Método de Brent En el análisis numérico, el método de Brent es un algoritmo propuesto Theodorus Dekker, sin embargo, Richard Brent propuso una modificación al algoritmo de Dekker ya que este en ciertas circunstancias convergía lentamente, este es un algoritmo de búsqueda de raíces que combina el método de bisección, el método de la secante y el de interpolación cuadrática inversa. Puede ser tan confiable utilizando el método de l a bisección o tan rápido como los otros métodos menos confiables. El algoritmo intenta utilizar el algoritmo intenta utilizar el método secante de convergencia potencialmente rápida o la interpolación cuadrática inversa.
= 0
Supongamos que queremos resolver una función al igual que con el método de la bisección necesitamos analizar el método de Dekker con dos puntos [a, b], de modo que y tengan signos opuestos. Si es continua en [a, b], el teorema de valor intermedio garantiza la existencia de una solución en [a, b]
= =
El método de Dekker expone que Tres puntos están involucrados en cada iteración bk es la iteración actual es decir la conjetura actual para la raíz ak es el punto de contratación es decir un punto tal que
|=|
|=|
= ∗=
tienen signos opuestos, por lo que el intervalo [ak, bk] contienen la solución. Además, debe ser menor o igual a de modo de que b k es una mejor suposición para la solución desconocida bk-1 es la iteración previa para la primera iteración, establecemos que bk-1=a se calculan dos calores provisionales para la siguiente iteración. El primero se da por interpolación lineal también conocido como el método de la secante
− ) ∗ = , (== −
≠ −
El segundo está dado por el método de la bisección
= +2
si el resultando del método de la secante (s), se encuentra estrictamente ente bk y m, entonces se convierte en la siguiente iteración (bk+1=s), de lo contrario se usa el punto medio (bb+1=m) entonces el valor nuevo del contra punto se elige de manera que F(ak+1) y Fbk+1) tengan signos opuestos. Si F(ak) y F(bk+1) tiene signos opuestos, entonces el contra
punto permanece igual ak+1=ak. Por otra parte, si F(bk+1) y F(bk) tiene signos opuestos el nuevo contrapunto se convierte en ak+1=bk
El método funciona bien si la función se comporta razonablemente bien. Sin embargo, hay circunstancia que las iteraciones convergen lentamente por lo que se requieren muchas iteraciones. Para dar solución Brent propuso una modificación inserta una prueba adicional que debe cumplirse antes de que se acepte el resultado del método de la secante como la siguiente iteración. Dos desigualdades deben ser satisfechas simultáneamente dada una tolerancia numérica si el paso anterior uso bisección la desigualdad seria :
,
|δ| < | −|
Debe sostenerse para realizar la interpolación, de lo contrario se realizará el método de bisección y se usa el resultado para la siguiente iteración, siendo así la desigualdad es :
|δ| < |− −|
Se usa es su lugar para realizar la siguiente acción para elegir interpolación cuando la desigualdad es verdadera o bisección cuando la desigualdad es falsa, además si el paso anterior utilizo bisección, la desigualdad da
|δ| < 12 | −|
Debe mantenerse, de lo contrario se realiza el método de bisección y su resultado se usa para la siguiente iteración. Si el paso anterior realizo la interpolación, entonces la desigualdad
|δ| < 12 |− −|
