Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Tabla de contenidos [ocultar ] 1 Int Introdu roducci cción ón 2 Mét Método odo de red reducc ucción ión 2.1 Eje Ejempl mplo o o 3 Método de igualación igualació n 3.1 Eje Ejempl mplo o o 4 Método de sustitución sustituci ón 4.1 Eje Ejempl mplo o o 5 Mét Método odo de Gaus Gausss 5.1 Eje Ejempl mplo o o 6 Método de la matriz inversa inver sa 7 Regl Reglaa de Cra Cramer mer • •

•

•

•

• •

o

7.1 Eje Ejempl mplo o

[editar editar]] Introducción

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.

Los métodos de igualación igualación,, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa incognita y con ninguna ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas facil, ¿no?).

A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incognitas que las ecuaciones previas.

Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).

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Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta incognita por su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.

Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados indeterminados..

Estos mismos métodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos conduciria, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.

[editar editar]] Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman.

[editar editar]] Ejemplo





Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sutituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es

.

Texto en negrita' Texto Texto en cursiva

[editar editar]] Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).





Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación

no contendría dicha incognita.

Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una una incognita, digamos .

Una vez que que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución solución en otras ecuaciones dode aparezca para reducir el número número de incognitas en dichas ecuaciones.


El sistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido obtenido pasando los terminos en del miembro de de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es

.





que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es

.

[editar editar]] Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.

Aqui

y

son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.


Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

Sustituyendo

por

en





que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es

.

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del del sistema de ecuaciones de partida partida obtenemos una ecuación de una sola incognita

cuya solución es

.

[editar editar]] Método de Gauss

Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( superior ( o inferior inferior ). ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. reducción . En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las








La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.





que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener

:

En la primera y segunda ecuación, sustituimos ( ), para obtener:

por la solucion de la tercera ecuación

La segunda ecuación es ahora ahora una ecuación con una sola incognita, incognita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1 ( ). Esto nos da una ecuación en :





Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial: matricial:

Si existe, es decir, si es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por , para obtener:

que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes matriz de terminos independientes .

[editar editar]] Regla de Cramer

y





Cuando el sistema de ecuaciones

satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

En general





[editar editar]] Ejemplo Consideremos el sistema de ecuaciones:

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz cuadrada y Cramer para resolverlo:

de los coeficientes es una matriz

. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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