MÉTODO DE IGUALACIÓN DE LAS DEFORMACIONES. En este capítulo se estudian las deformaciones de un cuerpo en el entorno de un punto. Se supone que los desplazamientos y giros del sólido son pequeños y que las deformaciones son pequeñas. En la primera parte se evalúan deformaciones específicas longitudinales, angulares y volumétricas, y al relacionarlas con el campo de desplazamientos surge la necesidad de definir un tensor de deformaciones. En la segunda parte se investiga ese tensor; se demuestra que es un tensor de segundo orden; se encuentran sus valores y direcciones principales; y sus componentes esférica y desviadora. En la tercera parte se estudia la rotación de una fibra. Las estructuras sufren en general al estar sometidas a un estado de solicitaciones, un estado de deformaciones, como consecuencia de un estado de cargas. Así las distintas partes que conforman la estructura tendrán en general traslaciones y rotaciones que conformaran el estado de deformación de la estructura, dependiendo el mismo del tipo de estructura, sus características geométricas y elásticas y del estado de cargas. Veamos que sucede con un pórtico plano sometido a esfuerzos normales, de corte y momentos flectores a fin de plantear su resolución por el Métodode las Deformaciones. A cada estado de deformación corresponde un estado de solicitación, por lo cual a partir de aquellas podemos calcular estas últimas. Llamaremos ahora la atención sobre consideraciones que debemos tener en cuenta para la aplicación del método que desarrollaremos, en el cual estudiaremos que ocurre con una barra genérica que forma parte de la estructura, definiendo características y convenciones de signos a utilizar. Con referencia a estos últimos no existe unanimidad; en e curso trataremos de utilizar convenciones generales que luego adaptaremos a los distintos casos. Consideremos una barra ij de la estructura empotrada elásticamente en los dos nudos y analicémosla para distintos casos de cargas o acciones a los que pueda estar sometida, como ser las cargas exteriores que actúan sobre el tramo y las acciones (deformaciones o solicitaciones) que le transmitan los nudos. Al efecto de una mejor percepción del fenómeno pensemos que en el plano cada uno de los extremos tiene tres grados de libertad o posibilidad de desplazamiento: a) Una rotación w que produce momentos flectores y esfuerzos de corte. b) Un desplazamiento v que produce momentos flectores y esfuerzos de corte. c) Un desplazamiento u que produce esfuerzos normales Al igual que en el Método de las Fuerzas despreciamos la influencia del esfuerzo normal en el estado de deformaciones, y por lo tanto (cuando se plantea en forma manual el método) no tendremos en cuenta el punto c. Por ultimo explicitemos que al existir cargas en el tramo se producirán solicitaciones en la barra,independientemente de las que se produzcan por la acción de los nudos
i-j. Una de sus aplicaciones, es para el diseño de vigas(por ejemplo) que se someten a cierta temperatura, el metodo basicamente consiste en calcular la deformación térmica para la viga a temperatura ambiente, e igualar este valor para una viga sometida a un cambio de temperatura; lo que va a permitirte, calcular deformacion unitaria, modulo de elasticidad, etc. METODO DE COMPARACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DEFORMACIONES. Sea entonces un punto cualquiera A en el entorno del cual nos interesa evaluar las deformaciones que se han producido. Consideremos tres puntos B, C, y D suficientemente cercanos al punto A, que junto con él definan un hexaedro de caras ortogonales. Como caso particular podría ser un hexaedro elemental de caras paralelas a los planos cartesianos a partir de incrementos infinitesimales de las coordenadas dXT=(dX1, dX2, dX3) Por ahora nos mantendremos en la hipótesis de que las caras del hexaedro no coinciden con losplanos cartesianos. Metodología Para medir deformaciones en el entorno de un punto mediremos longitudes, ángulos y volúmenes antes y despues del movimiento. La comparación adecuada entre magnitudes originales y finales permite evaluar deformaciones. Conocido entonces el campo de desplazamientos, es decir conocidos la posición original y deformada de cada punto material P que conforman el cuerpo B interesa poder medir las deformaciones que ocurren en el entorno de un punto cualquiera. Básicamente las deformaciones que nos interesa conocer son: * Cambio de volumen *Cambio de la longitud de una fibra, originalmente en una dirección cualquiera ν * Cambio de ángulo entre dos fibras, originalmente en dos direcciones cualesquiera ν y μ (en particular nos interesarán dos fibras que originalmente sean ortogonales, es decir μ · ν =0). Las deformaciones son medidas locales, las cuales excluyen movimientos y rotaciones de cuerpo rígido. Para medir deformaciones debemos observar como cambian los desplazamientos localmente, modificando la forma y el tamaño. Veamos ahora como se transforma el hexaedro elemental cuando se produce el movimiento. Los puntos materiales A,B,C, y D se mueven a sus nuevas posiciones que denominaremos respectivamente a,b,c y d. Analicemos el comportamiento de una fibra cualquiera, por ejemplo la definida por los puntos A y B. Se ha demostrado que en cada punto de un sólido deformado es posible descomponer la deformación local de todas las fibras en una deformación sin rotación más una posterior rotación de cuerpo rígido. Nótese que en cada punto del
sólido hay tres direcciones ortogonales (fibras) que se deforman longitudinalmente pero que no cambian de ángulo entre si (las direcciones principales asociadas a las deformaciones principales). Esto permite pensar a la deformación en un punto como la deformación longitudinal de tres fibras ortogonales más una rotación de dicha terna. Las componentes wi son las componentes del vector rotación correspondiente, definido el vector rotación como el eje alrededor del cual se rota con módulo igual al ángulo que se rota. Se ha visto también que una fibra cualquiera dX = ν ds aldeformarse toma la forma dx = F Dx que cambia su longitud y rota en el espacio. Es posible demostrar que el gradiente de deformación puede descomponerse en una rotación de cuerpo rígido y una deformación sin rotación F = RU (teorema de descomposición polar), donde R es una matriz de rotación y representa la rotación (sin deformación) de cuerpo rígido de todas las fibras que pasan por el punto y U es una matriz simétrica que puede definirse a partir del estiramiento de tres fibras inicialmente ortogonales y que mantienen su dirección y ortogonalidad (los autovectores de U). MÉTODO DE RIGIDEZ. El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. En inglés se le denomina direct stiffness method (DSM, método directo de la rigidez), aunque también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computerizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El métododirecto de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre). El método directo de la rigidez se originó en el campo de la aeronáutica. Los investigadores consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avión mediante ecuaciones simples pero que requerían grandes tiempos de cálculo. Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron a resolver de forma rápida y sencilla. El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación: (1)
Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura; los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y el número de grados de libertad de la estructura. La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez mediante la relación: Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto: El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de laestructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo (articulación, nudo rígido,...), la forma de la barra (recta, curvada, ...) y las constantes elásticas del material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos. Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas). Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El número de reacciones incógnita y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen: * Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen desplazamientos incógnita. * Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema 2permite encontrar los valores de las reacciones incógnita. Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura. Un nudo donde se unen dos barras se llama rígido o empotrado si el ángulo formado por las dos barras después de la deformación no cambia respecto al ángulo que formaban antes de la deformación. Aún estando imposibilitado para cambiar el ángulo entre barras las dos barras en conjunto, pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ángulo que forman en su extremo. En la realidad las uniones rígidas
soldadas o atornilladas rígidamente se pueden tratar como nudos rígidos. Para barra unida rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su comportamiento viene dada por: Donde: son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de inercia). la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young). Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotrada recta puede escribirse más abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecánica característica: Donde: es la es esbeltez mecánica característica. Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido En estecaso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos hacia el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notación que en la sección anterior, viene dada por: Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habría que permutar los elmentos de la matriz anterior para obtener: Barra recta bidimensional con dos nudos articulados Puesto que una barra recta de nudos articulados sólo puede transmitir esfuerzos a lo largo de su eje, la correpondiente matriz de rigidez de esa barra sólo tiene componentes diferentes para los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notación que en la sección anterior, viene dada por: Ejemplo Ejemplo de carga sobre una viga, P es una carga puntual, y q representa una carga por unidad de longitud. Para las cargas mostradas en la figura adjunta sobre una barra o viga bidimensional el vector de fuerzas nodales consiste en dos fuerzas verticales (FVd, FVi) aplicadas en cada uno de los dos extremos, dos fuerzas horizontales (FHd, FHi) aplicadas en cada uno de los extremos y dos momentos de fuerza (Md, Mi) aplicados en cada uno de los extremos. Esas seis componentes forman el vector de fuerzas nodales. Es sencillo comprobar que la fuerza y el momento resultantes de estas seis componentes son estáticamente equivalentes al sistema de fuerzas original formado por P y q si se toman los siguientes valores: Una vez encontrada la matriz de rigidez global y el vector de fuerzas nodales global se construye un sistema de ecuaciones.
