ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL AMBIENTAL
MAESTRÍA EN ESTRUCTURAS
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
TEMA: RESPUESTA EN EL TIEMPO UTILIZANDO EL MÉTODO β DE NEWMARK POR EL PROCEDIMIENTO DIRECTO E ITERATIVO
ALUMNO: ING. ÁNGEL ABEL ZAMBRANO MEJÍA
CATEDRÁTICO: ING. ROBERTO ARELLANO, M.SC.
22-FEBRERO-2012
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
EJEMPLO DE APLICACIÓN Calcular la respuesta en el tiempo de un sistema de las características indicadas, sujeto al sismo de Port Hueneme del 18 de marzo de 1957 componente E-W escalado con un factor de 3.6301 cuyo acelerograma digitizado se adjunta. Utilizar el Método β de Newmark con β=1/6, con el procedimie nto directo y el procedimiento iterativo. La rigidez del resorte es de 40T/cm 2, el factor de amortiguamiento viscoso es
0.10 y
el período natural sin amortiguamiento es T 0
Acelerograma digitizado t [seg]
ag [cm/seg2]
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55
0.000 93.762 203.587 248.413 90.127 -42.690 -199.218 -323.730 -195.661 -92.204 -85.379 -96.052 -53.362 17.787 28.460 167.129 92.494 -7.115 35.575 81.822 35.575 28.460 48.460 7.115 -17.787 -10.672 14.230 -3.557 -14.230 0.000 -14.230 0.000
2
1.5 s .
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
MÉTODO β DE NEWMARK
Procedimiento iterativo Para calcular la respuesta en el tiempo de la aceleración, velocidad y
desplazamiento en el método β de Newmark por el procedimiento iterativo se aplican las siguientes expresiones: 2
xn 1 s (t n 1 ) 2 0 xn 1 0 xn 1
xn 1 xn
xn 1
t n 2
x
n
xn 1
(1)
(2)
1 x x t x x 2 n
n
1
n
n
n
1
t
2
(3)
n
Procedimiento directo En el procedimiento directo cambia la fórmula para encontrar la aceleración, la misma que se obtiene de manera definitiva sin necesidad de iterar. Las fórmulas empleadas en este procedimiento son las siguientes: xn 1
1 (1 0 t 02 t 2 ) 1 s(t 1 ) 02 x ( 02 t 2 0 ) x 02 t 2 0 t 2 n
n
n
n
xn 1 xn
xn 1
n
t n 2
x
n
n
xn 1
n
n
1
n
n
n
1
t
2
n
MÉTODO β DE NEWMARK – PROCEDIMIENTO DIRECTO Se recuerda que los datos del problema son: k
T 0
40T / cm
2
1/ 6 0.10
1.5 s
Se calcula la frecuencia natural del sistema sin amortiguamiento:
0
2
T 0
2
1.5 s
3
4.1888rad / s
x n
(2)
1 x x t x x 2 n
n
(3)
(4)
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
Se determina el tamaño de
Δt para asegurar la estabilidad y convergencia, y para
considerar todos los puntos del acelerograma de este ejemplo se definió un
Δt=0.05s. t
0.05
T 0
10
1.5 10
O.K.
Con estos datos ya se puede empezar a calcular la respuesta en cada instante de tiempo empleando las fórmulas (4), (2) y ( 3). Por ejemplo en el instante t=0, se conoce que ẍ = ẋ = x = 0. Ahora para t=0.05s se desea calcular
ẍn+1, ẋn+1,
ẍn, ẋn,
xn+1, pero se necesita como datos
xn, que son los
valores de la respuesta en el instante anterior es decir cuando t=0. De la misma manera para calcular
ẍn+1, ẋn+1,
xn+1 en t=0.10s se requiere los resultados de la
respuesta en t=0.05s. Este proceso se repite hasta el final.
Tabla 1 Respuesta para los primeros 3 instantes de tiempo. t
Δt
s g
ẍ
ẋ
x
Fk
[s]
[s]
[cm/s2]
[cm/s2]
[cm/s]
[cm]
[T]
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0500
0.0500
93.7620
-91.1856
-2.2796
-0.0380
-1.5198
0.1000
0.0500
203.5870
-190.3882
-9.3190
-0.3073
-12.2917
Se nota que el valor de s g se lo obtiene directamente de la tabla del acelerograma
digitizado ya que Δt=0.05s. El valor de F k es igual a k*x.
INSTANTE DONDE LA VELOCIDAD ES NULA Cuando existe un cambio de signo en la respuesta de la velocidad entre 2 intervalos de tiempo, significa que hay un instante en que la velocidad es cero. En la tabla 2 se muestra como la velocidad cambia de signo entre 2 instantes.
Tabla 2 Cambio de signo de la velocidad. ẍ (cm/s2)
t (s)
Δt (s)
s g (cm/s2)
1
0.30
0.05
-199.218
286.913158
-13.014123
-4.37664605
2
0.35
0.05
-323.73
401.299563
4.19119472
-4.62104977
4
ẋ (cm/s)
x (cm)
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
ẋn+1=0 y se despeja Δt n para
De la ecuación (2) se reemplaza en que la velocidad es cero.
0 x n
t n
t n
x
n
2
xn 1
encontrar el instante
2 x n
(5)
xn xn 1
Como la fórmula (5) está en función de
ẍn+1,
se requiere un valor tentativo del
ẍn+1.
instante en que la velocidad sea cero para encontrar
Haciendo una interpolación lineal entre las velocidades -13.01412cm/s y 4.19119 cm/s se halla un tiempo de 0.33782s para que exista una velocidad cero. Con este valor tentativo del tiempo se calcula la aceleración, la velocidad y el desplazamiento en ese instante. Pero como ẍn+1 depende de la aceleración del suelo s g es
necesario que este valor esté en función de Δt. P or eso se plantea la
ecuación (6) para calcular s g y se muestra la figura 1 para un mejor entendimiento.
.
x
x2
.
x=0
t1
t2
t
O
.
x1
..g s
t1
tn
t2
t
O
..
sg1
..sg
..
sg2
Figura 1 Aceleración s g cuando la velocidad es nula. y mx b
s g
s s g t n s g g t t 2
1
1
2
1
5
(6)
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
Debido a que con el primer valor de Δt la velocidad no se hace cero se repite el proceso recalculando s , ẍn+1, ẋn+1, xn+1 y Δt hasta que la velocidad sea nula. g
Tabla 3 Cálculo del tiempo donde la velocidad es nula. t (s)
Δt (s)
s g (cm/s
ẍ (cm/s2)
2
)
ẋ (cm/s)
x (cm)
0.3378201
0.0378201
-293.3990
375.26998
-0.49222
-4.64258
0.3393067
0.0393067
-297.1012
378.51295
0.06374
-4.64296
0.3391152
0.0391152
-296.6241
378.09610
-0.00815
-4.64296
0.3391397
0.0391397
-296.6852
378.14947
0.00104
-4.64296
0.3391365
0.0391365
-296.6774
378.14263
-0.00013
-4.64296
0.3391369
0.0391369
-296.6784
378.14351
0.00002
-4.64296
Se nota que en el tiempo t=0.3391369s la velocidad es nula o aproximadamente nula y existe un desplazamiento máximo de respuesta de │4.64296 │cm. En este problema existen 2 instantes adicionales donde la velocidad cambia de signo, es decir hay velocidad nula y por ende desplazamientos máximos.
Segundo instante de velocidad nula t (s)
Δt (s)
s g (cm/s2)
ẍ (cm/s2)
ẋ (cm/s)
x (cm)
1
0.8000
0.0500
92.4940
-227.36646
2.53475
7.56578
2
0.8500
0.0500
-7.115
-118.54530
-6.11304
7.45365
En esta tabla se aprecia que entre el tiempo 0.8s y 0.85s existe velocidad nula. Por interpolación entre ambas velocidades se tiene velocidad cero en el tiempo: t = 0.8147s Δt inicial
= 0.0147s
Sin embargo este tiempo es tentativo, el tiempo exacto se lo determina recalculando los valores de ẍn+1, ẋn+1, xn+1 y Δt hasta que la velocidad sea nula. t (s)
Δt (s)
ẍ (cm/s2)
s g (cm/s2)
ẋ (cm/s)
x (cm)
0.8146555
0.0146555
63.2976 -195.81544
-0.56622
7.57964
0.8119795
0.0119795
68.6287 -201.60594
-0.03468
7.58045
0.8118178
0.0118178
68.9508 -201.95546
-0.00207
7.58045
0.8118082
0.0118082
68.9700 -201.97626
-0.00012
7.58045
0.8118076
0.0118076
68.9712 -201.97749
-0.00001
7.58045
0.8118076
0.0118076
68.9712
-201.97757
-4.34E-07
7.58045
En el tiempo t=0.8118076s la velocidad es nula y existe un des plazamiento máximo
de │7.58045│cm. 6
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
Tercer instante de velocidad nula t (s)
Δt (s)
1
1.4500
0.0500
2
1.5
0.05
ẍ (cm/s2)
ẋ (cm/s)
x (cm)
0.0000
125.98509
-6.13346
-6.88744
-14.23
137.23761
0.44711
-7.03194
s g (cm/s
2
)
Por interpolación entre ambas velocidades se tiene velocidad cero en el tiempo: t = 1.4966s = 0.0466s
Δt inicial
Recalculando los valores de tiene: t (s)
Δt (s)
ẍn+1, ẋn+1, xn+1 y Δt hasta que la velocidad sea nula se s g (cm/s
ẍ (cm/s2)
2
)
ẋ (cm/s)
x (cm)
1.4966028
0.0466028
-13.2632
136.66801
-0.01327
-7.03260
1.4967039
0.0467039
-13.2919
136.68536
0.00041
-7.03260
1.4967008
0.0467008
-13.2910
136.68483
-0.00001
-7.03260
1.4967009
0.0467009
-13.2911
136.68484
3.77E-07
-7.03260
En el tiempo t=1.4967009s la velocidad es nula y existe un desplazamiento máximo
de │7.03260│cm. RESULTADOS DEL PROCEDIMIENTO DIRECTO Los resultados de la respuesta en el tiempo utilizando el procedimiento directo del
Método β de Newmark son los siguientes: t [s]
Δt [s]
0.0000
s g
[cm/s2]
ẍ [cm/s2]
ẋ [cm/s]
x [cm]
Fk [T]
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0500
0.0500
93.7620
-91.1856
-2.2796
-0.0380
-1.5198
0.1000
0.0500
203.5870
-190.3882
-9.3190
-0.3073
-12.2917
0.1500
0.0500
248.4130
-214.2148
-19.4341
-1.0212
-40.8462
0.2000
0.0500
90.1270
-30.4017
-25.5495
-2.1840
-87.3615
0.2500
0.0500
-42.6900
122.4512
-23.2482
-3.4358
-137.4330
0.3000
0.0500
-199.2180
286.9132
-13.0141
-4.3766
-175.0658
0.3391369
0.0391369
-296.6782
378.1434
0.0000
-4.6430
-185.7183
0.3500
0.0109
-323.7300
401.2492
4.2333
-4.6202
-184.8076
0.4000
0.0500
-195.6610
248.1833
20.4691
-3.9707
-158.8296
0.4500
0.0500
-92.2040
114.7011
29.5412
-2.6927
-107.7069
0.5000
0.0500
-85.3790
75.7402
34.3023
-1.0885
-43.5388
7
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
t
Δt
s g
ẍ
ẋ
x
Fk
[s]
[s]
[cm/s2]
[cm/s2]
[cm/s]
[cm]
[T]
0.5500
0.0500
-96.052
52.1526
37.4996
0.7115
28.4597
0.6000
0.0500
-53.362
-24.5956
38.1885
2.6197
104.7873
0.6500
0.0500
17.787
-124.8451
34.4525
4.4566
178.2638
0.7000
0.0500
28.460
-156.8707
27.4096
6.0098
240.3928
0.7500
0.0500
167.129
-305.3785
15.8534
7.1223
284.8933
0.8000
0.0500
92.494
-227.3665
2.5348
7.5658
302.6313
0.8118
0.0118076
68.971
-201.9775
0.0000
7.5805
303.2181
0.8500
0.0381924
-7.115
-118.5350
-6.1206
7.4534
298.1372
0.9000
0.0500
35.575
-147.4729
-12.7708
6.9872
279.4870
0.9500
0.0500
81.822
-172.4000
-20.7676
6.1539
246.1563
1.0000
0.0500
35.575
-99.0048
-27.5527
4.9306
197.2244
1.0500
0.0500
28.460
-62.4326
-31.5887
3.4445
137.7782
1.1000
0.0500
48.460
-51.0569
-34.4259
1.7917
71.6689
1.1500
0.0500
7.115
21.6928
-35.1600
0.0369
1.4767
1.2000
0.0500
-17.787
74.5624
-32.7536
-1.6719
-66.8775
1.2500
0.0500
-10.672
90.9601
-28.6156
-3.2096
-128.3833
1.3000
0.0500
14.230
85.5114
-24.2038
-4.5289
-181.1572
1.3500
0.0500
-3.557
118.1526
-19.1122
-5.6186
-224.7452
1.4000
0.0500
-14.230
137.5054
-12.7207
-6.4185
-256.7393
1.4500
0.0500
0.000
125.9851
-6.1335
-6.8874
-275.4975
1.4967
0.04670089
-13.291
136.6849
0.0000
1.5000
0.00329911
-14.230
137.2322
0.4518
-7.0319
-281.2743
1.5500
0.0500
0.000
114.4901
6.7449
-6.8472
-273.8880
-7.0326
-281.3041
En la tabla de resultados las filas que contienen la velocidad nula están en letra cursiva y subrayada, y
los valores máximos de respuesta se encuentran con
negrita.
Resumen de resultados Aceleración máxima Velocidad
│ẍ│max
máxima │ẋ│max
= 401.2492cm/s2
= 38.1885cm/s
Desplazamiento máximo │x│max
= 7.5805cm
8
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
MÉTODO β DE NEWMARK – PROCEDIMIENTO ITERATIVO Se llama iterativo porque se comienza el cálculo con un valor arbitrario de ecuación (2) para luego con el valor de
ẋn+1 y
proceso se realiza hasta que el nuevo valor de antiguo valor de
ẍn+1 reemplazarlos
el de
ecuación (3) . Con estos datos se recalcula el valor de
ẍn+1
ẍn+1 en la
ẍn+1
en la
en la ecuación (1). Este
sea aproximadamente igual al
ẍn+1. En la tabla 4 se aprecia este procedimiento. Tabla 4 Iteración del valor de la aceleración ẍ.
t [s]
s g
Δt [s]
ẍ [cm/s2]
[cm/s2]
ẋ [cm/s]
0
0
0
0
0.05
0.05
93.762
-100
x [cm] 0
Fk [T] 0
0
-2.5 -0.04166667
-90.9365231 -2.27341308 -0.03789022 -91.1926095 -2.27981524 -0.03799692 -91.1853739 -2.27963435 -0.03799391 -91.1855783 -2.27963946 -0.03799399 -91.1855725
-2.27963931
-0.03799399
-1.51975954
Para este ejemplo se va a trabajar con una tolerancia de 1x10 -5 para que el valor de la aceleración sea aceptado.
x n 1 (nuevo) xn 1 (antiguo)
tolerancia
x n1 (nuevo) xn 1 (antiguo)
10
91.1855725 91.1855783 10
5.8 10
6
10
5
5
O.K.
Este proceso de recalcular el valor de la aceleración instante de tiempo.
9
5
ẍn+1 se
realiza en cada
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
RESULTADOS DEL PROCEDIMIENTO ITERATIVO t
Δt
s g
ẍ
ẋ
x
Fk
[s]
[s]
[cm/s2]
[cm/s2]
[cm/s]
[cm]
[T]
0
0
0
0
0
93.762
-100
-2.500000
-0.041667
-90.936523
-2.273413
-0.037890
-91.192610
-2.279815
-0.037997
-91.185374
-2.279634
-0.037994
-91.185578
-2.279639
-0.037994
-91.185573
-2.279639
-0.037994
-91.185573
-2.279639
-0.037994
-100
-7.059279
-0.269631
-192.942104
-9.382831
-0.308356
-190.316046
-9.317180
-0.307262
-190.390245
-9.319035
-0.307293
-190.388148
-9.318982
-0.307292
-190.388208
-9.318984
-0.307292
-190.388206
-9.318984
-0.307292
-190.388206
-9.318984
-0.307292
-200
-19.078689
-1.015232
-214.616456
-19.444100
-1.021322
-214.203472
-19.433776
-1.021150
-214.215141
-19.434067
-1.021155
-214.214811
-19.434059
-1.021155
-214.214820
-19.434059
-1.021155
-214.214820
-19.434059
-1.021155
-100
-27.289430
-2.213037
-28.435203
-25.500310
-2.183218
-30.457249
-25.550861
-2.184060
-30.400117
-25.549433
-2.184037
-30.401731
-25.549473
-2.184037
-30.401686
-25.549472
-2.184037
-30.401687
-25.549472
-2.184037
-30.401687
-25.549472
-2.184037
-50
-27.559514
-3.507679
127.323811
-23.126419
-3.433794
122.313567
-23.251675
-3.435882
122.455131
-23.248136
-3.435823
122.451131
-23.248236
-3.435824
122.451244
-23.248233
-3.435824
122.451241
-23.248233
-3.435824
122.451241
-23.248233
-3.435824
0 0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
203.587
248.413
90.127
-42.69
10
-1.51976
-12.29169
-40.84618
-87.36149
-137.43297
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
t
Δt
s g
ẍ
ẋ
x
Fk
[s]
[s]
[cm/s2]
[cm/s2]
[cm/s]
[cm]
[T]
0.3
0.05
-199.218
150
-16.436952
-4.433693
290.781607
-12.917412
-4.375034
286.803856
-13.016856
-4.376692
286.916246
-13.014046
-4.376645
286.913071
-13.014125
-4.376646
286.913160
-13.014123
-4.376646
286.913158
-13.014123
-4.376646
286.913158
-13.014123
-4.376646
300
-1.529143
-4.662906
379.774423
0.031919
-4.642541
378.109307
-0.000664
-4.642966
378.144062
0.000016
-4.642957
378.143337
0.000001
-4.642957
378.143352
0.000002
-4.642957
378.143352
0.000002
-4.642957
100
2.597061
-4.626116
402.723947
4.241322
-4.620162
401.241988
4.233272
-4.620191
401.249243
4.233312
-4.620191
401.249207
4.233311
-4.620191
401.249207
4.233311
-4.620191
200
19.264542
-3.990818
249.544713
20.503159
-3.970174
248.144839
20.468163
-3.970757
248.184392
20.469151
-3.970741
248.183274
20.469123
-3.970741
248.183306
20.469124
-3.970741
248.183305
20.469124
-3.970741
248.183305
20.469124
-3.970741
200
31.673707
-2.657132
112.291041
29.480983
-2.693678
114.769238
29.542938
-2.692645
114.699217
29.541187
-2.692674
114.701195
29.541237
-2.692673
114.701139
29.541235
-2.692673
114.701141
29.541235
-2.692673
114.701141
29.541235
-2.692673
0.3391369 0.0391369 -296.6782
0.35
0.4
0.45
0.0108631
0.05
0.05
-323.73
-195.661
-92.204
11
-175.06584
-185.71828
-184.80763
-158.82965
-107.70693
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
t
Δt
s g
ẍ
ẋ
x
Fk
[s]
[s]
[cm/s2]
[cm/s2]
[cm/s]
[cm]
[T]
0.5
0.05
-85.379
100
34.908764
-1.078361
75.054779
34.285133
-1.088754
75.759600
34.302754
-1.088461
75.739686
34.302256
-1.088469
75.740248
34.302270
-1.088469
75.740232
34.302270
-1.088469
75.740233
34.302270
-1.088469
75.740233
34.302270
-1.088469
100
38.695776
0.731428
50.800692
37.465793
0.710928
52.190807
37.500546
0.711508
52.151529
37.499564
0.711491
52.152639
37.499592
0.711492
52.152608
37.499591
0.711492
52.152609
37.499591
0.711492
52.152609
37.499591
0.711492
50
40.053406
2.650765
-26.703290
38.135824
2.618805
-24.536056
38.190005
2.619708
-24.597291
38.188474
2.619683
-24.595561
38.188517
2.619684
-24.595610
38.188516
2.619684
-24.595608
38.188516
2.619684
-24.595609
38.188516
2.619684
-24.595609
38.188516
2.619684
-100
35.073626
4.466946
-125.547089
34.434948
4.456302
-124.825262
34.452994
4.456603
-124.845657
34.452484
4.456594
-124.845081
34.452499
4.456594
-124.845097
34.452498
4.456594
-124.845097
34.452498
4.456594
-100
28.831371
6.033515
-158.4775443
27.369432
6.009149
-156.825275
27.410739
6.009838
-156.871959
27.409572
6.009818
-156.870640
27.409605
6.009819
-156.870677
27.409604
6.009819
-156.870676
27.409604
6.009819
-156.870676
27.409604
6.009819
0.55
0.6
0.65
0.7
0.05
0.05
0.05
0.05
-96.052
-53.362
17.787
28.46
12
-43.53876
28.45967
104.78734
178.26377
240.39275
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
t
Δt
s g
ẍ
ẋ
x
Fk
[s]
[s]
[cm/s2]
[cm/s2]
[cm/s]
[cm]
[T]
0.75
0.05
167.129
-100
20.987837
7.207907
-311.181397
15.708302
7.119915
-305.214515
15.857474
7.122401
-305.383108
15.853259
7.122330
-305.378345
15.853378
7.122332
-305.378479
15.853375
7.122332
-305.378476
15.853375
7.122332
-305.378476
15.853375
7.122332
-100
5.718913
7.618852
-230.965171
2.444784
7.564284
-227.264780
2.537294
7.565825
-227.369334
2.534680
7.565782
-227.366380
2.534754
7.565783
-227.366463
2.534752
7.565783
-227.366461
2.534752
7.565783
-227.366461
2.534752
7.565783
-100
0.602045
7.582822
-202.523491
-0.003233
7.580440
-201.974614
0.000008
7.580453
-201.977553
-0.000010
7.580453
-201.977537
-0.000010
7.580453
-201.977537
-0.000010
7.580453
-100
-5.766633
7.457936
-118.910626
-6.127754
7.453338
-118.527429
-6.120436
7.453432
-118.535194
-6.120585
7.453430
-118.535037
-6.120582
7.453430
-118.535040
-6.120582
7.453430
-118.535040
-6.120582
7.453430
-150
-12.833958
6.986122
-147.401481
-12.768995
6.987204
-147.474901
-12.770830
6.987174
-147.472827
-12.770778
6.987174
-147.472886
-12.770780
6.987174
-147.472884
-12.770780
6.987174
-147.472884
-12.770780
6.987174
-150
-20.207602
6.163241
-173.032927
-20.783425
6.153644
-172.382137
-20.767155
6.153916
-172.400525
-20.767615
6.153908
-172.400005
-20.767602
6.153908
-172.400020
-20.767602
6.153908
-172.400020
-20.767602
6.153908
0.8
0.05
0.8118076 0.0118076
0.85
0.9
0.95
0.0381924
0.05
0.05
92.494
68.9712
-7.115
35.575
81.822
13
284.89330
302.63132
303.21811
298.13719
279.48698
246.15632
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
t
Δt
s g
ẍ
ẋ
x
Fk
[s]
[s]
[cm/s2]
[cm/s2]
[cm/s]
[cm]
[T]
1
0.05
35.575
-150
-28.827603
4.909361
-97.563917
-27.516701
4.931210
-99.045486
-27.553740
4.930592
-99.003625
-27.552694
4.930610
-99.004808
-27.552723
4.930609
-99.004774
-27.552722
4.930609
-99.004775
-27.552722
4.930609
-99.004775
-27.552722
4.930609
-100
-32.527842
3.428803
-61.371182
-31.562121
3.444898
-62.462631
-31.589407
3.444443
-62.431792
-31.588637
3.444456
-62.432663
-31.588658
3.444456
-62.432639
-31.588658
3.444456
-62.432639
-31.588658
3.444456
-50
-34.399474
1.792162
-51.086776
-34.426643
1.791709
-51.056069
-34.425875
1.791722
-51.056937
-34.425897
1.791722
-51.056912
-34.425896
1.791722
-51.056913
-34.425897
1.791722
-51.056913
-34.425897
1.791722
-50
-36.952319
0.007046
23.718470
-35.109358
0.037762
21.635572
-35.161430
0.036894
21.694424
-35.159959
0.036919
21.692761
-35.160000
0.036918
21.692808
-35.159999
0.036918
21.692807
-35.159999
0.036918
21.692807
-35.159999
0.036918
20
-34.117679
-1.694671
76.103997
-32.715079
-1.671294
74.518791
-32.754709
-1.671955
74.563581
-32.753589
-1.671936
74.562315
-32.753621
-1.671937
74.562351
-32.753620
-1.671937
74.562350
-32.753620
-1.671937
74.562350
-32.753620
-1.671937
1.05
1.1
1.15
1.2
0.05
0.05
0.05
0.05
28.46
48.46
7.115
-17.787
14
197.22437
137.77822
71.66887
1.47673
-66.87747
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
t
Δt
s g
ẍ
ẋ
x
Fk
[s]
[s]
[cm/s2]
[cm/s2]
[cm/s]
[cm]
[T]
1.25
0.05
-10.672
100
-28.389561
-3.205816
90.704711
-28.621944
-3.209689
90.967347
-28.615378
-3.209579
90.959926
-28.615563
-3.209583
90.960136
-28.615558
-3.209582
90.960130
-28.615558
-3.209582
90.960130
-28.615558
-3.209582
100
-23.841555
-4.522894
85.101980
-24.214005
-4.529101
85.522920
-24.203482
-4.528926
85.511026
-24.203779
-4.528931
85.511362
-24.203771
-4.528931
85.511353
-24.203771
-4.528931
85.511353
-24.203771
-4.528931
100
-19.565987
-5.626193
118.665539
-19.099349
-5.618416
118.138148
-19.112534
-5.618635
118.153049
-19.112161
-5.618629
118.152628
-19.112172
-5.618629
118.152640
-19.112171
-5.618629
118.152640
-19.112171
-5.618629
100
-13.658355
-6.434111
138.565068
-12.694229
-6.418042
137.4754209
-12.721470
-6.418496
137.5062086
-12.720700
-6.418483
137.5053387
-12.720722
-6.418483
137.5053633
-12.720721
-6.418483
137.5053626
-12.720721
-6.418483
100
-6.783087
-6.898265
126.719292
-6.115105
-6.887132
125.964345
-6.133979
-6.887447
125.985676
-6.133445
-6.887438
125.985073
-6.133460
-6.887438
125.985090
-6.133460
-6.887438
125.985090
-6.133460
-6.887438
100
-0.856608
-7.045936
137.636472
0.022221
-7.032256
136.660186
-0.000576
-7.032611
136.685510
0.000015
-7.032601
136.684854
0.000000
-7.032602
136.684871
0.000000
-7.032602
136.684870
0.000000
-7.032602
136.684870
0.000000
-7.032602
1.3
1.35
1.4
1.45
0.05
0.05
0.05
0.05
14.23
-3.557
-14.23
0
1.4967009 0.0467009 -13.2911
15
-128.38330
-181.15722
-224.74517
-256.73934
-275.49752
-281.30407
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
t
Δt
s g
ẍ
ẋ
x
Fk
[s]
[s]
[cm/s2]
[cm/s2]
[cm/s]
[cm]
[T]
1.5
0.0032991
-14.23
100
0.390425
-7.031924
137.2848048
0.451929
-7.031857
137.2320932
0.451842
-7.031857
137.2321677
0.451842
-7.031857
137.2321676
0.451842
-7.031857
100
6.382646
-6.853238
114.8995482
6.755135
-6.847030
114.4785649
6.744610
-6.847205
114.4904597
6.744907
-6.847200
114.4901236
6.744899
-6.847200
114.4901331
6.744899
-6.847200
114.4901328
6.744899
-6.847200
1.55
0.05
0
-281.27427
-273.88801
Resumen de resultados
Aceleración máxima │ẍ│max Velocidad máxima │ẋ│max
= 401.2492cm/s2
= 38.1885cm/s
Desplazamiento máximo │x│max
= 7.5805cm
Se aprecia que los resultados obtenidos por el procedimiento iterativo son idénticos a los del procedimiento directo ya que se trabajó con una tolerancia adecuada, lo cual se facilita gracias al empleo del computador.
16
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
GRÁFICOS DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO Las tablas de resultados de la respuesta en el tiempo por el procedimiento directo e iterativo se pueden representar gráficamente. A continuación se muestra la respuesta en el tiempo de la aceleración, velocidad y desplazamiento para el acelerograma de Port Hueneme del 18 de marzo de 1957 componente E-W escalado con un factor de 3.6301. 500.0000 400.0000
] 300.0000 2 s / 200.0000 m c [ n 100.0000 ó i c 0.0000 a r 0.0000 e l -100.0000 e c A-200.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
1.4000
1.6000
1.4000
1.6000
-300.0000 -400.0000
Tiempo [s]
Figura 2 Respuesta en el tiempo de la aceleración ẍ. 50.0000 40.0000 30.0000 ] s / 20.0000 m c [ 10.0000 d a d i 0.0000 c 0.0000 o l e-10.0000 V -20.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
-30.0000 -40.0000
Tiempo [s]
Figura 3 Respuesta en el tiempo de la velocidad ẋ.
17
Maestría en Estructuras, EPN Abel Zambrano Mejía
10.0000 8.0000
] 6.0000 m c [ 4.0000 o t n 2.0000 e i m a 0.0000 z a 0.0000 l p -2.0000 s e D-4.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
1.4000
-6.0000 -8.0000
Tiempo [s]
Figura 3 Respuesta en el tiempo del desplazamiento x.
18
1.6000
