Validación de termopares. termopares.
INSTRUMENTO Termopar tipo T de cobre Cronómetro
CANTIDAD 5 1
Tabla 1 ;Material para la validación de termopares 1. 2. 3.
Colocar 250 ml de agua destilada en un vaso de precipita p recipitados. dos. Tomar como referencia la temperatura de ebullición conocida para el agua ( 96ºC). Tomar las lecturas de cada termopar cada minuto a partir de que se alcanza la temperatura de ebullición hasta completar 15 lecturas para cada termopar. 4. Aplicar un análisis análisis estadístico a los resultados obtenidos con con cada termopar. Para precisión: calcular el coeficiente de variación.
termopar to
t1
t2
t3
t4
t5
t6
TEMPERATURA t7 t8 t9 t10
CV t11
t12
t13
t14
t15
1 2 3 4 5
Tabla 2: Temperaturas de 5 termopares para precisión Para linealidad: una vez que el agua ha alcanzado la temperatura de ebullición, se dej a enfriar enfriar registrando la temperatura a cada minuto. Posteriormente Posteriormente realizar un análisis de regresión lineal para obtener el coeficiente de correlación. Para exactitud: calcular el coeficiente de variación para los datos ob tenidos.
Termopar
TEMPERATURA to
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
R t11
t12
t13
t14
1 2 3 4 5
Tabla 3: Temperaturas de 5 termopares termopares para linealidad
t15
termopar to
t1
t2
t3
t4
t5
t6
TEMPERATURA t7 t8 t9 t10
CV t11
t12
t13
t14
t15
1 2 3 4 5
Tabla 4: Temperaturas de 5 termopares termopares para exactitud exactitud 5. De los resultados obtenidos ob tenidos para cada termopar, se escoge como termopar patrón aquel que tiene menores coeficientes de variación y mayor coeficiente de correlación. 6. En base al termopar patrón se ajustan el resto de los 4 termopares de acuerdo a la ecuación de la línea recta:
Validación de termopares tipo T (cobre-constantan) La validación se realizó con el objeto de tener el control de la temperatura durante todo la experimentación (Roftus y Nash, 1984); la validación de los termopares se realizó con base a los criterios de linealidad, precisión y exactitud.
LINEALIDAD:: Nos permite predecir el valor de la variable dependiente que está asociado LINEALIDAD con un valor específico de la variable independiente (Morales, 1993)
Materiales y equipo 1 Vaso de precipitados de 1L 5 termopares de cobre-constantan tipo T calibre 22 de 2mm de diámetro 1 parrilla 1 soporte universal 1 anillo 1 pinza 1 malla de asbesto 1 termómetro de mercurio Digi-sense® Agua destilada
Metodología
1. Colocar 350mL de agua destilada en el vaso de precipitados 2. Calentar sobre una parrilla hasta alcanzar la temperatura de 40°C, considerando una presión de 585mmHg en Cuautitlán Izcalli. 3. Mientras se alcanza la temperatura de 40 °C, introducir un extremo de los termopares en los orificios de la malla y atar los 5 termopares.
4. Colocar el anillo al soporte y sobre esta colocar la malla que porta a los termopares, como se muestra en la figura 1. 5. Conectar el otro extremo de los termopares al Digi-sense® y programar el sofware para que registre
la toma de lecturas cada 1 min hasta completar 16 lecturas de tiempo vs
temperatura. 6. Introducir los termopares en el vaso de precipitados de manera que no exista contacto entre los mismos, el fondo y las paredes del vaso.
Fig. 1. Esquema del equipo para la prueba de linealidad
7. Para tener una referencia en cuanto a la temperatura que registrarán los termopares, también se tomarán 16 lecturas de temperatura cada minuto con el termómetro de mercurio. 8. Una vez alcanzada la temperatura de ebullición (93°C) se finaliza la prueba.
Resultados
Para cada uno de los termopares se obtuvo el promedio de las 3 corridas realizadas, los cuales se presentan en el tabla 1.
tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Temperaturas promedio (°C) termopar 1 termopar 2 termopar 3 termopar 4 73.1 72.9 73.4 73.1 75.9 76.0 76.2 75.8 78.5 78.6 78.7 78.4 79.4 79.5 79.6 79.4 80.2 80.3 80.3 80.0 80.3 80.5 80.5 80.2 81.0 81.4 81.1 80.8 81.6 81.9 82.0 81.67 83.1 83.3 83.2 83.0 85.1 85.0 85.1 85.4 87.5 87.5 87.3 87.2 89.4 89.8 89.8 89.8 90.7 91.1 91.2 90.9 91.2 91.4 91.4 91.5 91.6 92.0 91.9 91.6 91.9 92.1 92.2 92.0
termopar 5 72.9 76.1 78.9 79.8 80.4 80.5 81.0 82.0 83.5 81.5 87.3 89.0 91.0 91.4 91.8 92.1
Tabla 1. Temperatura promedio de los termopares para la prueba de linealidad Se graficaron los datos obtenidos de tiempo contra temperatura para cada uno de los termopares, resultando el siguiente gráfico:
95.0 90.0 ) C ° ( a r 85.0 u t a r e p 80.0 m e T
Canal 1 Canal 6 Canal 7 Canal 9
75.0
Canal 10
70.0 0
5
10
15
Tiempo (min)
Gráfico 1. Registros de temperatura para 5 termopares. Se realizó una regresión lineal para cada uno de los termopares, obteniéndose los resultados que se presentan en el tabla 2.
Termopar
1
2
3
4
5
b m R2 b m R2 b m R2 b m R2 b m R2
74.37 1.255 0.966 74.54 1.256 0.966 74.69 1.239 0.967 74.37 1.255 0.967 74.66 1.24 0.964
Tabla 2. Regresión lineal obtenida para cada termopar para la prueba de linealidad, siendo: b: ordenada al origen m: pendiente R2: coeficiente de correlación
Análisis de resultados
Se realizaron los gráficos de tiempo contra temperatura para cada uno de los termopares a partir de los datos obtenidos con la metodología antes mencionada, y con ayuda de una regresión lineal se obtuvieron las ecuaciones para cada termopar, con estas, fue posible establecer que los termopares que mayor correlación presentaron fueron el termopar 3 y 4, ya que su valor de R2 era el más cercano a la unidad, indicando por lo tanto, que los datos que obtenidos del termopar 3 y 4 no presentan una variación significativa, es decir, son los termopares que se asemejan más a un comportamiento lineal. A pesar de que los termopares 3 y 4 presentan el mayor coeficiente de correlación, los demás termopares no presentan un coeficiente de correlación que indique que las temperaturas registradas de los termopares 1, 2, y 5 no sean confiables. Esto se consideró para la otorgación de atributos. Cabe mencionar que la prueba de linealidad se realizó en un calentamiento, similar al ocurrente en la autoclave.
Exactitud y precisión.
EXACTITUD: Indica el valor “verdadero” o real de la magnitud que se mide (Morales, 1993).
PRECISIÓN: Se refiere al grado con que las mediciones concuerdan entre sí (Morales, 1993)
Materiales y equipo
Los materiales y equipo utilizados fueron los mismos que para la prueba de linealidad
Metodología 1. Colocar 350mL de agua destilada en el vaso de precipitados 2. Calentar sobre una parrilla hasta alcanzar la temperatura de ebullición (93°C) considerando una presión de 585mmHg en Cuautitlán Izcalli. 3.
Mientras se alcanza la temperatura de ebullicion, introducir un extremo de los termopares en los orificios de la malla y atar los 5 termopares.
4. Colocar el anillo al soporte y sobre esta colocar la malla que porta a los termopares, como se muestra en la figura 1. 5. Conectar el otro extremo de los termopares al Digi-sense® y programar el sofware para que registre la toma de lecturas cada 1 min hasta completar 16 lecturas de tiempo vs temperatura. 6. Una vez alcanzada la temperatura de ebullición (93°C), esta se mantiene constante (por medio del calentamiento en la parilla) y se toman 16 mediciones de temperatura.
Resultados
De las tres corridas realizadas para cada termopar se obtuvo la temperatura promedio para cada uno de los termopares, los resultados obtenidos se muestran en el cuadro 3. Termopar 1 Termopar 2 Termopar 3 Termopar 4 Termopar 5 Temperaturas promedio (°C) Tiempo(min) 0 93.2 93.3 93.1 93.4 93.2 1 93.2 93.2 93.1 93.3 93.2 2 93.2 93.1 93.2 93.3 93.2 3 93.2 93.1 93.1 93.3 93.2 4 93.2 93.2 93.1 93.3 93.1 5 93.2 93.2 93.1 93.3 93.1 6 93.3 93.2 93.1 93.3 93.1 7 93.3 93.3 93.1 93.5 93.1 8 93.3 93.4 93.2 93.4 93.2 9 93.2 93.3 93.0 93.3 93.1 10 93.2 93.3 93.1 93.3 93.1 11 93.3 93.4 93.0 93.3 93.1 12 13 14 15
93.2 93.1 93.1 93.0
93.4 93.3 93.4 93.3
93.0 93.0 92.9 92.7
93.3 93.3 93.2 93.1
93.1 93.1 93.1 92.9
Tabla 3. Temperatura promedio para cada termopar para la prueba de precisión
De los datos de temperatura promedio se obtuvo la desviación estándar y el coeficiente de variación para cada uno de los termopares, los resultados se presentan en el tabla 4 y 5 respectivamente.
TERMOPAR
σ
1 2 3 4 5
0,190 0.241 0.199 0.138 0.181
Tabla 4. Desviación estándar obtenida para la prueba de exactitud
TERMOPAR
C.V.
1 0.20440603 2 0.259 3 0.215 4 0.148 5 0.194 Tabla 5. Coeficiente de variación para la prueba de precisión.
Análisis de resultados
En base a los resultados obtenidos con ayuda de las medidas de tendencia central es posible afirmar que el termopar más preciso es el termopar 4 ya que al realizar un promedio de los coeficientes de variación para las tres pruebas, el termopar 4 es el que presenta el valor más bajo.
De acuerdo a la tabla 4, el termopar que presenta la menor desviación estándar es el termopar 4, lo que indica que este termopar es el que está presentando valores de temperatura más exactos porque los valores de temperatura registrados por este termopar no varían mucho.
TERMOPAR
C.V.
σ
R
1
0.19
0.204
0.966
2
0.241
0.259
0.966
3
0.199
0.215
0.967
4
0.138
0.148
0.967
5
0.181
0.194
0.964
Tabla 6. Resultados generales obtenidos de las pruebas de linealidad, exactitud y precisión Como se observa en el tabla 6, se puede decir que el termopar 4 es el que tiene la mayor cantidad de atributos, por lo que este será el termopar patrón con el cual de llevará a cabo el ajuste de temperaturas de los demás termopares.
TERMOPAR PATRÓN Después de haber determinado que el termopar cuatro sería el termopar patrón, se realizó el gráfico de la temperatura del termopar patrón contra las temperaturas que se corregirán. 95.0 ) 90.0 C ° ( n ó 85.0 r t a p r a p 80.0 o m r e T
termopar 1 termopar 2 termopar 3 termopar 5
75.0 70.0 70.0
75.0
80.0 85.0 Termopares (°C)
90.0
95.0
Grafica 2. Temperaturas del termopar patrón
A los datos obtenidos se les realizó el análisis de regresión lineal, obteniendo: termopar
b
m
R2
1
1.353
0.986
0.999
2
-0.013
1.002
0.999
3
1.146
0.986
0.999
5 -0.37 1.005 0.998 Tabla 8. Regresión lineal para los diferentes termopares. Donde: b: ordenada al origen m: pendiente R: coeficiente de correlación Las tres repeticiones para cada termopar muestran una correlación de datos muy cercana a la unidad, por lo que es posible afirmar que la dispersión de datos es mínima, con estos valores se realizó la corrección de los termopares en función del termopar patrón y se obtuvieron las ecuaciones para el ajuste a una línea recta, de acuerdo a la siguiente ecuación:
Donde: Y= temperatura del termopar patrón m= pendiente x= temperatura a corregir b= ordenada al origen
CANAL 1 TERM. 1 T (°C) 73.3 75.9 78.5 79.4 80.0 80.2 80.8 81.7 83.0 85.3 87.1 89.7 90.8 91.3 91.4 91.8
CANAL 7 TERM. 2 T (°C) 72.8 75.9 78.5 79.3 80.1 80.3 81.2 81.7 83.1 84.7 87.2 89.5 90.7 91.0 91.6 91.7
CANAL 9 CANAL 10 TERM. 5 TERM. 3 T T (°C) (°C) 73.8 73.2 77.0 76.0 79.8 78.5 80.7 79.4 81.3 80.1 81.4 80.3 81.9 80.9 82.9 81.8 84.4 82.9 86.0 84.8 88.2 87.0 89.8 89.5 91.8 90.9 92.2 91.1 92.6 91.6 92.9 91.9
Tabla 9. Temperaturas de termopares corregidas. ) 95.0 C ° ( n ó r t 90.0 a p a r a 85.0 p o m r e t l 80.0 e d a r u t 75.0 a r e p m70.0 e T
TERM. 1 TERM. 2 TERM. 5 TERM. 3
70.0
75.0 80.0 85.0 90.0 Temperatura del termopar a corregir (°C)
95.0
Grafica 3. Corrección de temperaturas. En este gráfico se logra observar como todas las temperaturas siguen el mismo comportamiento lineal, esto quiere decir que las temperaturas serán confiables a lo largo de la experimentación mientras se ajusten a un termopar patrón.
ACTIVIDADES PRELIMINARES.
ACTIVIDAD PRELIMINAR 1. VALIDACIÓN DE TERMOPARES TIPO “T”.
Se debe realizar la validación de los termopares con el fin de tener el control de la temperatura durante la experimentación, la validación se llevó a cabo basándonos en los criterios de linealidad, exactitud y precisión. Prueba de linealidad Verifica que los termopares e instrumentos que se van a emplear, guarden una relación lineal, sobre el intervalo de temperaturas del sistema de trabajo donde se desea trabajar.
Equipo Parrilla eléctrica Materiales 5 termopares tipo “T”
Vaso de precipitados de 1L Aproximadamente 900 mL de agua destilada Termómetro Soporte universal Nuez Pinza de tres dedos Metodología 1. Se conectan los termopares y se introducen en un sistema de temperatura inicial conocida, y ya sea que esta se incremente o disminuya, se registran las lecturas de cada termopar en intervalos iguales de tiempo (mínimo 10 para cada termopar). 2. La prueba finaliza hasta llegar a una temperatura predeterminada, la cual debe cubrir con los intervalos de temperatura que se requieren en el sistema experimental de principal interés. Termopares: Termómetro eléctrico es empleado para la medición de temperatura -200 a 2500°C Clasificación: a) A los termopares de metales nobles también conocido como metales precios, que pueden ser platino - platino – rodio. b) Otros son los termopares de aleaciones y son los que confortan las clases con mayor grado de error, estos termopares son de metales básicos. Ante la situación que se tenga de cualquiera de los dos tipos de termopares se requiere una validación de los mismos. Una validación es la técnica que permite establecer la confianza o valides del instrumento o de una técnica fundamentándose en la exactitud y precisión.
O bien una validación es un estudio sistemático basado en evidencias documentadas, la cual ayuda a probar que los sistemas y/o procesos sean efectuados adecuadamente y trabajen según sus especificaciones. A diferencia de la calibración que solo tiene por objeto verificar el instrumento contra un patrón o estándar conocido, como el que se aplica en las balanzas, el cual consiste en pesar tres tipos de objetos con sus determinados pesos, y hacerlo 10 veces para saber si marca el peso correcto del objeto. Como se hace una validación: a) Se selecciona el termopar que posea las mejores características de trabajo de un grupo determinado b) Al termopar a seleccionar se le denomina termopar patrón y con él se permite evaluar el efecto de los tratamientos en el proceso de transferencia térmica al unificar o eliminar el error en los instrumentos de medición. c) El termopar patrón se lleva a cabo por suma de atributos que se consigue con la aplicación de las pruebas:
Exactitud y precisión o Coeficiente de variación en el conocimiento de precisión. Para conocer o elegir al termopar patrón. Linealidad Repetitividad Reproducibilidad
Una vez que se efectuaron las pruebas necesarias para seleccionar al termopar patrón, se continúa con otro análisis de linealidad. El análisis de linealidad per correlacionar de forma directa la respuesta del conjunto de termopares. Con el apoyo de linealidad se toman lecturas de termopar patrón a manera de variable dependiente, y los valores del resto de los termopares como variables independientes, se espera obtener diferentes ecuaciones del termopar patrón en función de cada uno de los otros termopares.
Corresponde a la temperatura corregida referida al termopar patrón = factor de proporcionalidad Temperatura n obtenida por otro termopar sin corregir B = ordenada al origen de cada relación obtenida.
Resultados Se muestran los resultados de las tres corridas realizadas para validación de termopares: Primera corrida Exactitud y precisión Termopar 1 5 Canal 1 3 t (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
T ºC
T ºC
4
2
3
6
7
10
T ºC
T ºC
T ºC
93.1 93.1 92.7 93.3 93.1 93.2 92.8 93.3 93.1 93.2 92.9 93.3 93.2 93.3 93.1 93.3 93.2 93.2 92.9 93.4 93.2 93.2 92.9 93.2 93.3 93.2 93 93.4 93.3 93.2 93 93.3 93.2 93.2 92.8 93.4 93.2 93.2 92.9 93.4 93.2 93.1 92.9 93.3 93.1 93.2 93 93.3 93.2 93.2 92.9 93.3 93.2 93.2 93 93.3 93.3 93.2 93 93.4 93.2 93.2 93.1 93.3 Tabla 1. Resultados validación primera corrida.
93.3 93.1 93.2 93.3 93.4 93.3 93.4 93.3 93.4 93.3 93.4 93.3 93.3 93.3 93.3 93.4
Segunda corrida: TERMOPAR t (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 92.9 93.1 92.8 92.8 92.9 92.9 92.7 92.8 92.7 92.7 92.6 92.7
5 3 92.7 92.7 92.7 93 93.1 93.2 93 93.1 93 93.1 93.1 93.1
4 6 92.8 98.8 92.8 92.9 93.1 93 92.7 92.8 92.9 92.8 92.9 92.9
2 7 92.8 98.8 92.7 93.1 93.1 93.1 93.4 93.2 93.1 93.2 93.2 93.2
3 10 92.9 92.8 92.9 93.1 93.1 93 93 93.2 93.2 93.1 93.2 93.1
13 14 15 16 17 18 19 20
92.6 93.1 92.8 93.1 92.7 93.1 92.9 93.2 92.6 93.1 92.9 93.3 92.8 93.1 92.8 93.2 92.8 93.2 92.8 93.3 92.8 93.2 92.8 93.2 92.8 93.2 93.2 93.2 92.6 93.1 92.9 93.2 Tabla 2.Resultados validación segunda corrida.
93.1 93.2 93.1 93.2 93.2 93.3 93.3 93.3
Tercera corrida:
t (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 93.1 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.2 93.2 93.2 93.1 93.1 93.1
5 4 2 3 3 6 7 10 93 93.1 93.1 93.1 92.9 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.1 93.1 92.9 93.1 93.1 93.1 93 93.1 93.2 93.1 92.9 93.1 93.4 93.1 93 93.2 93.3 93.1 93 93.2 93.1 93.2 93 93.1 93.1 93.2 93 93 93.1 93.1 93 93.1 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.2 93.1 93 93.2 93.2 93.1 93 93.1 93.2 93.1 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.1 93.1 93 93.1 93.2 93.2 93.1 93.1 93.2 93.2 93 93.1 93.2 93.1 93 93.1 93.2 93.1 Tabla 3.Resultados validación tercera corrida.
termopar canal
Prueba de coeficiente de variación para precisión. De los datos anteriores se obtiene la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación. Varianza
Dónde: -> dato -> media n -> número de muestras
Desviación estándar
Dónde: S -> desviación estándar -> raíz de la varianza Coeficiente de variación S -> desviación estándar -> media
Precisión Tabla de resultados precisión para primera corrida 1 5 4 2 3 0.0046 0.0020 0.0116 0.0033 0.0065 0.0680 0.0443 0.1078 0.0577 0.0806 0.0730 93.2
0.0475 93.2
0.1160 0.0619 92.9 93.3
0.0864 93.3
Termopar Varianza Desviación estándar Coef. De variación media
Tabla de resultados precisión para segunda corrida: 1 5 4 2 3 Termopar 0.0161 0.0258 1.7662 1.6222 0.0192 Varianza 0.1268 0.1605 1.3290 1.2737 0.1387 Desviación estándar 0.1366 0.1724 1.4305 1.3666 0.1490 Coef. De variación 92.8 93.1 92.9 93.2 93.1 media Tabla 4. Resultados de la 2° corrida.
S S2 % ẋ
S S2 % ẋ
Tabla de resultados precisión para tercera corrida 1 5 4 2 3 Termopar 0.0022 0.0048 0.0026 0.0067 0.0026 Varianza 0.0470 0.0696 0.0510 0.0821 0.0510 Desviación estándar 0.0505 0.0748 0.0548 0.0882 0.0548 Coef. De variación 93.1 93 93.1 93.1 93.1 media Tabla 5. Resultados de la 3° corrida.
S S2 % ẋ
Como se muestra ya en comparación los cuadros de las 3 corridas se puede observar que el termopar número 1 es el que cuenta con el coeficiente de variación más cercano a 0% en las últimas dos corridas, esto se lo atribuimos al tomo de datos experimentales. Sin embargo en cuanto a esta prueba el termopar número 1 es el seleccionado por brindar resultados más adecuados, pero un punto importante a destacar es que ninguno llego a 1 punto porcentual, lo cual se puede considerar que no hay un coeficiente de variación amplio en las corridas realizadas, además los datos de media obtenida los más parecidos al teórico son el termopar número 4, por lo cual se incluirá como termopar patrón. Prueba de hipótesis para Exactitud. Procedimiento para determinar la prueba de hipótesis 1. Determinar la hipótesis Nula “Ho” y la Alternativa “Ha” 2. Determinar el nivel de significancia Este nivel representa la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera, matemáticamente se puede considerar cualquier valor entre cero y uno; pero para estudios de pruebas de hipótesis normalmente está entre 0.05 y 0.1. Este nivel está determinado por el analista y debe basarse en las características del estudio y el riesgo que se considere aceptable el error tipo 1
3. Calcular los intervalos que implican ese nivel de significancia 4. Calcular el “estadístico de prueba” 5. Determinar si el estadístico de prueba cae dentro de la región que hace la hipótesis nula verdadera
6. Aceptar o rechazar la hipótesis nula (el paso anterior se puede resumir en este último, ya que se basan en el mismo procedimiento). Primera corrida 1
5
4
2
3
Termopar
Paso 1 Ho : μ 92.8 C
Paso2 Paso 3 Paso 4
Ha : μ 92.8C
0.05 95.00%
Alfa Nivel de confianza Z intervalo
1.9600 -1.96
1.96
92.8
92.8
92.8
92.8
92.8
μ
93.19
93.19
92.93
93.32
93.31
0.044 16
0.044 16
0.107 16
0.057 16
0.08 16
S n
Promedio considerado por la hipótesis nula Media de la muestra tomada Desviación estándar número de elementos
Paso 5
Se describe cada formula debajo de esta tabla 0.011
Paso 6
0.011
0.02675
0.01425
0.02
σ
desviación estándar tipificada
35.4545
35.4545
4.8598
36.4912
25.5000
Z
valor de z tipificado
*
*
*
*
*
Rechaza Ho Acepta Ho
Tabla 6. Resultados primera corrida.
Termopar
1
Ec. Paso 5
4
2
3
Se utilizan los valores anteriores para encontr ar el valor de en la tabla de distribución de t s tudent. El valor resultante con el nivel de signi ficanc ia de 0.05 y grados de libertad (gl)=15 es :
μ μ
5
Cuando se rechaza la hipótesis nula se necesita saber cuál es el rango de temperatura, con la siguiente ecuación. Es necesario media y margen de error (E)
μ μ μ μ μ μ μ μ
Segunda corrida 1
4
2
3
Termopar
5 Paso 1 Ho : μ 92.8 C
Paso2 Paso 3 Paso 4
Ha : μ 92.8C
Alfa 0.05 Nivel de confianza 95.00% Z 1.9600 intervalo -1.96 92.8 92.8 92.8
1.96 92.8
92.8
μ
92.8
93.1
92.9
93.2
93.1
0.1268
0.1605
1.3290
1.2737
0.1387
S
20
20
20
20
20
n
Promedio considerado por la hipótesis nula Media de la muestra tomada Desviación estándar número de elementos
Paso 5 Se describe cada formula debajo de esta tabla 0.0284
0.0359
0.2972
0.2848
0.0310
σ
0.0000
8.3587
0.3365
1.4045
9.6732
Z
Paso 6
* *
* *
*
Tabla 7. Resultados 2 ° corrida.
desviación estándar tipificada valor de z tipificado Rechaza Ho Acepta Ho
Termop ar
Ec. Paso 5
1
5
4
2
----------
--------------
----------
--------------
----------
--------------
3
Se utilizan los valores anteriores para encontrar el valor de en la tabla de distribución de t student. El valor resultante con el nivel de significancia de 0.05 y grados de libertad (gl)=15 es:
Cuando se rechaza la hipótesis nula se necesita saber cuál es el rango de temperatura, con la siguiente ecuación. Es necesario media y margen de error (E)
Tercera corrida
1
4
2
3
Termopar
5 Paso 1
Paso2 Paso 3 Paso 4
Paso 5
Paso 6
Ho : μ 92.8 C
Ha : μ 92.8C
Alfa 0.05 Nivel de confianza 95.00% Z 1.9600 intervalo -1.96
1.96
92.8
92.8
92.8
92.8
92.8
μ
93.1
93
93.1
93.1
93.1
0.0470
0.0696
0.0510
0.0821
0.0510
S
20
20
20
20
20
n
Promedio considerado por la hipótesis nula Media de la muestra tomada Desviación estándar número de elementos
Se describe cada formula debajo de esta tabla 0.0105
0.0156
0.0114
0.0184
0.0114
σ
28.5357
12.8537
26.2851
16.3459
26.2851
Z
*
*
*
*
*
Tabla 8. Resultados de la 3° corrida.
desviación estándar tipificada valor de z tipificado Rechaza Ho Acepta Ho
Termopar
Ec. Paso 5
1
5
4
2
3
Cuando se rechaza la hipótesis nula se necesita saber cuál es el rango de temperatura, con la siguiente ecuación. Es necesario media y margen de error (E)
Se utilizan los valores anteriores para encontrar el valor de en la tabla de distribución de t student. El valor resultante con el nivel de significancia de 0.05 y grados de libertad (gl)=15 es:
Primera corrida termopar
Ho:μ=92.8°C
Ho:μ=92.8°C
1
Rechaza
Acepta
5
Rechaza
Acepta
4
Rechaza
Acepta
2
Rechaza
Acepta
3
Rechaza
Acepta
Μ
Tabla 9. Resultados de la 1° corrida.
Segunda corrida termopar
Ho:μ=92.8°C
Ho:μ=92.8°C
1 5
Acepta Rechaza
Rechaza Acepta
4 2 3
Acepta Acepta Rechaza
Rechaza Rechaza Acepta
Z tipificada
μ
0.0
0.3365 1.4045
Tabla 10. Resultados de la 2° corrida.
Tercera corrida termopar
Ho:μ=92.8°C
Ho:μ=92.8°C
1
Rechaza
Acepta
5
Rechaza
Acepta
4
Rechaza
Acepta
2
Rechaza
Acepta
3
Rechaza
Acepta
Μ
Tabla 11. Resultados de la 3° corrida. En cuanto a la selección del termopar sometido a esta prueba, se optó por el termopar número 1, ya que en la última prueba los datos obtenidos durante la experimentación fueron más cuerdos, y tuvieron menos variación que las otras 2 repeticiones. Como la mayoría de los resultados fueron rechazar la hipótesis nula nos dimos la tarea en hacer un análisis de μ, para compararlos en la última corrida que se hizo y ver si tienen un rango alto de diferencia, o si en verdad se asemeja a los datos de las otras repeticiones, como lo que pasa con el termopar número 1 y 4, tienden a similar el registro de temperatura en cada repetición, sin embargo el numero 1 obtuvo mejor rendimiento al final del tratamiento, por lo mismo se accedió a tomarlo en cuenta. Cada termopar recibió el mismo tratamiento, pero los datos por los cual se rige la selecciones es por aprobar la hipótesis nula de 92.8°C, en esta prueba sigue predominando el termopar numero 1 el cual queda como candidato en base a las pruebas de exactitud y precisión ANÁLISIS DE RESULTADOS. En la primera corrida obtuvimos datos en los cuales el termopar que tenía mejor correlación fue el número 5 para la prueba de exactitud, ya que en la prueba de precisión todos los resultados finales fueron de rechazar la hipótesis nula de 92.8, esta variación es concedida por algunos errores durante la experimentación o bien al momento de tomar los datos del DIGI-SENSE. La segunda repetición los datos no fueron muy adecuados, ya que ninguno de los resultados de precisión coincidía con los anteriores, y los datos que obtuvieron de exactitud, ninguno de los termopares aceptaron la hipótesis nula, tal vez se lo debamos a la posición de los termopares dentro del vaso, que variaba a causa de las burbujas resultantes del calentamiento del agua, sin embargo se cuidó en lo mayor posible que quedaran de forma estable. Para la última corrida se mejoró por mucho los resultados a los que se llegaron en las dos pruebas de exactitud y precisión, coincidiendo que el termopar número 1 es el más adecuado para seleccionarlo como termopar patrón y esto a su vez nos ayudara a validar las temperaturas de los
otros termopares, no obstante esto se ratificara con los resultados de las siguientes pruebas hasta tener una conclusión satisfactoria. Linealidad. Con las lecturas obtenidas del sistema experimental, en la prueba de correlación se toma como variable dependiente a la temperatura y como variable independiente el tiempo. El termopar patrón será el que presenta mayor linealidad, es decir, que cumpla con la correlación más cercana al valor de uno. 100 ) a r u t a r e p m e T
80 60
termopar 1
40
termopar 2 termopar 3
20
termopar 5
0 0
20
40 60 Tiempo
80
Gráfico 1. Linealidad. Regresión lineal para cada termopar Termopar Regresión lineal 1 a=48,477 b=1,7149 R= 0,9818 2
a=49,3 b=1,6841 R=0,9819
3
a=49,443 b=1,6951 R=0,9787
*4
a=48,637 b=1,7213 R=0,9836
5
a=48,629 b=1,7137 R=0,9827
100
RESULTADOS Resultados de la primera corrida para linealidad t Termopar (min) 1 5 4 2 Canal 1 3 6 7 T ºC T ºC T ºC T ºC 0 48.4 48.4 48.3 50.9 2 53.7 53.8 53.7 53.7 4 57 57.2 57.2 57.3 6 60 60 60.2 60.2 8 62.3 62.7 62.6 62.6 64.8 64.9 65.1 64.9 10 12 66.9 67.1 67.3 67.4 14 69.6 69.8 69.8 69.9 73 73.2 73.2 73.5 16 18 77.5 77.7 78.7 78 20 82.9 83.2 83.2 83.3 22 89 88.8 89.2 88.9 24 92.6 92.8 92.7 92.9 26 93.1 93.1 93 93.2
3 10 T ºC 51 53.8 57.9 60.1 63.1 65.2 67.3 70 73.4 78.3 84.3 90.1 92.9 93.3
Tabla 12. Regresión lineal.
Grafico 1. Temperatura vs Tiempo para la prueba de linealidad repetición 1 100 90 ) 80 C º 70 ( a r 60 u t 50 a r e 40 p m 30 e T 20 10 0
T-1 T-2 T-3 T-4 T-5
0
5
10
15
20
tiempo (min) Gráfico 2. Linealidad.
25
30
Resultados de la segunda corrida para linealidad t(min) TERMOPAR 1 5 4 2 3 CANAL 1 3 6 7 10 T ºc TºC TºC TºC TºC 0 25.8 25.9 25.8 26 25.8 2 27.2 26.9 27.7 28.3 27.9 4 30.9 32.6 32 31.9 32.3 6 37.2 37.1 36.8 36.8 37.2 8 41.4 42.4 42.7 42.7 43.8 10 49.9 49.9 50.6 50.6 50.5 12 56 56.6 56.4 56.7 56.6 14 62.8 63.7 62.8 63 63.2 16 67.8 69.1 69.4 69.3 69.2 18 74.2 74.1 75.5 75.8 75.5 20 80.5 80.2 80.6 81.3 80.5 22 86.2 86.2 86.2 87.2 87.6 24 92.8 92.6 92.8 92.8 92.6
Regresión lineal para cada termopar Termopar Regresión lineal 1 a=21.018 b=2.9453 R= 0.9935
Tabla 13. Regresión lineal.
2
a=21.652 b=2.9547 R=0,9946
3
a=22.446 b=2.8652 R=0,9935
*4
a=21.575 b=2.9412 R=0,9947
5
a=21.596 b=2.9266 R=0.9946
Grafico 2. Temperatura vs Tiempo para la prueba de linealidad repetición 2 100 90
termpar 1
80
) C 70 º ( a r 60 u t 50 a r e 40 p m e 30 T
termopar 2 termopar 4 termopar 5
20
termopar 3
10 0 0
5
10
15
20
tiempo (min) Gráfico 3. Linealidad.
25
30
Resultados de la tercera corrida para linealidad TERMOPAR 1 5 4 2 CANAL 1 3 6 7 t T ºC T ºC T ºC T ºC (min) 0 23.5 23.4 23.6 23.8 2 31.7 31.1 31 31.5 4 37.8 37.8 38.7 38.3 6 46.1 45.8 46 46.2 8 53.4 53.9 53.9 54.4 10 59.4 62.8 62.9 62.8 12 70.3 76.6 70.3 70.5 14 77.9 78.5 78.7 78.6 16 86.1 86.2 86.3 86 18 90.9 90.9 92.8 92.8 20 92.9 92.9 93 93 22 93.1 93 93.1 93.1 Tabla 14. Regresión lineal.
Termopar 3
1
10 T ºC 24.3 31.8 39.3 47.2 55.8 63.5 71.7 79.1 87.1 92.8 93.1 93.1
Regresión lineal a=24.127 b=3.6782 R= 0.9923
2
a=24.573 b=3.7055 R=0.9911
3
a=25.468 b=3.6868 R=0.9903
*4
a=24.345 b=3.7218 R=0,9916
5
a=24.536 b=3.7273 R=0.9828
Grafico 3. Temperatura vs Tiempo para la prueba de linealidad repetición 3 100 90 80 ) 70 C º ( 60 a r 50 u t a r 40 e p 30 m e 20 T 10 0
Termopar 1 Termopar 2 Termopar 3 Termopar 4 Termopar 5
0
5
10
15
tiempo (min)
Gráfico 4. Linealidad.
20
25
A continuación se presentan los gráficos en comparación de cada termopar que tuvo mejor correlación con respecto a las 3 corridas realizadas.
Grafico 4. Aplicación linealidad para Termopar numero 1 120 1ra.corrida
100
y = 1.7149x + 48.477 R² = 0.9818
80
2da.corrida 60
y = 2.9453x + 21.018 R² = 0.9935
40
3ra.corrida y = 3.6782x + 24.127 R² = 0.9923
20 0 0
5
10
15
20
25
30
Gráfico 5. Linealidad.
Grafico 5. Aplicación linealidad para Termopar numero 4 120
1ra.corrida
100
y = 1.7213x + 48.637 R² = 0.9836 2da.corrida
80 60
y = 2.9412x + 21.575 R² = 0.9947 3ra.corrida
40 20
y = 3.7218x + 24.345 R² = 0.9916
0 0
5
10
15
20
25
30
Gráfico 6. Linealidad. Como se puede apreciar se tiene una mejor correlación en los datos que se obtuvieron con respecto al termopar 4 en cada una de las corridas, de la misma forma el termopar numero 1 también se tiene resultados favorables que se pueden tomar en cuenta para al final de todas las pruebas. Sin embargo seguimos insistiendo que la segunda corrida se obtuvo los datos más cuerdos para el análisis final.
Repetitividad. Se realizó una tabla de análisis de varianza basada en un diseño de bloques aleatorios donde se plantean dos hipótesis tanto para el tratamiento como para el bloque, en el cual los bloques se consideraron como cada una de las tres réplicas por termopar y los tratamientos se consideraron como el tiempo al que se realizó cada medición de temperatura, todos estos se usaron con un nivel de significancia del 95%. Para llevar a cabo esta prueba se hizo lo siguiente: Se parte de la tabla ANOVA como se muestra a continuación: Fuente de g.l Variación Tratamientos t-1 Bloques
r-1
Errores
(t-1)(r-1)
Totales
rt-1
SC
CM
Fc
Ft
α: 0.05
Tabla 15. ANOVA. Dónde: t: tratamiento (i ) r: renglones o repeticiones ( j ) C: factor de reacción G: gran total
g.l: grados de libertad SC: suma de cuadrados SCTR: suma de cuadrados de tratamientos SCBL: suma de cuadrados de bloques SCER: suma de cuadrados de errores SCTL: suma de cuadrados totales CM: cuadrados medios CMTR: cuadrados medios de tratamientos CMBL: cuadrados medios de bloques CMER: cuadrados medios de errores Fc: Fisher calculada Ft: Fisher de tablas para diferentes niveles de significancia Metodología. 1. De las 3 repeticiones (fila= j ) para cada termopar se hace una tabla donde se registre solamente la temperatura de un solo termopar con sus 3 repeticiones, se obtiene : las
95%:
hipótesis, los grados de libertad para tratamiento, bloque, error y total; el gran total (G) de cada fila (i ) y se suman cada una como se muestra: t= termopar con 3 repeticiones r= 16 registros de T (°C) g.l t: t-1= 16-1= 15 g.l b: r-1= 3-1= 2 g.l e: (t-1) (r-1)= (16-1)*(3-1)= 30 g.l T: rt-1= (3*16)-1= 47
Termopar 1. T (ºC) 1 2 93.1 92.9 93.1 93.1 93.1 92.8 93.2 92.8 93.2 92.9 93.2 92.9 93.3 92.7 93.3 92.8 93.2 92.7 93.2 92.7 93.2 92.6 93.1 92.7 93.2 92.6 93.2 92.7 93.3 92.6 93.2 92.8 G=4465.5 Tabla 16. Termopar 1.
3 93.1 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.2 93.2
279.1 279.3 279 279.1 279.2 279.3 279.1 279.2 279.1 279 278.9 278.9 278.9 279.1 279.1 279.2
En cuanto a las decisiones se toman las siguientes hipótesis: Para los Bloques: Ho: µ1=µ2=µ3 los termopares registran temperaturas iguales. HA: µ1≠µ2≠µ3 los termopares registran temperaturas diferentes. Para los Tratamientos: Ho: µ1=µ2=µ3 los tiempos de las temperaturas son iguales. HA: µ1≠µ2≠µ3 tiempos de las temperaturas no son iguales. 2. Obteniendo el valor de G se calcula el calor de C mediante la siguiente fórmula:
Donde t= tratamiento (termopar no. 1con 3 repeticiones) y r= renglones (16 registros de temperatura).
3. De la suma de cada fila se eleva al cuadrado, el cual nos servirá para obtener la suma de cuadrados del tratamiento.
4. Para la suma de cuadrados para los bloques se suma cada columna, la cual se elevara al cuadrado cada una y se sumara para introducirla en la fórmula que se encuentra debajo de la tabla siguiente: Termopar No.1 T (°C) 1 2 93.1 92.9 93.1 93.1 93.1 92.8 93.2 92.8 93.2 92.9 93.2 92.9 93.3 92.7 93.3 92.8 93.2 92.7 93.2 92.7 93.2 92.6 93.1 92.7 93.2 92.6 93.2 92.7 93.3 92.6 93.2 92.8 1491.1 1484.3
3 93.1 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.2 93.2 1490.1
Tabla 17. Termopar 1.
5. Para calcular el valor de SCTL se obtendrá la suma de los cuadrados de cada valor de temperatura ya sea por filas o columnas (en este caso por filas).
Termopar 1. T(°C) A B 93.1 92.9 93.1 93.1 93.1 92.8 93.2 92.8 93.2 92.9 93.2 92.9 93.3 92.7 93.3 92.8 93.2 92.7 93.2 92.7 93.2 92.6 93.1 92.7 93.2 92.6 93.2 92.7 93.3 92.6 93.2 92.8
25965.63 26002.83 25947.06 25965.69 25984.26 26002.89 25965.79 25984.34 25965.77 25947.14 25928.61 25928.51 25928.61 25965.77 25965.89 25984.32 415433.11 Tabla 18. Termopar 1.
C 93.1 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.2 93.2
Obtenido el resultado se aplicara la siguiente fórmula:
Con el resultado ya se podrá calcular la suma de cuadrados de los errores:
6. Ahora pasamos a los cuadrados medios para tratamientos, bloques y errores, donde se sustituirán los valores ya dados en las formulas anteriores.
7. El ultimo de cálculos es la F c el cual nos servirá para compararlo con la F t que se obtienen de tablas estadísticas.
8. Podemos entonces llenar con los datos obtenidos la Tabla ANOVA como sigue: Tabla ANOVA para el Termopar No.1 Fuente de Variación g.l SC CM Fc Ft Tratamientos 15 0.083125 0.00554167 0.56355932 2.01 Bloques 2 1.685 0.8425 85.6779661 3.32 Errores 30 0.295 0.00983333 Totales 47 2.063125 Tabla 19. ANOVA. 9. Una vez obtenido el valor de F c, necesitamos conocer el valor de F t, las cuales se encuentran en tablas estadísticas llamada Valores críticos de F, siempre al final de los libros de probabilidad y estadística; nosotros en este caso manejamos un nivel de significancia del 95% (α=0.05) a dicha tabla.
En la tabla siguiente se muestra una parte de la tabla utilizada:
) r ( r o d a n i m o n e d l e a r a p d a t r e b i L e d s o d a r G
Grados de Libertad del numerador (t ) 1 2 3 15 1 161 200 216 246 2 18.5 19 19.2 19.4 3 10.1 9.55 9.28 8.7 4 7.71 6.94 6.59 5.86 5 6.51 5.79 5.41 4.62 1 4.96 4.1 3.71 2.85 0 2 4.35 3.49 3.1 2.2 0 3 4.17 3.32 2.92 2.01 0 4 4.08 3.23 2.84 1.92 0 6 4 3.15 2.76 1.84 0 Tabla 20. Grados de libertad.
Entonces en el numerador buscamos los grados de libertad del tratamiento (15 en este caso) con los grados de libertad del error (30 en este caso), obteniéndose el valor de F t de 2.01 y para encontrar el del bloque se busca los grados de libertad en el numerador (2) con los grados de libertad del error (30), obteniéndose una F t de 3.32 10. Para tomar la decisión de la hipótesis nula o alternativa se debe considerar la siguiente condición: Si F c es mayor a F t se rechaza hipótesis nula (Ho).
En cuanto a los tratamientos F c es menor a F t por lo que se acepta la Ho (los tiempos de las temperaturas son iguales) pero a los bloques se rechaza Ho (los termopares registran temperaturas iguales) debido a que Fc es mayor a F t, entonces no sería una buena opción escoger este termopar, debería caer en el intervalo los bloques y tratamientos para aceptarlo y usarlo como patrón. 11. Repetir el mismo procedimiento para los siguientes 4 termopares. Los resultados obtenidos individualmente de los siguientes 4 termopares son:
Tabla ANOVA para el Termopar No.2 Fuente Variación Tratamientos
de
g.l
SC
CM
Fc
Ft
15
10.0264583
0.66843056
0.96650266
2.01
Bloques
2
0.87875
0.439375
0.63530475
3.32
Errores
30
20.7479167
0.69159722
Totales
47
31.653125
Tabla 21. ANOVA 2.
Tabla ANOVA para el Termopar No.3 Fuente de Variación g.l SC CM Tratamientos 15 0.19145833 0.01276389 Bloques 2 0.47791667 0.23895833 Errores 30 0.17541667 0.00584722 Totales 47 0.84479167 Tabla 22. ANOVA 3. Tabla ANOVA para el Termopar No.4 Fuente de Variación g.l SC CM Tratamientos 15 10.6191667 0.70794444 Bloques 2 0.75125 0.375625 Errores 30 22.7420833 0.75806944 Totales 47 34.1125 Tabla 23. ANOVA 4. Tabla ANOVA para el Termopar No.5 Fuente de Variación g.l SC CM Tratamientos 15 0.19666667 0.01311111 Bloques 2 0.33875 0.169375 Errores 30 0.31458333 0.01048611 Totales 47 0.85 Tabla 25. ANOVA 5.
Fc 2.18289787 40.8669834
Ft 2.01 3.32
Fc 0.93387809 0.4955021
Ft 2.01 3.32
Fc 1.25033113 16.1523179
Ft 2.01 3.32
De acuerdo a la tabla ANOVA en que la F t es mayor que la F c para los tratamientos, en el caso de los termopares 1, 2, 4 y 5, se puede concluir que los datos de temperatura de los termopares son repetibles y que se acepta la hipótesis nula (Ho), por lo que se pueden tomar los datos de cualquier réplica y éstos representarán al termopar del que se obtengan los datos. Para el caso de los bloques (cada repetición), la F t es mayor a la F c, en cuanto a los termopares 2 y 4, esto se debe a que en cada replica de los termopares no hay una variación entre los datos ya que son iguales, en los casos de los termopares 1,3 y 5 el error es muy pequeño por lo que si se dividen los cuadrados de los bloques entre los tratamiento como el error es muy pequeño va a dar una diferencia muy grande en los valores de Fc. Entonces debido a que los termopares 2 y 4 tanto para tratamientos y bloques la F c es menor a Ft se acepta la Ho, y por lo cual el termopar 2 su F c se aproxima al 1, será uno de los más confiables para su utilización durante el proceso. Reproducibilidad. En la prueba de reproducibilidad al igual que la de repetitividad se llevó a cabo tres repeticiones con 16 lecturas para cada termopar, los cuales al aplicar un diseño completamente al azar en un caso balanceado se pudo observar mediante la tabla ANOVA el nivel de significancia que tiene la Fc entre la Ft, la cual nos servirá para tomar una decisión si se opta por tomar el termopar o no, entre menor sea la Fc contra Ft se seleccionara el termopar.
También se presenta la tabla ANOVA mediante la cual se llevó a cabo el tratamiento estadístico: Fuente de g.l Variación Tratamientos t-1 Errores
(t)(r-1)
Totales
rt-1
SC
CM
SCER= SCTL-SCTR
Fc
Ft α:
95%:
0.05
Tabla 26. ANOVA EJEMPLO. Dónde: t: tratamiento (i ) r: renglones o repeticiones ( j ) C: factor de reacción G: gran total
g.l: grados de libertad SC: suma de cuadrados SCTR: suma de cuadrados de tratamientos SCER: suma de cuadrados de errores SCTL: suma de cuadrados totales CM: cuadrados medios CMTR: cuadrados medios de tratamientos CMER: cuadrados medios de errores Fc: Fisher calculada Ft: Fisher de tablas para diferentes niveles de significancia En cuanto a las decisiones se toman las siguientes hipótesis: Ho: µ1=µ2=µ3 las temperaturas de los termopares son iguales HA: µ1≠µ2≠µ3 las temperaturas de los termopares son diferentes Por lo tanto si F c es mayor a Ft se rechaza Ho. Metodología. 1. De las 3 repeticiones (fila= j ) para cada termopar se hace una tabla donde se registre solamente la temperatura de un solo termopar con sus 3 repeticiones, se obtiene : las hipótesis, los grados de libertad para tratamiento, error y total; el gran total (G) de cada columna (i ) y se suman cada una como se muestra:
Termopar 1. T (ºC) 1 2 3 93.1 92.9 93.1 93.1 93.1 93.1 93.1 92.8 93.1 93.2 92.8 93.1 93.2 92.9 93.1 93.2 92.9 93.2 93.3 92.7 93.1 93.3 92.8 93.1 93.2 92.7 93.2 93.2 92.7 93.1 93.2 92.6 93.1 93.1 92.7 93.1 93.2 92.6 93.1 93.2 92.7 93.2 93.3 92.6 93.2 93.2 92.8 93.2 G= 1491.1 + 1484.3 + 1490.1 = 4465.5 Tabla 27. Termopar 1.
t= termopar con 3 repeticiones r= 16 registros de T (°C) g.l t: t-1= 3-1= 2 g.l r: (t) (r-1)= 3*(16-1)= 45 g.l T: rt-1= (3*16)-1= 47
En cuanto a las decisiones se toman las siguientes hipótesis: Ho: µ1=µ2=µ3 las temperaturas de los termopares son iguales. HA: µ1≠µ2≠µ3 las temperaturas de los termopares son diferentes. 2. Obteniendo el valor de G se calcula el calor de C mediante la siguiente fórmula:
Donde t= tratamiento (termopar no. 1con 3 repeticiones) y r= renglones (16 registros de temperatura). 3. De la suma de cada columna se eleva al cuadrado, el cual nos servirá para obtener la suma de cuadrados del tratamiento.
4. Para calcular el valor de SCTL se obtendrá la suma de los cuadrados de cada valor de temperatura ya sea por filas o columnas (en este caso por filas).
Termopar 1. T(°C) A B 93.1 92.9 93.1 93.1 93.1 92.8 93.2 92.8 93.2 92.9 93.2 92.9 93.3 92.7 93.3 92.8 93.2 92.7 93.2 92.7 93.2 92.6 93.1 92.7 93.2 92.6 93.2 92.7 93.3 92.6 93.2 92.8
25965.63 26002.83 25947.06 25965.69 25984.26 26002.89 25965.79 25984.34 25965.77 25947.14 25928.61 25928.51 25928.61 25965.77 25965.89 25984.32 415433.11 Tabla 28. Termopar 1.
C 93.1 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.2 93.1 93.1 93.1 93.1 93.2 93.2 93.2
Obtenido el resultado se aplicara la siguiente fórmula:
Con el resultado ya se podrá calcular la suma de cuadrados de los errores:
5. Ahora pasamos a los cuadrados medios tanto para tratamientos y errores, donde se sustituirán los valores ya dados en las formulas anteriores.
6. El ultimo de cálculos es la F c el cual nos servirá para compararlo con la F t que se obtienen de tablas estadísticas.
7. Podemos entonces llenar con los datos obtenidos la Tabla ANOVA como sigue: Tabla ANOVA para el Termopar No.1 Fuente de Variación g.l SC CM Fc Ft Tratamientos 2 1.685 0.8425 100.264463 3.21 Errores 45 0.378125 0.00840278 Totales 47 2.063125 Tabla 29. ANOVA. 8. Una vez obtenido el valor de F c, necesitamos conocer el valor de F t, las cuales se encuentran en tablas estadísticas llamada Valores críticos de F, siempre al final de los libros de probabilidad y estadística; nosotros en este caso manejamos un nivel de significancia del 95% (α=0.05) a dicha tabla.
En la tabla siguiente se muestra una parte de la tabla utilizada:
) r ( r o d a n i m o n e d l e a r a p d a t r e b i L e d s o d a r G
Grados de Libertad del numerador (t ) 1 2 3 4 1 161 200 216 225 2 18.5 19 19.2 19.2 3 10.1 9.55 9.28 9.12 4 7.71 6.94 6.59 6.39 5 6.51 5.79 5.41 5.19 1 4.96 4.1 3.71 3.48 0 2 4.35 3.49 3.1 2.87 0 3 4.17 3.32 2.92 2.69 0 4 4.08 3.23 2.84 2.61 0 6 4 3.15 2.76 2.53 0 Tabla 30. Grados de libertad.
Entonces en el numerador buscamos los grados de libertad del tratamiento (2 en este caso) con los grados de libertad del error (45 en este caso), como no se encuentra el valor directamente tenemos que interpolar entre el denominador de 40 y 60 obteniéndose el valor de 3.21. 9. Para tomar la decisión de la hipótesis nula o alternativa se debe considerar la siguiente condición:
Si F c es mayor a F t se rechaza hipótesis nula (Ho).
Por lo tanto debido a que Fc es mayor que Ft se rechaza Ho, y se acepta H A, o sea que las temperaturas del termopar no.1 son diferentes. 10. Repetir el mismo procedimiento para los siguientes 4 termopares. A continuación se presentan las Tablas ANOVA para cada termopar: Tabla ANOVA para el Termopar No.2 Fuente de Variación g.l SC CM Tratamientos 2 0.87875 0.439375 Errores 45 30.774375 0.683875 Totales 47 31.653125 Tabla 31. ANOVA 2. Tabla ANOVA para el Termopar No.3 Fuente de Variación g.l SC CM Tratamientos 2 0.47791667 0.23895833 Errores 45 0.366875 0.00815278 Totales 47 0.84479167 Tabla 32. ANOVA 3.
Fc Ft 0.64247852 3.21
Fc Ft 29.3100511 3.21
Tabla ANOVA para el Termopar No.4 Fuente de Variación g.l SC CM Fc Ft Tratamientos 2 0.75125 0.375625 0.50666941 3.21 Errores 45 33.36125 0.74136111 Totales 47 34.1125 Tabla 33. ANOVA 4.
Tabla ANOVA para el Termopar No.5 Fuente de Variación g.l SC CM Fc Tratamientos 2 0.33875 0.169375 14.908313 Errores 45 0.51125 0.01136111 Totales 47 0.85 Tabla 35. ANOVA 5.
Ft 3.21
Al hacer el tratamiento estadístico y obtener la tabla ANOVA, solo hay dos termopares que no exceden como limite la F t que son el 2 y 4, por lo tanto estos aceptan la Ho, donde los termopares son iguales, lo cual no existe diferencia en las temperaturas obtenidas. Se puede concluir que el termopar número 2 es el más confiable a utilizar, ya que el valor de F c es más próximo a 1. Análisis final para la selección del termopar patrón y ecuación de corrección de temperatura. Como análisis final se desglosan conforme los resultados finales de cada una de las pruebas y los posibles candidatos seleccionados previamente, para poder realizar la mejor selección posible conforme cada tratamiento y aplicación del mismo durante la experimentación. Como punto importante a destacar es que los resultados en los cuales nos basaremos en la selección es en la corrida número 2, ya que se obtuvieron los datos más adecuados, sin embargo las otras 2 corridas nos servirán como respaldo para las selecciones PRESICION Como se había señalado antes el termopar número cuatro se había seleccionado, ya que los resultados obtenidos eran más cercanos a cero, sin embargo para el termopar 4 los datos fueron mas cercanos al esperado de 92.8°C y no obtuvo más del 1% de Coef. Variación, por lo tanto es seleccionado el termopar número 1 y el 4 lo dejamos como posible candidato gracias a la media obtenida. EXACTITUD Nuevamente el termopar 1, 4 y 2 quedan postulados para su elección final, ya que aprobaron la hipótesis nula en la segunda corrida, no obstante en la primera prueba sus valores se asemejaban al esperado de 92.8 LINEALIDAD Se repite la misma situación el termopar 1 y 4 obtuvieron la mejor correlación lineal, pero en esta ocasión el numero 4 fue destacado en todas las corridas. No obstante los siguientes tratamientos nos ayudaran a dar la selección final, ya que estas pruebas se enfocan al uso de los termopares en días alternados. REPETIBILIDAD En esta parte los termopares seleccionados son el 2 y 4 ya que se acercaban más a uno, sin embargo el 2 predomina en esta prueba. REPRODUCIBILIDAD Para este tratamiento los termopares seleccionados nuevamente son el 2 y 4, ya que se acercaban mas a uno, sin embargo la diferencia en entre los dos es de una décima.
SELECCIÓN DE TERMOPAR PATRÓN. Se optó por seleccionar el termopar numero 4 ya que obtuvo los datos más adecuados en las tres primeras pruebas, y aunque, el termopar 2 también aprueba la hipótesis nula de precisión el más cercano a la media esperada de 92.8°C es el termopar4, por consiguiente se somete una vez más aplicar linealidad de los otros termopares con el termopar patrón que fue el 4. ANÁLISIS DE LINEALIDAD PARA CORRELACCIONAR LOS TERMOPARES AL PATRÓN. La correlación se realizara con respecto a la segunda corrida por los datos más adecuados obtenidos. Cada grafico muestra la regresión lineal que deberá aplicar como ecuación para cada termopar, como se muestra a continuación.
Corresponde a la temperatura corregida referida al termopar patrón = factor de proporcionalidad Temperatura n obtenida por otro termopar sin corregir B = ordenada al origen de cada relación obtenida.
Grafico de correlacion termopar 4 v.s.1 100 90 80 C ° 70 a r 60 u t a r 50 e p 40 m e 30 T 20 10 0
termopar 4 v.s.1 y = 0.9976x + 0.6419 R² = 0.9992 0
20
40 60 Temperatura °C
80
100
Gráfico 7. Correlación de termopares.
