RESUMEN El presente informe trata sobre el Mètodo de Cross, este método consiste en apro aproximacio ximaciones nes sucesi sucesivas vas,, que no signi signica ca que sea aprox aproxima imado do.. Quier Quiere e decir que el grado de precisión en el clculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista, este método est ideado para resolver problemas de estructuras reticulares. El clculo para este método es relativamente sencillo, sin que apare!can en su
desa desarrrollo ollo
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ni
sis sistema temass
de
ecua ec uaccione ioness
complicados. #ambién no es necesario tener todas las fórmulas de memoria $a que existen tablas de momentos, rigideces $ factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. El mé méto todo do perm permit ite e se segu guir ir paso paso a paso paso el proc proces eso o de dist distri ribu buci ción ón de mome moment ntos os en la es estr truc uctu tura ra,, dand dando o un se sent ntid ido o f%si f%sico co mu$ mu$ clar claro o a las las operaciones matemticas que se reali!an.
INTRODUCCION En el Método de &istribución de Momentos cada articulación de la estructura que se va a anali!ar, es "ada a n de desarrollar los Momentos en los Extremos "os. &espués cada articulación "a es secuencialmente liberada $ el momento en el extremo "o 'el cual al momento de ser liberado no est en equilibrio( son distribuidos a miembros ad$acentes )asta que el equilibrio es alcan!ado. El método de distribución de momentos desde el punto de vista matemtico puede ser demostrado como el proceso de resolver una serio de sistemas de ecuaciones por iteraciones.
OBEJTIVOS *+E#-* /E0E1E234 •
Entender el método de Cross, de tal manera que nos permita determinar el valor de los momentos en los nudos o apo$os de los elementos )iperestticos
*+E#-*5 E56EC78-C*4 •
MARCO TEORICO Antecedentes:
El anlisis estructural necesario para las grandes construcciones de estructuras de )ormigón armado en 9:;< era una tarea formidable. Esto es un atributo a la profesión de ingenier%a, $ para =ard$ Cross, que aqu% existen tan pocos fallos. Cuando los ingenieros tienen que calcular los esfuer!os $ de>exiones en un marco estticamente indeterminado, ellos inevitablemente vuelven a lo que fue conocido como ?&istribución de Momentos? o ?Método de =ard$ Cross?. En el método de distribución de momentos, los momentos en los extremos "os de los marcos son gradualmente distribuidos a los miembros ad$acentes en un n@mero de pasos tales que el sistema eventualmente alcan!a su conguración de equilibrio natural. 5in embargo, el método era todav%a una aproximación pero pod%a ser resuelto a ser mu$ cercano a la solución real.
Método de Cross:
Es
un
método
de anlisis
estructural para
vigas
estticamente $
marcosApórticos planos. En el método de Cross, para anali!ar cada articulación o nodo de la estructura, se considera "a en una primera fase a n de desarrollar los Momentos en los Extremos 8i"os. &espués cada articulación "a se considera liberada secuencialmente $ el momento en el extremo "o 'el cual al momento de ser liberado no est en equilibrio( se ?distribu$en? a miembros ad$acentes )asta que el equilibrio es alcan!ado. El método de Cross en términos matemticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteración. El método de redistribución de momentos o método de Cross cae dentro de la categor%a de los métodos de despla!amiento del anlisis estructural. Implementacin
En disposición de aplicar el método de Cross para anali!ar una estructura, debemos tener en cuenta lo siguiente.
Momentos de empotramiento en e!tremos "#os
Momentos de empotramiento en extremos "os son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las "untas estn "as. Ri$ide% a la &le!in
3a rigide! a la >exión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un l%mite de esfuer!os de >exión sin deformarse. 3a rigide! >exional 'E-A3( de un miembro es representada como el producto del módulo de elasticidad 'E( $ el segundo momento de rea, también conocido como Momento de -nercia '-( dividido por la longitud '3( del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la 1a!ón aritmética de rigide! de >exión de todos los miembros.
Coe"cientes de distri'(cin
3os coecientes de distribución pueden ser denidos como las proporciones de los momentos no equilibrados que se distribu$en a cada uno de los miembros. Bn momento no equilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembro concurrente en presenta cada uno de estos miembros.
Coe"cientes de transmisin
3os momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se permite el giro en el apo$o. 3a ra!ón de momento acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo "o del extremo inicial es el coeciente de transmisión. alores t%picos4 •
<,; para nodos sin empotramiento
< para nodos empotrados
•
Con)encin de si$nos
Bn momento actuando en sentido )orario es considerado positivo. Esto diere de la convención de signos usual en ingenier%a, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el e"e positivo a la derec)a $ el e"e positivo D )acia arriba, resultando en momentos positivos sobre el e"e siendo anti )orarios.
Estr(ct(ras de marcos
Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser anali!adas utili!ando el método de distribución de momentos. E#emplo
3a viga estticamente indeterminada mostrada en la gura ser anali!ada.
3a viga estticamente indeterminada mostrada en la gura ser anali!ada. •
Miembros 2+, +C, C& tienen la misma longitud
•
3as rigideces a 8lexión son E-, FE-, E- respectivamente.
•
Cargas distancia
•
concentradas
de
magnitud
act@an
desde el soporte 2.
Carga uniforme de intensidad
act@a en +C.
a
una
•
Miembro C& est cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud
.
En los siguientes clculos, los momentos anti )orarios son positivos.
*+,Momentos en E!tremos &i#os
-+,Coe"cientes de Reparto
3os coecientes de reparto de las "untas 2 $ & son
.+,Coe"cientes de transmisin
3os coecientes de transmisión son <.; 'porque la sección es constante(, excepto para el factor de acarreo desde & 'soporte "o( a C el cual es cero. /+,Distri'(cin de Momentos
0@meros en gris son momentos balanceadosG >ec)as 'H A I( representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro
2rticulac 2 ión
2rticulació + n
2rticula C ción
2rticulac & ión
Coecie ntes de 0 reparto
*
0+-1-1
0+1-1 .
0+2221 0+....
0
Moment os en Extremo s 8i"os
*/+100
,2+.00
3+...
,3+... *-+400
,*-+400
6aso 9
J9K.L<< H JL.;< .NOL H
9.:K
JF.<K I
JK.
9.KL: H
<.L:
J<.FKO I
J<.K:
6aso F
9.K;<
6aso 6aso K 6aso ;
<.;;;
JF.<K H J9.<9L J<.FKO H J<.9F
0
6aso O
<.
6aso L 6aso N
<.<
6aso : 6aso 9< S(ma de Momen tos
0
<.9L: H
<.<:<
J<.<< I
J<.
<.
<.<99
J<.<
J<.<
<.<<9
<.<<
,**+425
**+42 5
J<.<< H J<.<9; J<.<
,*0+*32*0+*32
,*.+241
4+,Res(ltados
Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de momentos4
3a convención de signos usual en ingenier%a es usada aqu%, i.e. 3os momentos positivos causan elongación en la parte inferior de un elemento de viga. 6ara propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados, usando un método matricial. 0ota que en el anlisis superior, el proceso iterativo fue llevado a P<.<9 de precisión. El )ec)o de que el resultado de anlisis de matri! $ el resultado de anlisis de distribución de momentos iguale a <.<<9 de precisión es mera coincidencia. Momentos en articulaciones determinados por el método matricial4
3os diagramas completos de cortante $ momento >ector son como sigue. 0ota que el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las "untas. &esarrollando diagramas de momentos >ectores completos requiere de clculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones $ el equilibrio interno de la sección.
C*0C3B5-*0E5
•
5e llegó a entender el método de Cross, para el clculo de momentos en estructuras )iperestticas.
•
&EC
&iagrama de esfuer!os cortantes.
&M8
&iagrama de momentos >ectores.
1EC*ME0&2C-*0E5
BIB6IO7RA&IA
R.C. HIBBELER,ANALISIS ESTRUCTRURAL, 8Va edición,2012 José L. CABA, !"ancisco CHAC#N, A$UNTES %E ANALISIS
ESTRUCTURAL I,1&82 '(()*++es.i-i)edia.o"+i-i+/C/A&(ododedis("i3ci /C/Bnde4o4en(os5Riide6a7a!7ei.C.Bn
