Ing. R. R. Coello Albores Albores.
Analisis Analisis Estructural.Estructural.-
3.2.- método de distribución de momentos de Cross:
Es el método de la distribució distribución n de momentos momentos para para el análisis análisis de desplazam desplazamiento ientoss , eficaz eficaz en la solución solución de estructur estructuras as altamente hiperestáticas, desarrollado desarrollado por Hardy Cross (Univ. Illinois 1932); tiene dos características que la hacen importantes: 1.- Es un método numérico de aproximaciones sucesivas, que evita resolver sistemas de ecuaciones simultáneas de grados elevados. 2.- Permite su comprensión del funcionamiento de la estructura, la forma en que las cargas aplicadas producen momentos flexionantes y fuerzas cortantes en sus partes, asi como entender el concepto de equilibrio en cada nudo de la estructura y en la estruct5ura en su conjunto. Conceptos importantes:
Rigidez angular : se define como el momento que hay que aplicar para producir una rotación u nitaria.
Factor de transporte : se define define como la relación relación entre el momento momento que se desarrolla desarrolla en el extremo extremo de un miembro miembro cuando se le aplica un momento en el otro extremo y el valor del momento aplicado.
Momento Momento transportado transportado: se le denom denomina ina al mome momento nto que se desar desarro rolla lla en un extrem extremo o como como conse consecue cuenci nciaa de la aplicación de un momento en el otro extremo.
Rigidez lineal : se define como el valor de los momentos que se desarrollan en los extremos de un miembro cuando se impone un desplazamiento lineal unitario entre dichos extremos.
Convención de signos:
manecillas del reloj y que actúan sobre el miembro se consideran positivos y los a).- los momentos que siguen el sentido de las manecillas momentos en sentido contrario a a las manecillas del reloj son negativos.
MOMENTOS DE EXTREMO DEBIDOS AL GIRO :
Caso i: viga articulada-empotrada:
MAB/EI
V=ө
MBA/EI
A
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Analisis Estructural.-
Se le aplica un momento MAB en A, la viga gira un ángulo θ a, y se desarrolla otro momento llamado momento trasladado MBA en el extremo fijo lejano B, para evitar que gire (θ B=0) por ser empotre; Utilizando el método de la viga conjugada: ∆A = ΣMA=0 ; өA = VA haciendo operaciones obtenemos de las ecuaciones (1 y (2):
M AB =
4 EI θ A
.......... .....(1)
L
M BA =
si establecemos la relación entre ambos transporte=1/2 M BA =
∴
Si hacemos M AB =
θA
=1
4 EI L
1 M AB 2
2 EI θ A L
.......... .....( 2) momentos,
obtenemos
el
: factor de
.......... .....( 3)
obtenemos la rigidez angular:
= K
(rigidez angular )
.......... (4)
como el módulo de elasticidad es el mismo en una estructura (E= constante) , resulta simplificado trabajar con la rigidez angular relativa K del miembro, dividiendo la rigidez angular entre 4E.
K =
K 4 E
=
I L
(rigidez angular relativa ) ...............( 5 )
Caso: Viga articulada-articulada
MAB/EI
VA=ө
A
VB= θB
Se le aplica un momento MAB en A, la viga gira un ángulo θ a en A y en el extremo articulado lejano B se desarrolla un ángulo θ B, y el momento trasladado MBA= 0 por ser articulado. Se trata de encontrar θA, θB y MAB. Utilizando el método de la viga conjugada: ∆A = ΣMA=0 ; өA = VA θB = VB haciendo operaciones obtenemos de las ecuaciones (6) y (7):
M AB =
3 EI θ A L
.......... .....( 6)
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Ing. R. Coello Albores.
Analisis Estructural.-
MBA= 0 ………..………(7)
si establecemos la relación entre ambos momentos, obtenemos el : factor de transporte= 0 Si hacemos M AB =
θA
=1
3 EI
obtenemos la rigidez angular:
= K
L
(rigidez angular )
.......... (8)
como el módulo de elasticidad es el mismo en una estructura (E= constante) , resulta simplificado trabajar con la rigidez angular relativa K del miembro, dividiendo la rigidez angular entre 4E.
K =
3 I = 4 E 4 L K
(rigidez angular relativa ) ...............(9)
Resumiendo: La relación entre el momento aplicado M en un extremo y la rotación θ del extremo correspondiente de un miembro: (4EI/L) θ Si el extremo lejano del miembro está fijo. M (3EI/L) θ Si el extremo lejano del miembro está articulado La rigidez a la flexión de un miembro se expresa como: (4EI/L) Si el extremo lejano del miembro está fijo. K’ (3EI/L) Si el extremo lejano del miembro está articulado La rigidez relativa a la flexión se expresa como: (I/L) Si el extremo lejano del miembro está fijo K (3I/4L) Si el extremo lejano del miembro está articulado El momento de traslado (M/2) Si el extremo lejano del miembro está fijo MBA 0 Si el extremo lejano del miembro está articulado El factor de traslación ½ Si el extremo lejano del miembro está fijo FT 0 Si el extremo lejano del miembro está articulado
factores de distribución (FD):
Cuando se aplica un momento a un nodo rígido en una estructura, surge una cuestión importante; ¿Como distribuir este momento entre los diversos miembros conectados a ese nodo?
definición de nodo rígido: “ Si un momento aplicado M ocasiona que el nudo gire un ángulo θ , entonces los elementos concurrentes girarán el mismo ángulo ”
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Ing. R. Coello Albores.
Analisis Estructural.-
Consideremos el nodo rígido A de una estructura donde concurren cuatro elementos, si aplicamos un momento M (momento desequilibrado) al nodo A, derivado del sistema de cargas, de la ecuación de la estática resulta: M = M ab + M ac + M ad + M ae
. .......... .....(10)
Los miembros conectados al nodo contribuirán cada uno con una porción del momento resistente necesario para establecer el equilibrio por momento en el nodo; a esta fracción resistente total de momento suministrada por el miembro de llama Factor de Distribución. (FD) ΣMa = 0 ; M + Mab + Mac + Mad + Mae = 0 ……………..(11) M = - (Mab + Mac + Mad + Mae )
…………….(12)
“los momentos reales inducidos por el giro tienen siempre sentido opuesto al momento de desequilibrio” haciendo DCL del nodo A, según se muestra en la siguiente figura, los momentos extremos que se originan en los elementos por concepto de giro, de acuerdo a lo anotado anteriormente, y en términos de su rigidez y factor de transporte, están dados por: 4 EI ab
M ab =
Lab
2 EI ab
M ba =
L ab
4 EI ac
M ac =
Lac
2 EI ac
M ca =
Lac
M ad =
M da =
M ae =
M ea =
4 EI ad L ad
2 EI ad Lad
4 EI ae Lae
2 EI ae Lae
θ a = k abθ a
θ a =
1 2
k abθ a
θ a = k acθ a
θ a =
1 2
k acθ a
.......... (13)
θ a = k ad θ a
θ a =
1 2
k ad θ a
θ a = k aeθ a
θ a =
1 2
k aeθ a
Si la rigidez relativa del i-ésimo miembro es: Ki, el momento aportado por el miembro es: Mi= Ki.θ …..(14), sustituyendo la ecuación (14) en la (12): M= - ( K ab.θ a + K ac.θ a + K ad.θ a + K ae.θ a )= - (θ a.Σ K i)
……………(15)
.donde Σki representa la suma de las rigideces a la flexión de todos los miembros conectados al nodo etudiado. Por otra parte, la rigidez a la rotación de un nodo se define como: “ el momento requerido para causar una rotación unitaria en el nodo” de la ec. (15) vemos que la rigidez a la rotación de un nodo es igual a la suma de las rigideces a la flexión de todos los miembros que están conectados al nodo. El signo negativo que aparece en la ecuación es debido a la convención de signos que se ha adoptado. Tomando la ec. (15) obtenemos:
θ = −
M
.....(16)
Σ Ki
Sustituyendo la ec. (16) en la (13), se tienen:
M ab =
M ba =
4 EI ab L ab
2 EI ba Lba
θ a = k ab .(−
θ a =
1 2
k ab
M Σ Ki
(−
) = −(
M Σ Ki
Kab Σ Ki
)=−
1 2
(
). M k ab Σ K i
….(17) ). M
. . .etc...etc...
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Ing. R. Coello Albores.
Analisis Estructural. Mi
De la ec. (17) formulamos la razón:
M
=
Ki Σki
= FDi
, al que se le denomina factor de distribución del i-ésimo miembro;
el factor de distribución para un miembro es igual al factor de rigidez relativo del miembro, dividido entre la suma de las rigideces relativas de los miembros que concurren en el nodo.
FDi =
Ki Σki
...............(18)
De la ecuación (18) se deduce que la suma de los factores de distribución en cualquier nodo tiene que ser igual a la unidad. Casos de análisis : a).- estructuras fijas de un solo nudo. b)- estructura fija con cualquier número de nodos.. c).- Estructuras con desplazamientos lineales.
Analisis de vigas contínuas:
Procedimiento: a).- calcule FD para cada miembro que esté rigidamente conectado al nodo. b).- Calcule los momentos en extremos fijos debido a las cargas externas aplicando las expresiones para esos momentos de las tablas obtenidas en los libros. c).- Equilibre los momentos en todos los nodos que tengan libertad de girar mediante la aplicación del proceso de distribución de momentos como sigue: c.1.- evalue el momento no equilibrado en cada nodo, y distribuya este momento a los miembros conectados al nodo. el momento distribuido en cada uno de los miembros conectados al nodo se obtiene multiplicando el negativo del momento no equilibrado por el factor de distribución para el extremo del miembro. c.2.- traslade la mitad de cada m omento distribuido hacia el extremo opuesto del miembro c.3.- repita C1 y C2 hasta que los todos los nodos libres queden equilibrado, o bien, los momentos no equilibrado en estos nodos sean suficientemente pequeños como para despreciarse. d).- Determine los momentos finales en los extremos del miembro sumando algebraicamente el momento en extremo fijo y todos los momentos distribuidos y trasladados en el extremo de cada miembro. Si el proceso ha sido correcto, entonces los momentos finales en todos los nodos deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio de momentos. e).- Calcule los cortantes en los extremos de los miembros considerando el equilibrio de los miembros de la estructura.. f).- Determine las reacciones en los apoyos considerando el equilibrio de los nodos de la estructura. g).- Trace los diagramas de la cortante y del momento flexionante mediante la aplicación de la convención de los signos de la viga. Nota 1.- para casos de vigas con apoyos simples en los extremos, el análisis se puede simplificar si se utiliza las rigideces relativas reducidas a la flexión , k = 3I/4L, para los claros adyacentes a los apoyos simples en los extremos. Cuando se aplican estas rigideces reducidas, los nodos en los apoyos simples de los extremos se equilibran una sola vez durante el proceso de distribución de momentos, después de lo cual se dejan sin sujetar, de modo que ningún momento se pueda trasladar hacia ellos a medida que se equilibran los nodos interiores de la estructura. Nota 2.- para casos de vigas con partes salientes en voladizo; en virtud de que el voladizo, no contribuye a la rigidez de la rotación del nodo en su extremo lejano, el factor de distribución para su extremo es cero (FD=0), en consecuencia el nodo extremo lejano al voladizo se puede tratar en el análisis como un apoyo simple; sin embargo el momento en el extremo de la parte en voladizo en realidad influye sobre el momento no equilibrado en su extremo lejano y debe incluirse en el análisis junto con los demás momentos en extremo fijo. La parte en voladizo es estaticamente determinada, por lo tanto el momento en su extremo se puede evaluar con facilidad aplicando la ecuación de equilibrio de momentos.
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Analisis Estructural.-
Ing. R. Coello Albores.
a).- estructuras fijas de un solo nudo :
procedimiento de cálculo: 1.- se calculan los momentos de empotramiento perfecto derivados del sistema de cargas, tratando a los elementos como vigas doblemente empotradas. 2.- deducir el momento de desequilibrio, sumando los momentos de empotramiento concurrentes en el nodo. 3.- calcular las rigideces relativas angulares en cada elemento. 4.- a partir de las rigideces angulares, se calculan los factores de distribución. 5.- calcular los momentos distribuidos y transmitidos. 6.- los momentos finales, resultan de sumar algebraicamente los momentos de empotramiento y los momentos distribuidos y transmitidos. 7.- las fuerzas cortantes en los extremos, las fuerzas axiales en los miembros y las reacciones en los apoyos se determinan a través de consideraciones de equilibrio a los cuerpos libres de cada miembro Ejemplo numérico:
6
