3/3-333* ,%*2-*1,2// ,%*2-*1/113

3

2

"<>)E(E* /

f ( x 0 ) =f ( 2 )=−5

2

f ( x 0 )= f ( 2 ) = 4



f

'

''

'

( x ) =f '' ( 2 )=8 0

'

x 1= x 0−

f ( x0) f ( x0) 2

[ f ( x )] − f ( x ) f '

0

0

''

(x ) 0

x 1=2.357142857 3E7G*CA >(E* 5

f ( x 1 )= f ( 2.357142857) =−3.015670554

6

f ( x 1 )= f ( 2.357142857 ) =7.239795918

@

f ' ' ( x1 ) =f ' ' ( 2.357142857 )=10.142857143

'

'

x 2=2.620182267

f ( x ) = x −5 x + 7 x − 3 3

E/

Aplicar el )etodo de *e1ton
6

f ( x )= x −5 x + 7 x −3

@

f ( x )= 3 x −10 x + 7

?

'' f ( x ) = 6 x −10



x i + 1= x i −

3

'

2

, donde

2

2

'

[

f ( xi ) f ( xi ) 2 ' '' f ( xi ) −f ( xi) f ( xi )

]

n

xn

8

x 0=¿

ER /88 8

/

/!/862@/6

/8!62@/6

2

/!888/@@5

8!8/@@5



/!888882582

8!8882B6

5

bservamos que los valores convergen c uadr$ticamente "<>)E(E*

?

f ( x 0 ) =f ( 0 ) =−3



' ' f ( x 0 )= f ( 0 ) = 7

B

f

''

( x ) =f '' ( 0 )=−10 0

f ( x0) f ( x0) '

x 1= x 0−

2

[ f ( x )] − f ( x ) f '

0

0

''

(x ) 0

x 0=0

y el valor verdadero es /

x 1=1.105263158

x 1=1.10526 3E7G*CA >(E*

/8

f ( x 1 )= f ( 1.10526 )=−0.020993089

//

f ( x 1 )= f ( 1.10526 ) =−0.387800997 '

/2

'

f ' ' ( x1 ) =f ' ' ( 1.10526 )=−3.36844 x 2=1.003081664 x 2=1.00308

&omo e%emplo aplicar el método de *e1ton
xn

ER

x 0=¿

8

8

/

8!526?

6?!/5

2

8!@6?/

/!52B



8!2@

/@!?/5

5

8!B/2

!@@

6

8!B66??

5!52

@

8!B??@5

2!2@

?

8!B?6

/!/26

f ( x )= x + 2 x −5 x + 3 3

E2

Aplicar el )etodo de *e1ton
/

f ( x ) = x + 2 x −5 x + 3

2

f ( x )= 3 x + 4 x − 5



f

5

x i + 1= x i −

3

'

''

2

, donde

2

2

( x )= 6 x + 4 '

f ( xi ) f ( xi ) 2

[ f ( x )] −f ( x ) f '

i

n

xn

8

x 0=¿

( xi ) ER 8 8!2

/

/!@?/@5/?B/

@?!/@5/?B/

2

8!/66B@

5!//5@@8?



/!686/B8/

68!6/B8/

5

F8!/82/8/

//8!2/8/

0a función es divergente Hoscila sus valores "<>)E(E*

''

i

x 0=0.2

y tiene raí# doble de

x =1

x 0=0.2

|− |

ER =

1

0.2 100 = 80 1

3E7G*CA >(E*

f ( x 0 ) =f ( 0.2 )=2.088

/

'

'

f ( x 0 )= f ( 0.2 ) =−4.080

2

f



( x ) =f ' ' ( 0.2 )=5.20

''

0

'

x 1= x 0−

f ( x0) f ( x0) 2

[ f ( x )] − f ( x ) f '

0

x 1=0.2−

''

0

(x ) 0

( 2.088 ) (−4.080 )

[ −4.080 ] 2−( 2.088) ( 5.20)

x 1=1.671641791 ER=

1 −1.671641791 1

|(

100 =67.1641791

|

(E<&E(E*

/

f x 1 )= f ( 1.671641791) =4.901776481

2

f ( x 1 )= f ( 1.671641791 )=10.06972600



f

'

'

''

( x ) =f ' ' ( 1.671641791)=14.02985075 1

x 2=0.1588533963

|−

ER=

1

|

0.1588533963 100 =84.11466037 1

E3) E$+&$"'& *# '#< 2&

tan ( x )− 0.1 x = 0

&$

x 0= 1

R#(%$ %25+#2% - +%$ $# "%*&'#$+# 2& 0.0001 /

f ( x )= tan ( x ) −0 . 1 x

2

f ( x )=sec x −0.1



f

'

''

2

( x )= 2 sec x .sec x tanx =2 sec 2 x tan x

, &2#$"& &* !"%2% 2& N&"%$

'

6

x i + 1= x i −

f ( xi ) f ( xi ) 2

[ f ( x )] −f ( x ) f '

i

i

''

( xi )

2 sec

sec

(¿¿ 2 x −0.1 ) ¿ ¿ 2 sec ¿ ¿ (¿¿ 2 x − 0.1) ( tan ( x )−0 . 1 x ) ¿ x i+ 1= x i−¿

$

xn

0

x 0=¿

1 = 3

|

⃒ x n+ 1 − x n

1

!5B8@6685 !5?@86568 !5?@/588@

85B8@668 8!8/5@8B25 8!88886?2@

¿ 0.001

METODO DE LA SECANTE "uesto que *e1ton
f ( &n )= lim

x < &n

x

3i

f ( x ) − f ( &n ) x − &n

est$ cerca de

&n− 1 , entonces:

f ( & n− 1) − f ( & n )

'

f ( &n )=

&n−1− &n

f ( & n )− f ( &n−1 )

=

&n − &n −1

Entonces reempla#ando en la fórmula de *e1ton
−¿

f ( &n ) '

f ( & n) &n+1= & n ¿

−¿

f ( &n ) ( & n − & n − 1 ) f ( & n ) − f ( & n− 1 ) & n + 1 = &n ¿

"or lo tanto

−¿

f ( x n ) ( x n − x n− 1 ) f ( x n ) − f ( x n− 1 ) x n + 1= x n ¿

El método de la secante, requiere de dos puntos iniciales

E/
a la función

( 10 x )+ ¿ 1 2 f ( x ) = x cos ¿

con

x 0=1.3 , x 1=1.4

criterio de convergencia cuando la función evaluada

f ( x)

como condiciones iniciales! Emplee el

sea menor que 8!888/

"<>)E(E*:

x 0=1.3 ⇒ f ( x 0 ) =2.533585061

x 1=1.4 ⇒ f ( x 1 ) =1.268004948

−¿

f ( x 1 ) ( x 1− x 0 ) f ( x 1 )− f ( x 0 )

= 1.4 −

( 1.268004948) (1.4 − 1.3 ) =1.500191599 ( 1.268004948− 2.533585061) ⇒ x 2= x 1 ¿

|x 2− x 1|=1.500191599−1.4 = 0.100191599 3E7G*CA >(E*:

x 1=1.4 ⇒ f ( x 1 ) =1.268004948 x 2=1.500191599

⇒f

( x ) =−0.712535451 2

−¿

f ( x 2 ) ( x 2 − x 1)

= 1.464145848

f ( x 2 )− f ( x 1 ) ⇒ x 3= x 2 ¿

|x 3− x 2|=1.464145848−1.500191599=0.036045751

(E<&E(E*:

x 2=1.500191599 ⇒ f ( x 2 )=−0.712535451 x 3=1.464145848 ⇒ f ( x 3 )=−0.035819742

−¿

f ( x 3 ) ( x 3− x 2 )

= 1.46223784

f ( x 3 ) −f ( x 2 ) ⇒ x 4= x 3 ¿

|x 4− x 3|=0.001907964

0uego:

n 8 / 2  5 6

xn /! /!5 /!688/B/6BB /!5@5/565 /!5@22?5 /!5@2?62?

Ea&rox 8!/ 8!/88/B6/BB 8!8@856?6/ 8!88/B8?B@5 8!888/?55

 0.0001

"or lo tanto la raí# es: /!5@2?62?

E2 Aplicar el )ét odo de la 3ec ante par a

calcular la raí# de

x 0=0 , x 1=1.0 , donde la raí# verdadera es 8!6@?/52B! "<>)E(E*:

x 0=0 ⇒ f ( x0 ) =1

−x

f ( x )=e − x

, con

x 1=1 ⇒ f ( x 1 )=−0.632120559

−¿

f ( x 1 ) ( x 1− x 0 ) f ( x 1 )− f ( x 0 )

= 1−

(−0.63212) ( 1−0 ) =0.612699837 (−0.63212 −1 ) ⇒ x2 = x1 ¿

3E7G*CA >(E*:

x 1=1 ⇒ f ( x 1 )=−0.632120559 x 2=0.612699837 ⇒ f ( x 2 )=−0.070813948

−¿

f ( x 2 ) ( x 2 − x 1)

= 0.563838389

f ( x 2 )− f ( x 1 ) ⇒ x 3= x 2 ¿

(E<&E(E*:

x 2=0.61270 ⇒ f ( x 2 )=−0.070813948 x =0.563838389 ⇒ f x = 0.005182355 3

( ) f ( x ) (x −x ) −¿ = 0.567170359 f ( x ) −f ( x ) 3

3

3

3

2

2

⇒ x 4= x 3 ¿

0uego:

n 8 / 2  5 6 8!6@?/52B

xn 8 / 8!@/2?8 8!6@5 8!6@?/? 8!6@?/58@

ER

!82@5B2? 8!62?2?@B/ 8!885??2@ 8!8888822/

f ( x ) = x + 2 x + 10 x −20 =0 3

E2

Encontrar

la

raí #

x 0=0 , x 1=1.0

real

de

la ecuación

- =10

y

polinomial

2

, con

−3

"<>)E(E*:

x 0= 0 ⇒ f ( x0 ) =−20 x 1=1 ⇒ f ( x 1 )=−7

−¿

f ( x 1 ) ( x 1− x 0 )

= 1.53846

f ( x 1 )− f ( x 0 ) ⇒ x 2= x 1 ¿

⃒ x n+1⃒ −xn

xn

n 8

8

/

/

/!888

2

/!65@

8!65@



/!68/

8!//6

5

/!@?B2

8!8/?@/

6

/!@/ 8!888B8

E

)ediante el método de la 3ecante aproximar a

f ( x ) = x −3 x + 2 3

, con

"<>)E(E*:

x 0=−2.6 ⇒ f ( x 0 )=−7.7760 x 1=−2.4 ⇒ f ( x 1 )=− 4.624

la

raí#

¿ 10−3

x n=−2

x 0=−2.6 " x 1=−2.4

!

real

de

la ecuación polinomial

−¿

f ( x 1 ) ( x 1− x 0 )

=−2.106598985

f ( x 1 )− f ( x 0 ) ⇒ x 2= x 1 ¿ n

⃒ x n+1⃒ − xn

xn

8

F2!@

/

F2!5

8!2888

2

F2!/8@6BB6

8!2B5



F2!822@5/5/2

8!858

5

F2!88/6//8B

8!82//

6

F2!8888226?

8!88/6

@

F2!888888822

8!8888

?

F2!888888888

8!8888

ALGORITMO DE L A SECANTE x 0 , x 1=¿

>*7
- =¿

Error ó (olerancia

N =¿ / +acer 2 )ientras

=alores iniciales

*úmero de iteraciones

i =1

i N

, seguir los pasos

−¿

f ( x i ) ( x i− x i − 1 )



f ( x i )− f ( x i−1) x i +1= x i ¿

5 ⃒ 3i

x i+1⃒ − xi < -

Entonces N>mprimir solución aproximado 6 +acer

i =(erminar i+ 1

@ >mprimir N)étodo fracaso y terminarO!

METODO DE LA SECANTE MODIFIC ADO

Este método alternativo considera un cambio fraccionario de la variable independiente para ' estimar f ( x ) ! '

f ( x n )=

Conde

f ( x n + ? x n ) −f ( x n )

?

? xn es un peque4o cambio fraccionario!

Esta aproximación se sustituye en la fórmula de *e1ton
x n + 1= x n −

f ( xn) '

f ( xn )

"or lo tanto tenemos:

x n + 1= x n −

? x n f ( xn ) f ( x n + ? x n ) −f ( x n )

OBSER9ACION 1) Elegir un valor adecuado de =) 3i

?

?

no es autom$tico!

es peque4o, puede que el método sea * exitoso, por error de redondeo' por el

valor que aparece en el denominador! ? es grande la técnica puede ser divergente!

3) 3i

>) 3i el

?

elegido es el adecuado, proporciona una buena alternativa en los casos donde

la evaluación de la derivada es difícil y el desarrollo de dos valores iniciales no es conveniente!

E/ Aplique el método de la 3ecante )odificado a

f ( x )= x − x − 3 , 2

x 0=1.7,

? = 0.02 "<>)E(E*:

x 0=1.7 ⇒ f ( x 0 ) =−1.81 x 0+ ?x0=1.734 ⇒ f ( x 0 + ?x 0 ) =−1.727244000

⇒ x 1= x 0−

? x 0 f ( x0 ) f ( x 0 + ? x 0 )− f ( x 0 )

( 0.02 ) ( 1.7 ) (−1.81 ) ⇒ x 1= 1.7 − (− 1.727244000 ) − (− 1.81 ) = 2.443631882

⃒= 2.443631882− ⃒ E A&rox 1.7 x 100 =0.743631882

3E7G*CA >(E*:

x 1=2.443631882 ⇒ f ( x 1) =0.527704893 x 1+ ?x1=2.492504520 ⇒ f ( x 1 + ?x1 ) =0.720074262

? x 1 f ( x1 ) ⇒ x 2= x 1− f

( x + ? x )− f ( x ) 1

1

⇒ x 2=2.443631882−

1

( 0.02 ) (2.443631882) ( 0.527704893) =2.309565163 ( 0.720074262)−( 0.527704893 )

n

xn

8 / 2 . 5 6

EA

/!? 2!55@/2 2!8B6@6/@ 2!82??? 2!82??@? 2!82??6@6

8!?5@/2 8!/58@@?/B 8!88@@B/6 8!8888B@B88 8!88888/226

"or lo tanto la raí# se aproxima al valor: 2!82??6@6, pues su error se aproxima a &E<

E2 Cetermine la raí# m$s grande de

f ( x )=2 x −11.7 x + 17.7 x −5 3

2

y

x−1= 3 , x 0= 4

empleando:

#) El método de la 3ecante! /) El método de la 3ecante )odificado donde iteraciones

#) "<>)E(E*:

x−1=3 ⇒ f ( x−1 )= f ( 3 )=−3.2 x 0=4 ⇒ f ( x 0 ) =f ( 4 )=6.60

⇒ x 1= x 0−

⇒ x 1= 4 −

f ( x 0 ) ( x 0− x−1 ) f ( x 0 )− f ( x− 1)

( 6.60 ) ( 4− 3 )

( 1.60 −[ −3.2 ] )

=3.326530612

x 0= 3

y

? =0.01

H(res

3E7G*CA >(E*:

x 0=4 ⇒ f ( x 0 ) =f ( 4 ) =6.60 x 1=3.326530612 ⇒ f ( x 1) =1.96885315

⇒ x 2= x 1−

f ( x 1 )( x 1− x 0 ) f ( x 1) − f ( x 0 )

⇒ x 2= 3.481272709

n F/ 8 / 2  5

xn  5 !2@68/2 !5/2?2?8B !6@2?66 !6@/5828B

"or lo tanto la raí# m$s grande es : !6@2?66, en la tercera iteración

/)

f ( x ) =2 x −11.7 x + 17.7 x −5 3

2

, donde

? =0.01

"<>)E(E*:

x 0=3 ⇒ f ( x 0 ) =f ( 3 ) =−3.2 x 0+ ?x0=3.03 ⇒ f ( x 0+ ?x 0 ) =−3.149276

⇒ x 1= x 0−

? x 0 f ( x0 ) f ( x 0 + ? x 0 )− f ( x 0 )

=⇒ x 1= 4.892595221

" x 0 =3

n 8 / 2  5

xn  5!B26B622/ 5!/52B5B5/6 !?52/6B65 !6B/865?5/

−x

f ( x ) =e − x

E2 Estime la raí# de

, donde

? =0.01

" x 0 =1.0

, aplicando el método de la 3ecante

modificado! 0a raí# verdadera es 8!6@?/52B! "<>)E(E*:

x 0=1 ⇒ f ( x 0 )=−0.6321205588 x 0+ ?x0=1.01 ⇒ f ( x0 + ?x 0 )=−0.6457810204

⇒ x 1= x 0−

? x 0 f ( x0 ) f ( x 0 + ? x 0 )− f ( x 0 )

( 0.01 ) ( 1 ) (−0.6321205588 ) ⇒ x 1=1− (−0.6457810204 )− (− 0.6321205588 ) =0.53726

⃒ E R=

V −V A V

⃒ ⃒= x 100

0.56714329−0.53726 ⃒ x 100 =5.269089933 0.56714329

3E7G*CA >(E*:

x 1=0.53726 ⇒ f ( x 1 )= 0.04708717211 x 1+ ?x1=0.5426326 ⇒ f ( x1 + ?x 1 )=0.0385181522695

=x −

⇒x 2

1

? x 1 f ( x1 ) f ( x 1+ ? x 1) − f ( x 1 )

⇒ x 2=0.53726 −

( 0.01 ) ( 0.53726 ) ( 0.047087172 ) = 0.56700 ( 0.038578151) −( 0.047087172)

n

xn

ER

8

/

/

8!6?2@

6!2@B8BB

2

8!6@@?88

8!8262@62288/



8!6@@B8

2!@6x/8 F6

5

f ( x )= senx + cos ( 1 + x )−1 2

E 0ocalice la primera raí# positiva de radianes y

? =0.02

" x 0 =3

, utili#ar el método de la 3ecante modificado!

"<>)E(E*:

x 0=3 ⇒ f ( x 0 ) =−1.197951521 x 0+ ?x0=3.06 ⇒ f ( x 0+ ?x 0 ) =−1.509236736

⇒ x 1= x 0−

? x 0 f ( x0 ) f ( x 0 + ? x 0 )− f ( x 0 )

⇒ x 1= 3.539846898

n 8 / 2  5

, donde x est$ en

xn  !6B5@B !5/56BB@ !626/5? 2!6226/55

LS$LFL$SJFLSS CRRA$OS

)E(C3 &*=E*&>*A0E3 Al describir los métodos para locali#ar raíces es obvio que el primer paso sería investigar o averiguar la posibilidad de usar los )E(C3 &E<E<(3 como primer paso! 0a eficacia de aplicar estos métodos para locali#ar raíces, depende que el problema a resolver tenga raíces comple%as! H"ues, si tuviera raíces reales se aplicaría cualquiera de los métodos abiertos o cerrados! "or tal ra#ón se a desarrollado )E(C3 E3"E&>A0E3 para encontrar raíces reales y comple%as de polinomios )E(C CE )U00E< &A El método de )Vller consiste en: / En obtener los coeficientes de la par$bola que pasa por los (
;3E<=A&>*E3: • • •

Encontrar un valor inicial complica tanto los métodos abiertos como cerrados! 0os métodos abiertos pueden ser susceptibles a problemas de divergencia! &uando existe raíces comple%as , los método cerrados , no se pueden usar ' ya que el criterio de definir el inter valo Hque es el cambio del signo, no pued e darse en los comple%os!

•

Ce los métodos abiertos, el método de *e1ton
f()= a(  - )2 ( + b) 2

x

− x2 + c

→ (1)

Wue pasa por tres puntos:

0,f 0 , 1,f 1 , 2,f 2 Evaluando en H/ tenemos: f(0 ) a 0 - 2 2 b x 0

f(1 ) f(2 )

a 0 - 2

2

a 0 - 2

2

x2

#

( 2)

b x0

x2

#

( 3)

b x0

x2

#

( 4)

f(2)

#

Ce H5 

( 5)

2 Es decir que el valor de & es igual a la función evaluada en el tercer valor inicial 0a ecuación H6 reempla#aremos en las ecuaciones H2 y H y tenemos:

f(0) a 0 - 2

2

b x0

f(0) f(2) a 0 - 2

f(1 ) a 1 - 2

2

b x1

f(1 ) f(2 ) a 1 - 2

x2 2

f(2)

x2 2

!

b x0

6

x2

f(2 ) b x1

x2

7

b

a

Aora debemos encontrar los coeficientes siguiente

y

para lo cual vamos a considerar , lo

INTERPOLACIN NUMERICA (enemos que cada /8 a4os se toma un &enso de la población en un país, d$ndoles los resultados siguientes: AX3 ";0A&>*

/B8 /2,28

/BB8 /,@@B

2888 /?B,2

28/8 28,2/2

2828 22@,68

HEn miles *os preguntamos: "odemos usar estos datos para estimar una población en el 2826 o 288., algunas predicciones de este tipo pueden obtenerse usando una función que a%uste a los datos dados y esto es lo que llamaremos INTERPOLACIONO! Así tenemos que en mucos experimentos en el $rea de >ngeniería resultan de tabular los valores de las variables independientes frente a las variables dependientes! En la aplicación de ciertos problema s físicos se requiere rel acionar los valores de las variables dependientes e independientes en puntos donde no se an experimentado y en otros casos con fines computacionales se requiere construir una función explicita! "or lo cual se ace necesario el conocimiento de técnicas de >nterpolación "olinómica, sea: con espacios equidistantes, *o equidistantes o (écnicas de >nterpolación >terada!

INTERPOLACION CON ESPACIOS EQUIDISTANTES x0

3abemos que la derivada en el punto

de una función analítica

f ( x)

se tiene

por: '

f ( x )= lim

f ( x )− f ( x 0 ) x− x0

x < x0

"ero al tabular la función tenemos:

"G*(3 x

8x 0

f (x)

f ( x0)

/x 1

2x 2

f ( x1 )





f ( x2 )

nx n

f ( xn)

Y la derivada puede obtenerse aproximadamente! 3i deseamos que la derivada en el punto

x

donde

x 0< x < x 1 , podemos estimarl o

como sigue: f ( x )=❑ '

0o denotamos:

,

x 0< x < x 1

f(0 ,1 )

     '/):S

0, 1

f 1 f 0 1 0

       '8)'8&)'):68 898) f( x )

                 '8)' 8&)'):68 898 ) f( x ) ')S)6  4S '/)S 0, 1

0a relación entre la primera diferencia dividida y la primera derivada queda establecida por el (eorema del =alor )edio f ( - ) =❑ , '

3iempre que

f ( x)

donde

-ϵ ⟨,⟩

, cumpla con las condiciones del teorema!

"ara obtener aproximadamente derivadas de mayor orden, se extiende el concepto de Ciferencias Civididas a órdenes m$s altos o mayores! f( 0 ) Así diremos que se llamaran diferencias divididas de orden &ero Y la diferencia de orden  es:

f(0 ,1 ,2 3

 ) = f( 1 ,2 (3)

 − f 0) , 1 ,2 3  − 0

-1

;3E<=A&>* i +1

/ 3e requiere

, puntos para construir la expresión anterior! i −1

i

2 El numerador es la resta de dos diferencias de orden resta de los argumentos no comunes!

*(A3 (E

y

y el denominador es la

/

, f ' a,b < f e/ der;abeen a,b fb fa f  () ,dnde   b a

E/+en nmer en a,b +ae:

):8):)

[ a,b ]

' [ a,b] 2

K &on%unto de todas las funciones continuas en el intervalo cerrado n

 '

x

( ) K &on%unto de todas las funciones que tienen Nn O derivadas continuas en x

!

TABLA DE DIFERENCIAS DI9IDIDAS FINITAS 0os )étodos de Ciferencias Civididas, se usaran para generar sucesivamente los polinomios por sí mismos! Entonces, vamos a construir la N(A;0A CE C>MEA3 M>*>(A3O i



f 

0

0

f 0

1

2

1

2

PRIMERAS

f 0, 1

f 1 1

f 0 0

f 1, 2

f 2 2

f 1 1

3

4

f 3 3

f 4

f 1, 2 2

3

f 0, 1 0 f 0, 1, 2, 3

f 1, 2, 3 3

f 0, 1, 2 0

f 1, 2, 3, 4

f 2, 3, 4 f 1,2,3 4 1

f 1, 2 1

f 2 2

f 3

f 4 4

TERCERAS

f 2, 3 f 1, 2, 3

f 2

f 3, 4 5

f 0, 1, 2

f 1

f 2, 3 3

SEGUNDAS

f 3 3

f 2, 3, 4

f 3, 4 f 2 ,3 4 2

0-.

4

3

2

"= 3 x − 6 x + 7 x − 2 x− 2

E/ 3ea

"untos xi f ( xi )

8

/ 2

/2@

/ /@

2  82@ 2

22

5

6

@

/@

28 B@5@

Elaborar una tabla de diferencias divididas xi

i

f ( xi )

8

2

/2@

/

/

/@

2

8

"<>)E
3E7G*CA 3 5@

2

/

5

/8



2

22

/2

5



/@

//5

B@

6

@

28

B

682

@



B@5@

(E<&E
&GA<(A3 WG>*(A

B  @

8

 2? 6?

8



58

OC>MEA3 C>=>C>CA3 CE *E3 0-1

/ 0as diferencias de 5 to orden tiene el mismo valor, independientemente de los argumentos que utilice para su c$lculo! 2 0as diferencias divididas de 6 to orden son todos ceros , concordando que la 5ta derivada es una constante y la 6ta derivada es &E< "<>)EMEA3 f ) ,) 0 1

f ) 1 ) 1

f ) 0 ) 0

f ) ,) 1 2

f ) 2 ) 2

f ) 1 ) 1

f ) ,) 2 3

f ) 3 ) 3

f ) 2 ) 2

1-

12-

1

2

2

f ) ,) 0 1

1-

0

f ) ,) 1 2

1

22 2

2

f ) ,) 2 3

0

110

1*

12

3E7G*CA3 C>MEA3 f ) ,) ,) 0 1 2

f ) ,) 1 2 ) 2

f ) ,) 0 1 ) 0

1*

f ) ,) ,) 1 2 3

f ) ,) 2 3 ) 3

f ) ,) 1 2 ) 1

12 (

0 (

2

110 2)

1*) 1

f ) ,) ,) 0 1 2

f ) ,) ,) 1 2 3

+-

10

(E<&EMEA3 f  ,  , , 0 1 2 3

f 1,2, 3, 4

f 1, 2, 3  3 f 2,3,4 4

f 0,1, 2

10

+-

 0

2

2

f 1,2,3

3+

10

 1

3

1

f  ,  ,  , 0 1 2 3

1

f 1, 2, 3,4

1

0-+

3

E/ 3ea

2

"= x − 2 x − 2 "untos

8

/

2



82

xi

2

/

f ( xi )

/

6

2

5

6



@

?

/52

2

Elaborar una tabla de diferencias divididas

xi

f ( xi )

"<>)E
2

/

/

/

6

i

3E7G*CA3

(E<&E
&GA<(A3

8



/

2

8 2



2

5



6

@

6

/

8

/

B

/

/

8 8

56 

2 ?

B

/52 OC>MEA3 C>=>C>CA3 CE 
&*&0G3>*E3  5

0as diferencias de  E< orden tiene el mismo valor, independientemente de los argumentos que utilice para su c$lculo! 0as diferencias divididas de 5 to orden son todos ceros , concordando que la  era derivada es una constante y la 5 ta derivada es &E<

"<>)EMEA3

0-*

f ) ,) 0 1

f )1, )2

f ) ,) 2 3

f ) ,) 3 4

f ) ,) 4 5

f ) 1 ) 1

f ) 2 )2

f ) 3 ) 3

f ) 4 ) 4

f ) 5 ) 5

f ) 0

5

) 0

1

f ) 1

1*

)1

0

f ) 2

2

) 2

5 1

2

2

f ) 3 ) 3

) 4

0

7

2 3

f ) 4

1+2 -

f ) ,) 0 1

2

2

2

7 3

13

f )1, )2

3

f ) ,) 2 3

0

f ) ,) 3 4



f ) ,) 4 5

+5

3E7G*CA3 C>MEA3 , 1

f ) ,) ,) 0 1 2

2 ) 2

, 0 1 ) 0

3

13

0

2

f ) ,) , ) 0 1 2

5

f ) ,) ,) 1 2 3

1

f ) , ) ,) 1 2 3

f ) ,) 2 3 ) 3

f ) ,) 1 2 ) 1

f ) ,) ,) 2 3 4

f ) ,) 3 4 ) 4

f ) ,) 3 2 ) 2



0

3

0

f ) ,) ,) 2 3 4

3

f ) , ) ,) 3 4 5

f )5, )4 ) 5

f )4, )3 ) 3

+5 -

 2

f ) , ) ,) 3 4 5



0

3

2

1

(E<&EMEA3 f 0, 1, 2, 3

f 1, 2,3 f 0, 1, 2 3 0

f 1, 2, 3, 4

f 2, 3, 4 4

f 2, 3, 4, 5

f 3, 4, 5 f 2, 3,4 5 2

f 1, 2, 3 1

1

5

2

2

3

1

3

1

9 3 6 0

f 0,1, 2,3

f 1, 2, 3, 4

f 2, 3,4,5

1

1

1

INTERPOLACION APROXIMACION POLINOMIAL DE NETON 0-/

+emos mencionado que la interpolación es estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos y el método m$s usado es la >*(E<"0A&>* "0>*)>A0! 0a >nterpolación "olinomial consiste en determinar el polinomio único de nFesimo grado que se a%uste a NnI/O puntos! Entonces para una línea recta el polinomio de primer grado es el que representa me%or, porque une dos puntos y una par$bola que une un con%unto de tres puntos para un polinomio de 3egundo grado! 3ea la función de la forma tabular: "untos i

xi f ( xi )

8

/

x0 f ( x0 )

2

x1 f ( x1 )

 x2

f ( x2 )

n

x3

-..

xn

f ( x3 )

…

f ( xn )

>*(E<"0A&>* 0>*EA0 &onsiste en unir dos puntos en una línea recta es decir' deseamos aproximarlo a un polinomio de /er grado

Wue pasa por los puntos 8 y / , tiene la forma: p1 x

a0

a1 x x0

x0

0

px

a0

a1 x

Conde Cebo determinar: 0-3

a0

?

x

x0

+acemos

a1

p1 x

a0

p1 x

a0

a1 x0

p1 x

f x0

x0

?

x

x1

+acemos p x1 p x1 a0 x1 x0 f x1 f x0 x1 x0

a0

a1 x1

x0

a1 a1

Entonces:

0-2

p) ( x = a0( + a1) x − x0 p() x = (a0 + ) x − x0 a1 f( x)1 −( f ) x0 x 1 − x0

p( x ) =( f) ( x0 +) x − x0

p( x ) ( = f) ( x0 +) ( x − x)0 f x1 , x0

∴ p( x ) =( f) ( x0 +) x( − x0){ f x1 , x0

FORMULA DE INTERPOLACION

LINEAL

>*(E<"0A&>* &GAC&A

Aora se desea aproximar la función tabular con un polinomio de 2do grado Wue pasa por los puntos 8 , / y 2 , tiene la forma:

p2 x

a0

x0

a1 x x0

0 , x1

a2 x x0 x x1

1

Conde

00-

p2 x

a0

a1 x

0

a2 x 0 x 1

p2 x

a0

a1 x

0

a2 x x

p2 x

a0

a1 x

a2 x 2

p2 x

a2 x

2

a1

a2 x

1

a2 x a0

Cebo determinar: a0

=

x

x0

+acemos p x 2 0

a 0

p x 2

a 0

p x 2

f x 0

a1 x 0

x 0

a x 2 0

x x 0 0

x1

000

a1

=

+acemos

a2

x

x1 p2 x1

a0

a1 x1

x0

p2 x1

a0

a1 x1

x0

p2 x1 a0 x1 x0

a1

p2 x2

a1 x2

a2 x1

x0 x1

x1

? x

x2

+acemos a0

x0

a2 x2

p2 x2 a0 a1 x2 x0 x2 x0 x2 x1

f x2

f x0 x2

f x1 x0 x2

x0 x2

x1

a2

f x0

x1 x0 x1

a2

3implificando :

00,

a2

f x2 x2

f x1 x1 x0

f x0 x0 x2

f x0 x0

Entonces: p2 x

a0

a1 x

x0

a2 x

x0

x

x1

"or inducción podemos estabelecer em general para um polinZmio de grado n , como :

pn x

a 0

a x 1

x 0

a x 2

x x 0

x 1

...a n x

x x 0

x ....x 1

xn

Wue pasa por los puntos 8,/,2,,!!!!!!,n 0os coeficientes est$n dados por:

00.

a 0

f x 0

a 1

f x ,x 0 1

a 2

f x ,x ,x 0 1 2

an

f x , x , x ,.....x 0 1 2 n

Así, tenemos que la aproximación de *e1ton, podemos expresarlo de la siguiente manera: pn x

pn x

n k

0

f x 0

a k

k

1 

i

x

0 n

k

f 1

x i

x , x , x ,.....x x 0 1 2 k

x 0

x

x ..... x 1

x k -1

Entonces: p x f x f x ,x x x f x ,x ,x x x ....f x , x , x ,...x x x x x x x .....x x  n     0   0  1    0   0 1  2    1     0  1 2   n     0   1    2     n-1 48:8) 8:)'46 8: ' 8&)'):68 S 8988S) :);:  8&)'):68 S 8988S) :);:

E/ 3ea la tabla siguiente que presenta la temperatura de ebullición de acetona en diferentes presiones

001

"untos xi

f ( xi )

8 /

/ ?

@/!

2 22

/26

 55

/@

2/!6

a Elaborar una aproximacion polinomial de *e1ton para la información tabular dada! b >nterpole la temperatura para una presión de 6 atm! a / "arar esto reali#amos la tabla de diferencias divididas para tener los coeficientes del polinomio de *e1ton

i

xi

f ( xi )

"<>)E
3E7G*CA3

8

/

@/!

/ 2

? 22

/26 /@

5!8@@

8!//B8



55

2/!6

/!5??

8!8@BB?

(E<&E
/8!@/@ 8!

"<>)EMEA3

00+

f 0, 1

f 1 1

f 0 0

125 -1.3

f  , 1 2

f 2 2

f 1 1

1*- 125

f  , 2 3

f 3  3

f 2  2

21*.5

7

f 0, 1

1

f  , 1 2

22 7

++

1*22

10.-1-

+.0--

f  , 2 3

1.+77

3E7G*CA3 C>MEA3 f  , , 0 1 2

f  , f  , 1 2 0 1   2 0

+.0-- 10.-1-

f  , ,  1 2 3

f  , f  , 2 3 1 2   3 1

1.+77 +.0--

22 1

++ 7

f  , , 0 1 2

f  ,  , 1 2 3

0.311

0.0-7

(E<&EMEA3 f  , , , 0 1 2 3

f  , , 1 2 3 3

f  , , 0 1 2 0

0.0-7 ++ 1

0.3110

f  , , , 0 1 2 3

0

00*

,@ P#'#

n =1 &1 ( x )= a0 + ( x − x 0 ) a1

&1 ( x )= f ( x0 ) + ( x− x0 ) f ( x0 , x1 ) &1 ( x )= 61.3 + ( x −1 ) 10.616

&1 ( x )=50.684 + 0.616 x

P#'#

n =2 &2 ( x )= a0 + ( x− x0 ) a1 +( x− x0 ) ( x− x1 ) a2 &2 ( x )= f ( x0 ) + ( x− x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x− x0 ) ( x− x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) &2 ( x )=61.3 + ( x −1 ) 10.616 + ( x− 1 ) ( x−7 ) (− 0.3190 ) &2 ( x )= 48.5007 + 13.112 x+ 0.31190 x

P#'#

2

n =3

00/

&3 ( x )= a0 + ( x− x0 ) a1 +( x− x0 ) ( x− x1 ) a2 + ( x− x0 ) ( x− x1 )( x − x2 ) a3 &3 ( x )= f ( x0 ) + ( x− x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x− x0 ) ( x− x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x− x0 ) ( x− x1 )( x− x2) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) &3 ( x )= 61.3+ ( x− 1 ) 10.616 + ( x − 1 ) ( x−7 ) (− 0.3190 ) + ( x−1 ) ( x−7 ) ( x−22 ) 0.00562 &3 ( x )= 47.63522 + 1.13966 x −0.0405 x − 0.000562 x 2

3

&omo &1 ( x )= 61.3 + ( x −1 ) 10.616

3i,

x =5

,

f ( 5 ) = &1 ( x )=61.3 + ( 5 −1 ) 10.616 &1 ( x )=103.764 @ 2

3i,

x=5

,

f ( 5 ) = &2 ( x )=61.3 + ( 5 −1 ) 10.616 + ( 5−1 ) ( 5− 7 ) (−0.3190 ) &2 ( x ) =@ 2 3i,

x=5 ,

003

&3 ( x )= 61.3+ ( 5−1 ) 10.616 + ( 5−1 ) ( 5− 7 ) (− 0.3190 ) + ( 5 −1 ) ( 5 − 7 ) ( 5−22 ) 0.00562

&3 ( x ) =@ 2 E/ 3ea la tabla siguiente que presenta la temperatura de ebullición de acetona en diferentes presiones "untos

8 /

xi

6@!6

f ( xi ) c d

Elaborar una aproximacion polinomial de *e1ton para la info rmación tabular dada! >nterpole la temperatura para una presión de 2 atm!

b 2

"arar esto reali#amos la tabla de diferencias divididas para tener los coeficientes del polinomio de *e1ton

i

f ( xi )

xi

"<>)E
8

/

6@!6

/

6

//

5!6

2

28

//

/!@?6



58

2/5!6

3E7G*CA3

/ 6

2 28

//

 58

//

2/5!6

(E<&E
/5!/26 8!6855

8!8/86

8!8/@6

"<>)EMEA3

f ) ,) 0 1

f ) ,) 1 2

f ) ,) 2 3

f ) 1 ) 1

f ) 2 ) 2

f ) 3 ) 3

f ) 0

113

) 0

5-.5

5

f ) 1 ) 1

1*1

1

113

20

f ) 2 ) 2

f ) ,) 0 1

f ) ,) 1 2

5

21+ .5

1*1

+0

20

1+..125

+.533

f ) ,) 2 3

1.-75

3E7G*CA3C>MEA3

f )0, )1, )2

, 1 2 )2

f ) ,) ,) 1 2 3

f )2, )3 )3

f

f

, 0 1

)0 f )1, )2 )1

+.533 1+.125 20

1.-75 +0

1

+.532 5

f )0, )1, )2

f ) ,) ,) 1 2 3

0.50+*+

0.0*1-5

002

(E<&EMEA3

f  , , , 0 1 2 3

"ara

f  , , f  ,  , 1 2 3 0 1 2   3 0

0.0*1-5 0 1

0.50*

f  , ,  , 0 1 2 3

0.010*5

n =1 &1 ( x )= a0 + ( x − x 0 ) a1

&1 ( x )= f ( x0 ) + ( x− x0 ) f ( x0 , x1 ) &1 ( x )= 56.5 + ( x − 1 ) 14.125 &1 ( x )= 56.5 + 14.125 ( x − 1 )

"ara

n =2 &2 ( x )= a0 + ( x− x0 ) a1 +( x− x0 ) ( x− x1 ) a2 &2 ( x )= f ( x0 ) + ( x− x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x− x0 ) ( x− x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) &2 ( x )=56.5 + ( x −1 ) 14.125 + ( x− 1 ) ( x−5 ) (−0.50484 )

"ara

n =3

0,-

&3 ( x )= a0 + ( x− x0 ) a1 +( x− x0 ) ( x− x1 ) a2 + ( x− x0 ) ( x− x1 )( x − x2 ) a3 &3 ( x )= f ( x0 ) + ( x− x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x− x0 ) ( x− x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x− x0 ) ( x− x1 )( x− x2) f ( x0 , x1 , x2 , x3 )

( & ( x) =56.5 + ( x−1 ) 14.125 + ( x− 1 ) ( x−5 ) (−0.50484 ) +( x−1 ) ( x−5 ) ( x−20 ) 0.01085 ) 3

c

&omo

&1 ( x )=56.5 + 14.125 ( x −1 ) 3i,

x =2

,

f ( 2 ) = &1 ( x )= 56.5 + 14.125 ( 2−1 ) &1 ( x ) =70.62 @ 2

3i,

x= 2

,

f ( 2 )= &2 ( x ) =56.5 + ( 2−1 ) 14.125 + ( 2− 1 ) ( 2−5 ) (−0.50484 ) &2 ( x )=72.1 @ 2

3i,

x =2

,

f ( 2 ) = &3 ( x )= 56.5 + ( 2 −1 ) 14.125 + ( 2− 1 ) ( 2−5 ) (−0.50484 ) + (2 −1 ) ( 2 −5 ) ( 2− 20 ) 0.01085 &3 ( x ) =72.72 @ 2

FORMULA DE INTERPOLACION DE NEWTON HACIA ADELANTE

0,0

O DIFERENCIA PROGRESIVA

&uando

x 0 , x 1 , x 2 …… … x n

se acomodan consecutivamente e igualmente espaciados diremos que la expresión: n

&n (x )= f ( x0 ) +

∑ f ( x , x ,….x ) ( x− x ) ( x− x ) ( x− x ) … ( x− x − ) 0

1

6 =1

6

0

1

2

"odemos simplificarlos m$s, para esto introduciremos un nuevo par$metro s 3ea

0 in

⟹

6 1

definido

x= x0+ s !

x 1 − x 0 =  ⟹ x 1= x 0 + 

⟹

x 2− x 0 = 2  ⟹ x 2 = x 0 + 2 

⟹

x 3− x0 = 3  ⟹ x 3= x 0 + 3 

… .. ⟹

x i− x 0 =i ⟹ x i= x 0 +i

… ..

0,,

⟹

x n − x0 =n ⟹ x n= x 0 + n

&omo

&n ( x )= a0 + a1 ( x− x0 ) + a 2 ( x− x0 ) ( x− x1 ) + … + an ( x− x0 )( x − x1 ) … ( x− xn−1 )

⏟

a 2 ( x− x 0 ) ( x− x1 )

⏟

"ero:

f ( x 0 , x 1 , x 2 )  s ( s−1 ) 2

K

x − x 0= s

x 1 − x0 =  x1− x 0−s =  x1− x=s +  x − x 1= ( s − 1 )  ⟹

( x − x )( x − x ) =( s  ) [( s −1 )  ] = s ( s −1 ) 2

0

1

0,.

⏟

&n ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 , x1 ) s + f ( x0 , x1 , x2 )  s ( s −1 ) + .. + f ( x0 , x1 , x2 , . xn )  s ( s −1 ) ( s −2 ) … ( s −( n−1 ) ) n

2

n

&n ( x )=

∑= s ( s−1) (s−2 ) … ( s−6 + 1 )  f ( x , x ,….x ) ⟶ ( 1 ) 6

0

6

1

6 0

3i empleamos la notación ;inomial, es decir'

(6s )= s ( s− ) ( s− ) ( s−( s−) 6…) !…6 !( s−6 + ) ( s− 6 ) ! 1

2

3

1

6 ! 6s = s ( s −1 ) ( s −2 ) ( s − 3 ) … … ( s − 6 + 1 )

⏟ ()

E$ ( 1 ) 4

n

& n ( x )= & n ( x 0 + s )=

∑= ( 6s ) 6 !  f ( x , x ,….x ) 6

0

1

6

6 0

ORMBLA DEDIEREN2IA DIVIDIDA PROCRE>IVA DE NE:ON

"odemos construir, aciendo uso de:

 = DIEREN2IA PROCRE>IVA 9 NE:ON PROCRE>IVO 3ea 0,1

f ( x0 , x1 ) =

f ( x1 ) −f ( x0 ) x1− x0 1

f ( x0 , x1 )=  f ( x0 ) 

f ( x0 , x1 , x2 ) =

1  f ( x1 ) −  f ( x0 ) 2

[

1

]

2

f ( x0 , x1 , x2 ) = 2  2  f ( x0 )

En general:

f ( x0 , x1 , x2 ,….x 6 ) =

"or lo tanto la ecuación

&n ( x )

1

6

6

6!

 f ( x0 )

cambia a:

0,+

() ⏟ n

&n ( x )=

∑

6 =0

s 6 f x ( 0) 6

ORMBLA DEDIEREN2IA PROCRE>IVADE NE:ON o POLINOMIO DENE:ON EN DIEREN2IA> INI:A>FA2IA ADELAN:E

&n ( x )= & n ( x0 +  ) = f ( x0 ) + s G f ( x0 ) +

s ( s − 1 ) ( s − 2 ) … ( s − ( n− 1 ) ) n s ( s −1 ) 2 G f ( x 0 ) + .. + G f ( x0 ) n! 2!

*(A: /

G f n ( x ) = f n + 1 ( x ) − f n (x ) , n 7 0

2 "ara potencias mayores

G f n (x ) = G 6



5

6 −1

6

G f n ( x)

( G f n ( x )) ,6 7 2

G f ( xn ) = f ( xn + 1) = f ( xn ) , n 70

ó

3E CEM>*E =A)E*(E &): G f ( x n) = G 6

ó

6 −1

( G f ( x )) , 6 7 2 n

G f ( xn ) = f ( xn +  ) = f ( xn )

a 2 ( x− x 0 ) ( x− x1 ) ⏟

f ( x 0 , x 1 , x 2 )  s ( s−1 ) 2

K

"ero: x − x 0= s

0,*

x 1 − x0 =  x1− [ x0−s ]= x1− x=s +  x − x 1= ( s − 1 )  ⟹

6

a

( x − x )( x − x ) =( s  ) [( s −1 )  ] = s ( s −1 ) 2

0

1

f ( x0 , x 1 )

⏟

f ( x0 , x1 ) =

f ( x0 , x 1 ) =

f ( x1 ) − f ( x0 ) x1 − x0

,

G= DIEREN2IA PROCRE>IVA

G f ( x0 ) 

 f ( x0 , x1 ) = G f ( x 0 )

b

0,/

f ( x0 , x1, , x2) =

f ( x 1 , x2 )− f ( x 0 , x1 ) x 2− x 0

f ( x2 ) −f ( x 1 ) x 2− x 0

f ( x 0 , x 1, , x 2) =

f ( x 1 )− f ( x0 ) x 1− x 0

x 2− x 0

f ( x2 ) −f ( x1 ) 

f ( x0 , x1, , x2) =

f ( x 0 , x 1, , x 2) =

−

−

f ( x1 )− f ( x0 ) 

2

f ( x 2 )− 2 f ( x 1 ) + f ( x 0 ) 2

2

0@ Se sabe  n +  / ?-em@ %e/-/+en,a a a +en/-n

0 0-

1 0+

2 ,-

3

4 ,+

1-

1

,-

03

+-

..

0,3

Apro#ime la funci7n tabulada por el polinomio de Neton en diferencias dividas ;acia adelante e interpole cuando la resistencia a la tensi7n es de ,!unto s

x

-

0-

1

0

0+

,-

,

,-

03

f ( x)

 f ( x)

0*

−¿ ,

2

 f ( x)

,+

+-

1

1-

..

4

 f ( x)

−18 34

32

.

3

 f ( x)

−49

+, 0.+ 3.

0/

Soluci7nK

 f ( x )= f ( x ) −f ( x )= 20 −4 = 16 0

1

0

 f ( x )= 18−20 =−2 1

 f ( x )= 50− 18 =32 2

 f ( x )= 33− 50=−17 3

2

 f ( x ) =  f ( x )−  f ( x )=−2−(−16 )=−18 0

1

0

2

 f ( x ) = f ( x ) − f ( x )=32−(−2 )=34 1

2

1

0,2

2

 f ( x ) = f ( x )− f ( x )=−17−( 32)= 49 2

3

3

2

2

2

 f ( x )=  f ( x ) − f ( x ) = 34 −(−18 )=52 0

3

1

2

0

2

 f ( x ) = f ( x ) −  f ( x ) =−49−( 34 )=−83 1

2

4

3

1

3

 f ( x )=  f ( x )−  f ( x )=−83 −(52 )=−135 0

1

0

b@ Meremos x1− x0= ⇒  =15−10 ⇒ =5

s  el valor
x− x0 

s=

20− 10 ⇒ s =2 5

Aproximaremos a un polinomio de /er grado , entonces se toma los dos primeros términos , es decir 8 y / & ( x )= f ( x ) +  f (x ) s 0

0

0.-

& (20 )=4 +16 ( 2) & (20 )= 36 =emos que estamos extrapolando, porque el valor de

x

queda fuera del intervalo de los puntos que se usaron para formar el polinomio de aproximación

Wue sucede si reali#amos una aproximación me%or con los puntos / y 2, para esto vamos a modificar: n

&n ( x )=

∑= ( 6s) 

6

f ( x0 )

6 0

a n

&n ( x )=

∑= ( 6s )  f ( x ) 6

1

6 0

&n ( x )= f ( x1 ) + s G f ( x1 ) +

s ( s −1 ) (s −2 ) … ( s −( n−1 ) ) n s ( s −1 ) 2 G f ( x1 ) + .. + G f ( x1 ) 2! n!

0os dos primeros términos dan la aproximación polinomial de /er grado

& ( x )= f ( x1 ) +  f ( x1 ) s , s=

& ( x )= 20 +(−2 ) ( 2 ) , s=

x − x1 

20−15 =1 5

0.0

& (20 )= f ( 20 )=16 Aora se desea aproximar con un polinomio de 2do grado, se requiere  puntos, se aconse%a tomar los puntos /,2 y  en lugar de 8,/ y 2, ya que el argumento por interpolar est$ m$s al centro de los primeros! Entonces: 2

&2 ( x )= f ( x1) +  f ( x1 ) s +  f ( x1 )

s ( s− 1 ) 2!

Conde:

s=

x− x 1 

s=

20− 15 =1 5

&2 ( x ) =20 +(− 2) ( 1 ) +

34 ( 1 )( 1−1 ) 2!

&2 ( x )=18

0.,

E/ 0a siguiente tabla se proporciona las presiones de vapor en lbSpulg 2 a diferentes temperaturas para el /F butadieno! "untos (emperatura H o M "resión HlbSpulg 2 

8 68 25!B5

/ @8 8!//

2 ?8 @!86

 8 52!5

5 B8 68!6?

6 /88 6B!8

Aproxime la función tabulada por el polinomio de *e1ton en diferencias divididas acia adelante e interpole la presión a la temperatura de @5[M

"ara esto reali#amos la tabla de diferencias acia adelante!

i

 f ( xi )

f ( xi )

xi

8

68

25!B5

/

@8

8!//

6!B5

2

?8

@!86

@!?B

 f (xi ) 2

8

52!5

5

B8

68!6?

/88

6B!8

6

3

8!8

?!?

8!8@

/!88

!?

 f ( x1 ) =f ( x 2 )− f ( x 1) =36.05−30.11

 f ( x2 ) =f ( x 3 )− f ( x 2 )= 42.84−36.05  f ( x3 ) =f ( x 4 ) − f ( x 3 ) =50.57− 42.84  f ( x 4 )= f ( x5 ) − f ( x 4 )=59.30 −50.57

 f (xi) 2

 f ( x 0 ) = (  f ( x 0 ) ) = ( f ( x 1 )− f ( x 0 ) ) =  f ( x 1 )−  f ( x 0 )=5.94 −5.17 2

 f ( x 1 )=  (  f ( x 1 ) )=  ( f ( x2 ) −f ( x 1 ) ) = f ( x 2 ) − f ( x 1 )= 6.79−5.94 2

 f (xi) 3

 f ( x 0 ) = (  f ( x 0 ) ) = ( f ( x1 ) −f ( x 0 ) ) =  f ( x 1 ) − f ( x 0 ) =0.85−0.77 =eremos que :

2

2

8!8/

8!8B

8!B5

 f ( x0 ) =f ( x 1 )− f ( x 0 )=30.11− 24.94

2

4

8!??

 f ( xi )

3

 f ( xi )

6!/?

8!6



 f ( xi )

2

F8!8

x 1− x 0=60− 50=10 ⟹ =10  el valor
x = x 0+ s

s=

s=

, esto es:

x− x0  64 −50 10

s =1.4 Aproximaremos a un polinomio de /er grado , entonces se toma los dos primeros términos , es decir 8 y /

& ( x ) = f ( x 0 ) +  f ( x0 ) s & ( x ) = 24.94 + 5.17 ( 1.4 ) & ( x ) = 32.178 x

=emos que estamos extrapolando, porque el valor de

queda fuera del intervalo de los puntos que se usaron para formar el polinomio de aproximación

Wue sucede si reali#amos una aproximación me%or con los puntos / y 2, para esto vamos a modificar:

n

&n ( x )=

∑= ( 6s )  f ( x ) 6

0

6 0

a

n

&n ( x )=

∑= ( 6s )  f ( x ) 6

1

6 0

&n ( x )= f ( x 1 ) + s G f ( x 1 ) +

s ( s −1 ) ( s − 2 ) … ( s −( n−1 ) ) n s ( s −1 ) 2 G f ( x1 ) + .. + G f ( x1 ) 2! n!

0os dos primeros términos dan la aproximación polinomial de /er grado

& ( x )= f ( x 1 ) +  f ( x 1 ) s , s =

x − x1 

s

, es decir'

& ( x ) = 30 . 11+ 5 . 94 ( 0 . 4 ) , s =

64− 60 =0.4 10

& ( 64 )= f ( 64 ) =32.486 Aora se desea aproximar con un polinomio de 2do grado, se requiere  puntos, se aconse%a tomar l os puntos 8,/ y 2 en lugar de /,2 y  , ya que el argumento por interpolar est$ m$s al centro de los primeros! Entonces:

2

&2 ( x )= f ( x 0 ) +  f ( x 0 ) s +  f ( x 0)

s ( s −1 ) 2!

Conde:

s=

s=

x− x0  64 −5 0 =1.4 10

&2 ( x )=24.94 + 5.17 ( 1.4 ) +

0.77 ( 1.4 )( 0.4 ) 2!

&2 ( x )=32.393 E2 Aproxime la función tabulada por el polinomio de *e1ton "rogresivo e interpole! xK 8!86

i

xi

f ( xi )

8

8!8

/!88888

/

8!2

/!22/58

 f ( xi )

 f (xi ) 2

 f ( xi ) 3

 f ( xi ) 4

8!22/58 2 

8!5 8!@

/!5B52 /!22/2

8!85B82 8!2?852 8!86B 8!8 8!8?/2 8!5852

5

8!

2!2665

 f ( xi )

 f ( x0 ) =f ( x 1 )− f ( x 0 )=1.22140− 1=0.2214

8!8/8@ 8!8/25

8!882

 f ( x1 ) =f ( x 2 )− f ( x 1) =1.49182−1.2240 =0.27042  f ( x2 ) =f ( x 3 )− f ( x 2 )=1.82212−1.49182  f ( x3 ) =f ( x 4 ) − f ( x 3 ) =2.22554−1.82212

2 f (xi)  f ( x 0 ) = (  f ( x 0 ) ) = ( f ( x 1 )− f ( x 0 ) ) =  f ( x 1 )−  f ( x 0 )=0.27042 −0.2214 2

 f ( x 1 )=  (  f ( x 1 ) )=  ( f ( x2 ) −f ( x 1 ) ) =  f ( x 2 ) − f ( x 1 )= 0.3303−0.27042 2

 f (xi) 3

 f ( x 0 ) = (  f ( x 0 ) ) = (  f ( x 1 )−  f ( x 0 ) ) = f ( x 1 ) − f ( x 0 )= 0.05988 −0.04902 3

2

2

2

 f ( xi ) 4

 f ( x 0 )=  (  f ( x0 ) )= 0.01324− 0.01086 =0.00238 4

3

=eremos :

x 1− x 0=0.2− 0=0.2 ⇒  =0.2 El valor que vamos a interpolar es 8!86 y se obtiene el valor

x = x 0+ s x−x0 

=s

0.05− 0 = s ⇒ s =0.25 0.2

s

, es decir'

Aproximamos a un polinomio de /er grado , se tendr$ los dos primeros términos es decir' & ( x )= f ( x 0 ) +  f ( x0 ) s

& ( x )= 1+ 60.22140 ( 0.25 ) & ( x )= 1.05535 Wue sucede si aproximamos me%or con los puntos / y 2! Entonces: & ( x )= f ( x 1 ) +  f ( x 1 ) s

& ( x )= 1.22140+ 0.27042 (−0.75) , & ( x )= 1.018555 En este caso estamos extrapolando *ota:

x = x 1+ s x−x1 =s  0.05− 0.2 = s ⇒ s =−0.75 0.2

3abemos: x − x 0= s ⟹ x 1 − x 0 =  ⟹ x 1= x 0 + 

⟹ x 2 − x 0 = 2  ⟹ x 2 = x 0+ 2  ⟹ x 3− x0 =3  ⟹ x 3= x 0 + 3 

⟹ x n − x0 = n ⟹ x n= x 0 + n

0uego: x 2 − x 1 =  ⟹ f ( x 2) = f ( x 0 + 2  )

x 2− x 0=2  ⟹ f ( x1 ) =f ( x 0 +  ) 3abemos que:

f ( x 0 , x 1, , x 2) =

f ( x 0 , x 1, , x 2) =

f ( x 0 , x 1, , x 2) =

f ( x 0 , x 1, , x 2) =

f ( x 0 , x 1, , x 2) =

f ( x 0 , x 1, , x 2) =

f ( x 0 + 2  )− 2 f ( x 0 +  ) + f ( x 0 ) 2

[ f ( x +2  )− f ( x +  ) ]−[ f ( x +  )− f ( x ) ] 0

0

0

0

2

2

[(

) ( )]

f ⏟ x 0+  +  − f ⏟ x 0 +  − f ( x 0 +  )− f ( x0 ) 2

2

G f ( x 0 +  )− G f ( x 0 ) 2

2

[

G f ( x0 +  )− f ( x 0 ) 2

2

[

G G f ( x0)

]

2

2

G f ( x0 ) 2

f ( x 0 , x 1, , x 2) =

2

2

2

3abemos: G f ( xn ) = f ( x n + 1 ) − f ( x n ) /

]

[

]

2

c

G f ( xn ) = f ( x n +  )− f ( x )

f ( x 0 , x 1, , x 2 , x 3 )=

f ( x 1 , x 2 , x 3 )− f ( x 0 , x 1, x 2) x3 − x 0 f ( x 1 , x 2 , x 3 )− f ( x 0 , x 1, x 2)

f ( x 0 , x 1, , x 2 , x 3 )=

3

f ( x 2 , x 3 )− f ( x1 , x2 ) f ( x 0 , x 1, , x 2 , x 3 )=

f ( x 0 , x 1, , x 2 , x 3 )=

x 3− x 1 3

f ( x 0 , x 1, , x 2 , x 3 )=

f ( x 0 , x 1, , x 2 , x 3 )=

f ( x 0 , x 1, , x 2 , x 3 )=

f ( x 0 , x 1, , x 2 , x 3 )=

f ( x 0 , x 1, , x 2 , x 3 )=

x 2− x 0 3

−

f ( x 2 , x 3 )− f ( x 1 , x 2 )

( x −x ) 3 3

f ( x1 , x2 ) −f ( x 0, x 1)

−

1

f ( x 1 , x 2) − f ( x 0, x 1 )

( x −x ) 3  2

f ( x 2 , x 3 )− f ( x 1 , x 2 )

(2 ) 3 

−

0

f ( x 1 , x 2) − f ( x 0, x 1 )

(2 )3 

f ( x 2 , x 3 )− 2 f ( x1 , x2 ) + f ( x 0, x 1 )

( 2 ) 3 

[

]

f ( x 3 )− f ( x 2 )−2 f ( x 2 )− f ( x 1 ) + f ( x 1 )− f ( x 0 )  (2 )3 

f ( x 3 )− f ( x 2 )−2 f ( x 2 ) + 2 f ( x 1 ) + f ( x 1 )− f ( x 0 ) (2 ) 3 

f ( x 3 ) − 3 f ( x 2) + 3 f ( x 1) − f ( x 0 )  (2 ) 3 

FRMULA DE INTERPOLACIN DE NETON ACIA ATRÁS O DIFERENCIA REGRESI9A 3i reordenamos los nodos interpolantes como:

x n , x n− 1 , x n−2 …… … x 0

tendríamos:

&n ( x )= f ( x n ) + f ( x n , xn−1 ) ( x − x n ) + f ( xn , x n−1 , x n−2) ( x − x n ) ( x − x n− 1 ) + .. + f ( x n , x n−1 , x n−2 , . x 0 ) ( x − x n ) ( x − x n−

&omo usamos espacios iguales con :

x = x n+ s !

&n ( x )= & n ( x n + s )

¿ ORMBLA DE DIEREN2IA DIVIDIDA RECRE>IVA DE NE:ON ¿ & n ( x )= f ( x n ) + sf ( x n , x n−1 ) + s ( s + 1 ) 2 f ( x n , x n− 1 , x n−2 ) + .. + s ( s + 1 ) ( s + 2 ) … ( s + n −1 ) n f ( x n , x n−1 , x n−2 , . x 0 ¿

0a cual nos servir$ para derivar la fórmula de Ciferencia
f ( x n , x n− 1 ) = ∇ f ( x n) 

f ( x n , x n− 1 , x n − 2 ) =

1 2!

2

2

∇ f ( xn )

f ( x n , x n− 1 , x n−6 +1 , x n− 6 )=

1

6 !

6

6

∇ f ( xn)

"or lo tanto

&n ( x )= f ( x n ) + s ∇ f ( xn ) +

s ( s +1 ) 2 s ( s + 1 ) ( s + 2 ) … ( s + n−1 ) n ∇ f ( x n )+ ..+ ∇ f ( xn ) ⟶ ( 2) 2! n!

Gtili#ando la notación del coeficiente ;inomial, para incluir negativos

(−6s )=− s (−s− ) (−s− ) (−(−s−s− 6) …) ! 6…! (− s− 6 + ) (− s−6 ) ! 1

2

3

1

(−6s )= s ( s− ) ( s− ) ( s−6 ! ) … … ( s−6 + ) 1

6

2

3

1

(−6s )= (− ) s ( s+ ) ( s+ )6( s!+ ) … … ( s+ 6− ) 1

En

1

2

3

1

( 2)

( )

( )

( )

n 1 2 2 n &n ( x )= f ( x n ) + (−1 ) −s ∇ f ( x n ) + (− 1 ) −s ∇ f ( x n ) + ..+ (−1 ) − s ∇ f ( x n ) 1 2 n

"or lo tanto de

( 2)

⏟ n

&n ( x )=

(−1 ) (−s ) ∇ f ( x ) ∑ 6 = 6

6

n

6 0

DIEREN2IA RECRE>IVA DE NE:ON

*(A: ∇ f n ( x ) =f n +1 ( x )− f n ( x ) , n 7 1

/

2 "ara potencias mayores ∇ f n ( x ) =∇ 6

6 −1

∇

6

f n ( x)

( ∇ f n( x ) ) , 6 7 2

∇ f ( x n )= f ( x n ) = f ( x n−1 ) ,n 7 1

ó

3E CEM>*E =A)E*(E &): 6

ó

6 −1

∇ f ( x n )= ∇

( ∇ f ( xn) ) , 6 7 2

E/ >nterpole el valor de la presión a una temperatura de B6[ M, empleando la tabla anterior y el polinomio de *e1ton en Ciferencias Civididas acia atr$s "arar esto reali#amos la tabla de diferencias acia atr$s

i

xi

f ( xi )

∇f

( xi )

∇

2

f ( xi )

∇

3

f ( xi )

∇

4

f ( xi)

8

68

25!B5

/

@8

8!//

6!/? 2

?8



@!86

8

5

B8

6

/88

8!?? 6!B5 8!6 @!?B

52!5

8!B5

?!?

68!6?

8!8

8!8/

8!8B 8!88

F8!8

/!88 !?

6B!8 Aproximaremos a un polinomio de /er grado :

&1 ( 95 )= f ( x 5 ) + ∇ f ( x 5 ) s Conde s=

x− xn 

=

x− x5 

=

95 − 100 =−0 . 5 10

Entonces:

&1 ( 95 )=59.30 + 8.73 (−0.5 ) &1 ( 98 )=54.9350 Gsando un polinomio de 2do grado, se emplea los tres primeros términos de aba%o acia arriba

&2 ( 95 )= f ( x 5 ) + ∇ f ( x 5 ) s +

s ( s +1 ) 2 ∇ f ( x5 ) 2!

&2 ( 95 )=59.30 + 8.73 (−0.5 ) +

&2 ( 95 )=¿ 65!/888

(−0.5 ) (−0.5 + 1 ) 2!

(1)

Conforme pasa el tiempo de li#iviaci7n de un mineral8 la concentraci7n de la parte valiosa de 9ste aumenta% Con el aPuste correcto del m9todo de diferencial para determinar el tiempo8 se obtuvieron los datos e#perimentales de t?min@ ∧ QCu en 6BL @n+/ ?(m-n) A'B CL

0

1

2 3 4 20 30 40 50 0.993118 1.164202 1.308180 1.422306

10 0.756827

!ara estos datos e#trapolar la concentraci7n de Cu a 0 ;ora de ;aber comen5ado la li#iviaci7n% Calcular el error relativo = si M I 0%+//*/2 Resoluci7nK !unto s

f ( x)

∇ f ( x)

-%/+*3 ,/ -%22.0 03

-%,.*,20

x

-

0-

0

,-

,

.-

.

1-

1

+-

2

3

∇ f ( x)

4

∇ f ( x)

∇ f ( x)

-%-*+,-/ -%0/0-31

0%0*1, -, 0%.-30 30%1,,. -*

-%-..0-0 -%-.,0-*

-%0.32/3

-%-,-31/ -%-0,,+1

-%-023+, -%0020,*

Soluci7nK ∇ f ( x )= f ( x ) = f ( x )= 0.993118− 0.756827 = 0.236291 0 1 0

∇ f ( x )= f ( x ) = f ( x ) =1.164202−0.993118=0.171084 2

1

∇

2

1

f ( x )= ∇ ( ∇ f ( x ) )= ∇ ( f ( x ) = f ( x ) ) =∇ f ( x )− ∇ f ( x )=0.171084−( 0.236291) =−0.065207 0

0

1

0

1

0

2

 f ( x ) =∇ (  f ( x ) ) =∇ ( f ( x ) = f ( x )) = ∇ f ( x )−∇ f ( x )= 0.138978 −( 0.171084) =−0.032106 1

∇

3

1

4

2

1

)

(

)

(∇ f (

2

1

2

)

2

f ( x )= ∇ ∇ f ( x ) =∇ ∇ f ( x )− ∇ f ( x ) = ∇ f ( x )−∇ f ( x )=−0.032106 −(−0.065207 )=0.033101 0

∇

(

2

f ( x ) =∇ 0

0

(∇

3

f( x ) =∇ 0

1

2

x1 )

0

1

0

−∇ 2 f ( x ) )= ∇3 f ( x ) −∇3 f ( x )=0.012254 −( 0.033101 ) =−0.020847 0

1

0

Apro#imando a un polinomio de . 6rado8 considerando 2

f ( x )= f ( x )+ s . ∇ f ( x ) + 1

1

x 0=20

3

s . ( s − 1 ) . ∇ f ( x ) s . ( s − 1) . ( s − 2 ) . ∇ f ( x ) + 2! 3!

Calculo de sU para

1

f ( 0.158)

1



x 0= 0.125

x = x 0+ s., = x1 − x0 =20−10 = 10 ⟹ = 10

s=

x− xn 

=

60 − 20 =4 10

f ( 60 ) =0.993118+ 4 ( 0.171084)+

4. ( 4 −1 ) . −0.032106 2!

+

4. ( 4 −1 ) ( 4 −2 ) . 0.012254 3!

f ( 60 ) =1.601474

ER=

|1.577679−1.601474| 1.601474

× 100

E R = 1.486665

E2 >nterpole el valor de la presión a una temperatura de B[ M, empleando la tabla anterior y el pol inomio de *e1ton en Ciferencias Cividida s acia atr$s "arar esto reali#amos la tabla de diferencias acia atr$s

i

xi

f ( xi )

∇f

8

68

25!B5

/

@8

8!//

6!B5

2

?8

@!86

@!?B

( xi )

∇

2

f ( xi )

∇

3

f ( xi )

∇

6!/? 8!?? 8!6 8!B5

?!? 

8

5

B8

6

/88

52!5 68!6?

6B!8

Aproximaremos a un polinomio de /er grado :

&1 ( 98 )= f ( x 5 ) + ∇ f ( x 5 ) s Conde

!?

8!8

8!88 /!88

8!8/

8!8B F8!8

4

f ( xi)

s=

x − x n x − x 5 98 −100 = = =−0 . 2   10

Entonces:

&1 ( 98 )=59.30 + 8.73 (−0.2 ) &1 ( 98 )=57.554 Gsando un polinomio de 2do grado, se emplea los tres primeros términos de aba%o acia arriba

&2 ( 98 )= f ( x 5 ) + ∇ f ( x 5 ) s +

s ( s +1 ) 2 ∇ f ( x5 ) 2!

&2 ( 98 )=59.30 + 8.73 (−0.2 ) +

&2 ( 98 )=¿

(−0.2 ) (−0.2 + 1 ) 2!

(1)

6?!5?5

>*(E<"0A&>* &* E3"A&>3 * EWG>C>3(A*(E3 "0>*)> CE 0A7
Y

x0

"0

x 1 = x 0+  0

"1 ⇢ x 1− x 0=  0

x 2 = x 1+  1

" 2 ⇢ x 2 − x 1=  1

x n= x n− 1+ n− 1

" n ⇢ xn − x n− 1=n−1

*o necesariamente se cumple:

0= 1=…………… .. =n−1 Entonces f (x)

, es una función desconocida dada en su forma tabular y podemos asumir que un

polinomio de /er grado puede escribirse:

& ( x ) = a0 ( x − x 1 )+ a1 ( x − x 0 ) x0 , x1

Conde

a0

y

a0

K.

⟶ (1 )

son argumentos de los puntos conocidos

a1

son valores que debemos encontrar!

x = x 0 en H/, despe%ando tenemos:

+acemos que

& ( x0 ) =a0 ( x 0− x 1 ) + a 1 ( x 0− x 0 ) & ( x0)

( x −x ) 0

= a0

1

⇒ a 0=

&(x ) ( x −x ) 0

0

f ( x0 )

⇒ a 0=

x0 − x1

( a1

1

)

K.

+acemos que

x= x1

en H/ , despe%ando tenemos :

& ( x1 ) =a0 ( x 1− x 1 )+ a1 ( x1 − x0 )

( x , f ( x )) , ( x , f ( x )) 0

0

1

1

y

& ( x1 ) =a ( x1 − x 0 ) 1

⇒ a1 =

& ( x 1)

( x 1− x 0 ) f ( x1 )

⇒ a1 =

( x 1− x 0 )
& ( x ) = a0 ( x − x 1 )+ a1 ( x − x 0 )

& ( x )=

f ( x0 ) x 0− x 1

f ( x 1) ( x− x1 )+ x − x ( x− x0 ) 1

0

0o podemos escribir como:

& ( x ) = L 0 ( x ) f ( x 0 ) + L1 ( x ) f ( x 1)

donde

L0 ( x ) =

x − x1 x−x0 , L1 ( x ) = x 0− x 1 x1 − x0

0uego, un polinomio de 2do grado, puede escribirse como:

&2 ( x )= a0 ( x − x1 ) ( x − x 2 ) + a 1 ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) + a2 ( x − x 0 ) ( x − x 1 )

Conde

x0, x1, x2

son argumentos de los valores

( x , f ( x )) , ( x , f ( x )) , ( x , f ( x )) 0

a0

0

1

⟶ (2 )

1

2

2

, allaremos los valores

a0

K.

+acemos que

x = x 0 en H2, despe%ando tenemos:

&2 ( x 0 ) =a0 ( x 0− x 1 ) ( x0 − x 2) + a1 ( x0 − x 0 )( x 0 − x2 ) + a2 ( x 0− x0 ) ( x − x 1 )

a1 y a2

& (x ) =a ( x −x ) (x −x ) 2

0

0

1

⇒ a 0=

a1

0

0

2

f ( x0)

( x0 − x1 ) ( x 0− x 2 )

K.

+acemos que

x = x 1 en H2 , despe%ando tenemos :

&2 ( x 1 ) =a1 ( x1 − x0 ) ( x 1− x 2 ) &2 ( x1 )

( x1− x 0 ) ( x 1− x 2 ) ⇒ a1 =

= a1

&2 ( x 1 )

( x −x ) ( x −x ) 1

0

1

2

f ( x 1) ⇒ a1 = ( x 1− x 0 ) ( x 1− x 2 )

a2

K.

+acemos que

x = x 2 en H2 , despe%ando tenemos :

&2 ( x 2 ) =a2 ( x2 − x 0) ( x 2− x 1 )
&2 ( x )= L0 ( x ) f ( x0 ) + L1 ( x ) f ( x1 ) + L2 ( x ) f ( x 2 ) donde

L0 ( x ) =

( x− x ) ( x− x ) 1

2

( x 0 − x 1 ) ( x 0− x 2 )

, L1 ( x )=

( x − x )( x − x ) 0

2

( x 1− x 0 )( x1− x 2 )

L2 ( x ) =

( x− x ) ( x− x ) ( x −x ) ( x −x ) 0

2

1

0

2

1

0ugo el polinomio de nFésimo grado , que pasa por nI/ puntos

( x , f ( x ) ) , ( x , f ( x ) ) , ( x , f ( x ) ) … … ... ( x n , f ( x n ) ) 0

0

1

1

2

2

&n ( x )= L 0 ( x ) f ( x 0 ) + L1 ( x ) f ( x 1) + L2 ( x ) f ( x2 ) + … Ln ( x ) f ( x n)

L0 ( x ) =

( x − x ) ( x− x ) … ( x− xn ) ( x − x ) ( x − x ) .. ( x − x n ) 1

0

L1 ( x ) =

0

2

0

( x − x )( x − x ) ( x − x ) .. ( x − xn ) ( x − x )( x − x ) ( x − x ) .. ( x − x n ) 0

1

Ln ( x ) =

2

1

0

2

1

2

3

1

3

1

( x − x ) ( x − x ) … .. ( x − x n− ) ( x n − x ) ( x n− x ) … ( x n − x n− ) 0

1

0

1

1

1

tra forma compacta es: n

&n ( x )=

L (x)f (x ) ∑ = i

i

i 0

donde n

L i ( x )=

x−x #

∏ = x −x # 0 i≠ #

i

#

⏟ POLINOMIOIN:ERPOLAN:E DE LACRANCE

E/ "ara los datos a continuación a btenga la aproximación polinomial de 0agrange con todos sus puntos! b >nterpole el valor de la función f ( x ) para x =1.8

i

8

/

2



xi

8

/



@

f ( xi)

F

8

6

?

a bservamos que ay 5 puntos en la tabla, por lo que el polinomio ser$ de tercer grado! 3

&n=3 ( x )=

L (x)f (x ) ∑ = i

i

i 0

x− x ∏ = x −x 3

Li ( x ) =

# 0 i≠ #

i

# #

&3 ( x )= Li= 0 ( x ) f ( x0 ) + Li=1 ( x ) f ( x 1 ) + Li =2 ( x ) f ( x 2 ) + Li= 3 ( x ) f ( x 3 )

&3 ( x ) =

( x− x ) ( x− x ) ( x− x ) ( x − x ) ( x − x )( x − x ) ( x − x ) ( x − x )( x − x ) ( x −x ) ( f ( x )+ f ( x )+ f ( x )+ ( x − x ) ( x − x )( x − x ) ( x − x )( x − x ) ( x − x ) ( x − x )( x − x ) ( x − x ) ( x −x ) ( 1

&3 ( x ) =

2

3

0

2

3

0

0

0

1

0

2

0

1

3

0

1

3

1

0

1

2

1

2

3

2

0

2

1

2

3

3

( x −1 ) ( x −3 ) ( x −6 ) ( x −0 ) ( x −3 ) ( x −6 ) ( x − 0 ) ( x − 1 ) ( x −6 ) ( x − 0 ) ( x −1 ) ( x −3 ) (− 3 ) + ( 0 )+ ( 5) + (7 ) ( 0− 1 ) ( 0 − 3 ) ( 0− 6 ) ( 1−0 ) ( 1−3 ) ( 1 −6 ) ( 3 − 0 ) ( 3−1 ) ( 3−6 ) ( 6 −0 ) ( 6−1 ) ( 6 −3 )

&3 ( x )=( x −10 x + 27 x −18 ) 3

&3 ( x )=

&3 ( x )=

−3 90

−1 30

2

3

x−

3

x−

b El valor de

( )( )+( 1 6

15 15

x −7 x + 6 x ) 3

2

( − )( )+( 5 18

5 5

x −4 x + 3 x ) 3

2

( ) 7 90

3 2 276 x + x −3 90 90 1 2 92 x + x −3 30 30

x =1.8

&3 ( 1.8 )=f ( 1.8 ) =

−3 90

, sustituiremos este valor a lo anteriormente encontrado!

( 1.8 )3 − 3 ( 1.8 )2 + 276 ( 1.8 )− 3 90

90

0

Entonces: f ( 1.8 ) =2.2176

>*(E<"0A&>* >*=E<3A +emos obse rvado que los valores

f ( x)

y

x en la mayoría de los contextos de

interpolación son las variables dependientes e independientes, en forma respectiva! 0os valores de

x

pueden estar espaciados uniformemente! 1

E/ 3ea la tabla de valores para f ( x ) = x

xi

/

2

5

f ( xi )

/

8!6

8!

3upongamos que dado el valor de

f ( x)

6@ 8!26

?

8!2

8!/@@?

8!/52B

x

, deseamos encontrar el valor de

Ce los datos anteriores tenemos: f ( x )=

1

0.33=

1

x

x

^ x =3. 03 Es lo que conocemos como N>*(E<"0A&>* >*=E<3AO "ero, para un caso m$s complicado: >ntentar cambiar los valores de interpolación de 0agran ge

f ( x)

y

x

y emplear

para obtener resu ltados, pero al invertir las varia bles no ay

garantía de que los valores %unto con las nuevas abscisas Hlos uniformemente , en mucos casos ser$n agrandados!

f ( x)

 sean espaciados

)A(<>&E3 y 3>3(E)A3 CE E&GA&>*E3 0>*EA0E3 >*(<CG&&>* Encontrar la solución de sistemas de Ecuaciones 0ineales es un tema cl$sico de las matem$ticas, pero de gran utilidad en las ramas del conocimiento tales como: Economía, ;iología, Mísica , "sicología! 7racias a los computadores oy en día podemos resolver sistemas casi de cualquier número de ecuaciones, lo cual proporciona un atractivo especial a las técnicas de solución Cirectas e >nteractivas! )A(<>&E3 Gna matri# es un con%unto de elementos ordenados en filas y columnas!

[

a 11 ⋯ ⋮

a1 n

⋱

an 1 ⋯

⋮

ann

] ai# son números reales, comple%os o funciones de una o varias variables!

0os elementos

30G&>*E3 CE 3>3(E)A3 CE E&GA&>*E3 0>*EA0E3

m ecuaciones lineales en n incógnitas tiene la forma general:

Gn sistema de

¿

a11 x 1+ a12 x 2+ a1 n x n= $1 a21 x 1+ a22 x 2 + a2 n xn =$2 a31 x 1+ a32 x 2+ a3 n xn =$3 ¿ am 1 x1 + am 2 x 2 + amn x n=$ m

¿ ¿

0a notación matricial es:

a 11 a12 a21 a22

¿

am 1

¿ … a 2 n ¿ am 2 ¿ ¿

¿

… ¿ … ¿ … amn

… a 1n

⏟ ¿ ¿ ¿

A x =$

Conde:

A K )atri# de coeficientes del sistema x K =ector de incógnita $ K =ector de términos independientes

EL>3(E*&>A y G*>&>CAC CE 30G&>*E3 Gn sistema es omogéneo si el vector 3i el vector

$≠0

$ es un vector &ero!

entonces es un sistema no omogéneo

Gn sistema es inconsistente si no tiene solución! Gn sistema es consistente, si tiene solución, esta solución es única ó puede tener un número infinito de soluciones! Gna matri# aumentada: Est$ formada por los coeficientes de la matri#

A

y del vector

)E(C3 C>* / )E(C CE E0>)>*A&>* CE 7AG33 )E(C CE E0>)>*A&>* CE 7AG33 +A&>A A(
$

{

4 x 1− 9 x 2+ 2 x 3=5

2 x 1− 4 x 2 + 6 x 3=3

x 1 − x 2 + 3 x3 = 4

a 0a matri# aumentada 4 2 1

|

−9 −4 −1

2 5 6 3 3 4

b (rianguli#ación 4 0 0

|

−9 1/ 2

2 5 5 1/ 2 −10 3 / 2

0

b/ "ara esto multiplicar la /era fila por

b2 0a /era fila multiplicar por

(− ) 1 4

(− ) 2 4

y sumarle a la 2da fila!

y sumarle a la era fila!

btendremos la siguiente matri# 4 0 0

−9 1/ 2 5/ 4

|

2 5 5 1 /5 10 / 4 11 / 4

; 0a 2da fila multiplicar por

(− ) 5 2

y sumarle a la era fila!

btendremos la siguiente matri# 4 0 0

−9 1/ 2 0

|

2 5 5 1/ 2 −10 3 / 2

Wuedando en términos de sistema de ecuaciones como: 4 x 1 − 9 x 2 + 2 x 3= 5

{

1 1 x 2+ 5 x 3 = 2 2 3 −10 x 3= 2

En proceso regresivo nos produce el siguiente resultado:

−10 x 3=

( )

3 3 −1 ⇒ x 3= 2 2 10

x 3=

−3 20

x 3=−0.15

4 x 1=5 + 9 x2 −2 x 3 4 x 1= 5 + 9

x 1=

( )− ( − ) 25 10

2

3 20

139 20

⟹ x 1= 6.95

;3E<=A&>*

1) 3e puede calcular el determinante de la matri#

A

!

)ediante operaciones emos obtenido una matri# triangular superior, pero el valor del determinante no varía, entonces:

|A|= ( 4 )

( ) (− 1 2

10 ) =−20

=) El método es aplicable cuando En caso contrario si algún "or e%emplo:

( (

↝ a22= 0

|) |)

1

−1

0 0 0

⟨ 0 ⟩ −1 −1 −4

1

−1

0 0 0

2 0 0

2 0

2

−1 2

−1 −8 1 6 4 12

2 − 1 −8 −1 −1 6 −1 1 −4 2

4 12

a11 ≠ 0 , a22 ≠ 0, …….a

nn

≠0

aii=0 , se permutar$ las filas correspondientes, es decir'

MA&(<>\A&>* CE )A(<>&E3 En la factori#ación de matrices tenemos varios métodos:

1) MA&(<>\A&>* C>&E3 ó MA&(<>\A&>* CE )A(<>&E3 E* )A(<>&E3 (<>A*7G0A
A

Ax = $ ,

puede factori#arse como el producto

L con una matri# superior

B ' tal que:

A=L B

Conde

B =( 5i#)

L=( ( i# )

definidas para cada

#

por:

a(i#i) i =1,2, ¿………., # 0 i = # + 1, # + 2, ….,n

¿

5i# =¿

Conde

( i)

ai# K Es el elem ento

E0>)>*A&>* 7GA33>A*A

i, #

de la matri# final obtenida por el método de

Y ( i# =

{

0 i = 1,2,3, ,…., # − 1 1 i= # m i # i = # + 1, # + 2, … , n

mi #

Conde

es el multiplicador

E/ 3ea el sistema

{

4 x 1− 9 x 2+ 2 x 3=5

2 x 1− 4 x 2 + 6 x 3=3

x 1 − x 2 + 3 x3 = 4

0a triangulación de la matri# es :

(

4

−9 1 2 0

B= 0 0

2 5

−10

)

Y para obtener la matri# triangular inferior

L=

( ) 1 1 2 1 4

0

0

1

0

5 4

1

(al que, se cumple:

(⏟) 4 2 1

−9 −4 −1 A

2 6 3

(⏟)(⏟)

=

1 1 2 1 4

0

0

1

0

5 4

1

4 0 0

−9 1 2 0

2 5

−10

B

L

(E*E)3: btendremos mediante operaciones b$sicas a la matri# G, luego multiplicar 0!GKA

(

1

)(

4 0 0 0

0 1

( 21 ( 31 ( 32 1

−9

2

1 2 0

0

5

−10

)

⟹

4 ( 21=2 ⟹ ( 21=1 / 2 4 ( 31= 11 ⟹ ( 31=1 / 4 1 2

−9 (31 + ( 32=−1 ⟹ ( 32=5 /2

=) )E(C CE C0>(0E y &<G( Es un método directo para encontrar la trianguli#acion , para esto es factible factori#ar

A

la matri#

en las matrices

( 11 ( 12 ( 13 5 11 5 12 513

L y B

dadas a continuación :

a11 a12 a 13

( 21 ( 22 ( 23 5 21 5 22 523 = a21 a22 a 23 ( 31 ( 32 ( 33 5 31 v 5 32 533 v a31 a32 a 33

⏟ ( )⏟ ( )⏟ ( ) L

B

A

An$lisis: a "rimera fila

L

por las tres columnas de

B

( 11 511=¿ a11 ( 11 5 12=¿ a12 ( 11 513=¿ a13

b 3egunda fila

L

por las tres columnas de

( 21 511=a21 ( 21 512+ ( 22 522=a 22

B

( 21 513 + ( 22 523=a 23 c (ercera fila

L

por las tres columnas de

B

( 31 511=a31 ( 31 512+ ( 32 522=a32 ( 31 513 + ( 32 523 + ( 33 533=a 33 3e llega a un sistema de ecuaciones con /2 incógnitas para lo cual, ser$ necesaria establecer tres condiciones para resolver dico sistema! Asi, tenemos: )E(C CE C0>(0E 3i se considera

( 11= ( 22=( 33=1

)E(C CE &<G( 3iconsidera

511=522=533 =1

O%SER&ACION / 0os algoritmos de Mactori#ación se pueden simplificar considerablemente en el caso de matrices de ;anda, por lo cual los métodos mencionados anteriormente son v$lidos!

)E(C CE C0>(0E E/ 3ea el sistema 4 x 1− 9 x 2+ 2 x 3=5 2 x 1− 4 x 2 + 6 x 3=3

{

x 1 − x 2 + 3 x3 = 4

(⏟) (⏟)(⏟) 4 2 1

−9 −4 −1

2 6 3

( 11

( 31 (32 ( 33

511 512 513 0 522 523 0 0 533

L

B

0

0

= (21 (22

0

A

a 3ea

( 11=1 ( 22=1

( 33=1 b &alculando la "rimera fila! ( 11 511= 4 ⟹ 511= 4 =a11

( 11 512=−9 ⟹ 513=− 4= a12 ( 11 513=2 ⟹ 513=2 =a13

c &alculando la "rimera columna de

L

( 21=H 2 4

( 21 511=2 ⟹ ( 21= ⟹ ( 21=

1 2

( 31=H ( 31 511=1 ⟹ ( 31=

1 4

d &alculando la 3egunda fila de ( 21 512+ ( 22 522=−4 ⟹

B

1 1 (−9 ) + ( 1 ) 5 22=− 4 ⟹ 522= 2 2

1 2

( 21 513 + ( 22 523=6 ⟹ ( 2 ) + ( 1 ) 523= 6 ⟹ 523= 5

L

e &alculando la 3egunda columna de

( 31 512+ ( 32 522=−1 ⟹

1

(−9 )+ ( 32 − 1 =−1 ⟹ ( 32= 5

4

f

2

B

&alculando la (ercera fila de

( 31 513 + ( 32 523 + ( 33 533=3 ⟹

L= 2

0

0

1

0

L

5 4

B

y

4

B= 0

(

( ) 1 4

H0os valores restantes

1 5 ( 2 )+ (5 )+ (1 ) 533=3 ⟹ 533=−10 4 2

"or lo tanto las matrices

1 1

2

( )

1

0

−9

2

1 2 0

−10

5

)

A=L B

Conde

"odemos resolver el sistema:

L c =$

donde

$

sistema srcinal 0uego:

( )( ) ( ) 1 1 2 1 4

0

0

1

0

5 4

Entonces:

c1 5 c2 = 3 4 c3 1

es el vector de términos independientes del

c 1= 5

() )( )+ =

1 1 1 c + c =3 ⟹ 5 + c2 = 3 ⟹ c 2= =c 2=0.5 2 1 2 2 2

() (

1 5 1 5 c + c 2 + c3 = 4 ⟹ 5+ 4 1 2 4 2 4 3 onces :

1 2

6 4

c 3 4 ⟹ c3 = = c2 = 1.5

Entonces: 5

c 1= 1 c2 =

2 6 c 3= 4

Y finalmente, podemos resolver el sistema:

B x =c

(

4

−9

0 0

1 2 0

, para obtener la solución del sistema srcinal 2 5

−10

Entonces: 6 4

−10 x 3= ⟹ x3 =

)( ) (

x1 5 x 2 = 1 /2 6/ 4 x3

−3 20

)

⟹ x 3=−0.15

( )=

1 1 1 −3 x2 + 5 x 3= ⟹ x 3 = x 2 + 5 2 2 2 20

4 x 1− 9 x 2 + 2 x3 =5 ⟹ 4 x 1−9

"or lo tanto : x 1−3=¿ 20 x 2= 5 / 2

x 3=139 / 20

( )+ ( − )= 5 2

2

3 20

1 5 ⟹ x 2= ⟹ x2= 2.5 2 2

5 ⟹ x 1=

139 ⟹ x 1= 6.95 2029 stema ori0ina( a(5cion ma :

3) )E(C CE &+0E3QY ;3E<=A&>*E3 / (E
A = L L , donde

factori#ación de la forma

L

A

tiene una

es una matri# triangular

inferior!

A

2 Gna matri# simétrica

cuyas componentes son números reales, es positive

definida si solo si los determinantes de las submatrices de

A

son positivos , es

decir'

|a11|> 0

|

|

a 11 a12 >0 a21 a22

,



|

|

a 11 a12 ❑❑ a1 n a 21 a22 ❑❑ a2 n > 0 ¿ an 1 ¿ an 2 ❑❑ ann

E/
(⏟)(⏟) (⏟) 4 1 2

1 2 0

2 0 5

A

x1 1 x2 = 2 4 x3 $

x

cuya matri# de coeficientes es simétrica y positivamente definida

A

/ Cescomponer la matri#

( 11

0

0

en las matrices triangulares

( 11 ( 12 (13

4

1

L

y

2

⏟ ( )(⏟) (⏟) 0 ( ( ( 31 ( 32 ( 33 21

22

L

0 0

(

22

0

( = 1 2 (33 23

t

L

2 0

0 5

A

2 Efectuamos las operaciones o la multiplicación de matrices tenemos: 2

( 11= 4 = a11 ⟹ ( 11=% 2 ⟹ ( 11=2

B

( 11 (21=1 =a12 ⟹ 2 ( 21=1 ⟹ ( 21=

1 2

( 11 (31=2 =a13 ⟹ 2 ( 31=2 ⟹ ( 31=1 ( 21 ( 11=1

H*o es necesario pues los valores

( 21

,

( 11

ya se

conocen 2 2 2 2 ( 21+ ( 22=2 =a22 ⟹ 1 + ( 22=2 ⟹ ( 22= √ 7 =1.2 2?6@6@ 2 2

()

( 21 ( 31+ ( 2 2 ( 32=0 =a 23 ⟹

( ) +√

7 −1 ( 32=0 ⟹ ( 32= =−0.377964473 2 √7

1 1 2

( 31 ( 11=2 ( 31 ( 21+ ( 32 ( 22=0

−1

2

( 31+ ( 32+ ( 33=5= a33 ⟹ ( 1 ) + 2

2

2

 Al resolver el sistema

7

2

27

+ ( 233=5 ⟹ ( 33=

( √ )=

7

=1.963961012

√

Lc $

( √ )( ) ( ) 2 1 2 1

0

0

√7

0

2

−1

√7

c1 1 c2 = 2 4 c3

27 7

2 c1 =1 ⟹ c 1=

1 2

( )( )+ √

1 √7 c = 1 c 1+ 2 2 2 2

c 1−

1

√7

c2+

√

27 7

1 2

7 7 =1.322875656 c 2= 2 ⟹ c 2= 2 2√7

c 3= 4 ⟹

( )−( √ ) 1 2

1

7

7 2 √7

+

√

27 7

c 3= 4 ⟹ c 3=

4 √7

√ 27

= 2.06700309


L x =c

2

1 2 √7 2

1

−1

0

√

1 2

( )() 0 0

√7

27 7

()

x1 7 x2 = 2 √7 x3

4 √7

√ 27

(enemos: 1 1 x 2+ x 3= 2 2

2 x1+

√7 x − 2 2

1

√7

x3 =

7 2 √7

√

27 7

x3 = 4

√

7 27

Entonces: x 3=4

√ √ 7

7

27

27

⟹ x 3=

28 27

^ =1. 037

x 2=

7 2√7

+

1

√7

( ) 28 27

245 96 x 2= 189 =1. 2^

(

x 1=

)

1 245 28 1 − − 2 378 27 2

x 1=

−448 756

^ =−0 . 592

El vector solución es:

x 1=−448 / 756 x 2=245 / 189 x 3=28 / 27

)E(C >(E=3 / )E(C CE PA&;> E/
/[

{

x3 + 4 x 4 =1

aii ≠ 0

Cespe%ar 

x 1 de la primera ecuación x2

de la segunda ecuación

x 3 de la tercera ecuación

x 1=

( )

{

x 2= x3 =

x2 1 4

+

4

x1 x 3 1 4 4

+

4

x2 x4 1 4 4

x 4=

+

x3 1 4

+

4

4

2[ =ector inicial : como primera aproximación al vector solución N&uando no se tiene una aproximación al vector solución , se emplea generalmente como vector inicial al vector ceroO, es decir'

( )

]t

x 0 = [ 0,0,0,0

x 0 = [ x1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) , x 3 ( 0 ) , x 4 ( 0 ) , ] ( )

( 1)

( 2)

8 , 8 , … .. de la siguiente manera

[ &alcular 8

t

( 6 + 1)

= J 8 ( 6 ) + 2 ,6 =0,1,2, … .

( 6)

[

Conde (4)

(4)

(6 )

8 = 81 , 82 , 8 3 … .

]

t

Entonces para calcular 8

( 1)

se obtiene reempla#ando

( )

0 4

1 4

8 (11)= + ⟹ 8 (11 )= 8 (21)= ( 1)

1 4

0 0 1 1 + ⟹ 8 (21 )= 4 4 4 4 0 0

1

1

(1 )

83 = 4 4 + 4 ⟹ 83 = 4 0 4

1 4

8 (41)= + ⟹ 8 (41 )= Entonces:

1 4

8

( 0)

en cada una de las ecuaciones anteriores

8 ( 1)=

[

( 1)

[

1 1 1 1 , , , 4 4 4 4

( 1)

(1 )

]

t

( 1) t

(1 )

8 = 8 1 , 82 , 83 84 . 8

"ara calcular

( 2)

]

8

, sustituir

( 1)

(1 )

en cada ecuación ( 2)

8 (12)= 8 1 + 1 ⟹ 8 (12 )= 1 + 1 ⟹ 8 = 5 =0.3125 4

4

16

4

16

1

8 (22)=

1 1 1 6 + ⟹ 8 (22)= =0.3750 16 16 4 16

8 (32)=

1 1 1 + ⟹ 8 (32)= 6 =0.3750 16 16 4 16

8 (42)=

1 1 5 + ⟹ 8 (42)= =0.3125 16 4 16

Entonces: 8 ( 2)=

[

( 2)

[

5 6 6 5 , , , 16 16 16 16

( 2)

(2 )

( 2)

]

t

8

"ara calcular (2 )

8 (13)=

( 3)

82 4

]

(2 ) t

8 = 81 , 82 , 83 84 . ( 3)

+ 1 ⟹ 8 (13 )= 4

5 1 6 1

1

( 3)

1 1 1 + ⟹8 16 4 4 1

( 3)

= 22 = 0.34375 64

27

8 2 = 16 4 16 4 + 4 ⟹ 8 2 = 64 = 0.421875 8 (33)=

6 1 5 1 1 27 + ⟹ 8 (33)= = 0.421875 16 4 16 4 4 64

8 (42)=

6 1 1 22 + ⟹ 8 (43)= = 0.34375 16 4 4 64

( )

Entonces:

8 ( 3) =

[

( 3)

[

22 27 27 22 , , , 64 64 64 64

(3 )

(3 )

( 3)

]

t

(3 ) t

8 = 81 , 82 , 8 3 84 .

]

(4)

"ara calcular ( 3)

82

8 (14 ) =

4

8 (4 )

+ 1 ⟹ 8 (14 )= 27 1 + 1 ⟹ 8 = 4

64 4

4

1

91 =0.355468 256

8 (24 ) =

22 1 27 1 1 113 + ⟹ 8 (24 )= =0.441406 64 4 64 4 4 256

8 (34 ) =

27 1 22 1 1 113 + ⟹ 8 (34 )= =0.441406 64 4 64 4 4 256

8 (44 ) =

27 1

1

91

4

256

+ ⟹ 8 (44 )=

256 4

=0.355468

Entonces:

[

8 ( 4 )=

( 4)

91 113 113 91 , , , 256 256 256 256

[

(4)

( 4)

( 4)

( 4) t

8 = 81 , 82 , 83 84 . 8

"ara calcular

8 (2 ) 4

8 (15)=

8 (25)=

4

]

t

]

( 5)

(5 )

+ 1 ⟹ 8 (15) = 113 1 + 1 ⟹ 8 = 4

256 4

4

1

369 =0.36035 1024

91 1 113 1 1 460 + ⟹ 8 (25)= = 0.449218 256 4 256 4 4 1024

8 (35)=

113 1 91 1 1 460 + ⟹ 8 (35)= = 0.449218 256 4 256 4 4 1024

8 (44 ) =

91 1 1 369 + ⟹ 8 (45 )= =0.36035 256 4 4 1024

Entonces:369 460 460 369 8 ( 5) = , , ,

[

( 5)

[

1024 1024 1024 1024

(5 )

(5 )

( 5)

]

t

(5 ) t

8 = 81 , 82 , 8 3 84 .

]

(enemos a continuación los resultados subsecuentes iteraciones en forma tabular:

6

88888 /

( 4)

( 4)

81

( 6)

82

( 6)

83

84

1 4

1 4

1 4

1 4

2

5 16

6 16

6 16

5 16



22 64

27 64

27 64

22 64

5

91 256

113 256

113 256

91 256

6

369 1024

460 1024

460 1024

369 1024

2 )E(C CE 7AG33 3E>CE0 E/
{

4 x 1− x 2= 1 −x 1 + 4 x2− x3 =1 − x 2+ 4 x 3 − x 4 = 1 − x3 + 4 x 4=1

x 1 de la primera ecuación

/[ Cespe%ar

x2

de la segunda ecuación

x 3 de la tercera ecuación x 4 de la cuarta ecuación

x 1= x2 =

( )

{

x2 1 4

+

4

x1 x3 1

+

4 4

4

x3 =+ x + x + 1 2

4

x 4=

4

4

4

x3 1 4

+

4

2[ =ector inicial: como primera aproximación al vector solución N&uando no se tiene una aproximación al vector solución, se emplea generalmente como vector inicial al vector ceroO, es decir' ( )

x 0 = [ 0,0,0,0 ( 0)

( 0)

(0 )

]t ( 0)

[

[ &alcular

( 1)

t

(0)

x = x1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) , x 3 ( 0 ) , x 4 ( 0 ) ,

]

( 2)

8 , 8 , … ..

0uego para calcular ecuaciones anteriores

8

( )

( 1)

se obtiene reempla#ando

8

( 0)

en cada una de las

( 1)

8 =H 0 4

1 4

1 4

8 (11)= + ⟹ 8 (11 )= = 0.25 8 (21)=

1 1 0 1 5 x + ⟹ 8 (21 )= =0.3125 4 4 4 4 16

8 (31)=

5 1 0 1 21 + ⟹ 8 (31)= = 0.323125 x 16 4 4 4 64

8 (41)= 21 x 1 + 1 ⟹ 8 (41 )= 85 =0.33203125 64

4

4

256

Entonces: 8 ( 1)=

[

( 1)

[

1 5 21 85 , , , 4 16 64 256

( 1)

(1 )

(1 )

]

t

"ara calcular (1 )

8

( 2)

]

( 1) t

8 = 8 1 , 82 , 83 84 .

8

, sustituir

( 1)

en cada ecuación ( 2)

8 (12)=

82

8 (22)=

21 1 21 1 1 106 =0.4140625 x + x + ⟹ 8 (22 )= 64 4 64 4 4 256

8 (32)=

106 1 85 1 1 447 x + x + ⟹ 8 (32)= = 0.436534 256 4 256 4 4 1024

8 (42)=

447 1 1 1471 =0.359130 x + ⟹ 8 (42 )= 1024 4 4 4096

4

+

1 5 1 1 (2 ) ⟹ 81 = x + ⟹8 4 16 4 4 1

Entonces: 8 ( 2) =

[

( 2)

[

21 106 447 1471 , , , 64 256 1024 4096

( 2)

(2 )

( 2)

( 3)

8 =H

]

(2 ) t

8 = 81 , 82 , 83 84 .

]

t

=

21 = 0.328125 64

( )

(2 )

8 (13)=

82 4

1 4

+ ⟹ 8 (13 )=

(3 )

106 1 1 x + ⟹8 256 4 4 1

=

181 = 0.353515 512

8 (23)=

181 1 447 1 1 1833 = 0.447509 x + x + ⟹ 8 (23 ) = 512 4 1024 4 4 4096

8 (33)=

1833 1 1471 1 1 925 x + x + ⟹ 8 (33) = =0.451660 4096 4 4096 4 4 2048

8 (43)=

925 1 1 2973 =0.362915 x + ⟹ 8 (43) = 2048 4 4 8192

Entonces:

8 ( 3) =

[

( 2)

[

181 1833 925 2973 , , , 512 4096 2048 8192

( 2)

(2 )

( 2)

]

t

]

(2 ) t

8 = 81 , 82 , 83 84 .

(enemos a continuación los resultados subsecuentes iteraciones en forma tabular:

6

( 4)

( 4)

81

( 6)

82

( 6)

83

84

88888 /

1 4

5 16

21 64

85 256

2

21 64

106 256

447 1024

1471 4096



181 512

1833 4096

925 2048

2973 8192

E%ercicios: / btenga las tre s primeras iteraciones del métod o de Pacobi , para los sgtes sis temas lineales, use

( 0)

8 =0

¿

3 x 1− x 2+ x 3= 1 3 x 1+ 6 x2 + 2 x 3=0 3 x1 + 3 x 2+ 7 x 3= 4

a

¿ ¿

b

¿

10 x 1− x 2= 9

−x 1 + 10 x2 −2 x 3=7 − 2 x 2 + 10 x 3=6 ¿ ¿ 2 btenga las tre s primeras iteraciones del mét odo de 7aus s 3eidel , para los sgtes ( 0)

8 =0

sistemas lineales, use

¿

4 x 1 + x 2− x 3 = 5

−x 1 + 3 x 2+ x 3=− 4 2 x 1+ 2 x 2+ 5 x 3 = 1 ¿ ¿

a

b

¿

− 2 x 1 + x 2+ x 1− 2 x 2 −

x3 2

x3 2

=4

=−4

x 2 + 2 x 3= 0

¿ ¿

(&>3 A*(E<>
>*(E7* *G)E<>&A 0a integración *umérica son maneras o formas de obtener una estimación m$s exacta de una integración, empleando polinomios! Así tenemos: M<)G0A CE >*(E7* CE *ER(* &(E3 0a fórmula de integración de *e1ton &otes son los esquemas de integración numérica m$s comunes! 3e basan en reempla#ar una función complicada ó datos tabulados con una función aproximada que sea f$cil de integrar, es decir' $

$

∫

∫f

I = f ( x ) dx ≅

n

( x ) dx

⏟

a

a

f n ( x )=a 0+ a1 x1 + a 2 x 2+ … . an x n Conde

POLINOMIODE CRADOn

CA0 0a
$

∫

∫

a

a

( ) I = f ( x ) dx = f⏟ 1 x dx Po(inomio de 0rado1

I =( $ −a ) f ( a ) + f ( $ ) 2

⏟ RECLA:RAPEKOIDAL

7eométricamente la
f ( a ), ($ )

bservación / A K HAltura H"romedio de las bases 2

"ues, el trape#oide est$ sobre su lado

E<<< CE 0A CA0 Al emplear la integral ba%o un segmento de una línea recta para aproximar la integral ba%o la curva, se puede incurrir en un error! Gna estimación para el error de truncamiento local de una sola aplicación de la regla trape#oidal est$ dada por:

−1 '' 3 = 12 f ( - ) ( $ −a )

⏟ :

E

Error de :r5ncamiento

Conde

-

est$ en algun lugar en el intervalo de a y b

;3E<=A&>*

/ 3i la función su%eta a integración es lineal, la regla trape#oidal es exacta! 2 "ara funciones con derivadas de 2do grado y superior puede incurrir algún error! E/ Gsar el método trape#oidal para integrar numéricamente 2 3 4 5 f ( x )=0.2 + 25 x −200 x + 675 x −900 x + 400 x donde

a =0 y $ = 0.8

A*A0>(>&A)E*(E 0.8

∫ ( 0.2 + 25 x −200 x + 675 x −900 x + 400 x ) d ( x ) 2

I=

3

4

5

0

I =0.2 x +

25 x 2

2

3

−

200 x 3

+

675 x 4

4

−

900 x 5

5

+

400 x 6

I =1.640533367 El cual, es el valor exacto o verdadero de la integral Aplicando el )étodo (rape#oidal

f ( 0 )=0.2 f ( 0.8 )=0.2 2

I =( $ −a )

f ( a) + f ($ ) 2

0.2 + 0.232 I =( 0.8− 0 ) 2

I =0.1728 El cual tiene un error de:

E A =|Va(or erdadero−Va(or A&roximado| E A =|1.640533367−0.1728|

E A =1.467733367

|

El cual tiene un

ER=

|

|

ER=

|

Error erdadero ∗100 Va(or erdadero

1.4647733367 ∗100 1.640533367

]

6 0.8

0

E R =89.4668401≅ 89.50 El error tan grande se debe a que no se considera una gran parte de la región por encima de la recta! "ero, "uede suceder que podríamos no conocer previ amente el valor real por lo tanto se requi ere del error estimado! Entonces para obtener dica estimación la segunda derivada de la función sobre el intervalo

f ( x)

podría calcularse al derivar dos veces

f ( x )= 0.2 + 25 x −200 x + 675 x −900 x + 400 x 2

3

4

5

' 2 3 4 f ( x )=25− 2 ( 200 ) x + 3 ( 675 ) x − 4 ( 900 ) x + 5 ( 400 ) x

f ' ( x )=−400 + 4050 x − 10800 x + 800 x '

2

3

El valor promedio de la segunda derivada, podemos calcularla por: $

∫ f ' ( x ) dx '

Media=

Conde

a

$ −a

"= f ( x )

es una función continua en el intervalo a, b

El valor promedio de la segunda derivada se calcula: 0.8

∫ ( −400+ 4050 x −10800 x + 800 x ) 2

~ ''

f ( x )=

2

( x )=

f

~ ''

f ( x )=

''

dx

0.8− 0

− 400 x +

~ ''

3

0

− 48 0.8

f ( x )=−60

4050 x 10800 x − 2 3 0.8− 0

3

+

800 x 4

4

Conde

=

E:

⏟

−1 12

( −60 ) ( 0.8−0 )3

Error de :r5ncamiento

*o necesariamente para un intervalo de este tama4o el promedio de la segunda derivada no es una aproximación exacta de

f

''

( - ) , es por eso que usamos E: que es m$s exacto que

EA

usar

M<)G0A3 CE >*(E7* CE A"0>&A&>]* )G0(>"0E  &)"GE3(3 CE 0A CA0 "ara me%orar la exactitud de la
+ay nI/ puntos base, igualmente espaciados ! "or lo tanto ay n segmentos de igual anco!

=

∴

$ −a n

(enemos que :

xn

f ( x ) dx +¿ ….

∫ f ( x ) dx xn− 1 x4

f ( x ) dx +¿

∫¿ x3 x2

f ( x ) dx +¿

∫¿ x1

x1

∫

I= ¿ x0

Al reempla#ar en la
I=

 2

f ( x 0 )− f ( x1 )



2

[(

f ( x1 ) − f ( x 2 ) 2

n− 1

f x0 ) + 2

f ( x )+ f ( x ) ∑ = i

n

i 1

+ …………

f ( x n−1 ) −f ( x n ) 2

]

⏟ n− 1

f ( x0 )+2

I =(⏟ $ −a )

f ( x )+ f ( x ) ∑ = i

n

i 1

2n

AL:BRA PROMEDIO

AN2FO

E<<<< CE 0A CA0

E:

⏟

=

−( $ −a )3 ~' '

Error de :r5ncamiento

2

12 n

f (x)

n− 1

∑ f (- ) ''

i

"ues el =alor medio de 2da derivadaK

Conde

f

segmento

''

( -i )

~ f ''

( x )=

i =1

es la segunda derivada en el punto

n - i , que se encuentra en el

i !

E/ Gtili#ar dos segmentos de la regla trape#oidal para estimar la integral de:

a

f ( x )=0.2 + 25 x −200 x + 675 x −900 x + 400 x 2

donde

3

4

5

a =0 y $ =0.8

b Estimar el error de truncamiento si el valor verdadero es /!@5866! Entonces: a

n =2  =

0.8− 0 =0.4 ⟹ = 0.4 2

f ( 0 )=0.2= f ( x 0 ) f ( 0.4 )=2.456 =f ( x 1 ) f ( 0.8 )=0.232= f ( x 2)

I =( 0.8− 0 )

0.2 + 2∗( 2.456 ) + 0.232 2(2)

I =1.0688

n− 1

f (- ) ∑ = ''

b &omo

i

~ ''

i 1

f ( x )=

n n− 1

~ ''

n f ( x )=

f (- ) ∑ = ''

i

i 1

3e reempla#a en :

E:

⏟

=

Error de :r5ncamiento

− ( $ − a )3 12 n3

''

n f (- )

3

E:

⏟

$ −a f ' '(- ) =−(12 n2 )

Error de :r5ncamiento

El cual tiene un error de:

E A =|Va(or erdadero−Va(or A&roximado| E A =|1.640533367−1.0688| E A =0.57175336

|

ER=

El cual tiene un

|

ER=

0.57175336 1.640533367

|

Error erdadero ∗100 Va(or erdadero

|∗

100

E R =34.8516737

E:

⏟

=

Error de :r5ncamiento

E:

⏟

−( 0.8− 0 )3 12 ( 2

2

)

(−60 )

= 0.64

Error de :r5ncamiento

donde

'' f ( - ) =Va(or &romedio de (a 2 da deriada

;3E<=A&>* 3i el número de segmentos aumenta, el error ser$ menor! n 2  5 6

 8!5 8!2@@? 8!2 8!/@

I /!8@ /!@B6 /!55 /!6BB

ER 5!6/@? /@!6 B!6 @!/

)"3* Es otro método para obtener una esti mación m$s exacta de una integral, es con el uso de polinomios de orden superior! Así, por e%emplo si ay un punto a la mitad del camino entre

f (a) y

f ($)

los tres puntos

pueden sugerir una par$bola H/ 3i ay dos puntos igualmente espaciados entre

f (a)

y

f ($)

los cuatro puntos pueden

considerarse como un polinomio de tercer grado H2! 0a fórmulas que resultan al tomar las integrales ba%o esos polinomios son conocidos como las N0A3 )"3*O )"3* 0a
∫

I = f ( x ) dx ≃ a

$

∫f

2

( x ) dx

a

a= x0 $ = x2 f ( x 2 )= Po(inomio de 2 do Orden &2 ( x )= L0 ( x ) f ( x0 ) + L1 ( x ) f ( x1 ) + L2 ( x ) f ( x 2 )

donde

L0 ( x ) =

( x− x ) ( x− x ) ( x − x )( x − x ) , L ( x )= ( x −x ) ( x −x ) ( x − x )( x − x ) 1

0

2

1

0

L2 ( x ) =

2

1

0

2

1

0

1

2

( x− x ) ( x− x ) ( x −x ) ( x −x ) 0

2

1

0

2

1

Entonces: x1

∫ [ L ( x ) f ( x ) + L ( x ) f ( x ) + L ( x ) f ( x ) ] dx

I=

0

0

1

1

2

2

x0

x1

[(

x − x 1 )( x − x2 )

( x − x0 ) ( x − x 2 )

( x −x 0) ( x− x1 )

]

∫ ( x − x )( x − x ) f ( x ) + ( x − x ) ( x − x ) f ( x ) + ( x − x ) ( x − x ) f ( x ) dx

I=

x0

0

0

1

0

1

2

1

0

1

2

2

2

0

2

1

⏟

I¿



3

[ f ( x )+ 4 f ( x ) + f ( x ) ] don de = $ −3 a 0

1

2

1 3

RECLA DE>IMP>ON

3E7G*CA M<)G0A CE >*(E7* &E<* / N/SO surge porque



esta dividida por 

⏟

0uego: I =(⏟ $ −a ) AN2FO

f ( x0 ) +4 f ( x1 ) +f ( x2 ) 6

AL:BRA PROMEDIO

"odemos calcular que una aplicación de un segmento de la
E:

⏟

=

− ( $ − a )5 2880

4

f (- )

Error de :r5ncamiento

El Error es proporcional a la 5ta derivada, pues el coeficiente de tercer orden tiende a cero durante la integración! "odemos decir que la
E/ Aplicar la
f ( x )=0.2 + 25 x −200 x + 675 x −900 x + 400 x 2

3

a =0 y $ =0.8 0a integral exacta es:

=

1.6405333

0.8 −0 =0.4 ⟹  =0.4 2

0uego: f ( 0 )=0.2= f ( x 0 ) f ( 0.4 )=2.456 =f ( x 1 ) f ( 0.8 )=0.232= f ( x 2)

I =( 0.8− 0 )

0.2+ 4∗( 2.456 ) + 0.232 6

I =1.367466667 Entonces, el Error de (runcamiento estimado es :

4

5

, donde

E:

⏟

=

−( 0.8 )5 2880

(−2400 )

Error de :r5ncamiento

E:

⏟

= 0.273066667

Error de :r5ncamiento

El cual tiene un error de:

E A =|Va(or erdadero−Va(or A&roximado| E A =|1.6405333−1.367466667|

E A =0.2730667

|

ER=

El cual tiene un

|

ER=

|

Error erdadero ∗100 Va(or erdadero

|

0.2730667 ∗100 1.6405333

E R =16.6491519 El valor es me%or que la
4 4 f ( - ) = Promedio de f ( x ) =−2400

en el intervalo

f ( x )= 0.2 + 25 x −200 x + 675 x −900 x + 400 x 2

3

4

[ 0,0.8 ]

5

' 2 3 4 f ( x )=25− 2 ( 200 ) x + 3 ( 675 ) x − 4 ( 900 ) x + 5 ( 400 ) x

'

2

f ' ( x )=−400 + 4050 x − 10800 x + 800 x '' 2 f ' ( x ) = 4050− 21600 x + 24000 x

f ' ( x )=−21600 x + 48000 x 

3

$

~ '

f ( x )=

∫f

f

∫−21600 x + 48000 x

( x )= a

~ i

f ( x )=−

0.8 − 0 17280 + 15360 0.8

~ i

f ( x )=−2400

Conde

~ '

i

f ( x )= f ( - )

(x)

$ −a

$

~ '

'

a

dx

dx