3) Método del inverso a la distancia Se le asigna mayor peso a las muestras cercanas y menor peso a las muestras alejadas del bloque. Esto se consigue al ponderar las leyes por el inverso de la distancia al cuadrado 1/d2. Formula general:
Tener en cuenta:
Se adapta mejor en estimaciones locales que globales. Atribuye demasiado peso a las muestras cercanas al centro del bloque. En particular no esta definido si di = 0 (muestra en el centroide de S).
3.1) Valor del exponente alfa ( ):
Un exponente igual a dos produce una interpolación intermedia (solución de compromiso). Por esta razón, el método se conoce también como inverso de la distancia al cuadrado. Los exponentes más usados en la práctica son 2, 3 y 1 respectivamente.
3.2) ÁREA O VECINDAD DE BÚSQUEDA B ÚSQUEDA a. Área de búsqueda bidimensional (2D)
Vecindad circular Se emplea cuando la mineralización en el yacimiento y acimiento se considera ISOTROPICA (cuando ISOTROPICA (cuando la variabilidad de la ley y la potencia es la misma en todas las direcciones). El radio del círculo se argumenta sobre la base del conocimiento geológico del yacimiento. Una vez seleccionado el radio de búsqueda se calcula la distancia entre el centro del bloque que se desea estimar y cada una de las muestras vecinas. Todas aquellas muestras que se localizan a una distancia mayor que el radio se excluyen y no participan en la estimación del bloque. El procedimiento general se puede observar en la figura, como los 3 pozos caen dentro del círculo de búsqueda entonces todos son utilizados para estimar el valor de la ley del bloque. El peso asignado a la muestra más próxima aumenta con el incremento del valor de alfa ( ). En este caso concreto esto provoca una disminución d la ley pues la muestra más cercana es la de menor concentración.
Vecindad elíptica Si la mineralización es anisotrópica entonces se utiliza una vecindad de búsqueda elíptica. La elipse debe orientarse de tal forma que el eje mayor (a) coincida con la dirección de máxima continuidad y el eje menor (b) con la dirección de mayor variabilidad o mínima continuidad. En este caso el método del inverso a la distancia puede ser modificado para acomodar la anisotropía del fenómeno y asignar mayor peso a las muestras ubicadas en la dirección de máxima continuidad o en las cercanías de esta. Esta modificación permite acercar los resultados de este método de estimación a los obtenidos por KRIGING.
b. Área de búsqueda tridimensional (3D) Si la estimación de recursos se realiza en el espacio 3D entonces para la selección de las muestras se emplea un volumen de búsqueda tridimensional que puede ser: Esfera: si el yacimiento es ISOTROPICO. Paralelepípedo: si el yacimiento es ANISOTROPICO.
Restricciones:
No todas las muestras que caen dentro de ellas tienen necesariamente que ser empleadas en la interpolación. Generalmente se fija un número máximo y mínimo por volumen de búsqueda, si dentro del área existen más muestras que el máximo fijado entonces el algoritmo selecciona entre las más cercanas un número que coincide con el máximo definido, si la cantidad de muestras no sobrepasa el máximo requerido, entonces el bloque no se estima.
El volumen de búsqueda alrededor del bloque se puede dividir en sectores (1, 4 u 8) y posteriormente se procede a escoger de cada sector un número determinado de las muestras más cercanas al bloque. La búsqueda por cuadrante (4 sectores) u octante (8 sectores) permite reducir el sesgo provocada por la aglomeración de los pozos o muestras en ciertas áreas del yacimiento.
3.3) EJEMPLOS DE UN BUEN MUESTREO Y DE UN MAL MUESTREO
Mal muestreo (figura A) Si se establece un volumen de búsqueda (global) y un máximo de 8 muestras para estimar el bloque, entonces se seleccionan las 8 muestras m uestras pertenecientes al pozo F1 que es el más cercano al centro del bloque. Esto lógicamente no es lo ideal pues se está descartando la información brindada por el resto de los pozos.
Buen muestreo (figura B) Si la búsqueda se realiza por octantes en lugar de un solo sector y se establece un máximo de una muestra por sector entonces se logra seleccionar las muestras más cercanas de cada uno de los 4 pozos (2 muestras por pozo), lo cual garantiza una mejor representatividad espacial de la selección realizada.
Esta imagen muestra una situación hipotética donde se tienen 4 pozos de exploración con 8 muestras regularizadas cada uno.
3.4) CONSIDERACIONES DE ESTE MÉTODO:
Es una técnica de suavizado y no es aconsejable para yacimientos con limites muy definidos (paso de mineralizaciones a estériles neto), pues produce mayores tonelajes y menores leyes, pudiendo comprometer los estudios de viabilidad, por lo cual el método brinda mejores resultados en aquellos yacimientos en los que la ley varia de forma gradual (yacimientos de cobre porfiritico, yacimientos de calizas, etc.) La principal crítica que se le hace a esta técnica de interpolación espacial es que da los mismos resultados independientemente del tamaño del bloque que se desea estimar (Annels, 1991). Esto es debido a que realmente se estima el centro del bloque (estimador puntual). Para revertir este problema Yamamoto (1992) propone dividir los bloques en sub-bloques, estimar puntualmente cada uno de ellos por el método del inverso de la distancia y posteriormente combinar los estimados parciales para calcular el valor medio del bloque. Esto es un procedimiento muy similar al empleado por el kriging de bloque. Se debe destacar que todas las modificaciones introducidas al método para que pueda considerar la anisotropía de la mineralización, la posibilidad de emplear búsqueda por sectores lo cual permite desagrupar las muestras y la variante de estimar directamente la ley del bloque hacen que los resultados obtenidos por este método se aproximen mucho a los brindados por los métodos geoestadísticos. En resumen el método es muy potente y se utiliza ampliamente en la práctica de la estimación de recursos en sustitución de los métodos geoestadísticos cuando no es posible obtener modelos matemáticos que describan la variabilidad espacial de la mineralización en el yacimiento.
3.4) EJEMPLOS a) Para darnos cuenta que el valor de alfa debe ser igual a 2 (
= ):
Tenemos un yacimiento con tres bloques con 0.6 %, 2 % y 8 % de ley respectivamente, la muestra más cercana es la del bloque blo que con una ley de 0.6 % de 10 m de distancia hacia el centro y la más alejada es el bloque de 8 % de ley con una di stancia de 40 m.
Leyes y distancias respectivas. Ahora efectuamos el ejercicio tomando distintos valores para alfa:
Para
=
Para
=
Para
=.
Podemos observar que los valores aumentan o disminuyen según el valor de
.
Con ayuda de Excel, hacemos el cálculo reiterativo para distintos valores del parámetro alfa, donde se puede observar:
Cuando aumenta nuestra ley media va a disminuir (a un valor parecido a la muestra más cercana). Cuando disminuye nuestra ley media va a aumentar (y se altera el resultado.
Por eso lo óptimo es trabajar con el valor
= .
b) Dado los tres puntos de la figura, con sus correspondientes valores de la ley y la distancia del punto X, calcular el valor de la ley en X a través del método del inverso a la distancia distancia para valores de n = 1, 2 y 3.
Posición de los puntos para el ejemplo. Solución:
De acuerdo con la fórmula del inverso de la distancia: Para n = 2 se tendrá:
[ 2,4 2,4((251 ) + 3.7 (451) +2.8(281) ] 9.24 10− Ζ= = 3.37 10− =2.74% 1 1 1 [ (25) + (45) + (28) ] Para n = 1 se tendrá:
[ 2,4 2,4((251) + 3.7 (451) + 2.8 (281) ] 0.278 Ζ= = 0.098 = 2.84% 8 4% 1 1 1 [ (25) + (45) + (28) ] Para n = 3 se tendrá:
[ 2,4 2,4((251 ) + 3.7( 451 ) +2.8(281) ] 3.22 10− Ζ= = 1.21 10− = 2.67% 6 7% 1 1 1 [ (25) + (45) + (28) ]
En este ejercicio nos quedamos con el valor de n = 2, porque es un valor de interpolación interpolac ión de ley intermedio, además de ser un resultado mucho más acertado y sobre todo más cercano.
3.5) CONCLUSIONES
Este método sirve para realizar estimaciones locales y consiste en ponderar po nderar las muestras cercanas al punto a estimar por el inverso de la distancia elevado a alguna potencia. Este método no es aconsejable en yacimientos con límites de mineralización muy definidos y con caídas de leyes importantes, pues suele producir mayores tonelajes y menores leyes, lo que puede comprometer seriamente los estudios de viabilidad económica del proyecto minero. Debido al comportamiento exponencial que sufre la estimación a la variación del parámetro alfa, la estimación presenta un límite conforme se aumenta el valor de alfa. Mientras más se valore el parámetro alfa, es decir se le dé más importancia a la distancia, la estimación tendrá un límite, en nuestro caso (ejemplo 1) la ley estimada limite será de 0.6, debido a que esta muestra con dicha ley es la más cercana al centroide del bloque S. comprobamos lo que se mencionó al principio acerca de este método: atribuye demasiado peso a las muestras cercanas al centroide de gravedad.
